Na površini.

Lokalna svojstva krivolinijskih koordinata

Kada razmatramo krivolinijske koordinate u ovom dijelu, pretpostavit ćemo da razmatramo trodimenzionalni prostor (n = 3) opremljen kartezijanskim koordinatama x , y , z . Slučaj drugih dimenzija razlikuje se samo po broju koordinata.

U slučaju euklidskog prostora, metrički tenzor, koji se također naziva kvadrat diferencijala luka, će u ovim koordinatama imati oblik koji odgovara matrici identiteta:

$dS^2\; =\; \backslash mathbf(dx)^2\; +\; \backslash mathbf(dy)^2\; +\; \backslash mathbf(dz)^2.$

Opšti slučaj

Neka $q\_1$, $q\_2$, $q\_3$- neke krivolinijske koordinate, koje ćemo smatrati zadanim glatkim funkcijama x , y , z . Imati tri karakteristike $q\_1$, $q\_2$, $q\_3$ služe kao koordinate u nekom području prostora, neophodno je postojanje inverznog preslikavanja:

$\backslash left\backslash (\backslash begin(matrica)\; x\; =\; \backslash varphi\_1\backslash left(q\_1,\backslash ;q\_2,\backslash ;q\_3\backslash desno);\backslash \backslash \; y=\; \backslash varphi\_2\backslash left(q\_1,\backslash ;q\_2,\backslash ;q\_3\backslash desno)\; \backslash \backslash \; z\; =\; \backslash varphi\_3\backslash left(q\_1,\backslash ;q\_2,\backslash ;q\_3\backslash desno),\backslash end(matrica)\backslash desno.$

Gdje $\backslash varphi\_1,\backslash ;\; \backslash varphi\_2,\backslash ;\; \backslash varphi\_3$- funkcije definirane u nekom domenu skupova $\backslash levo(q\_1,\backslash ;q\_2,\backslash ;q\_3\backslash desno)$ koordinate.

Lokalna baza i tenzorska analiza

U tenzorskom računu, mogu se uvesti lokalni bazni vektori: $\backslash mathbf(R\_j)=\backslash frac(d\backslash mathbf\; r)(dy^j)=\; \backslash frac(dx^i)(dy^j)\; \backslash mathbf\; e\_i=Q^i\_j\; \backslash mathbf\; e\_i$, Gdje $\backslash mathbf\; e\_i$- ortice kartezijanskog koordinatnog sistema, $Q^i\_j$ je Jakobijanska matrica, $x^i$ koordinate u kartezijanskom sistemu, $y^i$- unos krivolinijskih koordinata.
Nije teško uočiti da krivolinijske koordinate, općenito govoreći, variraju od tačke do tačke.
Naznačimo formule za vezu između krivolinijskih i kartezijanskih koordinata:
$\backslash mathbf\; R\_i=Q^j\_i\; \backslash mathbf\; e\_j$
$\backslash mathbf\; e\_i=P^j\_i\; \backslash mathbf\; R\_j$ Gdje $P^j\_i\; Q^i\_j=E$, gdje je E matrica identiteta.
Proizvod dva lokalna bazna vektora formira metričku matricu:
$\backslash mathbf\; R\_i\; \backslash mathbf\; R\_j\; =\; Q^n\_i\; Q^m\_j\; d\_(nm)\; =\; g\_(ij)$
$\backslash mathbf\; R^i\; \backslash mathbf\; R^j\; =\; P^i\_n\; P^j\_m\; d^(nm)=g^(ij)$
$g\_(ij)\; g^(jk)=g^(jk)\; g\_(ij)\; =d\_i^k$, Gdje $d\_(ij),\; d^(ij),\; d^i\_j$ kontravarijantni, kovarijantni i mješoviti Kroneckerov simbol
Dakle, bilo koje tenzorsko polje $\backslash mathbf\; T$ ranga n može se proširiti na bazi lokalne poliade:
$\backslash mathbf\; T=\; T^(i\_1\; ...\; i\_n)\; \backslash mathbf\; e\_i\; \backslash otimes\; ...\; \backslash otimes\; \backslash mathbf\; e\_n\; =T^(i\_1\; ...i\_n)\; P^(j\_1)\_(i\_1)\; ...\; P^\; (j\_n)\_(i\_n)\; \backslash mathbf\; R\_(j\_1)\; \backslash otimes...\; \backslash otimes\; \backslash mathbf\; R\_(j\_n)$
Na primjer, u slučaju tenzorskog polja prvog ranga (vektora):
$\backslash mathbf\; v=v^i\; \backslash mathbf\; e\_i=v^i\; P^j\_i\; \backslash mathbf\; R\_j$

Ortogonalne krivolinijske koordinate

U Euklidskom prostoru, upotreba ortogonalnih krivolinijskih koordinata je od posebne važnosti, jer formule koje se odnose na dužinu i uglove izgledaju jednostavnije u ortogonalnim koordinatama nego u opštem slučaju. To je zbog činjenice da će metrička matrica u sistemima s ortonormalnom osnovom biti dijagonalna, što će uvelike pojednostaviti proračune.
Primjer takvih sistema je sferni sistem u $\backslash mathbb(R)^2$

Lame koeficijenti

Zapisujemo diferencijalni luk u krivolinijskim koordinatama u obliku (koristeći Einsteinovo pravilo sumiranja):

$dS^2\; =\; \backslash left(\backslash frac(\backslash partial\; \backslash varphi\_1)(\backslash partial\; q\_i)\backslash mathbf(dq)\_i\; \backslash right)^2\; +$

\left(\frac(\partial \varphi_2)(\partial q_i)\mathbf(dq)_i \right)^2 + \left(\frac(\partial \varphi_3)(\partial q_i)\mathbf(dq)_i \desno)^2 , ~i=1,2,3

Uzimajući u obzir ortogonalnost koordinatnih sistema ( $\backslash mathbf(dq)\_i\; \backslash cdot\; \backslash mathbf(dq)\_j\; =\; 0$ at $i\; \backslash ne\; j$) ovaj izraz se može prepisati kao

$dS^2\; =\; H\_1^2dq\_1^2\; +\; H\_2^2dq\_2^2\; +\; H\_3^2dq\_3^2,$

$H\_i\; =\; \backslash sqrt(\backslash left(\backslash frac(\backslash partial\; \backslash varphi\_1)(\backslash partial\; q\_i)\backslash right)^2\; +\; \backslash left(\backslash frac(\backslash partial\; \backslash varphi\_2)(\backslash partial\; q\_i)\backslash right)^2\; +\; \backslash \; lijevo(\backslash frac(\backslash partial\; \backslash varphi\_3)(\backslash partial\; q\_i)\backslash right)^2);\backslash \; i=1,\backslash ;2,\backslash ;3$

Pozitivne vrijednosti $h\_i\backslash$, u zavisnosti od tačke u prostoru, nazivaju se Lameovi koeficijenti ili faktori skale. Lameovi koeficijenti pokazuju koliko je jedinica dužine sadržano u jedinici koordinata date tačke i koriste se za transformaciju vektora kada se kreće iz jednog koordinatnog sistema u drugi.

