На повърхността.

Локални свойства на криволинейните координати

Когато разглеждаме криволинейни координати в този раздел, ще приемем, че разглеждаме триизмерно пространство (n = 3), оборудвано с декартови координати x, y, z. Случаят на другите измерения се различава само по броя на координатите.

В случай на евклидово пространство, метричният тензор, наричан още квадрат на диференциала на дъгата, ще има в тези координати формата, съответстваща на матрицата на идентичност:

$dS^2\; =\; \backslash mathbf(dx)^2\; +\; \backslash mathbf(dy)^2\; +\; \backslash mathbf(dz)^2.$

Общ случай

Позволявам $q\_1$, $q\_2$, $q\_3$- някои криволинейни координати, които ще разглеждаме като зададени гладки функции на x , y , z . Да има три функции $q\_1$, $q\_2$, $q\_3$служи като координати в някакъв регион на пространството, съществуването на обратно преобразуване е необходимо:

$\backslash left\backslash (\backslash begin(matrix)\; x\; =\; \backslash varphi\_1\backslash left(q\_1,\backslash ;q\_2,\backslash ;q\_3\backslash right);\backslash \backslash \; y=\; \backslash varphi\_2\backslash left(q\_1,\backslash ;q\_2,\backslash ;q\_3\backslash right)\; ;\; \backslash \backslash \; z\; =\; \backslash varphi\_3\backslash left(q\_1,\backslash ;q\_2,\backslash ;q\_3\backslash right),\backslash end(matrix)\backslash right.$

Където $\backslash varphi\_1,\backslash ;\; \backslash varphi\_2,\backslash ;\; \backslash varphi\_3$- функции, дефинирани в някаква област от множества $\backslash left(q\_1,\backslash ;q\_2,\backslash ;q\_3\backslash right)$координати.

Локален базисен и тензорен анализ

В тензорното смятане могат да се въведат локални базисни вектори: $\backslash mathbf(R\_j)=\backslash frac(d\backslash mathbf\; r)(dy^j)=\; \backslash frac(dx^i)(dy^j)\; \backslash mathbf\; e\_i=Q^i\_j\; \backslash mathbf\; e\_i$, Където $\backslash mathbf\; e\_i$- орти на декартовата координатна система, $Q^i\_j$е якобиевата матрица, $x^i$координати в декартовата система, $y^i$- въвеждане на криволинейни координати.
Не е трудно да се види, че криволинейните координати, най-общо казано, варират от точка до точка.
Нека посочим формулите за връзка между криволинейни и декартови координати:
$\backslash mathbf\; R\_i=Q^j\_i\; \backslash mathbf\; e\_j$
$\backslash mathbf\; e\_i=P^j\_i\; \backslash mathbf\; R\_j$Където $P^j\_i\; Q^i\_j=E$, където E е матрицата на идентичност.
Продуктът на два локални базисни вектора образува метрична матрица:
$\backslash mathbf\; R\_i\; \backslash mathbf\; R\_j\; =\; Q^n\_i\; Q^m\_j\; d\_(nm)\; =\; g\_(ij)$
$\backslash mathbf\; R^i\; \backslash mathbf\; R^j\; =\; P^i\_n\; P^j\_m\; d^(nm)=g^(ij)$
$g\_(ij)\; g^(jk)=g^(jk)\; g\_(ij)\; =d\_i^k$, Където $d\_(ij),\; d^(ij),\; d^i\_j$контравариантен, ковариантен и смесен символ на Кронекер
Така всяко тензорно поле $\backslash mathbf\; Т$от ранг n може да се разшири в локална полиадна основа:
$\backslash mathbf\; T=\; T^(i\_1\; ...\; i\_n)\; \backslash mathbf\; e\_i\; \backslash otimes\; ...\; \backslash otimes\; \backslash mathbf\; e\_n\; =T^(i\_1\; ...i\_n)\; P^(j\_1)\_(i\_1)\; ...\; P^\; (j\_n)\_(i\_n)\; \backslash mathbf\; R\_(j\_1)\; \backslash otimes...\; \backslash otimes\; \backslash mathbf\; R\_(j\_n)$
Например, в случай на тензорно поле от първи ранг (вектор):
$\backslash mathbf\; v=v^i\; \backslash mathbf\; e\_i=v^i\; P^j\_i\; \backslash mathbf\; R\_j$

Ортогонални криволинейни координати

В евклидовото пространство използването на ортогонални криволинейни координати е от особено значение, тъй като формулите, свързани с дължина и ъгли, изглеждат по-прости в ортогонални координати, отколкото в общия случай. Това се дължи на факта, че метричната матрица в системи с ортонормална основа ще бъде диагонална, което значително ще опрости изчисленията.
Пример за такива системи е сферична система в $\backslash mathbb(R)^2$

Коефициенти на Ламе

Записваме диференциала на дъгата в криволинейни координати във формата (използвайки правилото за сумиране на Айнщайн):

$dS^2\; =\; \backslash left(\backslash frac(\backslash partial\; \backslash varphi\_1)(\backslash partial\; q\_i)\backslash mathbf(dq)\_i\; \backslash right)^2\; +$

\left(\frac(\partial \varphi_2)(\partial q_i)\mathbf(dq)_i \right)^2 + \left(\frac(\partial \varphi_3)(\partial q_i)\mathbf(dq)_i \right)^2 , ~i=1,2,3

Като се вземе предвид ортогоналността на координатните системи ( $\backslash mathbf(dq)\_i\; \backslash cdot\; \backslash mathbf(dq)\_j\; =\; 0$при $i\; \backslash ne\; j$) този израз може да бъде пренаписан като

$dS^2\; =\; H\_1^2dq\_1^2\; +\; H\_2^2dq\_2^2\; +\; H\_3^2dq\_3^2,$

$H\_i\; =\; \backslash sqrt(\backslash left(\backslash frac(\backslash partial\; \backslash varphi\_1)(\backslash partial\; q\_i)\backslash right)^2\; +\; \backslash left(\backslash frac(\backslash partial\; \backslash varphi\_2)(\backslash partial\; q\_i)\backslash right)^2\; +\; \backslash \; ляво(\backslash frac(\backslash partial\; \backslash varphi\_3)(\backslash partial\; q\_i)\backslash right)^2);\backslash \; i=1,\backslash ;2,\backslash ;3$

Положителни стойности $здравей\backslash$, в зависимост от точка в пространството, се наричат ​​коефициенти на Ламе или мащабни фактори. Коефициентите на Ламе показват колко единици дължина се съдържат в единицата за координати на дадена точка и се използват за трансформиране на вектори при преминаване от една координатна система към друга.

