Мишена: Овладяване на техниката за синтезиране на линейни филтри (нискочестотни, високочестотни и лентови) на базата на максимално плоски и Чебишевски приближения.
Кратка теоретична информация: Тази работа изисква умение за анализ Различни видовелинейни вериги и намерете основните им характеристики (коефициент на предаване на честотата, предавателна функция и нейните полюси); познаване на принципите на синтез на линейни нискочестотни филтри на базата на максимално плоски и Чебишевски приближения и принципите на преход от известни нискочестотни филтърни вериги към високочестотни филтърни вериги и лентови филтри.
Нискочестотните филтри са предназначени за предаване с минимално затихване на трептения, чиито честоти не надвишават определена гранична честота, която се нарича гранична честота, докато трептенията с честоти, по-големи от граничната честота, трябва да бъдат значително отслабени.
Свойства на предавателната функция на четириполюсник :
Полюсите на предавателната функция на четириполюсника трябва да са разположени в лявата полуравнина на комплексната честота p. Те могат да бъдат реални или да образуват сложни спрегнати двойки.
Броят на полюсите на предавателната функция винаги трябва да надвишава броя на нулите.
За разлика от полюсите, нулите на предавателната функция могат да бъдат разположени във всяка полуравнина, т.е. по цялата равнина на комплексната честота p.
Етапи на синтез на филтри :
Формулиране на технически изисквания към характеристиките на филтрите в зависимост от зададената честотна лента. В този случай не се налагат ограничения върху структурата на филтъра. Този подход се нарича синтез според дадена честотна характеристика. Като правило, идеалната характеристика не е осъществима на практика.
Апроксимация на идеална характеристика с помощта на такава функция, която може да принадлежи на физически осъществима верига.
Реализация на избраната апроксимирана функция и получаване електрическа схемафилтър със стойностите на съставните му елементи.
Най-разпространени са два вида апроксимация: максимално плоска и Чебишевска.
Максимално плоско приближение се основава на използването на функцията на коефициента на пренос на честота на мощността, дадена като:
Където 
е безразмерната нормализирана честота.
Филтър, чиято честотна характеристика удовлетворява такава функция, се нарича филтър с максимална плоска реакция или филтър на Бътъруърт.
Процедурата на синтез започва с определяне на полюсите на трансферната функция на филтъра, за което е необходимо да се премине към нормализираната комплексна честота Р ни определете полюсите на функцията за усилване на мощността на честотния филтър:
;
В общия случай корените на това уравнение могат да бъдат определени с помощта на формулата на Moivre (изчисляване на корените нта степен от комплексно число). В този случай е необходимо да се вземе предвид стойността на фазата на комплексното число z= - 1 (=).
При намиране на корените на това уравнение за всеки ред на филтъра нтрябва да се направи следното общ
редовност:
всички полюси са разположени на еднакво ъглово разстояние един от друг и това разстояние винаги е равно на 
; Ако не нечетно, тогава първият полюс винаги е 1 ако не четен, тогава първият полюс 
.
Използвайки свойството на квадрантната симетрия на местоположението на полюсите на функцията на честотния коефициент на предаване на мощността и условията на стабилност и физическа осъществимост на четириполюсите, за трансферната функция на филтъра е необходимо да изберете само онези полюси, които са разположени в лявата полуравнина на комплексната честота и запишете за тях представяне с нулев полюстрансферна функция.
Електрическите филтри са четиритерминални мрежи, които с незначително затихване ∆A предават трептения в определени честотни диапазони f 0 ... f 1 (ленти на пропускане) и практически не предават трептения в други диапазони f 2 ... f 3 (стоп или ленти без предаване).
Ориз. 2.1.1. Нискочестотен филтър (LPF). Ориз. 2.1.2. Високочестотен филтър (HPF).
Има много различни видове изпълнения на електрически филтри: пасивни LC филтри (веригите съдържат индуктивни и капацитивни елементи), пасивни RC филтри (веригите съдържат резистивни и капацитивни елементи), активни филтри (веригите съдържат операционни усилватели, резистивни и капацитивни елементи), вълновод, цифрови филтри и др. Сред всички видове филтри LC филтрите заемат специално място, тъй като се използват широко в телекомуникационното оборудване в различни честотни диапазони. Съществува добре установена техника за синтез на филтри от този тип и синтезът на други видове филтри до голяма степен използва това
методология. Следователно, в срочна писмена работафокусът е върху синтеза
Ориз. 2.1.3. Лентово пропускащ филтър (PF). пасивни LC филтри.
