مشغلي التصميم. العوامل الخطية في الفضاء الإقليدي أوجد مصفوفة عوامل الإسقاط على المستوى

مصفوفة المشغل الخطية

اسمحوا أن يكون عامل خطي، والمسافات على حد سواء محدودة الأبعاد و.

دعونا نضع قواعد تعسفية: في و الخامس .

لنقم بتعيين المهمة: بالنسبة لمتجه عشوائي، قم بحساب إحداثيات المتجه في الأساس.

من خلال إدخال مصفوفة متجهة صفية تتكون من صور المتجهات الأساسية، نحصل على:

لاحظ أن المساواة الأخيرة في هذه السلسلة تحدث على وجه التحديد بسبب خطية العامل.

دعونا نوسع نظام المتجهات حسب الأساس:

,

حيث العمود العاشر للمصفوفة هو عمود إحداثيات المتجهات في الأساس.

وأخيرا سيكون لدينا:

لذا، من أجل حساب عمود إحداثيات المتجهات في الأساس المحدد للمساحة الثانية، يكفي ضرب عمود إحداثيات المتجهات في الأساس المحدد للمساحة الأولى على اليسار بمصفوفة مكونة من أعمدة إحداثيات الصور من المتجهات الأساسية للمساحة الأولى في أساس المساحة الثانية.

المصفوفة تسمى مصفوفة عامل خطي في زوج معين من القواعد.

نحن نتفق على الإشارة إلى مصفوفة العامل الخطي بنفس حرف العامل نفسه، ولكن بدون مائل. في بعض الأحيان سوف نستخدم الترميز التالي: ، غالبًا ما يتم حذف الإشارات إلى القواعد (إذا كان هذا لا يضر بالدقة).

للتحول الخطي (أي متى ) يمكننا أن نتحدث عنه المصفوفة على هذا الأساس.

على سبيل المثال، فكر في مصفوفة عامل الإسقاط من المثال الوارد في الفقرة 1.7 (معتبراً أنها تحويل لمساحة المتجهات الهندسية). كأساس، نختار الأساس المعتاد.

وبالتالي، فإن مصفوفة مشغل الإسقاط على المستوى الموجود في القاعدة لها الشكل:

لاحظ أنه إذا اعتبرنا مشغل الإسقاط بمثابة رسم خريطة، وفهم الأخير لمساحة جميع المتجهات الهندسية الموجودة في المستوى، فعندئذ، مع أخذ الأساس كأساس، سنحصل على المصفوفة التالية:

بالنظر إلى مصفوفة حجم عشوائية كعامل خطي يرسم مساحة حسابية في مساحة حسابية، واختيار أساس قانوني في كل من هذه المساحات، نحصل على أن مصفوفة عامل خطي معين في مثل هذا الزوج من القواعد هي المصفوفة نفسها الذي يحدد هذا العامل - أي في هذه الحالة، المصفوفة والعامل الخطي هما نفس الشيء (تمامًا كما هو الحال عند اختيار أساس قانوني في مساحة متجه حسابية، يمكن للمتجه وعمود إحداثياته ​​في هذا الأساس الكشف عن هويته). ولكن سيكون من الخطأ الجسيم تحديد ذلك ناقلات على هذا النحوو المشغل الخطي كما هذهمع تمثيلها على أساس أو آخر (في شكل عمود أو مصفوفة). كل من المتجه والمشغل الخطي كائنات هندسية ثابتة, يتم تحديدها بشكل مستقل عن أي أساس. لذلك، عندما نرسم، على سبيل المثال، متجهًا هندسيًا كقطعة موجهة، يتم تعريفه بشكل ثابت تمامًا، أي. عندما نرسمه، لا نهتم بالقواعد وأنظمة الإحداثيات وما إلى ذلك، ويمكننا العمل به هندسيًا بحتًا. شيء آخر هو ذلك للراحةفي هذه العملية، لتسهيل العمليات الحسابية مع المتجهات، نقوم ببناء جهاز جبري معين، وإدخال أنظمة الإحداثيات والقواعد والتقنية الجبرية البحتة المرتبطة بالحسابات باستخدام المتجهات. من الناحية المجازية، فإن المتجه، مثل كائن هندسي "عاري"، "يلبس" تمثيلات إحداثية مختلفة اعتمادًا على اختيار الأساس. لكن يمكن لأي شخص أن يرتدي الفستان الأكثر تنوعًا، وهو ما لا يغير جوهره كشخص، ولكن من الصحيح أيضًا أنه ليس كل فستان مناسبًا لموقف معين (لا يمكنك الذهاب إلى الشاطئ مرتديًا معطفًا موسيقيًا) ، وليس عاريا في كل مكان كما أنك ستتمشى. لذلك، لحل هذه المشكلة، ليس أي أساس مناسب، تماما كما قد يكون الحل الهندسي البحت معقدا للغاية. سنرى في دورتنا كيفية حل مشكلة تبدو هندسية بحتة مثل تصنيف الأسطح من الدرجة الثانية، حيث يتم بناء نظرية جبرية معقدة وجميلة إلى حد ما.

