Εκφράσεις μήτρας
Και τώρα θα υπάρξει μια συνέχεια του θέματος, στο οποίο θα εξετάσουμε όχι μόνο νέο υλικό, αλλά θα επεξεργαστούμε και ενέργειες με πίνακες.
Μερικές ιδιότητες πράξεων σε πίνακεςΥπάρχουν πολλές ιδιότητες που σχετίζονται με πράξεις με πίνακες στην ίδια Βικιπαίδεια, μπορείτε να θαυμάσετε τις τακτικές τάξεις των αντίστοιχων κανόνων. Ωστόσο, στην πράξη, πολλά ακίνητα είναι κατά μία έννοια «νεκρές», αφού μόνο λίγα από αυτά χρησιμοποιούνται για την επίλυση πραγματικών προβλημάτων. Στόχος μου είναι να εξετάσω την πρακτική εφαρμογή των ιδιοτήτων σε συγκεκριμένα παραδείγματα, και αν χρειάζεστε μια αυστηρή θεωρία, χρησιμοποιήστε άλλη πηγή πληροφοριών.
Ας δούμε μερικές εξαιρέσεις στον κανόνα που θα απαιτηθούν για την ολοκλήρωση πρακτικών εργασιών.
Αν τετράγωνη μήτραυπάρχει ένας αντίστροφος πίνακας, τότε ο πολλαπλασιασμός τους είναι ανταλλάξιμος: 
Ένας πίνακας ταυτότητας είναι ένας τετραγωνικός πίνακας του οποίου κύρια διαγώνιοβρίσκονται οι μονάδες και τα υπόλοιπα στοιχεία είναι ίσα με μηδέν. Για παράδειγμα: , κ.λπ.
Σε αυτήν την περίπτωση, ισχύει η ακόλουθη ιδιότητα: εάν ένας αυθαίρετος πίνακας πολλαπλασιάζεται στα αριστερά ή στα δεξιά με έναν πίνακα ταυτότητας κατάλληλων μεγεθών, το αποτέλεσμα θα είναι ο αρχικός πίνακας:
Όπως μπορείτε να δείτε, η ανταλλαξιμότητα του πολλαπλασιασμού του πίνακα λαμβάνει χώρα επίσης εδώ.
Ας πάρουμε λίγο πίνακα, ας πούμε, τον πίνακα από το προηγούμενο πρόβλημα: 
.
Οι ενδιαφερόμενοι μπορούν να ελέγξουν και να βεβαιωθούν ότι: 
Ο πίνακας μονάδων για πίνακες είναι ένα ανάλογο της αριθμητικής μονάδας για τους αριθμούς, το οποίο είναι ιδιαίτερα σαφές από τα παραδείγματα που μόλις συζητήθηκαν.
Μεταλλαξιμότητα ενός αριθμητικού παράγοντα ως προς τον πολλαπλασιασμό πίνακαΓια πίνακες και πραγματικούς αριθμούς ισχύει η ακόλουθη ιδιότητα: 
Δηλαδή, ο αριθμητικός παράγοντας μπορεί (και πρέπει) να μετακινηθεί προς τα εμπρός έτσι ώστε να «δεν παρεμβαίνει» στον πολλαπλασιασμό των πινάκων.
Σημείωση : γενικά μιλώντας, η διατύπωση της ιδιότητας είναι ελλιπής - το "λάμδα" μπορεί να τοποθετηθεί οπουδήποτε μεταξύ των πινάκων, ακόμη και στο τέλος. Ο κανόνας παραμένει έγκυρος εάν πολλαπλασιαστούν τρεις ή περισσότεροι πίνακες.
Παράδειγμα 4
Υπολογίστε το προϊόν 
Λύση :
(1) Σύμφωνα με την ιδιοκτησία 
μετακινήστε τον αριθμητικό παράγοντα προς τα εμπρός. Οι ίδιοι οι πίνακες δεν μπορούν να αναδιαταχθούν!
(2) – (3) Εκτελέστε πολλαπλασιασμό πίνακα.
(4) Εδώ μπορείτε να διαιρέσετε κάθε αριθμό με το 10, αλλά στη συνέχεια θα εμφανιστούν δεκαδικά κλάσματα μεταξύ των στοιχείων του πίνακα, κάτι που δεν είναι καλό. Ωστόσο, παρατηρούμε ότι όλοι οι αριθμοί στον πίνακα διαιρούνται με το 5, οπότε πολλαπλασιάζουμε κάθε στοιχείο με .
Απάντηση: 
Μια μικρή παρωδία για να λύσετε μόνοι σας:
Παράδειγμα 5
Υπολογίστε εάν 
Η λύση και η απάντηση βρίσκονται στο τέλος του μαθήματος.
Ποια τεχνική τεχνική είναι σημαντική κατά την επίλυση τέτοιων παραδειγμάτων; Ας βρούμε τους αριθμούς τελευταίο από όλα .
Ας συνδέσουμε ένα άλλο βαγόνι στην ατμομηχανή:
Πώς να πολλαπλασιάσετε τρεις πίνακες;Πρώτα απ 'όλα, ΤΙ θα πρέπει να είναι το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού τριών πινάκων; Μια γάτα δεν θα γεννήσει ποντίκι. Εάν ο πολλαπλασιασμός πίνακα είναι εφικτός, τότε το αποτέλεσμα θα είναι επίσης ένας πίνακας. Χμμμ, καλά, ο δάσκαλός μου της άλγεβρας δεν βλέπει πώς εξηγώ την κλειστότητα της αλγεβρικής δομής σε σχέση με τα στοιχεία της =)
Το γινόμενο τριών πινάκων μπορεί να υπολογιστεί με δύο τρόπους:
1) βρείτε και στη συνέχεια πολλαπλασιάστε με τον πίνακα "tse": ;
2) είτε πρώτα βρείτε , μετά πολλαπλασιάστε .
Τα αποτελέσματα σίγουρα θα συμπέσουν και θεωρητικά αυτή η ιδιότητα ονομάζεται συσχετισμός πολλαπλασιασμού πίνακα:
Παράδειγμα 6
Πολλαπλασιάστε τους πίνακες με δύο τρόπους 
Ο αλγόριθμος λύσης είναι δύο βημάτων: βρίσκουμε το γινόμενο δύο πινάκων και μετά βρίσκουμε ξανά το γινόμενο δύο πινάκων.