Задачата на синтезаелектрически филтър е да се определи филтърна верига с минималния възможен брой елементи, честотна характеристикакоето би задоволило даденото Технически изисквания. Често се поставят изисквания към работната характеристика на затихване. На фигури 2.1.1, 2.1.2, 2.1.3 изискванията за работно затихване са дадени чрез нивата на максимално допустимото затихване в лентата на пропускане A и нивата на минималното допустимо затихване в лентата на спиране As. Задачата на синтеза е разделена на два етапа: проблем с приближениетоизисквания за оперативно затихване чрез физически изпълнена функция и задача за изпълнениенамерена апроксимираща функция чрез електрическа верига.
Решението на проблема с апроксимацията се състои в намирането на такава функция от минималния възможен ред, която, първо, да удовлетворява определените технически изисквания за честотната характеристика на филтъра и, второ, да отговаря на условията за физическа осъществимост.
Решението на проблема с внедряването е да се определи електрическа верига, чиято честотна характеристика съвпада с функцията, получена в резултат на решаването на задачата за приближаване.
2.1. ОСНОВИ ЗА СИНТЕЗ НА ФИЛТРИ ПО РАБОТНИ ПАРАМЕТРИ.
Нека разгледаме някои отношения, характеризиращи условията за пренос на енергия през електрически филтър. По правило електрическият филтър се използва в условия, когато устройствата са свързани от страната на входните му клеми, които могат да бъдат представени в еквивалентната схема като активна двутерминална мрежа с параметри E(jω), R1 и представени устройства на еквивалентната схема са свързани от страната на изходните клеми резистивно съпротивление R2. Схемата за включване на електрическия филтър е показана на фигура 2.2.1.
Фигура 2.2.2 показва диаграма, в която вместо филтър и съпротивление R2, към еквивалентен генератор (с параметри E(jω), R1) е свързано товарно съпротивление, чиято стойност е равна на съпротивлението на генератора R1. Както знаете, генераторът доставя максимална мощност на резистивен товар, ако съпротивлението на натоварване е равно на съпротивлението на вътрешната загуба на генератора R1.
Преминаването на сигнал през мрежа с четири терминала се характеризира с работеща предавателна функция T(jω). работещ Функция на предаваневи позволява да сравните мощността S 0 (jω), подадена от генератора към товара R1 (в съответствие с неговите собствени параметри), с мощността S 2 (jω), подадена към товара R2 след преминаване през филтъра:
Аргументът на работната предавателна функция arg(T(jω)) характеризира фазовото съотношение между емф. E(jω) и изходно напрежение U 2 (jω). Нарича се константа на прехвърляне на работната фаза (означена с гръцката буква "бета"):
Когато енергията се предава през мрежа с четири терминала, промените в мощността, напрежението и тока в абсолютна стойност се характеризират с модула на работната трансферна функция. При оценката на селективните свойства на електрическите филтри се използва мярка, която се определя от логаритмична функция. Тази мярка е работното затихване (означено с гръцката буква "алфа"), което е свързано с модула на работната трансферна функция чрез съотношенията:
, (Np); или (2.2)
, (dB). (2.3)
Когато се използва формула (2.2), работното затихване се изразява в непери, а когато се използва формула (2.3), в децибели.
Стойността се нарича работна константа на предаване на четириполюсника (означена с гръцката буква "гама"). Работната трансферна функция може да бъде представена с помощта на работното затихване и работната фаза като:
В случай, когато съпротивлението на вътрешните загуби на генератора R1 и съпротивлението на натоварване R2 са резистивни, мощностите S 0 (jω) и S 2 (jω) са активни. Удобно е да се характеризира преминаването на мощността през филтъра, като се използва коефициентът на пренос на мощност, дефиниран като съотношението на максималната мощност P max, получена от генератора от товар, съответстващ на него, към мощността P 2, влизаща в товара R2:
Реактивната четиритерминална мрежа не консумира активна мощност. Тогава активната мощност P 1, дадена от генератора, е равна на мощността P 2, консумирана от товара:
Нека изразим стойността на модула на входния ток: и го заместваме в (2.5).
Използвайки алгебрични трансформации, представяме (2.5) във формата:
Представяме числителя на дясната страна на уравнението във формата:
Лявата страна на уравнение (2.6) е реципрочната стойност на съотношението на пренос на мощност:
Следният израз е коефициентът на отражение на мощността от входните клеми на четириполюсник:
Коефициентът на отражение (напрежение или ток) от входните клеми на четиритерминалната мрежа, равен на
характеризира съвпадението на входния импеданс на филтъра със съпротивлението R1.
