Физическо значение на сложна променлива Лаплас. Преобразуване на Лаплас

Раздел II. Математически анализ

Е. Ю. Анохина

ИСТОРИЯ НА РАЗВИТИЕТО И ФОРМИРАНЕТО НА ТЕОРИЯТА ЗА ФУНКЦИЯТА НА КОМПЛЕКСНА ПРОМЕНЛИВА (TFV) КАТО ПРЕДМЕТ

Един от сложните математически курсове е курсът TFKT. Сложността на този курс се дължи преди всичко на многообразието на неговите взаимовръзки с други математически дисциплини, исторически изразени в широката приложна насоченост на науката ТФКТ.

В научната литература по история на математиката има разпръснати сведения за историята на развитието на TFCT, те изискват систематизиране и обобщение.

Поради тази причина основната цел на тази статия е Кратко описаниеразвитие на ТФКП и формирането на тази теория като учебен предмет.

В резултат на проучването бяха идентифицирани следните три етапа в развитието на TFCT като научен и академичен предмет:

Етап на възникване и разпознаване на комплексни числа;

Етап на натрупване действителен материалпо функции на имагинерни величини;

Етапът на формиране на теорията на функциите на комплексна променлива.

Първият етап от развитието на TFKP (средата на 16 век - 18 век) започва с работата на Г. Кардано (1545), който публикува Artis magnae sive de regulis algebraitis (Великото изкуство, или за алгебричните правила). Работата на G. Cardano имаше основната задача да обоснове общите алгебрични методи за решаване на уравнения от трета и четвърта степен, наскоро открити от Ferro (1465-1526), ​​​​Tartaglia (1506-1559) и Ferrari (1522-1565). ). Ако кубичното уравнение се сведе до формата

x3 + px + q = 0,

и трябва да бъде

Когато (p^Ap V (|- 70) уравнението има три реални корена и два от тях

са равни помежду си. Ако тогава уравнението има едно реално и две ко-

завъртя сложни корени. Комплексните числа се появяват в крайния резултат, така че Г. Кардано може да направи както преди него: да обяви уравнението, че има

един корен. Кога (<7 Г + (р V < (). тогда уравнение имеет три действительных корня. Этот так

Така нареченият несводим случай се характеризира с една особеност, която не се среща до 16 век. Уравнението x3 - 21x + 20 = 0 има три реални корена 1, 4, - 5, което е лесно

проверете с проста замяна. Но ^du + y _ ^20y + ^-21y _ ^ ^ ^; следователно, според общата формула, x = ^-10 + ^-243 -^-10-4^243 . Комплекс, т.е. "false", числото не е резултат тук, а междинен член в изчисленията, които водят до истинските корени на въпросното уравнение. Г. Кардано срещна затруднение и осъзна, че за да се запази общността на тази формула, е необходимо да се изостави пълното пренебрегване на комплексните числа. Ж. Д'Аламбер (1717-1783) смята, че именно това обстоятелство е накарало Г. Кардано и математиците, които следват тази идея, да се заинтересуват сериозно от комплексните числа.

На този етап (през 17 век) са общоприети две гледни точки. Първата гледна точка беше изразена от Жирар, който повдигна въпроса за признаването на необходимостта от неограничено използване на комплексни числа. Вторият - Декарт, който отрича възможността за тълкуване на комплексни числа. Противоположна на мнението на Декарт е гледната точка на Дж. Уолис - за съществуването на реална интерпретация на комплексните числа е пренебрегната от Декарт. Комплексните числа започнаха да се „принуждават“ да се използват при решаване на приложни проблеми в ситуации, когато използването на реални числа доведе до сложен резултат или резултатът не можеше да бъде получен теоретично, но имаше практическо приложение.

Интуитивното използване на комплексни числа доведе до необходимостта да се запазят законите и правилата на аритметиката на реалните числа върху набора от комплексни числа, по-специално имаше опити за директен трансфер. Това понякога водеше до грешни резултати. В тази връзка стават актуални въпросите за обосновката на комплексните числа и изграждането на алгоритми за тяхната аритметика. Това беше началото на нов етап в развитието на TFCT.

Вторият етап от развитието на TFKP (началото на 18 век - 19 век). През XVIII век. Л. Ойлер изрази идеята за алгебричното затваряне на полето от комплексни числа. Алгебричното затваряне на полето от комплексни числа C доведе математиците до следните заключения:

Че изследването на функциите и математическият анализ като цяло придобиват правилната си пълнота и пълнота само когато се разглежда поведението на функциите в сложната област;

Необходимо е комплексните числа да се разглеждат като променливи.

През 1748 г. Л. Ойлер (1707-1783) в своята работа "Въведение в анализа на безкрайно малките" въвежда комплексна променлива като най-общо понятие за променлива, използвайки комплексни числа при разлагане на функции на линейни фактори. Л. Ойлер с право се счита за един от създателите на TFCT. В трудовете на Л. Ойлер са подробно изследвани елементарни функции на комплексна променлива (1740-1749), дадени са условия за диференцируемост (1755) и началото на интегралното смятане на функциите на комплексна променлива (1777). Л. Ойлер на практика въвежда конформното преобразуване (1777). Той нарече тези съпоставяния "подобни по малък начин", а терминът "конформен" е използван за първи път, очевидно, от петербургския академик Ф. Шуберт (1789). Л. Ойлер също дава многобройни приложения на функции на комплексна променлива към различни математически проблеми и полага основите за тяхното приложение в хидродинамиката (17551757) и картографията (1777). К. Гаус формулира дефиницията на интеграл в комплексната равнина, интегрална теорема за разширяването на аналитична функция в степенен ред. Лаплас използва комплексни променливи за изчисляване на трудни интеграли и разработва метод за решаване на линейни, диференциални и диференциални уравнения, известен като трансформация на Лаплас.

От 1799 г. се появяват документи, в които се дават повече или по-малко удобни интерпретации на комплексното число и се определят действията върху тях. Доста обща теоретична и геометрична интерпретация е публикувана от К. Гаус едва през 1831 г.

Л. Ойлер и неговите съвременници оставят богато наследство на потомството под формата на натрупани, къде систематизирани, къде не, но все пак разпръснати факти върху TFCT. Можем да кажем, че фактическият материал за функциите на въображаеми величини, така да се каже, изискваше неговата систематизация под формата на теория. Тази теория започна да се оформя.

Третият етап от формирането на TFKP (XIX век - XX век). Основните постижения тук принадлежат на О. Коши (1789-1857), Б. Риман (1826-1866), К. Вайерщрас (1815-1897). Всеки от тях представлява една от посоките на развитие на TFKP.

Представител на първото направление, което в историята на математиката се нарича "теория на моногенните или диференцируеми функции", е О. Коши. Той формализира разнородни факти върху диференциалното и интегралното смятане на функциите на комплексна променлива, обясни значението на основните понятия и операции с имагинерни. В трудовете на О. Коши са изложени теорията на границите и теорията на редовете и базираните на нея елементарни функции, формулирана е теорема, която напълно изяснява областта на сходимост на степенен ред. През 1826 г. О. Коши въвежда термина: дедукция (буквално: остатък). В трудове от 1826 до 1829 г. той създава теорията за дедукцията. О. Коши извежда интегралната формула; получава теорема за съществуване за разширяване на функция на комплексна променлива в степенни редове (1831). О. Коши полага основите на теорията на аналитичните функции на няколко променливи; определя основните клонове на многозначни функции на комплексна променлива; първи използвани равнинни разрези (1831-1847). През 1850 г. той въвежда концепцията за монодромни функции и отделя класа на моногенните функции.

Последовател на О. Коши е Б. Риман, който също създава своя "геометрична" (втора) посока на развитие на TFCT. В своите трудове той преодолява изолацията на идеите за функциите на комплексните променливи и формира нови раздели на тази теория, тясно свързани с други дисциплини. Риман направи по същество нова стъпка в историята на теорията на аналитичните функции, той предложи да се свърже с всяка функция на комплексна променлива идеята за картографиране на един регион в друг. Той прави разлика между функциите на комплексна и реална променлива. Б. Риман полага основите на геометричната теория на функциите, въвежда риманова повърхност, развива теорията на конформните преобразувания, установява връзката между аналитични и хармонични функции, въвежда под внимание дзета функцията.

По-нататъшното развитие на TFKP се проведе в друга (трета) посока. В основата на което беше възможността за представяне на функции чрез степенни редове. В историята тази тенденция е наречена „аналитична“. Тя се формира в трудовете на К. Вайерщрас, в които той извежда на преден план концепцията за равномерна конвергенция. К. Вайерщрас формулира и доказва теорема за законосъобразността на редуцирането на подобни членове в серия. K. Weierstrass получи фундаментален резултат: границата на последователност от аналитични функции, която се сближава равномерно в определена област, е аналитична функция. Той успя да обобщи теоремата на Коши за разширяване на степенни редове на функция на комплексна променлива и описа процеса на аналитично продължение на степенни редове и приложението му за представяне на решения на система от диференциални уравнения. К. Вайерщрас установи факта не само на абсолютната конвергенция на серията, но и на равномерната конвергенция. Теоремата на Вайерщрас се появява при разширяването на цяла функция в продукт. Полага основите на теорията на аналитичните функции на много променливи, изгражда теорията за делимостта на степенните редове.

Помислете за развитието на теорията на аналитичните функции в Русия. Руските математици от XIX век. дълго време не искаха да се посветят на нова област на математиката. Въпреки това можем да назовем няколко имена, за които тя не е чужда, и да изброим някои от произведенията и постиженията на тези руски математици.

Един от руските математици беше М.В. Остроградски (1801-1861). Относно М.В. Малко се знае за Остроградски в областта на теорията на аналитичните функции, но О. Коши говори с похвала за този млад руски учен, който прилага интеграли и дава нови доказателства на формули и обобщава други формули. М.В. Остроградски написва работата "Забележки върху определени интеграли", в която извежда формулата на Коши за извеждане на функция по отношение на полюс от n-ти ред. Той очерта приложенията на теорията на остатъците и формулата на Коши за изчисляване на определени интеграли в обширна публична лекция, изнесена през 1858-1859 г.

Редица произведения на Н.И. Лобачевски, които са от пряко значение за теорията на функциите на комплексна променлива. Теорията на елементарните функции на комплексна променлива се съдържа в неговия труд "Алгебра или изчисление на крайните" (Казан, 1834 г.). В който cos x и sin x са определени първоначално за реално x като реално и

имагинерна част от функцията ex^. Използвайки предварително установените свойства на експоненциалната функция и степенните разширения, се извеждат всички основни свойства на тригонометричните функции. от-

Очевидно Лобачевски придава особено значение на такава чисто аналитична конструкция на тригонометрията, независима от евклидовата геометрия.

Може да се твърди, че през последните десетилетия на XIXв. и първото десетилетие на 20 век. фундаменталните изследвания в теорията на функциите на комплексна променлива (Ф. Клайн, А. Поанкаре, П. Кебе) се състоят в постепенното изясняване на факта, че геометрията на Лобачевски е в същото време геометрията на аналитичните функции на един комплекс променлива.

През 1850 г. професорът от Санкт Петербургския университет (по-късно академик) I.I. Сомов (1815-1876) публикува Основите на теорията на аналитичните функции, които се основават на Новите основи на Якоби.

Но първият наистина „оригинален“ руски изследовател в областта на теорията на аналитичните функции на комплексна променлива беше Ю.В. Сохотски (1842-1929). Защитава магистърска теза "Теория на интегралните остатъци с някои приложения" (Санкт Петербург, 1868). От есента на 1868 г. Ю.В. Sokhotsky преподава курсове по теория на функциите на въображаема променлива и по продължителни дроби с приложения към анализа. Магистърска теза Ю.В. Сохоцки е посветен на приложенията на теорията на остатъците към инверсията на степенна серия (серия на Лагранж) и по-специално към разширяването на аналитичните функции в непрекъснати дроби, както и към полиномите на Лежандър. В тази статия е формулирана и доказана известната теорема за поведението на аналитична функция в околност на съществена особена точка. В докторската дисертация на Сохоцки

(1873) за първи път понятието интеграл от тип Коши се въвежда в разширена форма: *r/ ^ & _ където

a и b са две произволни комплексни числа. Предполага се, че интегралът се взема по някаква крива („траектория“), свързваща a и b. В тази работа са доказани редица теореми.

