القسم الثاني. التحليل الرياضي
إي يو. أنوخينا
تاريخ التطور وصياغة نظرية وظيفة متغير معقد (TFV) كموضوع
واحدة من الدورات الرياضية المعقدة هي دورة TFKT. يرجع تعقيد هذه الدورة ، أولاً وقبل كل شيء ، إلى تنوع علاقاتها المتبادلة مع التخصصات الرياضية الأخرى ، التي تم التعبير عنها تاريخيًا في التوجه التطبيقي الواسع لعلم TFKT.
في الأدبيات العلمية حول تاريخ الرياضيات ، هناك معلومات مبعثرة حول تاريخ تطور TFCT ، فهي تتطلب تنظيمًا وتعميمًا.
لهذا السبب ، الهدف الرئيسي من هذه المقالة هو وصف قصيرتطوير TFKP وتشكيل هذه النظرية كموضوع تعليمي.
نتيجة للدراسة ، تم تحديد المراحل الثلاث التالية في تطوير TFCT كموضوع علمي وأكاديمي:
مرحلة ظهور الأعداد المركبة والتعرف عليها ؛
مرحلة التراكم المادة الفعليةعن طريق وظائف الكميات التخيلية ؛
مرحلة تكوين نظرية وظائف المتغير المعقد.
تبدأ المرحلة الأولى في تطوير TFKP (منتصف القرن السادس عشر - القرن الثامن عشر) بعمل ج. كاردانو (1545) ، الذي نشر Artis magnae sive de regulis algebraitis (الفن العظيم ، أو القواعد الجبرية). كان لعمل ج. كاردانو المهمة الرئيسية لإثبات الطرق الجبرية العامة لحل المعادلات من الدرجة الثالثة والرابعة ، التي اكتشفها مؤخرًا فيرو (1465-1526) ، تارتاليا (1506-1559) وفيراري (1522-1565). ). إذا تم تقليل المعادلة التكعيبية إلى النموذج
x3 + بكسل + q = 0 ،
ويجب أن يكون
عندما (p ^ Ap V (| - 70) يكون للمعادلة ثلاثة جذور حقيقية ، واثنان منهم
متساوون. إذا كانت المعادلة إذن تحتوي على واحد حقيقي واثنان
نسج جذور معقدة. تظهر الأعداد المركبة في النتيجة النهائية ، لذلك يمكن أن يفعل G.Cardano كما فعلوا من قبله: أعلن أن المعادلة لها
جذر واحد. متي (<7 Г + (р V < (). тогда уравнение имеет три действительных корня. Этот так
تتميز ما يسمى بالحالة غير القابلة للاختزال بميزة واحدة لم تتم مواجهتها حتى القرن السادس عشر. المعادلة x3 - 21x + 20 = 0 لها ثلاثة جذور حقيقية 1 ، 4 ، - 5 وهو أمر سهل
تحقق من استبدال بسيط. لكن ^ du + y _ ^ 20y + ^ -21y _ ^ ^ ^؛ لذلك ، وفقًا للصيغة العامة ، x = ^ -10 + ^ -243 - ^ - 10-4 ^ 243. معقدة ، أي "خطأ" ، الرقم ليس النتيجة هنا ، ولكنه مصطلح وسيط في الحسابات التي تؤدي إلى الجذور الحقيقية للمعادلة المعنية. واجه G.Cardano صعوبة وأدرك أنه من أجل الحفاظ على عمومية هذه الصيغة ، من الضروري التخلي عن التجاهل الكامل للأرقام المركبة. يعتقد J. d'Alembert (1717-1783) أن هذا الظرف بالتحديد هو الذي جعل G.
في هذه المرحلة (في القرن السابع عشر) ، تم قبول وجهتي نظر بشكل عام. تم التعبير عن وجهة النظر الأولى بواسطة Girard ، الذي أثار مسألة الاعتراف بالحاجة إلى الاستخدام غير المقيد للأعداد المركبة. الثاني - ديكارت ، الذي نفى إمكانية تفسير الأعداد المركبة. عكس رأي ديكارت كان وجهة نظر J.Wallis - حول وجود تفسير حقيقي للأعداد المركبة تم تجاهلها من قبل ديكارت. بدأ استخدام الأعداد المعقدة "قسريًا" لاستخدامها في حل المشكلات التطبيقية في المواقف التي يؤدي فيها استخدام الأعداد الحقيقية إلى نتيجة معقدة ، أو لا يمكن الحصول على النتيجة نظريًا ، ولكن كان لها تنفيذ عملي.
أدى الاستخدام البديهي للأعداد المركبة إلى الحاجة إلى الحفاظ على قوانين وقواعد حساب الأعداد الحقيقية على مجموعة الأعداد المركبة ، على وجه الخصوص ، كانت هناك محاولات للنقل المباشر. هذا أدى في بعض الأحيان إلى نتائج خاطئة. في هذا الصدد ، أصبحت الأسئلة المتعلقة بتبرير الأعداد المركبة وبناء الخوارزميات لحسابها موضوعيًا. كانت هذه بداية مرحلة جديدة في تطوير TFCT.
المرحلة الثانية من تطور TFKP (بداية القرن الثامن عشر - القرن التاسع عشر). في القرن الثامن عشر. أعرب L. Euler عن فكرة الإغلاق الجبري لمجال الأعداد المركبة. قاد الإغلاق الجبري لمجال الأعداد المركبة C علماء الرياضيات إلى الاستنتاجات التالية:
أن تكتسب دراسة الوظائف والتحليل الرياضي بشكل عام اكتمالها واكتمالها المناسبين فقط عند النظر في سلوك الوظائف في المجال المعقد ؛
من الضروري اعتبار الأعداد المركبة كمتغيرات.
في عام 1748 ، قدم L. Euler (1707-1783) في عمله "مقدمة في تحليل اللامتناهيات في الصغر" متغيرًا معقدًا باعتباره المفهوم الأكثر عمومية للمتغير ، باستخدام الأعداد المركبة عند تحليل الوظائف إلى عوامل خطية. يعتبر L. Euler بحق أحد مبتكري TFCT. في أعمال L.Euler ، تمت دراسة الدوال الأولية لمتغير معقد بالتفصيل (1740-1749) ، وتم إعطاء شروط التفاضل (1755) وبداية حساب التكامل لوظائف المتغير المركب (1777). قدم ل. أويلر رسم الخرائط المطابقة عمليًا (1777). ووصف هذه التعيينات بأنها "متشابهة إلى حد ما" ، ومصطلح "امتثال" استخدم لأول مرة ، على ما يبدو ، من قبل الأكاديمي في سانت بطرسبرغ ف. شوبرت (1789). قدم L. Euler أيضًا العديد من التطبيقات لوظائف متغير معقد لمشكلات رياضية مختلفة ووضع الأساس لتطبيقها في الديناميكا المائية (17551757) ورسم الخرائط (1777). يصوغ K. Gauss تعريف التكامل في المستوى المركب ، وهي نظرية تكاملية حول توسيع دالة تحليلية إلى سلسلة قوى. يستخدم لابلاس متغيرات معقدة لحساب التكاملات الصعبة ويطور طريقة لحل المعادلات الخطية والفرق والتفاضلية المعروفة باسم تحويل لابلاس.
بدءًا من عام 1799 ، تظهر الأوراق التي يتم فيها تقديم تفسيرات أكثر أو أقل ملاءمة للعدد المركب وتحديد الإجراءات عليها. تم نشر التفسير النظري العام إلى حد ما والتفسير الهندسي بواسطة K.Gauss فقط في عام 1831.
ترك ل. أويلر ومعاصروه إرثًا ثريًا للأجيال القادمة في شكل حقائق متراكمة ، منظمة في مكان ما ، في مكان ما لا ، لكنها لا تزال مبعثرة على TFCT. يمكننا القول أن المادة الواقعية حول وظائف الكميات التخيلية ، كما كانت ، تتطلب تنظيمها في شكل نظرية. بدأت هذه النظرية في التبلور.
المرحلة الثالثة من تشكيل TFKP (القرن التاسع عشر - القرن العشرين). تنتمي الإنجازات الرئيسية هنا إلى O. Cauchy (1789-1857) ، B. Riemann (1826-1866) ، و K. Weierstrass (1815-1897). كل واحد منهم يمثل أحد اتجاهات التنمية في TFKP.
كان ممثل الاتجاه الأول ، والذي أطلق عليه في تاريخ الرياضيات "نظرية الوظائف أحادية الجين أو الوظائف القابلة للتفاضل" ، O. Cauchy. قام بصياغة الحقائق المتباينة حول الحساب التفاضلي والتكامل لوظائف متغير معقد ، وشرح معنى المفاهيم الأساسية والعمليات مع المفاهيم التخيلية. في أعمال O. Cauchy ، تم ذكر نظرية الحدود ونظرية السلاسل والوظائف الأولية المبنية عليها ، تمت صياغة نظرية توضح تمامًا منطقة تقارب سلسلة الطاقة. في عام 1826 ، قدم O. Cauchy المصطلح: الخصم (حرفيًا: الباقي). في كتاباته من عام 1826 إلى عام 1829 ، ابتكر نظرية الاستقطاعات. استنتج O. Cauchy الصيغة المتكاملة ؛ حصلنا على نظرية وجود لتوسيع دالة متغير معقد إلى سلسلة قدرة (1831). وضع O. Cauchy أسس نظرية الوظائف التحليلية لعدة متغيرات ؛ تحديد الفروع الرئيسية للوظائف متعددة القيم لمتغير معقد ؛ أول قطع الطائرة المستخدمة (1831-1847). في عام 1850 يقدم مفهوم الوظائف أحادية اللون ويفرد فئة الوظائف أحادية الجين.
كان أتباع O. Cauchy هو B. Riemann ، الذي أنشأ أيضًا اتجاهه "الهندسي" (الثاني) لتطوير TFCT. في أعماله ، تغلب على عزل الأفكار حول وظائف المتغيرات المعقدة وشكل أقسامًا جديدة لهذه النظرية ، ترتبط ارتباطًا وثيقًا بالتخصصات الأخرى. اتخذ ريمان خطوة جديدة بشكل أساسي في تاريخ نظرية الوظائف التحليلية ، واقترح ربط كل وظيفة لمتغير معقد بفكرة رسم الخرائط من منطقة إلى أخرى. لقد ميز بين وظائف المتغير المعقد والحقيقي. قام ب.
حدث مزيد من تطوير TFKP في اتجاه آخر (ثالث). كان أساسها إمكانية تمثيل الوظائف بواسطة سلسلة الطاقة. وقد أطلق على هذا الاتجاه اسم "تحليلي" في التاريخ. تم تشكيلها في أعمال K. Weierstrass ، حيث أبرز مفهوم التقارب الموحد. صاغ K. Weierstrass وأثبت نظرية حول شرعية اختزال المصطلحات المماثلة في سلسلة. حصل K. Weierstrass على نتيجة أساسية: حد سلسلة من الوظائف التحليلية التي تتقارب بشكل موحد داخل مجال معين هي وظيفة تحليلية. تمكن من تعميم نظرية كوشي حول توسيع سلسلة الطاقة لوظيفة متغير معقد ووصف عملية الاستمرار التحليلي لسلسلة القدرة وتطبيقها على تمثيل الحلول لنظام المعادلات التفاضلية. أنشأ K. Weierstrass حقيقة ليس فقط التقارب المطلق للسلسلة ، ولكن أيضًا التقارب المنتظم. تظهر نظرية Weierstrass عند توسيع دالة بأكملها إلى منتج. يضع أسس نظرية الدوال التحليلية للعديد من المتغيرات ، ويبني نظرية قسمة سلسلة القوى.
ضع في اعتبارك تطوير نظرية الوظائف التحليلية في روسيا. علماء الرياضيات الروس في القرن التاسع عشر. لفترة طويلة لم يرغبوا في تكريس أنفسهم لمجال جديد من الرياضيات. على الرغم من ذلك ، يمكننا تسمية عدة أسماء لم تكن غريبة عنها ، وسرد بعض أعمال وإنجازات علماء الرياضيات الروس هؤلاء.
كان أحد علماء الرياضيات الروس M.V. أوستروجرادسكي (1801-1861). حول M. لا يُعرف الكثير عن Ostrogradsky في مجال نظرية الوظائف التحليلية ، لكن O. Cauchy تحدث بمدح هذا العالم الروسي الشاب ، الذي طبق التكاملات وقدم أدلة جديدة على الصيغ وعمم الصيغ الأخرى. م. كتب Ostrogradsky العمل "ملاحظات حول التكاملات المحددة" ، حيث اشتق صيغة كوشي لاستنتاج دالة فيما يتعلق بقطب الرتبة n. أوجز تطبيقات نظرية البقايا وصيغة كوشي لحساب التكاملات المحددة في دورة محاضرة عامة مكثفة أُعطيت في 1858-1859.
عدد من الأعمال من قبل N.I. Lobachevsky ، والتي لها أهمية مباشرة لنظرية وظائف المتغير المعقد. نظرية الدوال الأولية لمتغير معقد واردة في عمله "الجبر أو حساب المنتهية" (قازان ، 1834). حيث يتم تعريف cos x و sin x مبدئيًا لـ x الحقيقي على أنه حقيقي و
جزء وهمي من الدالة ex ^. باستخدام الخصائص المحددة مسبقًا للدالة الأسية وتوسعات القوة ، يتم اشتقاق جميع الخصائص الرئيسية للوظائف المثلثية. بواسطة-
على ما يبدو ، أولى Lobachevsky أهمية خاصة لمثل هذا البناء التحليلي البحت لعلم المثلثات ، بغض النظر عن الهندسة الإقليدية.
يمكن القول أنه في العقود الأخيرة من القرن التاسع عشر. والعقد الأول من القرن العشرين. يتكون البحث الأساسي في نظرية وظائف المتغير المعقد (F. Klein ، A. Poincaré ، P. Kebe) في التوضيح التدريجي لحقيقة أن هندسة Lobachevsky هي ، في نفس الوقت ، هندسة الوظائف التحليلية لمجمع واحد. عامل.
