Vrste filtera Butterworth LPF Čebišev tip I LPF  Minimalni red filtera LPF sa MOS . Nastavni rad: Butterworthov visokopropusni filter Proračun Butterworthovog filtera

Frekvencijski odziv Butterworthovog filtera opisan je jednadžbom

Karakteristike Butterworthovog filtera: nelinearni fazni odziv; granična frekvencija neovisna o broju polova; oscilatorna priroda prolaznog odziva sa stepenastim ulaznim signalom. Kako se red filtera povećava, oscilatorni karakter se povećava.

Čebišev filter

Frekvencijski odziv Čebiševljevog filtera opisan je jednadžbom

Gdje T n 2 (ω/ω n ) je Čebiševljev polinom n-th red.

Čebiševljev polinom se izračunava po rekurzivnoj formuli

Karakteristike Čebiševljevog filtera: povećana neujednačenost PFC-a; talasasta karakteristika u propusnom opsegu. Što je talasanje pojasa propusnosti filtera veće, to je oštrije smanjenje u tranzicijskom području za isti redoslijed. Fluktuacije prolaznog procesa sa stepenastim ulazni signal jači od Butterworthovog filtera. Faktor kvaliteta polova Chebyshev filtera je veći od onog kod Butterworthovog filtera.

Bessel filter

Frekvencijski odziv Beselovog filtera opisan je jednadžbom

Gdje
;B n 2 (ω/ω k.č h ) je Besselov polinom n-th red.

Besselov polinom se izračunava po rekurzivnoj formuli

Karakteristike Beselovog filtera: prilično ujednačen frekvencijski i fazni odziv, aproksimirani Gaussovom funkcijom; fazni pomak filtera je proporcionalan frekvenciji, tj. Filter ima grupno kašnjenje neovisno o frekvenciji. Granična frekvencija se mijenja kako se mijenja broj polova filtera. Frekventni odziv filtera je obično ravniji od onog kod Butterwortha i Chebysheva. Ovaj filter je posebno pogodan za impulsna kola i fazno osetljivu obradu signala.

Cauer filter (eliptični filter)

Opšti prikaz funkcije prijenosa Cauerovog filtera

Karakteristike Cauer filtera: neujednačen frekvencijski odziv u propusnom i zaustavnom pojasu; najoštriji pad frekvencijskog odziva od svih navedenih filtera; implementira potrebne funkcije prijenosa s manjim redoslijedom filtera nego kada se koriste filteri drugih tipova.

Određivanje redosleda filtera

Potreban redoslijed filtera određen je formulama u nastavku i zaokružen na najbliži cijeli broj. Butterworth filter red

Redoslijed Čebiševljevog filtera

Za Beselov filter ne postoji formula za izračunavanje redosleda, već su date tabele koje odgovaraju redosledu filtera sa minimalnim potrebnim odstupanjem vremena kašnjenja od jedinice na datoj frekvenciji i nivou gubitka u dB).

Prilikom izračunavanja redoslijeda Besselovog filtera, postavljaju se sljedeći parametri:

Procentualna tolerancija za grupno kašnjenje na datoj frekvenciji ω ω k.č h ;

Nivo slabljenja pojačanja filtera u dB na frekvenciji se može podesiti. ω , normalizirano u odnosu na ω k.č h .

Na osnovu ovih podataka utvrđuje se potreban redosled Beselovog filtera.

Sheme kaskada niskopropusnih filtera 1. i 2. reda

Na sl. 12.4, 12.5 prikazane su tipične šeme LPF kaskada.

A) b)

Rice. 12.4. Kaskade LPF Butterworth, Chebyshev i Bessel: A - 1. red; b - 2. red

A) b)

Rice. 12.5. Cauer LPF kaskade: A - 1. red; b - 2. red

Opšti pogled na funkcije prijenosa LPF-a Butterworth, Chebyshev i Bessel 1. i 2. reda

,
.

Opšti pogled na funkcije prijenosa Cauer LPF-a 1. i 2. reda

,
.

