Η τιμή που χαρακτηρίζει την κατανομή της ενέργειας στο φάσμα του σήματος και ονομάζεται ενεργειακή φασματική πυκνότητα υπάρχει μόνο για σήματα των οποίων η ενέργεια σε ένα άπειρο χρονικό διάστημα είναι πεπερασμένη και, επομένως, ο μετασχηματισμός Fourier είναι εφαρμόσιμος σε αυτά.
Για σήματα που δεν διασπώνται στο χρόνο, η ενέργεια είναι απείρως μεγάλη και το ολοκλήρωμα (1,54) αποκλίνει. Δεν είναι δυνατή η ρύθμιση του φάσματος πλάτους. Ωστόσο μέση ισχύςРср, που καθορίζεται από την αναλογία
αποδεικνύεται το τέλος. Ως εκ τούτου, χρησιμοποιείται η ευρύτερη έννοια της «φασματικής πυκνότητας ισχύος». Το ορίζουμε ως την παράγωγο της μέσης ισχύος σήματος ως προς τη συχνότητα και το συμβολίζουμε ως Ck(u):
Ο δείκτης k τονίζει ότι εδώ θεωρούμε τη φασματική πυκνότητα ισχύος ως χαρακτηριστικό ντετερμινιστική συνάρτηση u(t) που περιγράφει την υλοποίηση του σήματος.
Αυτό το χαρακτηριστικό του σήματος είναι λιγότερο σημαντικό από τη φασματική πυκνότητα των πλατών, καθώς στερείται πληροφοριών φάσης [βλ. (1.38)]. Επομένως, είναι αδύνατο να αποκατασταθεί μοναδικά η αρχική υλοποίηση του σήματος από αυτό. Ωστόσο, η απουσία πληροφοριών φάσης καθιστά δυνατή την εφαρμογή αυτής της έννοιας σε σήματα στα οποία η φάση δεν έχει οριστεί.
Για να δημιουργήσουμε μια σύνδεση μεταξύ της φασματικής πυκνότητας Ck(w) και του φάσματος πλάτους, χρησιμοποιούμε το σήμα u(t), το οποίο υπάρχει σε ένα περιορισμένο χρονικό διάστημα (-T<. t όπου είναι η φασματική πυκνότητα ισχύος ενός χρονικά περιορισμένου σήματος. Θα φανεί παρακάτω (βλ. § 1.11) ότι με τη λήψη του μέσου όρου αυτού του χαρακτηριστικού σε ένα σύνολο υλοποιήσεων, μπορεί κανείς να αποκτήσει τη φασματική πυκνότητα ισχύος για μια μεγάλη κατηγορία τυχαίες διαδικασίες. Υπάρχουν τώρα δύο χαρακτηριστικά στον τομέα της συχνότητας: η φασματική απόκριση και η φασματική πυκνότητα ισχύος. Το φασματικό χαρακτηριστικό που περιέχει πλήρεις πληροφορίες για το σήμα u(t) αντιστοιχεί στον μετασχηματισμό Fourier με τη μορφή μιας συνάρτησης χρόνου. Ας μάθουμε τι αντιστοιχεί στο πεδίο του χρόνου στη φασματική πυκνότητα ισχύος χωρίς πληροφορίες φάσης. Θα πρέπει να υποτεθεί ότι η ίδια φασματική πυκνότητα ισχύος αντιστοιχεί σε ένα σύνολο συναρτήσεων χρόνου που διαφέρουν σε φάση. Ο Σοβιετικός επιστήμονας L.Ya. Ο Khinchin και ο Αμερικανός επιστήμονας N. Wiener βρήκαν σχεδόν ταυτόχρονα τον αντίστροφο μετασχηματισμό Fourier της φασματικής πυκνότητας ισχύος: Η γενικευμένη χρονική συνάρτηση r(), η οποία δεν περιέχει πληροφορίες φάσης, θα ονομάζεται συνάρτηση χρονικής αυτοσυσχέτισης. Δείχνει τον βαθμό σύνδεσης μεταξύ των τιμών της συνάρτησης u(t) που χωρίζονται από ένα χρονικό διάστημα και μπορεί να ληφθεί από τη στατιστική θεωρία αναπτύσσοντας την έννοια του συντελεστή συσχέτισης. Σημειώστε ότι στη συνάρτηση χρονικής συσχέτισης, ο μέσος όρος πραγματοποιείται με την πάροδο του χρόνου μέσα σε μία υλοποίηση αρκετά μεγάλης διάρκειας. Η δεύτερη ολοκληρωτική σχέση για το ζεύγος μετασχηματισμού Fourier ισχύει επίσης: Παράδειγμα 1.6 Προσδιορίστε τη συνάρτηση χρόνου της αυτοσυσχέτισης ενός αρμονικού σήματος u(t) = u0 cos(t-c). Σύμφωνα με (1.64) Μετά από μερικές απλές μεταμορφώσεις επιτέλους έχουμε Όπως αναμενόταν, η ru() δεν εξαρτάται από το u και, επομένως, η (1.66) ισχύει για ένα ολόκληρο σύνολο αρμονικών που διαφέρουν σε φάση. Κάτω από Ενέργεια Σήματος IC)καταλάβετε το μέγεθος Εάν το σήμα έχει πεπερασμένη διάρκεια Τ,εκείνοι. δεν ισούται με μηδέν στο χρονικό διάστημα [-T/ 2, Τ/ 2], τότε η ενέργειά του Γράφουμε την έκφραση για την ενέργεια του σήματος χρησιμοποιώντας τον τύπο (2.15): Οπου Η ισότητα που προκύπτει ονομάζεται Η ισότητα του Πάρσεβαλ.