Σύνθετη φυσική σημασία μεταβλητής Laplace. Μετασχηματισμός Laplace

Ενότητα II. Μαθηματική ανάλυση

E. Yu. Anokhina

ΙΣΤΟΡΙΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΚΑΙ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΤΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΙΑΣ ΜΙΓΡΩΤΙΚΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ (TFV) ΩΣ ΘΕΜΑ

Ένα από τα πολύπλοκα μαθηματικά μαθήματα είναι το μάθημα TFKT. Η πολυπλοκότητα αυτού του μαθήματος οφείλεται, καταρχάς, στην ποικιλομορφία των σχέσεών του με άλλους μαθηματικούς κλάδους, που εκφράζονται ιστορικά στον ευρύ εφαρμοσμένο προσανατολισμό της επιστήμης του TFKT.

Στην επιστημονική βιβλιογραφία για την ιστορία των μαθηματικών, υπάρχουν διάσπαρτες πληροφορίες σχετικά με την ιστορία της ανάπτυξης του TFCT, απαιτούν συστηματοποίηση και γενίκευση.

Για το λόγο αυτό, ο κύριος στόχος αυτού του άρθρου είναι Σύντομη περιγραφήανάπτυξη του ΤΦΚΠ και τη διαμόρφωση αυτής της θεωρίας ως εκπαιδευτικού μαθήματος.

Ως αποτέλεσμα της μελέτης, προσδιορίστηκαν τα ακόλουθα τρία στάδια στην ανάπτυξη του TFCT ως επιστημονικού και ακαδημαϊκού θέματος:

Το στάδιο εμφάνισης και αναγνώρισης μιγαδικών αριθμών.

Στάδιο συσσώρευσης πραγματικό υλικόμε συναρτήσεις φανταστικών μεγεθών.

Το στάδιο σχηματισμού της θεωρίας των συναρτήσεων μιας μιγαδικής μεταβλητής.

Το πρώτο στάδιο στην ανάπτυξη του TFKP (μέσα 16ου αιώνα - 18ος αιώνας) ξεκινά με το έργο του G. Cardano (1545), ο οποίος δημοσίευσε το Artis magnae sive de regulis algebraitis (Μεγάλη Τέχνη, ή σχετικά με τους αλγεβρικούς κανόνες). Το έργο του G. Cardano είχε ως κύριο καθήκον την τεκμηρίωση των γενικών αλγεβρικών μεθόδων για την επίλυση εξισώσεων του τρίτου και τέταρτου βαθμού, που ανακαλύφθηκαν πρόσφατα από τους Ferro (1465-1526), ​​​​Tartaglia (1506-1559) και Ferrari (1522-1565). ). Αν η κυβική εξίσωση μειωθεί στη μορφή

x3 + px + q = 0,

και θα έπρεπε να είναι

Όταν (p^Ap V (|- 70) η εξίσωση έχει τρεις πραγματικές ρίζες και δύο από αυτές

είναι ίσα μεταξύ τους. Αν τότε η εξίσωση έχει ένα πραγματικό και δύο συν-

κλωσμένες σύνθετες ρίζες. Οι μιγαδικοί αριθμοί εμφανίζονται στο τελικό αποτέλεσμα, οπότε ο G. Cardano θα μπορούσε να κάνει όπως έκαναν πριν από αυτόν: να δηλώσει ότι η εξίσωση έχει

μια ρίζα. Οταν (<7 Г + (р V < (). тогда уравнение имеет три действительных корня. Этот так

Η λεγόμενη μη αναγώγιμη περίπτωση χαρακτηρίζεται από ένα χαρακτηριστικό που δεν συναντήθηκε μέχρι τον 16ο αιώνα. Η εξίσωση x3 - 21x + 20 = 0 έχει τρεις πραγματικές ρίζες 1, 4, - 5 που είναι εύκολο

ελέγξτε με μια απλή αντικατάσταση. Αλλά ^du + y _ ^20y + ^-21y _ ^ ^ ^; επομένως, σύμφωνα με τον γενικό τύπο, x = ^-10 + ^-243 -^-10-4^243 . Σύνθετο, δηλ. "false", ο αριθμός δεν είναι το αποτέλεσμα εδώ, αλλά ένας ενδιάμεσος όρος στους υπολογισμούς που οδηγούν στις πραγματικές ρίζες της εξίσωσης. Ο G. Cardano αντιμετώπισε μια δυσκολία και συνειδητοποίησε ότι για να διατηρηθεί η γενικότητα αυτού του τύπου, είναι απαραίτητο να εγκαταλείψουμε την πλήρη παραβίαση των μιγαδικών αριθμών. Ο J. D'Alembert (1717-1783) πίστευε ότι αυτή η περίσταση έκανε τον G. Cardano και τους μαθηματικούς που ακολούθησαν αυτή την ιδέα να ενδιαφέρονται σοβαρά για τους μιγαδικούς αριθμούς.

Σε αυτό το στάδιο (τον 17ο αιώνα), δύο απόψεις ήταν γενικά αποδεκτές. Η πρώτη άποψη εκφράστηκε από τον Girard, ο οποίος έθεσε το ζήτημα της αναγνώρισης της ανάγκης για απεριόριστη χρήση μιγαδικών αριθμών. Ο δεύτερος - ο Ντεκάρτ, ο οποίος αρνήθηκε τη δυνατότητα ερμηνείας μιγαδικών αριθμών. Αντίθετη στη γνώμη του Descartes ήταν η άποψη του J. Wallis - για την ύπαρξη μιας πραγματικής ερμηνείας των μιγαδικών αριθμών αγνοήθηκε από τον Descartes. Οι μιγαδικοί αριθμοί άρχισαν να «αναγκάζονται» να χρησιμοποιούνται για την επίλυση εφαρμοζόμενων προβλημάτων σε καταστάσεις όπου η χρήση πραγματικών αριθμών οδήγησε σε μιγαδικό αποτέλεσμα ή το αποτέλεσμα δεν μπορούσε να ληφθεί θεωρητικά, αλλά είχε πρακτική εφαρμογή.

Η διαισθητική χρήση μιγαδικών αριθμών οδήγησε στην ανάγκη διατήρησης των νόμων και των κανόνων της αριθμητικής των πραγματικών αριθμών στο σύνολο των μιγαδικών αριθμών, ειδικότερα, έγιναν προσπάθειες για άμεση μεταφορά. Αυτό μερικές φορές οδηγούσε σε λανθασμένα αποτελέσματα. Από αυτή την άποψη, τα ερωτήματα σχετικά με την αιτιολόγηση των μιγαδικών αριθμών και την κατασκευή αλγορίθμων για την αριθμητική τους έχουν γίνει επίκαιρα. Αυτή ήταν η αρχή ενός νέου σταδίου στην ανάπτυξη του TFCT.

Το δεύτερο στάδιο στην ανάπτυξη του TFKP (αρχές 18ου αιώνα - 19ος αιώνας). Τον XVIII αιώνα. Ο L. Euler εξέφρασε την ιδέα του αλγεβρικού κλεισίματος του πεδίου των μιγαδικών αριθμών. Το αλγεβρικό κλείσιμο του πεδίου των μιγαδικών αριθμών C οδήγησε τους μαθηματικούς στα ακόλουθα συμπεράσματα:

Ότι η μελέτη των συναρτήσεων και η μαθηματική ανάλυση γενικά αποκτούν την κατάλληλη πληρότητα και πληρότητα μόνο όταν εξετάζεται η συμπεριφορά των συναρτήσεων στο σύνθετο πεδίο.

Είναι απαραίτητο να θεωρούνται οι μιγαδικοί αριθμοί ως μεταβλητές.

Το 1748, ο L. Euler (1707-1783) στο έργο του "Introduction to the analysis of infinitesimals" εισήγαγε μια μιγαδική μεταβλητή ως τη γενικότερη έννοια μιας μεταβλητής, χρησιμοποιώντας μιγαδικούς αριθμούς κατά την αποσύνθεση συναρτήσεων σε γραμμικούς παράγοντες. Ο L. Euler θεωρείται δικαίως ένας από τους δημιουργούς του TFCT. Στα έργα του L. Euler, μελετήθηκαν λεπτομερώς οι στοιχειώδεις συναρτήσεις μιας μιγαδικής μεταβλητής (1740-1749), οι συνθήκες διαφοροποίησης (1755) και η αρχή του ολοκληρωτικού λογισμού συναρτήσεων μιας μιγαδικής μεταβλητής (1777). Ο L. Euler πρακτικά εισήγαγε τη σύμμορφη χαρτογράφηση (1777). Ονόμασε αυτές τις χαρτογραφήσεις «παρόμοιες κατά μικρό τρόπο» και ο όρος «συμμορφική» χρησιμοποιήθηκε για πρώτη φορά, προφανώς, από τον ακαδημαϊκό της Αγίας Πετρούπολης F. Schubert (1789). Ο L. Euler έδωσε επίσης πολυάριθμες εφαρμογές συναρτήσεων μιας σύνθετης μεταβλητής σε διάφορα μαθηματικά προβλήματα και έθεσε τα θεμέλια για την εφαρμογή τους στην υδροδυναμική (17551757) και στη χαρτογραφία (1777). Ο K. Gauss διατυπώνει τον ορισμό ενός ολοκληρώματος στο μιγαδικό επίπεδο, ένα ολοκληρωτικό θεώρημα για την επέκταση μιας αναλυτικής συνάρτησης σε μια σειρά ισχύος. Ο Laplace χρησιμοποιεί μιγαδικές μεταβλητές για να υπολογίσει δύσκολα ολοκληρώματα και αναπτύσσει μια μέθοδο για την επίλυση γραμμικών, διαφορικών και διαφορικών εξισώσεων γνωστή ως μετασχηματισμός Laplace.

Ξεκινώντας από το 1799, εμφανίζονται έγγραφα στα οποία δίνονται περισσότερο ή λιγότερο βολικές ερμηνείες του μιγαδικού αριθμού και ορίζονται ενέργειες σε αυτούς. Μια αρκετά γενική θεωρητική ερμηνεία και γεωμετρική ερμηνεία δημοσιεύτηκε από τον K. Gauss μόλις το 1831.

Ο L. Euler και οι σύγχρονοί του άφησαν μια πλούσια κληρονομιά στους μεταγενέστερους με τη μορφή συσσωρευμένων, κάπου συστηματοποιημένων, κάπου όχι, αλλά ακόμα διάσπαρτων γεγονότων σχετικά με το TFCT. Μπορούμε να πούμε ότι το πραγματικό υλικό για τις συναρτήσεις των φανταστικών μεγεθών, όπως λέγαμε, απαιτούσε τη συστηματοποίησή του με τη μορφή μιας θεωρίας. Αυτή η θεωρία έχει αρχίσει να διαμορφώνεται.

Το τρίτο στάδιο του σχηματισμού του TFKP (XIX αιώνας - XX αιώνας). Τα κύρια επιτεύγματα εδώ ανήκουν στους O. Cauchy (1789-1857), B. Riemann (1826-1866) και K. Weierstrass (1815-1897). Κάθε ένα από αυτά αντιπροσώπευε μία από τις κατευθύνσεις ανάπτυξης του TFKP.

Ο εκπρόσωπος της πρώτης κατεύθυνσης, που στην ιστορία των μαθηματικών ονομαζόταν «θεωρία των μονογονικών ή διαφοροποιήσιμων συναρτήσεων», ήταν ο O. Cauchy. Επισημοποίησε ανόμοια γεγονότα σχετικά με τον διαφορικό και ολοκληρωτικό λογισμό συναρτήσεων μιας σύνθετης μεταβλητής, εξήγησε την έννοια των βασικών εννοιών και πράξεων με φανταστικές. Στα έργα του O. Cauchy, διατυπώνεται η θεωρία των ορίων και η θεωρία σειρών και στοιχειωδών συναρτήσεων που βασίζονται σε αυτήν, διατυπώνεται ένα θεώρημα που διευκρινίζει πλήρως την περιοχή σύγκλισης μιας σειράς ισχύος. Το 1826, ο O. Cauchy εισήγαγε τον όρο: deduction (κυριολεκτικά: υπόλοιπο). Σε γραπτά από το 1826 έως το 1829, δημιούργησε τη θεωρία των εκπτώσεων. Ο O. Cauchy συνήγαγε τον ολοκληρωτικό τύπο. απέκτησε ένα θεώρημα ύπαρξης για την επέκταση μιας συνάρτησης μιγαδικής μεταβλητής σε σειρές ισχύος (1831). Ο O. Cauchy έθεσε τα θεμέλια για τη θεωρία των αναλυτικών συναρτήσεων πολλών μεταβλητών. προσδιόρισε τους κύριους κλάδους συναρτήσεων πολλαπλών τιμών μιας σύνθετης μεταβλητής. χρησιμοποίησε για πρώτη φορά κοψίματα αεροπλάνων (1831-1847). Το 1850 εισάγει την έννοια των μονοδρομικών συναρτήσεων και ξεχωρίζει την κατηγορία των μονογονικών συναρτήσεων.

Οπαδός του O. Cauchy ήταν ο B. Riemann, ο οποίος δημιούργησε επίσης τη δική του «γεωμετρική» (δεύτερη) κατεύθυνση ανάπτυξης του TFCT. Στα έργα του, ξεπέρασε την απομόνωση των ιδεών για συναρτήσεις μιγαδικών μεταβλητών και διαμόρφωσε νέα τμήματα αυτής της θεωρίας, στενά συνδεδεμένα με άλλους κλάδους. Ο Riemann έκανε ένα ουσιαστικά νέο βήμα στην ιστορία της θεωρίας των αναλυτικών συναρτήσεων, πρότεινε να συσχετιστεί με κάθε συνάρτηση μιας σύνθετης μεταβλητής η ιδέα της χαρτογράφησης μιας περιοχής σε μια άλλη. Διέκρινε τις συναρτήσεις μιας μιγαδικής και μιας πραγματικής μεταβλητής. Ο B. Riemann έθεσε τα θεμέλια για τη γεωμετρική θεωρία των συναρτήσεων, εισήγαγε την επιφάνεια Riemann, ανέπτυξε τη θεωρία των σύμμορφων αντιστοιχίσεων, καθιέρωσε τη σύνδεση μεταξύ αναλυτικών και αρμονικών συναρτήσεων, εισήγαγε τη συνάρτηση ζήτα υπόψη.

Η περαιτέρω ανάπτυξη του TFKP έγινε σε άλλη (τρίτη) κατεύθυνση. Η βάση της οποίας ήταν η δυνατότητα αναπαράστασης συναρτήσεων με σειρές ισχύος. Αυτή η τάση ονομάστηκε «αναλυτική» στην ιστορία. Διαμορφώθηκε στα έργα του K. Weierstrass, στα οποία έφερε στο προσκήνιο την έννοια της ομοιόμορφης σύγκλισης. Ο K. Weierstrass διατύπωσε και απέδειξε ένα θεώρημα για τη νομιμότητα της αναγωγής παρόμοιων όρων σε μια σειρά. Ο K. Weierstrass έλαβε ένα θεμελιώδες αποτέλεσμα: το όριο μιας ακολουθίας αναλυτικών συναρτήσεων που συγκλίνει ομοιόμορφα μέσα σε ένα συγκεκριμένο πεδίο είναι μια αναλυτική συνάρτηση. Μπόρεσε να γενικεύσει το θεώρημα του Cauchy για την επέκταση σειρών ισχύος μιας συνάρτησης μιγαδικής μεταβλητής και περιέγραψε τη διαδικασία της αναλυτικής συνέχισης των σειρών ισχύος και την εφαρμογή της στην αναπαράσταση λύσεων σε ένα σύστημα διαφορικών εξισώσεων. Ο K. Weierstrass καθιέρωσε το γεγονός όχι μόνο της απόλυτης σύγκλισης της σειράς, αλλά και της ομοιόμορφης σύγκλισης. Το θεώρημα Weierstrass εμφανίζεται στην επέκταση μιας ολόκληρης συνάρτησης σε ένα γινόμενο. Βάζει τις βάσεις για τη θεωρία των αναλυτικών συναρτήσεων πολλών μεταβλητών, χτίζει τη θεωρία της διαιρετότητας σειρών ισχύος.

Εξετάστε την ανάπτυξη της θεωρίας των αναλυτικών συναρτήσεων στη Ρωσία. Ρώσοι μαθηματικοί του 19ου αιώνα. για πολύ καιρό δεν ήθελαν να αφοσιωθούν σε ένα νέο πεδίο των μαθηματικών. Παρόλα αυτά, μπορούμε να αναφέρουμε πολλά ονόματα για τα οποία δεν ήταν εξωγήινη και να απαριθμήσουμε μερικά από τα έργα και τα επιτεύγματα αυτών των Ρώσων μαθηματικών.

Ένας από τους Ρώσους μαθηματικούς ήταν ο M.V. Ostrogradsky (1801-1861). Σχετικά με τον M.V. Λίγα είναι γνωστά για τον Ostrogradsky στον τομέα της θεωρίας των αναλυτικών συναρτήσεων, αλλά ο O. Cauchy μίλησε με επαίνους για αυτόν τον νεαρό Ρώσο επιστήμονα, ο οποίος εφάρμοσε ολοκληρώματα και έδωσε νέες αποδείξεις τύπων και γενίκευσε άλλους τύπους. M.V. Ο Ostrogradsky έγραψε το έργο "Παρατηρήσεις για οριστικά ολοκληρώματα", στο οποίο εξήγαγε τον τύπο Cauchy για την αφαίρεση μιας συνάρτησης σε σχέση με τον πόλο n-ης τάξης. Περιέγραψε τις εφαρμογές της θεωρίας των υπολειμμάτων και του τύπου του Cauchy στον υπολογισμό ορισμένων ολοκληρωμάτων σε μια εκτενή δημόσια διάλεξη που δόθηκε το 1858-1859.

Μια σειρά από έργα του N.I. Lobachevsky, τα οποία έχουν άμεση σημασία για τη θεωρία των συναρτήσεων μιας μιγαδικής μεταβλητής. Η θεωρία των στοιχειωδών συναρτήσεων μιας μιγαδικής μεταβλητής περιέχεται στο έργο του «Άλγεβρα ή υπολογισμός πεπερασμένων» (Kazan, 1834). Στο οποίο το cos x και το sin x ορίζονται αρχικά για το πραγματικό x ως πραγματικό και

φανταστικό μέρος της συνάρτησης ex^. Χρησιμοποιώντας τις προηγούμενες ιδιότητες της εκθετικής συνάρτησης και των επεκτάσεων ισχύος, προκύπτουν όλες οι κύριες ιδιότητες των τριγωνομετρικών συναρτήσεων. Με-

Προφανώς, ο Λομπατσέφσκι έδωσε ιδιαίτερη σημασία σε μια τέτοια καθαρά αναλυτική κατασκευή της τριγωνομετρίας, ανεξάρτητη από την Ευκλείδεια γεωμετρία.

