Matrični izrazi
A sada će biti nastavak teme, u kojoj ćemo razmotriti ne samo novi materijal, ali ćemo raditi i akcije sa matricama.
Neka svojstva operacija nad matricamaPostoji dosta svojstava koja se odnose na operacije sa matricama u istoj Wikipediji možete se diviti uređenim redovima odgovarajućih pravila. Međutim, u praksi su mnoga svojstva u određenom smislu „mrtva“, jer se samo nekoliko njih koristi u rješavanju stvarnih problema. Moj cilj je razmotriti praktičnu primjenu svojstava na konkretnim primjerima, a ako vam je potrebna rigorozna teorija, koristite drugi izvor informacija.
Pogledajmo neke izuzetke od pravila koji će biti potrebni za obavljanje praktičnih zadataka.
Ako kvadratna matrica postoji inverzna matrica, tada je njihovo množenje komutativno: 
Matrica identiteta je kvadratna matrica čija glavna dijagonala jedinice su locirane, a preostali elementi su jednaki nuli. Na primjer: , itd.
U ovom slučaju vrijedi sljedeće svojstvo: ako se proizvoljna matrica s lijeve ili desne strane pomnoži sa matricom identiteta odgovarajućih veličina, rezultat će biti originalna matrica:
Kao što možete vidjeti, komutativnost množenja matrice također se odvija ovdje.
Uzmimo neku matricu, pa, recimo, matricu iz prethodnog problema: 
.
Zainteresovani mogu provjeriti i uvjeriti se da: 
Jedinična matrica za matrice je analogna numeričkoj jedinici za brojeve, što je posebno jasno iz primjera o kojima smo upravo govorili.
Komutativnost numeričkog faktora u odnosu na množenje matriceZa matrice i realne brojeve vrijedi sljedeće svojstvo: 
Odnosno, numerički faktor se može (i treba) pomjeriti naprijed tako da „ne ometa“ množenje matrica.
Bilješka : generalno govoreći, formulacija svojstva je nepotpuna - "lambda" se može postaviti bilo gdje između matrica, čak i na kraju. Pravilo ostaje važeće ako se pomnože tri ili više matrica.
Primjer 4
Izračunajte proizvod 
Rješenje:
(1) Prema imovini 
pomeriti numerički faktor unapred. Same matrice se ne mogu preurediti!
(2) – (3) Izvršiti množenje matrice.
(4) Ovdje možete svaki broj podijeliti sa 10, ali tada će se među elementima matrice pojaviti decimalni razlomci, što nije dobro. Međutim, primjećujemo da su svi brojevi u matrici djeljivi sa 5, pa svaki element množimo sa .
Odgovor : 
Mala šarada koju možete sami riješiti:
Primjer 5
Izračunajte ako 
Rješenje i odgovor nalaze se na kraju lekcije.
Koja je tehnika važna pri rješavanju ovakvih primjera? Hajde da shvatimo brojeve najzad .
Pričvrstimo još jedan vagon na lokomotivu:
Kako pomnožiti tri matrice?Prije svega, ŠTA bi trebao biti rezultat množenja tri matrice? Mačka neće roditi miša. Ako je množenje matrice izvodljivo, onda će rezultat također biti matrica. Hmmm, pa, moj profesor algebre ne vidi kako objašnjavam zatvorenost algebarske strukture u odnosu na njene elemente =)
Proizvod tri matrice može se izračunati na dva načina:
1) pronaći i zatim pomnožiti sa matricom “tse”: ;
2) ili prvo pronađite, a zatim pomnožite.
Rezultati će se sigurno poklopiti, a u teoriji ovo svojstvo se naziva asocijativnost množenja matrice:
Primjer 6
Pomnožite matrice na dva načina 
Algoritam rješenja je dvokorak: nađemo proizvod dvije matrice, a zatim ponovo nađemo proizvod dvije matrice.
1) Koristite formulu
Akcija prva:
Drugi čin:
2) Koristite formulu
Akcija prva:
Drugi čin:
Odgovor : 
Prvo rješenje je, naravno, poznatije i standardnije, gdje „izgleda da je sve u redu“. Usput, u vezi narudžbe. U zadatku koji se razmatra često se javlja iluzija da je riječ o nekakvim permutacijama matrica. Oni nisu ovde. Ponovo vas podsjećam da je u opštem slučaju NEMOGUĆE ODREĐIVATI MATRE. Dakle, u drugom pasusu, u drugom koraku, vršimo množenje, ali ni u kom slučaju . Sa običnim brojevima bi takav broj radio, ali sa matricama ne bi.