Ορίζει την ενέργεια του σήματος ως προς τη συνάρτηση χρόνου ή την φασματική ενεργειακή πυκνότητα, η οποία είναι ίση με |5(/0))| 2. Η φασματική ενεργειακή πυκνότητα ονομάζεται επίσης ενεργειακό φάσμα. Σκεφτείτε ένα σήμα που υπάρχει σε περιορισμένο χρονικό διάστημα. Η ισότητα του Parseval ισχύει για ένα τέτοιο σήμα. Ως εκ τούτου, Διαιρούμε το αριστερό και το δεξί μέρος της ισότητας με ένα χρονικό διάστημα ίσο με το T και αφήνουμε αυτό το διάστημα να πάει στο άπειρο: Με την αύξηση Τη ενέργεια των μη απόσβεσης σημάτων αυξάνεται, Ωστόσο, η αναλογία μπορεί να τείνει σε ένα ορισμένο όριο. Αυτό το όριο ονομάζεται φασματική πυκνότητα ισχύος C(co). Μονάδα φασματικής πυκνότητας ισχύος: [V 2 DC]. Συνάρτηση αυτοσυσχέτισης σήματος ΚαιΤο (?) καθορίζεται από την ακόλουθη ολοκληρωτική έκφραση: όπου m είναι το όρισμα που ορίζει τη συνάρτηση ΕΓΩ)και έχοντας τη διάσταση του χρόνου? u(? + t) - το αρχικό σήμα, μετατοπισμένο χρονικά κατά -t. Η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης έχει τις ακόλουθες ιδιότητες. 1. Η τιμή της συνάρτησης αυτοσυσχέτισης σε μια μετατόπιση m = O είναι ίση με την ενέργεια του σήματος ΜΙ: 2. Συνάρτηση αυτοσυσχέτισης για βάρδιες m φά
0 λιγότερη ενέργεια σήματος: 3. Η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης είναι άρτια συνάρτηση, δηλ. Θα επαληθεύσουμε την εγκυρότητα των ιδιοτήτων 2 και 3 με ένα παράδειγμα. Παράδειγμα 2.6.Υπολογίστε τις συναρτήσεις αυτοσυσχέτισης των σημάτων: το σήμα βίντεο που φαίνεται στην εικ. 2.7, i, και ένα ραδιοφωνικό σήμα με το ίδιο πλάτος και διάρκεια. Η φέρουσα συχνότητα του ραδιοφωνικού σήματος είναι sch,και η αρχική φάση είναι 0. Λύση. Ας λύσουμε το πρώτο πρόβλημα γραφικά. Η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης καθορίζεται από το ολοκλήρωμα του γινομένου της συνάρτησης Και(;) και το χρονικά μετατοπισμένο αντίγραφό του. Μπορούμε να βρούμε τη μετατόπιση του σήματος βίντεο από την εξίσωση; + m = 0. Γράφημα της συνάρτησης m(? +
t) φαίνεται στο σχ. 2.7, σι.Η περιοχή που προσδιορίζεται από τη γραφική παράσταση του γινομένου m (?) M (? + t) (Εικ. 2.7, V),είναι ίσο με Η συνάρτηση D (t) καθορίζεται από την εξίσωση μιας ευθείας γραμμής (Εικ. 2.7, ΣΟΛ).Η συνάρτηση έχει μέγιστο αν η τιμή του ορίσματος m = 0, και είναι ίση με 0 εάν m = m και. Για άλλες τιμές του ορίσματος /?(t) Για να επαληθεύσουμε την εγκυρότητα της ιδιότητας 3, υπολογίζουμε ομοίως τη συνάρτηση για τις αρνητικές τιμές του m: Ρύζι. 2.7. παλμός βίντεο: ΕΝΑ- ορθογώνιος παλμός βίντεο. σι- ορθογώνιος παλμός με χρονική καθυστέρηση. V -προϊόν παρορμήσεων? G -συνάρτηση αυτοσυσχέτισης Η τελική έκφραση για τη συνάρτηση αυτοσυσχέτισης Η λειτουργία φαίνεται στο σχ. 2.7, σολκαι έχει τριγωνικό σχήμα. Ας υπολογίσουμε τη συνάρτηση αυτοσυσχέτισης του ραδιοφωνικού σήματος, τοποθετώντας το συμμετρικά γύρω από τον κατακόρυφο άξονα. Ραδιοφωνικό σήμα: Αντικαθιστώντας τις τιμές του σήματος και το μετατοπισμένο αντίγραφό του στον τύπο για τη συνάρτηση αυτοσυσχέτισης /?(m), λαμβάνουμε Η έκφραση για τη συνάρτηση αυτοσυσχέτισης του ραδιοπαλμού αποτελείται από δύο όρους. Το πρώτο από αυτά καθορίζεται από το γινόμενο μιας τριγωνικής συνάρτησης και ενός αρμονικού σήματος. Στην έξοδο του ταιριαστού φίλτρου, αυτός ο όρος πραγματοποιείται με τη μορφή ενός ραδιοπαλμού σε σχήμα ρόμβου. Ο δεύτερος όρος καθορίζεται από το γινόμενο της τριγωνικής συνάρτησης και τις συναρτήσεις (vtd^/lz, που βρίσκονται στα σημεία m = +m και. Οι τιμές των συναρτήσεων (vtx)/:*:, οι οποίες έχουν αισθητή επίδραση στον δεύτερο όρο της συνάρτησης αυτοσυσχέτισης, μειώνεται πολύ γρήγορα με μια αλλαγή στο όρισμα m από -t σε oo και από t σε - ° o. Επίλυση της εξίσωσης είναι δυνατό να βρεθούν τα διαστήματα καθυστέρησης εντός των οποίων οι τιμές των συναρτήσεων (vtls)/;*; εξακολουθούν να επηρεάζουν τη συμπεριφορά της συνάρτησης /?(t). Για θετικές τιμές καθυστέρησης όπου 70 είναι η περίοδος του αρμονικού σήματος. Ομοίως, βρίσκεται το διάστημα για τις αρνητικές τιμές καθυστέρησης. Δεδομένου ότι η επίδραση του δεύτερου όρου της συνάρτησης αυτοσυσχέτισης περιορίζεται σε πολύ μικρά (σε σύγκριση με τη διάρκεια των ραδιοπαλμών t u) διαστήματα 70/2, εντός των οποίων οι τιμές της τριγωνικής συνάρτησης είναι πολύ μικρές, ο δεύτερος όρος του η λειτουργία αυτοσυσχέτισης του ραδιοπαλμού μπορεί να παραμεληθεί. Ας αποκαλύψουμε τη σχέση μεταξύ της συνάρτησης αυτοσυσχέτισης #(τ) και της φασματικής ενεργειακής πυκνότητας του σήματος |5(/co)| 2. Για να γίνει αυτό, εκφράζουμε το σήμα μετατόπισης χρόνου u(1b +
