За да се опростят методите за решаване на проблеми с анализа на веригата, сигналите се представят като сума от определени функции.
Този процес се обосновава с концепцията за обобщен ред на Фурие. В математиката е доказано, че всяка функция, която отговаря на условията на Дирихле, може да бъде представена като серия:
За да определим, умножаваме лявата и дясната част на серията по и вземаме интеграла на лявата и дясната част:
за интервала, в който са изпълнени условията за ортогоналност.
Може да се види, че получихме израз за обобщения ред на Фурие:
Отделяме специфичен тип функция за разширяване на сигнала в серия. Като такава функция избираме ортогонална система от функции:
За да определим серията, изчисляваме стойността:
Така получаваме:
Графично тази серия е представена като две графики на амплитудните хармонични компоненти.
Полученият израз може да бъде представен като:
Имаме втората форма на запис на тригонометричния ред на Фурие. Графично тази серия е представена под формата на две графики - амплитуден и фазов спектър.
Нека намерим сложната форма на серията на Фурие, за това използваме формулите на Ойлер:
Графично спектърът в този вид е представен на честотната ос в диапазона.
Очевидно спектърът на периодичен сигнал, изразен в комплексна или амплитудна форма, е дискретен. Това означава, че спектърът съдържа компоненти с честоти
Спектрални характеристики на непериодичен сигнал
Тъй като единичен сигнал се счита за непериодичен сигнал в радиотехниката, за да намерим неговия спектър, представяме сигнала като периодичен сигнал с период. Нека използваме трансформацията на реда на Фурие за дадения период. Вземете за:
Анализът на получения израз показва, че при амплитудите на компонентите стават безкрайно малки и са разположени непрекъснато по честотната ос. След това, за да излезем от тази ситуация, използваме концепцията за спектрална плътност:
Заместваме получения израз в сложната серия на Фурие, получаваме:
Накрая получаваме:
Тук е спектралната плътност, а самият израз е директното преобразуване на Фурие. За определяне на сигнала от неговия спектър се използва обратното преобразуване на Фурие:
Свойства на преобразуването на Фурие
От формулите на преките и обратни трансформацииФурие, очевидно е, че ако сигналът се промени, тогава неговият спектър също ще се промени. Следните свойства задават зависимостта на спектъра на променения сигнал от спектъра на сигнала преди промените.
1) Свойство за линейност на преобразуването на Фурие
Установихме, че спектърът на сумата от сигналите е равен на сумата от техните спектри.
2) Спектърът на сигнала се измества във времето
Установено е, че при изместване на сигнала амплитудният спектър не се променя, а само фазовият спектър се променя със стойността
3) Промяна на времевата скала
тоест, когато сигналът се разширява (стеснява) няколко пъти, спектърът на този сигнал се стеснява (разширява).
4) Спектър на изместване
5) Спектърът на производната на сигнала
Вземете производната на лявата и дясната страна на обратното преобразуване на Фурие.
Виждаме, че спектърът на производната на сигнала е равен на спектъра на оригиналния сигнал, умножен по, тоест амплитудният спектър се променя и фазовият спектър се променя с.
6) Интегрален спектър на сигнала
Вземете интеграла от лявата и дясната страна на обратното преобразуване на Фурие.
Виждаме, че спектърът на производната на сигнала е равен на спектъра на оригиналния сигнал, разделен на,
7) Спектър на произведението на два сигнала
По този начин спектърът на произведението на два сигнала е равен на свиването на техните спектри, умножено по коефициента
8) Свойство дуалност
По този начин, ако един спектър съответства на някакъв сигнал, тогава сигнал по форма, съвпадаща с горния спектър, съответства на спектър по форма, съвпадаща с горния сигнал.
Общи бележки
Сред различните системи от ортогонални функции, които могат да се използват като бази за представяне радиосигнали, изключително място заемат хармоничните (синус и косинус) функции. Значението на хармоничните сигнали за радиотехниката се дължи на редица причини.
В радиотехниката трябва да се работи с електрически сигнали, които са свързани с предавани съобщения. приет начинкодиране.
Можем да кажем, че електрическият сигнал е физически (електрически) процес, който носи информация. Количеството информация, което може да бъде предадено с помощта на определен сигнал, зависи от основните му параметри: продължителност, честотна лента, мощност и някои други характеристики. Важностсъщо има ниво на смущения в комуникационния канал: колкото по-ниско е това ниво, толкова повече информация може да бъде предадена с помощта на сигнал с дадена мощност. Преди да говорим за информационните възможности на един сигнал, е необходимо да се запознаем с основните му характеристики. Препоръчително е да се разглеждат отделно детерминистични и случайни сигнали.
Всеки сигнал се нарича детерминиран, чиято моментна стойност по всяко време може да бъде предвидена с вероятност от единица.
Примери за детерминистични сигнали са импулси или поредици от импулси, чиято форма, големина и позиция във времето са известни, както и непрекъснат сигнал с дадени амплитудни и фазови съотношения в неговия спектър. Детерминистичните сигнали могат да бъдат разделени на периодични и непериодични.
Периодичен сигнал е всеки сигнал, за който условието
където периодът T е краен сегмент, а k е всяко цяло число.
Най-простият периодичен детерминиран сигнал е хармонично трептене. Строго хармоничното трептене се нарича монохроматично. Този термин, заимстван от оптиката, подчертава, че спектърът на хармонично трептене се състои от една спектрална линия. За реални сигнали, които имат начало и край, спектърът неизбежно е замъглен. Следователно в природата не съществуват строго монохроматични трептения. В бъдеще хармоничен и монохроматичен сигнал условно ще означава трептене. Всеки комплексен периодичен сигнал, както е известно, може да бъде представен като сума от хармонични трептения с честоти, кратни на основната честота w = 2*Pi/T. Основната характеристика на сложния периодичен сигнал е неговата спектрална функция, която съдържа информация за амплитудите и фазите на отделните хармоници.
Непериодичен детерминистичен сигнал е всеки детерминиран сигнал, за който условието s(t)s(t+kT) е изпълнено.