Пасивната мрежа с четири терминала не може да осигури усилване на мощността, т.е.
Следователно за такива вериги е препоръчително да се използва спомагателната функция, дефинирана от израза:
Нека представим работното затихване в различна форма, по-удобна за решаване на проблема със синтеза на филтъра:
Очевидно естеството на честотната зависимост на работното затихване е свързано с честотната зависимост на функцията, наречена филтрираща функция: нулите и полюсите на филтриращата функция съвпадат с нулите и полюсите на затихването.
Въз основа на формули (2.7) и (2.9) е възможно да се представи коефициентът на отражение на мощността от входните клеми на четириполюсника:
Нека да преминем към писане на операторни изображения според Лаплас, като вземем предвид, че p = jω, а също и че квадратът на модула на комплексна стойност се изразява, например, . Изразът (2.10) в операторна форма има вида
Операторните изрази , , са рационални функции на комплексната променлива "p" и следователно могат да бъдат записани като
където , , - са полиноми, например:
От формула (2.11), като вземем предвид (2.12), можем да получим връзката между полиномите:
На етапа на решаване на апроксимационния проблем се определя изразът на филтриращата функция, т.е. се определят полиномите h(p), w(p); от уравнение (2.13) може да се намери полиномът v(p).
Ако израз (2.8) се представи в операторна форма, тогава функцията на входния импеданс на филтъра може да се получи в операторна форма:
Условията за физическа реализация са както следва:
1. v(p) - трябва да е полином на Хурвиц, т.е. корените му да са разположени в лявата половина на равнината на комплексната променлива p=α+j Ω (изискването за стабилност на веригата);
2. w(p) - трябва да бъде четен или нечетен полином (за LPF w(p) - четен, така че да няма полюс на затихване при ω=0; за HPF w(p) - нечетен);
3. h(p) е всеки полином с реални коефициенти.
2.2. РЕГУЛАЦИЯ ЗА СЪПРОТИВЛЕНИЕ И ЧЕСТОТА.
Числените стойности на параметрите на елементите L, C, R и граничните честоти на реалните филтри могат да приемат в зависимост от спецификации, различни стойности. Използването едновременно на малки и големи количества в изчисленията води до значителна грешка в изчисленията.
Известно е, че характерът на честотните зависимости на филтъра не зависи от абсолютните стойности на коефициентите на функциите, които описват тези зависимости, а се определя само от техните съотношения. Стойностите на коефициентите се определят от стойностите на параметрите L, C, R на филтрите. Следователно нормализацията (промяна със същия брой пъти) на коефициентите на функциите води до нормализиране на стойностите на параметрите на филтърните елементи. По този начин, вместо абсолютните стойности на съпротивленията на филтърните елементи, те се вземат относителни стойности, отнасящо се до съпротивлението на натоварване R2 (или R1).
Освен това, ако стойностите на честотата се нормализират спрямо граничната честота на честотната лента (тази стойност се използва най-често), това допълнително ще стесни разпространението на стойностите, използвани в изчисленията, и ще увеличи точността на изчисления. Нормализираните честотни стойности са записани във формата и са безразмерни величини, а нормализираната стойност на граничната честота на честотната лента .
Например, помислете за съпротивлението на последователно свързани елементи L, C, R:
Номинално съпротивление: .
Нека въведем нормализираните честотни стойности в последния израз: където нормализираните параметри са: .
Истинските (денормализирани) стойности на параметрите на елемента се определят от:
Чрез промяна на стойностите на f 1 и R2 е възможно да се получат нови вериги от устройства, работещи в други честотни диапазони и при други натоварвания от оригиналната верига. Въвеждането на нормализиране направи възможно създаването на каталози от филтри, което в много случаи намалява трудния проблем на синтеза на филтъра до работа с таблици.
2.3. ИЗГРАЖДАНЕ НА ДУАЛНИ СХЕМИ.
Двойните величини, както е известно, са съпротивление и проводимост. За всяка верига на електрически филтър може да се намери двойна верига. В този случай входното съпротивление на първата верига ще бъде равно на входната проводимост на втората, умножена по коефициента. Важно е да се отбележи, че работната трансферна функция T(p) и за двете схеми ще бъде една и съща. Пример за изграждане на двойна верига е показан на фигура 2.3.
