Основната тригонометрична функция се описва от: - номер на хармоника.
Интервал на ортогоналност. Когато се нормализира по мощност, основната функция: Ω=2π\T
;
;
;
;
, A i - амплитуда на хармониците, Θ i - фаза
;
2. Декомпозиция на сигнали и шум по отношение на функциите на Walsh.
Функциите на Walsh са съставени от функции на Rademacher
,k=1,2...; 
sgn е знакова функция.
Интервалът - е разделен на 2 k интервала ∆T. В тях функцията Rademacher приема стойностите "+1" и "–1". (Функцията запазва своята ортогоналност.) wal 0 =1 е функцията на Walsh „0“ от първи ред.
Получаване на функция wal от по-високи порядъци (k=1,2,3…):
1) Запишете числото k в двоичната система
директен код. 
m е броят на кодовите битове, необходими за представяне на функциите на Walsh от k-ти ред, γ i е коефициент на тежест със стойности 1 или 0 (в зависимост от това дали този бит се взема предвид или не при сумиране).
2) Числото k се прекодира според правилото на кода на Грей.Кодът на комбинацията се добавя mod2 със същата комбинация, изместена с 1 цифра надясно. В този случай най-малко значимият бит се изхвърля, полученият код се нарича код на Уолш. 
3) Представяне f. Уолш в редица Родомахер: 
Това правило показва, че Уолш се получава чрез умножаване на функцията на Родомахер в определена комбинация с коефициента b i . За 4 км/ч. Изграждане на Walsh:
тази система се характеризира с подреждане на функциите във възходящ ред
брой знакови променливи на интервала. В тази система дори
спрямо средата на интервала се редуват с нечетни
брой промени на знака в интервала за четно f-то число
смяна на знака m/2 и за нечетни (m+1)/2.
-f. Уолш в ортогоналната система.
3. Геометрично представяне на сигнали и смущения.
Математическият обект A i е елемент от множеството A 1 .
ако върху обекта A i могат да се извършват линейни операции, тогава множеството A 1 принадлежи на линейното пространство, а неговите елементи A i са точки от това пространство.
Пространството има произволно измерение m.
Ако в такова пространство разстоянието m / y се определя от точки A i и A j, тогава пространството е метрично, а разстоянието m / y от началото и някаква точка е нормата и пространството е нормализирано. Съответно може да се определи нормата и разстоянието. В линейно нормирано пространство нормата е дефинирана във формата 
и разстояние 
-пространството се нарича евклидово.ifn→∞ - Хилбертово пространство.A i е вектор, дължината му е норма.
Тогава трептенето U i (t) може да бъде свързано с точката A i или вектора 
в n-мерно пространство, чиято размерност е равна на броя на степените на свобода на трептене u(t). Нека трептенията u a (t) и ub b (t) се разгънат по отношение на ортогонална система от функции φ i (t). 
,
Тези трептения ще съответстват на вектори 
с координати 
. Тяхната дължина 
. Отчитайки условието за ортогоналност или по-скоро ортонормалност. Дължината и нормата са еднакви. 
P a и P b са средната специфична мощност на трептенето. Дължината на вектора в n-мерното пространство се определя от ефективната стойност на съответното трептене
-Характеризира степента на близост. Разстоянието може да се разглежда като модул на разликата 
, колкото по-малка е тази стойност, толкова по-малка е разликата между m / y колебанията.
* - средната стойност на произведението на трептенията. 
**-ефективно взаимодействие на m / y трептения u a и u b.Взаимна мощност на трептения-P ab . 
, то изразите * и ** съвпадат.ако fu a и u b са ортогонални =0.Ако U a =–U b тогава P ab = – P a = – P b . Сигналът и шумът могат да бъдат представени като вектор. С геометричното представяне на кодирани сигнали. Широко използвано пространство с размери в неевклидова метрика. Разстоянието в това пространство се определя от алгоритъма 
,n е броят на елементите на комбинацията от този код, ax i и y i са стойностите на съответните цифри. Геометричният модел на n-цифрен двоичен код е n-мерен куб с ребро = 1, всеки от върховете на който представлява една от възможните комбинации. 000,001,010,100,101,110,011,111 Разстояние -. Кодиран сигнал под формата на n-измерен куб.
От (2.48) получаваме
(2.49)
Като вземем предвид, че функциите на Уолш са равни на ±1, записваме израз (2.49) във формата
(2.50)
където a n (k) = 0 или 1, определя знака на функцията на Walsh на интервала 
Примери за спектри на Уолш.
