Стойността, която характеризира разпределението на енергията в спектъра на сигнала и се нарича енергийна спектрална плътност, съществува само за сигнали, чиято енергия за безкраен интервал от време е крайна и следователно преобразуването на Фурие е приложимо за тях.
За сигнали, които не се разпадат във времето, енергията е безкрайно голяма и интегралът (1.54) се разминава. Задаването на амплитудния спектър не е възможно. въпреки това средна мощностРср, определен от съотн
се оказва краят. Следователно се използва по-широкото понятие "спектрална плътност на мощността". Ние го дефинираме като производна на средната мощност на сигнала по отношение на честотата и го обозначаваме като Ck(u):
Индексът k подчертава, че тук разглеждаме спектралната плътност на мощността като характеристика детерминирана функция u(t), описващ изпълнението на сигнала.
Тази характеристика на сигнала е по-малко значима от спектралната плътност на амплитудите, тъй като е лишена от фазова информация [вж. (1.38)]. Следователно е невъзможно да се възстанови еднозначно оригиналната реализация на сигнала от него. Липсата на информация за фазата обаче прави възможно прилагането на тази концепция към сигнали, в които фазата не е дефинирана.
За да установим връзка между спектралната плътност Ck(w) и амплитудния спектър, използваме сигнала u(t), който съществува в ограничен интервал от време (-T<. t където е спектралната плътност на мощността на ограничен във времето сигнал. Ще бъде показано по-долу (вижте § 1.11), че чрез осредняване на тази характеристика за набор от реализации, може да се получи спектралната плътност на мощността за голям клас случайни процеси. Сега има две характеристики в честотната област: спектралната характеристика и спектралната плътност на мощността. Спектралната характеристика, съдържаща пълна информация за сигнала u(t), съответства на преобразуването на Фурие под формата на времева функция. Нека да разберем какво съответства във времевата област на спектралната плътност на мощността, лишена от фазова информация. Трябва да се приеме, че една и съща спектрална плътност на мощността съответства на набор от времеви функции, които се различават по фаза. Съветският учен Л.Я. Хинчин и американският учен Н. Винер почти едновременно откриха обратното преобразуване на Фурие на спектралната плътност на мощността: Обобщената времева функция r(), която не съдържа фазова информация, ще се нарича времева автокорелационна функция. Той показва степента на връзка между стойностите на функцията u(t), разделени от интервал от време, и може да бъде получен от статистическата теория чрез разработване на концепцията за коефициента на корелация. Обърнете внимание, че във функцията за времева корелация осредняването се извършва във времето в рамките на една реализация с достатъчно голяма продължителност. Втората интегрална връзка за двойката преобразуване на Фурие също е валидна: Пример 1.6 Определете времевата функция на автокорелацията на хармоничен сигнал u(t) = u0 cos(t-c). Според (1.64) След няколко прости трансформации най-накрая имаме Както се очаква, ru() не зависи от u и следователно (1.66) е валидно за цял набор от хармоници, които се различават по фаза. Под сигнална енергия ИНТЕГРАЛНА СХЕМА)разберете величината Ако сигналът е с ограничена продължителност T,тези. не е равно на нула в интервала от време [-T/ 2, T/ 2], тогава неговата енергия Записваме израза за енергията на сигнала, използвайки формула (2.15): Където Полученото равенство се нарича Равенството на Парсевал.Той определя енергията на сигнала по отношение на времевата функция или спектралната енергийна плътност, която е равна на |5(/0))| 2. Спектралната енергийна плътност се нарича още енергиен спектър. Помислете за сигнал, който съществува в ограничен интервал от време. За такъв сигнал се прилага равенството на Парсевал. следователно Разделяме лявата и дясната част на равенството на интервал от време, равен на T, и оставяме този интервал да отиде до безкрайност: С нарастването Tенергията на незатихващите сигнали се увеличава, съотношението обаче може да клони към определена граница. Тази граница се нарича спектрална плътност на мощността C(co). Единица за спектрална плътност на мощността: [V 2 DC]. Функция за автокорелация на сигнала И(?) се определя от следния интегрален израз: където m е аргументът, дефиниращ функцията аз)и с измерението на времето; u(? + t) - оригиналният сигнал, изместен във времето с -t. Автокорелационната функция има следните свойства. 1. Стойността на автокорелационната функция при отместване m = O е равна на енергията на сигнала E: 2. Автокорелационна функция за смени m Е
0 по-малко енергия на сигнала: 3. Автокорелационната функция е четна функция, т.е. Ще проверим валидността на свойства 2 и 3 чрез пример. Пример 2.6.Изчислете автокорелационните функции на сигналите: видеосигналът, показан на фиг. 2.7, i, и радиосигнал със същата амплитуда и продължителност. Носещата честота на радиосигнала е ш,и началната фаза е 0. Решение. Нека решим първата задача графично. Автокорелационната функция се определя от интеграла на произведението на функцията И(?) и неговото изместено във времето копие. Можем ли да намерим отместването на видео сигнала от уравнението? + m = 0. Графика на функцията m(? +