Rimanov metrički tenzor napisan u koordinatama $(q\_i)$, je dijagonalna matrica , na čijoj su dijagonali kvadrati Lameovih koeficijenata:

Primjeri

polarne koordinate ( n=2)

Polarne koordinate u ravnini uključuju udaljenost r do pola (početak) i smjer (ugao) φ.

Veza polarnih koordinata sa kartezijanskim:

$\backslash levo\backslash (\backslash begin(matrica)\; x\; =\; r\backslash cos(\backslash varphi);\backslash \backslash \; y\; =\; r\backslash sin(\backslash varphi).\backslash end(matrica)\backslash desno.$

Lame koeficijenti:

$\backslash begin(matrix)H\_r\; =\; 1;\; \backslash \backslash H\_\backslash varphi\; =\; r.\; \backslash end(matrica)$

lučni diferencijal:

$dS^2\backslash \; =\backslash \; dr^2\backslash \; +\backslash \; r^2d\backslash varphi^2.$

U početku, funkcija φ nije definirana. Ako se koordinata φ ne posmatra kao broj, već kao ugao (tačka na jediničnom krugu), tada polarne koordinate formiraju koordinatni sistem u području dobivenom iz cijele ravni uklanjanjem početne točke. Ako, ipak, φ smatramo brojem, tada će u naznačenom području on biti višeznačan, a konstrukcija koordinatnog sistema strogo u matematičkom smislu moguća je samo u jednostavno povezanoj oblasti koja ne uključuje ishodište, npr. , u avionu bez zraka.

Cilindrične koordinate ( n=3)

Cilindrične koordinate su trivijalna generalizacija polarnih koordinata na slučaj trodimenzionalnog prostora dodavanjem treće koordinate z. Odnos cilindričnih koordinata sa kartezijanskim:

$\backslash levo\backslash (\backslash begin(matrica)\; x\; =\; r\backslash cos(\backslash varphi);\backslash \backslash \; y\; =\; r\backslash sin(\backslash varphi).\; \backslash \backslash \; z\; =\; z.\; \backslash end(matrica)\backslash desno.$

Lame koeficijenti:

$\backslash begin(matrix)H\_r\; =\; 1;\; \backslash \backslash H\_\backslash varphi\; =\; r;\; \backslash \backslash \; H\_z\; =\; 1.\; \backslash end(matrica)$

lučni diferencijal:

$dS^2\backslash \; =\backslash \; dr^2\backslash \; +\backslash \; r^2d\backslash varphi^2\; +\; dz^2.$

Sferne koordinate ( n=3)

Sferne koordinate su povezane sa koordinatama geografske širine i dužine na jediničnoj sferi. Veza sfernih koordinata sa kartezijanskim:

$\backslash left\backslash (\backslash begin(matrix)\; x\; =\; r\backslash sin(\backslash theta)\backslash cos(\backslash varphi);\backslash \backslash \; y\; =\; r\backslash sin(\backslash theta)\backslash sin(\backslash varphi);\; \backslash \backslash \; z\; =\; r\backslash cos\; (\backslash theta).\backslash end(matrica)\backslash desno.$

Lame koeficijenti:

$\backslash begin(matrix)H\_r\; =\; 1;\; \backslash \backslash \; H\_\backslash theta\; =\; r;\; \backslash \backslash H\_\backslash varphi\; =\; r\backslash sin(\backslash theta).\; \backslash end(matrica)$

lučni diferencijal:

$dS^2\backslash \; =\backslash \; dr^2\backslash \; +\backslash \; r^2d\backslash theta^2\; +\; r^2\backslash sin^2(\backslash theta)d\backslash varphi^2.$

Sferne koordinate, kao i cilindrične, ne rade na z-osi (x=0, y=0) jer φ koordinata tamo nije definirana.

Razne egzotične koordinate u avionu ( n=2) i njihove generalizacije

Napišite recenziju na članak "Krivilinearni koordinatni sistem"

Književnost

• Korn G., Korn T. Priručnik iz matematike (za naučnike i inženjere). - M.: Nauka, 1974. - 832 str.

Naziv koordinata Vrste koordinatnih sistema 2D koordinate 3D koordinate $n$-dimenzionalne koordinate Fizičke koordinate Povezane definicije

Izvod koji karakteriše krivolinijski koordinatni sistem

„Da nas može napasti, uradio bi to danas“, rekao je.
"Znači mislite da je nemoćan", rekao je Langeron.
„Mnogo, ako ima 40.000 vojnika“, odgovorio je Weyrother sa osmehom doktora kome doktor želi da ukaže na lek.
„U tom slučaju, on ide u smrt, čekajući naš napad“, rekao je Lanžeron sa tankim ironičnim osmehom, osvrćući se na najbližeg Miloradovića za potvrdu.
Ali Miloradovič je, očigledno, u tom trenutku najmanje mislio na ono oko čega su se generali svađali.
- Ma foi, [Tako mi Boga,] - rekao je, - sutra ćemo sve vidjeti na bojnom polju.
Weyrother se ponovo nasmejao onim osmehom koji je govorio da mu je smešno i čudno da naiđe na primedbe ruskih generala i dokaže ono u šta je ne samo on sam bio previše siguran, nego i u šta su i carevi bili sigurni.
“Neprijatelj je ugasio vatru, a u njegovom logoru je neprestana buka”, rekao je on. - Šta to znači? “Ili će se udaljiti, čega se jedino trebamo bojati, ili će promijeniti poziciju (nasmijao se). Ali čak i da je zauzeo poziciju u Tjurasu, samo nas štedi mnogo muke, a naređenja, do najsitnijih detalja, ostaju ista.
„Na koji način?..“ rekao je princ Andrej, koji je dugo čekao priliku da izrazi svoje sumnje.
Kutuzov se probudio, pročistio grlo i pogledao okolo prema generalima.
“Gospodo, raspoloženje za sutra, čak ni danas (jer je već prvi sat), ne može se promijeniti”, rekao je. „Čuli ste je i svi ćemo izvršiti svoju dužnost. A prije bitke, nema ništa važnije... (zastade) kako se dobro naspavati.
Pretvarao se da je ustao. Generali su se poklonili i povukli. Prošla je ponoć. Princ Andrew je otišao.