Риманов метричен тензор, записан в координати $(q\_i)$, е диагонална матрица , по диагонала на която са квадратите на коефициентите на Ламе:

Примери

Полярни координати ( н=2)

Полярните координати в равнината включват разстоянието r до полюса (началото) и посоката (ъгъл) φ.

Връзка на полярните координати с декартовите:

$\backslash left\backslash (\backslash begin(matrix)\; x\; =\; r\backslash cos(\backslash varphi);\backslash \backslash \; y\; =\; r\backslash sin(\backslash varphi).\backslash end(matrix)\backslash right.$

Коефициенти на Ламе:

$\backslash begin(matrix)H\_r\; =\; 1;\; \backslash \backslash H\_\backslash varphi\; =\; r.\; \backslash край\; (матрица)$

Диференциал на дъгата:

$dS^2\backslash \; =\backslash \; dr^2\backslash \; +\backslash \; r^2d\backslash varphi^2.$

В началото функцията φ не е дефинирана. Ако координатата φ се разглежда не като число, а като ъгъл (точка върху единична окръжност), тогава полярните координати образуват координатна система в областта, получена от цялата равнина чрез премахване на началната точка. Ако въпреки това разглеждаме φ като число, тогава в обозначената област то ще бъде многозначно и изграждането на координатна система строго в математическия смисъл е възможно само в просто свързана област, която не включва произхода, например , на плоскост без лъч.

Цилиндрични координати ( н=3)

Цилиндричните координати са тривиално обобщение на полярните координати за случая на триизмерно пространство чрез добавяне на трета координата z. Връзка на цилиндричните координати с декартовите:

$\backslash left\backslash (\backslash begin(matrix)\; x\; =\; r\backslash cos(\backslash varphi);\backslash \backslash \; y\; =\; r\backslash sin(\backslash varphi).\; \backslash \backslash \; z\; =\; z.\; \backslash end(matrix)\backslash right.$

Коефициенти на Ламе:

$\backslash begin(matrix)H\_r\; =\; 1;\; \backslash \backslash H\_\backslash varphi\; =\; r;\; \backslash \backslash \; H\_z\; =\; 1.\; \backslash end(матрица)$

Диференциал на дъгата:

$dS^2\backslash \; =\backslash \; dr^2\backslash \; +\backslash \; r^2d\backslash varphi^2\; +\; dz^2.$

Сферични координати ( н=3)

Сферичните координати са свързани с координатите на географската ширина и дължина на единичната сфера. Връзка на сферични координати с декартови:

$\backslash left\backslash (\backslash begin(matrix)\; x\; =\; r\backslash sin(\backslash theta)\backslash cos(\backslash varphi);\backslash \backslash \; y\; =\; r\backslash sin(\backslash theta)\backslash sin(\backslash varphi);\; \backslash \backslash \; z\; =\; r\backslash cos\; (\backslash theta).\backslash край\; (матрица)\backslash надясно.$

Коефициенти на Ламе:

$\backslash begin(matrix)H\_r\; =\; 1;\; \backslash \backslash \; H\_\backslash theta\; =\; r;\; \backslash \backslash H\_\backslash varphi\; =\; r\backslash sin(\backslash theta).\; \backslash край\; (матрица)$

Диференциал на дъгата:

$dS^2\backslash \; =\backslash \; dr^2\backslash \; +\backslash \; r^2d\backslash theta^2\; +\; r^2\backslash sin^2(\backslash theta)d\backslash varphi^2.$

Сферичните координати, подобно на цилиндричните координати, не работят по оста z (x=0, y=0), тъй като φ координатата не е дефинирана там.

Различни екзотични координати в самолета ( н=2) и техните обобщения

Напишете отзив за статията "Криволинейна координатна система"

Литература

• Корн Г., Корн Т.Наръчник по математика (за учени и инженери). - М .: Наука, 1974. - 832 с.

Име на координатите Видове координатни системи 2D координати 3D координати $н$-размерни координати Физически координати Свързани определения

Откъс, характеризиращ криволинейната координатна система

„Ако можеше да ни атакува, щеше да го направи днес“, каза той.
— Значи смятате, че той е безсилен — каза Ланжерон.
„Много, ако има 40 000 войници“, отговори Уейротер с усмивката на лекар, на когото лекарят иска да посочи лекарство.
„В такъв случай той отива на смърт, чакайки нашата атака“, каза Ланжерон с тънка, иронична усмивка, поглеждайки към най-близкия Милорадович за потвърждение.
Но Милорадович, очевидно, в този момент най-малко мислеше за това, за което се караха генералите.
- Ma foi, [за Бога,] - каза той, - утре ще видим всичко на бойното поле.
Уейротер отново се засмя с онази усмивка, която казваше, че е нелепо и странно за него да среща възражения от страна на руските генерали и да доказва това, в което не само самият той е твърде сигурен, но и това, в което са сигурни и императорите.
„Врагът е потушил пожарите и в лагера му има непрекъснат шум“, каза той. - Какво означава? „Или той се отдалечава, което е единственото нещо, от което трябва да се страхуваме, или променя позицията си (той се засмя). Но дори и да заеме позиция в Тюрас, той само ни спестява много проблеми, а заповедите до най-малкия детайл остават същите.
„По какъв начин? ..“, каза принц Андрей, който отдавна чакаше възможност да изрази съмненията си.
Кутузов се събуди, прокашля се тежко и огледа генералите.
„Господа, разпореждането за утре, дори днес (защото вече е първият час), не може да бъде променено“, каза той. „Чухте я и ние всички ще изпълним дълга си. И преди битката няма нищо по-важно... (той направи пауза) как да се наспим добре.
Той се престори, че става. Генералите се поклониха и се оттеглиха. Минаваше полунощ. Принц Андрю си тръгна.

