Komplexe Integrale

Dieser Artikel schließt das Thema der unbestimmten Integrale ab und enthält Integrale, die ich für ziemlich schwierig halte. Die Lektion wurde auf wiederholten Wunsch von Besuchern erstellt, die den Wunsch äußerten, dass schwierigere Beispiele auf der Website analysiert werden.

Es wird davon ausgegangen, dass der Leser dieses Textes gut vorbereitet ist und die grundlegenden Techniken der Integration anwenden kann. Dummies und Leute, die sich mit Integralen nicht sehr sicher sind, sollten sich auf die allererste Lektion beziehen - Unbestimmtes Integral. Lösungsbeispiele wo man das Thema quasi von der Pike auf lernen kann. Erfahrenere Studenten können sich mit den Techniken und Methoden der Integration vertraut machen, die in meinen Artikeln noch nicht begegnet sind.

Welche Integrale werden betrachtet?

Zunächst betrachten wir Integrale mit Wurzeln, zu deren Lösung wir sukzessive verwenden variable Substitution Und Integration in Teilstücken. Das heißt, in einem Beispiel werden zwei Verfahren gleichzeitig kombiniert. Und noch mehr.

Dann lernen wir ein interessantes und originelles kennen Methode zur Reduktion des Integrals auf sich selbst. Nicht wenige Integrale werden auf diese Weise gelöst.

Die dritte Nummer des Programms werden Integrale komplexer Brüche sein, die in früheren Artikeln an der Kasse vorbeigeflogen sind.

Viertens werden zusätzliche Integrale aus trigonometrischen Funktionen analysiert. Insbesondere gibt es Methoden, die die zeitaufwändige universelle trigonometrische Substitution vermeiden.

(2) Beim Integranden dividieren wir den Zähler durch den Nenner Term für Term.

(3) Wir nutzen die Eigenschaft der Linearität des unbestimmten Integrals. Im letzten Integral sofort Bringen Sie die Funktion unter das Vorzeichen des Differentials.

(4) Wir bilden die restlichen Integrale. Beachten Sie, dass Sie Klammern im Logarithmus und nicht im Modul verwenden können, da .

(5) Wir führen die umgekehrte Substitution durch, indem wir von der direkten Substitution "te" ausdrücken:

Masochistische Studenten können die Antwort differenzieren und erhalten den ursprünglichen Integranden, wie ich es gerade getan habe. Nein, nein, ich habe den Check im richtigen Sinne gemacht =)

Wie man sieht, mussten im Zuge der Lösung sogar mehr als zwei Lösungsverfahren angewendet werden, der Umgang mit solchen Integralen erfordert also sicheres Integrationsgeschick und nicht zuletzt Erfahrung.

In der Praxis ist natürlich die Quadratwurzel üblicher, hier drei Beispiele für eine unabhängige Lösung:

Beispiel 2

Finden unbestimmtes Integral

Beispiel 3

Finden Sie das unbestimmte Integral

Beispiel 4

Finden Sie das unbestimmte Integral

Diese Beispiele sind vom gleichen Typ, daher wird die vollständige Lösung am Ende des Artikels nur für Beispiel 2 gelten, in den Beispielen 3-4 - eine Antwort. Welcher Ersatz zu Beginn von Entscheidungen zu verwenden ist, denke ich, liegt auf der Hand. Warum habe ich die gleiche Art von Beispielen gewählt? Oft in ihren Rollen zu finden. Häufiger vielleicht nur so etwas wie .

Aber nicht immer, wenn die Wurzel einer linearen Funktion unter Arcus Tangens, Sinus, Cosinus, Exponent und anderen Funktionen liegt, müssen mehrere Methoden gleichzeitig angewendet werden. In einigen Fällen ist es möglich, „leicht auszusteigen“, dh unmittelbar nach dem Austausch erhält man ein einfaches Integral, das elementar genommen wird. Die einfachste der oben vorgeschlagenen Aufgaben ist Beispiel 4, bei dem nach dem Ersetzen ein relativ einfaches Integral erhalten wird.