Μπορεί να υποστηριχθεί ότι τις τελευταίες δεκαετίες του XIX αιώνα. και την πρώτη δεκαετία του 20ού αιώνα. Η θεμελιώδης έρευνα στη θεωρία των συναρτήσεων μιας μιγαδικής μεταβλητής (F. Klein, A. Poincaré, P. Kebe) συνίστατο στη σταδιακή διασαφήνιση του γεγονότος ότι η γεωμετρία του Lobachevsky είναι, ταυτόχρονα, η γεωμετρία των αναλυτικών συναρτήσεων ενός μιγαδικού μεταβλητός.

Το 1850, ο καθηγητής του Πανεπιστημίου της Αγίας Πετρούπολης (μετέπειτα Ακαδημαϊκός) Ι.Ι. Ο Somov (1815-1876) δημοσίευσε τα Θεμέλια της Θεωρίας των Αναλυτικών Συναρτήσεων, τα οποία βασίστηκαν στα Νέα Θεμέλια του Jacobi.

Ωστόσο, ο πρώτος πραγματικά «πρωτότυπος» Ρώσος ερευνητής στον τομέα της θεωρίας των αναλυτικών συναρτήσεων μιας σύνθετης μεταβλητής ήταν ο Yu.V. Sokhotsky (1842-1929). Υπερασπίστηκε τη μεταπτυχιακή του διατριβή «Θεωρία των ολοκληρωτικών καταλοίπων με μερικές εφαρμογές» (Αγία Πετρούπολη, 1868). Από το φθινόπωρο του 1868 Yu.V. Ο Sokhotsky δίδαξε μαθήματα για τη θεωρία των συναρτήσεων μιας φανταστικής μεταβλητής και για τα συνεχή κλάσματα με εφαρμογές στην ανάλυση. Μεταπτυχιακή εργασία Yu.V. Ο Sokhotsky είναι αφιερωμένος σε εφαρμογές της θεωρίας των υπολειμμάτων στην αντιστροφή μιας σειράς ισχύος (σειρά Lagrange) και, ειδικότερα, στην επέκταση των αναλυτικών συναρτήσεων σε συνεχόμενα κλάσματα, καθώς και στα πολυώνυμα Legendre. Σε αυτή την εργασία, διατυπώνεται και αποδεικνύεται το περίφημο θεώρημα για τη συμπεριφορά μιας αναλυτικής συνάρτησης σε μια γειτονιά ενός ουσιαστικού ενικού σημείου. Στη διδακτορική διατριβή του Σοχότσκι

(1873) για πρώτη φορά εισάγεται η έννοια ενός ολοκληρώματος τύπου Cauchy σε διευρυμένη μορφή: *r/ ^ & _ όπου

Οι α και β είναι δύο αυθαίρετοι μιγαδικοί αριθμοί. Το ολοκλήρωμα υποτίθεται ότι λαμβάνεται κατά μήκος κάποιας καμπύλης («τροχιά») που συνδέει τα a και b. Στην εργασία αυτή, αποδεικνύονται μια σειρά από θεωρήματα.

Τεράστιο ρόλο στην ιστορία των αναλυτικών συναρτήσεων έπαιξαν τα έργα του Ν.Ε. Zhukovsky και S.A. Chaplygin, ο οποίος άνοιξε μια απεριόριστη περιοχή των εφαρμογών του στην αερο- και την υδρομηχανική.

Μιλώντας για την ανάπτυξη της θεωρίας των αναλυτικών συναρτήσεων, δεν μπορούμε να μην αναφέρουμε τις μελέτες του S.V. Kovalevskaya, αν και η κύρια σημασία τους βρίσκεται έξω από αυτή τη θεωρία. Η επιτυχία της δουλειάς της οφειλόταν σε μια εντελώς νέα διατύπωση του προβλήματος όσον αφορά τη θεωρία των αναλυτικών συναρτήσεων και τη θεώρηση του χρόνου t ως μιγαδικής μεταβλητής.

Στο γύρισμα του ΧΧ αιώνα. η φύση της επιστημονικής έρευνας στον τομέα της θεωρίας των συναρτήσεων μιας σύνθετης μεταβλητής αλλάζει. Εάν νωρίτερα το μεγαλύτερο μέρος της έρευνας σε αυτόν τον τομέα διεξήχθη από την άποψη της ανάπτυξης μιας από τις τρεις κατευθύνσεις (τη θεωρία των μονογονικών ή διαφοροποιήσιμων συναρτήσεων Cauchy, οι γεωμετρικές και φυσικές ιδέες του Riemann, η αναλυτική κατεύθυνση του Weierstrass), τώρα οι διαφορές και οι αντιπαραθέσεις που συνδέονται με αυτές ξεπερνιούνται, εμφανίζονται και αυξάνονται ραγδαία.ο αριθμός των έργων στα οποία πραγματοποιείται μια σύνθεση ιδεών και μεθόδων. Μία από τις βασικές έννοιες πάνω στις οποίες αποκαλύφθηκε ξεκάθαρα η σύνδεση και η αντιστοιχία μεταξύ των γεωμετρικών παραστάσεων και της συσκευής των σειρών ισχύος ήταν η έννοια της αναλυτικής συνέχειας.

Στα τέλη του XIX αιώνα. Η θεωρία των συναρτήσεων μιας μιγαδικής μεταβλητής περιλαμβάνει ένα εκτεταμένο σύμπλεγμα επιστημονικών κλάδων: τη γεωμετρική θεωρία των συναρτήσεων που βασίζεται στη θεωρία των σύμμορφων αντιστοιχίσεων και των επιφανειών Riemann. Λάβαμε μια ολοκληρωμένη μορφή της θεωρίας διαφόρων τύπων συναρτήσεων: ακέραιος και μερόμορφος, ελλειπτικός και αρθρωτός, αυτομορφικός, αρμονικός, αλγεβρικός. Σε στενή σύνδεση με την τελευταία κατηγορία συναρτήσεων, έχει αναπτυχθεί η θεωρία των Αβελιανών ολοκληρωμάτων. Η αναλυτική θεωρία των διαφορικών εξισώσεων και η αναλυτική θεωρία των αριθμών γειτνιάζουν με αυτό το σύμπλεγμα. Η θεωρία των αναλυτικών συναρτήσεων καθιέρωσε και ενίσχυσε τους δεσμούς με άλλους μαθηματικούς κλάδους.

Ο πλούτος των αλληλεπιδράσεων μεταξύ του TFCT και της άλγεβρας, της γεωμετρίας και άλλων επιστημών, η δημιουργία των συστηματικών θεμελίων της ίδιας της επιστήμης του TFCT, η μεγάλη πρακτική σημασία του συνέβαλαν στη διαμόρφωση του TFCT ως ακαδημαϊκού μαθήματος. Ωστόσο, ταυτόχρονα με την ολοκλήρωση της διαμόρφωσης των θεμελίων, νέες ιδέες εισήχθησαν στη θεωρία των αναλυτικών συναρτήσεων, αλλάζοντας σημαντικά τη σύνθεση, τη φύση και τους στόχους της. Εμφανίζονται μονογραφίες που περιέχουν μια συστηματική έκθεση της θεωρίας των αναλυτικών συναρτήσεων σε ύφος κοντά στο αξιωματικό και με εκπαιδευτικούς σκοπούς. Προφανώς, η σημασία των αποτελεσμάτων για το TFCT, που ελήφθησαν από επιστήμονες της υπό εξέταση περιόδου, τους ώθησε να διαδώσουν το TFCT με τη μορφή διαλέξεων και δημοσίευσης μονογραφικών μελετών σε διδακτική προοπτική. Μπορούμε να συμπεράνουμε ότι το TFCT εμφανίστηκε ως μάθηση

θέμα. Το 1856, οι Ch. Briot και T. Bouquet δημοσίευσαν ένα μικρό απομνημονεύματα «Investigation of the Functions of an Imaginary Variable», που είναι ουσιαστικά το πρώτο σχολικό βιβλίο. Γενικές έννοιες στη θεωρία της συνάρτησης μιας σύνθετης μεταβλητής άρχισαν να επεξεργάζονται σε διαλέξεις. Από το 1856, ο K. Weiersht-rass έκανε διάλεξη για την αναπαράσταση συναρτήσεων με συγκλίνουσες σειρές ισχύος και από το 1861 - για τη γενική θεωρία των συναρτήσεων. Το 1876 εμφανίστηκε ένα ειδικό έργο του K. Weierstrass: «On theory of single-valued analytic functions» και το 1880 «On the doctrine of functions», στο οποίο η θεωρία του για τις αναλυτικές συναρτήσεις απέκτησε μια ορισμένη πληρότητα.

Οι διαλέξεις του Weierstrass χρησίμευσαν για πολλά χρόνια ως πρωτότυπο για σχολικά βιβλία σχετικά με τη θεωρία των συναρτήσεων μιας σύνθετης μεταβλητής, η οποία άρχισε να εμφανίζεται αρκετά συχνά από τότε. Στις διαλέξεις του χτίστηκε βασικά το σύγχρονο πρότυπο αυστηρότητας στη μαθηματική ανάλυση και ξεχώρισε η δομή που έγινε παραδοσιακή.

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΚΕΣ ΑΝΑΦΟΡΕΣ

1. Andronov I.K. Μαθηματικά πραγματικών και μιγαδικών αριθμών. Μ.: Εκπαίδευση, 1975.

2. Klein F. Διαλέξεις για την ανάπτυξη των μαθηματικών τον XIX αιώνα. Μ.: ΟΝΤΙ, 1937. Μέρος 1.

3. Lavrentiev M.A., Shabat B.V. Μέθοδοι θεωρίας συναρτήσεων μιγαδικής μεταβλητής. Μόσχα: Nauka, 1987.

4. Markushevich A.I. Θεωρία αναλυτικών συναρτήσεων. Μ.: Πολιτεία. εκδοτικός οίκος τεχνικής και θεωρητικής λογοτεχνίας, 1950.

5. Μαθηματικά του 19ου αιώνα. Γεωμετρία. Θεωρία Αναλυτικών Συναρτήσεων / επιμ. A. N. Kolmogorova και A. P. Yushkevich. Μόσχα: Nauka, 1981.

6. Μαθηματική Εγκυκλοπαίδεια / Κεφ. εκδ. I. M. Vinogradov. Μ.: Σοβιετική εγκυκλοπαίδεια, 1977. Τ. 1.

7. Μαθηματική Εγκυκλοπαίδεια / Κεφ. εκδ. I. M. Vinogradov. Μ.: Σοβιετική Εγκυκλοπαίδεια, 1979. Τόμος 2.

8. Νεαρός Β.Ν. Βασικές αρχές του δόγματος του αριθμού στον 18ο και στις αρχές του 19ου αιώνα. Μόσχα: Uchpedgiz, 1963.

9. Rybnikov K.A. Ιστορία των μαθηματικών. Μ.: Εκδοτικός Οίκος του Κρατικού Πανεπιστημίου της Μόσχας, 1963. Μέρος 2.

ΔΕΝ. Lyakhova ΑΓΓΙΓΜΑ ΕΠΙΠΕΔΩΝ ΚΑΜΠΥΛΩΝ

Το ερώτημα της εφαπτομένης επίπεδων καμπυλών, στην περίπτωση που τα τετμημένα των κοινών σημείων βρίσκονται από μια εξίσωση της μορφής Рп x = 0, όπου Р x είναι κάποιο πολυώνυμο, σχετίζεται άμεσα με το ερώτημα.

στην πολλαπλότητα των ριζών του πολυωνύμου Pn x . Σε αυτό το άρθρο διατυπώνονται οι αντίστοιχες προτάσεις για τις περιπτώσεις ρητής και άρρητης ανάθεσης συναρτήσεων των οποίων οι γραφικές παραστάσεις είναι καμπύλες και φαίνεται επίσης η εφαρμογή αυτών των δηλώσεων στην επίλυση προβλημάτων.

Αν οι καμπύλες που είναι γραφήματα των συναρτήσεων y \u003d f (x) και y \u003d cp x έχουν κοινό σημείο

Μ() x0; v0, δηλ. y0 \u003d f x0 \u003d cp x0 και εφαπτομένες στις υποδεικνυόμενες καμπύλες που σχεδιάζονται στο σημείο M () x0. v0 δεν συμπίπτουν, τότε λέμε ότι οι καμπύλες y = fix) και y - cp x τέμνονται στο σημείο Mo xo.

Το σχήμα 1 δείχνει ένα παράδειγμα τομής γραφημάτων συναρτήσεων.

αντίγραφο

1 Μετασχηματισμός Laplace Σύντομη πληροφορία Ο μετασχηματισμός Laplace, ο οποίος χρησιμοποιείται ευρέως στη θεωρία κυκλωμάτων, είναι ένας ολοκληρωτικός μετασχηματισμός που εφαρμόζεται σε συναρτήσεις χρόνου f ίσου με μηδέν στο< L { f } f d F, где = + комплексная переменная Величина выбирается так, чтобы интеграл сходился Если функция f возрастает не быстрее, чем экспонента, то интеграл преобразования Лапласа сходится, если >Μπορεί να αποδειχθεί ότι εάν το ολοκλήρωμα Laplace συγκλίνει για κάποια τιμή s, τότε ορίζει μια συνάρτηση F που είναι αναλυτική σε ολόκληρο το ημιεπίπεδο > s. Η συνάρτηση F που ορίζεται με αυτόν τον τρόπο μπορεί να επεκταθεί αναλυτικά σε ολόκληρο το επίπεδο του σύνθετη μεταβλητή = +, εκτός από μεμονωμένα μοναδικά σημεία. Τις περισσότερες φορές αυτή η συνέχεια πραγματοποιείται επεκτείνοντας τον τύπο που προκύπτει από τον υπολογισμό του ολοκληρώματος σε ολόκληρο το επίπεδο του μιγαδικού μεταβλητή συνάρτησηΣΤ, αναλυτικά συνέχισε στο σύνολο σύνθετο επίπεδο, ονομάζεται εικόνα Laplace της συνάρτησης χρόνου f ή απλά η εικόνα Η συνάρτηση f ως προς την εικόνα της F ονομάζεται πρωτότυπη Εάν η εικόνα F είναι γνωστή, τότε το πρωτότυπο μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας τον αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace f F d για > απευθείας, παράλληλος στον άξονα τεταγμένων Η τιμή επιλέγεται έτσι ώστε στο ημιεπίπεδο R > να μην υπάρχουν μοναδικά σημεία της συνάρτησης F Ο προσδιορισμός του πρωτοτύπου από μια γνωστή εικόνα ονομάζεται αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace και συμβολίζεται με το σύμβολο f L ( F ) L 7

2 Εξετάστε μερικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace Γραμμικότητα Αυτή η ιδιότητα μπορεί να γραφτεί ως ισότητα L( f f ) L( f ) L( f ) Μετασχηματισμός Laplace της παραγώγου της συνάρτησης df L( ) d df d F f d f 3 Μετασχηματισμός Laplace του το ολοκλήρωμα: L( f d) d f 8 f d d F df: d f f d d η ισότητα εξακολουθεί να έχει τη μορφή του νόμου του Ohm, αλλά ήδη για τις εικόνες της τάσης και του ρεύματος Για τη στιγμιαία τάση στην επαγωγή, η σχέση d i u L λαμβάνει χώρα, d i e εκεί Δεν υπάρχει άμεση αναλογικότητα Ο νόμος του Ohm δεν ισχύει εδώ Μετά τον μετασχηματισμό Laplace, παίρνουμε U = LI LI+

3 Εάν, όπως συμβαίνει συχνά, I + =, τότε ο λόγος παίρνει τη μορφή U = LI Έτσι, ο νόμος του Ohm ισχύει και πάλι για τις εικόνες της τάσης και του ρεύματος.Το ρόλο της αντίστασης παίζει η τιμή L, η οποία είναι Ονομάζεται αντίσταση επαγωγής C Μετά τον μετασχηματισμό Laplace, αυτός ο λόγος παίρνει τη μορφή U I, ο C t e έχει τη μορφή του νόμου του Ohm και η χωρητικότητα είναι ίση με C Ας κάνουμε έναν πίνακα με τους άμεσους και αντίστροφους μετασχηματισμούς Laplace των στοιχειωδών συναρτήσεων που συναντώνται στη θεωρία των κυκλωμάτων. στο Laplace ο μετασχηματισμός αυτής της συνάρτησης θα είναι L ( ) L ( ) d d 3 L ( ) 4 L ( ) 5 L (sin ) 9

4 3 6 ) (cos L 7 ) ( ) sin ( L L ) ( L 8 ) cos ( L 9 ) ( F d f f L! n d n n n n L! n n n L m< n и знаменатель имеет только простые корни Тогда n n K K K B, где, n корни полинома B, стоящего в знаменателе изображения Коэффициенты K, K, K n могут быть найдены следующим

5 3 Ας αποσυνθέσουμε την εικόνα σε απλά κλάσματα και ας πολλαπλασιάσουμε με: n n K K K K B Τώρα τείνουμε να Τότε μόνο το K παραμένει στη δεξιά πλευρά: lim B K είναι γνωστό: L Επομένως « n B B L Ενδιαφέρον παρουσιάζει η ειδική περίπτωση όταν μία από τις ρίζες του ο παρονομαστής είναι ίσος με μηδέν: B F Σε αυτή την περίπτωση, η επέκταση του F σε απλά κλάσματα θα έχει τη μορφή, όπως ακολουθεί από την προηγούμενη, " n B B B και B δεν έχει ρίζες στο μηδέν

6 3 Από εδώ, ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace της συνάρτησης F θα έχει τη μορφή: n B B B " L Ας εξετάσουμε μια ακόμη περίπτωση όταν το πολυώνυμο στον παρονομαστή B έχει πολλαπλές ρίζες. Έστω m< n и корень кратности l При разложении на простые дроби этому корню соответствует сумма: l l l K K K Обратное преобразование слагаемых этой суммы мы уже имели выше см п:! n n n L Таким образом, обратное преобразование суммы будет иметь вид: M, где M полином от степени l

