Στόχος: Κατακτήστε την τεχνική σύνθεσης γραμμικών φίλτρων (χαμηλοπερατά, υψιπερατά και band-pass) με βάση τις προσεγγίσεις μέγιστου επιπέδου και Chebyshev.
Σύντομες θεωρητικές πληροφορίες: Αυτή η εργασία απαιτεί ικανότητα ανάλυσης Διάφοροι τύποιγραμμικά κυκλώματα και να βρείτε τα κύρια χαρακτηριστικά τους (συντελεστής μεταφοράς συχνότητας, συνάρτηση μεταφοράς και οι πόλοι της). γνώση των αρχών σύνθεσης γραμμικών χαμηλοπερατών φίλτρων με βάση τις προσεγγίσεις μέγιστο επίπεδο και Chebyshev και τις αρχές μετάβασης από γνωστά κυκλώματα φίλτρων χαμηλής διέλευσης σε κυκλώματα φίλτρων υψηλής διέλευσης και φίλτρα ζώνης διέλευσης.
Τα χαμηλοπερατά φίλτρα είναι σχεδιασμένα να εκπέμπουν με ελάχιστη εξασθένηση ταλαντώσεων των οποίων οι συχνότητες δεν υπερβαίνουν μια ορισμένη συχνότητα αποκοπής, η οποία ονομάζεται συχνότητα αποκοπής, ενώ οι ταλαντώσεις με συχνότητες μεγαλύτερες από τη συχνότητα αποκοπής θα πρέπει να αμβλυνθούν σημαντικά.
Ιδιότητες της συνάρτησης μεταφοράς ενός τετραπόλου :
Οι πόλοι της συνάρτησης μεταφοράς του τετραπόλου πρέπει να βρίσκονται στο αριστερό ημιεπίπεδο της μιγαδικής συχνότητας p. Μπορούν να είναι πραγματικά ή να σχηματίζουν σύνθετα συζυγή ζεύγη.
Ο αριθμός των πόλων της συνάρτησης μεταφοράς πρέπει πάντα να υπερβαίνει τον αριθμό των μηδενικών.
Σε αντίθεση με τους πόλους, τα μηδενικά της συνάρτησης μεταφοράς μπορούν να βρίσκονται σε οποιοδήποτε ημιεπίπεδο, δηλαδή σε ολόκληρο το επίπεδο της μιγαδικής συχνότητας p.
Στάδια σύνθεσης φίλτρου :
Διατύπωση τεχνικών απαιτήσεων για τα χαρακτηριστικά των φίλτρων ανάλογα με το δεδομένο εύρος ζώνης. Σε αυτή την περίπτωση, δεν επιβάλλονται περιορισμοί στη δομή του φίλτρου. Αυτή η προσέγγιση ονομάζεται σύνθεση σύμφωνα με μια δεδομένη απόκριση συχνότητας. Κατά κανόνα, το ιδανικό χαρακτηριστικό δεν μπορεί να πραγματοποιηθεί στην πράξη.
Προσέγγιση ενός ιδανικού χαρακτηριστικού χρησιμοποιώντας μια τέτοια συνάρτηση που μπορεί να ανήκει σε ένα φυσικά πραγματοποιήσιμο κύκλωμα.
Υλοποίηση της επιλεγμένης κατά προσέγγιση συνάρτησης και λήψη διάγραμμα κυκλώματοςφίλτρο με τις τιμές των συστατικών του στοιχείων.
Οι πιο διαδεδομένοι είναι δύο τύποι προσέγγισης: μέγιστη-επίπεδη και Chebyshev.
Μέγιστη-επίπεδη προσέγγιση βασίζεται στη χρήση της συνάρτησης συντελεστή μεταφοράς ισχύος συχνότητας που δίνεται ως:
Οπου 
είναι η αδιάστατη κανονικοποιημένη συχνότητα.
Καλείται ένα φίλτρο του οποίου η απόκριση συχνότητας ικανοποιεί μια τέτοια λειτουργία φίλτρο με μέγιστη επίπεδη απόκριση ή φίλτρο Butterworth.
Η διαδικασία σύνθεσης ξεκινά με τον προσδιορισμό των πόλων της συνάρτησης μεταφοράς φίλτρου, για την οποία είναι απαραίτητο να μεταβείτε στην κανονικοποιημένη σύνθετη συχνότητα R nκαι προσδιορίστε τους πόλους της συνάρτησης απολαβής ισχύος του φίλτρου συχνότητας:
;
Στη γενική περίπτωση, οι ρίζες αυτής της εξίσωσης μπορούν να προσδιοριστούν χρησιμοποιώντας τον τύπο Moivre (υπολογισμός των ριζών nη δύναμη από έναν μιγαδικό αριθμό). Σε αυτή την περίπτωση, είναι απαραίτητο να ληφθεί υπόψη η τιμή της φάσης του μιγαδικού αριθμού z= - 1 (=).
Κατά την εύρεση των ριζών αυτής της εξίσωσης για οποιαδήποτε σειρά του φίλτρου nπρέπει να γίνουν τα εξής γενικός
κανονικότητα:
όλοι οι πόλοι βρίσκονται στην ίδια γωνιακή απόσταση μεταξύ τους και αυτή η απόσταση είναι πάντα ίση με 
; Αν nείναι περιττός, τότε ο πρώτος πόλος είναι πάντα 1 αν nείναι άρτιος, τότε ο πρώτος πόλος 
.
Χρησιμοποιώντας την ιδιότητα της συμμετρίας τεταρτημορίου της θέσης των πόλων της συνάρτησης του συντελεστή μεταφοράς ισχύος συχνότητας και των συνθηκών σταθερότητας και φυσικής σκοπιμότητας των τετραπόλων, για τη λειτουργία μεταφοράς του φίλτρου είναι απαραίτητο να επιλέξετε μόνο εκείνους τους πόλους που βρίσκονται στο αριστερό ημιεπίπεδο της μιγαδικής συχνότητας και γράψτε για αυτούς αναπαράσταση μηδενικού πόλουλειτουργία μεταφοράς.
Τα ηλεκτρικά φίλτρα είναι δίκτυα τεσσάρων τερματικών που, με αμελητέα εξασθένηση ΔA, μεταδίδουν ταλαντώσεις σε ορισμένες περιοχές συχνοτήτων f 0 ... f 1 (ζώνες διέλευσης) και πρακτικά δεν μεταδίδουν ταλαντώσεις σε άλλες περιοχές f 2 ... f 3 (διακοπή ή ζώνες μη μετάδοσης).
Ρύζι. 2.1.1. Χαμηλοπερατό φίλτρο (LPF). Ρύζι. 2.1.2. Υψηλοπερατό φίλτρο (HPF).
Υπάρχουν πολλοί διαφορετικοί τύποι εφαρμογών ηλεκτρικών φίλτρων: παθητικά φίλτρα LC (τα κυκλώματα περιέχουν επαγωγικά και χωρητικά στοιχεία), παθητικά φίλτρα RC (τα κυκλώματα περιέχουν ωμικά και χωρητικά στοιχεία), ενεργά φίλτρα (τα κυκλώματα περιέχουν λειτουργικούς ενισχυτές, ωμικά και χωρητικά στοιχεία), κυματοδηγός, ψηφιακά φίλτρα και άλλα. Μεταξύ όλων των τύπων φίλτρων, τα φίλτρα LC καταλαμβάνουν ιδιαίτερη θέση, καθώς χρησιμοποιούνται ευρέως στον τηλεπικοινωνιακό εξοπλισμό σε διάφορες περιοχές συχνοτήτων. Υπάρχει μια καθιερωμένη τεχνική σύνθεσης για φίλτρα αυτού του τύπου και η σύνθεση άλλων τύπων φίλτρων χρησιμοποιεί σε μεγάλο βαθμό αυτό
μεθοδολογία. Επομένως, σε θητείαη εστίαση είναι στη σύνθεση
Ρύζι. 2.1.3. Φίλτρο διέλευσης ζώνης (PF). παθητικά φίλτρα LC.