Svojstvo asocijativnog množenja vrijedi ne samo za kvadratne, već i za proizvoljne matrice - sve dok se množe:
Primjer 7
Pronađite proizvod tri matrice 
Ovo je primjer koji možete sami riješiti. U rješenju uzorka, proračuni se vrše na dva načina, analizira se koji je put isplativiji i kraći.
Svojstvo asocijativnosti množenja matrice također se primjenjuje na veći broj faktora.
Sada je vrijeme da se vratimo moćima matrica. Kvadrat matrice se razmatra na samom početku i pitanje na dnevnom redu je:
Kako izgraditi matricu u kocku ili više visoki stepeni?Ove operacije su također definirane samo za kvadratne matrice. Da biste kockali kvadratnu matricu, morate izračunati proizvod:
Zapravo, ovo je poseban slučaj množenja tri matrice, prema svojstvu asocijativnosti množenja matrice: . A matrica pomnožena sama sa sobom je kvadrat matrice:
Tako dobijamo radnu formulu:
Odnosno, zadatak se izvodi u dva koraka: prvo se matrica mora kvadrirati, a zatim se rezultirajuća matrica pomnožiti sa matricom.
Primjer 8
Konstruirajte matricu u kocku.
Ovo je mali problem koji morate riješiti sami.
Podizanje matrice na četvrti stepen izvodi se na prirodan način: 
Koristeći asocijativnost množenja matrice, izvodimo dvije radne formule. Prvo: – ovo je proizvod tri matrice.
1) . Drugim riječima, prvo nađemo , zatim ga pomnožimo sa “be” - dobijemo kocku, i konačno, ponovo izvršimo množenje - bit će četvrti stepen.
2) Ali postoji rješenje korak kraće: . Odnosno, u prvom koraku nalazimo kvadrat i, zaobilazeći kocku, vršimo množenje
Dodatni zadatak za primjer 8:
Podignite matricu na četvrti stepen.
Kao što je upravo navedeno, to se može učiniti na dva načina:
1) Pošto je kocka poznata, onda vršimo množenje.
2) Međutim, ako je prema uslovima problema potrebno konstruisati matricu samo na četvrtu potenciju, onda je povoljno skratiti put - pronaći kvadrat matrice i koristiti formulu.
I rješenja i odgovor nalaze se na kraju lekcije.
Slično, matrica se podiže na pete i više potencije. Iz praktičnog iskustva mogu reći da ponekad naiđem na primjere podizanja na 4. stepen, ali se ne sjećam ničega o petom stepenu. Ali za svaki slučaj daću optimalni algoritam:
1) naći ;
2) naći ;
3) podići matricu na peti stepen: .
Ovo su, možda, sva osnovna svojstva matričnih operacija koja mogu biti korisna u praktičnim problemima.
U drugom dijelu lekcije očekuje se jednako šarena publika.
Matrični izraziPonovimo uobičajene školske izraze sa brojevima. Numerički izraz se sastoji od brojeva, matematičkih simbola i zagrada, na primjer: 
. Prilikom izračunavanja primjenjuje se poznati algebarski prioritet: prvo, zagrade, zatim izvršeno eksponencijalnost/ukorjenjivanje, Onda množenje/dijeljenje i na kraju, ali ne i najmanje važno - sabiranje/oduzimanje.
Ako numerički izraz ima smisla, onda je rezultat njegove evaluacije broj, na primjer:
Matrični izrazi rade gotovo na isti način! S tom razlikom što su glavni likovi matrice. Plus neke specifične matrične operacije, kao što su transponovanje i pronalaženje inverzna matrica.
Razmotrimo matrični izraz 
, gdje su neke matrice. U ovom matričnom izrazu, tri člana i operacije sabiranja/oduzimanja se izvode posljednji.
U prvom terminu, prvo trebate transponirati matricu “be”: , zatim izvršiti množenje i unijeti “dva” u rezultirajuću matricu. Imajte na umu da operacija transponovanja ima veći prioritet od množenja. Zagrade, kao u numeričkim izrazima, mijenjaju redoslijed radnji: - ovdje se prvo izvodi množenje, a zatim se rezultirajuća matrica transponira i množi sa 2.
U drugom terminu prvo se izvodi množenje matrice, a iz proizvoda se nalazi inverzna matrica. Ako uklonite zagrade: , tada prvo trebate pronaći inverznu matricu, a zatim pomnožiti matrice: . Pronalaženje inverza matrice također ima prednost nad množenjem.
Kod trećeg člana sve je očigledno: matricu podižemo u kocku i unosimo „pet“ u rezultujuću matricu.
Ako matrični izraz ima smisla, onda je rezultat njegove evaluacije matrica.