7 Μερικές γενικές ιδιότητες των κυκλωμάτων Αφήστε ένα μιγαδικό κύκλωμα να περιέχει P κλάδους και Q κόμβους Στη συνέχεια, σύμφωνα με τον πρώτο και τον δεύτερο νόμο Kirchhoff, μπορούν να γίνουν εξισώσεις P + Q για ρεύματα P στους κλάδους και Q κομβικά δυναμικά Ένα από τα κομβικά δυναμικά Q υποτίθεται ότι είναι μηδέν Αλλά ο αριθμός των εξισώσεων μπορεί να μειωθεί στο Q, εάν χρησιμοποιήσουμε τα ρεύματα βρόχου ως εναλλασσόμενα ρεύματα. Σε αυτήν την περίπτωση, ο πρώτος νόμος Kirchhoff ικανοποιείται αυτόματα, αφού κάθε ρεύμα εισέρχεται και εξέρχεται από τον κόμβο, δηλαδή δίνει συνολικό ρεύμα ίσο με μηδέν και, επιπλέον, τα κομβικά δυναμικά Q εκφράζονται ως προς τα ρεύματα βρόχου. καταρτίζονται απευθείας αν πάρουμε τα ρεύματα του κυκλώματος ως άγνωστα Ανεξάρτητα κυκλώματα θα είναι τέτοια, καθένα από τα οποία περιέχει τουλάχιστον έναν κλάδο που δεν περιλαμβάνεται σε κανένα από τα άλλα περιγράμματα Εικ. Για καθένα από τα περιγράμματα, οι εξισώσεις συντάσσονται σύμφωνα με ο δεύτερος νόμος Kirchhoff a Στη γενική περίπτωση, η αντίσταση του κλάδου είναι i R i C i L όπου i, =, n, n είναι ο αριθμός των ανεξάρτητων κυκλωμάτων Οι εξισώσεις των ρευμάτων του κυκλώματος είναι: I I n I n E; I I n I n E; ni n I nn I n En i, Εδώ E i είναι το άθροισμα όλων των emfs που περιλαμβάνονται σε i-ο κύκλωμαΟι αντιστάσεις με τους ίδιους δείκτες ii ονομάζονται εγγενείς αντιστάσεις του i-ου κυκλώματος και οι αντιστάσεις με διαφορετικούς δείκτες i ονομάζονται αμοιβαίες αντιστάσεις ή αντιστάσεις σύνδεσης του i-ου και -ου κυκλώματος. Οι αντιστάσεις ii είναι το άθροισμα των αντιστάσεων που περιλαμβάνονται στο κύκλωμα i-ο Η αντίσταση i είναι μέρος της αντίστασης i-ο 33 Σχ. Παράδειγμα ανεξάρτητων περιγραμμάτων

8 Η εξίσωση για το m-ο κύκλωμα θα μοιάζει με: ένα κύκλωμα που περιλαμβάνεται επίσης στο -ο κύκλωμα Προφανώς, η ισότητα i = i ισχύει για ένα παθητικό κύκλωμα Ας εξετάσουμε πώς αλλάζουν οι εξισώσεις των ρευμάτων κυκλώματος για ενεργά κυκλώματα που περιέχουν τρανζίστορ, Σχήμα I i Μεταφέροντας τον δεύτερο όρο από τη δεξιά πλευρά στην αριστερή πλευρά, μετασχηματίζουμε αυτήν την εξίσωση ως εξής: mi mi I i mn I n Em αγνώστων, χρησιμοποιούνται επίσης κομβικά δυναμικά, μετρημένα από το δυναμικό ενός από τα κόμβοι, που λαμβάνονται ως μηδέν Αντί για γεννήτριες EMF, χρησιμοποιούνται γεννήτριες ρεύματος Y που μπορούν να ξαναγραφούν ως εξής: όπου Σχ. Ισοδύναμο κύκλωμα τρανζίστορ σε σύνθετο κύκλωμα U YU U YnU U n I, Y U Y U Y nu n I, Y Y Y Y n

9 Το σύστημα εξισώσεων για κομβικά δυναμικά έχει τη μορφή Y U YU Y nu n I. YU YU Y nu n I; Yn U Yn U YnnU n όπου Y i είναι η αγωγιμότητα της σύνδεσης του i-ου και -ου κόμβου: Είναι προφανές ότι Y i G i L i Yi Y i C Αυτή η συμμετρία εξαφανίζεται εάν το κύκλωμα περιέχει τρανζίστορ, λαμπτήρες ή άλλα ενεργά στοιχεία, το ισοδύναμο κύκλωμα που περιέχει εξαρτημένες πηγές ρεύματος Ας εξετάσουμε τώρα τις λύσεις των εξισώσεων του κυκλώματος Η λύση του συστήματος εξισώσεων των ρευμάτων βρόχου έχει τη μορφή για το -ο ρεύμα: I, όπου η κύρια ορίζουσα του το σύστημα, η ίδια ορίζουσα, στο οποίο η -η στήλη αντικαθίσταται από ηλεκτροκινητικές δυνάμεις από τα δεξιά μέρη E, E, E n Ας υποθέσουμε ότι υπάρχει μόνο ένα EMF E στο κύκλωμα, που περιλαμβάνεται στο κύκλωμα εισόδου, στο οποίο εκχωρείται η πρώτος αριθμός Οι εξισώσεις πρέπει να συντάσσονται με τέτοιο τρόπο ώστε μόνο ένα ρεύμα κυκλώματος να διέρχεται από τον κλάδο που μας ενδιαφέρει ορίζουσα i Σχ. 4 Κύκλωμα με EMF στο κύκλωμα εισόδου 35

10 Ο λόγος E I ονομάζεται αντίσταση εισόδου. Αντίθετα, αυτή η αντίσταση λαμβάνει υπόψη την επίδραση όλων των κυκλωμάτων. Για το δεύτερο κύκλωμα εξόδου, θα έχουμε I 36 E, όπου η αντίστοιχη αλγεβρική πρόσθεση. Ο λόγος T I E ονομάζεται μεταφορά αντίσταση από το πρώτο κύκλωμα στο δεύτερο Ομοίως, από τις εξισώσεις κομβικού δυναμικού, μπορείτε να πάρετε την αγωγιμότητα εισόδου εικ. 5 Εικ. 5 Κύκλωμα με πηγή ρεύματος στην είσοδο "U I" I, Y "Y" και την αγωγιμότητα μετάδοσης από ο πρώτος κόμβος στον δεύτερο: U "I" I Y T, Y T "" όπου I είναι το ρεύμα που παρέχεται στον πρώτο κόμβο, U και U είναι οι τάσεις που λαμβάνονται στον πρώτο και τον δεύτερο κόμβο, "ο κύριος καθοριστικός παράγοντας του συστήματος εξισώσεις κομβικών δυναμικών, και "i είναι το αντίστοιχο αλγεβρικό συμπλήρωμα Μεταξύ και Υ υπάρχει σχέση Υ Για ένα παθητικό κύκλωμα, είχαμε = Επομένως, η κύρια ορίζουσα του συστήματος είναι συμμετρική. Από αυτό προκύπτει ότι και αλγεβρικές προσθήκεςείναι ίσες: = Επομένως, οι αντιστάσεις μετάδοσης είναι επίσης ίσες T = T Αυτή η ιδιότητα ονομάζεται ιδιότητα αμοιβαιότητας. στο κύκλωμα εισόδου προκαλεί κάποιο ρεύμα στο κύκλωμα εξόδου, τότε το ίδιο EMF, που περιλαμβάνεται στο κύκλωμα εξόδου, θα προκαλέσει στο κύκλωμα εισόδου,

11 ρεύμα ίδιας τιμής Εν συντομία, αυτή η ιδιότητα μερικές φορές διαμορφώνεται ως εξής: Το EMF στο κύκλωμα εισόδου και το αμπερόμετρο στο κύκλωμα εξόδου μπορούν να εναλλάσσονται, ενώ η ένδειξη του αμπερόμετρου δεν θα αλλάξει 7 U E Σχ. 7 Συντελεστής μεταφοράς τάσης στη συνέχεια Όπως προκύπτει από το διάγραμμα στο Σχ. 7: U U I n; ; K n E T E ; I T U n Ομοίως, ο συντελεστής μεταφοράς ρεύματος I K I Εικ. 8 μπορεί να προσδιοριστεί: I Επομένως I U Yн I ; Y ; K n I YT I U Y T I Εικ. 8 Λόγος μεταφοράς ρεύματος Yn Y T T 37

12 3 Περισσότερα για τις γενικές ιδιότητες των συναρτήσεων κυκλώματος Οι συναρτήσεις κυκλώματος είναι συναρτήσεις μιας μεταβλητής που λαμβάνονται με την επίλυση εξισώσεων, για παράδειγμα, αγωγιμότητα αντίστασης εισόδου, μετάδοση αγωγιμότητας αντίστασης κ.λπ. Για κυκλώματα με ομαδοποιημένες παραμέτρους, οποιαδήποτε συνάρτηση κυκλώματος είναι ορθολογική ως προς μεταβλητή και είναι ένα κλάσμα m Ф B b n m n b m m n n 38 b b και οι συντελεστές είναι πραγματικοί Διαφορετικά, μπορεί να αναπαρασταθεί ως Ф b m n m, " " " όπου, m, ", ", " n είναι οι ρίζες των εξισώσεων m b n m n b m n m, n b b Ф It είναι προφανές ότι δύο ορθολογικές συναρτήσεις των οποίων τα μηδενικά και οι πόλοι συμπίπτουν μπορούν να διαφέρουν μόνο από σταθερούς παράγοντες. Με άλλα λόγια, η φύση της εξάρτησης των παραμέτρων του κυκλώματος από τη συχνότητα καθορίζεται πλήρως από τα μηδενικά και τους πόλους της συνάρτησης κυκλώματος. πραγματικοί συντελεστές, όταν αντικατασταθούν από μια συζευγμένη τιμή * το πολυώνυμο αποκτά τη συζευγμένη τιμή * = * και B * = B * Συνεπάγεται ότι αν το πολυώνυμο im έχει μιγαδική ρίζα, τότε θα είναι και ρίζα Έτσι, τα μηδενικά και οι πόλοι της συνάρτησης αλυσίδας μπορούν να είναι είτε πραγματικά είτε να αποτελούν μιγαδικά συζυγή ζεύγη Έστω Φ η συνάρτηση αλυσίδας Εξετάστε τις τιμές της για = : Ф Ф Ф F F n,

13 Αλλά F F F, F F F Συγκρίνοντας αυτές τις ισότητες, λαμβάνοντας υπόψη την ισότητα που δίνεται παραπάνω, παίρνουμε ότι F F, F F, δηλαδή το πραγματικό μέρος της συνάρτησης κυκλώματος είναι μια άρτια συνάρτηση της συχνότητας και η φανταστική περιττή συνάρτηση της συχνότητας μια ισότητα που ορίζει το ρεύμα στην αντίσταση εισόδου που προκαλείται από την τάση U: U I B Έστω U ένα βήμα μονάδας, και τότε I, B όπου και B είναι πολυώνυμα από Χρησιμοποιώντας τον τύπο επέκτασης, μπορείτε να πάρετε i B B" όπου τα μηδενικά του πολυωνύμου B και , επομένως, τα μηδενικά της συνάρτησης αντίστασης και η κύρια ορίζουσα μηδενικά: = Αν τουλάχιστον ένα μηδέν έχει θετικό πραγματικό μέρος, τότε το i θα αυξηθεί επ' αόριστον

14 me Το ίδιο συμπέρασμα μπορεί να εξαχθεί σχετικά με την αντίσταση μετάδοσης T, την αγωγιμότητα εισόδου Y, την αγωγιμότητα μετάδοσης Y T Ορισμός Μια συνάρτηση κυκλώματος ονομάζεται φυσικά εφικτή εάν αντιστοιχεί σε ένα κύκλωμα που αποτελείται από πραγματικά στοιχεία και καμία από τις φυσικές ταλαντώσεις του οποίου έχει πλάτος που αυξάνεται απεριόριστα με το χρόνο Το κύκλωμα που καθορίζεται στον ορισμό ονομάζεται σταθερό Τα μηδενικά της κύριας ορίζουσας μιας φυσικά εφικτής συνάρτησης σταθερού κυκλώματος και, επομένως, τα μηδενικά των συναρτήσεων αντίστασης και αγωγιμότητας, πρέπει να βρίσκονται μόνο στο αριστερό μισό -επίπεδο της μεταβλητής ή στον άξονα της πραγματικής συχνότητας Αν δύο ή περισσότερα μηδενικά συμπίπτουν, πολλαπλές ρίζες, τότε οι αντίστοιχες λύσεις έχουν μορφή: M, όπου M είναι πολυώνυμο βαθμού m, m είναι η πολλαπλότητα της ρίζας o συντελεστής e μετάδοση, τότε όλα τα παραπάνω ισχύουν όχι για τα μηδενικά, αλλά για τους πόλους της συνάρτησης του κυκλώματος συντελεστή μεταφοράς Στην πραγματικότητα: n K Τα μηδενικά του T είναι οι πόλοι της συνάρτησης K, και η αντίσταση φορτίου n είναι παθητική ; Τα μηδενικά της βρίσκονται σίγουρα στο σωστό επίπεδο Από τα παραπάνω προκύπτει ότι οι φυσικά πραγματοποιήσιμες συναρτήσεις αλυσίδας έχουν τις ακόλουθες ιδιότητες: και τα μηδενικά και οι πόλοι της συνάρτησης αλυσίδας είναι είτε πραγματικά είτε σχηματίζουν σύνθετα συζυγή ζεύγη. β το πραγματικό και το φανταστικό μέρος της συνάρτησης κυκλώματος είναι σε πραγματικές συχνότητες, αντίστοιχα, άρτιες και περιττές συναρτήσεις της συχνότητας. στα μηδενικά της κύριας ορίζουσας, και επομένως, η αντίσταση αγωγιμότητας και η αντίσταση αγωγιμότητας μετάδοσης δεν μπορούν να βρίσκονται στο δεξί ημιεπίπεδο, και πολλαπλά μηδενικά ούτε στο δεξιό ημιεπίπεδο ούτε στον άξονα της πραγματικής συχνότητας T 4

15 3 Μεταβατικά σε ενισχυτές Η επίλυση του συστήματος εξισώσεων του κυκλώματος δίνει μια εικόνα του σήματος εξόδου για μια δεδομένη είσοδο U = KE Η συνάρτηση του κυκλώματος στο πεδίο του χρόνου μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας τον αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace u L ( K E ) του το μεγαλύτερο ενδιαφέρον είναι διαδικασία μετάβασηςμε σήμα εισόδου σε μορφή βήματος Η αντίδραση του συστήματος σε ένα μόνο βήμα ονομάζεται συνάρτηση μετάβασης Γνωρίζοντας λειτουργία μετάβασης, μπορείτε να βρείτε την απόκριση του συστήματος στο σήμα εισόδου αυθαίρετου σχήματος ψέματα στα δεξιά του πόλου = Μεγάλο ενδιαφέρον παρουσιάζει ο ορισμός 3: h r K d K r r K r d d r r

16 4 Ας περάσουμε στο όριο r Τότε έχουμε d K V K K d K V h απόκριση συχνότηταςκέρδος Από αυτόν τον τύπο, μπορούμε να βγάλουμε κάποια γενικά συμπεράσματα Ας αντικαταστήσουμε τη μεταβλητή στο h με: d K V K h Αλλά h, όπως προκύπτει από την αρχή της αιτιότητας, αφού το σήμα εμφανίζεται στο φανταστικό μέρος: K = K + K r Αντικαθιστώντας το έκφραση για h, παίρνουμε d K K V K r Διαφοροποιώντας με σεβασμό, παίρνουμε d K K r ή cos sin sin cos d K K K K r r

17 Το φανταστικό μέρος του ολοκληρώματος είναι περιττή συνάρτηση της συχνότητας, επομένως το ολοκλήρωμα του είναι ίσο με μηδέν Εφόσον το πραγματικό μέρος είναι άρτια συνάρτηση της συχνότητας, η προϋπόθεση που πρέπει να πληροί ο συντελεστής μεταφοράς που έχει πραγματοποιηθεί φυσικά είναι: από την αρχή της αιτιότητας Μπορεί να αποδειχθεί ότι ένα σύστημα του οποίου ο συντελεστής μετάδοσης μπορεί να γραφτεί ως λόγος πολυωνύμων K, B είναι σταθερό με την έννοια ότι όλα τα μηδενικά του πολυωνύμου B βρίσκονται στο αριστερό μισό επίπεδο, ικανοποιεί την αρχή της αιτιότητας. μελετάμε το ολοκλήρωμα K h d για< и >Ας εισαγάγουμε δύο κλειστά περιγράμματα και το Β, που φαίνονται στο Σχήμα 3 Εικόνα 3 Περιγράμματα ολοκλήρωσης: στο< ; B при > 43

18 44 Ας εξετάσουμε μια συνάρτηση όπου το ολοκλήρωμα λαμβάνεται κατά μήκος ενός κλειστού περιγράμματος.Λόγω του ολοκληρωτικού θεωρήματος του Cauchy, το ολοκλήρωμα είναι ίσο με μηδέν, αφού το ολοκλήρωμα στο δεξιό ημιεπίπεδο είναι αναλυτικό από συνθήκη.Το ολοκλήρωμα μπορεί να γραφτεί ως ένα άθροισμα ολοκληρωμάτων σε μεμονωμένα τμήματα του περιγράμματος ολοκλήρωσης: sin cos R r R r R R d R R K r d r r K d K d K h< < /, то при < последний интеграл стремится к нулю при R т е h h при R Отсюда следует что h при < Рассмотрим функцию где интеграл берется по контуру B Здесь R вычеты подынтегральной функции относительно полюсов, лежащих в левой полуплоскости Аналогично предыдущему можно показать, что при >ισχύει h B h για R Έτσι: R h, για >

19 Το υπόλειμμα σε σχέση με έναν απλό πόλο είναι ίσο με R B" που είχαμε ήδη νωρίτερα K lim, 45 lim B όπου RC Ας αποδείξουμε ότι σύμφωνα με τη συνθήκη αιτιότητας που δίνεται παραπάνω, η ισότητα πρέπει να ικανοποιείται. Η ισότητα cos sin d cos Το d είναι γνωστό. Να διαφοροποιήσετε το δεξί και το αριστερό μέρος με: sin d Πολλαπλασιάζοντας το αριστερό και το δεξιό μέρος αυτής της ισότητας με, παίρνουμε: sin d από το οποίο προκύπτει η ισότητα που πρέπει να αποδειχθεί. Έχοντας τη συνάρτηση μετάβασης του συστήματος, μπορεί να βρει την απόκρισή του σε οποιοδήποτε σήμα εισόδου Για να γίνει αυτό, θα αναπαραστήσουμε περίπου το σήμα εισόδου ως άθροισμα μονάδων βημάτων Εικ. 34

20 Εικ 34 Παρουσίαση σήμα εισόδουΑυτή η αναπαράσταση μπορεί να γραφτεί ως: u u u Next, u u "Η απόκριση σε ένα βήμα μονάδας θα είναι ίση με h Επομένως, το σήμα εξόδου μπορεί να αναπαρασταθεί περίπου ως: u u h u" h Περνώντας στο όριο στο, αντί για το άθροισμα, λαμβάνουμε το ολοκλήρωμα u u h u" h d ανά μέρη, μπορείτε να πάρετε μια άλλη μορφή του ολοκληρώματος Duhamel: u u h u h" d Και τέλος, χρησιμοποιώντας την αλλαγή της μεταβλητής = ", μπορείτε να πάρετε δύο ακόμη μορφές του ολοκληρώματος Duhamel: u u h u" h d ; u u h u h" d 46

21 4 Μερικές ιδιότητες διπολικών κυκλωμάτων 4 Γενικές ιδιότητες της συνάρτησης αντίστασης αγωγιμότητας εισόδου Οι δύο ακροδέκτες χαρακτηρίζονται πλήρως από τη συνάρτηση της αντίστασης αγωγιμότητας εισόδου Αυτή η συνάρτηση δεν μπορεί να έχει μηδενικά στο δεξιό ημιεπίπεδο, καθώς και πολλαπλά μηδενικά στο ο άξονας της πραγματικής συχνότητας Εφόσον Y, τότε τα μηδενικά του Υ αντιστοιχούν στους πόλους και αντίστροφα. Επομένως, η συνάρτηση της αντίστασης αγωγιμότητας εισόδου δεν μπορεί επίσης να έχει πόλους στο δεξί ημιεπίπεδο και πολλαπλούς πόλους στον άξονα πραγματικής συχνότητας Παθητικά διπολικά δίκτυα είναι πάντα σταθερές, αφού δεν περιέχουν πηγές ενέργειας Η έκφραση για την αντίσταση αγωγιμότητας εισόδου είναι: m b n m n b m n 47 m n b b ισχύει η ακόλουθη ασυμπτωτική ισότητα: b m mn lizi = παρομοίως, μπορεί να φανεί ότι οι μικρότεροι εκθέτες του αριθμητή και του παρονομαστή δεν μπορούν να διαφέρουν κατά περισσότερο από ένα. Η φυσική σημασία αυτών των δηλώσεων είναι ότι σε πολύ υψηλές και πολύ χαμηλές συχνότητες, ένα παθητικό δίκτυο δύο τερματικών θα πρέπει να συμπεριφέρεται όπως χωρητικότητα ή επαγωγή ή ενεργή αντίσταση n, 4 Ενεργειακές συναρτήσεις δικτύου δύο ακροδεκτών Ας υποθέσουμε ότι ένα δίκτυο δύο τερματικών είναι κάποιο πολύπλοκο κύκλωμα που περιέχει ενεργές αντιστάσεις, χωρητικότητες και επαγωγείς.