m) ως προς τη φασματική του πυκνότητα 5(/co): Ας αντικαταστήσουμε αυτήν την έκφραση με έκφραση (2.21). Ως αποτέλεσμα, παίρνουμε Είναι επίσης εύκολο να επαληθευτεί η εγκυρότητα της ισότητας Διαιρούμε και τις δύο πλευρές της ισότητας (2.23) με το χρονικό διάστημα Τ
και ας κατευθύνουμε το μέγεθος Τ
στο άπειρο: Λαμβάνοντας υπόψη τον τύπο (2.20), ξαναγράφουμε την παράσταση που προκύπτει: Οπου Μια γενίκευση της έννοιας της «συνάρτησης αυτοσυσχέτισης» είναι συνάρτηση διασταυρούμενης συσχέτισης,που είναι το βαθμωτό γινόμενο δύο σημάτων: Ας εξετάσουμε τις κύριες ιδιότητες της συνάρτησης διασταυρούμενης συσχέτισης. 1. Η μετάθεση των παραγόντων κάτω από το ολοκληρωτικό πρόσημο αλλάζει το πρόσημο του ορίσματος της συνάρτησης διασταυρούμενης συσχέτισης: Στους παραπάνω μετασχηματισμούς χρησιμοποιήσαμε την αντικατάσταση t + t = Χ. Αυτός ο τύπος μπορεί να προκύψει παρόμοια με τον τύπο (2.22). Συνάρτηση διασταυρούμενης συσχέτισης μεταξύ ενός περιοδικά επαναλαμβανόμενου σήματος και ενός μη περιοδικού σήμα v(t) = Uq(?) Οπου R(t) - συνάρτηση αυτοσυσχέτισης μη περιοδικού σήματος u 0 (t).
Η παράσταση που προκύπτει είναι ίση με το άθροισμα δύο ολοκληρωμάτων. Με μετατόπιση ίση με μηδέν, το πρώτο ολοκλήρωμα είναι ίσο με μηδέν και το δεύτερο είναι ίσο με την ενέργεια του σήματος. Με μετατόπιση ίση με την περίοδο σήματος, το πρώτο ολοκλήρωμα είναι ίσο με την ενέργεια του σήματος και το δεύτερο ίσο με μηδέν. Κάθε τιμή της συνάρτησης σε άλλες μετατοπίσεις είναι ίση με το άθροισμα των τιμών των συναρτήσεων αυτοσυσχέτισης ενός μη περιοδικού σήματος, μετατοπισμένες μεταξύ τους κατά μία περίοδο. Επιπλέον, η συνάρτηση διασταυρούμενης συσχέτισης είναι μια περιοδική συνάρτηση που ικανοποιεί την εξίσωση Συνάρτηση διασυσχέτισης εγώ ή > ( t) μεταξύ του σήματος u(t) και ένα σήμα ίση με - διάρκεια σήματος v(t). Πράγματι, λόγω του γεγονότος ότι η περίοδος του σήματος u(t) είναι ίσο με ΤΚαι συνάρτηση διασυσχέτισης όπου Υπολογισμός του ορίου της συνάρτησης (2 n+ 1)7? m Mo (t) στο Π-> ορίστε μια έκφραση για τη συνάρτηση αυτοσυσχέτισης ενός περιοδικού σήματος: Διάσταση λειτουργίας: [V 2 /Hz]. Τιμές συνάρτησης σε μηδενική μετατόπιση και άλλες μετατοπίσεις για τις οποίες Lts Mo(Τ) φάΤο 0 ισούται με το άπειρο. Για το λόγο αυτό, η χρήση της τελευταίας έκφρασης ως χαρακτηριστικού ενός περιοδικού σήματος χάνει το νόημά της. Διαιρέστε την τελευταία παράσταση με ένα διάστημα ίσο με (2 Π + 1 )Τ.Ως αποτέλεσμα, παίρνουμε τη συνάρτηση αφού λόγω της περιοδικότητας της συνάρτησης - t + Τ) = -Τ). Ο τύπος που προκύπτει ορίζει τη συνάρτηση ΣΕ( m) ως το όριο του λόγου της συνάρτησης αυτοσυσχέτισης του σήματος που υπάρχει στο χρονικό διάστημα (2 n+ 1 )Τ,σε αυτό το διάστημα και την τάση του στο άπειρο. Αυτό το όριο για ένα περιοδικά επαναλαμβανόμενο σήμα ονομάζεται συνάρτηση αυτοσυσχέτισης ενός περιοδικού σήματος.Η διάσταση αυτής της συνάρτησης: [ΣΤΟ 2 ]. Ο άμεσος μετασχηματισμός Fourier μιας περιόδου της συνάρτησης αυτοσυσχέτισης ενός περιοδικού σήματος καθορίζει τη φασματική πυκνότητα ισχύος, η οποία είναι μια συνεχής συνάρτηση της συχνότητας. Από αυτή την πυκνότητα, χρησιμοποιώντας τον τύπο (2.17), μπορεί κανείς να βρει φασματική πυκνότητα ισχύος της περιοδικής συνάρτησης αυτοσυσχέτισης του σήματος, το οποίο προσδιορίζεται για διακριτές τιμές συχνοτήτων: όπου 0)1 = 2 p/t.