Svi zadaci će biti iz pravih testovi, a počećemo s najjednostavnijim:
Primjer 9
Zadane matrice 
. Pronađite:
Rješenje: redoslijed radnji je očigledan, prvo se vrši množenje, a zatim sabiranje.
Sabiranje se ne može izvršiti jer su matrice različitih veličina.
Nemojte se iznenaditi u zadacima ovog tipa često se predlažu očito nemoguće radnje.
Pokušajmo izračunati drugi izraz:
Ovde je sve u redu.
Odgovor: radnja se ne može izvršiti, 
.
Linearna algebra za lutke
Da biste proučavali linearnu algebru, možete pročitati i proučiti knjigu I. V. Belousova "Matrice i determinante". Međutim, napisana je strogim i suvoparnim matematičkim jezikom, koji je ljudima prosječne inteligencije teško uvidjeti. Stoga sam napravio prepričavanje najteže razumljivih dijelova ove knjige, pokušavajući što jasnije predstaviti materijal, koristeći što je moguće više crteža. Izostavio sam dokaze teorema. Iskreno, nisam se lično upuštao u njih. Verujem g. Belousov! Sudeći po njegovom radu, on je kompetentan i inteligentan matematičar. Njegovu knjigu možete preuzeti na http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Belousov2006ru.pdf Ako želite da se udubite u moj rad, morate to da uradite, jer ću se često pozivati na Belousova.
Počnimo s definicijama. Šta je matrica? Ovo je pravokutna tablica brojeva, funkcija ili algebarskih izraza. Zašto su potrebne matrice? Oni uvelike olakšavaju složene matematičke proračune. Matrica može imati redove i kolone (slika 1).
Redovi i kolone se numeriraju počevši s lijeve strane
odozgo (sl. 1-1). Kada kažu: matrica veličine m n (ili m sa n), pod m misle na broj redova, a pod n na broj kolona. Na primjer, matrica na slici 1-1 je 4 sa 3, a ne 3 sa 4.
Pogledajte sl. 1-3, koje matrice postoje. Ako se matrica sastoji od jednog reda, naziva se matrica reda, a ako se sastoji od jednog stupca, onda se naziva matrica stupaca. Matrica se naziva kvadratom reda n ako je broj redova jednak broju stupaca i jednak n. Ako su svi elementi matrice nula, onda je to nulta matrica. Kvadratna matrica se naziva dijagonalom ako su svi njeni elementi jednaki nuli, osim onih koji se nalaze na glavnoj dijagonali.
Odmah ću objasniti šta je glavna dijagonala. Brojevi redova i kolona na njemu su isti. Ide s lijeva na desno od vrha do dna. (Sl. 3) Elementi se nazivaju dijagonalnim ako se nalaze na glavnoj dijagonali. Ako su svi dijagonalni elementi jednaki jedan (a ostali su jednaki nuli), matrica se naziva identitet. Za dvije matrice A i B iste veličine kažemo da su jednake ako su im svi elementi isti.
2 Operacije nad matricama i njihovim svojstvimaProizvod matrice i broja x je matrica iste veličine. Da biste dobili ovaj proizvod, morate svaki element pomnožiti sa ovim brojem (slika 4). Da biste dobili zbir dvije matrice iste veličine, potrebno je sabrati njihove odgovarajuće elemente (slika 4). Da biste dobili razliku A - B dvije matrice iste veličine, potrebno je pomnožiti matricu B sa -1 i rezultujuću matricu dodati sa matricom A (slika 4). Za operacije nad matricama vrijede sljedeća svojstva: A+B=B+A (svojstvo komutativnosti).
(A + B)+C = A+(B + C) (osobina asocijativnosti). Jednostavno rečeno, promena mesta termina ne menja zbir. Sljedeća svojstva se primjenjuju na operacije nad matricama i brojevima:
(brojeve označiti slovima x i y, a matrice slovima A i B) x(yA)=(xy)A
Ova svojstva su slična svojstvima koja se primjenjuju na operacije nad brojevima. Pogledaj
primere na slici 5. Takođe pogledajte primere 2.4 - 2.6 iz Belousova na strani 9.
Množenje dvije matrice je definirano samo ako (prevedeno na ruski: matrice se mogu množiti samo ako) kada je broj stupaca prve matrice u proizvodu jednak broju redova druge (slika 7, iznad, plave zagrade). Da vam pomognem da zapamtite: broj 1 više liči na kolonu. Rezultat množenja je matrica veličine (vidi sliku 6). Da bismo lakše zapamtili šta treba pomnožiti sa čime, predlažem sljedeći algoritam: pogledajte sliku 7. Pomnožite matricu A sa matricom B.
matrica A dva stupca,
Matrica B ima dva reda - možete množiti.