Die Methode, das Integral auf sich selbst zu reduzieren

Clevere und schöne Methode. Werfen wir einen Blick auf die Klassiker des Genres:

Beispiel 5

Finden Sie das unbestimmte Integral

Unter der Wurzel befindet sich ein quadratisches Binomial, und wenn Sie versuchen, dieses Beispiel zu integrieren, kann die Teekanne stundenlang leiden. Ein solches Integral wird in Teile zerlegt und auf sich selbst reduziert. Im Prinzip ist es nicht schwierig. Wenn Sie wissen, wie.

Bezeichnen wir das betrachtete Integral mit einem lateinischen Buchstaben und beginnen wir mit der Lösung:

Teilweise integrieren:

(1) Wir bereiten den Integranden für die Term-für-Term-Division vor.

(2) Wir dividieren den Integranden Term für Term. Vielleicht versteht nicht jeder, ich werde ausführlicher schreiben:

(3) Wir nutzen die Eigenschaft der Linearität des unbestimmten Integrals.

(4) Wir nehmen das letzte Integral ("langer" Logarithmus).

Schauen wir uns nun den Anfang der Lösung an:

Und zum Schluss:

Was ist passiert? Als Ergebnis unserer Manipulationen hat sich das Integral auf sich selbst reduziert!

Anfang und Ende gleichsetzen:

Wir wechseln auf die linke Seite mit Vorzeichenwechsel:

Und wir reißen die Zwei auf der rechten Seite ab. Ergebend:

Die Konstante hätte streng genommen früher hinzugefügt werden sollen, aber ich habe sie am Ende hinzugefügt. Ich empfehle dringend zu lesen, was der Schweregrad hier ist:

Notiz: Genauer gesagt sieht die letzte Phase der Lösung so aus:

Auf diese Weise:

Die Konstante kann mit umbenannt werden. Warum kann man umbenennen? Denn es dauert noch beliebig Werte, und in diesem Sinne gibt es keinen Unterschied zwischen Konstanten und.
Ergebend:

Ein ähnlicher Trick mit ständiger Umbenennung ist weit verbreitet in Differentialgleichung. Und da werde ich streng sein. Und hier werden solche Freiheiten von mir nur zugelassen, um Sie nicht mit unnötigen Dingen zu verwirren und sich auf die Methode der Integration selbst zu konzentrieren.

Beispiel 6

Finden Sie das unbestimmte Integral

Ein weiteres typisches Integral für unabhängige Lösungen. Vollständige Lösung und Antwort am Ende der Lektion. Der Unterschied zur Antwort des vorherigen Beispiels wird sein!

Steht unter der Quadratwurzel ein Quadrattrinom, so reduziert sich die Lösung auf jeden Fall auf die beiden analysierten Beispiele.

Betrachten Sie zum Beispiel das Integral . Alles, was Sie tun müssen, ist im Voraus Wählen Sie ein ganzes Quadrat aus:
.
Als nächstes wird eine lineare Ersetzung durchgeführt, die "ohne Konsequenzen" auskommt:
, was zu einem Integral führt. Irgendwie bekannt, oder?

Oder dieses Beispiel mit einem quadratischen Binomial:
Auswählen eines ganzen Quadrats:
Und nach einer linearen Ersetzung erhalten wir das Integral , das ebenfalls durch den bereits betrachteten Algorithmus gelöst wird.

Betrachten Sie zwei weitere typische Beispiele, wie man ein Integral auf sich selbst reduziert:
ist das Integral des Exponenten multipliziert mit dem Sinus;
ist das Integral des Exponenten multipliziert mit dem Kosinus.

Bei den aufgeführten partiellen Integralen müssen Sie bereits zweimal integrieren:

Beispiel 7

Finden Sie das unbestimmte Integral

Der Integrand ist der Exponent multipliziert mit dem Sinus.

Wir integrieren zweimal partiell und reduzieren das Integral auf sich selbst:

Durch doppelte partielle Integration wird das Integral auf sich selbst reduziert. Anfang und Ende der Lösung gleichsetzen:

Wir wechseln mit Vorzeichenwechsel auf die linke Seite und drücken unser Integral aus:

Bereit. Unterwegs ist es wünschenswert, die rechte Seite zu kämmen, d.h. nimm den Exponenten aus den Klammern und setze Sinus und Cosinus in Klammern in einer „schönen“ Reihenfolge.

