) вече многократно сме срещали частни производни на сложни функции като и по-трудни примери. Е, какво друго можете да говорите?! ...И всичко е като в живота - няма сложност, която да не е сложна =) Но математиката е това, за което е математиката, за да вмести многообразието на нашия свят в строга рамка. И понякога това може да стане с едно единствено изречение:
Най-общо сложната функция има формата 
, Където, поне единот букви представлява функция, което може да зависи от произволенброй променливи.
Минималният и най-простият вариант е отдавна познатата комплексна функция на една променлива, чиято производнанаучихме как да намираме миналия семестър. Вие също имате уменията да разграничавате функциите (разгледайте същите функции 
)
.
Така че сега ще се интересуваме точно от случая. Поради голямото разнообразие от сложни функции, общите формули за техните производни са много тромави и трудни за смилане. В тази връзка ще се огранича конкретни примери, от което можете да разберете общ принципнамиране на тези производни:
Пример 1
Като се има предвид сложна функция, където 
. Задължително:
1) намерете нейната производна и запишете общия диференциал от 1-ви ред;
2) изчислете стойността на производната при .
Решение: Първо, нека да разгледаме самата функция. Предлага ни се функция в зависимост от и , която от своя страна са функцииедна променлива: 
Второ, нека обърнем голямо внимание на самата задача - от нас се изисква да намерим производна, тоест не говорим за частни производни, които сме свикнали да намираме! Тъй като функцията 
всъщност зависи само от една променлива, тогава думата „производна“ означава тотална производна. Как да я намеря?
Първото нещо, което идва на ум, е директно заместване и по-нататъшно диференциране. Да заместим 
да функционира: 
, след което няма проблеми с желаната производна:
И съответно общият диференциал: 
Това решение е математически правилно, но малък нюанс е, че когато проблемът е формулиран така, както е формулиран, никой не очаква такова варварство от вас =) Но сериозно, тук наистина можете да намерите грешка. Представете си, че функция описва полета на земна пчела и вложените функции се променят в зависимост от температурата. Извършване на директна замяна 
, получаваме само лична информация, което характеризира полета, да речем, само в горещо време. Освен това, ако на човек, който не е запознат с земните пчели, му бъде представен крайният резултат и дори му е казано каква е тази функция, тогава той никога няма да научи нищо за основния закон на полета!
И така, напълно неочаквано, нашият бръмчащ брат ни помогна да разберем смисъла и важността на универсалната формула: 
Свикнете с „двуетажната“ нотация за производни - в разглежданата задача те са тези, които се използват. В този случай човек трябва да бъде много подреденов записа: производни с директни символи “de” са пълни производни, а производните със заоблени икони са частични производни. Да започнем с последните: 
Е, с „опашките“ всичко е елементарно:
Нека заместим намерените производни в нашата формула:
Когато една функция първоначално е предложена по сложен начин, тя ще бъде логична (и това е обяснено по-горе!)оставете резултатите както са: 
В същото време в „сложните“ отговори е по-добре да се въздържате дори от минимални опростявания (тук, например, моли да се премахнат 3 минуса)- и имате по-малко работа, а вашият космат приятел с удоволствие ще прегледа задачата по-лесно.
Една груба проверка обаче няма да е излишна. Да заместим 
в намерената производна и извършете опростявания: 
(на последната стъпка, която използвахме тригонометрични формули 
, 
)
В резултат на това се получава същият резултат, както при метода на „варварското“ решение.
Нека изчислим производната в точката. Първо е удобно да разберете „транзитните“ стойности (функционални стойности 
)
:
Сега съставяме окончателните изчисления, които в този случай могат да бъдат извършени по различни начини. Използвам интересна техника, при която 3-ти и 4-ти „етаж“ се опростяват не според обичайните правила, а се трансформират като частно от две числа:
И, разбира се, е грях да не проверите с по-компактна нотация 
:
Отговор: 
Случва се проблемът да бъде предложен в „полуобща“ форма:
„Намерете производната на функцията където 
»
Тоест, „основната“ функция не е дадена, но нейните „вмъквания“ са доста специфични. Отговорът трябва да бъде даден в същия стил:
Освен това условието може да бъде леко криптирано:
„Намерете производната на функцията 
»
В този случай имате нужда от сам по себе сиобозначавайте вложени функции с някои подходящи букви, например чрез 
и използвайте същата формула:
Между другото, относно обозначенията на буквите. Многократно съм призовавал да не се „хващаме за буквите“, сякаш са спасителен пояс, и сега това е особено актуално! Анализирайки различни източници по темата, като цяло останах с впечатлението, че авторите са „полудели“ и са започнали безмилостно да хвърлят учениците в бурната бездна на математиката =) Така че, простете ми :))
Пример 2
Намерете производната на функция 
, Ако 
Другите обозначения не бива да предизвикват объркване! Всеки път, когато срещнете задача като тази, трябва да отговорите на два прости въпроса:
1) От какво зависи „основната“ функция?В този случай функцията "zet" зависи от две функции ("y" и "ve").
2) От какви променливи зависят вложените функции?В този случай и двете „вложки“ зависят само от „X“.
Така че не би трябвало да имате затруднения с адаптирането на формулата към тази задача!
Кратко решение и отговор в края на урока.
Допълнителни примери от първия тип могат да бъдат намерени в Проблемна книга на Рябушко (IDZ 10.1), добре, ние се насочваме към функция на три променливи:
Пример 3
Дадена е функция, където .
Изчислете производната в точка
Формулата за производната на сложна функция, както мнозина предполагат, има свързана форма: 
Решете, след като познаете =)
За всеки случай ще ти дам обща формулаза функция:
, въпреки че на практика е малко вероятно да видите нещо по-дълго от Пример 3.
Освен това понякога е необходимо да се разграничи „скъсена“ версия - като правило, функция на формата или. Оставям този въпрос да го изучавате сами - измислете няколко прости примера, помислете, експериментирайте и изведете съкратени формули за производни.
Ако нещо все още не е ясно, моля, бавно прочетете и осмислете първата част от урока, защото сега задачата ще стане по-сложна:
Пример 4
Намерете частните производни на сложна функция, където 
Решение: тази функция има формата и след директно заместване и получаваме обичайната функция на две променливи: 
Но такъв страх не само не се приема, но човек вече не иска да прави разлика =) Затова ще използваме готови формули. За да ви помогна бързо да схванете модела, ще направя някои бележки: 
Погледнете внимателно снимката отгоре надолу и отляво надясно...
Първо, нека намерим частичните производни на „главната“ функция:
Сега намираме производните на „X“ на „лайнерите“:
и запишете крайната производна „X“:
По същия начин с „играта“:
И
Можете да се придържате към друг стил - намерете всички „опашки“ наведнъж 
и след това запишете двете производни.
Отговор:
Относно заместването 
някак си изобщо нищо не мисля =) =), но можете малко да промените резултатите. Въпреки че, отново, защо? – само затрудняват проверката на учителя.
Ако трябва, тогава пълен диференциалтук е написано по обичайната формула и, между другото, просто нататък тази стъпкаЛеката козметика става подходяща: 
Това е... ...ковчег на колела.
