Τύποι φίλτρων Butterworth LPF Chebyshev Type I LPF  Ελάχιστη παραγγελία φίλτρων LPF με MOS . Μαθήματα: Υπολογισμός φίλτρου υψηλών διέλευσης Butterworth

Η απόκριση συχνότητας του φίλτρου Butterworth περιγράφεται από την εξίσωση

Χαρακτηριστικά του φίλτρου Butterworth: μη γραμμική απόκριση φάσης. συχνότητα αποκοπής ανεξάρτητη από τον αριθμό των πόλων. ταλαντωτική φύση της μεταβατικής απόκρισης με κλιμακωτό σήμα εισόδου. Καθώς η σειρά του φίλτρου αυξάνεται, ο ταλαντωτικός χαρακτήρας αυξάνεται.

Φίλτρο Chebyshev

Η απόκριση συχνότητας του φίλτρου Chebyshev περιγράφεται από την εξίσωση

Οπου Τ n 2 (ω/ω n ) είναι το πολυώνυμο Chebyshev n-η σειρά.

Το πολυώνυμο Chebyshev υπολογίζεται με τον αναδρομικό τύπο

Χαρακτηριστικά του φίλτρου Chebyshev: αυξημένη ανομοιομορφία PFC. κυματιστό χαρακτηριστικό στο passband. Όσο υψηλότερος είναι ο κυματισμός της ζώνης διέλευσης του φίλτρου, τόσο πιο έντονη είναι η μετατόπιση στην περιοχή μετάβασης για την ίδια σειρά. Διακυμάνσεις της παροδικής διαδικασίας με σταδιακά σήμα εισόδουισχυρότερο από το φίλτρο Butterworth. Ο συντελεστής ποιότητας των πόλων του φίλτρου Chebyshev είναι υψηλότερος από αυτόν του φίλτρου Butterworth.

Φίλτρο Bessel

Η απόκριση συχνότητας του φίλτρου Bessel περιγράφεται από την εξίσωση

Οπου
;σι n 2 (ω/ω cp η ) είναι το πολυώνυμο Bessel n-η σειρά.

Το πολυώνυμο Bessel υπολογίζεται με τον αναδρομικό τύπο

Χαρακτηριστικά του φίλτρου Bessel: αρκετά ομοιόμορφη απόκριση συχνότητας και απόκριση φάσης, κατά προσέγγιση με τη συνάρτηση Gaussian. η μετατόπιση φάσης του φίλτρου είναι ανάλογη της συχνότητας, δηλ. Το φίλτρο έχει καθυστέρηση ομάδας ανεξάρτητη από τη συχνότητα. Η συχνότητα αποκοπής αλλάζει καθώς αλλάζει ο αριθμός των πόλων του φίλτρου. Η επαναφορά απόκρισης συχνότητας του φίλτρου είναι συνήθως πιο επίπεδη από αυτή των Butterworth και Chebyshev. Αυτό το φίλτρο είναι ιδιαίτερα κατάλληλο για παλμικά κυκλώματα και επεξεργασία σήματος ευαίσθητης στη φάση.

Φίλτρο Cauer (ελλειπτικό φίλτρο)

Γενική άποψη της λειτουργίας μεταφοράς του φίλτρου Cauer

Χαρακτηριστικά του φίλτρου Cauer: ανομοιόμορφη απόκριση συχνότητας στη ζώνη διέλευσης και στη ζώνη διακοπής. η πιο έντονη πτώση στην απόκριση συχνότητας όλων των παραπάνω φίλτρων. υλοποιεί τις απαιτούμενες λειτουργίες μεταφοράς με μικρότερη σειρά φίλτρων σε σχέση με τη χρήση φίλτρων άλλων τύπων.

Καθορισμός της σειράς φίλτρων

Η απαιτούμενη σειρά φίλτρου προσδιορίζεται από τους παρακάτω τύπους και στρογγυλοποιείται στον πλησιέστερο ακέραιο αριθμό. Παραγγελία φίλτρου Butterworth

Η σειρά του φίλτρου Chebyshev

Για το φίλτρο Bessel, δεν υπάρχει τύπος για τον υπολογισμό της σειράς· αντίθετα, δίνονται πίνακες που αντιστοιχούν στη σειρά του φίλτρου με την ελάχιστη απαραίτητη απόκλιση του χρόνου καθυστέρησης από τη μονάδα σε μια δεδομένη συχνότητα και το επίπεδο απώλειας σε dB).

Κατά τον υπολογισμό της σειράς του φίλτρου Bessel, ορίζονται οι ακόλουθες παράμετροι:

Ποσοστό ανοχής για ομαδική καθυστέρηση σε μια δεδομένη συχνότητα ω ω cp η ;

Το επίπεδο εξασθένησης του κέρδους φίλτρου σε dB στη συχνότητα μπορεί να ρυθμιστεί. ω , κανονικοποιημένο σε σχέση με ω cp η .

Με βάση αυτά τα δεδομένα, προσδιορίζεται η απαιτούμενη σειρά του φίλτρου Bessel.