Ključna razlika između Cauer filtera 2. reda i filtera zamka je u tome što je u prijenosnoj funkciji Cauerovog filtera omjer frekvencija Ω s ≠ 1.

Metoda za izračunavanje LPF-a Butterwortha, Chebysheva i Bessela

Ova tehnika se zasniva na koeficijentima datim u tabelama i važi za Butterworth, Chebyshev i Bessel filter. Metoda za izračunavanje Cauer filtera je data posebno. Izračunavanje LPF-a Butterwortha, Chebysheva i Bessela počinje određivanjem njihovog reda. Za sve filtere su podešeni parametri minimalnog i maksimalnog prigušenja i granične frekvencije. Za Čebiševljeve filtere dodatno se određuje koeficijent neujednačenosti frekvencijskog odziva u propusnom opsegu, a za Beselove filtere - grupno vrijeme kašnjenja. Zatim se određuje prijenosna funkcija filtera, koja se može uzeti iz tabela, i izračunavaju se njegove kaskade 1. i 2. reda, promatrajući sljedeći redoslijed izračunavanja:

U zavisnosti od redosleda i tipa filtera, biraju se šeme njegovih kaskada, dok se filter parnog reda sastoji od n/ 2 kaskade 2. reda, a filter neparnog reda je iz jedne kaskade 1. reda i ( n– 1) / 2 kaskade 2. reda;

Za izračunavanje kaskade 1. reda:

Vrijednost je određena odabranom vrstom i redoslijedom filtera b 1 kaskada 1. reda;

Smanjenjem zauzete površine, odabire se kapacitivnost C i izračunati R prema formuli (možete odabrati i R, ali je preporučljivo odabrati C, iz razloga tačnosti)

;

Dobitak se izračunava TO at U 1 kaskada 1. reda, koja se utvrđuje iz omjera

Gdje TO at U je pojačanje filtera u cjelini; TO at U 2 , …, TO at Un– kaskadni dobici 2. reda;

Za implementaciju pojačanja TO at U 1 potrebno je podesiti otpornike na osnovu sljedećeg odnosa

R B = R A ּ (TO at U1 –1) .

Za izračunavanje kaskade 2. reda:

Smanjenjem zauzete površine biraju se nazivi kapaciteta C 1 = C 2 = C;

Koeficijenti se biraju prema tabelama b 1 i I Q pi za kaskade 2. reda;

Prema zadatoj vrijednosti kondenzatora C izračunati su otpornici R prema formuli

;

Za odabrani tip filtera, morate postaviti odgovarajuće pojačanje TO at Ui = 3 – (1/Q pi) svakog stepena 2. reda, postavljanjem otpornika, na osnovu sljedećeg odnosa

R B = R A ּ (TO at Ui –1) ;

Za Bessel filtere, pomnožite vrijednosti svih kapacitivnosti potrebnim grupnim kašnjenjem.

Frekvencijski odziv Butterworthovog filtera opisan je jednadžbom

Čebišev filter

Frekvencijski odziv Čebiševljevog filtera opisan je jednadžbom

Gdje T n 2 (ω/ω n ) je Čebiševljev polinom n-th red.

Čebiševljev polinom se izračunava po rekurzivnoj formuli

Karakteristike Čebiševljevog filtera: povećana neujednačenost PFC-a; talasasta karakteristika u propusnom opsegu. Što je talasanje pojasa propusnosti filtera veće, to je oštrije smanjenje u tranzicijskom području za isti redoslijed. Prolazna fluktuacija sa stepenastim ulaznim signalom veća je nego kod Butterworthovog filtera. Faktor kvaliteta polova Chebyshev filtera je veći od onog kod Butterworthovog filtera.

Bessel filter

Frekvencijski odziv Beselovog filtera opisan je jednadžbom

Gdje
;B n 2 (ω/ω k.č h ) je Besselov polinom n-th red.