Το έργο της σύνθεσηςΤο ηλεκτρικό φίλτρο είναι να ορίζει ένα κύκλωμα φίλτρου με τον ελάχιστο δυνατό αριθμό στοιχείων, απόκριση συχνότηταςπου θα ικανοποιούσε το δεδομένο τεχνικές απαιτήσεις. Συχνά τίθενται απαιτήσεις για το χαρακτηριστικό εξασθένησης λειτουργίας. Στα σχήματα 2.1.1, 2.1.2, 2.1.3, οι απαιτήσεις εξασθένησης λειτουργίας δίνονται από τα επίπεδα της μέγιστης επιτρεπόμενης εξασθένησης στη ζώνη διέλευσης Α και τα επίπεδα της ελάχιστης επιτρεπόμενης εξασθένησης στη ζώνη διακοπής As. Το έργο της σύνθεσης χωρίζεται σε δύο στάδια: πρόβλημα προσέγγισηςαπαιτήσεις για λειτουργική εξασθένηση από μια φυσικά υλοποιημένη λειτουργία και έργο υλοποίησηςβρέθηκε συνάρτηση προσέγγισης από ένα ηλεκτρικό κύκλωμα.
Η λύση του προβλήματος της προσέγγισης συνίσταται στην εύρεση μιας τέτοιας συνάρτησης της ελάχιστης δυνατής τάξης, η οποία, πρώτον, ικανοποιεί τις καθορισμένες τεχνικές απαιτήσεις για την απόκριση συχνότητας του φίλτρου και, δεύτερον, ικανοποιεί τις συνθήκες φυσικής σκοπιμότητας.
Η λύση στο πρόβλημα υλοποίησης είναι να προσδιοριστεί ηλεκτρικό κύκλωμα, η απόκριση συχνότητας της οποίας συμπίπτει με τη συνάρτηση που βρέθηκε ως αποτέλεσμα της επίλυσης του προβλήματος της προσέγγισης.
2.1. ΒΑΣΕΙΣ ΓΙΑ ΣΥΝΘΕΣΗ ΦΙΛΤΡΩΝ ΑΝΑΛΟΓΑ ΜΕ ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΥΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ.
Ας εξετάσουμε μερικές σχέσεις που χαρακτηρίζουν τις συνθήκες μεταφοράς ενέργειας μέσω ενός ηλεκτρικού φίλτρου. Κατά κανόνα, ένα ηλεκτρικό φίλτρο χρησιμοποιείται σε συνθήκες όταν οι συσκευές συνδέονται από την πλευρά των ακροδεκτών εισόδου του, τα οποία μπορούν να αναπαρασταθούν στο ισοδύναμο κύκλωμα ως ενεργό δίκτυο δύο τερματικών με παραμέτρους E(jω), R1 και συσκευές που παρουσιάζονται στο ισοδύναμο κύκλωμα συνδέονται από την πλευρά των ακροδεκτών εξόδου αντίσταση αντίστασης R2. Το κύκλωμα για την ενεργοποίηση του ηλεκτρικού φίλτρου φαίνεται στο σχήμα 2.2.1.
Το σχήμα 2.2.2 δείχνει ένα διάγραμμα στο οποίο, αντί για φίλτρο και αντίσταση R2, μια αντίσταση φορτίου συνδέεται με μια ισοδύναμη γεννήτρια (με παραμέτρους E(jω), R1, η τιμή της οποίας είναι ίση με την αντίσταση της γεννήτριας R1. Όπως γνωρίζετε, η γεννήτρια παρέχει μέγιστη ισχύ σε ένα ωμικό φορτίο εάν η αντίσταση φορτίου είναι ίση με την αντίσταση εσωτερικής απώλειας της γεννήτριας R1.
Η διέλευση ενός σήματος μέσω ενός δικτύου τεσσάρων τερματικών χαρακτηρίζεται από μια λειτουργική συνάρτηση μεταφοράς T(jω). εργαζόμενος Λειτουργία μετάδοσηςσας επιτρέπει να συγκρίνετε την ισχύ S 0 (jω) που παρέχεται από τη γεννήτρια με το φορτίο R1 (σύμφωνα με τις δικές της παραμέτρους), με την ισχύ S 2 (jω) που παρέχεται στο φορτίο R2 μετά τη διέλευση από το φίλτρο:
Το όρισμα της συνάρτησης μεταφοράς εργασίας arg(T(jω)) χαρακτηρίζει τη σχέση φάσης μεταξύ του emf. E(jω) και τάση εξόδου U 2 (jω). Ονομάζεται σταθερά μεταφοράς φάσης εργασίας (που συμβολίζεται με το ελληνικό γράμμα "beta"):
Όταν η ενέργεια μεταδίδεται μέσω ενός δικτύου τεσσάρων ακροδεκτών, οι αλλαγές στην ισχύ, την τάση και το ρεύμα σε απόλυτη τιμή χαρακτηρίζονται από το μέτρο της συνάρτησης μεταφοράς εργασίας. Κατά την αξιολόγηση των επιλεκτικών ιδιοτήτων των ηλεκτρικών φίλτρων, χρησιμοποιείται ένα μέτρο που προσδιορίζεται από μια λογαριθμική συνάρτηση. Αυτό το μέτρο είναι η εξασθένηση εργασίας (που συμβολίζεται με το ελληνικό γράμμα "άλφα"), η οποία σχετίζεται με τη μονάδα της συνάρτησης μεταφοράς εργασίας με τους λόγους:
, (Np); ή (2.2)
, (dB). (2.3)
Όταν χρησιμοποιείται ο τύπος (2.2), η εξασθένηση λειτουργίας εκφράζεται σε nepers και όταν χρησιμοποιείται ο τύπος (2.3) σε ντεσιμπέλ.
Η τιμή ονομάζεται σταθερά μετάδοσης εργασίας του τετραπόλου (που συμβολίζεται με το ελληνικό γράμμα "γάμα"). Η συνάρτηση μεταφοράς εργασίας μπορεί να αναπαρασταθεί χρησιμοποιώντας την εξασθένηση εργασίας και τη φάση εργασίας ως:
Στην περίπτωση που η εσωτερική αντίσταση απώλειας της γεννήτριας R1 και η αντίσταση φορτίου R2 είναι ωμικές, οι ισχύς S 0 (jω) και S 2 (jω) είναι ενεργές. Είναι βολικό να χαρακτηριστεί η διέλευση ισχύος μέσω του φίλτρου χρησιμοποιώντας τον συντελεστή μεταφοράς ισχύος, που ορίζεται ως ο λόγος της μέγιστης ισχύος P max που λαμβάνεται από τη γεννήτρια από ένα φορτίο που αντιστοιχεί σε αυτήν, προς την ισχύ P 2 που εισέρχεται στο φορτίο R2:
Ένα αντιδραστικό δίκτυο τεσσάρων τερματικών δεν καταναλώνει ενεργή ισχύ. Τότε η ενεργή ισχύς P 1 που δίνεται από τη γεννήτρια είναι ίση με την ισχύ P 2 που καταναλώνεται από το φορτίο:
Ας εκφράσουμε την τιμή του συντελεστή ρεύματος εισόδου: , και ας την αντικαταστήσουμε στο (2.5).