Σχέδια καταρράκτες φίλτρων χαμηλής διέλευσης 1ης και 2ης τάξης

Στο σχ. Τα 12.4, 12.5 δείχνουν τυπικά σχήματα καταρράξεων LPF.

ΕΝΑ) σι)

Ρύζι. 12.4. Καταρράκτες Butterworth, Chebyshev και Bessel LPF: ΕΝΑ - 1η τάξη? β - 2η τάξη

ΕΝΑ) σι)

Ρύζι. 12.5. Cauer LPF Cascades: ΕΝΑ - 1η τάξη? β - 2η τάξη

Γενική άποψη των συναρτήσεων μεταφοράς του LPF Butterworth, Chebyshev και Bessel της 1ης και 2ης τάξης

,
.

Γενική άποψη των συναρτήσεων μεταφοράς του Cauer LPF 1ης και 2ης τάξης

,
.

Η βασική διαφορά μεταξύ του φίλτρου Cauer 2ης τάξης και του φίλτρου παγίδας είναι ότι στη λειτουργία μεταφοράς του φίλτρου Cauer, ο λόγος συχνότητας Ω μικρό ≠ 1.

Μέθοδος υπολογισμού του LPF των Butterworth, Chebyshev και Bessel

Αυτή η τεχνική βασίζεται στους συντελεστές που δίνονται στους πίνακες και ισχύει για τα φίλτρα Butterworth, Chebyshev και Bessel. Η μέθοδος υπολογισμού των φίλτρων Cauer δίνεται χωριστά. Ο υπολογισμός του LPF των Butterworth, Chebyshev και Bessel ξεκινά με τον καθορισμό της σειράς τους. Για όλα τα φίλτρα, ορίζονται οι παράμετροι της ελάχιστης και μέγιστης εξασθένησης και η συχνότητα αποκοπής. Για τα φίλτρα Chebyshev, ο συντελεστής ανομοιομορφίας απόκρισης συχνότητας στη ζώνη διέλευσης προσδιορίζεται επιπλέον και για τα φίλτρα Bessel - ώρα ομάδαςκαθυστερήσεις. Στη συνέχεια, προσδιορίζεται η συνάρτηση μεταφοράς του φίλτρου, η οποία μπορεί να ληφθεί από τους πίνακες και υπολογίζονται οι καταρράκτες του 1ης και 2ης τάξης, παρατηρείται η ακόλουθη σειρά υπολογισμού:

Ανάλογα με τη σειρά και τον τύπο του φίλτρου, επιλέγονται τα σχήματα των καταρρακτών του, ενώ το φίλτρο άρτιας τάξης αποτελείται από n/ 2 καταρράκτες 2ης τάξης και το φίλτρο περιττής τάξης είναι από έναν καταρράκτη 1ης τάξης και ( n– 1) / 2 καταρράκτες 2ης τάξης.

Για να υπολογίσετε τον καταρράκτη της 1ης τάξης:

Η τιμή καθορίζεται από τον επιλεγμένο τύπο και τη σειρά του φίλτρου σι 1 καταρράκτης της 1ης τάξης.

Μειώνοντας την κατεχόμενη περιοχή, επιλέγεται η ονομαστική χωρητικότητα ντο και υπολογίζεται Rσύμφωνα με τον τύπο (μπορείτε να επιλέξετε και R, αλλά συνιστάται να επιλέξετε ντο, για λόγους ακρίβειας)

;

Το κέρδος υπολογίζεται ΠΡΟΣ ΤΗΝ στο U 1 καταρράκτη της 1ης τάξης, η οποία καθορίζεται από την αναλογία

Οπου ΠΡΟΣ ΤΗΝ στο Uείναι το κέρδος του φίλτρου στο σύνολό του. ΠΡΟΣ ΤΗΝ στο U 2 , …, ΠΡΟΣ ΤΗΝ στο Ηνωμένα Έθνη– διαδοχικά κέρδη 2ης τάξης.

Για την υλοποίηση της ενίσχυσης ΠΡΟΣ ΤΗΝ στο U 1 είναι απαραίτητο να ρυθμίσετε τις αντιστάσεις με βάση την παρακάτω σχέση

R σι = R ΕΝΑ ּ (ΠΡΟΣ ΤΗΝ στο U1 –1) .

Για να υπολογίσετε τον καταρράκτη της 2ης τάξης:

Μειώνοντας την κατεχόμενη περιοχή, επιλέγονται οι ονομασίες χωρητικότητας ντο 1 = ντο 2 = ντο;

Οι συντελεστές επιλέγονται σύμφωνα με τους πίνακες σι 1 ΕγώΚαι Q πιγια καταρράκτες 2ης τάξης.

Σύμφωνα με τη δεδομένη τιμή των πυκνωτών ντο υπολογίζονται οι αντιστάσεις Rσύμφωνα με τον τύπο

;

Για τον επιλεγμένο τύπο φίλτρου, πρέπει να ορίσετε το κατάλληλο κέρδος ΠΡΟΣ ΤΗΝ στο Ui = 3 – (1/Q πι) κάθε σταδίου 2ης τάξης, ρυθμίζοντας τις αντιστάσεις, με βάση την παρακάτω σχέση

R σι = R ΕΝΑ ּ (ΠΡΟΣ ΤΗΝ στο Ui –1) ;

Για τα φίλτρα Bessel, πολλαπλασιάστε τις τιμές όλων των χωρητικοτήτων με την απαιτούμενη καθυστέρηση ομάδας.

