Видове филтри Нискочестотен филтър Батъруърт Нискочестотен филтър Чебишев тип I Минимална поръчка на филтъра Московски нискочестотен филтър . Курсова работа: Високочестотен филтър Butterworth Изчисляване на филтър Butterworth

Честотната характеристика на филтъра на Бътъруърт се описва от уравнението

Характеристики на филтъра Butterworth: нелинейна фазова характеристика; гранична честота, независима от броя на полюсите; колебателен характер на преходния отговор със стъпков входен сигнал. Тъй като редът на филтъра се увеличава, осцилаторният характер се увеличава.

филтър Чебишев

Честотната характеристика на филтъра на Чебишев се описва с уравнението

Където T н 2 (ω/ω н ) – Полином на Чебишев н-та поръчка.

Полиномът на Чебишев се изчислява с помощта на рекурентната формула

Характеристики на филтъра Чебишев: повишена неравномерност на фазовата характеристика; вълнообразна характеристика в лентата на пропускане. Колкото по-висок е коефициентът на неравномерност на честотната характеристика на филтъра в лентата на пропускане, толкова по-рязък е спадът в преходната област в същия ред. Колебания на преходния процес със стъпаловидни входен сигналпо-силен от филтъра на Бътъруърт. Коефициентът на качество на полюсите на филтъра Chebyshev е по-висок от този на филтъра Butterworth.

Филтър на Бесел

Честотната характеристика на филтъра на Бесел се описва с уравнението

Където
;Б н 2 (ω/ω cp ч ) – Полином на Бесел н-та поръчка.

Полиномът на Бесел се изчислява с помощта на рекурентната формула

Характеристики на филтъра на Бесел: сравнително равномерна честотна характеристика и фазова характеристика, апроксимирани чрез функцията на Гаус; фазовото изместване на филтъра е пропорционално на честотата, т.е. филтърът има независимо от честотата групово време на забавяне. Честотата на прекъсване се променя с промяната на броя на полюсите на филтъра. Честотната характеристика на филтъра обикновено е по-плоска от тази на Butterworth и Chebyshev. Този филтър е особено подходящ за импулсни вериги и фазово-чувствителна обработка на сигнали.

Cauer филтър (елипсовиден филтър)

Общ изглед на предавателната функция на филтъра на Кауер

Характеристики на филтъра Cauer: неравномерна честотна характеристика в лентата на пропускане и лентата на спиране; най-рязък спад на честотната характеристика на всички горепосочени филтри; изпълнява необходимите функции за прехвърляне с по-нисък ред на филтъра, отколкото при използване на други видове филтри.

Определяне на реда на филтъра

Необходимият ред на филтъра се определя от формулите по-долу и се закръгля до най-близкото цяло число. Ред на филтъра на Бътъруърт

Ред на филтъра на Чебишев

За филтъра на Бесел няма формула за изчисляване на реда; вместо това са предоставени таблици, които съответстват на реда на филтъра на минималното изисквано отклонение на времето на забавяне от единица при дадена честота и нивото на загуба в dB).

При изчисляване на реда на филтъра на Бесел се посочват следните параметри:

Допустимо процентно отклонение на груповото времезакъснение при дадена честота ω ω cp ч ;

Нивото на затихване на усилването на филтъра може да се настрои в dB при честота ω , нормализиран спрямо ω cp ч .

Въз основа на тези данни се определя необходимия ред на филтъра на Бесел.

Схеми на каскади от нискочестотни филтри от 1-ви и 2-ри ред

На фиг. 12.4, 12.5 показват типични вериги на нискочестотни филтърни каскади.

А) b)

Ориз. 12.4. Нискочестотни филтърни каскади на Butterworth, Chebyshev и Bessel: А - 1-ва поръчка; б – 2-ра поръчка

А) b)

Ориз. 12.5. Cauer нискочестотен филтър каскади: А - 1-ва поръчка; б – 2-ра поръчка

Общ изглед на предавателните функции на нискочестотните филтри на Бътъруърт, Чебишев и Бесел от 1-ви и 2-ри ред

,
.