Χρησιμοποιώντας αλγεβρικούς μετασχηματισμούς, αντιπροσωπεύουμε το (2.5) με τη μορφή:
Αντιπροσωπεύουμε τον αριθμητή της δεξιάς πλευράς της εξίσωσης με τη μορφή:
Η αριστερή πλευρά της εξίσωσης (2.6) είναι το αντίστροφο του λόγου μεταφοράς ισχύος:
Η ακόλουθη έκφραση είναι ο συντελεστής ανάκλασης ισχύος από τους ακροδέκτες εισόδου ενός τετραπόλου:
Ο συντελεστής ανάκλασης (τάση ή ρεύμα) από τους ακροδέκτες εισόδου του δικτύου τεσσάρων τερματικών, ίσος με
χαρακτηρίζει την αντιστοίχιση της σύνθετης αντίστασης εισόδου του φίλτρου με την αντίσταση R1.
Ένα παθητικό δίκτυο τεσσάρων τερματικών δεν μπορεί να παρέχει κέρδος ισχύος, δηλαδή.
Επομένως, για τέτοια κυκλώματα, συνιστάται η χρήση της βοηθητικής συνάρτησης που ορίζεται από την έκφραση:
Ας αναπαραστήσουμε την εξασθένηση εργασίας με διαφορετική μορφή, πιο βολική για την επίλυση του προβλήματος της σύνθεσης φίλτρου:
Προφανώς, η φύση της εξάρτησης από τη συχνότητα της εξασθένησης εργασίας σχετίζεται με την εξάρτηση από τη συχνότητα της συνάρτησης , που ονομάζεται συνάρτηση φιλτραρίσματος: τα μηδενικά και οι πόλοι της συνάρτησης φιλτραρίσματος συμπίπτουν με τα μηδενικά και τους πόλους της εξασθένησης.
Με βάση τους τύπους (2.7) και (2.9), είναι δυνατό να αναπαρασταθεί ο συντελεστής ανάκλασης ισχύος από τους ακροδέκτες εισόδου του τετραπόλου:
Ας προχωρήσουμε στη σύνταξη εικόνων τελεστή σύμφωνα με τον Laplace, λαμβάνοντας υπόψη ότι p = jω, και επίσης ότι το τετράγωνο του συντελεστή μιας μιγαδικής τιμής εκφράζεται, για παράδειγμα, . Η έκφραση (2.10) σε μορφή τελεστή έχει τη μορφή
Οι εκφράσεις τελεστή , , είναι ορθολογικές συναρτήσεις της μιγαδικής μεταβλητής "p", και επομένως μπορούν να γραφούν ως
όπου , , - είναι πολυώνυμα, για παράδειγμα:
Από τον τύπο (2.11), λαμβάνοντας υπόψη το (2.12), μπορούμε να λάβουμε τη σχέση μεταξύ πολυωνύμων:
Στο στάδιο της επίλυσης του προβλήματος της προσέγγισης προσδιορίζεται η έκφραση της συνάρτησης φιλτραρίσματος, δηλαδή προσδιορίζονται τα πολυώνυμα h(p), w(p). από την εξίσωση (2.13) μπορεί κανείς να βρει το πολυώνυμο v(p).
Εάν η έκφραση (2.8) παρουσιάζεται σε μορφή τελεστή, τότε η συνάρτηση της σύνθετης αντίστασης εισόδου του φίλτρου μπορεί να ληφθεί σε μορφή τελεστή:
Οι συνθήκες φυσικής πραγματοποίησης είναι οι εξής:
1. v(p) - πρέπει να είναι πολυώνυμο Hurwitz, δηλαδή οι ρίζες του βρίσκονται στο αριστερό μισό του επιπέδου της μιγαδικής μεταβλητής p=α+j Ω (η απαίτηση για σταθερότητα αλυσίδας).
2. w(p) - πρέπει να είναι είτε άρτιο είτε περιττό πολυώνυμο (για LPF w(p) - ζυγό έτσι ώστε να μην υπάρχει πόλος εξασθένησης στο ω=0, για HPF w(p) - περιττό).
3. h(p) είναι οποιοδήποτε πολυώνυμο με πραγματικούς συντελεστές.
2.2. ΚΑΝΟΝΙΣΜΟΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΝΤΙΣΤΑΣΗ ΚΑΙ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ.
Οι αριθμητικές τιμές των παραμέτρων των στοιχείων L, C, R και οι συχνότητες αποκοπής των πραγματικών φίλτρων μπορούν να ληφθούν, ανάλογα με Προδιαγραφές, διάφορες αξίες. Η χρήση μικρών και μεγάλων ποσοτήτων ταυτόχρονα στους υπολογισμούς οδηγεί σε σημαντικό υπολογιστικό λάθος.
Είναι γνωστό ότι η φύση των εξαρτήσεων συχνότητας του φίλτρου δεν εξαρτάται από τις απόλυτες τιμές των συντελεστών των συναρτήσεων που περιγράφουν αυτές τις εξαρτήσεις, αλλά καθορίζεται μόνο από τις αναλογίες τους. Οι τιμές των συντελεστών καθορίζονται από τις τιμές των παραμέτρων L, C, R των φίλτρων. Επομένως, η κανονικοποίηση (μεταβολή κατά τον ίδιο αριθμό φορές) των συντελεστών των συναρτήσεων οδηγεί σε κανονικοποίηση των τιμών των παραμέτρων των στοιχείων του φίλτρου. Έτσι, αντί για τις απόλυτες τιμές των αντιστάσεων των στοιχείων του φίλτρου, λαμβάνονται σχετικές τιμές, αναφέρεται στην αντίσταση φορτίου R2 (ή R1).
Επιπλέον, εάν οι τιμές συχνότητας κανονικοποιηθούν σε σχέση με τη συχνότητα αποκοπής του εύρους ζώνης (αυτή η τιμή χρησιμοποιείται συχνότερα), τότε αυτό θα περιορίσει περαιτέρω την εξάπλωση των τιμών που χρησιμοποιούνται στους υπολογισμούς και θα αυξήσει την ακρίβεια του υπολογισμούς. Οι κανονικοποιημένες τιμές συχνότητας γράφονται με τη μορφή και είναι αδιάστατες ποσότητες και η κανονικοποιημένη τιμή της συχνότητας αποκοπής του εύρους ζώνης.
Για παράδειγμα, εξετάστε την αντίσταση των συνδεδεμένων σε σειρά στοιχείων L, C, R:
Ονομαστική αντίσταση: .
Ας εισάγουμε τις κανονικοποιημένες τιμές συχνότητας στην τελευταία έκφραση: όπου οι κανονικοποιημένες παράμετροι είναι: .
Οι πραγματικές (αποκανονικοποιημένες) τιμές των παραμέτρων των στοιχείων καθορίζονται από:
Με την αλλαγή των τιμών των f 1 και R2, είναι δυνατό να ληφθούν νέα κυκλώματα συσκευών που λειτουργούν σε άλλες περιοχές συχνοτήτων και υπό άλλα φορτία από το αρχικό κύκλωμα. Η εισαγωγή της κανονικοποίησης κατέστησε δυνατή τη δημιουργία καταλόγων φίλτρων, γεγονός που σε πολλές περιπτώσεις μειώνει το δύσκολο πρόβλημα της σύνθεσης φίλτρων στην εργασία με πίνακες.
2.3. ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΔΙΠΛΩΝ ΣΧΕΔΙΩΝ.