Η απόκριση συχνότητας του φίλτρου Butterworth περιγράφεται από την εξίσωση

Φίλτρο Chebyshev

Η απόκριση συχνότητας του φίλτρου Chebyshev περιγράφεται από την εξίσωση

Οπου Τ n 2 (ω/ω n ) είναι το πολυώνυμο Chebyshev n-η σειρά.

Το πολυώνυμο Chebyshev υπολογίζεται με τον αναδρομικό τύπο

Χαρακτηριστικά του φίλτρου Chebyshev: αυξημένη ανομοιομορφία PFC. κυματιστό χαρακτηριστικό στο passband. Όσο υψηλότερος είναι ο κυματισμός της ζώνης διέλευσης του φίλτρου, τόσο πιο έντονη είναι η μετατόπιση στην περιοχή μετάβασης για την ίδια σειρά. Η παροδική διακύμανση με ένα κλιμακωτό σήμα εισόδου είναι μεγαλύτερη από ό,τι με ένα φίλτρο Butterworth. Ο συντελεστής ποιότητας των πόλων του φίλτρου Chebyshev είναι υψηλότερος από αυτόν του φίλτρου Butterworth.

Φίλτρο Bessel

Η απόκριση συχνότητας του φίλτρου Bessel περιγράφεται από την εξίσωση

Οπου
;σι n 2 (ω/ω cp η ) είναι το πολυώνυμο Bessel n-η σειρά.

Το πολυώνυμο Bessel υπολογίζεται με τον αναδρομικό τύπο

Φίλτρο Cauer (ελλειπτικό φίλτρο)

Γενική άποψη της λειτουργίας μεταφοράς του φίλτρου Cauer

Καθορισμός της σειράς φίλτρων

Η σειρά του φίλτρου Chebyshev

Κατά τον υπολογισμό της σειράς του φίλτρου Bessel, ορίζονται οι ακόλουθες παράμετροι:

Ποσοστό ανοχής για ομαδική καθυστέρηση σε μια δεδομένη συχνότητα ω ω cp η ;

Με βάση αυτά τα δεδομένα, προσδιορίζεται η απαιτούμενη σειρά του φίλτρου Bessel.

Σχέδια καταρράκτες φίλτρων χαμηλής διέλευσης 1ης και 2ης τάξης

Στο σχ. Τα 12.4, 12.5 δείχνουν τυπικά σχήματα καταρράξεων LPF.

ΕΝΑ) σι)

Ρύζι. 12.4. Καταρράκτες Butterworth, Chebyshev και Bessel LPF: ΕΝΑ - 1η τάξη? β - 2η τάξη

ΕΝΑ) σι)

Ρύζι. 12.5. Cauer LPF Cascades: ΕΝΑ - 1η τάξη? β - 2η τάξη

Γενική άποψη των συναρτήσεων μεταφοράς του LPF Butterworth, Chebyshev και Bessel της 1ης και 2ης τάξης

,
.

Γενική άποψη των συναρτήσεων μεταφοράς του Cauer LPF 1ης και 2ης τάξης

,
.

Μέθοδος υπολογισμού του LPF των Butterworth, Chebyshev και Bessel

Αυτή η τεχνική βασίζεται στους συντελεστές που δίνονται στους πίνακες και ισχύει για τα φίλτρα Butterworth, Chebyshev και Bessel. Η μέθοδος υπολογισμού των φίλτρων Cauer δίνεται χωριστά. Ο υπολογισμός του LPF των Butterworth, Chebyshev και Bessel ξεκινά με τον καθορισμό της σειράς τους. Για όλα τα φίλτρα, ορίζονται οι παράμετροι της ελάχιστης και μέγιστης εξασθένησης και η συχνότητα αποκοπής. Για τα φίλτρα Chebyshev, ο κυματισμός απόκρισης συχνότητας στη ζώνη διέλευσης προσδιορίζεται επιπλέον, και για τα φίλτρα Bessel, η καθυστέρηση ομάδας. Στη συνέχεια, προσδιορίζεται η συνάρτηση μεταφοράς του φίλτρου, η οποία μπορεί να ληφθεί από τους πίνακες και υπολογίζονται οι καταρράκτες του 1ης και 2ης τάξης, παρατηρείται η ακόλουθη σειρά υπολογισμού:

Για να υπολογίσετε τον καταρράκτη της 1ης τάξης:

Η τιμή καθορίζεται από τον επιλεγμένο τύπο και τη σειρά του φίλτρου σι 1 καταρράκτης της 1ης τάξης.

;

Το κέρδος υπολογίζεται ΠΡΟΣ ΤΗΝ στο U 1 καταρράκτη της 1ης τάξης, η οποία καθορίζεται από την αναλογία

R σι = R ΕΝΑ ּ (ΠΡΟΣ ΤΗΝ στο U1 –1) .