Общ изглед на предавателните функции на нискочестотния филтър на Cauer от 1-ви и 2-ри ред

,
.

Ключовата разлика между филтър на Кауер от 2-ри ред и лентов филтър е, че в предавателната функция на филтъра на Кауер честотното съотношение Ω с ≠ 1.

Изчислителен метод за нискочестотни филтри на Батъруърт, Чебишев и Бесел

Тази техника се основава на коефициентите, дадени в таблиците, и е валидна за филтри на Бътъруърт, Чебишев и Бесел. Методът за изчисляване на филтрите на Cauer е даден отделно. Изчисляването на нискочестотните филтри на Butterworth, Chebyshev и Bessel започва с определяне на техния ред. За всички филтри са зададени минималните и максималните параметри на затихване и граничната честота. За филтрите на Чебишев допълнително се определя коефициентът на неравномерност на честотната характеристика в лентата на пропускане, а за филтрите на Бесел - групово времезакъснения. След това се определя трансферната функция на филтъра, която може да бъде взета от таблиците, и се изчисляват неговите каскади от 1-ви и 2-ри ред, като се спазва следната процедура на изчисление:

В зависимост от реда и вида на филтъра се избират схемите на неговите каскади, докато филтърът с четен ред се състои от н/2 каскади от 2-ри ред и филтър от нечетен ред - от една каскада от 1-ви ред и ( н– 1)/2 каскади от 2-ри ред;

За да изчислите каскада от първи ред:

Избраният тип филтър и ред определят стойността b 1 каскада от 1-ви ред;

Чрез намаляване на заетата площ се избира номиналният капацитет ° С и се изчислява Рспоред формулата (можете също да изберете Р, но е препоръчително да изберете ° С, от съображения за точност)

;

Печалбата се изчислява ДА СЕ при U 1 Каскада от 1-ви ред, която се определя от рел

Където ДА СЕ при U– усилване на филтъра като цяло; ДА СЕ при U 2 , …, ДА СЕ при ООН– коефициенти на усилване на каскади от 2-ри ред;

Да реализира печалба ДА СЕ при U 1 необходимо е да се настроят резистори въз основа на следната връзка

Р Б = R А ּ (ДА СЕ при U1 –1) .

За да изчислите каскада от 2-ри ред:

Чрез намаляване на заетата площ се избират номиналните стойности на контейнерите ° С 1 = ° С 2 = ° С;

Коефициентите се избират от таблици b 1 азИ Q пиза каскади от 2-ри ред;

Според дадена номинална стойност на кондензатора ° С резисторите се изчисляват Рспоред формулата

;

За избрания тип филтър трябва да зададете подходящото усилване ДА СЕ при потребителски интерфейс = 3 – (1/Q пи) на всеки етап от 2-ри ред, чрез настройка на резистори въз основа на следната зависимост

Р Б = R А ּ (ДА СЕ при потребителски интерфейс –1) ;

За филтрите на Бесел е необходимо да се умножат номиналните стойности на всички кондензатори по необходимото групово време на забавяне.

Честотната характеристика на филтъра на Бътъруърт се описва от уравнението

филтър Чебишев

Честотната характеристика на филтъра на Чебишев се описва с уравнението

Където T н 2 (ω/ω н ) – Полином на Чебишев н-та поръчка.

Полиномът на Чебишев се изчислява с помощта на рекурентната формула

Характеристики на филтъра Чебишев: повишена неравномерност на фазовата характеристика; вълнообразна характеристика в лентата на пропускане. Колкото по-висок е коефициентът на неравномерност на честотната характеристика на филтъра в лентата на пропускане, толкова по-рязък е спадът в преходната област в същия ред. Преходното колебание на стъпаловиден входен сигнал е по-голямо от това на филтър на Бътъруърт. Коефициентът на качество на полюсите на филтъра Chebyshev е по-висок от този на филтъра Butterworth.