1. Спектър на Уолш на правоъгълен импулс s(t) = 1, 0 ≤ t ≤ t (фиг. 2.9)
От (2.50) намираме
Спектърът на Walsh на правоъгълен импулс зависи от връзката между m и T. За τ/T = 2 v, където v е положително цяло число, като се вземат предвид стойностите на функциите на Walsh, получаваме
Разширението на правоъгълен импулс във функции на Уолш има формата
Спектърът се състои от 2 V компоненти с еднакви амплитуди, равни на 1/2 V . Спектърът съдържа краен брой компоненти. При t/T≠ 2 V структурата на спектъра ще се промени.
2. Спектър на Уолш на триъгълен импулс (фиг. 2.10) При описание на триъгълен импулс
удобно е да се премине към безразмерното време x= t/T
В съответствие с (2.50) намираме:
Спектрите на Walsh с номериране на Harmuth и Paley са показани на фиг. 2.10, b и c.
3. Спектър на Walsh на синусоидален импулс (фиг. 2.11)
За синусоидален импулс
преминавайки към безразмерното време x = t/T, записваме 
От (2.50) в системата Harmut намираме (фиг. 2.11):
Спектрите на Walsh на разглеждания сигнал с номериране на Harmut и Paley са показани на фиг. 2.11.6 и c.
2.7A. Свойства на спектрите на Уолш
Когато се анализират сигнали с помощта на функциите на Walsh, е полезно да се вземат предвид свойствата на разлагането на сигнала в базиса на Walsh - спектрите на Walsh.
1. Спектърът на сумата от сигналите е равен на сумата от спектрите на всеки от сигналите.
Спектърът на сигнала в системата от функции на Уолш се определя от коефициентите на разширение (2.47). За сумата от сигнали коефициентите на разширение се определят от израза
(2.52)
където a pc - коефициентите на разширение на сигнала s k (t).
2. Умножаването на сигнала по функцията на Уолш с число n променя числата на коефициентите на разширение от k според закона за двоично изместване по модул две
3. Спектър на Walsh на произведението на сигналите s 1 (t) и s 2 (t). определен на интервала. Такива функции описват периодични сигнали с ограничена мощност.
За четна функция s(t), както следва от (3.2),
(3.3)
за нечетна функция s(t):
(3.4)
Обикновено, когато се анализират сигнали, разширението на s(t) се използва във формата
(3.5)
Периодичният сигнал се представя като сума от хармонични компоненти с амплитуди А n и начални фази.
Наборът от амплитуди (D,) определя амплитудния спектър, а наборът от начални фази (φ n) определя фазовия спектър на сигнала (фиг. 3.1, а). Както следва от (3.5), спектрите на периодичните сигнали са дискретни или линейни, честотният интервал на дискретизация е равен на честотата на сигнала ω 1 = 2π/Т.
Тригонометричният ред на Фурие може да бъде написан в сложна форма
(3.7)
(3.8)
Преходът от (3.1) към (3.7) е очевиден с оглед на формулата на Ойлер
(3.9)
Коефициентите с n обикновено са комплексни величини
Когато се използва комплексната форма на реда на Фурие, сигналът се определя от набора от комплексни амплитуди (с n). Модули на комплексни амплитуди |с n | описват амплитудния спектър, аргументите φ n - фазовия спектър на сигнала (фиг. 3.1.6).
Представяне на (3.8) във формата
(3.11)
Както следва от написаните изрази, амплитудният спектър има четна, а фазовият спектър има нечетна симетрия
(3.13)
От сравнението на изразите (3.2) и (3.11) следва
Като пример, разгледайте периодична последователност от правоъгълни импулси (фиг. 3.2, а). При разширяване на периодична последователност от правоъгълни импулси в тригонометрична серия на Фурие, от (3.2) получаваме амплитудните и фазовите спектри във формата (фиг. 3.2, b):
При използване на сложната форма на реда на Фурие 
от (3.8) следва:
Амплитудният и фазовият спектър на сигнала са равни
Пределната форма на реда на Фурие е интегралът на Фурие. Периодичен сигнал при T → ∞ става непериодичен. Замествайки (3.8) в (3.7), пишем
(3.16)
Анализ на хармоничен сигнал
Преобразувайки (3.16), като T→∞ (в този случай ω 1 → dω и Пω 1 = ω), получаваме
(3.17)
Интегралът на Фурие е написан в квадратни скоби; той описва спектралната плътност на сигнала
Изразът (3.17) приема формата
Записаните съотношения представляват директното и обратното преобразуване на Фурие. Използват се при хармоничен анализ на непериодични сигнали.
