Лекция #10
„Цифрови филтри с краен импулсен отговор“
Функция на предаванефизически реализиран цифров филтър с ограничена импулсна характеристика (FIR филтър) може да бъде представен като
(10.1).
При замяна в израз (10.1) получаваме честотната характеристика на FIR филтъра във формата
(10.2),
Където 
- амплитудно-честотна характеристика (AFC)филтър,
- фазово-честотна характеристика (PFC)филтър.
Фазово забавянефилтърът се определя като
(10.3).
групово забавянефилтърът се определя като
(10.4).
Отличителна черта на FIR филтрите е възможността за прилагане на постоянни фазови и групови закъснения в тях, т.е. линейна фазова характеристика
(10.5),
къде - постоянен. При това условие сигналът, преминаващ през филтъра, не изкривява формата си.
За да извлечем условия, които осигуряват линеен фазов спектър, записваме честотния спектър на FIR филтъра, като вземем предвид (10.5)
(10.6).
Приравнявайки реалните и въображаемите части на това равенство, получаваме
(10.7).
Разделяйки второто уравнение на първото, получаваме
(10.8).
Най-накрая можете да пишете
(10.9).
Това уравнение има две решения. Първо приа =0 съответства на уравнението
(10.10).
Това уравнение има уникално решение, съответстващо на произволно h(0)(sin(0)=0) и h(n)=0 за n >0. Това решение съответства на филтър, чиято импулсна характеристика има единична ненулева проба в началния момент. Такъв филтър не представлява практически интерес.
Нека намерим друго решение за. В същото време, умножавайки кръстосано числителите и знаменателите в (10.8), получаваме
(10.11).
Следователно имаме
(10.12).
Тъй като това уравнение има формата на ред на Фурие, неговото решение, ако съществува, е уникално.
Лесно се вижда, че решението на това уравнение трябва да отговаря на условията
(10.13),
(10.14).
От условието (10.13) следва, че за всеки ред на филтъран има само едно фазово забавянеа , при които може да се постигне строга линейност на PFC. От условие (10.14) следва, че импулсната характеристика на филтъра трябва да бъде симетрична спрямо точката за нечетенн , и спрямо средата на интервала (фиг. 10.1).
 |
Честотната характеристика на такъв филтър (за страннон ) може да се запише като
(10.15).
Извършване на заместване във втората сума m = N -1- n, получаваме
(10.16).
Тъй като h (n)= h (N -1- n ), тогава двете суми могат да се комбинират
(10.17).
Замествайки , получаваме
(10.18).
Ако обозначим
(10.19),
тогава най-накрая можем да пишем
(10.20).
По този начин, за филтър с линейна фазова характеристика, имаме
(10.21).
За случая дорин по подобен начин ще имаме
(10.22).
Като направим заместване във втората сума, получаваме
(10.23).
Правейки замяната, получаваме
(10.24).
Обозначаване
(10.25),
най-накрая ще имаме
(10.26).
По този начин, за FIR филтър с линейна фазова характеристика и дори ред N може да се напише
(10.27).
По-нататък, за простота, ще разгледаме само филтри с нечетен ред.
При синтезиране на трансферната функция на филтъра първоначалните параметри като правило са изискванията за честотната характеристика. Има много техники за синтезиране на FIR филтри. Нека разгледаме някои от тях.
Тъй като честотната характеристика на всеки цифров филтър е периодична функция на честотата, тя може да бъде представена като серия на Фурие
(10.28),
където са коефициентите на реда на Фурие
(10.29).
Вижда се, че коефициентите на реда на Фурие h(n ) съвпадат с коефициентите импулсна реакцияфилтър. Следователно, ако е известно аналитичното описание на необходимата честотна характеристика на филтъра, то може лесно да се използва за определяне на коефициентите на импулсната характеристика и от тях на предавателната функция на филтъра. Това обаче не е осъществимо на практика, тъй като импулсната характеристика на такъв филтър има безкрайна дължина. В допълнение, такъв филтър не е физически осъществим, тъй като импулсната характеристика започва при -¥ и никакво ограничено забавяне няма да направи този филтър физически осъществим.
Един възможен метод за получаване на FIR филтър, който приближава дадена честотна характеристика, е да се съкратят безкрайните серии на Фурие и импулсната характеристика на филтъра, като се приеме, че h(n)=0 за . Тогава
(10.30).
Физическа реализируемост на предавателната функция H(z ) може да се постигне чрез умножаване H (z) на.
(10.31),
Където
(10.32).
С тази модификация на предавателната функция амплитудната характеристика на филтъра не се променя и груповото забавяне се увеличава с постоянна стойност.
Като пример изчисляваме нискочестотен FIR филтър с честотна характеристика от формата
(10.33).
В съответствие с (10.29) коефициентите на импулсна характеристика на филтъра се описват с израза
(10.34).
Сега от (10.31) можем да получим израза за трансферната функция
(10.35),
Където
(10.36).
Амплитудните характеристики на изчисления филтър за различнин представени на фигура 10.2.
Фиг.10.2
Пулсации в лентата на пропускане и лентата на спиране възникват поради бавната конвергенция на редовете на Фурие, което от своя страна се дължи на наличието на прекъсване във функцията при граничната честота на лентата на пропускане. Тези пулсации са известни като Пулсации на Гибс.
