Μία από τις πιο σημαντικές έννοιες της θεωρίας πιθανοτήτων είναι η έννοια τυχαία μεταβλητή.

Τυχαίοςπου ονομάζεται αξία, το οποίο, ως αποτέλεσμα δοκιμών, λαμβάνει ορισμένες πιθανές τιμές που δεν είναι γνωστές εκ των προτέρων και εξαρτώνται από τυχαίες αιτίες που δεν μπορούν να ληφθούν υπόψη εκ των προτέρων.

Οι τυχαίες μεταβλητές σημειώνονται με κεφαλαία γράμματα του λατινικού αλφαβήτου Χ, Υ, Ζκ.λπ. ή κεφαλαία γράμματα του λατινικού αλφαβήτου με τον σωστό δείκτη και τις τιμές που μπορούν να λάβουν τυχαίες μεταβλητές- αντίστοιχα μικρά γράμματα του λατινικού αλφαβήτου Χ, y, zκαι τα λοιπά.

Η έννοια της τυχαίας μεταβλητής σχετίζεται στενά με την έννοια του τυχαίου συμβάντος. Σύνδεση με ένα τυχαίο συμβάνέγκειται στο γεγονός ότι η αποδοχή μιας ορισμένης αριθμητικής τιμής από μια τυχαία μεταβλητή είναι ένα τυχαίο γεγονός που χαρακτηρίζεται από την πιθανότητα .

Στην πράξη, υπάρχουν δύο κύριοι τύποι τυχαίων μεταβλητών:

1. Διακριτές τυχαίες μεταβλητές.

2. Συνεχείς τυχαίες μεταβλητές.

Μια τυχαία μεταβλητή είναι μια αριθμητική συνάρτηση τυχαίων γεγονότων.

Για παράδειγμα, μια τυχαία μεταβλητή είναι ο αριθμός των πόντων που έπεσαν κατά τη ρίψη ενός ζαριού ή το ύψος μιας τυχαίας επιλογής από ομάδα μελέτηςμαθητης σχολειου.

Διακριτές τυχαίες μεταβλητέςονομάζονται τυχαίες μεταβλητές που λαμβάνουν μόνο απομακρυσμένες τιμές μεταξύ τους που μπορούν να απαριθμηθούν εκ των προτέρων.

νόμος διανομής(συνάρτηση κατανομής και σειρά διανομής ή πυκνότητα πιθανότητας) περιγράφουν πλήρως τη συμπεριφορά μιας τυχαίας μεταβλητής. Αλλά σε μια σειρά προβλημάτων αρκεί να γνωρίζουμε ορισμένα αριθμητικά χαρακτηριστικά της υπό μελέτη ποσότητας (για παράδειγμα, η μέση τιμή της και πιθανή απόκλιση από αυτήν) για να απαντήσουμε στο ερώτημα που τίθεται. Εξετάστε τα κύρια αριθμητικά χαρακτηριστικά των διακριτών τυχαίων μεταβλητών.

Ο νόμος κατανομής μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητήςοποιαδήποτε αναλογία ονομάζεται , δημιουργώντας μια σχέση μεταξύ των πιθανών τιμών μιας τυχαίας μεταβλητής και των αντίστοιχων πιθανοτήτων τους .

Ο νόμος κατανομής μιας τυχαίας μεταβλητής μπορεί να αναπαρασταθεί ως τραπέζια:

			…	…
			…	…

Το άθροισμα των πιθανοτήτων όλων των πιθανών τιμών μιας τυχαίας μεταβλητής είναι ίσο με ένα, δηλ.

Ο νόμος διανομής μπορεί να αναπαρασταθεί γραφικά: στον άξονα της τετμημένης, απεικονίζονται οι πιθανές τιμές μιας τυχαίας μεταβλητής και στον άξονα τεταγμένων, οι πιθανότητες αυτών των τιμών. τα ληφθέντα σημεία συνδέονται με τμήματα. Η πολυγραμμή που κατασκευάστηκε ονομάζεται πολύγωνο διανομής.

Παράδειγμα. Ένας κυνηγός με 4 γύρους πυροβολεί στο παιχνίδι μέχρι το πρώτο χτύπημα ή να εξαντληθούν όλοι οι γύροι. Η πιθανότητα να χτυπήσετε με την πρώτη βολή είναι 0,7, με κάθε επόμενη βολή μειώνεται κατά 0,1. Σχεδιάστε το νόμο κατανομής του αριθμού των φυσιγγίων που χρησιμοποίησε ο κυνηγός.

Λύση.Δεδομένου ότι ο κυνηγός, έχοντας 4 γύρους, μπορεί να κάνει τέσσερις βολές, τότε η τυχαία τιμή Χ- ο αριθμός των φυσιγγίων που χρησιμοποιούνται από τον κυνηγό μπορεί να πάρει τις τιμές 1, 2, 3, 4. Για να βρούμε τις αντίστοιχες πιθανότητες, εισάγουμε τα γεγονότα:

- «χτύπησε Εγώ- ohm shot”, ;

- «Δεσποινίς στο Εγώ-ου βολή», και τα γεγονότα και είναι κατά ζεύγη ανεξάρτητα.