Vojni savet, na kojem princ Andrej nije izrazio svoje mišljenje, kako se nadao, ostavio je na njega nejasan i uznemirujući utisak. Ko je bio u pravu: Dolgorukov sa Weyrotherom ili Kutuzov sa Langeronom i drugi koji nisu odobravali plan napada, nije znao. „Ali da li je zaista bilo nemoguće da Kutuzov direktno izrazi svoje misli suverenu? Zar se ne može drugačije? Da li je zaista potrebno rizikovati desetine hiljada i svoj život zbog sudskih i ličnih razloga? mislio je.
„Da, vrlo je moguće da će te sutra ubiti“, pomislio je. I odjednom, na ovu pomisao na smrt, čitav niz uspomena, najudaljenijih i najiskrenijih, pojavio se u njegovoj mašti; sjetio se posljednjeg oproštaja od oca i žene; setio se prvih dana svoje ljubavi prema njoj! Setio se njene trudnoće, sažalio se i nje i sebe, pa je nervozno smekšan i uznemiren napustio kolibu u kojoj je stajao sa Nesvickim, i krenuo ispred kuće.
Noć je bila maglovita, a mjesečina je misteriozno sijala kroz maglu. „Da, sutra, sutra! mislio je. “Sutra će, možda, za mene sve biti gotovo, sva ta sjećanja više neće postojati, sva ta sjećanja više neće imati nikakvog značaja za mene. Sutra, možda, čak i verovatno sutra, ja to predviđam, prvi put ću konačno morati da pokažem sve što mogu. I zamišljao je bitku, njen gubitak, koncentraciju bitke na jednoj tački i zbunjenost svih komandujućih osoba. I sada mu se konačno pojavljuje taj srećni trenutak, taj Toulon, koji je toliko dugo čekao. On čvrsto i jasno govori svoje mišljenje i Kutuzovu, i Vejroteru, i carevima. Svi se čude ispravnosti njegovih ideja, ali niko se ne obavezuje da je ispuni, pa uzima puk, diviziju, izriče uslov da se niko ne meša u njegova naređenja i vodi svoju diviziju do odlučujuće tačke i sam pobjeđuje. Šta je sa smrću i patnjom? kaže drugi glas. Ali princ Andrej ne odgovara na ovaj glas i nastavlja svoje uspjehe. Raspored sljedeće bitke donosi on sam. Nosi čin vojnog dežurnog pod Kutuzovim, ali sve radi sam. Sljedeću bitku dobiva sam. Kutuzov je smijenjen, on je imenovan... Pa, i onda? opet kaže drugi glas, a onda, ako nisi ranjen, ubijen ili prevaren prije deset puta; pa, šta onda? „Pa, ​​a onda“, odgovara sam sebi princ Andrej, „ne znam šta će biti dalje, ne želim i ne mogu da znam: ali ako želim ovo, želim slavu, želim da budem poznati ljudiŽelim da me vole oni, onda nisam ja kriva što želim ovo, što želim ovo sama, za ovo sama živim. Da, za ovaj! Nikad to nikome neću reći, ali, Bože! šta da radim ako ne volim ništa osim slave, ljudske ljubavi. Smrt, rane, gubitak porodice, ništa me ne plaši. I koliko god mi mnogi ljudi bili dragi i dragi - moj otac, sestra, žena - meni najdraži ljudi - ali, koliko god to izgledalo strašno i neprirodno, sve ću ih sada dati za trenutak slave, trijumfa nad ljudima, za ljubav prema sebi ljudima koje ne poznajem i neću znati, za ljubav ovih ljudi“, mislio je slušajući razgovor u dvorištu Kutuzova. U dvorištu Kutuzova čuli su se glasovi bolničara koji su se pakovali; jedan glas, verovatno kočijaš, zadirkujući starog kuvara Kutuzovskog, koga je knez Andrej poznavao i koji se zvao Sinica, reče: "Sisa, a Sisa?"
„Pa“, odgovorio je starac.
"Tite, idi mlati", rekao je šaljivdžija.
„Pa, ​​pa dođavola s njima“, začuo se glas prekriven smehom batinaša i sluge.
„A ja ipak volim i njegujem samo trijumf nad svima njima, njegujem ovu tajanstvenu moć i slavu, koja ovdje juri nada mnom u ovoj magli!”

Rostov je te noći bio sa vodom u bočnom lancu, ispred Bagrationovog odreda. Njegovi husari bili su raštrkani u parovima u lancima; on je sam jahao duž ove linije lanca, pokušavajući da savlada san koji ga je neodoljivo spuštao. Iza njega se moglo vidjeti ogromno prostranstvo vatre naše vojske kako nejasno gori u magli; ispred njega je bila maglovita tama. Koliko god Rostov zavirio u ovu maglovitu daljinu, ništa nije video: postalo je sivo, a onda kao da je nešto pocrnilo; zatim bljesnu kao svjetla, gdje bi neprijatelj trebao biti; tada je pomislio da samo u njegovim očima blista. Oči su mu bile zatvorene, a u mašti su mu se pojavljivala sada suverena, pa Denisov, pa moskovska sećanja, i opet je brzo otvorio oči i zatvorio se ispred sebe video glavu i uši konja na kome je sedeo, ponekad crne figure husara, kada je bio šest koraka dalje, naletjele su na njih, a u daljini ista maglovita tama. "Iz onoga što? vrlo je moguće, mislio je Rostov, da će suveren, dočekavši me, izdati naređenje, kao i svakom oficiru: reći će: "Idi, saznaj šta je tamo." Puno su pričali kako je sasvim slučajno na takav način prepoznao nekog oficira i približio ga. Šta ako me je približio sebi! O, kako bih ga zaštitio, kako bih mu rekao cijelu istinu, kako bih razotkrio njegove prevarante ”, a Rostov je, da bi slikovito zamislio svoju ljubav i privrženost suverenu, zamišljao njemačkog neprijatelja ili prevaranta, kojeg je uživali ne samo da su ubijali, već su i udarali po obrazima u očima suverena. Odjednom daleki krik probudi Rostov. Trgnuo se i otvorio oči.
"Gdje sam? Da, u lancu: slogan i lozinka su vučna ruda, Olmutz. Kakva šteta što će naša eskadrila sutra biti u rezervi... pomislio je. - Pitaću da radim. Ovo je možda jedina prilika da vidite suverena. Da, nije dugo do promjene. Opet ću obići i, kad se vratim, otići ću kod generala i pitati ga.” Oporavio se u sedlu i dodirnuo konja da još jednom zaobiđe svoje husare. Mislio je da je svjetlije. Sa leve strane videla se blaga, osvetljena padina i suprotno, crno brdo, koje je delovalo strmo, kao zid. Na ovom brežuljku bila je bijela mrlja koju Rostov nikako nije mogao razumjeti: da li je to čistina u šumi, obasjana mjesecom, ili preostali snijeg, ili bijele kuće? Čak mu se učinilo da se nešto uskomešalo nad ovom bijelom mrljom. „Snijeg mora biti mrlja; mrlja je une tache, pomisli Rostov. “Ovdje ne taš...”