Besselov polinom se izračunava po rekurzivnoj formuli

Cauer filter (eliptični filter)

Opšti prikaz funkcije prijenosa Cauerovog filtera

Određivanje redosleda filtera

Potreban redoslijed filtera određen je formulama u nastavku i zaokružen na najbliži cijeli broj. Butterworth filter red

Redoslijed Čebiševljevog filtera

Prilikom izračunavanja redoslijeda Besselovog filtera, postavljaju se sljedeći parametri:

Procentualna tolerancija za grupno kašnjenje na datoj frekvenciji ω ω k.č h ;

Nivo slabljenja pojačanja filtera u dB na frekvenciji se može podesiti. ω , normalizirano u odnosu na ω k.č h .

Na osnovu ovih podataka utvrđuje se potreban redosled Beselovog filtera.

Sheme kaskada niskopropusnih filtera 1. i 2. reda

Na sl. 12.4, 12.5 prikazane su tipične šeme LPF kaskada.

A) b)

Rice. 12.4. Kaskade LPF Butterworth, Chebyshev i Bessel: A - 1. red; b - 2. red

A) b)

Rice. 12.5. Cauer LPF kaskade: A - 1. red; b - 2. red

Opšti pogled na funkcije prijenosa LPF-a Butterworth, Chebyshev i Bessel 1. i 2. reda

,
.

Opšti pogled na funkcije prijenosa Cauer LPF-a 1. i 2. reda

,
.

Ključna razlika između Cauer filtera 2. reda i filtera zamka je u tome što je u prijenosnoj funkciji Cauerovog filtera omjer frekvencija Ω s ≠ 1.

Metoda za izračunavanje LPF-a Butterwortha, Chebysheva i Bessela

Ova tehnika se zasniva na koeficijentima datim u tabelama i važi za Butterworth, Chebyshev i Bessel filter. Metoda za izračunavanje Cauer filtera je data posebno. Izračunavanje LPF-a Butterwortha, Chebysheva i Bessela počinje određivanjem njihovog reda. Za sve filtere su podešeni parametri minimalnog i maksimalnog prigušenja i granične frekvencije. Za Čebiševljeve filtere dodatno se određuje talasanje frekvencijskog odziva u propusnom opsegu, a za Beselove filtere grupno kašnjenje. Zatim se određuje prijenosna funkcija filtera, koja se može uzeti iz tabela, i izračunavaju se njegove kaskade 1. i 2. reda, promatrajući sljedeći redoslijed izračunavanja:

Za izračunavanje kaskade 1. reda:

Vrijednost je određena odabranom vrstom i redoslijedom filtera b 1 kaskada 1. reda;

Smanjenjem zauzete površine, odabire se kapacitivnost C i izračunati R prema formuli (možete odabrati i R, ali je preporučljivo odabrati C, iz razloga tačnosti)

;

Dobitak se izračunava TO at U 1 kaskada 1. reda, koja se utvrđuje iz omjera

Gdje TO at U je pojačanje filtera u cjelini; TO at U 2 , …, TO at Un– kaskadni dobici 2. reda;

Za implementaciju pojačanja TO at U 1 potrebno je podesiti otpornike na osnovu sljedećeg odnosa

R B = R A ּ (TO at U1 –1) .

Za izračunavanje kaskade 2. reda:

Smanjenjem zauzete površine biraju se nazivi kapaciteta C 1 = C 2 = C;

Koeficijenti se biraju prema tabelama b 1 i I Q pi za kaskade 2. reda;

Prema zadatoj vrijednosti kondenzatora C izračunati su otpornici R prema formuli

;

Za odabrani tip filtera, morate postaviti odgovarajuće pojačanje TO at Ui = 3 – (1/Q pi) svakog stepena 2. reda, postavljanjem otpornika, na osnovu sljedećeg odnosa

R B = R A ּ (TO at Ui –1) ;

Za Bessel filtere, pomnožite vrijednosti svih kapacitivnosti potrebnim grupnim kašnjenjem.