Gehen wir nun zurück zum Anfang des Beispiels bzw. zur partiellen Integration:

Denn wir haben den Aussteller benannt. Es stellt sich die Frage, ob der Exponent immer mit ? Nicht unbedingt. Tatsächlich im betrachteten Integral grundsätzlich egal, wofür soll man bezeichnen, man könnte auch andersrum gehen:

Warum ist das möglich? Da sich der Exponent (beim Differenzieren und Integrieren) in sich selbst verwandelt, gehen Sinus und Cosinus wechselseitig ineinander über (wiederum sowohl beim Differenzieren als auch beim Integrieren).

Das heißt, die trigonometrische Funktion kann auch bezeichnet werden. In dem betrachteten Beispiel ist dies jedoch weniger rational, da Brüche angezeigt werden. Wenn Sie möchten, können Sie versuchen, dieses Beispiel auf die zweite Art zu lösen, die Antworten müssen gleich sein.

Beispiel 8

Finden Sie das unbestimmte Integral

Dies ist ein Do-it-yourself-Beispiel. Bevor Sie sich entscheiden, denken Sie darüber nach, was in diesem Fall rentabler ist, um es zu bezeichnen, Exponential- oder trigonometrische Funktion? Vollständige Lösung und Antwort am Ende der Lektion.

Und vergessen Sie natürlich nicht, dass die meisten Antworten in dieser Lektion ziemlich einfach durch Differenzieren zu überprüfen sind!

Die Beispiele wurden als nicht die schwierigsten angesehen. In der Praxis sind Integrale gebräuchlicher, bei denen die Konstante sowohl im Exponenten als auch im Argument der trigonometrischen Funktion steht, zum Beispiel: . Viele Menschen werden in einem solchen Integral verwirrt sein müssen, und ich selbst bin oft verwirrt. Tatsache ist, dass in der Lösung eine hohe Wahrscheinlichkeit für das Auftreten von Brüchen besteht und es sehr leicht ist, etwas durch Unaufmerksamkeit zu verlieren. Außerdem gibt es eine hohe Wahrscheinlichkeit von Fehlern bei Vorzeichen, beachten Sie, dass es ein Minuszeichen im Exponenten gibt, und dies führt zu zusätzlichen Schwierigkeiten.

In der Endphase stellt sich oft Folgendes heraus:

Auch am Ende der Lösung solltest du äußerst vorsichtig sein und richtig mit Brüchen umgehen:

Integration komplexer Brüche

Wir nähern uns langsam dem Äquator der Lektion und beginnen, Integrale von Brüchen zu betrachten. Auch hier sind nicht alle superkomplex, nur aus dem einen oder anderen Grund waren die Beispiele in anderen Artikeln etwas „off-topic“.

Fortsetzung des Themas Wurzeln

Beispiel 9

Finden Sie das unbestimmte Integral

Im Nenner unter der Wurzel befindet sich außerhalb des Wurzel-"Anhängsels" ein quadratisches trinomisches Plus in Form von "x". Ein Integral dieser Form wird mit einer Standardsubstitution gelöst.

Wir entscheiden:

Der Austausch hier ist einfach:

Blick auf das Leben nach dem Austausch:

(1) Nach der Substitution bringen wir die Terme unter der Wurzel auf einen gemeinsamen Nenner.
(2) Wir nehmen es unter der Wurzel hervor.
(3) Wir kürzen Zähler und Nenner um . Gleichzeitig habe ich unter der Wurzel die Begriffe in einer bequemen Reihenfolge neu angeordnet. Mit etwas Erfahrung können die Schritte (1), (2) übersprungen werden, indem die kommentierten Handlungen mündlich ausgeführt werden.
(4) Das resultierende Integral, wie Sie sich aus der Lektion erinnern Integration einiger Brüche, ist gelöst Full-Square-Auswahlmethode. Wählen Sie ein ganzes Quadrat aus.
(5) Durch Integration erhalten wir einen gewöhnlichen "langen" Logarithmus.
(6) Wir führen den Rücktausch durch. Wenn anfangs , dann zurück: .
(7) Die letzte Aktion zielt darauf ab, das Ergebnis zu frisieren: Unter der Wurzel bringen wir die Begriffe wieder auf einen gemeinsamen Nenner und nehmen sie unter der Wurzel heraus.