Διπλά μεγέθη, όπως είναι γνωστό, είναι η αντίσταση και η αγωγιμότητα. Για κάθε κύκλωμα ενός ηλεκτρικού φίλτρου, μπορεί να βρεθεί ένα κύκλωμα διπλό σε αυτό. Σε αυτή την περίπτωση, η αντίσταση εισόδου του πρώτου κυκλώματος θα είναι ίση με την αγωγιμότητα εισόδου του δεύτερου, πολλαπλασιαζόμενη με τον συντελεστή. Είναι σημαντικό να σημειωθεί ότι η συνάρτηση μεταφοράς εργασίας T(p) και για τα δύο σχήματα θα είναι η ίδια. Ένα παράδειγμα κατασκευής διπλού κυκλώματος φαίνεται στο σχήμα 2.3.
Τέτοιοι μετασχηματισμοί συχνά αποδεικνύονται βολικοί, καθώς καθιστούν δυνατή τη μείωση του αριθμού των επαγωγικών στοιχείων. Όπως γνωρίζετε, οι επαγωγείς, σε σύγκριση με τους πυκνωτές, είναι ογκώδη και χαμηλής ποιότητας στοιχεία.
Καθορίζονται οι κανονικοποιημένες παράμετροι των στοιχείων του διπλού κυκλώματος (όταν =1):
2.4. ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΩΝ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ.
Τα σχήματα 2.1.1 - 2.1.3 δείχνουν τα γραφήματα των συναρτήσεων εξασθένησης εργασίας του φίλτρου χαμηλής διέλευσης (LPF), φίλτρου υψηλής διέλευσης (HPF), φίλτρου ζώνης διέλευσης (BPF). Τα ίδια γραφήματα δείχνουν τα επίπεδα της απαιτούμενης εξασθένησης. Στη ζώνη διέλευσης f 0 ... f 1 ορίζεται η μέγιστη επιτρεπόμενη τιμή εξασθένησης (η λεγόμενη ανομοιομορφία εξασθένησης) ΔΑ. Στη ζώνη διακοπής f 2 …f 3 ορίζεται η ελάχιστη επιτρεπόμενη τιμή εξασθένησης A S. στην περιοχή μετάβασης των συχνοτήτων f 1 ... f 2 δεν επιβάλλονται απαιτήσεις για εξασθένηση.
Πριν προχωρήσετε στην επίλυση του προβλήματος της προσέγγισης, κανονικοποιούνται τα απαιτούμενα χαρακτηριστικά της εξασθένησης λειτουργίας στη συχνότητα, για παράδειγμα, για το φίλτρο χαμηλής διέλευσης και το υψιπερατό φίλτρο:
Η επιθυμητή συνάρτηση προσέγγισης πρέπει να ικανοποιεί τις συνθήκες φυσικής σκοπιμότητας και να αναπαράγει με επαρκή ακρίβεια την απαιτούμενη εξάρτηση από τη συχνότητα της εξασθένησης λειτουργίας. Υπάρχουν διάφορα κριτήρια για την εκτίμηση του σφάλματος προσέγγισης, στα οποία βασίζονται διάφοροι τύποι προσέγγισης. Στα προβλήματα προσέγγισης των χαρακτηριστικών πλάτους-συχνότητας, χρησιμοποιούνται συχνότερα τα κριτήρια βελτιστοποίησης των Taylor και Chebyshev.
2.4.1. Προσέγγιση με το κριτήριο Taylor.
Στην περίπτωση εφαρμογής του κριτηρίου Taylor, η επιθυμητή συνάρτηση προσέγγισης έχει την ακόλουθη μορφή (κανονικοποιημένη τιμή):
πού είναι το τετράγωνο του συντελεστή της συνάρτησης φιλτραρίσματος;
– η σειρά του πολυωνύμου (παίρνει ακέραια τιμή).
ε είναι ο συντελεστής ανομοιομορφίας. Η τιμή του σχετίζεται με την τιμή του ΔA - την ανομοιομορφία εξασθένησης στη ζώνη διέλευσης (Εικ. 2.4). Εφόσον στη συχνότητα αποκοπής της ζώνης διέλευσης Ω 1 =1, επομένως
Τα φίλτρα με εξαρτήσεις συχνότητας εξασθένησης (2.16) ονομάζονται φίλτρα με εξαιρετικά επίπεδα χαρακτηριστικά εξασθένησης, ή φίλτρα με Χαρακτηριστικά Butterworth, ο οποίος ήταν ο πρώτος που χρησιμοποίησε την προσέγγιση με το κριτήριο Taylor για την επίλυση του προβλήματος της σύνθεσης φίλτρων.
Η σειρά της συνάρτησης προσέγγισης καθορίζεται με βάση την προϋπόθεση ότι στη συχνότητα αποκοπής της ζώνης διακοπής Ω 2, η εξασθένηση λειτουργίας υπερβαίνει την ελάχιστη επιτρεπόμενη τιμή:
Οπου . (2.19)
Δεδομένου ότι η σειρά του πολυωνύμου πρέπει να είναι ακέραιος, η τιμή που προκύπτει
Εικ.2.4. στρογγυλοποιούνται στο πλησιέστερο υψηλότερο
ακέραια τιμή.
Η έκφραση (2.18) μπορεί να αναπαρασταθεί σε μορφή τελεστή χρησιμοποιώντας τον μετασχηματισμό jΩ→ :
Ας βρούμε τις ρίζες του πολυωνύμου: , από όπου
K = 1, 2, … , Σημείωση (2,20)
Οι ρίζες παίρνουν σύνθετες συζυγείς τιμές και βρίσκονται σε κύκλο ακτίνας. Για να σχηματιστεί το πολυώνυμο Hurwitz, είναι απαραίτητο να χρησιμοποιηθούν μόνο εκείνες οι ρίζες που βρίσκονται στο αριστερό μισό σύνθετο επίπεδο:
Το σχήμα 2.5 δείχνει ένα παράδειγμα τοποθέτησης στο μιγαδικό επίπεδο των ριζών ενός πολυωνύμου 9ης τάξης με αρνητική πραγματική συνιστώσα. Τετράγωνο ενότητας
Ρύζι. 2.5. Η συνάρτηση φιλτραρίσματος, σύμφωνα με το (2.16), είναι ίση με:
Πολυώνυμο με πραγματικούς συντελεστές. είναι πολυώνυμο άρτιας τάξης. Έτσι, ικανοποιούνται οι προϋποθέσεις φυσικής πραγματοποίησης.
2.4.2. Προσέγγιση με το κριτήριο Chebyshev.
Όταν χρησιμοποιούνται πολυώνυμα ισχύος Ω 2 N B για προσέγγιση Taylor, προκύπτει μια καλή προσέγγιση στην ιδανική συνάρτηση κοντά στο σημείο Ω=0, αλλά για να εξασφαλιστεί επαρκής κλίση της συνάρτησης προσέγγισης για Ω>1, είναι απαραίτητο να αυξηθεί η σειρά του πολυωνύμου (και, κατά συνέπεια, της σειράς του σχήματος ).
Η καλύτερη κλίση στην περιοχή συχνότητας μετάβασης μπορεί να επιτευχθεί εάν, κατά προσέγγιση, επιλέξουμε όχι μια μονότονη συνάρτηση (Εικ. 2.4), αλλά μια συνάρτηση που ταλαντώνεται στο εύρος τιμών 0 ... ΔΑ στη ζώνη διέλευσης στο 0<Ω<1 (рис. 2.7).
Η καλύτερη προσέγγιση με το κριτήριο Chebyshev παρέχεται από τη χρήση των πολυωνύμων Chebyshev P N (x) (Εικ. 2.6). Στο διάστημα -1< x < 1 отклонения аппроксимирующих функций от нулевого уровня равны ±1 и чередуются по знаку.