إن فهم الفرق بين الجسم الهندسي وتمثيله على أساس معين يشكل الأساس لإدراك الجبر الخطي. وليس من الضروري أن يكون الجسم الهندسي متجهًا هندسيًا. لذا، إذا حددنا متجهًا حسابيًا ، ثم يمكن التعرف عليها بعمود إحداثياتها على الأساس المتعارف عليه ، ل (انظر الفصل الدراسي الأول):

لكن دعونا نقدم أساسًا آخر في ، يتكون من المتجهات و (تأكد من أن هذا أساس بالفعل!) وباستخدام مصفوفة الانتقال، قم بإعادة حساب إحداثيات المتجه:

لقد حصلنا على عمود مختلف تمامًا، لكنه يمثل نفس المتجه الحسابي ولكن على أساس مختلف.

ما قيل عن المتجهات ينطبق أيضًا على العوامل الخطية. ما هو تمثيل الإحداثيات للمتجه، وما هو مصفوفته بالنسبة للمشغل الخطي.

لذلك (سنقولها مرة أخرى)، من الضروري التمييز بوضوح بين الكائنات الثابتة والهندسية نفسها، وما هو المتجه والمشغل الخطي، و تمثيلهم على أساس واحد أو آخر (نحن نتحدث بالطبع عن المساحات الخطية ذات الأبعاد المحدودة).

دعونا الآن نتعامل مع مشكلة تحويل مصفوفة العامل الخطي عند المرور من زوج من القواعد إلى آخر.

يترك - زوج جديد من القواعد في و، على التوالي.

ثم (يشير إلى مصفوفة العامل في زوج من القواعد "المفقسة") نحصل على:

ولكن بطريقة أخرى،

,

من حيث، وذلك بسبب تفرد توسيع المتجه في الأساس

,

بالنسبة للتحويل الخطي، تأخذ الصيغة شكلا أبسط:

تسمى المصفوفات والمتصلة بهذه العلاقة مشابه.

ومن السهل أن نرى أن محددات هذه المصفوفات متطابقة.

دعونا الآن نقدم هذا المفهوم رتبة المشغل الخطي.

بحكم التعريف، هذا رقم يساوي بُعد صورة عامل معين:

ولنثبت العبارة المهمة التالية:

البيان 1.10تتطابق رتبة المؤثر الخطي مع رتبة مصفوفته، بغض النظر عن اختيار القواعد.

دليل. بداية، نلاحظ أن صورة المؤثر الخطي هي المدى الخطي للنظام، حيث يكون الأساس في الفضاء.

حقًا،

ومهما كانت الأرقام فهذا يعني أنها المدى الخطي المحدد.

إن بُعد الغلاف الخطي، كما نعلم (انظر القسم 1.2)، يتطابق مع رتبة نظام المتجهات المقابل.

لقد أثبتنا سابقًا (القسم 1.3) أنه إذا تم تحليل نظام من المتجهات على أساس ما في الشكل

ومن ثم، بشرط أن يكون النظام مستقلاً، تكون أعمدة المصفوفة مستقلة خطيًا. ويمكن أيضًا إثبات بيان أقوى (نحذف هذا الدليل): رتبة النظام تساوي رتبة المصفوفة، علاوة على ذلك، فإن هذه النتيجة لا تعتمد على اختيار الأساس، حيث أن ضرب المصفوفة بمصفوفة انتقالية غير مفردة لا يغير رتبتها.