По правило непериодичният сигнал е ограничен във времето. Примери за такива сигнали са вече споменатите импулси, импулси от импулси, „откъсления“ от хармонични трептения и др. Основен интерес представляват непериодичните сигнали, тъй като се използват предимно в практиката.
Основната характеристика на непериодичния, както и на периодичния сигнал, е неговата спектрална функция;
Случайните сигнали включват сигнали, чиито стойности не са известни предварително и могат да бъдат предвидени само с определена вероятност, по-малка от единица. Такива функции са например електрическо напрежение, съответстващо на реч, музика, последователност от знаци на телеграфен код при предаване на неповтарящ се текст. Случайните сигнали също включват последователност от радиоимпулси на входа на радарния приемник, когато амплитудите на импулсите и фазите на тяхното високочестотно запълване се колебаят поради промени в условията на разпространение, позицията на целта и някои други причини . Могат да се дадат много други примери за случайни сигнали. По същество всеки сигнал, който носи информация, трябва да се счита за случаен. Изброените детерминистични сигнали, "напълно известни", вече не съдържат информация. По-нататък такива сигнали често ще се наричат "осцилации".
Използва се статистически подход за характеризиране и анализиране на случайни сигнали. Основните характеристики на случайните сигнали са:
а) законът за разпределение на вероятностите.
б) спектрално разпределение на мощността на сигнала.
Въз основа на първата характеристика може да се намери относителното време на престой на стойността на сигнала в определен диапазон от нива, съотношението на максималните стойности към средния квадрат и редица други. важни параметрисигнал. Втората характеристика дава само честотното разпределение средна мощностсигнал. | Повече ▼ подробна информацияпо отношение на отделните компоненти на спектъра - за техните амплитуди и фази - спектралната характеристика на случаен процес не дава.
Наред с полезните случайни сигналина теория и практика трябва да се борим със случайни смущения - шум. Както бе споменато по-горе, нивото на шума е основният фактор, ограничаващ скоростта на предаване на информация за даден сигнал.
САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИ ДЪРЖАВЕН УНИВЕРСИТЕТ
ФИЗИЧЕСКИ ФАКУЛТЕТ
ПОСОКА
"ПРИЛОЖНА МАТЕМАТИКА И ФИЗИКА"
Методи за определяне
спектрални характеристики
електрически сигнали
Санкт Петербург
Въведение ................................................. ................................................ .. ................................. 3
Реалната форма на реда на Фурие..................................................... ......... ................................................ ......... 3
Сложната форма на реда на Фурие ............................................. ............... ................................. .............. .. 4
Спектър на периодична функция ............................................. .. ................................................ 5
Преобразуване на Фурие ................................................. .................. ................................ ................. ............... 6
Свойства на преобразуването на Фурие ............................................. ................. ................................. ................ 7
Спектър на дискретен сигнал ............................................. ............... ................................. ............ 9
Дискретно преобразуване на Фурие ............................................. ............... ................................. ......... 12
Разпространението на спектъра ................................................. .... .............................................. ... ................... 14
Лабораторна настройка и измервания ............................................. ......................... ................... 15
Задачи................................................. ................................................. . ..................................... 17
Приложение 1. Отсечка от синусоида .................................................. ... ................................................. 18
Литература................................................. ................................................. . ................................. 19
Въведение
Тази работа е първата от поредицата лабораторна работав учебната лаборатория "Методи за обработка и предаване на информация" (МОПИ) на Физическия факултет на Санкт Петербургския държавен университет. Лабораторията се провежда през втората година и подпомага лекционния курс "Физически основи на методите за обработка и предаване на информация". До този момент курсът вече е взет от студенти, лабораторията е предназначена да консолидира и разшири знанията в тази област.
Концепцията за спектъра на сигнала е необходима за разработването на устройства за предаване на информация, използва се за индиректно измерване на други физически величини и просто за изчисляване на електрическа верига. Познаването на спектъра на сигнала ви позволява да разберете по-добре неговата природа и не е случайно, че цикълът на лабораторната работа започва с тази работа.
Работата ще има както изчислителен, така и експериментален характер. Експерименталната част на работата съдържа важен иновативен елемент - използването на цифрова обработка на сигнали, дигитализирани с помощта на система за събиране на данни. В допълнение, цялата изчислителна част от работата, както и обработката на експерименталните резултати, се извършват на базата на съвременния математически пакет MATLAB и неговата допълнителна библиотека - Signal Processing Toolbox. Използват се заложените в тях възможности за математическо моделиране на различни видове сигнали и обработка на данни.
Предполага се, че читателят е запознат с основните принципи на работа на този пакет. Програмите за изчисление и различни допълнения ще бъдат отнесени към Заявленията за работа.
Реална форма на реда на Фурие
Помислете за периодична функция с период, равен на: 
, където е всяко цяло число. При определени условия тази функция може да бъде представена като сума, крайна или безкрайна, на хармонични функции от формата 
, чийто период съвпада с периода на оригиналната функция, където https://pandia.ru/text/78/330/images/image007_33.gif" width="19 height=24" height="24"> е константа ..gif" width="15" height="17 src=">. Така ще решим проблема с разширяването на периодична функция в тригонометрична серия:
(1)
Отделен член на тази сума https://pandia.ru/text/78/330/images/image011_19.gif" width="28" height="23"> Нашата задача е да изберем такива коефициенти и за кой ред (1) ще се сближи с дадената функция https://pandia.ru/text/78/330/images/image013_18.gif" width="301 height=53" height="53"> (2)
където новите коефициенти са изразени като https://pandia.ru/text/78/330/images/image015_16.gif" width="105" height="24 src=">.gif" width="273" height= "117 "> (3)
Може да се докаже, че тригонометричният ред ще се сближава равномерно към функцията https://pandia.ru/text/78/330/images/image019_13.gif" width="48 height=53" height="53">.gif " width= "28" height="23 src="> може да се апроксимира с определена точност чрез полином от тригонометричен ред н, тоест краен брой членове.
