Комплексни интеграли

Тази статия завършва темата за неопределените интеграли и включва интеграли, които считам за доста трудни. Урокът е създаден по многократно искане на посетители, които изявиха желание в сайта да бъдат анализирани по-трудни примери.

Предполага се, че читателят на този текст е добре подготвен и знае как да прилага основните техники на интеграция. Манекените и хората, които не са много уверени в интегралите, трябва да се обърнат към първия урок - Неопределен интеграл. Примери за решениякъдето можете да научите темата почти от нулата. По-опитните студенти могат да се запознаят с техниките и методите на интеграция, които все още не са срещани в моите статии.

Какви интеграли ще бъдат разгледани?

Първо, разглеждаме интеграли с корени, за чието решение последователно използваме променливо заместванеИ интеграция по части. Тоест в един пример два метода се комбинират наведнъж. И още повече.

Тогава ще се запознаем с интересен и оригинален метод за редуциране на интеграла до себе си. Не толкова малко интеграли се решават по този начин.

Третият номер на програмата ще бъдат интеграли на сложни фракции, които прелетяха покрай касата в предишни статии.

Четвърто, ще бъдат анализирани допълнителни интеграли от тригонометрични функции. По-специално, има методи, които избягват отнемащото време универсално тригонометрично заместване.

(2) В интегранта ние разделяме числителя на знаменателя член по член.

(3) Използваме свойството за линейност на неопределения интеграл. В последния интеграл веднага поднесете функцията под знака на диференциала.

(4) Вземаме останалите интеграли. Обърнете внимание, че можете да използвате скоби в логаритъма, а не в модула, защото .

(5) Извършваме обратното заместване, изразявайки от директното заместване "te":

Учениците-мазохисти могат да диференцират отговора и да получат оригиналния интегранд, както направих току-що. Не, не, направих проверката в правилния смисъл =)

Както можете да видите, в хода на решението трябваше да се използват дори повече от два метода за решаване, така че за да се справите с такива интеграли, се нуждаете от уверени умения за интегриране и не най-малко опит.

На практика, разбира се, квадратният корен е по-често срещан, ето три примера за независимо решение:

Пример 2

намирам неопределен интеграл

Пример 3

Намерете неопределения интеграл

Пример 4

Намерете неопределения интеграл

Тези примери са от един и същи тип, така че пълното решение в края на статията ще бъде само за Пример 2, в Примери 3-4 - един отговор. Коя замяна да използвам в началото на решенията, мисля, че е очевидно. Защо избрах един и същи тип примери? Често се срещат в техните роли. По-често може би просто нещо подобно .

Но не винаги, когато коренът на линейна функция е под арктангенс, синус, косинус, експонента и други функции, трябва да се прилагат няколко метода наведнъж. В редица случаи е възможно да се „слезе лесно“, т.е. веднага след замяната се получава прост интеграл, който се взема елементарно. Най-лесната от предложените по-горе задачи е пример 4, в който след замяната се получава относително прост интеграл.

Методът за редуциране на интеграла до себе си

Умен и красив метод. Нека да разгледаме класиката на жанра:

Пример 5

Намерете неопределения интеграл

Под корена има квадратен бином и когато се опитвате да интегрирате този пример, чайникът може да страда с часове. Такъв интеграл се взема от части и се свежда до себе си. По принцип не е трудно. Ако знаете как.

Нека означим разглеждания интеграл с латинска буква и да започнем решението:

Интегриране по части:

(1) Подготвяме интегранта за член по член.

(2) Разделяме член по член на интегранд. Може би не всеки разбира, ще напиша по-подробно:

(3) Използваме свойството за линейност на неопределения интеграл.

(4) Взимаме последния интеграл ("дълъг" логаритъм).

Сега нека да разгледаме самото начало на решението:

И за финал:

Какво стана? В резултат на нашите манипулации интегралът се е свел до себе си!