بسبب ال

,

وبما أنه من الواضح أن صفوف المصفوفات المتشابهة تتطابق، فإن هذه النتيجة لا تعتمد على اختيار أساس محدد.

وقد ثبت البيان.

للخطية تحويللبعض الفضاء الخطي محدود الأبعاد يمكننا تقديم هذا المفهوم المحدد لهذا تحويلكمحدد لمصفوفتها على أساس ثابت بشكل تعسفي، نظرًا لأن مصفوفات التحويل الخطي في أسس مختلفة متشابهة، وبالتالي لها نفس المحددات.

باستخدام مفهوم مصفوفة المؤثر الخطي، نثبت العلاقة المهمة التالية: لأي تحويل خطي لمساحة خطية ذات أبعاد

دعونا نختار أساسًا تعسفيًا في الفضاء. ثم تتكون النواة من تلك المتجهات فقط التي تكون أعمدتها الإحداثية عبارة عن حلول للنظام المتجانس

أي المتجه إذا وفقط إذا كان العمود هو الحل للنظام (1).

وبعبارة أخرى، هناك تماثل للنواة على مساحة الحل للنظام (1). وبالتالي فإن أبعاد هذه المساحات متطابقة. لكن بعد فضاء الحل للنظام (1) متساوي كما نعلم، أين رتبة المصفوفة. لكننا أثبتنا ذلك للتو

دع المشغل الخطي أيعمل في الفضاء الإقليدي E n ويحول هذا الفضاء إلى نفسه.

دعنا نقدم تعريف: المشغل أو العامل أ* لنسميها مرافقة العامل أ، إذا كان لأي ناقلين س، صمن E n يتم استيفاء مساواة المنتجات العددية للنموذج:

(الفأس، ذ) = (س،أ*ص)

أكثر تعريف: يسمى المؤثر الخطي مشتركًا ذاتيًا إذا كان مساويًا للمؤثر المجاور له، أي أن المساواة:

(الفأس، ذ) = (س،آي)

أو على وجه الخصوص ( الفأس، العاشر) = (س، الفأس).

المشغل الذاتي له خصائص معينة. ولنذكر بعضًا منها:

القيم الذاتية للمشغل المجاور حقيقية (بدون دليل)؛

المتجهات الذاتية للمشغل المجاور ذاتيًا تكون متعامدة. في الواقع، إذا × 1و × 2هي متجهات ذاتية، و  1 و  2 هي قيمها الذاتية، إذن: الفأس 1 =  1 س; الفأس 2 =  2 س; (الفأس 1،x2) = (× 1، الفأس 2) أو  1 ( × 1، × 2) =  2 (× 1، × 2). بما أن  1 و  2 مختلفان، فمن هنا ( × 1، × 2) = 0، وهو ما يجب إثباته.

في الفضاء الإقليدي يوجد أساس متعامد للمتجهات الذاتية للمشغل المجاور ذاتيًا أ. وهذا يعني أنه يمكن دائمًا اختزال مصفوفة العامل الملتصق ذاتيًا إلى شكل قطري على أساس متعامد يتكون من ناقلات ذاتية للعامل الملتصق ذاتيًا.

آخر تعريف: لنستدعي عاملًا ذاتيًا يعمل في الفضاء الإقليدي متماثلالمشغل أو العامل دعونا نفكر في مصفوفة العامل المتماثل. فلنثبت القول:لكي يكون المشغل متماثلًا، من الضروري والكافي أن تكون مصفوفته متناظرة على أساس متعامد.

يترك أ- عامل متماثل، أي:

(الفأس، ذ) = (س،آي)

لو أهي مصفوفة المشغل A، و سو ذ– بعض المتجهات فنكتب :

الإحداثيات سو ذفي بعض الأساس المتعامد

ثم: ( س، ص) = X T Y = Y T X ولدينا ( الفأس، ذ) = (AX) T Y = X T A T Y

(س،آي) = X T (AY) = X T AY،

أولئك. X T A T Y = X T AY. بالنسبة لمصفوفات الأعمدة العشوائية X,Y، تكون هذه المساواة ممكنة فقط عندما تكون A T = A، مما يعني أن المصفوفة A متماثلة.