t) е показано на фиг. 2.7, b.Площта, определена от графиката на продукта m (?) M (? + t) (фиг. 2.7, V),е равно на Функцията D (t) се определя от уравнението на права линия (фиг. 2.7, Ж).Функцията има максимум, ако стойността на аргумента m = 0, и е равна на 0, ако m = m и. За други стойности на аргумента /?(t) За да проверим валидността на свойство 3, по подобен начин изчисляваме функцията за отрицателни стойности на m: Ориз. 2.7. видео импулс: А- правоъгълен видео импулс; b- забавен правоъгълен импулс; V -продукт на импулси; G -автокорелационна функция Крайният израз за автокорелационната функция Функцията е показана на фиг. 2.7, Жи има триъгълна форма. Нека изчислим автокорелационната функция на радиосигнала, като го поставим симетрично спрямо вертикалната ос. Радио сигнал: Замествайки стойностите на сигнала и неговото изместено копие във формулата за автокорелационната функция /?(m), получаваме Изразът за автокорелационната функция на радиоимпулса се състои от два члена. Първият от тях се определя от произведението на триъгълна функция и хармоничен сигнал. На изхода на съгласувания филтър този член се реализира под формата на ромбовиден радиоимпулс. Вторият член се определя от произведението на триъгълната функция и функциите (vtd^/lz, разположени в точките m = +m и. Стойностите на функциите (vtx)/:*:, които имат забележим ефект върху втория член на автокорелационната функция, много бързо намалява с промяна на аргумента m от -t на oo и от t на - ° o. Решаване на уравнението възможно е да се намерят интервалите на забавяне, в които стойностите на функциите (vtls)/;*; все още влияят на поведението на функцията /?(t). За положителни стойности на забавяне където 70 е периодът на хармоничния сигнал. По същия начин се намира интервалът за отрицателни стойности на забавяне. Тъй като влиянието на втория член на автокорелационната функция е ограничено до много малки (в сравнение с продължителността на радиоимпулсите t u) интервали 70/2, в рамките на които стойностите на триъгълната функция са много малки, вторият член на автокорелационната функция на радиоимпулса може да бъде пренебрегната. Нека разкрием връзката между автокорелационната функция #(τ) и спектралната енергийна плътност на сигнала |5(/co)| 2. За да направим това, ние изразяваме изместения във времето сигнал u(1b +
m) по отношение на неговата спектрална плътност 5(/co): Нека заместим този израз в израз (2.21). В резултат на това получаваме Също така е лесно да се провери валидността на равенството Разделяме двете страни на равенството (2.23) на интервала от време T
и нека насочим величината T
до безкрайност: Като вземем предвид формула (2.20), пренаписваме получения израз: Където Обобщение на понятието "автокорелационна функция" е кръстосана корелационна функция,което е скаларно произведение на два сигнала: Нека разгледаме основните свойства на кръстосаната корелационна функция. 1. Пермутацията на факторите под интегралния знак променя знака на аргумента на кръстосаната корелационна функция: В горните трансформации използвахме замяната t + t = Х. Тази формула може да се изведе подобно на формула (2.22). Крос-корелационна функция между периодично повтарящ се сигнал и непериодичен сигнал v(t) = Uq(?) Където R(t) - автокорелационна функция на непериодичен сигнал u 0 (t).
Полученият израз е равен на сумата от два интеграла. При отместване, равно на нула, първият интеграл е равен на нула, а вторият е равен на енергията на сигнала. При отместване, равно на периода на сигнала, първият интеграл е равен на енергията на сигнала, а вторият е равен на нула. Всяка стойност на функцията при други смени е равна на сумата от стойностите на автокорелационните функции на непериодичен сигнал, изместени една спрямо друга с един период. В допълнение, кръстосаната корелационна функция е периодична функция, която удовлетворява уравнението Крос-корелационна функция аз или > ( t) между сигнала u(t) и сигнал равно на - продължителност на сигнала v(t). Всъщност, поради факта, че периодът на сигнала u(t) е равно на TИ кръстосана корелационна функция, където Изчисляване на границата на функцията (2 n+ 1) 7? m Mo (t) при П-> дефинирайте израз за автокорелационната функция на периодичен сигнал: Размер на функцията: [V 2 /Hz]. Функционални стойности при нулева смяна и други смени, за които Lts Mo(T) Е 0 са равни на безкрайност. По тази причина използването на последния израз като характеристика на периодичен сигнал губи своя смисъл. Разделете последния израз на интервал, равен на (2 П + 1 )T.В резултат на това получаваме функцията тъй като поради периодичността на функцията - t + T) = - T). Получената формула дефинира функцията IN( m) като граница на съотношението на автокорелационната функция на сигнала, съществуващ във времевия интервал (2 n+ 1 )T,към този интервал и тенденцията му към безкрайност. Тази граница за периодично повтарящ се сигнал се нарича автокорелационна функция на периодичен сигнал.Измерението на тази функция: [AT 2]. Директното преобразуване на Фурие на един период от автокорелационната функция на периодичен сигнал определя спектралната плътност на мощността, която е непрекъсната функция на честотата. От тази плътност, използвайки формула (2.17), може да се намери спектрална плътност на мощността на периодичната автокорелационна функция на сигнала, което се определя за дискретни стойности на честотите: където 0)1 = 2 п/т.