Такива трансформации често се оказват удобни, тъй като позволяват да се намали броят на индуктивните елементи. Както знаете, индукторите, в сравнение с кондензаторите, са обемисти и нискокачествени елементи.
Определят се нормализираните параметри на елементите на двойната верига (когато =1):
2.4. ПРИБЛИЖЕНИЕ НА ЧЕСТОТНИТЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ.
Фигури 2.1.1 - 2.1.3 показват графиките на работните функции на затихване на нискочестотен филтър (LPF), високочестотен филтър (HPF), лентов филтър (BPF). Същите графики показват нивата на необходимото затихване. В лентата на пропускане f 0 ... f 1 е зададена максимално допустимата стойност на затихване (така наречената неравномерност на затихване) ΔА; в лентата на спиране f 2 …f 3 се задава минимално допустимата стойност на затихване A S; в преходната област на честотите f 1 ... f 2 не се налагат изисквания за затихване.
Преди да продължите с решаването на проблема с приближението, изискваните характеристики на работното затихване по честота се нормализират, например за нискочестотен филтър и високочестотен филтър:
Желаната апроксимираща функция трябва да отговаря на условията за физическа осъществимост и достатъчно точно да възпроизвежда необходимата честотна зависимост на работното затихване. Съществуват различни критерии за оценка на апроксимационната грешка, на които се основават различни видове апроксимация. В задачите за апроксимация на амплитудно-честотните характеристики най-често се използват критериите за оптималност на Тейлър и Чебишев.
2.4.1. Апроксимация по критерия на Тейлър.
В случай на прилагане на критерия на Тейлър желаната апроксимираща функция има следната форма (нормализирана стойност):
където е квадратът на модула на филтриращата функция;
– редът на полинома (приема цяло число);
ε е коефициентът на неравномерност. Стойността му е свързана със стойността на ∆A - неравномерността на затихване в лентата на пропускане (фиг. 2.4). Тъй като при граничната честота на лентата на пропускане Ω 1 =1, следователно
Филтрите с честотни зависимости на затихването (2.16) се наричат филтри с изключително плоски характеристики на затихване, или филтри с Характеристики на Бътъруърт, който пръв използва апроксимация по критерия на Тейлър при решаване на задачата за синтез на филтри.
Редът на апроксимиращата функция се определя въз основа на условието, че при граничната честота на лентата на спиране Ω 2 работното затихване надвишава минималната допустима стойност:
Където . (2.19)
Тъй като редът на полинома трябва да е цяло число, получената стойност
Фиг.2.4. закръглено до най-близкото по-високо
цяло число.
Изразът (2.18) може да бъде представен в операторна форма с помощта на трансформацията jΩ→ :
Нека намерим корените на многочлена: , откъдето
K = 1, 2, …, NB (2.20)
Корените приемат комплексно спрегнати стойности и са разположени на окръжност с радиус. За да се формира полиномът на Хурвиц, е необходимо да се използват само онези корени, които се намират в лявата половина сложна равнина:
Фигура 2.5 показва пример за поставяне в комплексната равнина на корените на полином от 9-ти ред с отрицателна реална компонента. Модул квадрат
Ориз. 2.5. филтрираща функция, съгласно (2.16), е равна на:
Полином с реални коефициенти; е полином от четен ред. По този начин условията за физическа реализируемост са изпълнени.
2.4.2. Апроксимация по критерия на Чебишев.
При използване на степенни полиноми Ω 2 N B за апроксимация на Тейлър се получава добра апроксимация на идеалната функция в близост до точката Ω=0, но за да се осигури достатъчна стръмност на апроксимиращата функция за Ω>1, е необходимо да се увеличи редът на полинома (и, следователно, реда на схемата).
Най-добрата стръмност в областта на честотата на прехода може да се получи, ако като апроксимираща изберем не монотонна функция (фиг. 2.4), а функция, която осцилира в диапазона от стойности 0 ... ΔА в лентата на пропускане на 0<Ω<1 (рис. 2.7).
Най-доброто приближение по критерия на Чебишев се осигурява от използването на полиномите на Чебишев P N (x) (фиг. 2.6). В интервала -1< x < 1 отклонения аппроксимирующих функций от нулевого уровня равны ±1 и чередуются по знаку.
В интервала -1< x < 1 полином Чебышёва порядка N описывается выражением
P N (x) = cos(N arccos(x)), (2.21)
за N=1 P 1 (x) = cos(arccos(x)) = x,
за N=2 P 2 (x) = cos(2 arccos(x)) = 2 cos 2 (arccos(x)) – 1 = 2 x 2 – 1,
за N≥3, полиномът P N (x) може да се изчисли с помощта на рекурентната формула
P N +1 (x) = 2 x P N (x) - P N -1 (x).