دعونا نلقي نظرة على بعض الأمثلة على العوامل الخطية

المشغل أو العامل تصميم.فليكن من الضروري العثور على مصفوفة عامل خطي يُسقط مساحة ثلاثية الأبعاد على محور الإحداثيات ه 1 في الأساس ه 1 , ه 2 , ه 3 . مصفوفة المشغل الخطية هي مصفوفة يجب أن تحتوي أعمدتها على صور للمتجهات الأساسية ه 1 = (1,0,0), ه 2 = (0,1,0), ه 3 = (0,0,1). من الواضح أن هذه الصور موجودة: عبد اللطيف 1 = (1,0,0)

عبد اللطيف 2 = (0,0,0)

عبد اللطيف 3 = (0,0,0)

لذلك، في الأساس ه 1 , ه 2 , ه 3 مصفوفة العامل الخطي المطلوب سيكون لها الشكل:

دعونا نجد نواة هذا المشغل. وفقا للتعريف، النواة هي مجموعة من المتجهات X، حيث AX = 0. أو

أي أن نواة العامل عبارة عن مجموعة من المتجهات الموجودة في المستوى ه 1 , ه 2 . البعد للنواة هو n – rangA = 2.

من الواضح أن مجموعة صور هذا العامل هي مجموعة من المتجهات الخطية المتسامتة ه 1 . بعد فضاء الصورة يساوي رتبة المؤثر الخطي ويساوي 1 ، وهو أقل من بُعد مساحة الصورة الأولية. أي المشغل أ- منحط. المصفوفة A هي أيضًا مفردة.

مثال آخر: ابحث عن مصفوفة العامل الخطي الذي يعمل في الفضاء V 3 (الأساس أنا, ي, ك) التحول الخطي- التماثل حول الأصل.

لدينا: منظمة العفو الدولية = -أنا

وهذا هو، المصفوفة المطلوبة

النظر في التحول الخطي - التماثل حول الطائرة ذ = س.

اج = أنا(1,0,0)

أك = ك (0,0,1)

مصفوفة المشغل ستكون:

مثال آخر هو المصفوفة المألوفة بالفعل التي تربط إحداثيات المتجه عند تدوير محاور الإحداثيات. دعنا نسمي المشغل الذي يقوم بتدوير محاور الإحداثيات بمشغل التدوير. لنفترض أننا ندور بزاوية :

منظمة العفو الدولية' = كوس أنا+ الخطيئة ي

اج'= -الخطيئة أنا+كوس ي

مصفوفة مشغل الدوران:

منظمة العفو الدولية ‘ اج ‘

لنتذكر صيغ تحويل إحداثيات نقطة ما عند تغيير الأساس - استبدال الإحداثيات على المستوى عند تغيير الأساس:

ه يمكن النظر في هذه الصيغ بطريقتين. في السابق، درسنا هذه الصيغ بحيث تظل النقطة ثابتة، ويدور نظام الإحداثيات. ولكن يمكن أيضًا اعتبار أن نظام الإحداثيات يظل كما هو، لكن النقطة تنتقل من الموضع M* إلى الموضع M. ويتم تعريف إحداثيات النقطة M وM* في نفس نظام الإحداثيات.

في كل ما قيل يسمح لنا بالتعامل مع المشكلة التالية التي يتعين على المبرمجين الذين يتعاملون مع الرسومات على الكمبيوتر حلها. فليكن من الضروري تدوير شكل مسطح معين (على سبيل المثال، مثلث) على شاشة الكمبيوتر بالنسبة إلى النقطة O' بإحداثيات (a، b) خلال زاوية معينة . يتم وصف دوران الإحداثيات بواسطة الصيغ:

يوفر النقل الموازي العلاقات التالية:

