Μια γραμμική συνάρτηση μιας σύνθετης μεταβλητής z είναι μια συνάρτηση της φόρμας όπου δίνονται μιγαδικοί αριθμοί στο a και στο 6 και ένα Φ 0. Η γραμμική συνάρτηση ορίζεται για όλες τις τιμές της ανεξάρτητης μεταβλητής z, είναι μονής τιμής και, δεδομένου ότι η αντίστροφη συνάρτηση είναι επίσης μονής τιμής, είναι μονοσθενής σε ολόκληρο το επίπεδο z. Μια γραμμική συνάρτηση είναι αναλυτική σε ολόκληρο το μιγαδικό επίπεδο και η παράγωγός της, επομένως, η χαρτογράφηση που πραγματοποιεί είναι σύμμορφη σε ολόκληρο το επίπεδο. Μια κλασματική-γραμμική συνάρτηση είναι μια συνάρτηση των μιγαδικών αριθμών που δίνονται με τη μορφή και η κλασματική-γραμμική συνάρτηση ορίζεται για όλες τις τιμές της ανεξάρτητης μεταβλητής zy εκτός από z = -|, είναι μονοσήμαντη και, καθώς είναι αντίστροφη συνάρτηση Στοιχειώδεις συναρτήσεις μιγαδικής μεταβλητής Κλασματικές-ορθολογικές συναρτήσεις Συνάρτηση ισχύος Εκθετική συνάρτηση Λογαριθμική συνάρτηση Οι τριγωνομετρικές και υπερβολικές συναρτήσεις είναι μονοδύναμες σε ολόκληρο το μιγαδικό επίπεδο, εξαιρουμένου του σημείου z = - Σε αυτήν την περιοχή, η συνάρτηση (3) είναι αναλυτική και το παράγωγό του επομένως η χαρτογράφηση που πραγματοποιεί είναι σύμφωνη. Ας ορίσουμε τη συνάρτηση (3) στο σημείο z = - \, θέτοντας £) = oo, και στο απείρως απομακρυσμένο σημείο w = oo συσχετίζουμε το σημείο z(oo) = Τότε η κλασματική γραμμική συνάρτηση θα είναι μονοσθενής στο εκτεταμένο μιγαδικό επίπεδο z. Παράδειγμα 1. Θεωρήστε μια κλασματική γραμμική συνάρτηση Από την ισότητα προκύπτει ότι οι μονάδες των μιγαδικών αριθμών r και u σχετίζονται με τη σχέση και αυτοί οι ίδιοι οι αριθμοί βρίσκονται σε ακτίνες που εξέρχονται από το σημείο Ο και είναι συμμετρικοί ως προς τον πραγματικό άξονα. Συγκεκριμένα, σημεία του μοναδιαίου κύκλου |z| = 1 πηγαίνετε στα σημεία του μοναδιαίου κύκλου Н = 1. Στην περίπτωση αυτή, στον μιγαδικό αριθμό εκχωρείται ένας συζευγμένος αριθμός (Εικ. 11). Σημειώστε επίσης ότι η συνάρτηση th = -g αντιστοιχίζει το απείρως απομακρυσμένο σημείο z - oo στο μηδενικό σημείο th - 0. 2.2. Συνάρτηση ισχύος Η συνάρτηση ισχύος όπου n είναι φυσικός αριθμός, είναι αναλυτική σε ολόκληρο το μιγαδικό επίπεδο. η παράγωγός της = nzn~] για n > 1 είναι διαφορετική από το μηδέν σε όλα τα σημεία εκτός από z = 0. Γράφοντας τα w και z σε εκθετική μορφή στον τύπο (4), προκύπτει ότι από τον τύπο (5) είναι σαφές ότι οι μιγαδικοί αριθμοί Z\ και z2 έτσι ώστε όπου k είναι ακέραιος, πηγαίνετε σε ένα σημείο w. Αυτό σημαίνει ότι για n > 1, η αντιστοίχιση (4) δεν είναι μονοσθενής στο επίπεδο z. Το απλούστερο παράδειγμα μιας περιοχής στην οποία η αντιστοίχιση