Εάν εφαρμόζεται ημιτονοειδής τάση στους ακροδέκτες ενός δικτύου δύο ακροδεκτών, τότε κάποια ισχύς καταναλώνεται στο δίκτυο των δύο ακροδεκτών, η μέση τιμή της οποίας χαρακτηρίζει τη διασπορά ενέργειας P. Η ηλεκτρική και μαγνητική ενέργεια αποθηκεύονται σε χωρητικότητες και επαγωγές. οι μέσες τιμές των οποίων συμβολίζονται με W E και W H. Υπολογίζουμε αυτές τις ποσότητες χρησιμοποιώντας τις εξισώσεις των ρευμάτων βρόχου Απευθείας, γράφουμε τις εκφράσεις για τα παραπάνω μεγέθη κατ' αναλογία με τις απλούστερες περιπτώσεις. Άρα, για την αντίσταση R, η Η μέση κατανάλωση ισχύος είναι P R I I Ομοίως, για ένα κύκλωμα που περιέχει πολλούς κλάδους, μέση ισχύςμπορεί να εκφραστεί με βάση τα ρεύματα βρόχου: P i R i I i I Η μέση ενέργεια που αποθηκεύεται στην επαγωγή είναι W H L I I Για ένα σύνθετο κύκλωμα, αυτή η τιμή εκφράζεται σε ρεύματα βρόχου: W H 4 i L i I 4 I I C 48

23 Με βάση αυτή τη σχέση, μπορούμε να γράψουμε μια παράσταση για τη συνολική μέση ηλεκτρική ενέργεια: W E 4 Ii I i Ci Ας μάθουμε πώς σχετίζονται αυτά τα μεγέθη με τάσεις εισόδουκαι ρεύματα Για να γίνει αυτό, γράφουμε τις εξισώσεις των ρευμάτων βρόχου I R I L I E ; C I R i I Li I ; Ci Πολλαπλασιάστε καθεμία από τις εξισώσεις με το αντίστοιχο ρεύμα 49 Ii και προσθέστε όλα τα I Ii Ri I Ii Li I Ii EI i i i Ci Αν R i = R i ; L i = L i ; C i = C i, δηλαδή το κύκλωμα ικανοποιεί την αρχή της αμοιβαιότητας, και δεν υπάρχουν ενεργά στοιχεία, τότε: i i i R I I P ; i i L I I 4W ; i I I i E i Ci H 4 W συναρτήσεις

24 Το θεώρημα του Tellagen σάς επιτρέπει να βρείτε εκφράσεις για την αντίσταση και την αγωγιμότητα Y ως προς τις ενεργειακές συναρτήσεις: E I E I I I I I E Y E E 5 P WH W I P WH W E E είναι μηδέν μόνο εάν δεν υπάρχουν απώλειες ενέργειας στο κύκλωμα. Οι συνθήκες σταθερότητας απαιτούν και τα δύο να μην έχουν μηδενικά και Δεν υπάρχουν πόλοι στο δεξιό ημιεπίπεδο Η απουσία πόλων σημαίνει ότι το Y είναι επίσης αναλυτικές συναρτήσεις στο δεξιό ημιεπίπεδο Στη θεωρία των συναρτήσεων μιας μιγαδικής μεταβλητής, υπάρχει ένα θεώρημα ότι εάν μια συνάρτηση είναι αναλυτική σε μια συγκεκριμένη περιοχή , τότε τα πραγματικά και τα φανταστικά μέρη του φτάνουν τις μικρότερες και μεγαλύτερες τιμές τους στο όριο της περιοχής. Εφόσον οι συναρτήσεις της αντίστασης εισόδου και της αγωγιμότητας είναι αναλυτικές στο δεξί μισό επίπεδο, τότε το πραγματικό τους μέρος στο όριο αυτή η περιοχή στον άξονα της πραγματικής συχνότητας φτάνει τη μικρότερη τιμή Αλλά στον άξονα της πραγματικής συχνότητας το πραγματικό μέρος είναι μη αρνητικό, επομένως, είναι θετικό σε ολόκληρο το δεξί μισό επίπεδο. Επιπλέον, οι συναρτήσεις και το Y λαμβάνουν πραγματικές τιμές για πραγματικές τιμές, αφού αντιπροσωπεύουν το πηλίκο διαίρεσης πολυωνύμων με πραγματικούς συντελεστές Μια συνάρτηση που παίρνει πραγματικές τιμές σε πραγματικές τιμές και έχει θετικό πραγματικό μέρος στο δεξιό μισό επίπεδο ονομάζεται θετική πραγματική συνάρτηση. Η αντίσταση εισόδου και οι συναρτήσεις αγωγιμότητας είναι θετικές πραγματικές συναρτήσεις Η συνάρτηση ήταν θετική πραγματική συνάρτηση 3 Το φανταστικό μέρος στον άξονα της πραγματικής συχνότητας είναι ίσο με μηδέν εάν το δίκτυο των δύο τερματικών δεν περιέχει ενεργά στοιχεία ή τα μέσα αποθέματα μαγνητικού και E E .

25 ηλεκτρικές ενέργειες σε ένα δίκτυο δύο τερματικών είναι ίδιες.Αυτό λαμβάνει χώρα σε συντονισμό. Η συχνότητα στην οποία συμβαίνει αυτό ονομάζεται συχνότητα συντονισμού. Πρέπει να σημειωθεί ότι για την εξαγωγή των ενεργειακών σχέσεων για και Υ, χρησιμοποιήθηκε ουσιαστικά η ιδιότητα αμοιβαιότητας. απουσία εξαρτημένων πηγών. Για κυκλώματα που δεν ικανοποιούν την αρχή της αμοιβαιότητας και περιέχουν εξαρτώμενες πηγές, αυτός ο τύπος μπορεί να αποδειχθεί λανθασμένος. Για παράδειγμα, στο σχήμα 4 δείχνει ένα διάγραμμα ενός κυκλώματος συντονισμού σειράς. Ας δούμε τι δίνει ο τύπος ενέργειας σε αυτήν την απλούστερη περίπτωση. Η ισχύς που καταναλώνεται στην αντίσταση R όταν ρέει το ρεύμα I ισούται με P I R. Τα μέσα αποθέματα ηλεκτρικών και μαγνητικών ενεργειών είναι: W H L I C U ; W E Η τάση U κατά μήκος της χωρητικότητας όταν ρέει το ρεύμα I είναι επομένως W E I U C I C Αντικαθιστώντας την ενέργεια στον τύπο για, παίρνουμε L I I R I Σχήμα 4 κύκλωμα συντονισμού σειράς I C R L C όπως θα περίμενε κανείς για ένα κύκλωμα σειράς

26 Εδώ E C C S I S E R R RC RC C C Έστω, S >> C έτσι ώστε ο πρώτος όρος στις αγκύλες μπορεί να αγνοηθεί S είναι η κλίση της λάμπας Στη συνέχεια η αντίσταση εισόδου θα είναι S I E RC E RC I S S RC όπου Απαιτ. Leq S S στο κύκλωμα εξαρτημένης πηγής Παραλαβή στο κύκλωμα πλέγμα ελέγχουαπαιτούμενη μετατόπιση φάσης, είναι δυνατό να επιτευχθεί μια επαγωγική ή χωρητική μετατόπιση φάσης μεταξύ της τάσης και του ρεύματος στην είσοδο και, κατά συνέπεια, η επαγωγική ή χωρητική φύση των συχνοτήτων αντίστασης εισόδου Μπορεί να είναι ίση με μηδέν πανομοιότυπα για οποιεσδήποτε συχνότητες μόνο εάν Τα στοιχεία του κυκλώματος δεν έχουν απώλειες, δηλαδή είναι καθαρά αντιδραστικά, αλλά ακόμη και αν υπάρχουν απώλειες, το πραγματικό μέρος της αντίστασης ή της αγωγιμότητας μπορεί να εξαφανιστεί σε ορισμένες συχνότητες 5

27 Εάν δεν εξαφανιστεί πουθενά στον φανταστικό άξονα, τότε μια ορισμένη σταθερή τιμή μπορεί να αφαιρεθεί από τη συνάρτηση αντίστασης ή αγωγιμότητας χωρίς να παραβιάζονται οι συνθήκες της φυσικής σκοπιμότητας, έτσι ώστε το πραγματικό μέρος, παραμένοντας μη αρνητικό, να εξαφανίζεται σε μια ορισμένη συχνότητα. η συνάρτηση αντίστασης αγωγιμότητας δεν έχει πόλους στο δεξιό ημιεπίπεδο της μεταβλητής, δηλ. είναι αναλυτική σε αυτήν την περιοχή, τότε το πραγματικό της τμήμα έχει μια ελάχιστη τιμή στο όριο της, δηλαδή στον φανταστικό άξονα. Επομένως, αφαιρώντας αυτό το ελάχιστο Η τιμή αφήνει το πραγματικό μέρος θετικό στο δεξιό ημιεπίπεδο -ενεργή αντίσταση αγωγιμότητας, εάν το πραγματικό του τμήμα εξαφανιστεί στον άξονα της πραγματικής συχνότητας, έτσι ώστε η μείωση αυτής της συνιστώσας να είναι αδύνατη χωρίς παραβίαση των συνθηκών παθητικότητας. ένα ελάχιστα ενεργό κύκλωμα εξαφανίζεται, φτάνοντας ταυτόχρονα στο ελάχιστο, τότε το μηδέν του πραγματικού μέρους στον άξονα της πραγματικής συχνότητας έχει πολλαπλότητα τουλάχιστον τουλάχιστον. Παράδειγμα Το Σχήμα 43 δείχνει τα απλούστερα κυκλώματα που αναλύουμε για την ελάχιστη αντίσταση ενεργού αγωγιμότητας R C R C R L R C R C a b c d Σχήμα 43 Κυκλώματα: ελάχιστη ενεργή αγωγιμότητα a, ελάχιστη ενεργή αντίσταση b . c και μη ελάχιστα ενεργός τύπος d Στο Σχ. 43, α, το κύκλωμα έχει αντίσταση εισόδου μη ελάχιστα ενεργού τύπου, αφού το πραγματικό μέρος της αντίστασης δεν εξαφανίζεται σε καμία πραγματική συχνότητα. πραγματικό μέρος της αγωγιμότητας εξαφανίζεται στη συχνότητα = Επομένως, το κύκλωμα είναι ένα κύκλωμα ελάχιστα ενεργής αγωγιμότητας Στο Σχ. 43, β, το κύκλωμα είναι ένα κύκλωμα ελάχιστα ενεργής αντίστασης, αφού το πραγματικό μέρος της αντίστασης εξαφανίζεται σε άπειρη συχνότητα 53

28 Στο Σχ. 43, c είναι ένα κύκλωμα ελάχιστης ενεργής αντίστασης R = στη συχνότητα συντονισμού του κυκλώματος σειράς. Στο Σχ. 43, δ, το κύκλωμα είναι μη ελάχιστα ενεργό. Το κύκλωμα στο 3ο κύκλωμα έχει πεπερασμένη αντίσταση στη συχνότητα συντονισμού τέτοια δίκτυα δύο τερματικών υπό ορισμένες συνθήκες μπορεί να είναι ασταθή. Εξετάστε τις διαθέσιμες δυνατότητες εδώ. Η αντίσταση έχει μηδενικά στο δεξί μισό επίπεδο της μεταβλητής, αλλά δεν έχει πόλους εκεί. Τοποθετήστε εκθετικά αυξανόμενες λύσεις, δηλαδή δύο Πόλος Το nick είναι ασταθές όταν τροφοδοτείται από μια πηγή EMF ή, διαφορετικά, όταν οι ακροδέκτες του βραχυκυκλώνουν , δηλαδή ο άξονας της πραγματικής συχνότητας Αυτό το ελάχιστο είναι αρνητικό, γιατί διαφορετικά θα ήταν θετική πραγματική συνάρτηση και δεν θα μπορούσε να έχει μηδενικά στο δεξιό μισό επίπεδο Το ελάχιστο του πραγματικού τμήματος στον άξονα της πραγματικής συχνότητας μπορεί να μηδενιστεί προσθέτοντας μια θετική πραγματική αντίσταση. να είναι σταθερό σε περίπτωση βραχυκυκλώματος.

29 Η αγωγιμότητα Y έχει μηδενικά στο δεξί ημιεπίπεδο, αλλά δεν έχει πόλους εκεί. Αυτή είναι η αντίθετη περίπτωση με την προηγούμενη, αφού σημαίνει ότι το = /Y έχει πόλους στο δεξί ημιεπίπεδο, αλλά δεν έχει μηδενικά εκεί. Σε αυτή την περίπτωση, η ευστάθεια διερευνάται στο κύκλωμα με πηγή ρεύματος Εικ. 45, a Εάν το Υ έχει μηδενικά στο δεξί ημιεπίπεδο, τότε το δίκτυο των δύο τερματικών είναι ασταθές στο ρελαντί. Επιπλέον, μπορεί να εφαρμοστεί ο παραπάνω συλλογισμός Εφόσον το Y δεν έχει πόλους στο δεξιό ημιεπίπεδο, τότε η συνάρτηση Y μπορεί να γίνει πραγματική θετική συνάρτηση προσθέτοντας μια θετική πραγματική αγωγιμότητα G Gmin Έτσι, ένα δίκτυο δύο τερματικών, στο οποίο η αγωγιμότητα Y έχει μηδενικά στο δεξιό ημιεπίπεδο, αλλά δεν έχει πόλους εκεί, μπορεί να γίνει σταθερό προσθέτοντας μια αρκετά μεγάλη πραγματική αγωγιμότητα. από την πηγή τάσης 3 Η συνάρτηση έχει μηδενικά και πόλους στο δεξιό ημιεπίπεδο Σε αυτήν την περίπτωση, για Η επίλυση του ζητήματος της σταθερότητας απαιτεί ιδιαίτερη προσοχή.Έτσι, μπορούμε να συναγάγουμε τα ακόλουθα συμπεράσματα: εάν ένα ενεργό δίκτυο δύο τερματικών είναι σταθερό όταν τροφοδοτείται από μια πηγή ρεύματος, δεν έχει πόλους στο δεξιό μισό επίπεδο, τότε μπορεί να είναι γίνεται σταθερό όταν τροφοδοτείται από πηγή τάσης συνδέοντας σε σειρά κάποια θετική αντίσταση υλικού. εάν ένα ενεργό δίκτυο δύο τερματικών είναι σταθερό όταν τροφοδοτείται από μια πηγή τάσης Υ δεν έχει πόλους στο δεξί μισό επίπεδο, τότε μπορεί να γίνει σταθερό όταν τροφοδοτείται από μια πηγή ρεύματος συνδέοντας μια αρκετά μεγάλη πραγματική αγωγιμότητα παράλληλα. Παράδειγμα Θεωρήστε μια παράλληλη σύνδεση αρνητικής αντίστασης R με χωρητικότητα C εικ. 46 R C R C I 55 Y b G Σχ. 45 Δίκτυα δύο τερματικών: a με πηγή ρεύματος. b με προσθήκη αγωγιμότητας Y Y Εικ. 46 Δίκτυο δύο ακροδεκτών με αρνητική αντίσταση I