Εάν η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης είναι γραμμένη ως σειρά Fourier σε τριγωνομετρική μορφή, τότε η έκφραση για τη φασματική της πυκνότητα Παράδειγμα 2.7.Υπολογισμός Περιοδικής Συνάρτησης Αυτοσυσχέτισης του Σήματος αν) = ΕΝΑbsh ΣΙ.Με βάση τη συνάρτηση που βρέθηκε, περιορίζεται σε μία περίοδο, προσδιορίστε τη φασματική πυκνότητα ισχύος. Λύση. Αντικαθιστώντας το δεδομένο σήμα στην έκφραση (2.26), λαμβάνουμε μια έκφραση για τη συνάρτηση περιοδικής αυτοσυσχέτισης: Αντικαθιστούμε την έκφραση που προκύπτει με τον τύπο (2.24) και βρίσκουμε τη φασματική πυκνότητα ισχύος: Παράδειγμα 2.8. Για μια περιοδική κανονικοποιημένη συνάρτηση αυτοσυσχέτισης ενός σήματος που μοιάζει με θόρυβο (ακολουθία Μ με τελεία Ν= 1023) υπολογίστε τη φασματική πυκνότητα ισχύος. (Περιοδική συνάρτηση για μια ακολουθία μικρότερου μήκους (IV= 15) φαίνεται στην εικ. 3.39.) Λύση. Για μια συγκριτικά μεγάλη περίοδο, LG = 1023 τιμές της συνάρτησης αυτοσυσχέτισης στο διάστημα Τ- To > m > To, όπου To είναι η διάρκεια παλμού της ακολουθίας που μοιάζει με θόρυβο, θα πάρουμε ίσο με το μηδέν. Σε αυτή την περίπτωση, η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης προσδιορίζεται με περιοδική επανάληψη με μια τελεία Τμια ακολουθία τριγωνικών παλμών. Η βάση κάθε τριγώνου είναι 2 έως και το ύψος του είναι 1. Η εξίσωση που καθορίζει τη συνάρτηση αυτοσυσχέτισης σε μία περίοδο είναι ΣΕ( m) \u003d 1 - |m|/xo- Λαμβάνοντας υπόψη την ομαλότητα αυτής της συνάρτησης, προσδιορίζουμε τους συντελεστές της σειράς Fourier: Κατά τον υπολογισμό του ολοκληρώματος χρησιμοποιήθηκε ο τύπος Αντικαθιστώντας τους υπολογισμένους συντελεστές στον τύπο (2.27), ανιχνεύσαμε Η φασματική πυκνότητα ισχύος μιας συνάρτησης περιοδικής αυτοσυσχέτισης είναι ίση με το σταθμισμένο άθροισμα ενός απείρως μεγάλου αριθμού συναρτήσεων δέλτα. Οι συντελεστές βάρους καθορίζονται από το τετράγωνο της συνάρτησης (etx) /: ":, πολλαπλασιαζόμενο με έναν σταθερό συντελεστή 2n (τότε /T). Συναρτήσεις συσχέτισης ψηφιακά σήματαπου σχετίζονται με τις συναρτήσεις συσχέτισης των ακολουθιών χαρακτήρων. Για μια ακολουθία κώδικα (βλ. § 1.3) ενός πεπερασμένου αριθμού Ν δυαδικά σύμβολα, η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης γράφεται ως Οπου -
δυαδικούς χαρακτήρες ίσους με 0 ή 1 ή χαρακτήρες ίσους με -1, 1. ρε= 0, 1, 2, ..., Ν - .
Οι ακολουθίες χαρακτήρων μπορεί να είναι είτε ντετερμινιστικές είτε τυχαίες. Κατά τη μετάδοση πληροφοριών, μια χαρακτηριστική ιδιότητα μιας ακολουθίας χαρακτήρων είναι η τυχαιότητά τους. Οι τιμές της συνάρτησης αυτοσυσχέτισης (σε μετατοπίσεις όχι ίσες με το μηδέν), που υπολογίζονται από μια προκαταγεγραμμένη τυχαία ακολουθία πεπερασμένου μήκους, είναι επίσης τυχαίες. Οι συναρτήσεις αυτοσυσχέτισης ντετερμινιστικών ακολουθιών, οι οποίες χρησιμοποιούνται για συγχρονισμό και επίσης ως φορείς διακριτών μηνυμάτων, είναι ντετερμινιστικές συναρτήσεις. Τα σήματα που κατασκευάζονται χρησιμοποιώντας κώδικες ή τις ακολουθίες κώδικα τους ονομάζονται κωδικοποιημένα σήματα. Οι περισσότερες από τις ιδιότητες της συνάρτησης αυτοσυσχέτισης της ακολουθίας κώδικα συμπίπτουν με τις ιδιότητες της συνάρτησης αυτοσυσχέτισης του σήματος που συζητήθηκαν παραπάνω. Με μια μετατόπιση κουκκίδων, η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης της ακολουθίας κώδικα φτάνει ένα μέγιστο, το οποίο είναι ίσο με Αν οι χαρακτήρες είναι -1, 1, τότε r(0) = Ν.