KONVERZIJA FREKVENCIJSKIH SVOJSTVA DF-a (LPF --> LPF1)

KONVERZIJA FREKVENCIJSKIH SVOJSTVA DF-a (LPF --> HPF)

KONVERZIJA FREKVENCIJSKIH SVOJSTVA DF-a (LPF --> PF)

KONVERZIJA FREKVENCIJSKIH SVOJSTVA DF (LPF --> RF)

Butterworth filter 4 narudžbe

KONVERZIJA FREKVENCIJSKIH SVOJSTVA DF-a (LPF --> LPF1)

KONVERZIJA FREKVENCIJSKIH SVOJSTVA DF-a (LPF --> HPF)

KONVERZIJA FREKVENCIJSKIH SVOJSTVA DF-a (LPF --> PF)

KONVERZIJA FREKVENCIJSKIH SVOJSTVA DF (LPF --> RF)

Čebišev filter 3 narudžbe

KONVERZIJA FREKVENCIJSKIH SVOJSTVA DF-a (LPF --> LPF1)

KONVERZIJA FREKVENCIJSKIH SVOJSTVA DF-a (LPF --> HPF)

KONVERZIJA FREKVENCIJSKIH SVOJSTVA DF-a (LPF --> PF)

KONVERZIJA FREKVENCIJSKIH SVOJSTVA DF (LPF --> RF)

Čebišev filter 4 reda

KONVERZIJA FREKVENCIJSKIH SVOJSTVA DF-a (LPF --> LPF1)

KONVERZIJA FREKVENCIJSKIH SVOJSTVA DF-a (LPF --> HPF)

KONVERZIJA FREKVENCIJSKIH SVOJSTVA DF-a (LPF --> PF)

KONVERZIJA FREKVENCIJSKIH SVOJSTVA DF (LPF --> RF)

Besel filter 3. reda

KONVERZIJA FREKVENCIJSKIH SVOJSTVA DF-a (LPF --> LPF1)

KONVERZIJA FREKVENCIJSKIH SVOJSTVA DF-a (LPF --> HPF)

KONVERZIJA FREKVENCIJSKIH SVOJSTVA DF-a (LPF --> PF)

KONVERZIJA FREKVENCIJSKIH SVOJSTVA DF (LPF --> RF)

4 reda Bessel filter

KONVERZIJA FREKVENCIJSKIH SVOJSTVA DF-a (LPF --> LPF1)

KONVERZIJA FREKVENCIJSKIH SVOJSTVA DF-a (LPF --> HPF)

KONVERZIJA FREKVENCIJSKIH SVOJSTVA DF-a (LPF --> PF)

KONVERZIJA FREKVENCIJSKIH SVOJSTVA DF (LPF --> RF)

Analizirati uticaj grešaka u postavljanju koeficijenata digitalnog niskopropusnog filtera na frekvencijski odziv (promjenom jednog od koeficijenata b j). Opišite prirodu promjene frekvencijskog odziva. Donijeti zaključak o utjecaju promjene jednog od koeficijenata na ponašanje filtera.

Uticaj grešaka pri postavljanju koeficijenata digitalnog niskopropusnog filtera na frekvencijski odziv ćemo analizirati na primjeru Beselovog filtera 4. reda.

Odabiremo vrijednost devijacije koeficijenata ε jednaku –1,5%, tako da maksimalno odstupanje frekvencijskog odziva bude oko 10%.

Frekvencijski odziv "idealnog" filtera i filtera sa modifikovanim koeficijentima za vrijednost ε prikazan je na slici:

I

Sa slike se može vidjeti da promjena koeficijenata b 1 i b 2 ima najveći utjecaj na frekvencijski odziv (njihova vrijednost je veća od vrijednosti ostalih koeficijenata). Koristeći negativnu vrijednost ε, primjećujemo da pozitivni koeficijenti smanjuju amplitudu u donjem dijelu spektra, dok je negativni koeficijenti povećavaju. Uz pozitivnu vrijednost ε, sve se dešava obrnuto.

Kvantizujte koeficijente digitalnog filtera sa takvim brojem binarnih cifara da maksimalno odstupanje frekvencijskog odziva od originalnog bude oko 10 - 20%. Skicirajte frekvencijski odziv i opišite prirodu njegove promjene.