Na bilo kojoj površini možete uspostaviti koordinatni sistem tako što ćete ponovo definisati položaj tačke na njoj sa dva broja. Da bismo to učinili, na neki način pokrivamo cijelu površinu s dvije porodice linija tako da kroz svaku njenu tačku (možda uz mali broj izuzetaka) prolazi jedna, i to samo jedna, linija iz svake porodice. Sada je potrebno samo linije svake porodice dati numeričkim oznakama po nekom čvrstom pravilu koje omogućava da se po brojčanoj oznaci pronađe željena porodična linija (Sl. 22).

koordinate tačke M površine služe kao brojevi u, v, Gdje u-- brojčana oznaka linije prve porodice koja prolazi M, I v-- označavanje linija druge porodice. Nastavićemo da pišemo: M(u; v), brojevi i, v nazivaju se krivolinijske koordinate tačke M. Ono što je rečeno postat će sasvim jasno ako se za primjer obratimo sferi. Može biti prekrivena meridijanima (prva porodica); svaki od njih odgovara numeričkoj oznaci, odnosno vrijednosti geografske dužine u(ili c). Sve paralele čine drugu porodicu; svaki od njih odgovara numeričkoj oznaci - geografskoj širini v(ili i). Kroz svaku tačku sfere (isključujući polove) postoji samo jedan meridijan i jedna paralela.

Kao drugi primjer, razmotrite bočnu površinu desnog kružnog cilindra visine H, radijus a(Sl. 23). Za prvu porodicu ćemo uzeti sistem njenih generatora, jedan od njih će biti uzet kao početni. Svakoj generatrisi dodjeljujemo oznaku u, jednaka dužini luka na obodu baze između početne generatrike i date (luk ćemo računati, na primjer, u smjeru suprotnom od kazaljke na satu). Za drugu porodicu uzimamo sistem horizontalnih presjeka površine; brojčana oznaka v uzećemo u obzir visinu na kojoj je presek nacrtan iznad baze. Uz pravilan izbor osi x, y, z u prostoru ćemo imati za bilo koju tačku M(x; y; z) naša površina:

(Ovdje argumenti za kosinus i sinus nisu u stepenima, već u radijanima.) Ove jednačine se mogu posmatrati kao parametarske jednačine za površinu cilindra.

Zadatak 9. Po kojoj krivulji treba odrezati komad lima da se napravi koleno odvodne cijevi tako da se nakon pravilnog savijanja dobije cilindar polumjera A, skraćeno ravninom pod uglom od 45° u odnosu na ravan osnove?

Rješenje. Koristimo parametarske jednadžbe površine cilindra:

Povlačimo reznu ravninu kroz osu Oh, njena jednačina z=y. Kombinujući to sa upravo napisanim jednačinama, dobijamo jednačinu

presječne linije u krivolinijskim koordinatama. Nakon rasklapanja površine na ravan, krivolinijske koordinate I I v pretvoriti u kartezijanske koordinate.

Dakle, komad lima treba ocrtati odozgo duž sinusoide

Evo u I v već kartezijanske koordinate na ravni (slika 24).

Kako u slučaju sfere i cilindrične površine, tako i u opštem slučaju, specifikacija površine parametarskim jednačinama podrazumeva uspostavljanje krivolinijskog koordinatnog sistema na površini. Zaista, izraz za kartezijanske koordinate x, y, z proizvoljna tačka M (x; y; z) površine kroz dva parametra u, v(Ovo se općenito piše ovako: X\u003d c ( u; v),y= c (u;v), z=u (u;v), ts, sh, u - funkcije dva argumenta) omogućava, znajući par brojeva u, v, pronađite odgovarajuće koordinate x, y, z, dakle pozicija tačke M na površini; brojevi u, v služe kao njegove koordinate. Davanje jedne od njih konstantne vrijednosti, npr u=u 0 , dobijamo izraz x, y, z kroz jedan parametar v, tj. parametarska jednačina krive. Ovo je koordinatna linija jedne porodice, njena jednačina u=u 0 . Samo ista linija v=v 0 -- koordinatna linija druge porodice.

koordinatni dekartov radijus vektor

Odgovara takvom vektorskom prostoru. U ovom članku će se prva definicija uzeti kao početna.

N (\displaystyle n)-dimenzionalni euklidski prostor je označen E n , (\displaystyle \mathbb (E) ^(n),)često se koristi i notacija (ako je iz konteksta jasno da prostor ima euklidsku strukturu).

Enciklopedijski YouTube

1 / 5

✪ 04 - Linearna algebra. Euklidski prostor

✪ Neeuklidska geometrija. Prvi dio.

✪ Neeuklidska geometrija. Drugi dio

✪ 01 - Linearna algebra. Linearni (vektorski) prostor

✪ 8. Euklidski prostori

Titlovi

Formalna definicija

Za definiranje euklidskog prostora najlakše je uzeti kao osnovni koncept skalarnog proizvoda. Euklidski vektorski prostor je definiran kao konačno-dimenzionalni vektorski prostor nad poljem realnih brojeva, na čijim je vektorima data funkcija realne vrijednosti (⋅ , ⋅) , (\displaystyle (\cdot,\cdot),) sa sljedeća tri svojstva:

Primjer euklidskog prostora - koordinatni prostor R n , (\displaystyle \mathbb (R) ^(n),) koji se sastoji od svih mogućih torova realnih brojeva (x 1 , x 2 , … , x n) , (\displaystyle (x_(1),x_(2),\ldots ,x_(n)),) skalarni proizvod u kojem se određuje formulom (x , y) = ∑ i = 1 n x i y i = x 1 y 1 + x 2 y 2 + ⋯ + x n y n . (\displaystyle (x,y)=\suma _(i=1)^(n)x_(i)y_(i)=x_(1)y_(1)+x_(2)y_(2)+\cdots +x_(n)y_(n).)

Dužine i uglovi

Skalarni proizvod dat na euklidskom prostoru dovoljan je da uvede geometrijske koncepte dužine i ugla. Dužina vektora u (\displaystyle u) definisano kao (u , u) (\displaystyle (\sqrt ((u,u)))) i označeno | u | . (\displaystyle |u|.) Pozitivna određenost unutrašnjeg proizvoda garantuje da je dužina vektora različitog od nule različita od nule, a iz bilinearnosti sledi da | a u | = | a | | u | , (\displaystyle |au|=|a||u|,) odnosno dužine proporcionalnih vektora su proporcionalne.