3.2. Хармоничен анализ на непериодични сигнали
Директното и обратното преобразуване на Фурие установяват едно-към-едно съответствие между сигнала (времевата функция, описваща сигнала s(t)) и неговата спектрална плътност S(ω):
(3.18)
Нека означим съответствието на Фурие:
(3.19)
Условието за съществуване на преобразуването на Фурие е абсолютната интегрируемост на функцията s(t)
(3.20)
В практическите приложения условието за интегрируемост на квадрата на тази функция е по-удобно
(3.21)
За реални сигнали условие (3.21) е еквивалентно на условие (3.20), но има по-очевидна физически смисъл: условие (3.21) означава ограничена енергия на сигнала. По този начин можем да считаме за възможно прилагането на трансформацията на Фурие към сигнали с ограничена енергия. Това са непериодични (импулсни) сигнали. За периодични сигнали хармоничното разширение
Техническите компоненти се произвеждат с помощта на серия на Фурие.
Функцията S(ω) като цяло е сложна
където Re, lm са реалната и имагинерната част на комплексната стойност; |s(w)|, φ(oo) - модул и аргумент на комплексна величина:
Модул на спектралната плътност на сигнала |S(ω)| описва разпределението на амплитудите на хармоничните компоненти по честота, се нарича амплитуден спектър. Аргументът φ(ω) дава разпределението на фазата по честота, наречено фазов спектър на сигнала. Амплитудният спектър е четна функция, а фазовият спектър е нечетна функция на честотата
Като вземем предвид формулата на Ойлер (3.9), записваме израза за S(ω) във формата
(3.24)
Ако s(t) е четна функция, то от (3.24) получаваме
(3.25)
Функцията S(ω), както следва от (3.25), е реална функция. Фазовият спектър се определя като
(3.26)
За нечетна функция s(t) от (3.24) получаваме
(3.27)
Функцията S(ω) е чисто въображаема, фазовият спектър
(3.28)
Всеки сигнал може да бъде представен като сбор от четни s h (t) и нечетни s H (t) компоненти
(3.29)
Възможността за такова представяне става ясна с оглед на следните равенства:
От (3.24) и (3.29) получаваме
(3.30)
Следователно за реалната и въображаемата част от спектралната плътност на сигнала можем да напишем:
Така реалната част от спектралната плътност представлява преобразуването на Фурие на четния компонент, имагинерната част - на нечетния компонент на сигнала. Реалната част от комплексната спектрална плътност на сигнала е четна, а имагинерната част е нечетна функция на честотата.
Спектрална плътност на сигнала при ω = 0
(3.31)
е равна на площта под кривата s(t).
Като примери получаваме спектрите на някои сигнали.
1. Правоъгълен импулс (фиг. 3.3, а)
където τ и - продължителност на импулса.
Спектрална плътност на сигнала
Графиките на амплитудните и фазовите спектри на сигнала са показани на фиг. 3.3, b, c.
2. Сигналът, описан от функцията
Спектралната плътност на сигнала се определя от израза 
Интегрирайки по части n-1 пъти, получаваме
Сигнал (фиг. 3.4, а)
има спектрална плътност
Графиките на амплитудните и фазовите спектри са показани на фиг. 3.4, b, c.
Сигнал (фиг. 3.5, а)
има спектрална плътност
Графики на амплитудния и фазовия спектър - фиг. 3.5, b, c.
Броят на примерите увеличава таблицата. 3.1.