От фиг.10.2 се вижда, че с нарастванен честотата на пулсации се увеличава, а амплитудата намалява както при долната, така и при горни честоти. Но амплитудата на последната пулсация в лентата на пропускане и първата пулсация в лентата на спиране остават практически непроменени. На практика подобни ефекти често са нежелани, което изисква намиране на начини за намаляване на вълните на Гибс.
Скъсена импулсна характеристика h(n ) може да се представи като произведение на необходимата безкрайна импулсна характеристика и някои функции на прозореца w (n) с дължина n (фиг. 10.3).
(10.37).
 |
В разглеждания случай на просто отрязване на реда на Фурие използваме правоъгълен прозорец
(10.38).
В този случай честотната характеристика на филтъра може да бъде представена като сложна намотка
(10.39).
Това означава, че ще бъде "замъглена" версия на необходимата характеристика.
Проблемът се свежда до намирането на прозоречни функции, които правят възможно намаляването на вълните на Гибс за същата селективност на филтъра. За да направите това, първо трябва да изучите свойствата на функцията на прозореца, като използвате примера на правоъгълен прозорец.
Спектърът на функцията на правоъгълния прозорец може да бъде написан като
(10.40).
Спектърът на функцията на правоъгълния прозорец е показан на фиг. 10.4.
Фиг.10.4
Тъй като при , тогава ширината на главния лоб на спектъра е равна на .
Наличието на странични лобове в спектъра на функцията на прозореца води до увеличаване на пулсацията на Гибс в честотната характеристика на филтъра. За да се получи малка пулсация в лентата на пропускане и високо затихване в лентата на спиране, е необходимо зоната, ограничена от страничните пластини, да е малка част от площта, ограничена от основната лента.
От своя страна ширината на главния лоб определя ширината на преходната зона на получения филтър. За висока селективност на филтъра ширината на главния лоб трябва да бъде възможно най-малка. Както може да се види от горното, ширината на главния лоб намалява с увеличаване на реда на филтъра.
По този начин свойствата на подходящи прозоречни функции могат да бъдат формулирани, както следва:
- функцията на прозореца трябва да бъде ограничена във времето;
- спектърът на функцията на прозореца трябва най-добре да се доближава до честотно ограничената функция, т.е. имат минимална енергия извън главния лоб;
- ширината на главния дял на спектъра на функцията на прозореца трябва да бъде възможно най-малка.
Най-често използваните функции на прозореца са:
1. Правоъгълен прозорец. Разгледано по-горе.
2. Прозорец на Хеминг.
(10.41),
Където .
Когато този прозорец се нарича прозорец на Хан (ханинг).
3. Прозорец на Блекман.
(10.42).
4. Прозорец на Бартлет.
(10.43).
Индикаторите на филтрите, изградени с помощта на посочените прозоречни функции, са обобщени в таблица 10.1.
|
прозорец |
Ширина на главния лоб |
Коефициент на пулсация, % |
||
N=11 |
N=21 |
N=31 |
||
|
Правоъгълна |
22.34 |
21.89 |
21.80 |
|
|
Ханинг |
2.62 |
2.67 |
2.67 |
|
|
Хеминг |
1.47 |
0.93 |
0.82 |
|
|
Чернокож |
0.08 |
0.12 |
0.12 |
|
Коефициентът на пулсации се определя като съотношението на максималната амплитуда на страничния лист към амплитудата на главния лист в спектъра на функцията на прозореца.
Данните в таблица 10.2 могат да се използват за избор на необходимия ред на филтрите и най-подходящата функция на прозореца при проектиране на реални филтри.
|
преходен |
неравности предаване (dB) |
Разпад в бараж (dB) |
|
|
Правоъгълна |
|||
|
Ханинг |
|||
|
Хеминг |
|||
|
Чернокож |
Както може да се види от таблица 10.1, има определена връзка между фактора на пулсации и ширината на главния лоб в спектъра на функцията на прозореца. Колкото по-малък е коефициентът на пулсации, толкова по-голяма е ширината на главния лоб, а оттам и преходната зона в честотната характеристика на филтъра. За да се осигури ниска пулсация в лентата на пропускане, е необходимо да се избере прозорец с подходящ коефициент на пулсация и да се осигури необходимата ширина на преходната зона с повишен филтърен ред N .
Този проблем може да бъде решен с помощта на прозореца, предложен от Kaiser. Функцията на прозореца на Кайзер има формата
(10.44),
където a е независим параметър, 
, I 0 е функцията на Бесел от нулев порядък от първи вид, дефинирана от израза
(10.45).
Атрактивно свойство на прозореца на Кайзер е възможността за плавна промяна на коефициента на пулсации от малки до големи стойности, когато се променя само един параметър a. В този случай, както при други функции на прозореца, ширината на главния лоб може да се контролира от реда на филтъра N.
Основните параметри, зададени при разработването на истински филтър, са:
Ширина на честотната лента - w p ;
Бариера - w a ;
Максимално допустимата пулсация в лентата на пропускане - A p ;
Минимално затихване в лентата на спиране - A a ;
-честота на вземане на проби - w s.