gi = zn είναι μονοσθενής είναι ο τομέας όπου a είναι οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός. Στον τομέα (7), η αντιστοίχιση (4) είναι σύμφωνη. - πολλαπλών τιμών, γιατί για κάθε μιγαδικό αριθμό z = е1в Ф 0 είναι δυνατό να υποδεικνύονται n διαφορετικοί μιγαδικοί αριθμοί έτσι ώστε ου βαθμούισούται με z: Σημειώστε ότι ένα πολυώνυμο βαθμού n μιας μιγαδικής μεταβλητής z είναι μια συνάρτηση όπου δίνονται μιγαδικοί αριθμοί και ao Φ 0. Ένα πολυώνυμο οποιουδήποτε βαθμού είναι μια αναλυτική συνάρτηση σε ολόκληρο το μιγαδικό επίπεδο. 2.3. Κλασματική-ορθολογική συνάρτηση Μια κλασματική-ορθολογική συνάρτηση ονομάζεται συνάρτηση της μορφής όπου) είναι πολυώνυμα της μιγαδικής μεταβλητής z. Η κλασματική ορθολογική συνάρτηση είναι αναλυτική σε όλο το επίπεδο, εκτός από εκείνα τα σημεία στα οποία εξαφανίζεται ο παρονομαστής Q(z). Παράδειγμα 3. Η συνάρτηση Zhukovsky__ είναι αναλυτική σε ολόκληρο το επίπεδο z, εξαιρουμένου του σημείου z = 0. Ας μάθουμε τις συνθήκες για την περιοχή του μιγαδικού επιπέδου κάτω από το οποίο η συνάρτηση Zhukovsky που εξετάζεται σε αυτήν την περιοχή θα είναι μονοσθενής. M Έστω τα σημεία Z) και zj να μεταφερθούν από τη συνάρτηση (8) σε ένα σημείο. Στη συνέχεια, όταν παίρνουμε ότι Λοιπόν, για να είναι μονοσθενής η συνάρτηση Zhukovsky, είναι απαραίτητο και αρκετό για να ικανοποιηθεί η συνθήκη Ένα παράδειγμα περιοχής που ικανοποιεί τη συνθήκη μονοδυναμίας (9) είναι το εξωτερικό του κύκλου |z| > 1. Δεδομένου ότι η παράγωγος της συνάρτησης Zhukovsky Στοιχειώδεις συναρτήσεις μιας σύνθετης μεταβλητής Κλασματικές-ορθολογικές συναρτήσεις Συνάρτηση ισχύος Εκθετική συνάρτηση Λογαριθμική συνάρτηση Οι τριγωνομετρικές και υπερβολικές συναρτήσεις είναι μη μηδενικές παντού εκτός από σημεία, η αντιστοίχιση του πεδίου που εκτελείται από αυτή τη συνάρτηση θα είναι σύμμορφη (Εικ. 13). Σημειώστε ότι το εσωτερικό του δίσκου μονάδας |I είναι επίσης το πεδίο μονοδυναμίας της συνάρτησης Zhukovsky. Ρύζι. 13 2.4. Εκθετική συνάρτηση Ορίζουμε την εκθετική συνάρτηση ez για οποιονδήποτε μιγαδικό αριθμό z = x + y με την ακόλουθη σχέση: Για x = 0 παίρνουμε τον τύπο του Euler: Ας περιγράψουμε τις κύριες ιδιότητες της εκθετικής συνάρτησης: 1. Για πραγματικό z αυτόν τον ορισμό συμπίπτει με το συνηθισμένο. Αυτό μπορεί να επαληθευτεί άμεσα θέτοντας y = 0 στον τύπο (10). Η συνάρτηση ez είναι αναλυτική σε ολόκληρο το μιγαδικό επίπεδο και για αυτήν διατηρείται ο συνήθης τύπος διαφοροποίησης . Ας ορίσουμε 4. Η συνάρτηση ez είναι περιοδική με φανταστική κύρια περίοδο 2xi. Στην πραγματικότητα, για οποιονδήποτε ακέραιο k Από την άλλη πλευρά, αν τότε