30 Όπως μπορείτε να δείτε, δεν έχει μηδενικά στο δεξιό μισό επίπεδο, επομένως ένα τέτοιο κύκλωμα είναι σταθερό όταν τροφοδοτείται από μια πηγή τάσης, αλλά είναι ασταθές στο ρελαντί Ας προσθέσουμε την αυτεπαγωγή L σε σειρά Στη συνέχεια, Εικ. 47 Ισοδύναμο κύκλωμα της σήραγγας δίοδος R R L LCR L RC RC Αυτή η συνάρτηση έχει μηδενικά στο δεξί ημιεπίπεδο: , RC 4 RC LC Επομένως, το κύκλωμα είναι ασταθές όταν τροφοδοτείται από μια πηγή τάσης, αλλά έχει επίσης έναν πόλο στο δεξιό μισό επίπεδο Ας προσπαθήσουμε να κάνουμε είναι σταθερό προσθέτοντας κάποια αντίσταση R σε σειρά Εικόνα 47 Στη συνέχεια R LCR RRC L R R L R RC RC Η συνθήκη σταθερότητας είναι η απουσία μηδενικών του αριθμητή στο δεξιό μισό επίπεδο Για να γίνει αυτό, όλοι οι συντελεστές του τριωνύμου στον αριθμητή πρέπει να είναι θετικοί : RR C L ; R R Αυτές οι δύο ανισότητες μπορούν να γραφτούν ως: L CR R R Προφανώς, τέτοιες ανισότητες είναι δυνατές εάν L L R ή R RC C R υπό την συνθήκη R Το κύκλωμα στο Σχ. 47 είναι το ισοδύναμο κύκλωμα διόδου σήραγγας C. Επομένως, η συνθήκη που βρέθηκε είναι η συνθήκη 56

Εικ. 48 Ας βρούμε τις συνθήκες για τη σταθερότητα του κυκλώματος στο ρελαντί Για να γίνει αυτό, υπολογίστε την αγωγιμότητα: Y R R C L 57 LC L R L o th R ή R > R o Όταν εκπληρωθεί η αντίστροφη ανισότητα, διεγείρονται οι αυτοταλαντώσεις σε το κύκλωμα στη συχνότητα του κυκλώματος συντονισμού ορισμένα όρια χωρίς παραβίαση των συνθηκών παθητικότητας Φυσικά, αυτή η αλλαγή στην πραγματική συνιστώσα με μια σταθερή τιμή σημαίνει την προσθήκη ή τον αποκλεισμό πραγματικής ενεργού αντίστασης, ιδανικά ανεξάρτητη από τη συχνότητα Αλλαγή στην αντιδραστική συνιστώσα του η συνάρτηση αντίστασης n Η αγωγιμότητα με σταθερή τιμή είναι απαράδεκτη, καθώς αυτό παραβιάζει τους όρους της φυσικής σκοπιμότητας· είναι δυνατό στην περίπτωση που η αντίσταση αγωγιμότητας έχει πόλους στον πραγματικό άξονα συχνότητας Λόγω των συνθηκών φυσικής εφικτότητας, αυτοί οι πόλοι πρέπει να είναι απλοί και σύνθετοι συζυγείς

32 Έστω η αντίσταση να έχει πόλους σε συχνότητες Τότε μπορούμε να διακρίνουμε απλά κλάσματα M N B B Είναι εύκολο να δούμε ότι N N M M N r M B r 58 B * M, M M πρόσημο, το οποίο έρχεται σε αντίθεση με τις συνθήκες της φυσικής πραγματοποίησης Επομένως, M r = N r = Τότε M = N Επιπλέον, μπορεί να φανεί ότι M = N > Πράγματι, θέτουμε = +, και > Τότε το κλάσμα παίρνει την τιμή M/, η οποία πρέπει να είναι μεγαλύτερη από το μηδέν, αφού το κλάσμα πρέπει να είναι μια πραγματική θετική συνάρτηση στο δεξιό ημιεπίπεδο Άρα, M = N > Έτσι, εάν έχει μιγαδικούς συζυγείς πόλους στον άξονα της πραγματικής συχνότητας, τότε μπορεί να αναπαρασταθεί ως: M M, B και ικανοποιεί τις συνθήκες φυσικής σκοπιμότητας, εάν ικανοποιούνται Real , δεν έχει πόλους στο δεξί ημιεπίπεδο, αφού δεν έχει πόλους εκεί. Επομένως, είναι μια αναλυτική συνάρτηση στο δεξί ημιεπίπεδο. Από την άλλη πλευρά, ο πρώτος όρος παίρνει Οι άξονες των πραγματικών συχνοτήτων είναι καθαρά φανταστικές τιμές Ως εκ τούτου, και έχουν τα ίδια πραγματικά μέρη στους άξονες των πραγματικών συχνοτήτων Η επιλογή του πρώτου όρου δεν επηρεάζει το πραγματικό μέρος στους άξονες των πραγματικών συχνοτήτων. Συνεπάγεται ότι είναι επίσης μια θετική συνάρτηση του r στο δεξιό ημιεπίπεδο

33 Επιπλέον, παίρνει πραγματικές πραγματικές τιμές​​στο δεξιό ημιεπίπεδο σε πραγματικές τιμές Επομένως, είναι μια πραγματική θετική συνάρτηση M Η ​​αντίσταση έχει ένα παράλληλο κύκλωμα συντονισμού χωρίς απώλειες: L C C C, L C LC με LC και M C Παρόμοια Ο συλλογισμός μπορεί να πραγματοποιηθεί για τη συνάρτηση αγωγιμότητας Y, η οποία έχει πόλους σε σημεία ± : M " Y, Y M " όπου η έκφραση είναι η αγωγιμότητα του κυκλώματος συντονισμού σειράς: Y C L L C L e αντιστοιχεί σε χωρητικότητα ή επαγωγή Η ακόλουθη πρόταση είναι αληθής

34 αφαιρέστε από αυτήν την αντίσταση αγωγιμότητας που αντιστοιχεί στους πόλους που βρίσκονται στον άξονα της πραγματικής συχνότητας.Η αντίσταση αγωγιμότητας, στην οποία όλοι οι πόλοι αφαιρούνται με αυτόν τον τρόπο, ονομάζεται αντίσταση αγωγιμότητας του ελάχιστου αντιδραστικού τύπου πόλοι αντίστασης και αγωγιμότητας σε οποιαδήποτε πραγματικές συχνότητες Η παρουσία τέτοιων πόλων θα σήμαινε την πιθανότητα ύπαρξης ελεύθερων ταλαντώσεων σε αυτούς χωρίς απόσβεση Αλλά σε πολλές περιπτώσεις, με μια καλή προσέγγιση, οι απώλειες σε αντιδρώντα στοιχεία μπορούν να αγνοηθούν. οι απώλειες μπορεί μερικές φορές να παραμεληθούν Είναι ενδιαφέρον να μάθουμε τις ιδιότητες των κυκλωμάτων χωρίς απώλειες και επίσης να ανακαλύψουμε υπό ποιες συνθήκες είναι δυνατόν να παραμεληθούν οι απώλειες Υποθέστε ότι όλα τα στοιχεία του κυκλώματος είναι καθαρά αντιδραστικά Είναι εύκολο να δείξουμε ότι σε αυτή την περίπτωση, στον άξονα των πραγματικών συχνοτήτων, η αντίσταση και η αγωγιμότητα Y λαμβάνουν φανταστικές τιμές. Πράγματι, σε αυτήν την περίπτωση, η απώλεια ισχύος είναι μηδέν, επομένως: W I 6 H WE W Y E WE ; Εφόσον το φανταστικό μέρος της αντίστασης ή της αγωγιμότητας είναι περιττή συνάρτηση του κυκλώματος, τότε σε αυτήν την περίπτωση = Επομένως, και στη γενικότερη περίπτωση = Οι συνθήκες φυσικής σκοπιμότητας απαιτούν να μην έχει μηδενικά και πόλους στο δεξιό μισό- επίπεδο Αλλά αφού =, τότε επίσης δεν πρέπει να υπάρχουν μηδενικά και πόλοι στο αριστερό ημιεπίπεδο Επομένως H

35 συναρτήσεις και το Υ μπορούν να έχουν μηδενικά και πόλους μόνο στον άξονα της πραγματικής συχνότητας. Φυσικά, αυτό είναι κατανοητό, αφού σε ένα κύκλωμα χωρίς απώλειες δωρεάν δονήσειςδεν αποσυντίθεται Συνεπάγεται ότι χρησιμοποιώντας τη μέθοδο επιλογής πόλων που βρίσκονται στον άξονα των πραγματικών συχνοτήτων, είναι δυνατό να μειωθούν οι συναρτήσεις και το Y στην ακόλουθη μορφή: b n b n b Y Σχήμα 49 Η πρώτη μορφή του Foster Κατά συνέπεια, το Y μπορεί να αναπαρασταθεί ως η -η μορφή Foster. Ο άξονας μπορεί να είναι μόνο απλός, τότε κοντά στο μηδέν η συνάρτηση μπορεί να αναπαρασταθεί με τη μορφή M o, όπου o είναι μια τιμή υψηλότερης τάξης μικρότητας σε σύγκριση με το . Κοντά στο δεξί ημιεπίπεδο, η πραγματική τιμή πρέπει να είναι θετική, και αυτό είναι δυνατό μόνο αν το Μ είναι πραγματικό

36 τιμή, και M > Επομένως, κοντά στο μηδέν = η φανταστική συνιστώσα μπορεί να αλλάξει μόνο με μια θετική παράγωγο, αλλάζοντας το πρόσημο από σε "+" Επιπλέον, θα φανεί ότι για ένα κύκλωμα που αποτελείται από καθαρά αντιδραστικά στοιχεία, η υποδεικνυόμενη παράγωγος είναι θετικό για οποιεσδήποτε συχνότητες. Επομένως, μεταξύ δύο γειτονικών μηδενικών πρέπει να υπάρχει μια ασυνέχεια, η οποία για κυκλώματα με ομαδοποιημένα στοιχεία μπορεί να είναι μόνο ένας πόλος. Όλα τα παραπάνω ισχύουν και για την αγωγιμότητα Y Τα μηδενικά ονομάζονται σημεία συντονισμού, οι πόλοι είναι σημεία αντισυντονισμού Επομένως, Οι συντονισμοί εναλλάσσονται πάντα με τους αντισυντονισμούς Για την αγωγιμότητα Y, οι συντονισμοί αντιστοιχούν σε πόλους και οι αντισυντονισμοί σε μηδενικά Είναι εύκολο να δούμε ότι τόσο σε σημεία συντονισμού όσο και σε σημεία αντισυντονισμού, τα μέσα αποθέματα ηλεκτρικής και μαγνητικής ενέργειας είναι ίσα μεταξύ τους. σημεία συντονισμού =, t e W H W E = Στα σημεία αντισυντονισμού Y =, επομένως, W E W H = απώλειες, λαμβάνουν χώρα οι ακόλουθοι τύποι, δίνω dx WH W d I db WH WE d E Ας εξετάσουμε τον ορισμό της αντίστασης E I 6 E ; Έστω E = cons Διαφοροποιείται ως προς τη συχνότητα: d E di d I d Υποθέτουμε ότι το E είναι μια πραγματική τιμή Τότε για ένα κύκλωμα χωρίς απώλειες I είναι μια καθαρά φανταστική τιμή Σε αυτή την περίπτωση d E d I di d I και

37 Ας στραφούμε τώρα στο σύστημα εξισώσεων για τα ρεύματα βρόχου n 4: I Li I Ei, i, n C Υποθέτοντας ότι μόνο E, πολλαπλασιάζουμε καθεμία από τις εξισώσεις με και προσθέτουμε όλες τις εξισώσεις: i, i I di i Li I di i E di, i, C i, Στη συνέχεια, στραφούμε στη σχέση που προκύπτει επίσης στην παράγραφο 4 για κυκλώματα χωρίς απώλειες: i, L i I Ii i i, I I C i E i, Ci i, I di di I L di I E di C i i i i, i i, i, i di I di I L di I L di I n i i i i i, i, Ci i, i, Ci E di E di, αφού το Ε είναι κατά την υπόθεση πραγματική τιμή Από τα παραπάνω προκύπτει επίσης ότι: i, L I i di i i, IdI C i i E di di i 63

38 Αντικαθιστώντας στο συνολικό άθροισμα παίρνουμε: d i, L i I Ii i, I I C i E di E Μειώνοντας παρόμοιους όρους αριστερά και δεξιά, βρίσκουμε: di I Ii E di d Li I Ii i, i, Ci E. Η έκφραση σε αγκύλες, όπως βρέθηκε στην Ενότητα 4, είναι ίση με i, L i I Ii i, Ii I C i 4 W H W E di E WE Από αυτούς τους τύπους προκύπτει ότι με αυξανόμενη συχνότητα, η αντίσταση και η αγωγιμότητα ενός κυκλώματος καθαρά Τα αντιδραστικά στοιχεία μπορούν μόνο να αυξηθούν 4 Τέλος, θα προσπαθήσουμε να μάθουμε πώς η παρουσία μικρών απωλειών επηρεάζει την αντίσταση ενός κυκλώματος που αποτελείται από αντιδραστικά στοιχεία. Όταν εισάγονται απώλειες, εμφανίζεται η εξασθένηση. Θα εξετάσουμε μικρές απώλειες που προκαλούν χαμηλή εξασθένηση που ικανοποιεί ο όρος /<<, <, где = + -й полюс сопротивления Это означает, что полюсы и нули сопротивления смещаются с оси вещественных частот на малую величину затухания H E 64

39 Η εξασθένηση μπορεί να είναι διαφορετική για διαφορετικούς πόλους Επομένως, συνιστάται να λάβετε υπόψη τη συμπεριφορά της συνάρτησης αντίστασης κοντά σε έναν από τους πόλους. Η μετατόπιση του πόλου κατά ένα ποσό προς τα αριστερά μπορεί να εμφανιστεί αντικαθιστώντας τη συνάρτηση της μεταβλητής με + Στη συνέχεια, κοντά στον στύλο, θα έχουμε

40 Δεδομένου ότι μας ενδιαφέρουν οι τιμές στον άξονα της πραγματικής συχνότητας, θα πρέπει να αντικατασταθεί από τον αριθμητή μπορεί να απορριφθεί, μικρός σε σύγκριση με την συνθήκη: Αυτή η έκφραση μπορεί να μετατραπεί ως εξής:, Qx "where; Q x η τιμή του x ονομάζεται σχετικός αποσυντονισμός Κοντά στον συντονισμό Επιπλέον, έχουμε: Την τιμή C x Q Q , Q Q C C ονομάζεται χαρακτηριστική σύνθετη αντίσταση του κυκλώματος συντονισμού Εξετάστε πώς τα πραγματικά και φανταστικά μέρη της αντίστασης κοντά στο ο συντονισμός εξαρτάται από τη συχνότητα: Q Q x R, Im Q x Q x 66

41 Κοντά στον συντονισμό, το Im αυξάνεται, αλλά στον συντονισμό διέρχεται από το μηδέν με αρνητική παράγωγο Το πραγματικό μέρος του R σε συντονισμό έχει μέγιστο Οι γραφικές παραστάσεις των Im και R ανάλογα με τη συχνότητα φαίνονται στο Σχ. 4 Σημειώστε ότι R dx Q Q x dx, δηλαδή δεν εξαρτάται από τον παράγοντα ποιότητας Διαφορετικά, η περιοχή κάτω από την καμπύλη συντονισμού R δεν εξαρτάται από τον παράγοντα ποιότητας Καθώς αυξάνεται ο παράγοντας ποιότητας, το πλάτος της καμπύλης μειώνεται, αλλά το ύψος αυξάνεται, έτσι ώστε η περιοχή να παραμένει αμετάβλητο Qx >>, το πραγματικό μέρος μειώνεται γρήγορα και το φανταστικό μέρος είναι ίσο με Im x 67, δηλ. αλλάζει με τον ίδιο τρόπο όπως στην περίπτωση ενός κυκλώματος χωρίς απώλειες

42 Έτσι, η εξάρτηση από τη συχνότητα κατά την εισαγωγή μικρών απωλειών αλλάζει ελάχιστα σε συχνότητες που απέχουν πολύ από τη συχνότητα συντονισμού κατά μια τιμή \u003e\u003e\u003e\u003e\u003e\u003e\u003e\u003e Κοντά στη συχνότητα, η πορεία αλλάζει σημαντικά gq Y, Qx g χαρακτηριστική αγωγιμότητα. Το L x Μηδέν αντιστοιχεί στον πόλο αγωγιμότητας Y Σχεδόν μηδέν, επομένως, η αντίσταση μπορεί να αναπαρασταθεί στον πραγματικό άξονα συχνότητας ως εξής: Qx x, Y gq Q όπου = /g Έτσι, κοντά στο μηδέν, η εισαγωγή μικρών απωλειών επηρεάζει την εμφάνιση μιας μικρής πραγματικής συνιστώσας στην αντίσταση Η φανταστική συνιστώσα ποικίλλει κοντά στο μηδέν με τον ίδιο τρόπο όπως πριν από το 68

43 5 Τετραπόλοι 5 Βασικές εξισώσεις τετραπόλου Ένα τετράπολο είναι ένα κύκλωμα που έχει δύο ζεύγη ακροδεκτών: μια είσοδο στην οποία είναι συνδεδεμένη η πηγή σήματος και μια έξοδο στην οποία είναι συνδεδεμένο το φορτίο. αντίσταση μετάδοσης Υπό αυτές τις συνθήκες, η αντίσταση του η πηγή σήματος n και η αντίσταση φορτίου n περιλαμβάνονται στο T. Όταν αλλάζουν, αλλάζει και το T. Είναι επιθυμητό να υπάρχουν εξισώσεις και παράμετροι που χαρακτηρίζουν το ίδιο το τετραπόλο. Ο συντελεστής είναι το αντίστροφο της αγωγιμότητας μεταφοράς στο ρελαντί στο ζεύγος εξόδου από σφιγκτήρες: 69 I I ; Εικ. 5 Ενεργοποίηση του τετραπόλου I Εδώ, U και U είναι οι τάσεις στους ακροδέκτες εισόδου και εξόδου, I και I είναι τα ρεύματα που διαρρέουν τους ακροδέκτες εισόδου και εξόδου προς τον τετράπολο, βλ. Εικ. 5 Οι συντελεστές του συστήματος Οι εξισώσεις που σχετίζονται με τις τάσεις και τα ρεύματα έχουν απλή σημασία: I και U στο ρεύμα στους ακροδέκτες εξόδου I =, δηλαδή χωρίς φορτίο στους ακροδέκτες εξόδου. με άλλα λόγια, αυτή είναι η αντίσταση εισόδου στο ρελαντί στην έξοδο = x Ομοίως, αυτή είναι η αντίσταση εισόδου από την πλευρά των ακροδεκτών εξόδου στο ρελαντί στο πρώτο ζεύγος ακροδεκτών = x ακροδέκτες εισόδου ρεύματος U και I Y T x Y T x

44 I U ; Y Tx Y Tx YT x I U x I YT x I, δεδομένου ότι το ρεύμα σε αυτή την περίπτωση κατευθύνεται από το τετράπολο, δηλαδή προς την αντίθετη κατεύθυνση σε σύγκριση με αυτή που υιοθετήθηκε παραπάνω Αντικαθιστώντας το U στη δεύτερη εξίσωση, παίρνουμε από όπου I, I n I x I YTx I Y x Tx Αντικαθιστώντας το I στην πρώτη εξίσωση, παίρνουμε U I x Y Tx n Από εδώ βρίσκουμε την αντίσταση εισόδου σε n x U x I Y Κατ' αναλογία, μπορούμε επίσης να γράψουμε την έκφραση για την αντίσταση εξόδου ανταλλάσσοντας τους δείκτες και : T x n x 7