Promjenom broja cifara razlomnog dijela koeficijenata b j imajte na umu da se maksimalno odstupanje frekvencijskog odziva od originalnog, koje ne prelazi 20%, dobija pri n≥3.

Tip frekventnog odziva za razne n prikazano na slikama:

n \u003d 3, maksimalno odstupanje frekvencijskog odziva \u003d 19,7%

n \u003d 4, maksimalno odstupanje frekvencijskog odziva \u003d 13,2%

n \u003d 5, maksimalno odstupanje frekvencijskog odziva \u003d 5,8%

n \u003d 6, maksimalno odstupanje frekvencijskog odziva \u003d 1,7%

Dakle, može se primijetiti da povećanje dubine bita tokom kvantizacije koeficijenata filtera dovodi do činjenice da frekvencijski odziv filtera sve više teži izvornom. Međutim, treba napomenuti da to otežava fizičku implementaciju filtera.

Kvantizacija za razne n može se videti na slici:

Plan:

1 Pregled
- 1.1 Normalizirani Butterworthovi polinomi
- 1.2 Maksimalna glatkoća
- 1.3 Karakteristike pada na visoke frekvencije
2 Dizajn filtera
- 2.1 Cauer topology
- 2.2 Sallen-Kay topologija
3 Poređenje sa drugim linearnim filterima
4 Primjer

Uvod

Butterworth filter- jedan od tipova elektronskih filtera. Filteri ove klase razlikuju se od ostalih po metodi dizajna. Butterworthov filter je dizajniran tako da njegov frekventni odziv bude što glatkiji na frekvencijama propusnog opsega.

Takve filtere je prvi opisao britanski inženjer Stephen Butterworth u svom članku O teoriji filterskih pojačala. O teoriji filterskih pojačala ), U časopisu Wireless Engineer 1930. godine.

1. Pregled

Frekvencijski odziv Butterworthovog filtera je što je moguće glatkiji na frekvencijama propusnog opsega i pada skoro na nulu na frekvencijama potiskivanja. Kada se frekventni odziv Butterworthovog filtera prikazuje na logaritamskom faznom odzivu, amplituda se smanjuje prema minus beskonačnosti na graničnim frekvencijama. U slučaju filtera prvog reda, frekvencijski odziv opada brzinom od -6 decibela po oktavi (-20 decibela po dekadi) (zapravo, svi filteri prvog reda, bez obzira na tip, su identični i imaju iste frekvencijski odziv). Za Butterworthov filter drugog reda, frekvencijski odziv je oslabljen za -12 dB po oktavi, za filter trećeg reda za -18 dB, itd. Frekvencijski odziv Butterworthovog filtera je monotono opadajuća funkcija frekvencije. Butterworthov filter je jedini filter koji čuva oblik frekvencijskog odziva za više redove (sa izuzetkom strmijeg spuštanja na graničnoj vrijednosti), dok mnoge druge vrste filtara (Beselov filter, Čebišev filtar, eliptični filter) imaju drugačiji oblik. frekventnog odziva različitih redosleda.

U poređenju sa Čebiševljevim tipom I i II ili eliptičnim filterom, Butterworthov filter ima ravnije spuštanje i stoga bi trebao imati veći red(što je teže implementirati) kako bi se obezbijedile željene performanse na frekvencijama opsega potiskivanja. Međutim, Butterworthov filter ima linearniji fazni odziv na frekvencijama propusnog opsega.

Frekvencijski odziv za Butterworthove niskopropusne filtere reda od 1 do 5. Nagib karakteristike je 20 n dB/dekada, gdje n- red filtera.

Kao i kod svih filtera kada se razmatra frekvencijske karakteristike oni koriste niskopropusni filtar, od kojeg je lako dobiti visokopropusni filtar, i, uključivanjem nekoliko takvih filtara u seriju, propusni filtar ili filtar za urezivanje.

