Kompleksna Laplaceova varijabla fizičko značenje. Laplaceova transformacija

Odjeljak II. Matematička analiza

E. Yu. Anokhina

ISTORIJA RAZVOJA I FORMIRANJA TEORIJE FUNKCIJE KOMPLEKSNE VARIJABLE (TFV) KAO PREDMETA

Jedan od složenih matematičkih kurseva je TFKT kurs. Kompleksnost ovog kursa je, pre svega, posledica raznovrsnosti njegovih međusobnih odnosa sa drugim matematičkim disciplinama, istorijski izraženih u širokoj primenjenoj orijentaciji nauke TFKT.

U naučnoj literaturi o istoriji matematike postoje razbacani podaci o istoriji razvoja TFCT-a, oni zahtevaju sistematizaciju i generalizaciju.

Iz tog razloga, glavni cilj ovog članka je Kratki opis razvoj TFKP i formiranje ove teorije kao obrazovnog predmeta.

Kao rezultat studije, identifikovane su sledeće tri faze u razvoju TFCT-a kao nauke i akademskog predmeta:

Faza nastanka i prepoznavanja kompleksnih brojeva;

Faza akumulacije stvarni materijal po funkcijama imaginarnih veličina;

Faza formiranja teorije funkcija kompleksne varijable.

Prva faza u razvoju TFKP (sredina 16. - 18. vek) počinje radom G. Cardana (1545), koji je objavio Artis magnae sive de regulis algebraitis (Velika umetnost, ili o algebarskim pravilima). Rad G. Cardana imao je glavni zadatak da potkrijepi opšte algebarske metode za rješavanje jednačina trećeg i četvrtog stepena, koje su nedavno otkrili Ferro (1465-1526), ​​Tartaglia (1506-1559) i Ferrari (1522-1565). ). Ako se kubna jednadžba svede na oblik

x3 + px + q = 0,

i trebalo bi da bude

Kada je (p^Ap V (|- 70) jednadžba ima tri realna korijena, a dva od njih

su jednake jedna drugoj. Ako tada jednačina ima jednu realnu i dvije ko-

ispredene složene korijene. Kompleksni brojevi se pojavljuju u konačnom rezultatu, tako da je G. Cardano mogao učiniti isto kao i prije njega: proglasiti jednadžbu kao

jedan koren. Kada (<7 Г + (р V < (). тогда уравнение имеет три действительных корня. Этот так

Takozvani nesvodivi slučaj karakteriše jedna osobina koja se nije susrela sve do 16. veka. Jednačina x3 - 21x + 20 = 0 ima tri realna korijena 1, 4, - 5 što je lako

provjerite jednostavnom zamjenom. Ali ^du + y _ ^20y + ^-21y _ ^ ^ ^; dakle, prema opštoj formuli, x = ^-10 + ^-243 -^-10-4^243 . Kompleksno, tj. "netačno", broj ovdje nije rezultat, već međupojam u proračunima koji vode do pravih korijena dotične jednačine. G. Cardano je naišao na poteškoću i shvatio je da je za očuvanje općenitosti ove formule potrebno napustiti potpuno zanemarivanje kompleksnih brojeva. J. D'Alembert (1717-1783) je vjerovao da je upravo ta okolnost navela G. Cardana i matematičare koji su slijedili ovu ideju da se ozbiljno zainteresuju za kompleksne brojeve.

U ovoj fazi (u 17. veku) dva su gledišta bila opšte prihvaćena. Prvo gledište iznio je Girard, koji je pokrenuo pitanje prepoznavanja potrebe za neograničenom upotrebom kompleksnih brojeva. Drugi - Descartes, koji je negirao mogućnost tumačenja kompleksnih brojeva. Suprotno mišljenju Descartesa bilo je gledište J. Wallisa - o postojanju stvarne interpretacije kompleksnih brojeva Descartes je zanemario. Kompleksni brojevi su počeli da se „prisiljavaju“ da se koriste u rešavanju primenjenih problema u situacijama kada je korišćenje realnih brojeva dovelo do složenog rezultata ili se rezultat nije mogao dobiti teoretski, ali je imao praktičnu implementaciju.

Intuitivna upotreba kompleksnih brojeva dovela je do potrebe da se sačuvaju zakoni i pravila aritmetike realnih brojeva na skupu kompleksnih brojeva, posebno je bilo pokušaja direktnog prijenosa. To je ponekad dovodilo do pogrešnih rezultata. S tim u vezi, aktualna su pitanja o opravdanosti kompleksnih brojeva i konstrukciji algoritama za njihovu aritmetiku. Ovo je bio početak nove faze u razvoju TFCT-a.

Druga faza u razvoju TFKP (početak 18. vijeka - 19. vijek). U XVIII vijeku. L. Euler je izrazio ideju o algebarskom zatvaranju polja kompleksnih brojeva. Algebarsko zatvaranje polja kompleksnih brojeva C dovelo je matematičare do sljedećih zaključaka:

Da proučavanje funkcija i matematička analiza uopšte dobiju svoju odgovarajuću potpunost i potpunost tek kada se sagleda ponašanje funkcija u kompleksnom domenu;

Neophodno je posmatrati kompleksne brojeve kao varijable.

Godine 1748. L. Euler (1707-1783) je u svom djelu "Uvod u analizu infinitezimala" uveo kompleksnu promjenljivu kao najopštiji pojam varijable, koristeći kompleksne brojeve pri dekomponovanju funkcija na linearne faktore. L. Euler se s pravom smatra jednim od tvoraca TFCT-a. U radovima L. Eulera detaljno su proučavane elementarne funkcije kompleksne varijable (1740-1749), dati su uslovi za diferencijabilnost (1755) i početak integralnog računa funkcija kompleksne varijable (1777). L. Euler je praktično uveo konformno preslikavanje (1777). On je ova preslikavanja nazvao "sličnim u malom", a izraz "konformno" prvi je upotrijebio, očigledno, peterburški akademik F. Schubert (1789). L. Euler je također dao brojne primjene funkcija kompleksne varijable na različite matematičke probleme i postavio temelje za njihovu primjenu u hidrodinamici (17551757) i kartografiji (1777). K. Gauss formuliše definiciju integrala u kompleksnoj ravni, integralnu teoremu o proširenju analitičke funkcije u stepen stepena. Laplace koristi složene varijable za izračunavanje teških integrala i razvija metodu za rješavanje linearnih, razlika i diferencijalnih jednačina poznatu kao Laplaceova transformacija.

Počevši od 1799. pojavljuju se radovi u kojima se daju manje ili više zgodne interpretacije kompleksnog broja i definiraju radnje na njima. Prilično opšte teoretsko tumačenje i geometrijsko tumačenje objavio je K. Gauss tek 1831. godine.

L. Euler i njegovi savremenici ostavili su potomstvu bogato nasljeđe u obliku nagomilanih, negdje sistematizovanih, negdje ne, ali ipak rasutih činjenica o TFCT-u. Možemo reći da je činjenični materijal o funkcijama imaginarnih veličina, takoreći, zahtijevao svoju sistematizaciju u obliku teorije. Ova teorija je počela da se oblikuje.

Treća faza formiranja TFKP (XIX vek - XX vek). Glavna dostignuća ovdje pripadaju O. Cauchyju (1789-1857), B. Riemannu (1826-1866) i K. Weierstrassu (1815-1897). Svaki od njih predstavljao je jedan od pravaca razvoja TFKP.

Predstavnik prvog pravca, koji je u istoriji matematike nazvan "teorijom monogenih ili diferencijabilnih funkcija", bio je O. Cauchy. On je formalizirao različite činjenice o diferencijalnom i integralnom računu funkcija kompleksne varijable, objasnio značenje osnovnih pojmova i operacija sa imaginarnim. U radovima O. Cauchyja iznesena je teorija granica i teorija redova i elementarnih funkcija zasnovana na njoj, formulisana je teorema koja u potpunosti razjašnjava oblast konvergencije stepena niza. Godine 1826. O. Cauchy je uveo termin: dedukcija (doslovno: ostatak). U spisima od 1826. do 1829. stvorio je teoriju dedukcija. O. Cauchy je izveo integralnu formulu; dobio teoremu postojanja za proširenje funkcije kompleksne varijable u niz stepena (1831). O. Cauchy je postavio temelje za teoriju analitičkih funkcija nekoliko varijabli; odredio glavne grane viševrijednih funkcija kompleksne varijable; prvi korišćeni rezovi avionom (1831-1847). 1850. uvodi pojam monodromnih funkcija i izdvaja klasu monogenih funkcija.

Sljedbenik O. Cauchyja bio je B. Riemann, koji je također stvorio svoj "geometrijski" (drugi) pravac razvoja TFCT-a. U svojim radovima je prevazišao izolovanost ideja o funkcijama kompleksnih varijabli i formirao nove katedre ove teorije, usko povezane sa drugim disciplinama. Riemann je napravio suštinski novi korak u istoriji teorije analitičkih funkcija, predložio je da se svakoj funkciji kompleksne varijable poveže ideja preslikavanja jednog regiona u drugi. Razlikovao je funkcije kompleksne i realne varijable. B. Riemann je postavio temelje geometrijske teorije funkcija, uveo Rimanovu površinu, razvio teoriju konformnih preslikavanja, uspostavio vezu između analitičkih i harmonijskih funkcija, uveo u razmatranje zeta funkciju.

Dalji razvoj TFKP odvijao se u drugom (trećem) pravcu. Osnova za to je bila mogućnost predstavljanja funkcija po stepenu niza. Ovaj trend je u istoriji dobio naziv „analitički“. Nastala je u radovima K. Weierstrassa, u kojima je on iznio u prvi plan koncept uniformne konvergencije. K. Weierstrass je formulisao i dokazao teoremu o zakonitosti redukcije sličnih članova u nizu. K. Weierstrass je dobio fundamentalni rezultat: granica niza analitičkih funkcija koji se ravnomjerno konvergiraju unutar određene domene je analitička funkcija. Uspeo je da generalizuje Cauchyjevu teoremu o proširenju funkcije kompleksne varijable u redove stepena i opisao je proces analitičkog nastavka stepena reda i njegovu primenu na reprezentaciju rešenja sistema diferencijalnih jednačina. K. Weierstrass je utvrdio činjenicu ne samo apsolutne konvergencije niza, već i uniformne konvergencije. Weierstrassov teorem se pojavljuje o proširenju cijele funkcije u proizvod. On postavlja temelje za teoriju analitičkih funkcija mnogih varijabli, gradi teoriju djeljivosti redova stepena.

Razmotrite razvoj teorije analitičkih funkcija u Rusiji. Ruski matematičari XIX veka. dugo vremena nisu hteli da se posvete novoj oblasti matematike. Uprkos tome, možemo navesti nekoliko imena kojima ona nije bila strana, te navesti neka od radova i dostignuća ovih ruskih matematičara.

Jedan od ruskih matematičara bio je M.V. Ostrogradskog (1801-1861). O M.V. O Ostrogradskom se malo zna u oblasti teorije analitičkih funkcija, ali je O. Cauchy s pohvalama govorio o ovom mladom ruskom naučniku, koji je primijenio integrale i dao nove dokaze formula i generalizirao druge formule. M.V. Ostrogradsky je napisao djelo "Primjedbe o određenim integralima", u kojem je izveo Cauchyjevu formulu za dedukciju funkcije u odnosu na pol n-tog reda. On je izložio primjenu teorije ostataka i Cauchyjeve formule na izračunavanje određenih integrala u opsežnom javnom predavanju održanom 1858-1859.

Brojni radovi N.I. Lobačevskog, koji su od direktnog značaja za teoriju funkcija kompleksne varijable. Teorija elementarnih funkcija kompleksne varijable sadržana je u njegovom djelu "Algebra ili proračun konačnih" (Kazan, 1834). U kojoj su cos x i sin x inicijalno definirani za real x kao real i

imaginarni dio funkcije ex^. Koristeći prethodno utvrđena svojstva eksponencijalne funkcije i ekspanzije po stepenu, izvedena su sva glavna svojstva trigonometrijskih funkcija. By-

Očigledno, Lobačevski je pridavao posebnu važnost takvoj čisto analitičkoj konstrukciji trigonometrije, nezavisnoj od euklidske geometrije.

Može se tvrditi da je u poslednjim decenijama XIX veka. i prve decenije 20. veka. fundamentalna istraživanja u teoriji funkcija kompleksne varijable (F. Klein, A. Poincaré, P. Kebe) sastojala su se u postepenom rasvjetljavanju činjenice da je geometrija Lobačevskog istovremeno i geometrija analitičkih funkcija jednog kompleksa. varijabla.