Για να υπολογίσετε τον καταρράκτη της 2ης τάξης:

Μειώνοντας την κατεχόμενη περιοχή, επιλέγονται οι ονομασίες χωρητικότητας ντο 1 = ντο 2 = ντο;

Οι συντελεστές επιλέγονται σύμφωνα με τους πίνακες σι 1 ΕγώΚαι Q πιγια καταρράκτες 2ης τάξης.

Σύμφωνα με τη δεδομένη τιμή των πυκνωτών ντο υπολογίζονται οι αντιστάσεις Rσύμφωνα με τον τύπο

;

R σι = R ΕΝΑ ּ (ΠΡΟΣ ΤΗΝ στο Ui –1) ;

Για τα φίλτρα Bessel, πολλαπλασιάστε τις τιμές όλων των χωρητικοτήτων με την απαιτούμενη καθυστέρηση ομάδας.

ΜΕΤΑΤΡΟΠΗ ΤΩΝ ΙΔΙΟΤΗΤΩΝ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ ΤΟΥ DF (LPF --> LPF1)

ΜΕΤΑΤΡΟΠΗ ΤΩΝ ΙΔΙΟΤΗΤΩΝ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ ΤΟΥ DF (LPF --> HPF)

ΜΕΤΑΤΡΟΠΗ ΤΩΝ ΙΔΙΟΤΗΤΩΝ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ ΤΟΥ DF (LPF --> PF)

ΜΕΤΑΤΡΟΠΗ ΙΔΙΟΤΗΤΩΝ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ DF (LPF --> RF)

Φίλτρο Butterworth 4 παραγγελίες

ΜΕΤΑΤΡΟΠΗ ΤΩΝ ΙΔΙΟΤΗΤΩΝ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ ΤΟΥ DF (LPF --> LPF1)

ΜΕΤΑΤΡΟΠΗ ΤΩΝ ΙΔΙΟΤΗΤΩΝ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ ΤΟΥ DF (LPF --> HPF)

ΜΕΤΑΤΡΟΠΗ ΤΩΝ ΙΔΙΟΤΗΤΩΝ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ ΤΟΥ DF (LPF --> PF)

ΜΕΤΑΤΡΟΠΗ ΙΔΙΟΤΗΤΩΝ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ DF (LPF --> RF)

Φίλτρο Chebyshev 3 παραγγελίες

ΜΕΤΑΤΡΟΠΗ ΤΩΝ ΙΔΙΟΤΗΤΩΝ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ ΤΟΥ DF (LPF --> LPF1)

ΜΕΤΑΤΡΟΠΗ ΤΩΝ ΙΔΙΟΤΗΤΩΝ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ ΤΟΥ DF (LPF --> HPF)

ΜΕΤΑΤΡΟΠΗ ΤΩΝ ΙΔΙΟΤΗΤΩΝ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ ΤΟΥ DF (LPF --> PF)

ΜΕΤΑΤΡΟΠΗ ΙΔΙΟΤΗΤΩΝ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ DF (LPF --> RF)

Φίλτρο Chebyshev 4 παραγγελίες

ΜΕΤΑΤΡΟΠΗ ΤΩΝ ΙΔΙΟΤΗΤΩΝ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ ΤΟΥ DF (LPF --> LPF1)

ΜΕΤΑΤΡΟΠΗ ΤΩΝ ΙΔΙΟΤΗΤΩΝ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ ΤΟΥ DF (LPF --> HPF)

ΜΕΤΑΤΡΟΠΗ ΤΩΝ ΙΔΙΟΤΗΤΩΝ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ ΤΟΥ DF (LPF --> PF)

ΜΕΤΑΤΡΟΠΗ ΙΔΙΟΤΗΤΩΝ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ DF (LPF --> RF)

Φίλτρο Bessel 3ης τάξης

ΜΕΤΑΤΡΟΠΗ ΤΩΝ ΙΔΙΟΤΗΤΩΝ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ ΤΟΥ DF (LPF --> LPF1)

ΜΕΤΑΤΡΟΠΗ ΤΩΝ ΙΔΙΟΤΗΤΩΝ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ ΤΟΥ DF (LPF --> HPF)

ΜΕΤΑΤΡΟΠΗ ΤΩΝ ΙΔΙΟΤΗΤΩΝ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ ΤΟΥ DF (LPF --> PF)

ΜΕΤΑΤΡΟΠΗ ΙΔΙΟΤΗΤΩΝ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ DF (LPF --> RF)

Φίλτρο Bessel 4 παραγγελιών

ΜΕΤΑΤΡΟΠΗ ΤΩΝ ΙΔΙΟΤΗΤΩΝ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ ΤΟΥ DF (LPF --> LPF1)

ΜΕΤΑΤΡΟΠΗ ΤΩΝ ΙΔΙΟΤΗΤΩΝ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ ΤΟΥ DF (LPF --> HPF)

ΜΕΤΑΤΡΟΠΗ ΤΩΝ ΙΔΙΟΤΗΤΩΝ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ ΤΟΥ DF (LPF --> PF)

ΜΕΤΑΤΡΟΠΗ ΙΔΙΟΤΗΤΩΝ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ DF (LPF --> RF)

Αναλύστε την επίδραση των σφαλμάτων στη ρύθμιση των συντελεστών του ψηφιακού φίλτρου χαμηλής διέλευσης στην απόκριση συχνότητας (με αλλαγή ενός από τους συντελεστές b ι). Περιγράψτε τη φύση της αλλαγής στην απόκριση συχνότητας. Κάντε ένα συμπέρασμα σχετικά με την επίδραση της αλλαγής ενός από τους συντελεστές στη συμπεριφορά του φίλτρου.