Сложна форма на реда на Фурие
Друга сложна форма на тригонометричния ред се получава чрез записване на синусите и косинусите в (2) чрез комплексни експоненти:
(4)
Коефициентите на реалната и комплексната форма са свързани помежду си с отношенията:
(5)
Използвайки формули (5), от (3) получаваме изрази за коефициентите на комплексната форма на тригонометричния ред. Тези коефициенти могат да бъдат записани за всяко число кпо следния начин
(6)
Тригонометричен ред в сложна форма се сближава равномерно към функцията, ако редът и се сближават. Това ще бъде вярно, ако оригиналната функция удовлетворява условията на Дирихле.
Спектър на периодична функция
Нека въведем понятието спектър на периодична функция. Тя се основава на възможността за представяне на сигнала или като реален ред на Фурие (1) или като комплексен ред (4). Това означава, че реалните коефициенти и , или комплексните коефициенти носят пълна информацияоколо периодичен с известен период https://pandia.ru/text/78/330/images/image012_20.gif" width="21" height="24"> и се нарича реален спектър на сигнала..gif" width= "69" height="41 src=">). Следователно наборът се нарича амплитуден спектър..gif" width="20" height="24">. За разлика от реалния спектър, комплексният спектър е дефиниран както за положителни, така и за отрицателни честоти. По-долу ще покажем, че модулите на тези коефициенти определят хармониците на амплитудите и затова могат да се нарекат амплитуден спектър, а аргументите (фазов спектър) определят началните фази на хармониците..gif" width="61 height=29" height="29">. Тази връзка предполага свойството паритет за амплитудния комплексен спектър и нечетност за фазовия спектър.
Нека видим как са свързани реалният и комплексният спектър. Записваме серия (4) във формата
Членовете с отрицателни числа могат да бъдат изразени чрез термини с положителни числа, тъй като и 
. Тогава остава само сумата с положителни числа
След сумиране на степени с еднакви числа https://pandia.ru/text/78/330/images/image035_4.gif" width="237" height="53"> (9)
Сравнявайки серии (1) и (9), получаваме желаната връзка между реалния и комплексния спектър: и .
Тъй като спектърът на периодичен сигнал се състои от отделни хармоници, той се нарича дискретен или линеен. Хармоничните честоти са обратно пропорционални на периода https://pandia.ru/text/78/330/images/image011_19.gif" width="28" height="23"> е непрекъснато диференцируема абсолютно интегрируема функция по цялата ос : , Непериодичен сигнал може да се разглежда като периодичен, но с безкрайно голям период.След като направихме граничния преход от краен към безкрайно голям период на сигнала във формули (6) и (4), получаваме формули за директен Преобразуване на Фурие:
(10)
и обратно:
(11)
Функцията https://pandia.ru/text/78/330/images/image011_19.gif" width="28" height="23 src=">. По този начин спектърът на непериодичен сигнал е непрекъснат (в за разлика от линейния спектър на периодичен сигнал), той се определя по цялата честотна ос.
Свойства на преобразуването на Фурие
Разгледайте основните свойства на преобразуването на Фурие.
Линейност. Нека разгледаме функции и имащи спектри и :
Тогава спектърът на тяхната линейна комбинация ще бъде:
Закъснение във времето..gif" width="28" height="23 src=">
(14)
Нека изчислим спектъра на сигнала, изместен във времето: https://pandia.ru/text/78/330/images/image050_1.gif" width="59" height="21">, тогава
Разбрахме, че забавянето на сигнала е за времето https://pandia.ru/text/78/330/images/image055_1.gif" width="41" height="25">.
Промяна на мащаба.Предполагаме, че спектърът е известен https://pandia.ru/text/78/330/images/image011_19.gif" width="28" height="23 src=">.gif" width="36" height= "23 ">. Въвеждаме нова променлива, правим заместване интеграционна променлива https://pandia.ru/text/78/330/images/image059_1.gif" width="312" height="61"> (16)
Умножение по https://pandia.ru/text/78/330/images/image041_3.gif" width="40 height=23" height="23"> сигнал. Намерете спектъра на този сигнал, умножен по .
По този начин, умножавайки сигнала по https://pandia.ru/text/78/330/images/image062_1.gif" width="23" height="24">.
Производен спектър.В този случай ключовият момент е абсолютната интегрируемост на функцията. От факта, че интегралът на модула на функцията трябва да бъде ограничен, следва, че в безкрайност функцията трябва да клони към нула. Интегралът на производната на функцията се взема на части, получените неинтегрални членове са равни на нула, тъй като функцията клони към нула в безкрайност.
(18)
Спектър на интеграла.Нека намерим спектъра на сигнала https://pandia.ru/text/78/330/images/image065_1.gif" width="81" height="57">, тоест сигналът няма постоянен компонент , Това изискване е необходимо, така че неинтегралните членове да са равни на нула, когато интегралът се взема от части.
(19)
Теорема за навиване.Известно е, че https://pandia.ru/text/78/330/images/image067_1.gif" width="37" height="23 src="> спектрални характеристики и https://pandia.ru/text/ 78 /330/images/image069_1.gif" width="153" height="57"> през и . За да направите това, в интеграла на Фурие на конволюцията на една от функциите ще заменим променливата , след това в степента можете да направите замяна 181"> (20)
Преобразуването на Фурие на конволюцията на два сигнала дава произведението на спектрите на тези сигнали.
Производство на сигнали.Известно е, че https://pandia.ru/text/78/330/images/image067_1.gif" width="37" height="23 src="> са функционални спектри и https://pandia.ru/text / 78/330/images/image073_1.gif" width="53" height="23"> през спектри и ..gif" width="409" height="123"> (21)
Спектърът на произведението на сигналите е конволюцията на спектрите на тези сигнали.