Beispiel 10

Finden Sie das unbestimmte Integral

Dies ist ein Do-it-yourself-Beispiel. Hier wird dem einsamen x eine Konstante hinzugefügt, und die Ersetzung ist fast dieselbe:

Das einzige, was zusätzlich getan werden muss, ist, das "x" aus der Ersetzung auszudrücken:

Vollständige Lösung und Antwort am Ende der Lektion.

Manchmal kann in einem solchen Integral unter der Wurzel ein quadratisches Binomial stehen, dies ändert jedoch nichts an der Art und Weise, wie die Lösung gelöst wird, es wird sogar noch einfacher. Fühle den Unterschied:

Beispiel 11

Finden Sie das unbestimmte Integral

Beispiel 12

Finden Sie das unbestimmte Integral

Kurze Lösungen und Antworten am Ende der Lektion. Es sollte beachtet werden, dass Beispiel 11 genau ist Binomialintegral, deren Lösungsweg im Unterricht betrachtet wurde Integrale irrationaler Funktionen.

Integral eines unzerlegbaren Polynoms 2. Grades bis zum Grad

(Polynom im Nenner)

Eine seltenere, aber dennoch in praktischen Beispielen vorkommende Form des Integrals.

Beispiel 13

Finden Sie das unbestimmte Integral

Aber zurück zum Beispiel mit der Glückszahl 13 (ehrlich gesagt, ich habe nicht geraten). Auch dieses Integral gehört zu der Kategorie derer, bei denen man ziemlich leiden kann, wenn man nicht weiß, wie man es löst.

Die Lösung beginnt mit einer künstlichen Transformation:

Ich denke, jeder versteht bereits, wie man den Zähler durch den Nenner Term für Term dividiert.

Das resultierende Integral wird in Teilen genommen:

Für ein Integral der Form ( ist eine natürliche Zahl) haben wir abgeleitet wiederkehrend Herabstufungsformel:
, Wo ist ein Integral niedrigeren Grades.

Lassen Sie uns die Gültigkeit dieser Formel für das gelöste Integral überprüfen.
In diesem Fall: , , verwenden wir die Formel:

Wie Sie sehen können, sind die Antworten die gleichen.

Beispiel 14

Finden Sie das unbestimmte Integral

Dies ist ein Do-it-yourself-Beispiel. Die Musterlösung verwendet die obige Formel zweimal hintereinander.

Wenn unter dem Grad ist unzerlegbar quadratisches Trinom, dann wird die Lösung auf ein Binom reduziert, indem das vollständige Quadrat extrahiert wird, zum Beispiel:

Was ist, wenn es im Zähler ein zusätzliches Polynom gibt? In diesem Fall wird die Methode der unbestimmten Koeffizienten verwendet und der Integrand in eine Summe von Brüchen erweitert. Aber in meiner Praxis eines solchen Beispiels nie getroffen, also habe ich diesen Fall im Artikel übersprungen Integrale einer gebrochen-rationalen Funktion, ich überspringe es jetzt. Wenn ein solches Integral noch vorkommt, siehe Lehrbuch - dort ist alles einfach. Ich halte es nicht für sinnvoll, Material (auch einfaches) aufzunehmen, dessen Wahrscheinlichkeit des Treffens gegen Null tendiert.

Integration komplexer trigonometrischer Funktionen

Das Adjektiv „schwierig“ ist für die meisten Beispiele wieder weitgehend bedingt. Beginnen wir mit Tangenten und Kotangens in hohe Abschlüsse. Vom Standpunkt der Methoden zur Lösung von Tangens und Kotangens sind sie fast gleich, daher werde ich mehr über den Tangens sprechen, was bedeutet, dass die gezeigte Methode zur Lösung des Integrals auch für den Kotangens gilt.

In der obigen Lektion haben wir uns angesehen universelle trigonometrische Substitution zum Lösen einer bestimmten Art von Integralen trigonometrischer Funktionen. Der Nachteil der universellen trigonometrischen Substitution besteht darin, dass ihre Anwendung oft zu umständlichen Integralen mit schwierigen Berechnungen führt. Und in einigen Fällen kann die universelle trigonometrische Substitution vermieden werden!