Θα αναλύσουμε την επίδραση των σφαλμάτων στη ρύθμιση των συντελεστών ψηφιακού φίλτρου χαμηλής διέλευσης στην απόκριση συχνότητας χρησιμοποιώντας το παράδειγμα ενός φίλτρου Bessel 4ης τάξης.

Επιλέγουμε την τιμή απόκλισης των συντελεστών ε ίση με –1,5%, έτσι ώστε η μέγιστη απόκλιση της απόκρισης συχνότητας να είναι περίπου 10%.

Η απόκριση συχνότητας του "ιδανικού" φίλτρου και των φίλτρων με τροποποιημένους συντελεστές κατά την τιμή του ε φαίνεται στο σχήμα:

ΚΑΙ

Από το σχήμα φαίνεται ότι η αλλαγή στους συντελεστές b 1 και b 2 έχει τη μεγαλύτερη επίδραση στην απόκριση συχνότητας (η τιμή τους υπερβαίνει την τιμή άλλων συντελεστών). Χρησιμοποιώντας μια αρνητική τιμή του ε, σημειώνουμε ότι οι θετικοί συντελεστές μειώνουν το πλάτος στο κάτω μέρος του φάσματος, ενώ οι αρνητικοί συντελεστές το αυξάνουν. Με θετική τιμή ε, όλα γίνονται αντίστροφα.

Κβαντίστε τους συντελεστές του ψηφιακού φίλτρου με έναν τέτοιο αριθμό δυαδικών ψηφίων ώστε η μέγιστη απόκλιση της απόκρισης συχνότητας από την αρχική να είναι περίπου 10 - 20%. Σκιαγραφήστε την απόκριση συχνότητας και περιγράψτε τη φύση της αλλαγής της.

Με την αλλαγή του αριθμού των ψηφίων του κλασματικού μέρους των συντελεστών σι ιΣημειώστε ότι η μέγιστη απόκλιση της απόκρισης συχνότητας από την αρχική, που δεν υπερβαίνει το 20%, προκύπτει στο n≥3.

Τύπος απόκρισης συχνότητας για διάφορα nφαίνεται στα σχήματα:

n \u003d 3, μέγιστη απόκλιση απόκρισης συχνότητας \u003d 19,7%

n \u003d 4, μέγιστη απόκλιση απόκρισης συχνότητας \u003d 13,2%

n \u003d 5, μέγιστη απόκλιση της απόκρισης συχνότητας \u003d 5,8%

n \u003d 6, μέγιστη απόκλιση απόκρισης συχνότητας \u003d 1,7%

Έτσι, μπορεί να σημειωθεί ότι μια αύξηση στο βάθος bit κατά την κβαντοποίηση των συντελεστών φίλτρου οδηγεί στο γεγονός ότι η απόκριση συχνότητας του φίλτρου τείνει όλο και περισσότερο στην αρχική. Ωστόσο, πρέπει να σημειωθεί ότι αυτό περιπλέκει τη φυσική εφαρμογή του φίλτρου.

Κβαντοποίηση για διάφορα nφαίνεται στο σχήμα:

Σχέδιο:

1 Επισκόπηση
- 1.1 Κανονικά πολυώνυμα Butterworth
- 1.2 Μέγιστη ομαλότητα
- 1.3 Μείωση χαρακτηριστικών σε υψηλές συχνότητες
2 Σχέδιο φίλτρου
- 2.1 Τοπολογία Cauer
- 2.2 Τοπολογία Sallen-Kay
3 Σύγκριση με άλλα γραμμικά φίλτρα
4 Παράδειγμα

Εισαγωγή

Φίλτρο Butterworth- ένας από τους τύπους ηλεκτρονικών φίλτρων. Τα φίλτρα αυτής της κατηγορίας διαφέρουν από άλλα ως προς τη μέθοδο σχεδιασμού. Το φίλτρο Butterworth έχει σχεδιαστεί έτσι ώστε η απόκριση συχνότητάς του να είναι όσο το δυνατόν πιο ομαλή στις συχνότητες ζώνης διέλευσης.

Τέτοια φίλτρα περιγράφηκαν για πρώτη φορά από τον Βρετανό μηχανικό Stephen Butterworth στο άρθρο του On the Theory of Filter Amplifiers. Σχετικά με τη θεωρία των ενισχυτών φίλτρου ), Στο περιοδικό Μηχανικός Ασύρματοςτο 1930.