Огромна роля в историята на аналитичните функции изиграха произведенията на N.E. Жуковски и С.А. Чаплигин, който отвори безгранична област на приложенията си в аеро- и хидромеханиката.

Говорейки за развитието на теорията на аналитичните функции, не можем да не споменем изследванията на S.V. Ковалевская, въпреки че основното им значение е извън тази теория. Успехът на нейната работа се дължи на напълно нова формулировка на проблема от гледна точка на теорията на аналитичните функции и разглеждането на времето t като комплексна променлива.

В началото на ХХ век. естеството на научните изследвания в областта на теорията на функциите на комплексна променлива се променя. Ако по-рано повечето изследвания в тази област бяха извършени по отношение на развитието на едно от трите направления (теорията на моногенните или диференцируеми функции на Коши, геометричните и физически идеи на Риман, аналитичната посока на Вайерщрас), сега разликите и противоречията, свързани с тях, се преодоляват, появяват се и нарастват бързо.броят на трудовете, в които се осъществява синтез на идеи и методи. Едно от основните понятия, върху които ясно се разкри връзката и съответствието между геометричните изображения и апарата на степенните редове, беше концепцията за аналитичното продължение.

В края на XIXв. Теорията на функциите на комплексна променлива включва обширен комплекс от дисциплини: геометричната теория на функциите, основана на теорията на конформните преобразувания и римановите повърхности. Получихме интегрална форма на теорията на различни видове функции: цели и мероморфни, елиптични и модулни, автоморфни, хармонични, алгебрични. В тясна връзка с последния клас функции е развита теорията на абелевите интеграли. Към този комплекс се присъединиха аналитичната теория на диференциалните уравнения и аналитичната теория на числата. Теорията на аналитичните функции установи и засили връзките с други математически дисциплини.

Богатството от взаимовръзки между TFCT и алгебра, геометрия и други науки, създаването на систематичните основи на самата наука TFCT, голямото му практическо значение допринесоха за формирането на TFCT като академичен предмет. Въпреки това, едновременно със завършването на формирането на основите, в теорията на аналитичните функции бяха въведени нови идеи, които значително промениха нейния състав, характер и цели. Появяват се монографии, които съдържат систематично изложение на теорията на аналитичните функции в стил, близък до аксиоматичния, а също и с образователна цел. Очевидно значението на резултатите от TFCT, получени от учените от разглеждания период, ги е подтикнало да популяризират TFCT под формата на лекции и публикуване на монографични изследвания в учебна перспектива. Може да се заключи, че TFCT се е появил като обучение

предмет. През 1856 г. Ч. Бриот и Т. Буке публикуват малък мемоар „Изследване на функциите на въображаема променлива“, който по същество е първият учебник. Общите понятия в теорията на функцията на комплексна променлива започват да се разработват в лекции. От 1856 г. K. Weiersht-rass чете лекции по представянето на функции чрез сходни степенни редове, а от 1861 г. - по общата теория на функциите. През 1876 г. се появява специален труд на К. Вайерщрас: „За теорията на еднозначните аналитични функции“, а през 1880 г. „За учението за функциите“, в който неговата теория за аналитичните функции придобива известна завършеност.

Лекциите на Weierstrass служиха в продължение на много години като прототип за учебници по теория на функциите на комплексна променлива, които започнаха да се появяват доста често оттогава. Именно в неговите лекции се изгражда основно съвременният стандарт на строгост в математическия анализ и се откроява станалата традиционна структура.

ПРЕПРАТКИ

1. Андронов И.К. Математика на реални и комплексни числа. М.: Образование, 1975.

2. Клайн Ф. Лекции за развитието на математиката през XIX век. М.: ОНТИ, 1937. Част 1.

3. Лаврентиев М.А., Шабат Б.В. Методи на теорията на функциите на комплексна променлива. Москва: Наука, 1987.

4. Маркушевич А.И. Теория на аналитичните функции. М.: Държава. издателство за техническа и теоретична литература, 1950г.

5. Математиката на 19 век. Геометрия. Теория на аналитичните функции / изд. А. Н. Колмогорова и А. П. Юшкевич. Москва: Наука, 1981.

6. Математическа енциклопедия / гл. изд. И. М. Виноградов. М.: Съветска енциклопедия, 1977. Т. 1.

7. Математическа енциклопедия / гл. изд. И. М. Виноградов. М.: Съветска енциклопедия, 1979. Т. 2.

8. Young V.N. Основи на учението за числото през 18 и началото на 19 век. Москва: Учпедгиз, 1963.

9. Рибников К.А. История на математиката. М.: Издателство на Московския държавен университет, 1963 г. Част 2.

НЕ. Ляхова ДОПИРАНЕ НА РАВНИНСКИ КРИВИ

Въпросът за допирателността на равнинни криви, в случай че абсцисите на общите точки се намират от уравнение от вида Рп x = 0, където Р x е някакъв полином, е пряко свързан с въпроса

върху кратността на корените на многочлена Pn x . В тази статия са формулирани съответните твърдения за случаите на явно и неявно задаване на функции, чиито графики са криви, и е показано приложението на тези твърдения при решаване на задачи.

Ако кривите, които са графики на функциите y \u003d f (x) и y \u003d cp x имат обща точка

M() x0; v0 , т.е. y0 \u003d f x0 \u003d cp x0 и допирателни към посочените криви, начертани в точката M () x0; v0 не съвпадат, тогава казваме, че кривите y = fix) и y - cp x се пресичат в точката Mo xo;

Фигура 1 показва пример за пресичане на функционални графики.

препис

1 Трансформация на Лаплас Кратка информация Преобразуването на Лаплас, което се използва широко в теорията на електрическите вериги, е интегрална трансформация, приложена към функции на време f равно на нула при< L { f } f d F, где = + комплексная переменная Величина выбирается так, чтобы интеграл сходился Если функция f возрастает не быстрее, чем экспонента, то интеграл преобразования Лапласа сходится, если >Може да се докаже, че ако интегралът на Лаплас се сближава за някаква стойност s, тогава той дефинира функция F, която е аналитична в цялата полуравнина > s. Функцията F, дефинирана по този начин, може да бъде аналитично разширена до цялата равнина на комплексна променлива = +, с изключение на отделни сингулярни точки.Най-често това продължение се извършва чрез разширяване на формулата, получена при изчисляването на интеграла, до цялата равнина на комплекса променлива функция F, аналитично продължение към цялото сложна равнина, се нарича изображение на Лаплас на времевата функция f или просто изображението Функцията f по отношение на нейния образ F се нарича оригинал Ако изображението F е известно, тогава оригиналът може да бъде намерен с помощта на обратното преобразуване на Лаплас f F d за > права, успоредна на ординатната ос. Стойността е избрана така, че в полуравнината R > да няма особени точки на функцията F. Определянето на оригинала от известно изображение се нарича обратно преобразуване на Лаплас и се обозначава със символа f L ( F ) L 7

2 Разгледайте някои свойства на преобразуването на Лаплас Линейност Това свойство може да бъде записано като равенство L( f f ) L( f ) L( f ) Преобразуване на Лаплас на производната на функцията df L( ) d df d F f d f 3 Преобразуване на Лаплас на интегралът: L( f d) d f 8 f d d F df: d f f d d равенството все още има формата на закона на Ом, но вече за образите на напрежението и тока. За моментното напрежение върху индуктивността има връзката d i u L, d i e там няма пряка пропорционалност Законът на Ом не важи тук След трансформацията на Лаплас получаваме U = LI LI+

3 Ако, както често се случва, I + =, тогава съотношението приема формата U = LI Така законът на Ом отново е валиден за изображенията на напрежение и ток Ролята на съпротивлението се играе от стойността L, която е наречено съпротивление на индуктивност C След преобразуването на Лаплас това съотношение приема формата U I, C t e има формата на закона на Ом и капацитетът е равен на C Нека направим таблица на срещаните преки и обратни преобразувания на Лаплас на елементарни функции в теорията на веригите. при трансформация на Лаплас на тази функция ще бъде L ( ) L ( ) d d 3 L ( ) 4 L ( ) 5 L (sin ) 9

4 3 6 ) (cos L 7 ) ( ) sin ( L L ) ( L 8 ) cos ( L 9 ) ( F d f f L! n d n n n n L! n n n L m< n и знаменатель имеет только простые корни Тогда n n K K K B, где, n корни полинома B, стоящего в знаменателе изображения Коэффициенты K, K, K n могут быть найдены следующим

5 3 Нека разложим изображението на прости дроби и умножим по: n n K K K K B Сега се стремим към Тогава остава само K от дясната страна: lim B K е известно: L Следователно " n B B L Интересен е специалният случай, когато един от корените на знаменателят е равен на нула: B F В този случай разширяването на F в прости дроби ще има формата, както следва от предишното, " n B B B и B няма корени в нула

6 3 От тук обратното преобразуване на Лаплас на функцията F ще има формата: n B B B " L Нека разгледаме още един случай, когато полиномът в знаменателя B има множество корени. Нека m< n и корень кратности l При разложении на простые дроби этому корню соответствует сумма: l l l K K K Обратное преобразование слагаемых этой суммы мы уже имели выше см п:! n n n L Таким образом, обратное преобразование суммы будет иметь вид: M, где M полином от степени l

7 Някои общи свойства на веригите Нека една сложна верига съдържа P клонове и Q възли Тогава, съгласно първия и втория закон на Кирхоф, P + Q уравнения могат да бъдат направени за P токове в клоновете и Q възлови потенциали Един от Q възловите потенциали се приема за нула Но броят на уравненията може да бъде намален на Q, ако използваме токовете на веригата като променливи токове.В този случай първият закон на Кирхоф е автоматично изпълнен, тъй като всеки ток влиза и излиза от възела, т.е. той дава общ ток, равен на нула, и в допълнение възловите потенциали Q се изразяват чрез токовете на веригата. Общият брой на уравненията и следователно независимите вериги става равен на P + Q Q = P Q + Независимите уравнения могат да бъдат изготвен директно, ако вземем токовете на веригата като неизвестни. Независими вериги ще бъдат такива, всяка от които съдържа поне един клон, който не е включен в нито един от другите контури Фиг. За всеки от контурите уравненията се съставят съгласно втория закон на Кирхоф a В общия случай съпротивлението на клона е i R i C i L където i, =, n, n е броят на независимите вериги.Уравненията на токовете на веригата са: I I n I n E; I I n I n E; ni n I nn I n En i, Тук E i е сумата от всички ЕДС, включени в i-та веригаСъпротивленията с еднакви индекси ii се наричат ​​вътрешни съпротивления на i-тата верига, а съпротивленията с различни индекси i се наричат ​​взаимни съпротивления или съпротивления на свързване на i-та и -та верига.Съпротивленията ii са сумата от включените съпротивления в i-тата верига Съпротивлението i е част от съпротивлението i-то 33 Фигура Пример за независими контури

8 Уравнението за m-тата верига ще изглежда така: верига, която също е включена в -тата верига. Очевидно равенството i = i е валидно за пасивна верига. Нека разгледаме как уравненията на токовете на веригата се променят за активни вериги, съдържащи транзистори, Фиг. I i Прехвърляйки втория член от дясната страна към лявата страна, ние трансформираме това уравнение, както следва: mi mi I i mn I n Em от неизвестни, нодалните потенциали също се използват, преброени от потенциала на един от възли, взети за нула Вместо генератори на ЕМП се използват генератори на ток Y, които могат да бъдат пренаписани както следва: където Фиг. Еквивалентна схема на транзистор в сложна схема U YU U YnU U n I, Y U Y U Y nu n I, Y Y Y Y n