από τον ορισμό (10) προκύπτει ότι Από πού προκύπτει ότι, ή όπου το n είναι ακέραιος. Η λωρίδα δεν περιέχει ούτε ένα ζεύγος σημείων που συνδέονται με τη σχέση (12), επομένως, από τη μελέτη που πραγματοποιήθηκε προκύπτει ότι η αντιστοίχιση w = e" είναι απλή στη λωρίδα (Εικ. 14). Επειδή είναι παράγωγο, Αυτή η αντιστοίχιση είναι σύμφωνη με τη συνάρτηση g.g. Η συνάρτηση πολλαπλών τιμών ονομάζεται λογαριθμική και συμβολίζεται ως εξής Η τιμή arg z ονομάζεται η κύρια τιμή του λογαρίθμου και συμβολίζεται με Τότε για το Ln z λαμβάνουμε τον τύπο 2.6 Τριγωνομετρικές και υπερβολικές συναρτήσεις Από τον τύπο του Euler (11) για το πραγματικό y we λάβετε Από όπου ορίζουμε τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις sin z και cos z για οποιονδήποτε μιγαδικό αριθμό z χρησιμοποιώντας τους ακόλουθους τύπους: Το ημίτονο και το συνημίτονο ενός μιγαδικού ορίσματος έχουν ενδιαφέρουσες ιδιότητες Ας αναφέρουμε τις κύριες: Τις συναρτήσεις sinz και cos z: 1) για το πραγματικό z -x συμπίπτουν με συνηθισμένα ημίτονο και συνημίτονο. 2) αναλυτικό σε ολόκληρο το μιγαδικό επίπεδο. 3) υπακούουν στους συνήθεις τύπους διαφοροποίησης: 4) είναι περιοδικές με περίοδο 2π. 5) το sin z είναι μια περιττή συνάρτηση και το cos z είναι μια άρτια συνάρτηση. 6) διατηρούνται οι συνήθεις τριγωνομετρικές σχέσεις. Όλες οι ιδιότητες που παρατίθενται μπορούν να ληφθούν εύκολα από τους τύπους (15). Οι συναρτήσεις tgz και ctgz στο μιγαδικό πεδίο καθορίζονται από τους τύπους, και οι υπερβολικές συναρτήσεις - από τους τύπους "Οι υπερβολικές συναρτήσεις συνδέονται στενά με τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις. Αυτή η σχέση εκφράζεται με τις ακόλουθες ισότητες: Το ημίτονο και το συνημίτονο ενός μιγαδικού ορίσματος έχουν Μια άλλη σημαντική ιδιότητα: στο μιγαδικό επίπεδο |\ πάρτε αυθαίρετα μεγάλες θετικές τιμές Χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες 6 και τους τύπους (18), παίρνουμε ότι Στοιχειώδεις συναρτήσεις μιας μιγαδικής μεταβλητής Κλασματικές ορθολογικές συναρτήσεις ισχύς Εκθετική συνάρτηση Τριγωνομετρική και. υπερβολικές συναρτήσεις Από όπου, Υποθέτοντας, έχουμε το Παράδειγμα 4. Είναι εύκολο να επαληθεύσουμε ότι -4 Στην πραγματικότητα ,
, σελίδα 611 Βασικές συναρτήσεις μιγαδικής μεταβλητής
Ας θυμηθούμε τον ορισμό του μιγαδικού εκθέτη – . Επειτα
Επέκταση της σειράς Maclaurin. Η ακτίνα σύγκλισης αυτής της σειράς είναι +∞, που σημαίνει ότι η μιγαδική εκθετική είναι αναλυτική σε ολόκληρο το μιγαδικό επίπεδο και
(exp z)"=exp z; exp 0=1. (2)
Η πρώτη ισότητα εδώ απορρέει, για παράδειγμα, από το θεώρημα της διαφοροποίησης ανά όρο μιας σειράς ισχύος.