Поради популярността на разглеждания тип сложна функция има няколко задачи за самостоятелно решаване. По-прост пример в „полуобща“ форма е за разбиране на самата формула;-):
Пример 5
Намерете частните производни на функцията, където 
И по-сложно - с включване на техники за диференциране:
Пример 6
Намерете пълния диференциал на функция 
, Където 
Не, изобщо не се опитвам да ви „пратя на дъното“ - всички примери са взети от реални произведения и „в открито море“ можете да срещнете всякакви писма. Във всеки случай ще трябва да анализирате функцията (отговорете на 2 въпроса – вижте по-горе), представете го в общ изгледи внимателно модифицирайте формулите за частни производни. Сега може би сте малко объркани, но ще разберете самия принцип на тяхното изграждане! Защото истинските предизвикателства тепърва започват :)))
Пример 7
Намерете частични производни и създайте пълния диференциал на сложна функция
, Където
Решение: функцията “main” има формата и все още зависи от две променливи – “x” и “y”. Но в сравнение с Пример 4 е добавена друга вложена функция и следователно формулите за частни производни също са удължени. Както в този пример, за по-добро визуализиране на модела, ще маркирам „основните“ частични производни в различни цветове: 
И отново внимателно проучете записа отгоре надолу и отляво надясно.
Тъй като проблемът е формулиран в „полу-обща“ форма, цялата ни работа по същество е ограничена до намиране на частични производни на вградени функции: 
Първокласник може да се справи с: 
И дори пълният диференциал се оказа доста хубав:
Умишлено не ви предложих никаква конкретна функция - така че ненужното претрупване да не пречи на доброто разбиране на схематична диаграмазадачи.
Отговор: 
Доста често можете да намерите „смесени по размер“ инвестиции, например:
Тук функцията „main“, въпреки че има формата , все още зависи както от „x“, така и от „y“. Следователно работят същите формули - просто някои частни производни ще бъдат равни на нула. Освен това, това важи и за функции като 
, в която всяка „лайнер“ зависи от една променлива.
Подобна ситуация възниква в последните два примера на урока:
Пример 8
Намерете общия диференциал на сложна функция в точка
Решение: условието е формулирано по „бюджетен“ начин и ние трябва сами да етикетираме вложените функции. Мисля, че това е добър вариант:
„Вложките“ съдържат ( ВНИМАНИЕ!) ТРИ букви са доброто старо "X-Y-Z", което означава, че "главната" функция всъщност зависи от три променливи. Може да бъде формално пренаписано като , а частните производни в този случай се определят от следните формули: 
Ние сканираме, задълбаваме, улавяме...
В нашата задача: 
Функции на много променливи
§1. Концепцията за функция на много променливи.
Нека има нпроменливи количества. Всеки комплект 
обозначава точка н-
набор от размери 
(П-дименсионален вектор).
Нека дадени комплекти 
И 
.
ОПР. Ако всяка точка 
съвпада с единственото число 
, тогава казваме, че е дадена числова функция нпроменливи:
.
се нарича област на дефиниция, 
- набор от стойности на дадена функция.
Кога н=2 вместо това 
обикновено пишат х,
г,
z. Тогава функцията на две променливи има формата:
z= f(х, г).
Например, 
- функция на две променливи;
- функция на три променливи;
Линейна функция нпроменливи.
ОПР. Функционална графика нсе наричат променливи н-
размерна хиперповърхност в пространството 
, всяка точка от които е зададена с координати
Например графика на функция на две променливи z=
f(х,
г)
е повърхност в триизмерно пространство, всяка точка от която е зададена с координати ( х,
г,
z)
, Където 
, И 
.
Тъй като не е възможно да се изобрази графика на функция на три или повече променливи, ние ще разгледаме главно (за яснота) функции на две променливи.
Начертаването на функции на две променливи е доста трудна задача. Изграждането на така наречените нивелирни линии може да окаже значителна помощ при решаването на този проблем.
ОПР. Линия на ниво на функция на две променливи z= f(х, г) се нарича множество от точки на равнината HOU, които са проекцията на сечението на графиката на функцията с паралелна равнина HOU.Във всяка точка от линията на нивото функцията има една и съща стойност. Линиите на нивото се описват от уравнението f(х, г)=c, Където с– определено число. Има безкрайно много линии на ниво и една от тях може да бъде начертана през всяка точка от дефиниционната област.
ОПР. Функция за ниво на повърхността нпроменливи г=
f
(
) се нарича хиперповърхност в пространството 
, във всяка точка от които стойността на функцията е постоянна и равна на определена стойност с. Уравнение на повърхността на нивото: f
(
)=s.
Пример. Начертайте графика на функция на две променливи
.
.
Когато c=1: 
;
.
С c=4: 
;
.
При c=9: 
;
.
Линиите на нивото са концентрични кръгове, чийто радиус намалява с увеличаване z.
§2. Предел и непрекъснатост на функция на няколко променливи.
За функции на много променливи се дефинират същите понятия като за функции на една променлива. Например, можете да дадете определения за граница и непрекъснатост на функция.
ОПР. Числото A се нарича граница на функция на две променливи z=
f(х,
г)
при 
,
и е обозначен 
, ако за всяко положително число 
има положително число 
, така че ако точката 
далеч от точката 
по-малко разстояние 
, след това количествата f(х,
г)
и A се различават с по-малко от 
.
ОПР. Ако функцията z=
f(х,
г)
определена в точка 
и има граница в тази точка, равна на стойността на функцията 
, тогава се нарича непрекъснат в дадена точка.
.
§3. Частични производни на функции на няколко променливи.
Да разгледаме функция на две променливи 
.
Нека например да коригираме стойността на един от аргументите му 
, поставяне 
. След това функцията 
има функция на една променлива 
. Нека има производна в точката 
:
.
Тази производна се нарича частна производна (или частна производна от първи ред) на функцията 
от 
в точката 
и се обозначава: 
;
;
;
.
Разликата се нарича частично увеличение 
и е обозначен 
:
Като вземем предвид горните обозначения, можем да напишем
.
Определено по подобен начин
.
Частична производнафункции на няколко променливи в една от тези променливи се нарича границата на съотношението на частичното нарастване на функция към увеличението на съответната независима променлива, когато това увеличение клони към нула.
При намиране на частната производна по отношение на който и да е аргумент, другите аргументи се считат за константа. Всички правила и формули за диференциране на функции на една променлива са валидни за частни производни на функции на много променливи.
Имайте предвид, че частните производни на функция са функции на едни и същи променливи. Тези функции от своя страна могат да имат частни производни, които се наричат втори частни производни(или частични производни от втори ред) на оригиналната функция.
Например функцията 
има четири частични производни от втори ред, които се означават по следния начин:
;
;
;
.
И 
- смесени частични производни.
Пример.Намерете частични производни от втори ред за функция
.
Решение.
,
.
,
.
, 
.
Упражнение.
1. Намерете частични производни от втори ред за функции
,
;
2. За функция 
докажи това 
.
Пълен диференциал функции на много променливи.