1) Hajde da se pozabavimo prvom kolonom matrice B (to je jedina koja ima). Ovu kolonu upisujemo u red (transponiramo
kolona o transpoziciji ispod).
2) Kopirajte ovaj red tako da dobijemo matricu veličine matrice A.
3) Pomnožite elemente ove matrice sa odgovarajućim elementima matrice A.
4) Dobivene proizvode dodamo u svaki red i dobijemo matricu proizvoda od dva reda i jednog stupca.
Slika 7-1 prikazuje primjere množenja matrica veće veličine.
1) Ovdje prva matrica ima tri kolone, što znači da druga mora imati tri reda. Algoritam je potpuno isti kao u prethodnom primjeru, samo što ovdje postoje tri pojma u svakom redu, a ne dva.
2) Ovdje druga matrica ima dvije kolone. Prvo izvodimo algoritam sa prvom kolonom, zatim sa drugom, i dobijamo matricu dva po dva.
3) Ovdje druga matrica ima stupac koji se sastoji od jednog elementa, kolona se neće promijeniti zbog transpozicije. I nema potrebe ništa dodavati, pošto prva matrica ima samo jedan stupac. Algoritam izvodimo tri puta i dobijamo matricu tri po tri.
Ostvaruju se sljedeća svojstva:
1. Ako postoji zbir B + C i proizvod AB, onda je A (B + C) = AB + AC
2. Ako proizvod AB postoji, onda je x (AB) = (xA) B = A (xB).
3. Ako postoje proizvodi AB i BC, onda je A (BC) = (AB) C.
Ako matrični proizvod AB postoji, onda matrični proizvod BA možda ne postoji. Čak i ako postoje proizvodi AB i BA, oni se mogu pokazati kao matrice različitih veličina.
Oba proizvoda AB i BA postoje i matrice su iste veličine samo u slučaju kvadratnih matrica A i B istog reda. Međutim, čak iu ovom slučaju, AB možda nije jednako BA.
EksponencijacijaPodizanje matrice na stepen ima smisla samo za kvadratne matrice (razmislite zašto?). Tada je pozitivni cijeli broj m matrice A proizvod m matrica jednakih A. Isto kao i za brojeve. Pod nultim stepenom kvadratne matrice A podrazumevamo matricu identiteta istog reda kao i A. Ako ste zaboravili šta je matrica identiteta, pogledajte sl. 3.
Baš kao i brojevi, vrijede sljedeće relacije:
A mA k=A m+k (A m)k=A mk
Vidi primjere iz Belousova na strani 20.
Transponirajuće matriceTransponiranje je transformacija matrice A u matricu AT,
u kojoj su redovi matrice A upisani u kolone AT uz održavanje reda. (Sl. 8). Možete to reći i na drugi način:
Stupci matrice A upisuju se u redove matrice AT, čuvajući redoslijed. Primijetite kako transpozicija mijenja veličinu matrice, odnosno broj redova i stupaca. Također imajte na umu da elementi u prvom redu, prvoj koloni i posljednjem redu, posljednjoj koloni ostaju na mjestu.
Sljedeća svojstva vrijede: (AT )T =A (transpon
matricu dvaput - dobijate istu matricu)
(xA)T =xAT (pod x mislimo na broj, pod A, naravno, na matricu) (ako trebate pomnožiti matricu brojem i transponirati, možete prvo množiti, pa transponirati, ili obrnuto )
(A+B)T = AT +BT (AB)T =BT AT
Simetrične i antisimetrične matriceSlika 9, gore lijevo, prikazuje simetričnu matricu. Njegovi elementi, simetrični u odnosu na glavnu dijagonalu, su jednaki. A sada definicija: kvadratna matrica
A se naziva simetričnim ako je AT =A. To jest, simetrična matrica se ne mijenja kada se transponira. Konkretno, svaka dijagonalna matrica je simetrična. (Takva matrica je prikazana na slici 2).
Sada pogledajte antisimetričnu matricu (slika 9, ispod). Po čemu se razlikuje od simetričnog? Imajte na umu da su svi njegovi dijagonalni elementi jednaki nuli. U antisimetrične matrice svi dijagonalni elementi su nula. Razmislite zašto? Definicija: Kvadratna matrica A se zove
antisimetrično ako je AT = -A. Napomenimo neka svojstva operacija nad simetričnim i antisimetričnim
matrice. 1. Ako su A i B simetrične (antisimetrične) matrice, tada je A + B simetrična (antisimetrična) matrica.