Ugao između vektora u (\displaystyle u) I v (\displaystyle v) određuje se formulom φ = arccos ⁡ ((x, y) | x | | y |) . (\displaystyle \varphi =\arccos \left((\frac ((x,y))(|x||y|))\desno).) Iz teoreme kosinusa slijedi da je za dvodimenzionalni euklidski prostor ( euklidske ravni) ovu definiciju ugao se poklapa sa uobičajenim. Ortogonalni vektori, kao u trodimenzionalnom prostoru, mogu se definisati kao vektori, ugao između kojih je jednak π 2 . (\displaystyle (\frac (\pi)(2)).)

Nejednakost Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz i nejednakost trougla

Ostala je jedna praznina u gore datoj definiciji ugla: da bi arccos ⁡ ((x , y) | x | | y |) (\displaystyle \arccos \left((\frac ((x,y))(|x||y|))\desno)) je definisana, neophodno je da nejednakost | (x, y) | x | | y | | ≤ 1. (\displaystyle \left|(\frac ((x,y))(|x||y|))\right|\leqslant 1.) Ova nejednakost je zaista zadovoljena u proizvoljnom euklidskom prostoru, zove se  Cauchy- Bunyakovsky- Schwarz nejednakost. Iz ove nejednakosti, pak, slijedi nejednakost trokuta: | u+v | ⩽ | u | + | v | . (\displaystyle |u+v|\leqslant |u|+|v|.) Nejednakost trokuta, zajedno sa svojstvima dužine navedenim iznad, znači da je dužina vektora norma na euklidskom vektorskom prostoru, a funkcija d(x, y) = | x − y | (\displaystyle d(x,y)=|x-y|) definira strukturu metričkog prostora na euklidskom prostoru (ova funkcija se naziva euklidska metrika). Konkretno, udaljenost između elemenata (tačaka) x (\displaystyle x) I y (\displaystyle y) koordinatni prostor R n (\displaystyle \mathbb (R) ^(n)) dato formulom d (x, y) = ‖ x − y ‖ = ∑ i = 1 n (x i − y i) 2 . (\displaystyle d(\mathbf (x) ,\mathbf (y))=\|\mathbf (x) -\mathbf (y) \|=(\sqrt (\sum _(i=1)^(n) (x_(i)-y_(i))^(2))).)

Algebarska svojstva

Ortonormalne baze

Dualni prostori i operatori

Bilo koji vektor x (\displaystyle x) Euklidski prostor definira linearnu funkcionalnu x ∗ (\displaystyle x^(*)) na ovom prostoru, definisan kao x∗ (y) = (x, y) . (\displaystyle x^(*)(y)=(x,y).) Ovo preslikavanje je izomorfizam između euklidskog prostora i

Pravougaoni prostorni sistem kartezijanskih koordinata

Transformacije prostornih pravougaonih koordinatnih sistema

Transformacije linearnog preslikavanja

Svođenje opšteg kvadratnog oblika na kanonski

Krivolinijske koordinate

Opće informacije o krivolinijskim koordinatnim sistemima

Krivolinijske koordinate na površini

Polarni koordinatni sistemi i njihove generalizacije

Prostorni polarni koordinatni sistem

Cilindrični koordinatni sistem

Sferni koordinatni sistem

Polarne koordinate na površini

Poglavlje 3. KOORDINATNI SISTEMI U GEODEZIJI

Opšta klasifikacija koordinatnih sistema koji se koriste u geodeziji

Zemaljski geodetski koordinatni sistemi

Polarni koordinatni sistemi u geodeziji

Krivolinijski elipsoidni sistemi geodetskih koordinata

Određivanje elipsoidnih geodetskih koordinata posebnom metodom za određivanje planiranog i visinskog položaja tačaka na zemljinoj površini

Pretvaranje prostornih geodetskih polarnih koordinata u elipsoidne geodetske koordinate

Pretvaranje referentnih sistema geodetskih koordinata u globalne i obrnuto

Prostorni pravougaoni koordinatni sistemi

Odnos prostornih pravokutnih koordinata sa elipsoidnim geodetskim koordinatama

Pretvaranje prostornih pravokutnih referentnih koordinata u globalne i obrnuto

Topocentrični koordinatni sistemi u geodeziji

Odnos prostorne tocentrične horizontalne geodetske CS sa prostornim polarnim sfernim koordinatama

Pretvaranje tocentričnih horizontalnih geodetskih koordinata u prostorne pravokutne koordinate X, Y, Z

Sistemi ravnih pravougaonih koordinata u geodeziji

Odnos ravnih pravokutnih Gauss–Krügerovih koordinata prema elipsoidnim geodetskim koordinatama

Gauss-Krugerova planarna pravokutna koordinatna transformacija iz jedne zone u drugu

Preračunavanje ravnih pravokutnih koordinata tačaka lokalnih geodetskih konstrukcija u druge sisteme ravnih pravokutnih koordinata

Poglavlje 4

Koordinatni sistemi sferne astronomije

Referentni sistemi u geodeziji prostora

Zvjezdane (nebeske) inercijalne geocentrične ekvatorijalne koordinate

Greenwich terestrički geocentrični sistem prostornih pravougaonih koordinata

Topocentrični koordinatni sistemi

Poglavlje 5

Sistemi državnih geodetskih koordinata na početku XXI veka.

Izgradnja Državne geodetske mreže

BIBLIOGRAFIJA

DODATAK 1. RJEŠENJE DIREKTNOG GEODETSKOG PROBLEMA U SVEMIRU

DODATAK 2. RJEŠENJE INVERZNOG GEODETSKOG PROBLEMA U PROSTORU

DODATAK 3. KONVERZIJA GEODETSKIH KOORDINATA B, L, H U PROSTORNE PRAVOKUTNE X, Y, Z

DODATAK 4

DODATAK 5. KONVERZIJA PROSTORNIH PRAVOUGAONIH KOORDINATA X, Y, Z SK-42 U KOORDINATE SISTEMA PZ-90

DODATAK 6. KONVERZIJA REFERENTNOG SISTEMA GEODETSKIH KOORDINATA B, L, H U SISTEM GEODETSKIH KOORDINATA PZ-90 B0, L0, H0

DODATAK 7. KONVERZIJA PROSTORNIH POLARNIH KOORDINATA SISTEMA S, ZG, A U TOPOCENTRIČNE HORIZONTALNE GEODETSKE KOORDINATE HT, UT, ZT

DODATAK 8. KONVERZIJA TOPOCENTRIČNIH HORIZONTALNIH GEODETSKIH KOORDINATA HT, UT, ZT U POLARNE PROSTORNE KOORDINATE – S, ZG, A

DODATAK 9. KONVERZIJA TOPOCENTRIČNIH HORIZONTALNIH GEODETSKIH KOORDINATA XT, UT, ZT U PROSTORNE PRAVOUGAONE KOORDINATE X, Y, Z

DODATAK 10. PRETVARANJE ELIPSOIDNIH GEODETSKIH KOORDINATA B, L U RAVNE PRAVOUGAONE KOORDINATE GAUSS - KRUGER X, Y

DODATAK 11. KONVERZIJA RAVANSKIH PRAVOUGLANIH KOORDINATA GAUSS - KRUGER X, Y U ELIPSOIDNE GEODETSKE KOORDINATE B, L

(a 11 - λ1 )(a 22 - λ1 ) - a 12 a 21 = 0 ;

λ 12 - (a 11 + a 22 )λ 1 + (a 11a 22 - a 12 a 21 ) = 0 .