За x> 1 стойностите на полиномите на Чебишев нарастват монотонно и се описват с израза
P N (x) = ch(N Arch(x)). (2.22)
Работната функция на затихване (фиг. 2.7) се описва с израза
където ε е коефициентът на неравномерност, определен по формула (2.17);
Квадрат на функционалния модул на филтъра;
P N (Ω) е полином на Чебишев от ред N.
Работното затихване в лентата на спиране трябва да надвишава стойността на A S:
Замествайки израз (2.22) за стойностите на честотите на лентата на спиране в това неравенство, ние го решаваме по отношение на стойността N = NЧ - редът на полинома на Чебишев:
Редът на полинома трябва да е цяло число, така че получената стойност трябва да бъде закръглена до следващото по-високо цяло число.
Квадрат на модула на работната трансферна функция (нормализирана стойност)
Тъй като нулите на затихване (те са корените на полинома на Хурвиц) са разположени в лентата на пропускане, изразът (2.21) за честотите на лентата на пропускане трябва да бъде заменен в този израз.
Изразът (2.25) може да бъде представен в операторна форма с помощта на трансформацията jΩ→ :
Корените на полинома се определят по формулата:
K = 1, 2, … , NЧ, (2.26)
Комплексно спрегнатите корени в комплексната равнина са разположени на елипса. Полиномът на Хурвиц се формира само от корени с отрицателна реална компонента:
Квадрат на модула на филтърната функция; следователно намираме полинома, използвайки рекурсивната формула:
Е полином с реални коефициенти; е полином с четна степен. Условията за физическа реализируемост са изпълнени.
2.5. ИЗПЪЛНЕНИЕ НА ПРИБЛИЗИТЕЛНА ФУНКЦИЯ ЧРЕЗ ЕЛЕКТРИЧЕСКА ВЕРИГА.
Един от методите за решаване на проблема с внедряването се основава на непрекъснатото разширяване на фракцията на функцията на входното съпротивление
Процедурата на разлагане е описана в литературата: , . Продължителното разширяване на фракцията може да бъде обяснено накратко, както следва.
Функцията е съотношение на полиноми. Първо, полиномът на числителя се разделя на полинома на знаменателя; след това полиномът, който е бил делител, става делим и полученият остатък става делител и т.н. Получените чрез деление частни образуват непрекъсната дроб. За веригата на Фигура 2.8 непрекъснатата дроб има формата (за =1):
При необходимост може от полученото
схеми отиват на дуал.
2.6. МЕТОД ЗА ПРЕОБРАЗУВАНЕ НА ЧЕСТОТАТА.
Методът за преобразуване на променливи честоти се използва за синтеза на HPF и PF. Трансформацията се прилага само за нормализираните честоти Ω.
2.6.1. HPF синтез. Сравнявайки характеристиките на LPF и HPF на фигури 2.9 и 2.10, можете да видите, че те са взаимно обратни. Това означава, че ако променим честотната променлива
в израза на характеристиката на нискочестотния филтър, тогава ще се получи високочестотната характеристика. Например за филтър с характеристика на Бътъруърт
Използването на тази трансформация е еквивалентно на замяна на капацитивни елементи с индуктивни и обратно:
Това е
Това е .
За да синтезирате високочестотен филтър, като използвате метода на трансформация на честотната променлива, трябва да направите следното.
Ориз. 2.9. LPF с нормализирана Фиг. 2.10. HPF с нормализиран
Характеристика. Характеристика.
1. Нормализиране на честотната променлива.
2. Приложете формула (2.27), за да преобразувате честотната променлива
Преизчислените изисквания за работно затихване са изискванията за работно затихване на така наречения прототип на LPF.
3. Синтезирайте прототип на LPF.
4. Приложете формула (2.27), за да преминете от прототипа на LPF към необходимия HPF.
5. Извършете денормализиране на параметрите на елементите на синтезирания HPF.
2.6.2. Синтез на PF. Фигура 2.1.3. е показана симетричната характеристика на работното затихване на лентовия филтър. Това е името на характеристиката, геометрично симетрична спрямо средната честота.
За да синтезирате PF чрез метода на трансформация на честотната променлива, трябва да направите следното.