Тези параметри са илюстрирани на Фигура 10.5. В този случай максималната пулсация в пропускателната лента се определя като
(10.46),
и минималното затихване в лентата на спиране като
Сравнително проста процедура за изчисляване на филтър с прозорец на Кайзер включва следните стъпки:
1. Определя се импулсната характеристика на филтъра h (n), при условие че честотната характеристика е идеална
(10.48),
където (10.49).
2. Параметърът d се избира като
(10.50),
Където 
(10.51).
3. Истинската стойност на A a и A p се изчислява по формули (10.46), (10.47).
4. Параметърът a е избран като
(10.52).
5. Параметърът D е избран като
(10.53).
6. От условието се избира най-малката нечетна стойност на реда на филтъра
(10.54),
(10.57)
следва това
Тъй като образците на импулсната характеристика на филтъра са коефициентите на неговата предавателна функция, условие (10.59) означава, че кодовете на всички коефициенти на филтъра съдържат само дробна част и знаков бит и не съдържат цяло число.
Броят на цифрите на дробната част на коефициентите на филтъра се определя от условието за удовлетворяване на трансферната функция на филтъра с квантувани коефициенти, посочените изисквания за приближаване на референтната трансферна функция с точни стойности на коефициентите.
Абсолютните стойности на входните проби на филтъра обикновено се нормализират, така че
Ако анализът се извършва за FIR филтър с линеен фазов спектър, тогава алгоритъмът за изчисляване на неговия изходен сигнал може да бъде както следва
където са коефициентите на филтъра, закръглени до s k.
Този алгоритъм съответства структурна схемафилтър, показан на фигура 10.5.
 |
Има два начина за прилагане на този алгоритъм. В първия случай всички операции за умножение се извършват точно и няма закръгляване на продуктите. В този случай капацитетът на продуктите е s in +s k, където s in е капацитетът входен сигнал, а s k е капацитетът на филтърните коефициенти. В този случай блоковата схема на филтъра, показана на фиг. 10.5, отговаря точно на реалния филтър.
При втория начин за реализация на алгоритъма (10.61) всеки резултат от операцията умножение се закръгля, т.е. продуктите са изчислени с известна грешка. В този случай е необходимо да се промени алгоритъмът (10.61), така че да се вземе предвид грешката, въведена от закръгляването на продуктите
Ако примерните стойности на изходния сигнал на филтъра се изчисляват по първия метод (с точни стойности на продуктите), тогава дисперсията на изходния шум се определя като
(10.66),
тези. зависи от дисперсията на закръгления шум на входния сигнал и стойностите на коефициентите на филтъра. От тук можете да намерите необходимия брой битове на входния сигнал като
(10.67).
От известните стойности на s in и s k може да се определи броят на битовете, необходими за дробната част на кода на изходния сигнал като
Ако стойностите на пробите на изходния сигнал се изчисляват съгласно втория метод, когато всеки продукт е закръглен до s d бита, тогава дисперсията на шума от закръгляване, създаден от всеки от множителите, може да бъде изразена по отношение на дължина на думата на продукта като
DR in и отношение сигнал/шум на изхода на филтъра SNR out. Стойността на динамичния обхват на входния сигнал в децибели се определя като
(10.74),
където A max и A min са максималните и минималните амплитуди на входния сигнал на филтъра.
Съотношението сигнал/шум на изхода на филтъра, изразено в децибели, се определя като
(10.75),
определя средноквадратичната стойност на мощността на изходния синусоидален сигнал на филтъра с амплитуда A min и
(10.77)
определя мощността на шума на изхода на филтъра. От (10.75) и (10.76) с A max =1 получаваме израз за дисперсията на изходния шум на филтъра
(10.78).
Тази стойност на дисперсията на изходния шум на филтъра може да се използва за изчисляване на ширините на входния и изходния сигнал на филтъра.
Нека разгледаме най-простите цифрови филтри - филтри с постоянни параметри.
Към входа на цифровия филтър се подава входен сигнал под формата на последователност от числови стойности, следващи интервал (фиг. 4.1, а). Когато всяка следваща стойност на сигнала пристигне в цифровия филтър, се изчислява следващата стойност на изходния сигнал.Алгоритмите за изчисление могат да бъдат много разнообразни; по време на изчислението може да се използва с изключение на последната стойност на входния сигнал
предишни стойности на входните и изходните сигнали: Сигналът на изхода на цифровия филтър също е поредица от числови стойности, следващи с интервал от . Този интервал е еднакъв за цялото устройство за цифрова обработка на сигнала.
Ориз. 4.1. Сигнал на входа и изхода на цифровия филтър
Следователно, ако най-простият сигнал под формата на единичен импулс се приложи към входа на цифровия филтър (фиг. 4.2, а)
тогава на изхода ще получим сигнал под формата на дискретна последователност от числови стойности, следващи интервал
По аналогия с конвенционалните аналогови схеми, нека наречем този отговор на сигнала импулсен спектър на филтъра (фиг. 4.2, b). За разлика от импулсната характеристика на аналогова верига, функцията е безразмерна.
Ориз. 4.2. Единичен импулс и импулсна характеристика на цифров филтър
Нека подадем произволен филтър дискретен сигналориз. 4.1, а), което е набор от дискретни стойности
Под действието на първия елемент, на изхода на филтъра се формира последователност, умножена по, под действието, последователност, умножена по и изместена надясно със стойност и т.н. В резултат на това получаваме последователност при изходът с
По този начин изходният сигнал се определя като дискретна конволюция на входния сигнал и импулсната характеристика. В това отношение цифровите филтри са подобни на конвенционалните схеми, където изходният сигнал е равен на навивката на входния сигнал и импулсната характеристика.