1. Επισκόπηση

Η απόκριση συχνότητας του φίλτρου Butterworth είναι όσο το δυνατόν πιο ομαλή στις συχνότητες της ζώνης διέλευσης και πέφτει σχεδόν στο μηδέν στις συχνότητες καταστολής. Όταν εμφανίζεται η απόκριση συχνότητας ενός φίλτρου Butterworth σε μια απόκριση λογαριθμικής φάσης, το πλάτος μειώνεται προς το μείον άπειρο στις συχνότητες αποκοπής. Στην περίπτωση ενός φίλτρου πρώτης τάξης, η απόκριση συχνότητας μειώνεται με ρυθμό -6 ντεσιμπέλ ανά οκτάβα (-20 ντεσιμπέλ ανά δεκαετία) (στην πραγματικότητα, όλα τα φίλτρα πρώτης τάξης, ανεξαρτήτως τύπου, είναι πανομοιότυπα και έχουν το ίδιο απόκριση συχνότητας). Για ένα φίλτρο δεύτερης τάξης Butterworth, η απόκριση συχνότητας μειώνεται κατά -12 dB ανά οκτάβα, για ένα φίλτρο τρίτης τάξης, κατά -18 dB, και ούτω καθεξής. Η απόκριση συχνότητας του φίλτρου Butterworth είναι μια μονότονα φθίνουσα συνάρτηση της συχνότητας. Το φίλτρο Butterworth είναι το μόνο φίλτρο που διατηρεί το σχήμα της απόκρισης συχνότητας για υψηλότερες παραγγελίες (με εξαίρεση την πιο απότομη μετατόπιση στο σημείο αποκοπής), ενώ πολλοί άλλοι τύποι φίλτρων (φίλτρο Bessel, φίλτρο Chebyshev, ελλειπτικό φίλτρο) έχουν διαφορετικό σχήμα της απόκρισης συχνότητας σε διαφορετικές εντολές.

Σε σύγκριση με τους τύπους I και II Chebyshev ή με ένα ελλειπτικό φίλτρο, το φίλτρο Butterworth έχει πιο επίπεδη απελευθέρωση και επομένως θα πρέπει να έχει μεγαλύτερη τάξη(που είναι πιο δύσκολο να υλοποιηθεί) προκειμένου να παρέχει την επιθυμητή απόδοση στις συχνότητες της ζώνης καταστολής. Ωστόσο, το φίλτρο Butterworth έχει μια πιο γραμμική απόκριση φάσης στις συχνότητες ζώνης διέλευσης.

Απόκριση συχνότητας για χαμηλοπερατά φίλτρα Butterworth της τάξης από 1 έως 5. Η κλίση του χαρακτηριστικού είναι 20 n dB/δεκαετία, όπου n- σειρά φίλτρου.

Όπως συμβαίνει με όλα τα φίλτρα κατά την εξέταση χαρακτηριστικά συχνότηταςχρησιμοποιούν ένα χαμηλοπερατό φίλτρο, από το οποίο είναι εύκολο να αποκτήσετε ένα φίλτρο υψηλής διέλευσης, και, με τη συμπερίληψη πολλών τέτοιων φίλτρων σε σειρά, ένα φίλτρο ζώνης διέλευσης ή ένα φίλτρο εγκοπής.

Η απόκριση συχνότητας ενός φίλτρου Butterworth ης τάξης μπορεί να ληφθεί από τη συνάρτηση μεταφοράς:

Είναι εύκολο να διαπιστωθεί ότι για άπειρες τιμές, η απόκριση συχνότητας γίνεται ορθογώνια συνάρτηση και οι συχνότητες κάτω από τη συχνότητα αποκοπής θα διέρχονται με κέρδος, ενώ οι συχνότητες πάνω από τη συχνότητα αποκοπής θα καταστέλλονται πλήρως. Για πεπερασμένες τιμές, η διάσπαση του χαρακτηριστικού θα είναι ήπια.

Με τη βοήθεια μιας επίσημης αντικατάστασης, αντιπροσωπεύουμε την έκφραση με τη μορφή:

Οι πόλοι της συνάρτησης μεταφοράς βρίσκονται σε έναν κύκλο ακτίνας ίσης απόστασης μεταξύ τους στο αριστερό μισό επίπεδο. Δηλαδή, η συνάρτηση μεταφοράς ενός φίλτρου Butterworth μπορεί να προσδιοριστεί μόνο με τον προσδιορισμό των πόλων της συνάρτησης μεταφοράς του στο αριστερό μισό επίπεδο του επιπέδου s. -ο πόλος προσδιορίζεται από την ακόλουθη έκφραση:

Η συνάρτηση μεταφοράς μπορεί να γραφτεί ως εξής:

Παρόμοιες σκέψεις ισχύουν για τα ψηφιακά φίλτρα Butterworth, με τη μόνη διαφορά ότι οι αναλογίες δεν έχουν γραφτεί μικρό-αεροπλάνο, και για z-επίπεδο.

Ο παρονομαστής αυτής της συνάρτησης μεταφοράς ονομάζεται πολυώνυμο Butterworth.