1) Χρησιμοποιήστε τον τύπο
Πρώτη δράση:
Πράξη δεύτερη:
2) Χρησιμοποιήστε τον τύπο
Πρώτη δράση:
Πράξη δεύτερη:
Απάντηση: 
Η πρώτη λύση είναι, φυσικά, πιο οικεία και τυπική, όπου «όλα φαίνεται να είναι εντάξει». Παρεμπιπτόντως, όσον αφορά την παραγγελία. Στην εργασία που εξετάζουμε, συχνά προκύπτει η ψευδαίσθηση ότι μιλάμε για κάποιου είδους μεταθέσεις πινάκων. Δεν είναι εδώ. Υπενθυμίζω και πάλι ότι στη γενική περίπτωση είναι ΑΔΥΝΑΤΟΝ ΝΑ ΞΑΝΑΔΙΑΚΡΙΝΟΥΜΕ ΜΗΤΡΕΣ. Έτσι, στη δεύτερη παράγραφο, στο δεύτερο βήμα, κάνουμε πολλαπλασιασμό, αλλά σε καμία περίπτωση δεν κάνουμε . Με συνηθισμένους αριθμούς ένας τέτοιος αριθμός θα λειτουργούσε, αλλά με πίνακες όχι.
Η ιδιότητα του συνειρμικού πολλαπλασιασμού ισχύει όχι μόνο για τετράγωνους, αλλά και για αυθαίρετους πίνακες - αρκεί να πολλαπλασιάζονται:
Παράδειγμα 7
Βρείτε το γινόμενο τριών πινάκων 
Αυτό είναι ένα παράδειγμα για να το λύσετε μόνοι σας. Στη λύση του δείγματος, οι υπολογισμοί γίνονται με δύο τρόπους.
Η ιδιότητα συσχέτισης του πολλαπλασιασμού πινάκων ισχύει επίσης για μεγαλύτερο αριθμό παραγόντων.
Τώρα είναι η ώρα να επιστρέψουμε στις δυνάμεις των πινάκων. Το τετράγωνο της μήτρας εξετάζεται στην αρχή και το ερώτημα στην ημερήσια διάταξη είναι:
Πώς να δημιουργήσετε μια μήτρα σε έναν κύβο ή περισσότερο υψηλούς βαθμούς?Αυτές οι πράξεις ορίζονται επίσης μόνο για τετραγωνικούς πίνακες. Για να διαμορφώσετε έναν τετράγωνο πίνακα, πρέπει να υπολογίσετε το γινόμενο:
Στην πραγματικότητα, αυτή είναι μια ειδική περίπτωση πολλαπλασιασμού τριών πινάκων, σύμφωνα με την ιδιότητα συσχέτισης του πολλαπλασιασμού πίνακα: . Και ένας πίνακας πολλαπλασιασμένος από τον εαυτό του είναι το τετράγωνο του πίνακα:
Έτσι, παίρνουμε τον τύπο εργασίας:
Δηλαδή, η εργασία εκτελείται σε δύο βήματα: πρώτα, ο πίνακας πρέπει να τετραγωνιστεί και, στη συνέχεια, ο προκύπτων πίνακας πρέπει να πολλαπλασιαστεί με τον πίνακα.
Παράδειγμα 8
Κατασκευάστε τη μήτρα σε κύβο.
Αυτό είναι ένα μικρό πρόβλημα που πρέπει να λύσετε μόνοι σας.
Η ανύψωση μιας μήτρας στην τέταρτη δύναμη πραγματοποιείται με φυσικό τρόπο: 
Χρησιμοποιώντας τη συσχέτιση του πολλαπλασιασμού του πίνακα, εξάγουμε δύο τύπους εργασίας. Πρώτον: – αυτό είναι το γινόμενο τριών πινάκων.
1) . Με άλλα λόγια, πρώτα βρίσκουμε , μετά το πολλαπλασιάζουμε με το "be" - παίρνουμε έναν κύβο και, τέλος, κάνουμε ξανά τον πολλαπλασιασμό - θα υπάρχει μια τέταρτη δύναμη.
2) Αλλά υπάρχει μια λύση ένα βήμα πιο σύντομη: . Δηλαδή, στο πρώτο βήμα βρίσκουμε ένα τετράγωνο και, παρακάμπτοντας τον κύβο, κάνουμε πολλαπλασιασμό
Πρόσθετη εργασία για το Παράδειγμα 8:
Ανεβάστε τη μήτρα στην τέταρτη δύναμη.
Όπως μόλις αναφέρθηκε, αυτό μπορεί να γίνει με δύο τρόπους:
1) Αφού ο κύβος είναι γνωστός, τότε κάνουμε πολλαπλασιασμό.
2) Ωστόσο, εάν σύμφωνα με τις συνθήκες του προβλήματος απαιτείται να κατασκευαστεί ένας πίνακας μόνο στην τέταρτη δύναμη, τότε είναι πλεονεκτικό να συντομεύσετε τη διαδρομή - βρείτε το τετράγωνο του πίνακα και χρησιμοποιήστε τον τύπο.
Και οι δύο λύσεις και η απάντηση βρίσκονται στο τέλος του μαθήματος.
Ομοίως, η μήτρα ανυψώνεται στην πέμπτη και υψηλότερη δύναμη. Από πρακτική εμπειρία μπορώ να πω ότι μερικές φορές συναντώ παραδείγματα ανύψωσης στην 4η δύναμη, αλλά δεν θυμάμαι τίποτα για την πέμπτη δύναμη. Αλλά για κάθε περίπτωση, θα δώσω τον βέλτιστο αλγόριθμο:
1) βρείτε ;
2) βρείτε ;
3) ανεβάστε τον πίνακα στην πέμπτη δύναμη: .
Αυτές είναι, ίσως, όλες οι βασικές ιδιότητες των πράξεων μήτρας που μπορούν να είναι χρήσιμες σε πρακτικά προβλήματα.
Στη δεύτερη ενότητα του μαθήματος αναμένεται ένα εξίσου πολύχρωμο πλήθος.
Εκφράσεις μήτραςΑς επαναλάβουμε τις συνηθισμένες σχολικές εκφράσεις με αριθμούς. Μια αριθμητική παράσταση αποτελείται από αριθμούς, μαθηματικά σύμβολα και παρενθέσεις, για παράδειγμα: 
. Κατά τον υπολογισμό, ισχύει η γνωστή αλγεβρική προτεραιότητα: πρώτον, αγκύλες, στη συνέχεια εκτελείται εκθεσιμότητα/ριζοβολία, Επειτα πολλαπλασιασμός/διαίρεσηκαι τελευταίο αλλά εξίσου σημαντικό - πρόσθεση/αφαίρεση.
Εάν μια αριθμητική παράσταση έχει νόημα, τότε το αποτέλεσμα της αξιολόγησής της είναι ένας αριθμός, για παράδειγμα:
Οι εκφράσεις μήτρας λειτουργούν σχεδόν με τον ίδιο τρόπο! Με τη διαφορά ότι οι βασικοί χαρακτήρες είναι μήτρες. Επιπλέον, ορισμένες συγκεκριμένες λειτουργίες μήτρας, όπως η μεταφορά και η εύρεση αντίστροφη μήτρα.