11.1 Τριγωνομετρικές και υπερβολικές συναρτήσεις
Ημίτονος μιγαδικής μεταβλητήςπου ονομάζεται συνάρτηση
Συνημίτονο μιγαδικής μεταβλητήςυπάρχει μια λειτουργία
Υπερβολικό ημίτονο μιγαδικής μεταβλητήςορίζεται ως εξής:
Υπερβολικό συνημίτονο μιγαδικής μεταβλητής-- αυτή είναι μια λειτουργία
Ας σημειώσουμε ορισμένες ιδιότητες των συναρτήσεων που εισήχθησαν πρόσφατα.
ΕΝΑ.Αν x∈ ℝ, τότε cos x, sin x, cosh x, sh x∈ ℝ.
ΣΙ.Η ακόλουθη σύνδεση υπάρχει μεταξύ τριγωνομετρικών και υπερβολικών συναρτήσεων:
cos iz=ch z; sin iz=ish z, ch iz=cos z; sh iz=isin z.
Β. Βασικές τριγωνομετρικές και υπερβολικές ταυτότητες:
cos 2 z+sin 2 z=1; ch 2 z-sh 2 z=1.
Απόδειξη της κύριας υπερβολικής ταυτότητας.
Η κύρια τριγωνομετρική ταυτότητα προκύπτει από την κύρια υπερβολική ταυτότητα όταν λαμβάνεται υπόψη η σύνδεση μεταξύ τριγωνομετρικών και υπερβολικών συναρτήσεων (βλ. ιδιότητα Β)
σολ Τύποι προσθήκης:
Συγκεκριμένα,
ΡΕ.Για τον υπολογισμό των παραγώγων τριγωνομετρικών και υπερβολικών συναρτήσεων, θα πρέπει να εφαρμοστεί το θεώρημα για τη διαφοροποίηση κατά όρο μιας σειράς ισχύος. Παίρνουμε:
(cos z)"=-sin z; (sin z)"=cos z; (ch z)"=sh z; (sh z)"=ch z.
ΜΙ.Οι συναρτήσεις cos z, ch z είναι άρτιες και οι συναρτήσεις sin z, sin z είναι περιττές.
J. (Συχνότητα)Η συνάρτηση e z είναι περιοδική με περίοδο 2π i. Οι συναρτήσεις cos z, sin z είναι περιοδικές με περίοδο 2π και οι συναρτήσεις ch z, sin z είναι περιοδικές με περίοδο 2πi. Εξάλλου,
Εφαρμόζοντας τους τύπους αθροίσματος, παίρνουμε
Ζ. Επέκταση σε πραγματικά και φανταστικά μέρη:
Εάν μια αναλυτική συνάρτηση μονής τιμής f(z) αντιστοιχίσει δισεκατομμύρια έναν τομέα D σε έναν τομέα G, τότε το D ονομάζεται μονοσθενές πεδίο.
ΚΑΙ.Περιοχή D k =( x+iy | 2π k≤ y<2π (k+1)} для любого целого k является областью однолистности функции e z , которая отображает ее на область ℂ* .
Απόδειξη. Από τη σχέση (5) προκύπτει ότι η αντιστοίχιση exp:D k → ℂ είναι ενεστιακή. Έστω w οποιοσδήποτε μη μηδενικός μιγαδικός αριθμός. Στη συνέχεια, λύνοντας τις εξισώσεις e x =|w| και e iy =w/|w| με πραγματικές μεταβλητές x και y (το y επιλέγεται από το μισό διάστημα)
Φόρτωση...