Сравнението на (3.18) и (3.8) показва, че спектрална плътностединичен импулс при τ< Като се вземе предвид горната връзка, определянето на спектъра на периодичен сигнал в някои случаи може да се опрости с помощта на преобразуването на Фурие (3.18). Коефициентите на реда на Фурие се намират като където S(ω) е спектралната плътност на един импулс. По този начин, когато се определят амплитудните и фазовите спектри на периодичните сигнали, е полезно да се имат предвид следните равенства: Коефициентът 1/T може да се разглежда като честотен интервал между съседни компоненти на спектъра, а спектралната плътност като отношение на амплитудата на компонента на сигнала към честотния интервал, на който съответства амплитудата. Като се има предвид това, терминът "спектрална плътност" става по-разбираем. Непрекъснатите амплитудни и фазови спектри на единичен импулс са обвивки на дискретни амплитудни и фазови спектри на периодична последователност от такива импулси. С помощта на съотношенията (3.33) резултатите, дадени в табл. 3.1 може да се използва за определяне на спектрите на периодични импулсни серии. Този подход е илюстриран със следните примери. 1. Периодична последователност от правоъгълни импулси (Таблица 3.1, т. 1), фиг. 3.2. Писменият израз повтаря резултата от примера т.3.1. 2. Периодична последователност от меандърни импулси (Таблица 3.1, т. 2), фиг. 3.6, фиг. 3.2. 3. Периодична последователност от експоненциални импулси (Таблица 3.1, т. 8), фиг. 3.7. Таблица 3.1 Сигнали и техните спектри 3.3. Честотни спектри на сигнали, представени като обобщен ред на Фурие Когато се представя сигнал като обобщен ред на Фурие, е полезно да има преобразуване на Фурие на базисните функции. Това ще ни позволи да преминем от спектъра в основата на различни ортогонални системи към честотния спектър. По-долу са дадени примери за честотните спектри на някои типове сигнали, описани от базисните функции на ортогоналните системи. 1. Сигнали на Лежандре. Преобразуването на Фурие на полинома на Лежандр (раздел 2) има формата n= 1,2, ... - полином на Лежандр; Използвайки (3.34), от сигнала, представен като серия с коефициенти Изразът (3.35) описва спектралната плътност на сигнала s(f) като серия. Графиките на компонентите на спектъра с номера 1 - 3 са показани на фиг. 3.8. 2. Сигнали на Лагер. Преобразуването на Фурие на функцията на Лагер има формата n= 1,2,... са функциите на Лагер. Използвайки (3.36), от сигнала, представен като поредица от разширения в полиноми на Лагер (раздел 2) с коефициенти можете да отидете на спектралната плътност на сигнала 3. Сигнали на Ермит. Преобразуването на Фурие на функцията на Ермит има формата От (3.38) следва, че функциите на Ермит имат свойството трансформируемост, т.е. функциите и техните преобразувания на Фурие са равни (с точност до постоянни коефициенти). Използвайки (3.38), от сигнала, представен като серия от разширения по отношение на полиноми на Ермит с коефициенти можете да отидете на спектралната плътност на сигнала 4. Сигнали на Уолш. Честотните спектри на сигналите на Уолш (сигнали, описани от функции на Уолш) се определят от следното преобразуване на Фурие: където wal(n,x) е функцията на Walsh. Тъй като функциите на Уолш имат N сегмента с постоянни стойности, където x k е стойността на x на k-тия интервал. От (3.41) получаваме Където Тъй като функциите на Walsh приемат стойности ±1, тогава (3.42) може да се запише като където a n (k) = 0 или 1 определя знака на функцията wal(n,x k). На фиг. 3.9 показва графиките на амплитудните спектри на първите шест сигнала на Walsh. 3.4. Спектри на сигнали, описани с неинтегрируеми функции Преобразуването на Фурие съществува само за сигнали с крайна енергия (за които условието (3.21) е изпълнено). За да се разшири класът от сигнали, анализирани с помощта на преобразуването на Фурие, позволява чисто формална техника, базирана на въвеждането на концепцията за спектрална плътност за импулсната функция. Нека да разгледаме някои от тези сигнали. 1. Импулсна функция. Импулсната функция (или δ - функция) се определя като Дефиницията на импулсната функция предполага нейното филтриращо свойство Ние дефинираме спектралната плътност на импулсната функция като Амплитудният спектър е равен на единица, фазовият спектър е φ(ω) = ωt 0 (фиг. 3.10). Обратното преобразуване на Фурие дава По аналогия с (3.47) за честотната област записваме Използвайки получените изрази, определяме спектралните плътности на някои типове сигнали, описани от функции, за които няма преобразуване на Фурие. 2. Постоянен сигнал s(t) = s 0 . Като вземем предвид (3.48), получаваме (фиг. 3.11) 3. Хармоничен сигнал. Спектралната плътност на сигнала ще бъде получена, като се вземе предвид (3.48), във формата За φ = 0 (фиг. 3.12) За сигнал по аналогия с (3.52) намираме 4. Функция за една стъпка. Единичната стъпкова функция σ(t) ще се разглежда като ограничаваща форма на експоненциалния импулс Ние представяме експоненциалния импулс като сбор от четните и нечетните компоненти (3.29) В съответствие със спектралния метод за анализиране на преминаването на сигнали през линейни вериги, всеки случаен сигнал С(T) могат да бъдат представени като безкрайна сума от елементарни аналитично идентични детерминистични сигнали: Чрез прилагане към входа на линейна верига (фиг. 1.14), чийто коефициент на предаване е равен на елементарен детерминиран сигнал, можете да намерите елементарния отговор на веригата, т.е. сигнала на изхода на веригата . Фиг.2.3.За определяне на сигнала на изхода на линейна верига .