Godine 1850., profesor Univerziteta u Sankt Peterburgu (kasnije akademik) I.I. Somov (1815-1876) objavio je Osnove teorije analitičkih funkcija, koje su bile zasnovane na Jacobijevim novim osnovama.

Međutim, prvi istinski „originalni“ ruski istraživač u oblasti teorije analitičkih funkcija kompleksne varijable bio je Yu.V. Sohotsky (1842-1929). Odbranio je magistarski rad "Teorija integralnih ostataka s nekim primjenama" (Sankt Peterburg, 1868). Od jeseni 1868. Yu.V. Sokhotsky je predavao tečajeve o teoriji funkcija imaginarne varijable i o kontinuiranim razlomcima s primjenama na analizu. Magistarski rad Yu.V. Sokhotsky je posvećen primjeni teorije ostataka na inverziju stepena niza (Lagrangeov red) i, posebno, širenju analitičkih funkcija u kontinuirane razlomke, kao i Legendreovim polinomima. U ovom radu je formulisana i dokazana čuvena teorema o ponašanju analitičke funkcije u okolini bitne singularne tačke. U doktorskoj disertaciji Sokhotskog

(1873) po prvi put se uvodi koncept integrala tipa Cauchy u proširenom obliku: *r/ ^ & _ gdje je

a i b su dva proizvoljna kompleksna broja. Integral bi se trebao uzeti duž neke krive („putorije“) koja povezuje a i b. U ovom radu dokazuju se brojne teoreme.

Ogromnu ulogu u istoriji analitičkih funkcija odigrali su radovi N.E. Žukovski i S.A. Chaplygin, koji je otvorio neograničeno područje njegove primjene u aero- i hidromehanici.

Govoreći o razvoju teorije analitičkih funkcija, ne može se ne spomenuti studije S.V. Kovalevskaja, iako njihovo glavno značenje leži izvan ove teorije. Uspjeh njenog rada bio je rezultat potpuno nove formulacije problema u smislu teorije analitičkih funkcija i razmatranja vremena t kao kompleksne varijable.

Na prelazu iz XX veka. priroda naučnog istraživanja u oblasti teorije funkcija kompleksne varijable se menja. Ako se ranije većina istraživanja u ovoj oblasti odvijala u smislu razvoja jednog od tri pravca (teorija monogenih ili diferencijabilnih Cauchyjevih funkcija, Riemannove geometrijske i fizičke ideje, analitički smjer Weierstrassa), sada su razlike i kontroverze povezane s njima se prevazilaze, pojavljuju i brzo rastu broj radova u kojima se vrši sinteza ideja i metoda. Jedan od osnovnih pojmova na kojem je jasno otkrivena veza i korespondencija između geometrijskih predstava i aparata stepena redova bio je koncept analitičkog nastavka.

Krajem XIX veka. Teorija funkcija kompleksne varijable uključuje opsežan kompleks disciplina: geometrijsku teoriju funkcija zasnovanu na teoriji konformnih preslikavanja i Riemannovih površina. Dobili smo integralni oblik teorije različitih tipova funkcija: cjelobrojnih i meromorfnih, eliptičkih i modularnih, automorfnih, harmonijskih, algebarskih. U bliskoj vezi sa poslednjom klasom funkcija, razvijena je teorija Abelovih integrala. Analitička teorija diferencijalnih jednadžbi i analitička teorija brojeva pridružile su se ovom kompleksu. Teorija analitičkih funkcija uspostavila je i ojačala veze sa drugim matematičkim disciplinama.

Bogatstvo međuodnosa TFCT-a i algebre, geometrije i drugih nauka, stvaranje sistematskih osnova nauke o samom TFCT-u, njegov veliki praktični značaj doprineli su formiranju TFCT-a kao akademskog predmeta. Međutim, istovremeno sa završetkom formiranja temelja, u teoriju analitičkih funkcija uvedene su nove ideje, značajno mijenjajući njen sastav, prirodu i ciljeve. Pojavljuju se monografije koje sadrže sistematsko izlaganje teorije analitičkih funkcija u stilu bliskom aksiomatskom, a imaju i obrazovne svrhe. Očigledno, značaj rezultata o TFCT-u, do kojih su došli naučnici posmatranog perioda, podstakao ih je da popularizuju TFCT u vidu predavanja i objavljivanja monografskih studija u nastavnoj perspektivi. Može se zaključiti da se TFCT pojavio kao učenje

predmet. Godine 1856. Ch. Briot i T. Bouquet objavili su male memoare "Istraživanje funkcija imaginarne varijable", što je u suštini prvi udžbenik. Opći koncepti u teoriji funkcije kompleksne varijable počeli su se razrađivati ​​na predavanjima. Od 1856. K. Weiersht-rass je držao predavanja o predstavljanju funkcija konvergentnim redovima stepena, a od 1861. - o općoj teoriji funkcija. Godine 1876. pojavio se poseban rad K. Weierstrassa: "O teoriji jednovrijednih analitičkih funkcija", a 1880. "O doktrini funkcija", u kojem je njegova teorija analitičkih funkcija dobila određenu cjelovitost.

Weierstrassova predavanja su dugo godina služila kao prototip za udžbenike iz teorije funkcija kompleksne varijable, koji su se od tada počeli pojavljivati ​​prilično često. Na njegovim predavanjima je u osnovi izgrađen savremeni standard strogosti u matematičkoj analizi i izdvojena struktura koja je postala tradicionalna.

REFERENCE

1. Andronov I.K. Matematika realnih i kompleksnih brojeva. M.: Obrazovanje, 1975.

2. Klajn F. Predavanja o razvoju matematike u XIX veku. M.: ONTI, 1937. Dio 1.

3. Lavrentiev M.A., Shabat B.V. Metode teorije funkcija kompleksne varijable. Moskva: Nauka, 1987.

4. Markushevich A.I. Teorija analitičkih funkcija. M.: Država. Izdavačka kuća tehničke i teorijske literature, 1950.

5. Matematika 19. vijeka. Geometrija. Teorija analitičkih funkcija / ur. A. N. Kolmogorova i A. P. Juškevič. Moskva: Nauka, 1981.

6. Matematička enciklopedija / Pogl. ed. I. M. Vinogradov. M.: Sovjetska enciklopedija, 1977. T. 1.

7. Matematička enciklopedija / Pogl. ed. I. M. Vinogradov. M.: Sovjetska enciklopedija, 1979. Tom 2.

8. Mladi V.N. Osnove doktrine broja u 18. i ranom 19. vijeku. Moskva: Učpedgiz, 1963.

9. Rybnikov K.A. Istorija matematike. M.: Izdavačka kuća Moskovskog državnog univerziteta, 1963. Dio 2.

NE. Lyakhova DIRIVANJE RAVANSKIH KRIVIH

Pitanje tangentnosti ravnih krivulja, u slučaju kada se apscise zajedničkih tačaka nalaze iz jednačine oblika Rp x = 0, gdje je R x neki polinom, direktno je vezano za pitanje

o višestrukosti korijena polinoma Pn x . U ovom članku formulisani su odgovarajući iskazi za slučajeve eksplicitne i implicitne dodele funkcija čiji su grafovi krive, a prikazana je i primena ovih iskaza u rešavanju problema.

Ako krive koje su grafovi funkcija y = f (x) i y = cp x imaju zajedničku točku

M() x0; v0 , tj. y0 = f x0 = cp x0 i tangente na naznačene krive nacrtane u tački M () x0; v0 se ne poklapaju, onda kažemo da se krive y = fix) i y - cp x seku u tački Mo xo;

Slika 1 prikazuje primjer presjeka funkcijskih grafova.

transkript

1 Laplaceova transformacija Kratke informacije Laplaceova transformacija, koja se široko koristi u teoriji kola, je integralna transformacija primijenjena na funkcije vremena f jednako nuli na< L { f } f d F, где = + комплексная переменная Величина выбирается так, чтобы интеграл сходился Если функция f возрастает не быстрее, чем экспонента, то интеграл преобразования Лапласа сходится, если >Može se dokazati da ako Laplaceov integral konvergira za neku vrijednost s, onda on definira funkciju F koja je analitična u cijeloj poluravni > s. Ovako definirana funkcija F može se analitički proširiti na cijelu ravan kompleksna varijabla = +, osim za pojedinačne singularne tačke.Najčešće se ovaj nastavak izvodi proširenjem formule dobijene pri izračunavanju integrala na cijelu ravan kompleksa varijabla Funkcija F, analitički nastavlja na cjelinu složena ravan, naziva se Laplaceova slika vremenske funkcije f ili jednostavno slika Funkcija f u odnosu na njenu sliku F naziva se original. Ako je slika F poznata, onda se original može naći korištenjem inverzne Laplaceove transformacije f F d za > direktno, paralelno s ordinatnom osi Vrijednost se bira tako da u poluravni R > nema singularnih tačaka funkcije F Određivanje originala iz poznate slike naziva se inverzna Laplaceova transformacija i označava se simbolom f L (Ž) L 7

2 Razmotrite neka svojstva Laplaceove transformacije Linearnost Ovo svojstvo se može zapisati kao jednakost L( f f ) L( f ) L( f ) Laplaceova transformacija derivacije funkcije df L( ) d df d F f d f 3 Laplasova transformacija od integral: L( f d) d f 8 f d d F df: d f f d d jednakost i dalje ima oblik Ohmovog zakona, ali već za slike napona i struje Za trenutni napon na induktivnosti, relacija d i u L se odvija, d i e nije direktna proporcionalnost Ohmov zakon ovdje ne vrijedi Nakon Laplaceove transformacije, dobijamo U = LI LI+

3 Ako je, kao što je često slučaj, I + =, tada odnos poprima oblik U = LI Dakle, za slike napona i struje opet vrijedi Ohmov zakon. Ulogu otpora igra vrijednost L, koja je naziva se otporom induktivnosti C Nakon Laplaceove transformacije, ovaj odnos poprima oblik U I, C t e ima oblik Ohmovog zakona, a kapacitivnost je jednaka C Napravimo tabelu direktnih i inverznih Laplaceovih transformacija elementarnih funkcija koje se susreću u teoriji kola. kod Laplaceove transformacije ove funkcije bit će L ( ) L ( ) d d 3 L ( ) 4 L ( ) 5 L (sin ) 9

4 3 6 ) (cos L 7 ) ( ) sin ( L L ) ( L 8 ) cos ( L 9 ) ( F d f f L! n d n n n n L! n n n L m< n и знаменатель имеет только простые корни Тогда n n K K K B, где, n корни полинома B, стоящего в знаменателе изображения Коэффициенты K, K, K n могут быть найдены следующим

5 3 Razložimo sliku na jednostavne razlomke i pomnožimo sa: n n K K K K B Sada težimo ka Tada samo K ostaje na desnoj strani: lim B K je poznato: L Prema tome " n B B L Zanimljiv je poseban slučaj kada je jedan od korijena imenilac je jednak nuli: B F U ovom slučaju, proširenje F u jednostavne razlomke imat će oblik, kao što slijedi iz prethodnog, " n B B B i B nema korijena od nule

6 3 Odavde će inverzna Laplaceova transformacija funkcije F imati oblik: n B B B " L Razmotrimo još jedan slučaj kada polinom u nazivniku B ima više korijena. Neka m< n и корень кратности l При разложении на простые дроби этому корню соответствует сумма: l l l K K K Обратное преобразование слагаемых этой суммы мы уже имели выше см п:! n n n L Таким образом, обратное преобразование суммы будет иметь вид: M, где M полином от степени l

7 Neka opća svojstva kola Neka složeno kolo sadrži P grana i Q čvorova Tada se, prema prvom i drugom Kirchhoffovom zakonu, mogu napraviti P + Q jednadžbe za P struje u granama i Q čvorne potencijale Jedan od Q čvornih potencijala Pretpostavlja se da je nula Ali broj jednadžbi se može smanjiti na Q, ako koristimo struje petlje kao naizmjenične struje.U ovom slučaju, prvi Kirchhoffov zakon je automatski zadovoljen, jer svaka struja ulazi i izlazi iz čvora, tj. daje ukupnu struju jednaku nuli, a osim toga, Q čvorni potencijali su izraženi u terminima struja petlje. Ukupan broj jednačina, pa prema tome, nezavisni krugovi postaju jednaki P + Q Q = P Q + Nezavisne jednačine se mogu sastavljena direktno ako uzmemo struje kola kao nepoznate.Nezavisna kola će biti takva, od kojih svaki sadrži barem jednu granu koja nije uključena ni u jednu drugu konturu Sl. Za svaku od kontura se sastavljaju jednačine prema drugi Kirchhoffov zakon a U opštem slučaju, otpor grane je i R i C i L gde je i, =, n, n broj nezavisnih kola. Jednačine struja kola su: I I n I n E; I I n I n E; ni n I nn I n En i, ovdje je E i zbir svih emfs uključenih i-to kolo Otpori sa istim indeksima ii nazivaju se unutrašnji otpori i-tog kola, a otpori sa različitim indeksima i nazivaju se međusobni otpori, ili otpori spoja i-tog i -tog kola. Otpori ii su zbir uključenih otpora u i-tom kolu Otpor i je dio otpora i-ti 33 Slika Primjer nezavisnih kontura