Формула (4.1) е алгоритъм цифрово филтриране. Ако импулсната характеристика на филтъра е описана от последователност с краен брой членове, тогава филтърът може да бъде реализиран под формата на схемата, показана на фиг. 4.3. Тук буквата означава елементите на забавяне на сигнала за време (на клетка); -елементи, които умножават сигнала по съответния коефициент.
Показаната на фиг. 4.3 не е верига за цифров филтър; тази схема е графично изображениеалгоритъм за цифрово филтриране и показва последователността от аритметични операции, извършвани по време на обработката на сигнала.
Ориз. 4.3. Нерекурсивна цифрова филтърна схема
За цифровите филтри, които обработват сигнали под формата на абстрактни числови последователности, понятието "закъснение във времето" не е напълно правилно. Следователно, елементите, които забавят сигнала с една клетка, обикновено се маркират върху схемите на цифровия филтър със символ, обозначаващ забавянето на сигнала на езика на -трансформациите. По-нататък ще се придържаме към тази нотация.
Нека се върнем към веригата на цифровия филтър, показана на фиг. 4.3, Такива филтри, при които за изчисление се използват само стойностите на входния сигнал, се наричат прости или нерекурсивни.
Алгоритъмът на нерекурсивния филтър е лесен за писане, ако е известна импулсната характеристика на филтъра. За практическо изпълнениеАлгоритъмът изисква импулсният отговор да съдържа краен брой членове. Ако импулсният отговор съдържа безкраен брой термини, но те бързо намаляват по величина, тогава можете да се ограничите до краен брой термини, като изхвърлите тези, чиито стойности са малки. Ако елементите на импулсната характеристика не намаляват по величина, алгоритъмът на нерекурсивния филтър се оказва нереализуем.
Ориз. 4.4. - верига
Като пример, разгледайте най-простия цифров филтър, подобен на -схемата (фиг. 4.4). Импулсната характеристика на -веригата има формата
За да се напише импулсната характеристика на съответния цифров филтър, изразът трябва да се замени с. Въпреки това, импулсната характеристика на -схема има измерение, а импулсната характеристика на цифров филтър трябва да бъде безразмерна. Следователно пропускаме коефициента в израз (4.2) и записваме импулсната характеристика на цифровия филтър във формата
Такава импулсна реакция съдържа безкрайно много термини, но тяхната величина намалява експоненциално и човек може да се ограничи до термини, избирайки така, че
Сега можете да напишете израз за сигнала на изхода на филтъра
Този израз също е алгоритъм за цифров филтър. Схемата на този филтър е показана на фиг. 4.5.
Вторият подход към анализа на процесите в цифровите филтри е подобен на операторния метод за анализ на конвенционални аналогови схеми, но вместо преобразуването на Лаплас се използва -преобразуване.
Ориз. 4.5. Схема на нерекурсивен цифров филтър, подобен на -схема
Нека дефинираме параметър на цифров филтър, подобен на трансферната функция електрическа верига. За да направите това, приложете -трансформацията към импулсната характеристика на цифровия филтър:
Функцията се нарича функция за системен филтър.
В съответствие с израз (4.1) сигналът на изхода на цифровия филтър е равен на дискретната конволюция на входния сигнал и импулсната характеристика на филтъра. Прилагайки теоремата за конволюционно -трансформиране към този израз, получаваме, че -трансформацията на изходния сигнал е равна на -трансформацията на входния сигнал, умножена по функцията на системния филтър:
Така системната функция играе ролята на предавателна функция на цифровия филтър.
Като пример, нека намерим системната функция на цифров филтър от първи ред, подобен на -верига:
Третият метод за анализиране на преминаването на сигнали през цифрови филтри е подобен на класическия метод на диференциалните уравнения. Нека разгледаме този метод, като използваме вериги от поръчки като пример.
Най-простата аналогова схема от 1-ви ред е -веригата (виж фиг. 4.4), преминаването на сигнали, през която се описва от диференциалното уравнение
За дискретна верига, вместо диференциалното уравнение (4.8), трябва да се напише уравнение на разликата, където входните и изходните сигнали са дадени за дискретни времена, а вместо производната трябва да се появи разликата на съседните стойности на сигнала. За дискретна верига от 1-ви ред уравнението на разликата може да бъде написано в доста обща форма
Нека приложим към уравнението -трансформация
където намираме функцията за системен филтър
Формула (4.10) е доста общ израз за системна функцияЦифров филтър от 1-ва поръчка. За , то съвпада с предварително получения израз (4.7) за системната функция на цифров филтър, еквивалентен на -верига.
Нека намерим алгоритъма за цифрово филтриране, съответстващ на системната функция (4.10). За да направим това, решаваме уравнение (4.9) по отношение на
Еквивалентната схема на този алгоритъм е показана на фиг. 4.6. В сравнение с нерекурсивния филтър (вижте Фиг. 4.5), тук е добавен вид „контур за обратна връзка“, което означава, че стойностите на изходния сигнал се използват в последващи
Ориз. 4.6. Схема на рекурсивен цифров филтър, подобен на -схема
изчисления. Филтри от този тип се наричат рекурсивни.