Спектър на дискретен сигнал
Специално вниманиеструва си да се обърне внимание на дискретните сигнали, тъй като точно такива сигнали се използват в цифровата обработка. дискретен сигналза разлика от непрекъснатия, това е поредица от числа, съответстващи на стойностите на непрекъснат сигнал в определени моменти от време. Условно дискретният сигнал може да се разглежда като непрекъснат сигнал, който в определени моменти от време приема едни стойности, а в други моменти е равен на нула (фиг. 1).
https://pandia.ru/text/78/330/images/image078_1.gif" width="87" height="24"> (22)
Правоъгълните импулси имат продължителност https://pandia.ru/text/78/330/images/image079_1.gif" width="19 height=24" height="24">:
(23)
Амплитудата на импулса е избрана така, че интегралът на импулса за периода да е . В този случай тактовите импулси са безразмерни. Ние разширяваме последователността от такива импулси в тригонометрична серия:
(24)
За да получите незабавни показания на сигнала https://pandia.ru/text/78/330/images/image082_1.gif" width="44" height="19">, всички ще бъдат равни на 1.
(25)
Абсолютно същата форма има разширението в редицата на Фурие на функцията:
(26)
Коефициенти на разширение в тригонометрична серия на часовниковия сигнал:
(27)
Тогава дискретният сигнал ще изглежда така:
Когато изчисляваме преобразуването на Фурие на дискретен сигнал, разменяме операцията на сумиране и интегриране и след това използваме свойството δ - Функции:
Спектърът на дискретния сигнал е периодична функция. Разгледайте експоненциала в отделния член като функция на честотата..gif" width="45" height="19"> и това съответно ще бъде периодът на повторение на целия спектър. спектърът на дискретния сигнал има период на повторение, равен на честотата на квантуване 
.
Нека да вземем друга идея. Поради факта, че е продукт на функции и , спектърът на дискретния сигнал се изчислява като навивка на спектрите на непрекъснат сигнал https://pandia.ru/text/78/330/images/image094_1.gif " width="37" height="23"> .
(30)
Нека изчислим с помощта на (25). Тъй като е периодична функция, нейният спектър е дискретен.
Така конволюция (30)
https://pandia.ru/text/78/330/images/image099_1.gif" width="39" height="23 src=">.
Самият факт, че настъпват качествени промени в спектъра на сигнала в резултат на вземане на проби, предполага, че оригиналният сигнал може да бъде изкривен, тъй като той напълно се определя от неговия спектър. От друга страна обаче, периодичното повторение на един и същ спектър само по себе си не въвежда нищо ново в спектъра, следователно, при определени условия, знаейки стойностите на сигнала в отделни точки във времето, можете да намерите каква стойност има този сигнал взети във всеки друг момент от време, тоест получавате оригинален непрекъснат сигнал. Това е смисълът на теоремата на Котелников, която налага условие за избор на честота на квантуване в съответствие с максималната честота в спектъра на сигнала.
Ако това условие е нарушено, то след цифровизацията на сигнала ще се насложи периодично повтарящ се спектър (фиг. 2). Спектърът, получен от наслагването, ще съответства на друг сигнал.
Ориз. 2. Припокриване на спектрите.
Дискретно преобразуване на Фурие
В предишния раздел беше казано, че когато условието на теоремата на Котелников е изпълнено, извадките на дискретния сигнал съхраняват цялата информация за оригиналния непрекъснат сигнал, а оттам и за неговия спектър. Следователно спектърът на сигнала може да бъде намерен и от неговите дискретни показания, което предоставя широки възможности за анализ на сигнала при цифрова обработка. По-рано беше показано, че спектърът на периодичен сигнал е дискретен, т.е. сигналът може да бъде разложен на определени хармоници. Дискретният сигнал има периодичен спектър. Дискретният периодичен сигнал ще има дискретен периодичен спектър. Дискретният сигнал се представя като поредица от стойности на сигнала във фиксирани времена ..gif" width="19" height="19 src=">, т.е. изпълнява се за всеки. Обикновено дискретното преобразуване на Фурие на сигнал, определен от проби като вектор от елементи, изчислен по формулата:
(33)
Обратно преобразуване на Фурие по формулата:
(34)
Сравнявайки (33) с (4), получаваме, че комплексната амплитуда на хармоника с числото https://pandia.ru/text/78/330/images/image110_1.gif" width="69" height="43 src="> и съответства на честотата 
или, което е същото 
, където честотата на квантуване е в херци: https://pandia.ru/text/78/330/images/image114_0.gif" width="53" height="41 src="> е периодът на квантуване, периодът е се счита за равна на продължителността на сигнала на записания фрагмент.
В MATLAB дискретното преобразуване на Фурие се извършва с помощта на командата fft (Fast Fourier Transform), която извършва изчисления с помощта на специален алгоритъм за бързо преобразуване. Синтаксис на командата:
y = fft(x, n, dim)
x е вектор със сигнални проби;
y - вектор с резултата от трансформацията ;
n е незадължителен параметър, който определя броя на сигналните проби, използвани за извършване на трансформацията. В този случай векторът y ще се състои от n елемента;
dim е незадължителен параметър, който указва номера на измерението, по което се извършва трансформацията. Използва се, когато x съдържа множество сигнали, всеки в колона или ред, както е обозначено с dim.
Подобен интерфейс има команда, която извършва обратната трансформация:
x = ift(n, n, dim)
Командата fft връща масив, в който хармоничните амплитуди съответстват на хармоничните честоти в диапазона https://pandia.ru/text/78/330/images/image117_0.gif" width="80" height="48 src=" >, по-познато Като цяло, ако всички стойности на вектора x са реални, което е типично за всяка измерена физическа величина, тогава, както е показано по-горе (9), само хармониците в честотния диапазон имат стойност https:// pandia.ru/text/78/330 /images/image104_1.gif" width="20" height="24 src="> е точно един сигнален период. Тоест, в този случай записаният сегмент от периодичния сигнал трябва да бъде периодично продължен, докато периодът на повторение трябва да бъде продължителността на целия запис на сигнала. Ако продължителността на записа е различна от периода на сигнала, който е записан, тогава при периодичното повторение на записа на сигнала формата на сигнала ще бъде изкривена, съответно и неговият спектър.