8 Jednačina za m-to kolo će izgledati ovako: kolo koje je također uključeno u -to kolo Očigledno, jednakost i = i vrijedi za pasivno kolo Razmotrimo kako se mijenjaju jednadžbe struja kola za aktivna kola koja sadrže tranzistori, Slika I i Prenoseći drugi član sa desne strane na levu stranu, ovu jednačinu transformišemo na sledeći način: mi mi I i mn I n Em od nepoznanica, koriste se i čvorni potencijali, računajući od potencijala jednog od čvorovi uzeti kao nula Umjesto EMF generatora koriste se strujni generatori Y koji se može prepisati na sljedeći način: gdje je sl Ekvivalentno kolo tranzistora u složenom kolu U YU U YnU U n I, Y U Y U Y nu n I, Y Y Y Y n

9 Sistem jednačina za čvorne potencijale ima oblik Y U YU Y nu n I; YU YU Y nu n I; Yn U Yn U YnnU n In gdje je Y i provodljivost veze i-tog i -tog čvora: Očigledno je da Y i G i L i Yi Y i C Ova simetrija nestaje ako kolo sadrži tranzistore, lampe ili drugi aktivni elementi, ekvivalentno kolo koje sadrži zavisne izvore struje Razmotrimo sada rješenja jednačina kola. Rješenje sistema jednadžbi struja petlje ima oblik za -tu struju: I, gdje je glavna determinanta sistem, ista determinanta, u kojoj je -ti stupac zamijenjen elektromotornim silama iz desnih dijelova E, E, E n Pretpostavimo da postoji samo jedan EMF E u kolu, uključen u ulazno kolo, kojem je dodijeljen prvi broj Jednačine se moraju sastaviti na način da samo jedna struja kola prođe kroz granu koja nas zanima determinanta i Slika 4 Kolo sa EMF u ulaznom kolu 35

10 Omjer E I se naziva ulazni otpor. Nasuprot tome, ovaj otpor uzima u obzir utjecaj svih kola. Za drugo izlazno kolo imat ćemo I 36 E, gdje je odgovarajući algebarski sabirak. Omjer T I E se naziva prijenos otpor iz prvog kola u drugi.Slično, iz jednadžbi čvornog potencijala, možete dobiti ulaznu provodljivost sl. 5 Slika 5 Kolo sa izvorom struje na ulazu "U I" I, Y "Y" i provodljivost prenosa od od prvog čvora do drugog: U " I " I Y T, Y T " " gdje je I struja dovedena do prvog čvora, U i U su naponi dobijeni u prvom i drugom čvoru, " glavna determinanta sistema jednadžbe čvornih potencijala, a " i je odgovarajući algebarski komplement Između i Y postoji relacija Y Za pasivno kolo, imali smo = Dakle, glavna determinanta sistema je simetrična. Iz toga slijedi da i algebarski dodaci su jednaki: = Prema tome, otpori prenosa su takođe jednaki T = T Ovo svojstvo se naziva svojstvom reciprociteta. Uslov reciprociteta, kao što vidimo, je simetrija matrice otpora Svojstvo reciprociteta je formulisano na sledeći način Slika 6: ako je EMF u ulaznom krugu uzrokuje neku struju u izlaznom krugu, tada će isti EMF, uključen u izlazni krug, uzrokovati u ulaznom krugu,

11 struja iste vrijednosti Ukratko, ovo svojstvo se ponekad formulira na sljedeći način: EMF u ulaznom kolu i ampermetar u izlaznom kolu mogu se zamijeniti, dok se očitavanje ampermetra neće promijeniti 7 U E Slika 7 Koeficijent prijenosa napona tada Kao što slijedi iz dijagram na slici 7: U U I n; ; K n E T E ; I T U n Slično, koeficijent prenosa struje I K I Slika 8 može se odrediti: I Dakle I U Yn I ; Y ; K n I YT I U Y T I Slika 8 Trenutni odnos prijenosa Yn Y T T 37

12 3 Više o općim svojstvima funkcija kola Funkcije kola su funkcije varijable dobivene rješavanjem jednačina, na primjer, provodljivost ulaznog otpora, prijenos provodljivosti otpora, itd. promenljiva i predstavlja razlomak m F B b n m n b m m n n 38 b b i koeficijenti su realni Inače, može se predstaviti kao F b m n m, " " " gde su, m, ", ", " n koreni jednadžbi m b n m n b n b n m Očigledno je da se dvije racionalne funkcije čije se nule i polovi poklapaju mogu razlikovati samo po konstantnim faktorima.Drugim riječima, priroda ovisnosti parametara kola o frekvenciji je u potpunosti određena nulama i polovima funkcije kola.Pošto polinomi imaju realni koeficijenti, kada se zamijene konjugiranom vrijednošću * polinom dobija konjugiranu vrijednost * = * i B * = B * Iz toga slijedi da ako polinom im ima kompleksan korijen, onda će i to biti korijen Dakle, nule i polovi lančane funkcije mogu biti ili realne ili čine kompleksne konjugirane parove Neka je F lančana funkcija Razmotrimo njene vrijednosti za = : F F F F n,

13 Ali F F F, F F F Upoređujući ove jednakosti, uzimajući u obzir gore datu jednakost, dobijamo da je F F, F F, tj. stvarni dio funkcije kola parna funkcija frekvencije, a imaginarna neparna funkcija frekvencije jednakost koja definira struja u ulaznom otporu uzrokovana naponom U: U I B Neka je U jedinični korak, a onda su I, B gdje su i B polinomi iz Koristeći formulu za proširenje, možete dobiti i B B" gdje su nule polinoma B i , dakle, nule funkcije otpora i glavna determinanta nule: = Ako barem jedna nula ima pozitivan realni dio, tada ću se neograničeno povećavati

14 me Isti zaključak se može izvući u pogledu otpora prijenosa T, ulazne vodljivosti Y, prijenosne provodljivosti Y T Definicija Funkcija kola naziva se fizički izvodljivom ako odgovara kolu koje se sastoji od realnih elemenata, a nijedna od prirodnih oscilacija ima amplitudu koja se neograničeno povećava s vremenom Kolo navedeno u definiciji naziva se stabilnim.Nule glavne determinante fizički izvodljive funkcije stabilnog kola i, prema tome, nule funkcije otpora i vodljivosti, treba da se nalaze samo u lijevoj polovini -ravnina varijable ili na osi realne frekvencije.Ako se dvije ili više nula poklapaju, višestruki korijeni, tada odgovarajuća rješenja imaju oblik: M, gdje je M polinom stepena m, m je višestrukost koeficijenta korijena o e prijenos, onda se sve navedeno ne odnosi na nule, već na polove funkcije kola koeficijenta prijenosa. Zapravo: n K Nule T su polovi funkcije K, a otpor opterećenja n je pasivan ; njene nule sigurno leže u pravoj ravni Iz navedenog proizilazi da fizički ostvarive lančane funkcije imaju sljedeća svojstva: a nule i polovi lančane funkcije su ili realne ili formiraju kompleksne konjugirane parove; b realni i imaginarni dio funkcije kola su na realnim frekvencijama, odnosno parne i neparne funkcije frekvencije; u nule glavne determinante, te stoga otpor provodljivosti i otpor provodljivosti prijenosa ne mogu ležati u desnoj poluravni, a višestruke nule ni u desnoj poluravni ni na osi realne frekvencije T 4

15 3 Tranzijenti u pojačivačima Rešavanjem sistema jednačina kola dobija se slika izlaznog signala za dati ulaz U = KE Funkcija kola u vremenskom domenu može se naći korišćenjem inverzne Laplasove transformacije u L ( K E ) Od najveće interesovanje je proces tranzicije sa ulaznim signalom u obliku koraka Reakcija sistema na jedan korak naziva se prelazna funkcija Znajući tranzicijska funkcija, možete pronaći odgovor sistema na ulazni signal proizvoljnog oblika. leži desno od pola = Od velikog interesa je definicija 3: h r K d K r r K r d d r r

16 4 Prijeđimo na granicu r Tada imamo d K V K K d K V h frekvencijski odziv dobit Iz ove formule možemo izvući neke opšte zaključke. Zamenimo promenljivu u h sa: d K V K h Ali h, kao što sledi iz principa kauzalnosti, pošto se signal pojavljuje na imaginarnom delu: K = K + K r Zamenivši u izraz za h, dobijamo d K K V K r Diferencirajući s obzirom, dobijamo d K K r ili cos sin sin cos d K K K K r r

17 Imaginarni dio integranda je neparna funkcija frekvencije, stoga je njegov integral jednak nuli Budući da je realni dio parna funkcija frekvencije, uvjet koji fizički ostvareni koeficijent prijenosa mora zadovoljiti je: iz principa kauzalnosti Može se pokazati da sistem čiji se koeficijent prijenosa može zapisati kao omjer polinoma K, B stabilan u smislu da sve nule polinoma B leže u lijevoj poluravni, zadovoljava princip kauzalnosti. proučavamo integral K h d za< и >Predstavimo dvije zatvorene konture i B, prikazane na slici 3. Slika 3. Integracijske konture: na< ; B при > 43

18 44 Razmotrimo funkciju u kojoj se integral uzima po zatvorenoj konturi. Zbog Cauchyjeve integralne teoreme, integral je jednak nuli, jer je integrand u desnoj poluravni analitičan po uvjetu. Integral se može zapisati kao zbir integrala po pojedinim sekcijama konture integracije: sin cos R r R r r R R d R R K r d r r K d K d K h< < /, то при < последний интеграл стремится к нулю при R т е h h при R Отсюда следует что h при < Рассмотрим функцию где интеграл берется по контуру B Здесь R вычеты подынтегральной функции относительно полюсов, лежащих в левой полуплоскости Аналогично предыдущему можно показать, что при >vrijedi h B h za R Dakle: R h, za >

19 Ostatak u odnosu na prosti pol jednak je R B" koji smo već imali ranije K lim, 45 lim B gdje RC Dokažimo da prema gore datom uvjetu uzročnosti, jednakost mora biti zadovoljena. Jednakost cos sin d cos d je poznat. Razlikujte desni i lijevi dio po: sin d Pomnoživši lijevi i desni dio ove jednakosti sa, dobijamo: sin d iz čega slijedi jednakost koju treba dokazati. Imajući prijelaznu funkciju sistema, može pronaći svoj odgovor na bilo koji ulazni signal.Da bismo to učinili, približno ćemo predstaviti ulazni signal kao zbir jediničnih koraka Slika 34

20 Slika 34 Prezentacija ulazni signal Ovaj prikaz se može zapisati kao: u u u Dalje, u u "Odgovor na jedinični korak će biti jednak h Dakle, izlazni signal se može približno predstaviti kao: u u h u" h Prelaskom do granice na, umjesto sume, dobijamo integral u u h u" h d po dijelovima, možete dobiti drugi oblik Duhamelovog integrala: u u h u h" d I konačno, koristeći promjenu varijable = ", možete dobiti još dva oblika Duhamelovog integrala: u u h u" h d ; u u h u h" d 46

21 4 Neka svojstva dvopolnih kola 4 Opća svojstva ulazne funkcije otpora vodljivosti Dva terminala su u potpunosti okarakterizirana funkcijom ulaznog vodnog otpora Ova funkcija ne može imati nule u desnoj poluravni, kao ni višestruke nule na os realne frekvencije Pošto Y, onda nule od Y odgovaraju polovima i obrnuto. Stoga funkcija otpora ulazne provodljivosti ne može imati polove u desnoj poluravni i više polova na osi realne frekvencije Pasivne dvopolne mreže su uvijek stabilne, jer ne sadrže izvore energije Izraz za otpor ulazne provodljivosti je: m b n m n b m n 47 m n b b vrijedi sljedeća asimptotička jednakost: b m mn lizi = slično, može se pokazati da se najmanji eksponenti brojnika i imenioca ne mogu razlikovati za više od 1. Fizičko značenje ovih iskaza je da na vrlo visokim i vrlo niskim frekvencijama, pasivna mreža sa dva terminala treba da se ponaša kao kapacitivnost ili induktivnost ili aktivni otpor n, 4 Energetske funkcije mreže s dva terminala Pretpostavimo da je mreža s dva terminala neko složeno kolo koje sadrži aktivne otpore, kapacitete i induktore.