С едновременни промени в стойностите хИ прифункция 
ще се промени със сума, наречена общо увеличение на функцията z
в точката 
. Точно както в случая на функция на една променлива, възниква проблемът с приблизителното заместване на увеличението 
към линейна функция на 
И 
. Ролята на линейна апроксимация се изпълнява от пълен диференциалХарактеристика:
Общ диференциал от втори ред:
=
.
=
.
Общо взето тотален диференциал П-та поръчка има формата:
Производна по посока. Градиент.
Нека функцията z=
f(х,
г)
е дефинирана в някаква околност на точката M( х,
г) И 
- някаква посока, определена от единичния вектор 
. Координатите на единичен вектор се изразяват чрез косинусите на ъглите, образувани от вектора и координатните оси и се наричат насочващи косинуси:
,
.
При преместване на точка M( х,
г) в тази посока л
точно 
функция zще получи увеличение
наречено нарастване на функцията в дадена посока л.
Ако MM 1 =∆ л, Че
T
ОТНОСНО
функции z=
f(х,
г)
към
се нарича границата на съотношението на увеличението на функцията в тази посока към големината на преместването ∆ л
тъй като последният клони към нула:
Производната по посока характеризира скоростта на промяна на функция в дадена посока. Очевидно е, че частичните производни 
И 
представляват производни в посоки, успоредни на осите вол
И Ой. Лесно е да се покаже това
Пример. Изчисляване на производната на функция 
в точка (1;1) по посока 
.
ОПР. Градиентфункции z= f(х, г) е вектор с координати, равни на частни производни:
.
Разгледайте скаларното произведение на векторите 
И 
:
Лесно е да се види това 
, т.е. производната по посока е равна на скаларното произведение на градиента и единичния вектор на посоката 
.
Тъй като 
, тогава скаларното произведение е максимално, когато векторите имат еднакви посоки. По този начин градиентът на функция в точка определя посоката на най-бързото нарастване на функцията в тази точка, а модулът на градиента е равен на максималната скорост на нарастване на функцията.
Познавайки градиента на функция, човек може локално да конструира линии на функционално ниво.
Теорема. Нека е дадена диференцируема функция z=
f(х,
г)
и в точката 
градиентът на функцията не е нула: 
. Тогава градиентът е перпендикулярен на линията на нивото, минаваща през дадената точка.
По този начин, ако, започвайки от определена точка, построим градиента на функцията и малка част от линията на нивото, перпендикулярна на нея в близки точки, тогава можем (с известна грешка) да построим линии на ниво.
Локален екстремум на функция на две променливи
Нека функцията 
определени и непрекъснати в някаква околност на точката 
.
ОПР. Точка 
се нарича локална максимална точка на функцията 
, ако има такава близост на точката 
, в който за всяка точка 
важи неравенството:
.
По подобен начин се въвежда понятието локален минимум.
Теорема (необходимо условие за локален екстремум).
За да има диференцируема функция 
имаше локален екстремум в точката 
, е необходимо всички негови частични производни от първи ред в тази точка да бъдат равни на нула:
И така, точките на възможно наличие на екстремум са онези точки, в които функцията е диференцируема и нейният градиент е равен на 0: 
. Както в случая на функция на една променлива, такива точки се наричат стационарни.
Определение. Променлива z(с зона за промяна З) Наречен функция на две независими променливи x,yв изобилие М, ако всяка двойка ( x,y) от много М zот З.
Определение. Няколко М, в който са посочени променливите x,y,Наречен област на функцията, задайте Z – функционален диапазон, и себе си x,y- нея аргументи.
Обозначения: z = f(x,y), z = z(x,y).
Примери.
Определение . Променлива z(с зона за промяна З) Наречен функция на няколко независими променливив изобилие М, ако всеки набор от числа от набора Мспоред някакво правило или закон се приписва една конкретна стойност zот З.Понятията аргументи, област на дефиниция и област на стойност се въвеждат по същия начин, както за функция на две променливи.
Обозначения: z = f, z = z.
Коментирайте. Тъй като няколко числа ( x,y) могат да се считат за координатите на определена точка в равнината, впоследствие ще използваме термина „точка“ за двойка аргументи на функция от две променливи, както и за подреден набор от числа, които са аргументи на функция от няколко променливи.
Геометрично представяне на функция на две променливи
Помислете за функцията
z = f(x,y), (15.1)
определени в някаква област Мна равнината О xy. Тогава наборът от точки в триизмерното пространство с координати ( x,y,z), където , е графиката на функция на две променливи. Тъй като уравнение (15.1) определя определена повърхност в триизмерното пространство, то ще бъде геометричният образ на разглежданата функция.
Функционален домейн z = f(x,y)в най-простите случаи това е или част от равнината, ограничена от затворена крива, и точките на тази крива (границите на региона) могат или не могат да принадлежат към областта на дефиниция, или цялата равнина, или, накрая, набор от няколко части на равнината xOy.
z = f(x,y)
Примерите включват уравненията на равнината z = ax + by + c
и повърхности от втори ред: z = x² + г² (параболоид на въртене),
(конус) и др.
Коментирайте. За функция от три или повече променливи ще използваме термина „повърхност в н-измерно пространство”, въпреки че е невъзможно да се изобрази такава повърхност.
Нивелирани линии и повърхности
За функция на две променливи, дадена от уравнение (15.1), можем да разгледаме набор от точки ( x,y)О самолет xy, за което zприема същата постоянна стойност, т.е z= конст. Тези точки образуват права на равнината, наречена линия на ниво.
Пример.
Намерете линиите на нивото на повърхността z = 4 – х² - г². Техните уравнения изглеждат така х² + г² = 4 – ° С(° С=const) – уравнения на концентрични окръжности с център в началото и с радиуси . Например, когато с=0 получаваме кръг х² + г² = 4.
За функция на три променливи u = u(x, y, z)уравнението u(x, y, z) = cдефинира повърхност в тримерното пространство, която се нарича равна повърхност.
Пример.
За функция u = 3х + 5г – 7z–12 нивелирани повърхности ще бъдат семейство от успоредни равнини, дадени от уравнения 3 х + 5г – 7z –12 + с = 0.
Предел и непрекъснатост на функция на няколко променливи
Нека представим концепцията δ-околноститочки М 0 (x 0, y 0)на равнината О xyкато окръжност с радиус δ с център в дадена точка. По подобен начин можем да дефинираме δ-околност в триизмерното пространство като топка с радиус δ с център в точката М 0 (x 0, y 0, z 0). За н-мерно пространство ще наричаме δ-околност на точка М 0 набор от точки Мс координати, отговарящи на условието
къде са координатите на точката М 0 . Понякога този комплект се нарича "топка". н-измерно пространство.
Определение. Извиква се числото А лимитфункции на няколко променливи fв точката М 0 ако е такова, че | f(M) – A| < ε для любой точки Мот δ-махала М 0 .
Обозначения: .