Ако автокорелационната функция е записана като ред на Фурие в тригонометрична форма, тогава изразът за нейната спектрална плътност Пример 2.7.Изчислете периодичната автокорелационна функция на сигнала i(f) = Аbsh SI.Въз основа на намерената функция, ограничена до един период, определете спектралната плътност на мощността. Решение. Замествайки дадения сигнал в израз (2.26), получаваме израз за периодичната автокорелационна функция: Заместваме получения израз във формула (2.24) и намираме спектралната плътност на мощността: Пример 2.8. За периодична нормализирана автокорелационна функция на подобен на шум сигнал (M-последователност с период н= 1023) изчисляване на спектралната плътност на мощността. (Периодична функция за последователност с по-малка дължина (IV= 15) е показано на фиг. 3.39.) Решение. За сравнително дълъг период LG = 1023 стойности на автокорелационната функция в интервала T- To > m > To, където To е продължителността на импулса на шумоподобната последователност, ще приемем равна на нула. В този случай автокорелационната функция се определя чрез периодично повтаряне с период Tпоследователност от триъгълни импулси. Основата на всеки триъгълник е 2to, а височината му е 1. Уравнението, което определя автокорелационната функция в рамките на един период, е IN( m) \u003d 1 - |m|/xo- Като вземем предвид равномерността на тази функция, определяме коефициентите на серията на Фурие: При изчисляване на интеграла е използвана формулата Замествайки изчислените коефициенти във формула (2.27), ние обхождахме Спектралната плътност на мощността на периодична автокорелационна функция е равна на претеглената сума от безкрайно голям брой делта функции. Коефициентите на тегло се определят от квадрата на функцията (etx) /: ":, умножен по постоянен коефициент 2n (тогава /T). Корелационни функции цифрови сигналисвързани с корелационните функции на последователности от знаци. За кодова последователност (вижте § 1.3) от крайно число н двоични символи, функцията за автокорелация се записва като Където -
двоични знаци, равни на 0 или 1, или знаци, равни на -1, 1; д= 0, 1, 2, ..., Н - .
Последователностите от символи могат да бъдат детерминистични или произволни. При предаване на информация характерно свойство на последователност от знаци е тяхната случайност. Стойностите на автокорелационната функция (при смени, които не са равни на нула), изчислени от предварително записана произволна последователност с крайна дължина, също са случайни. Автокорелационните функции на детерминирани последователности, които се използват за синхронизация, а също и като носители на дискретни съобщения, са детерминирани функции. Сигналите, конструирани с помощта на кодове или техните кодови последователности, се наричат кодирани сигнали. Повечето от свойствата на автокорелационната функция на кодовата последователност съвпадат със свойствата на автокорелационната функция на сигнала, обсъдени по-горе. С изместване на куршума автокорелационната функция на кодовата последователност достига максимум, който е равен на Ако знаците са -1, 1, тогава r(0) = Н.
Стойностите на автокорелационната функция за други смени са по-малки от r(0). Автокорелационната функция на кодовата последователност е четна функция. Обобщение на автокорелационната функция е кръстосаната корелационна функция. За кодови последователности с еднаква дължина тази функция Където
2
} 0
6/, - символи съответно от първа и втора последователност. Много функционални свойства d 12 (d)
съвпадат със свойствата на кръстосаната корелационна функция на сигналите, разгледани по-горе. Ако функцията r^(e), I F
за всяка двойка кодове при изместване д
= O е равно на нула, тогава се наричат такива кодове ортогонален.
Кратко описание на някои от кодовете, използвани в комуникационните системи, е дадено в Приложения 2-4. Извиква се функцията за кръстосана корелация между кодова последователност и периодично повтаряща се същата последователност периодична автокорелационна функция на кодовата последователност.