Ako se na stezaljke mreže s dva terminala dovede sinusoidni napon, tada se u mreži s dva terminala rasipa nešto snage, čija prosječna vrijednost P karakterizira rasipanje energije. Električna i magnetska energija se pohranjuju u kapacitetima i induktivnostima, čije su prosječne vrijednosti označene sa W E i W H. Ove veličine izračunavamo koristeći jednadžbe struja petlje Direktno, zapisujemo izraze za gornje veličine analogno najjednostavnijim slučajevima. Dakle, za otpor R, prosječna disipacija snage je P R I I Slično, za kolo koje sadrži nekoliko grana, prosečna snaga može se izraziti u terminima struja petlje: P i R i I i I Prosječna energija pohranjena u induktivitetu je W H L I I Za složeno kolo, ova vrijednost je izražena kao struja u petlji: W H 4 i L i I 4 I I C 48

23 Na osnovu ovog odnosa možemo napisati izraz za ukupnu prosječnu električnu energiju: W E 4 Ii I i Ci Hajde da saznamo kako su ove veličine povezane sa ulazni naponi i struje Da bismo to uradili, pišemo jednačine struja petlje I R I L I E ; C I R i I Li I ; Ci Pomnožite svaku od jednadžbi sa odgovarajućom strujom 49 Ii i dodajte sve I Ii Ri I Ii Li I Ii EI i i i Ci Ako je R i = R i ; L i = L i ; C i = C i, odnosno kolo zadovoljava princip reciprociteta i nema aktivnih elemenata, tada: i i i R I I P ; i i L I I 4W ; i I I i E i Ci H 4 W funkcije

24 Tellagenova teorema vam omogućava da pronađete izraze za otpor i provodljivost Y u smislu energetskih funkcija: E I E I I I I I E Y E E E E 5 P WH W I I P WH W E E je nula samo ako nema gubitaka energije u kolu. Uslovi stabilnosti zahtijevaju da oba Y nemaju nule i nema polova u desnoj poluravni Odsustvo polova znači da su Y također analitičke funkcije u desnoj poluravni U teoriji funkcija kompleksne varijable postoji teorema da ako je funkcija analitična u određenom području , tada njeni realni i imaginarni dijelovi postižu svoju najmanju i najveću vrijednost na granici područja.Pošto su funkcije ulaznog otpora i vodljivosti analitičke u desnoj poluravni, onda njihov realni dio na granici ovo područje na osi realne frekvencije dostiže najmanju vrijednost Ali na osi realne frekvencije realni dio nije negativan, stoga je pozitivan u cijeloj desnoj poluravni. Osim toga, funkcije i Y uzimaju realne vrijednosti za realne vrijednosti, budući da predstavljaju količnik dijeljenja polinoma sa realnim koeficijentima Funkcija koja uzima realne vrijednosti pri realnim vrijednostima i ima pozitivan realni dio u desnoj poluravni naziva se pozitivnom realnom funkcijom. Ulazni otpor a funkcije provodljivosti su pozitivne realne funkcije Funkcija je bila pozitivna realna funkcija 3 Imaginarni dio na osi realne frekvencije jednak je nuli ako mreža s dva terminala ne sadrži reaktivne elemente ili prosječne rezerve magnetskih i E E ;

25 električne energije u mreži sa dva terminala su iste.To se dešava u rezonanciji; frekvencija na kojoj se to događa naziva se rezonantna frekvencija.Treba napomenuti da je pri izvođenju energetskih odnosa za i Y u suštini korišteno svojstvo reciprociteta.odsustvo zavisnih izvora.Za kola koja ne zadovoljavaju princip reciprociteta i sadrže zavisne izvora, ova formula se može pokazati netačnom. Kao primjer, na slici 4 prikazan je dijagram serijskog rezonantnog kola. Hajde da vidimo šta formula energije daje u ovom najjednostavnijem slučaju. Snaga koja se rasipa u otporu R kada teče struja I je jednak P I R. Prosječne rezerve električne i magnetske energije su: W H L I C U ; W E Napon U preko kapacitivnosti kada struja I teče je Otuda W E I U C I C Zamjenom energije u formuli za, dobijamo L I I R I Slika 4 Serija rezonantnog kola I C R L C kao što biste očekivali za serijski krug

26 Ovdje E E C C S I S E R R R RC C C Neka, S >> C tako da se prvi član u zagradama može zanemariti S je nagib lampe Tada će ulazni otpor tada biti S I E RC E RC I S S RC gdje je Req; Leq S S u strujnom krugu zavisnog izvora Postaje u kolu kontrolna mreža potreban fazni pomak, moguće je dobiti induktivni ili kapacitivni fazni pomak između napona i struje na ulazu i, shodno tome, induktivnu ili kapacitivnu prirodu frekvencija ulaznog otpora. Može biti jednak nuli identično za bilo koje frekvencije samo ako su sve frekvencije elementi kola nemaju gubitke, odnosno čisto su reaktivni. Ali čak i ako postoje gubici, stvarni dio otpora ili vodljivosti može nestati na nekim frekvencijama 5

27 Ako ne nestaje nigdje na imaginarnoj osi, tada se određena konstantna vrijednost može oduzeti od funkcije otpora ili vodljivosti bez narušavanja uslova fizičke izvodljivosti tako da realni dio, koji nije negativan, nestaje na određenoj frekvenciji. funkcija otpora provodljivosti nema polove u desnoj poluravni varijable, odnosno analitična je u ovom području, tada njen realni dio ima minimalnu vrijednost na svojoj granici, odnosno na imaginarnoj osi. Dakle, oduzimanjem ovog minimuma. vrijednost ostavlja realni dio pozitivnim u desnoj poluravni -aktivni otpor provodljivosti, ako njegov realni dio nestane na osi realne frekvencije, tako da je smanjenje ove komponente nemoguće bez narušavanja uslova pasivnosti. minimalno aktivno kolo nestaje, istovremeno dostižući minimum, tada nula realnog dijela na osi realne frekvencije ima višestrukost od najmanje Primjer Slika 43 prikazuje najjednostavnija kola koja analiziramo za minimalni aktivni otpor provodljivosti R C R C R L R C R C a b c d Slika 43 Krugovi: minimalna aktivna provodljivost a, minimalni aktivni otpor b , c i neminimalno aktivni tip d Na slici 43, a, kolo ima ulazni otpor neminimalno aktivnog tipa, pošto stvarni dio otpora ne nestaje ni na jednoj realnoj frekvenciji. stvarni dio provodljivosti nestaje na frekvenciji = Dakle, kolo je kolo minimalno aktivne provodljivosti Na slici 43, b, kolo je kolo minimalno aktivnog otpora, pošto realni dio otpora nestaje na beskonačnoj frekvenciji 53

28 Na slici 43, c je kolo minimalnog aktivnog otpora R = na rezonantnoj frekvenciji serijskog kola. Na slici 43, d, kolo je neminimalno aktivno. kolo u 3. kolu ima konačan otpor na rezonantnoj frekvenciji takve mreže sa dva terminala pod određenim uslovima mogu biti nestabilne. Razmotrite mogućnosti koje su ovde dostupne. Otpor ima nule u desnoj poluravni varijable, ali tamo nema polova. postavite eksponencijalno rastuća rešenja, tj. pole nick je nestabilan kada se napaja iz EMF izvora, ili, u suprotnom, kada njegovi terminali kratak spoj, tj. os realne frekvencije Ovaj minimum je negativan, jer bi inače bio pozitivna realna funkcija i ne bi mogao imati nule u desnoj poluravni Minimum realnog dijela na osi realne frekvencije može se povećati na nulu dodavanjem pozitivnog realnog otpora. U ovom slučaju funkcija + R postaje pozitivna realna funkcija. Stoga će mreža s dva terminala sa dodatkom otpora R biti stabilan u slučaju kratkog spoja.

29 Vodljivost Y ima nule u desnoj poluravni, ali tamo nema polova.Ovo je suprotan slučaj od prethodnog, jer znači da = /Y ima polove u desnoj poluravni, ali tamo nema nule. U ovom slučaju, stabilnost se istražuje u kolu sa izvorom struje Slika 45, a Ako Y ima nule u desnoj poluravni, tada je mreža s dva terminala nestabilna u praznom hodu. Nadalje, može se primijeniti gornje rezonovanje Kako Y nema polova u desnoj poluravni, onda se funkcija Y može učiniti realnom pozitivnom funkcijom dodavanjem pozitivne realne vodljivosti G Gmin Dakle, mreža s dva terminala, u kojoj provodljivost Y ima nule u desnu poluravninu, ali tamo nema polova, može se učiniti stabilnim dodavanjem dovoljno velike realne provodljivosti iz izvora napona 3 Funkcija ima nule i polove u desnoj poluravni U ovom slučaju, za rješavanje pitanja stabilnosti zahtijeva posebno razmatranje. Dakle, možemo izvući sljedeće zaključke: ako je aktivna mreža s dva terminala stabilna kada se napaja iz izvora struje, nema polove u desnoj poluravni, onda može biti postaje stabilan kada se napaja iz izvora napona serijskim povezivanjem nekog pozitivnog otpora materijala; ako je aktivna mreža s dva terminala stabilna kada se napaja iz izvora napona Y nema polove u desnoj poluravni, onda se može učiniti stabilnom kada se napaja iz izvora struje paralelnim povezivanjem dovoljno velike stvarne provodljivosti. Razmotrimo paralelnu vezu negativnog otpora R sa kapacitivnošću C slika 46 R C R C I 55 Y b G Slika 45 Mreže sa dva terminala: a sa izvorom struje; b sa dodatkom provodljivosti Y Y Slika 46 Mreža sa dva terminala sa negativnim otporom I

30 Kao što vidite, nema nule u desnoj poluravni, tako da je takvo kolo stabilno kada se napaja iz izvora napona, ali je nestabilno u praznom hodu. Dodajmo induktivnost L u seriju Zatim Slika 47 Ekvivalentno kolo tunela dioda R R L LCR L RC RC Ova funkcija ima nule u desnoj poluravni: , RC 4 RC LC Dakle, kolo je nestabilno kada se napaja iz izvora napona, ali ima i pol u desnoj poluravni. Pokušajmo napraviti stabilan je dodavanjem nekog otpora R u seriju Slika 47 Tada R LCR RRC L R R L R RC RC Uslov stabilnosti je odsustvo nula brojila u desnoj poluravni Da bi se to postiglo, svi koeficijenti trinoma u brojiocu moraju biti pozitivni : RR C L ; R R Ove dvije nejednakosti mogu se zapisati kao: L CR R R Očigledno, takve nejednakosti su moguće ako je L L R ili R RC C R pod uslovom R Kolo na slici 47 je ekvivalentno kolo tunelske diode C. Prema tome, pronađeni uvjet je stanje 56

Slika 48 Nađimo uslove stabilnosti kola u praznom hodu. Da bismo to uradili, izračunajmo provodljivost: Y R R C L 57 LC L R L o o th R ili R > R o Kada je obrnuta nejednakost ispunjena, samooscilacije se pobuđuju u krug na frekvenciji rezonantnog kola.neke granice bez kršenja uslova pasivnosti Fizički, ova promjena realne komponente za konstantnu vrijednost znači dodavanje ili isključivanje stvarnog aktivnog otpora, idealno neovisno o frekvenciji Promjena reaktivne komponente funkcija otpora n provodljivost po konstantnoj vrijednosti je neprihvatljiva, jer se time krše uvjeti fizičke izvodljivosti; moguće u slučaju kada otpor provodljivosti ima polove na osi realne frekvencije Zbog uslova fizičke izvodljivosti takvi polovi moraju biti jednostavni i složeni konjugirani

32 Neka otpor ima polove na frekvencijama. Tada možemo razlikovati proste razlomke M N B B Lako je vidjeti da je N N M M N r M B r 58 B * M, M M znak, što je u suprotnosti s uvjetima fizičke realizacije Dakle, M r = N r = Tada je M = N Osim toga, može se pokazati da je M = N > Zaista, postavljamo = +, i > Tada razlomak uzima vrijednost M/, koja mora biti veća od nule, budući da razlomak mora biti realna pozitivna funkcija u desna poluravan Dakle, M = N > Dakle, ako ima složene konjugirane polove na osi realne frekvencije, onda se može predstaviti kao: M M, B i zadovoljava uslove fizičke izvodljivosti, ako su zadovoljeni Real , nema polova u desnoj poluravni, jer tamo nema polova. Dakle, to je analitička funkcija u desnoj poluravni. S druge strane, prvi član preuzima ose realnih frekvencija su čisto imaginarne vrijednosti, dakle, i imaju iste realne dijelove na osi realnih frekvencija Odabir prvog člana ne utječe na realni dio na osi realnih frekvencija Iz toga slijedi da je također pozitivna funkcija od r u desnoj poluravni