Трябва да се има предвид, че в този случай точката Мможе да се приближава М 0, относително казано, по всяка траектория вътре в δ-околността на точката М 0 . Следователно трябва да се разграничава границата на функция на няколко променливи в общ смисъл от т.нар повтарящи се границиполучен чрез последователни преминавания до границата за всеки аргумент поотделно.
Примери.
Коментирайте. Може да се докаже, че от съществуването на граница в дадена точка в обичайния смисъл и съществуването в тази точка на граници по отделни аргументи следва съществуването и равенството на повтарящи се граници. Обратното твърдение не е вярно.
Определение функция fНаречен непрекъснатов точката М 0 ако (15.2)
Ако въведем нотацията , тогава условие (15.2) може да бъде пренаписано във формата (15.3)
Определение . Вътрешна точка М 0функционална област z = f(M)Наречен точка на пречупванефункция, ако условията (15.2), (15.3) не са изпълнени в тази точка.
Коментирайте. Много точки на прекъсване могат да се образуват в равнина или в пространството линииили повърхност на счупване.
Примери.
Свойства на лимити и непрекъснати функции
Тъй като определенията за граница и непрекъснатост за функция на няколко променливи практически съвпадат със съответните дефиниции за функция на една променлива, то за функциите на няколко променливи се запазват всички свойства на границите и непрекъснатите функции, доказани в първата част на курса. , а именно:
1) Ако съществуват, значи съществуват и (ако).
2) Ако a и за всяко азима граници и има къде М 0, тогава има граница на сложна функция при , където са координатите на точката Р 0 .
3) Ако функциите f(M)И g(M)непрекъснато в точка М 0, тогава в тази точка функциите също са непрекъснати f(M) + g(M), kf(M), f(M) g(M), f(M)/g(M)(Ако g(M 0) ≠ 0).
4) Ако функциите са непрекъснати в точката P 0, а функцията е непрекъсната в точката М 0, където , тогава комплексната функция е непрекъсната в точката R 0 .
5) Функцията е непрекъсната в затворена ограничена зона д, взема своите най-големи и най-малки стойности в този регион.
6) Ако функцията е непрекъсната в затворена ограничена област д, приема стойности в този регион АИ IN, след това тя разглежда района ди всяка междинна стойност между АИ IN.
7) Ако функцията е непрекъсната в затворена ограничена област д, приема стойности на различни знаци в този регион, тогава има поне една точка от региона д, при което f = 0.
Частични производни
Нека помислим за промяна на функция, когато указваме увеличение само на един от нейните аргументи - x i, и нека го наречем .
Определение . Частична производнафункции по аргумент x iНаречен .
Обозначения: .
По този начин частната производна на функция на няколко променливи всъщност се дефинира като производна на функцията една променлива – x i. Следователно всички свойства на производните, доказани за функция на една променлива, са валидни за нея.
Коментирайте. При практическото изчисляване на частични производни ние използваме обичайните правила за диференциране на функция на една променлива, като приемаме, че аргументът, чрез който се извършва диференцирането, е променлив, а останалите аргументи са постоянни.
Примери .
1. z = 2х² + 3 xy –12г² + 5 х – 4г +2,
2. z = xy,
Геометрична интерпретация на частни производни на функция на две променливи
Разгледайте уравнението на повърхността z = f(x,y)и начертайте равнина x =конст. Нека изберем точка от пресечната линия на равнината и повърхността M(x,y). Ако дадете аргумента приувеличение Δ прии разгледайте точка T на кривата с координати ( x, y+Δ y, z+Δy z), тогава тангенса на ъгъла, образуван от секанса MT с положителната посока на оста O при, ще бъде равно на . Преминавайки към границата при , намираме, че частичната производна е равна на тангенса на ъгъла, образуван от допирателната към получената крива в точката Мс положителна посока на оста О u.Съответно, частната производна е равна на тангенса на ъгъла с оста O хдопирателна към кривата, получена в резултат на разрязване на повърхността z = f(x,y)самолет y =конст.
Диференцируемост на функция на няколко променливи
Когато изучаваме въпроси, свързани с диференцируемостта, ще се ограничим до случая на функция от три променливи, тъй като всички доказателства за по-голям брой променливи се извършват по същия начин.
Определение . Пълно увеличениефункции u = f(x, y, z)Наречен
Теорема 1. Ако частични производни съществуват в точката ( x 0, y 0, z 0) и в някои от неговите квартали и са непрекъснати в точката ( x 0, y 0, z 0), тогава са ограничени (тъй като техните модули не надвишават 1).
Тогава нарастването на функция, която удовлетворява условията на теорема 1, може да бъде представено като: , (15.6)
Определение . Ако функцията нараства u = f (x, y, z)в точка ( x 0, y 0, z 0)може да се представи във формата (15.6), (15.7), тогава функцията се извиква диференцируемив този момент и изразът е основна линейна част от нарастванетоили пълен диференциалвъпросната функция.
Обозначения: du, df (x 0, y 0, z 0).
Точно както в случая на функция на една променлива, диференциалите на независимите променливи се считат за техните произволни увеличения, следователно
Бележка 1. Така че твърдението „функцията е диференцируема“ не е еквивалентно на твърдението „функцията има частични производни“ - за диференцируемостта е необходима и непрекъснатостта на тези производни във въпросната точка.
.Обмислете функцията и изберете x 0 = 1, y 0 = 2. Тогава Δ x = 1,02 – 1 = 0,02; Δ y = 1,97 – 2 = -0,03. Да намерим
Следователно, предвид това е ( 1, 2) = 3, получаваме.
Дотук разгледахме най-простия функционален модел, в който функциязависи от единственото нещо аргумент. Но когато изучаваме различни явления от околния свят, ние често срещаме едновременни промени в повече от две количества и много процеси могат да бъдат ефективно формализирани функция на няколко променливи, Където - аргументиили независими променливи. Нека започнем да развиваме темата с най-често срещаната в практиката. функции на две променливи .
Функция на две променливиНаречен закон, според който всяка двойка стойности независими променливи(аргументи) от област на дефинициясъответства на стойността на зависимата променлива (функция).
Тази функцияозначен по следния начин:
Или , или друга стандартна буква:
Тъй като подредената двойка стойности "x" и "y" определя точка на равнината, тогава функцията се записва и през , където е точка от равнината с координати . Тази нотация се използва широко в някои практически задачи.
Геометричен смисъл на функция на две променливимного просто. Ако функция на една променлива съответства на определена линия в равнина (например познатата училищна парабола), тогава графиката на функция на две променливи се намира в триизмерно пространство. На практика най-често трябва да се сблъскаме с повърхност, но понякога графиката на функция може да бъде, например, пространствена линия(и) или дори една точка.
Ние добре познаваме елементарния пример за повърхност от курса аналитична геометрия- Това самолет. Ако приемем, че , уравнението може лесно да се пренапише като функционална форма:
Най-важният атрибут на функция от 2 променливи е вече посоченият домейн.
Област на функция на две променливинаречен набор всекидвойки, за които стойността съществува.
Графично, областта на дефиницията е цялата равнина или част от нея. По този начин областта на дефиниция на функцията 
е цялата координатна равнина – поради това, че за всякаквиточка съществува стойност.