في عام 1850 ، عمل أستاذ بجامعة سانت بطرسبرغ (أكاديمي لاحقًا) I.I. نشر سوموف (1815-1876) أسس نظرية الوظائف التحليلية ، والتي كانت مبنية على أسس جاكوبي الجديدة.
ومع ذلك ، كان يو.في. سوخوتسكي (1842-1929). دافع عن أطروحة الماجستير "نظرية المخلفات المتكاملة مع بعض التطبيقات" (سانت بطرسبرغ ، 1868). من خريف عام 1868 يو. قام Sokhotsky بتدريس دورات حول نظرية وظائف المتغير التخيلي والكسور المستمرة مع تطبيقات للتحليل. أطروحة الماجستير Yu.V. يخصص Sokhotsky لتطبيقات نظرية البقايا لعكس سلسلة الطاقة (سلسلة لاغرانج) ، وعلى وجه الخصوص ، لتوسيع الوظائف التحليلية إلى كسور مستمرة ، بالإضافة إلى ليجيندر متعدد الحدود. في هذه الورقة ، تمت صياغة وإثبات النظرية الشهيرة حول سلوك الوظيفة التحليلية في منطقة مجاورة لنقطة مفردة أساسية. في أطروحة الدكتوراه Sokhotsky
(1873) لأول مرة يتم تقديم مفهوم التكامل من نوع كوشي في شكل موسع: * r / ^ & _ حيث
a و b رقمان مركبان عشوائيان. من المفترض أن يتم أخذ التكامل على طول منحنى ("مسار") يربط أ و ب. في هذا العمل ، تم إثبات عدد من النظريات.
لعبت أعمال N.E. دورًا كبيرًا في تاريخ الوظائف التحليلية. جوكوفسكي و S.A. Chaplygin ، الذي فتح مساحة لا حدود لها من تطبيقاته في ميكانيكا الهواء والهيدروميكانيكا.
عند الحديث عن تطور نظرية الوظائف التحليلية ، لا يسع المرء إلا أن يذكر دراسات S.V. Kovalevskaya ، على الرغم من أن معناها الرئيسي يكمن خارج هذه النظرية. يرجع نجاح عملها إلى صياغة جديدة تمامًا للمشكلة من حيث نظرية الوظائف التحليلية واعتبار الوقت t كمتغير معقد.
في مطلع القرن العشرين. تتغير طبيعة البحث العلمي في مجال نظرية وظائف المتغير المعقد. إذا تم في وقت سابق إجراء معظم البحث في هذا المجال من حيث تطوير أحد الاتجاهات الثلاثة (نظرية الدوال كوشي أحادية المنشأ أو القابلة للتفاضل ، والأفكار الهندسية والفيزيائية لريمان ، والاتجاه التحليلي لـ Weierstrass) ، الآن الاختلافات و يتم التغلب على الخلافات المرتبطة بها ، وتظهر وتتزايد بسرعة في عدد الأعمال التي يتم فيها توليف الأفكار والأساليب. كان مفهوم الاستمرارية التحليلية أحد المفاهيم الأساسية التي تم من خلالها الكشف بوضوح عن الارتباط والمطابقة بين التمثيلات الهندسية وجهاز سلسلة الطاقة.
في نهاية القرن التاسع عشر. تتضمن نظرية وظائف المتغير المعقد مجموعة واسعة من التخصصات: النظرية الهندسية للوظائف القائمة على نظرية التعيينات المطابقة وأسطح ريمان. لقد تلقينا شكلاً لا يتجزأ من نظرية أنواع مختلفة من الوظائف: عدد صحيح ومحدود ، إهليلجي ونمطي ، آلي ، متناسق ، جبري. في ارتباط وثيق مع الفئة الأخيرة من الوظائف ، تم تطوير نظرية تكاملات أبيليان. النظرية التحليلية للمعادلات التفاضلية والنظرية التحليلية للأرقام ملاصقة لهذا المركب. تأسست نظرية الوظائف التحليلية وعززت الروابط مع التخصصات الرياضية الأخرى.
ساهمت ثروة العلاقات المتبادلة بين TFCT والجبر والهندسة والعلوم الأخرى ، وخلق الأسس المنهجية لعلم TFCT نفسه ، وأهميتها العملية الكبيرة في تشكيل TFCT كموضوع أكاديمي. ومع ذلك ، بالتزامن مع الانتهاء من تشكيل الأسس ، تم إدخال أفكار جديدة في نظرية الوظائف التحليلية ، مما أدى إلى تغيير كبير في تكوينها وطبيعتها وأهدافها. تظهر الدراسات التي تحتوي على عرض منهجي لنظرية الوظائف التحليلية بأسلوب قريب من البديهية وله أيضًا أغراض تعليمية. على ما يبدو ، فإن أهمية النتائج على TFCT ، التي حصل عليها العلماء في الفترة قيد المراجعة ، دفعتهم إلى الترويج لـ TFCT في شكل إلقاء المحاضرات ونشر الدراسات الفردية في منظور تعليمي. يمكن أن نستنتج أن TFCT ظهر كتعلم
موضوعات. في عام 1856 ، نشر Ch. Briot و T. Bouquet مذكرات صغيرة بعنوان "التحقيق في وظائف متغير خيالي" ، وهو في الأساس أول كتاب مدرسي. بدأت المفاهيم العامة في نظرية وظيفة المتغير المعقد في المحاضرات. منذ عام 1856 ، ألقى K. Weiersht-rass محاضرات حول تمثيل الوظائف بواسطة متسلسلة القوة المتقاربة ، ومنذ عام 1861 حول النظرية العامة للوظائف. في عام 1876 ، ظهر عمل خاص لـ K. Weierstrass: "حول نظرية الوظائف التحليلية أحادية القيمة" ، وفي عام 1880 "حول عقيدة الوظائف" ، حيث اكتسبت نظريته للوظائف التحليلية قدرًا معينًا من الاكتمال.
خدمت محاضرات Weierstrass لسنوات عديدة كنموذج أولي للكتب المدرسية حول نظرية وظائف المتغير المعقد ، والتي بدأت تظهر كثيرًا منذ ذلك الحين. في محاضراته تم بناء المعيار الحديث للصرامة في التحليل الرياضي بشكل أساسي وتم تمييز الهيكل الذي أصبح تقليديًا.
المراجع
1. أندرونوف إ. ك. رياضيات الأعداد الحقيقية والمركبة. م: التعليم ، 1975.
2. Klein F. محاضرات عن تطور الرياضيات في القرن التاسع عشر. م: ONTI ، 1937. الجزء الأول.
3. Lavrentiev M.A.، Shabat B.V. طرق نظرية وظائف المتغير المعقد. موسكو: Nauka ، 1987.
4. Markushevich A.I. نظرية الدوال التحليلية. م: دولة. دار نشر الأدب الفني والنظري 1950.
5. رياضيات القرن التاسع عشر. الهندسة. نظرية الوظائف التحليلية / أد. A. N. Kolmogorova و A. P. Yushkevich. موسكو: Nauka ، 1981.
6. الموسوعة الرياضية / الفصل. إد. آي إم فينوغرادوف. م: الموسوعة السوفيتية ، 1977. ت 1.
7. الموسوعة الرياضية / الفصل. إد. آي إم فينوغرادوف. م: الموسوعة السوفيتية ، 1979. المجلد .2.
8. يونغ ف. أساسيات عقيدة العدد في القرن الثامن عشر وأوائل القرن التاسع عشر. موسكو: Uchpedgiz ، 1963.
9. Rybnikov K.A. تاريخ الرياضيات. م: دار النشر بجامعة موسكو الحكومية ، 1963. الجزء الثاني.
ليس. لمس منحنى الطائرة
مسألة تماس منحنيات المستوى ، في حالة العثور على عبارات النقاط المشتركة من معادلة الشكل Рп x = 0 ، حيث Р x هي بعض كثيرة الحدود ، ترتبط ارتباطًا مباشرًا بالسؤال
على تعدد جذور كثير الحدود Pn x. في هذه المقالة ، تمت صياغة البيانات المقابلة لحالات التخصيص الصريح والضمني للوظائف التي تكون رسومها البيانية منحنيات ، كما يتم عرض تطبيق هذه العبارات في حل المشكلات.
إذا كانت المنحنيات التي هي رسوم بيانية للوظائف y \ u003d f (x) و y \ u003d cp x لها نقطة مشتركة
م () × 0 ؛ v0 ، أي y0 \ u003d f x0 \ u003d cp x0 وظلال المنحنيات المشار إليها المرسومة عند النقطة M () x0 ؛ v0 لا تتطابق ، ثم نقول أن المنحنيات y = fix) و y - cp x تتقاطع عند النقطة Mo xo ؛
يوضح الشكل 1 مثالاً لتقاطع الرسوم البيانية للوظائف.
نسخة طبق الأصل
1 تحويل لابلاس معلومات موجزة إن تحويل لابلاس ، الذي يستخدم على نطاق واسع في نظرية الدائرة ، هو تحويل متكامل يتم تطبيقه على وظائف الوقت f تساوي الصفر عند< L { f } f d F, где = + комплексная переменная Величина выбирается так, чтобы интеграл сходился Если функция f возрастает не быстрее, чем экспонента, то интеграл преобразования Лапласа сходится, если >يمكن إثبات أنه إذا تقارب تكامل لابلاس مع بعض القيم s ، فإنه يحدد دالة F تكون تحليلية في نصف المستوى بأكمله. ويمكن تمديد الوظيفة F المحددة بهذه الطريقة بشكل تحليلي إلى مستوى المتغير المركب = + ، باستثناء النقاط الفردية الفردية. غالبًا ما يتم تنفيذ هذا الاستمرارية عن طريق توسيع الصيغة التي تم الحصول عليها في حساب التكامل إلى مستوى المجمع بأكمله وظيفة متغيرة F ، واصلت تحليليًا إلى الكل طائرة معقدة، تسمى صورة لابلاس لوظيفة الوقت f أو ببساطة الصورة. تسمى الوظيفة f بالنسبة لصورتها F الأصلية إذا كانت الصورة F معروفة ، فيمكن العثور على الأصل باستخدام تحويل لابلاس المعكوس f F d لـ > مباشر ، موازي للمحور y يتم اختيار القيمة بحيث لا توجد نقاط مفردة للوظيفة في نصف المستوى R> تحديد الأصل من صورة معروفة يسمى تحويل لابلاس العكسي ويُشار إليه بالرمز و L (F) L 7
2 ضع في اعتبارك بعض خصائص تحويل لابلاس الخطي يمكن كتابة هذه الخاصية كمساواة L (f) L (f) L (f) تحويل لابلاس لمشتق الوظيفة df L () d df d F f d f 3 تحويل لابلاس لـ التكامل: L (f d) d f 8 f d d F df: d f f d d لا تزال المساواة لها شكل قانون أوم ، ولكن بالفعل بالنسبة لصور الجهد والتيار بالنسبة للجهد اللحظي عبر المحاثة ، فإن العلاقة d i u L تحدث ، d أي لا توجد تناسب مباشر لا يصح قانون أوم هنا بعد تحويل لابلاس ، نحصل على U = LI LI +
3 إذا ، كما هو الحال غالبًا ، I + = ، فإن النسبة تأخذ الشكل U = LI وهكذا ، فإن قانون أوم صالح مرة أخرى لصور الجهد والتيار ، يتم لعب دور المقاومة بواسطة القيمة L ، والتي تسمى مقاومة الحث C بعد تحويل لابلاس ، تأخذ هذه النسبة شكل U I ، C t e لها شكل قانون أوم ، والسعة تساوي C ، دعونا نصنع جدولًا لتحولات لابلاس المباشرة والمعكوسة للوظائف الأولية التي تمت مواجهتها في نظرية الدوائر. سيكون تحويل لابلاس لهذه الوظيفة L () L () d d 3 L () 4 L () 5 L (sin) 9
4 3 6) (cos L 7) () sin (L L) (L 8) cos (L 9) (F d f f L! n d n n n L! n n n L m< n и знаменатель имеет только простые корни Тогда n n K K K B, где, n корни полинома B, стоящего в знаменателе изображения Коэффициенты K, K, K n могут быть найдены следующим
5 3 دعونا نحلل الصورة إلى كسور بسيطة ونضرب في: n n K K K K B لننتقل ثم يبقى K فقط على الجانب الأيمن: lim B K معروف: L لذلك "n B B L المهم هو الحالة الخاصة عندما يكون أحد جذور المقام يساوي صفرًا: B F في هذه الحالة ، سيكون لفك F إلى كسور بسيطة الشكل ، كما يلي من السابق ، "n B B B و B ليس لهما جذور عند الصفر
6 3 من هنا ، سيكون تحويل لابلاس العكسي للدالة F على الشكل: n B B B "L لنفكر في حالة أخرى عندما يكون كثير الحدود في المقام B له جذور متعددة. دع m< n и корень кратности l При разложении на простые дроби этому корню соответствует сумма: l l l K K K Обратное преобразование слагаемых этой суммы мы уже имели выше см п:! n n n L Таким образом, обратное преобразование суммы будет иметь вид: M, где M полином от степени l
7 بعض الخصائص العامة للدوائر دع الدائرة المعقدة تحتوي على فروع P وعقد Q ثم ، وفقًا لقوانين كيرشوف الأولى والثانية ، يمكن عمل معادلات P + Q للتيارات P في الفروع وإمكانات العقدة Q أحد الإمكانات العقدية Q يُفترض أن يكون صفرًا ولكن يمكن تقليل عدد المعادلات في Q ، إذا استخدمنا تيارات الحلقة كتيارات متناوبة. في هذه الحالة ، يتم استيفاء قانون كيرشوف الأول تلقائيًا ، نظرًا لأن كل تيار يدخل ويخرج من العقدة ، أي ، يعطي تيارًا إجماليًا يساوي صفرًا ، بالإضافة إلى ذلك ، يتم التعبير عن الإمكانات العقدية Q من حيث التيارات الحلقية. يتم رسمها مباشرة إذا أخذنا تيارات الدائرة على أنها مجهولة. ستكون الدوائر المستقلة على هذا النحو ، كل منها يحتوي على فرع واحد على الأقل لم يتم تضمينه في أي من الخطوط الأخرى. لقانون كيرشوف الثاني أ في الحالة العامة ، تكون مقاومة الفرع هي i R i C i L حيث i ، = ، n ، n هو عدد الدوائر المستقلة ، معادلات تيارات الدائرة هي: I n I n E ؛ أنا n أنا n E ؛ ni n I nn En i ، هنا E i هو مجموع كل emfs المضمنة في الدائرة الأولىتسمى المقاومات التي لها نفس المؤشرات ii بالمقاومات الجوهرية للدائرة i-th ، والمقاومات ذات المؤشرات المختلفة i هي مقاومات متبادلة أو مقاومات اتصال للدائرتين i و th. المقاومات ii هي مجموع المقاومة المضمنة في الدائرة i. المقاومة i جزء من المقاومة i-th 33 شكل مثال على أكفة مستقلة