Военният съвет, на който княз Андрей не успя да изрази мнението си, както се надяваше, остави у него неясно и тревожно впечатление. Кой беше прав: Долгоруков с Вейротер или Кутузов с Ланжерон и други, които не одобряваха плана за атака, той не знаеше. „Но наистина ли беше невъзможно Кутузов директно да изрази мислите си на суверена? Не може ли по друг начин? Наистина ли е необходимо да рискувам десетки хиляди и живота си заради съдебни и лични съображения? той помисли.
„Да, много е възможно утре да те убият“, помисли си той. И изведнъж, при тази мисъл за смъртта, във въображението му се надигнаха цяла поредица от спомени, най-далечни и най-искрени; той си спомни последното сбогом на баща си и съпругата си; той си спомни първите дни на любовта си към нея! Той си спомни бременността й и съжали и нея, и себе си, и в нервно омекнало и развълнувано състояние напусна колибата, в която стоеше с Несвицки, и тръгна пред къщата.
Нощта беше мъглива и лунната светлина блестеше тайнствено през мъглата. „Да, утре, утре! той помисли. „Утре може би всичко ще свърши за мен, всички тези спомени вече няма да съществуват, всички тези спомени вече няма да имат никакво значение за мен. Утре, може би, дори вероятно утре, предвиждам го, за първи път най-накрая ще трябва да покажа всичко, което мога. И той си представи битката, загубата й, концентрацията на битката в една точка и объркването на всички командващи лица. И сега този щастлив момент, онзи Тулон, който е чакал толкова дълго, най-накрая се появява пред него. Той твърдо и ясно казва мнението си и на Кутузов, и на Вейротер, и на императорите. Всички са учудени от правилността на неговите идеи, но никой не се заема да ги изпълни и затова той взема полк, дивизия, произнася условие никой да не пречи на неговите заповеди и води своята дивизия до решаваща точка и сам печели. Ами смъртта и страданието? казва друг глас. Но княз Андрей не отговаря на този глас и продължава успехите си. Разположението на следващата битка се прави само от него. Носи чин дежурен по армията при Кутузов, но върши всичко сам. Следващата битка е спечелена само от него. Кутузов е заменен, той е назначен ... Е, и тогава? друг глас казва отново и след това, ако не си ранен, убит или измамен десет пъти преди това; добре, тогава какво? „Е, и тогава“, отговаря сам княз Андрей, „не знам какво ще стане по-нататък, не искам и не мога да знам: но ако искам това, искам слава, искам да бъда известни хораИскам да бъда обичан от тях, тогава не съм виновен, че искам това, че искам само това, само за това живея. Да, за този! Никога няма да кажа на никого това, но, Боже мой! какво да правя, ако не обичам нищо друго освен слава, човешка любов. Смърт, рани, загуба на семейство, нищо не ме плаши. И колкото и скъпи и скъпи да са ми много хора - баща ми, сестра ми, съпруга - най-скъпите за мен хора - но, колкото и ужасно и неестествено да изглежда, аз ще ги дам всички сега за миг на слава, триумф над хората, за любов към себе си хора, които не познавам и няма да познавам, за любовта на тези хора “, помисли си той, слушайки разговора в двора на Кутузов. В двора на Кутузов се чуха гласовете на санитарите, които опаковаха багажа; един глас, вероятно кочияшът, дразнещ стария Кутузовски готвач, когото княз Андрей познаваше и чието име беше Тит, каза: „Тит, а Тит?“
- Добре - отвърна старецът.
„Тит, иди да вършееш“, каза шегаджията.
„Пах, ами да ги вземат по дяволите“, чу се глас, покрит със смях на батмани и слуги.
„И все пак аз обичам и ценя само триумфа над всички тях, ценя тази мистериозна сила и слава, която тук връхлита над мен в тази мъгла!“

Тази нощ Ростов беше с взвод във фланговата верига, пред отряда на Багратион. Неговите хусари бяха разпръснати по двойки във вериги; самият той яздеше по тази верига, опитвайки се да преодолее съня, който неудържимо го обземаше. Зад него се виждаше огромно пространство от огньове на нашата армия, горящи неясно в мъглата; пред него беше мъглив мрак. Колкото и да се взираше Ростов в тази мъглива далечина, той не виждаше нищо: то посивя, после нещо сякаш почерня; след това блеснаха като светлини, където трябваше да бъде врагът; тогава си помисли, че само в очите му блести. Очите му бяха затворени и сега суверенът, после Денисов, после московски спомени се появиха във въображението му и той отново бързо отвори очи и близо пред себе си видя главата и ушите на коня, на който седеше, понякога черните фигури на хусари, когато беше на шест крачки, се втурнаха в тях, а в далечината същата мъглива тъмнина. "От това, което? Много е възможно, помисли си Ростов, суверенът, като ме срещне, да даде заповед, както би направил на всеки офицер: той ще каже: „Иди, разбери какво има“. Те много разказваха как съвсем случайно той разпознал по такъв начин някакъв офицер и го доближил до него. Ами ако ме доближи до него! О, как щях да го защитя, как щях да му кажа цялата истина, как щях да разоблича измамниците му ”, и Ростов, за да си представи ярко любовта и предаността си към суверена, си представи германския враг или измамник, когото той се радваше не само на убити, но и на удари по бузите в очите на суверена. Внезапно далечен вик събуди Ростов. Той трепна и отвори очи.
"Къде се намирам? Да, във веригата: лозунгът и паролата са тегличът, Олмуц. Колко жалко, че нашата ескадрила утре ще бъде в резерв... помисли си той. - Ще поискам работа. Това може би е единственият шанс да се види със суверена. Да, не след дълго промяната. Ще обиколя пак и като се върна, ще отида при генерала и ще го попитам. Той се съвзе на седлото и докосна коня, за да заобиколи още веднъж своите хусари. Мислеше, че е по-ярко. От лявата страна се виждаше лек, осветен склон и отсреща, черен хълм, който изглеждаше стръмен, като стена. На този хълм имаше бяло петно, което Ростов не можеше да разбере по никакъв начин: дали това беше поляна в гората, осветена от луната, или останалия сняг, или бели къщи? Дори му се стори, че нещо се размърда над това бяло петно. „Снегът трябва да е петно; петното е une tache, помисли си Ростов. „Тук не разбиваш ...“

На всяка повърхност можете да създадете координатна система, като отново дефинирате позицията на точка върху нея с две числа. За да направим това, по някакъв начин покриваме цялата повърхност с две семейства линии, така че през всяка от нейните точки (може би с малък брой изключения) да минава една и само една линия от всяко семейство. Сега е необходимо само да се осигурят линиите на всяко семейство с цифрови маркировки според някакво твърдо правило, което позволява да се намери желаната семейна линия чрез цифровата маркировка (фиг. 22).