Betrachten Sie ein weiteres kanonisches Beispiel, das Integral der Einheit dividiert durch den Sinus:

Beispiel 17

Finden Sie das unbestimmte Integral

Hier können Sie die universelle trigonometrische Substitution verwenden und die Antwort erhalten, aber es gibt einen rationaleren Weg. Ich werde eine vollständige Lösung mit Kommentaren für jeden Schritt bereitstellen:

(1) Wir verwenden die trigonometrische Formel für den Sinus eines Doppelwinkels.
(2) Wir führen eine künstliche Transformation durch: Im Nenner dividieren und multiplizieren wir mit .
(3) Nach der bekannten Formel im Nenner wandeln wir den Bruch in eine Tangente um.
(4) Wir bringen die Funktion unter das Vorzeichen des Differentials.
(5) Wir bilden das Integral.

Paar einfache Beispiele für unabhängige Lösung:

Beispiel 18

Finden Sie das unbestimmte Integral

Hinweis: Der allererste Schritt ist die Verwendung der Reduktionsformel und führen Sie ähnliche Aktionen wie im vorherigen Beispiel sorgfältig durch.

Beispiel 19

Finden Sie das unbestimmte Integral

Nun, das ist ein sehr einfaches Beispiel.

Vollständige Lösungen und Antworten am Ende der Lektion.

Ich denke, jetzt wird niemand Probleme mit Integralen haben:
usw.

Welche Idee steckt hinter der Methode? Die Idee ist, Transformationen und trigonometrische Formeln zu verwenden, um nur Tangenten und die Ableitung der Tangente im Integranden zu organisieren. Das heißt, wir sprechen über das Ersetzen von: . In den Beispielen 17-19 haben wir diese Ersetzung tatsächlich verwendet, aber die Integrale waren so einfach, dass es mit einer äquivalenten Aktion durchgeführt wurde – indem die Funktion unter das Differentialzeichen gebracht wurde.

Eine ähnliche Überlegung, wie ich bereits erwähnt habe, kann für den Kotangens durchgeführt werden.

Es gibt auch eine formale Voraussetzung für die Anwendung der obigen Substitution:

Die Summe der Potenzen von Cosinus und Sinus ist eine negative ganzzahlige GERADE Zahl, Zum Beispiel:

für ein Integral eine ganzzahlige negative GERADE Zahl.

! Notiz : enthält der Integrand NUR Sinus oder NUR Cosinus, dann wird das Integral gerade mit negativem ungeraden Grad genommen (die einfachsten Fälle sind in den Beispielen Nr. 17, 18).

Betrachten Sie einige sinnvollere Aufgaben für diese Regel:

Beispiel 20

Finden Sie das unbestimmte Integral

Die Summe der Sinus- und Kosinusgrade: 2 - 6 \u003d -4 - eine negative ganze Zahl GERADE Zahl, was bedeutet, dass das Integral auf Tangenten und ihre Ableitung reduziert werden kann:

(1) Lassen Sie uns den Nenner umformen.
(2) Nach der bekannten Formel erhalten wir .
(3) Lassen Sie uns den Nenner umformen.
(4) Wir verwenden die Formel .
(5) Wir bringen die Funktion unter das Differentialzeichen.
(6) Wir nehmen die Ersatzlieferung vor. Erfahrenere Schüler können die Ersetzung vielleicht nicht durchführen, aber es ist trotzdem besser, die Tangente durch einen Buchstaben zu ersetzen - die Verwechslungsgefahr ist geringer.

Beispiel 21

Finden Sie das unbestimmte Integral

Dies ist ein Do-it-yourself-Beispiel.

Wartet, die Meisterschaftsrunden beginnen =)

Oft gibt es im Integranden ein "Durcheinander":

Beispiel 22

Finden Sie das unbestimmte Integral

Dieses Integral enthält zunächst eine Tangente, die sofort einen bereits bekannten Gedanken suggeriert:

Die künstliche Transformation ganz am Anfang und die restlichen Schritte lasse ich kommentarlos, da oben schon alles gesagt wurde.

Ein paar kreative Beispiele für eine eigenständige Lösung:

Beispiel 23

Finden Sie das unbestimmte Integral

Beispiel 24

Finden Sie das unbestimmte Integral

Ja, natürlich können Sie in ihnen die Grade des Sinus, Cosinus verringern, die universelle trigonometrische Substitution verwenden, aber die Lösung wird viel effizienter und kürzer, wenn sie durch Tangenten gezogen wird. Vollständige Lösung und Antworten am Ende der Lektion

Hauptintegrale, die jeder Schüler kennen sollte

Die aufgeführten Integrale sind die Basis, die Basis der Fundamente. Diese Formeln sollten Sie sich natürlich merken. Wenn Sie komplexere Integrale berechnen, müssen Sie sie ständig verwenden.

