Συνάρτηση διασταυρούμενης συσχέτισης (VKF) διαφορετικά σήματα(συνάρτηση διασταυρούμενης συσχέτισης, CCF) περιγράφει τόσο τον βαθμό ομοιότητας του σχήματος δύο σημάτων, όσο και τη σχετική τους θέση μεταξύ τους κατά μήκος της συντεταγμένης (ανεξάρτητη μεταβλητή). Γενικεύοντας τον τύπο (6.1.1) της συνάρτησης αυτοσυσχέτισης σε δύο διαφορετικά σήματα s(t) και u(t), λαμβάνουμε το ακόλουθο βαθμωτό γινόμενο των σημάτων:
B su () =s(t) u(t+) dt. (6.2.1)
Η αμοιβαία συσχέτιση σημάτων χαρακτηρίζει μια ορισμένη συσχέτιση φαινομένων και φυσικών διεργασιών που εμφανίζονται από αυτά τα σήματα και μπορεί να χρησιμεύσει ως μέτρο της «σταθερότητας» αυτής της σχέσης όταν τα σήματα επεξεργάζονται ξεχωριστά σε διάφορες συσκευές. Για σήματα πεπερασμένης ενέργειας, το CCF είναι επίσης πεπερασμένο, ενώ:
|B su ()| ||s(t)||||u(t)||,
που προκύπτει από την ανισότητα Cauchy-Bunyakovsky και την ανεξαρτησία των κανόνων σήματος από τη μετατόπιση των συντεταγμένων.
Όταν αλλάζουμε τη μεταβλητή t = t- στον τύπο (6.2.1), παίρνουμε:
B su () = 
s(t-) u(t) dt = 
u(t) s(t-) dt = B us (-).
Συνεπάγεται ότι η συνθήκη ισοτιμίας δεν ικανοποιείται για το VKF, B su () B su (-) και οι τιμές του VKF δεν απαιτείται να έχουν μέγιστο στο = 0.
Ρύζι. 6.2.1. Σήματα και VKF.
Αυτό φαίνεται ξεκάθαρα στο Σχ. 6.2.1, όπου δίδονται δύο πανομοιότυπα σήματα με κέντρα στα σημεία 0.5 και 1.5. Υπολογισμός με τον τύπο (6.2.1) με σταδιακή αύξηση των τιμών του σημαίνει διαδοχικές μετατοπίσεις του σήματος s2(t) προς τα αριστερά κατά μήκος του άξονα χρόνου (για κάθε τιμή του s1(t), οι τιμές του s2(t+) λαμβάνονται για τον πολλαπλασιασμό του ολοκληρώματος). Όταν =0, τα σήματα είναι ορθογώνια και η τιμή του B 12 ()=0. Το μέγιστο B 12 () θα παρατηρηθεί όταν το σήμα s2(t) μετατοπιστεί προς τα αριστερά κατά την τιμή =1, στην οποία τα σήματα s1(t) και s2(t+) συμπίπτουν πλήρως.Οι ίδιες τιμές του CCF σύμφωνα με τους τύπους (6.2.1) και (6.2.1") παρατηρούνται στην ίδια αμοιβαία θέση των σημάτων: όταν το σήμα u(t) μετατοπίζεται κατά το διάστημα σε σχέση με s(t) προς τα δεξιά κατά μήκος του άξονα y και το σήμα s(t) σε σχέση με το σήμα u(t) προς τα αριστερά, δηλαδή B su () = B us (-
Ρύζι. 6.2.2. Συναρτήσεις αμοιβαίας συνδιακύμανσης σημάτων.
Στο σχ. Το 6.2.2 δείχνει παραδείγματα VKF για ένα ορθογώνιο σήμα s(t) και δύο πανομοιότυπα τριγωνικά σήματα u(t) και v(t). Όλα τα σήματα έχουν την ίδια διάρκεια T, ενώ το σήμα v(t) μετατοπίζεται προς τα εμπρός κατά το διάστημα T/2.Τα σήματα s(t) και u(t) είναι τα ίδια ως προς τη χρονική θέση και η περιοχή "επικάλυψης" του σήματος είναι μέγιστη στο =0, το οποίο καθορίζεται από τη συνάρτηση B su . Ταυτόχρονα, η συνάρτηση B su είναι έντονα ασύμμετρη, καθώς με ένα ασύμμετρο σχήμα σήματος u(t) για ένα συμμετρικό σχήμα s(t) (σε σχέση με το κέντρο των σημάτων), η περιοχή "επικάλυψης" του σήματος αλλάζει διαφορετικά ανάλογα στην κατεύθυνση της μετατόπισης (το πρόσημο του με αύξηση της τιμής από το μηδέν). Όταν η αρχική θέση του σήματος u(t) μετατοπίζεται προς τα αριστερά κατά μήκος του άξονα τεταγμένων (μπροστά από το σήμα s(t) - σήμα v(t)), το σχήμα VKF παραμένει αμετάβλητο και μετατοπίζεται προς τα δεξιά με την ίδια μετατόπιση τιμή - η συνάρτηση B sv στο Σχ. 6.2.2. Εάν οι εκφράσεις των συναρτήσεων στο (6.2.1) ανταλλάσσονται, τότε η νέα συνάρτηση B vs θα είναι μια συνάρτηση B sv που αντικατοπτρίζεται ως προς το =0.