Например записан е синусоидален сигнал с период, като продължителността на записа е , и , където е цяло число. След това, при периодично повторение на записа на сигнала (фиг. 3), ще се появят прекъсвания от първи вид, тъй като стойностите на сигнала в началото и края на записа са различни.
https://pandia.ru/text/78/330/images/image054_1.gif" width="13" height="15"> Сегментът от записания сигнал може също да се интерпретира като оригиналния сигнал, свит с правоъгълник импулс, който определя сегмента от време Тогава, според свойствата на преобразуването на Фурие, спектърът на записания сигнал ще бъде произведение на оригиналния спектър със спектъра на правоъгълен импулс (фиг. 4).
https://pandia.ru/text/78/330/images/image123.jpg" width="562" height="229 src=">
Ориз. 5. Лабораторна инсталация.
Разгледайте всеки блок от тази схема по-подробно.
1. Източникът на аналогови моделни сигнали е моделният генератор на сигнали. Като него могат да се използват следните устройства (по избор на учителя):
· Стандартен лабораторен генератор на сигнали с различна форма (синусоидални и правоъгълни импулси);
Цифров генератор, монтиран на цифрово-аналогов преобразувател (DAC) на устройството L-Card ;
· С помощта на MATLAB сигналите могат да се възпроизвеждат на звуковата карта на компютъра.
Използвайки MATLAB, стана възможно да се възпроизвеждат сигнали с почти всякаква форма, чийто спектър е в аудио диапазона, възможностите са ограничени само от характеристиките на звуковата карта, а именно честотата на квантуване, честотната характеристика и максималната възможна стойност на напрежението . Звуковите карти, предназначени предимно за възпроизвеждане на звук, имат честотна характеристика, което ви позволява да възпроизвеждате сигнала в честотния диапазон от приблизително 100 Hz до 20 kHz. Тези граници се определят от вътрешното устройство на звуковата карта, обикновено там се използват филтри, които ограничават спектъра на сигнала в този диапазон. Друга особеност на звуковата карта е, че повечето от тях могат да работят само с определени честоти на семплиране: 8000Hz, 11025Hz, 22050Hz и 44100Hz. Изходно напрежениеза различни звукови картиможе да се различава, но обикновено максималната възможна стойност е около 1V. Предимство на звуковата карта:
Те са в почти всеки компютър;
Поддържа се от много програми, включително MATLAB и Simulink.
недостатъци:
За различните дъски характеристиките могат да варират значително;
как измервателен уреднямат клас на точност;
Липса на вътрешни вериги за защита (галванична или оптична изолация), което може да доведе до повреда.
2. Аналоговите сигнали, взети от изхода на някой от изброените по-горе генератори, се контролират визуално на екрана на катодно-лъчев осцилоскоп. Такъв контрол е необходим за наблюдение на формата на генерираните сигнали и задаване на техните параметри - амплитуда, продължителност, период на повторение и др.
3. Следващият елемент от експерименталната постановка е нискочестотен филтър (LPF). Това е аналогово устройство, което обикновено се използва в такива схеми. Целта му е да ограничи спектъра на изследваните сигнали отгоре, за да се изпълнят условията на теоремата на Котелников. Максималната честота на квантуване на L-картата е 125 kHz, след което, от теоремата на Котелников, за възстановяване на сигнала без изкривяване, спектърът на сигнала не трябва да надвишава fгр:
Според инструкциите на учителя трябва да запоите най-простия нискочестотен филтър. Схемата му е показана на фиг. 6.
https://pandia.ru/text/78/330/images/image126_0.gif" width="85" height="41"> (36)
4. Аналогово-цифров преобразувател (АЦП) - устройство за преобразуване аналогови сигналив цифрови реализации, които могат да се обработват на компютър. Нашата лаборатория използва L-Card тип L-761 и L-783 ADC, разположени директно в системна единицакомпютър.
Задачи
1. Аналитично изчисляване на спектралните функции на периодични сигнали с проста форма, дадена от учителя (правоъгълен видео импулс, триъгълен импулс, експоненциален импулс и др.). Постройте графики на амплитудния и фазовия спектър на тези сигнали.
2. Извършете анализ на Фурие на изброените сигнали в MATLAB с помощта на бързата трансформация на Фурие (FFT). Постройте съответните графики на амплитудните и фазовите спектри в областта на положителните и отрицателните честоти (като използвате функциите fft, fftshift, stem, след като ги разгледате в документацията). Амплитудите на хармониците и техните честоти на графиките трябва да съответстват на техните стойности в даден сигнал. Обърнете специално внимание на влиянието на съотношението между продължителността на импулса и времето за запис на сигнала върху спектъра на сигнала, обяснете резултата. За всеки тип сигнал в едни и същи координати се нанасят амплитудните спектри, намерени аналитично (задача 1) и числено изчислени.
3. Използвайки командата FFT, намерете и сравнете спектрите на сегменти от синусоида, състояща се от цял и нецял брой периоди.
4. Извършете спектрален анализ на сегмент от синусоида, състоящ се от няколко периода. Вижте как спектърът се променя в зависимост от броя на периодите.
5. С помощта на цифровия осцилоскоп L-Graph наблюдавайте изкривяването на сигнала в резултат на нарушаване на теоремата на Котелников. За да направите това, свържете генератор на аналогов хармоничен сигнал към L-картата, задайте честотата на квантуване, например 20 kHz, и плавно променяйки честотата на генератора в диапазона от 1 kHz до 20 kHz, наблюдавайте честотата на цифровизирания сигнал, обяснете наблюдаваните ефекти.
6. Задайте честотата на квантуване на 100kHz, честотата на генератора на хармоничен сигнал на 10kHz и амплитудата на 1V. Запишете сегмент от хармоничен сигнал с продължителност 0,01 s и начертайте неговия амплитуден спектър в MATLAB. В същото време честотите и амплитудите на графиката трябва да съответстват на тези, които действително съществуват.
7. Използвайки резултатите от първата задача, апроксимирайте правоъгълен импулс с краен брой членове на тригонометричния ред. Сравнете на същата графика оригиналния импулс и приблизителните два първи хармоника, първите десет хармоника.