Изразът за функцията следва от изрази (2.25), (2.26): Където g(d) -
непериодична автокорелационна функция на кодовата последователност; д -
стойност на преместване между последователности. Нека заместим изразите за автокорелационните функции в получената формула: Където a/r, a^+c
- елементи на кодовата последователност. Периодичната автокорелационна функция на кодова последователност е равна на кръстосаната корелационна функция, изчислена за кодовата последователност и циклично изместените символи на тази последователност. Циклично изместени кодови последователности, получени от оригиналната последователност а 0 = а 0 ,а ( ,а 2 ,
..., a m _ b
са изброени по-долу. кодова последователност А (
получена в резултат на изместване на оригиналната последователност а 0
преместете един знак надясно и обвийте последния знак А
dm до началото на изместената последователност. Останалите последователности се получават по подобен начин: Пример 2.9.Изчислете автокорелационната и периодичната автокорелационна функция на кодирания сигнал (фиг. 2.8, а) където и 0 (O е правоъгълен импулс с амплитуда Аи продължителност t. Този сигнал е изграден от правоъгълни импулси, чийто знак се определя от тегловните коефициенти: a 0 = ,А. = 1, а 2= -1 и техния брой н= 3. Продължителността на сигнала е равна на 3t и. Решение. Замествайки израза за сигнала във формула (2.21), получаваме Нека променим променливата t - ct nНа Х: Означете: & - m = - и заменете дискретните променливи &, Tкъм променливи към, c.В резултат на това получаваме Графиката на автокорелационната функция за даден сигнал е показана на фиг. 2.8 b.Тази функция зависи от автокорелационната функция /? 0 (m) на правоъгълен импулс и стойности на автокорелационната функция r( Ориз. 2.8. Автокорелационна функция на кодирания сигнал: А- кодиран сигнал; 6 -
автокорелационна функция на сигнала; V- автокорелационна функция на периодичен сигнал Нека изчислим периодичната автокорелационна функция, използвайки изчислената по-горе автокорелационна функция, получените стойности на автокорелационната функция на кодовата последователност и формула (2.28). Периодична автокорелационна функция Заместете дадената стойност N= 3 в получената формула: Като се вземат предвид стойностите на автокорелационната функция на кодовата последователност K+Z) = 0, r(+ 2) = -1, r(+1) = 0, KO) = 3 записваме крайния израз за един период от периодичната автокорелационна функция на сигнала: Графиката на функцията е показана на фиг. 2.8 V. Пуснете сигнала с(T) е дадена като непериодична функция и съществува само в интервала ( T 1 ,T 2) (пример - единичен импулс). Нека изберем произволен период от време T, който включва интервала ( T 1 ,T 2) (виж Фиг.1). Нека обозначим периодичния сигнал, получен от с(T), като ( T). Тогава можем да напишем редицата на Фурие за него За да стигнете до функцията с(T) следва в израза ( T) нека периодът отива до безкрайност. В този случай броят на хармоничните компоненти с честотите w=н 2стр/Tще бъде безкрайно голямо, разстоянието между тях ще клони към нула (към безкрайно малка стойност: амплитудите на компонентите също ще бъдат безкрайно малки. Следователно вече не е възможно да се говори за спектъра на такъв сигнал, тъй като спектърът става непрекъснат. Вътрешният интеграл е функция на честотата. Нарича се спектрална плътност на сигнала или честотна характеристикасигнализират и обозначават т.е. За общоприетост границите на интегрирането могат да бъдат зададени като безкрайни, тъй като е все едно, когато s(t) е равно на нула, а интегралът е равен на нула. Изразът за спектралната плътност се нарича директно преобразуване на Фурие. Обратна трансформацияФурие определя функцията на времето на сигнала от неговата спектрална плътност прякото (*) и обратното (**) преобразуване на Фурие се наричат заедно двойка преобразувания на Фурие. Модул на спектралната плътност определя амплитудно-честотната характеристика (AFC) на сигнала и неговия аргумент Значението на модула С(w) се определя като амплитудата на сигнал (ток или напрежение) за 1 Hz в безкрайно тясна честотна лента, която включва интересуващата ни честота w. Размерът му е [сигнал/честота]. Енергиен спектър на сигнала.Ако функцията s(t) има плътността на мощността на Фурие на сигнала ( спектрална плътност на енергията на сигнала) се определя от израза: w(t) = s(t)s*(t) = |s(t)|2 |S()|2 = S()S*() = W(). (5.2.9) Спектърът на мощността W() е реална неотрицателна четна функция, която обикновено се нарича енергиен спектър. Спектърът на мощността, като квадрат на модула на спектралната плътност на сигнала, не съдържа фазова информация за неговите честотни компоненти и следователно е невъзможно да се възстанови сигналът от спектъра на мощността. Това също означава, че сигнали с различни фазови характеристики могат да имат еднакви спектри на мощност. По-специално, изместването на сигнала не засяга неговия спектър на мощност. Последното дава възможност да се получи израз за енергийния спектър директно от изрази (5.2.7). В границите, за еднакви сигнали u(t) и v(t) с изместване t 0, въображаемата част от спектъра Wuv () клони към нулеви стойности, а реалната част - към стойностите на модула на спектъра. При пълно времево съвпадение на