Λαμβάνοντας υπόψη αυτά τα χαρακτηριστικά, το συνολικό CCF υπολογίζεται, κατά κανόνα, ξεχωριστά για θετικές και αρνητικές καθυστερήσεις:
B su () = 
s(t) u(t+) dt. B us () = 
u(t) s(t+) dt. (6.2.1")
Διασταυρούμενη συσχέτιση θορυβωδών σημάτων . Για δύο θορυβώδη σήματα u(t) = s1(t) + q1(t) και v(t) = s2(t) + q2(t), εφαρμόζοντας τη μέθοδο παραγωγής τύπων (6.1.13) με την αντικατάσταση ενός αντίγραφο του σήματος s(t ) στο σήμα s2(t), είναι εύκολο να εξαχθεί ο τύπος διασταυρούμενης συσχέτισης με την ακόλουθη μορφή:
B uv () = B s1s2 () + B s1q2 () + B q1s2 () + B q1q2 (). (6.2.2)
Οι τρεις τελευταίοι όροι στη δεξιά πλευρά του (6.2.2) μηδενίζονται όσο αυξάνεται το . Για μεγάλα διαστήματα ρύθμισης σήματος, η έκφραση μπορεί να γραφτεί με την ακόλουθη μορφή:
B uv () = B s 1 s 2 () + 
+
+
.
(6.2.3)
Σε μηδενικές μέσες τιμές θορύβου και στατιστικής ανεξαρτησίας από σήματα, συμβαίνουν τα εξής:
B uv () → B s 1 s 2 ().
VKF διακριτά σήματα. Όλες οι ιδιότητες του VKF αναλογικά σήματαισχύουν επίσης για VCF διακριτών σημάτων, ενώ τα χαρακτηριστικά των διακριτών σημάτων που περιγράφονται παραπάνω για διακριτά ACF ισχύουν και για αυτά (τύποι 6.1.9-6.1.12). Συγκεκριμένα, στο t = const =1 για τα σήματα x(k) και y(k) με τον αριθμό των δειγμάτων K:
B xy (n) = 
x k y k-n . (6.2.4)
Όταν κανονικοποιείται σε μονάδες ισχύος:
B xy (n) = 
x k y k-n 
.
(6.2.5)
Εκτίμηση Περιοδικών Σημάτων σε Θόρυβο . Ένα θορυβώδες σήμα μπορεί να αξιολογηθεί για διασταυρούμενη συσχέτιση με ένα σήμα «αναφοράς» με δοκιμή και σφάλμα, με τη συνάρτηση διασταυρούμενης συσχέτισης ρυθμισμένη στη μέγιστη τιμή του.
Για σήμα u(k)=s(k)+q(k) με στατιστική ανεξαρτησία θορύβου και 
→ 0, η συνάρτηση διασταυρούμενης συσχέτισης (6.2.2) με το πρότυπο σήματος p(k) για q2(k)=0 παίρνει τη μορφή:
B up (k) = B sp (k) + B qp (k) = B sp (k) + 
.
Και από τότε 
→ 0 καθώς αυξάνεται το N, μετά B επάνω (k) → B sp (k). Προφανώς, η συνάρτηση B up (k) θα έχει μέγιστο όταν p(k) = s(k). Αλλάζοντας τη μορφή του προτύπου p(k) και μεγιστοποιώντας τη συνάρτηση B προς τα πάνω (k), μπορούμε να λάβουμε μια εκτίμηση του s(k) με τη μορφή της βέλτιστης μορφής p(k).
Συνάρτηση συντελεστών διασυσχέτισης Το (VKF) είναι ένας ποσοτικός δείκτης του βαθμού ομοιότητας των σημάτων s(t) και u(t). Ομοίως με τη συνάρτηση των συντελεστών αυτοσυσχέτισης, υπολογίζεται μέσω των κεντρικών τιμών των συναρτήσεων (για τον υπολογισμό της αμοιβαίας συνδιακύμανσης, αρκεί να κεντράρουμε μόνο μία από τις συναρτήσεις) και κανονικοποιείται στο γινόμενο των τιμών των προτύπων των συναρτήσεων s(t) και v(t):
su () = C su ()/ s v. (6.2.6)
Το διάστημα μεταβολής των τιμών των συντελεστών συσχέτισης στις βάρδιες μπορεί να ποικίλλει από –1 (πλήρης αντίστροφη συσχέτιση) έως 1 (πλήρης ομοιότητα ή εκατό τοις εκατό συσχέτιση). Στις μετατοπίσεις , στις οποίες παρατηρούνται μηδενικές τιμές su (), τα σήματα είναι ανεξάρτητα μεταξύ τους (μη συσχετισμένα). Ο συντελεστής διασταυρούμενης συσχέτισης σάς επιτρέπει να καθορίσετε την ύπαρξη σύνδεσης μεταξύ των σημάτων, ανεξάρτητα από τις φυσικές ιδιότητες των σημάτων και το μέγεθός τους.
Κατά τον υπολογισμό του CCF των θορυβωδών διακριτών σημάτων περιορισμένου μήκους χρησιμοποιώντας τον τύπο (6.2.4), υπάρχει πιθανότητα εμφάνισης τιμών su (n)| > 1.