من أجل حل مثل هذه المشكلة، عادة ما يتم استخدام تقنية اصطناعية: يتم تقديم ما يسمى بالإحداثيات "المتجانسة" لنقطة على مستوى XOY: (x، y، 1). ثم يمكن كتابة المصفوفة التي تقوم بالنقل المتوازي:

حقًا:

ومصفوفة الدوران:

يمكن حل المشكلة قيد النظر في ثلاث خطوات:

الخطوة الأولى: النقل الموازي إلى المتجه A(-a, -b) لمحاذاة مركز الدوران مع أصل الإحداثيات:

الخطوة الثانية: الدوران بزاوية :

الخطوة الثالثة: النقل الموازي إلى المتجه A(a, b) لإعادة مركز الدوران إلى موضعه السابق:

سيبدو التحويل الخطي المطلوب في شكل مصفوفة كما يلي:

(**)

1. مشغلي الإسقاط والمؤثرات الحلقية

دع الفضاء المتجه V يكون مساوياً للمجموع المباشر للمساحات الفرعية W و L: . من خلال تعريف المجموع المباشر، هذا يعني أنه يمكن تمثيل كل متجه vV بشكل فريد كـ v=w+l, wW. ل.

التعريف 1.إذا كان v=w+l، فإن التعيين الذي يربط كل متجه vV مع مكونه (الإسقاط) wW يسمى جهاز عرض الفضاء V على الفضاء W. ويسمى أيضًا مشغل الإسقاط، أو مشغل الإسقاط.

من الواضح أنه إذا كانت wW، فإن (w)=w. ويترتب على ذلك أنه يحتوي على الخاصية الرائعة التالية 2 =P.

التعريف 2.يسمى العنصر e في الحلقة K بالعنصر Idempotent (أي مشابه للعنصر) إذا كان e 2 =e.

في حلقة الأعداد الصحيحة لا يوجد سوى اثنين من المعادلين: 1 و 0. الوضع مختلف في حلقة المصفوفات. على سبيل المثال، المصفوفات عاجزة. مصفوفات مشغل الإسقاط هي أيضًا عاجزة. يُطلق على المشغلين المقابلين لهم اسم المشغلين المستقلين.

دعونا الآن نفكر في المجموع المباشر للمسافات الفرعية n للمساحة V:

بعد ذلك، كما هو الحال في حالة المجموع المباشر لمسافتين فرعيتين، يمكننا الحصول على عوامل إسقاط n، ..., . لديهم الخاصية ==0 لـ ij.

التعريف 3.يُطلق على المتوازيين e i و e j (ij) اسم متعامد إذا كان e i e j = e j e i =0. ولذلك، وIdempotents متعامد.

من حقيقة أن IV=V ومن قاعدة إضافة العوامل الخطية يتبع ذلك

ويسمى هذا التحلل تحلل الوحدة إلى مجموع المتساويين.

التعريف 4.يُطلق على e Idempotent اسم الحد الأدنى إذا لم يكن من الممكن تمثيله كمجموع من Idempotents غير e و 0.

2. تحليل التمثيل القانوني

التعريف 5.التحلل القانوني للتمثيل T(g) هو تحليله للشكل T(g)=n 1 T 1 (g)+ n 2 T 2 (g)+…+ n t T t (g)، حيث يكون المكافئ غير قابل للاختزال يتم دمج التمثيلات T i (g ) معًا، و n i هو تعدد حدوث التمثيل غير القابل للاختزال T i (g) في التوسع T(g).

النظرية 1.يتم تعريف التحلل القانوني للتمثيل باستخدام عامل الإسقاط للنموذج

أنا=1، 2، …، ر، (31)

حيث |G| - ترتيب المجموعة G؛ m i - درجات التمثيل T i (g)، حيث i=1، 2، …، t؛ i (g)، i=1، 2، …، t - أحرف تمثيلات غير قابلة للاختزال T i (g). في هذه الحالة، يتم تحديد m i بواسطة الصيغة

3. عوامل الإسقاط المرتبطة بمصفوفات التمثيلات غير القابلة للاختزال للمجموعات

باستخدام الصيغ (31)، يمكن الحصول على التحليل القانوني للتمثيل فقط. في الحالة العامة، من الضروري استخدام مصفوفات التمثيلات غير القابلة للاختزال، والتي تسمح لنا ببناء عوامل الإسقاط المقابلة.