Алгоритъм (4.11) съответства на филтър, който е напълно еквивалентен на нерекурсивния филтър, разгледан по-рано. Но за да се определи една стойност на изходния сигнал с помощта на алгоритъма за нерекурсивен филтър (4.4), е необходимо да се извършат операции, а при използване на алгоритъма за рекурсивен филтър (4.11) са необходими само две операции. Това е основното предимство на рекурсивните филтри. В допълнение, рекурсивните филтри ви позволяват да обработвате сигнала с по-висока точност, тъй като ви позволяват по-правилно да реализирате импулсния отговор, без да изхвърляте неговата "опашка". Рекурсивните филтри ви позволяват да внедрявате алгоритми, които обикновено са нереализируеми, като използвате нерекурсивни филтри. Например, за филтър, работещ по схемата на фиг. 4.6 по същество е идеален интегратор за съхранение и има импулсен спектър от формата Филтър с такава характеристика не може да бъде реализиран в нерекурсивна схема.
Разгледаните примери показват, че няма смисъл да се използват нерекурсивни алгоритми за създаване на цифрови филтри с дълга импулсна характеристика. В тези случаи е по-подходящо да се използват рекурсивни филтри.
Обхватът на нерекурсивните алгоритми е прилагането на цифрови филтри с импулсна характеристика, съдържаща малък брой членове. Пример е най-простият диференциатор, чийто изходен сигнал е равен на увеличението на входния сигнал:
Схемата на такъв цифров филтър е показана на фиг. 4.7.
Ориз. 4.7. Схема на най-простия цифров диференциатор
Помислете сега за общ цифров филтър, който е описан от уравнението
Това уравнение може да се разглежда както като уравнение за ред на разликата, така и като алгоритъм за цифрово филтриране, ако бъде пренаписано по различен начин, а именно
Ориз. 4.8. Схема на рекурсивен филтър за цифров ред
Алгоритъмът (4.13) съответства на схемата, показана на фиг. 4.8. Нека намерим системната функция на такъв филтър. За да направите това, приложете към уравнението -трансформация:
Изразът (4.14) позволява да се установи връзка между размаха на елементите на филтърната верига и функцията на системата. Коефициентите в числителя на системната функция определят стойностите на коефициентите при
(в нерекурсивната част на филтъра), а коефициентите в знаменателя определят рекурсивната част на филтъра.
Филтър с краен импулсен спектър (Нерекурсивен филтър, FIR филтър) или FIR филтър (FIR съкратено от finite impulse response - краен импулсен отговор) - един от видовете линейни цифрови филтри, чиято характерна особеност е ограниченото време на импулсния му отговор (от някакъв момент във времето става точно нула) . Такъв филтър се нарича още нерекурсивен поради липсата на обратна връзка. Знаменателят на предавателната функция на такъв филтър е определена константа.
Динамични характеристики
където е делта функцията. Тогава импулсната характеристика на FIR филтъра може да бъде записана като:
#define N 100 // ред на филтъра float h[N] = ( #include "f1.h" ); //вмъкнете файл с известни коефициенти на филтъра float x[N] ; float y[N] ; short my_FIR(short sample_data) ( float result = 0 ; for ( int i = N - 2 ; i >= 0 ; i-- ) ( x[ i + 1 ] = x[ i] ; y[ i + 1 ] = y[ i] ; ) x [ 0 ] = (float ) примерни_данни; for (int k = 0 ; k< N; k++ ) { result = result + x[ k] * h[ k] ; } y[ 0 ] = result; return ((short ) result) ; }
Вижте също
Връзки
- Изчисляване на FIR филтър с линейна фазова характеристика, използвайки метода на честотна дискретизация
Фондация Уикимедия. 2010 г.
- Ромодин, Владимир Александрович
- Вохма (река)
Вижте какво е "Finite Impulse Response Filter" в други речници:
Филтър - вземете валиден промо код на BeTechno в Академика или купете филтър с отстъпка от разпродажба в BeTechno
филтър с ограничена импулсна характеристика- - Телекомуникационни теми, основни понятия EN крайна импулсна характеристика (филтър) FIR ... Наръчник за технически преводач
Филтър с безкраен импулсен спектър- (Рекурсивен филтър, IIR филтър) или IIR филтър (IIR съкращение от безкраен импулсен отговор, безкраен импулсен отговор) линеен електронен филтър, който използва един или повече от своите изходи като вход, т.е. ... ... Wikipedia
FIR филтър
Нерекурсивен филтър- Филтър с ограничена импулсна характеристика (нерекурсивен филтър, FIR филтър, FIR филтър) е един от видовете линейни електронни филтри, чиято характерна особеност е ограничението във времето на импулсната му характеристика (от което ... Wikipedia
Рекурсивен филтър- Филтър с безкрайна импулсна характеристика (рекурсивен филтър, IIR филтър) е линеен електронен филтър, който използва един или повече от своите изходи като вход, т.е. обратна връзка. Основното свойство на такива филтри е ... Wikipedia
цифров филтър- Цифров филтър в електрониката, всеки филтър, който обработва цифров сигнал, за да подчертае и / или потисне определени честоти на този сигнал. За разлика от цифровия, аналоговият филтър се занимава с аналогов сигнал, неговите свойства ... ... Wikipedia
дискретен филтър- Цифров филтър в електрониката, всеки филтър, който обработва цифров сигнал, за да подчертае и / или потисне определени честоти на този сигнал. За разлика от цифровия аналогов филтър, той работи с аналогов сигнал, неговите свойства са недискретни, ... ... Wikipedia
Мрежов филтър- Линейният филтър е динамична система, която използва определен линеен операторкъм входния сигнал за подчертаване или потискане на определени честоти на сигнала и други функции за обработка на входния сигнал. Линейните филтри се използват широко в ... ... Wikipedia
Пълзяща средна (филтър)- Този термин има други значения, вижте Плъзгаща средна (многозначност). Блокова диаграма на прост FIR филтър от втори ред, който прилага пълзяща средна. Пълзящата средна, пълзящата средна е вид цифров филтър с ... ... Wikipedia
Пълзяща средна (стойности)- Пълзяща средна, пълзяща средна (англ. moving average): Пълзяща средна на семейство функции, чиято стойност във всяка точка на дефиниране е равна на средната стойност на оригиналната функция за предходния период. Пълзяща средна ... ... Wikipedia
48 Цифрови филтри с крайна импулсна характеристика. Изчисляване на FIR филтри.