33 Osim toga, uzima realne realne vrijednosti ​​​u desnoj poluravni pri realnim vrijednostima. Dakle, realna je pozitivna funkcija M Otpor ima paralelni rezonantni krug bez gubitaka: L C C C, L C LC sa LC i M C Slično rasuđivanje se može provesti za funkciju vodljivosti Y, koja ima polove u tačkama ± : M " Y, Y M " gdje je izraz vodljivost serijskog rezonantnog kola: Y C L L C L e odgovara kapacitivnosti ili induktivnosti Sljedeća izjava je tačna

34 od toga oduzmi reaktanciju provodljivosti koja odgovara polovima koji se nalaze na osi realne frekvencije. Otpor provodljivosti, u kojem su svi polovi na ovaj način uklonjeni, naziva se otporom provodljivosti minimalnog reaktivnog tipa. polovi otpora i provodljivosti na bilo kojem realne frekvencije Prisustvo ovakvih polova značilo bi mogućnost postojanja slobodnih oscilacija u njima bez prigušenja Ali u mnogim slučajevima, uz dobru aproksimaciju, gubici u reaktivnim elementima se mogu zanemariti.elemenata sa malim gubicima U ovom slučaju uticaj gubitaka se ponekad može zanemariti Interesantno je saznati svojstva kola bez gubitaka, kao i saznati pod kojim uslovima je moguće zanemariti gubitke Pretpostavimo da su svi elementi kola čisto reaktivni Lako je pokazati da u ovom slučaju, na osi realnih frekvencija, otpor i provodljivost Y poprimaju imaginarne vrijednosti. Zaista, u ovom slučaju je gubitak snage nula, dakle: W I 6 H WE W Y E WE ; Budući da je imaginarni dio otpora ili vodljivosti neparna funkcija strujnog kola, onda je u ovom slučaju = Dakle, iu širem slučaju = Uvjeti fizičke izvodljivosti zahtijevaju da nema nule i polove u desnoj polovini - ravan Ali pošto je =, onda u lijevoj poluravni također ne bi trebalo biti nula i polova Stoga H

35 funkcija i Y mogu imati nule i polove samo na osi realne frekvencije. Fizički je to razumljivo, jer u kolu bez gubitaka slobodne vibracije ne propadaju Iz toga slijedi da je korištenjem metode odabira polova koji leže na osi realnih frekvencija moguće svesti funkcije i Y na sljedeći oblik: b n b n b Y Slika 49 Fosterov prvi oblik Prema tome, Y se može predstaviti kao -ti Fosterov oblik Slika 4 Slika 4 Fosterov drugi oblik Može se pokazati da se nule i polovi na osi realne frekvencije moraju izmjenjivati ​​U stvari, budući da nule i polovi na realnoj frekvenciji osa može biti samo jednostavna, tada blizu nule funkcija može biti predstavljena u obliku M o, gdje je o vrijednost višeg reda malenosti u odnosu na . Blizu desne poluravni, stvarna vrijednost mora biti pozitivna, a ovo moguće je samo ako je M realno

36 vrijednost, i M > Prema tome, blizu nule = imaginarna komponenta se može promijeniti samo pozitivnim izvodom, mijenjajući predznak iz "+" Dalje će se pokazati da je za kolo sastavljeno od čisto reaktivnih elemenata, naznačena derivacija pozitivna za sve frekvencije.Stoga, između dvije susjedne nule mora postojati diskontinuitet, koji za kola sa skupljenim elementima može biti samo pol.Sve gore navedeno vrijedi i za provodljivost Y Nule se nazivaju rezonantne tačke, polovi su antirezonantne tačke Stoga, rezonancije se uvijek izmjenjuju s antirezonancijama Za provodljivost Y, rezonancije odgovaraju polovima, a antirezonancije nulama Lako je vidjeti da su i u rezonantnim i antirezonantnim tačkama prosječne rezerve električne i magnetske energije jednake jedna drugoj. rezonantne tačke =, t e W H W E = U antirezonantnim tačkama Y =, dakle, W E W H = gubici, primenjuju se sledeće formule, dajem dx WH W d I db WH WE d E Razmotrimo definiciju otpora E I 6 E ; Neka E = cons Diferencija u odnosu na frekvenciju: d E di d I d Pretpostavimo da je E realna vrijednost Tada je za kolo bez gubitaka I čisto imaginarna vrijednost U ovom slučaju d E d I di d I I i

37 Okrenimo se sada sistemu jednadžbi za struje petlje n 4: I Li I Ei, i, n C Uz pretpostavku da je samo E, pomnožimo svaku od jednačina sa i saberemo sve jednačine: i, i I di i Li I di i E di, i, C i, Zatim prelazimo na relaciju dobijenu također u paragrafu 4 za kola bez gubitaka: i, L i I Ii i i, I I C i i E i, Ci i, I di di I L di I E di C C i i i i i, i i, i, i di I di I L di I L di I n i i i i i i, i, Ci i, i, Ci E di E di, pošto je E po pretpostavci realna vrijednost Iz navedenog također slijedi da: i, L I i di i i, IdI C i i E di di i 63

38 Zamjenom u ukupnom zbroju dobijamo: d i, L i I Ii i, I I C i i E di E Smanjenjem sličnih članova lijevo i desno nalazimo: di I Ii E di d Li I Ii i, i, Ci E Izraz u zagradama, kao što je pronađeno u Odjeljku 4, jednak je i, L i I Ii i, Ii I C i 4 W H W E di E WE Iz ovih formula slijedi da sa povećanjem frekvencije, reaktancija i provodljivost kola čistog reaktivni elementi se mogu samo povećati 4 Na kraju ćemo pokušati otkriti kako prisustvo malih gubitaka utječe na otpor kola sastavljenog od reaktivnih elemenata.Kada se uvedu gubici javlja se slabljenje.Razmatrat ćemo male gubitke koji uzrokuju nisko slabljenje koje zadovoljava stanje /<<, <, где = + -й полюс сопротивления Это означает, что полюсы и нули сопротивления смещаются с оси вещественных частот на малую величину затухания H E 64

39 Slabljenje može biti različito za različite polove Stoga je preporučljivo razmotriti ponašanje funkcije otpora u blizini jednog od polova. Pomak pola za iznos ulijevo može se prikazati zamjenom funkcije varijable sa + Onda, blizu stuba, imaćemo

40 Pošto nas zanimaju vrijednosti na osi realne frekvencije, treba je zamijeniti sa U brojnik se može odbaciti, mali u odnosu na prema uvjetu: Ovaj izraz se može transformirati na sljedeći način:, Qx "gdje; Q ; x; vrijednost x naziva se relativna detuning Blizu rezonance Osim toga, imamo: vrijednost C x Q Q ; ; Q Q C C se naziva karakteristična impedansa rezonantnog kola Razmotrimo kako su stvarni i imaginarni dijelovi otpora u blizini rezonancija zavisi od frekvencije: Q Q x R ; Im Q x Q x 66

41 U blizini rezonancije, Im raste, ali u rezonanciji prolazi kroz nulu sa negativnim izvodom. Realni dio R u rezonanciji ima maksimum Grafovi Im i R u zavisnosti od frekvencije prikazani su na slici 4. Imajte na umu da R dx Q Q x dx, tj. ne zavisi od faktora kvaliteta Inače, površina ispod rezonantne krive R ne zavisi od faktora kvaliteta Kako faktor kvaliteta raste, širina krive se smanjuje, ali visina raste, tako da površina ostaje nepromijenjen Qx >>, realni dio se brzo smanjuje, a imaginarni dio je jednak Im x 67, tj. mijenja se na isti način kao u slučaju kola bez gubitaka

42 Dakle, ovisnost o frekvenciji pri uvođenju malih gubitaka malo se mijenja na frekvencijama koje su daleko od rezonantne frekvencije za vrijednost \u003e\u003e\u003e\u003e\u003e\u003e\u003e\u003e U blizini frekvencije, kurs se značajno mijenja gq Y, Qx g karakteristična provodljivost; L x Nula odgovara provodnom polu Y Blizu nule, stoga se otpor može predstaviti na osi realne frekvencije na sljedeći način: Qx x, Y gq Q gdje je = /g Dakle, blizu nule, uvođenje malih gubitaka utiče na izgled male realne komponente otpora Imaginarna komponenta varira blizu nule na isti način kao prije 68

43 5 Kvadripola 5 Osnovne jednadžbe kvadripola Kvadripol je kolo koje ima dva para terminala: ulaz na koji je povezan izvor signala i izlaz na koji je priključeno opterećenje. izvor signala n i otpor opterećenja n su uključeni u T. Kada se mijenjaju mijenja se i T. Poželjno je imati jednadžbe i parametre koji karakteriziraju sam četveropol. Koeficijent je recipročan prijenos provodljivosti u praznom hodu na izlaznom paru obujmica: 69 I I ; Slika 5 Uključivanje četveropola I Ovdje su U i U naponi na ulaznim i izlaznim terminalima, I i I su struje koje teku kroz ulazni i izlazni terminal prema četveropolu, vidi sliku 5 Koeficijenti sistema jednadžbe koje se odnose na napone i struje imaju jednostavno značenje I i U pri struji na izlaznim stezaljkama I =, tj. bez opterećenja na izlaznim stezaljkama; drugim riječima, ovo je ulazni otpor u praznom hodu na izlazu = x Slično, ovo je ulazni otpor sa strane izlaznih terminala u stanju mirovanja na prvom paru terminala = x strujni ulazni terminali U i I Y T x Y T x

44 I U ; Y Tx Y Tx YT x I U x I YT x I, budući da je struja u ovom slučaju usmjerena iz četveropola, odnosno u suprotnom smjeru u odnosu na onaj koji je usvojen gore Zamjenom U u drugu jednačinu, dobijamo odakle je I, I n I x I YTx I Y x Tx Zamjenom I u prvu jednačinu dobijamo U I x Y Tx n Odavde nalazimo ulazni otpor u n x U x I Y Analogno možemo napisati i izraz za izlazni otpor zamjenom indeksa i : T x n x 7

45 out h Y T h n h 5 Karakteristični parametri mreže sa dva priključka Značajan interes predstavlja slučaj kada su generator i opterećenje istovremeno usklađeni, odnosno kada je n = c i n = c, relacija in = c i out = odvija se c. Zamjenom u izraze za in i out dobijamo jednačine koje nam omogućavaju da pronađemo c i c: c c x x Y T x Y T x 7 c c Ovaj sistem se rješava na sljedeći način. Iz prve jednačine nalazimo: odakle c c x x; x, Y Tx c x x Y T x Izjednačavajući c iz druge jednačine, imamo x Y Tx x YTx x c x kz c x kz x

46 Imajte na umu da su kz i kz ulazni otpori sa strane prvog i drugog para terminala, respektivno, u slučaju kratkog spoja na drugom paru terminala Opterećenje jednako karakterističnoj impedanciji c naziva se podudarnim. Za bilo koji broj Ovako spojenih četvoropola, usklađivanje je sačuvano u bilo kom preseku.Kao treći karakteristični parametar četvoropola, karakteristični koeficijent prenosa g ln U U I ln rg I U I 7 U I se često koristi kada je četvoropol povezan na usklađeno opterećenje, tj. karakteristična impedansa U ovom slučaju, U c I; U I c I c ln I c U c g ln U dobijate i omjere: I g I ; U c g U U U I I

47 Karakteristični koeficijent prijenosa je zgodan po tome što je kod koordiniranog kaskadnog povezivanja mreža sa četiri terminala, rezultujući koeficijent prijenosa jednak zbiru koeficijenata prijenosa pojedinačnih mreža s četiri terminala. : Karakteristične impedanse c i c, generalno govoreći, zavise od frekvencije. Stoga, upotreba karakterističnih parametara nije uvijek zgodna za predstavljanje otpora prijenosa T. Stoga je za proučavanje karakterističnog koeficijenta g u zavisnosti od frekvencije potrebno opteretiti četvorougao na karakterističnu impedanciju, koja takođe zavisi od frekvencije.Najzanimljivija veza je kvadripol na konstantno realno opterećenje R sa čisto aktivnim otporom generatora R Slika 53 U ovom slučaju prenos se određuje pomoću radni koeficijent prijenosa U I ln, U I gdje je U "i I". tj. i struja koju generator može razviti na otporu jednakom unutrašnjem otporu generatora, odnosno: E U, I E, R 73 E U I, 4R U i I napon i struja opterećenja U ovom slučaju, U = I R Zamjena , dobijamo za radni koeficijent prenosa ln Odavde dobijamo 4R E R I ln E R R T I R R