Οι τιμές της συνάρτησης αυτοσυσχέτισης για άλλες μετατοπίσεις είναι μικρότερες από r(0). Η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης της ακολουθίας κώδικα είναι μια άρτια συνάρτηση. Μια γενίκευση της συνάρτησης αυτοσυσχέτισης είναι η συνάρτηση διασταυρούμενης συσχέτισης. Για αλληλουχίες κώδικα του ίδιου μήκους, αυτή η λειτουργία Οπου
2
} 0
6/, - σύμβολα της πρώτης και της δεύτερης ακολουθίας, αντίστοιχα. Πολλές ιδιότητες λειτουργίας d 12 (d)
συμπίπτουν με τις ιδιότητες της συνάρτησης διασταυρούμενης συσχέτισης των σημάτων που εξετάστηκαν παραπάνω. Εάν η συνάρτηση r^(e), I F
για οποιοδήποτε ζεύγος κωδικών κατά τη μετατόπιση ρε
= Ο ισούται με μηδέν, τότε καλούνται τέτοιοι κωδικοί ορθογώνιο.
Μια σύντομη περιγραφή ορισμένων από τους κωδικούς που χρησιμοποιούνται στα συστήματα επικοινωνίας δίνεται στα Παραρτήματα 2-4. Καλείται η συνάρτηση διασταυρούμενης συσχέτισης μεταξύ μιας ακολουθίας κώδικα και μιας περιοδικά επαναλαμβανόμενης ίδιας ακολουθίας περιοδική συνάρτηση αυτοσυσχέτισης της ακολουθίας κώδικα.
Η έκφραση για τη συνάρτηση προκύπτει από τις παραστάσεις (2.25), (2.26): Οπου ζ(δ) -
μη περιοδική συνάρτηση αυτοσυσχέτισης της ακολουθίας κώδικα. δ -
μετατόπιση τιμής μεταξύ ακολουθιών. Ας αντικαταστήσουμε τις εκφράσεις για τις συναρτήσεις αυτοσυσχέτισης στον τύπο που προκύπτει: Οπου α/ρ, α^+γ
- στοιχεία της ακολουθίας κωδικών. Η συνάρτηση περιοδικής αυτοσυσχέτισης μιας ακολουθίας κωδικών είναι ίση με τη συνάρτηση διασταυρούμενης συσχέτισης που υπολογίζεται για την ακολουθία κώδικα και τα κυκλικά μετατοπισμένα σύμβολα αυτής της ακολουθίας. Κυκλικά μετατοπισμένες αλληλουχίες κώδικα που λαμβάνονται από την αρχική ακολουθία α 0 = α 0 ,а ( ,а 2 ,
..., α μ _ β
παρατίθενται παρακάτω. ακολουθία κώδικα ΕΝΑ (
που προκύπτει ως αποτέλεσμα της μετατόπισης της αρχικής ακολουθίας ένα 0
μετακινήστε έναν χαρακτήρα προς τα δεξιά και τυλίξτε τον τελευταίο χαρακτήρα ΕΝΑ
dm στην αρχή της μετατοπισμένης ακολουθίας. Οι υπόλοιπες ακολουθίες λαμβάνονται με παρόμοιο τρόπο: Παράδειγμα 2.9.Υπολογίστε τη συνάρτηση αυτοσυσχέτισης και περιοδικής αυτοσυσχέτισης του κωδικοποιημένου σήματος (Εικ. 2.8, ΕΝΑ) όπου και 0 (Ο είναι ένας ορθογώνιος παλμός με πλάτος ΕΝΑκαι διάρκεια t. Αυτό το σήμα είναι κατασκευασμένο από ορθογώνιους παλμούς, το πρόσημο των οποίων καθορίζεται από τους συντελεστές στάθμισης: a 0 = ,ΕΝΑ. = 1, Α2= -1, και ο αριθμός τους Ν= 3. Η διάρκεια του σήματος είναι ίση με 3t και. Λύση. Αντικαθιστώντας την έκφραση για το σήμα στον τύπο (2.21), λαμβάνουμε Ας αλλάξουμε τη μεταβλητή t - ct nεπί Χ: Σημειώστε: & - m = - και αντικαταστήστε τις διακριτές μεταβλητές &, Τσε μεταβλητές προς, γ.Ως αποτέλεσμα, παίρνουμε Το γράφημα της συνάρτησης αυτοσυσχέτισης για ένα δεδομένο σήμα φαίνεται στο σχ. 2.8 σι.Αυτή η συνάρτηση εξαρτάται από τη συνάρτηση αυτοσυσχέτισης /? 0 (m) ενός ορθογώνιου παλμού και τιμές της συνάρτησης αυτοσυσχέτισης r( Ρύζι. 2.8. Συνάρτηση αυτοσυσχέτισης του κωδικοποιημένου σήματος: ΕΝΑ- κωδικοποιημένο σήμα. 6 -
συνάρτηση αυτοσυσχέτισης του σήματος. V- συνάρτηση αυτοσυσχέτισης ενός περιοδικού σήματος Ας υπολογίσουμε τη συνάρτηση περιοδικής αυτοσυσχέτισης χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση αυτοσυσχέτισης που υπολογίστηκε παραπάνω, τις λαμβανόμενες τιμές της συνάρτησης αυτοσυσχέτισης της ακολουθίας κώδικα και του τύπου (2.28). Συνάρτηση περιοδικής αυτοσυσχέτισης Αντικαταστήστε τη δεδομένη τιμή Ν= 3 στον προκύπτον τύπο: Λαμβάνοντας υπόψη τις τιμές της συνάρτησης αυτοσυσχέτισης της ακολουθίας κωδικών K+Z) = 0, r(+ 2) = -1, r(+1) = 0, KO) = 3 γράφουμε την τελική έκφραση για μια περίοδο της περιοδικής συνάρτησης αυτοσυσχέτισης του σήματος: Το γράφημα της συνάρτησης φαίνεται στο σχ. 2.8 V. Αφήστε το σήμα μικρό(t) δίνεται ως μη περιοδική συνάρτηση και υπάρχει μόνο στο διάστημα ( t 1 ,t 2) (παράδειγμα - μονός παλμός). Ας επιλέξουμε ένα αυθαίρετο χρονικό διάστημα Τ, το οποίο περιλαμβάνει το διάστημα ( t 1 ,t 2) (βλ. Εικ.1). Ας υποδηλώσουμε το περιοδικό σήμα που λαμβάνεται από μικρό(t), όπως και ( t). Τότε μπορούμε να γράψουμε τη σειρά Fourier για αυτό Για να φτάσετε στη λειτουργία μικρό(t) ακολουθεί η έκφραση ( t) αφήστε την περίοδο να πάει στο άπειρο. Σε αυτή την περίπτωση, ο αριθμός των αρμονικών συνιστωσών με συχνότητες w=n 2Π/Τθα είναι απείρως μεγάλη, η απόσταση μεταξύ τους θα τείνει στο μηδέν (σε μια απείρως μικρή τιμή: τα πλάτη των συστατικών θα είναι επίσης