Εξετάστε την έκφραση του πίνακα 
, όπου υπάρχουν μερικοί πίνακες. Σε αυτήν την έκφραση πίνακα, τρεις όροι και οι πράξεις πρόσθεσης/αφαίρεσης εκτελούνται τελευταίοι.
Στον πρώτο όρο, πρέπει πρώτα να μεταφέρετε τον πίνακα "be": , μετά να εκτελέσετε τον πολλαπλασιασμό και να εισαγάγετε το "δύο" στον προκύπτοντα πίνακα. Σημειώστε ότι η πράξη μεταφοράς έχει μεγαλύτερη προτεραιότητα από τον πολλαπλασιασμό. Οι παρενθέσεις, όπως στις αριθμητικές εκφράσεις, αλλάζουν τη σειρά των ενεργειών: - εδώ εκτελείται πρώτα ο πολλαπλασιασμός, στη συνέχεια ο προκύπτων πίνακας μεταφέρεται και πολλαπλασιάζεται επί 2.
Στον δεύτερο όρο, ο πολλαπλασιασμός του πίνακα εκτελείται πρώτα και ο αντίστροφος πίνακας βρίσκεται από το γινόμενο. Εάν αφαιρέσετε τις αγκύλες: , τότε πρέπει πρώτα να βρείτε τον αντίστροφο πίνακα και μετά να πολλαπλασιάσετε τους πίνακες: . Η εύρεση του αντιστρόφου ενός πίνακα έχει επίσης προτεραιότητα έναντι του πολλαπλασιασμού.
Με τον τρίτο όρο, όλα είναι προφανή: ανεβάζουμε τη μήτρα σε έναν κύβο και εισάγουμε το "πέντε" στον προκύπτον πίνακα.
Εάν μια έκφραση πίνακα έχει νόημα, τότε το αποτέλεσμα της αξιολόγησής της είναι ένας πίνακας.
Όλες οι εργασίες θα είναι από πραγματικές δοκιμές, και θα ξεκινήσουμε με το πιο απλό:
Παράδειγμα 9
Δοσμένοι πίνακες 
. Εύρημα:
Λύση: η σειρά των ενεργειών είναι προφανής, πρώτα γίνεται πολλαπλασιασμός και μετά πρόσθεση.
Η πρόσθεση δεν μπορεί να πραγματοποιηθεί επειδή οι πίνακες είναι διαφορετικών μεγεθών.
Μην εκπλαγείτε, προφανώς αδύνατες ενέργειες προτείνονται συχνά σε εργασίες αυτού του τύπου.
Ας προσπαθήσουμε να υπολογίσουμε τη δεύτερη έκφραση:
Όλα είναι καλά εδώ.
Απάντηση: η ενέργεια δεν μπορεί να εκτελεστεί, 
.
Γραμμική άλγεβρα για ανδρείκελα
Για να μελετήσετε τη γραμμική άλγεβρα, μπορείτε να διαβάσετε και να εμβαθύνετε στο βιβλίο "Πίνακες και ορίζοντες" του I. V. Belousov. Ωστόσο, είναι γραμμένο σε αυστηρή και στεγνή μαθηματική γλώσσα, την οποία δύσκολα αντιλαμβάνονται άτομα με μέση νοημοσύνη. Ως εκ τούτου, έκανα μια επανάληψη των πιο δυσνόητων τμημάτων αυτού του βιβλίου, προσπαθώντας να παρουσιάσω το υλικό όσο το δυνατόν πιο καθαρά, χρησιμοποιώντας όσο το δυνατόν περισσότερα σχέδια. Έχω παραλείψει τις αποδείξεις των θεωρημάτων. Ειλικρινά, δεν εμβαθύνω σε αυτά ο ίδιος. Πιστεύω κύριε Μπελούσοφ! Αν κρίνουμε από τη δουλειά του, είναι ικανός και ευφυής μαθηματικός. Μπορείτε να κατεβάσετε το βιβλίο του στη διεύθυνση http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Belousov2006ru.pdf Εάν πρόκειται να εμβαθύνετε στη δουλειά μου, πρέπει να το κάνετε αυτό, γιατί συχνά θα αναφέρομαι στον Μπελούσοφ.
Ας ξεκινήσουμε με τους ορισμούς. Τι είναι μια μήτρα; Αυτός είναι ένας ορθογώνιος πίνακας αριθμών, συναρτήσεων ή αλγεβρικών παραστάσεων. Γιατί χρειάζονται οι πίνακες; Διευκολύνουν πολύ τους σύνθετους μαθηματικούς υπολογισμούς. Ο πίνακας μπορεί να έχει γραμμές και στήλες (Εικ. 1).
Οι γραμμές και οι στήλες αριθμούνται ξεκινώντας από τα αριστερά
από πάνω (Εικ. 1-1). Όταν λένε: μια μήτρα μεγέθους m n (ή m επί n), εννοούν με m τον αριθμό των γραμμών και με n τον αριθμό των στηλών. Για παράδειγμα, ο πίνακας στο Σχήμα 1-1 είναι 4 επί 3, όχι 3 επί 4.
Κοιτάξτε το σχ. 1-3, τι πίνακες υπάρχουν. Εάν ένας πίνακας αποτελείται από μία γραμμή, ονομάζεται πίνακας γραμμής, και εάν αποτελείται από μία στήλη, τότε ονομάζεται πίνακας στήλης. Ένας πίνακας ονομάζεται τετράγωνο της τάξης n αν ο αριθμός των σειρών είναι ίσος με τον αριθμό των στηλών και ίσος με n. Εάν όλα τα στοιχεία ενός πίνακα είναι μηδέν, τότε αυτός είναι μηδενικός πίνακας. Ένας τετράγωνος πίνακας ονομάζεται διαγώνιος εάν όλα τα στοιχεία του είναι ίσα με μηδέν, εκτός από αυτά που βρίσκονται στην κύρια διαγώνιο.
Θα εξηγήσω αμέσως ποια είναι η κύρια διαγώνιος. Οι αριθμοί σειρών και στηλών σε αυτό είναι οι ίδιοι. Πηγαίνει από αριστερά προς τα δεξιά από πάνω προς τα κάτω. (Εικ. 3) Τα στοιχεία ονομάζονται διαγώνια αν βρίσκονται στην κύρια διαγώνιο. Εάν όλα τα διαγώνια στοιχεία είναι ίσα με ένα (και τα υπόλοιπα είναι ίσα με μηδέν), ο πίνακας ονομάζεται ταυτότητα. Δύο πίνακες Α και Β ίδιου μεγέθους λέγονται ίσοι αν όλα τα στοιχεία τους είναι ίδια.