9 Системата от уравнения за възлови потенциали има формата Y U YU Y nu n I; YU YU Y nu n I; Yn U Yn U YnnU n В където Y i е проводимостта на връзката на i-тия и -тия възел: Очевидно е, че Y i G i L i Yi Y i C Тази симетрия изчезва, ако веригата съдържа транзистори, лампи или други активни елементи, еквивалентната верига, която съдържа зависими източници на ток Нека сега разгледаме решенията на уравненията на веригата Решението на системата от уравнения на токовете на веригата има формата за -тия ток: I, където основната детерминанта на системата, същата детерминанта, в която -тата колона е заменена с електромоторни сили от десните части E, E, E n Да предположим, че има само един EMF E във веригата, включен във входната верига, на която е присвоено първо число. Уравненията трябва да бъдат съставени по такъв начин, че само един ток на веригата да преминава през клона, който ни интересува. детерминанта i Фигура 4 Верига с EMF във входната верига 35

10 Съотношението E I се нарича входно съпротивление. За разлика от това, това съпротивление отчита влиянието на всички вериги. За втората изходна верига ще имаме I 36 E, където съответното алгебрично добавяне. Съотношението T I E се нарича трансфер съпротивление от първата верига към втората. По подобен начин от уравненията на възловия потенциал можете да получите входната проводимост фиг. 5 Фигура 5 Верига с източник на ток на входа "U I" I, Y "Y" и предавателната проводимост от първия възел към втория: U " I " I Y T, Y T " " където I е токът, подаден към първия възел, U и U са напреженията, получени в първия и втория възел, " основната детерминанта на системата от уравнения на възловите потенциали и " i е съответното алгебрично допълнение. Между и Y има връзка Y За пасивна верига имахме = Следователно основният детерминант на системата е симетричен. От това следва, че и алгебрични добавкиса равни: = Следователно съпротивленията на предаване също са равни T = T Това свойство се нарича свойство на реципрочност Условието на реципрочност, както виждаме, е симетрията на матрицата на съпротивлението Свойството на реципрочност се формулира, както следва Фигура 6: ако EMF във входната верига причинява известен ток в изходната верига, тогава същата EMF, включена в изходната верига, ще предизвика във входната верига,

11 ток със същата стойност Накратко, това свойство понякога се формулира по следния начин: EMF във входната верига и амперметърът в изходната верига могат да бъдат разменени, докато показанията на амперметъра няма да се променят 7 U E Фиг. 7 Коефициент на пренос на напрежение тогава Както следва от диаграмата на фиг. 7: U U I n; ; K n E T E ; I T U n Аналогично може да се определи коефициентът на пренос на ток I K I Фиг. 8: I Следователно I U Yн I ; Y ; K n I YT I U Y T I Фиг. 8 Коефициент на пренос на ток Yn Y T T 37

12 3 Повече за общите свойства на функциите на веригата Функциите на веригата са функции на променлива, получена чрез решаване на уравнения, например проводимост на входно съпротивление, предаване на проводимост на съпротивление и т.н. За вериги със групирани параметри всяка функция на веригата е рационална по отношение на променлива и е дроб m Ф B b n m n b m m n n 38 b b и коефициентите са реални. В противен случай може да се представи като Ф b m n m, " " " където, m, ", ", " n са корените на уравненията m b n m n b m n m, n b b Ф It Очевидно е, че две рационални функции, чиито нули и полюси съвпадат, могат да се различават само с постоянни фактори.С други думи, естеството на зависимостта на параметрите на веригата от честотата се определя напълно от нулите и полюсите на функцията на веригата.Тъй като полиномите имат реални коефициенти, когато се замени с спрегната стойност *, полиномът придобива спрегнатата стойност * = * и B * = B * От това следва, че ако полиномът im има комплексен корен, тогава той също ще бъде корен. По този начин нулите и полюсите на верижната функция могат да бъдат или реални, или да съставляват комплексно спрегнати двойки. Нека Ф е верижната функция. Разгледайте нейните стойности за = : Ф Ф Ф F F н,

13 Но F F F, F F F Сравнявайки тези равенства, като вземем предвид равенството, дадено по-горе, получаваме, че F F, F F, т.е. реалната част от функцията на веригата е четна функция на честотата, а въображаемата нечетна функция на честотата е равенство, което определя токът във входното съпротивление, причинено от напрежението U: U I B Нека U е единична стъпка и тогава I, B където и B са полиноми от Използвайки формулата за разширение, можете да получите i B B", където нулите на полином B и , следователно, нулите на функцията на съпротивлението и основната детерминанта на нулите: = Ако поне една нула има положителна реална част, тогава i ще нараства за неопределено време

14 me Същото заключение може да се направи по отношение на съпротивлението на предаване T, входната проводимост Y, проводимостта на предаване Y T Определение Функция на веригата се нарича физически осъществима, ако съответства на верига, състояща се от реални елементи и нито едно от естествените трептения, от които има амплитуда, която се увеличава неограничено с времето Веригата, посочена в дефиницията, се нарича стабилна Нулите на основната детерминанта на физически осъществима стабилна функция на веригата и, следователно, нули на функциите на съпротивление и проводимост, трябва да бъдат разположени само в лявата половина -равнина на променливата или върху реалната честотна ос.Ако две или повече нули съвпадат, множество корени, тогава съответните решения имат вид: M, където M е полином от степен m, m е кратността на корена o коефициент e предаване, тогава всичко по-горе се отнася не за нули, а за полюсите на функцията на веригата на коефициента на предаване.Всъщност: n K Нулите на T са полюсите на функцията K, а съпротивлението на натоварване n е пасивно ; неговите нули със сигурност лежат в правилната равнина. От горното следва, че физически реализуемите верижни функции имат следните свойства: а нулите и полюсите на верижната функция са или реални, или образуват комплексно спрегнати двойки; b реалните и имагинерните части на функцията на веригата са при реални честоти, съответно четните и нечетните функции на честотата; в нулите на основната детерминанта и следователно съпротивлението на проводимост и съпротивлението на проводимост на предаване не могат да лежат в дясната полуравнина, а множество нули нито в дясната полуравнина, нито на реалната честотна ос T 4

15 3 Преходни процеси в усилвателите Решаването на системата от уравнения на веригата дава образ на изходния сигнал за даден вход U = KE Функцията на веригата във времевата област може да бъде намерена с помощта на обратното преобразуване на Лаплас u L ( K E ) на най-големият интерес е преходен процесс входен сигнал под формата на стъпка. Реакцията на системата към една стъпка се нарича функция на преход. преходна функция, можете да намерите реакцията на системата към входния сигнал с произволна форма. лежи вдясно от полюса = От голям интерес е определението 3: h r K d K r r K r d d r r

16 4 Нека преминем към границата r Тогава имаме d K V K K d K V h честотна характеристикапечалба От тази формула можем да направим някои общи заключения. Нека заменим променливата в h с: d K V K h Но h, както следва от принципа на причинно-следствената връзка, тъй като сигналът се появява във въображаемата част: K = K + K r Заместване в израз за h, получаваме d K K V K r Диференцирайки по отношение, получаваме d K K r или cos sin sin cos d K K K K r r

17 Имагинерната част на интегранта е нечетна функция на честотата, следователно интегралът от нея е равен на нула Тъй като реалната част е четна функция на честотата, условието, на което трябва да отговаря физически реализираният коефициент на предаване, е: от принципа на причинно-следствената връзка Може да се покаже, че система, чийто коефициент на предаване може да бъде написан като съотношение на полиноми K, B, е стабилна в смисъл, че всички нули на полином B лежат в лявата полуравнина, удовлетворява принципа на причинно-следствената връзка. изучаваме интеграла K h d за< и >Нека представим два затворени контура и B, показани на Фигура 3 Фигура 3 Интеграционни контури: at< ; B при > 43

18 44 Нека разгледаме функция, при която интегралът е взет по затворен контур. Поради интегралната теорема на Коши интегралът е равен на нула, тъй като интеграндът в дясната полуравнина е аналитичен по условие. Интегралът може да бъде записан като сума от интеграли по отделни участъци от интеграционния контур: sin cos R r R r r R R d R R K r d r r K d K d K h< < /, то при < последний интеграл стремится к нулю при R т е h h при R Отсюда следует что h при < Рассмотрим функцию где интеграл берется по контуру B Здесь R вычеты подынтегральной функции относительно полюсов, лежащих в левой полуплоскости Аналогично предыдущему можно показать, что при >държи h B h за R Така: R h, за >

19 Остатъкът по отношение на прост полюс е равен на R B", което вече имахме по-рано K lim, 45 lim B където RC Нека докажем, че според условието за причинност, дадено по-горе, равенството трябва да бъде изпълнено. Равенството cos sin d cos d е известно Разграничете дясната и лявата част по: sin d Умножавайки лявата и дясната част на това равенство по, получаваме: sin d от което следва равенството, което трябва да се докаже. Имайки преходната функция на системата, вие може да намери своя отговор на всеки входен сигнал.За да направим това, ние приблизително ще представим входния сигнал като сума от единични стъпки Фиг.34

20 Фиг. 34 Презентация входен сигналТова представяне може да бъде записано като: u u u След това, u u "Отговорът на единична стъпка ще бъде равен на h Следователно, изходният сигнал може да бъде приблизително представен като: u u h u" h Преминавайки към границата при, вместо сумата, получаваме интеграла u u h u" h d по части, можете да получите друга форма на интеграла на Дюамел: u u h u h" d И накрая, използвайки промяната на променлива = ", можете да получите още две форми на интеграла на Дюамел: u u h u" h d ; u u h u h" d 46

21 4 Някои свойства на двуполюсни вериги 4 Общи свойства на функцията на съпротивлението на входната проводимост Двата извода се характеризират напълно от функцията на съпротивлението на входната проводимост. Тази функция не може да има нули в дясната полуравнина, както и множество нули на реалната честотна ос Тъй като Y, тогава нулите на Y съответстват на полюсите и обратно. Следователно функцията на съпротивлението на входната проводимост не може също да има полюси в дясната полуравнина и множество полюси на реалната честотна ос Пасивни двуполюсни мрежи винаги са стабилни, тъй като не съдържат източници на енергия. Изразът за съпротивлението на входната проводимост е: m b n m n b m n 47 m n b b важи следното асимптотично равенство: b m mn lizi = по подобен начин може да се покаже, че най-малките експоненти на числителя и знаменателя не могат да се различават с повече от 1. Физическото значение на тези твърдения е, че при много високи и много ниски честоти една пасивна двутерминална мрежа трябва да се държи като капацитет или индуктивност или активно съпротивление n, 4 Енергийни функции на мрежа с два извода Да предположим, че мрежата с два извода е някаква сложна верига, съдържаща активни съпротивления, капацитети и индуктори.