Сигналът на изхода на линейната верига е Тъй като принципът на суперпозиция е валиден за линейни вериги, резултатният отговор ще бъде равен на: Функциите, описващи елементарни сигнали, се наричат основни функции. Представянето на сигнал чрез базисни функции е опростено, ако те са ортогонални и ортонормални. Наборът от характеристики се нарича ортогонален ,
Ако в диапазона от до И ортонормално ,
Ако условието е изпълнено за всички Ортогоналността на базисните функции, с които е представен оригиналният сигнал, е гаранция, че представянето на сигнала може да се извърши по уникален начин. Условието за ортогоналност съответства на хармоничните функции на множество честоти, както и на функциите на Уолш, които в сегмента на тяхното съществуване от до приемат само стойности, равни на 1, дискретни сигнали на Баркър и някои други функции. Спектралният метод за анализ на сигнала се основава на преобразуване на Фурие и се състои в замяна на сложната времева функция, която описва сигнала, със сумата от прости хармонични сигнали, които формират честотния спектър на този сигнал. Известният френски физик и математик Ж. Б. Фурие (1768 - 1830) доказва, че всяка промяна във времето на определена функция може да бъде апроксимирана като крайна или безкрайна сума от поредица от хармонични трептения с различни амплитуди, честоти и начални фази. Тази функция може да бъде ток или напрежение в електрическа верига. Разгледайте първо представянето на периодичен електрически сигнал (фиг. 2.4), който отговаря на условието където: — период на сигнала; =1,2,3,…. Ориз. 2.4.периодичен сигнал Нека представим този сигнал като безкраен тригонометричен ред: Този ред се нарича ред на Фурие. Възможно е редът на Фурие да се напише в друга форма: Където: - кръгова честота; Отделните членове на серията се наричат хармоници. .
Числото е хармоничното число. Наборът от величини в редицата (2.15) се нарича спектър на амплитудите, а наборът от величини се нарича спектър на фазите. По-долу на фиг. 2.5 показва амплитудния и фазовия спектър на периодичен сигнал. Вертикалните сегменти на амплитудния спектър представляват амплитудите на хармониците и се наричат спектрални линии.
Фиг. 2.5.Амплитудни и фазови спектри на периодичен сигнал По този начин спектърът на периодичен сигнал –
Правил .
Всеки периодичен сигнал има добре дефинирани амплитудни и фазови спектри. Сумата от серията (2.15) е безкрайна, но, започвайки от определено число, амплитудите на хармониците са толкова малки, че могат да бъдат пренебрегнати и практически реалният периодичен сигнал е функция с ограничен спектър. Честотният интервал, съответстващ на ограничения спектър, се нарича ширина на спектъра. Ако функцията, описваща периодичния сигнал, е четна, тогава сумата от редовете (2.14) ще съдържа само косинусови компоненти. Ако е нечетна функция, тогава сумата ще съдържа само синусоидални компоненти. Също така е възможно да се представи периодичен сигнал под формата на сложна серия на Фурие: След заместване на стойностите и , получаваме: Ако заместим получената стойност в редица (1.29), тогава тя се превръща в идентичност. По този начин периодичен електрически сигнал може да бъде определен или като функция на времето, или като комплексна амплитуда на спектъра. 2.2.1. Спектър на периодична последователност от правоъгълни импулси Съставът на спектъра на периодична последователност от правоъгълни импулси зависи от стойността на съотношението на периода на последователността към продължителността на импулса, наречен работен цикъл на импулсите. Спектърът няма да съдържа хармоници с числа, кратни на работния цикъл на импулсите. Коефициентът на запълване на импулсите е . Фигура 1.17 показва три импулсни последователности с различни работни цикли и съответните им спектри. За периодична последователност, чийто работен цикъл е равен на 2, в спектъра няма 2-ри, 4-ти, 6-ти, 8-ми и т.н. хармоници. За последователност, чийто работен цикъл е 3, няма 3-ти, 6-ти и т.н. хармоници в спектъра. За последователност, чийто работен цикъл е 4, няма 4-ми, 8-ми и т.