Приравнете началото и края:

Прехвърляме от лявата страна с промяна на знака:

И разрушаваме двойката от дясната страна. Като резултат:

Константата, строго погледнато, трябваше да бъде добавена по-рано, но я добавих накрая. Силно препоръчвам да прочетете каква е тежестта тук:

Забележка: По-стриктно, крайният етап на решението изглежда така:

По този начин:

Константата може да бъде преименувана с . Защо можете да преименувате? Защото все още отнема всякаквистойности и в този смисъл няма разлика между константи и.
Като резултат:

Подобен трик с постоянно преименуване се използва широко в диференциални уравнения. И там ще бъда строг. И тук такива волности си позволявам само за да не ви обърквам с ненужни неща и да се съсредоточа върху самия метод на интеграция.

Пример 6

Намерете неопределения интеграл

Друг типичен интеграл за независимо решение. Пълно решение и отговор в края на урока. Разликата с отговора на предишния пример ще бъде!

Ако под квадратния корен има квадратен трином, тогава решението във всеки случай се свежда до двата анализирани примера.

Например, разгледайте интеграла . Всичко, което трябва да направите, е предварително изберете цял квадрат:
.
След това се извършва линейна подмяна, която управлява "без никакви последствия":
, което води до интеграл . Нещо познато, нали?

Или този пример с квадратен бином:
Избиране на пълен квадрат:
И след линейна замяна получаваме интеграла, който също се решава по вече разгледания алгоритъм.

Помислете за още два типични примера за това как да намалите интеграл до себе си:
е интегралът на степента, умножена по синуса;
е интеграл от степента, умножена по косинус.

В изброените интеграли по части ще трябва да интегрирате вече два пъти:

Пример 7

Намерете неопределения интеграл

Интегралната функция е експонентата, умножена по синуса.

Интегрираме по части два пъти и свеждаме интеграла до себе си:

В резултат на двойно интегриране по части, интегралът се свежда до себе си. Приравнете началото и края на решението:

Прехвърляме от лявата страна с промяна на знака и изразяваме нашия интеграл:

Готов. По пътя е желателно да срешете дясната страна, т.е. извадете експонентата извън скобите и поставете синуса и косинуса в скоби в „красив“ ред.

Сега да се върнем към началото на примера или по-скоро към интегрирането по части:

Защото сме посочили изложителя. Възниква въпросът, степента винаги трябва да се означава с ? Не е задължително. Всъщност в разглеждания интеграл фундаментално няма значение, за какво да се обозначи, може да се върви по друг начин:

Защо това е възможно? Тъй като експонентата се превръща в себе си (при диференциране и интегриране), синусът и косинусът взаимно се превръщат един в друг (отново, както при диференциране, така и при интегриране).

Тоест, тригонометричната функция също може да бъде обозначена. Но в разглеждания пример това е по-малко рационално, тъй като ще се появят дроби. Ако желаете, можете да опитате да решите този пример по втория начин, отговорите трябва да са еднакви.

Пример 8

Намерете неопределения интеграл

Това е пример за „направи си сам“. Преди да решите, помислете какво е по-изгодно в този случай да обозначите, експоненциална или тригонометрична функция? Пълно решение и отговор в края на урока.

И, разбира се, не забравяйте, че повечето от отговорите в този урок са доста лесни за проверка чрез диференциране!

Примерите не се считат за най-трудните. На практика по-често се срещат интеграли, при които константата е едновременно в експонентата и в аргумента на тригонометричната функция, например: . Много хора ще трябва да се объркат в такъв интеграл и аз самият често се обърквам. Факт е, че в решението има голяма вероятност за поява на дроби и е много лесно да загубите нещо поради невнимание. В допълнение, има голяма вероятност за грешка в знаците, имайте предвид, че има знак минус в степента и това въвежда допълнителна трудност.