Филтър с краен импулсен спектър (Нерекурсивен филтър, FIR филтър) или FIR филтър (FIR съкращение от finite impulse response - краен импулсен спектър) - един от видовете линейни цифрови филтри, чиято характерна особеност е ограниченото време на импулсния му отговор (от някакъв момент във времето става точно равно на нула ). Такъв филтър се нарича още нерекурсивен поради липсата на обратна връзка. Знаменателят на предавателната функция на такъв филтър е определена константа.
Диференциално уравнение, описващо връзката между входните и изходните сигнали на филтъра: където П- ред на филтриране, х(н) - входен сигнал, г(н) е изходният сигнал и b аз- филтърни коефициенти. С други думи, стойността на всяка изходна проба се определя от сбора на мащабираните стойности Ппредишни преброявания. Може да се каже по различен начин: стойността на изхода на филтъра по всяко време е стойността на отговора към моментната стойност на входа и сумата от всички постепенно намаляващи отговори Ппредишни сигнални проби, които все още влияят на изхода (след П-брои, функцията за преход на импулса става равна на нула, както вече беше споменато, така че всички членове след П th също ще стане нула). Нека напишем предишното уравнение в по-обемна форма:
За да намерим филтърното ядро, поставяме
х(н) = δ( н)
където δ( н) е делта функция. Тогава импулсната характеристика на FIR филтъра може да бъде записана като:
Z-трансформацията на импулсната характеристика ни дава трансферната функция на FIR филтъра:
]Имоти
FIR филтърът има редица полезни свойства, които го правят понякога за предпочитане пред IIR филтъра. Ето някои от тях:
FIR филтрите са здрави.
FIR филтрите не изискват обратна връзка, когато са внедрени.
Фазата на FIR филтрите може да бъде направена линейна
Директен FIR филтър
FIR филтрите могат да бъдат реализирани с помощта на три елемента: умножител, суматор и блок за забавяне. Опцията, показана на фигурата, е директно изпълнение на FIR филтри тип 1.
Внедряване на FIR филтър с директна форма
Примерна програма
Следва примерна програма за FIR филтър, написана на C:
/* FIR 128-кран филтър */
плаващ fir_filter (плаващ вход)
статична поплавъчна проба;
acc = 0.0f; /* Батерия */
/* Умножение с натрупване */
за (i = 0; i< 128; i++) {
acc += (h[i] * sample[i]);
/* Изход */
/* Изместване на забавения сигнал */
за (i = 127; i > 0; i--)
проба [i] = проба;
49 Изглаждане на данни. Пълзяща средна.
50 Изглаждане на данни. Изглаждане с параболи.
51 Изглаждане на данни. Спенсър изглаждане.
52 Изглаждане на данни. медианно филтриране.
Пълзяща средна, параболично изглаждане, изглаждане на Спенсър, филтриране по медиана
При разработването на методи за определяне на параметрите на физическите процеси, които бавно се променят във времето, важна задача е да се елиминира влиянието на шумови ефекти или случайни смущения, които се наслагват върху обработения сигнал, получен на изхода на първичния преобразувател.
За да премахнете този ефект, можете да приложите изглаждане на данните. Един от най-простите начини за такова изглаждане е средноаритметичното. Когато се прилага, всяка -та стойност на дискретната функция (масив от обработени данни) се изчислява в съответствие с израза:
където е броят на точките за осредняване на аритметичното (цяло нечетно число);
Стойността на функцията преди обработката;
Има и други, доста ефективни методи за изглаждане, например чрез параболи от втора степен в пет, седем, девет и единадесет точки в съответствие с изразите:
или параболи от четвърта степен в седем, девет, единадесет и тринадесет точки:
В практически приложения други ефективни методи дават добри резултати, например 15-точково изглаждане на Спенсър:
Замествайки в тези изрази комплексния показател , където, можем да определим трансферната функция на съответната трансформация.
За средно аритметично
Изразът в скоби е геометрична прогресия със знаменател, така че този израз може да се запише като:
.