2. Ako je A simetrična (antisimetrična) matrica, onda je xA također simetrična (antisimetrična) matrica. (u stvari, ako pomnožite matrice sa slike 9 nekim brojem, simetrija će i dalje biti sačuvana)
3. Proizvod AB dvije simetrične ili dvije antisimetrične matrice A i B je simetrična matrica za AB = BA i antisimetrična za AB = -BA.
4. Ako je A simetrična matrica, onda je A m (m = 1, 2, 3, ...) simetrična matrica. Ako je A
Antisimetrična matrica, tada je Am (m = 1, 2, 3, ...) simetrična matrica za parno m i antisimetrična za neparna.
5. Proizvoljna kvadratna matrica A može se predstaviti kao zbir dvije matrice. (nazovimo ove matrice, na primjer A(s) i A(a))
A=A (s)+A (a)
Treba napomenuti da se za ovu operaciju mogu koristiti samo kvadratne matrice. Jednak broj redova i kolona je preduslov za podizanje matrice na stepen. Tokom izračunavanja, matrica će se pomnožiti sama sa sobom potreban broj puta.
Ovaj online kalkulator je dizajniran za izvođenje operacije podizanja matrice na stepen. Zahvaljujući njegovoj upotrebi, ne samo da ćete se brzo nositi s ovim zadatkom, već ćete dobiti jasnu i detaljnu predstavu o napretku samog proračuna. To će pomoći u boljoj konsolidaciji materijala dobivenog u teoriji. Nakon što vidite detaljan algoritam proračuna pred vama, bolje ćete razumjeti sve njegove suptilnosti i nakon toga moći izbjeći greške u ručnim proračunima. Osim toga, nikada ne škodi još jednom provjeriti svoje proračune, a to je također najbolje uraditi ovdje.
Da biste podigli matricu na online moć, trebat će vam serija jednostavne radnje. Prije svega, odredite veličinu matrice klikom na ikone “+” ili “-” lijevo od nje. Zatim unesite brojeve u polje matrice. Također morate naznačiti snagu na koju je matrica podignuta. A onda sve što treba da uradite je da kliknete na dugme „Izračunaj“ na dnu polja. Dobiveni rezultat će biti pouzdan i tačan ako pažljivo i ispravno unesete sve vrijednosti. Uz njega će vam biti dostavljen detaljan transkript rješenja.
U julu 2020. NASA pokreće ekspediciju na Mars. Svemirska letjelica će isporučiti na Mars elektronski mediji sa imenima svih prijavljenih učesnika ekspedicije.
Ako je ova objava riješila vaš problem ili vam se jednostavno svidjela, podijelite link do nje sa svojim prijateljima na društvenim mrežama.
Jednu od ovih opcija koda potrebno je kopirati i zalijepiti u kod vaše web stranice, po mogućnosti između oznaka i ili odmah nakon oznake. Prema prvoj opciji, MathJax se brže učitava i manje usporava stranicu. Ali druga opcija automatski prati i učitava najnovije verzije MathJaxa. Ako unesete prvi kod, morat ćete ga povremeno ažurirati. Ako umetnete drugi kod, stranice će se učitavati sporije, ali nećete morati stalno pratiti ažuriranja MathJaxa.
Najlakši način za povezivanje MathJax-a je u Blogger-u ili WordPress-u: u kontrolnu ploču web-mjesta dodajte widget dizajniran za umetanje JavaScript koda treće strane, kopirajte prvu ili drugu verziju koda za preuzimanje prikazanog iznad u njega i postavite widget bliže na početak šablona (usput, to uopće nije potrebno, pošto se MathJax skripta učitava asinhrono). To je sve. Sada naučite sintaksu označavanja MathML-a, LaTeX-a i ASCIIMathML-a i spremni ste za ugradnju matematičke formule na web stranice Vaše web stranice.
Još jedna novogodišnja noć... mrazno vrijeme i pahulje na prozorskom staklu... Sve me to natjeralo da ponovo pišem o... fraktalima, i šta Wolfram Alpha zna o njima. Postoji zanimljiv članak o ovoj temi, koji sadrži primjere dvodimenzionalnih fraktalnih struktura. Ovdje ćemo pogledati više složeni primjeri trodimenzionalni fraktali.
Fraktal se može vizualno predstaviti (opisati) kao geometrijska figura ili tijelo (što znači da su oboje skup, u ovom slučaju skup tačaka), čiji detalji imaju isti oblik kao i sama originalna figura. Odnosno, ovo je samoslična struktura, ispitujući detalje čije ćemo uvećanje vidjeti isti oblik kao bez povećanja. Dok u slučaju obične geometrijske figure (ne fraktala), pri uvećanju ćemo vidjeti detalje koji imaju više jednostavan oblik nego sama originalna figura. Na primjer, sa dovoljno veliko uvećanje dio elipse izgleda kao segment prave linije. To se ne dešava sa fraktalima: sa svakim njihovim povećanjem, ponovo ćemo videti isti složeni oblik, koji će se ponavljati iznova i iznova sa svakim povećanjem.