сигналите имаме: тези. енергията на сигнала е равна на интеграла от квадрата на неговия модул честотен спектър- сумата от енергията на неговите честотни компоненти и винаги е реална стойност. За произволен сигнал s(t), равенството обикновено се нарича равенство на Парсевал (в математиката - теоремата на Планшерел, във физиката - формулата на Рейли). Равенството е очевидно, тъй като координатните и честотните представяния са по същество просто различни математически представяния на един и същ сигнал. По същия начин за енергията на взаимодействие на два сигнала: От равенството на Парсевал следва инвариантността на скаларното произведение на сигналите и нормата по отношение на преобразуването на Фурие: В редица чисто практически проблеми на записване и предаване на сигнали, енергийният спектър на сигнала е от изключително важно значение. Периодичните сигнали се превеждат в спектралната област под формата на ред на Фурие. Записваме периодичен сигнал с период T под формата на серия на Фурие в сложна форма: Интервалът 0-T съдържа цяло число периоди на всички интегранти на експонентите и е равен на нула, с изключение на експонентата при k = -m, за която интегралът е T. Съответно, средната мощност на a периодичен сигнал е равен на сумата от квадратите на модулите на коефициентите на неговата серия на Фурие: Енергиен спектър на сигнала
е енергийното разпределение на основните сигнали, които изграждат нехармоничния сигнал по честотната ос. Математически енергийният спектър на сигнала е равен на квадрата на модула на спектралната функция: Съответно амплитудно-честотният спектър показва набора от амплитуди на компонентите на основните сигнали по честотната ос, а фазово-честотният спектър показва набора от фази Модулът на спектралната функция често се нарича амплитуден спектър, а неговият аргумент е фазов спектър. Освен това има обратно преобразуване на Фурие, което ви позволява да възстановите оригиналния сигнал, като знаете неговата спектрална функция: Например вземете правоъгълен импулс: Друг пример за спектри: Честота на Найкуист, теорема на Котелников
.
Честота на Найкуист
- при цифрова обработка на сигнали, честота, равна на половината от честотата на дискретизация. Кръстен на Хари Найкуист. От теоремата на Котелников следва, че при дискретизиране аналогов сигналняма да има загуба на информация само ако спектърът (спектралната плътност) (най-високата честота на полезния сигнал) на сигнала е равен или по-нисък от честотата на Найкуист. В противен случай, при възстановяване на аналоговия сигнал, ще има припокриване на спектрални „опашки“ (честотно заместване, честотно маскиране) и формата на възстановения сигнал ще бъде изкривена. Ако спектърът на сигнала няма компоненти над честотата на Найкуист, тогава той може да бъде (теоретично) взет и след това реконструиран без изкривяване. Всъщност „цифровизирането“ на сигнала (преобразуването на аналогов сигнал в цифров) е свързано с квантуване на проби - всяка проба се записва под формата на цифров код с крайна битова дълбочина, в резултат на което грешки при квантуване (закръгляване) се добавят към пробите, при определени условия, считани за „шум от квантуване“. Реалните сигнали с ограничена продължителност винаги имат безкрайно широк спектър, който намалява повече или по-малко бързо с увеличаване на честотата. Следователно семплирането на сигнали винаги води до загуба на информация (изкривяване на формата на вълната по време на семплиране-възстановяване), без значение колко висока е честотата на семплиране. При избраната честота на дискретизация изкривяването може да бъде намалено чрез потискане (предварително семплиране) на спектралните компоненти на аналоговия сигнал над честотата на Найкуист, което изисква филтър от много висок ред, за да се избегне нагласяне. Практическа реализациятакъв филтър е много труден, тъй като амплитудно-честотните характеристики на филтрите не са правоъгълни, а гладки и се образува определена преходна честотна лента между лентата на пропускане и лентата на потискане. Следователно честотата на семплиране е избрана с марж, например аудио компактдискове използват честота на семплиране от 44100 херца, докато по-висока честотав спектъра звукови сигналичестотата се счита за 20000 Hz. Честотният марж на Найкуист от 44100 / 2 - 20000 = 2050 Hz избягва честотното заместване при използване на внедрения филтър от нисък ред. Теорема на Котелников За да се възстанови оригиналният непрекъснат сигнал от семплиран с малки изкривявания (грешки), е необходимо рационално да се избере стъпката на семплиране. Следователно при преобразуването на аналогов сигнал в дискретен непременно възниква въпросът за размера на стъпката на дискретизация.Интуитивно не е трудно да се разбере следната идея. Ако аналоговият сигнал има нискочестотен спектър, ограничен от някаква горна честота Fe (т.е. функцията u(t) има формата на плавно променяща се крива, без резки промени в амплитудата), тогава тази функция е малко вероятно да се промени значително през определен малък интервал от време на дискретизация.амплитуда. Съвсем очевидно е, че точността на възстановяване на аналогов сигнал от последователност от неговите проби зависи от стойността на интервала на вземане на проби.