1. За да се премине от необходимата симетрична характеристика на PF към нормализираната характеристика на прототипа на LPF (и да се използва вече известната техника за синтез), е необходимо да се замени честотната променлива (Фигура 2.11)
2.7. АКТИВНИ ФИЛТРИ.
Активните филтри се характеризират с липсата на индуктори, тъй като свойствата на индуктивните елементи могат да бъдат възпроизведени с помощта на активни вериги, съдържащи активни елементи (op-amps), резистори и кондензатори. Такива схеми се обозначават: ARC схеми. Недостатъците на индукторите са нисък коефициент на качество (големи загуби), големи размери, висока производствена цена.
2.7.1. Основи на теорията на ARC филтрите. За линейна мрежа с четири клеми (включително линеен ARC филтър), съотношението между входното и изходното напрежение (в операторна форма) се изразява чрез функцията за пренос на напрежение:
където w(p) е четен (K p 0 за LPF) или нечетен (за HPF) полином,
v(p) е полином на Хурвиц от ред N.
За LPF трансферната функция (нормализирана стойност) може да бъде представена като произведение на фактори
където K \u003d H U (0) \u003d K2 1 K2 2 ... ... K2 (N / 2) - стойността на функцията H U (p) (за филтър с четен ред) при предаване на постоянно напрежение ( тоест при f \u003d 0 или в операторна форма при p=0);
множителите в знаменателя се образуват от произведението на комплексно спрегнати корени
в случай на филтър от нечетен ред, има един фактор, образуван с помощта на корена на полинома на Хурвиц с реална стойност.
Всеки коефициент на трансферна функция може да бъде реализиран с активен нискочестотен филтър от втори или първи ред (ARC). И цялата дадена трансферна функция H U (p) е каскадна връзка на такива четиритерминални мрежи (Фигура 2.13).
Активно четиритерминално устройство, базирано на операционен усилвател, има много полезно свойство - неговият входен импеданс е много по-голям от изходния му импеданс. Свързването към мрежа с четири терминала като много голям съпротивителен товар (този режим на работа е близък до режим на празен ход) не влияе на характеристиките на самата мрежа с четири терминала.
H U (p) = H1 U (p) H2 U (p) ... Hk U (p)
Например, активен нискочестотен филтър от 5-ти ред може да бъде реализиран от верига, която е каскадна връзка на два четириполюсника от втори ред и един четириполюсник от първи ред (фиг. 2.14), а нискочестотен филтър от 4-ти ред се състои от на каскадно свързване на два четириполюсника от втори ред. Четириполюсниците с по-висок качествен фактор се свързват първо към пътя за предаване на сигнала; четиритерминалното устройство от първи ред (с най-нисък качествен фактор и най-нисък наклон на честотната характеристика) се свързва последно.
2.7.2. Синтез на ARC филтърапроизведени с помощта на функцията за предаване на напрежение (2.29). Нормализацията на честотата се извършва спрямо граничната честота f c . При граничната честота стойността на функцията за предаване на напрежението е по-малка от максималната Hmax с коефициент 3, а стойността на затихване е 3 dB
Ориз. 2.14. ARC нискочестотен филтър от 5-ти ред.
Нормализацията на честотните характеристики се извършва спрямо f c . Ако решим уравнения (2.16) и (2.23) по отношение на граничната честота, тогава получаваме изразите
За LPF с характеристика на Butterworth;
С характеристика на Чебишев.
В зависимост от вида на характеристиката на филтъра - Butterworth или Chebyshev - редът на апроксимиращата функция се определя от формули (2.19) или (2.26).
Корените на полинома на Хурвиц се определят по формули (2.20) или (2.26). Функцията за предаване на напрежението за четириполюсник от втори ред може да се формира с помощта на двойка сложни спрегнати корени и в допълнение може да бъде изразена чрез параметрите на елементите на веригата (фиг. 2.14). Анализът на веригата и извеждането на израз (2.31) не са дадени. По подобен начин се записва изразът (2.32) за четириполюсника от първи ред.
Тъй като стойността на съпротивлението на натоварване не влияе на характеристиките на активния филтър, денормализирането се извършва въз основа на следното. Първо се избират приемливи стойности на резистивни съпротивления (10 ... 30 kOhm). След това се определят реалните стойности на параметрите на капацитета; за това f c се използва в израз (2.15).
Общата теория на синтеза на линейни електрически вериги не е включена в задачата на курса "Радиосхеми и сигнали".