Филтър на Бесел

Честотната характеристика на филтъра на Бесел се описва с уравнението

Където
;Б н 2 (ω/ω cp ч ) – Полином на Бесел н-та поръчка.

Полиномът на Бесел се изчислява с помощта на рекурентната формула

Cauer филтър (елипсовиден филтър)

Общ изглед на предавателната функция на филтъра на Кауер

Определяне на реда на филтъра

Ред на филтъра на Чебишев

При изчисляване на реда на филтъра на Бесел се посочват следните параметри:

Допустимо процентно отклонение на груповото времезакъснение при дадена честота ω ω cp ч ;

Нивото на затихване на усилването на филтъра може да се настрои в dB при честота ω , нормализиран спрямо ω cp ч .

Въз основа на тези данни се определя необходимия ред на филтъра на Бесел.

Схеми на каскади от нискочестотни филтри от 1-ви и 2-ри ред

На фиг. 12.4, 12.5 показват типични вериги на нискочестотни филтърни каскади.

А) b)

Ориз. 12.4. Нискочестотни филтърни каскади на Butterworth, Chebyshev и Bessel: А - 1-ва поръчка; б – 2-ра поръчка

А) b)

Ориз. 12.5. Cauer нискочестотен филтър каскади: А - 1-ва поръчка; б – 2-ра поръчка

Общ изглед на предавателните функции на нискочестотните филтри на Бътъруърт, Чебишев и Бесел от 1-ви и 2-ри ред

,
.

Общ изглед на предавателните функции на нискочестотния филтър на Cauer от 1-ви и 2-ри ред

,
.

Изчислителен метод за нискочестотни филтри на Батъруърт, Чебишев и Бесел

Тази техника се основава на коефициентите, дадени в таблиците, и е валидна за филтри на Бътъруърт, Чебишев и Бесел. Методът за изчисляване на филтрите на Cauer е даден отделно. Изчисляването на нискочестотните филтри на Butterworth, Chebyshev и Bessel започва с определяне на техния ред. За всички филтри са зададени минималните и максималните параметри на затихване и граничната честота. За филтрите на Чебишев допълнително се определя коефициентът на неравномерност на честотната характеристика в лентата на пропускане, а за филтрите на Бесел се определя времето на групово забавяне. След това се определя трансферната функция на филтъра, която може да бъде взета от таблиците, и се изчисляват неговите каскади от 1-ви и 2-ри ред, като се спазва следната процедура на изчисление:

За да изчислите каскада от първи ред:

Избраният тип филтър и ред определят стойността b 1 каскада от 1-ви ред;

;

Печалбата се изчислява ДА СЕ при U 1 Каскада от 1-ви ред, която се определя от рел

Да реализира печалба ДА СЕ при U 1 необходимо е да се настроят резистори въз основа на следната връзка

Р Б = R А ּ (ДА СЕ при U1 –1) .

За да изчислите каскада от 2-ри ред:

Чрез намаляване на заетата площ се избират номиналните стойности на контейнерите ° С 1 = ° С 2 = ° С;

Коефициентите се избират от таблици b 1 азИ Q пиза каскади от 2-ри ред;

Според дадена номинална стойност на кондензатора ° С резисторите се изчисляват Рспоред формулата

;

Р Б = R А ּ (ДА СЕ при потребителски интерфейс –1) ;

ПРЕОБРАЗУВАНЕ НА ЧЕСТОТНИТЕ СВОЙСТВА НА DF (LPF --> LPF1)

ПРЕОБРАЗУВАНЕ НА ЧЕСТОТНИТЕ СВОЙСТВА НА DF (LPF --> HPF)

ПРЕОБРАЗУВАНЕ НА СВОЙСТВАТА НА ЧЕСТОТАТА НА DF (LPF --> PF)

ПРЕОБРАЗУВАНЕ НА ЧЕСТОТНИТЕ СВОЙСТВА НА DF (LPF --> RF)