Frekvencijski odziv Butterworthovog filtera trećeg reda može se dobiti iz prijenosne funkcije:

Lako je vidjeti da za beskonačne vrijednosti, frekvencijski odziv postaje pravokutna funkcija, a frekvencije ispod granične frekvencije će biti propuštene sa pojačanjem, dok će frekvencije iznad granične frekvencije biti potpuno potisnute. Za konačne vrijednosti, opadanje karakteristike će biti blago.

Uz pomoć formalne zamjene, izraz predstavljamo u obliku:

Polovi prijenosne funkcije nalaze se na kružnici poluprečnika jednako udaljenoj jedan od drugog u lijevoj poluravni. To jest, prijenosna funkcija Butterworthovog filtera može se odrediti samo određivanjem polova njegove prijenosne funkcije u lijevoj poluravnini s-ravnine. -ti pol se određuje iz sljedećeg izraza:

Prijenosna funkcija se može napisati kao:

Slična razmatranja se primjenjuju i na digitalne Butterworth filtere, s jedinom razlikom što omjeri nisu zapisani s- avion, i za z- avion.

Nazivnik ove funkcije prijenosa naziva se Butterworthov polinom.

1.1. Normalizirani Butterworthovi polinomi

Butterworthovi polinomi se mogu napisati u složenom obliku kao što je gore prikazano, ali se obično pišu kao omjeri sa realnim koeficijentima (kompleksni konjugirani parovi se kombinuju pomoću množenja). Polinomi su normalizirani graničnom frekvencijom: . Normalizirani Butterworthovi polinomi stoga imaju sljedeći kanonski oblik:

, - čak i čudno

Ispod su koeficijenti Butterworthovih polinoma za prvih osam redova:

	Polinomski koeficijenti
1
2
3
4
5
6
7
8

1.2. Maksimalna glatkoća

Uzimajući i , derivacija amplitudske karakteristike u odnosu na frekvenciju će izgledati ovako:

Opada monotono za sve jer je dobitak uvijek pozitivan. Dakle, frekvencijski odziv Butterworthovog filtera nema mreškanja. Kada proširimo amplitudnu karakteristiku u nizu, dobijamo:

Drugim riječima, svi derivati amplitudno-frekventne karakteristike u odnosu na frekvenciju do 2 n-th su jednake nuli, što implicira "maksimalnu glatkoću".

1.3. Rolloff na visokim frekvencijama

Prihvativši , nalazimo nagib logaritma frekvencijskog odziva na visokim frekvencijama:

U decibelima, asimptota visoke frekvencije ima nagib od -20 n dB/dekada.

2. Dizajn filtera

Postoji niz različitih topologija filtera koje implementiraju linearne analogne filtere. Ove sheme se razlikuju samo u vrijednostima elemenata, struktura ostaje nepromijenjena.

2.1. Cauer topology

Cauerova topologija koristi pasivne elemente (kapacitivnosti i induktivnosti). Butteworthov filter sa datom funkcijom prijenosa može se konstruirati u obliku kauera tipa 1. kth element filter je dat sa:

; k je neparan; k je paran

2.2. Sallen-Kay topologija

Sallen-Kay topologija koristi aktivne elemente pored pasivnih ( operacionih pojačivača i kontejneri). Svaki stupanj Sallen-Kayovog kola je dio filtera, matematički opisan parom složenih konjugiranih polova. Cijeli filter se dobija serijskim povezivanjem svih stupnjeva. Ako naiđe pravi stup, on se mora implementirati zasebno, obično u obliku RC lanca, i uključiti u cjelokupno kolo.

Funkcija prijenosa svaka faza u Sallen-Kay shemi ima oblik:

Imenilac mora biti jedan od faktora Butterworthovog polinoma. Uzimajući , dobijamo:

Posljednja relacija daje dvije nepoznanice, koje se mogu birati proizvoljno.

3. Poređenje sa drugim linearnim filterima

Slika ispod prikazuje frekvencijski odziv Butterworthovog filtera u poređenju sa drugim popularnim linearnim filterima istog (petog) reda:

Iz slike se može vidjeti da Butterworthov filter ima najsporije opadanje od četiri, ali ima i najglatkiji frekvencijski odziv na frekvencijama propusnog opsega.