Тази глава обсъжда само някои конкретни, специфични въпроси за синтеза на радио вериги:
синтез на активни четириполюсници под формата на каскадно свързване на елементарни невзаимодействащи (разединени) връзки от първи или втори ред;
изграждане на селективни вериги, които не съдържат индуктори (интегрални схеми);
елементи на синтеза на дискретни (цифрови) схеми и връзката между честотната характеристика и фазовата характеристика на цифровите филтри.
Синтезът на аналогови схеми в тази глава се извършва само в честотната област, т.е. според дадена предавателна функция; за цифрови схеми синтезът също се разглежда за дадена импулсна характеристика (накратко).
Известно е, че предавателната функция на линеен четириполюсник се определя еднозначно от неговите нули и полюси в -равнината (аналогови вериги) или в z-равнината (цифрови вериги). Следователно изразът "синтез по дадена предавателна функция" е еквивалентен на израза "синтез по дадени нули и полюси на предавателната функция". Съществуващата теория на четириполюсния синтез разглежда вериги, чиято предавателна функция има краен брой нули и полюси, с други думи, вериги, състоящи се от краен брой връзки със групирани параметри. Материалът, представен по-долу, е фокусиран върху четириполюсници с малък брой връзки, които са типични за нискочестотни филтри, високочестотни филтри, бариерни филтри и др., които се използват широко в електронните устройства.
Лекция номер 15.
Проектиране (синтез) на линейни цифрови филтри.
Проектирането (синтеза) на цифров филтър се разбира като избор на такива коефициенти на системната (трансферна) функция, при които характеристиките на получения филтър отговарят на зададените изисквания. Строго погледнато, проектната задача включва и избор на подходяща филтърна структура (виж Лекция 14), като се вземе предвид крайната точност на изчисленията. Това е особено вярно при прилагането на филтри в хардуерна форма (под формата на специализирани LSI или цифрови сигнални процесори). Следователно, като цяло, проектирането на цифров филтър се състои от следните стъпки:
- Решаване на апроксимационна задача с цел определяне на коефициентите на филтъра и системна функция, която отговаря на конкретни изисквания.
- Изборът на схема за изграждане на филтър, т.е. трансформирането на системна функция в специфична филтърна блокова схема.
- Оценка на ефектите на квантуване, т.е. ефектите, свързани с крайната точност на представянето на числа в цифрови системи с крайна битова дълбочина.
- Проверка чрез симулационни методи дали полученият филтър отговаря на зададените изисквания.
Методите за синтезиране на цифрови филтри могат да бъдат класифицирани според различни критерии:
- по тип филтър:
- методи за синтезиране на филтри с ограничена импулсна характеристика;
- методи за синтезиране на филтри с безкрайна импулсна характеристика;
- чрез наличието на аналогов прототип:
- методи за синтез с използване на аналогов прототип;
- методи за директен синтез (без използване на аналогов прототип).
На практика FIR филтрите често се предпочитат поради следните причини. Първо, FIR филтрите осигуряват възможността за точно изчисляване на изходния сигнал с ограничен вход през конволюция, който не изисква съкращаване на импулсния отговор. Второ, филтрите с ограничена импулсна характеристика могат да имат строго линейна фазова характеристика в лентата на пропускане, което ви позволява да проектирате филтри с амплитудна характеристика, която не изкривява входните сигнали. Трето, FIR филтрите са винаги стабилни и, с въвеждането на подходящо ограничено забавяне, са физически осъществими. В допълнение, FIR филтрите могат да бъдат реализирани не само в нерекурсивни схеми, но и с помощта на рекурсивни форми.
Обърнете внимание на недостатъците на FIR филтрите:
- За да се приближат филтри, чиито честотни характеристики имат резки граници, е необходима импулсна характеристика с голям брой проби. Следователно, когато се използва конвенционална конволюция, е необходимо да се извърши голямо количество изчисления. Само разработването на методи за бърза конволюция, базирани на високопроизводителния FFT алгоритъм, позволи на FIR филтрите да се конкурират успешно с IIR филтри, които имат рязко прекъсване на честотната характеристика.
- Закъснението при FIR филтри с линеен фазов спектър не винаги е равно на цял брой интервали на вземане на проби. В някои приложения това многократно забавяне може да бъде проблематично.
Един от вариантите за проектиране на цифрови филтри е свързан с дадена последователност от проби на импулсната характеристика, които се използват за получаване и анализ на нейната честотна характеристика (честотно усилване).