Benoit Mandelbrot, osnivač nauke o fraktalima, napisao je u svom članku Fraktali i umjetnost u ime nauke: „Fraktali su geometrijski oblici koji su složeni u svojim detaljima kao i po svom cjelokupnom obliku će biti uvećan do veličine cjeline, izgledat će kao cjelina, ili tačno, ili možda s malom deformacijom."
Ovdje ćemo nastaviti temu operacija nad matricama započetu u prvom dijelu i pogledati nekoliko primjera u kojima će se morati primijeniti nekoliko operacija odjednom.
Podizanje matrice na stepen.Neka je k nenegativan cijeli broj. Za bilo koju kvadratnu matricu $A_(n\puta n)$ imamo: $$ A^k=\underbrace(A\cdot A\cdot \ldots \cdot A)_(k \; puta) $$
U ovom slučaju pretpostavljamo da je $A^0=E$, gdje je $E$ matrica identiteta odgovarajućeg reda.
Primjer br. 4
Zadana matrica $ A=\left(\begin(niz) (cc) 1 & 2 \\ -1 & -3 \end(niz) \right)$. Pronađite matrice $A^2$ i $A^6$.
Prema definiciji, $A^2=A\cdot A$, tj. da bismo pronašli $A^2$ samo trebamo pomnožiti matricu $A$ sa sobom. O operaciji množenja matrice govorilo se u prvom dijelu teme, pa ćemo ovdje jednostavno zapisati proces rješavanja bez detaljnih objašnjenja:
$$ A^2=A\cdot A=\left(\begin(niz) (cc) 1 & 2 \\ -1 & -3 \end(niz) \desno)\cdot \left(\begin(niz) (cc) 1 & 2 \\ -1 & -3 \end(niz) \desno)= \left(\begin(niz) (cc) 1\cdot 1+2\cdot (-1) & 1\cdot 2 +2\cdot (-3) \\ -1\cdot 1+(-3)\cdot (-1) & -1\cdot 2+(-3)\cdot (-3) \end(niz) \right )= \left(\begin(niz) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \end(niz) \desno). $$
Za pronalaženje matrice $A^6$ imamo dvije opcije. Prva opcija: trivijalno je nastaviti množenje $A^2$ sa matricom $A$:
$$ A^6=A^2\cdot A\cdot A\cdot A\cdot A. $$
Međutim, možete krenuti malo jednostavnijim putem, koristeći svojstvo asocijativnosti množenja matrice. Postavimo zagrade u izraz za $A^6$:
$$ A^6=A^2\cdot A\cdot A\cdot A\cdot A=A^2\cdot (A\cdot A)\cdot (A\cdot A)=A^2\cdot A^2 \cdot A^2. $$
Ako bi rješavanje prve metode zahtijevalo četiri operacije množenja, onda bi za drugu metodu bile potrebne samo dvije. Stoga, idemo drugim putem:
$$ A^6=A^2\cdot A^2\cdot A^2=\left(\begin(niz) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \end(niz) \desno)\ cdot \left(\begin(niz) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \end(niz) \desno)\cdot \left(\begin(array) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \end(niz) \desno)=\\= \left(\begin(niz) (cc) -1\cdot (-1)+(-4)\cdot 2 & -1\cdot (-4 )+(-4)\cdot 7 \\ 2\cdot (-1)+7\cdot 2 & 2\cdot (-4)+7\cdot 7 \end(niz) \desno)\cdot \left(\ početak(niz) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \end(niz) \desno)= \left(\begin(niz) (cc) -7 & -24 \\ 12 & 41 \end( niz) \desno)\cdot \left(\begin(niz) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \end(niz) \right)=\\= \left(\begin(niz) (cc ) -7\cdot(-1)+(-24)\cdot 2 & -7\cdot (-4)+(-24)\cdot 7 \\ 12\cdot (-1)+41\cdot 2 & 12 \cdot (-4)+41\cdot 7 \end(niz) \right)= \left(\begin(niz) (cc) -41 & -140 \\ 70 & 239 \end(niz) \desno). $$
Odgovori: $A^2=\left(\begin(array) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \end(array) \right)$, $A^6=\left(\begin(array) (cc) -41 & -140 \\ 70 & 239 \end(niz) \desno)$.
