Ефекти от крайната битова дълбочина на цифровите филтри
При анализа на LDS се приема, че сигналите са дискретизирани само във времето, а дискретните проби и коефициентите на филтъра са представени с неограничена точност. Въпреки това, в реално или дигиталенсистеми, точността на изчисленията е ограничена и зависи от броя на битовете на използваните устройства: ADC, регистри, суматори, умножители. Това обстоятелство води до следните ефекти:
Шум от квантуване по време на аналогово-цифрово преобразуване;
Закръгляване на резултатите от междинните изчисления;
изкривяване честотни характеристикипоради квантуване на коефициентите на цифровия филтър;
Препълване на битова мрежа в хода на изчисленията;
Гранични цикли на малко ниво.
Квантуващ шум
Шумът от квантуване се разбира като случайни грешки между дискретни във времето проби от сигнали и тяхното цифрово представяне с ограничена битова дълбочина.
Приема се, че съседните проби от шума на квантуване не са корелирани помежду си. И шумът от квантуване е "бял".
Вероятната плътност на шума от квантуване съответства на закона за равномерно разпределение:
, (2.1)
където е интервалът на квантуване на ниво.
Дисперсията на шума от квантуване се определя от закона за разпределение:
. (2.2)
Ако максималната стойност на квантования сигнал е , тогава интервалът на квантуване е:
,
където е броят на цифрите на цифровото устройство.
Спектралната плътност на мощността на шума от квантуване се дава от:
,
където DT е интервалът на вземане на проби.
Например усилването на приемащото устройство преди входа на ADC е избрано така, че нивото на термичното приемащо устройство надвишава спектрална плътностквантуващ шум.
Приносът на шума от входното квантуване към изходния сигнал на цифровия филтър се дава от:
.
Съответно дисперсията на изходния шум на квантуването е:
Литература
Маркович И.И. Цифрова обработка на сигнали в системи и устройства: монография / I.I. Маркович; Южен федерален университет. - Ростов n / a: Издателство на Южния федерален университет, 2012. - 236 с.
Основи на цифровата обработка на сигнали: урок/ Ю.А. Брюханов, А.А. Приоров, В.И. Джиган, В.В. Хрящев; Ярославъл състояние un-t im. П.Г. Демидов. - Ярославъл: ЯрГУ, 2013. - 344 с. (стр. 152)
Карташов В.Г. Основи на теорията на дискретните сигнали и цифровите филтри. - М .: Висше. училище, 1982. - 109. (с. 86)
При правилно избрана честота на дискретизация, базирана на теоремата на Котелников, точността на преобразуване на аналогов CS в цифров се определя от стойността на стъпката на квантуване.Колкото по-малка е стъпката на квантуване, толкова по-малка е грешката на преобразуване. Разликата между оригиналните и квантуваните стойности на сигнала в дискретни времена се нарича шум на квантуване (грешка на квантуване).
Квантуващият шум, за разлика от флуктуационния шум, обикновено не е случаен. Следователно е по-правилно да се говори за изкривяване на сигнала по време на неговото аналогово-цифрово преобразуване. При фиксирано максимално ниво на входния аналогов CS шумът на квантуване се определя от броя нива на квантуване - разрядността на аналогово-цифровия преобразувател (ADC).
При кодиране с двоични числа и дължината на кодовата дума е m бита, броят на двоичните кодови думи r (резолюция) е. Така че при m=16, r=65536.
Потокът от кодови думи на изхода на АЦП се характеризира със скоростта на предаване на данни - броя битове информация, предавани за 1 секунда. Скоростта на предаване на данни е произведение от броя на битовете кодова дума и честотата на дискретизация (в херци). Количеството памет, необходимо за съхраняване на информация за изпълнението на SL с продължителност, се определя като произведение на скоростта на предаване на данни и продължителността на сигнала.
С линейна импулсна кодова модулация (PCM), т.е. с равномерна стъпка на квантуване, мощността на шума на квантуване се определя само от стъпката на квантуване:
където е общият динамичен диапазон на сигнала.
Ефективна стойност на грешката при квантуване:
Шумът от квантуване е, в линейната PCM, случаен процес с равномерно разширение вътре, с плътност на вероятността. Спектърът на шума от квантуване е равномерен в честотната лента.