Тази формула е характеристиката на предаване на нискочестотния филтър и от нея може да се види, че колкото повече членове участват в осредняването, толкова по-голямо е потискането на високочестотните шумови компоненти в сигнала (виж Фигура 6.1).
Въпреки това, семантичната концепция за честота при обработката на времеви тенденции се различава от тази при обработката на сигнали. Това се обяснява с факта, че при изучаване на тенденциите във времето не се интересува техният честотен състав, а видът на промяната (нарастване, намаляване, постоянство, цикличност и др.).
Използването на така наречените евристични алгоритми също е доста ефективно за изглаждане на данните.
Един от тях е медианното филтриране. В хода на изпълнението му в плъзгащ се времеви прозорец с размерност , където е нечетно цяло число, централният елемент се заменя със средния елемент на последователността, в която са подредени във възходящ ред на стойностите елементи от масива от данни на изгладен сигнал, който попада във времевия прозорец. Предимството на медианното филтриране е възможността за премахване на импулсен шум, чиято продължителност не надвишава, практически без изкривяване на плавно променящите се сигнали. Този метод за потискане на шума няма строга математическа обосновка, но простотата на изчисленията и ефективността на получените резултати доведоха до широкото му използване.
Фигура 6.1 - Графики на предавателната характеристика
операции за средно аритметично за m=5, 7, 9, 11
Друг интересен алгоритъм за изглаждане е средното осредняване. Същността му е следната. В плъзгащ се времеви прозорец, измерение (- нечетно цяло число), елементите на масива от данни се сортират във възходящ ред и след това първият и последният елемент се премахват от подредената последователност (<). Центральный элемент временного окна из последовательности сглаживаемых данных заменяется значением, вычисляемым как
Този метод ви позволява да потискате импулсните и радиочестотните смущения, както и да постигнете добро изглаждане на сигнала.
| " |
Всичко започна, когато приятел на приятел на мой приятел имаше нужда от помощ със същите тези филтри. Чрез джедайските пътища слуховете за това достигнаха до мен, аз се отписах в коментарите към публикацията на връзката. Изглежда, че е помогнало. Е, надявам се.
Тази история събуди в мен спомени за третия или нещо подобно курс, когато аз самият преминах DSP, и ме подтикна да напиша статия за всички онези, които се интересуват от това как работят цифровите филтри, но които естествено се страхуват от закачливите формули и психеделични рисунки в (вече не говоря за учебници.
Като цяло, според моя опит, ситуацията с учебниците се описва с добре познатата фраза за факта, че не можете да видите гората зад дърветата. И тогава да кажем, когато веднага започнат да те плашат със Z-трансформацията и формулите с разделянето на полиноми, които често са по-дълги от две дъски, интересът към темата изсъхва изключително бързо. Ще започнем с прост, тъй като не е необходимо да пишете дълги сложни изрази, за да разберете какво се случва.
И така, за начало, няколко прости основни концепции.
1. Импулсен отговор.
Да кажем, че имаме кутия с четири проводника. Нямаме представа какво има вътре, но знаем със сигурност, че двата леви извода са входът, а двата десни са изходът. Нека се опитаме да приложим много кратък импулс с много голяма амплитуда към него и да видим какво се случва на изхода. Е, защо, все едно е какво има вътре в този четириполюс - не е ясно, защото не е ясно как да го опишем, но ще видим поне нещо.
Тук трябва да се каже, че кратък (най-общо казано, безкрайно кратък) импулс с голяма (най-общо казано, безкрайна) амплитуда на теория се нарича делта функция. Между другото, най-смешното е, че интегралът на това безкраенфункция е равна на единица. Такава е нормализацията.
И така, това, което видяхме на изхода на четириполюсника, след като приложихме делта функцията към входа, се нарича импулсна реакциятози четириполюсник. Засега обаче не е ясно как ще ни помогне, но сега нека просто си припомним получения резултат и да преминем към следващата интересна концепция.
2. Конволюция.
Накратко, конволюцията е математическа операция, която се свежда до интегриране на продукта от функции:
Обозначено, както можете да видите, със звездичка. Може също да се види, че по време на конволюцията една функция се взема в нейния „директен“ ред и преминаваме през втората „отзад напред“. Разбира се, в по-ценния за човечеството дискретен случай конволюцията, като всеки интеграл, преминава в сумиране:
Изглежда, че някаква скучна математическа абстракция. Всъщност обаче намотката е може би най-магическият феномен на този свят, изненадващо по-нисък от раждането на човек, с единствената разлика, че откъде идват децата, повечето хора ще знаят най-малкото на възраст осемнадесет, докато за това какво е конволюция и защо е полезна и невероятна, огромна част от населението на света няма абсолютно никаква представа през целия си живот.
И така, силата на тази операция се крие във факта, че ако f е произволен входен сигнал и g е импулсната характеристика на четириполюсника, тогава резултатът от свиването на тези две функции ще бъде подобен на това, което бихме получили чрез предаване сигналът f през този четириполюсник.
Това означава, че импулсният спектър е пълен набор от всички свойства на четириполюсника във връзка с входното действие и свиването на входния сигнал с него ви позволява да възстановите съответния изходен сигнал. Що се отнася до мен, това е просто невероятно!