Primjer br. 5
Zadate matrice $ A=\left(\begin(niz) (cccc) 1 & 0 & -1 & 2 \\ 3 & -2 & 5 & 0 \\ -1 & 4 & -3 & 6 \end(niz) \desno)$, $ B=\left(\begin(niz) (ccc) -9 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & 4 \\ 0 & -2 & 3 \\ 1 & 5 & 0 \end (niz) \desno)$, $ C=\left(\begin(niz) (ccc) -5 & -20 & 13 \\ 10 & 12 & 9 \\ 3 & -15 & 8 \end(niz) \ desno)$. Pronađite matricu $D=2AB-3C^T+7E$.
Počinjemo računanje matrice $D$ pronalaženjem rezultata proizvoda $AB$. Matrice $A$ i $B$ se mogu množiti, jer je broj kolona matrice $A$ jednak broju redova matrice $B$. Označimo $F=AB$. U ovom slučaju, matrica $F$ će imati tri kolone i tri reda, tj. će biti kvadratna (ako se ovaj zaključak ne čini očiglednim, pogledajte opis množenja matrice u prvom dijelu ove teme). Pronađimo matricu $F$ izračunavanjem svih njenih elemenata:
$$ F=A\cdot B=\left(\begin(niz) (cccc) 1 & 0 & -1 & 2 \\ 3 & -2 & 5 & 0 \\ -1 & 4 & -3 & 6 \ kraj(niz) \desno)\cdot \left(\begin(niz) (ccc) -9 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & 4 \\ 0 & -2 & 3 \\ 1 & 5 & 0 \ kraj(niz) \desno)\\ \begin(poravnano) & f_(11)=1\cdot (-9)+0\cdot 2+(-1)\cdot 0+2\cdot 1=-7; \\ & f_(12)=1\cdot 1+0\cdot (-1)+(-1)\cdot (-2)+2\cdot 5=13; \\ & f_(13)=1\cdot 0+0\cdot 4+(-1)\cdot 3+2\cdot 0=-3;\\ \\ & f_(21)=3\cdot (-9 )+(-2)\cdot 2+5\cdot 0+0\cdot 1=-31;\\ & f_(22)=3\cdot 1+(-2)\cdot (-1)+5\cdot (-2)+0\cdot 5=-5;\\ & f_(23)=3\cdot 0+(-2)\cdot 4+5\cdot 3+0\cdot 0=7;\\ \\ & f_(31)=-1\cdot (-9)+4\cdot 2+(-3)\cdot 0+6\cdot 1=23; \\ & f_(32)=-1\cdot 1+4\cdot (-1)+(-3)\cdot (-2)+6\cdot 5=31;\\ & f_(33)=-1 \cdot 0+4\cdot 4+(-3)\cdot 3+6\cdot 0=7. \end(poravnano) $$
Dakle, $F=\left(\begin(niz) (ccc) -7 & 13 & -3 \\ -31 & -5 & 7 \\ 23 & 31 & 7 \end(niz) \right)$. Idemo dalje. Matrica $C^T$ je transponovana matrica za matricu $C$, tj. $ C^T=\left(\begin(niz) (ccc) -5 & 10 & 3 \\ -20 & 12 & -15 \\ 13 & 9 & 8 \end(niz) \desno) $. Što se tiče matrice $E$, to je matrica identiteta. U ovom slučaju, redoslijed ove matrice je tri, tj. $E=\left(\begin(niz) (ccc) 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end(array) \right)$.
U principu, možemo nastaviti ići korak po korak, ali je bolje razmotriti preostali izraz u cjelini, bez da nas ometaju pomoćne radnje. U stvari, ostaju nam samo operacije množenja matrica brojem, kao i operacije sabiranja i oduzimanja.