Στο διάστημα -1< x < 1 полином Чебышёва порядка N описывается выражением
P N (x) = cos(N arccos(x)), (2.21)
για N=1 P 1 (x) = cos(arccos(x)) = x,
για N=2 P 2 (x) = cos(2 arccos(x)) = 2 cos 2 (arccos(x)) – 1 = 2 x 2 – 1,
για N≥3, το πολυώνυμο P N (x) μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον επαναλαμβανόμενο τύπο
Ρ Ν +1 (χ) = 2 χ Ρ Ν (χ) - Ρ Ν -1 (χ).
Για x > 1, οι τιμές των πολυωνύμων Chebyshev αυξάνονται μονοτονικά και περιγράφονται από την έκφραση
P N (x) = ch(N Arch(x)). (2.22)
Η συνάρτηση εξασθένησης εργασίας (Εικ. 2.7) περιγράφεται από την έκφραση
όπου ε είναι ο συντελεστής ανομοιομορφίας που προσδιορίζεται από τον τύπο (2.17).
Τετράγωνη μονάδα λειτουργίας φίλτρου.
Το P N (Ω) είναι ένα πολυώνυμο Chebyshev τάξης Ν.
Η εξασθένηση λειτουργίας στη ζώνη διακοπής πρέπει να υπερβαίνει την τιμή του A S:
Αντικαθιστώντας την έκφραση (2.22) για τις τιμές των συχνοτήτων της ζώνης διακοπής σε αυτήν την ανισότητα, την λύνουμε σε σχέση με την τιμή N = NЧ - τη σειρά του πολυωνύμου Chebyshev:
Η σειρά του πολυωνύμου πρέπει να είναι ακέραιος, επομένως η τιμή που προκύπτει πρέπει να στρογγυλοποιηθεί στην επόμενη υψηλότερη ακέραια τιμή.
Τετράγωνο του συντελεστή της συνάρτησης μεταφοράς εργασίας (κανονικοποιημένη τιμή)
Εφόσον τα μηδενικά εξασθένησης (είναι οι ρίζες του πολυωνύμου Hurwitz) βρίσκονται στη ζώνη διέλευσης, η έκφραση (2.21) για τις συχνότητες της ζώνης διέλευσης πρέπει να αντικατασταθεί σε αυτήν την έκφραση.
Η έκφραση (2.25) μπορεί να αναπαρασταθεί σε μορφή τελεστή χρησιμοποιώντας τον μετασχηματισμό jΩ→ :
Οι ρίζες του πολυωνύμου καθορίζονται από τον τύπο:
K = 1, 2, … , NЧ, (2.26)
Οι σύνθετες συζυγείς ρίζες στο μιγαδικό επίπεδο βρίσκονται σε μια έλλειψη. Το πολυώνυμο Hurwitz σχηματίζεται μόνο από ρίζες με αρνητική πραγματική συνιστώσα:
Τετράγωνο μέτρο συνάρτησης φίλτρου ; Επομένως, βρίσκουμε το πολυώνυμο χρησιμοποιώντας τον αναδρομικό τύπο:
Είναι πολυώνυμο με πραγματικούς συντελεστές. είναι πολυώνυμο ζυγού βαθμού. Πληρούνται οι προϋποθέσεις φυσικής πραγματοποίησης.
2.5. ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗΣ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑΣ ΜΕ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΚΥΚΛΩΜΑ.
Μία από τις μεθόδους για την επίλυση του προβλήματος υλοποίησης βασίζεται στη συνεχή επέκταση του κλάσματος της συνάρτησης αντίστασης εισόδου
Η διαδικασία αποσύνθεσης περιγράφεται στη βιβλιογραφία: , . Η συνεχιζόμενη επέκταση του κλάσματος μπορεί να εξηγηθεί εν συντομία ως εξής.
Η συνάρτηση είναι ένας λόγος πολυωνύμων. Πρώτον, το πολυώνυμο του αριθμητή διαιρείται με το πολυώνυμο του παρονομαστή. τότε το πολυώνυμο που ήταν ο διαιρέτης γίνεται διαιρετό και το υπόλοιπο που προκύπτει γίνεται διαιρέτης κ.ο.κ. Τα πηλίκα που λαμβάνονται με διαίρεση σχηματίζουν ένα συνεχές κλάσμα. Για το κύκλωμα στο Σχήμα 2.8, το συνεχιζόμενο κλάσμα έχει τη μορφή (για =1):
Εάν είναι απαραίτητο, μπορείτε από τα ληφθέντα
προγράμματα πηγαίνουν στο διπλό.
2.6. ΜΕΘΟΔΟΣ ΜΕΤΑΤΡΟΠΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΙΚΗΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ.
Η μέθοδος μετατροπής μεταβλητής συχνότητας χρησιμοποιείται για τη σύνθεση HPF και PF. Ο μετασχηματισμός ισχύει μόνο για κανονικοποιημένες συχνότητες Ω.
2.6.1. Σύνθεση HPF. Συγκρίνοντας τα χαρακτηριστικά των LPF και HPF στα Σχήματα 2.9 και 2.10, μπορείτε να δείτε ότι είναι αμοιβαία αντίστροφα. Αυτό σημαίνει ότι αν αλλάξουμε τη μεταβλητή συχνότητας
στην έκφραση του χαρακτηριστικού του φίλτρου χαμηλής διέλευσης, τότε θα ληφθεί το χαρακτηριστικό υψηλής διέλευσης. Για παράδειγμα, για ένα φίλτρο με χαρακτηριστικό Butterworth
Η χρήση αυτού του μετασχηματισμού ισοδυναμεί με την αντικατάσταση χωρητικών στοιχείων με επαγωγικά και αντίστροφα:
Αυτό είναι
Αυτό είναι .
Για να συνθέσετε ένα φίλτρο υψηλής διέλευσης χρησιμοποιώντας τη μέθοδο μετασχηματισμού μεταβλητής συχνότητας, πρέπει να κάνετε τα εξής.
Ρύζι. 2.9. LPF με κανονικοποιημένη Εικ. 2.10. HPF με κανονικοποιημένο
χαρακτηριστικό γνώρισμα. χαρακτηριστικό γνώρισμα.
1. Κανονικοποιήστε τη μεταβλητή συχνότητας .
2. Εφαρμόστε τον τύπο (2.27) για να μετατρέψετε τη μεταβλητή συχνότητας
Οι επαναυπολογισμένες απαιτήσεις εξασθένησης λειτουργίας είναι οι απαιτήσεις εξασθένησης λειτουργίας του λεγόμενου πρωτότυπου LPF.
3. Συνθέστε το πρωτότυπο LPF.
4. Εφαρμόστε τον τύπο (2.27) για να μετακινηθείτε από το πρωτότυπο LPF στο απαιτούμενο HPF.
5. Εκτελέστε αποκανονικοποίηση των παραμέτρων των στοιχείων του συντιθέμενου HPF.
2.6.2. Σύνθεση PF. Εικόνα 2.1.3. φαίνεται το συμμετρικό χαρακτηριστικό της εξασθένησης λειτουργίας του ζωνοπερατού φίλτρου. Αυτό είναι το όνομα του χαρακτηριστικού, γεωμετρικά συμμετρικό ως προς τη μέση συχνότητα.
Για να συνθέσετε το PF χρησιμοποιώντας τη μέθοδο μετασχηματισμού μεταβλητής συχνότητας, πρέπει να κάνετε τα εξής.
1. Για να μετακινηθείτε από το απαιτούμενο συμμετρικό χαρακτηριστικό του PF στο κανονικοποιημένο χαρακτηριστικό του πρωτοτύπου LPF (και να χρησιμοποιήσετε την ήδη γνωστή τεχνική σύνθεσης), είναι απαραίτητο να αντικαταστήσετε τη μεταβλητή συχνότητας (Εικόνα 2.11).
2.7. ΕΝΕΡΓΑ ΦΙΛΤΡΑ.