النظرية 2.دع عناصر المصفوفة للتمثيل غير القابل للاختزال T r (g) للمجموعة G. عامل تشغيل النموذج

هو مشغل الإسقاط ويسمى مشغل Wigner. في التعبير (33)، m r هو بُعد التمثيل T r (g).

4. تحليل التمثيل إلى مجموع مباشر للتمثيلات غير القابلة للاختزال باستخدام عامل Wigner

دعونا نشير بـ M إلى الوحدة المرتبطة بالتمثيل T. دع التمثيلات غير القابلة للاختزال T 1، T 2، ...، T t من التحلل القانوني للتمثيل وفقًا للطريقة الموصوفة سابقًا (انظر الفقرة 4) تتوافق مع وحدات فرعية غير قابلة للاختزال M 1, M 2, ..., M t . تحلل وحدة النوع M

يسمى التحلل القانوني للوحدة M. دعونا نشير إلى niMi=Li، بحيث

نشير إلى وحدات فرعية غير قابلة للاختزال من الوحدات L i

; ط=1، 2، …، ر. (36)

نحن بحاجة للعثور على هذه الوحدات.

لنفترض أن المشكلة قد تم حلها. وبالتالي، في كل من الوحدات النمطية M i (s) (s=1, 2, …, n i) تم العثور على قاعدة متعامدة يتم فيها تمثيل المشغل بواسطة المصفوفة T i (g) للتمثيل غير القابل للاختزال لـ T الذي تم الحصول عليه كـ نتيجة الإجراء (وفقًا للقاعدة من الفقرة 3 ) من العامل إلى القاعدة وفقًا للصيغة

ي=1, 2, …, م ط . (37)

في هذا التعبير، يمكننا أن نفترض أن mi i هو بُعد التمثيل غير القابل للاختزال T i (i=1, 2, …, t)، وهي عناصر القاعدة ذات الرقم g من الوحدة الفرعية غير القابلة للاختزال M i . دعونا الآن نضع عناصر القاعدة L i للثابت i كما يلي:

على اليمين في التعبير (38) توجد قواعد الوحدة M i (1) , M i (2) , …, . إذا تغيرت من 1 إلى t، فسنحصل على القاعدة المطلوبة للوحدة M بأكملها، والتي تتكون من عناصر m 1 n 1 + m 2 n 2 +…+ m t n t.

دعونا الآن نفكر في المشغل

يتصرف في الوحدة M (تم إصلاح j). وفقا للنظرية 2، هو مشغل الإسقاط. ولذلك، فإن هذا العامل يترك دون تغيير جميع العناصر الأساسية (s=1, 2, ..., n i) الموجودة في العمود يالتعبير (38)، ويحول جميع المتجهات الأساسية الأخرى إلى الصفر. دعونا نشير بـ M ij إلى مساحة المتجه التي يغطيها النظام المتعامد للمتجهات في عمود التعبير j (38). ثم يمكننا أن نقول ما هو عامل الإسقاط على الفضاء M ij . العامل معروف، لأن العناصر القطرية لمصفوفات التمثيلات غير القابلة للاختزال للمجموعات معروفة، وكذلك العامل T(g).

الآن يمكننا حل مشكلتنا.

دعونا نختار n i متجهات أساس تعسفية في M: ونعمل عليها مع مشغل الإسقاط. تقع المتجهات الناتجة في الفضاء M j وتكون مستقلة خطيًا. فهي ليست بالضرورة متعامدة ومطبيعية. دعونا نصحح نظام المتجهات الناتج وفقًا للقاعدة الواردة في الفقرة 2. نشير إلى نظام المتجهات الناتج e ij (s) وفقًا للتدوين المعتمد على افتراض أن المشكلة قد تم حلها. كما أشرنا سابقًا، هنا j ثابت، وs=1, 2, ..., n i. دعونا نشير إلى e if (s) (f=1, 2, …, j-1, j+1, …, m i)، العناصر المتبقية من قاعدة الوحدة M i ذات البعد n i mi i. دعونا نشير بواسطة المشغل التالي:

من العلاقات التعامدية لمصفوفات التمثيلات غير القابلة للاختزال، يترتب على ذلك أن هذا العامل يجعل من الممكن الحصول على eigs باستخدام الصيغة

أنا=1، 2، …، ر. (41)

يمكن التعبير عن كل ما سبق في شكل الخوارزمية التالية.