Για περιοδικά σήματα, η έννοια του CCF συνήθως δεν χρησιμοποιείται, εκτός από σήματα με την ίδια περίοδο, για παράδειγμα, σήματα εισόδου και εξόδου κατά τη μελέτη των χαρακτηριστικών συστημάτων.
Στη θεωρία της επικοινωνίας, η θεωρία συσχέτισης χρησιμοποιείται στη μελέτη τυχαίες διαδικασίες, επιτρέποντάς σας να δημιουργήσετε μια σύνδεση μεταξύ της συσχέτισης και φασματικές ιδιότητεςτυχαία σήματα. Το πρόβλημα συχνά προκύπτει με την ανίχνευση ενός μεταδιδόμενου σήματος σε ένα άλλο ή σε παρεμβολές. Για αξιόπιστη ανίχνευση σημάτων και εφαρμόζεται η μέθοδος συσχετίσεις, με βάση τη θεωρία συσχέτισης. Στην πράξη, αποδεικνύεται χρήσιμο να αναλυθούν τα χαρακτηριστικά που δίνουν μια ιδέα για το ρυθμό μεταβολής του χρόνου, καθώς και τη διάρκεια του σήματος χωρίς να το αποσυνθέσουμε σε αρμονικά στοιχεία.
Αφήστε το σήμα να αντιγράψει u(t -μ) μετατοπίστηκε σε σχέση με το αρχικό του u(t)για ένα χρονικό διάστημα τ. Να ποσοτικοποιηθεί ο βαθμός διαφοράς (σύνδεσης) του σήματος u(t)και το μετατοπισμένο αντίγραφό του u(t -κ) χρήση συνάρτηση αυτοσυσχέτισης(AKF). Το ACF δείχνει τον βαθμό ομοιότητας μεταξύ του σήματος και του μετατοπισμένου αντιγράφου του - όσο μεγαλύτερη είναι η τιμή ACF, τόσο ισχυρότερη είναι αυτή η ομοιότητα.
Για ντετερμινιστικό σήμαπεπερασμένη διάρκεια (πεπερασμένο σήμα), η αναλυτική σημείωση του ACF είναι αναπόσπαστο της μορφής
Ο τύπος (2.56) δείχνει ότι απουσία μετατόπισης αντιγραφής σε σχέση με το σήμα (m = 0), το ACF είναι θετικό, μέγιστο και ίσο με την ενέργεια του σήματος:
Μια τέτοια ενέργεια [J] απελευθερώνεται σε μια αντίσταση με αντίσταση 1 Ohm, εάν μια συγκεκριμένη τάση συνδεθεί στους ακροδέκτες της u(t)[ΣΕ].
Μία από τις πιο σημαντικές ιδιότητες του ACF είναι η ισοτιμία του: ΣΕ( t) = ΣΕ(-Τ). Πράγματι, αν στην έκφραση (2.56) αλλάξουμε τη μεταβλητή x = t - t, λοιπόν 
Επομένως, το ολοκλήρωμα (2.56) μπορεί να αναπαρασταθεί με άλλη μορφή:
Για ένα περιοδικό σήμα με περίοδο Г, του οποίου η ενέργεια είναι απείρως μεγάλη (καθώς το σήμα υπάρχει για άπειρο χρόνο), ο υπολογισμός του ACF με τον τύπο (2.56) είναι απαράδεκτος. Σε αυτήν την περίπτωση, καθορίστε το ACF για την περίοδο:
Παράδειγμα 2.3
Ας προσδιορίσουμε το ACF ενός ορθογώνιου παλμού, ο οποίος έχει πλάτος μικαι διάρκεια t και (Εικ. 2.24).
Λύση
Είναι βολικό να υπολογίσετε το ACF για μια ώθηση γραφικά. Μια τέτοια κατασκευή φαίνεται στο Σχ. 2.24, α - ζ,όπου δίνονται, αντίστοιχα, η αρχική ορμή u(t)= u tτο αντίγραφό του μετατοπίστηκε κατά m m m (?) = u(t- t) = m t και το γινόμενο τους u(f)u(t- t) = uu vΕξετάστε τον γραφικό υπολογισμό του ολοκληρώματος (2.56). Δουλειά u(t)u(t- m) δεν ισούται με μηδέν στο χρονικό διάστημα όταν υπάρχει επικάλυψη οποιωνδήποτε τμημάτων του σήματος και του αντιγράφου του. Όπως προκύπτει από το Σχ. 2.24, αυτό το διάστημα είναι ίσο με x - m, εάν η χρονική μετατόπιση του αντιγράφου είναι μικρότερη από τη διάρκεια του παλμού. Σε τέτοιες περιπτώσεις, για την ορμή, το ACF ορίζεται ως ΣΕ( t) = Ε 2 ( t και - |t|) με χρονική μετατόπιση του αντιγράφου στην τρέχουσα ώρα |t| Β(0) = = Ε 2 t και \u003d E (βλ. Εικ. 2.24, ΣΟΛ).
Ρύζι. 2.24.
ΕΝΑ -σφυγμός; 6 - αντίγραφο; V -προϊόν σήματος και αντιγραφής· G - ACF
Συχνά, εισάγεται μια αριθμητική παράμετρος κατάλληλη για την ανάλυση και τη σύγκριση σημάτων - διάστημα συσχέτισης tk, αναλυτικά και γραφικά ίσο με το πλάτος της βάσης του ACF. Για αυτό το παράδειγμα, το διάστημα συσχέτισης t k = 2m u.