Получаваме условието, при което нерекурсивният филтър има строго линеен фазов спектър. Системната функция на такъв филтър има формата:
, (15.1)
където коефициентите на филтъра са проби от импулсна характеристика. Преобразуването на Фурие е честотната характеристика на филтъра, периодична по честота с период. Представяме го за реална последователност във формата: Получаваме условията, при които импулсната характеристика на филтъра ще осигури стриктната линейност на неговата фазова характеристика. Последното означава, че фазовата характеристика трябва да изглежда така:
(15.2)
където е постоянното фазово забавяне, изразено чрез броя на интервалите на вземане на проби. Записваме честотната характеристика във формата:
(15.3)
Приравнявайки реалните и въображаемите части, получаваме:
, (15.4)
. (15.5)
Където:
. (15.6)
Има две възможни решения на уравнение (15.6). Едното (когато) не представлява интерес, другото отговаря на случая. Умножавайки кръстосано членовете на уравнение (15.6), получаваме:
(15.7)
Тъй като уравнение (15.7) има формата на ред на Фурие, решението на уравнението трябва да отговаря на следните условия:
, (15.8)
и (15.9)
От условието (15.8) следва, че за всяко има само едно фазово закъснение, при което може да се постигне строга линейност на фазовата характеристика на филтъра. От (15.9) следва, че за дадена, която удовлетворява условието (15.8), импулсната характеристика трябва да има добре дефинирана симетрия.
Целесъобразно е използването на условия (15.8) и (15.9) да се разглежда отделно за случаите на четно и нечетно. Ако нечетно число, тогава цяло число, т.е. забавянето във филтъра е равно на цяло число интервали на вземане на проби. В този случай центърът на симетрия пада върху референта. Ако е четно число, то е дробно число и забавянето във филтъра е равно на нецял брой интервали на вземане на проби. Например, защото получаваме и центърът на симетрия на импулсната характеристика лежи в средата между две показания.
Стойностите на коефициентите на импулсната характеристика се използват за изчисляване на честотната характеристика на FIR филтрите. Може да се покаже, че за симетричен импулсен отговор с нечетен брой проби, изразът за реална функция, която приема положителни и отрицателни стойности, е:
, (15.10)
Където
Най-често, когато се проектира FIR филтър, се започва от необходимата (или желана) честотна характеристика и след това се изчисляват коефициентите на филтъра. Има няколко метода за изчисляване на такива филтри:метод на проектиране с прозорци, метод на честотна дискретизация, метод за изчисляване на оптималния (по Чебишев) филтър.Помислете за идеята за прозоречен дизайн, използвайки FIR нискочестотен филтър като пример.
Първо се задава желаната честотна характеристика на проектирания филтър. Например, нека вземем идеална непрекъсната честотна характеристика на нискочестотен филтър с усилване, равно на единица при ниски честоти и равно на нула при честоти, надвишаващи някоигранична честота . Дискретно представяне на идеален нискочестотен филтър е периодична характеристика, която може да бъде зададена чрез проби в интервал на периодичност, равен на честотата на дискретизация. Определянето на коефициентите на нискочестотния филтър с помощта на обратни DFT методи (или аналитично, или чрез използване на обратна DFT програма) дава последователност от проби на импулсен отговор, която е безкрайна в двете посоки, която има формата на класическа функция.
За да се получи приложим нерекурсивен филтър от даден ред, тази последователност се отрязва и от нея се избира централен фрагмент с необходимата дължина. Простото съкращаване на проби от импулсен отговор е в съответствие с използванетоправоъгълен прозорец, дадена от специална функция. Поради съкращаването на проби, първоначално зададената честотна характеристика е изкривена, тъй като е конволюция в честотната област на дискретната честотна характеристика и DFT на прозоречната функция:
, (15.11)
където DFT В резултат на това се появяват вълни в лентата на пропускане на честотната характеристика поради страничните лобове.
За смекчаване на горните ефекти и най-вече за намаляване на нивото на лобовете в лентата на спиране, пресеченият импулсен отговор се умножава по тегловна функция (прозорец), която постепенно намалява към краищата. По този начин методът за проектиране на FIR филтри с прозорци е метод за намаляване на прозорците чрез използване на неправоъгълни прозорци. В този случай тегловната функция (прозорец) трябва да има следните свойства:
- ширината на главния лоб на честотната характеристика на прозореца, съдържащ колкото се може повече от общата енергия, трябва да бъде малка;
- енергията в страничните лобове на честотната характеристика на прозореца трябва да намалява бързо с приближаването на k.
Прозорците на Хеминг, Кайзер, Блекман, Чебишев и др. се използват като тегловни функции.
Зареждане...