координати на точки Мповърхностите служат като числа u, v,Където u-- цифрова маркировка на линията на първото семейство, което преминава М,И v-- маркиращи линии от второто семейство. Ще продължим да пишем: M(u; v),числа И, vсе наричат ​​криволинейни координати на точката М.Казаното ще стане съвсем ясно, ако се обърнем към сферата за пример. Може да бъде покрит изцяло от меридиани (първото семейство); всеки от тях съответства на цифров знак, а именно стойността на географската дължина u(или c). Всички паралели образуват второ семейство; всеки от тях отговаря на цифров знак - географска ширина v(или и). През всяка точка на сферата (без полюсите) има само един меридиан и един паралел.

Като друг пример, разгледайте страничната повърхност на прав кръгов цилиндър с височина H,радиус а(фиг. 23). За първото семейство ще вземем системата от неговите генератори, като един от тях ще бъде взет за начален. Присвояваме знак на всяка образуваща ти,равна на дължината на дъгата по обиколката на основата между началната образуваща и дадената (ще броим дъгата, например, обратно на часовниковата стрелка). За второто семейство приемаме системата от хоризонтални участъци на повърхността; цифров знак vще разгледаме височината, на която се изчертава сечението над основата. С правилен избор на оси x, y, zв пространството ще имаме за всяка точка M(x; y; z) нашата повърхност:

(Тук аргументите за косинус и синус не са в градуси, а в радиани.) Тези уравнения могат да се разглеждат като параметрични уравнения за повърхността на цилиндър.

Задача 9. Според каква крива трябва да се изреже парче калай, за да се направи коляно на водосточна тръба, така че след правилно огъване да се получи цилиндър с радиус а,пресечена от равнина под ъгъл 45° спрямо равнината на основата?

Решение. Нека използваме параметричните уравнения на повърхността на цилиндъра:

Начертаваме режещата равнина през оста онейното уравнение z=y.Комбинирайки го с току-що написаните уравнения, получаваме уравнението

пресечни линии в криволинейни координати. След разгъване на повърхността върху равнина, криволинейните координати ИИ vпревръщат в декартови координати.

Така че парче калай трябва да бъде очертано отгоре по синусоида

Тук uИ vвече декартови координати на равнината (фиг. 24).

Както в случая на сфера и цилиндрична повърхност, така и в общия случай, спецификацията на повърхност чрез параметрични уравнения води до установяване на криволинейна координатна система на повърхността. Наистина, изразът за декартови координати x, y, zпроизволна точка M (x; y; z)повърхности чрез два параметъра ти, v(Това обикновено се пише така: х\u003d c ( u; v),y=° С (u;v), z=u (u;v), ts, sh, u - функции на два аргумента) го прави възможно, познавайки двойка числа ти, v,намерете съответстващи координати x, y, z,така че позицията на точката Мвърху повърхност; числа ти, vслужат за негови координати. Даването на една от тях на постоянна стойност, като u=u 0 , получаваме израза x, y, zчрез един параметър v,т.е. параметричното уравнение на кривата. Това е координатната линия на едно семейство, неговото уравнение u=u 0 . Същата линия v=v 0 -- координатна линия на друго семейство.

координатен декартов радиус-вектор

Съответстващо на такова векторно пространство. В тази статия първото определение ще бъде взето като първоначално.

N (\displaystyle n)-мерно евклидово пространство е означено E n , (\displaystyle \mathbb (E) ^(n),)нотацията също се използва често (ако от контекста е ясно, че пространството има евклидова структура).

Енциклопедичен YouTube

1 / 5

✪ 04 - Линейна алгебра. Евклидово пространство

✪ Неевклидова геометрия. Част първа.

✪ Неевклидова геометрия. Част две

✪ 01 - Линейна алгебра. Линейно (векторно) пространство

✪ 8. Евклидови пространства

субтитри

Формална дефиниция

За да се дефинира евклидовото пространство, най-лесно е да се приеме като основна концепция скаларното произведение. Евклидовото векторно пространство се дефинира като крайномерно векторно пространство над полето от реални числа, на чиито вектори е дадена функция с реална стойност (⋅ , ⋅) , (\displaystyle (\cdot ,\cdot),)със следните три свойства:

Пример за евклидово пространство - координатно пространство R n, (\displaystyle \mathbb (R) ^(n),)състоящ се от всички възможни кортежи от реални числа (x 1 , x 2 , … , x n) , (\displaystyle (x_(1),x_(2),\ldots ,x_(n)),)скаларно произведение, в което се определя по формулата (x, y) = ∑ i = 1 n x i y i = x 1 y 1 + x 2 y 2 + ⋯ + x n y n. (\displaystyle (x,y)=\sum _(i=1)^(n)x_(i)y_(i)=x_(1)y_(1)+x_(2)y_(2)+\cdots +x_(n)y_(n).)

Дължини и ъгли

Скаларният продукт, даден върху евклидовото пространство, е достатъчен за въвеждане на геометричните понятия за дължина и ъгъл. Дължина на вектора u (\displaystyle u)определен като (u , u) (\displaystyle (\sqrt ((u,u))))и означено | u | . (\displaystyle |u|.)Положителната определеност на вътрешния продукт гарантира, че дължината на ненулев вектор е различна от нула и от билинейността следва, че | a u | = | a | | u | , (\displaystyle |au|=|a||u|,)това означава, че дължините на пропорционалните вектори са пропорционални.

Ъгъл между векторите u (\displaystyle u)И v (\displaystyle v)се определя по формулата φ = arccos ⁡ ((x, y) | x | | y |) . (\displaystyle \varphi =\arccos \left((\frac ((x,y))(|x||y|))\right).)От косинусовата теорема следва, че за двумерно евклидово пространство ( евклидова равнина) това определениеъгълът съвпада с обичайния. Ортогоналните вектори, както и в тримерното пространство, могат да бъдат определени като вектори, ъгълът между които е равен на π 2 . (\displaystyle (\frac (\pi )(2)).)