Ако синусоидално напрежение се приложи към клемите на двутерминална мрежа, тогава в двутерминалната мрежа се разсейва известна мощност, средната стойност на която Р характеризира разсейването на енергията.Електрическата и магнитната енергия се съхраняват в капацитети и индуктивности, средните стойности на които са обозначени с W E и W H. Изчисляваме тези количества, използвайки уравненията на контурните токове. Директно записваме изразите за горните количества по аналогия с най-простите случаи. Така че, за съпротивлението R, средното разсейване на мощността е P R I I По същия начин, за верига, съдържаща няколко клона, средна мощностможе да се изрази чрез контурни токове: P i R i I i I Средната енергия, съхранена в индуктивността, е W H L I I За сложна верига тази стойност се изразява чрез контурни токове: W H 4 i L i I 4 I I C 48

23 Въз основа на тази връзка можем да напишем израз за общата средна електрическа енергия: W E 4 Ii I i Ci Нека разберем как тези количества са свързани с входни напреженияи токове За да направим това, ние пишем уравненията на токовете на веригата I R I L I E ; C I R i I Li I ; Ci Умножете всяко от уравненията по съответния ток 49 Ii и добавете всички I Ii Ri I Ii Li I Ii EI i i i Ci Ако R i = R i ; L i = L i; C i = C i, т.е. веригата отговаря на принципа на реципрочност и няма активни елементи, тогава: i i i R I I P ; i i L I I 4W ; i I I i E i Ci H 4 W функции

24 Теоремата на Tellagen ви позволява да намерите изрази за съпротивление и проводимост Y от гледна точка на енергийни функции: E I E I I I I I E Y E E E 5 P WH W I I P WH W E E е нула само ако няма загуби на енергия във веригата. Условията за стабилност изискват както Y да нямат нули, така и няма полюси в дясната полуравнина Липсата на полюси означава, че Y също са аналитични функции в дясната полуравнина В теорията на функциите на комплексна променлива има теорема, че ако една функция е аналитична в определен регион , тогава нейните реални и имагинерни части достигат най-малките и най-големите си стойности на границата на областта.Тъй като функциите на входното съпротивление и проводимост са аналитични в дясната полуравнина, тогава тяхната реална част на границата тази област на реалната честотна ос достига най-малката стойност Но на реалната честотна ос реалната част е неотрицателна, следователно е положителна в цялата дясна полуравнина.В допълнение, функциите и Y приемат реални стойности за реални стойности, тъй като те представляват коефициента на разделяне на полиноми с реални коефициенти. Функция, която приема реални стойности при реални стойности и има положителна реална част в дясната полуравнина, се нарича положителна реална функция. и функциите на проводимостта са положителни реални функции функцията е положителна реална функция 3 Въображаемата част на оста на реалната честота е равна на нула, ако двуизводната мрежа не съдържа реактивни елементи или средните резерви на магнитни и E E ;

25 електрическите енергии в двуполюсна мрежа са еднакви.Това става при резонанс; честотата, при която това се случва, се нарича резонансна честота. Трябва да се отбележи, че при извеждането на енергийните отношения за и Y по същество е използвано свойството на реципрочност. липса на зависими източници. За вериги, които не отговарят на принципа на реципрочност и съдържат зависими източници, тази формула може да се окаже неправилна. Като пример, на Фигура 4 е показана диаграма на последователна резонансна верига. Нека видим какво дава енергийната формула в този най-прост случай. Мощността, разсейвана в съпротивлението R, когато тече ток I е равно на P I R. Средните запаси от електрическа и магнитна енергия са: W H L I C U ; W E Напрежението U през капацитета, когато тече ток I е Следователно W E I U C I C Замествайки в енергията във формулата за, получаваме L I ​​I R I Фигура 4 Серия резонансна верига I C R L C, както бихте очаквали за последователна верига

26 Тук E E C S I S E R R RC RC C Нека, S >> C, така че първият член в скобите да може да бъде пренебрегнат S е наклонът на лампата Тогава входното съпротивление тогава ще бъде S I E RC E RC I S S RC където Req; Leq S S във веригата на зависим източник Прихващане във веригата контролна решетканеобходимо фазово изместване, възможно е да се получи индуктивно или капацитивно фазово изместване между напрежението и тока на входа и, съответно, индуктивния или капацитивен характер на честотите на входното съпротивление. То може да бъде равно на нула идентично за всякакви честоти само ако всички елементите на веригата нямат загуби, тоест те са чисто реактивни. Но дори и да има загуби, реалната част от съпротивлението или проводимостта може да изчезне при някои честоти 5

27 Ако не изчезва никъде по въображаемата ос, тогава определена постоянна стойност може да бъде извадена от съпротивлението или функцията на проводимостта, без да се нарушават условията за физическа осъществимост, така че реалната част, оставайки неотрицателна, изчезва при определена честота, тъй като функцията на съпротивлението на проводимостта няма полюси в дясната полуравнина на променливата, т.е. е аналитична в тази област, тогава нейната реална част има минимална стойност на нейната граница, т.е., на въображаемата ос. Следователно, изваждането на този минимум стойност оставя реалната част положителна в дясната полуравнина -активно съпротивление на проводимостта, ако реалната му част изчезне на оста на реалната честота, така че намаляването на този компонент е невъзможно без нарушаване на условията на пасивност.Тъй като реалната част на минимално активна верига изчезва, като едновременно с това достига минимум, тогава нулата на реалната част на реалната честотна ос има кратност най-малко Пример Фигура 43 показва най-простите вериги, които анализираме за минималното активно съпротивление на проводимост R C R C R L R C R C a b c d Фигура 43 Вериги: минимална активна проводимост a, минимално активно съпротивление b, c и не-минимално активен тип d На фиг. реална част от проводимостта изчезва при честота = Следователно веригата е верига с минимално активна проводимост На фиг. 43, b веригата е верига с минимално активно съпротивление, тъй като реалната част от съпротивлението изчезва при безкрайна честота 53

28 На фигура 43, c е верига с минимално активно съпротивление R = при резонансната честота на последователната верига На фигура 43, d веригата не е минимално активна веригата в 3-та верига има ограничено съпротивление при резонансната честота такива двутерминални мрежи при определени условия могат да бъдат нестабилни. Разгледайте наличните тук възможности. Съпротивлението има нули в дясната полуравнина на променливата, но няма полюси там. поставете експоненциално нарастващи решения, т.е. полюс nick е нестабилен, когато се захранва от източник на ЕМП, или, в противен случай, когато клемите му се съединят на късо, т.е. реалната честотна ос. Този минимум е отрицателен, тъй като в противен случай би бил положителна реална функция и не би могъл да има нули в дясната полуравнина Минимумът на реалната част на реалната честотна ос може да бъде увеличен до нула чрез добавяне на положително реално съпротивление. В този случай функцията + R става положителна реална функция. Следователно двутерминална мрежа с добавяне на съпротивление R ще да бъде стабилен в случай на късо съединение.

29 Проводимост Y има нули в дясната полуравнина, но няма полюси там Това е обратният случай на предишния, тъй като означава, че = /Y има полюси в дясната полуравнина, но няма нули там. В този случай стабилността се изследва във веригата с източник на ток Фигура 45, a Ако Y има нули в дясната полуравнина, тогава двутерминалната мрежа е нестабилна при празен ход Освен това може да се приложи горното разсъждение , Тъй като Y няма полюси в дясната полуравнина, тогава функцията Y може да бъде направена реална положителна функция чрез добавяне на положителна реална проводимост G Gmin По този начин, двутерминална мрежа, в която проводимостта Y има нули в дясна полуравнина, но няма полюси там, може да се направи стабилна чрез добавяне на достатъчно голяма реална проводимост.от източника на напрежение 3 Функцията има нули и полюси в дясната полуравнина В този случай, за разрешаването на въпроса за стабилността изисква специално внимание.Така че можем да направим следните заключения: ако активна двутерминална мрежа е стабилна, когато се захранва от източник на ток, тя няма полюси в дясната полуравнина, тогава тя може да бъде направени стабилни при захранване от източник на напрежение чрез последователно свързване на някакво положително материално съпротивление; ако една активна двутерминална мрежа е стабилна, когато се захранва от източник на напрежение Y няма полюси в дясната полуравнина, тогава тя може да бъде направена стабилна, когато се захранва от източник на ток чрез свързване на достатъчно голяма реална проводимост паралелно. Разгледайте паралелно свързване на отрицателно съпротивление R с капацитет C фиг. 46 R C R C I 55 Y b G Фиг. 45 Двутерминални мрежи: a с източник на ток; b с добавяне на проводимост Y Y Фигура 46 Двутерминална мрежа с отрицателно съпротивление I

30 Както можете да видите, той няма нули в дясната полуравнина, така че такава верига е стабилна, когато се захранва от източник на напрежение, но е нестабилна при празен ход. Нека добавим индуктивността L последователно. Тогава Фигура 47 Еквивалентна схема на тунела диод R R L LCR L RC RC Тази функция има нули в дясната полуравнина: , RC 4 RC LC Следователно веригата е нестабилна, когато се захранва от източник на напрежение, но също така има полюс в дясната полуравнина Нека се опитаме да направим то стабилно чрез добавяне на малко съпротивление R последователно Фигура 47 Тогава R LCR RRC L R R L R RC RC Условието за стабилност е липсата на нули на числителя в дясната полуравнина. За да направите това, всички коефициенти на тринома в числителя трябва да са положителни. : RR C L ; R R Тези две неравенства могат да бъдат записани като: L CR R R Очевидно такива неравенства са възможни, ако L L R или R RC C R при условието R Веригата на Фиг. състояние 56

Фигура 48. Нека намерим условията за стабилност на веригата на празен ход.За да направите това, изчислете проводимостта: Y R R C L 57 LC L R L o o th R или R > R o Когато е изпълнено обратното неравенство, собствените трептения се възбуждат в веригата при честотата на резонансната верига някои граници без нарушаване на условията на пасивност Физически тази промяна в реалния компонент с постоянна стойност означава добавяне или изключване на реално активно съпротивление, в идеалния случай независимо от честотата Промяна в реактивния компонент на съпротивителната функция n проводимост с постоянна стойност е неприемливо, тъй като това нарушава условията на физическа осъществимост; възможно в случай, когато съпротивлението на проводимост има полюси на реалната честотна ос Поради условията на физическа осъществимост, такива полюси трябва да бъдат прости и сложни спрегнати

32 Нека съпротивлението има полюси при честоти Тогава можем да различим прости дроби M N B B Лесно се вижда, че N N M M N r M B r 58 B * M, M M знак, което противоречи на условията за физическа реализируемост Следователно, M r = N r = Тогава M = N Освен това може да се покаже, че M = N > Наистина, задаваме = +, и > Тогава фракцията приема стойността M/, която трябва да бъде по-голяма от нула, тъй като дробта трябва да бъде реална положителна функция в дясна полуравнина И така, M = N > Следователно, ако има комплексно спрегнати полюси на реалната честотна ос, тогава може да бъде представен като: M M, B и удовлетворява условията за физическа осъществимост, ако те са изпълнени Real , няма полюси в дясната полуравнина, тъй като няма полюси там. Следователно това е аналитична функция в дясната полуравнина. От друга страна, първият член приема осите на реалните честоти са чисто въображаеми стойности Следователно и имат еднакви реални части по осите на реалните честоти Изборът на първия член не засяга реалната част по осите на реалните честоти. От това следва, че също е положителна функция на r в дясната полуравнина

33 В допълнение, той приема реални реални стойности​​в дясната полуравнина при реални стойности. Следователно е реална положителна функция M Съпротивлението има паралелна резонансна верига без загуби: L C C C, L C LC с LC и M C Подобно може да се направи разсъждение за функцията на проводимост Y, която има полюси в точки ±: M " Y, Y M ", където изразът е проводимостта на последователната резонансна верига: Y C L L C L e съответства на капацитет или индуктивност Следното твърдение е вярно

34 изважда от него реактивното съпротивление на проводимостта, съответстващо на полюсите, разположени на оста на реалната честота.Съпротивлението на проводимост, при което всички полюси са отстранени по този начин, се нарича съпротивление на проводимост от минимален реактивен тип.полюси на съпротивление и проводимост при всяка реални честоти Наличието на такива полюси би означавало възможността за съществуване на свободни трептения в тях без затихване Но в много случаи, с добро приближение, загубите в реактивните елементи могат да бъдат пренебрегнати на елементи с ниски загуби В този случай влиянието загубите понякога могат да бъдат пренебрегнати Интересно е да се открият свойствата на вериги без загуби, а също и да се разбере при какви условия е възможно да се пренебрегнат загубите Да приемем, че всички елементи на веригата са чисто реактивни Лесно е да се покаже, че в този случай, по оста на реалните честоти, съпротивлението и проводимостта Y приемат въображаеми стойности.Наистина, в този случай загубата на мощност е нула, следователно: W I 6 H WE W Y E WE ; Тъй като въображаемата част от съпротивлението или проводимостта е странна функция на веригата, тогава в този случай = Следователно и в по-общия случай = Условията за физическа осъществимост изискват тя да няма нули и полюси в дясната половина- равнина Но тъй като =, тогава също не трябва да има нули и полюси в лявата полуравнина Следователно H