Но такова бездействащо споразумение не винаги се случва, разбира се:
Като две променливи?
Когато се разглеждат различни концепции за функция на няколко променливи, е полезно да се направят аналогии със съответните концепции за функция на една променлива. По-специално, когато разбера област на дефиницияплатихме Специално вниманиеза онези функции, които съдържат дроби, четни корени, логаритми и т.н. Тук всичко е абсолютно същото!
Задачата за намиране на домейна на дефиниция на функция от две променливи с почти 100% вероятност ще се срещне във вашата тематична работа, така че ще анализирам приличен брой примери:
Пример 1
Намерете домейна на функция 
Решение: тъй като знаменателят не може да стигне до нула, тогава:
Отговор: цялата координатна равнина с изключение на точките, принадлежащи на правата
Да, да, по-добре е да напишете отговора в този стил. Домейнът на дефиниция на функция на две променливи рядко се обозначава със символ; много по-често се използва словесно описаниеи/или рисунка.
Ако по условие изисква сенаправете чертеж, тогава ще е необходимо да изобразите координатната равнина и пунктирана линиянаправете права линия. Пунктираната линия показва, че линията Изключенов областта на дефиницията.
Както ще видим малко по-късно, в по-трудни примери изобщо не можете да правите без рисунка.
Пример 2
Намерете домейна на функция 
Решение: радикалният израз трябва да е неотрицателен:
Отговор: полуравнина
Графично изображениетук също е примитивно: рисуваме декартова координатна система, твърдоначертайте права линия и засенчете горната част полуравнина. Плътната линия показва факта, че то включенив областта на дефиницията.
внимание!Ако не разбирате НИЩО от втория пример, моля, изучете/повторете урока подробно Линейни неравенства– без него ще е много трудно!
Миниатюра за самостоятелно решение:
Пример 3
Намерете домейна на функция
Решение в два реда и отговор в края на урока.
Нека продължим да загряваме:
Пример 4
И го изобразете на чертежа 
Решение: лесно е да се разбере, че това е формулировката на проблема изискваизпълнение на чертежа (дори ако домейнът на дефиницията е много прост). Но първо, анализ: коренът на израза трябва да е неотрицателен: и като се има предвид, че знаменателят не може да стигне до нула, неравенството става строго:
Как да определим площта, която определя неравенството? Препоръчвам същия алгоритъм на действия като в решението линейни неравенства.
Първо рисуваме линия, който е зададен съответно равенство. Уравнението определя кръгс център в началото на радиус, който разделя координатната равнина на двечасти - “вътре” и “външно” на кръга. Тъй като имаме неравенство строг, тогава самата окръжност със сигурност няма да бъде включена в областта на дефиниция и следователно трябва да бъде начертана пунктирана линия.
Сега да го вземем произволенравнинна точка, не принадлежащи къмокръжност и заместете нейните координати в неравенството. Най-лесният начин, разбира се, е да изберете произхода:
получено фалшиво неравенство, по този начин, точка не удовлетворяванеравенство Освен това това неравенство не е изпълнено от никоя точка, лежаща вътре в кръга, и следователно желаната област на дефиниция е неговата външна част. Областта на дефиниране традиционно е щрихована: 
Всеки може да вземе всяка точка, принадлежаща на защрихованата област, и да се увери, че нейните координати удовлетворяват неравенството. Между другото, обратното неравенство дава кръгс център в началото, радиус .
Отговор: външната част на кръга
Да се върнем към геометричния смисъл на задачата: намерихме областта на дефиниция и я защриховахме, какво означава това? Това означава, че във всяка точка от защрихованата област има стойност „zet“ и графично функцията 
е следното повърхност:
Схематичният чертеж ясно показва, че тази повърхност е разположена на места по-горесамолет (близки и далечни октанти от нас), на места – подсамолет (ляв и десен октанти спрямо нас). Повърхността също минава през осите. Но поведението на функцията като такава сега не ни е много интересно - важното е това всичко това се случва изключително в областта на дефиницията. Ако вземем която и да е точка, принадлежаща на окръжността, тогава там няма да има повърхност (тъй като няма "zet"), както се вижда от кръглото пространство в средата на картината.
Моля, разберете добре този пример, защото в него аз в повече детайлиобясни същината на проблема.
Следната задача трябва да решите сами:
Пример 5
Кратко решение и рисунка в края на урока. Като цяло, в разглежданата тема сред Редове от 2-ри реднай-популярният е кръгът, но като опция те могат да „бутнат“ в проблема елипса, хиперболаили парабола.
Да се придвижим нагоре:
Пример 6
Намерете домейна на функция
Решение: коренният израз трябва да е неотрицателен: и знаменателят не може да бъде равен на нула: . По този начин домейнът на дефиницията се определя от системата.
Справяме се с първото условие, използвайки стандартната схема, разгледана в урока. Линейни неравенства: начертайте права и определете полуравнината, която съответства на неравенството. Защото неравенството нестроги, тогава самата права линия също ще бъде решение.
С второто условие на системата всичко също е просто: уравнението определя ординатната ос и тъй като , то трябва да бъде изключено от областта на дефиниция.
Нека начертаем чертежа, като не забравяме, че плътната линия показва влизането му в областта на дефиницията, а пунктираната линия показва изключването му от тази област: 
Трябва да се отбележи, че вече сме тук принуденнаправете рисунка. И тази ситуация е типична - в много задачи словесното описание на района е трудно и дори да го опишете, най-вероятно ще бъдете зле разбрани и ще бъдете принудени да изобразите района.
Отговор: домейн:
Между другото, такъв отговор без чертеж наистина изглежда влажен.
Нека повторим още веднъж геометричния смисъл на получения резултат: в защрихованата област има графика на функцията, която представлява повърхността на триизмерното пространство. Тази повърхност може да се намира над/под равнината или да пресича равнината - в този случай всичко това е успоредно на нас. Самият факт за съществуването на повърхността е важен и е важно правилно да се намери регионът, в който тя съществува.
Пример 7
Намерете домейна на функция 
Това е пример, който можете да решите сами. Примерен пример за финална задача в края на урока.
Не е необичайно привидно прости функции да произвеждат дългосрочно решение:
Пример 8
Намерете домейна на функция
Решение: използвайки формула за квадратна разлика, нека факторизираме радикалния израз: 
.
Произведението на два фактора е неотрицателно 
, Кога и дветемножителите са неотрицателни: ИЛИКога и дветенеположителен: . Това е типична характеристика. Следователно трябва да решим две системи от линейни неравенстваИ КОМБИНИРАЙТЕполучени площи. В подобна ситуация, вместо стандартния алгоритъм, методът на научното или по-скоро практическото мушкане работи много по-бързо =)
Начертаваме прави линии, които разделят координатната равнина на 4 „ъгъла“. Вземаме някаква точка, принадлежаща на горния „ъгъл“, например точка и заместваме нейните координати в уравненията на 1-ва система: 
. Получават се правилните неравенства, което означава, че решението на системата е всичкогорен ъгъл". Засенчване.