На последния етап често се оказва нещо подобно:

Дори в края на решението трябва да сте изключително внимателни и правилно да се справяте с дроби:

Интегриране на сложни дроби

Бавно се приближаваме до екватора на урока и започваме да разглеждаме интеграли от дроби. Отново, не всички от тях са супер сложни, просто по една или друга причина примерите бяха малко „извън темата“ в други статии.

Продължаване на темата за корените

Пример 9

Намерете неопределения интеграл

В знаменателя под корена има квадратен тричлен плюс извън корена "придатък" под формата на "х". Интеграл на тази форма се решава чрез стандартно заместване.

Ние решаваме:

Замяната тук е проста:

Поглед към живота след смяната:

(1) След заместване свеждаме членовете под корена към общ знаменател.
(2) Изваждаме го изпод корена.
(3) Намаляваме числителя и знаменателя с . В същото време под корена пренаредих термините в удобен ред. С известен опит, стъпки (1), (2) могат да бъдат пропуснати чрез извършване на коментираните действия устно.
(4) Полученият интеграл, както си спомняте от урока Интегриране на някои дроби, е решен метод за избор на пълен квадрат. Изберете цял квадрат.
(5) Чрез интегриране получаваме обикновен "дълъг" логаритъм.
(6) Извършваме обратната замяна. Ако първоначално , след това обратно: .
(7) Крайното действие е насочено към фризьорство на резултата: под корена отново привеждаме термините към общ знаменател и ги изваждаме от корена.

Пример 10

Намерете неопределения интеграл

Това е пример за „направи си сам“. Тук към самотния x се добавя константа и заместването е почти същото:

Единственото нещо, което трябва да се направи допълнително, е да се изрази "x" от замяната:

Пълно решение и отговор в края на урока.

Понякога в такъв интеграл може да има квадратен бином под корена, това не променя начина, по който се решава решението, дори ще бъде още по-просто. Почувствай разликата:

Пример 11

Намерете неопределения интеграл

Пример 12

Намерете неопределения интеграл

Кратки решения и отговори в края на урока. Трябва да се отбележи, че пример 11 е точно биномен интеграл, чийто метод на решение беше разгледан в урока Интеграли на ирационални функции.

Интеграл на неразложим полином от 2-ра степен на степен

(полином в знаменател)

По-рядка, но въпреки това срещаща се в практически примери форма на интеграла.

Пример 13

Намерете неопределения интеграл

Но да се върнем на примера с щастливото число 13 (честно казано, не познах). Този интеграл също е от категорията на тези, с които можете доста да страдате, ако не знаете как да решите.

Решението започва с изкуствена трансформация:

Мисля, че всички вече разбират как да разделят числителя на знаменателя термин по термин.

Полученият интеграл се взема на части:

За интеграл от формата ( е естествено число), ние получихме рецидивиращформула за понижаване:
, Където е интеграл от по-ниска степен.

Нека проверим валидността на тази формула за решения интеграл.
В този случай: , , използваме формулата:

Както можете да видите, отговорите са едни и същи.

Пример 14

Намерете неопределения интеграл

Това е пример за „направи си сам“. Примерният разтвор използва горната формула два пъти последователно.

Ако под степента е неразложимквадратен трином, тогава решението се редуцира до бином чрез извличане на пълния квадрат, например:

Ами ако има допълнителен полином в числителя? В този случай се използва методът на неопределените коефициенти, а интегралната функция се разширява в сбор от дроби. Но в моята практика на такъв пример никога не съм се срещал, така че пропуснах този случай в статията Интеграли на дробно-рационална функция, сега ще го пропусна. Ако все пак се появи такъв интеграл, вижте учебника - там всичко е просто. Не смятам за целесъобразно да включвам материал (дори прост), вероятността за среща с който клони към нула.

Интегриране на сложни тригонометрични функции

Прилагателното „трудно“ за повечето примери отново е до голяма степен условно. Нека започнем с тангенси и котангенси високи градуси. От гледна точка на методите, използвани за решаване на тангенса и котангенса, са почти еднакви, така че ще говоря повече за тангенса, което означава, че демонстрираният метод за решаване на интеграла е валиден и за котангенса.