Σύμφωνα με την κατάσταση του προβλήματος, έχουμε:

Με το θεώρημα πολλαπλασιασμού για ανεξάρτητα συμβάντα και το θεώρημα πρόσθεσης για ασύμβατα γεγονότα, βρίσκουμε:

(Ο κυνηγός χτύπησε τον στόχο με την πρώτη βολή).

(Ο κυνηγός χτύπησε τον στόχο από τη δεύτερη βολή).

(Ο κυνηγός χτύπησε το στόχο από την τρίτη βολή).

(ο κυνηγός χτύπησε τον στόχο από την τέταρτη βολή ή αστόχησε και τις τέσσερις φορές).

Επαλήθευση: - σωστό.

Έτσι, ο νόμος της κατανομής μιας τυχαίας μεταβλητής Χμοιάζει με:


	0,7	0,18	0,06	0,06

Παράδειγμα.Ένας εργάτης χειρίζεται τρία μηχανήματα. Η πιθανότητα ότι μέσα σε μια ώρα το πρώτο μηχάνημα δεν θα χρειαστεί ρύθμιση είναι 0,9, το δεύτερο είναι 0,8, το τρίτο είναι 0,7. Συντάξτε έναν νόμο διανομής για τον αριθμό των μηχανών που θα απαιτήσουν προσαρμογή εντός μιας ώρας.

Λύση.Τυχαία τιμή Χ- ο αριθμός των μηχανών που θα απαιτήσουν προσαρμογή μέσα σε μια ώρα μπορεί να πάρει τις τιμές 0,1, 2, 3. Για να βρούμε τις αντίστοιχες πιθανότητες, εισάγουμε τα γεγονότα:

- “Εγώ- Το μηχάνημα θα χρειαστεί προσαρμογή μέσα σε μία ώρα”, ;

- “Εγώ- Το μηχάνημα δεν θα χρειαστεί ρύθμιση εντός μιας ώρας”, .

Σύμφωνα με την προϋπόθεση του προβλήματος, έχουμε:

, .

Όροι λήψης έργων (άδεια χρήσης).
Η εργασία σε αυτόν τον ιστότοπο είναι μόνο για ενημερωτικούς σκοπούς. Όλα τα δικαιώματα σε σχέση με το έργο ανήκουν στον νόμιμο ιδιοκτήτη του. Η πληρωμή για πρόσβαση δεν συνεπάγεται την πώληση του έργου ή τα δικαιώματα σε αυτό. Παρέχουμε υπηρεσίες επιλογής και συστηματοποίησης πληροφοριών. Ο ιστότοπος δεν ευθύνεται για την ορθότητα των θεωρητικών και (ή) πρακτικών μερών της εργασίας. Η ευθύνη για κακή χρήση και παράνομη χρήση του έργου βαρύνει τον χρήστη. Απαγορεύεται η πλήρης ή μερική αναπαραγωγή και διανομή εκπαιδευτικού υλικού του ιστότοπου. Η Υπηρεσία παρέχεται "ως έχει" ("ως έχει") και με τη μορφή με την οποία είναι διαθέσιμη τη στιγμή της παροχής και δεν παρέχονται εγγυήσεις, ρητές ή σιωπηρές (συμπεριλαμβανομένων, ενδεικτικά, των εγγυήσεων ότι η Η υπηρεσία θα χρησιμοποιηθεί για συγκεκριμένο σκοπό) . Απαγορεύεται η αντιγραφή υλικού από τον ιστότοπο.
Πολιτική απορρήτου:Εκτιμούμε ιδιαίτερα το ενδιαφέρον σας για το έργο μας. Η προστασία των προσωπικών δεδομένων είναι πολύ σημαντική για εμάς. Συμμορφωνόμαστε με τους κανόνες για την προστασία των προσωπικών δεδομένων και την προστασία των δεδομένων σας από μη εξουσιοδοτημένη πρόσβαση τρίτων (προστασία προσωπικών δεδομένων).
Η συμπλήρωση της φόρμας με τα στοιχεία επικοινωνίας σημαίνει ανεπιφύλακτη αποδοχή της παρούσας Πολιτικής Απορρήτου και των προϋποθέσεων επεξεργασίας προσωπικών πληροφοριών που καθορίζονται σε αυτήν.
Ακολουθούν πληροφορίες σχετικά με την επεξεργασία προσωπικών δεδομένων.
1. Προσωπικά δεδομένα. Ο σκοπός της συλλογής και επεξεργασίας προσωπικών δεδομένων.
1.1. Μπορείτε πάντα να επισκεφθείτε αυτή η σελίδαχωρίς αποκάλυψη προσωπικών στοιχείων.
1.2. Τα προσωπικά δεδομένα αναφέρονται σε οποιαδήποτε πληροφορία που σχετίζεται με ένα άτομο που ταυτοποιήθηκε ή προσδιορίστηκε με βάση αυτές τις πληροφορίες.
1.3. Συλλέγουμε και χρησιμοποιούμε τα προσωπικά δεδομένα που είναι απαραίτητα για την εκπλήρωση του αιτήματός σας, όπως επώνυμο, όνομα, αριθμό τηλεφώνου και διεύθυνση email.
1.4. Δεν επαληθεύουμε την ακρίβεια των προσωπικών δεδομένων που παρέχονται τα άτομα, και δεν ελέγχει την δικαιοπρακτική τους ικανότητα.
2. Προϋποθέσεις επεξεργασίας των προσωπικών στοιχείων του αγοραστή και διαβίβασής τους σε τρίτους.
2.1. Κατά την επεξεργασία προσωπικών δεδομένων των επισκεπτών του ιστότοπου, καθοδηγούμαστε από τον Ομοσπονδιακό Νόμο της Ρωσικής Ομοσπονδίας "Περί Προσωπικών Δεδομένων".
2.2. Τα προσωπικά στοιχεία του αγοραστή διατηρούνται απόρρητα.
2.3. Δεν μεταφέρουμε προσωπικά δεδομένα σε τρίτους.
3. Μέτρα που λαμβάνονται για την προστασία των προσωπικών δεδομένων των χρηστών.
Λαμβάνουμε τα απαραίτητα και επαρκή οργανωτικά και τεχνικά μέτρα για την προστασία των προσωπικών πληροφοριών του χρήστη από μη εξουσιοδοτημένη ή τυχαία πρόσβαση, καταστροφή, τροποποίηση, αποκλεισμό, αντιγραφή, διανομή, καθώς και από άλλες παράνομες ενέργειες τρίτων με αυτά.
IP Sataev Timur Sagitovich PSRN 311028003900327