Сега вземаме точката, принадлежаща на десния „ъгъл“. Остава втората система, в която заместваме координатите на тази точка: 
. Второто неравенство не е вярно, следователно, и всичкодесният "ъгъл" не е решение на системата. 
Подобна е историята и с левия „ъгъл“, който също не влиза в обхвата на дефиницията.
И накрая, заместваме координатите на експерименталната точка на долния „ъгъл“ във втората система: 
. И двете неравенства са верни, което означава, че решението на системата е и всичкодолният „ъгъл“, който също трябва да бъде засенчен.
В действителност, разбира се, няма нужда да се описва толкова подробно - всички коментирани действия се извършват лесно устно!
Отговор: областта на дефиницията е съюзсистемни решения 
.
Както може би се досещате, подобен отговор едва ли ще работи без чертеж и това обстоятелство ви принуждава да вземете линийка и молив, въпреки че условието не го изисква.
И това е вашият орех:
Пример 9
Намерете домейна на функция
Добрият ученик винаги пропуска логаритми:
Пример 10
Намерете домейна на функция 
Решение: аргументът на логаритъма е строго положителен, така че областта на дефиниция е дадена от системата.
Неравенството показва дясната полуравнина и изключва оста.
При второто условие ситуацията е по-сложна, но и прозрачна. Да си припомним синусоида. Аргументът е „Игрек“, но това не трябва да ме бърка – Игрек, така Игрек, Зю, така Зю. Къде е синус по-голям от нула? Синусът е по-голям от нула, например, на интервала. Тъй като функцията е периодична, има безкрайно много такива интервали и в свит вид решението на неравенството ще бъде записано по следния начин: 
, където е произволно цяло число.
Безкраен брой интервали, разбира се, не могат да бъдат изобразени, така че ще се ограничим до интервала 
и неговите съседи: 
Нека завършим чертежа, като не забравяме, че според първото условие нашата област на дейност е ограничена строго до дясната полуравнина: 
хм...оказа се някаква призрачна рисунка...добро представяне на висшата математика...
Отговор: 
Следващият логаритъм е ваш:
Пример 11
Намерете домейна на функция 
По време на решението ще трябва да изградите парабола, който ще раздели равнината на 2 части - „вътрешността“, разположена между клоните, и външна част. Методът за намиране на необходимата част се появява многократно в статията Линейни неравенстваи предишни примери в този урок.
Решение, чертеж и отговор в края на урока.
Последните ядки на параграфа са посветени на „арки“:
Пример 12
Намерете домейна на функция 
Решение: Аргументът арксинус трябва да бъде в следните граници: 
След това има две технически възможности: по-подготвени читатели, подобни на последните примери от урока Област на функция на една променливате могат да „превъртят“ двойното неравенство и да оставят „Y“ в средата. За манекени препоръчвам да преобразувате „локомотива“ в еквивалент система от неравенства:
Системата се решава както обикновено - построяваме прави и намираме необходимите полуравнини. Като резултат: 
Моля, обърнете внимание, че тук границите са включени в зоната за дефиниране и правите линии са начертани като плътни линии. Това винаги трябва да се следи внимателно, за да се избегне сериозна грешка.
Отговор: областта на дефиницията представлява решението на системата
Пример 13
Намерете домейна на функция
Примерното решение използва усъвършенствана техника - преобразуване на двойни неравенства.
На практика понякога се сблъскваме и с проблеми, свързани с намирането на областта на дефиниция на функция от три променливи. Областта на дефиниране на функция на три променливи може да бъде всичкотриизмерното пространство или част от него. В първия случай функцията е дефинирана за всякаквиточки в пространството, във втория - само за онези точки, които принадлежат на някакъв пространствен обект, най-често - тяло. Може да бъде правоъгълен паралелепипед, елипсоид, "вътре" параболичен цилиндъри т.н. Задачата за намиране на областта на дефиниция на функция от три променливи обикновено се състои в намиране на това тяло и правене на триизмерен чертеж. Такива примери обаче са доста редки. (Намерих само няколко парчета), и затова ще се огранича само до този общ параграф.
Линии на ниво
За да разберем по-добре този термин, ще сравним оста с височина: колкото по-висока е стойността „Z“, толкова по-голяма е височината, колкото по-ниска е стойността „Z“, толкова по-малка е височината. Височината може да бъде и отрицателна.
Функция в своята област на дефиниция е пространствена графика; за определеност и по-голяма яснота ще приемем, че това е тривиална повърхност. Какво представляват линиите на нивото? Образно казано, линиите на нивото са хоризонтални „резени“ от повърхността на различни височини. Тези „филии“ или по-правилно, секцииизвършвани от самолети, след което се проектират върху равнината .
Определение: линия на функционално ниво е линия в равнината, във всяка точка от която функцията поддържа постоянна стойност: .
По този начин линиите на нивото помагат да се разбере как изглежда определена повърхност - и те помагат, без да се конструира триизмерен чертеж! Нека разгледаме конкретна задача:
Пример 14
Намерете и начертайте няколко линии на ниво на функционална графика 
Решение: Изследваме формата на дадена повърхност с помощта на нивелирни линии. За удобство нека разширим записа „отзад напред“: 
Очевидно в този случай „zet“ (височина) очевидно не може да приема отрицателни стойности (тъй като сборът на квадратите е неотрицателен). Така повърхността се намира в горното полупространство (над равнината).
Тъй като условието не казва на какви конкретни височини линиите на нивото трябва да бъдат „отрязани“, ние сме свободни да изберем няколко стойности „Z“ по наша преценка.
Изследваме повърхността на нулева височина, за да направим това, поставяме стойността в равенството 
:
Решението на това уравнение е точката. Тоест, когато линията на нивото представлява точка.
Издигаме се на единична височина и „отрязваме“ повърхността си 
самолет (заместете в уравнението на повърхността):
По този начин, за височина линията на нивото е кръг с център в точка с единичен радиус.
Напомням ви това всички „срезове“ се проектират върху равнината, и затова записвам две, а не три координати за точки!
Сега вземаме, например, равнина и „изрязваме“ изследваната повърхност с нея 
(заместителв уравнението на повърхността):
По този начин, за височиналинията на нивото е кръг с център в точката на радиуса.
И нека изградим друга линия на ниво, да речем за :
–кръг с център в точка с радиус 3.
Линиите на нивото, както вече подчертах, са разположени на равнината, но всяка линия е подписана - на каква височина съответства: 
Не е трудно да се разбере, че другите линии на нивото на разглежданата повърхност също са кръгове и колкото по-високо се изкачваме (увеличаваме стойността на „Z“), толкова по-голям става радиусът. По този начин, самата повърхностПредставлява безкрайна купа с яйцевидно дъно, чийто връх е разположен върху равнина. Тази „купа“, заедно с оста, „излиза право към вас“ от екрана на монитора, тоест вие гледате дъното й =) И това не е без причина! Само аз го сипвам на пътя толкова смъртоносно =) =)
Отговор: линиите на нивото на дадена повърхност са концентрични кръгове на формата
Забележка : когато се получи изродена окръжност с нулев радиус (точка).