Παράδειγμα 2.4
Ορίστε το ACF ενός αρμονικού (συνημιτόνου) σήματος u(t) == t/m cos(co? + a).
Ρύζι. 2.25.
ΕΝΑ -αρμονικό σήμα? β - ACF ενός αρμονικού σήματος
Λύση
Χρησιμοποιώντας τον τύπο (2.57) και δηλώνοντας Στο p ( t) = ΣΕ( t), βρίσκουμε
Από αυτόν τον τύπο προκύπτει ότι το ACF ενός αρμονικού σήματος είναι επίσης μια αρμονική συνάρτηση (Εικ. 2.25, σι)και έχει διάσταση δύναμης (Β 2). Σημειώστε ένα άλλο πολύ σημαντικό γεγονός ότι το υπολογισμένο ACF δεν εξαρτάται από την αρχική φάση του αρμονικού σήματος (παράμετρος
Ένα σημαντικό συμπέρασμα προκύπτει από την ανάλυση: το ACF σχεδόν κάθε σήματος δεν εξαρτάται από το φάσμα φάσεων του.Επομένως, τα σήματα των οποίων τα φάσματα πλάτους συμπίπτουν πλήρως, αλλά των οποίων τα φάσματα φάσης διαφέρουν, θα έχουν το ίδιο ACF. Μια άλλη παρατήρηση είναι ότι το αρχικό σήμα δεν μπορεί να αποκατασταθεί από το ACF (και πάλι, λόγω απώλειας πληροφοριών για τη φάση).
Σχέση μεταξύ του ACF και του ενεργειακού φάσματος του σήματος. Αφήστε το σήμα ώθησης u(t)έχει φασματική πυκνότητα 5(co). Ορίζουμε το ACF χρησιμοποιώντας τον τύπο (2.56) γράφοντας και (Γ)με τη μορφή του αντίστροφου μετασχηματισμού Fourier (2.30):
Με την εισαγωγή μιας νέας μεταβλητής x = t - m, από τον τελευταίο τύπο λαμβάνουμε Εδώ το ολοκλήρωμα
είναι ένα σύζευγμα μιγαδικών συναρτήσεων της φασματικής πυκνότητας του σήματος
Λαμβάνοντας υπόψη τη σχέση (2.59), ο τύπος (2.58) παίρνει τη μορφή 
Λειτουργία
που ονομάζεται ενεργειακό φάσμα (φασματική ενεργειακή πυκνότητα) του σήματος,που δείχνει την κατανομή της ενέργειας στη συχνότητα. Η διάσταση του ενεργειακού φάσματος του σήματος αντιστοιχεί στην τιμή IP/co) - [(V 2 -s)/Hz].
Λαμβάνοντας υπόψη τη σχέση (2.60), λαμβάνουμε τελικά την έκφραση για το ACF:
Άρα το ACF του σήματος είναι αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier από το ενεργειακό του φάσμα. Άμεσος μετασχηματισμός Fourier από ACF
Ετσι, άμεσος μετασχηματισμός Fourier (2.62) Το ACF καθορίζει το ενεργειακό φάσμα,ΕΝΑ αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier του ενεργειακού φάσματος(2.61) - ACF ενός ντετερμινιστικού σήματος.Αυτά τα αποτελέσματα είναι σημαντικά για δύο λόγους. Πρώτον, με βάση την κατανομή της ενέργειας κατά μήκος του φάσματος, καθίσταται δυνατή η αξιολόγηση των ιδιοτήτων συσχέτισης των σημάτων - όσο ευρύτερο είναι το ενεργειακό φάσμα του σήματος, τόσο μικρότερο είναι το διάστημα συσχέτισης. Συνεπώς, όσο μεγαλύτερο είναι το διάστημα συσχέτισης του σήματος, τόσο μικρότερο είναι το ενεργειακό του φάσμα. Δεύτερον, οι σχέσεις (2.61) και (2.62) καθιστούν δυνατό τον πειραματικό προσδιορισμό μιας από τις συναρτήσεις από την τιμή της άλλης. Συχνά είναι πιο βολικό να λαμβάνεται πρώτα το ACF και στη συνέχεια να υπολογίζεται το ενεργειακό φάσμα χρησιμοποιώντας τον άμεσο μετασχηματισμό Fourier. Αυτή η τεχνική χρησιμοποιείται ευρέως στην ανάλυση των ιδιοτήτων των σημάτων σε πραγματικό χρόνο, δηλ. χωρίς χρονική καθυστέρηση στην επεξεργασία του.
Συνάρτηση διασταυρούμενης συσχέτισης δύο σημάτων. Εάν πρέπει να αξιολογήσετε τον βαθμό σύνδεσης μεταξύ των σημάτων x(t)Και u 2 (t),στη συνέχεια χρησιμοποιήστε συνάρτηση διασυσχέτισης(VKF)
Για m = 0, το VKF είναι ίσο με το λεγόμενο αμοιβαία ενέργεια δύο σημάτων
Η τιμή VCF δεν αλλάζει εάν αντί να καθυστερήσει το δεύτερο σήμα u 2 (t)θεωρήστε την προχώρησή του με το πρώτο σήμα m, (?), επομένως
Το ACF είναι μια ειδική περίπτωση του VKF εάν τα σήματα είναι τα ίδια, δηλ. u y (t) = u 2 (t) = u(t).Σε αντίθεση με το ACF, το CCF δύο σημάτων B 12 (m) δεν είναι άρτιο και δεν είναι απαραίτητα μέγιστο σε m = 0, δηλ. ελλείψει χρονικής μετατόπισης των σημάτων.