8 ستبدو معادلة الدائرة m-th كما يلي: دائرة مضمنة أيضًا في الدائرة -th من الواضح أن المساواة i = i صالحة لدائرة سلبية ، دعونا نفكر في كيفية تغير معادلات تيارات الدائرة للدوائر النشطة التي تحتوي على الترانزستورات ، الشكل I i نقل المصطلح الثاني من الجانب الأيمن إلى الجانب الأيسر ، نقوم بتحويل هذه المعادلة على النحو التالي: mi أنا i mn I n Em من المجهول ، تُستخدم أيضًا الجهود العقدية ، محسوبة من إمكانات أحد العقد ، التي تؤخذ على أنها صفر بدلاً من مولدات EMF ، يتم استخدام مولدات التيار. Y والتي يمكن إعادة كتابتها على النحو التالي: حيث دائرة الشكل المكافئة للترانزستور في دائرة معقدة U YU U YnU U n I، Y U Y U Y nu n I ، Y Y Y Y n
9 نظام معادلات الكمون العقدية له الصيغة Y U YU Y nu n I؛ YU YU Y nu n I ؛ Yn U Yn U YnnU n حيث Y i هو توصيل توصيل العقد الأول والثاني: من الواضح أن Y i G i L i Yi Y i C يختفي هذا التناظر إذا كانت الدائرة تحتوي على ترانزستورات ومصابيح أو العناصر النشطة الأخرى ، الدائرة المكافئة التي تحتوي على مصادر تيار تابعة ، دعونا الآن ننظر في حلول معادلات الدائرة. حل نظام معادلات التيارات الحلقية له شكل للتيار -th: I ، حيث المحدد الرئيسي النظام ، نفس المحدد ، حيث يتم استبدال العمود -th بالقوى الدافعة الكهربائية من الأجزاء اليمنى E ، E ، E n افترض أن هناك EMF E واحدًا فقط في الدائرة ، مدرج في دائرة الإدخال ، والتي تم تعيينها الرقم الأول.يجب وضع المعادلات بحيث يمر تيار دارة واحد فقط عبر الفرع الذي يهمنا. دائرة الإدخال 35
10 تسمى النسبة E I مقاومة المدخلات. وعلى النقيض من ذلك ، تأخذ هذه المقاومة في الاعتبار تأثير جميع الدوائر. بالنسبة لدائرة الخرج الثانية ، سيكون لدينا I 36 E ، حيث المكمل الجبري المقابل.النسبة T I E تسمى التحويل المقاومة من الدائرة الأولى إلى الثانية. وبالمثل ، من معادلات الجهد العقدي ، يمكنك الحصول على موصلية الدخل الشكل. 5 الشكل 5 دائرة بمصدر تيار عند الإدخال "U I" I ، Y "Y" وموصلية الإرسال من العقدة الأولى إلى الثانية: U "I" I Y T، Y T "" حيث I هو التيار الموفر إلى العقدة الأولى ، الفولتية U و U ، التي تم الحصول عليها في العقد الأولى والثانية ، "المحدد الرئيسي لنظام المعادلات الجهد العقدي ، و "أنا هو المكمل الجبري المقابل بين و Y هناك علاقة Y بالنسبة لدائرة سلبية ، كان لدينا = لذلك ، المحدد الرئيسي للنظام متماثل. ويتبع ذلك و الإضافات الجبريةمتساوية: = لذلك ، مقاومة الإرسال متساوية أيضًا T = T هذه الخاصية تسمى خاصية المعاملة بالمثل.شرط المعاملة بالمثل ، كما نرى ، هو تناظر مصفوفة المقاومة. نفس EMF ، المتضمن في دائرة الإخراج ، سوف يتسبب في دائرة الإدخال ،
11 الحالي من نفس القيمة باختصار ، تتم صياغة هذه الخاصية أحيانًا على النحو التالي: يمكن تبديل EMF في دائرة الإدخال ومقياس التيار الكهربائي في دائرة الإخراج ، بينما لن تتغير قراءة مقياس التيار. 7 U E الشكل 7 معامل نقل الجهد ثم As 7: يتبع من الرسم التخطيطي في الشكل. 7 U U I n؛ ؛ K n E T E ؛ I T U n وبالمثل ، يمكن تحديد معامل التحويل الحالي I K I الشكل 8: I Hence I U Yн I؛ ص ؛ K n I YT I U Y T I الشكل. 8 نسبة التحويل الحالية Yn Y T T 37
12 3 مزيد من المعلومات حول الخصائص العامة لوظائف الدائرة وظائف الدائرة هي وظائف متغير يتم الحصول عليها من خلال حل المعادلات ، على سبيل المثال ، توصيل مقاومة المدخلات ، ونقل توصيل المقاومة ، إلخ. بالنسبة للدوائر ذات المعلمات المجمعة ، فإن أي وظيفة دارة منطقية فيما يتعلق بـ متغير وهو كسر m Ф B b n m n b m m n n 38 b b والمعاملات حقيقية وإلا ، يمكن تمثيلها كـ Ф b m n m ، "" حيث ، m ، "،" ، "n هي جذور المعادلات m b n m n b m n m، n b b Ф ذلك من الواضح أن وظيفتين عقلانيتين تتطابق أصفارهما وأقطابهما يمكن أن تختلف فقط عن طريق عوامل ثابتة. وبعبارة أخرى ، فإن طبيعة اعتماد معلمات الدائرة على التردد يتم تحديدها تمامًا بواسطة أصفار وأقطاب دالة الدائرة. نظرًا لأن العديد من الحدود لها المعاملات الحقيقية ، عند استبدالها بقيمة مترافقة * ، يكتسب كثير الحدود القيمة المرافقة * = * و B * = B * ويترتب على ذلك أنه إذا كان كثير الحدود im له جذر معقد ، ثم سيكون أيضًا جذرًا ، وبالتالي ، يمكن أن تكون الأصفار والأعمدة لوظيفة السلسلة إما حقيقية أو تشكل أزواجًا مترافقة معقدة. ن،
13 لكن F F F ، F F F بمقارنة هذه المساواة ، مع مراعاة المساواة المذكورة أعلاه ، نحصل على F F ، F F ، أي أن الجزء الحقيقي من وظيفة الدائرة هو دالة زوجية للتردد ، والوظيفة الفردية الخيالية للتردد هي المساواة التي تحدد التيار في مقاومة المدخلات الناتج عن الجهد U: U I B لنفترض أن U تكون خطوة وحدة ، ثم I ، B حيث و B هي كثيرة الحدود من استخدام صيغة التمدد ، يمكنك الحصول على i B B "حيث أصفار كثير الحدود B و لذلك ، أصفار دالة المقاومة والمحدد الرئيسي للأصفار: = إذا كان لصفر واحد على الأقل جزء حقيقي موجب ، فسأزيد إلى أجل غير مسمى
14 me يمكن استخلاص نفس النتيجة فيما يتعلق بمقاومة الإرسال T ، وموصلية الإدخال Y ، وموصلية النقل Y T التعريف تسمى وظيفة الدائرة مجدية ماديًا إذا كانت تتوافق مع دائرة تتكون من عناصر حقيقية ، ولم يكن لأي من التذبذبات الطبيعية تأثير السعة التي تزيد إلى أجل غير مسمى مع مرور الوقت تسمى الدائرة المحددة في التعريف مستقرة.يجب أن تقع أصفار المحدد الرئيسي لوظيفة دارة مستقرة مجدية ماديًا ، وبالتالي ، أصفار وظائف المقاومة والتوصيل ، في نصف المستوى الأيسر فقط من المتغير أو على محور التردد الحقيقي. إذا تزامن اثنان أو أكثر من الأصفار ، فإن الجذور المتعددة يكون للحلول المقابلة شكل: M ، حيث M هي كثيرة الحدود من الدرجة m ، m هي تعدد الجذر o المعامل إرسال البريد ، إذن كل ما سبق لا ينطبق على الأصفار ، ولكن على أقطاب وظيفة دائرة معامل النقل.في الواقع: n K أصفار T هي أقطاب الوظيفة K ، ومقاومة الحمل n سلبية ؛ من المؤكد أن أصفارها تكمن في المستوى الأيمن مما سبق أن وظائف السلسلة التي يمكن تحقيقها ماديًا لها الخصائص التالية: والأصفار والأعمدة لوظيفة السلسلة إما حقيقية أو أزواج مترافقة معقدة ؛ (ب) الأجزاء الحقيقية والخيالية لوظيفة الدائرة بترددات حقيقية ، على التوالي ، وظائف زوجية وفردية للتردد ؛ إلى أصفار المحدد الرئيسي ، وبالتالي ، لا يمكن أن تقع مقاومة التوصيل ومقاومة توصيل النقل في نصف المستوى الأيمن ، ولا توجد أصفار متعددة في نصف المستوى الأيمن ولا على محور التردد الحقيقي T 4
15 3 العابرين في مكبرات الصوت حل نظام معادلات الدائرة يعطي صورة لإشارة الخرج لمدخل معين U = KE يمكن إيجاد وظيفة الدائرة في المجال الزمني باستخدام تحويل لابلاس المعكوس u L (K E) Of الاهتمام الأكبر عملية الانتقالمع إشارة إدخال على شكل خطوة يسمى رد فعل النظام على خطوة واحدة بمعرفة وظيفة الانتقال وظيفة الانتقال، يمكنك العثور على استجابة النظام لإشارة إدخال ذات شكل تعسفي.صورة خطوة الوحدة لها الشكل ، وبالتالي ، فإن استجابة النظام لخطوة الوحدة هي: الكذب على يمين القطب = من الاهتمام الكبير هو التعريف 3: h r K d K r r K r d d r r
16 4 لننتقل إلى نهاية r ثم لدينا d K V K K d K V h استجابة الترددالكسب من هذه الصيغة ، يمكننا استخلاص بعض الاستنتاجات العامة دعنا نستبدل المتغير في h بـ: d K V K h لكن h ، على النحو التالي من مبدأ السببية ، حيث تظهر الإشارة في الجزء التخيلي: K = K + K r استبدال في التعبير بالنسبة إلى h ، نحصل على d K K V K r بالتفريق فيما يتعلق ، نحصل على d K K r أو cos sin sin cos d K K K K r r
17 الجزء التخيلي من التكامل هو دالة فردية للتردد ، لذا فإن تكامله يساوي صفرًا نظرًا لأن الجزء الحقيقي هو دالة زوجية للتردد ، فإن الشرط الذي يجب أن يفي به معامل النقل الممكن تحقيقه ماديًا هو من مبدأ السببية. يمكن إثبات أن النظام الذي يمكن كتابة معامل الإرسال الخاص به كنسبة متعددة الحدود K ، B مستقر بمعنى أن جميع أصفار كثيرة الحدود B تقع في نصف المستوى الأيسر ، وتفي بمبدأ السببية. للقيام بذلك ، نحن دراسة تكامل K h d لـ< и >دعنا نقدم كفافين مغلقين و B ، كما هو موضح في الشكل 3 الشكل 3 معالم التكامل: في< ; B при > 43
18 44 دعونا نفكر في دالة حيث يتم أخذ التكامل على طول محيط مغلق. نظرًا لنظرية كوشي المتكاملة ، فإن التكامل يساوي صفرًا ، نظرًا لأن التكامل والتكامل في نصف المستوى الأيمن يكون تحليليًا حسب الشرط. يمكن كتابة التكامل على النحو التالي مجموع التكاملات على أقسام منفصلة من كفاف التكامل: sin cos R r R r r R R d R R K r d r r K d K d K h< < /, то при < последний интеграл стремится к нулю при R т е h h при R Отсюда следует что h при < Рассмотрим функцию где интеграл берется по контуру B Здесь R вычеты подынтегральной функции относительно полюсов, лежащих в левой полуплоскости Аналогично предыдущему можно показать, что при >يحمل h B h لـ R وهكذا: R h ، لـ>
19 المتبقي فيما يتعلق بالقطب البسيط يساوي R B "الذي كان لدينا سابقًا K lim ، 45 lim B حيث RC دعنا نثبت أنه وفقًا لشرط السببية الموضح أعلاه ، يجب استيفاء المساواة. المساواة cos sin d cos د معروف. قم بتمييز الجزأين الأيمن والأيسر عن طريق: sin d ضرب الجزأين الأيمن والأيسر من هذه المساواة ، نحصل على: sin d الذي تتبع منه المساواة التي يجب إثباتها. وجود وظيفة الانتقال للنظام ، أنت يمكن أن تجد استجابتها لأي إشارة دخل. للقيام بذلك ، سنقوم بتمثيل إشارة الإدخال تقريبًا كمجموع خطوات الوحدة الشكل 34
20 الشكل 34 عرض تقديمي اشارة ادخاليمكن كتابة هذا التمثيل على النحو التالي: u u u التالي ، u u "ستكون الاستجابة لخطوة الوحدة مساوية لـ h لذلك ، يمكن تمثيل إشارة الخرج تقريبًا على النحو التالي: u u h u" h المرور إلى الحد عند ، بدلاً من المجموع ، نحصل التكامل u u h u "h d بالأجزاء ، يمكنك الحصول على شكل آخر من تكامل Duhamel: u u h u h" d وأخيرًا ، باستخدام تغيير المتغير = "، يمكنك الحصول على شكلين آخرين من تكامل Duhamel: u u h u" h d؛ u u h u h "d 46
21 4 بعض خصائص الدوائر ذات القطبين 4 الخصائص العامة لوظيفة مقاومة توصيل الدخل تتميز المحطتان تمامًا بوظيفة مقاومة توصيل الدخل.لا يمكن أن تحتوي هذه الوظيفة على أصفار في نصف المستوى الأيمن ، بالإضافة إلى أصفار متعددة على محور التردد الحقيقي منذ Y ، فإن أصفار Y تتوافق مع القطبين والعكس صحيح ، لذلك لا يمكن أن تحتوي وظيفة مقاومة توصيل الدخل أيضًا على أقطاب في نصف المستوى الأيمن وأقطاب متعددة على محور التردد الحقيقي شبكات ثنائية القطب سلبية ثابتة دائمًا ، نظرًا لأنها لا تحتوي على مصادر طاقة.تعبير مقاومة توصيل المدخلات هو: m b n m n b m n 47 m n b b تحمل المساواة التقاربية التالية: b m mn lizi = بالمثل ، يمكن إثبات أن أصغر الأسس للبسط والمقام لا يمكن أن تختلف بأكثر من واحد. المعنى المادي لهذه العبارات هو أنه عند الترددات العالية والمنخفضة جدًا ، يجب أن تتصرف الشبكة السلبية ذات الطرفين مثل السعة أو الحث أو المقاومة النشطة n ، 4 وظائف الطاقة لشبكة ذات طرفين لنفترض أن الشبكة ذات المطرافين هي عبارة عن دائرة معقدة تحتوي على مقاومات نشطة وسعات ومحثات.