35 функции и Y могат да имат нули и полюси само на реалната честотна ос.Физически това е разбираемо, тъй като в схема без загуби свободни вибрациине се разпадат От това следва, че използвайки метода за избор на полюси, лежащи на оста на реалните честоти, е възможно да се намалят функциите и Y до следния вид: b n b n b Y Фигура 49 Първа форма на Фостър Съответно, Y може да бъде представена като -та форма на Фостър Фигура 4 Фигура 4 Втора форма на Фостър Може да се покаже, че нулите и полюсите на реалната честотна ос трябва да се редуват Всъщност, тъй като нулите и полюсите на реалната честота ос може да бъде само проста, тогава близо до нула функцията може да бъде представена във формата M o, където o е стойност от по-висок порядък на дребност в сравнение с , Близо до дясната полуравнина реалната стойност трябва да е положителна и това е възможно само ако M е реално

36 стойност и M> Следователно, близо до нула = имагинерният компонент може да се променя само с положителна производна, променяйки знака от на "+" Освен това ще бъде показано, че за верига, съставена от чисто реактивни елементи, посочената производна е положителен за всякакви честоти. Следователно между две съседни нули трябва да има прекъсване, което за вериги със съединени елементи може да бъде само полюс. Всичко по-горе се отнася и за проводимостта Y Нулите се наричат ​​резонансни точки, полюсите са антирезонансни точки Следователно, резонансите винаги се редуват с антирезонанси За проводимостта Y, резонансите съответстват на полюсите, а антирезонансите на нули Лесно е да се види, че както в резонансните точки, така и в антирезонансните точки, средните запаси от електрическа и магнитна енергия са равни един на друг Наистина, при резонансни точки =, t e W H W E = В точките на антирезонанс Y =, следователно, W E W H = загуби, се изпълняват следните формули, давам dx WH W d I db WH WE d E Нека разгледаме определението за съпротивление E I 6 E ; Нека E = cons Диференцираме по отношение на честотата: d E di d I d Да приемем, че E е реална стойност Тогава за верига без загуби I е чисто имагинерна стойност В този случай d E d I di d I I и

37 Нека сега се обърнем към системата от уравнения за контурни токове n 4: I Li I Ei, i, n C Ако приемем, че само E, ние умножаваме всяко от уравненията по и добавяме всички уравнения: i, i I di i Li I di i E di, i, C i, След това се обръщаме към връзката, получена също в параграф 4 за схеми без загуби: i, L i I Ii i i, I I C i i E i, Ci i, I di di I L di I E di C C i i i i i, i i, i, i di I di I L di I L di I n i i i i i i, i, Ci i, i, Ci E di E di, тъй като E по предположение е реална стойност. От горното също следва, че: i, L I i di i i, IdI C i i E di di i 63

38 Замествайки в общата сума, получаваме: d i, L i I Ii i, I I C i i E di E Редуцирайки подобни членове отляво и отдясно, намираме: di I Ii E di d Li I Ii i, i, Ci E Изразът в скоби, както беше намерено в раздел 4, е равен на i, L i I Ii i, Ii I C i 4 W H W E di E WE От тези формули следва, че с увеличаване на честотата реактивното съпротивление и проводимостта на верига от чисто реактивните елементи могат само да се увеличат 4 Накрая ще се опитаме да разберем как наличието на малки загуби влияе на съпротивлението на верига, съставена от реактивни елементи. Когато се въведат загуби, се появява затихване. Ще разгледаме малки загуби, които причиняват ниско затихване, което удовлетворява условието /<<, <, где = + -й полюс сопротивления Это означает, что полюсы и нули сопротивления смещаются с оси вещественных частот на малую величину затухания H E 64

39 Затихването може да бъде различно за различните полюси. Следователно е препоръчително да се вземе предвид поведението на функцията на съпротивлението близо до един от полюсите.Изместването на полюса с количество наляво може да се покаже чрез заместване на функцията на променливата с + , Тогава, близо до полюса, ще имаме

40 Тъй като се интересуваме от стойностите на реалната честотна ос, тя трябва да бъде заменена с В числителя може да се изхвърли, малък в сравнение с според условието: Този израз може да се трансформира, както следва:, Qx "където; Q ; x; стойността на x се нарича относителна разстройка Близо до резонанса Освен това имаме: Стойността C x Q Q ; ; Q Q C C се нарича характерен импеданс на резонансната верига Помислете как реалните и въображаемите части на съпротивлението близо до резонансът зависи от честотата: Q Q x R; Im Q x Q x 66

41 Близо до резонанса Im нараства, но при резонанс преминава през нула с отрицателна производна Реалната част на R при резонанс има максимум. Графиките на Im и R в зависимост от честотата са показани на Фиг. 4 Обърнете внимание, че R dx Q Q x dx, т.е. не зависи от качествения фактор. Иначе казано, площта под резонансната крива R не зависи от качествения фактор. Тъй като качественият фактор се увеличава, ширината на кривата намалява, но височината се увеличава, така че площта остава непроменен Qx >>, реалната част намалява бързо, а имагинерната част е равна на Im x 67, т.е. променя се по същия начин, както в случая на верига без загуби

42 И така, зависимостта от честотата при въвеждане на малки загуби се променя малко при честоти, които са далеч от резонансната честота със стойност \u003e\u003e\u003e\u003e\u003e\u003e\u003e\u003e Близо до честотата курсът се променя значително gq Y, Qx g характерна проводимост; L x Нула съответства на полюса на проводимост Y Близо до нула, следователно, съпротивлението може да бъде представено на оста на реалната честота, както следва: Qx x, Y gq Q където = /g По този начин, близо до нула, въвеждането на малки загуби влияе върху външния вид на малък реален компонент в съпротивлението Въображаемият компонент варира близо до нула по същия начин, както преди 68

43 5 Четириполюсници 5 Основни уравнения на четириполюсник Четириполюсник е верига, която има две двойки клеми: вход, към който е свързан източникът на сигнал, и изход, към който е свързан товарът съпротивление на предаване При тези условия съпротивлението на източникът на сигнал n и съпротивлението на натоварване n са включени в T. Когато те се променят, се променя и T. Желателно е да има уравнения и параметри, характеризиращи самия четириполюс. Коефициентът е реципрочната на преносната проводимост на празен ход на изходната двойка на скоби: 69 I I ; Фиг. 5 Включване на четириполюсника I Тук U и U са напреженията на входните и изходните клеми, I и I са токовете, протичащи през входните и изходните клеми към четириполюсника, вижте Фиг. 5 Коефициентите на системата от уравненията, свързващи напрежения и токове, имат просто значение I и U при ток на изходните клеми I =, т.е. без товар на изходните клеми; с други думи, това е входното съпротивление на празен ход на изхода = x По същия начин, това е входното съпротивление от страната на изходните клеми на празен ход на първата двойка клеми = x текущи входни клеми U и I Y T x Y T x

44 I U ; Y Tx Y Tx YT x I U x I YT x I, тъй като токът в този случай е насочен от четириполюса, тоест в обратна посока в сравнение с приетата по-горе Замествайки U във второто уравнение, получаваме от където I, I n I x I YTx I Y x Tx Замествайки I в първото уравнение, получаваме U I x Y Tx n Оттук намираме входното съпротивление в n x U x I Y По аналогия можем също да напишем израза за изходното съпротивление чрез размяна на индексите и : T x n x 7

45 out х Y T х н х 5 Характерни параметри на двупортовата мрежа Значителен интерес представлява случаят, когато генераторът и товарът са съгласувани едновременно, т.е. когато n = c и n = c, връзката in = c и out = c се извършва Замествайки в изразите за in и out , получаваме уравнения, които ни позволяват да намерим c и c: c c x x Y T x Y T x 7 c c Тази система се решава, както следва От първото уравнение намираме: откъдето c c x x; x, Y Tx c x x Y T x Приравнявайки c от второто уравнение, имаме x Y Tx x YTx x c x kz c x kz x

46 Обърнете внимание, че kz и kz са входни съпротивления от страната на първата и втората двойка клеми, съответно, в случай на късо съединение на другата двойка клеми Товар, равен на характеристичния импеданс c, се нарича съгласуван. на четириполюсници, свързани по този начин, съвпадението се запазва във всяка секция.Като трети характерен параметър на четириполюсник, характерният коефициент на предаване g ln U U I ln rg I U I 7 U I често се използва, когато четириполюсникът е свързан към съгласуван товар, т.е. характеристичният импеданс В този случай U c I; U I c I c ln I c U c g ln U получавате и съотношенията: I g I ; U c g U U U I I

47 Характерният коефициент на предаване е удобен с това, че при координирана каскадна връзка на мрежи с четири терминала, полученият коефициент на трансфер е равен на сумата от коефициентите на предаване на отделните мрежи с четири терминала.Коефициентът на характеристичен трансфер може да се намери от отношения : Характеристичните импеданси c и c, най-общо казано, зависят от честотата.Следователно използването на характеристични параметри не винаги е удобно за представяне на предавателното съпротивление T. По този начин, за да се изследва характеристичният коефициент g в зависимост от честотата, е необходимо за натоварване на четириъгълника върху характеристичния импеданс, който също зависи от честотата.Най-интересното е четириполюсното свързване към постоянен реален товар R с чисто активно съпротивление на генератора R Фиг.53 В този случай предаването се определя с помощта на работен коефициент на предаване U I ln, U I където U "и I" е т.е. и ток, който генераторът може да развие при съпротивление, равно на вътрешното съпротивление на генератора, тоест: E U, I E, R 73 E U I, 4R U и I напрежение и ток на натоварване В този случай U \u003d I R Заместване , получаваме за работния коефициент на предаване ln От тук получаваме 4R E R I ln E R R T I R R

48 Стойността на функцията на комплексна променлива За реални честоти = : = + B, където работното затихване, B е фазовата константа, разпределена върху товара R P mx E P I R 4R Нека покажем, че реалната положителна функция Наистина, тъй като T има без нули в дясната полуравнина, функцията е аналитична в дясната полуравнина Следователно, аналитичната функция, пропорционална на нея, също е аналитична в дясната полуравнина. Модулът на аналитичната функция достига максималната си стойност на границата на аналитичността на домейна, в този случай на реалната честотна ос. Реципрочната стойност достига най-малката стойност на тази ос. За пасивен квадрипол на реалната честотна ос, следователно R > в цялата дясна полуравнина Следващ T ln 4R R Функцията T е частното от разделянето на два полинома с реални коефициенти, а T приема реално положително e стойности за реални Следователно, също реални за реални стойности По този начин можем да заключим, че реална положителна функция

4.11. Свойства на трансформацията на Лаплас. 1) Съответствие едно към едно: s(S ˆ(2) Линейност на преобразуването на Лаплас: s ˆ () ˆ 1(s2(S1 S2(, а също и 3) Аналитичност на S ˆ() : ако s(удовлетворява

4 Лекция 5 АНАЛИЗ НА ДИНАМИЧНИ ВЕРИГИ План Уравнения на състоянието на електрически вериги Алгоритъм за формиране на уравнения на състоянието 3 Примери за съставяне на уравнения на състоянието 4 Заключения Уравнения на състоянието на електрически

4. Свойства на преобразуването на Лаплас.) Съответствие едно към едно: S ˆ() 2) Линейност на преобразуването на Лаплас: s (s () ˆ () ˆ 2 S S2() и 3) Аналитичност на S ˆ () : ако отговаря на условието

64 Лекция 6 ОПЕРАТОРЕН МЕТОД ЗА АНАЛИЗ НА ЕЛЕКТРИЧЕСКИ ВЕРИГИ План за преобразуване на Лаплас Свойства на преобразуването на Лаплас 3 Операторен метод за анализ на електрически вериги 4 Дефиниране на оригинала от известните

2.2. Операторен метод за изчисляване на преходни процеси. Теоретична информация. Изчисляването на преходни процеси в сложни схеми по класическия метод много често е трудно да се намерят константите на интегриране.