Самата концепция за линия на ниво идва от картографията. Перифразирайки установения математически израз, можем да кажем, че линията на нивото е географско местоположение на точки с еднаква височина. Помислете за определена планина с линии на ниво от 1000, 3000 и 5000 метра: 
Фигурата ясно показва, че горният ляв склон на планината е много по-стръмен от долния десен склон. По този начин линиите на нивото ви позволяват да отразявате терена върху „плоска“ карта. Между другото, тук отрицателните стойности на надморската височина също придобиват много специфично значение - в края на краищата някои области на земната повърхност се намират под нулевото ниво на световния океан.
(Лекция 1)
Функции на 2 променливи.
Променливата z се нарича функция на 2 променливи f(x,y), ако за всяка двойка стойности (x,y) G е свързана определена стойност на променливата z.
Деф.Окръжност на точка p 0 е окръжност с център в точка p 0 и радиус. = (х-х 0 ) 2 +(ооо 0 ) 2
на произволно малко число, може да се посочи число ()>0, така че за всички стойности на x и y, за които разстоянието от t.p до p0 е по-малко, е валидно следното неравенство: f(x,y) A , т.е. за всички точки p, попадащи в близост до точка p 0, с радиус, стойността на функцията се различава от A с по-малко от абсолютната стойност. И това означава, че когато точка p се доближи до точка p 0 с всеки
Непрекъснатост на функцията.
Нека е дадена функцията z=f(x,y), p(x,y) е текущата точка, p 0 (x 0 ,y 0) е разглежданата точка.
Деф.
3) Границата е равна на стойността на функцията в тази точка: = f(x 0 ,y 0);
Lim f(x,y) = f(x 0 ,г 0 );
стр 0
Частична производна.
Нека дадем на аргумента x увеличение от x; x+x, получаваме точка p 1 (x+x,y), изчисляваме разликата между стойностите на функцията в точка p:
x z = f(p1)-f(p) = f(x+x,y) - f(x,y) частично нарастване на функцията, съответстващо на нарастването на аргумента x.
z= Lim х z
z = Lim f(x+x,y) - f(x,y)
X x0 X
Дефиниране на функция на няколко променливи
При разглеждане на много въпроси от различни областизнания, които трябва да изучаваме такива зависимости между променливи величини, когато числените стойности на една от тях са напълно определени от стойностите на няколко други.
НапримерКогато изучаваме физическото състояние на тялото, трябва да наблюдаваме промените в неговите свойства от точка до точка. Всяка точка от тялото се определя с три координати: x, y, z. Следователно, изучавайки, да речем, разпределението на плътността, заключаваме, че плътността на тялото зависи от три променливи: x, y, z. Ако физическото състояние на тялото също се променя с течение на времето t, тогава същата плътност ще зависи от стойностите на четири променливи: x, y, z, t.
Друг пример: изследват се производствените разходи за производство на единица от определен вид продукт. Нека бъде:
x - разходи за материали,
y - разходи за изплащане на заплати на служителите,
z - амортизационните разходи.
Очевидно е, че производствените разходи зависят от стойностите на посочените параметри x, y, z.
Определение 1.1Ако за всеки набор от стойности "n" променливи
от някакъв набор D от тези колекции съответства на неговата уникална стойност на променливата z, тогава те казват, че функцията е дадена на набора D
"n" променливи.
Множеството D, определено в дефиниция 1.1, се нарича област на дефиниция или област на съществуване на тази функция.
Ако се разглежда функция на две променливи, тогава колекцията от числа
се обозначават като правило (x, y) и се интерпретират като точки от координатната равнина Oxy, а областта на дефиниране на функцията z = f (x, y) на две променливи се изобразява като определен набор от точки в самолета Oxy.
Така например областта на дефиниране на функцията
е множеството от точки на равнината Oxy, чиито координати удовлетворяват съотношението
т.е. това е окръжност с радиус r с център в началото.
За функция
областта на дефиниция са точките, които отговарят на условието
външни по отношение на даден кръг.
Често функциите на две променливи се задават имплицитно, т.е. като уравнение
свързване на три променливи. В този случай всяка от величините x, y, z може да се разглежда като имплицитна функция на другите две.
Геометричен образ (графика) на функция на две променливи z = f (x, y) е набор от точки P (x, y, z) в тримерното пространство Oxyz, чиито координати удовлетворяват уравнението z = f (x, y).
Графиката на функция от непрекъснати аргументи, като правило, е определена повърхност в пространството Oxyz, която се проектира върху координатната равнина Oxy в областта на дефиниране на функцията z = f (x, y).
Така например (фиг. 1.1) графиката на функцията
е горната половина на сферата, а графиката на функцията
Долната половина на сферата.
Графиката на линейната функция z = ax + by + с е равнина в пространството Oxyz, а графиката на функцията z = const е равнина, успоредна на координатната равнина Oxyz.
Имайте предвид, че функцията на три и Повече ▼променливите не могат да бъдат визуално представени като графика в триизмерно пространство.
По-нататък ще се ограничим основно до разглеждането на функции на две или три променливи, тъй като разглеждането на случая на по-голям (но краен) брой променливи се извършва по подобен начин.
Дефиниция на функция на няколко променливи.
(Лекция 1)
Променливата u се нарича f(x,y,z,..,t), ако за произволен набор от стойности (x,y,z,..,t) е асоциирана добре дефинирана стойност на променливата u.
Наборът от колекции от стойността на променлива се нарича област на дефиниране на функция.
G - набор (x,y,z,..,t) - област на дефиниция.
Функции на 2 променливи.
Променливата z се нарича функция на 2 променливи f(x,y), ако за всяка двойка стойности (x,y) О G е свързана определена стойност на променливата z.
Граница на функция от 2 променливи.
Нека е дадена функцията z=f(x,y), p(x,y) е текущата точка, p 0 (x 0 ,y 0) е разглежданата точка.
Деф.Окръжност на точката p 0 е окръжност с център в точката p 0 и радиус r. r= Ö (х-х 0 ) 2 +(ооо 0 ) 2 Ø
Числото A се нарича граница на функцията | в точка p 0, ако за всяка
за произволно малко число e, може да се посочи число r (e)>0, така че за всички стойности на x и y, за които разстоянието от t.p до p0 е по-малко от r, е валидно следното неравенство: ½f(x,y) - A½0, с радиус r, стойността на функцията се различава от A с по-малко от e по абсолютна стойност. И това означава, че когато точка p се доближи до точка p 0 с всекипът, стойността на функцията неограничено се доближава до числото A.
Непрекъснатост на функцията.
Нека е дадена функцията z=f(x,y), p(x,y) е текущата точка, p 0 (x 0 ,y 0) е разглежданата точка.
Деф.Функцията z=f(x,y) се нарича непрекъсната при t.p 0, ако са изпълнени 3 условия:
1) функцията е дефинирана в тази точка. f(p 0) = f(x,y);
2)f-i има ограничение в тази точка.
3) Границата е равна на стойността на функцията в тази точка: b = f(x 0 ,y 0);
Lim f(x,y)= f(x 0 ,г 0 ) ;
стрà стр 0
Ако поне 1 от условията за непрекъснатост е нарушено, тогава точка p се нарича точка на прекъсване. За функции на 2 променливи може да има отделни точки на прекъсване и цели линии на прекъсване.