Филтър Butterworth от 4-ти ред

ПРЕОБРАЗУВАНЕ НА ЧЕСТОТНИТЕ СВОЙСТВА НА DF (LPF --> LPF1)

ПРЕОБРАЗУВАНЕ НА ЧЕСТОТНИТЕ СВОЙСТВА НА DF (LPF --> HPF)

ПРЕОБРАЗУВАНЕ НА СВОЙСТВАТА НА ЧЕСТОТАТА НА DF (LPF --> PF)

ПРЕОБРАЗУВАНЕ НА ЧЕСТОТНИТЕ СВОЙСТВА НА DF (LPF --> RF)

Филтър Чебишев 3-ти ред

ПРЕОБРАЗУВАНЕ НА ЧЕСТОТНИТЕ СВОЙСТВА НА DF (LPF --> LPF1)

ПРЕОБРАЗУВАНЕ НА ЧЕСТОТНИТЕ СВОЙСТВА НА DF (LPF --> HPF)

ПРЕОБРАЗУВАНЕ НА СВОЙСТВАТА НА ЧЕСТОТАТА НА DF (LPF --> PF)

ПРЕОБРАЗУВАНЕ НА ЧЕСТОТНИТЕ СВОЙСТВА НА DF (LPF --> RF)

Чебишев филтър 4 поръчки

ПРЕОБРАЗУВАНЕ НА ЧЕСТОТНИТЕ СВОЙСТВА НА DF (LPF --> LPF1)

ПРЕОБРАЗУВАНЕ НА ЧЕСТОТНИТЕ СВОЙСТВА НА DF (LPF --> HPF)

ПРЕОБРАЗУВАНЕ НА СВОЙСТВАТА НА ЧЕСТОТАТА НА DF (LPF --> PF)

ПРЕОБРАЗУВАНЕ НА ЧЕСТОТНИТЕ СВОЙСТВА НА DF (LPF --> RF)

Филтър на Бесел 3-ти ред

ПРЕОБРАЗУВАНЕ НА ЧЕСТОТНИТЕ СВОЙСТВА НА DF (LPF --> LPF1)

ПРЕОБРАЗУВАНЕ НА ЧЕСТОТНИТЕ СВОЙСТВА НА DF (LPF --> HPF)

ПРЕОБРАЗУВАНЕ НА СВОЙСТВАТА НА ЧЕСТОТАТА НА DF (LPF --> PF)

ПРЕОБРАЗУВАНЕ НА ЧЕСТОТНИТЕ СВОЙСТВА НА DF (LPF --> RF)

Филтър на Бесел 4-ти ред

ПРЕОБРАЗУВАНЕ НА ЧЕСТОТНИТЕ СВОЙСТВА НА DF (LPF --> LPF1)

ПРЕОБРАЗУВАНЕ НА ЧЕСТОТНИТЕ СВОЙСТВА НА DF (LPF --> HPF)

ПРЕОБРАЗУВАНЕ НА СВОЙСТВАТА НА ЧЕСТОТАТА НА DF (LPF --> PF)

ПРЕОБРАЗУВАНЕ НА ЧЕСТОТНИТЕ СВОЙСТВА НА DF (LPF --> RF)

Анализирайте влиянието на грешките при настройката на коефициентите на цифровия нискочестотен филтър върху честотната характеристика (чрез промяна на един от коефициентите b й). Опишете естеството на промяната в честотната характеристика. Направете заключение за ефекта от промяната на един от коефициентите върху поведението на филтъра.

Ще анализираме влиянието на грешките при настройката на коефициентите на цифровия нискочестотен филтър върху честотната характеристика, използвайки примера на филтър на Бесел от 4-ти ред.

Нека изберем отклонението на коефициентите ε равно на –1,5%, така че максималното отклонение на честотната характеристика да е около 10%.

Честотната характеристика на „идеален“ филтър и филтри с променени коефициенти по стойност ε е показана на фигурата:

И

Фигурата показва, че най-голямо влияние върху честотната характеристика оказват промените в коефициентите b 1 и b 2 (стойността им надвишава стойността на други коефициенти). Използвайки отрицателна стойност на ε, отбелязваме, че положителните коефициенти намаляват амплитудата в долната част на спектъра, докато отрицателните коефициенти я увеличават. За положителна стойност на ε всичко се случва обратното.