Από φυσική άποψη, η συνάρτηση συσχέτισης χαρακτηρίζει τη σχέση ή την αλληλεξάρτηση δύο στιγμιαίων τιμών ενός ή δύο διάφορα σήματακατά καιρούς και . Στην πρώτη περίπτωση, η συνάρτηση συσχέτισης ονομάζεται συχνά αυτοσυσχέτιση και στη δεύτερη, διασταυρούμενη συσχέτιση. Οι συναρτήσεις συσχέτισης των ντετερμινιστικών διεργασιών εξαρτώνται μόνο από .
Εάν τα σήματα και δίνονται, τότε οι συναρτήσεις συσχέτισης καθορίζονται από τις ακόλουθες εκφράσεις:
- συνάρτηση διασταυρούμενης συσχέτισης. (2.66)
- συνάρτηση αυτοσυσχέτισης. (2,67)
Αν και είναι δύο περιοδικά σήματα με την ίδια περίοδο Τ, τότε είναι προφανές ότι η συνάρτηση συσχέτισης τους είναι και περιοδική με περίοδο Τκαι ως εκ τούτου μπορεί να επεκταθεί σε μια σειρά Fourier.
Πράγματι, εάν στην έκφραση (2.66) επεκτείνουμε το σήμα σε μια σειρά Fourier, τότε λαμβάνουμε
(2.68)
όπου και είναι πολύπλοκα πλάτη nη αρμονική των σημάτων και, κατά συνέπεια, είναι ο μιγαδικός συντελεστής συζυγούς. Οι συντελεστές επέκτασης της συνάρτησης διασταυρούμενης συσχέτισης μπορούν να βρεθούν ως συντελεστές της σειράς Fourier
. (2.69)
Η επέκταση συχνότητας της συνάρτησης αυτοσυσχέτισης μπορεί εύκολα να ληφθεί από τους τύπους (2.68) και (2.69) με τη ρύθμιση 
, Επειτα
. (2.70)
Και αφού και επομένως,
, (2.71)
τότε η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης είναι άρτια και επομένως
. (2.72)
Η ισοτιμία της συνάρτησης αυτοσυσχέτισης της επιτρέπει να επεκταθεί σε μια τριγωνομετρική σειρά Fourier ως προς τα συνημίτονα
Στη συγκεκριμένη περίπτωση, για , παίρνουμε:
.
Έτσι, η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης στο είναι η συνολική μέση ισχύς ενός περιοδικού σήματος ίση με το άθροισμα των μέσων δυνάμεων όλων των αρμονικών.
Αναπαράσταση συχνότητας παλμικών σημάτων
Στην προηγούμενη εξέταση, θεωρήθηκε ότι τα σήματα είναι συνεχή, ωστόσο, στην αυτόματη επεξεργασία πληροφοριών, χρησιμοποιούνται επίσης συχνά παλμικά σήματα, καθώς και η μετατροπή συνεχών σημάτων σε παλμικά. Αυτό απαιτεί εξέταση των θεμάτων της αναπαράστασης συχνότητας των σημάτων παλμού.
Εξετάστε το μοντέλο για τη μετατροπή ενός συνεχούς σήματος σε παλμική μορφή, που φαίνεται στο Σχ. 2.6α.
|
Αφήστε ένα συνεχές σήμα να φτάσει στην είσοδο του διαμορφωτή παλμών (Εικ. 2.6β). Ο διαμορφωτής παλμών δημιουργεί μια ακολουθία μεμονωμένων παλμών (Εικ. 2.6γ) με περίοδο Τκαι διάρκεια παλμού t, και . Το μαθηματικό μοντέλο μιας τέτοιας ακολουθίας παλμών μπορεί να περιγραφεί ως συνάρτηση:
(2.74)
Οπου κ- αριθμός παλμού στην ακολουθία.
Το σήμα εξόδου του διαμορφωτή παλμού (Εικ. 2.6δ) μπορεί να αναπαρασταθεί ως:
.
Στην πράξη, είναι επιθυμητό να υπάρχει μια αναπαράσταση συχνότητας του παλμού. Για αυτό, η συνάρτηση , ως περιοδική, μπορεί να αναπαρασταθεί ως σειρά Fourier:
, (2.75)
- φασματικοί συντελεστές επέκτασης σε μια σειρά Fourier. (2,76)
Ρυθμός επανάληψης παλμών.
nείναι ο αρμονικός αριθμός.
Αντικαθιστώντας τη σχέση (2.74) στην έκφραση (2.76), βρίσκουμε:
.