Колкото по-кратък е, толкова по-малко функцията u(t) ще се различава от гладка крива, преминаваща през извадката точки. Въпреки това, с намаляване на интервала на вземане на проби, сложността и обемът на оборудването за обработка се увеличават значително. При достатъчно голям интервал на вземане на проби, вероятността от изкривяване или загуба на информация се увеличава, когато аналоговият сигнал се възстанови. Оптималната стойност на интервала на дискретизация се установява от теоремата на Котелников (други имена са теоремата за вземане на проби, теоремата на К. Шанън, теоремата на X. Найкуист: теоремата е открита за първи път в математиката от О. Коши и след това отново описана от Д. Карсън и Р. Хартли), доказани от него през 1933 г. Теоремата на В. А. Котелников е от голямо теоретично и практическо значение: тя дава възможност за правилно дискретизиране на аналоговия сигнал и определя оптималния начин за възстановяването му в приемащия край от референтни стойности. Според една от най-известните и прости интерпретации на теоремата на Котелников, произволен сигнал u(t), чийто спектър е ограничен от определена честота Fe, може да бъде напълно възстановен от последователността на неговите референтни стойности, следващи с интервал от време Интервалът на дискретизация и честотата Fe(1) често се наричат в радиотехниката съответно интервал и честота на Найкуист. Аналитично теоремата на Котелников е представена от серията където k е номерът на пробата; - стойност на сигнала в референтни точки - горна честотаспектър на сигнала. Честотно представяне на дискретни сигнали
.
Повечето сигнали могат да бъдат представени като ред на Фурие: Спектрална плътност на кръстосана мощност (спектър на кръстосана мощност)две реализации и стационарни ергодични случайни процеси и се определя като директно преобразуване на Фурие върху тяхната взаимна ковариационна функция или, като се има предвид връзката между кръгови и циклични честоти, Обратното преобразуване на Фурие свързва взаимната ковариационна функция и спектралната плътност на мощността: Подобно на (1.32), (1.33) въвеждаме спектрална плътност на мощността (спектър на мощността)
случаен процес Функцията има свойството паритет: За взаимната спектрална плътност е валидна следната връзка: където е функционалният комплекс, спрегнат на . Горните формули за спектрални плътности са определени както за положителни, така и за отрицателни честоти и се наричат двустранни спектрални плътности
. Те са удобни при аналитично изследване на системи и сигнали. На практика те използват спектрални плътности, които са определени само за неотрицателни честоти и се наричат едностранно
(Фигура 1.14): Фигура 1.14 - Едностранно и двустранно спектрални плътности Нека изведем израз, свързващ едностранната спектрална плътност на стационарния SP с неговата ковариационна функция: Вземаме под внимание свойството за паритет за ковариационната функция на стационарната SP и косинусовата функция, нечетното свойство за синусовата функция и симетрията на границите на интегриране. В резултат на това вторият интеграл в получения по-горе израз изчезва и в първия интеграл границите на интегриране могат да бъдат намалени наполовина, удвоявайки коефициента: Очевидно спектралната плътност на мощността на случаен процес е реална функция. По същия начин може да се получи обратната връзка: От израз (1.42) при , следва, че Това означава, че общата площ под едностранната диаграма на спектралната плътност е равна на средния квадрат на произволния процес. С други думи, едностранната спектрална плътност се интерпретира като средноквадратично разпределение на процеса по честоти. Площта под графиката на едностранната плътност, затворена между две произволни стойности на честотата и , е равна на средния квадрат на процеса в тази честотна лента на спектъра (Фигура 1.15): Фигура 1.15 - Свойство спектрална плътност Взаимната спектрална плътност на мощността е сложна величина, така че може да бъде представена в експоненциална форма по отношение на модул
И фазов ъгъл
: къде е модулът; е фазовият ъгъл; , са съответно реалната и имагинерната част на функцията. Модулът на взаимната спектрална плътност е включен във важното неравенство Това неравенство ни позволява да определим кохерентна функция
(квадрат на кохерентност), който е подобен на квадрата на нормализираната корелационна функция: Вторият начин за въвеждане на спектрални плътности е директното преобразуване на Фурие на случайни процеси. Нека и са два стационарни ергодични произволни процеса, за които крайни преобразувания на Фурие
th реализации на дължината се дефинират като Двустранната взаимна спектрална плътност на тези случайни процеси се въвежда с помощта на продукта чрез отношението където операторът на очакване означава операцията на осредняване върху индекса. Изчисляването на двустранната спектрална плътност на случаен процес се извършва съгласно съотношението Едностранните спектрални плътности се въвеждат по подобен начин: Функциите, дефинирани от формули (1.49), (1.50), са идентични на съответните функции, дефинирани от отношения (1.32), (1.33), като преобразува Фурие върху ковариационни функции. Това твърдение се нарича Теореми на Винер-Хинчин.