Неравенство на Коши-Буняковски-Шварц и неравенство на триъгълник

Остава една празнина в определението за ъгъл, дадено по-горе: за да arccos ⁡ ((x , y) | x | | y |) (\displaystyle \arccos \left((\frac ((x,y))(|x||y|))\right))беше дефинирано, необходимо е неравенството | (x, y) | x | | y | | ≤ 1. (\displaystyle \left|(\frac ((x,y))(|x||y|))\right|\leqslant 1.)Това неравенство наистина е изпълнено в произволно евклидово пространство, то се нарича неравенство на Коши - Буняковски - Шварц. От това неравенство на свой ред следва неравенството на триъгълника: | u+v | ⩽ | u | + | v | . (\displaystyle |u+v|\leqslant |u|+|v|.)Неравенството на триъгълника, заедно със свойствата на дължината, изброени по-горе, означава, че дължината на вектор е норма в евклидово векторно пространство и функцията d(x, y) = | x − y | (\displaystyle d(x,y)=|x-y|)дефинира структурата на метрично пространство върху евклидовото пространство (тази функция се нарича евклидова метрика). По-специално, разстоянието между елементите (точките) x (\displaystyle x)И y (\displaystyle y)координатно пространство R n (\displaystyle \mathbb (R) ^(n))дадено от формулата d (x , y) = ‖ x − y ‖ = ∑ i = 1 n (x i − y i) 2 . (\displaystyle d(\mathbf (x) ,\mathbf (y))=\|\mathbf (x) -\mathbf (y) \|=(\sqrt (\sum _(i=1)^(n) (x_(i)-y_(i))^(2))).)

Алгебрични свойства

Ортонормални основи

Двойни интервали и оператори

Всеки вектор x (\displaystyle x)Евклидовото пространство дефинира линеен функционал x ∗ (\displaystyle x^(*))на това пространство, определено като x ∗ (y) = (x , y) . (\displaystyle x^(*)(y)=(x,y).)Това преобразуване е изоморфизъм между евклидовото пространство и

Правоъгълна пространствена система от декартови координати

Трансформации на пространствени правоъгълни координатни системи

Трансформации на линейно картографиране

Намаляване на обща квадратна форма до канонична

Криволинейни координати

Общи сведения за криволинейните координатни системи

Криволинейни координати на повърхността

Полярни координатни системи и техните обобщения

Пространствена полярна координатна система

Цилиндрична координатна система

Сферична координатна система

Полярни координати на повърхността

Глава 3. КООРДИНАТНИ СИСТЕМИ, ИЗПОЛЗВАНИ В ГЕОДЕЗИЯТА

Обща класификация на координатните системи, използвани в геодезията

Наземни геодезически координатни системи

Полярни координатни системи в геодезията

Криволинейни елипсоидални системи от геодезически координати

Определяне на елипсоидни геодезически координати с отделен метод за определяне на планово и височинно положение на точки от земната повърхност

Преобразуване на пространствени геодезични полярни координати в елипсоидални геодезични координати

Преобразуване на референтни системи от геодезически координати в глобални и обратно

Пространствени правоъгълни координатни системи

Връзка на пространствени правоъгълни координати с елипсоидални геодезически координати

Преобразуване на пространствени правоъгълни референтни координати в глобални и обратно

Топоцентрични координатни системи в геодезията

Връзка на пространствена топоцентрична хоризонтална геодезична CS с пространствени полярни сферични координати

Преобразуване на топоцентрични хоризонтални геодезически координати в пространствени правоъгълни координати X, Y, Z

Системи от плоски правоъгълни координати в геодезията

Връзка на равнинни правоъгълни координати на Гаус-Крюгер към елипсоидални геодезични координати

Равнинна правоъгълна координатна трансформация на Гаус-Крюгер от една зона в друга

Преизчисляване на плоски правоъгълни координати на точки от локални геодезически конструкции към други системи от плоски правоъгълни координати

Глава 4

Координатни системи на сферичната астрономия

Референтни системи в космическата геодезия

Звездни (небесни) инерционни геоцентрични екваториални координати

Гринуичка земна геоцентрична система от пространствени правоъгълни координати

Топоцентрични координатни системи

Глава 5

Системи от държавни геодезически координати в началото на XXI век.

Изграждане на Държавна геодезическа мрежа

БИБЛИОГРАФИЯ

ПРИЛОЖЕНИЕ 1. РЕШЕНИЕ НА ПРЯКАТА ГЕОДЕЗИЧНА ЗАДАЧА В ПРОСТРАНСТВОТО

ПРИЛОЖЕНИЕ 2. РЕШЕНИЕ НА ОБРАТНАТА ГЕОДЕЗИЧНА ЗАДАЧА В ПРОСТРАНСТВОТО

ПРИЛОЖЕНИЕ 3. ПРЕОБРАЗУВАНЕ НА ГЕОДЕЗИЧЕСКИ КООРДИНАТИ B, L, H В ПРОСТРАНСТВЕН ПРАВОЪГЪЛНИК X, Y, Z

ПРИЛОЖЕНИЕ 4

ПРИЛОЖЕНИЕ 5. ПРЕОБРАЗУВАНЕ НА ПРОСТРАНСТВЕНИТЕ ПРАВОЪГЪЛНИ КООРДИНАТИ X, Y, Z SK-42 В КООРДИНАТИ НА СИСТЕМАТА PZ-90

ПРИЛОЖЕНИЕ 6. ПРЕОБРАЗУВАНЕ НА РЕФЕРЕНТНАТА СИСТЕМА ОТ ГЕОДЕЗИЧЕСКИ КООРДИНАТИ B, L, H В СИСТЕМАТА ОТ ГЕОДЕЗИЧЕСКИ КООРДИНАТИ PZ-90 B0, L0, H0

ПРИЛОЖЕНИЕ 7. ПРЕОБРАЗУВАНЕ НА ПРОСТРАНСТВЕНИТЕ ПОЛЯРНИ КООРДИНАТИ НА СИСТЕМАТА S, ZG, A В ТОПОЦЕНТРИЧНИ ХОРИЗОНТАЛНИ ГЕОДЕЗИЧЕСКИ КООРДИНАТИ ХТ, УТ, ZТ