Квантувайте коефициентите на цифровия филтър с такъв брой двоични цифри, че максималното отклонение на честотната характеристика от оригинала да е около 10 - 20%. Скицирайте честотната характеристика и опишете естеството на нейната промяна.

Чрез промяна на броя на цифрите на дробната част на коефициентите b йИмайте предвид, че максималното отклонение на честотната характеристика от първоначалната не надвишава 20% се получава, когато n≥3.

Тип честотна характеристика при различни нпоказано на фигурите:

н =3, максимално отклонение на честотната характеристика =19,7%

н =4, максимално отклонение на честотната характеристика =13,2%

н =5, максимално отклонение на честотната характеристика =5,8%

н =6, максимално отклонение на честотната характеристика =1,7%

По този начин може да се отбележи, че увеличаването на дълбочината на битовете при квантуване на коефициентите на филтъра води до факта, че честотната характеристика на филтъра клони все повече към първоначалната. Все пак трябва да се отбележи, че това усложнява физическата реализуемост на филтъра.

Квантуване при различни нможе да се види на фигурата:

план:

1 преглед
- 1.1 Нормализирани полиноми на Бътъруърт
- 1.2 Максимална гладкост
- 1.3 Характерен спад от високи честоти
2 Дизайн на филтъра
- 2.1 Топология на Кауер
- 2.2 Топология на Sallen-Kay
3 Сравнение с други линейни филтри
4 Пример

Въведение

Филтър Бътъруърт- един от видовете електронни филтри. Филтрите от този клас се различават от другите по метода на проектиране. Филтърът Butterworth е проектиран така, че неговата амплитудно-честотна характеристика да е възможно най-плавна при честотите на лентата на пропускане.

Такива филтри са описани за първи път от британския инженер Стефан Бътъруърт в статията „Относно теорията на филтърните усилватели“. Относно теорията на филтърните усилватели ), В сп Безжичен инженерпрез 1930 г.

1. Преглед

Честотната характеристика на филтъра на Butterworth е максимално гладка при честотите на лентата на пропускане и намалява до почти нула при честотите на лентата на спиране. Когато се чертае честотната характеристика на филтър на Бътъруърт върху логаритмична фазова характеристика, амплитудата намалява към минус безкрайност при честотите на лентата на спиране. В случай на филтър от първи ред, честотната характеристика отслабва със скорост от -6 децибела на октава (-20 децибела на десетилетие) (всъщност всички филтри от първи ред, независимо от типа, са идентични и имат еднакви честотна характеристика). За филтър на Butterworth от втори ред, честотната характеристика намалява с -12 dB на октава, за филтър от трети ред - с -18 dB и т.н. Честотната характеристика на филтъра на Бътъруърт е монотонно намаляваща функция на честотата. Филтърът на Бътъруърт е единственият филтър, който запазва формата на честотната характеристика за по-високи порядъци (с изключение на по-стръмно намаляване на характеристиката в лентата на потискане), докато много други видове филтри (филтър на Бесел, филтър на Чебишев, елиптичен филтър) имат различни форми на честотната характеристика при различни поръчки.

В сравнение с филтрите на Чебишев от типове I и II или елиптичен филтър, филтърът на Бътъруърт има по-плоска характеристика на преобръщане и следователно трябва да има по-голям ред(което е по-трудно за изпълнение), за да се осигурят желаните характеристики при честотите на лентата на потискане. Филтърът на Бътъруърт обаче има по-линеен фазово-честотен спектър при честотите на лентата на пропускане.

Честотната характеристика за нискочестотните филтри на Butterworth е от порядъка на 1 до 5. Наклонът на характеристиката е 20 н dB/десетилетие, където н- филтърна поръчка.