1. Дайте класификация на детерминистичните процеси. 2. Каква е разликата между полихармонични и почти периодични процеси? 3. Формулирайте дефиницията на стационарен случаен процес. 4. Какъв метод за осредняване на характеристиките на ергодичен случаен процес е за предпочитане - осредняване върху съвкупност от извадкови функции или осредняване върху времето за наблюдение на една реализация? 5. Формулирайте дефиницията на плътността на разпределението на вероятностите за случаен процес. 6. Запишете израз, свързващ корелационните и ковариационните функции на стационарен случаен процес. 7. Кога два случайни процеса се считат за некорелирани? 8. Посочете методи за изчисляване на средния квадрат на стационарен случаен процес. 9. Чрез каква трансформация са свързани функциите на спектралната плътност и ковариацията на случаен процес? 10. До каква степен се променят стойностите на кохерентната функция на два случайни процеса? Литература 1. Сергиенко, А.Б. Цифрова обработка на сигнала / A.B. Сергиенко. - М: Петър, 2002. - 604 с. 2. Садовски, Г.А. Теоретична основаинформационно-измервателна техника / Г.А. Садовски. - М.: Висше училище, 2008. - 480 с. 3. Бендат, Д. Приложение на корелационния и спектрален анализ / Д. Бендат, А. Пирсол. – М.: Мир, 1983. – 312 с. 4. Бендат, Д. Измерване и анализ на случайни процеси / Д. Бендат, А. Пирсол. – М.: Мир, 1974. – 464 с. Следното е Кратко описаниеопределени са някои сигнали и техните спектрални плътности. При определяне на спектралните плътности на сигнали, които отговарят на условието за абсолютна интегрируемост, директно използваме формула (4.41). Спектралните плътности на редица сигнали са дадени в табл. 4.2. 1) Правоъгълен импулс (Таблица 4.2, т. 4). Трептенето, показано на фиг. (4.28, а) може да се запише като Неговата спектрална плътност Графиката на спектралната плътност (фиг. 4.28, а) се основава на анализа на спектъра на периодична последователност от еднополярни, правоъгълни импулси (4.14), извършен по-рано. Както се вижда от (фиг. 4.28, b), функцията изчезва при стойностите на аргумента = н, Където П
-
1,
2, 3, ... - произволно цяло число. В този случай ъгловите честоти са равни на = . Ориз. 4.28. Правоъгълен импулс (а) и неговата спектрална плътност (б) Спектралната плътност на импулса при е числено равна на неговата площ, т.е. Ж(0)=А.
Това важи за инерцията с(T)
произволна форма. Действително, задавайки в общия израз (4.41) = 0, получаваме т.е. импулсна област с(T).
Таблица 4.3. Сигнал с(T) Спектрална плътност Когато импулсът се разтяга, разстоянието между нулите на функцията се намалява, т.е. спектърът се компресира. В резултат на това стойността се увеличава. Напротив, когато импулсът се компресира, спектърът му се разширява и стойността намалява. На (фиг. 4.29, a, b) са графики на амплитудните и фазовите спектри на правоъгълен импулс. Ориз. 4.29. Графики на амплитудата (а) Фиг. 4.30. Правоъгълен импулс и спектри на фаза (b), изместени във времето Когато импулсът се измества надясно (закъснение) по време (фиг. 4.30), фазовият спектър се променя със стойността, определена от аргумента на множителя exp () (Таблица 4.2, поз. 9). Полученият фазов спектър на забавения импулс е показан на фиг. 4.29, b с пунктирана линия. 2) Делта функция (Таблица 4.3, т. 9). Функциите на спектралната плътност се намират по формулата (4.41), като се използва свойството филтриране δ
- Функции: Така амплитудният спектър е равномерен и се определя от площта δ
-функция [= 1] и фазовият спектър е нула [= 0]. Като едно от определенията се използва обратното преобразуване на Фурие на функцията = 1 δ
- Функции: Използвайки свойството времево изместване (Таблица 4.2, т. 9), определяме спектралната плътност на функцията ,
забавено във времето спрямо :
Амплитудните и фазовите спектри на функцията са показани в табл. 4.3, поз. 10. Обратното преобразуване на Фурие на функция има формата 3) Хармонично трептене Тогава, като вземем предвид (4.47), получаваме δ(ω)
са делта функции, изместени по честотната ос с честота съответно надясно и наляво спрямо. Както се вижда от (4.48), спектралната плътност на хармонично трептене с крайна амплитуда приема безкрайно голяма стойност при дискретни честоти. Извършвайки подобни трансформации, може да се получи спектралната плътност на трептенията 4) Функция за преглед Спектралната плътност на сигнала като постоянно ниво Асе определя по формула (4.48), настройка = 0: 5) Единична функция (или единичен скок) (Таблица 4.3, поз. 8). Функцията не е абсолютно интегрируема. Ако се представи като граница на експоненциалния импулс ,
т.е. тогава спектралната плътност на функцията може да се дефинира като границата на спектралната плътност на експоненциалния импулс (Таблица 4.3, поз. 1) при: Първият член от дясната страна на този израз е равен на нула при всички честоти с изключение на = 0, където отива до безкрайност, а площта под функцията е равна на постоянна стойност Следователно функцията може да се счита за граница на първия член. Границата на втория член е функцията. Накрая получаваме Наличието на два члена в израз (4.51) е в съответствие с представянето на функцията
под формата 1/2+1/2знак( T).