Τα ενεργά φίλτρα χαρακτηρίζονται από την απουσία επαγωγών, καθώς οι ιδιότητες των επαγωγικών στοιχείων μπορούν να αναπαραχθούν χρησιμοποιώντας ενεργά κυκλώματα που περιέχουν ενεργά στοιχεία (op-amps), αντιστάσεις και πυκνωτές. Τέτοια συστήματα ονομάζονται: συστήματα ARC. Τα μειονεκτήματα των πηνίων είναι συντελεστής χαμηλής ποιότητας (μεγάλες απώλειες), μεγάλες διαστάσεις, υψηλό κόστος παραγωγής.
2.7.1. Βασικές αρχές της θεωρίας των φίλτρων ARC. Για ένα γραμμικό δίκτυο τεσσάρων τερματικών (συμπεριλαμβανομένου ενός γραμμικού φίλτρου ARC), η αναλογία μεταξύ της τάσης εισόδου και εξόδου (σε μορφή χειριστή) εκφράζεται από τη συνάρτηση μεταφοράς τάσης:
όπου w(p) είναι άρτιο (K p 0 για LPF) ή περιττό (για HPF) πολυώνυμο,
Το v(p) είναι ένα πολυώνυμο Hurwitz τάξης N.
Για το LPF, η συνάρτηση μεταφοράς (κανονικοποιημένη τιμή) μπορεί να αναπαρασταθεί ως γινόμενο παραγόντων
όπου K \u003d H U (0) \u003d K2 1 K2 2 ... ... K2 (N / 2) - η τιμή της συνάρτησης H U (p) (για ένα φίλτρο άρτιας τάξης) κατά τη μετάδοση σταθερής τάσης ( δηλαδή σε f \u003d 0 ή, σε μορφή τελεστή, σε p=0).
οι συντελεστές στον παρονομαστή σχηματίζονται από το γινόμενο σύνθετων συζυγών ριζών
Στην περίπτωση ενός φίλτρου περιττής τάξης, υπάρχει ένας παράγοντας που σχηματίζεται χρησιμοποιώντας τη ρίζα του πολυωνύμου Hurwitz με πραγματική τιμή .
Κάθε συντελεστής συνάρτησης μεταφοράς μπορεί να υλοποιηθεί με ένα ενεργό χαμηλοπερατό φίλτρο δεύτερης ή πρώτης τάξης (ARC). Και ολόκληρη η δεδομένη συνάρτηση μεταφοράς H U (p) είναι μια διαδοχική σύνδεση τέτοιων δικτύων τεσσάρων τερματικών (Εικόνα 2.13).
Μια ενεργή συσκευή τεσσάρων ακροδεκτών που βασίζεται σε λειτουργικό ενισχυτή έχει μια πολύ χρήσιμη ιδιότητα - η σύνθετη αντίσταση εισόδου της είναι πολύ μεγαλύτερη από την αντίσταση εξόδου της. Η σύνδεση σε ένα δίκτυο τεσσάρων τερματικών ως πολύ μεγάλο φορτίο αντίστασης (αυτός ο τρόπος λειτουργίας είναι κοντά στην κατάσταση αδράνειας) δεν επηρεάζει τα χαρακτηριστικά του ίδιου του δικτύου τεσσάρων τερματικών.
H U (p) = H1 U (p) H2 U (p) ... Hk U (p)
Για παράδειγμα, ένα ενεργό χαμηλοπερατό φίλτρο 5ης τάξης μπορεί να υλοποιηθεί από ένα κύκλωμα που είναι μια διαδοχική σύνδεση δύο τετραπόλων δεύτερης τάξης και ενός τετραπόλου πρώτης τάξης (Εικ. 2.14) και ένα φίλτρο χαμηλής διέλευσης 4ης τάξης αποτελείται μιας διαδοχικής σύνδεσης δύο τετραπόλων δεύτερης τάξης. Τετράπολα με υψηλότερο συντελεστή ποιότητας συνδέονται πρώτα στη διαδρομή μετάδοσης σήματος. η πρώτης τάξης συσκευή τεσσάρων ακροδεκτών (με τον χαμηλότερο συντελεστή ποιότητας και τη χαμηλότερη κλίση της απόκρισης συχνότητας) συνδέεται τελευταία.
2.7.2. Σύνθεση του φίλτρου ARCπαράγονται χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση μεταφοράς τάσης (2.29). Η κανονικοποίηση συχνότητας εκτελείται σε σχέση με τη συχνότητα αποκοπής f c. Στη συχνότητα αποκοπής, η τιμή της συνάρτησης μεταφοράς τάσης είναι μικρότερη από τη μέγιστη Hmax κατά συντελεστή 3 και η τιμή εξασθένησης είναι 3 dB
Ρύζι. 2.14. Χαμηλοπερατό φίλτρο ARC 5ης τάξης.
Η κανονικοποίηση των χαρακτηριστικών συχνότητας γίνεται σε σχέση με το f c . Αν λύσουμε τις εξισώσεις (2.16) και (2.23) ως προς τη συχνότητα αποκοπής, τότε λαμβάνουμε τις εκφράσεις
Για LPF με χαρακτηριστικό Butterworth.
Με ένα χαρακτηριστικό του Chebyshev.
Ανάλογα με τον τύπο του χαρακτηριστικού φίλτρου - Butterworth ή Chebyshev - η σειρά της προσεγγιστικής συνάρτησης καθορίζεται από τους τύπους (2.19) ή (2.26).
Οι ρίζες του πολυωνύμου Hurwitz προσδιορίζονται από τους τύπους (2.20) ή (2.26). Η συνάρτηση μεταφοράς τάσης για ένα τετράπολο δεύτερης τάξης μπορεί να διαμορφωθεί χρησιμοποιώντας ένα ζεύγος σύνθετων συζυγών ριζών και, επιπλέον, μπορεί να εκφραστεί ως προς τις παραμέτρους των στοιχείων του κυκλώματος (Εικ. 2.14). Η ανάλυση του κυκλώματος και η παραγωγή της έκφρασης (2.31) δεν δίνονται. Η έκφραση (2.32) για το τετράπολο πρώτης τάξης γράφεται με παρόμοιο τρόπο.
Δεδομένου ότι η τιμή της αντίστασης φορτίου δεν επηρεάζει τα χαρακτηριστικά του ενεργού φίλτρου, η αποκανονικοποίηση πραγματοποιείται με βάση τα ακόλουθα. Αρχικά, επιλέγονται αποδεκτές τιμές αντίστασης αντίστασης (10 ... 30 kOhm). Στη συνέχεια προσδιορίζονται οι πραγματικές τιμές των παραμέτρων χωρητικότητας. Για αυτό, το f c χρησιμοποιείται στην έκφραση (2.15).
Η γενική θεωρία της σύνθεσης γραμμικών ηλεκτρικών κυκλωμάτων δεν περιλαμβάνεται στην εργασία του μαθήματος «Ραδιοκυκλώματα και σήματα».
Αυτό το κεφάλαιο εξετάζει μόνο ορισμένες συγκεκριμένες, συγκεκριμένες ερωτήσεις για τη σύνθεση ραδιοκυκλωμάτων:
σύνθεση ενεργών τετραπόλων με τη μορφή κλιμακωτής σύνδεσης στοιχειωδών μη αλληλεπιδρώντων (αποσυνδεδεμένων) συνδέσμων πρώτης ή δεύτερης τάξης.
κατασκευή επιλεκτικών κυκλωμάτων που δεν περιέχουν επαγωγείς (ολοκληρωμένα κυκλώματα).