Шум от квантуване се появява само когато има сигнал. При отсъствие на сигнал на входа на АЦП, на изхода на АЦП ще се осъществи квантуване на трептенията в най-малкия бит на АЦП. Това се обяснява с наличието на топлинен шум на входните аналогови части на ADC, нестабилността на захранващото напрежение, дрейфа на постоянния компонент в усилвателите постоянен токи други причини. На изхода на DAC (цифрово-аналогов преобразувател) това квантувано трептене се преобразува в шум, наречен мълчалив шум. Мълчащият шум е по-малко равномерен от белия шум, открит в аналоговите устройства, и често се нарича гранулиран шум. Сила на шума на пауза:
4,7 dB повече шум от квантуване.
Тъй като не зависи от нивото входен сигнал, тъй като входната мощност се увеличава, съотношението се увеличава линейно, докато се появи прекъсващ шум. Граничното ниво на входа на ADC се определя от максималното входно работно напрежение на ADC. Шумът от изрязване е разликата между оригиналния и изрязания сигнал. ADC системата е проектирана по такъв начин, че да няма ограничения, т.е.
тук R е пик факторът на сигнала; S SR е средната квадратична стойност на сигнала.
Броят на стъпките може да се определи от съотношението:
където са максималните и минималните стойности на сигнала на входа на ADC;
Стъпка на квантуване.
Като вземем предвид изразите (9.6), (9.9), (9.10), получаваме израз за мощността на шума
Сила на сигнала при съпротивление от 1 ом, тогава
или в децибели
Тогава с m-битово кодиране
В този случай хармоничният сигнал има пиков фактор
За излъчваните сигнали крист факторът зависи от жанра на програмата. Ако вземем средно R = 13 dB, тогава
Ако вземем предвид неравномерната чувствителност на слуха на слушателя към шумови компоненти с различни честоти, тогава съотношението сигнал/шум на квантуване намалява с 8,5 dB за сигнал в честотната лента до 15 kHz и е
Динамичен обхват цифров сигналоценена по стойност, dB, като се вземе предвид това, което получаваме
От израза (9.15) се вижда, че увеличаването на броя битове на единица води до подобряване на съотношението сигнал/шум с 6 dB.
На фиг.9.2. са показани зависимостите на съотношението сигнал / шум за 3V сигнали при различни стойности на m от нивото на входния сигнал (9.17).
При 16-битово квантуване имаме за хармоничен сигнал D=90 dB, S-W=98 B (от изрази 9.15, 9.18). Съотношението S-N, изчислено по формулата (9.17), е равно на 80 dB при кодиране на сигнал с максимално ниво. При кодиране на слаби сигнали съотношението S-S по-малкоот стойността на динамичния диапазон на сигнала и се оказва много малък при D=50…60 dB.
80 -70 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0
Фиг.9.2. PCM съотношение сигнал/шум
Квантуването на сигнала по ниво е основната операция на аналогово-цифровото преобразуване на сигнала и се състои в закръгляване на неговите моментни стойности до най-близките разрешени. При равномерно квантуване разстоянието между нивата на квантуване е еднакво. При квантуване на сигнала възникват грешки, чиято големина е случайна и има равномерно разпределение, не надвишаваща стойността на половината стъпка на квантуване. Сигналът след квантуване е сумата от оригиналния сигнал и сигнала за грешка, който се възприема като флуктуационен шум.
Защита срещу шум от квантуване за най-слабите сигнали с равномерно квантуване:
– псофометричен коефициент, равен на 0,75 за PM канала;
е динамичният обхват на сигнала, равен на 
, dB;
m е броят на цифрите в двоичния код.
Таблица 5.2. Изходни данни
Нива на сигнала:
Динамичен обхват на сигнала:
Необходим брой цифри:
е битовата дълбочина на кода за равномерно квантуване.
Броят на стъпките за равномерно квантуване ще бъде:
Извод: за да кодирате с унифициран код с дадена сигурност, имате нужда от код с малко битова дълбочина.
5.2.2. Неравномерен шум на квантуване
Реалните PCM системи използват неравномерно квантуване. Неравномерно квантуване - намаляване на наклона на характеристиката чрез намаляване на размера на стъпките на квантуване за малки моментни стойности на сигнала чрез увеличаване на стъпките за големи стойности.
При неравномерно кодиране се използват 8-битови кодове, т.е. броят на нивата на квантуване е 256.