Αντικαθιστώντας το (2,76) με το (2,74), παίρνουμε:
(2.78)
Μεταμορφώνουμε τη διαφορά των ημιτόνων, λοιπόν
. (2.79)
Ας παρουσιάσουμε τον χαρακτηρισμό φάσης nου αρμονική
. (2.81)
Έτσι, η ακολουθία των απλών παλμών περιέχει, μαζί με τη σταθερή συνιστώσα, έναν άπειρο αριθμό αρμονικών με μειούμενο πλάτος. Εύρος κΗ αρμονική προσδιορίζεται από την έκφραση:
Στην ψηφιακή επεξεργασία σήματος πραγματοποιείται η δειγματοληψία χρόνου (κβαντοποίηση), δηλαδή η μετατροπή ενός συνεχούς σήματος σε μια ακολουθία σύντομων παλμών. Όπως φαίνεται παραπάνω, οποιαδήποτε ακολουθία παλμών έχει ένα μάλλον περίπλοκο φάσμα, επομένως τίθεται το φυσικό ερώτημα πώς επηρεάζει η διαδικασία δειγματοληψίας χρόνου φάσμα συχνοτήτωναρχικό συνεχές σήμα.
Για να διερευνήσετε αυτό το ζήτημα, σκεφτείτε μαθηματικό μοντέλοτη διαδικασία διακριτοποίησης χρόνου που φαίνεται στο Σχήμα 2.7α.
Ένας διαμορφωτής παλμών (PM) αναπαρίσταται ως διαμορφωτής φορέας με τη μορφή μιας ιδανικής ακολουθίας πολύ σύντομων παλμών (ακολουθίες ρε-συναρτήσεις) των οποίων η περίοδος επανάληψης είναι ίση με Τ(Εικ. 2.7β).
Ένα συνεχές σήμα παρέχεται στην είσοδο του διαμορφωτή παλμού (Εικ. 2.7c) και ένα σήμα παλμού σχηματίζεται στην έξοδο (Εικ. 2.7δ).
| |
Τότε το μοντέλο ιδανικής ακολουθίας ρε-Οι συναρτήσεις μπορούν να περιγραφούν με την ακόλουθη έκφραση
Μαζί με τη φασματική προσέγγιση της περιγραφής των σημάτων, στην πράξη αποδεικνύεται συχνά ότι είναι ένα απαραίτητο χαρακτηριστικό που θα έδινε μια ιδέα για ορισμένες ιδιότητες του σήματος, ιδίως τον ρυθμό μεταβολής του χρόνου, καθώς και διάρκεια του σήματος χωρίς να το αποσυνθέτει σε αρμονικές συνιστώσες.
Ως τέτοιο ένα χρονικό χαρακτηριστικό χρησιμοποιείται ευρέως συσχέτισηλειτουργία σήματος.
Για ένα ντετερμινιστικό σήμα μικρό(t) πεπερασμένης διάρκειας, η συνάρτηση συσχέτισης καθορίζεται από την ακόλουθη έκφραση:
όπου τ είναι η χρονική μετατόπιση του σήματος.
Αυτό το κεφάλαιο ασχολείται με σήματα που είναι πραγματικές συναρτήσεις του χρόνου και η σύνθετη συζευγμένη σημειογραφία μπορεί να παραλειφθεί:
.
(1.78)
Από την έκφραση (1.78) φαίνεται ότι σι μικρό (t) χαρακτηρίζει τον βαθμό σύνδεσης (συσχέτισης) του σήματος μικρό ( t ) με το αντίγραφό του μετατοπισμένο κατά m κατά μήκος του άξονα του χρόνου. Είναι σαφές ότι η λειτουργία σι μικρό ( t ) φτάνει ένα μέγιστο στο τ = 0, αφού οποιοδήποτε σήμα συσχετίζεται πλήρως με τον εαυτό του. Εν
,
(1.79)
δηλ. η μέγιστη τιμή της συνάρτησης συσχέτισης είναι ίση με την ενέργεια του σήματος.
Καθώς το τ αυξάνεται, η συνάρτηση ΣΕ 8 (τ) μειώνεται (όχι απαραίτητα μονοτονικά) και με σχετική μετατόπιση των σημάτων μικρό(t) Και μικρό(t+ τ) εξαφανίζεται για χρόνο που υπερβαίνει τη διάρκεια του σήματος.
Από τον γενικό ορισμό της συνάρτησης συσχέτισης, είναι σαφές ότι δεν έχει σημασία αν θα μετατοπιστεί το σήμα προς τα δεξιά ή προς τα αριστερά σε σχέση με το αντίγραφό του κατά την τιμή τ. Επομένως, η έκφραση (1.78) μπορεί να γενικευτεί ως εξής:
.
(1.78)
Αυτό ισοδυναμεί με αυτό σι μικρό (τ) είναι ομοιόμορφη λειτουργίατ.
Για ένα περιοδικό σήμα του οποίου η ενέργεια είναι απείρως μεγάλη, ο ορισμός της συνάρτησης συσχέτισης χρησιμοποιώντας εκφράσεις (1.129) ή (1.129") δεν είναι αποδεκτός. Σε αυτήν την περίπτωση, χρησιμοποιείται ο ακόλουθος ορισμός:
Με αυτόν τον ορισμό, η συνάρτηση συσχέτισης αποκτά τη διάσταση της ισχύος, και σι
Το Sne p(0) ισούται με μέσης ισχύοςπεριοδικό σήμα. Λόγω της περιοδικότητας των σημάτων (
t
)
μέσο όρο προϊόντος 
ή
κατά μήκος μιας άπειρης γραμμής Τ
θα πρέπει να συμπίπτει με τον μέσο όρο της περιόδου T 1 . Επομένως, η έκφραση (1.79) μπορεί να αντικατασταθεί από την έκφραση
Τα ολοκληρώματα που περιλαμβάνονται σε αυτήν την έκφραση δεν είναι παρά η συνάρτηση συσχέτισης του σήματος στο διάστημα Τ 1 . Δηλώνοντάς το μέσω σι sTl (τ ), φτάνουμε στη σχέση
Είναι επίσης προφανές ότι το περιοδικό σήμα s( t
) αντιστοιχεί στη συνάρτηση περιοδικής συσχέτισης σι μικρό λωρίδα (τ).