στοιχεία σύνθεσης διακριτών (ψηφιακών) κυκλωμάτων και η σχέση μεταξύ της απόκρισης συχνότητας και της απόκρισης φάσης των ψηφιακών φίλτρων.
Η σύνθεση αναλογικών κυκλωμάτων σε αυτό το κεφάλαιο πραγματοποιείται μόνο στον τομέα συχνότητας, δηλ. σύμφωνα με μια δεδομένη συνάρτηση μεταφοράς. για ψηφιακά κυκλώματα, η σύνθεση θεωρείται επίσης για μια δεδομένη παλμική απόκριση (συνοπτικά).
Είναι γνωστό ότι η συνάρτηση μεταφοράς ενός γραμμικού τετραπόλου καθορίζεται μοναδικά από τα μηδενικά και τους πόλους του στο επίπεδο (αναλογικά κυκλώματα) ή στο επίπεδο z (ψηφιακά κυκλώματα). Επομένως, η έκφραση "σύνθεση με δεδομένη συνάρτηση μεταφοράς" είναι ισοδύναμη με την έκφραση "σύνθεση με δεδομένα μηδενικά και πόλους της συνάρτησης μεταφοράς". Η υπάρχουσα θεωρία της σύνθεσης τετραπόλων εξετάζει κυκλώματα των οποίων η συνάρτηση μεταφοράς έχει πεπερασμένο αριθμό μηδενικών και πόλων, με άλλα λόγια, κυκλώματα που αποτελούνται από έναν πεπερασμένο αριθμό ζεύξεων με ομαδοποιημένες παραμέτρους. Το υλικό που παρουσιάζεται παρακάτω επικεντρώνεται σε τετράπολα με μικρό αριθμό συνδέσμων, τα οποία είναι τυπικά για φίλτρα χαμηλής διέλευσης, υψιπερατά φίλτρα, φίλτρα φραγμού κ.λπ., τα οποία χρησιμοποιούνται ευρέως σε ηλεκτρονικές συσκευές.
Διάλεξη αριθμός 15.
Σχεδιασμός (σύνθεση) γραμμικών ψηφιακών φίλτρων.
Ο σχεδιασμός (σύνθεση) ενός ψηφιακού φίλτρου νοείται ως η επιλογή τέτοιων συντελεστών της συνάρτησης συστήματος (μεταφοράς), στους οποίους τα χαρακτηριστικά του προκύπτοντος φίλτρου ικανοποιούν τις καθορισμένες απαιτήσεις. Αυστηρά μιλώντας, η εργασία σχεδιασμού περιλαμβάνει επίσης την επιλογή μιας κατάλληλης δομής φίλτρου (βλ. Διάλεξη 14), λαμβάνοντας υπόψη την πεπερασμένη ακρίβεια των υπολογισμών. Αυτό ισχύει ιδιαίτερα κατά την εφαρμογή φίλτρων σε μορφή υλικού (με τη μορφή εξειδικευμένων επεξεργαστών LSI ή ψηφιακού σήματος). Επομένως, γενικά, ο σχεδιασμός ενός ψηφιακού φίλτρου αποτελείται από τα ακόλουθα βήματα:
- Επίλυση ενός προβλήματος προσέγγισης για τον προσδιορισμό των συντελεστών φίλτρου και μιας συνάρτησης συστήματος που πληροί συγκεκριμένες απαιτήσεις.
- Η επιλογή του σχήματος κατασκευής φίλτρου, δηλαδή η μετατροπή μιας συνάρτησης συστήματος σε ένα συγκεκριμένο μπλοκ διάγραμμα φίλτρου.
- Αξιολόγηση των φαινομένων κβαντοποίησης, δηλαδή των επιδράσεων που σχετίζονται με την πεπερασμένη ακρίβεια της αναπαράστασης αριθμών σε ψηφιακά συστήματα με βάθος πεπερασμένου bit.
- Έλεγχος με μεθόδους προσομοίωσης εάν το φίλτρο που προκύπτει ικανοποιεί τις καθορισμένες απαιτήσεις.
Οι μέθοδοι για τη σύνθεση ψηφιακών φίλτρων μπορούν να ταξινομηθούν σύμφωνα με διάφορα κριτήρια:
- κατά τύπο φίλτρου:
- μέθοδοι σύνθεσης φίλτρων με πεπερασμένη παλμική απόκριση.
- μέθοδοι σύνθεσης φίλτρων με άπειρη απόκριση παλμών.
- με την παρουσία ενός αναλογικού πρωτοτύπου:
- μέθοδοι σύνθεσης με χρήση αναλογικού πρωτοτύπου.
- μεθόδους άμεσης σύνθεσης (χωρίς τη χρήση αναλογικού πρωτοτύπου).
Στην πράξη, τα φίλτρα FIR προτιμώνται συχνά για τους ακόλουθους λόγους. Πρώτον, τα φίλτρα FIR παρέχουν τη δυνατότητα ακριβούς υπολογισμού του σήματος εξόδου με περιορισμένη είσοδο σε συνέλιξη που δεν απαιτεί περικοπή παλμικής απόκρισης. Δεύτερον, τα φίλτρα με πεπερασμένη παλμική απόκριση μπορούν να έχουν αυστηρά γραμμική απόκριση φάσης στη ζώνη διέλευσης, η οποία σας επιτρέπει να σχεδιάσετε φίλτρα με απόκριση πλάτους που δεν παραμορφώνει τα σήματα εισόδου. Τρίτον, τα φίλτρα FIR είναι πάντα σταθερά και, με την εισαγωγή μιας κατάλληλης πεπερασμένης καθυστέρησης, είναι φυσικά πραγματοποιήσιμα. Επιπλέον, τα φίλτρα FIR μπορούν να εφαρμοστούν όχι μόνο σε μη αναδρομικά σχήματα, αλλά και χρησιμοποιώντας αναδρομικές φόρμες.
Σημειώστε τα μειονεκτήματα των φίλτρων FIR:
- Για να προσεγγιστούν τα φίλτρα των οποίων οι αποκρίσεις συχνότητας έχουν απότομες αποκοπές, απαιτείται μια κρουστική απόκριση με μεγάλο αριθμό δειγμάτων. Επομένως, όταν χρησιμοποιείτε συμβατική συνέλιξη, είναι απαραίτητο να εκτελέσετε μεγάλο αριθμό υπολογισμών. Μόνο η ανάπτυξη μεθόδων γρήγορης συνέλιξης που βασίζονται στον αλγόριθμο FFT υψηλής απόδοσης επέτρεψε στα φίλτρα FIR να ανταγωνιστούν επιτυχώς τα φίλτρα IIR που έχουν απότομες αποκοπές στην απόκριση συχνότητας.
- Η καθυστέρηση στα φίλτρα FIR με γραμμική απόκριση φάσης δεν είναι πάντα ίση με έναν ακέραιο αριθμό διαστημάτων δειγματοληψίας. Σε ορισμένες εφαρμογές, αυτή η πολλαπλή καθυστέρηση μπορεί να είναι προβληματική.
Μία από τις επιλογές για το σχεδιασμό ψηφιακών φίλτρων σχετίζεται με μια δεδομένη ακολουθία δειγμάτων της κρουστικής απόκρισης, τα οποία χρησιμοποιούνται για τη λήψη και ανάλυση της απόκρισης συχνότητάς της (κέρδος συχνότητας).