Zahlen Besondere Aufmerksamkeit zu den Formeln (5), (7), (9), (12), (13), (17) und (19). Vergessen Sie nicht, beim Integrieren eine beliebige Konstante C zur Antwort hinzuzufügen!

Integral einer Konstante

∫ A d x = A x + C (1)

Leistungsfunktionsintegration

Eigentlich könnte man sich auf die Formeln (5) und (7) beschränken, aber die restlichen Integrale aus dieser Gruppe sind so häufig, dass es sich lohnt, ihnen ein wenig Aufmerksamkeit zu schenken.

∫ x d x = x 2 2 + C (2)
∫ x 2 d x = x 3 3 + C (3)
∫ 1 x d x = 2 x + C (4)
∫ 1 x d x = log | x | +C(5)
∫ 1 x 2 d x = − 1 x + C (6)
∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C (n ≠ − 1) (7)

Integrale der Exponentialfunktion und der hyperbolischen Funktionen

Natürlich kann Formel (8) (vielleicht am bequemsten zu merken) als Spezialfall von Formel (9) betrachtet werden. Die Formeln (10) und (11) für die Integrale des hyperbolischen Sinus und des hyperbolischen Cosinus lassen sich leicht aus Formel (8) ableiten, aber es ist besser, sich nur diese Beziehungen zu merken.

∫ e x d x = e x + C (8)
∫ a x d x = a x log a + C (a > 0, a ≠ 1) (9)
∫ s h x d x = c h x + C (10)
∫ c h x d x = s h x + C (11)

Grundintegrale trigonometrischer Funktionen

Ein Fehler, den Schüler oft machen: Sie verwechseln die Vorzeichen in den Formeln (12) und (13). Wenn man sich daran erinnert, dass die Ableitung des Sinus gleich dem Kosinus ist, glauben viele Menschen aus irgendeinem Grund, dass das Integral der sinx-Funktion gleich cosx ist. Das ist nicht wahr! Das Integral von Sinus ist "minus Cosinus", aber das Integral von Cosx ist "nur Sinus":

∫ sin x d x = − cos x + C (12)
∫ cos x d x = sin x + C (13)
∫ 1 cos 2 x d x = t g x + C (14)
∫ 1 Sünde 2 x d x = − c t g x + C (15)

Integrale, die auf inverse trigonometrische Funktionen reduziert werden

Formel (16), die auf den Arcustangens führt, ist natürlich ein Spezialfall von Formel (17) für a = 1. Ebenso ist (18) ein Sonderfall von (19).

∫ 1 1 + x 2 d x = ein r c t g x + C = − ein r c c t g x + C (16)
∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a a r c t g x a + C (a ≠ 0) (17)
∫ 1 1 − x 2 d x = arcsin x + C = − arccos x + C (18)
∫ 1 a 2 − x 2 d x = arcsin x a + C = − arccos x a + C (a > 0) (19)

Komplexere Integrale

Es ist auch wünschenswert, sich diese Formeln zu merken. Sie werden auch ziemlich oft verwendet, und ihre Ausgabe ist ziemlich langweilig.

Allgemeine Integrationsregeln

1) Das Integral der Summe zweier Funktionen ist gleich der Summe der entsprechenden Integrale: ∫ (f (x) + g (x)) d x = ∫ f (x) d x + ∫ g (x) d x (25)

2) Das Integral der Differenz zweier Funktionen ist gleich der Differenz der entsprechenden Integrale: ∫ (f (x) − g (x)) d x = ∫ f (x) d x − ∫ g (x) d x (26)

3) Die Konstante lässt sich aus dem Integralzeichen herausnehmen: ∫ C f (x) d x = C ∫ f (x) d x (27)

Es ist leicht zu sehen, dass Eigenschaft (26) einfach eine Kombination der Eigenschaften (25) und (27) ist.