4. Primjer

Analogni niskopropusni Butterworthov filter (Cauerova topologija) sa graničnom frekvencijom sa sljedećim vrijednostima elemenata: farad, ohm i henry.

Logaritamski dijagram gustoće funkcije prijenosa H(s) na ravni kompleksnih argumenata za Butterworthov filter trećeg reda s graničnom frekvencijom. Tri pola leže na kružnici jediničnog poluprečnika u lijevoj poluravni.

Razmislite o analognom niskopropusnom Butterworthovom filteru trećeg reda s faradom, ohmom i henryjem. Označavanje impedansa kontejneri C Kako 1/Cs i impedansa induktora L Kako Ls, gdje je kompleksna varijabla, i korištenje jednadžbi za izračunavanje električna kola, dobijamo sljedeću prijenosnu funkciju za takav filter:

Frekvencijski odziv je dat jednadžbom:

a PFC je dat jednadžbom:

Grupno kašnjenje se definiše kao minus derivacija faze u odnosu na kružnu frekvenciju i mjera je faznog izobličenja signala na različitim frekvencijama. Logaritamski frekventni odziv takvog filtera nema talasanje ni u propusnom opsegu ni u opsegu potiskivanja.

Grafikon modula prijenosne funkcije na složena ravan jasno ukazuje na tri pola u lijevoj poluravni. Prijenosna funkcija je u potpunosti određena položajem ovih polova na jediničnom krugu simetrično oko realne ose.

Zamjenom svake induktivnosti kapacitivnošću, a kapacitivnosti induktivitetima, dobijamo Butterworthov visokopropusni filter.

I grupno kašnjenje Butterworthovog filtera trećeg reda sa graničnom frekvencijom

Književnost

V.A. Lucas Teorija automatskog upravljanja. - M.: Nedra, 1990.
B.H. Krivitsky Referentna knjiga teorijske osnove radio elektronika. - M.: Energija, 1977.
Miroslav D. Lutovac Dizajn filtera za obradu signala koristeći MATLAB© i Mathematica©. - New Jersey, USA.: Prentice Hall, 2001. - ISBN 0-201-36130-2
Richard W Daniels Metode aproksimacije za projektovanje elektronskih filtera. - New York: McGraw-Hill, 1974. - ISBN 0-07-015308-6
Steven W. Smith Vodič za naučnike i inženjere za digitalnu obradu signala. -Drugo izdanje. - San Diego: California Technical Publishing, 1999. - ISBN 0-9660176-4-1
Britton C. Rorabaugh Metode aproksimacije za projektovanje elektronskih filtera. - New York: McGraw-Hill, 1999. - ISBN 0-07-054004-7
B. Widrow, S.D. Stearns Adaptivna obrada signala. - Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1985. - ISBN 0-13-004029-0
S. Haykin Teorija adaptivnog filtera. - 4. izdanje. - Paramus, NJ: Prentice-Hall, 2001. - ISBN 0-13-090126-1
Michael L. Honig, David G. Messerschmitt Prilagodljivi filteri - strukture, algoritmi i aplikacije. - Hingham, MA: Kluwer Academic Publishers, 1984. - ISBN 0-89838-163-0
J.D. Markel, A.H. Grey, Jr. Linearno predviđanje govora. - New York: Springer-Verlag, 1982. - ISBN 0-387-07563-1
L.R. Rabiner, R.W. Schafer Digitalna obrada govornih signala. - Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1978. - ISBN 0-13-213603-1
Richard J Higgins Digitalna obrada signala u VLSI. - Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1990. - ISBN 0-13-212887-X
A. V. Oppenheim, R. W. Schafer Digitalna obrada signala. - Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1975. - ISBN 0-13-214635-5
L. R. Rabiner, B. Gold Teorija i primjena digitalne obrade signala. - Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1986. - ISBN 0-13-914101-4
John G. Proakis, Dimitris G. Manolakis Uvod u digitalnu obradu signala. - Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1988. - ISBN 0-02-396815-X