απειροελάχιστα. Επομένως, δεν είναι πλέον δυνατό να μιλήσουμε για το φάσμα ενός τέτοιου σήματος, αφού το φάσμα γίνεται συνεχές. Το εσωτερικό ολοκλήρωμα είναι συνάρτηση της συχνότητας. Ονομάζεται φασματική πυκνότητα του σήματος, ή απόκριση συχνότηταςσηματοδοτούν και δηλώνουν δηλ. Για γενικότητα, τα όρια της ολοκλήρωσης μπορούν να τεθούν σε άπειρα, αφού είναι το ίδιο όπου το s(t) είναι ίσο με μηδέν και το ολοκλήρωμα ίσο με μηδέν. Η έκφραση για τη φασματική πυκνότητα ονομάζεται άμεσος μετασχηματισμός Fourier. Αντίστροφη μεταμόρφωσηΟ Fourier καθορίζει τη συνάρτηση χρόνου ενός σήματος από τη φασματική του πυκνότητα Ο άμεσος (*) και ο αντίστροφος (**) μετασχηματισμός Fourier αναφέρονται συλλογικά ως ζεύγος μετασχηματισμών Fourier. Συντελεστής Φασματικής Πυκνότητας καθορίζει το χαρακτηριστικό πλάτους-συχνότητας (AFC) του σήματος και το όρισμά του Το νόημα της ενότητας μικρό(w) ορίζεται ως το πλάτος ενός σήματος (ρεύμα ή τάση) ανά 1 Hz σε μια απείρως στενή ζώνη συχνοτήτων που περιλαμβάνει τη συχνότητα ενδιαφέροντος w. Η διάστασή του είναι [σήμα/συχνότητα]. Ενεργειακό φάσμα του σήματος.Αν η συνάρτηση s(t) έχει την πυκνότητα ισχύος Fourier του σήματος ( φασματική πυκνότητα ενέργειας σήματος) καθορίζεται από την έκφραση: w(t) = s(t)s*(t) = |s(t)|2 |S()|2 = S()S*() = W(). (5.2.9) Το φάσμα ισχύος W() είναι μια πραγματική μη αρνητική άρτια συνάρτηση, η οποία συνήθως ονομάζεται ενεργειακό φάσμα. Το φάσμα ισχύος, ως το τετράγωνο του συντελεστή της φασματικής πυκνότητας του σήματος, δεν περιέχει πληροφορίες φάσης σχετικά με τις συνιστώσες συχνότητάς του και, ως εκ τούτου, είναι αδύνατη η επαναφορά του σήματος από το φάσμα ισχύος. Αυτό σημαίνει επίσης ότι τα σήματα με διαφορετικά χαρακτηριστικά φάσης μπορούν να έχουν τα ίδια φάσματα ισχύος. Συγκεκριμένα, η μετατόπιση του σήματος δεν επηρεάζει το φάσμα ισχύος του. Το τελευταίο καθιστά δυνατή τη λήψη μιας έκφρασης για το ενεργειακό φάσμα απευθείας από τις εκφράσεις (5.2.7). Στο όριο, για πανομοιότυπα σήματα u(t) και v(t) με μετατόπιση t 0, το φανταστικό τμήμα του φάσματος Wuv () τείνει σε μηδενικές τιμές και το πραγματικό μέρος - στις τιμές του συντελεστή το φάσμα. Με πλήρη χρονική σύμπτωση των σημάτων, έχουμε: εκείνοι. η ενέργεια του σήματος είναι ίση με το ολοκλήρωμα του τετραγώνου του συντελεστή του φάσμα συχνοτήτων- το άθροισμα της ενέργειας των συστατικών της συχνότητάς του, και είναι πάντα μια πραγματική τιμή. Για ένα αυθαίρετο σήμα s(t), η ισότητα συνήθως ονομάζεται ισότητα Parseval (στα μαθηματικά - το θεώρημα Plancherel, στη φυσική - ο τύπος Rayleigh). Η ισότητα είναι προφανής, αφού οι αναπαραστάσεις συντεταγμένων και συχνότητας είναι ουσιαστικά απλώς διαφορετικές μαθηματικές αναπαραστάσεις του ίδιου σήματος. Ομοίως για την ενέργεια αλληλεπίδρασης δύο σημάτων: Από την ισότητα Parseval ακολουθεί η μεταβλητότητα του βαθμωτού γινόμενου των σημάτων και του κανόνα σε σχέση με τον μετασχηματισμό Fourier: Σε μια σειρά από καθαρά πρακτικά προβλήματα εγγραφής και μετάδοσης σημάτων, το ενεργειακό φάσμα του σήματος είναι πολύ σημαντική. Τα περιοδικά σήματα μεταφράζονται στη φασματική περιοχή με τη μορφή σειρών Fourier. Γράφουμε ένα περιοδικό σήμα με περίοδο Τ με τη μορφή μιας σειράς Fourier σε μιγαδική μορφή: Το διάστημα 0-T περιέχει έναν ακέραιο αριθμό περιόδων όλων των ολοκληρωμάτων των εκθετών και ισούται με μηδέν, με εξαίρεση τον εκθέτη στο k = -m, για τον οποίο το ολοκλήρωμα είναι Τ. Συνεπώς, η μέση ισχύς ενός Το περιοδικό σήμα είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των μονάδων των συντελεστών της σειράς Fourier του: Ενεργειακό φάσμα του σήματος
είναι η κατανομή ενέργειας των βασικών σημάτων που συνθέτουν το μη αρμονικό σήμα στον άξονα συχνότητας. Μαθηματικά, το ενεργειακό φάσμα του σήματος είναι ίσο με το τετράγωνο του συντελεστή της φασματικής συνάρτησης: Αντίστοιχα, το φάσμα πλάτους-συχνότητας δείχνει το σύνολο των πλατών των συνιστωσών των βασικών σημάτων στον άξονα συχνότητας και το φάσμα συχνότητας φάσης δείχνει το σύνολο των φάσεων Το μέτρο της φασματικής συνάρτησης ονομάζεται συχνά φάσμα πλάτους, και το επιχείρημά του είναι φάσμα φάσης. Επιπλέον, υπάρχει ένας αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier που σας επιτρέπει να επαναφέρετε το αρχικό σήμα, γνωρίζοντας τη φασματική του λειτουργία: Για παράδειγμα, πάρτε μια ορθογώνια ώθηση: Ένα άλλο παράδειγμα φασμάτων: Συχνότητα Nyquist, θεώρημα Kotelnikov
.