4) Integral einer komplexen Funktion, wenn die innere Funktion linear ist: ∫ f (A x + B) d x = 1 A F (A x + B) + C (A ≠ 0) (28)

Dabei ist F(x) die Stammfunktion der Funktion f(x). Beachten Sie, dass diese Formel nur funktioniert, wenn die innere Funktion Ax + B ist.

Wichtig: Es gibt keine allgemeingültige Formel für das Integral des Produkts zweier Funktionen sowie für das Integral eines Bruchs:

∫ f (x) g (x) d x = ? ∫ f (x) g (x) d x = ? (dreißig)

Das bedeutet natürlich nicht, dass eine Fraktion oder ein Produkt nicht integriert werden kann. Es ist nur so, dass Sie jedes Mal, wenn Sie ein Integral wie (30) sehen, einen Weg finden müssen, damit zu „kämpfen“. In manchen Fällen hilft Ihnen die partielle Integration, irgendwo müssen Sie eine Variablenänderung vornehmen, und manchmal können sogar "Schulformeln" der Algebra oder Trigonometrie helfen.

Ein einfaches Beispiel zur Berechnung des unbestimmten Integrals

Beispiel 1. Finden Sie das Integral: ∫ (3 x 2 + 2 sin x − 7 e x + 12) d x

Wir verwenden die Formeln (25) und (26) (das Integral der Summe oder Differenz von Funktionen ist gleich der Summe oder Differenz der entsprechenden Integrale. Wir erhalten: ∫ 3 x 2 d x + ∫ 2 sin x d x − ∫ 7 e x d x + ∫ 12 d x

Erinnern Sie sich, dass die Konstante aus dem Integralzeichen herausgenommen werden kann (Formel (27)). Der Ausdruck wird in das Formular umgewandelt

3 ∫ x 2 d x + 2 ∫ Sünde x d x − 7 ∫ e x d x + 12 ∫ 1 d x

Lassen Sie uns jetzt einfach die Tabelle der Basisintegrale verwenden. Wir müssen die Formeln (3), (12), (8) und (1) anwenden. Lassen Sie uns die Potenzfunktion, den Sinus, den Exponenten und die Konstante 1 integrieren. Vergessen Sie nicht, am Ende eine beliebige Konstante C hinzuzufügen:

3 x 3 3 - 2 cos x - 7 e x + 12 x + C

Nach elementaren Transformationen erhalten wir die endgültige Antwort:

X 3 − 2 cos x − 7 e x + 12 x + C

Testen Sie sich selbst mit Differentiation: Nehmen Sie die Ableitung der resultierenden Funktion und vergewissern Sie sich, dass sie gleich dem ursprünglichen Integranden ist.

Übersichtstabelle der Integrale

∫ A d x = A x + C

∫ x d x = x 2 2 + C

∫ x 2 d x = x 3 3 + C

∫ 1 x d x = 2 x + C

∫ 1 x d x = log | x | +C

∫ 1 x 2 d x = − 1 x + C

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C (n ≠ − 1)

∫ e x d x = e x + C

∫ a x d x = a x ln a + C (a > 0, a ≠ 1)

∫ s h x d x = c h x + C

∫ c h x d x = s h x + C

∫ sin x d x = − cos x + C

∫ cos x d x = sin x + C

∫ 1 cos 2 x d x = t g x + C

∫ 1 Sünde 2 x d x = − c t g x + C

∫ 1 1 + x 2 d x = ein r c t g x + C = − ein r c c t g x + C

∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a ein r c t g x a + C (a ≠ 0)

∫ 1 1 − x 2 d x = arcsin x + C = − arccos x + C

∫ 1 a 2 − x 2 d x = arcsin x a + C = − arccos x a + C (a > 0)

∫ 1 x 2 + ein 2 d x = ln | x + x2 + a2 | +C

∫ 1 x 2 − ein 2 d x = ln | x + x 2 − ein 2 | +C

∫ ein 2 − x 2 d x = x 2 ein 2 − x 2 + ein 2 2 arcsin x ein + C (a > 0)

∫ x 2 + ein 2 d x = x 2 x 2 + ein 2 + ein 2 2 ln | x + x2 + a2 | + C (a > 0)

∫ x 2 − ein 2 d x = x 2 x 2 − ein 2 − ein 2 2 ln | x + x 2 − ein 2 | + C (a > 0)

Laden Sie die Tabelle der Integrale (Teil II) von diesem Link herunter

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