إذا تم تطبيق جهد جيبي على المحطتين ، فإن بعض الطاقة يتم تبديدها في الشبكة ذات المحطتين ، حيث تميز القيمة المتوسطة التي تميز P تبديد الطاقة. يتم تخزين الطاقات الكهربائية والمغناطيسية في السعات والمحثات ، والقيم المتوسطة منها W E و W H. نحسب هذه الكميات باستخدام معادلات التيارات الحلقية مباشرة ، نكتب التعبيرات للكميات المذكورة أعلاه بالقياس مع أبسط الحالات. لذلك ، بالنسبة للمقاومة R ، متوسط القدرة التبديد هو P R I وبالمثل ، بالنسبة لدائرة تحتوي على عدة فروع ، متوسط القوةيمكن التعبير عنها بدلالة تيارات الحلقة: P i R i I i I متوسط الطاقة المخزنة في المحاثة هو W H L I I بالنسبة لدائرة معقدة ، يتم التعبير عن هذه القيمة من حيث التيارات الحلقية: W H 4 i L i I 4 I I C 48
23 بناءً على هذه العلاقة ، يمكننا كتابة تعبير لإجمالي متوسط الطاقة الكهربائية: W E 4 Ii I i Ci لنكتشف كيف ترتبط هذه الكميات بـ الفولتية الإدخالوللقيام بذلك ، نكتب معادلات تيارات الحلقة I R I L I E ؛ C I R i I Li I ؛ Ci اضرب كل من المعادلات بالتيار المقابل 49 Ii وأضف الكل Ii Ri I Ii Li I Ii EI i i Ci If R i = R i؛ L i = L i ؛ C i = C i ، أي أن الدائرة تفي بمبدأ المعاملة بالمثل ، ولا توجد عناصر نشطة ، إذن: i i i R I P؛ أنا L I I 4W ؛ وظائف i I i E i Ci H 4 W
24 تسمح لنا نظرية Tellagen بإيجاد تعبيرات للمقاومة والتوصيل Y من حيث وظائف الطاقة: E I E I I I I E Y E E 5 P WH W I P WH W E E هي صفر فقط إذا لم يكن هناك فقد طاقة في الدائرة. تتطلب ظروف الاستقرار ألا يكون لكل من Y أصفار و لا توجد أقطاب في نصف المستوى الأيمن.يعني عدم وجود أقطاب أن Y هي أيضًا وظائف تحليلية في نصف المستوى الأيمن في نظرية وظائف متغير معقد ، هناك نظرية مفادها أنه إذا كانت الوظيفة تحليلية في منطقة معينة ، فإن أجزائه الحقيقية والخيالية تصل إلى أصغر وأكبر قيمها عند حدود المنطقة. نظرًا لأن وظائف مقاومة الإدخال والتوصيل تكون تحليلية في نصف المستوى الأيمن ، فإن الجزء الحقيقي منها عند الحد تصل هذه المنطقة على محور التردد الحقيقي إلى أصغر قيمة ولكن على محور التردد الحقيقي ، يكون الجزء الحقيقي غير سالب ، لذلك فهو موجب في نصف المستوى الأيمن بأكمله. بالإضافة إلى ذلك ، تأخذ الوظائف و Y قيمًا حقيقية للقيم الحقيقية ، لأنها تمثل حاصل قسمة كثيرات الحدود مع معاملات حقيقية.تسمى الوظيفة التي تأخذ قيمًا حقيقية عند القيم الحقيقية ولها جزء حقيقي إيجابي في نصف المستوى الأيمن وظيفة حقيقية موجبة. مقاومة المدخلات ووظائف التوصيل هي وظائف حقيقية موجبة ، وكانت الوظيفة دالة حقيقية موجبة 3 الجزء التخيلي على محور التردد الحقيقي يساوي صفرًا إذا كانت الشبكة ثنائية الأطراف لا تحتوي على عناصر تفاعلية أو متوسط احتياطيات مغناطيسية و E E ؛
25 طاقات كهربائية في شبكة ذات طرفين هي نفسها ، وهذا يحدث بالرنين ؛ يسمى التردد الذي يحدث عنده تردد الطنين. وتجدر الإشارة إلى أنه عند اشتقاق علاقات الطاقة لـ و Y ، تم استخدام خاصية المعاملة بالمثل بشكل أساسي. غياب المصادر التابعة. بالنسبة للدوائر التي لا تفي بمبدأ المعاملة بالمثل وتحتوي على المصادر ، قد يتبين أن هذه الصيغة غير صحيحة. على سبيل المثال ، يوضح الشكل 4 مخططًا لدائرة طنين متسلسلة. دعنا نرى ما تعطيه صيغة الطاقة في هذه الحالة الأبسط. تبدد الطاقة في المقاومة R عندما يتدفق التيار I يساوي P I R متوسط احتياطيات الطاقات الكهربائية والمغناطيسية هي: W H L I C U؛ W E الجهد U عبر السعة عندما يتدفق التيار I هو ومن ثم W E I U C I C بالاستبدال في الطاقة في صيغة ، نحصل على L I I R I الشكل 4 سلسلة طنين I C R L C كما تتوقع لدائرة سلسلة
26 هنا E E C C S I S E R R RC RC C C دعنا ، S >> C بحيث يمكن إهمال المصطلح الأول بين الأقواس S هو منحدر المصباح ثم تكون مقاومة الإدخال بعد ذلك S I E RC E RC I S S RC Leq S S في دائرة المصدر التابعة تلتقط في الدائرة شبكة التحكممصباح إنزياح الطور المطلوب ، يمكنك الحصول على تحول طور استقرائي أو سعوي بين الجهد والتيار عند الإدخال ، وبالتالي ، الطبيعة الاستقرائية أو السعوية لترددات مقاومة الإدخال يمكن أن تكون مساوية للصفر بشكل متماثل لأي ترددات فقط إذا كانت جميعها لا تحتوي عناصر الدائرة على خسائر ، أي أنها تفاعلية بحتة ، ولكن حتى في حالة وجود خسائر ، يمكن أن يتلاشى الجزء الحقيقي من المقاومة أو الموصلية عند بعض الترددات 5
27 إذا لم تختف في أي مكان على المحور التخيلي ، فيمكن طرح قيمة ثابتة معينة من المقاومة أو وظيفة التوصيل دون انتهاك شروط الجدوى المادية بحيث يتلاشى الجزء الحقيقي ، الذي يظل غير سالب ، عند تردد معين منذ ذلك الحين لا تحتوي وظيفة مقاومة الموصلية على أقطاب في النصف الأيمن من المتغير ، أي أنها تحليلية في هذه المنطقة ، ثم يكون لجزءها الحقيقي قيمة دنيا عند حدودها ، أي على المحور التخيلي. لذلك ، طرح هذا الحد الأدنى تترك القيمة الجزء الحقيقي موجبًا في نصف المستوى الأيمن.مقاومة نشطة للتوصيل ، إذا اختفى جزءها الحقيقي على محور التردد الحقيقي ، بحيث يكون الانخفاض في هذا المكون مستحيلًا دون انتهاك شروط السلبية. نظرًا لأن الجزء الحقيقي من تختفي دائرة نشطة بالحد الأدنى ، وتصل في نفس الوقت إلى الحد الأدنى ، عندئذٍ يكون لصفر الجزء الحقيقي على محور التردد الحقيقي تعدد على الأقل مثال يوضح الشكل 43 أبسط الدوائر التي نحللها للحد الأدنى من مقاومة التوصيل النشط R C R C R L R C R C a b c d الشكل 43 الدوائر: الحد الأدنى من الموصلية النشطة أ ، المقاومة النشطة الدنيا ب ، c والنوع غير النشط بالحد الأدنى d في الشكل 43 ، أ ، تحتوي الدائرة على مقاومة إدخال من نوع غير نشط إلى الحد الأدنى ، لأن الجزء الحقيقي من المقاومة لا يتلاشى عند أي تردد حقيقي. يختفي الجزء الحقيقي من الموصلية عند التردد = لذلك ، فإن الدائرة عبارة عن دائرة ذات الحد الأدنى من التوصيل النشط في الشكل.
28 في الشكل 43 ، c عبارة عن دارة ذات مقاومة نشطة دنيا R = عند تردد الرنين لدائرة السلسلة في الشكل 43 ، d ، الدائرة غير نشطة بالحد الأدنى لاحظ أن الدائرة الحقيقية يمكن أن تكون قليلة أو غير دنيا نشطة ، اعتمادًا على درجة التقريب على سبيل المثال ، الدائرة في الدائرة الثالثة لها مقاومة محدودة عند تردد الرنين ، يمكن أن تكون الشبكات ذات المطرافين في ظل ظروف معينة غير مستقرة. ضع في اعتبارك الإمكانيات المتاحة هنا. تحتوي المقاومة على أصفار في اليمين نصف مستوى المتغير ، ولكن ليس له أقطاب هناك. ضع الحلول المتزايدة بشكل أسي ، أي ثنائي القطب Nick غير مستقر عند تشغيله من مصدر EMF ، أو ، على خلاف ذلك ، عند قصر الدائرة الطرفية ، أي محور التردد الحقيقي ، يكون هذا الحد الأدنى سالبًا ، لأنه بخلاف ذلك سيكون وظيفة حقيقية موجبة ولا يمكن أن تحتوي على أصفار في نصف المستوى الأيمن يمكن زيادة الحد الأدنى للجزء الحقيقي على محور التردد الحقيقي إلى الصفر عن طريق إضافة مقاومة حقيقية موجبة في هذه الحالة ، تصبح الوظيفة + R دالة حقيقية موجبة.لذلك ، فإن الشبكة ذات المطرافين مع إضافة المقاومة R سوف كن مستقرًا في حالة حدوث ماس كهربائي.