2 Πράξεις σε πίνακες και τις ιδιότητές τουςΤο γινόμενο ενός πίνακα και ενός αριθμού x είναι ένας πίνακας του ίδιου μεγέθους. Για να αποκτήσετε αυτό το γινόμενο, πρέπει να πολλαπλασιάσετε κάθε στοιχείο με αυτόν τον αριθμό (Εικόνα 4). Για να λάβετε το άθροισμα δύο πινάκων του ίδιου μεγέθους, πρέπει να προσθέσετε τα αντίστοιχα στοιχεία τους (Εικ. 4). Για να πάρετε τη διαφορά Α - Β δύο πινάκων του ίδιου μεγέθους, πρέπει να πολλαπλασιάσετε τον πίνακα Β με -1 και να προσθέσετε τον πίνακα που προκύπτει με τον πίνακα Α (Εικ. 4). Για πράξεις σε πίνακες ισχύουν οι ακόλουθες ιδιότητες: A+B=B+A (ιδιότητα commutativity).
(Α + Β)+Γ = Α+(Β + Γ) (ιδιότητα συσχέτισης). Με απλά λόγια, η αλλαγή των θέσεων των όρων δεν αλλάζει το άθροισμα. Οι ακόλουθες ιδιότητες ισχύουν για πράξεις σε πίνακες και αριθμούς:
(σημειώστε τους αριθμούς με τα γράμματα x και y και τους πίνακες με τα γράμματα A και B) x(yA)=(xy)A
Αυτές οι ιδιότητες είναι παρόμοιες με τις ιδιότητες που ισχύουν για πράξεις σε αριθμούς. Κοίτα
παραδείγματα στην Εικόνα 5. Δείτε επίσης παραδείγματα 2.4 - 2.6 από τον Μπελούσοφ στη σελίδα 9.
Ο πολλαπλασιασμός δύο πινάκων ορίζεται μόνο εάν (μεταφρασμένο στα ρωσικά: οι πίνακες μπορούν να πολλαπλασιαστούν μόνο εάν) όταν ο αριθμός των στηλών του πρώτου πίνακα στο γινόμενο είναι ίσος με τον αριθμό των σειρών του δεύτερου (Εικ. 7, παραπάνω, μπλε αγκύλες). Για να σας βοηθήσουμε να θυμάστε: ο αριθμός 1 μοιάζει περισσότερο με στήλη. Το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού είναι ένας πίνακας μεγέθους (βλ. Εικόνα 6). Για να είναι πιο εύκολο να θυμάστε τι πρέπει να πολλαπλασιαστεί με τι, προτείνω τον ακόλουθο αλγόριθμο: δείτε το σχήμα 7. Πολλαπλασιάστε τον πίνακα A με τον πίνακα B.
πίνακας Α δύο στηλών,
Ο πίνακας Β έχει δύο σειρές - μπορείτε να πολλαπλασιάσετε.
1) Ας ασχοληθούμε με την πρώτη στήλη του πίνακα Β (είναι η μόνη που έχει). Γράφουμε αυτή τη στήλη σε μια γραμμή (transpose
στήλη σχετικά με τη μεταφορά παρακάτω).
2) Αντιγράψτε αυτή τη γραμμή έτσι ώστε να λάβουμε έναν πίνακα στο μέγεθος του πίνακα Α.
3) Πολλαπλασιάστε τα στοιχεία αυτού του πίνακα με τα αντίστοιχα στοιχεία του πίνακα Α.
4) Προσθέτουμε τα προϊόντα που προκύπτουν σε κάθε σειρά και παίρνουμε έναν πίνακα προϊόντων δύο σειρών και μιας στήλης.
Το Σχήμα 7-1 δείχνει παραδείγματα πολλαπλασιαστικών πινάκων που έχουν μεγαλύτερο μέγεθος.
1) Εδώ ο πρώτος πίνακας έχει τρεις στήλες, που σημαίνει ότι ο δεύτερος πρέπει να έχει τρεις σειρές. Ο αλγόριθμος είναι ακριβώς ο ίδιος όπως στο προηγούμενο παράδειγμα, μόνο που εδώ υπάρχουν τρεις όροι σε κάθε γραμμή, όχι δύο.
2) Εδώ ο δεύτερος πίνακας έχει δύο στήλες. Πρώτα εκτελούμε τον αλγόριθμο με την πρώτη στήλη, μετά με τη δεύτερη και παίρνουμε έναν πίνακα "δύο επί δύο".
3) Εδώ η στήλη του δεύτερου πίνακα αποτελείται από ένα στοιχείο η στήλη δεν θα αλλάξει λόγω μεταφοράς. Και δεν χρειάζεται να προσθέσετε τίποτα, αφού ο πρώτος πίνακας έχει μόνο μία στήλη. Εκτελούμε τον αλγόριθμο τρεις φορές και παίρνουμε έναν πίνακα τρεις προς τρεις.
Πραγματοποιούνται οι ακόλουθες ιδιότητες:
1. Αν υπάρχει το άθροισμα B + C και το γινόμενο ΑΒ, τότε A (B + C) = AB + AC
2. Εάν υπάρχει το γινόμενο ΑΒ, τότε x (AB) = (xA) B = A (xB).
3. Αν υπάρχουν τα γινόμενα AB και BC, τότε A (BC) = (AB) C.
Εάν υπάρχει το γινόμενο μήτρας AB, τότε το γινόμενο μήτρας BA ενδέχεται να μην υπάρχει. Ακόμα κι αν υπάρχουν τα προϊόντα AB και BA, μπορεί να αποδειχθούν πίνακες διαφορετικών μεγεθών.
Και τα δύο προϊόντα ΑΒ και ΒΑ υπάρχουν και είναι πίνακες ίδιου μεγέθους μόνο στην περίπτωση τετραγωνικών πινάκων Α και Β ίδιας τάξης. Ωστόσο, ακόμη και σε αυτήν την περίπτωση, το ΑΒ μπορεί να μην είναι ίσο με το ΒΑ.
ΕκθεσιμότηταΗ αύξηση ενός πίνακα σε μια ισχύ έχει νόημα μόνο για τετράγωνους πίνακες (σκέψου γιατί;). Τότε η θετική ακέραια ισχύς m του πίνακα A είναι το γινόμενο m πινάκων ίσων με A. Το ίδιο όπως και για τους αριθμούς. Με τον μηδενικό βαθμό ενός τετραγωνικού πίνακα A εννοούμε έναν πίνακα ταυτότητας της ίδιας τάξης με τον A. Εάν έχετε ξεχάσει τι είναι ο πίνακας ταυτότητας, δείτε το Σχ. 3.