Съгласно (4.50) постоянният компонент 1/2 съответства на спектралната плътност , а нечетната функция
е въображаемата стойност на спектралната плътност. Когато анализирате въздействието на единичен скок върху веригите, Функция на предаванекоето е равно на нула при = 0 (т.е. във вериги, които не преминават постоянен ток), във формула (4.51) може да се вземе предвид само вторият член, представляващ спектралната плътност на единичен скок във формата 6) Комплексен експоненциален сигнал (Таблица 4.3, т. 16). Ако представим функцията във формата след това, въз основа на линейността на преобразуването на Фурие и като се вземат предвид изразите (4.48) и (4.49), спектралната плътност на комплексния експоненциален сигнал Следователно комплексният сигнал има асиметричен спектър, представен от една делта функция, изместена с честота надясно спрямо. 7) Произволна периодична функция. Нека представим произволна периодична функция (фиг. 4.31, а) като сложна серия на Фурие където е честотата на повторение на импулса. Коефициенти на ред на Фурие се изразяват чрез спектралната плътност на единичен импулс с(T)
на честоти ( н=0,
±1, ±2, ...). Замествайки (4.55) в (4.54) и използвайки връзката (4.53), ние определяме спектралната плътност на периодичната функция: Съгласно (4.56), спектралната плътност на произволна периодична функция има формата на последователност от функции, изместени една спрямо друга с честота (фиг. 4.31, b). Коефициенти при δ
-функциите се променят в съответствие със спектралната плътност на единичен импулс с(T) (пунктирана крива на фиг. 4.31, b). 8) Периодична последователност от δ-функции (Таблица 4.3, т. 17). Спектрална плътност на периодична последователност от -функции се определя от формула (4.56) като специален случай на спектралната плътност на периодична функция за
=
1:
Фиг.4.31. Произволна последователност от импулси (а) и нейната спектрална плътност (б) Ориз. 4.32. Радиосигнал (a), спектрални плътности на радиосигнала (c) и неговата обвивка (b) и има формата на периодична последователност δ
-функции, умножени по коефициента . 9) Радиосигнал с правоъгълна обвивка. Радиосигналът, показан на (фиг. 4.32, а), може да бъде написан като Съгласно поз. 11 Таблица 4.2, спектралната плътност на радиосигнала се получава чрез изместване на спектралната плътност на правоъгълната обвивка по честотната ос надясно и наляво с намаляване на ординатите наполовина, т.е. Този израз се получава от (4.42) чрез замяна на честотата с честотите - изместване надясно и - изместване наляво. Трансформацията на спектъра на обвивката е показана на (фиг. 4.32, b, c). Примери за изчисляване на спектрите на непериодични сигнали също са дадени в.Детерминирана автокорелационна функция на сигнала
Автокорелационна функция
- границата на съотношението на автокорелационната функция на ограничен във времето сигнал към стойността на това време и когато тя клони към безкрайност. Ако тази граница съществува, тогава тя се определя от обратното преобразуване на Фурие на спектралната плътност на мощността на сигнала.
наречена фазово-честотна характеристика (PFC) на сигнала. Честотната характеристика на сигнала е четна функция, а фазовата характеристика е нечетна.
(Таблица 4.3, т. 12). Хармоничното трептене не е напълно интегрируем сигнал. Независимо от това, за определяне на неговата спектрална плътност се използва директно преобразуване на Фурие, записвайки формула (4.41) като:
(Таблица 4.3, т. 13)
(Таблица 4.3, позиция 11)
Зареждане...