ПРИЛОЖЕНИЕ 8. ПРЕОБРАЗУВАНЕ НА ТОПОЦЕНТРИЧНИ ХОРИЗОНТАЛНИ ГЕОДЕЗИЧЕСКИ КООРДИНАТИ ХТ, УТ, ZТ В ПОЛЯРНИ ПРОСТРАНСТВЕНИ КООРДИНАТИ – S, ZГ, A

ПРИЛОЖЕНИЕ 9. ПРЕОБРАЗУВАНЕ НА ТОПОЦЕНТРИЧНИ ХОРИЗОНТАЛНИ ГЕОДЕЗИЧНИ КООРДИНАТИ XT, UT, ZT В ПРОСТРАНСТВЕНИ ПРАВОЪГЪЛНИ КООРДИНАТИ X, Y, Z

ПРИЛОЖЕНИЕ 10. ПРЕОБРАЗУВАНЕ НА ЕЛИПСОИДАЛНИ ГЕОДЕЗИЧЕСКИ КООРДИНАТИ B, L В ПЛОСКИ ПРАВОЪГЪЛНИ КООРДИНАТИ ГАУС - КРЮГЕР X, Y

ПРИЛОЖЕНИЕ 11. ПРЕОБРАЗУВАНЕ НА РАВНИНСКИ ПРАВОЪГЪЛНИ КООРДИНАТИ ГАУС - КРЮГЕР X, Y В ЕЛИСПОИДАЛНИ ГЕОДЕЗИЧЕСКИ КООРДИНАТИ B, L

(a 11 - λ1 )(a 22 - λ1 ) - a 12 a 21 = 0 ;

λ 12 - (a 11 + a 22 )λ 1 + (a 11a 22 - a 12 a 21 ) = 0 .

Дискриминантът на тези квадратни уравнения е ³ 0, т.е.

D \u003d (a 11 + a 22) 2 - 4 (a 11a 22 - a 12 a 21) \u003d (a 11 - a 22) 2 + 4a 122 ³ 0.

Извикват се уравнения (2.56), (2.57). характеристични уравнения

матрици, а корените на тези уравнения са собствени номераматрици A. Заместваме собствените стойности, намерени от (2.57) в (2.39), получаваме

канонично уравнение.

Дадена е квадратна форма във формата: F (x x ) = 5x 2				2x2.

Намерете каноничната форма на това уравнение.

Тъй като тук a 11 = 5; и 21 = 2; и 22 = 2, тогава характеристичното уравнение (2.56) за дадената квадратна форма ще има формата

5 - λ 2

2 2 - λ 1

Приравняване на детерминантата на това матрично уравнение на нула

(5 – λ)(2 – λ) – 4 = λ2 – 7λ + 6 = 0

и решавайки това квадратно уравнение, получаваме λ1 = 6; λ2 = 1.

И тогава каноничната форма на тази квадратна форма ще изглежда така

F (x 1 , x 2 ) = 6 x 1 2 + x 2 2 .

2.3. Криволинейни координати

2.3.1. Общи сведения за криволинейните координатни системи

Класът на криволинейните координати, в сравнение с класа на праволинейните координати, е обширен и много по-разнообразен и от аналитична гледна точка е най-универсален, тъй като разширява възможностите на метода на праволинейните координати. Използването на криволинейни координати понякога може значително да опрости решението на много проблеми, особено проблеми, които се решават директно върху повърхността на въртене. Така например, когато решавате проблем върху повърхност на въртене, свързан с намирането на определена функция, в областта на уточняване на тази функция върху дадена повърхност, можете да изберете такава система от криволинейни координати, която ще ви позволи да дадете тази функцияново свойство е да бъде постоянен в дадена координатна система, което не винаги е възможно при използването на праволинейни координатни системи.

Системата от криволинейни координати, дадена в някаква област на триизмерното евклидово пространство, присвоява на всяка точка от това пространство подредена тройка реални числа - φ, λ, r (криволинейни координати на точка).

Ако системата от криволинейни координати е разположена директно върху някаква повърхност (повърхност на въртене), тогава в този случай на всяка точка от повърхността се приписват две реални числа - φ, λ, които еднозначно определят позицията на точката на тази повърхност.

Трябва да има математическа връзка между системата от криволинейни координати φ, λ, r и праволинейната декартова CS (X, Y, Z). Наистина, нека системата от криволинейни координати е дадена в някаква област на пространството. Всяка точка от това пространство съответства на една тройка криволинейни координати - φ, λ, r. От друга страна, същата точка съответства на единствената тройка от праволинейни декартови координати - X, Y, Z. Тогава може да се твърди, че в общ изглед

ϕ \u003d ϕ (X, Y, Z);

λ = λ (,); (2,58)

X Y Z

r = r(X, Y, Z).

Съществува както пряка (2.58), така и обратна математическа връзка между тези SC.

От анализа на формулите (2.58) следва, че при постоянна стойност на една от пространствените криволинейни координати φ, λ, r, напр.

ϕ \u003d ϕ (X, Y, Z) \u003d const,

И променливи стойности на другите две (λ, r ), получаваме най-общо повърхност, която се нарича координатна. Координатните повърхнини, съответстващи на една и съща координата, не се пресичат. Въпреки това две координатни повърхности, съответстващи на различни координати, се пресичат и дават координатна линия, съответстваща на третата координата.

2.3.2. Криволинейни координати на повърхността

За геодезията най-голям интерес представляват повърхностните криволинейни координати.

Нека уравнението на повърхността е функция на декартови координати в

имплицитно има формата
F (X, Y, Z) = 0.

Чрез насочване на единичните вектори по координатните оси i, j, l (фиг. 2.11), уравнението на повърхността може да бъде написано във векторна форма

r \u003d X i + Y j + Z l. (2,60)

Въвеждаме две нови независими променливи φ и λ, така че функциите

отговарят на уравнение (2.59). Равенствата (2.61) са параметрични уравнения на повърхността.

λ1=конст

					λ2=конст
					λ3=конст
					φ3=конст
					φ2=конст
					φ1=конст

Ориз. 2.11. Криволинейна повърхностна координатна система

Всяка двойка числа φ и λ съответства на определена (единична) точка от повърхността и тези променливи могат да се приемат като координати на точките от повърхността.