70 Лекция 7 ОПЕРАТОРНИ ФУНКЦИИ НА ВЕРИГИ План Операторни входни и трансферни функции Полюси и нули на функции на схеми 3 Заключения Операторни входни и трансферни функции Операторната функция на верига се нарича

Синусоидален ток "в дланта" По-голямата част от електрическата енергия се генерира под формата на ЕМП, която се променя във времето според закона на хармоничната (синусоидална) функция. Хармоничните ЕМП източници са

4 Лекция РЕЗОНАНСНО ЧЕСТОТНИ ХАРАКТЕРИСТИКИ НА ЕЛЕКТРИЧЕСКИ ВЕРИГИ Резонанс и неговото значение в радиоелектрониката Комплексни предавателни функции 3 Логаритмични честотни характеристики 4 Заключения Резонанс и

Преходните процеси "на длан". Вече знаете методите за изчисляване на верига, която е в стабилно състояние, тоест в такава, в която токовете, както и спадовете на напрежението на отделните елементи, са непроменени във времето.

Резонанс в дланта на ръката ви. Резонансът е режим на пасивна двуполюсна мрежа, съдържаща индуктивни и капацитивни елементи, при която нейното реактивно съпротивление е нула. Резонансно състояние

Принудени електрически трептения. Променлив ток Помислете за електрическите трептения, които възникват, когато във веригата има генератор, чиято електродвижеща сила се променя периодично.

Глава 3 Променлив ток Теоретична информация По-голямата част от електрическата енергия се генерира под формата на ЕМП, която варира във времето според закона на хармоничната (синусоидална) функция

Лекция 3. Дедукции. Основната теорема за остатъка. Остатъкът от функцията f () в изолирана особена точка a е комплексно число, равно на стойността на интеграла f () 2, взет в положителна посока i по окръжността

Електромагнитни трептения Квазистационарни токове Процеси в осцилаторна верига Осцилиращата верига е верига, състояща се от индуктор, свързан последователно, капацитетен кондензатор C и резистор

1 5 Електрически трептения 51 Трептяща верига Във физиката трептения се наричат ​​не само периодични движения на телата, но и всеки периодичен или почти периодичен процес, при който стойностите на една или повече

Пасивни вериги Въведение Задачите разглеждат изчисляването на амплитудно-честотни, фазово-честотни и преходни характеристики в пасивни вериги. За да изчислите тези характеристики, трябва да знаете

ИЗСЛЕДВАНЕ НА СВОБОДНИ И ПРИНУДЕНИ ТРЕБТЕНИЯ В ТРЕМБЕБНА ВЕРИГА. Свободни електрически трептения в трептяща верига

Лекция 3 Тема Осцилационни системи Последователен колебателен кръг. Резонанс на напрежение Сериен осцилаторна верига е верига, в която намотка и кондензатор са свързани последователно.

Московски държавен университет М. В. Ломоносов Московски държавен университет Физически факултет Катедра по обща физика Лабораторна практика по обща физика (електричество и магнетизъм) Козлов

Материали за самоподготовка по дисциплината "Теория на електрическите вериги" за студенти от специалности: -6 4 ч. "Индустриална електроника" (част), -9 с "Моделиране и компютърно проектиране"

Метод на сложната амплитуда Хармоничните колебания на напрежението на клемите на R или елементи предизвикват протичане на хармоничен ток със същата честота. Интегриране на диференциация и добавяне на функции

Приложение 4 Принудени електрически трептения Променлив ток Следната теоретична информация може да бъде полезна при подготовката за лабораторна работа 6, 7, 8 в лабораторията "Електричество и магнетизъм"

54 Лекция 5 ТРАНСФОРМАЦИЯ НА ФУРИЕ И СПЕКТРАЛЕН МЕТОД ЗА АНАЛИЗ НА ЕЛЕКТРИЧЕСКИ ВЕРИГИ План Спектри на апериодични функции и трансформация на Фурие Някои свойства на трансформацията на Фурие 3 Спектрален метод

Стрес резонансно изследване (продължение) i iω K = K = ω = = ω => r+ iω + r+ i ω iω r + ω K = ω r + ω Знаменателят е минимален при честота ω 0, така че ω0 = 0 => ω0 ω 0= тази честота се нарича резонансна

Глава 2. Методи за изчисляване на преходни процеси. 2.1. Класически метод на изчисление. Теоретична информация. В първата глава бяха разгледани методите за изчисляване на веригата в стабилно състояние, т.е.

Yastrebov NI KPI RTF отдел на ТОП wwwystrevkievu Circuit функции

4.9. Преходната характеристика на веригата, нейната връзка с импулсната характеристика. Да разгледаме функцията K j K j j > S j j K j S 2 Да приемем, че K jω има преобразуване на Фурие h K j Ако съществува IC k K j, тогава

Лекция 9 Линеаризация на диференциални уравнения Линейни диференциални уравнения от по-високи редове Хомогенни уравнения свойства на техните решения Свойства на решения на нехомогенни уравнения Определение 9 Линейни

Методическа разработка Решаване на задачи върху TFKP Комплексни числа Операции с комплексни числа Комплексна равнина Комплексно число може да бъде представено в алгебрична и тригонометрична експоненциална форма

Съдържание ВЪВЕДЕНИЕ Раздел КЛАСИЧЕСКИ МЕТОД ЗА ИЗЧИСЛЯВАНЕ НА ПРЕХОДНИ ПРОЦЕСИ Раздел ИЗЧИСЛЯВАНЕ НА ПРЕХОДНИ ПРОЦЕСИ ПРИ ПРОИЗВОЛНИ ВХОДНИ ДЕЙСТВИЯ С ИЗПОЛЗВАНЕ НА НАДЗОРНИ ИНТЕГРАЛИ9 ПРОВЕРКА НА ВЪПРОСИ7

4 ЕЛЕКТРОМАГНИТНИ ТРЕМБЕНИЯ И ВЪЛНИ. Осцилаторната верига е електрическа верига, съставена от кондензатори и намотки, в която е възможен колебателен процес на презареждане на кондензатори. Този процес

3.5. Сложен паралелен колебателен кръг I Верига, в която поне един паралелен клон съдържа реактивност на двата знака. I C C I I Няма магнитна връзка между и. Състояние на резонанс

ЛЕКЦИЯ N38. Поведение на аналитична функция в безкрайност. специални точки. Функционални остатъци..околност на точка в безкрайност.....Разширение на Лоран в околност на точка в безкрайност.... 3. Поведение

4 Лекция 3 ЧЕСТОТНИ ХАРАКТЕРИСТИКИ НА ЕЛЕКТРИЧЕСКИ ВЕРИГИ Комплексни предавателни функции Логаритмични честотни характеристики 3 Заключение Комплексни предавателни функции (комплексни честотни характеристики)

Флуктуации. Лекция 3 Алтернатор За да обясним принципа на алтернатора, нека първо разгледаме какво се случва, когато плоска намотка от тел се върти в еднородно магнитно

ДИФЕРЕНЦИАЛНИ УРАВНЕНИЯ Общи понятия Диференциалните уравнения имат многобройни и много разнообразни приложения в механиката, физиката, астрономията, технологиите и в други клонове на висшата математика (напр.

Изчисляване на източника на хармонични трептения (HHC) Представете оригиналната верига на HHC по отношение на първичната намотка на трансформатора с еквивалентен източник на напрежение Определете неговите параметри (EMF и вътрешен

Работа 11 ИЗУЧАВАНЕ НА ПРИНУДЕНИТЕ ТРЕПТЕНИЯ И ЯВЛЕНИЯТА НА РЕЗОНАНСА В ТРЕМБЕБИТЕЛНАТА ВЕРИГА Във верига, съдържаща индуктор и кондензатор, могат да възникнат електрически трептения. Работата учи

Тема 4 .. AC вериги Въпроси към темата .. AC верига с индуктивност .. AC верига с индуктивност и активно съпротивление. 3. AC верига с капацитет. 4. AC верига

4 Лекция АНАЛИЗ НА СЪПРОТИВНИ ВЕРИГИ План Задачата за анализ на електрически вериги Закони на Кирхоф Примери за анализ на резистивни вериги 3 Еквивалентни трансформации на участък от верига 4 Заключения Задачата за анализ на електрически

Опция 708 В електрическата верига работи източник на синусоидален EDC e(ωt) sin(ωt ψ). Схемата на веригата, показана на фиг. Ефективната стойност на EDC E на източника, началната фаза и стойността на параметрите на веригата

Първоначални данни R1=10 ома R2=8 ома R3=15 ома R4=5 ома R5=4 ома R6=2 ома E1=10 V E2=15 V E3=20 V Закони на Кирхоф (DC напрежение) 1. Търсене на възли Възел точка , в която са свързани три (или повече) проводника

ЛЕКЦИОННА ОСЦИЛАЦИЯ. Принудителни вибрации

Изпит Резонанс на напрежението (продължение) Ще приемем, че напрежението на ода на веригата е напрежението на цялата осцилаторна верига, а напрежението на изхода на веригата е напрежението на кондензатора Тогава амплитуда

Есенен семестър на учебната година Тема 3 ХАРМОНИЧЕН АНАЛИЗ НА НЕПЕРИОДИЧНИ СИГНАЛИ Директно и обратно преобразуване на Фурие Спектрална характеристика на сигнала Амплитудно-честотен и фазово-честотен спектър

Лекция 6. Класификация на точките на покой на линейна система от две уравнения с постоянни реални коефициенти. Помислете за система от две линейни диференциални уравнения с реална константа

54 Лекция 5 Преобразуване на Фурие И СПЕКТРАЛЕН МЕТОД ЗА АНАЛИЗ НА ЕЛЕКТРИЧЕСКИ ВЕРИГИ План Спектри на апериодични функции и Преобразуване на Фурие 2 Някои свойства на преобразуването на Фурие 3 Спектрален метод

Тема: Закони на променливия ток Електрически ток се нарича подредено движение на заредени частици или макроскопични тела Променлив ток се нарича, който променя стойността си с течение на времето

Изпит Импеданс на комплексно съпротивление Импедансът или комплексното съпротивление по дефиниция е равно на съотношението на комплексното напрежение към комплексния ток: Z ɶ Имайте предвид, че импедансът също е равен на съотношението

Заглавие Въведение. Основни понятия.... 4 1. Интегрални уравнения на Волтера... 5 Варианти за домашна работа.... 8 2. Резолвента на интегралното уравнение на Волтера. 10 опции за домашна работа.... 11

Глава II Интеграли Първоизводна функция и нейните свойства Функцията F() се нарича първоизводна непрекъсната функция f() на интервала a b, ако F() f(), a; b (;) Например, за функцията f(), първоизводните

класически метод. Фиг. 1 - първоначалната диаграма на електрическата верига Параметри на веригата: E \u003d 129 (V) w \u003d 10000 (rad / s) R1 \u003d 73 (Ohm) R2 \u003d 29 (Ohm) R3 = 27 (Ohm ) L = 21 (mH) C = 0,97 (uF) Реактивно съпротивление на индуктор:

Методи за изчисляване на сложни линейни електрически вериги Основа: способността да се съставят и решават системи от линейни алгебрични уравнения - съставени или за DC верига, или след символизация