Περίοδος λειτουργίας σι μικρό λωρίδα (τ)
συμπίπτει με την περίοδο Τ
1
αρχικό σήμα (
t
).
Για παράδειγμα, για την απλούστερη (αρμονική) ταλάντωση 
συνάρτηση συσχέτισης
Όταν τ=0 
είναι η μέση ισχύς μιας αρμονικής ταλάντωσης με πλάτος ΕΝΑ
0
.
Είναι σημαντικό να σημειωθεί ότι η συνάρτηση συσχέτισης 
δεν εξαρτάται από την αρχική φάση της ταλάντωσης 
.
Για να υπολογίσετε τον βαθμό σύνδεσης μεταξύ δύο διαφορετικών σημάτων s 1 ( t ) και s 2 ( t ) χρησιμοποιείται η συνάρτηση αμοιβαίας συσχέτισης, η οποία καθορίζεται από τη γενική έκφραση
Για πραγματικές συναρτήσεις s 1 (t) και s 2 (t)
Η παραπάνω συνάρτηση συσχέτισης ΣΕ
μικρό
Το (τ) είναι μια ειδική περίπτωση της συνάρτησης 
όταν s 1 (
t
)
=s 2 (
t
).
Διαφορετικός 
η συνάρτηση διασταυρούμενης συσχέτισης δεν είναι απαραίτητα άρτια ως προς το τ. Επιπλέον, η συνάρτηση διασταυρούμενης συσχέτισης ΔενΑναγκαίωςφτάνει το μέγιστο σε τ = 0.
Οι συναρτήσεις συσχέτισης σημάτων χρησιμοποιούνται για ολοκληρωμένες ποσοτικές εκτιμήσεις του σχήματος των σημάτων και του βαθμού ομοιότητάς τους μεταξύ τους.
Συναρτήσεις αυτοσυσχέτισης (ACF) σημάτων (συνάρτηση συσχέτισης, CF). Όπως εφαρμόζεται σε ντετερμινιστικά σήματα με πεπερασμένη ενέργεια, το ACF είναι ένα ποσοτικό ακέραιο χαρακτηριστικό του σχήματος του σήματος και είναι το ολοκλήρωμα του γινομένου δύο αντιγράφων του σήματος s(t), μετατοπισμένα μεταξύ τους κατά το χρόνο t:
B s (t) = s(t) s(t+t) dt. (2.4.1)
Όπως προκύπτει από αυτήν την έκφραση, το ACF είναι το βαθμωτό γινόμενο του σήματος και το αντίγραφό του σε συναρτησιακή εξάρτηση από τη μεταβλητή τιμή της τιμής μετατόπισης t. Κατά συνέπεια, το ACF έχει τη φυσική διάσταση της ενέργειας και στο t = 0 η τιμή του ACF είναι άμεσα ίση με την ενέργεια του σήματος και είναι η μέγιστη δυνατή (το συνημίτονο της γωνίας αλληλεπίδρασης του σήματος με τον εαυτό του είναι ίσο με 1):
B s (0) = s(t) 2 dt = E s .
Η λειτουργία ACF είναι συνεχής και ομοιόμορφη. Είναι εύκολο να επαληθεύσετε το τελευταίο αλλάζοντας τη μεταβλητή t = t-t στην έκφραση (2.4.1):
B s (t) = s(t) s(t-t) dt = s(t-t) s(t) dt = B s (-t).
Δεδομένης της ισοτιμίας, η γραφική αναπαράσταση του ACF συνήθως γίνεται μόνο για θετικές τιμές του t. Το σύμβολο +t στην έκφραση (2.4.1) σημαίνει ότι καθώς οι τιμές του t αυξάνονται από το μηδέν, το αντίγραφο του σήματος s(t+t) μετατοπίζεται προς τα αριστερά κατά μήκος του άξονα t. Στην πράξη, τα σήματα συνήθως ορίζονται επίσης στο διάστημα των θετικών τιμών των ορισμάτων από το 0-T, γεγονός που καθιστά δυνατή την επέκταση του διαστήματος με μηδενικές τιμές, εάν είναι απαραίτητο για μαθηματικές πράξεις. Μέσα σε αυτά τα όρια υπολογισμών, είναι πιο βολικό να μετακινήσετε το αντίγραφο σήματος προς τα αριστερά κατά μήκος του άξονα ορίσματος, δηλ. εφαρμογή στην έκφραση (2.4.1) της συνάρτησης s(t-t):
B s (t) = s(t) s(t-t) dt. (2.4.1")
Καθώς η τιμή της μετατόπισης t αυξάνεται για πεπερασμένα σήματα, η χρονική επικάλυψη του σήματος με το αντίγραφό του μειώνεται και, κατά συνέπεια, το συνημίτονο της γωνίας αλληλεπίδρασης και το βαθμωτό γινόμενο ως σύνολο τείνουν στο μηδέν:
Παράδειγμα.Στο διάστημα (0, T), καθορίζεται ένας ορθογώνιος παλμός με τιμή πλάτους ίση με Α. Υπολογίστε τη συνάρτηση αυτοσυσχέτισης του παλμού.