Динамичният обхват се компресира с помощта на A - или m - характеристиките на компресия. В нашия случай се използва компресионната характеристика, която се описва със следния израз:
Ориз. 5.2.2. Компресионна характеристика
DSP използва характеристики на неравномерно квантуване на сегмента, тъй като те са доста лесни за цифрово изпълнение. Характеристиката е симетрична по отношение на 0, нейните положителни и отрицателни клонове се състоят от 8 сегмента, всеки сегмент е разделен на 16 еднакви стъпки (в рамките на всеки сегмент квантуването е равномерно).
Сегментите се доближават до гладка характеристична крива на компресия от тип А. Нулевият и първият сегмент имат най-малката стъпка и всеки следващ сегмент удвоява размера на стъпката на предходния сегмент.
Изразът за защита срещу шум от квантуване в първите два сегмента ще бъде:
За 2-7 сегмента:
където i е номерът на сегмента.
Началото на графиката - наклонена права линия - съответства на нулевия и първия сегмент. Това е зона на равномерно квантуване, така че сигурността се увеличава пропорционално на повишаването на нивото на сигнала. При преминаване към втория сегмент сигурността рязко намалява с 6 dB. Когато се достигне горната граница на сегмент 7, възниква зона на претоварване.
Почти всички DSP използват дискретизация на сигнала с постоянен период T d и отклоненията от този период t i са случайни. Тези отклонения водят до промяна във формата на приемания сигнал, което субективно се възприема като характерна интерференция, наречена семплиращ шум.
Стойности?t i се определят главно от нискочестотни фазови флуктуации на импулси, причинени от неточността на работата на линейните регенератори на предавателната станция.
Защита на сигнала от семплиращ шум:
Допустимо относителни стойностиотмествания на времената за вземане на проби;
където е стойността на отклонението, причинено от нестабилността на главните генератори;
където е стойността на отклонението, причинено от фазови флуктуации.
Период на вземане на проби
63 dB - необходима защита срещу семплиращ шум
защото , Че:
Заключение: за да се осигури приемлива защита срещу шум от семплиране, периодът на семплиране не трябва да се отклонява с повече от 20 ns.
Квантуващ шум
Шум от равномерно квантуване
Квантуването на сигнала по ниво е основната операция на аналогово-цифровото преобразуване на сигнала и се състои в закръгляване на неговите моментни стойности до най-близките разрешени. При равномерно квантуване разстоянието между нивата на квантуване е еднакво. При квантуване на сигнала възникват грешки, чиято големина е случайна и има равномерно разпределение, не надвишаваща стойността на половината стъпка на квантуване. Сигналът след квантуване е сумата от оригиналния сигнал и сигнала за грешка, който се възприема като флуктуационен шум.
Защита срещу шум от квантуване за най-слабите сигнали с равномерно квантуване:
Псофометричен коефициент равен на 0,75 за PM канала;
Динамичен диапазон на сигнала, равен, dB;
m е броят на цифрите в двоичния код.
Таблица 5.2. Изходни данни
Нива на сигнала:
Динамичен обхват на сигнала:
Необходим брой цифри:
Кодов капацитет при равномерно квантуване.
Броят на стъпките за равномерно квантуване ще бъде:
Извод: за да кодирате с унифициран код с дадена сигурност, имате нужда от код с малко битова дълбочина.
Неравномерен шум на квантуване
Реалните PCM системи използват неравномерно квантуване. Неравномерно квантуване - намаляване на наклона на характеристиката чрез намаляване на размера на стъпките на квантуване за малки моментни стойности на сигнала чрез увеличаване на стъпките за големи стойности.
При неравномерно кодиране се използват 8-битови кодове, т.е. броят на нивата на квантуване е 256.
Динамичният диапазон се компресира с помощта на характеристиката на компресия A - или -. В нашия случай се използва компресионната характеристика, която се описва със следния израз:
Ориз. 5.2.2. Компресионна характеристика
DSP използва характеристики на неравномерно квантуване на сегмента, тъй като те са доста лесни за цифрово изпълнение. Характеристиката е симетрична по отношение на 0, нейните положителни и отрицателни клонове се състоят от 8 сегмента, всеки сегмент е разделен на 16 еднакви стъпки (в рамките на всеки сегмент квантуването е равномерно).