Както при всички филтри при разглеждане честотни характеристикиизползвайте нискочестотен филтър, от който можете лесно да получите високочестотен филтър и, като свържете няколко такива филтъра последователно, лентов филтър или филтър с прорези.

Честотната характеристика на филтър на Butterworth от ти порядък може да се получи от трансферната функция:

Лесно е да се види, че за безкрайни стойности честотната характеристика става правоъгълна функция и честотите под граничната честота ще бъдат предадени с усилване, а честотите над граничната честота ще бъдат напълно потиснати. За крайни стойности намаляването на характеристиката ще бъде леко.

Използвайки формална замяна, представяме израза като:

Полюсите на предавателната функция са разположени на окръжност с радиус на еднакво разстояние един от друг в лявата полуравнина. Тоест, трансферната функция на филтър на Бътъруърт може да се определи само чрез определяне на полюсите на неговата трансферна функция в лявата полуравнина на s-равнината. Титият полюс се определя от следния израз:

Трансферната функция може да бъде написана като:

Подобни разсъждения се прилагат за цифровите филтри на Butterworth, с единствената разлика, че отношенията не са написани за с-самолет, и за z-самолет.

Знаменателят на тази трансферна функция се нарича полином на Бътъруърт.

1.1. Нормализирани полиноми на Батъруърт

Полиномите на Бътъруърт могат да бъдат записани в сложна форма, както е показано по-горе, но те обикновено се записват като релации с реални коефициенти (комплексно спрегнатите двойки се комбинират с помощта на умножение). Полиномите се нормализират от граничната честота: . Следователно нормализираните полиноми на Бътъруърт имат следната канонична форма:

, - дори странно

По-долу са коефициентите на полинома на Бътъруърт за първите осем реда:

	Полиномиални коефициенти
1
2
3
4
5
6
7
8

1.2. Максимална гладкост

Като вземем и , производната на амплитудната характеристика по отношение на честотата ще изглежда така:

Той намалява монотонно за всички, тъй като печалбата винаги е положителна. По този начин честотната характеристика на филтъра на Butterworth няма пулсации. Когато разширим амплитудната характеристика в серия, получаваме:

С други думи, всички производни на амплитудно-честотната характеристика по отношение на честотата до 2 н- са равни на нула, което предполага "максимална гладкост".

1.3. Високочестотен спад

След като приемем, намираме наклона на логаритъма на честотната характеристика при високи честоти:

В децибели високочестотната асимптота има наклон от −20 н dB/десетилетие.

2. Дизайн на филтъра

Има редица различни топологии на филтри, с които се реализират линейни аналогови филтри. Тези схеми се различават само по стойностите на елементите, но структурата остава непроменена.

2.1. Топология на Кауер

Топологията на Cauer използва пасивни елементи (капацитет и индуктивност). Филтър на Butteworth с дадена трансферна функция може да бъде конструиран под формата на Cowher тип 1. k-ти елементфилтърът се дава от отношението:

; k нечетно; k е четно

2.2. Топология на Sallen-Kay

Топологията Sallen-Kay използва, в допълнение към пасивните елементи, активни елементи ( операционни усилвателии контейнери). Всеки етап от веригата Sallen-Kay е част от филтъра, математически описан от двойка комплексно спрегнати полюси. Целият филтър се получава чрез свързване на всички етапи последователно. Ако бъде намерен валиден полюс, той трябва да бъде реализиран отделно, обикновено като RC верига, и включен в общата верига.

Функция на предаваневсяка каскада във веригата Sallen-Kay има формата:

Знаменателят трябва да бъде един от множителите на полинома на Бътъруърт. Като вземем, получаваме:

Последната връзка дава две неизвестни, които могат да бъдат избрани произволно.

3. Сравнение с други линейни филтри

Фигурата по-долу показва честотната характеристика на филтъра Butterworth в сравнение с други популярни линейни филтри от същия (пети) ред:

Може да се види от фигурата, че ролката на филтъра на Бътъруърт е най-бавната от четирите, но също така има най-плавната честотна характеристика при честотите на лентата на пропускане.