В горния урок разгледахме универсално тригонометрично заместванеза решаване на определен вид интеграли от тригонометрични функции. Недостатъкът на универсалното тригонометрично заместване е, че прилагането му често води до тромави интеграли с трудни изчисления. И в някои случаи универсалната тригонометрична замяна може да бъде избегната!

Помислете за друг каноничен пример, интегралът от единица, разделен на синуса:

Пример 17

Намерете неопределения интеграл

Тук можете да използвате универсалното тригонометрично заместване и да получите отговора, но има по-рационален начин. Ще предоставя цялостно решение с коментари за всяка стъпка:

(1) Използваме тригонометричната формула за синуса на двоен ъгъл.
(2) Извършваме изкуствена трансформация: В знаменателя разделяме и умножаваме по .
(3) Съгласно добре познатата формула в знаменателя превръщаме дробта в тангенс.
(4) Подвеждаме функцията под знака на диференциала.
(5) Вземаме интеграла.

чифт прости примериза независимо решение:

Пример 18

Намерете неопределения интеграл

Съвет: Първата стъпка е да използвате формулата за намаляване и внимателно извършете действия, подобни на предишния пример.

Пример 19

Намерете неопределения интеграл

Е, това е много прост пример.

Пълни решения и отговори в края на урока.

Мисля, че сега никой няма да има проблеми с интегралите:
и така нататък.

Каква е идеята зад метода? Идеята е да се използват трансформации, тригонометрични формули, за да се организират само тангентите и производната на тангенса в интегранта. Тоест, говорим за замяна на: . В Примери 17-19 всъщност използвахме тази замяна, но интегралите бяха толкова прости, че беше направено с еквивалентно действие - поставяне на функцията под диференциалния знак.

Подобни разсъждения, както вече споменах, могат да бъдат проведени за котангенса.

Съществува и формална предпоставка за прилагане на горната замяна:

Сборът от степените на косинус и синус е цяло отрицателно ЧЕТНО число, Например:

за интеграл, цяло отрицателно ЧЕТНО число.

! Забележка : ако подинтегралната функция съдържа САМО синус или САМО косинус, то интегралът се взема четен с отрицателна нечетна степен (най-простите случаи са в Примери № 17, 18).

Помислете за няколко по-смислени задачи за това правило:

Пример 20

Намерете неопределения интеграл

Сумата от степените на синус и косинус: 2 - 6 \u003d -4 - отрицателно цяло число ЧЕТНО число, което означава, че интегралът може да бъде намален до тангенси и неговата производна:

(1) Нека трансформираме знаменателя.
(2) По известната формула получаваме .
(3) Нека трансформираме знаменателя.
(4) Използваме формулата .
(5) Подвеждаме функцията под диференциален знак.
(6) Ние извършваме подмяната. По-опитните ученици може да не извършат замяната, но все пак е по-добре да замените допирателната с една буква - има по-малък риск от объркване.

Пример 21

Намерете неопределения интеграл

Това е пример за „направи си сам“.

Чакайте, кръговете на шампионата започват =)

Често в интегранта има "места":

Пример 22

Намерете неопределения интеграл

Този интеграл първоначално съдържа тангенс, което веднага подсказва вече позната мисъл:

Ще оставя изкуствената трансформация в самото начало и останалите стъпки без коментар, тъй като всичко вече беше казано по-горе.

Няколко творчески примера за независимо решение:

Пример 23

Намерете неопределения интеграл

Пример 24

Намерете неопределения интеграл

Да, в тях, разбира се, можете да намалите градусите на синуса, косинуса, да използвате универсалното тригонометрично заместване, но решението ще бъде много по-ефективно и по-кратко, ако е начертано през тангенти. Пълно решение и отговори в края на урока

Главни интеграли, които всеки ученик трябва да знае

Изброените интеграли са основата, основата на основите. Тези формули, разбира се, трябва да се запомнят. Когато изчислявате по-сложни интеграли, ще трябва да ги използвате постоянно.