Приложение 1. Отсечка от синусоида
За да изпълните една от задачите, ще трябва да напишете програма за изчисляване на спектъра на синусоида, пример за такава програма е даден по-долу. В началото на програмата се дефинират параметри, които определят продължителността на сигнала в периоди и броя на периодите. Като промените тези параметри, можете да получите различни опциисегмент от синусоида.
изчисти, clc, затвори всички
f0 = 1000; % синусоидална честота
N1 = 20; % продължителност на цялата песен в периоди
N2 = 10; % брой показания за период
N3 = 2; % брой периоди
N = N1*N2; % брой проби в целия запис
fs = f0*N2; % честота на дискретизация
% създават сигнал
t = (0:(N-1))/fs; % време
x(1:N2*N3) = sin(2*pi*(0:(N2*N3-1))/N2);
% изчисляване на диапазона
X = fftshift(abs(fft(x))/N);
f = (ceil(N/2)-N:ceil(N/2)-1)*fs/N;
subplot(2,1,1), plot(t, x,"k"), xlabel("t, c"), ylabel("x(t)")
subplot(2,1,2), stem(f, X,"k."), xlabel("f, Hz"), ylabel("|X|")
Литература
1. Интеграли на Будилин и Фурие. Държавен университет в Санкт Петербург. 2002 г.
2., Трансформации на Романов в MATLAB. СПб. 2007 г
3. Смирнов от Висшата математика (кн.
Формата на честотната характеристика не е нищо повече от спектрално изображение на затихване синусоидаленсигнал. В допълнение, както е известно, амплитудно-честотната характеристика на потока на единичен електрически колебателна верига.
Връзката между формата на амплитудно-честотната характеристика на определени устройства и свойствата на сигнала се изучава в основите на теоретичната електротехника и теоретичната радиотехника. Накратко, това, което сега трябва да ни интересува от това, е следното.
Амплитудно-честотната характеристика на осцилаторната верига съвпада в контур с изображението честотен спектърсигнал, който възниква при ударно възбуждане на този колебателен кръг. За да се илюстрира тази точка, е показана Фиг. 1-3, която показва затихнала синусоида, която възниква, когато се приложи удар към осцилаторна верига. Този сигнал се дава навреме Ом ( А) и спектрален ( b) изображение.
Ориз. 1-3
Според частта от математиката, наречена спектрално-времеви трансформации, спектралните и времевите образи на един и същ променлив във времето процес са, така да се каже, синоними, те са еквивалентни и идентични един на друг. Това може да се сравни с превод на една и съща концепция от един език на друг. Всеки, който е запознат с този дял от математиката, ще каже, че фигури 1-3 Аи 1-3 bса еквивалентни един на друг. В допълнение, спектралното изображение на този сигнал, получено чрез ударно възбуждане на осцилаторната система (осцилаторна верига), е едновременно геометрично подобно на амплитудно-честотната характеристика на същата верига.
Лесно се вижда, че графиката ( b) на фиг.1-3 е геометрично подобен на графиката 3 на фиг.1-1. Тоест, виждайки, че в резултат на измерванията е получена графика 3 , веднага го третирах не само като амплитудно-честотна характеристика на затихването на звука в покривните скали, но и като доказателство за наличието на осцилаторна система в скалната маса.
От една страна, наличието на осцилационни системи в скали, лежащи в покрива на подземна изработка, не повдигна никакви въпроси за мен, тъй като е невъзможно да се получи синусоидален (или, с други думи, хармоничен) сигнал по други начини. От друга страна, никога не съм чувал за наличието на трептителни системи в земната дебелина.
Като начало нека си припомним дефиницията на колебателна система. Осцилаторната система е обект, който реагира на ударно (импулсно) действие със затихващ хармоничен сигнал. Или, с други думи, това е обект, който има механизъм за преобразуване на импулс (удар) в синусоида.
Параметрите на затихнал синусоидален сигнал са честотата f 0 и качествен фактор Q , чиято стойност е обратно пропорционална на коефициента на затихване. Както може да се види от фиг. 1-3, и двата параметъра могат да бъдат определени както от времевия, така и от спектралния образ на този сигнал.
Спектрално-времевите трансформации са самостоятелен раздел на математиката и един от изводите, които трябва да направим от знанията на този раздел, както и от формата на амплитудно-честотната характеристика на звукопроводимостта на скалния масив, показана на фиг. 1 -1 (крива 3), е че по отношение на акустичните свойства изследваната скална маса проявява свойството на трептяща система.
Този извод е съвсем очевиден за всеки, който е запознат със спектрално-времеви трансформации, но е категорично неприемлив за тези, които се занимават професионално с акустика на твърди среди, сеизмични изследвания или геофизика като цяло. Случи се така, че в хода на обучението на студентите от тези специалности този материал не се дава.
Както е известно, в сеизмичните изследвания се счита, че единственият механизъм, който определя формата на сеизмичния сигнал, е разпространението на полето на еластичните трептения според законите на геометричната оптика, отражението му от границите, лежащи в земната дебелина и смущения между отделните компоненти на сигнала. Смята се, че формата на сеизмичните сигнали се дължи на естеството на интерференцията между много малки ехо сигнали, тоест отражения от много малки граници, разположени в планинската верига. Освен това се смята, че с помощта на смущения може да се получи сигнал с всякаква форма.
Да, всичко това е вярно, но фактът е, че хармоничен (включително хармоничен затихващ) сигнал е изключение. Невъзможно е да се получи чрез намеса.
Синусоидата е елементарна информационна тухла, която не може да бъде разложена на по-прости компоненти, тъй като сигнал в природата не съществува по-лесно от синусоида. Ето защо, между другото, редът на Фурие е колекция от точно синусоидални членове. Като елементарен, неделим информационен елемент, синусоидата не може да бъде получена чрез добавяне (намеса) на други, дори по-прости компоненти.
Можете да получите хармоничен сигнал по един единствен начин - а именно чрез въздействие върху трептящата система. При ударно (импулсно) въздействие върху осцилаторната система възниква затихнала синусоида, а при периодично или шумово излагане - незатихнала синусоида. И следователно, след като се види, че амплитудно-честотната характеристика на даден обект е геометрично подобна на спектралния образ на хармоничен затихнал сигнал, вече не е възможно да се третира този обект по друг начин освен като осцилаторна система.