Όπως και με τους αριθμούς, ισχύουν οι ακόλουθες σχέσεις:
A mA k=A m+k (A m)k=A mk
Δείτε παραδείγματα από τον Μπελούσοφ στη σελίδα 20.
Μεταφορά πινάκωνTranspose είναι ο μετασχηματισμός του πίνακα Α στον πίνακα AT,
στον οποίο οι σειρές του πίνακα Α γράφονται στις στήλες ΑΤ διατηρώντας τη σειρά. (Εικ. 8). Μπορείτε να το πείτε αλλιώς:
Οι στήλες του πίνακα Α γράφονται στις σειρές του πίνακα ΑΤ, διατηρώντας τη σειρά. Παρατηρήστε πώς η μεταφορά αλλάζει το μέγεθος του πίνακα, δηλαδή τον αριθμό των γραμμών και των στηλών. Σημειώστε επίσης ότι τα στοιχεία στην πρώτη γραμμή, στην πρώτη στήλη και στην τελευταία γραμμή, στην τελευταία στήλη παραμένουν στη θέση τους.
Ισχύουν οι ακόλουθες ιδιότητες: (AT )T =A (μεταφορά
μήτρα δύο φορές - παίρνετε τον ίδιο πίνακα)
(xA)T =xAT (με x εννοούμε έναν αριθμό, με το Α, φυσικά, έναν πίνακα) (εάν χρειάζεται να πολλαπλασιάσετε έναν πίνακα με έναν αριθμό και να μεταφέρετε, μπορείτε πρώτα να πολλαπλασιάσετε, μετά να μεταφέρετε ή το αντίστροφο )
(A+B)T = AT +BT (AB)T =BT AT
Συμμετρικοί και αντισυμμετρικοί πίνακεςΤο Σχήμα 9, επάνω αριστερά, δείχνει έναν συμμετρικό πίνακα. Τα στοιχεία του, συμμετρικά σε σχέση με την κύρια διαγώνιο, είναι ίσα. Και τώρα ο ορισμός: Τετράγωνη μήτρα
Το Α λέγεται συμμετρικό αν ΑΤ =Α. Δηλαδή, ένας συμμετρικός πίνακας δεν αλλάζει όταν μετατίθεται. Συγκεκριμένα, κάθε διαγώνιος πίνακας είναι συμμετρικός. (Ένας τέτοιος πίνακας φαίνεται στο Σχ. 2).
Τώρα κοιτάξτε τον αντισυμμετρικό πίνακα (Εικ. 9, παρακάτω). Σε τι διαφέρει από το συμμετρικό; Σημειώστε ότι όλα τα διαγώνια στοιχεία του είναι μηδέν. U αντισυμμετρικοί πίνακεςόλα τα διαγώνια στοιχεία είναι μηδέν. Σκεφτείτε γιατί; Ορισμός: Ο τετράγωνος πίνακας Α ονομάζεται
αντισυμμετρικό αν ΑΤ = -Α. Ας σημειώσουμε μερικές ιδιότητες των πράξεων σε συμμετρικό και αντισυμμετρικό
μήτρες. 1. Αν οι Α και Β είναι συμμετρικοί (αντισύμμετροι) πίνακες, τότε το Α + Β είναι συμμετρικός (αντισύμμετρος) πίνακας.
2.Αν το Α είναι συμμετρικός (αντισύμμετρος) πίνακας, τότε το xA είναι επίσης συμμετρικός (αντισύμμετρος) πίνακας. (στην πραγματικότητα, αν πολλαπλασιάσετε τους πίνακες από το σχήμα 9 με κάποιο αριθμό, η συμμετρία θα διατηρηθεί)
3. Το γινόμενο ΑΒ δύο συμμετρικών ή δύο αντισυμμετρικών πινάκων Α και Β είναι συμμετρικός πίνακας για ΑΒ = ΒΑ και αντισυμμετρικός για ΑΒ = -ΒΑ.
4. Αν το Α είναι συμμετρικός πίνακας, τότε το A m (m = 1, 2, 3, ...) είναι συμμετρικός πίνακας. Αν ένα
Ένας αντισυμμετρικός πίνακας, στη συνέχεια Am (m = 1, 2, 3, ...) είναι συμμετρικός πίνακας για άρτιο m και αντισυμμετρικός για περιττό.
5. Ένας αυθαίρετος τετραγωνικός πίνακας Α μπορεί να αναπαρασταθεί ως άθροισμα δύο πινάκων. (ας ονομάσουμε αυτούς τους πίνακες, για παράδειγμα A(s) και A(a) )
A=A (s)+A (a)
Πρέπει να σημειωθεί ότι για αυτή τη λειτουργία μπορούν να χρησιμοποιηθούν μόνο τετράγωνοι πίνακες. Ο ίσος αριθμός σειρών και στηλών είναι απαραίτητη προϋπόθεση για την αύξηση ενός πίνακα σε ισχύ. Κατά τον υπολογισμό, η μήτρα θα πολλαπλασιαστεί από μόνη της τον απαιτούμενο αριθμό φορών.
Αυτή η ηλεκτρονική αριθμομηχανή έχει σχεδιαστεί για να εκτελεί τη λειτουργία ανύψωσης μιας μήτρας σε ισχύ. Χάρη στη χρήση του, όχι μόνο θα αντιμετωπίσετε γρήγορα αυτό το έργο, αλλά θα έχετε επίσης μια σαφή και λεπτομερή ιδέα για την πρόοδο του ίδιου του υπολογισμού. Αυτό θα βοηθήσει στην καλύτερη εδραίωση του υλικού που λαμβάνεται στη θεωρία. Έχοντας δει έναν λεπτομερή αλγόριθμο υπολογισμού μπροστά σας, θα κατανοήσετε καλύτερα όλες τις λεπτές του λεπτομέρειες και στη συνέχεια θα μπορείτε να αποφύγετε λάθη στους μη αυτόματους υπολογισμούς. Επιπλέον, δεν βλάπτει ποτέ να ελέγχετε ξανά τους υπολογισμούς σας και αυτό γίνεται επίσης καλύτερα εδώ.
Για να ανεβάσετε μια μήτρα σε ισχύ στο διαδίκτυο, θα χρειαστείτε μια σειρά απλές ενέργειες. Πρώτα απ 'όλα, καθορίστε το μέγεθος του πίνακα κάνοντας κλικ στα εικονίδια "+" ή "-" στα αριστερά του. Στη συνέχεια, εισαγάγετε τους αριθμούς στο πεδίο του πίνακα. Πρέπει επίσης να υποδείξετε την ισχύ στην οποία ανυψώνεται η μήτρα. Και στη συνέχεια το μόνο που έχετε να κάνετε είναι να κάνετε κλικ στο κουμπί "Υπολογισμός" στο κάτω μέρος του πεδίου. Το αποτέλεσμα που θα προκύψει θα είναι αξιόπιστο και ακριβές εάν εισαγάγετε προσεκτικά και σωστά όλες τις τιμές. Μαζί με αυτό, θα σας δοθεί μια αναλυτική μεταγραφή της λύσης.