45 out х Y T х н х 5 Χαρακτηριστικές παράμετροι του δικτύου δύο θυρών Σημαντικό ενδιαφέρον είναι η περίπτωση όταν η γεννήτρια και το φορτίο ταιριάζουν ταυτόχρονα, δηλαδή όταν n = c και n = c, η σχέση in = c και out = c λαμβάνει χώρα Αντικαθιστώντας τις εκφράσεις για in και out , λαμβάνουμε εξισώσεις που μας επιτρέπουν να βρούμε c και c: c c x x Y T x Y T x 7 c c Αυτό το σύστημα λύνεται ως εξής Από την πρώτη εξίσωση βρίσκουμε: από όπου c c x x; x, Y Tx c x x Y T x Εξισώνοντας το c από τη δεύτερη εξίσωση, έχουμε x Y Tx x YTx x c x kz c x kz x

46 Σημειώστε ότι τα kz και kz είναι αντιστάσεις εισόδου από την πλευρά του πρώτου και του δεύτερου ζεύγους ακροδεκτών, αντίστοιχα, σε περίπτωση βραχυκυκλώματος στο άλλο ζεύγος ακροδεκτών Ένα φορτίο ίσο με τη χαρακτηριστική σύνθετη αντίσταση c ονομάζεται αντιστοιχισμένο. των τετραπόλων που συνδέονται με αυτόν τον τρόπο, η αντιστοίχιση διατηρείται σε οποιοδήποτε τμήμα. Ως τρίτη χαρακτηριστική παράμετρος ενός τετραπόλου, ο χαρακτηριστικός συντελεστής μεταφοράς g ln U U I ln rg I U I 7 U I χρησιμοποιείται συχνά όταν το τετράπολο συνδέεται με ένα αντίστοιχο φορτίο, δηλ. η χαρακτηριστική σύνθετη αντίσταση Σε αυτή την περίπτωση, U c I; U I c I c ln I c U c g ln U λάβετε επίσης τις αναλογίες: I g I ; U c g U U U I I

47 Ο χαρακτηριστικός συντελεστής μεταφοράς είναι βολικός στο ότι με μια συντονισμένη διαδοχική σύνδεση δικτύων τεσσάρων τερματικών, ο συντελεστής μεταφοράς που προκύπτει είναι ίσος με το άθροισμα των συντελεστών μετάδοσης μεμονωμένων δικτύων τεσσάρων τερματικών. Ο χαρακτηριστικός συντελεστής μεταφοράς μπορεί να βρεθεί από τις σχέσεις : Οι χαρακτηριστικές σύνθετες αντιστάσεις c και c, μιλώντας γενικά, εξαρτώνται από τη συχνότητα. Επομένως, η χρήση χαρακτηριστικών παραμέτρων δεν είναι πάντα βολική για την αναπαράσταση της αντίστασης μετάδοσης T. Επομένως, για να μελετηθεί ο χαρακτηριστικός συντελεστής g ανάλογα με τη συχνότητα, είναι απαραίτητο για να φορτώσετε το τετράπλευρο στη χαρακτηριστική σύνθετη αντίσταση, η οποία εξαρτάται επίσης από τη συχνότητα Η πιο ενδιαφέρουσα σύνδεση είναι η τετραπολική σε σταθερό πραγματικό φορτίο R με μια καθαρά ενεργή αντίσταση της γεννήτριας R Εικ. 53 Σε αυτή την περίπτωση, η μετάδοση προσδιορίζεται χρησιμοποιώντας το συντελεστής μετάδοσης λειτουργίας U I ln, U I όπου το U "and I". δηλαδή και ρεύμα που μπορεί να αναπτύξει η γεννήτρια σε αντίσταση ίση με την εσωτερική αντίσταση της γεννήτριας, δηλαδή: E U, I E, R 73 E U I, 4R U και I τάση και ρεύμα φορτίου Σε αυτή την περίπτωση, U \u003d I R Αντικατάσταση , παίρνουμε για τον συντελεστή μεταφοράς εργασίας ln Από εδώ παίρνουμε 4R E R I ln E R R T I R R

48 Η τιμή της συνάρτησης μιγαδικής μεταβλητής Για πραγματικές συχνότητες = : = + B, όπου η εξασθένηση λειτουργίας, B είναι η σταθερά φάσης που εκχωρείται στο φορτίο R P mx E P I R 4R Ας δείξουμε ότι η πραγματική θετική συνάρτηση Πράγματι, αφού το T έχει δεν υπάρχουν μηδενικά στο δεξί ημιεπίπεδο, η συνάρτηση είναι αναλυτική στο δεξιό ημιεπίπεδο Επομένως, η αναλυτική συνάρτηση ανάλογη με αυτήν είναι επίσης αναλυτική στο δεξιό ημιεπίπεδο. Ο συντελεστής της αναλυτικής συνάρτησης φτάνει τη μέγιστη τιμή της στο όριο του η αναλυτικότητα τομέα, σε αυτήν την περίπτωση στον άξονα της πραγματικής συχνότητας Η αμοιβαία τιμή φτάνει τη μικρότερη τιμή σε αυτόν τον άξονα Για ένα παθητικό τετράπολο στον άξονα της πραγματικής συχνότητας, επομένως R > σε ολόκληρο το δεξιό ημιεπίπεδο Επόμενο T ln 4R R Η συνάρτηση T είναι το πηλίκο της διαίρεσης δύο πολυωνύμων με πραγματικούς συντελεστές, και το T παίρνει πραγματικό θετικό e τιμές για πραγματικές Επομένως, επίσης πραγματικές για πραγματικές τιμές Έτσι, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι μια πραγματική θετική συνάρτηση

4.11. Ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace. 1) Αντιστοιχία ένα προς ένα: s(S ˆ(2) Γραμμικότητα του μετασχηματισμού Laplace: s ˆ () ˆ 1(s2(S1 S2( και επίσης 3) Αναλυτικότητα του S ˆ() : αν το s(ικανοποιεί

4 Διάλεξη 5 ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΥΝΑΜΙΚΩΝ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ Σχέδιο Εξισώσεις κατάστασης ηλεκτρικών κυκλωμάτων Αλγόριθμος σχηματισμού εξισώσεων κατάστασης 3 Παραδείγματα σύνταξης εξισώσεων κατάστασης 4 Συμπεράσματα Εξισώσεις κατάστασης ηλεκτρικού

4. Ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace.) Αντιστοιχία ένα προς ένα: S ˆ() 2) Γραμμικότητα του μετασχηματισμού Laplace: s (s () ˆ () ˆ 2 S S2(), και 3) Αναλυτικότητα του S ˆ () : εάν ικανοποιεί την προϋπόθεση

64 Διάλεξη 6 ΜΕΘΟΔΟΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΤΟΥ ΧΕΙΡΙΣΤΗ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ Σχέδιο μετασχηματισμού Laplace Ιδιότητες μετασχηματισμού Laplace 3 Μέθοδος χειριστή ανάλυσης ηλεκτρικών κυκλωμάτων 4 Ορισμός του πρωτοτύπου από τα γνωστά

2.2. Μέθοδος χειριστή για τον υπολογισμό των μεταβατικών διεργασιών. Θεωρητικές πληροφορίες. Ο υπολογισμός των μεταβατικών διεργασιών σε πολύπλοκα κυκλώματα με την κλασική μέθοδο είναι πολύ συχνά δύσκολο να βρεθούν οι σταθερές ολοκλήρωσης.

70 Διάλεξη 7 ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΕΣ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ ΧΕΙΡΙΣΤΗ Σχέδιο συναρτήσεις εισόδου και μεταφοράς χειριστή Πόλοι και μηδενικά συναρτήσεων κυκλωμάτων 3 Συμπεράσματα Λειτουργίες εισόδου και μεταφοράς χειριστή Η συνάρτηση χειριστή ενός κυκλώματος ονομάζεται

Ημιτονοειδή ρεύμα «στην παλάμη του χεριού σας» Το μεγαλύτερο μέρος της ηλεκτρικής ενέργειας παράγεται με τη μορφή EMF, το οποίο ποικίλλει χρονικά σύμφωνα με το νόμο μιας αρμονικής (ημιτονοειδούς) συνάρτησης. Οι αρμονικές πηγές EMF είναι

4 Διάλεξη ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ ΣΥΝΤΟΝΙΣΜΟΥ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ Συντονισμός και η σημασία του στη ραδιοηλεκτρονική Σύνθετες συναρτήσεις μεταφοράς 3 Χαρακτηριστικά λογαριθμικής συχνότητας 4 Συμπεράσματα Συντονισμός και

Μεταβατικές διεργασίες «στην παλάμη του χεριού σας». Γνωρίζετε ήδη τις μεθόδους υπολογισμού ενός κυκλώματος που βρίσκεται σε σταθερή κατάσταση, δηλαδή σε ένα κύκλωμα όπου τα ρεύματα, καθώς και οι πτώσεις τάσης σε μεμονωμένα στοιχεία, παραμένουν αμετάβλητα στο χρόνο.

Αντήχηση στην παλάμη του χεριού σας. Ο συντονισμός είναι ο τρόπος ενός παθητικού δικτύου δύο τερματικών που περιέχει επαγωγικά και χωρητικά στοιχεία, στο οποίο η αντίδρασή του είναι μηδέν. Κατάσταση συντονισμού

Εξαναγκαστικοί ηλεκτρικοί κραδασμοί. Εναλλασσόμενο ρεύμα Εξετάστε τις ηλεκτρικές ταλαντώσεις που συμβαίνουν όταν υπάρχει μια γεννήτρια στο κύκλωμα, της οποίας η ηλεκτροκινητική δύναμη αλλάζει περιοδικά.

Κεφάλαιο 3 Εναλλασσόμενο ρεύμα Θεωρητικές πληροφορίες Το μεγαλύτερο μέρος της ηλεκτρικής ενέργειας παράγεται με τη μορφή EMF, το οποίο ποικίλλει με την πάροδο του χρόνου σύμφωνα με το νόμο μιας αρμονικής (ημιτονοειδούς) συνάρτησης

Διάλεξη 3. Εκπτώσεις. Το θεώρημα του κύριου υπολείμματος Το υπόλειμμα της συνάρτησης f () σε ένα απομονωμένο ενικό σημείο a είναι ένας μιγαδικός αριθμός ίσος με την τιμή του ολοκληρώματος f () 2 που λαμβάνεται στη θετική κατεύθυνση i κατά μήκος του κύκλου

Ηλεκτρομαγνητικές ταλαντώσεις Οιονεί στάσιμα ρεύματα Διεργασίες σε ένα ταλαντευόμενο κύκλωμα Ένα κύκλωμα ταλάντωσης είναι ένα κύκλωμα που αποτελείται από έναν επαγωγέα συνδεδεμένο σε σειρά, έναν πυκνωτή χωρητικότητας C και μια αντίσταση

1 5 Ηλεκτρικές ταλαντώσεις 51 Ταλαντούμενο κύκλωμα Στη φυσική, ταλαντώσεις ονομάζονται όχι μόνο περιοδικές κινήσεις σωμάτων, αλλά και κάθε περιοδική ή σχεδόν περιοδική διεργασία στην οποία οι τιμές ενός ή περισσότερων

Παθητικά κυκλώματα Εισαγωγή Τα προβλήματα εξετάζουν τον υπολογισμό των χαρακτηριστικών πλάτους-συχνότητας, φάσης-συχνότητας και μεταβατικών χαρακτηριστικών σε παθητικά κυκλώματα. Για να υπολογίσετε αυτά τα χαρακτηριστικά, πρέπει να γνωρίζετε

ΜΕΛΕΤΗ ΕΛΕΥΘΕΡΩΝ ΚΑΙ ΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΩΝ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ ΣΕ ΤΑΛΑΝΤΩΤΙΚΟ ΚΥΚΛΩΜΑ Ελεύθερες ηλεκτρικές ταλαντώσεις σε ταλαντούμενο κύκλωμα

Διάλεξη 3 Θέμα Ταλαντωτικά συστήματα Διαδοχικό παλμικό κύκλωμα. Συντονισμός τάσης Ένα κύκλωμα ταλάντωσης σειράς είναι ένα κύκλωμα στο οποίο ένα πηνίο και ένας πυκνωτής συνδέονται σε σειρά.

Κρατικό Πανεπιστήμιο της Μόσχας M.V. Lomonosov Κρατικό Πανεπιστήμιο Μόσχας Σχολή Φυσικής Τμήμα Γενικής Φυσικής Εργαστηριακή πρακτική στη γενική φυσική (ηλεκτρισμός και μαγνητισμός) Kozlov

Υλικά για αυτοδιδασκαλία στο γνωστικό αντικείμενο «Θεωρία ηλεκτρικών κυκλωμάτων» για φοιτητές ειδικοτήτων: -6 4 ώρες «Βιομηχανικά ηλεκτρονικά» (μέρος), -9 με «Μοντελοποίηση και σχεδιασμός Η/Υ.

Μέθοδος σύνθετου πλάτους Οι διακυμάνσεις της αρμονικής τάσης στους ακροδέκτες του R ή των στοιχείων προκαλούν τη ροή ενός αρμονικού ρεύματος της ίδιας συχνότητας. Ενσωμάτωση διαφοροποίησης και προσθήκη συναρτήσεων

Παράρτημα 4 Εξαναγκασμένες ηλεκτρικές ταλαντώσεις Εναλλασσόμενο ρεύμα Οι ακόλουθες θεωρητικές πληροφορίες μπορεί να είναι χρήσιμες για την προετοιμασία για εργαστηριακές εργασίες 6, 7, 8 στο εργαστήριο "Ηλεκτρισμός και Μαγνητισμός"

54 Διάλεξη 5 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ ΦΟΥΡΙΕ ΚΑΙ ΦΑΣΜΑΤΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ Σχέδιο Φάσματα απεριοδικών συναρτήσεων και μετασχηματισμός Fourier Μερικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Fourier 3 Φασματική μέθοδος

Εξέταση συντονισμού στρες (συνέχεια) i iω K = K = ω = = ω => r+ iω + r+ i ω iω r + ω K = ω r + ω Ο παρονομαστής είναι ελάχιστος στη συχνότητα ω 0 έτσι ώστε ω0 = 0 => ω0 ω 0= αυτή η συχνότητα ονομάζεται συντονισμένη

Κεφάλαιο 2. Μέθοδοι υπολογισμού μεταβατικών διεργασιών. 2.1. Κλασική μέθοδος υπολογισμού. Θεωρητικές πληροφορίες. Στο πρώτο κεφάλαιο εξετάστηκαν μέθοδοι για τον υπολογισμό του κυκλώματος σε σταθερή κατάσταση, δηλαδή

Yastrebov NI KPI RTF τμήμα του TOP wwwystrevkievu Λειτουργίες κυκλώματος

4.9. Η παροδική απόκριση του κυκλώματος, η σχέση του με την παλμική απόκριση. Θεωρήστε τη συνάρτηση K j K j j > S j j K j S 2 Ας υποθέσουμε ότι η K jω έχει μετασχηματισμό Fourier h K j Αν υπάρχει IC k K j, τότε

Διάλεξη 9 Γραμμικοποίηση διαφορικών εξισώσεων Γραμμικές διαφορικές εξισώσεις υψηλότερης τάξης Ομογενείς εξισώσεις ιδιότητες των λύσεών τους Ιδιότητες λύσεων μη ομοιογενών εξισώσεων Ορισμός 9 Γραμμικές

Μεθοδική ανάπτυξη Επίλυση προβλημάτων στο TFKP Μιγαδικοί αριθμοί Πράξεις σε μιγαδικούς αριθμούς Μιγαδικό επίπεδο Ένας μιγαδικός αριθμός μπορεί να αναπαρασταθεί σε αλγεβρική και τριγωνομετρική εκθετική

Πίνακας περιεχομένων ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ενότητα ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΩΝ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΩΝ Ενότητα ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΩΝ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΩΝ ΥΠΟ ΑΥΘΑΙΡΕΤΕΣ ΕΝΕΡΓΕΙΕΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗΣ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΕΠΟΠΤΕΙΑΣ INTEGRALS9 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΕΛΕΓΧΟΥ7

4 ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΚΥΜΑΤΑ Ένα ταλαντωτικό κύκλωμα είναι ένα ηλεκτρικό κύκλωμα που αποτελείται από πυκνωτές και πηνία στα οποία είναι δυνατή μια ταλαντωτική διαδικασία επαναφόρτισης πυκνωτών.