Преди да направя първите си измервания в мина, аз, както всички хора, работещи в областта на акустиката на твърдите среди и сеизмичните проучвания, бях убеден, че в скалния масив няма и не може да има колебателни системи. Но след като открих такава амплитудно-честотна характеристика на затихване, просто нямах право да остана на това мнение.
Извършването на измервания, подобни на описаните по-горе, е много трудоемко, а обработката на резултатите от тези измервания отнема много време. Ето защо, когато видях, че естеството на звукопроводимостта на скалната маса е осцилаторна система, разбрах, че трябва да се използва друга схема за измерване, която се използва при изучаването на осцилаторните системи и която използваме и до днес. Според тази схема източникът на сондиращия сигнал е импулсно (ударно) въздействие върху скалната маса, а приемникът е сеизмичен приемник, специално предназначен за спектрални сеизмични измервания. Схемата за индикация и обработка на сеизмичния сигнал позволява да се наблюдава както във времева, така и в спектрална форма.
Прилагайки тази схема на измерване в същата точка от подземната изработка, както при първото ни измерване, ние се уверихме, че когато скалната маса на покрива е засегната, сигналът, който се появява в този случай, наистина има формата на затихнала синусоида, подобна на което е показано на фиг. 1 -3 а, а спектралното му изображение е подобно на графиката, показана на Фиг. 1-3 b.
Най-често се случва сеизмичният сигнал да съдържа не една, а няколко хармонични компоненти. Въпреки това, без значение колко хармонични компоненти, всички те възникват единствено поради наличието на подходящ брой осцилаторни системи.
Множество изследвания на сеизмични сигнали, получени в различни условия - както в подземни изработки, така и на земната повърхност, и в условията на седиментна покривка, и при изследване на кристални фундаментни скали - показаха, че във всички възможни случаиняма сигнали, получени не в резултат на наличието на трептящи системи, а в резултат на интерферентни процеси.
Изображения на Фурие - комплексни коефициенти на реда на Фурие Е(й w к) периодичен сигнал (1) и спектрална плътност Е(й w) непериодичен сигнал (2) - имат редица общи свойства.
1. Линейност . Интеграли (1) И (2) извършвам линейна трансформацияфункции f(T). Следователно образът на Фурие на линейна комбинация от функции е равен на подобна линейна комбинация от техните изображения. Ако f(T) = а 1 f 1 (T) + а 2 f 2 (T), Че Е(й w) = а 1 Е 1 (й w) + а 2 Е 2 (й w), където Е 1 (й w) и Е 2 (й w) - образи на Фурие на сигнали f 1 (T) И f 2 (T), съответно.
2. Закъснение (промяна на произхода на времето за периодични функции) . Помислете за сигнала f 2 (T), отложено за известно време T 0 спрямо сигнала f 1 (T), който има същата форма: f 2 (T) = f 1 (T – T 0). Ако сигналът f 1 има снимка Е 1 (й w), след това изображението на Фурие на сигнала f 2 е равно Е 2 (й w) == . Умножавайки и разделяйки на , групираме термините, както следва:
Тъй като последният интеграл е Е 1 (й w), тогава Е 2 (й w) = д -й w T 0 Е 1 (й w) . По този начин, когато сигналът се забави за известно време T 0 (променяйки началото на времето), модулът на неговата спектрална плътност не се променя и аргументът намалява с w T 0 пропорционално на времето на забавяне. Следователно амплитудите на спектъра на сигнала не зависят от произхода и началните фази със закъснение от T 0 намаление с w T 0 .
3. Симетрия . За валиден f(T) изображение Е(й w) има спрегната симетрия: Е(– й w) = . Ако f(T) е четна функция, тогава Im Е(й w) = 0; за нечетната функция Re Е(й w) = 0. Модул | Е(й w)| и реалната част на Re Е(й w) - четни честотни функции, аргумент arg Е(й w) и Im Е(й w) - нечетен.
4. Диференциация . От формулата за директно преобразуване, интегрирайки по части, получаваме връзката на образа на производната на сигнала f(T) с изображението на самия сигнал
За абсолютно интегрируема функция f(T) неинтегралният член е равен на нула и следователно при , а последният интеграл представлява изображението на Фурие на оригиналния сигнал Е(й w) . Следователно образът на Фурие на производната df/дте свързано с изображението на самия сигнал чрез отношението й w Е(й w) - при диференциране на сигнал неговото изображение на Фурие се умножава по й w. Същата връзка важи и за коефициентите Е(й w к), които се определят чрез интегриране в крайни граници от – T/2 до + T/2. Наистина продуктът е в съответните граници
Тъй като поради периодичността на функцията f(T/2) = f(– T/2), a = = = (– 1) к, тогава в този случай членът извън интеграла изчезва и формулата
където стрелката символично обозначава операцията на директното преобразуване на Фурие. Тази връзка може също да се обобщи до множествена диференциация: за н-та производна имаме: d n f/dt n (й w) n F(й w).
Получените формули ни позволяват да намерим образа на Фурие на производните на функция от нейния известен спектър. Също така е удобно да се използват тези формули в случаите, когато в резултат на диференциране се стигне до функция, чийто образ на Фурие се изчислява по-просто. Така че, ако f(T) е частично линейна функция, тогава нейната производна df/дте частична константа и за нея интегралът на пряката трансформация може да се намери елементарно. Да се получат спектралните характеристики на интеграла на функцията f(T) изображението му трябва да бъде разделено на й w.