Εργασία 5.

Κατάσταση:Η συσκευή μπορεί να συναρμολογηθεί από εξαρτήματα Υψηλή ποιότητακαι μέρη της συνήθους ποιότητας. Το 40% των συσκευών συναρμολογείται από εξαρτήματα υψηλής ποιότητας.

Για μια συσκευή υψηλής ποιότητας, η αξιοπιστία της στο χρονικό διάστημα t είναι 0,95· για τις συμβατικές συσκευές, η αξιοπιστία είναι 0,7. Η συσκευή δοκιμάστηκε για χρόνο t και λειτούργησε άψογα.

Βρείτε την πιθανότητα να έχει συναρμολογηθεί από εξαρτήματα υψηλής ποιότητας.

Λύση: H 1 - η συσκευή συναρμολογείται από εξαρτήματα υψηλής ποιότητας,

H 2 - η συσκευή συναρμολογείται από μέρη συνήθους ποιότητας.

Η πιθανότητα αυτών των υποθέσεων πριν από την εμπειρία:

Ως αποτέλεσμα του πειράματος, παρατηρήθηκε το γεγονός Α - η συσκευή λειτούργησε άψογα για το χρόνο t.

Οι υπό όρους πιθανότητες αυτού του γεγονότος στις υποθέσεις H 1 και H 2 είναι:

Βρίσκουμε την πιθανότητα της υπόθεσης H 1 μετά το πείραμα:

ρίζα πιθανότητας μέση τετραγωνική διακύμανση μαθηματικά

Στατιστικά μαθηματικών

Ασκηση 1.

Κατάσταση:Να συνθέσετε τον νόμο κατανομής μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής Χ, να υπολογίσετε τη μαθηματική προσδοκία, τη διακύμανση και την τυπική απόκλιση μιας τυχαίας μεταβλητής.

Ο κυνηγός πυροβολεί το παιχνίδι μέχρι να χτυπήσει, αλλά δεν μπορεί να πυροβολήσει περισσότερες από τρεις βολές. Η πιθανότητα να χτυπήσετε κάθε βολή είναι 0,6. Συνθέστε τον νόμο κατανομής της τυχαίας μεταβλητής X - τον αριθμό των βολών που εκτοξεύτηκαν από τον σκοπευτή. Υπολογίστε τη μαθηματική προσδοκία, τη διακύμανση και την τυπική απόκλιση μιας τυχαίας μεταβλητής.

Λύση:Η πιθανότητα ο αριθμός των αστοχιών να είναι 0 είναι 0,6

- η πιθανότητα ο αριθμός των αστοχιών να είναι ίσος με 1 ισούται με 0,4 0,6 = 0,24 (χαμένο στο πρώτο, χτύπημα στο δεύτερο)
- η πιθανότητα ο αριθμός των αστοχιών να είναι 2 ισούται με 0,4 0,4 0,6 = 0,096 (δεν χτύπησε στα δύο πρώτα, χτύπησε στο τρίτο)
- η πιθανότητα ο αριθμός των αστοχιών να είναι 3 ισούται με 0,4 0,4 0,4 = 0,064 (δεν χτύπησε στα πρώτα τρία)

Η μαθηματική προσδοκία είναι 0 0,6+1 0,24+2 0,096+3 0,064 = 0,624

Μ(x*x)=0,24 +0,384+0,576=1,2

D(x)=1,2-0,389376=0,810624

Εργασία 2.

Κατάσταση:Τυχαία τιμή Χδίνεται από τη συνάρτηση κατανομής F(X).