Τον Ιούλιο του 2020, η NASA ξεκινά μια αποστολή στον Άρη. Το διαστημόπλοιο θα παραδοθεί στον Άρη ηλεκτρονικά μέσαμε τα ονόματα όλων των εγγεγραμμένων συμμετεχόντων στην αποστολή.
Εάν αυτή η ανάρτηση έλυσε το πρόβλημά σας ή απλά σας άρεσε, μοιραστείτε το σύνδεσμο με τους φίλους σας στα κοινωνικά δίκτυα.
Μία από αυτές τις επιλογές κώδικα πρέπει να αντιγραφεί και να επικολληθεί στον κώδικα της ιστοσελίδας σας, κατά προτίμηση μεταξύ ετικετών και ή αμέσως μετά την ετικέτα. Σύμφωνα με την πρώτη επιλογή, το MathJax φορτώνει πιο γρήγορα και επιβραδύνει λιγότερο τη σελίδα. Αλλά η δεύτερη επιλογή παρακολουθεί αυτόματα και φορτώνει τις πιο πρόσφατες εκδόσεις του MathJax. Εάν εισάγετε τον πρώτο κωδικό, θα πρέπει να ενημερώνεται περιοδικά. Εάν εισαγάγετε τον δεύτερο κώδικα, οι σελίδες θα φορτώνονται πιο αργά, αλλά δεν θα χρειάζεται να παρακολουθείτε συνεχώς τις ενημερώσεις του MathJax.
Ο ευκολότερος τρόπος σύνδεσης του MathJax είναι στο Blogger ή στο WordPress: στον πίνακα ελέγχου του ιστότοπου, προσθέστε ένα γραφικό στοιχείο σχεδιασμένο για την εισαγωγή κώδικα JavaScript τρίτου μέρους, αντιγράψτε την πρώτη ή τη δεύτερη έκδοση του κώδικα λήψης που παρουσιάζεται παραπάνω σε αυτό και τοποθετήστε το γραφικό στοιχείο πιο κοντά στην αρχή του προτύπου (παρεμπιπτόντως, αυτό δεν είναι καθόλου απαραίτητο, καθώς το σενάριο MathJax φορτώνεται ασύγχρονα). Αυτό είναι όλο. Τώρα μάθετε τη σύνταξη σήμανσης των MathML, LaTeX και ASCIIMathML και είστε έτοιμοι να ενσωματώσετε μαθηματικούς τύπουςστις ιστοσελίδες του ιστότοπού σας.
Άλλο ένα ρεβεγιόν... παγωμένος καιρός και νιφάδες χιονιού στο τζάμι... Όλα αυτά με ώθησαν να γράψω ξανά για τα... φράκταλ, και όσα γνωρίζει ο Wolfram Alpha για αυτό. Υπάρχει ένα ενδιαφέρον άρθρο για αυτό το θέμα, το οποίο περιέχει παραδείγματα δισδιάστατων δομών φράκταλ. Εδώ θα δούμε περισσότερα σύνθετα παραδείγματατρισδιάστατα φράκταλ.
Ένα φράκταλ μπορεί να αναπαρασταθεί (περιγραφεί) οπτικά ως γεωμετρικό σχήμα ή σώμα (που σημαίνει ότι και τα δύο είναι ένα σύνολο, στην περίπτωση αυτή, ένα σύνολο σημείων), οι λεπτομέρειες του οποίου έχουν το ίδιο σχήμα με το ίδιο το αρχικό σχήμα. Δηλαδή, πρόκειται για μια αυτο-όμοια δομή, εξετάζοντας τις λεπτομέρειες της οποίας όταν μεγεθύνονται, θα δούμε το ίδιο σχήμα με χωρίς μεγέθυνση. Ενώ στην περίπτωση ενός συνηθισμένου γεωμετρικού σχήματος (όχι φράκταλ), κατά τη μεγέθυνση θα δούμε λεπτομέρειες που έχουν περισσότερα απλή φόρμααπό το ίδιο το αρχικό σχήμα. Για παράδειγμα, με αρκετά υψηλή μεγέθυνσητμήμα της έλλειψης μοιάζει με ευθύγραμμο τμήμα. Αυτό δεν συμβαίνει με τα φράκταλ: με οποιαδήποτε αύξηση τους, θα δούμε ξανά το ίδιο σύνθετο σχήμα, το οποίο θα επαναλαμβάνεται ξανά και ξανά με κάθε αύξηση.
Ο Benoit Mandelbrot, ο ιδρυτής της επιστήμης των φράκταλ, έγραψε στο άρθρο του Fractals and Art in the Name of Science: «Τα φράκταλ είναι γεωμετρικά σχήματα που είναι τόσο περίπλοκα στις λεπτομέρειες όσο και στη συνολική τους μορφή, δηλαδή αν αποτελούν μέρος του φράκταλ θα διευρυνθεί στο μέγεθος του συνόλου, θα εμφανιστεί ως σύνολο, είτε ακριβώς, είτε ίσως με μια μικρή παραμόρφωση».
Εδώ θα συνεχίσουμε το θέμα των πράξεων σε πίνακες που ξεκίνησε στο πρώτο μέρος και θα δούμε μερικά παραδείγματα στα οποία θα πρέπει να εφαρμοστούν πολλές πράξεις ταυτόχρονα.
Ανεβάζοντας μια μήτρα σε δύναμη.Έστω k μη αρνητικός ακέραιος. Για κάθε τετραγωνικό πίνακα $A_(n\times n)$ έχουμε: $$ A^k=\underbrace(A\cdot A\cdot \ldots \cdot A)_(k \; φορές) $$
Σε αυτήν την περίπτωση, υποθέτουμε ότι $A^0=E$, όπου το $E$ είναι ο πίνακας ταυτότητας της αντίστοιχης σειράς.
Παράδειγμα αρ. 4
Δίνεται ένας πίνακας $ A=\left(\begin(array) (cc) 1 & 2 \\ -1 & -3 \end(array) \right)$. Βρείτε τους πίνακες $A^2$ και $A^6$.