48 Vrijednost funkcije kompleksne varijable Za realne frekvencije = : = + B, gdje je radno slabljenje, B fazna konstanta dodijeljena opterećenju R P mx E P I R 4R Pokažimo da je realna pozitivna funkcija Zaista, pošto T ima nema nula u desnoj poluravni, funkcija je analitička u desnoj poluravni. Stoga je analitička funkcija proporcionalna njoj također analitička u desnoj poluravni. Modul analitičke funkcije dostiže svoju maksimalnu vrijednost na granici analitičnost domene, u ovom slučaju na osi realne frekvencije Recipročna vrijednost dostiže najmanju vrijednost na ovoj osi Za pasivni četveropol na osi realne frekvencije, dakle R > u cijeloj desnoj poluravni Sljedeći T ln 4R R Funkcija T je količnik dijeljenja dva polinoma sa realnim koeficijentima, a T uzima realno pozitivno e vrijednosti za realne Dakle, također realne za realne vrijednosti. Dakle, možemo zaključiti da je realna pozitivna funkcija

4.11. Svojstva Laplaceove transformacije. 1) Korespondencija jedan prema jedan: s(S ˆ(2) Linearnost Laplaceove transformacije: s ˆ () ˆ 1(s2(S1 S2(, i također 3) Analitičnost S ˆ() : ako s(zadovoljava

4 Predavanje 5 ANALIZA DINAMIČKIH KRUGOVA Plan Jednačine stanja električnih kola Algoritam za formiranje jednačina stanja 3 Primeri sastavljanja jednačina stanja 4 Zaključci Jednačine stanja električnih kola

4. Svojstva Laplaceove transformacije.) Jedan-na-jedan korespondencija: S ˆ() 2) Linearnost Laplaceove transformacije: s (s () ˆ () ˆ 2 S S2(), i 3) Analitičnost S ˆ () : ako zadovoljava uslov

64 Predavanje 6 OPERATORSKA METODA ANALIZE ELEKTRIČNIH KOLA Plan Laplasove transformacije Svojstva Laplasove transformacije 3 Operatorska metoda analize električnih kola 4 Definicija originala iz poznatog

2.2. Operatorski metod za proračun prolaznih procesa. Teorijske informacije. Proračun prelaznih procesa u složenim kolima klasičnom metodom vrlo je često teško pronaći konstante integracije.

70 Predavanje 7 OPERATORSKE FUNKCIJE KOLA Plan Operatorske ulazne i prijenosne funkcije Polovi i nule funkcija kola 3 Zaključci Operatorske funkcije ulaza i prijenosa Operatorska funkcija kola se naziva

Sinusoidna struja "na dlanu" Većina električne energije se generira u obliku EMF-a, koji varira u vremenu prema zakonu harmonijske (sinusoidne) funkcije. Harmonični EMF izvori su

4 Predavanje REZONANTNE FREKVENCIJSKE KARAKTERISTIKE ELEKTRIČNIH KOLA Rezonancija i njen značaj u radio elektronici Kompleksne funkcije prijenosa 3 Logaritamske frekvencijske karakteristike 4 Zaključci Rezonancija i

Prelazni procesi "na dlanu". Već znate metode za izračunavanje kola koje je u ustaljenom stanju, odnosno u kojem su struje, kao i padovi napona na pojedinim elementima, nepromijenjeni u vremenu.

Rezonancija na dlanu. Rezonancija je način pasivne mreže s dva terminala koja sadrži induktivne i kapacitivne elemente, u kojoj je njena reaktanca nula. Resonance Condition

Prisilne električne vibracije. Naizmjenična struja Razmotrite električne oscilacije koje nastaju kada je u strujnom kolu generator čija se elektromotorna sila periodično mijenja.

Poglavlje 3 Naizmjenična struja Teoretske informacije Većina električne energije se generira u obliku EMF-a, koji se vremenom mijenja prema zakonu harmonijske (sinusoidne) funkcije

Predavanje 3. Dedukcije. Glavni teorem o ostatku Ostatak funkcije f () u izolovanoj singularnoj tački a je kompleksan broj jednak vrijednosti integrala f () 2 uzet u pozitivnom smjeru i duž kružnice

Elektromagnetne oscilacije Kvazistacionarne struje Procesi u oscilatornom kolu Oscilatorno kolo je kolo koje se sastoji od serijski spojenog induktora, kondenzatora C kapacitivnosti i otpornika.

1 5 Električne oscilacije 51 Titrajni krug U fizici se oscilacijama nazivaju ne samo periodična kretanja tijela, već i svaki periodični ili gotovo periodični proces u kojem se vrijednosti jednog ili više

Pasivna kola Uvod Problemi se odnose na proračun amplitudno-frekvencijskih, fazno-frekventnih i prelaznih karakteristika u pasivnim kolima. Da biste izračunali ove karakteristike, morate znati

PROUČAVANJE SLOBODNIH I PRINUDNIH OSCILACIJA U OSCILATORNOM KRUGU Slobodne električne oscilacije u oscilatornom kolu

Predavanje 3 Tema Oscilatorni sistemi Sekvencijalno oscilatorno kolo. Naponska rezonanca Serijski oscilatorni krug je krug u kojem su zavojnica i kondenzator spojeni u seriju.

Moskovski državni univerzitet M.V. Lomonosov Moskovski državni univerzitet Fizički fakultet Katedra za opštu fiziku Laboratorijska praksa iz opšte fizike (elektricitet i magnetizam) Kozlov

Materijali za samostalno učenje iz discipline "Teorija električnih kola" za studente specijalnosti: -6 4 h "Industrijska elektronika" (dio), -9 sa "Modeliranje i računarsko projektovanje

Metoda kompleksne amplitude. Harmonične fluktuacije napona na terminalima R ili elemenata uzrokuju tok harmoničke struje iste frekvencije. Integracija diferencijacije i dodavanje funkcija

Dodatak 4 Prinudne električne oscilacije Naizmjenična struja Sljedeće teorijske informacije mogu biti korisne u pripremi za laboratorijski rad 6, 7, 8 u laboratoriji "Elektricitet i magnetizam"

54 Predavanje 5 FOURIEROVA TRANSFORMACIJA I SPEKTRALNA METODA ANALIZE ELEKTRIČNIH KOLA Plan Spektri aperiodičnih funkcija i Fourierova transformacija Neka svojstva Fourierove transformacije 3 Spektralna metoda

Ispit rezonancije stresa (nastavak) i iω K = K = ω = = ω => r+ iω + r+ i ω iω r + ω K = ω r + ω Imenilac je minimalan na frekvenciji ω 0 tako da je ω0 = 0 => ω0 ω 0= ova frekvencija se naziva rezonantna

Poglavlje 2. Metode za proračun prolaznih procesa. 2.1. Klasična metoda proračuna. Teorijske informacije. U prvom poglavlju razmatrane su metode za proračun kola u stacionarnom stanju, tj.

Yastrebov NI KPI RTF odjel TOP wwwystrevkievu Funkcije kola

4.9. Prolazni odziv kola, njegov odnos sa impulsnim odzivom. Razmotrimo funkciju K j K j j > S j j K j S 2 Pretpostavimo da K jω ima Fourierovu transformaciju h K j Ako postoji IC k K j, tada

Predavanje 9 Linearizacija diferencijalnih jednadžbi Linearne diferencijalne jednadžbe višeg reda Homogene jednadžbe svojstva njihovih rješenja Svojstva rješenja nehomogenih jednadžbi Definicija 9 Linearna

Metodički razvoj Rješavanje problema na TFKP Kompleksni brojevi Operacije nad kompleksnim brojevima Kompleksna ravan Kompleksni broj se može predstaviti u algebarskoj i trigonometrijskoj eksponencijali

Sadržaj UVOD Odjeljak KLASIČNA METODA PRORAČUNA PRELAZNIH PROCESA Odjeljak PRORAČUN PRELAZNIH PROCESA POD PROIZVOLJNIM ULAZNIM AKCIJAMA POMOĆU NADZORNIH INTEGRALA9 PITANJA ZA ODJAVA7

4 ELEKTROMAGNETNE OSCILACIJE I TALASI Oscilatorno kolo je električni krug sastavljen od kondenzatora i zavojnica u kojem je moguć oscilatorni proces punjenja kondenzatora.

3.5. Složeno paralelno oscilatorno kolo I Kolo u kojem najmanje jedna paralelna grana sadrži reaktivnost oba znaka. I C C I I Ne postoji magnetna veza između i. Rezonantno stanje

PREDAVANJE N38. Ponašanje analitičke funkcije u beskonačnosti. posebne tačke. Ostaci funkcije..okolina tačke u beskonačnosti.....Laurentova ekspanzija u okolini tačke u beskonačnosti.... 3. Ponašanje

4 Predavanje 3 FREKVENCIJSKE KARAKTERISTIKE ELEKTRIČNIH KOLA Kompleksne prijenosne funkcije Logaritamske frekvencijske reakcije 3 Zaključak Kompleksne prijenosne funkcije (kompleksne frekvencijske reakcije)

Fluktuacije. Predavanje 3 Alternator Da bismo objasnili princip rada alternatora, prvo razmotrimo šta se dešava kada se plosnati namotaj žice rotira u jednoličnom magnetskom

DIFERENCIJALNE JEDNAČINE Opći koncepti Diferencijalne jednadžbe imaju brojne i vrlo raznolike primjene u mehanici, fizici, astronomiji, tehnologiji i drugim granama više matematike (npr.

Proračun izvora harmonijskih oscilacija (HHC) Predstavite originalno kolo HHC u odnosu na primarni namotaj transformatora sa ekvivalentnim izvorom napona Odredite njegove parametre (EMF i interni

Rad 11 PROUČAVANJE PRINUDNIH OSCILACIJA I FENOMENA REZONANCIJE U OSCILATORNOM KOLU U kolu koje sadrži induktor i kondenzator mogu nastati električne oscilacije. Studije rada

Tema 4 .. AC kola Tematska pitanja .. AC kolo sa induktivnošću .. AC kolo sa induktivnošću i aktivnim otporom. 3. AC krug sa kapacitivnošću. 4. AC krug

4 Predavanje ANALIZA OTPORNIH KOLA Plan Zadatak analize električnih kola Kirchhoffovi zakoni Primjeri analize otpornih kola 3 Ekvivalentne transformacije dijela strujnog kola 4 Zaključci Zadatak analize električnih kola

Opcija 708 Izvor sinusoidnog EDC e(ωt) sin(ωt ψ) radi u električnom kolu. Dijagram strujnog kola prikazan na sl. Efektivna vrijednost EDC E izvora, početna faza i vrijednost parametara kola

Početni podaci R1=10 ohm R2=8 ohm R3=15 ohm R4=5 ohm R5=4 ohm R6=2 ohm E1=10 V E2=15 V E3=20 V Kirhofovi zakoni (DC napon) 1. Traženje čvorova Čvor tačka , u kojoj su spojena tri (ili više) provodnika

PREDAVANJE OSCILACIJA. Prisilne vibracije

Ispitna rezonancija napona (nastavak) Pretpostavićemo da je napon na odi kola napon na čitavom oscilatornom kolu, a napon na izlazu kola je napon na kondenzatoru Tada amplituda

Jesenji semestar akademske godine Tema 3 HARMONIČKA ANALIZA NEPERIODIČNIH SIGNALA Direktna i inverzna Fourierova transformacija Spektralna karakteristika signala Amplitudno-frekvencijski i fazno-frekvencijski spektri

Predavanje 6. Klasifikacija tačaka mirovanja linearnog sistema od dve jednačine sa konstantnim realnim koeficijentima. Razmotrimo sistem od dvije linearne diferencijalne jednadžbe sa konstantnom realnošću

54 Predavanje 5 Fourierova transformacija I SPEKTRALNA METODA ZA ANALIZU ELEKTRIČNIH KOLA Plan Spektri aperiodičnih funkcija i Fourierova transformacija 2 Neka svojstva Fourierove transformacije 3 Spektralna metoda

Tema: Zakoni naizmjenične struje Električnom strujom nazivamo uređeno kretanje nabijenih čestica ili makroskopskih tijela Promjenjiva struja se naziva promjenjivom strujom koja mijenja svoju vrijednost tokom vremena

Ispit Impedansa kompleksnog otpora Impedansa ili kompleksni otpor je po definiciji jednak omjeru kompleksnog napona i kompleksne struje: Z ɶ Imajte na umu da je impedansa također jednaka omjeru

Naslov Uvod. Osnovni pojmovi.... 4 1. Volterra integralne jednadžbe... 5 Mogućnosti domaće zadaće.... 8 2. Rezolventa Volterra integralne jednadžbe. 10 opcija za domaći zadatak.... 11