н. хармоници в спектъра. Във всички дадени спектри интервалът между спектралните линии е равен на реципрочната стойност на периода на последователността. Точките на честотната ос, в които спектърът е равен на нула, съответстват на реципрочната стойност на продължителността на импулса на периодичните последователности. Фиг.2.6.Периодични последователности от импулси и техните спектри. 2.2.2. Спектър на непериодичен сигнал Когато разглеждаме спектъра на непериодичен сигнал, използваме преминаването до границата от периодичен сигнал към непериодичен сигнал, като периодът клони към безкрайност. За периодичния сигнал, показан на фиг. 2.4, изразът (2.17) е получен преди това за комплексната амплитуда на спектъра: Нека въведем обозначението: Нека изградим модула на спектъра: Разстоянието между спектралните линии е . Ако увеличите периода, тогава интервалът w1 ще намалее. При , интервалът между спектралните линии е w1® dw. В този случай периодичната последователност от импулси се превръща в единичен импулс и модулът на спектъра клони към непрекъсната функция на честотата. В резултат на преминаването към границата от периодичен сигнал към непериодичен, линейният спектър се изражда в непрекъснат спектър, показан на фиг. 2.8. Ориз. 2.8.Спектър на непериодичен сигнал В този случай комплексната амплитуда е равна на: Като се вземе предвид преминаването до границата при Нека заместим получения израз в ред (2.16). В този случай сумата се трансформира в интеграл, а стойностите на дискретните честоти в стойността на текущата честота и непериодичния сигнал могат да бъдат представени, както следва: Този израз съответства на обратното преобразуване на Фурие. Обвивката на непрекъснатия спектър на единичен импулс съвпада с обвивката на линейния спектър на периодична функция, представляваща периодичното повторение на този импулс. Интегралът на Фурие позволява всяка непериодична функция да бъде представена като сума от безкраен брой синусоидални трептения с безкрайно малки амплитуди и безкрайно малък интервал на честота. Спектърът на сигнала се определя от израза Този интеграл съответства на директното преобразуване на Фурие. е сложен спектър, той съдържа информация както за амплитудния спектър, така и за фазовия спектър. По този начин спектърът на непериодична функция е непрекъснат. Можем да кажем, че съдържа "всички" честоти. Ако изрежем малък интервал от честоти от непрекъснатия спектър, тогава честотите на спектралните компоненти в този раздел ще се различават толкова малко, колкото желаете. Следователно спектралните компоненти могат да се добавят, сякаш всички те имат една и съща честота и еднакви комплексни амплитуди. Спектралната плътност е отношението на комплексната амплитуда на малък честотен интервал към стойността на този интервал. Спектралния анализ на сигналите е от основно значение в радиоелектрониката. Информацията за спектъра на сигнала ви позволява разумно да изберете честотната лента на устройствата, засегнати от този сигнал. 2.2.3. Спектър на единичен правоъгълен видео импулс Нека изчислим спектъра на единичен правоъгълен импулс, чиято амплитуда е равна на д, а продължителността е t, показано на фиг. 2.9. Ориз. 2.9.Единична квадратна вълна В съответствие с израз (2.24), спектърът на такъв сигнал е равен на Тъй като = 0, когато , тогава честотите, при които спектърът изчезва, са , където К=1,2,3… На фиг. 2.10 е показан комплексният спектър на единичен правоъгълен импулс с продължителност . Фиг.2.10.