29 الموصلية Y لها أصفار في نصف المستوى الأيمن ، ولكن ليس لها أقطاب هناك.هذه هي الحالة المعاكسة للحالة السابقة ، لأنها تعني أن = / Y لها أقطاب في نصف المستوى الأيمن ، لكن ليس بها أصفار هناك. في هذه الحالة ، يتم التحقق من الاستقرار في الدائرة باستخدام مصدر حالي الشكل 45 ، أ إذا كان لدى Y أصفار في نصف المستوى الأيمن ، فإن الشبكة ذات المطرافين تكون غير مستقرة عند الخمول. علاوة على ذلك ، يمكن تطبيق المنطق أعلاه نظرًا لعدم وجود أقطاب Y في نصف المستوى الأيمن ، يمكن جعل الوظيفة Y وظيفة موجبة حقيقية عن طريق إضافة موصلية حقيقية موجبة G Gmin وبالتالي ، شبكة ذات طرفين ، حيث يكون للموصلية Y أصفار في يمكن جعل نصف المستوى الأيمن ، ولكن ليس له أقطاب هناك ، مستقرًا عن طريق إضافة موصلية حقيقية كبيرة بما فيه الكفاية.من مصدر الجهد 3 الوظيفة لها أصفار وأعمدة في نصف المستوى الأيمن في هذه الحالة ، من أجل يتطلب حل مشكلة الاستقرار اعتبارًا خاصًا. لذلك ، يمكننا استخلاص الاستنتاجات التالية: إذا كانت الشبكة النشطة ذات المحطتين مستقرة عند تشغيلها من مصدر حالي ، فإنها لا تحتوي على أعمدة في نصف المستوى الأيمن ، فيمكن أن تكون جعله مستقرًا عند تشغيله من مصدر جهد من خلال توصيل بعض مقاومة المواد الإيجابية في سلسلة ؛ إذا كانت الشبكة النشطة ذات المحطتين مستقرة عند تشغيلها من مصدر الجهد Y لا تحتوي على أقطاب في نصف المستوى الأيمن ، فيمكن جعلها مستقرة عند تشغيلها من مصدر حالي عن طريق توصيل موصلية حقيقية كبيرة بما فيه الكفاية بالتوازي. ضع في اعتبارك اتصالاً متوازيًا لمقاومة سالبة R بسعة C شكل 46 R C R C I 55 Y b G الشكل 45 شبكات ذات طرفين: a مع مصدر حالي ؛ ب مع إضافة الموصلية Y Y الشكل 46 شبكة ذات طرفين ذات مقاومة سلبية I
30 كما ترون ، لا تحتوي على أصفار في نصف المستوى الأيمن ، لذا فإن مثل هذه الدائرة تكون مستقرة عند تشغيلها بواسطة مصدر جهد لكنها غير مستقرة عند الخمول ، دعنا نضيف المحاثة L بالتسلسل ثم الشكل 47 الدائرة المكافئة للنفق الصمام الثنائي R R L LCR L RC RC تحتوي هذه الوظيفة على أصفار في نصف المستوى الأيمن: RC 4 RC LC لذلك ، تكون الدائرة غير مستقرة عند تشغيلها من مصدر جهد ولكن لها أيضًا قطب في نصف المستوى الأيمن. إنه مستقر بإضافة بعض المقاومة R في السلسلة الشكل 47 ثم R LCR RRC L R L R RC RC حالة الاستقرار هي عدم وجود أصفار للبسط في نصف المستوى الأيمن للقيام بذلك ، يجب أن تكون جميع معاملات ثلاثي الحدود في البسط موجبة : RR C L ؛ R R يمكن كتابة هاتين المتراجعتين على النحو التالي: L CR R R من الواضح أن مثل هذه التفاوتات ممكنة إذا كانت L L R أو R RC C R تحت الشرط R الدائرة في الشكل 47 مكافئة لدائرة الصمام الثنائي للنفق C. 56
الشكل 48 دعونا نجد شروط استقرار الدائرة في وضع الخمول. للقيام بذلك ، احسب الموصلية: Y R R C L 57 LC L R L o o th R أو R> R o عندما تتحقق عدم المساواة العكسية ، تتأثر التذبذبات الذاتية في دارة عند تردد دائرة الطنين.بعض الحدود دون انتهاك شروط السلبية ماديًا ، هذا التغيير في المكون الحقيقي بقيمة ثابتة يعني إضافة أو استبعاد المقاومة النشطة الحقيقية ، بشكل مثالي مستقل عن التردد. وظيفة المقاومة الموصلية بقيمة ثابتة غير مقبولة ، نظرًا لانتهاك شروط الجدوى الفيزيائية. ممكن في حالة وجود أعمدة لمقاومة التوصيل على محور التردد الحقيقي نظرًا لظروف الجدوى المادية ، يجب أن تكون هذه الأعمدة مترافقة بسيطة ومعقدة
32 دع المقاومة لها أقطاب عند الترددات ، ثم يمكننا التمييز بين الكسور البسيطة M N B B من السهل أن نرى أن علامة N N M M N r M B r 58 B * M ، M M ، والتي تتعارض مع شروط التحقيق المادي لذلك ، M r = N r = ثم M = N بالإضافة إلى ذلك ، يمكن إثبات أن M = N> في الواقع ، قمنا بتعيين = + ، ثم يأخذ الكسر القيمة M / ، والتي يجب أن تكون أكبر من الصفر ، حيث يجب أن يكون الكسر دالة موجبة حقيقية في نصف المستوى الأيمن لذا ، M = N> وبالتالي ، إذا كان لديه أعمدة مترافقة معقدة على محور التردد الحقيقي ، فيمكن تمثيله على النحو التالي: M M ، B ويفي بشروط الجدوى المادية ، إذا كانت راضية ، لا يوجد أقطاب في نصف المستوى الأيمن ، نظرًا لعدم وجود أقطاب هناك. لذلك ، فهي دالة تحليلية في نصف المستوى الأيمن. من ناحية أخرى ، يأخذ المصطلح الأول محاور التردد الحقيقي هي قيم خيالية بحتة ، لذلك ، ولها نفس الأجزاء الحقيقية على محور التردد الحقيقي.لا يؤثر اختيار المصطلح الأول على الجزء الحقيقي على محور التردد الحقيقي ، ويتبع ذلك أيضًا وظيفة إيجابية لـ r في نصف المستوى الأيمن
33 بالإضافة إلى ذلك ، تأخذ قيمًا حقيقية في نصف المستوى الأيمن بقيم حقيقية ، لذلك ، هي دالة موجبة حقيقية M للمقاومة دائرة طنين موازية بدون خسائر: L C C C ، L C LC مع LC و M C يمكن إجراء تفكير مماثل لوظيفة التوصيل Y ، التي لها أقطاب عند النقاط ±: M "Y ، Y M" حيث يكون التعبير هو موصلية دارة الطنين التسلسلية: Y C L L C L e تتوافق مع السعة أو المحاثة العبارة التالية صحيحة
34 اطرح منه مفاعلة التوصيل المقابلة للأقطاب الموجودة على محور التردد الحقيقي. تسمى مقاومة التوصيل ، التي يتم فيها إزالة جميع الأقطاب بهذه الطريقة ، مقاومة التوصيل من النوع التفاعلي الأدنى. أقطاب المقاومة والتوصيل في أي الترددات الحقيقية إن وجود مثل هذه الأقطاب يعني إمكانية وجود تذبذبات حرة فيها دون التخميد ولكن في كثير من الحالات ، مع التقريب الجيد ، يمكن إهمال الخسائر في العناصر التفاعلية.العناصر ذات الخسائر المنخفضة في هذه الحالة ، التأثير يمكن إهمال الخسائر في بعض الأحيان.من المهم معرفة خصائص الدوائر غير المفقودة ، وأيضًا معرفة الظروف التي يمكن إهمال الخسائر بموجبها افترض أن جميع عناصر الدائرة تفاعلية بحت من السهل إثبات أنه في هذه الحالة ، على محور الترددات الحقيقية ، تأخذ المقاومة والتوصيل Y قيمًا خيالية ، في الواقع ، في هذه الحالة ، فقدان القدرة هو صفر ، وبالتالي: W I 6 H WE W Y E WE ؛ نظرًا لأن الجزء التخيلي من المقاومة أو الموصلية هو دالة فردية للدائرة ، في هذه الحالة = لذلك ، وفي الحالة الأكثر عمومية = تتطلب شروط الجدوى الفيزيائية عدم وجود أصفار وأعمدة في النصف الأيمن- مستوي ولكن منذ = ، فلا ينبغي أن يكون هناك أيضًا أصفار وأعمدة في نصف المستوى الأيسر لذلك H
35 دالة و Y يمكن أن يكون لها أصفار وأقطاب فقط على محور التردد الحقيقي. وهذا أمر مفهوم فيزيائيًا ، لأنه في دارة بلا خسارة الاهتزازات الحرةلا تتحلل ويترتب على ذلك أنه باستخدام طريقة اختيار الأقطاب الواقعة على محور الترددات الحقيقية ، من الممكن تقليل الوظائف و Y إلى الشكل التالي: b n b n b Y الشكل 49 نموذج فوستر الأول وفقًا لذلك ، يمكن تمثيل Y على أنه الشكل -th Foster الشكل 4 الشكل 4 الشكل الثاني لفوستر ويمكن توضيح أن الأصفار والأقطاب على محور التردد الحقيقي يجب أن تتناوب في الواقع ، نظرًا لأن الأصفار والأقطاب على التردد الحقيقي يمكن أن يكون المحور بسيطًا فقط ، ثم بالقرب من الصفر يمكن تمثيل الوظيفة على أنها M o ، حيث o هي قيمة مرتبة أعلى من الصغر مقارنة بـ. بالقرب من نصف المستوى الأيمن ، يجب أن تكون القيمة الحقيقية موجبة ، وهذا هو ممكن فقط إذا كانت M حقيقية
36 القيمة ، و M> لذلك ، بالقرب من الصفر = لا يمكن أن يتغير المكون التخيلي إلا بمشتق موجب ، وتغيير العلامة من "+" علاوة على ذلك ، سيظهر أنه بالنسبة لدائرة تتكون من عناصر تفاعلية بحتة ، فإن المشتق المشار إليه هو موجب لأي ترددات.لذلك ، بين صفرين متجاورين يجب أن يكون هناك بالضرورة انقطاع ، والذي بالنسبة للدوائر التي تحتوي على عناصر مجمعة لا يمكن أن يكون سوى قطب.كل ما سبق ينطبق أيضًا على الموصلية Y تسمى الأصفار نقاط الرنين ، والأقطاب هي نقاط طنين مضادة لذلك يتناوب الرنين دائمًا مع الطنين المضاد للتوصيل Y ، تتوافق الرنين مع الأقطاب ، والرنين العكسي مع الأصفار.من السهل أن نرى أنه عند نقاط الرنين وعند نقاط الطنين المضاد ، فإن متوسط احتياطيات الطاقات الكهربائية والمغناطيسية يساوي كل منهما أخرى في الواقع ، عند نقاط الرنين = ، t e W H W E = الخسائر ، تحدث الصيغ التالية ، أعطي dx WH W d I db WH WE d E لننظر في تعريف المقاومة E I 6 E ؛ لنفترض أن E = سلبيات تميز فيما يتعلق بالتردد: d E di d I d افترض أن E قيمة حقيقية ، ثم بالنسبة لدائرة بلا خسارة ، فإنني قيمة خيالية بحتة في هذه الحالة d E d I di d I و
37 دعونا ننتقل الآن إلى نظام المعادلات للتيارات الحلقية n 4: I Li I Ei، i، n C بافتراض أن E فقط ، نضرب كل من المعادلات في ونضيف جميع المعادلات: i، i I di i Li I di i E di، i، C i، بعد ذلك ، ننتقل إلى العلاقة التي تم الحصول عليها أيضًا في الفقرة 4 للدوائر غير المفقودة: i، L i I I I i i، I C i i E i، Ci i، I di I L di I E di C C i i i i، i i، i، i di I di I L di I L di I n i i i i i i، i، Ci i، i، Ci E di E di ، حيث يفترض أن تكون E حقيقية. i 63
38 بالتعويض في المجموع الكلي ، نحصل على: d i، L i I I I I، I C i E e di E. وباختصار المصطلحات المتشابهة على اليسار واليمين ، نجد: di I Ii E di d Li I I I i، i، Ci E التعبير الموجود بين قوسين ، كما هو موجود في القسم 4 ، يساوي i ، L i I Ii ، Ii I C i 4 W H W E di E WE من هذه الصيغ ، يتبع ذلك مع زيادة التردد ، تفاعل وموصلية دائرة بحتة يمكن أن تزيد العناصر التفاعلية فقط 4 أخيرًا ، سنحاول معرفة كيف يؤثر وجود خسائر صغيرة على مقاومة دائرة مكونة من عناصر تفاعلية.عند إدخال الخسائر ، يظهر التوهين. سننظر في الخسائر الصغيرة التي تسبب توهينًا منخفضًا يرضي الحالة /<<, <, где = + -й полюс сопротивления Это означает, что полюсы и нули сопротивления смещаются с оси вещественных частот на малую величину затухания H E 64