Diskriminanta ovih kvadratnih jednačina je ³ 0, tj.

D \u003d (a 11 + a 22) 2 - 4 (a 11a 22 - a 12 a 21) \u003d (a 11 - a 22) 2 + 4a 122 ³ 0.

Jednačine (2.56), (2.57) se nazivaju karakteristične jednačine

matrice, a korijeni ovih jednadžbi su sopstvene brojeve matrice A. Zamenimo sopstvene vrednosti pronađene iz (2.57) u (2.39), dobijamo

kanonska jednačina.

Dat je kvadratni oblik u obliku: F (x x ) = 5x 2				2x2.

Pronađite kanonski oblik ove jednačine.

Pošto je ovdje a 11 = 5; i 21 = 2; i 22 = 2, tada će karakteristična jednačina (2.56) za dati kvadratni oblik imati oblik

5 - λ 2

2 2 - λ 1

Izjednačavanje determinante ove matrične jednadžbe sa nulom

(5 – λ)(2 – λ) – 4 = λ2 – 7λ + 6 = 0

i rješavanjem ove kvadratne jednačine dobijamo λ1 = 6; λ2 = 1.

I tada će izgledati kanonski oblik ovog kvadratnog oblika

F (x 1 , x 2 ) = 6 x 1 2 + x 2 2 .

2.3. Krivolinijske koordinate

2.3.1. Opće informacije o krivolinijskim koordinatnim sistemima

Klasa krivolinijskih koordinata, u poređenju sa klasom pravolinijskih koordinata, je opsežna i mnogo raznovrsnija i sa analitičke tačke gledišta je najuniverzalnija, jer proširuje mogućnosti metode pravolinijskih koordinata. Upotreba krivolinijskih koordinata ponekad može uvelike pojednostaviti rješavanje mnogih problema, posebno problema koji se rješavaju direktno na površini okretanja. Tako, na primjer, kada rješavate problem na površini okretanja koji se odnosi na pronalaženje određene funkcije, u području specificiranja ove funkcije na datoj površini, možete odabrati takav sistem krivolinijskih koordinata koji će vam omogućiti da obdarite ovu funkciju novo svojstvo treba da bude konstantno u datom koordinatnom sistemu, što nije uvek moguće uz korišćenje pravolinijskih koordinatnih sistema.

Sistem krivolinijskih koordinata, dat u nekoj oblasti trodimenzionalnog euklidskog prostora, svakoj tački ovog prostora dodeljuje uređenu trojku realnih brojeva - φ, λ, r (krivolinijske koordinate tačke).

Ako se sistem krivolinijskih koordinata nalazi direktno na nekoj površini (površini okretanja), onda se u ovom slučaju svakoj tački površine pripisuju dva realna broja - φ, λ, koji jednoznačno određuju položaj tačke na ovoj površini.

Mora postojati matematički odnos između sistema krivolinijskih koordinata φ, λ, r i pravolinijskog kartezijanskog CS (X, Y, Z). Zaista, neka je sistem krivolinijskih koordinata dat u nekoj oblasti prostora. Svaka tačka ovog prostora odgovara jednoj trojci krivolinijskih koordinata - φ, λ, r. S druge strane, ista tačka odgovara jedinoj trojci pravolinijskih kartezijanskih koordinata - X, Y, Z. Tada se može tvrditi da u opšti pogled

ϕ \u003d ϕ (X, Y, Z);

λ = λ (,); (2.58)

X Y Z

r = r(X, Y, Z).

Između ovih SC-ova postoji i direktna (2.58) i inverzna matematička veza.

Iz analize formula (2.58) proizlazi da uz konstantnu vrijednost jedne od prostornih krivolinijskih koordinata φ, λ, r, npr.

ϕ \u003d ϕ (X, Y, Z) = const,

I varijabilne vrijednosti druge dvije (λ, r), generalno dobijamo površinu koja se zove koordinatna. Koordinatne površine koje odgovaraju istoj koordinati se ne sijeku. Međutim, dvije koordinatne površine koje odgovaraju različitim koordinatama sijeku se i daju koordinatnu liniju koja odgovara trećoj koordinati.

2.3.2. Krivolinijske koordinate na površini

Za geodeziju su od najvećeg interesa površinske krivolinijske koordinate.

Neka je jednadžba površine funkcija kartezijanskih koordinata u

implicitno ima oblik
F (X, Y, Z) = 0.

Usmjeravanjem jediničnih vektora duž koordinatnih osa i, j, l (slika 2.11), jednačina površine se može napisati u vektorskom obliku

r \u003d X i + Y j + Z l. (2.60)

Uvodimo dvije nove nezavisne varijable φ i λ takve da su funkcije

zadovoljavaju jednačinu (2.59). Jednačine (2.61) su parametarske jednačine površine.

λ1=konst

					λ2=konst
					λ3=konst
					φ3=konst
					φ2=konst
					φ1=konst

Rice. 2.11. Curvilinear Surface Coordinate System

Svaki par brojeva φ i λ odgovara određenoj (jednoj) tački na površini, a ove varijable se mogu uzeti kao koordinate tačaka na površini.

Ako φ damo različite konstantne vrijednosti φ = φ1 , φ = φ2, …, onda ćemo dobiti familiju krivulja na površini koja odgovara ovim konstantama. Slično, imaćemo date konstantne vrijednosti za λ

druga porodica krivulja. Tako se na površini formira mreža koordinatnih linija φ = const i λ = const. Koordinatne linije općenito

su zakrivljene linije. Stoga se brojevi φ, λ nazivaju

krivolinijske koordinate tačke na površini.

Krivolinijske koordinate mogu biti i linearne i ugaone veličine. Najjednostavniji primjer sistema krivolinijskih koordinata, u kojem je jedna koordinata linearna veličina, a druga ugaona veličina, može poslužiti kao polarne koordinate na ravni.