ОПРЕДЕЛЕН ИНТЕГРАЛ. Интегрални суми и определен интеграл Нека функция y = f (), дефинирана на сегмента [, b], където< b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных

8 Лекция 7 ОПЕРАТОРНИ ФУНКЦИИ НА ВЕРИГИ Операторни входни и трансферни функции Полюси и нули на функции на схеми 3 Заключения Операторни входни и трансферни функции Операторна функция на верига е релация

68 Лекция 7 ПРЕХОДНИ ПРОЦЕСИ В ВЕРИГИ ОТ ПЪРВИ РЕД План 1 Преходни процеси в RC вериги от първи ред 2 Преходни процеси в R-вериги от първи ред 3 Примери за изчисляване на преходни процеси във вериги

4 ЛИНЕЙНИ ЕЛЕКТРИЧЕСКИ ВЕРИГИ НА ПРОМЕНЛИВ СИНУСИДАЛЕН ТОК И МЕТОДИ ЗА ТЯХНОТО ИЗЧИСЛЯВАНЕ 4.1 ЕЛЕКТРИЧЕСКИ МАШИНИ. ПРИНЦИП НА ГЕНЕРИРАНЕ НА СИНУСИДАЛЕН ТОК 4.1.012. Синусоидалният ток се нарича мигновен

Федерална агенция за образование Държавна образователна институция за висше професионално образование "КУБАНСКИ ДЪРЖАВЕН УНИВЕРСИТЕТ" Факултет по физика и технологии Катедра по оптоелектроника

~ ~ FCF Производна на функция на комплексна променлива FCF на условието на Коши-Риман Концепция за редовност на FCF Изобразяване и форма на комплексно число Форма на FCF: където реалната функция на две променливи е реална

Това е името на друг вид интегрална трансформация, която заедно с трансформацията на Фурие се използва широко в радиотехниката за решаване на голямо разнообразие от проблеми, свързани с изследването на сигнали.

Понятието комплексна честота.

Спектралните методи, както вече е известно, се основават на факта, че изследваният сигнал е представен като сума от неограничен брой елементарни термини, всеки от които периодично се променя във времето според закона.

Естествено обобщение на този принцип се крие във факта, че вместо комплексни експоненциални сигнали с чисто имагинерни експоненти, се въвеждат под внимание експоненциални сигнали от формата, където е комплексно число: наречена комплексна честота.

Два такива сложни сигнала могат да се използват за съставяне на реален сигнал, например, съгласно следното правило:

където е комплексно спрегнатата стойност.

Наистина, докато

В зависимост от избора на реалната и имагинерната част на комплексната честота могат да се получат различни реални сигнали. Така че, ако , но се получават обичайните хармонични трептения от формата If, тогава в зависимост от знака се получават или нарастващи, или намаляващи експоненциални трептения във времето. Такива сигнали придобиват по-сложна форма, когато . Тук множителят описва обвивка, която се променя експоненциално с времето. Някои типични сигнали са показани на фиг. 2.10.

Концепцията за комплексна честота се оказва много полезна, главно защото позволява, без да се прибягва до обобщени функции, да се получат спектрални представяния на сигнали, чиито математически модели не са интегрируеми.

Ориз. 2.10. Реални сигнали, съответстващи на различни стойности на комплексната честота

Друго съображение също е от съществено значение: експоненциалните сигнали от формата (2.53) служат като "естествено" средство за изучаване на трептения в различни линейни системи. Тези въпроси ще бъдат разгледани в гл. 8.

Трябва да се отбележи, че истинската физическа честота е въображаемата част от комплексната честота. Няма специален термин за реалната част o от комплексната честота.

Основни съотношения.

Нека - някакъв сигнал, реален или сложен, определен за t> 0 и равен на нула за отрицателни стойности на времето. Преобразуването на Лаплас на този сигнал е функция на комплексната променлива, дадена от интеграла:

Сигналът се нарича оригинал, а функцията се нарича неговото изображение на Лаплас (накратко, просто изображение).

Условието, което гарантира съществуването на интеграла (2.54), е следното: сигналът трябва да има най-много експоненциален темп на нарастване, т.е. трябва да отговаря на неравенството, където са положителни числа.

Когато това неравенство е изпълнено, функцията съществува в смисъл, че интегралът (2.54) се сближава абсолютно за всички комплексни числа, за които числото a се нарича абсцисата на абсолютната конвергенция.

Променливата в основната формула (2.54) може да се идентифицира с комплексната честота. Наистина, за чисто въображаема комплексна честота, когато формула (2.54) се превръща във формула (2.16), която определя преобразуването на Фурие на сигнала, което е нула при Така може да се разгледа трансформацията на Лаплас

Точно както се прави в теорията на преобразуването на Фурие, възможно е, познавайки изображението, да възстановите оригинала. За да направите това, във формулата за обратното преобразуване на Фурие

трябва да се извърши аналитично продължение чрез преминаване от имагинерната променлива към комплексния аргумент a В равнината на комплексната честота интегрирането се извършва по неограничено разширена вертикална ос, разположена вдясно от абсцисата на абсолютната конвергенция. Тъй като за диференциал , формулата за обратното преобразуване на Лаплас приема формата

В теорията на функциите на комплексна променлива е доказано, че изображенията на Лаплас имат "добри" свойства по отношение на гладкостта: такива изображения във всички точки на комплексната равнина, с изключение на изброим набор от така наречените сингулярни точки, са аналитични функции. Особените точки обикновено са полюси, единични или множество. Следователно, за изчисляване на интеграли от формата (2.55) могат да се използват гъвкави методи на теорията на остатъците.

В практиката широко се използват таблиците за трансформация на Лаплас, които събират информация за съответствието между оригиналите. и изображения. Наличието на таблици направи метода на трансформация на Лаплас популярен както в теоретичните изследвания, така и в инженерните изчисления на радиотехнически устройства и системи. В приложенията към има такава таблица, която позволява решаването на доста широк кръг от проблеми.

Примери за изчисляване на трансформации на Лаплас.

Има много прилики в методите за изчисляване на изображения с това, което вече е проучено във връзка с преобразуването на Фурие. Нека разгледаме най-типичните случаи.

Пример 2.4, Изображение на обобщен експоненциален импулс.

Нека , където е фиксирано комплексно число. Наличието на -функцията определя равенството при Използвайки формула (2.54), имаме

Ако тогава числителят изчезва при заместване на горната граница. В резултат на това получаваме кореспонденцията

Като специален случай на формула (2.56) може да се намери изображението на реален експоненциален видео импулс:

и сложен експоненциален сигнал:

Накрая, поставяйки (2.57), намираме образа на функцията на Хевисайд:

Пример 2.5. Изображение на делта функция.

Преобразуване на Лаплас- интегрална трансформация, свързваща функцията F (s) (\displaystyle \ F(s))комплексна променлива ( изображение) с функцията f (x) (\displaystyle \f(x))реална променлива ( оригинален). Използва се за проучване на имотите динамични системии реши диференциалИ интегрални уравнения.

Една от характеристиките на трансформацията на Лаплас, която предопредели широкото й използване в научни и инженерни изчисления, е, че много съотношения и операции върху оригиналите съответстват на по-прости съотношения върху техните изображения. Така конволюцията на две функции в пространството на изображенията се свежда до операцията на умножение и линейните диференциални уравнения стават алгебрични.

Енциклопедичен YouTube

1 / 5

✪ Трансформация на Лаплас - безботви

✪ Лекция 10: Трансформация на Лаплас

✪ Висша математика - 4. Трансформации на Лаплас. Част 1

✪ Метод на Лаплас за DE решение

✪ Лекция 11: Прилагане на трансформацията на Лаплас за решаване на диференциални уравнения

субтитри

Определение

Директно преобразуване на Лаплас

lim b → ∞ ∫ 0 b | f(x) | e − σ 0 x d x = ∫ 0 ∞ | f(x) | e − σ 0 x d x , (\displaystyle \lim _(b\to \infty )\int \limits _(0)^(b)|f(x)|e^(-\sigma _(0)x)\ ,dx=\int \limits _(0)^(\infty )|f(x)|e^(-\sigma _(0)x)\,dx,)

тогава той се сближава абсолютно и равномерно за и - аналитична функцияпри σ ⩾ σ 0 (\displaystyle \sigma \geqslant \sigma _(0)) (σ = R e s (\displaystyle \sigma =\mathrm (Re) \,s)- същинска част сложна променлива s (\displaystyle s)). Точна долна граница σ a (\displaystyle \sigma _(a))набори от числа σ (\displaystyle \sigma ), при което това условие е изпълнено, се нарича абсцисатаабсолютна конвергенцияТрансформация на Лаплас за функцията.

• Условия за съществуване на директното преобразуване на Лаплас

Преобразуване на Лаплас L ( f (x) ) (\displaystyle (\mathcal (L))\(f(x)\))съществува в смисъл на абсолютна конвергенция в следните случаи:

1. σ ⩾ 0 (\displaystyle \sigma \geqslant 0): преобразуването на Лаплас съществува, ако съществува интегралът ∫ 0 ∞ | f(x) | d x (\displaystyle \int \limits _(0)^(\infty )|f(x)|\,dx);
2. σ > σ a (\displaystyle \sigma >\sigma _(a)): преобразуването на Лаплас съществува, ако интегралът ∫ 0 x 1 | f(x) | d x (\displaystyle \int \limits _(0)^(x_(1))|f(x)|\,dx)съществува за всяко ограничено x 1 > 0 (\displaystyle x_(1)>0)И | f(x) | ⩽ K e σ a x (\displaystyle |f(x)|\leqslant Ke^(\sigma _(a)x))За x > x 2 ≥ 0 (\displaystyle x>x_(2)\geqslant 0);
3. σ > 0 (\displaystyle \sigma >0)или σ > σ a (\displaystyle \sigma >\sigma _(a))(коя от границите е по-голяма): преобразуване на Лаплас съществува, ако съществува преобразуване на Лаплас за функцията f ′ (x) (\displaystyle f"(x)) (производнаот f (x) (\displaystyle f(x))) За σ > σ a (\displaystyle \sigma >\sigma _(a)).

Забележка

• Условия за съществуване на обратното преобразуване на Лаплас

За съществуването на обратното преобразуване на Лаплас е достатъчно да са изпълнени следните условия:

1. Ако изображението F (s) (\displaystyle F(s)) - аналитична функцияЗа σ ≥ σ a (\displaystyle \sigma \geqslant \sigma _(a))и има ред по-малък от −1, тогава обратната трансформация за него съществува и е непрекъсната за всички стойности на аргумента, и L − 1 ( F (s) ) = 0 (\displaystyle (\mathcal (L))^(-1)\(F(s)\)=0)За t ⩽ 0 (\displaystyle t\leqslant 0).
2. Позволявам F (s) = φ [ F 1 (s) , F 2 (s) , … , F n (s) ] (\displaystyle F(s)=\varphi ), Така φ (z 1 , z 2 , … , z n) (\displaystyle \varphi (z_(1),\;z_(2),\;\ldots ,\;z_(n)))е аналитичен по отношение на всеки z k (\displaystyle z_(k))и е равно на нула за z 1 = z 2 = … = z n = 0 (\displaystyle z_(1)=z_(2)=\ldots =z_(n)=0), И F k (s) = L ( f k (x) ) (σ > σ a k: k = 1 , 2 , … , n) (\displaystyle F_(k)(s)=(\mathcal (L))\(f_ (k)(x)\)\;\;(\sigma >\sigma _(ak)\колонка k=1,\;2,\;\ldots ,\;n)), тогава обратната трансформация съществува и съответната директна трансформация има абциса на абсолютна конвергенция.

Забележка: това са достатъчни условия за съществуване.