Poglavlje II Integrali Antiderivativna funkcija i njena svojstva Funkcija F() se naziva antiderivativna kontinuirana funkcija f() na intervalu a b ako je F() f(), a; b (;) Na primjer, za funkciju f(), antiderivati

klasična metoda. Slika 1 - početni dijagram električnog kola Parametri kola: E = 129 (V) w = 10000 (rad / s) R1 = 73 (Ohm) R2 = 29 (Ohm) R3 = 10000 (rad / s) R1 = 73 (Ohm) R2 = 29 (Ohm) R3 = hm 2 ) L = 21 (mH) C = 0,97 (uF) Reaktancija induktora:

Metode za proračun složenih linearnih električnih kola Osnova: sposobnost sastavljanja i rješavanja sistema linearnih algebarskih jednadžbi - sastavljenih ili za jednosmjerno kolo ili nakon simbolizacije

DEFINITIVNI INTEGRAL. Integralni zbroji i određeni integral Neka je funkcija y = f () definirana na segmentu [, b ], gdje je< b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных

8 Predavanje 7 OPERATORSKE FUNKCIJE KOLA Operatorske ulazne i prijenosne funkcije Polovi i nule funkcija kola 3 Zaključci Operatorske ulazne i prijenosne funkcije Operatorska funkcija kola je relacija

68 Predavanje 7 PRIJELAZNI PROCESI U KRUGOVIMA PRVOG REDA Plan 1 Prelazni procesi u RC kolima prvog reda 2 Prijelazni procesi u R-kolima prvog reda 3 Primjeri proračuna prelaznih procesa u kolima

4 LINEARNI ELEKTRIČNI KRUGOVI IZMJENIČNE SINUSOIDNE STRUJE I METODE NJIHOVOG PRORAČUNA 4.1 ELEKTRIČNE MAŠINE. PRINCIP GENERACIJE SINUSOIDNE STRUJE 4.1.012. Sinusoidna struja se naziva trenutna

Federalna agencija za obrazovanje Državna obrazovna ustanova visokog stručnog obrazovanja "KUBAN DRŽAVNI UNIVERZITET" Fizičko-tehnološki fakultet Katedra za optoelektroniku

~ ~ FCF Derivat funkcije kompleksne varijable FCF iz Cauchy-Riemannovog uvjeta Koncept pravilnosti FCF-a Prikaz i oblik kompleksnog broja Oblik FCF-a: gdje je realna funkcija dvije varijable realna

Ovo je naziv druge vrste integralne transformacije, koja se, uz Fourierovu transformaciju, široko koristi u radiotehnici za rješavanje širokog spektra problema vezanih za proučavanje signala.

Koncept kompleksne frekvencije.

Spektralne metode, kao što je već poznato, zasnivaju se na činjenici da se signal koji se proučava predstavlja kao zbir neograničenog broja elementarnih pojmova, od kojih se svaki periodično mijenja u vremenu prema zakonu.

Prirodna generalizacija ovog principa leži u činjenici da se umjesto kompleksnih eksponencijalnih signala sa čisto imaginarnim eksponentima uvode u razmatranje eksponencijalni signali oblika, gdje je kompleksni broj: nazvan kompleksna frekvencija.

Dva takva složena signala mogu se koristiti za sastavljanje stvarnog signala, na primjer, prema sljedećem pravilu:

gdje je kompleksno konjugirana količina.

Zaista, dok

U zavisnosti od izbora realnog i imaginarnog dela kompleksne frekvencije, mogu se dobiti različiti realni signali. Dakle, ako , ali se dobiju uobičajene harmonijske oscilacije oblika If, tada se, ovisno o predznaku, dobivaju ili rastuće ili opadajuće eksponencijalne oscilacije u vremenu. Takvi signali dobijaju složeniji oblik kada . Ovdje množitelj opisuje omotnicu koja se eksponencijalno mijenja s vremenom. Neki tipični signali su prikazani na Sl. 2.10.

Koncept kompleksne frekvencije pokazuje se kao vrlo koristan, prije svega zato što omogućava da se, bez pribjegavanja generaliziranim funkcijama, dobiju spektralni prikazi signala čiji matematički modeli nisu integrabilni.

Rice. 2.10. Stvarni signali koji odgovaraju različitim vrijednostima kompleksne frekvencije

Još jedno razmatranje je takođe bitno: eksponencijalni signali oblika (2.53) služe kao "prirodno" sredstvo za proučavanje oscilacija u različitim linearnim sistemima. Ova pitanja će biti istražena u pogl. 8.

Treba napomenuti da je prava fizička frekvencija imaginarni dio kompleksne frekvencije. Ne postoji poseban termin za stvarni dio kompleksne frekvencije.

Osnovni omjeri.

Neka - neki signal, realan ili kompleksan, definisan za t > 0 i jednak nuli za negativne vrijednosti vremena. Laplaceova transformacija ovog signala je funkcija kompleksne varijable date integralom:

Signal se zove original, a funkcija se zove njegova Laplaceova slika (ukratko, samo slika).

Uslov koji osigurava postojanje integrala (2.54) je sljedeći: signal mora imati najviše eksponencijalnu stopu rasta, tj. mora zadovoljiti nejednakost gdje su pozitivni brojevi.

Kada je ova nejednakost zadovoljena, funkcija postoji u smislu da integral (2.54) konvergira apsolutno za sve kompleksne brojeve za koje se broj a naziva apscisa apsolutne konvergencije.

Varijabla u glavnoj formuli (2.54) može se identificirati sa kompleksnom frekvencijom. Zaista, za čisto imaginarnu kompleksnu frekvenciju, kada se formula (2.54) pretvara u formulu (2.16), koja određuje Fourierovu transformaciju signala, koja je nula na Dakle, Laplaceova transformacija se može uzeti u obzir

Baš kao što se to radi u teoriji Fourierove transformacije, moguće je, poznavajući sliku, vratiti original. Da biste to učinili, u formuli za inverznu Fourierovu transformaciju

analitički nastavak treba izvršiti prelaskom sa imaginarne varijable na kompleksni argument a Na ravni kompleksne frekvencije integracija se vrši duž neograničeno produžene vertikalne ose koja se nalazi desno od apscise apsolutne konvergencije. Budući da za diferencijal, formula za inverznu Laplaceovu transformaciju poprima oblik

U teoriji funkcija kompleksne varijable, dokazano je da Laplaceove slike imaju "dobra" svojstva u smislu glatkoće: takve slike u svim tačkama kompleksne ravni, s izuzetkom prebrojivog skupa takozvanih singularnih tačaka, su analitičke funkcije. Pojedinačne tačke su obično polovi, pojedinačni ili višestruki. Stoga se za izračunavanje integrala oblika (2.55) mogu koristiti fleksibilne metode teorije ostataka.

U praksi se široko koriste tablice Laplaceove transformacije koje prikupljaju informacije o podudarnosti između originala. i slike. Prisustvo tablica učinilo je metodu Laplaceove transformacije popularnom kako u teorijskim studijama tako iu inženjerskim proračunima radiotehničkih uređaja i sistema. U prilozima postoji takva tabela, koja omogućava rješavanje prilično širokog spektra problema.

Primjeri izračunavanja Laplaceove transformacije.

Postoje mnoge sličnosti u metodama izračunavanja slika sa onim što je već proučavano u odnosu na Fourierovu transformaciju. Razmotrimo najtipičnije slučajeve.

Primjer 2.4, Slika generaliziranog eksponencijalnog momenta.

Neka , gdje je fiksni kompleksni broj. Prisutnost -funkcije određuje jednakost kod Koristeći formulu (2.54), imamo

Ako tada brojilac nestaje kada se gornja granica zamijeni. Kao rezultat, dobijamo prepisku

Kao poseban slučaj formule (2.56), može se pronaći slika stvarnog eksponencijalnog video pulsa:

i složeni eksponencijalni signal:

Konačno, unoseći (2.57) , nalazimo sliku Hevisajdove funkcije:

Primjer 2.5. Slika delta funkcije.

Laplaceova transformacija- integralna transformacija koja se odnosi na funkciju F (s) (\displaystyle \ F(s)) kompleksna varijabla ( slika) sa funkcijom f (x) (\displaystyle \f(x)) realna varijabla ( original). Koristi se za istraživanje nekretnina dinamički sistemi i odluči diferencijal I integralne jednačine.

Jedna od karakteristika Laplaceove transformacije, koja je predodredila njegovu široku upotrebu u naučnim i inženjerskim proračunima, jeste da mnogi omjeri i operacije na originalima odgovaraju jednostavnijim omjerima na njihovim slikama. Tako se konvolucija dviju funkcija u prostoru slika svodi na operaciju množenja, a linearne diferencijalne jednadžbe postaju algebarske.

Enciklopedijski YouTube

1 / 5

✪ Laplaceova transformacija - bezbotvy

✪ Predavanje 10: Laplasova transformacija

✪ Viša matematika - 4. Laplasove transformacije. Dio 1

✪ Laplaceova metoda za DE rješenje

✪ Predavanje 11: Primjena Laplaceove transformacije na rješavanje diferencijalnih jednačina

Titlovi

Definicija

Direktna Laplaceova transformacija

lim b → ∞ ∫ 0 b | f(x) | e − σ 0 x d x = ∫ 0 ∞ | f(x) | e − σ 0 x d x , (\displaystyle \lim _(b\to \infty )\int \limits _(0)^(b)|f(x)|e^(-\sigma _(0)x)\ ,dx=\int \limits _(0)^(\infty )|f(x)|e^(-\sigma _(0)x)\,dx,)

onda se konvergira apsolutno i jednolično za i - analitička funkcija at σ ⩾ σ 0 (\displaystyle \sigma \geqslant \sigma _(0)) (σ = R e s (\displaystyle \sigma =\mathrm (Re) \,s)- pravi deo složena varijabla s (\displaystyle s)). Tačna donja granica σ a (\displaystyle \sigma _(a)) skupovi brojeva σ (\displaystyle \sigma ), pod kojim je ovaj uslov zadovoljen, naziva se apscisa apsolutna konvergencija Laplaceova transformacija za funkciju .

• Uslovi za postojanje direktne Laplasove transformacije

Laplaceova transformacija L ( f (x) ) (\displaystyle (\mathcal (L))\(f(x)\)) postoji u smislu apsolutne konvergencije u sljedećim slučajevima:

1. σ ⩾ 0 (\displaystyle \sigma \geqslant 0): Laplaceova transformacija postoji ako postoji integral ∫ 0 ∞ | f(x) | d x (\displaystyle \int \limits _(0)^(\infty )|f(x)|\,dx);
2. σ > σ a (\displaystyle \sigma >\sigma _(a)): Laplaceova transformacija postoji ako je integral ∫ 0 x 1 | f(x) | d x (\displaystyle \int \limits _(0)^(x_(1))|f(x)|\,dx) postoji za svaku konačnu x 1 > 0 (\displaystyle x_(1)>0) I | f(x) | ⩽ K e σ a x (\displaystyle |f(x)|\leqslant Ke^(\sigma _(a)x)) Za x > x 2 ≥ 0 (\displaystyle x>x_(2)\geqslant 0);
3. σ > 0 (\displaystyle \sigma >0) ili σ > σ a (\displaystyle \sigma >\sigma _(a))(koja od granica je veća): Laplaceova transformacija postoji ako postoji Laplaceova transformacija za funkciju f ′ (x) (\displaystyle f"(x)) (derivat od f (x) (\displaystyle f(x))) Za σ > σ a (\displaystyle \sigma >\sigma _(a)).

Bilješka

• Uslovi za postojanje inverzne Laplaceove transformacije

Za postojanje inverzne Laplaceove transformacije dovoljno je da su ispunjeni sljedeći uslovi:

1. Ako je slika F (s) (\displaystyle F(s)) - analitička funkcija Za σ ≥ σ a (\displaystyle \sigma \geqslant \sigma _(a)) i ima red manji od −1, tada inverzna transformacija za njega postoji i kontinuirana je za sve vrijednosti argumenta, i L − 1 ( F (s) ) = 0 (\displaystyle (\mathcal (L))^(-1)\(F(s)\)=0) Za t ⩽ 0 (\displaystyle t\leqslant 0).
2. Neka F (s) = φ [ F 1 (s) , F 2 (s) , … , F n (s) ] (\displaystyle F(s)=\varphi ), Dakle φ (z 1 , z 2 , … , z n) (\displaystyle \varphi (z_(1),\;z_(2),\;\ldots ,\;z_(n))) je analitičan u odnosu na svaki z k (\displaystyle z_(k)) i jednaka je nuli za z 1 = z 2 = … = z n = 0 (\displaystyle z_(1)=z_(2)=\ldots =z_(n)=0), And F k (s) = L ( f k (x) ) (σ > σ a k: k = 1 , 2 , … , n) (\displaystyle F_(k)(s)=(\mathcal (L))\(f_ (k)(x)\)\;\;(\sigma >\sigma _(ak)\colon k=1,\;2,\;\ldots ,\;n)), tada inverzna transformacija postoji i odgovarajuća direktna transformacija ima apscisu apsolutne konvergencije.