Σύμφωνα με τον ορισμό, $A^2=A\cdot A$, δηλ. για να βρούμε το $A^2$, πρέπει απλώς να πολλαπλασιάσουμε τον πίνακα $A$ μόνος του. Η λειτουργία του πολλαπλασιασμού του πίνακα συζητήθηκε στο πρώτο μέρος του θέματος, επομένως εδώ θα γράψουμε απλώς τη διαδικασία λύσης χωρίς λεπτομερείς εξηγήσεις:
$$ A^2=A\cdot A=\left(\begin(array) (cc) 1 & 2 \\ -1 & -3 \end(array) \right)\cdot \left(\begin(array) (cc) 1 & 2 \\ -1 & -3 \end(array) \right)= \left(\begin(array) (cc) 1\cdot 1+2\cdot (-1) & 1\cdot 2 +2\cdot (-3) \\ -1\cdot 1+(-3)\cdot (-1) & -1\cdot 2+(-3)\cdot (-3) \end(array) \right )= \left(\begin(array) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \end(array) \right). $$
Για να βρούμε τον πίνακα $A^6$ έχουμε δύο επιλογές. Επιλογή πρώτη: είναι ασήμαντο να συνεχίσετε να πολλαπλασιάζετε το $A^2$ με τον πίνακα $A$:
$$ A^6=A^2\cdot A\cdot A\cdot A\cdot A. $$
Ωστόσο, μπορείτε να ακολουθήσετε μια ελαφρώς απλούστερη διαδρομή, χρησιμοποιώντας την ιδιότητα συσχέτισης του πολλαπλασιασμού πίνακα. Ας βάλουμε παρενθέσεις στην έκφραση για $A^6$:
$$ A^6=A^2\cdot A\cdot A\cdot A\cdot A=A^2\cdot (A\cdot A)\cdot (A\cdot A)=A^2\cdot A^2 \cdot A^2. $$
Εάν η επίλυση της πρώτης μεθόδου θα απαιτούσε τέσσερις πράξεις πολλαπλασιασμού, τότε η δεύτερη μέθοδος θα απαιτούσε μόνο δύο. Επομένως, ας πάμε στον δεύτερο τρόπο:
$$ A^6=A^2\cdot A^2\cdot A^2=\left(\begin(array) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \end(array) \right)\ cdot \left(\begin(array) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \end(array) \right)\cdot \left(\begin(array) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \end(array) \right)=\\= \left(\begin(array) (cc) -1\cdot (-1)+(-4)\cdot 2 & -1\cdot (-4 )+(-4)\cdot 7 \\ 2\cdot (-1)+7\cdot 2 & 2\cdot (-4)+7\cdot 7 \end(array) \right)\cdot \left(\ start(array) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \end(array) \right)= \left(\begin(array) (cc) -7 & -24 \\ 12 & 41 \end( πίνακας) \δεξιά)\cdot \left(\begin(array) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \end(array) \right)=\\= \left(\begin(array) (cc ) -7\cdot(-1)+(-24)\cdot 2 & -7\cdot (-4)+(-24)\cdot 7 \\ 12\cdot (-1)+41\cdot 2 & 12 \cdot (-4)+41\cdot 7 \end(array) \right)= \left(\begin(array) (cc) -41 & -140 \\ 70 & 239 \end(array) \right). $$
Απάντηση: $A^2=\left(\begin(array) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \end(array) \right)$, $A^6=\left(\begin(array) (cc) -41 & -140 \\ 70 & 239 \end(array) \right)$.
Παράδειγμα αρ. 5
Δίνονται πίνακες $ A=\αριστερά(\αρχή(πίνακας) (cccc) 1 & 0 & -1 & 2 \\ 3 & -2 & 5 & 0 \\ -1 & 4 & -3 & 6 \end (πίνακας) \δεξιά)$, $ B=\αριστερά(\αρχή(πίνακας) (cccc) -9 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & 4 \\ 0 & -2 & 3 \\ 1 & 5 & 0 \end (πίνακας) \δεξιά)$, $ C=\left(\begin(array) (cccc) -5 & -20 & 13 \\ 10 & 12 & 9 \\ 3 & -15 & 8 \end(array) \ δεξιά) $. Βρείτε τον πίνακα $D=2AB-3C^T+7E$.
Ξεκινάμε τον υπολογισμό του πίνακα $D$ βρίσκοντας το αποτέλεσμα του γινομένου $AB$. Οι πίνακες $A$ και $B$ μπορούν να πολλαπλασιαστούν, αφού ο αριθμός των στηλών του πίνακα $A$ είναι ίσος με τον αριθμό των σειρών του πίνακα $B$. Ας συμβολίσουμε $F=AB$. Σε αυτήν την περίπτωση, ο πίνακας $F$ θα έχει τρεις στήλες και τρεις σειρές, δηλ. θα είναι τετράγωνο (αν αυτό το συμπέρασμα δεν φαίνεται προφανές, δείτε την περιγραφή του πολλαπλασιασμού του πίνακα στο πρώτο μέρος αυτού του θέματος). Ας βρούμε τον πίνακα $F$ υπολογίζοντας όλα τα στοιχεία του:
$$ F=A\cdot B=\left(\αρχή(πίνακας) (cccc) 1 & 0 & -1 & 2 \\ 3 & -2 & 5 & 0 \\ -1 & 4 & -3 & 6 \ end(array) \right)\cdot \left(\begin(array) (cccc) -9 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & 4 \\ 0 & -2 & 3 \\ 1 & 5 & 0 \ end(array) \right)\\ \begin(aligned) & f_(11)=1\cdot (-9)+0\cdot 2+(-1)\cdot 0+2\cdot 1=-7; \\ & f_(12)=1\cdot 1+0\cdot (-1)+(-1)\cdot (-2)+2\cdot 5=13; \\ & f_(13)=1\cdot 0+0\cdot 4+(-1)\cdot 3+2\cdot 0=-3;\\ \\ & f_(21)=3\cdot (-9 )+(-2)\cdot 2+5\cdot 0+0\cdot 1=-31;\\ & f_(22)=3\cdot 1+(-2)\cdot (-1)+5\cdot (-2)+0\cdot 5=-5;\\ & f_(23)=3\cdot 0+(-2)\cdot 4+5\cdot 3+0\cdot 0=7;\\ \\ & f_(31)=-1\cdot (-9)+4\cdot 2+(-3)\cdot 0+6\cdot 1=23; \\ & f_(32)=-1\cdot 1+4\cdot (-1)+(-3)\cdot (-2)+6\cdot 5=31;\\ & f_(33)=-1 \cdot 0+4\cdot 4+(-3)\cdot 3+6\cdot 0=7. \end(ευθυγραμμισμένο) $$
Άρα $F=\left(\begin(array) (cccc) -7 & 13 & -3 \\ -31 & -5 & 7 \\ 23 & 31 & 7 \end(array) \right)$. Ας πάμε παρακάτω. Ο πίνακας $C^T$ είναι ο μεταφερόμενος πίνακας για τον πίνακα $C$, δηλ. $ C^T=\left(\begin(array) (cccc) -5 & 10 & 3 \\ -20 & 12 & -15 \\ 13 & 9 & 8 \end(array) \right) $. Όσο για τον πίνακα $E$, είναι ο πίνακας ταυτότητας. Σε αυτήν την περίπτωση, η σειρά αυτού του πίνακα είναι τρεις, δηλ. $E=\left(\begin(array) (cccc) 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end(array) \right)$.