Λαμβάνουμε την συνθήκη υπό την οποία το μη αναδρομικό φίλτρο έχει μια αυστηρά γραμμική απόκριση φάσης. Η λειτουργία συστήματος ενός τέτοιου φίλτρου έχει τη μορφή:
, (15.1)
όπου οι συντελεστές φίλτρου είναι δείγματα παλμικής απόκρισης. Ο μετασχηματισμός Fourier του είναι η απόκριση συχνότητας του φίλτρου, περιοδική σε συχνότητα με τελεία. Το αντιπροσωπεύουμε για μια πραγματική ακολουθία με τη μορφή: Λαμβάνουμε τις συνθήκες υπό τις οποίες η κρουστική απόκριση του φίλτρου θα εξασφαλίσει την αυστηρή γραμμικότητα της απόκρισης φάσης του. Το τελευταίο σημαίνει ότι το χαρακτηριστικό φάσης πρέπει να μοιάζει με:
(15.2)
όπου η σταθερή καθυστέρηση φάσης εκφράζεται ως ο αριθμός των διαστημάτων δειγματοληψίας. Γράφουμε την απόκριση συχνότητας με τη μορφή:
(15.3)
Εξισώνοντας το πραγματικό και το φανταστικό μέρος, παίρνουμε:
, (15.4)
. (15.5)
Οπου:
. (15.6)
Υπάρχουν δύο πιθανές λύσεις στην εξίσωση (15.6). Το ένα (όταν) δεν έχει ενδιαφέρον, το άλλο αντιστοιχεί στην περίπτωση. Πολλαπλασιάζοντας τους όρους της εξίσωσης (15.6), παίρνουμε:
(15.7)
Εφόσον η εξίσωση (15.7) έχει τη μορφή σειράς Fourier, η λύση της εξίσωσης πρέπει να ικανοποιεί τις ακόλουθες συνθήκες:
, (15.8)
και (15.9)
Από τη συνθήκη (15.8) προκύπτει ότι για καθεμία υπάρχει μόνο μία καθυστέρηση φάσης, υπό την οποία μπορεί να επιτευχθεί αυστηρή γραμμικότητα του χαρακτηριστικού της φάσης του φίλτρου. Από το (15.9) προκύπτει ότι για ένα δεδομένο που ικανοποιεί την συνθήκη (15.8), η παλμική απόκριση πρέπει να έχει μια καλά καθορισμένη συμμετρία.
Είναι σκόπιμο να εξεταστεί η χρήση των συνθηκών (15.8) και (15.9) χωριστά για τις περιπτώσεις ζυγού και περιττού. Εάν ένας περιττός αριθμός, τότε ένας ακέραιος, δηλαδή, η καθυστέρηση στο φίλτρο είναι ίση με έναν ακέραιο αριθμό διαστημάτων δειγματοληψίας. Σε αυτή την περίπτωση, το κέντρο συμμετρίας πέφτει στην αναφορά. Εάν είναι ζυγός αριθμός, τότε είναι κλασματικός αριθμός και η καθυστέρηση στο φίλτρο είναι ίση με έναν μη ακέραιο αριθμό διαστημάτων δειγματοληψίας. Για παράδειγμα, για παίρνουμε, και το κέντρο συμμετρίας της παλμικής απόκρισης βρίσκεται στη μέση μεταξύ δύο μετρήσεων.
Οι τιμές των συντελεστών παλμικής απόκρισης χρησιμοποιούνται για τον υπολογισμό της απόκρισης συχνότητας των φίλτρων FIR. Μπορεί να φανεί ότι για μια συμμετρική απόκριση παλμού με περιττό αριθμό δειγμάτων, η έκφραση για μια πραγματική συνάρτηση που παίρνει θετικές και αρνητικές τιμές είναι:
, (15.10)
Οπου
Τις περισσότερες φορές, όταν σχεδιάζουμε ένα φίλτρο FIR, ξεκινάμε από την απαιτούμενη (ή επιθυμητή) απόκριση συχνότητας και στη συνέχεια υπολογίζουμε τους συντελεστές φίλτρου. Υπάρχουν διάφορες μέθοδοι για τον υπολογισμό τέτοιων φίλτρων:μέθοδος σχεδίασης με παράθυρο, μέθοδος δειγματοληψίας συχνότητας, μέθοδος υπολογισμού του βέλτιστου (σύμφωνα με τον Chebyshev) φίλτρο.Εξετάστε την ιδέα της σχεδίασης με παράθυρο χρησιμοποιώντας το χαμηλοπερατό φίλτρο FIR ως παράδειγμα.
Πρώτα απ 'όλα, ρυθμίζεται η επιθυμητή απόκριση συχνότητας του σχεδιασμένου φίλτρου. Για παράδειγμα, ας πάρουμε μια ιδανική απόκριση συνεχούς συχνότητας ενός φίλτρου χαμηλής διέλευσης με κέρδος ίσο με μονάδα σε χαμηλές συχνότητες και ίσο με μηδέν σε συχνότητες που υπερβαίνουν ορισμένεςσυχνότητα αποκοπής . Μια διακριτή αναπαράσταση ενός ιδανικού φίλτρου χαμηλής διέλευσης είναι ένα περιοδικό χαρακτηριστικό, το οποίο μπορεί να οριστεί από δείγματα σε διάστημα περιοδικότητας ίσο με τη συχνότητα δειγματοληψίας. Ο προσδιορισμός των συντελεστών χαμηλοπερατού φίλτρου χρησιμοποιώντας μεθόδους αντίστροφης DFT (είτε αναλυτικά είτε χρησιμοποιώντας ένα πρόγραμμα αντίστροφης DFT) δίδει μια ακολουθία δειγμάτων απόκρισης παλμού που είναι άπειρη και στις δύο κατευθύνσεις, η οποία έχει τη μορφή κλασικής συνάρτησης.
Για να ληφθεί ένα εφαρμόσιμο μη αναδρομικό φίλτρο μιας δεδομένης τάξης, αυτή η ακολουθία περικόπτεται, ένα κεντρικό τμήμα του απαιτούμενου μήκους επιλέγεται από αυτό. Η απλή περικοπή των δειγμάτων παλμικής απόκρισης είναι σύμφωνη με τη χρήσηορθογώνιο παράθυρο, που δίνεται από μια ειδική συνάρτηση Λόγω της περικοπής των δειγμάτων, η αρχικά δεδομένη απόκριση συχνότητας παραμορφώνεται, καθώς είναι μια συνέλιξη στον τομέα συχνότητας της διακριτής απόκρισης συχνότητας και του DFT της συνάρτησης παραθύρου:
, (15.11)
όπου DFT Ως αποτέλεσμα, εμφανίζεται κυματισμός στη ζώνη διέλευσης της απόκρισης συχνότητας λόγω των πλευρικών λοβών.
Για τον μετριασμό των παραπάνω επιπτώσεων και, κυρίως, για τη μείωση του επιπέδου των λοβών στη ζώνη αναστολής, η κολοβωμένη παλμική απόκριση πολλαπλασιάζεται με μια συνάρτηση βάρους (παράθυρο) που σταδιακά μειώνεται προς τις άκρες. Έτσι, η μέθοδος σχεδιασμού φίλτρων FIR με παράθυρα είναι μια μέθοδος μείωσης των κενών παραθύρων χρησιμοποιώντας μη ορθογώνια παράθυρα. Σε αυτήν την περίπτωση, η συνάρτηση βάρους (παράθυρο) πρέπει να έχει τις ακόλουθες ιδιότητες:
- το πλάτος του κύριου λοβού της απόκρισης συχνότητας του παραθύρου που περιέχει όσο το δυνατόν περισσότερη από τη συνολική ενέργεια πρέπει να είναι μικρό.
- η ενέργεια στους πλευρικούς λοβούς της απόκρισης συχνότητας του παραθύρου θα πρέπει να μειώνεται γρήγορα καθώς πλησιάζει το k.
Ως συναρτήσεις βάρους χρησιμοποιούνται παράθυρα Hamming, Kaiser, Blackman, Chebyshev κ.λπ.
Φόρτωση...