Κατά τη μετατόπιση του αντιγράφου της ώθησης κατά μήκος του άξονα t προς τα δεξιά, σε 0≤t≤T, τα σήματα επικαλύπτονται στο διάστημα από το t στο T. Το γινόμενο κουκκίδας:
B s (t) \u003d A 2 dt \u003d A 2 (T-t).
Κατά τη μετατόπιση ενός αντιγράφου της ώθησης προς τα αριστερά, με -T≤t<0 сигналы перекрываются на интервале от 0 до Т-t. Скалярное произведение:
B s (t) = A 2 dt = A 2 (T+t).
Για |t| > T το σήμα και το αντίγραφό του δεν έχουν σημεία τομής και το βαθμωτό γινόμενο των σημάτων είναι ίσο με μηδέν (το σήμα και το μετατοπισμένο αντίγραφό του γίνονται ορθογώνια).
Συνοψίζοντας τους υπολογισμούς, μπορούμε να γράψουμε:
B s (t) = 
.
Στην περίπτωση περιοδικών σημάτων, το ACF υπολογίζεται σε μία περίοδο T, λαμβάνοντας μέσο όρο το βαθμωτό γινόμενο και το μετατοπισμένο αντίγραφό του εντός αυτής της περιόδου:
B s (t) \u003d (1 / T) s (t) s (t-t) dt.
Στο t=0, η τιμή του ACF σε αυτή την περίπτωση δεν είναι ίση με την ενέργεια, αλλά με τη μέση ισχύ των σημάτων στο διάστημα T. Το ACF των περιοδικών σημάτων είναι επίσης μια περιοδική συνάρτηση με την ίδια περίοδο T. Έτσι , για το σήμα s(t) = A cos(w 0 t+j 0) στο T=2p/w 0 έχουμε:
B s (t) \u003d A cos (w 0 t + j 0) A cos (w 0 (t-t) + j 0) \u003d (A 2 /2) cos (w 0 t).
Σημειώστε ότι το αποτέλεσμα που προκύπτει δεν εξαρτάται από την αρχική φάση του αρμονικού σήματος, η οποία είναι τυπική για οποιαδήποτε περιοδικά σήματα και είναι μία από τις ιδιότητες του CF.
Για σήματα που δίνονται σε ένα συγκεκριμένο διάστημα, ο υπολογισμός του ACF εκτελείται επίσης με κανονικοποίηση στο μήκος του διαστήματος:
B s (t) = s(t) s(t+t) dt. (2.4.2)
Στο όριο, για μη περιοδικά σήματα με μέτρηση ACF στο διάστημα T:
B s (t) = 
. (2.4.2")
Η αυτοσυσχέτιση ενός σήματος μπορεί επίσης να εκτιμηθεί από τον συντελεστή αυτοσυσχέτισης, ο οποίος υπολογίζεται σύμφωνα με τον τύπο (με βάση κεντρικά σήματα):
r s (t) = cos j(t) = ás(t), s(t+t)ñ /||s(t)|| 2.
Συνάρτηση διασταυρούμενης συσχέτισης Τα σήματα (CCF) (συνάρτηση διασταυρούμενης συσχέτισης, CCF) δείχνουν τον βαθμό ομοιότητας των μετατοπισμένων στιγμιότυπων δύο διαφορετικών σημάτων και τη σχετική τους θέση κατά μήκος της συντεταγμένης (ανεξάρτητη μεταβλητή), για την οποία χρησιμοποιείται ο ίδιος τύπος (2.4.1). για το ACF, αλλά κάτω από το ολοκλήρωμα είναι το γινόμενο δύο διαφορετικών σημάτων, το ένα από τα οποία μετατοπίζεται κατά το χρόνο t:
B 12 (t) = s 1 (t) s 2 (t + t) dt. (2.4.3)
Όταν αλλάζουμε τη μεταβλητή t = t-t στον τύπο (2.4.3), λαμβάνουμε:
B 12 (t) \u003d s 1 (t-t) s 2 (t) dt \u003d s 2 (t) s 1 (t-t) dt \u003d B 21 (-t)
Από εδώ προκύπτει ότι η συνθήκη ισοτιμίας δεν ικανοποιείται για το VKF και οι τιμές του VKF δεν απαιτείται να έχουν μέγιστο στο t = 0. Αυτό φαίνεται ξεκάθαρα στο Σχ. 2.4.1, όπου δίδονται δύο πανομοιότυπα σήματα με κέντρα στα σημεία 0.5 και 1.5. Υπολογισμός με τον τύπο (2.4.3) με σταδιακή αύξηση των τιμών του t σημαίνει διαδοχικές μετατοπίσεις του σήματος s2(t) προς τα αριστερά κατά μήκος του άξονα χρόνου (για κάθε τιμή του s1(t), οι τιμές του s2(t+t) λαμβάνονται για τον πολλαπλασιασμό του ολοκληρώματος).
Φόρτωση...