Сегментите се доближават до гладка характеристична крива на компресия от тип А. Нулевият и първият сегмент имат най-малката стъпка и всеки следващ сегмент удвоява размера на стъпката на предходния сегмент.
Изразът за защита срещу шум от квантуване в първите два сегмента ще бъде:
За 2-7 сегмента:
където i е номерът на сегмента.
Началото на графиката - наклонена права линия - съответства на нулевия и първия сегмент. Това е зона на равномерно квантуване, така че сигурността се увеличава пропорционално на повишаването на нивото на сигнала. При преминаване към втория сегмент сигурността рязко намалява с 6 dB. Когато се достигне горната граница на сегмент 7, възниква зона на претоварване.
инструментални шумове
В процес на трансформация аналогов сигналпри цифровото се появява шум в крайното оборудване, обусловен от отклонението на характеристиките на преобразувателя от идеалните. Тези отклонения се дължат на ограничената скорост и крайна точност на работа на отделните агрегати, промени в параметрите на преобразувателите при температурни колебания, стареене на устройства и др. Нивото на инструменталния шум се увеличава с увеличаване на скоростта на предаване и битовата дълбочина на кода.
Връзка между шума от квантуване и инструменталния шум:
RMS стойност на намалената инструментална грешка при преобразуване;
Битова дълбочина на кода.
За неравномерно квантуване:
За равномерно квантуване:
Заключение : при неравномерно квантуване силата на инструменталния шум е много по-малка, отколкото при равномерно квантуване, следователно е по-добре да се използва неравномерно квантуване.
Шум от празен канал
При липса на входни сигнали на входа на енкодера действа слаб шум, който включва собствен шум и кръстосани смущения, небалансирани импулсни остатъци и др. Ако характеристиката на енкодера е изместена по такъв начин, че нивото на нулевия входен сигнал съвпада с нивото на решението на енкодера, тогава намесата с произволно малка амплитуда води до промяна в кодовата дума. В този случай изходният сигнал на декодера е правоъгълен импулс със замах (- стойността на минималната стъпка на квантуване) и със случайни моменти на преход през нула. Полученият шум се нарича шум на празен канал. Въпреки малката стойност, тези шумове не са, така да се каже, „маскирани“ от сигнала, което е забележимо за абонатите.
Шумоустойчивостта на празен канал трябва да бъде най-малко:
където a е пиковият фактор на сигнала, е минималната стъпка на квантуване за равномерно и неравномерно квантуване.
Равномерно квантуване:
Неравномерно квантуване:
Заключение: при неравномерно квантуване шумоустойчивостта на неактивен канал е по-висока с 12,1 dB, отколкото при равномерно квантуване.
Грешки при преобразуването на входния сигнал от аналогова в цифрова форма възникват, когато сигналът се квантува в краен, ограничен брой нива. За да разкрием естеството на тази грешка, представяме блокова схема(фиг. 1.10) и изберете две устройства от него: аналогово-цифров преобразувател (ADC) и цифрово-аналогов преобразувател (DAC).
Фиг.1.10. Функционална схемааналогово-цифрови преобразувания и обратно - цифрово-аналогови
Помислете първо съвместна работатези устройства, без да се взема предвид цифровият филтър, когато на входа на ADC се прилага постоянно напрежение с различни нива u 1 (фиг. 1.11, а).
Ориз. 1.11 Аналогово-цифрово и цифрово-аналогово преобразуване (a), характеристика на квантуване (b) и грешка на квантуване (c)
Основният параметър на ADC е броят битове, използвани за кодиране входен волтаж. При двоичния код броят на битовете се определя от броя на тригерите в регистъра, всеки от които може да бъде в едно от двете състояния: с нулево или ненулево напрежение на изхода. На едно от тези състояния условно се приписва нула, а на другото - единица. Когато броят на двоичните елементи е r, изходът на ADC е комбинация (кодово число) от r символа, всеки от които може да приеме една от две стойности (нула или едно).
Броят на възможните различни комбинации L= 2 r определя броя на дискретните нива, на които диапазонът на изменение на входното напрежение може да бъде разделен.
DAC е обратна трансформация. Всяка комбинация от нули и единици, влизащи във входа на ЦАП, съответства на определено дискретно ниво на изходното напрежение. В резултат на това, с равномерна стъпка на квантуване A, зависимостта на u 2 от u 1 приема формата на прекъсната линия, показана на фиг. 1.11, б.