5. Двойствеността на времето и честотата . Сравнението на интегралите на прякото и обратното преобразуване на Фурие води до заключението за тяхната особена симетрия, което става по-очевидно, ако формулата за обратното преобразуване се пренапише, прехвърляйки фактора 2p в лявата страна на уравнението:
За Сигнал f(T), което е четна функция на времето f(– T) = f(T), когато спектралната плътност Е(й w) - реална стойност Е(й w) = Е(w), двата интеграла могат да бъдат пренаписани в тригонометрична форма на косинусово преобразуване на Фурие:
С взаимна замяна Tи w интегралите на преките и обратните трансформации се трансформират един в друг. От това следва, че ако Е(w) представлява спектралната плътност на четната функция на времето f(T), тогава функцията 2p f(w) е спектралната плътност на сигнала Е(T). За странни функции f(T) [f(T) = – f(T)] спектрална плътност Е(й w) чисто въображаемо [ Е(й w) = jF(w)]. Интегралите на Фурие в този случай се свеждат до формата на синусови трансформации, от което следва, че ако спектралната плътност jF(w) съответства на нечетна функция f(T), след това стойността й 2т f(w) представлява спектралната плътност на сигнала Е(T). По този начин графиките на времевата зависимост на сигналите от тези класове и тяхната спектрална плътност са двойствени една спрямо друга.
Интеграл (1)
Интеграл (2)
В радиотехниката спектралното и времевото представяне на сигналите се използва широко. Въпреки че сигналите са случайни процеси по своята същност, индивидуалните реализации на случаен процес и някои специални (например измервателни) сигнали могат да се считат за детерминистични (т.е. известни) функции. Последните обикновено се делят на периодични и непериодични, въпреки че строго периодични сигнали не съществуват. Сигналът се нарича периодичен, ако отговаря на условието
на интервал от време, където T е постоянна стойност, наречена период, а k е всяко цяло число.
Най-простият пример за периодичен сигнал е хармонично трептене (или накратко хармонично).
където е амплитудата, = е честотата, е кръговата честота, е началната фаза на хармоника.
Значението на понятието хармоници за теорията и практиката на радиотехниката се обяснява с редица причини:
- хармоничните сигнали запазват формата и честотата си при преминаване през стационарни линейни електрически вериги(например филтри), променящи само амплитудата и фазата;
- хармоничните сигнали се генерират доста просто (например с помощта на LC осцилатори).
Непериодичен сигнал е сигнал, който е различен от нула за краен интервал от време. Непериодичен сигнал може да се разглежда като периодичен, но с безкрайно голям период. Една от основните характеристики на непериодичния сигнал е неговият спектър. Спектърът на сигнала е функция, която показва зависимостта на интензитета на различни хармоници в състава на сигнала от честотата на тези хармоници. Спектърът на периодичен сигнал е зависимостта на коефициентите на реда на Фурие от честотата на хармониците, на които съответстват тези коефициенти. За непериодичен сигнал спектърът е директното преобразуване на Фурие на сигнала. И така, спектърът на периодичен сигнал е дискретен спектър (дискретна функция на честотата), докато непериодичният сигнал се характеризира с непрекъснат спектър (непрекъснат) спектър.
Нека обърнем внимание на факта, че дискретните и непрекъснатите спектри имат различни измерения. Дискретният спектър има същото измерение като сигнала, докато размерът на непрекъснатия спектър е равен на съотношението на измерението на сигнала към измерението на честотата. Ако, например, сигналът е представен чрез електрическо напрежение, тогава дискретният спектър ще бъде измерен във волтове [V], а непрекъснатият спектър във волтове на херц [V/Hz]. Следователно терминът "спектрална плътност" се използва и за непрекъснатия спектър.
Разгледайте първо спектралното представяне на периодичните сигнали. От курса на математиката е известно, че всяка периодична функция, която отговаря на условията на Дирихле (едно от необходимите условия е условието енергията да е крайна), може да бъде представена чрез ред на Фурие в тригонометрична форма:
където определя средната стойност на сигнала за периода и се нарича постоянен компонент. Честотата се нарича основна честота на сигнала (честотата на първия хармоник), а кратните й се наричат висши хармоници. Израз (3) може да бъде представен като:
Обратните зависимости за коефициентите a и b имат вида
Фигура 1 показва типичен изглед на графиката на амплитудния спектър на периодичен сигнал за тригонометричната форма на серия (6):
Използване на израз (формула на Ойлер).
вместо (6), можем да напишем сложната форма на реда на Фурие:
където коефициентът се нарича комплексните амплитуди на хармониците, чиито стойности, както следва от (4) и формулата на Ойлер, се определят от израза:
Сравнявайки (6) и (9), отбелязваме, че когато използваме сложната форма на серията на Фурие, отрицателните стойности на k ни позволяват да говорим за компоненти с "отрицателни честоти". Появата на отрицателни честоти обаче има формален характер и е свързана с използването на сложна нотация за представяне на реален сигнал.
Тогава вместо (9) получаваме:
има измерението [амплитуда / херц] и показва амплитудата на сигнала за лента от 1 херц. Следователно тази непрекъсната честотна функция S(jw) се нарича спектрална плътност на комплексни амплитуди или просто спектрална плътност. Отбелязваме едно важно обстоятелство. Сравнявайки изрази (10) и (11), забелязваме, че за w=kwo те се различават само с постоянен фактор и
тези. комплексните амплитуди на периодична функция с период T могат да бъдат определени от спектралната характеристика на непериодична функция от същата форма, дадена в интервала . Горното е вярно и по отношение на модула на спектралната плътност:
От тази връзка следва, че обвивката на непрекъснатия амплитуден спектър на непериодичен сигнал и обвивката на амплитудите на линейния спектър на периодичен сигнал съвпадат по форма и се различават само по мащаб. Нека сега изчислим енергията на непериодичния сигнал. Умножавайки двете части на неравенството (14) по s(t) и интегрирайки в безкрайни граници, получаваме:
където S(jw) и S(-jw) са комплексно спрегнати величини. защото
Този израз се нарича равенство на Парсевал за непериодичен сигнал. Той определя общата енергия на сигнала. От това следва, че няма нищо повече от енергията на сигнала за 1 Hz от честотната лента около честотата w. Следователно функцията понякога се нарича спектрална енергийна плътност на сигнала s(t). Сега представяме, без доказателство, няколко теореми за спектрите, изразяващи основните свойства на преобразуването на Фурие.
Зареждане...