Концепцията за граница и непрекъснатост за функции на по-голям брой променливи се дефинира по подобен начин.
Функция на три променливи не може да бъде изобразена графично, за разлика от функция на 2 променливи.
За функция с 3 променливи може да има точки на прекъсване, линии на прекъсване и повърхности на прекъсване.
Частична производна.
Нека разгледаме функцията z=f(x,y), p(x,y) е разглежданата точка.
Нека дадем на аргумента x увеличението Dx; x+Dx, получаваме точка p 1 (x+Dx,y), изчисляваме разликата в стойностите на функцията в точка p:
D x z = f(p1)-f(p) = f(x+Dx,y) - f(x,y) - частично нарастване на функцията, съответстващо на нарастването на аргумента x.
Деф. Коефициентът на производната на функция z=f(x,y) по отношение на променливата x се нарича граница на съотношението на частичното увеличение на тази функция по отношение на променливата x към това увеличение, когато последното клони към нула.
¶ z= Lim д х z
à ¶ z = Lim f(x+ д x,y) - f(x,y)
¶ х дх® 0 дх
По подобен начин определяме частното на производната по отношение на променливата y.
Намиране на частични производни.
При определяне на частични производни само една променлива се променя всеки път, останалите променливи се третират като константи. В резултат на това всеки път разглеждаме функция само на една променлива и частната производна съвпада с обичайната производна на тази функция на една променлива. Оттук и правилото за намиране на частни производни: частната производна по отношение на разглежданата променлива се търси като обикновена производна на функция на тази една променлива, останалите променливи се третират като константи. В този случай всички формули за диференциране на функция на една променлива (производна на сбор, произведение, частно) се оказват валидни.
Понятие за функция на няколко променливи
Ако всяка точка X = (x 1, x 2, ... x n) от набора (X) от точки на n-мерното пространство е свързана с една добре дефинирана стойност на променливата z, тогава те казват, че дадената функция на n променливи z = f(x 1, x 2, ...x n) = f (X).
В този случай се извикват променливите x 1, x 2, ... x n независими променливиили аргументифункции, z - зависима променлива, а символът f означава закон на кореспонденцията. Множеството (X) се нарича област на дефиницияфункции (това е определено подмножество на n-мерното пространство).
Например функцията z = 1/(x 1 x 2) е функция на две променливи. Аргументите му са променливите x 1 и x 2, а z е зависимата променлива. Областта на дефиниране е цялата координатна равнина, с изключение на правите x 1 = 0 и x 2 = 0, т.е. без х- и ординатни оси. Чрез заместване на която и да е точка от областта на дефиницията във функцията, съгласно закона за съответствие получаваме определено число. Например, като се вземе точката (2; 5), т.е. x 1 = 2, x 2 = 5, получаваме
z = 1/(2*5) = 0,1 (т.е. z(2; 5) = 0,1).
Функция от формата z = a 1 x 1 + a 2 x 2 + ... + a n x n + b, където a 1, a 2,... и n, b са постоянни числа, се нарича линеен. Може да се разглежда като сума от n линейни функции на променливите x 1, x 2, ... x n. Всички други функции се извикват нелинейни.
Например функцията z = 1/(x 1 x 2) е нелинейна, а функцията z =
= x 1 + 7x 2 - 5 – линейно.
Всяка функция z = f (X) = f(x 1, x 2, ... x n) може да бъде свързана с n функции на една променлива, ако фиксираме стойностите на всички променливи с изключение на една.
Например, функции на три променливи z = 1/(x 1 x 2 x 3) могат да бъдат свързани с три функции на една променлива. Ако фиксираме x 2 = a и x 3 = b, тогава функцията ще приеме формата z = 1/(abx 1); ако фиксираме x 1 = a и x 3 = b, то ще приеме формата z = 1/(abx 2); ако фиксираме x 1 = a и x 2 = b, то ще приеме формата z = 1/(abx 3). В този случай и трите функции имат еднаква форма. Не винаги е така. Например, ако за функция на две променливи фиксираме x 2 = a, тогава тя ще приеме формата z = 5x 1 a, т.е. степенна функция и ако фиксираме x 1 = a, тогава тя ще приеме формата, т.е. експоненциална функция.
Графикфункция на две променливи z = f(x, y) е набор от точки в тримерното пространство (x, y, z), чието приложение z е свързано с абсцисата x и ординатата y чрез функционална връзка
z = f (x, y). Тази графика представлява някаква повърхност в триизмерно пространство (например, както на фигура 5.3).
Може да се докаже, че ако една функция е линейна (т.е. z = ax + by + c), тогава нейната графика е равнина в триизмерно пространство. Препоръчително е да изучавате сами други примери за триизмерни графики, като използвате учебника на Кремер (стр. 405-406).
Ако има повече от две променливи (n променливи), тогава графикфункция е набор от точки в (n+1)-мерното пространство, за които координатата x n+1 се изчислява в съответствие с даден функционален закон. Такава графика се нарича хиперповърхност(за линейна функция – хиперравнина), а също така представлява научна абстракция (невъзможно е да се изобрази).
Фигура 5.3 – Графика на функция на две променливи в тримерно пространство
Равна повърхностфункция от n променливи е набор от точки в n-мерното пространство, така че във всички тези точки стойността на функцията е една и съща и равна на C. Самото число C в този случай се нарича ниво.
Обикновено за една и съща функция е възможно да се конструират безкраен брой нивелирани повърхности (съответстващи на различни нива).
За функция на две променливи повърхността на нивото приема формата линии на ниво.
Например, разгледайте z = 1/(x 1 x 2). Да вземем C = 10, т.е. 1/(x 1 x 2) = 10. Тогава x 2 = 1/(10x 1), т.е. в равнината линията на нивото ще приеме формата, показана на фигура 5.4 като плътна линия. Вземайки друго ниво, например C = 5, получаваме линията на нивото под формата на графика на функцията x 2 = 1/(5x 1) (показана с пунктирана линия на фигура 5.4).
Фигура 5.4 - Линии на функционално ниво z = 1/(x 1 x 2)
Нека да разгледаме друг пример. Нека z = 2x 1 + x 2. Да вземем C = 2, т.е. 2x 1 + x 2 = 2. Тогава x 2 = 2 - 2x 1, т.е. на равнината линията на нивото ще приеме формата на права линия, представена на фигура 5.5 с плътна линия. Вземайки друго ниво, например C = 4, получаваме линия на ниво под формата на права линия x 2 = 4 - 2x 1 (показана с пунктирана линия на фигура 5.5). Линията на нивото за 2x 1 + x 2 = 3 е показана на фигура 5.5 като пунктирана линия.
Лесно е да се провери, че за линейна функция на две променливи всяка линия на ниво ще бъде права линия в равнината и всички линии на ниво ще бъдат успоредни една на друга.
Фигура 5.5 - Линии на функционално ниво z = 2x 1 + x 2
Зареждане...