1.1. Κανονικοποιημένα πολυώνυμα Butterworth

Τα πολυώνυμα Butterworth μπορούν να γραφτούν σε μιγαδική μορφή όπως φαίνεται παραπάνω, αλλά συνήθως γράφονται ως αναλογίες με πραγματικούς συντελεστές (τα σύνθετα συζυγή ζεύγη συνδυάζονται χρησιμοποιώντας πολλαπλασιασμό). Τα πολυώνυμα κανονικοποιούνται με τη συχνότητα αποκοπής: . Τα κανονικοποιημένα πολυώνυμα Butterworth έχουν έτσι την ακόλουθη κανονική μορφή:

, - ζυγά μονά

Παρακάτω είναι οι συντελεστές των πολυωνύμων Butterworth για τις πρώτες οκτώ παραγγελίες:

	Πολυωνυμικοί συντελεστές
1
2
3
4
5
6
7
8

1.2. Μέγιστη ομαλότητα

Λαμβάνοντας και , η παράγωγος του χαρακτηριστικού πλάτους ως προς τη συχνότητα θα μοιάζει με αυτό:

Μειώνεται μονοτονικά για όλους αφού το κέρδος είναι πάντα θετικό. Έτσι, η απόκριση συχνότητας του φίλτρου Butterworth δεν έχει κυματισμό. Όταν επεκτείνουμε το χαρακτηριστικό πλάτους σε μια σειρά, παίρνουμε:

Με άλλα λόγια, όλες οι παράγωγοι του χαρακτηριστικού πλάτους-συχνότητας σε σχέση με συχνότητα έως 2 n-ο ισούται με μηδέν, που συνεπάγεται «μέγιστη ομαλότητα».

1.3. Rolloff σε υψηλές συχνότητες

Έχοντας αποδεχθεί το , βρίσκουμε την κλίση του λογάριθμου της απόκρισης συχνότητας στις υψηλές συχνότητες:

Σε ντεσιμπέλ, η ασύμπτωτη υψηλής συχνότητας έχει κλίση −20 n dB/δεκαετία.

2. Σχέδιο φίλτρου

Υπάρχει ένας αριθμός διαφορετικών τοπολογιών φίλτρων που εφαρμόζουν γραμμικά αναλογικά φίλτρα. Αυτά τα σχήματα διαφέρουν μόνο στις τιμές των στοιχείων, η δομή παραμένει αμετάβλητη.

2.1. Τοπολογία Cauer

Η τοπολογία Cauer χρησιμοποιεί παθητικά στοιχεία (χωρητικότητα και επαγωγή). Ένα φίλτρο Butteworth με μια δεδομένη συνάρτηση μεταφοράς μπορεί να κατασκευαστεί με τη μορφή Cauer τύπου 1. kth στοιχείοΤο φίλτρο δίνεται από:

; Το k είναι περίεργο. το k είναι άρτιο

2.2. Τοπολογία Sallen-Kay

Η τοπολογία Sallen-Kay χρησιμοποιεί ενεργά στοιχεία εκτός από παθητικά ( λειτουργικούς ενισχυτέςκαι δοχεία). Κάθε στάδιο του κυκλώματος Sallen-Kay είναι ένα μέρος του φίλτρου, που περιγράφεται μαθηματικά από ένα ζεύγος σύνθετων συζευγμένων πόλων. Ολόκληρο το φίλτρο λαμβάνεται συνδέοντας όλα τα στάδια σε σειρά. Εάν εμφανιστεί ένας πραγματικός πόλος, πρέπει να εφαρμοστεί ξεχωριστά, συνήθως με τη μορφή αλυσίδας RC, και να συμπεριληφθεί στο συνολικό κύκλωμα.

Λειτουργία μετάδοσηςκάθε στάδιο στο σχήμα Sallen-Kay έχει τη μορφή:

Ο παρονομαστής πρέπει να είναι ένας από τους παράγοντες του πολυωνύμου Butterworth. Λαμβάνοντας, παίρνουμε:

Η τελευταία σχέση δίνει δύο άγνωστα, τα οποία μπορούν να επιλεγούν αυθαίρετα.

3. Σύγκριση με άλλα γραμμικά φίλτρα

Το παρακάτω σχήμα δείχνει την απόκριση συχνότητας του φίλτρου Butterworth σε σύγκριση με άλλα δημοφιλή γραμμικά φίλτρα ίδιας (πέμπτης) τάξης:

Μπορεί να φανεί από το σχήμα ότι το φίλτρο Butterworth έχει το πιο αργό roll-off από τα τέσσερα, αλλά έχει επίσης την πιο ομαλή απόκριση συχνότητας στις συχνότητες της ζώνης διέλευσης.

4. Παράδειγμα

Αναλογικό χαμηλοπερατό φίλτρο Butterworth (τοπολογία Cauer) με συχνότητα αποκοπής με τις ακόλουθες τιμές στοιχείων: farad, ohm και henry.

Λογαριθμική γραφική παράσταση της πυκνότητας της συνάρτησης μεταφοράς H(s) στο μιγαδικό επίπεδο ορίσματος για ένα φίλτρο Butterworth τρίτης τάξης με συχνότητα αποκοπής . Οι τρεις πόλοι βρίσκονται σε έναν κύκλο μοναδιαίας ακτίνας στο αριστερό μισό επίπεδο.