39 يمكن أن يختلف التوهين باختلاف الأقطاب ، لذلك ، يُنصح بمراعاة سلوك دالة المقاومة بالقرب من أحد القطبين.يمكن عرض انزياح القطب بمقدار إلى اليسار عن طريق استبدال وظيفة المتغير بـ + ثم ، بالقرب من القطب ، سيكون لدينا
40 نظرًا لأننا مهتمون بالقيم الموجودة على محور التردد الحقيقي ، فيجب استبدالها بالقيم في البسط يمكن إهمالها ، صغيرة مقارنةً بالشرط: يمكن تحويل هذا التعبير على النحو التالي: ، Qx "حيث ؛ Q ؛ x ؛ تسمى القيمة x بالانفجار النسبي بالقرب من الرنين بالإضافة إلى ذلك ، لدينا: القيمة C x Q Q ؛ ؛ Q Q Q C C تسمى الممانعة المميزة لدائرة الطنين ، فكر في كيفية الأجزاء الحقيقية والخيالية للمقاومة بالقرب من الرنين تعتمد على التردد: Q Q x R؛ Im Q x Q x 66
41 بالقرب من الرنين ، تزداد Im ، ولكن عند الرنين تمر عبر الصفر بمشتق سالب.الجزء الحقيقي من R عند الرنين له حد أقصى من الرسوم البيانية لـ Im و R اعتمادًا على التردد. لاحظ أن R dx Q Q x dx ، أي لا يعتمد على عامل الجودة ، وبخلاف ذلك ، لا تعتمد المنطقة الواقعة تحت منحنى الرنين R على عامل الجودة مع زيادة عامل الجودة ، يتناقص عرض المنحنى ، ولكن يزداد الارتفاع ، بحيث تظل المنطقة قائمة Qx بدون تغيير >> ، يتناقص الجزء الحقيقي بسرعة ، والجزء التخيلي يساوي Im x 67 ، أي أنه يتغير بنفس الطريقة كما في حالة الدائرة غير المنقوصة
42 لذلك ، فإن الاعتماد على التردد عند إدخال خسائر صغيرة يتغير قليلاً عند الترددات البعيدة عن تردد الرنين بقيمة \ u003e \ u003e \ u003e \ u003e \ u003e \ u003e \ u003e \ u003e \ u003e بالقرب من التردد ، يتغير المسار بشكل كبير gq Y ، Qx g الموصلية المميزة ؛ يتوافق L x Zero مع قطب التوصيل Y بالقرب من الصفر ، وبالتالي ، يمكن تمثيل المقاومة على محور التردد الحقيقي على النحو التالي: Qx x ، Y gq Q حيث = / g وهكذا ، بالقرب من الصفر ، يؤثر إدخال خسائر صغيرة على المظهر من عنصر حقيقي صغير في المقاومة يختلف بالقرب من الصفر بنفس الطريقة كما كان من قبل 68
43 5 كوادريبول 5 المعادلات الأساسية للرباعي رباعي الأقطاب هو دائرة بها زوجان من المحطات: المدخل الذي يتصل به مصدر الإشارة ، والمخرج الذي يتصل به الحمل.مقاومة الإرسال في ظل هذه الظروف ، مقاومة يتم تضمين مصدر الإشارة n ومقاومة الحمل n في T. عندما يتغيران ، يتغير T أيضًا. من المستحسن أن يكون لديك معادلات ومعلمات تميز رباعي القطب نفسه.المعامل هو مقلوب ناقلية النقل عند الخمول على الخرج زوج من المشابك: 69 أنا ؛ الشكل 5 تشغيل رباعي الأقطاب I هنا ، U و U هما الفولتية عند طرفي الإدخال والإخراج ، I و I هي التيارات التي تتدفق عبر طرفي الإدخال والإخراج نحو رباعي القطب ، انظر الشكل 5. معاملات نظام المعادلات المتعلقة بالفولتية والتيارات لها معنى بسيط. بمعنى آخر ، هذه هي مقاومة الإدخال عند الخمول عند الخرج = x وبالمثل ، هذه هي مقاومة الإدخال من جانب أطراف الخرج عند الخمول عند الزوج الأول من المحطات = محطات الإدخال الحالية U و I Y T x Y T x
44 أنا يو ؛ Y Tx Y Tx YT x I U x I YT x I ، نظرًا لأن التيار في هذه الحالة موجه من رباعي القطب ، أي في الاتجاه المعاكس مقارنةً بالاتجاه المعتمد أعلاه ، مع استبدال U في المعادلة الثانية ، نحصل من حيث أنا ، أنا ن أنا x I YTx I Y x Tx بالتعويض عن I في المعادلة الأولى ، نحصل على U I x Y Tx n من هنا نجد مقاومة الإدخال في n x U x I Y. : T x n x 7
45 out х Y T х н х 5 المعلمات المميزة للرباعي إن الحالة التي يتم فيها مطابقة المولد والحمل في وقت واحد ذات أهمية كبيرة ، أي عندما n = c و n = c ، فإن العلاقة في = c و out = c تأخذ ضع بالتعويض عن التعابير الخاصة بـ in and out ، نحصل على المعادلات التي تسمح لنا بإيجاد c و c: c c x x Y T x Y T x 7 c c تم حل هذا النظام على النحو التالي من المعادلة الأولى التي نجدها: من أين c c x x؛ x، Y Tx c x x Y T x معادلة c من المعادلة الثانية ، لدينا x Y Tx x YTx x c x kz c x kz x
46 لاحظ أن kz و kz عبارة عن مقاومات دخل من جانب الزوجين الأول والثاني من المحطات ، على التوالي ، في حالة وجود دائرة قصر على الزوجين الآخرين من المحطات ، ويسمى الحمل الذي يساوي الممانعة المميزة c متطابقة. من رباعي الأقطاب المتصلة بهذه الطريقة ، يتم الاحتفاظ بالمطابقة في أي قسم. بصفتها المعلمة المميزة الثالثة للرباعي ، غالبًا ما يتم استخدام معامل النقل المميز g ln U U I ln rg I U I 7 U I عندما يكون الرباعي متصلاً بحمل مطابق ، أي الممانعة المميزة في هذه الحالة ، U c I ؛ U I c I c ln I c U c g ln U تحصل أيضًا على النسب: I g I؛ U c g U U U I I
47 يعتبر معامل النقل المميز مناسبًا لأنه مع اتصال متسلسل منسق لشبكات ذات أربعة أطراف ، يكون معامل النقل الناتج مساويًا لمجموع معاملات الإرسال للشبكات الفردية ذات المحطات الأربعة.يمكن العثور على معامل النقل المميز من العلاقات : تعتمد الممانعتان المميزتان c و c ، بشكل عام ، على التردد.لذلك ، فإن استخدام المعلمات المميزة ليس مناسبًا دائمًا لتمثيل مقاومة الإرسال T. وبالتالي ، لدراسة المعامل المميز g اعتمادًا على التردد ، فمن الضروري لتحميل الشكل الرباعي على الممانعة المميزة ، والتي تعتمد أيضًا على التردد. رباعي الأقطاب إلى حمل حقيقي ثابت R بمقاومة نشطة بحتة للمولد R الشكل .53 في هذه الحالة ، يتم تحديد الإرسال باستخدام معامل نقل التشغيل U I ln ، U أنا حيث U "وأنا" أي والتيار الذي يستطيع المولد تطويره على مقاومة مساوية للمقاومة الداخلية للمولد ، أي: E U ، I E ، R 73 E U I ، 4R U و I تحميل الجهد والتيار في هذه الحالة ، U \ u003d I R استبدال نحصل على معامل النقل العامل ln ومن هنا نحصل على 4R E R I ln E R R T I R R
48 قيمة دالة متغير معقد بالنسبة للترددات الحقيقية =: = + B ، حيث يكون التوهين التشغيلي B هو ثابت الطور المخصص للحمل R P mx E P I R 4R دعونا نوضح أن الوظيفة الإيجابية الحقيقية بالفعل ، حيث أن T لديها لا يوجد أصفار في نصف المستوى الأيمن ، تكون الوظيفة تحليلية في نصف المستوى الأيمن ، لذلك ، فإن الوظيفة التحليلية المتناسبة معها هي أيضًا تحليلية في نصف المستوى الأيمن. تحليلي المجال ، في هذه الحالة على محور التردد الحقيقي تصل القيمة المتبادلة إلى أصغر قيمة على هذا المحور بالنسبة لرباعي أقطاب سلبي على محور التردد الحقيقي ، لذلك R> في نصف المستوى الأيمن بالكامل إضافي T ln 4R R الوظيفة T هو حاصل قسمة معاملين حقيقيين ، و T يأخذ قيمة موجبة حقيقية القيم الإلكترونية الحقيقية لذلك ، فهي أيضًا حقيقية للقيم الحقيقية ، وبالتالي ، يمكننا أن نستنتج أن وظيفة إيجابية حقيقية
4.11. خصائص تحويل لابلاس. 1) المراسلات الفردية: s (S ˆ (2) الخطية لتحويل لابلاس: s ˆ () ˆ 1 (s2 (S1 S2 (وأيضًا 3) تحليل S ˆ (): إذا كان s (يرضي)
4 محاضرة 5 تحليل الدوائر الديناميكية خطة معادلات حالة الدوائر الكهربائية خوارزمية لتشكيل معادلات الحالة 3 أمثلة لتجميع معادلات الحالة 4 الاستنتاجات معادلات الحالة الكهربائية
4. خصائص تحويل لابلاس.) المراسلات الفردية: S ˆ () 2) الخطية لتحويل لابلاس: s (s () ˆ () ˆ 2 S S2 () ، وكذلك 3) تحليل S ˆ (): إذا استوفى الشرط
64 محاضرة 6 طريقة المشغل لتحليل الدوائر الكهربائية خطة تحويل لابلاس خصائص تحويل لابلاس 3 طريقة المشغل لتحليل الدوائر الكهربائية 4 تعريف الأصل من المعلوم
2.2. طريقة المشغل لحساب العمليات العابرة. المعلومات النظرية. غالبًا ما يكون حساب العمليات العابرة في الدوائر المعقدة بالطريقة الكلاسيكية صعبًا للعثور على ثوابت التكامل.
70 المحاضرة 7 وظائف المشغل للدوائر خطة إدخال المشغل ووظائف النقل أعمدة وأصفار وظائف الدوائر 3 الاستنتاجات وظائف إدخال ونقل المشغل تسمى وظيفة المشغل في الدائرة
التيار الجيبي "في راحة يدك" يتم توليد معظم الطاقة الكهربائية على شكل EMF ، والتي تختلف بمرور الوقت وفقًا لقانون الوظيفة التوافقية (الجيبية). مصادر EMF المتناسقة هي
4 خصائص تردد استجابة المحاضرة للدوائر الكهربائية الرنين وأهميته في الإلكترونيات الراديوية وظائف النقل المعقدة 3 خصائص التردد اللوغاريتمي 4 الاستنتاجات الرنين و
عمليات انتقالية "في راحة يدك". أنت تعرف بالفعل طرق حساب الدائرة التي تكون في حالة مستقرة ، أي في حالة حيث التيارات ، وكذلك انخفاض الجهد على العناصر الفردية ، لا تتغير بمرور الوقت.
رنين في راحة يدك. الرنين هو نمط شبكة ذات طرفين منفعلة تحتوي على عناصر حثية وسعوية ، يكون مفاعلتها فيها صفرًا. حالة الرنين
الاهتزازات الكهربائية القسرية. التيار المتردد ضع في اعتبارك التذبذبات الكهربائية التي تحدث عندما يكون هناك مولد في الدائرة ، تتغير القوة الدافعة الكهربائية لها بشكل دوري.
الفصل 3 المعلومات النظرية للتيار المتناوب يتم توليد معظم الطاقة الكهربائية على شكل EMF ، والتي تتغير بمرور الوقت وفقًا لقانون الوظيفة التوافقية (الجيبية)
محاضرة 3. الاستقطاعات. نظرية البقايا الرئيسية بقايا الوظيفة f () عند نقطة مفردة معزولة a هي رقم مركب يساوي قيمة التكامل f () 2 المأخوذ في الاتجاه الموجب i على طول الدائرة
التذبذبات الكهرومغناطيسية التيارات شبه الثابتة العمليات في الدائرة التذبذبية الدائرة المتذبذبة عبارة عن دائرة تتكون من مغو متصل في سلسلة ومكثف سعة C ومقاوم
1 5 التذبذبات الكهربائية 51 دائرة التذبذب في الفيزياء ، لا يُطلق على التذبذبات اسم الحركات الدورية للأجسام فحسب ، بل أيضًا أي عملية دورية أو شبه دورية تكون فيها قيم واحد أو أكثر
الدارات المنفعلة مقدمة تنظر المشكلات في حساب تردد الاتساع وتردد الطور والخصائص العابرة في الدوائر المنفعلة. لحساب هذه الخصائص ، عليك أن تعرف
دراسة التذبذبات الحرة والقسرية في دائرة تذبذبية التذبذبات الكهربائية الحرة في دائرة متذبذبة
المحاضرة 3 موضوع الأنظمة التذبذبية الدائرة التذبذبية المتتابعة. رنين الجهد الدائرة التذبذبية المتسلسلة عبارة عن دائرة يتم فيها توصيل ملف ومكثف في سلسلة.