Спектър на единичен правоъгълен импулс Спектралната плътност определя разпределението на енергията в спектъра на единичен импулс. Като цяло разпределението на енергията е неравномерно. Равномерното разпределение е характерно за хаотичен процес, наречен "бял шум". Спектралната плътност на импулса при нулева честота е равна на неговата площ. Приблизително 90% от енергията на единичен правоъгълен импулс е концентрирана в спектъра, чиято ширина е дадена от Съотношението (1.41) определя изискванията за честотната лента на радиоустройството. При задачи, при които формата на сигнала е от второстепенно значение, честотната лента на устройството за този сигнал може да бъде избрана равна на ширината на първия лоб от спектъра. В този случай степента на изкривяване на формата на вълната е неизвестна. Удвояването на честотната лента само с 5% ще увеличи енергията на сигнала, като същевременно ще увеличи нивото на шума. 1. Спектърът на синусоида (фиг. 14.14, а) в основата на функциите на Уолш. В този случай е препоръчително интервалът на разширение да се приравни към стойността на T. Преминавайки към безразмерно време, записваме колебанието във формата Нека се ограничим до 16 функции и първо избираме реда на Уолш. Тъй като дадената функция е нечетна по отношение на точката, всички коефициенти за четни функции на Уолш в редица (14.27), т.е. за са равни на нула. Тези от останалите осем функции, които съвпадат с функциите на Радемахер и имат периодичност в рамките на интервала, водят до нулев коефициент поради паритет в посочените интервали. И така, само четири коефициента от 16 не са равни на нула: A (1), A (5), A (9) и A (13). Нека определим тези коефициенти по формулата (14.28). Интеграндите, които са продукти на сигналите (виж фиг. 14.14, а) и съответната функция са показани на фиг. 14.14, b - д. Интегрирането на парчета на тези продукти дава Спектърът на разглеждания сигнал в основата на функциите на Walsh (подредени по Walsh) е показан на фиг. 14.15 сутринта Ориз. 14.14. Стробиране на сегмент от синусоида с функции на Уолш Ориз. 14.15. Спектри на синусоида в основата на функциите на Walsh, подредени по Walsh (a), Paley (b) и Hadamard (c). основен размер Когато се подреди според Paley и Hadamard, спектърът на същия сигнал приема формата, показана на фиг. 14.15, b и c. Тези спектри са получени от спектъра на фиг. 14.15, но чрез пренареждане на коефициентите в съответствие с таблицата (виж фиг. 14.13), показваща връзката между начините за подреждане на функциите на Walsh (за). За да се намалят изкривяванията при възстановяване на трептенията чрез ограничен брой функции на Walsh, трябва да се даде предпочитание на подреждането, което осигурява монотонно намаляване на спектъра. С други думи, най-доброто подреждане е, когато всеки следващ спектрален компонент не е по-голям (по модул) от предишния, т.е. В този смисъл най-доброто подреждане при представяне на сегмент от синусоида, както следва от фиг. 14.15 е подреждането на Пейли, а най-лошото е подреждането на Адамар. Възстановяването на оригиналния сигнал (виж фиг. 14.14, а) с шестнадесет функции на Уолш е показано на фиг. 14.16 (дванадесет спектрални коефициента са нулеви) Разбира се, тази конструкция не зависи от начина, по който са подредени функциите. Очевидно е, че за по-задоволително приближение на синусоидално трептене в базата на Walsh е необходимо значително увеличаване на броя на спектралните компоненти. Извън интервала (0,1), серията (14.27), както е отбелязано в § 14.4, описва периодично продължение, в този пример, хармонична функция. 2. Спектърът на хармоничните трептения (фиг. 14.17) в основата на функциите на Walsh. Както в предишния пример, разглежда се един цикъл на хармонично трептене с период. Преминавайки към безразмерно време, записваме трептенето във формата Спектърът на Уолш на функция е дефиниран в Пример 1. Дефиницията на спектъра на функция на интервала е напълно подобна
(3.32)
(3.34)
е функцията на Бесел.
(3.35)
(3.36)
(3.37)
(3.38)
n= 1,2,... са функции на Ермит.
(3.39)
(3.40)
(3.43)
(3.44)
(3.45)
(3.46)
(3.48)
(3.49)
(3.53)
(3.55)
(2.8)
(2.9)
(2.10)
при (2.11)
. (2.12)
, (2.13)
, (2.15)
е модулът на хармоничните амплитуди;
— фази на хармоници;
са коефициентите на косинусовите компоненти; 
са коефициентите на синусоидалните компоненти; 
- средна стойност на сигнала за периода (постоянен компонент) .
, (2.16)
са комплексните амплитуди на спектъра, съдържащи информация както за амплитудния, така и за фазовия спектър.
(2.17)
(2.18)
(2.19)
Ориз. 2.7.Модул на спектъра на периодичния сигнал
. (2.20)
(2.21)
. (2.22)
=. (2.24)
Зареждане...