Izbor krivolinijskih koordinata ne mora nužno prethoditi formiranju koordinatnih linija. U nekim slučajevima je svrsishodnije uspostaviti mrežu koordinatnih pravaca koja je najpogodnija za rješavanje određenih problema na površini, a zatim odabrati parametre (koordinate) za te prave koji bi imali konstantnu vrijednost za svaku koordinatnu liniju.

Dobro definirana mreža koordinatnih linija također odgovara određenom sistemu parametara, ali za svaku datu porodicu koordinatnih linija može se odabrati skup drugih parametara koji su kontinuirane i jednovrijedne funkcije dati parametar. U opštem slučaju, uglovi između koordinatnih linija porodice φ = const i linija porodice λ = const mogu imati različite vrednosti.

Razmotrićemo samo ortogonalne krivolinijske koordinatne sisteme, u kojima svaka koordinatna linija φ = const siječe bilo koju drugu koordinatnu liniju λ= const pod pravim uglom.

Prilikom rješavanja mnogih problema na površini, posebno problema vezanih za proračun krivolinijskih koordinata površinskih tačaka, potrebno je imati diferencijalne jednadžbe za promjenu krivolinijskih koordinata φ i λ u zavisnosti od promjene dužine S površinske krive.

Odnos između diferencijala dS , dφ, dλ može se uspostaviti uvođenjem nove varijable α, tj. ugla

α dS

φ = konst

λ = konst

λ+d λ = konst

pozitivan smjer linije λ = const prema pozitivnom

smjer ove krive (slika 2.12). Ovaj ugao, takoreći, postavlja smjer (orijentaciju) linije

datu tačku na površini. Zatim (bez izlaza):

Rice. 2.12. Geometrija veze diferencijala luka krive na površini s promjenama (diferencijalima) krivolinijskog

koordinate

					∂X		2 ∂ Y 2
E = (rϕ)
						∂ϕ		∂ϕ
G = (						∂X		∂ U 2
						∂λ		∂λ

+ ∂ Z 2 ;

∂ϕ

+ ∂ Z 2 . ∂λ

		cosα
		sinα

IN geodetski ugao α odgovara geodetskom azimutu: α = A.

2.3.3. Polarni koordinatni sistemi i njihove generalizacije

2.3.4. Prostorni polarni koordinatni sistem

Da biste postavili prostorni sistem polarnih koordinata, prvo morate odabrati ravan (u daljem tekstu ćemo je zvati glavnom). Na ovoj ravni je odabrana neka tačka O

mjerenja

segmentima

prostor, onda

pozicija

bilo koja tačka u prostoru će

definitivno

odlučan

veličine: r, φ, λ, gdje je r

polar

pravolinijska udaljenost od stuba

O u tačku Q (sl. 2.13); λ -

polarni ugao je ugao između

polar

Rice. 2.13. Prostorni sistem

ortogonalno

projekcija

polarnog radijusa prema glavnom

polarne koordinate i njihove modifikacije

avion

promjene

(polarni radijus) i njegov

0 ≤ λ < 2π); φ – угол между

vektor

projekcija

OQ0 uključen

osnovni

ravni, smatra se pozitivnim (0 ≤ φ ≤ π/2) za tačke pozitivnog poluprostora i negativnim (-π/2 ≤ φ ≤ 0) za tačke negativnog poluprostora.

Bilo koji prostorni polarni CS može se lako povezati (transformirati) sa prostornim Kartezijanskim pravokutnim CS-om.

Ako uzmemo skalu i ishodište polarnog sistema kao razmeru i ishodište koordinata u prostornom pravougaonom sistemu, polarna os OP - kao poluosa apscise OX , prava OZ povučena iz pola O okomita na glavnu ravan u pozitivnom smeru polarnog sistema - kao poluos OZ pravougaonog Dekartovog sistema, a za poluos - OS, uzeti osu u koju prolazi os apscise kada se rotira za ugao π / 2 u pozitivnom smjeru u glavnoj ravni polarnog sistema, zatim sa Sl. 2.13

Formule (2.64) nam omogućavaju da izrazimo X, Y, Z u terminima r, φ, λ i obrnuto

Do sada, želeći da znamo položaj tačke na ravni, ili u prostoru, koristili smo Dekartov koordinatni sistem. Tako smo, na primjer, odredili položaj točke u prostoru pomoću tri koordinate. Ove koordinate su bile apscisa, ordinata i aplikacija promjenljive tačke u prostoru. Međutim, jasno je da određivanje apscise, ordinate i aplikacije tačke nije jedini način da se odredi položaj tačke u prostoru. To se može učiniti na drugi način, na primjer, korištenjem krivolinijskih koordinata.

Neka, prema nekom, dobro definisanom pravilu, svaka tačka M prostor jedinstveno odgovara nekoj trojki brojeva ( q 1 , q 2 , q 3), a različite tačke odgovaraju različitim trojkama brojeva. Tada kažemo da je koordinatni sistem dat u prostoru; brojevi q 1 , q 2 , q 3 koji odgovaraju tački M, nazivaju se koordinate (ili krivolinijske koordinate) ove tačke.

U zavisnosti od pravila po kojem se trojka brojeva ( q 1 , q 2 , q 3) stavljaju se u korespondenciju sa tačkom u prostoru, govore o jednom ili drugom koordinatnom sistemu.

Ako želite da primetite da je u datom koordinatnom sistemu položaj tačke M određen brojevima q 1 , q 2 , q 3 , tada se piše na sljedeći način M(q 1 , q 2 , q 3).

Primjer 1. Neka je neka fiksna tačka označena u prostoru O(početak), a kroz njega su povučene tri međusobno okomite ose sa odabranom skalom na njima. (osovine Ox, Oy, Oz). Tri takve vrste x, y, z odgovara tački M, tako da su projekcije njegovog radijus vektora OM na osovini Ox, Oy, Ozće biti jednaki x, y, z. Ovaj način uspostavljanja odnosa između trojki brojeva ( x, y, z) i bodova M vodi nas do dobro poznatog kartezijanskog koordinatnog sistema.

Lako je vidjeti da u slučaju kartezijanskog koordinatnog sistema, ne samo da svaka trojka brojeva odgovara određenoj tački u prostoru, već i obrnuto, svakoj tački u prostoru odgovara određena trojka koordinata.

Primjer 2. Neka se koordinatne ose ponovo nacrtaju u prostoru Ox, Oy, Oz prolazeći kroz fiksnu tačku O(poreklo).