3. Филтри.
Можете да правите много интересни неща с импулсна реакция и конволюция. Например, ако сигналът е аудио, можете да организирате реверберация, ехо, припев, фленджър и много, много повече; можете да диференцирате и интегрирате ... Като цяло, създайте всичко. За нас сега най-важното е, че, разбира се, с помощта на конволюцията лесно се получават и филтри.
Действителният цифров филтър е конволюцията на входния сигнал с импулсна характеристика, съответстваща на желания филтър.
Но, разбира се, импулсната реакция трябва да се получи по някакъв начин. Разбира се, вече сме измислили как да го измерим по-горе, но в такава задача няма смисъл от това - ако вече сме сглобили филтър, защо да измерваме нещо друго, можете да го използвате както е. И освен това най-важната стойност на цифровите филтри е, че те могат да имат характеристики, които са недостижими (или много трудни за постигане) в действителност - например линейна фаза. Така че изобщо няма начин да се измери, просто трябва да се брои.
4. Получаване на импулсната характеристика.
В този момент в повечето публикации по темата авторите започват да изсипват планини от Z-преобразувания и дроби от полиноми върху читателя, напълно го обърквайки. Няма да го правя, само накратко ще обясня за какво е всичко това и защо на практика не е много необходимо на прогресивната публика.
Да предположим, че сме решили какво искаме от филтъра и сме направили уравнение, което го описва. Освен това, за да намерите импулсната характеристика, можете да замените делта функцията в полученото уравнение и да получите желаната. Единственият проблем е как да го направим, защото делтата функционира във времето Оти регион е зададен от хитра система и въобще има всякакви безкрайности. Така че на този етап всичко се оказва ужасно трудно.
Ето, това се случва и те си спомнят, че има такова нещо като трансформация на Лаплас. Само по себе си не е половин килограм стафиди. Единствената причина да се толерира в радиотехниката е именно фактът, че в пространството на аргумента, към който тази трансформация е преход, някои неща наистина се опростяват. По-специално, същата делта функция, която ни създаде толкова много проблеми във времевия домейн, е много лесна за изразяване - там е само една!
Z-трансформацията (известна още като трансформация на Лоран) е версия на трансформацията на Лаплас за дискретни системи.
Тоест, чрез прилагане на трансформацията на Лаплас (или Z-трансформация, ако е необходимо) към функцията, описваща желания филтър, замествайки единица в резултантния филтър и преобразувайки обратно, получаваме импулсния отговор. Звучи лесно, всеки може да опита. Няма да рискувам, защото, както вече споменахме, трансформацията на Лаплас е грубо нещо, особено обратното. Нека го оставим като последна инстанция, а ние сами ще търсим някои по-прости начини да получим това, което търсим. Има няколко от тях.
Първо, можем да си припомним още един удивителен факт от природата - амплитудно-честотните и импулсните характеристики са свързани помежду си чрез едно любезно и познато преобразуване на Фурие. Това означава, че можем да начертаем всякаква честотна характеристика по наш вкус, да вземем обратното преобразуване на Фурие от нея (независимо дали непрекъснато или дискретно) и да получим импулсната характеристика на системата, която я прилага. Просто е невероятно!
Тук обаче няма да мине без проблеми. Първо, импулсният отговор, който получаваме, вероятно ще бъде безкраен (няма да навлизам в обяснения защо; така работи светът), така че ще трябва доброволно да го прекъснем в даден момент (като го настроим на нула след това точка). Но това няма да се случи просто така - в резултат на това, както се очаква, ще има изкривявания в честотната характеристика на изчисления филтър - той ще стане вълнообразен и честотният срез ще бъде замъглен.
За да се сведат до минимум тези ефекти, към съкратената импулсна характеристика се прилагат различни функции за изглаждане на прозореца. В резултат честотната характеристика обикновено се замъглява още повече, но неприятните (особено в честотната лента) трептения изчезват. 
Всъщност след такава обработка получаваме работеща импулсна характеристика и можем да изградим цифров филтър.
Вторият метод на изчисление е още по-прост - импулсните характеристики на най-популярните филтри отдавна са изразени в аналитична форма за нас. Остава само да замените вашите стойности и да приложите функцията на прозореца към резултата на вкус. Така че дори не можете да преброите никакви трансформации.
И, разбира се, ако целта е да емулирате поведението на определена верига, можете да получите нейния импулсен отговор в симулатора:
Тук приложих импулс от 100 500 волта (да, 100,5 kV) от 1 µs към входа на RC веригата и получих импулсния отговор. Ясно е, че в действителност това не може да се направи, но в симулатора този метод, както можете да видите, работи чудесно.
5. Бележки.
Казаното дотук за съкращаването на импулсната характеристика се отнасяше разбира се за т.нар. филтри с ограничена импулсна характеристика (FIR / FIR филтри). Те имат куп ценни свойства, включително линейна фаза (при определени условия за изграждане на импулсна характеристика), която не дава изкривяване на сигнала при филтриране, както и абсолютна стабилност. Има филтри с безкрайна импулсна характеристика (IIR / IIR филтри). Те са по-малко ресурсоемки по отношение на изчисленията, но вече нямат изброените предимства.
В следващата статия се надявам да анализирам прост пример за практическото прилагане на цифров филтър.
Зареждане...