Κατ 'αρχήν, μπορούμε να συνεχίσουμε να προχωράμε βήμα-βήμα, αλλά είναι καλύτερο να εξετάσουμε την υπόλοιπη έκφραση ως σύνολο, χωρίς να αποσπάται η προσοχή από βοηθητικές ενέργειες. Στην πραγματικότητα, μας μένουν μόνο οι πράξεις του πολλαπλασιασμού των πινάκων με έναν αριθμό, καθώς και οι πράξεις της πρόσθεσης και της αφαίρεσης.
$$ D=2AB-3C^T+7E=2\cdot \left(\begin(array) (cccc) -7 & 13 & -3 \\ -31 & -5 & 7 \\ 23 & 31 & 7 \ end(array) \right)-3\cdot \left(\begin(array) (cccc) -5 & 10 & 3 \\ -20 & 12 & -15 \\ 13 & 9 & 8 \end(array) \ δεξιά)+7\cdot \left(\αρχή(πίνακας) (cccc) 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end(array) \right) $$
Ας πολλαπλασιάσουμε τους πίνακες στη δεξιά πλευρά της ισότητας με τους αντίστοιχους αριθμούς (δηλαδή με το 2, το 3 και το 7):
$$ 2\cdot \left(\begin(array) (cccc) -7 & 13 & -3 \\ -31 & -5 & 7 \\ 23 & 31 & 7 \end(array) \right)-3\ cdot \left(\begin(array) (cccc) -5 & 10 & 3 \\ -20 & 12 & -15 \\ 13 & 9 & 8 \end(array) \right)+7\cdot \left(\ start(array) (cccc) 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end(array) \right)=\\= \left(\begin(array) (cccc) - 14 & 26 & -6 \\ -62 & -10 & 14 \\ 46 & 62 & 14 \end(array) \right)-\left(\begin(array) (cccc) -15 & 13 & 9 \\ -60 & 36 & -45 \\ 39 & 27 & 24 \end(array) \right)+\left(\begin(array) (cccc) 7 & 0 & 0 \\ 0 & 7 & 0 \\ 0 & 0 & 7 \end(array) \right) $$
Ας το κάνουμε τελευταίες ενέργειες: αφαίρεση και πρόσθεση:
$$ \left(\begin(array) (cccc) -14 & 26 & -6 \\ -62 & -10 & 14 \\ 46 & 62 & 14 \end(array) \right)-\left(\begin (πίνακας) (cccc) -15 & 30 & 9 \\ -60 & 36 & -45 \\ 39 & 27 & 24 \end(array) \right)+\left(\begin(array) (cccc) 7 & 0 & 0 \\ 0 & 7 & 0 \\ 0 & 0 & 7 \end(array) \right)=\\ =\left(\begin(array) (cccc) -14-(-15)+7 & 26-30+0 & -6-9+0 \\ -62-(-60)+0 & -10-36+7 & 14-(-45)+0 \\ 46-39+0 & 62-27 +0 & 14-24+7 \end(array) \right)= \left(\begin(array) (cccc) 8 & -4 & -15 \\ -2 & -39 & 59 \\ 7 & 35 & -3 \end(πίνακας) \δεξιά). $$
Το πρόβλημα επιλύθηκε, $D=\left(\begin(array) (cccc) 8 & -4 & -15 \\ -2 & -39 & 59 \\ 7 & 35 & -3 \end(array) \right)$ .
Απάντηση: $D=\left(\begin(array) (cccc) 8 & -4 & -15 \\ -2 & -39 & 59 \\ 7 & 35 & -3 \end(array) \right)$.
Παράδειγμα αρ. 6
Έστω $f(x)=2x^2+3x-9$ και μήτρα $ A=\left(\begin(array) (cc) -3 & 1 \\ 5 & 0 \end(array) \right) $. Βρείτε την τιμή του $f(A)$.
Αν $f(x)=2x^2+3x-9$, τότε το $f(A)$ νοείται ως ο πίνακας:
$$ f(A)=2A^2+3A-9E. $$
Έτσι ορίζεται ένα πολυώνυμο από έναν πίνακα. Επομένως, πρέπει να αντικαταστήσουμε τον πίνακα $A$ στην έκφραση για $f(A)$ και να πάρουμε το αποτέλεσμα. Δεδομένου ότι όλες οι ενέργειες συζητήθηκαν λεπτομερώς νωρίτερα, εδώ θα δώσω απλώς τη λύση. Εάν η διαδικασία εκτέλεσης της πράξης $A^2=A\cdot A$ δεν σας είναι ξεκάθαρη, τότε σας συμβουλεύω να δείτε την περιγραφή του πολλαπλασιασμού του πίνακα στο πρώτο μέρος αυτού του θέματος.
$$ f(A)=2A^2+3A-9E=2A\cdot A+3A-9E=2 \αριστερά(\αρχή(πίνακας) (cc) -3 & 1 \\ 5 & 0 \end (πίνακας) \right)\cdot \left(\begin(array) (cc) -3 & 1 \\ 5 & 0 \end(array) \right)+3 \left(\begin(array) (cc) -3 & 1 \\ 5 & 0 \end(array) \right)-9\left(\begin(array) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \end(array) \right)=\\ =2 \left( \begin(array) (cc) (-3)\cdot(-3)+1\cdot 5 & (-3)\cdot 1+1\cdot 0 \\ 5\cdot(-3)+0\cdot 5 & 5\cdot 1+0\cdot 0 \end(array) \right)+3 \left(\begin(array) (cc) -3 & 1 \\ 5 & 0 \end(array) \right)-9 \left(\begin(array) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \end(array) \right)=\\ =2 \left(\begin(array) (cc) 14 & -3 \\ - 15 & 5 \end(array) \right)+3 \left(\begin(array) (cc) -3 & 1 \\ 5 & 0 \end(array) \right)-9\left(\begin(array ) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \end(array) \right) =\left(\begin(array) (cc) 28 & -6 \\ -30 & 10 \end(array) \right) +\left(\begin(array) (cc) -9 & 3 \\ 15 & 0 \end(array) \right)-\left(\begin(array) (cc) 9 & 0 \\ 0 & 9 \ end(array) \right)=\left(\begin(array) (cc) 10 & -3 \\ -15 & 1 \end(array) \right). $$
Απάντηση: $f(A)=\left(\begin(array) (cc) 10 & -3 \\ -15 & 1 \end(array) \right)$.
Φόρτωση...