3.5. Μιγαδικό παράλληλο ταλαντωτικό κύκλωμα I Κύκλωμα στο οποίο τουλάχιστον ένας παράλληλος κλάδος περιέχει αντιδραστικότητα και των δύο σημάτων. I C C I I Δεν υπάρχει μαγνητική σύνδεση μεταξύ και. Συνθήκη συντονισμού

ΔΙΑΛΕΞΗ Ν38. Συμπεριφορά μιας αναλυτικής συνάρτησης στο άπειρο. ειδικά σημεία. Κατάλοιπα συναρτήσεων..γειτονιά σημείου στο άπειρο.....Επέκταση Laurent σε γειτονιά σημείου στο άπειρο.... 3. Συμπεριφορά

4 Διάλεξη 3 ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ Σύνθετες συναρτήσεις μεταφοράς Λογαριθμικές αποκρίσεις συχνότητας 3 Συμπέρασμα Σύνθετες συναρτήσεις μεταφοράς (σύνθετες αποκρίσεις συχνότητας)

διακυμάνσεις. Διάλεξη 3 Εναλλάκτης Για να εξηγήσουμε την αρχή του εναλλάκτη, ας εξετάσουμε πρώτα τι συμβαίνει όταν ένα επίπεδο πηνίο σύρματος περιστρέφεται σε ένα ομοιόμορφο μαγνητικό

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Γενικές έννοιες Οι διαφορικές εξισώσεις έχουν πολυάριθμες και πολύ διαφορετικές εφαρμογές στη μηχανική, τη φυσική, την αστρονομία, την τεχνολογία και σε άλλους κλάδους των ανώτερων μαθηματικών (για παράδειγμα,

Υπολογισμός της πηγής αρμονικών ταλαντώσεων (HHC) Παρουσιάστε το αρχικό κύκλωμα του HHC σε σχέση με το πρωτεύον τύλιγμα του μετασχηματιστή με ισοδύναμη πηγή τάσης Προσδιορίστε τις παραμέτρους του (EMF και εσωτερική

Εργασία 11 ΜΕΛΕΤΗΣ ΤΩΝ ΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΩΝ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ ΚΑΙ ΤΩΝ ΦΑΙΝΟΜΕΝΩΝ ΤΟΥ ΣΥΝΤΟΝΙΣΜΟΥ ΣΤΟ ΤΑΛΑΝΤΩΤΙΚΟ ΚΥΚΛΩΜΑ Σε ένα κύκλωμα που περιέχει επαγωγέα και πυκνωτή, μπορεί να συμβούν ηλεκτρικές ταλαντώσεις. Η εργασία μελετά

Θέμα 4 .. Κυκλώματα εναλλασσόμενου ρεύματος Ερωτήσεις θέματος .. Κύκλωμα AC με αυτεπαγωγή .. Κύκλωμα AC με αυτεπαγωγή και ενεργή αντίσταση. 3. Κύκλωμα AC με χωρητικότητα. 4. Κύκλωμα AC

4 Διάλεξη ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΝΤΙΣΤΙΚΩΝ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ Σχέδιο Η εργασία της ανάλυσης ηλεκτρικών κυκλωμάτων Νόμοι του Kirchhoff Παραδείγματα ανάλυσης κυκλωμάτων αντίστασης 3 Ισοδύναμοι μετασχηματισμοί ενός τμήματος ενός κυκλώματος 4 Συμπεράσματα Η εργασία της ανάλυσης ηλεκτρικών

Επιλογή 708 Μια πηγή ημιτονοειδούς EDC e(ωt) sin(ωt ψ) λειτουργεί στο ηλεκτρικό κύκλωμα. Το διάγραμμα κυκλώματος που φαίνεται στο Σχ.. Η πραγματική τιμή του EDC E της πηγής, η αρχική φάση και η τιμή των παραμέτρων του κυκλώματος

Αρχικά δεδομένα R1=10 ohm R2=8 ohm R3=15 ohm R4=5 ohm R5=4 ohm R6=2 ohm E1=10 V E2=15 V E3=20 V Νόμοι του Kirhoff (τάση DC) 1. Αναζήτηση κόμβων Κόμβος σημείο , στο οποίο συνδέονται τρεις (ή περισσότεροι) αγωγοί

ΔΙΑΛΕΞΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ. Αναγκαστικοί κραδασμοί

Συντονισμός τάσης εξέτασης (συνέχεια) Θα υποθέσουμε ότι η τάση στην ωδή του κυκλώματος είναι η τάση σε ολόκληρο το ταλαντευόμενο κύκλωμα και η τάση στην έξοδο του κυκλώματος είναι η τάση στον πυκνωτή Στη συνέχεια πλάτος

Φθινοπωρινό εξάμηνο ακαδημαϊκού έτους Θέμα 3 ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΜΗ ΠΕΡΙΟΔΙΚΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ Άμεσοι και αντίστροφοι μετασχηματισμοί Fourier Φασματικό χαρακτηριστικό του σήματος Φάσματα πλάτους-συχνότητας και φάσης-συχνότητας

Διάλεξη 6. Ταξινόμηση σημείων ηρεμίας ενός γραμμικού συστήματος δύο εξισώσεων με σταθερούς πραγματικούς συντελεστές. Θεωρήστε ένα σύστημα δύο γραμμικών διαφορικών εξισώσεων με σταθερό πραγματικό

54 Διάλεξη 5 Μετασχηματισμός Fourier ΚΑΙ ΦΑΣΜΑΤΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΣ ΓΙΑ ΑΝΑΛΥΣΗ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ Σχέδιο Φάσματα απεριοδικών συναρτήσεων και μετασχηματισμός Fourier 2 Μερικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Fourier 3 Φασματική μέθοδος

Θέμα: Νόμοι εναλλασσόμενου ρεύματος Ηλεκτρικό ρεύμα ονομάζεται η διατεταγμένη κίνηση φορτισμένων σωματιδίων ή μακροσκοπικών σωμάτων Καλείται μεταβλητό ρεύμα, το οποίο αλλάζει την τιμή του με την πάροδο του χρόνου

Εξεταστική σύνθετη αντίσταση αντίσταση Η σύνθετη αντίσταση είναι εξ ορισμού ίση με την αναλογία μιγαδικής τάσης προς μιγαδικό ρεύμα: Z ɶ Σημειώστε ότι η σύνθετη αντίσταση είναι επίσης ίση με την αναλογία

Τίτλος Εισαγωγή. Βασικές έννοιες.... 4 1. Ολοκληρωμένες εξισώσεις Volterra... 5 Επιλογές εργασίας για το σπίτι.... 8 2. Επίλυση της εξίσωσης ολοκληρωτικού Volterra. 10 επιλογές για εργασίες για το σπίτι.... 11

Κεφάλαιο II Ολοκληρώματα Μια αντιπαράγωγη συνάρτηση και οι ιδιότητές της Η συνάρτηση F() ονομάζεται αντιπαράγωγη συνεχής συνάρτηση f() στο διάστημα a b εάν F() f(), a; β (;) Για παράδειγμα, για τη συνάρτηση f(), τα αντιπαράγωγα

κλασική μέθοδος. Σχ. 1 - το αρχικό διάγραμμα του ηλεκτρικού κυκλώματος Παράμετροι κυκλώματος: E \u003d 129 (V) w \u003d 10000 (rad / s) R1 \u003d 73 (Ohm) R2 \u003d 29 (Ohm) R3 \u003d ) L = 21 (mH) C = 0,97 (uF) Αντίδραση επαγωγέα:

Μέθοδοι υπολογισμού σύνθετων γραμμικών ηλεκτρικών κυκλωμάτων Βάση: η ικανότητα σύνθεσης και επίλυσης συστημάτων γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων - μεταγλωττισμένα είτε για κύκλωμα συνεχούς ρεύματος είτε μετά από συμβολισμό

ΟΡΙΣΤΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΕΝΟΣ. Ολοκληρωτικά αθροίσματα και οριστικό ολοκλήρωμα Έστω μια συνάρτηση y = f () που ορίζεται στο τμήμα [, b ], όπου< b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных

8 Διάλεξη 7 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ ΧΕΙΡΙΣΤΗ Συναρτήσεις εισόδου και μεταφοράς χειριστή Πόλοι και μηδενικά συναρτήσεων κυκλωμάτων 3 Συμπεράσματα Λειτουργίες εισόδου και μεταφοράς χειριστή Μια συνάρτηση χειριστή ενός κυκλώματος είναι μια σχέση

68 Διάλεξη 7 ΜΕΤΑΒΑΤΕΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΕΣ ΣΕ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΠΡΩΤΗΣ ΤΑΞΗΣ Σχέδιο 1 Μεταβατικές διεργασίες σε κυκλώματα RC πρώτης τάξης 2 Μεταβατικές διεργασίες σε κυκλώματα R πρώτης τάξης 3 Παραδείγματα υπολογισμού μεταβατικών διεργασιών σε κυκλώματα

4 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ AC ΗΜΙΟΤΟΕΙΔΟΥ ΡΕΥΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΤΟΥΣ 4.1 ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΜΗΧΑΝΗΜΑΤΑ. ΑΡΧΗ ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΑΣ ΗΜΙΟΤΟΕΙΔΟΥ ΡΕΥΜΑΤΟΣ 4.1.012. Το ημιτονοειδές ρεύμα ονομάζεται στιγμιαίο

Ομοσπονδιακός Οργανισμός Εκπαίδευσης Κρατικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ανώτατης Επαγγελματικής Εκπαίδευσης "KUBAN STATE UNIVERSITY" Σχολή Φυσικής και Τεχνολογίας Τμήμα Οπτοηλεκτρονικής

~ ~ FCF Παράγωγο συνάρτησης μιγαδικής μεταβλητής FCF της συνθήκης Cauchy-Riemann Έννοια κανονικότητας του FCF Απεικόνιση και μορφή μιγαδικού αριθμού Μορφή FCF: όπου η πραγματική συνάρτηση δύο μεταβλητών είναι πραγματική

Αυτό είναι το όνομα ενός άλλου τύπου ολοκληρωτικού μετασχηματισμού, ο οποίος, μαζί με τον μετασχηματισμό Fourier, χρησιμοποιείται ευρέως στη ραδιομηχανική για την επίλυση μιας μεγάλης ποικιλίας προβλημάτων που σχετίζονται με τη μελέτη σημάτων.

Η έννοια της σύνθετης συχνότητας.

Οι φασματικές μέθοδοι, όπως είναι ήδη γνωστό, βασίζονται στο γεγονός ότι το υπό μελέτη σήμα αναπαρίσταται ως το άθροισμα ενός απεριόριστου αριθμού στοιχειωδών όρων, καθένας από τους οποίους μεταβάλλεται περιοδικά στο χρόνο σύμφωνα με το νόμο.

Μια φυσική γενίκευση αυτής της αρχής έγκειται στο γεγονός ότι αντί για μιγαδικά εκθετικά σήματα με καθαρά φανταστικούς εκθέτες, λαμβάνονται υπόψη εκθετικά σήματα της μορφής, όπου υπάρχει ένας μιγαδικός αριθμός: που ονομάζεται μιγαδική συχνότητα.

Δύο τέτοια σύνθετα σήματα μπορούν να χρησιμοποιηθούν για τη σύνθεση ενός πραγματικού σήματος, για παράδειγμα, σύμφωνα με τον ακόλουθο κανόνα:

πού είναι η σύνθετη συζυγική ποσότητα.

Πράγματι, ενώ

Ανάλογα με την επιλογή του πραγματικού και του φανταστικού μέρους της μιγαδικής συχνότητας, μπορούν να ληφθούν διάφορα πραγματικά σήματα. Έτσι, εάν , αλλά λαμβάνονται οι συνήθεις αρμονικές ταλαντώσεις της μορφής If, τότε, ανάλογα με το πρόσημο, λαμβάνονται είτε αυξανόμενες είτε φθίνουσες εκθετικές ταλαντώσεις στο χρόνο. Τέτοια σήματα αποκτούν πιο σύνθετη μορφή όταν . Εδώ, ο πολλαπλασιαστής περιγράφει ένα φάκελο που αλλάζει εκθετικά με το χρόνο. Μερικά τυπικά σήματα φαίνονται στο Σχ. 2.10.

Η έννοια της μιγαδικής συχνότητας αποδεικνύεται πολύ χρήσιμη, κυρίως επειδή καθιστά δυνατή, χωρίς να καταφεύγουμε σε γενικευμένες συναρτήσεις, να ληφθούν φασματικές αναπαραστάσεις σημάτων των οποίων τα μαθηματικά μοντέλα δεν είναι ολοκληρωμένα.

Ρύζι. 2.10. Πραγματικά σήματα που αντιστοιχούν σε διαφορετικές τιμές της μιγαδικής συχνότητας

Μια άλλη θεώρηση είναι επίσης απαραίτητη: τα εκθετικά σήματα της μορφής (2.53) χρησιμεύουν ως "φυσικό" μέσο για τη μελέτη των ταλαντώσεων σε διάφορα γραμμικά συστήματα. Αυτές οι ερωτήσεις θα διερευνηθούν στο Κεφ. 8.

Πρέπει να σημειωθεί ότι η πραγματική φυσική συχνότητα είναι το φανταστικό μέρος της μιγαδικής συχνότητας. Δεν υπάρχει ειδικός όρος για το πραγματικό μέρος o της μιγαδικής συχνότητας.

Βασικές αναλογίες.

Let - κάποιο σήμα, πραγματικό ή σύνθετο, που ορίζεται για t > 0 και ίσο με μηδέν για αρνητικές τιμές χρόνου. Ο μετασχηματισμός Laplace αυτού του σήματος είναι συνάρτηση της μιγαδικής μεταβλητής που δίνεται από το ολοκλήρωμα:

Το σήμα ονομάζεται πρωτότυπο και η συνάρτηση ονομάζεται εικόνα Laplace (για συντομία, απλώς μια εικόνα).

Η συνθήκη που εξασφαλίζει την ύπαρξη του ολοκληρώματος (2.54) είναι η εξής: το σήμα πρέπει να έχει το πολύ εκθετικό ρυθμό αύξησης για δηλαδή να ικανοποιεί την ανισότητα όπου υπάρχουν θετικοί αριθμοί.

Όταν ικανοποιηθεί αυτή η ανισότητα, η συνάρτηση υπάρχει με την έννοια ότι το ολοκλήρωμα (2.54) συγκλίνει απολύτως για όλους τους μιγαδικούς αριθμούς για τους οποίους ο αριθμός a ονομάζεται τετμημένη απόλυτη σύγκλιση.

Η μεταβλητή στον κύριο τύπο (2.54) μπορεί να ταυτιστεί με τη μιγαδική συχνότητα Πράγματι, για μια καθαρά φανταστική μιγαδική συχνότητα, όταν ο τύπος (2.54) μετατρέπεται σε τύπο (2.16), ο οποίος καθορίζει τον μετασχηματισμό Fourier του σήματος, ο οποίος είναι μηδέν στο Έτσι, μπορεί να ληφθεί υπόψη ο μετασχηματισμός Laplace

Ακριβώς όπως γίνεται στη θεωρία του μετασχηματισμού Fourier, είναι δυνατό, γνωρίζοντας την εικόνα, να επαναφέρουμε το πρωτότυπο. Για να γίνει αυτό, στον τύπο για τον αντίστροφο μετασχηματισμό Fourier

Μια αναλυτική συνέχεια θα πρέπει να πραγματοποιηθεί περνώντας από τη φανταστική μεταβλητή στο μιγαδικό όρισμα a Στο επίπεδο της μιγαδικής συχνότητας, η ολοκλήρωση πραγματοποιείται κατά μήκος ενός απεριόριστα εκτεταμένου κατακόρυφου άξονα που βρίσκεται στα δεξιά της τετμημένης απόλυτης σύγκλισης. Δεδομένου ότι για το διαφορικό , ο τύπος για τον αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace παίρνει τη μορφή

Στη θεωρία των συναρτήσεων μιας μιγαδικής μεταβλητής, αποδεικνύεται ότι οι εικόνες Laplace έχουν "καλές" ιδιότητες όσον αφορά την ομαλότητα: τέτοιες εικόνες σε όλα τα σημεία του μιγαδικού επιπέδου, με εξαίρεση ένα μετρήσιμο σύνολο από τα λεγόμενα μοναδικά σημεία, είναι αναλυτικές συναρτήσεις. Τα μοναδικά σημεία είναι συνήθως πόλοι, μονοί ή πολλαπλοί. Επομένως, για τον υπολογισμό των ολοκληρωμάτων της μορφής (2.55), μπορούν να χρησιμοποιηθούν ευέλικτες μέθοδοι θεωρίας υπολειμμάτων.

Στην πράξη, χρησιμοποιούνται ευρέως οι πίνακες μετασχηματισμού Laplace, οι οποίοι συλλέγουν πληροφορίες σχετικά με την αντιστοιχία μεταξύ των πρωτοτύπων. και εικόνες. Η παρουσία πινάκων έκανε τη μέθοδο μετασχηματισμού Laplace δημοφιλή τόσο στις θεωρητικές μελέτες όσο και στους υπολογισμούς μηχανικής συσκευών και συστημάτων ραδιομηχανικής. Στα παραρτήματα υπάρχει ένας τέτοιος πίνακας, ο οποίος επιτρέπει την επίλυση ενός αρκετά μεγάλου φάσματος προβλημάτων.

Παραδείγματα υπολογισμού μετασχηματισμών Laplace.

Υπάρχουν πολλές ομοιότητες στις μεθόδους υπολογισμού των εικόνων με όσα έχουν ήδη μελετηθεί σε σχέση με τον μετασχηματισμό Fourier. Ας εξετάσουμε τις πιο χαρακτηριστικές περιπτώσεις.

Παράδειγμα 2.4, Εικόνα γενικευμένης εκθετικής ορμής.

Let , όπου είναι ένας σταθερός μιγαδικός αριθμός. Η παρουσία της συνάρτησης -καθορίζει την ισότητα στο Χρησιμοποιώντας τον τύπο (2.54), έχουμε

Αν τότε ο αριθμητής εξαφανιστεί όταν αντικατασταθεί το ανώτερο όριο. Ως αποτέλεσμα, παίρνουμε την αλληλογραφία

Ως ειδική περίπτωση του τύπου (2.56), μπορεί κανείς να βρει την εικόνα ενός πραγματικού εκθετικού παλμού βίντεο:

και σύνθετο εκθετικό σήμα:

Τέλος, βάζοντας το (2.57) , βρίσκουμε την εικόνα της συνάρτησης Heaviside:

Παράδειγμα 2.5. Μια εικόνα μιας συνάρτησης δέλτα.

Μετασχηματισμός Laplace- ολοκληρωτικός μετασχηματισμός που σχετίζεται με τη συνάρτηση F (s) (\displaystyle \ F(s))σύνθετη μεταβλητή ( εικόνα) με τη συνάρτηση f (x) (\displaystyle \f(x))πραγματική μεταβλητή ( πρωτότυπο). Χρησιμοποιείται για την εξερεύνηση των ιδιοτήτων δυναμικά συστήματακαι αποφασίστε διαφορικόςΚαι ολοκληρωτικές εξισώσεις.

Ένα από τα χαρακτηριστικά του μετασχηματισμού Laplace, που προκαθόρισε την ευρεία χρήση του σε επιστημονικούς και μηχανικούς υπολογισμούς, είναι ότι πολλές αναλογίες και πράξεις στα πρωτότυπα αντιστοιχούν σε απλούστερες αναλογίες στις εικόνες τους. Έτσι, η συνέλιξη δύο συναρτήσεων στο χώρο των εικόνων ανάγεται στη λειτουργία του πολλαπλασιασμού και οι γραμμικές διαφορικές εξισώσεις γίνονται αλγεβρικές.