جامعة موسكو Lomonosov جامعة موسكو الحكومية كلية الفيزياء قسم مختبر الفيزياء العامة ممارسة الفيزياء العامة (الكهرباء والمغناطيسية) كوزلوف
مواد للدراسة الذاتية في تخصص "نظرية الدوائر الكهربائية" لطلبة التخصصات: -6 4 ح "الإلكترونيات الصناعية" (جزء) ، -9 مع "النمذجة وتصميم الكمبيوتر"
طريقة السعة المعقدة تتسبب تقلبات الجهد التوافقي عند أطراف R أو العناصر في تدفق تيار متناسق من نفس التردد. تكامل التفاضل وإضافة وظائف
التذييل 4 التذبذبات الكهربائية القسرية التيار المتردد قد تكون المعلومات النظرية التالية مفيدة في التحضير للعمل المخبري 6 ، 7 ، 8 في المختبر "الكهرباء والمغناطيسية"
54 المحاضرة 5 التحويل الرباعي والطريقة الطيفية لتحليل الدوائر الكهربائية تخطيط أطياف الوظائف غير الدورية وتحويل فورييه بعض خصائص تحويل فورييه 3 الطريقة الطيفية
اختبار صدى الإجهاد (تابع) i iω K = K = ω = = ω => r + iω + r + i ω iω r + ω K = ω r + القاسم هو الحد الأدنى عند التردد ω 0 بحيث يكون ω0 = 0 => ω0 ω 0 = هذا التردد يسمى طنين
الفصل 2. طرق لحساب العمليات العابرة. 2.1. طريقة الحساب الكلاسيكية. المعلومات النظرية. في الفصل الأول ، تم النظر في طرق حساب الدائرة في حالة الاستقرار ، أي ،
Yastrebov NI KPI RTF قسم TOP wwwystrevkievu وظائف الدائرة
4.9 الاستجابة العابرة للدائرة وعلاقتها بالاستجابة النبضية. ضع في اعتبارك الوظيفة K j K j j> S j j K j S 2 افترض أن K jω بها تحويل فورييه h K j إذا كان هناك IC k K j ، إذن
المحاضرة 9 التحليل الخطي للمعادلات التفاضلية المعادلات التفاضلية الخطية ذات الرتب العليا المعادلات المتجانسة خصائص حلولها خصائص حلول المعادلات غير المتجانسة التعريف 9 الخطي
التطوير المنهجي حل المشكلات على الأعداد المركبة TFKP العمليات على الأعداد المركبة المستوى المركب يمكن تمثيل العدد المركب في الأسي الجبري والمثلثي
جدول المحتويات - المقدمة - القسم - الطريقة التقليدية لحساب العمليات العابرة - القسم - حساب العمليات العابرة في إطار إجراءات الإدخال التعسفي - باستخدام تكامل الإشراف 9 - أسئلة تدقيق - خروج 7
4 التذبذبات الكهرومغناطيسية والموجات الدائرة التذبذبية عبارة عن دائرة كهربائية تتكون من مكثفات وملفات يمكن فيها إجراء عملية تذبذبية لإعادة شحن المكثفات. هذه العملية
3.5 دائرة تذبذبية متوازية معقدة I دائرة فيها فرع واحد على الأقل يحتوي على تفاعل لكلتا العلامتين. لا يوجد اتصال مغناطيسي بين و. حالة الرنين
المحاضرة N38. سلوك دالة تحليلية عند اللانهاية. نقاط خاصة. مخلفات الوظيفة .. حي نقطة عند اللانهاية ..... توسع لوران في حي نقطة عند اللانهاية .... 3. السلوك
4 المحاضرة 3 خصائص التردد للدوائر الكهربائية وظائف النقل المعقدة استجابات التردد اللوغاريتمية 3 الخاتمة وظائف النقل المعقدة (استجابات التردد المعقدة)
تقلبات. المحاضرة 3 المولد لشرح مبدأ المولد ، دعونا نفكر أولاً في ما يحدث عندما يدور ملف مسطح من الأسلاك في مغناطيس منتظم
المعادلات التفاضلية المفاهيم العامة للمعادلات التفاضلية تطبيقات عديدة ومتنوعة للغاية في الميكانيكا والفيزياء وعلم الفلك والتكنولوجيا وفي فروع أخرى من الرياضيات العليا (على سبيل المثال ،
حساب مصدر التذبذبات التوافقية (HHC) تقديم الدائرة الأصلية لـ HHC فيما يتعلق بالملف الأولي للمحول بمصدر جهد مكافئ تحديد معلماته (EMF والداخلية
عمل 11 دراسة التذبذبات القسرية وظاهرة الرنين في الدائرة التذبذبية في دائرة تحتوي على مغو ومكثف ، يمكن أن تحدث التذبذبات الكهربائية. دراسات العمل
الموضوع 4 .. موضوع دارات التيار المتردد .. أسئلة الموضوع .. دارة التيار المتردد مع المحاثة .. دارة التيار المتردد ذات المحاثة والمقاومة النشطة. 3. دائرة التيار المتردد مع السعة. 4. دائرة التيار المتردد
4 تحليل محاضرة لخطة الدوائر المقاومة مهمة تحليل الدوائر الكهربائية قوانين كيرشوف أمثلة على تحليل الدوائر المقاومة 3 التحولات المكافئة لجزء من الدائرة 4 الاستنتاجات مهمة التحليل الكهربائي
الخيار 708 مصدر EDC الجيبي e (t) sin (ωt ψ) يعمل في الدائرة الكهربائية. مخطط الدائرة الموضح في الشكل .. القيمة الفعالة لـ EDC E للمصدر ، والمرحلة الأولية وقيمة معلمات الدائرة
البيانات الأولية R1 = 10 أوم R2 = 8 أوم R3 = 15 أوم R4 = 5 أوم R5 = 4 أوم R6 = 2 أوم E1 = 10 فولت E2 = 15 فولت E3 = 20 فولت قوانين كيرهوف (جهد التيار المستمر) 1. البحث عن العقد العقدة نقطة ، حيث يتم توصيل ثلاثة (أو أكثر) من الموصلات
تذبذب المحاضرة. الاهتزازات القسرية
اختبار رنين الجهد (تابع) سنفترض أن الجهد على قصيدة الدائرة هو الجهد على الدائرة التذبذبية بأكملها ، والجهد عند خرج الدائرة هو الجهد على المكثف ثم السعة
فصل الخريف من العام الدراسي الموضوع 3 التحليل التوافقي للإشارات غير الدورية تحولات فورييه المباشرة والمعكوسة الخصائص الطيفية للإشارة أطياف اتساع التردد وتردد الطور
المحاضرة 6. تصنيف نقاط السكون لنظام خطي من معادلتين ذات معاملات حقيقية ثابتة. ضع في اعتبارك نظامًا من معادلتين تفاضليتين خطيتين مع حقيقي ثابت
54 المحاضرة 5 تحويل فورييه والطريقة الطيفية لتحليل الدوائر الكهربائية تخطيط أطياف الوظائف غير الدورية وتحويل فورييه 2 بعض خصائص تحويل فورييه 3 الطريقة الطيفية
الموضوع: قوانين التيار المتردد يسمى التيار الكهربائي بالحركة المنظمة للجسيمات المشحونة أو الأجسام العيانية يسمى التيار المتغير ، والذي يغير قيمته بمرور الوقت
اختبار معاوقة المقاومة المعقدة أو المقاومة المعقدة بحكم التعريف تساوي نسبة الجهد المعقد إلى التيار المعقد: Z ɶ لاحظ أن الممانعة تساوي أيضًا النسبة
مقدمة العنوان. المفاهيم الأساسية ... 4 1. معادلات فولتيرا التكاملية ... 5 خيارات الواجب المنزلي ... 8 2. حل معادلة فولتيرا التكاملية. 10 خيارات الواجب المنزلي ... 11
تكاملات الفصل الثاني دالة مشتقة وخصائصها تسمى الدالة F () دالة مستمرة عكسية f () في الفترة a b إذا كانت F () f ()، a؛ ب (؛) على سبيل المثال ، للدالة f () ، المشتقات العكسية
الطريقة الكلاسيكية. الشكل 1 - الرسم التخطيطي الأولي لمعلمات الدائرة الكهربائية: E \ u003d 129 (V) w \ u003d 10000 (rad / s) R1 \ u003d 73 (Ohm) R2 \ u003d 29 (Ohm) R3 \ u003d 27 (أوم) ) L = 21 (mH) C = 0.97 (uF) مفاعلة الحث:
طرق حساب الدوائر الكهربائية الخطية المعقدة الأساس: القدرة على تكوين وحل أنظمة المعادلات الجبرية الخطية - مجمعة إما لدائرة تيار مستمر أو بعد الترميز
حدد التكامل. المجاميع التكاملية والتكامل المحدد دع الدالة y = f () محددة في المقطع [، b] ، أين< b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных
8 المحاضرة 7 وظائف مشغل الدوائر وظائف إدخال وتحويل المشغل أعمدة وأصفار وظائف الدوائر 3 الاستنتاجات وظائف إدخال ونقل المشغل وظيفة مشغل الدائرة هي علاقة
68 المحاضرة 7 العمليات العابرة في دوائر الترتيب الأول الخطة 1 العمليات العابرة في دوائر التحكم عن بعد من الدرجة الأولى 2 عمليات عابرة في الدوائر R من الدرجة الأولى 3 أمثلة على حساب العمليات العابرة في الدوائر
4 الدوائر الكهربائية الخطية للتيار الجيني المتردد وطرق حسابها 4.1 الآلات الكهربائية. مبدأ توليد الجيوب الأنفية الحالية 4.1.012. يسمى التيار الجيبي لحظية
الوكالة الفيدرالية للتعليم المؤسسة التعليمية الحكومية للتعليم المهني العالي "جامعة ولاية كوبان" كلية الفيزياء والتكنولوجيا قسم الإلكترونيات الضوئية
~ ~ FCF مشتق من دالة من متغير معقد FCF لشرط Cauchy-Riemann مفهوم انتظام تصوير FCF وشكل رقم مركب شكل FCF: حيث تكون الوظيفة الحقيقية لمتغيرين حقيقيين
هذا هو اسم نوع آخر من التحويل المتكامل ، والذي ، إلى جانب تحويل فورييه ، يستخدم على نطاق واسع في الهندسة الراديوية لحل مجموعة متنوعة من المشكلات المتعلقة بدراسة الإشارات.
مفهوم التردد المعقد.
تعتمد الطرق الطيفية ، كما هو معروف بالفعل ، على حقيقة أن الإشارة قيد الدراسة يتم تمثيلها كمجموع لعدد غير محدود من المصطلحات الأولية ، كل منها يتغير بشكل دوري بمرور الوقت وفقًا للقانون.
يكمن التعميم الطبيعي لهذا المبدأ في حقيقة أنه بدلاً من الإشارات الأسية المعقدة ذات الأسس الخيالية البحتة ، يتم تقديم الإشارات الأسية للنموذج في الاعتبار ، حيث يوجد رقم معقد: يسمى التردد المعقد.
يمكن استخدام اثنتين من هذه الإشارات المعقدة لتكوين إشارة حقيقية ، على سبيل المثال ، وفقًا للقاعدة التالية:
أين هي الكمية المرافقة المعقدة.
في الواقع ، بينما
اعتمادًا على اختيار الأجزاء الحقيقية والخيالية للتردد المعقد ، يمكن الحصول على إشارات حقيقية مختلفة. لذلك ، إذا ، ولكن التذبذبات التوافقية العادية للنموذج ، إذا كان الأمر كذلك ، اعتمادًا على العلامة ، يتم الحصول على التذبذبات الأسية المتزايدة أو المتناقصة. تكتسب هذه الإشارات شكلاً أكثر تعقيدًا عندما. هنا ، يصف المضاعف مغلفًا يتغير أسيًا بمرور الوقت. بعض الإشارات النموذجية موضحة في الشكل. 2.10.
تبين أن مفهوم التردد المعقد مفيد للغاية ، لأنه يجعل من الممكن ، دون اللجوء إلى الوظائف المعممة ، الحصول على تمثيلات طيفية للإشارات التي لا يمكن دمج نماذجها الرياضية.
أرز. 2.10. الإشارات الحقيقية المقابلة لقيم مختلفة للتردد المعقد
هناك اعتبار آخر ضروري أيضًا: تعمل الإشارات الأسية من النموذج (2.53) كوسيلة "طبيعية" لدراسة التذبذبات في الأنظمة الخطية المختلفة. سيتم استكشاف هذه الأسئلة في الفصل. ثمانية.
وتجدر الإشارة إلى أن التردد المادي الحقيقي هو الجزء التخيلي للتردد المعقد. لا يوجد مصطلح خاص للجزء الحقيقي o من التردد المركب.
النسب الأساسية.
دع - بعض الإشارات ، حقيقية أو معقدة ، محددة لـ t> 0 وتساوي الصفر للقيم السالبة للوقت. تحويل لابلاس لهذه الإشارة هو دالة للمتغير المعقد المعطى بواسطة التكامل:
تسمى الإشارة الأصلية ، وتسمى الوظيفة صورة لابلاس (باختصار ، مجرد صورة).
الشرط الذي يضمن وجود التكامل (2.54) هو كما يلي: يجب أن يكون للإشارة معدل نمو أسي على الأكثر من أجل أي يجب أن تفي بعدم المساواة حيث تكون الأرقام موجبة.
عندما يتم استيفاء هذه المتباينة ، توجد الوظيفة بمعنى أن التكامل (2.54) يتقارب تمامًا لجميع الأعداد المركبة التي يُطلق عليها الرقم أ حد التقارب المطلق.
يمكن تحديد المتغير في الصيغة الرئيسية (2.54) بالتردد المعقد بالفعل ، لتردد معقد وهمي بحت ، عندما تتحول الصيغة (2.54) إلى صيغة (2.16) ، والتي تحدد تحويل فورييه للإشارة ، وهو صفر عند وبالتالي ، يمكن اعتبار تحويل لابلاس
تمامًا كما يحدث في نظرية تحويل فورييه ، من الممكن ، بمعرفة الصورة ، استعادة الأصل. للقيام بذلك ، في صيغة تحويل فورييه المعكوس
يجب إجراء استمرار تحليلي بالتمرير من المتغير التخيلي إلى الحجة المعقدة أ على مستوى التردد المعقد ، يتم تنفيذ التكامل على طول محور عمودي ممتد بشكل غير محدود يقع على يمين الحد الفاصل للتقارب المطلق. منذ التفاضل ، تأخذ صيغة التحويل العكسي لابلاس الشكل
في نظرية وظائف المتغير المعقد ، ثبت أن صور لابلاس لها خصائص "جيدة" من وجهة نظر النعومة: مثل هذه الصور في جميع نقاط المستوى المعقد ، باستثناء مجموعة معدودة مما يسمى نقاط المفرد ، هي وظائف تحليلية. النقاط المفردة عادة ما تكون أعمدة ، مفردة أو متعددة. لذلك ، لحساب تكاملات النموذج (2.55) ، يمكن استخدام طرق مرنة لنظرية المخلفات.
من الناحية العملية ، تُستخدم جداول تحويل لابلاس على نطاق واسع ، والتي تجمع معلومات حول المراسلات بين الأصول. والصور. أدى وجود الجداول إلى جعل طريقة تحويل لابلاس شائعة في كل من الدراسات النظرية والحسابات الهندسية لأجهزة وأنظمة الهندسة الراديوية. يوجد في ملاحق مثل هذا الجدول ، والذي يسمح بحل مجموعة واسعة إلى حد ما من المشاكل.
أمثلة على حساب تحويلات لابلاس.
هناك العديد من أوجه التشابه في طرق حساب الصور مع ما تمت دراسته بالفعل فيما يتعلق بتحويل فورييه. دعونا ننظر في الحالات الأكثر شيوعًا.
مثال 2.4 ، صورة للزخم الأسي المعمم.
اسمحوا ، أين هو رقم مركب ثابت. وجود الدالة - يحدد المساواة عند استخدام الصيغة (2.54) ، لدينا
إذا اختفى البسط عند استبدال الحد الأعلى. نتيجة لذلك ، نحصل على المراسلات
كحالة خاصة من الصيغة (2.56) ، يمكن للمرء أن يجد صورة نبضة فيديو أسية حقيقية:
وإشارة أسية معقدة:
أخيرًا ، بوضع (2.57) ، نجد صورة وظيفة Heaviside:
مثال 2.5. صورة دالة دلتا.
تحويل لابلاس- التحويل المتكامل المتعلق بالوظيفة و (ث) (displaystyle F (s))متغير معقد ( صورة) مع الوظيفة و (س) (displaystyle f (x))متغير حقيقي ( أصلي). يتم استخدامه لاستكشاف الخصائص أنظمة ديناميكيةويقرر التفاضليهو معادلات متكاملة.
تتمثل إحدى ميزات تحويل لابلاس ، التي حددت مسبقًا استخدامه على نطاق واسع في الحسابات العلمية والهندسية ، في أن العديد من النسب والعمليات على النسخ الأصلية تتوافق مع نسب أبسط على صورها. وبالتالي ، فإن الالتفاف لوظيفتين في فضاء الصور يتم تقليله إلى عملية الضرب ، وتصبح المعادلات التفاضلية الخطية جبرية.
موسوعي يوتيوب
1 / 5
✪ تحويل لابلاس - bezbotvy
المحاضرة 10: تحويل لابلاس
الرياضيات العليا - 4. تحويلات لابلاس. الجزء الأول
طريقة لابلاس لمحلول دي
- المحاضرة 11: تطبيق تحويل لابلاس على حل المعادلات التفاضلية
ترجمات
تعريف
تحويل لابلاس المباشر
ليم ب → ∞ ∫ 0 ب | و (س) | ه - σ 0 س د س = ∫ 0 ∞ | و (س) | هـ - σ 0 س د س، (displaystyle lim _ (b to infty) int limits _ (0) ^ (b) | f (x) | e ^ (- sigma _ (0) x) ، dx = \ int \ limits _ (0) ^ (\ infty) | f (x) | e ^ (- \ sigma _ (0) x) \ ، dx ،)ثم تتقارب بشكل مطلق وموحد من أجل و- دالة تحليليةفي σ ⩾ σ 0 (displaystyle sigma geqslant sigma _ (0)) (σ = R. e ث (displaystyle sigma = mathrm (Re) ، s)- جزء حقيقي متغير معقد ث (displaystyle s)). الحد الأدنى بالضبط σ أ (displaystyle sigma _ (a))مجموعات من الأرقام σ (displaystyle sigma)، والتي بموجبها يتم استيفاء هذا الشرط ، يسمى الإحداثي السينيالتقارب المطلقتحويل لابلاس للوظيفة.