من أجل العثور على قاعدة الوحدة M من العناصر التي تتحول وفقًا للتمثيلات غير القابلة للاختزال T i الموجودة في التمثيل T المرتبط بالوحدة M، فمن الضروري:

باستخدام الصيغة (32)، أوجد أبعاد الفضاءات الجزئية M j المقابلة للمكون j للتمثيل غير القابل للاختزال T i .

ابحث عن جميع المسافات الجزئية M j باستخدام عامل الإسقاط (39).

في كل مساحة فرعية Mij، اختر قاعدة متعامدة اعتباطية.

باستخدام الصيغة (41)، أوجد جميع عناصر القاعدة التي تتحول عبر المكونات المتبقية للتمثيل غير القابل للاختزال T i.

تعتبر نواقل Bra- و ket-Dirac رائعة من حيث إمكانية استخدامها في الكتابة أنواع مختلفةيعمل.

يُطلق على منتج ناقل حمالة الصدر وناقل كيت اسم المنتج العددي أو المنتج الداخلي. في جوهرها، هذا منتج مصفوفة قياسي وفقًا لقاعدة "الصف بالعمود". والنتيجة هي عدد معقد.

إن حاصل ضرب ناقل ket بواسطة ناقل ket آخر لا يعطي رقمًا، بل ناقل ket آخر. ويتم تمثيله أيضًا كمتجه عمودي، ولكن بعدد المكونات يساوي حاصل ضرب أبعاد المتجهات الأصلية. يسمى هذا المنتج منتج موتر أو منتج كرونيكر.

وبالمثل بالنسبة لمنتج ناقلي الصدرية. نحصل على ناقل صف كبير.

الخيار الأخير هو ضرب ناقل الكيت في ناقل حمالة الصدر. أي أنك تحتاج إلى ضرب العمود في الصف. يُطلق على هذا المنتج أيضًا اسم الموتر أو المنتج الخارجي. والنتيجة هي مصفوفة، أي عامل التشغيل.

دعونا نلقي نظرة على مثال لاستخدام مثل هذه العوامل.

لنأخذ عاملًا هرميتيًا اعتباطيًا A. وفقًا للافتراضات، تتوافق معه بعض الكمية الملحوظة. تشكل المتجهات الذاتية للمشغل Hermitian الأساس. يمكن توسيع ناقل الحالة الأكثر عمومية على هذا الأساس. أي تمثيلها كمجموع ناقلات أساسية ذات معاملات معقدة معينة. تُعرف هذه الحقيقة بمبدأ التراكب. دعونا نعيد كتابة التعبير باستخدام علامة المجموع.

لكن المعاملات في توسيع المتجه إلى المتجه الأساسي هي اتساع الاحتمال، أي المنتج القياسي لمتجه الحالة مع المتجه الأساسي المقابل. لنكتب هذه السعة على يمين المتجه. يمكن اعتبار التعبير الموجود تحت علامة المجموع بمثابة ضرب لمتجه ket برقم مركب - سعة الاحتمال. من ناحية أخرى، يمكن اعتباره حاصل ضرب المصفوفة التي تم الحصول عليها عن طريق ضرب ناقل ket في ناقل bra وناقل ket الأصلي. يمكن إخراج متجه ket من علامة المجموع خارج القوس. على يمين ويسار علامة المساواة سيكون هناك نفس ناقل psi. وهذا يعني أن المجموع بأكمله لا يؤثر على المتجه وبالتالي يساوي مصفوفة الهوية.

هذه الصيغة في حد ذاتها مفيدة جدًا عند معالجة التعبيرات باستخدام منتجات ناقلات حمالة الصدر وكيت. بعد كل شيء، يمكن إدراج وحدة في أي مكان في العمل.