Плащане Специално вниманиекъм формули (5), (7), (9), (12), (13), (17) и (19). Не забравяйте да добавите произволна константа C към отговора, когато интегрирате!

Интеграл от константа

∫ A d x = A x + C (1)

Интегриране на мощностна функция

Всъщност човек може да се ограничи до формули (5) и (7), но останалите интеграли от тази група са толкова често срещани, че си струва да им се обърне малко внимание.

∫ x d x = x 2 2 + C (2)
∫ x 2 d x = x 3 3 + C (3)
∫ 1 x d x = 2 x + C (4)
∫ 1 x d x = log | x | +C(5)
∫ 1 x 2 d x = − 1 x + C (6)
∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C (n ≠ − 1) (7)

Интеграли на експоненциалната функция и на хиперболичните функции

Разбира се, формула (8) (може би най-удобната за запомняне) може да се разглежда като специален случай на формула (9). Формули (10) и (11) за интегралите на хиперболичния синус и хиперболичния косинус се извличат лесно от формула (8), но е по-добре просто да запомните тези отношения.

∫ e x d x = e x + C (8)
∫ a x d x = a x log a + C (a > 0, a ≠ 1) (9)
∫ s h x d x = c h x + C (10)
∫ c h x d x = s h x + C (11)

Основни интеграли на тригонометрични функции

Грешка, която учениците често правят: бъркат знаците във формули (12) и (13). Спомняйки си, че производната на синуса е равна на косинуса, по някаква причина много хора вярват, че интегралът на функцията sinx е равен на cosx. Това не е вярно! Интегралът от синус е "минус косинус", но интегралът от cosx е "само синус":

∫ sin x d x = − cos x + C (12)
∫ cos x d x = sin x + C (13)
∫ 1 cos 2 x d x = t g x + C (14)
∫ 1 sin 2 x d x = − c t g x + C (15)

Редуциране на интеграли до обратни тригонометрични функции

Формула (16), която води до аркутангенса, естествено е частен случай на формула (17) за a=1. По същия начин (18) е специален случай на (19).

∫ 1 1 + x 2 d x = a r c t g x + C = − a r c c t g x + C (16)
∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a a r c t g x a + C (a ≠ 0) (17)
∫ 1 1 − x 2 d x = arcsin x + C = − arccos x + C (18)
∫ 1 a 2 − x 2 d x = arcsin x a + C = − arccos x a + C (a > 0) (19)

По-сложни интеграли

Тези формули също е желателно да запомните. Те също се използват доста често и изходът им е доста досаден.

∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln | x + x2 + a2 | +C(20)
∫ 1 x 2 − a 2 d x = ln | x + x 2 − a 2 | +C(21)
∫ a 2 − x 2 d x = x 2 a 2 − x 2 + a 2 2 arcsin x a + C (a > 0) (22)
∫ x 2 + a 2 d x = x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln | x + x2 + a2 | + C (a > 0) (23)
∫ x 2 − a 2 d x = x 2 x 2 − a 2 − a 2 2 ln | x + x 2 − a 2 | + C (a > 0) (24)

Общи правила за интегриране

1) Интегралът от сумата на две функции е равен на сумата от съответните интеграли: ∫ (f (x) + g (x)) d x = ∫ f (x) d x + ∫ g (x) d x (25)

2) Интегралът на разликата на две функции е равен на разликата на съответните интеграли: ∫ (f (x) − g (x)) d x = ∫ f (x) d x − ∫ g (x) d x (26)

3) Константата може да бъде извадена от интегралния знак: ∫ C f (x) d x = C ∫ f (x) d x (27)

Лесно е да се види, че свойство (26) е просто комбинация от свойства (25) и (27).