Συχνότητα Nyquist
- στην ψηφιακή επεξεργασία σήματος, συχνότητα ίση με το ήμισυ της συχνότητας δειγματοληψίας. Πήρε το όνομά του από τον Harry Nyquist. Από το θεώρημα του Kotelnikov προκύπτει ότι κατά τη διακριτική αναλογικό σήμαΔεν θα υπάρξει απώλεια πληροφοριών μόνο εάν το φάσμα (φασματική πυκνότητα) (η υψηλότερη συχνότητα του χρήσιμου σήματος) του σήματος είναι ίσο ή μικρότερο από τη συχνότητα Nyquist. Διαφορετικά, κατά την επαναφορά του αναλογικού σήματος, θα υπάρξει επικάλυψη φασματικών «ουρών» (αντικατάσταση συχνότητας, κάλυψη συχνότητας) και το σχήμα του σήματος που έχει αποκατασταθεί θα παραμορφωθεί. Εάν το φάσμα σήματος δεν έχει στοιχεία πάνω από τη συχνότητα Nyquist, τότε μπορεί (θεωρητικά) να γίνει δειγματοληψία και στη συνέχεια να ανακατασκευαστεί χωρίς παραμόρφωση. Στην πραγματικότητα, η «ψηφιοποίηση» ενός σήματος (η μετατροπή ενός αναλογικού σήματος σε ψηφιακό) συνδέεται με την κβαντοποίηση των δειγμάτων - κάθε δείγμα καταγράφεται με τη μορφή ψηφιακού κώδικα πεπερασμένου βάθους bit, ως αποτέλεσμα του οποίου Τα σφάλματα κβαντοποίησης (στρογγυλοποίησης) προστίθενται στα δείγματα, υπό ορισμένες συνθήκες που θεωρούνται «θόρυβος κβαντοποίησης». Τα πραγματικά σήματα πεπερασμένης διάρκειας έχουν πάντα ένα απείρως ευρύ φάσμα, το οποίο μειώνεται περισσότερο ή λιγότερο γρήγορα με την αύξηση της συχνότητας. Επομένως, η δειγματοληψία σημάτων οδηγεί πάντα σε απώλεια πληροφοριών (παραμόρφωση της κυματομορφής κατά τη δειγματοληψία-ανάκτηση), όσο υψηλή και αν είναι η συχνότητα δειγματοληψίας. Στον επιλεγμένο ρυθμό δειγματοληψίας, η παραμόρφωση μπορεί να μειωθεί με την καταστολή (προ-δειγματοληψίας) αναλογικών φασματικών στοιχείων σήματος πάνω από τη συχνότητα Nyquist, η οποία απαιτεί ένα φίλτρο πολύ υψηλής τάξης για να αποφευχθεί η παραποίηση. Πρακτική εφαρμογήένα τέτοιο φίλτρο είναι πολύ δύσκολο, καθώς τα χαρακτηριστικά πλάτους-συχνότητας των φίλτρων δεν είναι ορθογώνια, αλλά λεία και σχηματίζεται μια ορισμένη μεταβατική ζώνη συχνοτήτων μεταξύ της ζώνης διέλευσης και της ζώνης καταστολής. Επομένως, ο ρυθμός δειγματοληψίας επιλέγεται με ένα περιθώριο, για παράδειγμα, τα CD ήχου χρησιμοποιούν ρυθμό δειγματοληψίας 44100 Hertz, ενώ υψηλότερη συχνότηταστο φάσμα ηχητικά σήματαη συχνότητα θεωρείται ότι είναι 20000 Hz. Το περιθώριο συχνότητας Nyquist 44100 / 2 - 20000 = 2050 Hz αποφεύγει την αντικατάσταση συχνότητας όταν χρησιμοποιείται το εφαρμοσμένο φίλτρο χαμηλής τάξης. Το θεώρημα του Kotelnikov Προκειμένου να αποκατασταθεί το αρχικό συνεχές σήμα από ένα δειγματοληπτικό σήμα με μικρές παραμορφώσεις (λάθη), είναι απαραίτητο να επιλέξετε ορθολογικά το βήμα δειγματοληψίας. Επομένως, κατά τη μετατροπή ενός αναλογικού σήματος σε διακριτό, τίθεται απαραίτητα το ζήτημα του μεγέθους του βήματος δειγματοληψίας.Διαισθητικά, δεν είναι δύσκολο να κατανοήσουμε την ακόλουθη ιδέα. Εάν το αναλογικό σήμα έχει φάσμα χαμηλής συχνότητας που περιορίζεται από κάποια ανώτερη συχνότητα Fe (δηλαδή, η συνάρτηση u(t) έχει τη μορφή μιας ομαλά μεταβαλλόμενης καμπύλης, χωρίς απότομες αλλαγές στο πλάτος), τότε αυτή η συνάρτηση είναι απίθανο να αλλάξει σημαντικά ένα ορισμένο μικρό χρονικό διάστημα δειγματοληψίας, πλάτος. Είναι προφανές ότι η ακρίβεια της επαναφοράς ενός αναλογικού σήματος από μια ακολουθία δειγμάτων εξαρτάται από την τιμή του διαστήματος δειγματοληψίας.