- شروط وجود تحويل لابلاس المباشر
تحويل لابلاس L (f (x)) (displaystyle (mathcal (L)) (f (x)))يوجد بمعنى التقارب المطلق في الحالات التالية:
- σ ⩾ 0 (displaystyle sigma geqslant 0): تحويل لابلاس موجود إذا كان التكامل موجودًا ∫ 0 ∞ | و (س) | د س (displaystyle int limits _ (0) ^ (infty) | f (x) | ، dx);
- σ> σ أ (displaystyle sigma> sigma _ (a)): تحويل لابلاس موجود إذا كان التكامل ∫ 0 × 1 | و (س) | د س (displaystyle int limits _ (0) ^ (x_ (1)) | f (x) | ، dx)موجود لكل محدود x 1> 0 (\ displaystyle x_ (1)> 0)و | و (س) | ⩽ البوتاسيوم ه σ أ س (displaystyle | f (x) | leqslant Ke ^ (sigma _ (a) x))إلى عن على x> x 2 ≥ 0 (displaystyle x> x_ (2) geqslant 0);
- σ> 0 (\ displaystyle \ sigma> 0)أو σ> σ أ (displaystyle sigma> sigma _ (a))(أي من الحدود أكبر): يوجد تحويل لابلاس إذا كان تحويل لابلاس موجودًا للوظيفة و ′ (س) (displaystyle f "(x)) (المشتقمن و (س) (displaystyle f (x))) إلى عن على σ> σ أ (displaystyle sigma> sigma _ (a)).
ملحوظة
- شروط وجود تحويل لابلاس المعكوس
لوجود تحويل لابلاس معكوس ، يكفي استيفاء الشروط التالية:
- إذا كانت الصورة و (ث) (displaystyle F (s)) - دالة تحليليةإلى عن على σ ≥ σ أ (displaystyle sigma geqslant sigma _ (a))وله ترتيب أقل من 1 ، فإن التحويل العكسي له موجود ومستمر لجميع قيم الوسيطة ، و L - 1 (F (s)) = 0 (displaystyle (mathcal (L)) ^ (- 1) (F (s)) = 0)إلى عن على تي ⩽ 0 (displaystyle t leqslant 0).
- يترك F (s) = φ [F 1 (s)، F 2 (s)، ...، F n (s)] (displaystyle F (s) = varphi)، لذا φ (z 1، z 2، ...، z n) (displaystyle varphi (z_ (1)، \؛ z_ (2)، \؛ ldots،؛ z_ (n)))تحليلي فيما يتعلق بكل منها ض ك (displaystyle z_ (k))ويساوي صفرًا لـ ض 1 = ض 2 = ... = ض n = 0 (displaystyle z_ (1) = z_ (2) = ldots = z_ (n) = 0)، و و ك (ث) = L (و ك (س)) (σ> σ أ ك: ك = 1، 2، ...، n) (displaystyle F_ (k) (s) = (mathcal (L)) (f_ (ك) (س) \) \ ؛ \ ؛ (\ سيغما> \ سيجما _ (ak) \ القولون ك = 1 ، \ ؛ 2 ، \ ؛ \ ldots ، \ ؛ n))، فإن التحويل العكسي موجود والتحويل المباشر المقابل له حدود التقارب المطلق.
ملحوظة: هذه شروط كافية للوجود.
- نظرية الالتواء
المقال الرئيسي: نظرية الالتواء
- التمايز والتكامل الأصلي
وفقًا لابلاس ، فإن المشتق الأول من الأصل فيما يتعلق بالحجة هو ناتج الصورة وحجة الأخير مطروحًا منها الأصل عند الصفر على اليمين:
L (f ′ (x)) = s ⋅ F (s) - f (0 +). (displaystyle (mathcal (L)) (f "(x)) = s cdot F (s) -f (0 ^ (+)).)نظريات القيمة الأولية والنهائية (مبرهنات التحديد):
و (∞) = lim s → 0 ث F (ث) (displaystyle f (infty) = lim _ (s to 0) sF (s))، إذا كانت جميع أقطاب الوظيفة ث و (ث) (displaystyle sF (s))تقع في النصف الأيسر من المستوى.نظرية القيمة المحدودة مفيدة للغاية لأنها تصف سلوك الأصل عند اللانهاية بعلاقة بسيطة. هذا ، على سبيل المثال ، يستخدم للتحليل الاستدامةمسارات نظام ديناميكي.
- خصائص أخرى
الخطية:
L (a f (x) + b g (x)) = a F (s) + b G (s). (displaystyle (mathcal (L)) (af (x) + bg (x)) = aF (s) + bG (s).)اضرب بالرقم:
L (f (a x)) = 1 a F (s a). (displaystyle (mathcal (L)) (f (ax)) = (frac (1) (a)) F left ((frac (s) (a)) right).)تحويل لابلاس المباشر والمعكوس لبعض الوظائف
يوجد أدناه جدول تحويل لابلاس لبعض الوظائف.
| № | دور | المجال الزمني س (t) = L - 1 (X (s)) (displaystyle x (t) = (mathcal (L)) ^ (- 1) (X (s))) |
مجال التردد X (s) = L (x (t)) (displaystyle X (s) = (mathcal (L)) (x (t))) |
منطقة التقارب إلى عن على سببيالأنظمة |
|---|---|---|---|---|
| 1 | تأخر مثالي | δ (t - τ) (displaystyle delta (t- tau)) | هـ - τ الصورة (displaystyle e ^ (- tau s)) | |
| 1 أ | نبضة واحدة | δ (t) (displaystyle delta (t)) | 1 (displaystyle 1) | ∀ ث (displaystyle forall s) |
| 2 | بطئ n (displaystyle n) | (ر - τ) ن ن! ه - α (t - τ) ⋅ H (t - τ) (displaystyle (frac ((t- tau) ^ (n)) (n}e^{-\alpha (t-\tau)}\cdot H(t-\tau)} !} | ه - τ ث (ث + α) n + 1 (displaystyle (frac (e ^ (- tau s)) ((s + alpha) ^ (n + 1)))) | ث> 0 (displaystyle s> 0) |
| 2 أ | قوة n (displaystyle n)الترتيب | ر ن ن! ⋅ H (t) (displaystyle (frac (t ^ (n)) (n}\cdot H(t)} !} | 1 ث n + 1 (displaystyle (frac (1) (s ^ (n + 1)))) | ث> 0 (displaystyle s> 0) |
| 2 أ -1 | قوة ف (displaystyle q)الترتيب | t q Γ (q + 1) ⋅ H (t) (displaystyle (frac (t ^ (q)) (Gamma (q + 1))) cdot H (t)) | 1 ث س + 1 (displaystyle (frac (1) (s ^ (q + 1)))) | ث> 0 (displaystyle s> 0) |
| 2 أ. 2 | وظيفة واحدة | H (t) (displaystyle H (t)) | 1 ث (displaystyle (frac (1) (s))) | ث> 0 (displaystyle s> 0) |
| 2 ب | وظيفة واحدة مع تأخير | H (t - τ) (displaystyle H (t- tau)) | هـ - τ ث (displaystyle (frac (e ^ (- tau s)) (s))) | ث> 0 (displaystyle s> 0) |
| 2 ج | "خطوة سرعة" | t ⋅ H (t) (displaystyle t cdot H (t)) | 1 ث 2 (displaystyle (frac (1) (s ^ (2)))) | ث> 0 (displaystyle s> 0) |
| 2 د | n (displaystyle n)من الدرجة الثالثة مع تحول التردد | ر ن ن! هـ - α t ⋅ H (t) (\ displaystyle (\ frac (t ^ (n)) (n}e^{-\alpha t}\cdot H(t)} !} | 1 (ث + α) n + 1 (displaystyle (frac (1) ((s + alpha) ^ (n + 1)))) | ق> −α (displaystyle s> - alpha) |
| 2 د .1 | تسوس الأسي | هـ - α t ⋅ H (t) (displaystyle e ^ (- alpha t) cdot H (t)) | 1 ث + α (displaystyle (frac (1) (s + alpha))) | الصورة> - α (displaystyle s> - alpha) |
| 3 | التقريب الأسي | (1 - e - α t) ⋅ H (t) (displaystyle (1-e ^ (- alpha t)) cdot H (t)) | α ث (ث + α) (displaystyle (frac (alpha) (s (s + alpha)))) | ث> 0 (displaystyle s> 0) |
| 4 | التجويف | الخطيئة (ω t) ⋅ H (t) (displaystyle sin (omega t) cdot H (t)) | ω ث 2 + ω 2 (displaystyle (frac (omega) (s ^ (2) + omega ^ (2)))) | ث> 0 (displaystyle s> 0) |
| 5 | جيب التمام | كوس (ω t) ⋅ H (t) (displaystyle cos (omega t) cdot H (t)) | ث ث 2 + ω 2 (displaystyle (frac (s) (s ^ (2) + omega ^ (2)))) | ث> 0 (displaystyle s> 0) |
| 6 | الجيب الزائدي | ث ح (α t) ⋅ H (t) (displaystyle mathrm (sh) ، (alpha t) cdot H (t)) | α s 2 - α 2 (displaystyle (frac (alpha) (s ^ (2) - alpha ^ (2)))) | ق> | α | (displaystyle s> | alpha |) |
| 7 | جيب التمام الزائدي | ج ح (α t) ⋅ H (t) (displaystyle mathrm (ch) ، (alpha t) cdot H (t)) | ث ث 2 - α 2 (displaystyle (frac (s) (s ^ (2) - alpha ^ (2)))) | ق> | α | (displaystyle s> | alpha |) |
| 8 | تتلاشى أضعافا مضاعفة التجويف |
هـ - α t sin (ω t) ⋅ H (t) (displaystyle e ^ (- alpha t) sin (omega t) cdot H (t)) | ω (ث + α) 2 + ω 2 (displaystyle (frac (omega) ((s + alpha) ^ (2) + omega ^ (2)))) | الصورة> - α (displaystyle s> - alpha) |
| 9 | تتلاشى أضعافا مضاعفة جيب التمام |
هـ - α t cos (ω t) ⋅ H (t) (displaystyle e ^ (- alpha t) cos (omega t) cdot H (t)) | s + α (s + α) 2 + ω 2 (displaystyle (frac (s + alpha) ((s + alpha) ^ (2) + omega ^ (2)))) | الصورة> - α (displaystyle s> - alpha) |
| 10 | جذر n (displaystyle n)الترتيب | t n ⋅ H (t) (displaystyle (sqrt [(n)] (t)) cdot H (t)) | ث - (n + 1) / n ⋅ Γ (1 + 1 n) (displaystyle s ^ (- (n + 1) / n) cdot Gamma left (1 + (frac (1) (n) )\حقا)) | ث> 0 (displaystyle s> 0) |
| 11 | اللوغاريتم الطبيعي | ln (t t 0) ⋅ H (t) (displaystyle ln left ((frac (t) (t_ (0))) right) cdot H (t)) | - t 0 ث [ln (t 0 ث) + γ] (displaystyle - (frac (t_ (0)) (s)) [ln (t_ (0) s) + gamma]) | ث> 0 (displaystyle s> 0) |
| 12 | دالة بيسل النوع الأول ترتيب n (displaystyle n) |
J n (ω t) ⋅ H (t) (displaystyle J_ (n) (omega t) cdot H (t)) | ω n (s + s 2 + ω 2) - n s 2 + ω 2 (\ displaystyle (\ frac (\ omega ^ (n) \ left (s + (\ sqrt (s ^ (2) + omega ^ (2)) )) \ right) ^ (- n)) (\ sqrt (s ^ (2) + \ omega ^ (2))))) | ث> 0 (displaystyle s> 0) (n> - 1) (displaystyle (n> -1)) |
| 13 | النوع الأول ترتيب n (displaystyle n) |
أنا n (ω t) ⋅ H (t) (displaystyle I_ (n) (omega t) cdot H (t)) | ω n (s + s 2 - ω 2) - n s 2 - ω 2 (\ displaystyle (\ frac (\ omega ^ (n) \ left (s + (\ sqrt (s ^ (2) - omega ^ (2)) )) \ right) ^ (- n)) (\ sqrt (s ^ (2) - \ omega ^ (2))))) | ق> | ω | (displaystyle s> | omega |) |
| 14 | دالة بيسل النوع الثاني طلب صفر |
Y 0 (α t) ⋅ H (t) (displaystyle Y_ (0) (alpha t) cdot H (t)) | - 2 a r s h (s / α) π s 2 + α 2 (\ displaystyle - (\ frac (2 \ mathrm (arsh) (s / alpha)) (\ pi (\ sqrt (s ^ (2) + alpha ^ (2)))))) | ث> 0 (displaystyle s> 0) |
| 15 | تعديل دالة بيسل النوع الثاني طلب صفر |
البوتاسيوم 0 (α t) ⋅ H (t) (displaystyle K_ (0) (alpha t) cdot H (t)) | ||
| 16 | وظيفة الخطأ | ه r و (t) ⋅ H (t) (displaystyle mathrm (erf) (t) cdot H (t)) | ه ث 2/4. ص و ج (ق / 2) ث (displaystyle (frac (e ^ (s ^ (2) / 4) mathrm (erfc) (s / 2)) (s))) | ث> 0 (displaystyle s> 0) |
ملاحظات الجدول:
| ||||
جار التحميل...