Εγκυκλοπαιδικό YouTube

1 / 5

✪ Μετασχηματισμός Laplace - bezbotvy

✪ Διάλεξη 10: Μετασχηματισμός Laplace

✪ Ανώτερα μαθηματικά - 4. Μετασχηματισμοί Laplace. Μέρος 1

✪ Μέθοδος Laplace για λύση DE

✪ Διάλεξη 11: Εφαρμογή του μετασχηματισμού Laplace στην επίλυση διαφορικών εξισώσεων

Υπότιτλοι

Ορισμός

Άμεσος μετασχηματισμός Laplace

lim b → ∞ ∫ 0 b | f(x) | e − σ 0 x d x = ∫ 0 ∞ | f(x) | e − σ 0 x d x , (\displaystyle \lim _(b\to \infty )\int \limits _(0)^(b)|f(x)|e^(-\sigma _(0)x)\ ,dx=\int \limits _(0)^(\infty )|f(x)|e^(-\sigma _(0)x)\,dx,)

τότε συγκλίνει απόλυτα και ομοιόμορφα για και - αναλυτική λειτουργίαστο σ ⩾ σ 0 (\displaystyle \sigma \geqslant \sigma _(0)) (σ = R e s (\displaystyle \sigma =\mathrm (Re) \,s)- πραγματικό μέρος σύνθετη μεταβλητή s (\displaystyle s)). Ακριβώς κάτω όριο σ a (\displaystyle \sigma _(a))σύνολα αριθμών σ (\displaystyle \sigma ), υπό την οποία ικανοποιείται αυτή η προϋπόθεση, ονομάζεται τετμημένηαπόλυτη σύγκρισηΜετασχηματισμός Laplace για τη συνάρτηση .

• Προϋποθέσεις για την ύπαρξη του άμεσου μετασχηματισμού Laplace

Μετασχηματισμός Laplace L ( f (x) ) (\displaystyle (\mathcal (L))\(f(x)\))υπάρχει με την έννοια της απόλυτης σύγκλισης στις ακόλουθες περιπτώσεις:

1. σ ⩾ 0 (\displaystyle \sigma \geqslant 0): ο μετασχηματισμός Laplace υπάρχει αν υπάρχει το ολοκλήρωμα ∫ 0 ∞ | f(x) | d x (\displaystyle \int \limits _(0)^(\infty )|f(x)|\,dx);
2. σ > σ a (\displaystyle \sigma >\sigma _(a)): ο μετασχηματισμός Laplace υπάρχει αν το ολοκλήρωμα ∫ 0 x 1 | f(x) | d x (\displaystyle \int \limits _(0)^(x_(1))|f(x)|\,dx)υπάρχει για κάθε πεπερασμένο x 1 > 0 (\displaystyle x_(1)>0)Και | f(x) | ⩽ K e σ a x (\displaystyle |f(x)|\leqslant Ke^(\sigma _(a)x))Για x > x 2 ≥ 0 (\displaystyle x>x_(2)\geqslant 0);
3. σ > 0 (\displaystyle \sigma >0)ή σ > σ a (\displaystyle \sigma >\sigma _(a))(ποιο από τα όρια είναι μεγαλύτερο): υπάρχει μετασχηματισμός Laplace εάν υπάρχει μετασχηματισμός Laplace για τη συνάρτηση f ′ (x) (\displaystyle f"(x)) (παράγωγοαπό f (x) (\displaystyle f(x))) Για σ > σ a (\displaystyle \sigma >\sigma _(a)).

Σημείωση

• Προϋποθέσεις για την ύπαρξη του αντίστροφου μετασχηματισμού Laplace

Για την ύπαρξη του αντίστροφου μετασχηματισμού Laplace, αρκεί να πληρούνται οι ακόλουθες προϋποθέσεις:

1. Αν η εικόνα F (s) (\displaystyle F(s)) - αναλυτική λειτουργίαΓια σ ≥ σ a (\displaystyle \sigma \geqslant \sigma _(a))και έχει τάξη μικρότερη από -1, τότε ο αντίστροφος μετασχηματισμός για αυτό υπάρχει και είναι συνεχής για όλες τις τιμές του ορίσματος, και L − 1 ( F (s) ) = 0 (\displaystyle (\mathcal (L))^(-1)\(F(s)\)=0)Για t ⩽ 0 (\displaystyle t\leqslant 0).
2. Αφήνω F (s) = φ [ F 1 (s) , F 2 (s) , … , F n (s) ] (\displaystyle F(s)=\varphi), Ετσι φ (z 1 , z 2 , … , z n) (\displaystyle \varphi (z_(1),\;z_(2),\;\ldots ,\;z_(n)))είναι αναλυτική ως προς το καθένα z k (\displaystyle z_(k))και ισούται με μηδέν για z 1 = z 2 = … = z n = 0 (\displaystyle z_(1)=z_(2)=\ldots =z_(n)=0), Και F k (s) = L ( f k (x) ) (σ > σ a k: k = 1 , 2 , … , n) (\displaystyle F_(k)(s)=(\mathcal (L))\(f_ (k)(x)\)\;\;(\sigma >\sigma _(ak)\colon k=1,\;2,\;\ldots ,\;n)), τότε υπάρχει ο αντίστροφος μετασχηματισμός και ο αντίστοιχος άμεσος μετασχηματισμός έχει τετμημένη απόλυτη σύγκλιση.

Σημείωση: αυτές είναι επαρκείς προϋποθέσεις ύπαρξης.

• Θεώρημα συνέλιξης

Κύριο άρθρο: Θεώρημα συνέλιξης

• Διαφοροποίηση και ενσωμάτωση του πρωτοτύπου

Η εικόνα σύμφωνα με τον Laplace της πρώτης παραγώγου του πρωτοτύπου σε σχέση με το όρισμα είναι το γινόμενο της εικόνας και το όρισμα του τελευταίου μείον το πρωτότυπο στο μηδέν στα δεξιά:

L ( f ′ (x) ) = s ⋅ F (s) − f (0 +) . (\displaystyle (\mathcal (L))\(f"(x)\)=s\cdot F(s)-f(0^(+)).)

Θεωρήματα αρχικής και τελικής τιμής (οριακά θεωρήματα):

f (∞) = lim s → 0 s F (s) (\displaystyle f(\infty)=\lim _(s\έως 0)sF(s)), εάν όλοι οι πόλοι της συνάρτησης s F (s) (\displaystyle sF(s))βρίσκονται στο αριστερό μισό επίπεδο.

Το θεώρημα πεπερασμένων τιμών είναι πολύ χρήσιμο γιατί περιγράφει τη συμπεριφορά του αρχικού στο άπειρο με μια απλή σχέση. Αυτό χρησιμοποιείται, για παράδειγμα, για ανάλυση βιωσιμότητατροχιές ενός δυναμικού συστήματος.

• Άλλα ακίνητα

Γραμμικότητα:

L ( a f (x) + b g (x) ) = a F (s) + b G (s) . (\displaystyle (\mathcal (L))\(af(x)+bg(x)\)=aF(s)+bG(s).)

Πολλαπλασιασμός με αριθμό:

L ( f (a x) ) = 1 a F (s a) . (\displaystyle (\mathcal (L))\(f(ax)\)=(\frac (1)(a))F\left((\frac (s)(a))\right).)

Άμεσος και αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace ορισμένων συναρτήσεων

Παρακάτω είναι ο πίνακας μετασχηματισμού Laplace για ορισμένες συναρτήσεις.

№	Λειτουργία	Τομέας χρόνου x (t) = L − 1 ( X (s) ) (\displaystyle x(t)=(\mathcal (L))^(-1)\(X(s)\))	τομέα συχνότητας X (s) = L ( x (t) ) (\displaystyle X(s)=(\mathcal (L))\(x(t)\))	Περιοχή σύγκλισης Για αιτιώδης συνάφειασυστήματα
1	ιδανική υστέρηση	δ (t − τ) (\displaystyle \delta (t-\tau)\ )	e − τ s (\displaystyle e^(-\tau s)\ )
1α	μονοπαλμικό	δ (t) (\displaystyle \delta (t)\ )	1 (\displaystyle 1\ )	∀ s (\displaystyle \forall s\ )
2	καθυστέρηση n (\displaystyle n)	(t − τ) n n ! e − α (t − τ) ⋅ H (t − τ) (\displaystyle (\frac ((t-\tau)^(n))(n}e^{-\alpha (t-\tau)}\cdot H(t-\tau)} !}	e − τ s (s + α) n + 1 (\displaystyle (\frac (e^(-\tau s))((s+\alpha)^(n+1))))	s > 0 (\displaystyle s>0)
2α	εξουσία n (\displaystyle n)-η σειρά	t n n ! ⋅ H (t) (\displaystyle (\frac (t^(n))(n}\cdot H(t)} !}	1 s n + 1 (\displaystyle (\frac (1)(s^(n+1))))	s > 0 (\displaystyle s>0)
2α.1	εξουσία q (\displaystyle q)-η σειρά	t q Γ (q + 1) ⋅ H (t) (\style display (\frac (t^(q))(\Gamma (q+1)))\cdot H(t))	1 s q + 1 (\displaystyle (\frac (1)(s^(q+1))))	s > 0 (\displaystyle s>0)
2α.2	μονής λειτουργίας	H (t) (\displaystyle H(t)\ )	1 s (\displaystyle (\frac (1)(s)))	s > 0 (\displaystyle s>0)
2β	ενιαία λειτουργία με καθυστέρηση	H (t − τ) (\displaystyle H(t-\tau)\ )	e − τ s s (\displaystyle (\frac (e^(-\tau s))(s)))	s > 0 (\displaystyle s>0)
2γ	"βήμα ταχύτητας"	t ⋅ H (t) (\displaystyle t\cdot H(t)\ )	1 s 2 (\displaystyle (\frac (1)(s^(2))))	s > 0 (\displaystyle s>0)
2δ	n (\displaystyle n)-η σειρά με μετατόπιση συχνότητας	t n n ! e − α t ⋅ H (t) (\style display (\frac (t^(n))(n}e^{-\alpha t}\cdot H(t)} !}	1 (s + α) n + 1 (\displaystyle (\frac (1)((s+\alpha)^(n+1))))	s > −α (\displaystyle s>-\alpha)
2δ.1	εκθετική αποσύνθεση	e − α t ⋅ H (t) (\displaystyle e^(-\alpha t)\cdot H(t)\ )	1 s + α (\displaystyle (\frac (1)(s+\alpha )))	s > − α (\displaystyle s>-\alpha \ )
3	εκθετική προσέγγιση	(1 − e − α t) ⋅ H (t) (\style display (1-e^(-\alpha t))\cdot H(t)\ )	α s (s + α) (\displaystyle (\frac (\alpha )(s(s+\alpha))))	s > 0 (\displaystyle s>0\ )
4	κόλπος	sin ⁡ (ω t) ⋅ H (t) (\displaystyle \sin(\omega t)\cdot H(t)\ )	ω s 2 + ω 2 (\displaystyle (\frac (\omega )(s^(2)+\omega ^(2))))	s > 0 (\displaystyle s>0\ )
5	συνημίτονο	cos ⁡ (ω t) ⋅ H (t) (\displaystyle \cos(\omega t)\cdot H(t)\ )	s s 2 + ω 2 (\displaystyle (\frac (s)(s^(2)+\omega ^(2))))	s > 0 (\displaystyle s>0\ )
6	υπερβολικό ημιτονικό	s h (α t) ⋅ H (t) (\displaystyle \mathrm (sh) \,(\alpha t)\cdot H(t)\ )	α s 2 − α 2 (\displaystyle (\frac (\alpha )(s^(2)-\alpha ^(2))))	s > | α | (\displaystyle s>|\alpha |\ )
7	υπερβολικό συνημίτονο	c h (α t) ⋅ H (t) (\displaystyle \mathrm (ch) \,(\alpha t)\cdot H(t)\ )	s s 2 − α 2 (\displaystyle (\frac (s)(s^(2)-\alpha ^(2))))	s > | α | (\displaystyle s>|\alpha |\ )
8	εκθετικά σε αποσύνθεση κόλπος	e − α t sin ⁡ (ω t) ⋅ H (t) (\displaystyle e^(-\alpha t)\sin(\omega t)\cdot H(t)\ )	ω (s + α) 2 + ω 2 (\displaystyle (\frac (\omega )((s+\alpha)^(2)+\omega ^(2))))	s > − α (\displaystyle s>-\alpha \ )
9	εκθετικά σε αποσύνθεση συνημίτονο	e − α t cos ⁡ (ω t) ⋅ H (t) (\displaystyle e^(-\alpha t)\cos(\omega t)\cdot H(t)\ )	s + α (s + α) 2 + ω 2 (\displaystyle (\frac (s+\alpha )((s+\alpha)^(2)+\omega ^(2))))	s > − α (\displaystyle s>-\alpha \ )
10	ρίζα n (\displaystyle n)-η σειρά	t n ⋅ H (t) (\displaystyle (\sqrt[(n)](t))\cdot H(t))	s − (n + 1) / n ⋅ Γ (1 + 1 n) (\displaystyle s^(-(n+1)/n)\cdot \Gamma \left(1+(\frac (1)(n) )\σωστά))	s > 0 (\displaystyle s>0)
11	φυσικός-λογάριθμος	ln ⁡ (t t 0) ⋅ H (t) (\displaystyle \ln \left((\frac (t)(t_(0)))\right)\cdot H(t))	− t 0 s [ ln ⁡ (t 0 s) + γ ] (\displaystyle -(\frac (t_(0))(s))[\ln(t_(0)s)+\gamma ])	s > 0 (\displaystyle s>0)
12	Λειτουργία Bessel πρώτο είδος Σειρά n (\displaystyle n)	J n (ω t) ⋅ H (t) (\displaystyle J_(n)(\omega t)\cdot H(t))	ω n (s + s 2 + ω 2) − n s 2 + ω 2 (\displaystyle (\frac (\omega ^(n)\left(s+(\sqrt (s^(2)+\omega ^(2)) ))\δεξιά)^(-n))(\sqrt (s^(2)+\omega ^(2)))))	s > 0 (\displaystyle s>0\ ) (n > − 1) (\displaystyle (n>-1)\ )
13	πρώτο είδος Σειρά n (\displaystyle n)	I n (ω t) ⋅ H (t) (\displaystyle I_(n)(\omega t)\cdot H(t))	ω n (s + s 2 − ω 2) − n s 2 − ω 2 (\displaystyle (\frac (\omega ^(n)\left(s+(\sqrt (s^(2)-\omega ^(2)) ))\δεξιά)^(-n))(\sqrt (s^(2)-\omega ^(2)))))	s > | ω | (\displaystyle s>|\omega |\ )
14	λειτουργία μπέσελ δεύτερο είδος μηδενική σειρά	Y 0 (α t) ⋅ H (t) (\style display Y_(0)(\alpha t)\cdot H(t)\ )	− 2 a r s h (s / α) π s 2 + α 2 (\displaystyle -(\frac (2\mathrm (arsh) (s/\alpha))(\pi (\sqrt (s^(2)+\alpha ^(2))))))	s > 0 (\displaystyle s>0\ )
15	τροποποιημένη λειτουργία Bessel δεύτερο είδος, μηδενική σειρά	K 0 (α t) ⋅ H (t) (\style display K_(0)(\alpha t)\cdot H(t))
16	λειτουργία σφάλματος	e r f (t) ⋅ H (t) (\displaystyle \mathrm (erf) (t)\cdot H(t))	e s 2 / 4 e r f c (s / 2) s (\displaystyle (\frac (e^(s^(2)/4)\mathrm (erfc) (s/2))(s)))	s > 0 (\displaystyle s>0)
Σημειώσεις πίνακα: H (t) (\displaystyle H(t)\ ) ; α (\displaystyle \alpha \ ), β (\displaystyle \beta \ ), τ (\displaystyle \tau \ )Και ω (\displaystyle \omega \ ) - Σχέση με άλλους μετασχηματισμούς Θεμελιώδεις συνδέσεις Μεταμόρφωση Mellin Μεταμόρφωση Mellinκαι ο αντίστροφος μετασχηματισμός Mellin σχετίζονται με τον αμφίπλευρο μετασχηματισμό Laplace με μια απλή αλλαγή μεταβλητών. Αν στον μετασχηματισμό Mellin G (s) = M ( g (θ) ) = ∫ 0 ∞ θ s g (θ) θ d θ (\displaystyle G(s)=(\mathcal (M))\left\(g(\theta)\right \)=\int \limits _(0)^(\infty )\theta ^(s)(\frac (g(\theta))(\theta ))\,d\theta ) ας βάλουμε θ = e − x (\displaystyle \theta =e^(-x)), τότε παίρνουμε τον μετασχηματισμό Laplace δύο όψεων. Ζ-μετασχηματισμός Z (\displaystyle Z)-ο μετασχηματισμός είναι ο μετασχηματισμός Laplace μιας συνάρτησης πλέγματος, που εκτελείται χρησιμοποιώντας μια αλλαγή μεταβλητών: z ≡ e s T , (\displaystyle z\equiv e^(sT),) Μετασχηματισμός Borel Η ολοκληρωτική μορφή του μετασχηματισμού Borel είναι πανομοιότυπη με τον μετασχηματισμό Laplace, υπάρχει επίσης ένας γενικευμένος μετασχηματισμός Borel, με τη βοήθεια του οποίου η χρήση του μετασχηματισμού Laplace επεκτείνεται σε μια ευρύτερη κατηγορία συναρτήσεων. Βιβλιογραφία Van der Pol B., Bremer H.Λειτουργικός λογισμός βασισμένος στον αμφίπλευρο μετασχηματισμό Laplace. - Μ.: Εκδοτικός οίκος ξένης λογοτεχνίας, 1952. - 507 σελ. Ditkin V. A., Prudnikov A. P.Ολοκληρωτικοί μετασχηματισμοί και λειτουργικός λογισμός. - Μ.: Η κύρια έκδοση της φυσικής και μαθηματικής λογοτεχνίας του εκδοτικού οίκου Nauka, 1974. - 544 σελ. Ditkin V. A., Kuznetsov P. I.Εγχειρίδιο Λειτουργικού Λογισμού: Βασικές αρχές Θεωρίας και Πίνακες Τύπων. - Μ.: Κρατικός εκδοτικός οίκος τεχνικής και θεωρητικής λογοτεχνίας, 1951. - 256 σελ. Carslow H., Jaeger D.Επιχειρησιακές μέθοδοι στα εφαρμοσμένα μαθηματικά. - Μ.: Εκδοτικός οίκος ξένης λογοτεχνίας, 1948. - 294 σελ. Kozhevnikov N. I., Krasnoshchekova T. I., Shishkin N. E.Σειρές Fourier και ολοκληρώματα. Θεωρία πεδίου. Αναλυτικές και ειδικές λειτουργίες. Μετασχηματισμοί Laplace. - M. : Nauka, 1964. - 184 p. Krasnov M. L., Makarenko G. I.λειτουργικός λογισμός. Σταθερότητα κίνησης. - M. : Nauka, 1964. - 103 p. Mikusinsky Ya.Λογισμός τελεστών. - Μ.: Εκδοτικός οίκος ξένης λογοτεχνίας, 1956. - 367 σελ. Romanovsky P.I.Σειρά Fourier. Θεωρία πεδίου. Αναλυτικές και ειδικές λειτουργίες. Μετασχηματισμοί Laplace. - M. : Nauka, 1980. - 336 p.