4) Интеграл на сложна функция, ако вътрешната функция е линейна: ∫ f (A x + B) d x = 1 A F (A x + B) + C (A ≠ 0) (28)

Тук F(x) е първоизводната за функцията f(x). Имайте предвид, че тази формула работи само когато вътрешната функция е Ax + B.

Важно: няма универсална формула за интеграл от произведението на две функции, както и за интеграл от дроб:

∫ f (x) g (x) d x = ? ∫ f (x) g (x) d x = ? (тридесет)

Това, разбира се, не означава, че фракция или продукт не могат да бъдат интегрирани. Просто всеки път, когато видите интеграл като (30), трябва да измислите начин да се "борите" с него. В някои случаи интегрирането по части ще ви помогне, някъде ще трябва да направите промяна на променлива, а понякога дори "училищните" формули на алгебра или тригонометрия могат да помогнат.

Прост пример за изчисляване на неопределен интеграл

Пример 1. Намерете интеграла: ∫ (3 x 2 + 2 sin x − 7 e x + 12) d x

Използваме формули (25) и (26) (интегралът на сбора или разликата на функциите е равен на сбора или разликата на съответните интеграли. Получаваме: ∫ 3 x 2 d x + ∫ 2 sin x d x − ∫ 7 e x d x + ∫ 12 d x

Спомнете си, че константата може да бъде извадена от интегралния знак (формула (27)). Изразът се преобразува във формата

3 ∫ x 2 d x + 2 ∫ sin x d x − 7 ∫ e ​​​​x d x + 12 ∫ 1 d x

Сега нека просто използваме таблицата на основните интеграли. Ще трябва да приложим формули (3), (12), (8) и (1). Нека интегрираме степенната функция, синус, експонента и константа 1. Не забравяйте да добавите произволна константа C в края:

3 x 3 3 - 2 cos x - 7 e x + 12 x + C

След елементарни трансформации получаваме крайния отговор:

X 3 − 2 cos x − 7 e x + 12 x + C

Тествайте се с диференциране: вземете производната на получената функция и се уверете, че тя е равна на оригиналния интегранд.

Обобщена таблица на интегралите

∫ A d x = A x + C

∫ x d x = x 2 2 + C

∫ x 2 d x = x 3 3 + C

∫ 1 x d x = 2 x + C

∫ 1 x d x = log | x | +C

∫ 1 x 2 d x = − 1 x + C

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C (n ≠ − 1)

∫ e x d x = e x + C

∫ a x d x = a x ln a + C (a > 0, a ≠ 1)

∫ s h x d x = c h x + C

∫ c h x d x = s h x + C

∫ sin x d x = − cos x + C

∫ cos x d x = sin x + C

∫ 1 cos 2 x d x = t g x + C

∫ 1 sin 2 x d x = − c t g x + C

∫ 1 1 + x 2 d x = a r c t g x + C = − a r c c t g x + C

∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a a r c t g x a + C (a ≠ 0)

∫ 1 1 − x 2 d x = arcsin x + C = − arccos x + C

∫ 1 a 2 − x 2 d x = arcsin x a + C = − arccos x a + C (a > 0)

∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln | x + x2 + a2 | +C

∫ 1 x 2 − a 2 d x = ln | x + x 2 − a 2 | +C

∫ a 2 − x 2 d x = x 2 a 2 − x 2 + a 2 2 arcsin x a + C (a > 0)

∫ x 2 + a 2 d x = x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln | x + x2 + a2 | + C (a > 0)

∫ x 2 − a 2 d x = x 2 x 2 − a 2 − a 2 2 ln | x + x 2 − a 2 | + C (a > 0)

Изтеглете таблицата на интегралите (част II) от този линк

Ако учите в университет, ако имате затруднения с висшата математика (математически анализ, линейна алгебра, теория на вероятностите, статистика), ако имате нужда от услугите на квалифициран преподавател, отидете на страницата на преподавател по висша математика. Нека решим проблемите ви заедно!

Може също да се интересувате