Ако дадем на φ различни постоянни стойности φ = φ1 , φ = φ2 , …, тогава получаваме семейство от криви на повърхността, съответстващи на тези константи. По същия начин, дадени постоянни стойности за λ, ще имаме

второ семейство криви. Така на повърхността се образува мрежа от координатни линии φ = const и λ = const. Координатни линии като цяло

са криви линии. Следователно числата φ, λ се наричат

криволинейни координати точки на повърхността.

Криволинейните координати могат да бъдат както линейни, така и ъглови величини. Най-простият пример за система от криволинейни координати, в която едната координата е линейна величина, а другата е ъглова величина, могат да служат като полярни координати в равнина.

Изборът на криволинейни координати не е задължително да предхожда образуването на координатни линии. В някои случаи е по-целесъобразно да се създаде мрежа от координатни линии, която е най-удобна за решаване на определени проблеми на повърхността, и след това да се изберат параметри (координати) за тези линии, които да имат постоянна стойност за всяка координатна линия.

Една добре дефинирана мрежа от координатни линии също съответства на определена система от параметри, но за всяко дадено семейство от координатни линии може да се избере набор от други параметри, които са непрекъснати и еднозначни функции даден параметър. В общия случай ъглите между координатните линии на семейството φ = const и линиите на семейството λ = const могат да имат различни стойности.

Ще разглеждаме само ортогонални криволинейни координатни системи, в които всяка координатна линия φ = const пресича всяка друга координатна линия λ= const под прав ъгъл.

При решаването на много проблеми на повърхността, особено проблеми, свързани с изчисляването на криволинейните координати на повърхностните точки, е необходимо да има диференциални уравнения за промяна на криволинейните координати φ и λ в зависимост от промяната на дължината S на повърхностната крива.

Връзката между диференциалите dS , dφ, dλ може да се установи чрез въвеждане на нова променлива α, т.е. ъгълът

α dS

φ = const

λ = const

λ+d λ = const

положителна посока на линията λ = const към положителна

посока на тази крива (фиг. 2.12). Този ъгъл, така да се каже, задава посоката (ориентацията) на линията

дадена точка на повърхността. След това (без изход):

Ориз. 2.12. Геометрията на връзката на диференциала на дъгата на крива върху повърхност с промени (диференциали) на криволинейни

координати

					∂X		2 ∂ Y 2
E = (rϕ )
						∂ϕ		∂ϕ
G = (						∂X		∂ U 2
						∂λ		∂λ

+ ∂ Z 2 ;

∂ϕ

+ ∂ Z 2 . ∂λ

		cosα
		sinα

IN геодезическият ъгъл α съответства на геодезическия азимут: α =А.

2.3.3. Полярни координатни системи и техните обобщения

2.3.4. Пространствена полярна координатна система

За да зададете пространствена система от полярни координати, първо трябва да изберете равнина (по-нататък ще я наричаме основна). В тази равнина е избрана някаква точка O

измервания

сегменти

пространство, тогава

позиция

всяка точка в пространството ще

определено

определен

количества: r, φ, λ, където r е

полярен

разстояние по права линия от полюса

O към точка Q (фиг. 2.13); λ -

полярен ъгъл е ъгълът между

полярен

Ориз. 2.13. Пространствена система

ортогонален

проекция

полярен радиус спрямо главния

полярни координати и техните модификации

самолет

промени

(полярен радиус) и неговия

0 ≤ λ < 2π); φ – угол между

вектор

проекция

OQ0 включен

основен

равнина, считана за положителна (0 ≤ φ ≤ π/2) за точки от положителното полупространство и отрицателна (-π/2 ≤ φ ≤ 0) за точки от отрицателното полупространство.

Всяка пространствена полярна CS може лесно да бъде свързана (трансформирана) с пространствена декартова правоъгълна CS.

Ако вземем мащаба и началото на полярната система като мащаб и начало на координатите в пространствената правоъгълна система, полярната ос OP - като полуос на абсцисата OX , правата OZ, изтеглена от полюса O перпендикулярно към главната равнина в положителната посока на полярната система - като полуос OZ на правоъгълната декартова система, а за полуос - OS, вземете оста, в която преминава абсцисната ос при завъртане на ъгъл π / 2 в положителна посока в главната равнина на полярната система, след това от фиг. 2.13

Формули (2.64) ни позволяват да изразим X, Y, Z по отношение на r, φ, λ и обратно

Досега, за да знаем позицията на точка в равнина или в пространството, използвахме декартовата координатна система. Така, например, ние определихме позицията на точка в пространството, използвайки три координати. Тези координати бяха абсцисата, ординатата и приложението на променлива точка в пространството. Въпреки това е ясно, че определянето на абсцисата, ординатата и приложението на точка не е единственият начин за определяне на позицията на точка в пространството. Това може да стане по друг начин, например с помощта на криволинейни координати.

Нека, според някакво, добре дефинирано правило, всяка точка Мпространството уникално съответства на някаква тройка числа ( р 1 , р 2 , р 3), а различни точки съответстват на различни тройки числа. Тогава казваме, че в пространството е дадена координатна система; числа р 1 , р 2 , р 3, които отговарят на точката М, се наричат ​​координати (или криволинейни координати) на тази точка.

В зависимост от правилото, по което тройката на числата ( р 1 , р 2 , р 3) се поставя в съответствие с точка в пространството, те говорят за една или друга координатна система.

Ако искате да отбележите, че в дадена координатна система позицията на точка M се определя от числата р 1 , р 2 , р 3 , тогава се записва по следния начин М(р 1 , р 2 , р 3).

Пример 1. Нека някаква фиксирана точка е отбелязана в пространството ОТНОСНО(началото), като през него се начертават три взаимно перпендикулярни оси с избрания върху тях мащаб. (брадви вол, Ой, Оз). Три еднакви х, г, zсъпоставете точката М, така че проекциите на неговия радиус вектор ОМна ос вол, Ой, Озсъответно ще бъдат равни х, г, z. Този начин за установяване на връзка между тройки числа ( х, г, z) и точки Мни води до добре познатата декартова координатна система.

Лесно е да се види, че в случая на декартова координатна система не само всяка тройка от числа съответства на определена точка в пространството, но и обратното, всяка точка в пространството съответства на определена тройка от координати.