Razmislite o trojci brojeva r, j, z, Gdje r³0; £0 j£2 str, –¥<z<¥, и поставим в соответствие этой тройке чисел точку M, takav da je njegova primjena jednaka z, i njegovu projekciju na ravan Oxy ima polarne koordinate r I j(vidi sliku 4.1). Jasno je da je ovdje svaka trojka brojeva r, j, z odgovara određenoj tački M i obrnuto, svaka tačka M odgovara na određenu trojku brojeva r, j, z. Izuzetak su tačke koje leže na osi Oz: u ovom slučaju r I z su jedinstveno definisani, a ugao j može se dodijeliti bilo koja vrijednost. Brojevi r, j, z nazivaju se cilindrične koordinate tačke M.

Lako je uspostaviti odnos između cilindričnih i kartezijanskih koordinata:

x = r×cos j; y = r×sin j; z = z.

I nazad ; ; z = z.

Primjer 3. Hajde da uvedemo sferni koordinatni sistem. Postavite tri broja r, q, j karakterišući položaj tačke M u svemiru kako slijedi: r je udaljenost od početka koordinata do tačke M(dužina radijus vektora), q Oz i radijus vektor OM(tačka geografske širine M) j je ugao između pozitivnog smjera ose Ox i projekcija radijus vektora na ravan Oxy(tačka geografske dužine M). (Vidi sliku 4.2).

Jasno je da u ovom slučaju ne samo svaka tačka M odgovara određenom trojku brojeva r, q, j, Gdje r³ 0, 0 £ q £ str, 0£ j£2 str, ali obrnuto, svaka takva trojka brojeva odgovara određenoj tački u prostoru (opet, s izuzetkom tačaka ose Oz gdje je ova jedinstvenost narušena).

Lako je pronaći odnos između sfernih i kartezijanskih koordinata:

x = r grijeh q cos j; y = r grijeh q grijeh j; z = r cos q.

Vratimo se na proizvoljan koordinatni sistem ( Oq 1 , Oq 2 , Oq 3). Pretpostavićemo da ne samo da svakoj tački u prostoru odgovara određena trojka brojeva ( q 1 , q 2 , q 3), ali obrnuto, svaka trojka brojeva odgovara određenoj tački u prostoru. Hajde da uvedemo koncept koordinatnih površina i koordinatnih linija.

Definicija. Skup onih tačaka za koje je koordinata q 1 je konstantna, naziva se koordinatna površina q 1 . Koordinatne površine definiraju se slično q 2 , i q 3 (vidi sliku 4.3).

Očigledno, ako tačka M ima koordinate WITH 1 , WITH 2 , WITH 3 tada se koordinatne površine sijeku u ovoj tački q 1 =C 1 ; q 2 =C 2 ; q 3 =C 3 .

Definicija. Skup onih tačaka duž kojih se mijenja samo koordinata q 1 (i druge dvije koordinate q 2 i q 3 ostaju konstantne), naziva se koordinatna linija q 1 .

Očigledno, bilo koja koordinatna linija q 1 je linija presjeka koordinatnih ravnina q 2 i q 3 .

Koordinatne linije se definiraju slično q 2 i q 3 .

Primjer 1. Koordinatne površine (duž koordinata x) u Dekartovom koordinatnom sistemu su sve ravni x= konst. (Oni su paralelni sa ravninom Oyz). Koordinatne površine su na sličan način definirane koordinatama y I z.

koordinata x linija je prava paralelna sa osom Ox. koordinata y-line ( z-line) - prava linija paralelna sa osom OU(osovine Oz).

Primjer 2. Koordinatne površine u cilindričnom sistemu su: svaka ravan paralelna ravni Oxy(koordinatna površina z= const), površina kružnog cilindra čija je osa usmjerena duž ose Oz(koordinatna površina r= const) i poluravninu ograničenu osom Oz(koordinatna površina j= const) (vidi sliku 4.4).

Naziv cilindrični koordinatni sistem objašnjava se činjenicom da među njegovim koordinatnim površinama postoje cilindrične površine.

Koordinatne linije u ovom sistemu su z-prava - ravna, paralelna sa osom Oz; j-linija - kružnica koja leži u horizontalnoj ravni sa središtem na osi Oz; I r-linija - zraka koja izlazi iz proizvoljne tačke na osi Oz, paralelno sa ravninom Oxy.

Rice. 4.5

Pošto među koordinatnim površinama postoje sfere, ovaj koordinatni sistem se naziva sferni.

Koordinatne linije su: r-linija - zraka koja izlazi iz ishodišta, q-linija - polukrug sa središtem u nultu, koji povezuje dvije tačke na osi Oz; j-linija - kružnica koja leži u horizontalnoj ravni, sa središtem na osi Oz.

U svim gore navedenim primjerima, koordinatne linije koje prolaze kroz bilo koju tačku M, ortogonalne su jedna na drugu. Ovo se ne dešava u svakom koordinatnom sistemu. Međutim, mi se ograničavamo na proučavanje samo takvih koordinatnih sistema za koje je to slučaj; takvi koordinatni sistemi se nazivaju ortogonalnim.

Definicija. Koordinatni sistem ( Oq 1 , Oq 2 , Oq 3) se naziva ortogonalnim ako u svakoj tački M koordinatne linije koje prolaze kroz ovu tačku seku se pod pravim uglom.

Razmotrite sada neku stvar M i nacrtati jedinične vektore koji dodiruju u ovoj tački odgovarajuće koordinatne linije i usmjerene u smjeru povećanja odgovarajuće koordinate. Ako ovi vektori formiraju desnu trojku u svakoj tački, tada nam je dat desni koordinatni sistem. Na primjer, kartezijanski koordinatni sistem x, y, z(sa uobičajenim rasporedom osa) je u pravu. Također desni cilindrični koordinatni sistem r, j, z(ali upravo ovim redoslijedom koordinata; ako promijenite redoslijed koordinata, uzimajući npr. r, z, j, više ne dobijamo pravi sistem).

Sferni koordinatni sistem je također ispravan (ako postavite takav redoslijed r, q, j).

Imajte na umu da u Dekartovom koordinatnom sistemu smer jediničnog vektora ne zavisi od koje tačke M crtamo ovaj vektor; isto važi i za vektore. U krivolinijskim koordinatnim sistemima opažamo nešto drugo: na primjer, u cilindričnom koordinatnom sistemu, vektori u tački M i u nekom drugom trenutku M 1 više ne moraju biti paralelne jedna s drugom. Isto vrijedi i za vektor (u različitim tačkama ima, općenito govoreći, različite smjerove).

Dakle, trojka jediničnih ortogonalnih vektora u krivolinijskom koordinatnom sistemu zavisi od položaja tačke M, u kojem se ovi vektori razmatraju. Trojka jediničnih ortogonalnih vektora naziva se pokretni okvir, a sami vektori se nazivaju jedinični orti (ili jednostavno orti).