Устройство с такава характеристика трябва да се разглежда като нелинейно, а разликата u 2 -u 1 =q - като грешка, грешка на квантуване. Вижда се, че най-голямата грешка, която не надвишава Δ / 2 по абсолютна стойност, остава непроменена с увеличаване на u 2 (фиг. 1.11, c).
Да приемем, че входното трептене s(t) е хармонично (фиг. 1.12, а). Флуктуацията s you x (t) приема стъпаловидна форма, която се различава от входната флуктуация s (t) (фиг. 1.12, b, тънка линия), а грешката на квантуване е под формата на функция
показано на фиг. 1.12, c.
Фиг. 1.12. Сигнал на входа (а) и изхода (б) на квантуващото устройство; квантуващ шум
Когато амплитудата и честотата на хармоничните трептения s(t) се променят в широк диапазон, се променя само честотата на повторение на зъбите: тяхната форма остава близка до триъгълна при постоянна амплитуда Δ/2. Функцията q(t) може да се нарече интерференция или шум от квантуване. Лесно е да се изчисли средната мощност на шума на квантуване. Приемайки триъгълна форма на зъбите (фиг. 1.11, c) с амплитуда Δ/2, средната продължителност на един зъб е равна на (1/3) (Δ/2) 2 = Δ 2 /12. Тъй като тази стойност не зависи от продължителността на зъба, можем да приемем, че средна мощностквантуване на шума
Този резултат, получен за хармоничен сигнал, може да бъде разширен към всеки друг сигнал, включително случаен. Единствената разлика е, че функцията q (t) ще бъде случаен процес поради случайната продължителност на зъбите.
Не е трудно да се изчисли съотношението сигнал/шум по време на квантуване. С височина на стъпката Δ и общия брой стъпки, които се вписват в характеристиката на ADC, равен на L, амплитудата на хармоничния сигнал не трябва да надвишава LΔ/2, а средната мощност на сигнала не трябва да надвишава 1/2(LΔ/2) 2 (за да избегнете прекъсване на сигнала) . Следователно съотношението сигнал/шум при квантуване на хармонично трептене
Тъй като броят на нивата L е свързан с броя на двоичните цифри r чрез връзката L = 2 r , последният израз може да бъде представен като
Тази връзка може да се разглежда като частен случай на общия израз
където K pf е пиковият фактор на сигнала, т.е. отношението на максималната стойност към средната квадратична стойност.
При хармонично трептене, което води до израза (1.26); с случаен сигнал с нормален закон за разпределение Kpf може да се приеме като 2,5-3. В този случай средноквадратичното напрежение на сигнала не трябва да надвишава ~LΔ/6.
Физическото значение на израза (1.27) е очевидно: с увеличаване на броя на цифрите r, броят на дискретните нива, съответстващи на даден диапазон от s(t), нараства много бързо и следователно разликата Δ на две съседни нивата намаляват.
С груба оценка на превишението на сигнала над шума от квантоване те започват от съотношението или в децибели:
В съвременните ADC броят на цифрите достига десет или повече. В този случай стойността, характеризираща динамичния обхват на ADC, е приблизително 60 дБ (6 д B за един ранг).
Друга важна характеристика на шума от квантуване е неговата спектрален отговор. При хармонично трептене на входа на АЦП квантуващият шум е периодична функция на времето. Неговият спектър е линия, съдържаща само честоти, които са кратни на честотата на входното трептене. Поради назъбената форма на функцията q (t) (виж фиг. 1.12, c), спектърът на шума съдържа по-високи хармоници.
При входно действие от типа на случаен процес с дисперсия и със средноквадратична ширина на спектъра f SCK, статистическите характеристики на шума на квантуване зависят не само от характеристиките на оригиналния процес s(t), но и от върху връзката между и Δ. По-специално, при , ширината f q CK на спектъра на шума на квантуване W q (ω) е многократно по-голяма от ширината f S CK на спектъра на процеса s (t).
Нека въведем дискретизацията на входния сигнал. На фиг. 1.13 показва една от реализациите произволен сигнал s(t) и набор от проби, взети на стъпки от T. В ADC всяка проба се преобразува в цифров код.
Зареждане...