• Теорема за навиване

Основна статия: Теорема за навиване

• Разграничаване и интегриране на оригинала

Изображението според Лаплас на първата производна на оригинала по отношение на аргумента е произведението на изображението и аргумента на последния минус оригинала на нула вдясно:

L ( f ′ (x) ) = s ⋅ F (s) − f (0 +) . (\displaystyle (\mathcal (L))\(f"(x)\)=s\cdot F(s)-f(0^(+)).)

Теореми за начална и крайна стойност (гранични теореми):

f (∞) = lim s → 0 s F (s) (\displaystyle f(\infty)=\lim _(s\to 0)sF(s)), ако всички полюси на функцията s F (s) (\displaystyle sF(s))са в лявата полуравнина.

Теоремата за крайна стойност е много полезна, защото описва поведението на оригинала в безкрайност с проста връзка. Това се използва например за анализ устойчивосттраектории на динамична система.

• Други имоти

Линейност:

L ( a f (x) + b g (x) ) = a F (s) + b G (s) . (\displaystyle (\mathcal (L))\(af(x)+bg(x)\)=aF(s)+bG(s).)

Умножете по число:

L ( f (a x) ) = 1 a F (s a) . (\displaystyle (\mathcal (L))\(f(ax)\)=(\frac (1)(a))F\left((\frac (s)(a))\right).)

Директно и обратно преобразуване на Лаплас на някои функции

По-долу е таблицата за преобразуване на Лаплас за някои функции.

№	функция	Времева област x (t) = L − 1 ( X (s) ) (\displaystyle x(t)=(\mathcal (L))^(-1)\(X(s)\))	честотен домейн X (s) = L ( x (t) ) (\displaystyle X(s)=(\mathcal (L))\(x(t)\))	Зона на конвергенция За каузаленсистеми
1	идеален лаг	δ (t − τ) (\displaystyle \delta (t-\tau)\ )	e − τ s (\displaystyle e^(-\tau s)\ )
1а	единичен импулс	δ (t) (\displaystyle \delta (t)\ )	1 (\displaystyle 1\ )	∀ s (\displaystyle \forall s\ )
2	закъснение n (\displaystyle n)	(t − τ) n n ! e − α (t − τ) ⋅ H (t − τ) (\displaystyle (\frac ((t-\tau)^(n))(n}e^{-\alpha (t-\tau)}\cdot H(t-\tau)} !}	e − τ s (s + α) n + 1 (\displaystyle (\frac (e^(-\tau s))((s+\alpha)^(n+1))))	s > 0 (\displaystyle s>0)
2а	мощност n (\displaystyle n)-та поръчка	т н н ! ⋅ H (t) (\displaystyle (\frac (t^(n))(n}\cdot H(t)} !}	1 s n + 1 (\displaystyle (\frac (1)(s^(n+1))))	s > 0 (\displaystyle s>0)
2а.1	мощност q (\displaystyle q)-та поръчка	t q Γ (q + 1) ⋅ H (t) (\displaystyle (\frac (t^(q))(\Gamma (q+1)))\cdot H(t))	1 s q + 1 (\displaystyle (\frac (1)(s^(q+1))))	s > 0 (\displaystyle s>0)
2а.2	единична функция	H (t) (\displaystyle H(t)\ )	1 s (\displaystyle (\frac (1)(s)))	s > 0 (\displaystyle s>0)
2б	единична функция със закъснение	H (t − τ) (\displaystyle H(t-\tau)\ )	e − τ s s (\displaystyle (\frac (e^(-\tau s))(s)))	s > 0 (\displaystyle s>0)
2в	"бърза стъпка"	t ⋅ H (t) (\displaystyle t\cdot H(t)\ )	1 s 2 (\displaystyle (\frac (1)(s^(2))))	s > 0 (\displaystyle s>0)
2г	n (\displaystyle n)-ти ред с изместване на честотата	т н н ! e − α t ⋅ H (t) (\displaystyle (\frac (t^(n))(n}e^{-\alpha t}\cdot H(t)} !}	1 (s + α) n + 1 (\displaystyle (\frac (1)((s+\alpha)^(n+1))))	s > −α (\displaystyle s>-\alpha )
2г.1	експоненциално разпадане	e − α t ⋅ H (t) (\displaystyle e^(-\alpha t)\cdot H(t)\ )	1 s + α (\displaystyle (\frac (1)(s+\alpha )))	s > − α (\displaystyle s>-\alpha \ )
3	експоненциално приближение	(1 − e − α t) ⋅ H (t) (\displaystyle (1-e^(-\alpha t))\cdot H(t)\ )	α s (s + α) (\displaystyle (\frac (\alpha )(s(s+\alpha))))	s > 0 (\displaystyle s>0\ )
4	синусите	sin ⁡ (ω t) ⋅ H (t) (\displaystyle \sin(\omega t)\cdot H(t)\ )	ω s 2 + ω 2 (\displaystyle (\frac (\omega )(s^(2)+\omega ^(2))))	s > 0 (\displaystyle s>0\ )
5	косинус	cos ⁡ (ω t) ⋅ H (t) (\displaystyle \cos(\omega t)\cdot H(t)\ )	s s 2 + ω 2 (\displaystyle (\frac (s)(s^(2)+\omega ^(2))))	s > 0 (\displaystyle s>0\ )
6	хиперболичен синус	s h (α t) ⋅ H (t) (\displaystyle \mathrm (sh) \,(\alpha t)\cdot H(t)\ )	α s 2 − α 2 (\displaystyle (\frac (\alpha )(s^(2)-\alpha ^(2))))	s > | α | (\displaystyle s>|\alpha |\ )
7	хиперболичен косинус	c h (α t) ⋅ H (t) (\displaystyle \mathrm (ch) \,(\alpha t)\cdot H(t)\ )	s s 2 − α 2 (\displaystyle (\frac (s)(s^(2)-\alpha ^(2))))	s > | α | (\displaystyle s>|\alpha |\ )
8	експоненциално разпадащ се синусите	e − α t sin ⁡ (ω t) ⋅ H (t) (\displaystyle e^(-\alpha t)\sin(\omega t)\cdot H(t)\ )	ω (s + α) 2 + ω 2 (\displaystyle (\frac (\omega )((s+\alpha)^(2)+\omega ^(2))))	s > − α (\displaystyle s>-\alpha \ )
9	експоненциално разпадащ се косинус	e − α t cos ⁡ (ω t) ⋅ H (t) (\displaystyle e^(-\alpha t)\cos(\omega t)\cdot H(t)\ )	s + α (s + α) 2 + ω 2 (\displaystyle (\frac (s+\alpha )((s+\alpha)^(2)+\omega ^(2))))	s > − α (\displaystyle s>-\alpha \ )
10	корен n (\displaystyle n)-та поръчка	t n ⋅ H (t) (\displaystyle (\sqrt[(n)](t))\cdot H(t))	s − (n + 1) / n ⋅ Γ (1 + 1 n) (\displaystyle s^(-(n+1)/n)\cdot \Gamma \left(1+(\frac (1)(n) )\точно))	s > 0 (\displaystyle s>0)
11	натурален логаритъм	ln ⁡ (t t 0) ⋅ H (t) (\displaystyle \ln \left((\frac (t)(t_(0)))\right)\cdot H(t))	− t 0 s [ ln ⁡ (t 0 s) + γ ] (\displaystyle -(\frac (t_(0))(s))[\ln(t_(0)s)+\gamma ])	s > 0 (\displaystyle s>0)
12	Функция на Бесел първи вид поръчка n (\displaystyle n)	J n (ω t) ⋅ H (t) (\displaystyle J_(n)(\omega t)\cdot H(t))	ω n (s + s 2 + ω 2) − n s 2 + ω 2 (\displaystyle (\frac (\omega ^(n)\left(s+(\sqrt (s^(2)+\omega ^(2)) ))\right)^(-n))(\sqrt (s^(2)+\omega ^(2)))))	s > 0 (\displaystyle s>0\ ) (n > − 1) (\displaystyle (n>-1)\ )
13	първи вид поръчка n (\displaystyle n)	I n (ω t) ⋅ H (t) (\displaystyle I_(n)(\omega t)\cdot H(t))	ω n (s + s 2 − ω 2) − n s 2 − ω 2 (\displaystyle (\frac (\omega ^(n)\left(s+(\sqrt (s^(2)-\omega ^(2)) ))\right)^(-n))(\sqrt (s^(2)-\omega ^(2)))))	s > | ω | (\displaystyle s>|\omega |\ )
14	функция на Бесел втори вид нулев ред	Y 0 (α t) ⋅ H (t) (\displaystyle Y_(0)(\alpha t)\cdot H(t)\ )	− 2 a r s h (s / α) π s 2 + α 2 (\displaystyle -(\frac (2\mathrm (arsh) (s/\alpha))(\pi (\sqrt (s^(2)+\alpha ^(2))))))	s > 0 (\displaystyle s>0\ )
15	модифицирана функция на Бесел втори вид, нулев ред	K 0 (α t) ⋅ H (t) (\displaystyle K_(0)(\alpha t)\cdot H(t))
16	функция за грешка	e r f (t) ⋅ H (t) (\displaystyle \mathrm (erf) (t)\cdot H(t))	e s 2 / 4 e r f c (s / 2) s (\displaystyle (\frac (e^(s^(2)/4)\mathrm (erfc) (s/2))(s)))	s > 0 (\displaystyle s>0)
Бележки към таблицата: H (t) (\displaystyle H(t)\ ) ; α (\displaystyle \alpha \ ), β (\displaystyle \beta \ ), τ (\displaystyle \tau \ )И ω (\displaystyle \omega \ ) - Връзка с други трансформации Фундаментални връзки Трансформация на Мелин Трансформация на Мелини обратното преобразуване на Мелин са свързани с двустранното преобразуване на Лаплас чрез проста промяна на променливи. Ако в трансформацията на Мелин G (s) = M ( g (θ) ) = ∫ 0 ∞ θ s g (θ) θ d θ (\displaystyle G(s)=(\mathcal (M))\left\(g(\theta)\right \)=\int \limits _(0)^(\infty )\theta ^(s)(\frac (g(\theta))(\theta ))\,d\theta ) нека сложим θ = e − x (\displaystyle \theta =e^(-x)), тогава получаваме двустранното преобразуване на Лаплас. Z-трансформация Z (\displaystyle Z)-трансформацията е трансформацията на Лаплас на решетъчна функция, извършена чрез промяна на променливи: z ≡ e s T , (\displaystyle z\equiv e^(sT),) Борелова трансформация Интегралната форма на преобразуването на Борел е идентична с преобразуването на Лаплас, има и обобщено преобразуване на Борел, с помощта на което използването на преобразуването на Лаплас се разширява до по-широк клас функции. Библиография Ван дер Пол Б., Бремер Х.Оперативно смятане, базирано на двустранното преобразуване на Лаплас. - М.: Издателство за чуждестранна литература, 1952. - 507 с. Диткин В. А., Прудников А. П.Интегрални трансформации и операционно смятане. - М.: Основното издание на физико-математическата литература на издателство "Наука", 1974 г. - 544 с. Диткин В. А., Кузнецов П. И.Наръчник по операционно смятане: Основи на теорията и таблици с формули. - М.: Държавно издателство за техническа и теоретична литература, 1951. - 256 с. Карслоу Х., Джегър Д.Операционни методи в приложната математика. - М.: Издателство за чуждестранна литература, 1948. - 294 с. Кожевников Н. И., Краснощекова Т. И., Шишкин Н. Е.Редове на Фурие и интеграли. Теория на полето. Аналитични и специални функции. Трансформации на Лаплас. - М. : Наука, 1964. - 184 с. Краснов М. Л., Макаренко Г. И.оперативно смятане. Стабилност на движението. - М. : Наука, 1964. - 103 с. Микусински Я.Операторно смятане. - М.: Издателство за чуждестранна литература, 1956. - 367 с. Романовски П.И.Редица на Фурие. Теория на полето. Аналитични и специални функции. Трансформации на Лаплас. - М. : Наука, 1980. - 336 с.