Σκεφτείτε ένα αναλογικό χαμηλής διέλευσης φίλτρο Butterworth τρίτης τάξης με farad, ohm και henry. Δηλώνοντας αντίστασηδοχεία ντοΠως 1/Csκαι σύνθετη αντίσταση επαγωγέων μεγάλοΠως Ls, όπου είναι μια σύνθετη μεταβλητή, και χρησιμοποιώντας τις εξισώσεις για τον υπολογισμό ηλεκτρικά κυκλώματα, λαμβάνουμε την ακόλουθη συνάρτηση μεταφοράς για ένα τέτοιο φίλτρο:

Η απόκριση συχνότητας δίνεται από την εξίσωση:

και το PFC δίνεται από την εξίσωση:

Η καθυστέρηση ομάδας ορίζεται ως μείον την παράγωγο της φάσης σε σχέση με την κυκλική συχνότητα και είναι ένα μέτρο της παραμόρφωσης φάσης ενός σήματος σε διαφορετικές συχνότητες. Η λογαριθμική απόκριση συχνότητας ενός τέτοιου φίλτρου δεν έχει κυματισμό ούτε στη ζώνη διέλευσης ούτε στη ζώνη καταστολής.

Οικόπεδο του συντελεστή συνάρτησης μεταφοράς ενεργοποιημένο σύνθετο επίπεδοδείχνει ξεκάθαρα τρεις πόλους στο αριστερό ημιεπίπεδο. Η συνάρτηση μεταφοράς καθορίζεται πλήρως από τη θέση αυτών των πόλων στον μοναδιαίο κύκλο συμμετρικά ως προς τον πραγματικό άξονα.

Αντικαθιστώντας κάθε αυτεπαγωγή με μια χωρητικότητα και τις χωρητικότητες με επαγωγικές, παίρνουμε ένα υψηλοπερατό φίλτρο Butterworth.

Και η ομαδική καθυστέρηση ενός φίλτρου Butterworth τρίτης τάξης με συχνότητα αποκοπής

Βιβλιογραφία

V.A. ΛούκαςΘεωρία αυτόματου ελέγχου. - Μ.: Νέδρα, 1990.
B.H. ΚριβίτσκιΒιβλίο παραπομπής θεωρητικές βάσειςραδιοηλεκτρονικά. - M .: Ενέργεια, 1977.
Miroslav D. LutovacΣχεδιασμός φίλτρου για επεξεργασία σήματος με χρήση MATLAB© και Mathematica©. - New Jersey, Η.Π.Α.: Prentice Hall, 2001. - ISBN 0-201-36130-2
Richard W DanielsΜέθοδοι Προσέγγισης για Σχεδιασμό Ηλεκτρονικού Φίλτρου. - Νέα Υόρκη: McGraw-Hill, 1974. - ISBN 0-07-015308-6
Steven W. Smith The Scientist and Engineer's Guide to Digital Signal Processing. -Δεύτερη έκδοση. - San Diego: California Technical Publishing, 1999. - ISBN 0-9660176-4-1
Britton C. RorabaughΜέθοδοι Προσέγγισης για Σχεδιασμό Ηλεκτρονικού Φίλτρου. - Νέα Υόρκη: McGraw-Hill, 1999. - ISBN 0-07-054004-7
B. Widrow, S.D. StearnsΠροσαρμοστική Επεξεργασία Σήματος. - Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1985. - ISBN 0-13-004029-0
S. HaykinΘεωρία προσαρμοστικού φίλτρου. - 4η έκδοση. - Paramus, NJ: Prentice-Hall, 2001. - ISBN 0-13-090126-1
Michael L. Honig, David G. MesserschmittΠροσαρμοστικά φίλτρα - Δομές, αλγόριθμοι και εφαρμογές. - Hingham, MA: Kluwer Academic Publishers, 1984. - ISBN 0-89838-163-0
J.D. Markel, Α.Η. Grey, Jr.Γραμμική Πρόβλεψη Λόγου. - Νέα Υόρκη: Springer-Verlag, 1982. - ISBN 0-387-07563-1
L.R. Rabiner, R.W. ΣάφερΨηφιακή Επεξεργασία Σημάτων Ομιλίας. - Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1978. - ISBN 0-13-213603-1
Ρίτσαρντ Τζ. ΧίγκινςΨηφιακή Επεξεργασία Σήματος σε VLSI. - Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1990. - ISBN 0-13-212887-X
A. V. Oppenheim, R. W. SchaferΨηφιακή επεξεργασία σήματος. - Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1975. - ISBN 0-13-214635-5
L. R. Rabiner, B. GoldΘεωρία και Εφαρμογή Ψηφιακής Επεξεργασίας Σήματος. - Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1986. - ISBN 0-13-914101-4
Γιάννης Γ. Προάκης, Δημήτρης Γ. ΜανωλάκηςΕισαγωγή στην ψηφιακή επεξεργασία σήματος. - Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1988. - ISBN 0-02-396815-X