$$ D=2AB-3C^T+7E=2\cdot \left(\begin(niz) (ccc) -7 & 13 & -3 \\ -31 & -5 & 7 \\ 23 & 31 & 7 \ kraj(niz) \desno)-3\cdot \left(\begin(niz) (ccc) -5 & 10 & 3 \\ -20 & 12 & -15 \\ 13 & 9 & 8 \end(niz) \ desno)+7\cdot \left(\begin(niz) (ccc) 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end(niz) \desno) $$
Pomnožimo matrice na desnoj strani jednakosti odgovarajućim brojevima (tj. sa 2, 3 i 7):
$$ 2\cdot \left(\begin(niz) (ccc) -7 & 13 & -3 \\ -31 & -5 & 7 \\ 23 & 31 & 7 \end(niz) \desno)-3\ cdot \left(\begin(niz) (ccc) -5 & 10 & 3 \\ -20 & 12 & -15 \\ 13 & 9 & 8 \end(niz) \desno)+7\cdot \left(\ početak(niz) (ccc) 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end(niz) \desno)=\\= \left(\begin(niz) (ccc) - 14 & 26 & -6 \\ -62 & -10 & 14 \\ 46 & 62 & 14 \end(niz) \desno)-\left(\begin(niz) (ccc) -15 & 13 & 9 \\ -60 & 36 & -45 \\ 39 & 27 & 24 \end(niz) \desno)+\left(\begin(niz) (ccc) 7 & 0 & 0 \\ 0 & 7 & 0 \\ 0 & 0 & 7 \end(niz) \desno) $$
Hajde da to uradimo najnovije akcije: oduzimanje i sabiranje:
$$ \left(\begin(niz) (ccc) -14 & 26 & -6 \\ -62 & -10 & 14 \\ 46 & 62 & 14 \end(niz) \right)-\left(\begin (niz) (ccc) -15 & 30 & 9 \\ -60 & 36 & -45 \\ 39 & 27 & 24 \end(niz) \desno)+\left(\begin(niz) (ccc) 7 & 0 & 0 \\ 0 & 7 & 0 \\ 0 & 0 & 7 \end(niz) \right)=\\ =\left(\begin(niz) (ccc) -14-(-15)+7 & 26-30+0 & -6-9+0 \\ -62-(-60)+0 & -10-36+7 & 14-(-45)+0 \\ 46-39+0 & 62-27 +0 & 14-24+7 \end(array) \right)= \left(\begin(niz) (ccc) 8 & -4 & -15 \\ -2 & -39 & 59 \\ 7 & 35 & -3 \end(niz) \desno). $$
Problem riješen, $D=\left(\begin(niz) (ccc) 8 & -4 & -15 \\ -2 & -39 & 59 \\ 7 & 35 & -3 \end(array) \right)$ .
Odgovori: $D=\left(\begin(niz) (ccc) 8 & -4 & -15 \\ -2 & -39 & 59 \\ 7 & 35 & -3 \end(niz) \desno)$.
Primjer br. 6
Neka je $f(x)=2x^2+3x-9$ i matrica $ A=\left(\begin(niz) (cc) -3 & 1 \\ 5 & 0 \end(niz) \desno) $. Pronađite vrijednost $f(A)$.
Ako je $f(x)=2x^2+3x-9$, onda se $f(A)$ shvata kao matrica:
$$ f(A)=2A^2+3A-9E. $$
Ovako se definiše polinom iz matrice. Dakle, trebamo zamijeniti matricu $A$ u izraz za $f(A)$ i dobiti rezultat. Budući da su sve radnje detaljno razmotrene ranije, ovdje ću jednostavno dati rješenje. Ako vam je proces izvođenja operacije $A^2=A\cdot A$ nejasan, onda vam savjetujem da pogledate opis množenja matrice u prvom dijelu ove teme.
$$ f(A)=2A^2+3A-9E=2A\cdot A+3A-9E=2 \left(\begin(array) (cc) -3 & 1 \\ 5 & 0 \end(array) \desno)\cdot \left(\begin(niz) (cc) -3 & 1 \\ 5 & 0 \end(niz) \right)+3 \left(\begin(niz) (cc) -3 & 1 \\ 5 & 0 \end(niz) \desno)-9\left(\begin(niz) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \end(niz) \desno)=\\ =2 \left( \begin(niz) (cc) (-3)\cdot(-3)+1\cdot 5 & (-3)\cdot 1+1\cdot 0 \\ 5\cdot(-3)+0\cdot 5 & 5\cdot 1+0\cdot 0 \end(niz) \desno)+3 \left(\begin(niz) (cc) -3 & 1 \\ 5 & 0 \end(niz) \desno)-9 \left(\begin(niz) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \end(niz) \right)=\\ =2 \left(\begin(niz) (cc) 14 & -3 \\ - 15 & 5 \end(niz) \desno)+3 \left(\begin(niz) (cc) -3 & 1 \\ 5 & 0 \end(niz) \desno)-9\left(\begin(niz) ) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \end(niz) \desno) =\left(\begin(niz) (cc) 28 & -6 \\ -30 & 10 \end(niz) \desno) +\left(\begin(niz) (cc) -9 & 3 \\ 15 & 0 \end(niz) \right)-\left(\begin(niz) (cc) 9 & 0 \\ 0 & 9 \ kraj(niz) \desno)=\lijevo(\početak(niz) (cc) 10 & -3 \\ -15 & 1 \end(niz) \desno). $$
Odgovori: $f(A)=\left(\begin(niz) (cc) 10 & -3 \\ -15 & 1 \end(niz) \desno)$.
Učitavanje...