Bilješka: to su dovoljni uslovi za postojanje.

• Teorema konvolucije

Glavni članak: Teorema konvolucije

• Diferencijacija i integracija originala

Slika prema Laplaceu prve derivacije originala u odnosu na argument je proizvod slike i argumenta potonjeg minus original na nuli desno:

L ( f ′ (x) ) = s ⋅ F (s) − f (0 +) . (\displaystyle (\mathcal (L))\(f"(x)\)=s\cdot F(s)-f(0^(+)).)

Teoreme početne i konačne vrijednosti (granične teoreme):

f (∞) = lim s → 0 s F (s) (\displaystyle f(\infty)=\lim _(s\to 0)sF(s)), ako su svi polovi funkcije s F (s) (\displaystyle sF(s)) nalaze se u lijevoj poluravni.

Teorema konačnih vrijednosti je vrlo korisna jer opisuje ponašanje originala u beskonačnosti jednostavnom relacijom. Ovo se, na primjer, koristi za analizu održivost trajektorije dinamičkog sistema.

• Ostale nekretnine

Linearnost:

L ( a f (x) + b g (x) ) = a F (s) + b G (s) . (\displaystyle (\mathcal (L))\(af(x)+bg(x)\)=aF(s)+bG(s).)

Pomnožite brojem:

L ( f (a x) ) = 1 a F (s a) . (\displaystyle (\mathcal (L))\(f(ax)\)=(\frac (1)(a))F\lijevo((\frac (s)(a))\desno).)

Direktna i inverzna Laplaceova transformacija nekih funkcija

Ispod je tablica Laplaceove transformacije za neke funkcije.

№	Funkcija	Vremenska domena x (t) = L − 1 ( X (s) ) (\displaystyle x(t)=(\mathcal (L))^(-1)\(X(s)\))	frekvencijski domen X (s) = L ( x (t) ) (\displaystyle X(s)=(\mathcal (L))\(x(t)\))	Područje konvergencije Za uzročno sistemima
1	idealno zaostajanje	δ (t − τ) (\displaystyle \delta (t-\tau)\ )	e − τ s (\displaystyle e^(-\tau s)\ )
1a	single pulse	δ (t) (\displaystyle \delta (t)\ )	1 (\displaystyle 1\ )	∀ s (\displaystyle \forall s\ )
2	zaostajanje n (\displaystyle n)	(t − τ) n n ! e − α (t − τ) ⋅ H (t − τ) (\displaystyle (\frac ((t-\tau)^(n))(n}e^{-\alpha (t-\tau)}\cdot H(t-\tau)} !}	e − τ s (s + α) n + 1 (\displaystyle (\frac (e^(-\tau s))((s+\alpha)^(n+1))))	s > 0 (\displaystyle s>0)
2a	moć n (\displaystyle n)-th red	t n n ! ⋅ H (t) (\displaystyle (\frac (t^(n))(n}\cdot H(t)} !}	1 s n + 1 (\displaystyle (\frac (1)(s^(n+1))))	s > 0 (\displaystyle s>0)
2a.1	moć q (\displaystyle q)-th red	t q Γ (q + 1) ⋅ H (t) (\displaystyle (\frac (t^(q))(\Gamma (q+1)))\cdot H(t))	1 s q + 1 (\displaystyle (\frac (1)(s^(q+1))))	s > 0 (\displaystyle s>0)
2a.2	single function	H (t) (\displaystyle H(t)\ )	1 s (\displaystyle (\frac (1)(s)))	s > 0 (\displaystyle s>0)
2b	jedna funkcija sa kašnjenjem	H (t − τ) (\displaystyle H(t-\tau)\ )	e − τ s s (\displaystyle (\frac (e^(-\tau s))(s)))	s > 0 (\displaystyle s>0)
2c	"brzini korak"	t ⋅ H (t) (\displaystyle t\cdot H(t)\ )	1 s 2 (\displaystyle (\frac (1)(s^(2))))	s > 0 (\displaystyle s>0)
2d	n (\displaystyle n)-ti red sa pomakom frekvencije	t n n ! e − α t ⋅ H (t) (\displaystyle (\frac (t^(n))(n}e^{-\alpha t}\cdot H(t)} !}	1 (s + α) n + 1 (\displaystyle (\frac (1)((s+\alpha)^(n+1))))	s > −α (\displaystyle s>-\alpha )
2d.1	eksponencijalno raspadanje	e − α t ⋅ H (t) (\displaystyle e^(-\alpha t)\cdot H(t)\ )	1 s + α (\displaystyle (\frac (1)(s+\alpha )))	s > − α (\displaystyle s>-\alpha \ )
3	eksponencijalna aproksimacija	(1 − e − α t) ⋅ H (t) (\displaystyle (1-e^(-\alpha t))\cdot H(t)\ )	α s (s + α) (\displaystyle (\frac (\alpha)(s(s+\alpha))))	s > 0 (\displaystyle s>0\ )
4	sinus	sin ⁡ (ω t) ⋅ H (t) (\displaystyle \sin(\omega t)\cdot H(t)\ )	ω s 2 + ω 2 (\displaystyle (\frac (\omega )(s^(2)+\omega ^(2))))	s > 0 (\displaystyle s>0\ )
5	kosinus	cos ⁡ (ω t) ⋅ H (t) (\displaystyle \cos(\omega t)\cdot H(t)\ )	s s 2 + ω 2 (\displaystyle (\frac (s)(s^(2)+\omega ^(2))))	s > 0 (\displaystyle s>0\ )
6	hiperbolički sinus	s h (α t) ⋅ H (t) (\displaystyle \mathrm (sh) \,(\alpha t)\cdot H(t)\ )	α s 2 − α 2 (\displaystyle (\frac (\alpha )(s^(2)-\alpha ^(2))))	s > | α | (\displaystyle s>|\alpha |\ )
7	hiperbolički kosinus	c h (α t) ⋅ H (t) (\displaystyle \mathrm (ch) \,(\alpha t)\cdot H(t)\ )	s s 2 − α 2 (\displaystyle (\frac (s)(s^(2)-\alpha ^(2))))	s > | α | (\displaystyle s>|\alpha |\ )
8	eksponencijalno propadaju sinus	e − α t sin ⁡ (ω t) ⋅ H (t) (\displaystyle e^(-\alpha t)\sin(\omega t)\cdot H(t)\ )	ω (s + α) 2 + ω 2 (\displaystyle (\frac (\omega )((s+\alpha)^(2)+\omega ^(2))))	s > − α (\displaystyle s>-\alpha \ )
9	eksponencijalno propadaju kosinus	e − α t cos ⁡ (ω t) ⋅ H (t) (\displaystyle e^(-\alpha t)\cos(\omega t)\cdot H(t)\ )	s + α (s + α) 2 + ω 2 (\displaystyle (\frac (s+\alpha)((s+\alpha)^(2)+\omega ^(2))))	s > − α (\displaystyle s>-\alpha \ )
10	root n (\displaystyle n)-th red	t n ⋅ H (t) (\displaystyle (\sqrt[(n)](t))\cdot H(t))	s − (n + 1) / n ⋅ Γ (1 + 1 n) (\displaystyle s^(-(n+1)/n)\cdot \Gamma \left(1+(\frac (1)(n) )\desno))	s > 0 (\displaystyle s>0)
11	prirodni logaritam	ln ⁡ (t t 0) ⋅ H (t) (\displaystyle \ln \left((\frac (t)(t_(0)))\right)\cdot H(t))	− t 0 s [ ln ⁡ (t 0 s) + γ ] (\displaystyle -(\frac (t_(0))(s))[\ln(t_(0)s)+\gamma ])	s > 0 (\displaystyle s>0)
12	Beselova funkcija prva vrsta red n (\displaystyle n)	J n (ω t) ⋅ H (t) (\displaystyle J_(n)(\omega t)\cdot H(t))	ω n (s + s 2 + ω 2) − n s 2 + ω 2 (\displaystyle (\frac (\omega ^(n)\left(s+(\sqrt (s^(2)+\omega ^(2)) ))\desno)^(-n))(\sqrt (s^(2)+\omega ^(2)))))	s > 0 (\displaystyle s>0\ ) (n > − 1) (\displaystyle (n>-1)\ )
13	prva vrsta red n (\displaystyle n)	I n (ω t) ⋅ H (t) (\displaystyle I_(n)(\omega t)\cdot H(t))	ω n (s + s 2 − ω 2) − n s 2 − ω 2 (\displaystyle (\frac (\omega ^(n)\left(s+(\sqrt (s^(2))-\omega ^(2) ))\desno)^(-n))(\sqrt (s^(2)-\omega ^(2)))))	s > | ω | (\displaystyle s>|\omega |\ )
14	bessel funkcija druga vrsta nulti red	Y 0 (α t) ⋅ H (t) (\displaystyle Y_(0)(\alpha t)\cdot H(t)\ )	− 2 a r s h (s / α) π s 2 + α 2 (\displaystyle -(\frac (2\mathrm (arsh) (s/\alpha))(\pi (\sqrt (s^(2)+\alpha) ^(2))))))	s > 0 (\displaystyle s>0\ )
15	modificirana Besselova funkcija druga vrsta, nulti red	K 0 (α t) ⋅ H (t) (\displaystyle K_(0)(\alpha t)\cdot H(t))
16	funkcija greške	e r f (t) ⋅ H (t) (\displaystyle \mathrm (erf) (t)\cdot H(t))	e s 2 / 4 e r f c (s / 2) s (\displaystyle (\frac (e^(s^(2)/4)\mathrm (erfc) (s/2))(s)))	s > 0 (\displaystyle s>0)
Napomene na tabeli: H (t) (\displaystyle H(t)\ ) ; α (\displaystyle \alpha \ ), β (\displaystyle \beta \ ), τ (\displaystyle \tau \ ) I ω (\displaystyle \omega \ ) - Odnos sa drugim transformacijama Fundamentalne veze Mellin transform Mellinova transformacija i inverzna Mellinova transformacija su povezane sa dvostranom Laplaceovom transformacijom jednostavnom promenom varijabli. Ako je u Mellinovoj transformaciji G (s) = M ( g (θ) ) = ∫ 0 ∞ θ s g (θ) θ d θ (\displaystyle G(s)=(\mathcal (M))\lijevo\(g(\theta)\desno \)=\int \limits _(0)^(\infty )\theta ^(s)(\frac (g(\theta))(\theta ))\,d\theta ) stavimo θ = e − x (\displaystyle \theta =e^(-x)), tada dobijamo dvostranu Laplaceovu transformaciju. Z-transformacija Z (\displaystyle Z)-transformacija je Laplaceova transformacija rešetkaste funkcije, izvedena korištenjem promjene varijabli: z ≡ e s T , (\displaystyle z\equiv e^(sT),) Borelova transformacija Integralni oblik Borelove transformacije je identičan Laplaceovoj transformaciji, postoji i generalizirana Borelova transformacija, uz pomoć koje se upotreba Laplaceove transformacije proširuje na širu klasu funkcija. Bibliografija Van der Pol B., Bremer H. Operativni račun zasnovan na dvostranoj Laplaceovoj transformaciji. - M.: Izdavačka kuća strane književnosti, 1952. - 507 str. Ditkin V. A., Prudnikov A. P. Integralne transformacije i operativni račun. - M.: Glavno izdanje fizičke i matematičke literature izdavačke kuće Nauka, 1974. - 544 str. Ditkin V. A., Kuznjecov P. I. Priručnik za operativni račun: Osnove teorije i tabele formula. - M.: Državna izdavačka kuća tehničke i teorijske literature, 1951. - 256 str. Carslow H., Jaeger D. Operativne metode u primijenjenoj matematici. - M.: Izdavačka kuća strane književnosti, 1948. - 294 str. Kozhevnikov N. I., Krasnoshchekova T. I., Shishkin N. E. Fourierovi redovi i integrali. Teorija polja. Analitičke i specijalne funkcije. Laplaceove transformacije. - M. : Nauka, 1964. - 184 str. Krasnov M. L., Makarenko G. I. operativni račun. Stabilnost kretanja. - M. : Nauka, 1964. - 103 str. Mikusinsky Ya. Operatorski račun. - M.: Izdavačka kuća strane književnosti, 1956. - 367 str. Romanovsky P.I. Fourierova serija. Teorija polja. Analitičke i specijalne funkcije. Laplaceove transformacije. - M. : Nauka, 1980. - 336 str.