4. Пример

Аналогов нискочестотен филтър на Butterworth (топология на Кауер) с честота на срязване със следните стойности на елемента: фарад, ом и хенри.

Графика на логаритмична плътност на трансферната функция H(s) върху комплексната аргументна равнина за филтър на Бътъруърт от трети ред с гранична честота. Трите полюса лежат върху окръжност с единичен радиус в лявата полуравнина.

Помислете за аналогов нискочестотен филтър на Бътъруърт от трети ред с фарад, ом и хенри. Като определи импедансконтейнери ° Скак 1/Csи импеданс на индуктивности Лкак Ls, където е комплексна променлива и използване на уравнения за изчисляване електрически схеми, получаваме следната трансферна функция за такъв филтър:

Честотната характеристика се дава от уравнението:

и фазовата характеристика се дава от уравнението:

Груповото забавяне се определя като минус производната на фазата по отношение на кръговата честота и е мярка за фазовото изкривяване на сигнала при различни честоти. Логаритмичната честотна характеристика на такъв филтър няма вълни нито в лентата на пропускане, нито в лентата на потискане.

Графика на модула на предавателната функция на сложна равнинаясно показва три полюса в лявата полуравнина. Предавателната функция се определя изцяло от разположението на тези полюси върху единичната окръжност симетрично спрямо реалната ос.

Като заменим всяка индуктивност с капацитет и капацитетите с индуктивности, получаваме високочестотен филтър на Бътъруърт.

И груповото забавяне на филтър на Бътъруърт от трети ред с честота на срязване

Литература

В.А. ЛукасТеория на автоматичното управление. - М.: Недра, 1990.
Б.Х. КривицкиРъководство за теоретични основирадиоелектроника. - М.: Енергия, 1977.
Мирослав Д. ЛутовацДизайн на филтри за обработка на сигнали с помощта на MATLAB© и Mathematica©. - Ню Джърси, САЩ.: Prentice Hall, 2001. - ISBN 0-201-36130-2
Ричард У. ДаниелсАпроксимационни методи за проектиране на електронен филтър. - Ню Йорк: McGraw-Hill, 1974. - ISBN 0-07-015308-6
Стивън У. СмитРъководство за учени и инженери за цифрова обработка на сигнали. - Второ издание. - San-Diego: California Technical Publishing, 1999. - ISBN 0-9660176-4-1
Бритън К. РорабоАпроксимационни методи за проектиране на електронен филтър. - Ню Йорк: McGraw-Hill, 1999. - ISBN 0-07-054004-7
Б. Уидроу, С.Д. СтърнсАдаптивна обработка на сигнала. - Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1985. - ISBN 0-13-004029-0
С. ХайкинТеория на адаптивния филтър. - 4-то издание. - Paramus, NJ: Prentice-Hall, 2001. - ISBN 0-13-090126-1
Майкъл Л. Хониг, Дейвид Г. МесершмитАдаптивни филтри - структури, алгоритми и приложения. - Hingham, MA: Kluwer Academic Publishers, 1984. - ISBN 0-89838-163-0
J.D. Маркел, А.Х. Грей, младшиЛинейно предсказване на речта. - Ню Йорк: Springer-Verlag, 1982 г. - ISBN 0-387-07563-1
Л.Р. Рабинър, Р.В. ШеферЦифрова обработка на речеви сигнали. - Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1978. - ISBN 0-13-213603-1
Ричард Дж. ХигинсЦифрова обработка на сигнали в VLSI. - Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1990. - ISBN 0-13-212887-X
A. V. Oppenheim, R. W. SchaferЦифрова обработка на сигнали. - Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1975. - ISBN 0-13-214635-5
Л. Р. Рабинер, Б. ГолдТеория и приложение на цифровата обработка на сигнали. - Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1986. - ISBN 0-13-914101-4
Джон Г. Проакис, Димитрис Г. МанолакисВъведение в цифровата обработка на сигнали. - Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1988. - ISBN 0-02-396815-X