دعونا نرى ما هي المصفوفات المضمنة في المجموع والتي يتم الحصول عليها من خلال منتج الموتر لمتجه ket الأساسي مع مرافقه الهرمي. مرة أخرى، من أجل الوضوح، دعونا نرسم تشبيهًا بالمتجهات العادية في الفضاء ثلاثي الأبعاد.

دعونا نختار متجهات أساس الوحدة ex ey وez التي تتوافق في الاتجاه مع محاور الإحداثيات. سيتم تمثيل منتج الموتر للمتجه السابق ومرافقته بالمصفوفة التالية. لنأخذ متجهًا تعسفيًا v. ماذا يحدث عندما يتم ضرب هذه المصفوفة بالمتجه؟ قامت هذه المصفوفة ببساطة بتصفية جميع مكونات المتجه باستثناء x. والنتيجة هي متجه موجه على طول المحور السيني، أي إسقاط للمتجه الأصلي على المتجه الأساسي السابق. اتضح أن المصفوفة لدينا ليست أكثر من عامل إسقاط.

يتم تمثيل عاملي الإسقاط المتبقيين على المتجهات الأساسية ey وez بمصفوفات مماثلة ويؤدون وظيفة مماثلة - حيث يقومون بإعادة ضبط جميع مكونات المتجهات باستثناء عنصر واحد إلى الصفر.

ماذا يحدث عند جمع عوامل الإسقاط؟ على سبيل المثال، دعونا نضيف عوامل التشغيل Px وPy. ستعمل مثل هذه المصفوفة على إعادة تعيين المكون z للمتجه فقط. سوف يكمن المتجه النهائي دائمًا طائرة س ص. أي أن لدينا عامل إسقاط على المستوى xy.

أصبح من الواضح الآن لماذا يكون مجموع جميع عوامل الإسقاط على المتجهات الأساسية مساويًا لمصفوفة الهوية. في مثالنا، سوف نحصل على إسقاط لمتجه ثلاثي الأبعاد على الفضاء ثلاثي الأبعاد نفسه. مصفوفة الهوية هي في الأساس جهاز عرض للمتجه على نفسه.

اتضح أن تحديد عامل الإسقاط يعادل تحديد مساحة فرعية من المساحة الأصلية. في حالة الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد قيد النظر، يمكن أن يكون هذا خطًا أحادي البعد محددًا بواسطة متجه واحد أو مستوى ثنائي الأبعاد محدد بواسطة زوج من المتجهات.

بالعودة إلى ميكانيكا الكم مع متجهات الحالة الخاصة بها في فضاء هيلبرت، يمكننا القول أن مشغلي الإسقاط يحددون فضاءًا فرعيًا ويسقطون متجه الحالة في فضاء هيلبرت الفرعي.

دعونا نقدم الخصائص الرئيسية لمشغلي الإسقاط.

1. التطبيقات المتعاقبة لنفس مشغل الإسقاط تعادل مشغل إسقاط واحد. عادةً ما تتم كتابة هذه الخاصية بالشكل P 2 =P. في الواقع، إذا قام العامل الأول بإسقاط متجه في فضاء فرعي، فلن يفعل العامل الثاني أي شيء به. سيكون المتجه موجودًا بالفعل في هذا الفضاء الفرعي.
2. مشغلو الإسقاط هم مشغلون هيرميتيون وفقًا لذلك، في ميكانيكا الكم يتوافقون مع الكميات التي يمكن ملاحظتها.
3. القيم الذاتية لمشغلي الإسقاط من أي بعد هي فقط الرقمين واحد وصفر. ما إذا كان المتجه موجودًا في الفضاء الجزئي أم لا. وبسبب هذه الطبيعة الثنائية، يمكن صياغة الكمية الملحوظة التي وصفها مشغل الإسقاط في شكل سؤال، والإجابة عليه هي "نعم" أو "لا". على سبيل المثال، هل دوران الإلكترون الأول في الحالة الفردية موجه لأعلى على طول المحور z؟ يمكن ربط هذا السؤال بمشغل الإسقاط. تسمح لك ميكانيكا الكم بحساب احتمالات الإجابة بـ "نعم" والإجابة بـ "لا".

في المستقبل سنتحدث أكثر عن مشغلي العرض.