Пример 2. Нека координатните оси отново са начертани в пространството вол, Ой, Озпреминаващ през фиксирана точка ОТНОСНО(произход).

Помислете за тройка числа r, й, z, Където r³0; £0 й£2 стр, –¥<z<¥, и поставим в соответствие этой тройке чисел точку М,така че приложението му да е равно на z, и неговата проекция върху равнината Оксиима полярни координати rИ й(вижте фигура 4.1). Ясно е, че тук всяка тройка от числа r, й, zсъответства на определена точка Ми обратно, всяка точка Мотговаря на определена тройка числа r, й, z. Изключение правят точките, лежащи на оста Оз: в такъв случай rИ zса уникално определени, а ъгълът йвсяка стойност може да бъде присвоена. Числа r, й, zсе наричат ​​цилиндрични координати на точката М.

Лесно е да се установи връзка между цилиндрични и декартови координати:

х = r×cos й; г = r× грях й; z = z.

И обратно ; ; z = z.

Пример 3. Да въведем сферична координатна система. Задайте три числа r, р, йхарактеризиращ положението на точката Мв космоса, както следва: rе разстоянието от началото на координатите до точката М(дължина на радиус вектора), р Ози радиус вектор ОМ(точка на географска ширина М) йе ъгълът между положителната посока на оста воли проекцията на радиус вектора върху равнината Окси(точкова дължина М). (Вижте Фигура 4.2).

Ясно е, че в този случай не само всяка точка Мсъответства на определена тройка числа r, р, й, Където r³ 0, 0 £ р £ стр, 0£ й£2 стр, но обратното, всяка такава тройка числа съответства на определена точка в пространството (отново с изключение на точките на оста Озкъдето тази уникалност е нарушена).

Лесно е да се намери връзката между сферични и декартови координати:

х = rгрях р cos й; г = rгрях ргрях й; z = r cos р.

Да се ​​върнем към произволна координатна система ( Ок 1 , Ок 2 , Ок 3). Ще приемем, че не само всяка точка в пространството съответства на определена тройка числа ( р 1 , р 2 , р 3), но обратното, всяка тройка числа отговаря на определена точка в пространството. Нека въведем концепцията за координатни повърхнини и координатни линии.

Определение. Наборът от онези точки, за които координатната р 1 е константа, наречена координатна повърхност р 1 . Координатните повърхнини се определят по подобен начин р 2 и р 3 (виж фиг. 4.3).

Очевидно, ако точката M има координати СЪС 1 , СЪС 2 , СЪС 3 тогава координатните повърхнини се пресичат в тази точка р 1 =° С 1 ; р 2 =° С 2 ; р 3 =° С 3 .

Определение. Множеството от онези точки, по които се променя само координатата р 1 (и другите две координати р 2 и р 3 остават постоянни), се нарича координатна права р 1 .

Очевидно всяка координатна линия р 1 е пресечната линия на координатните равнини р 2 и р 3 .

Координатните линии се определят по подобен начин р 2 и р 3 .

Пример 1. Координатни повърхности (по координатната х) в декартовата координатна система са всички равнини х= конст. (Те са успоредни на равнината Ойз). Координатните повърхнини се определят по подобен начин от координатите гИ z.

координирам хлиния е права линия, успоредна на оста вол. координирам г-линия ( z-линия) - права линия, успоредна на оста OU(брадви Оз).

Пример 2. Координатните повърхнини в цилиндричната система са: всяка равнина, успоредна на равнината Окси(координатна повърхност z= const), повърхността на кръгъл цилиндър, чиято ос е насочена по оста Оз(координатна повърхност r= const) и полуравнината, ограничена от оста Оз(координатна повърхност й= const) (виж Фиг. 4.4).

Наименованието цилиндрична координатна система се обяснява с факта, че сред нейните координатни повърхности има цилиндрични повърхности.

Координатните линии в тази система са z-линия - права, успоредна на оста Оз; й-линия - окръжност, разположена в хоризонтална равнина с център на оста Оз; И r-линия - лъч, излизащ от произволна точка на оста Оз, успоредна на равнината Окси.

Ориз. 4.5

Тъй като сред координатните повърхности има сфери, тази координатна система се нарича сферична.

Координатните линии са: r-линия - лъч, излизащ от началото, р-линия - полукръг с център в началото, свързващ две точки от оста Оз; й-линия - окръжност, разположена в хоризонтална равнина, центрирана върху оста Оз.

Във всички примери, обсъдени по-горе, координатните линии, минаващи през всяка точка М, са ортогонални един на друг. Това не се случва във всяка координатна система. Ние обаче се ограничаваме да изучаваме само такива координатни системи, за които това е така; такива координатни системи се наричат ​​ортогонални.

Определение. Координатна система ( Ок 1 , Ок 2 , Ок 3) се нарича ортогонален, ако във всяка точка Мкоординатните линии, минаващи през тази точка, се пресичат под прав ъгъл.

Помислете сега за някои точки Ми начертайте единични вектори, докосващи в тази точка съответните координатни линии и насочени в посока на увеличаване на съответната координата. Ако тези вектори образуват дясна тройка във всяка точка, тогава ни е дадена дясна координатна система. Например декартовата координатна система х, г, z(с обичайното разположение на осите) е прав. Също така дясна цилиндрична координатна система r, й, z(но точно с този ред на координатите; ако промените реда на координатите, като вземете напр. r, z, й, вече не получаваме правилна система).

Сферичната координатна система също е правилна (ако зададете такъв ред r, р, й).

Имайте предвид, че в декартовата координатна система посоката на единичния вектор не зависи от това коя точка Мрисуваме този вектор; същото важи и за векторите. Наблюдаваме нещо друго в криволинейни координатни системи: например, в цилиндрична координатна система, вектори в точка Ми в някоя друга точка М 1 вече не трябва да са успоредни един на друг. Същото важи и за вектора (в различни точки той има, най-общо казано, различни посоки).

По този начин тройката от единични ортогонални вектори в криволинейна координатна система зависи от позицията на точката М, в който се разглеждат тези вектори. Тройка от единични ортогонални вектори се нарича подвижна рамка, а самите вектори се наричат ​​единични ортове (или просто ортове).