Όσο μικρότερο είναι, τόσο λιγότερο θα διαφέρει η συνάρτηση u(t) από μια ομαλή καμπύλη που διέρχεται από το δείγμα. σημεία. Ωστόσο, με τη μείωση του διαστήματος δειγματοληψίας, η πολυπλοκότητα και ο όγκος του εξοπλισμού επεξεργασίας αυξάνονται σημαντικά. Με ένα αρκετά μεγάλο διάστημα δειγματοληψίας, η πιθανότητα παραμόρφωσης ή απώλειας πληροφοριών αυξάνεται όταν αποκαθίσταται το αναλογικό σήμα. Η βέλτιστη τιμή του διαστήματος διακριτοποίησης καθορίζεται από το θεώρημα Kotelnikov (άλλα ονόματα είναι το θεώρημα δειγματοληψίας, το θεώρημα K. Shannon, το θεώρημα X. Nyquist: το θεώρημα ανακαλύφθηκε για πρώτη φορά στα μαθηματικά από τον O. Cauchy και στη συνέχεια περιγράφηκε ξανά από D. Carson and R. Hartley), αποδείχθηκε από αυτόν το 1933. Το θεώρημα του V. A. Kotelnikov έχει μεγάλη θεωρητική και πρακτική σημασία: καθιστά δυνατή τη σωστή δειγματοληψία του αναλογικού σήματος και καθορίζει τον βέλτιστο τρόπο επαναφοράς του στο άκρο λήψης από το τιμές αναφοράς. Σύμφωνα με μια από τις πιο διάσημες και απλές ερμηνείες του θεωρήματος Kotelnikov, ένα αυθαίρετο σήμα u(t), το φάσμα του οποίου περιορίζεται από μια ορισμένη συχνότητα Fe, μπορεί να αποκατασταθεί πλήρως από την ακολουθία των τιμών αναφοράς του που ακολουθεί ένα χρονικό διάστημα Το διάστημα δειγματοληψίας και η συχνότητα Fe(1) αναφέρονται συχνά στη ραδιομηχανική ως το διάστημα και η συχνότητα Nyquist, αντίστοιχα. Αναλυτικά, το θεώρημα Kotelnikov αντιπροσωπεύεται από τη σειρά όπου k είναι ο αριθμός δείγματος. - τιμή σήματος σε σημεία αναφοράς - ανώτερη συχνότηταφάσμα σήματος. Αναπαράσταση συχνότητας διακριτών σημάτων
.
Τα περισσότερα σήματα μπορούν να αναπαρασταθούν ως σειρά Fourier: Διασταυρούμενη φασματική πυκνότητα ισχύος (διασταυρούμενο φάσμα ισχύος)δύο πραγματοποιήσεις και σταθερές εργοδοτικές τυχαίες διεργασίες και ορίζεται ως ο άμεσος μετασχηματισμός Fourier στη συνάρτηση αμοιβαίας συνδιακύμανσής τους ή, δεδομένης της σχέσης μεταξύ κυκλικών και κυκλικών συχνοτήτων, Ο αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier συσχετίζει τη συνάρτηση αμοιβαίας συνδιακύμανσης και τη φασματική πυκνότητα ισχύος: Παρόμοια με (1.32), (1.33) εισάγουμε φασματική πυκνότητα ισχύος (φάσμα ισχύος)
τυχαία διαδικασία Η συνάρτηση έχει την ιδιότητα ισοτιμίας: Η ακόλουθη σχέση ισχύει για την αμοιβαία φασματική πυκνότητα: όπου είναι το σύμπλοκο συνάρτησης συζυγές με . Οι παραπάνω τύποι για τις φασματικές πυκνότητες ορίζονται τόσο για θετικές όσο και για αρνητικές συχνότητες και καλούνται διπλής όψης φασματικές πυκνότητες
. Είναι βολικά στην αναλυτική μελέτη συστημάτων και σημάτων. Στην πράξη, χρησιμοποιούν φασματικές πυκνότητες που ορίζονται μόνο για μη αρνητικές συχνότητες και ονομάζονται μονομερής
(Εικόνα 1.14): Εικόνα 1.14 - Μονόπλευρη και διπλή όψη φασματικές πυκνότητες Ας εξαγάγουμε μια έκφραση που συσχετίζει τη μονόπλευρη φασματική πυκνότητα του ακίνητου SP με τη συνάρτηση συνδιακύμανσής του: Λαμβάνουμε υπόψη την ιδιότητα ισοτιμίας για τη συνάρτηση συνδιακύμανσης του ακίνητου SP και τη συνημίτονο, την περιττή ιδιότητα για την ημιτονοειδή συνάρτηση και τη συμμετρία των ορίων ολοκλήρωσης. Ως αποτέλεσμα, το δεύτερο ολοκλήρωμα στην έκφραση που λήφθηκε παραπάνω εξαφανίζεται και στο πρώτο ολοκλήρωμα μπορεί κανείς να μειώσει στο μισό τα όρια ολοκλήρωσης, διπλασιάζοντας τον συντελεστή: Προφανώς, η φασματική πυκνότητα ισχύος μιας τυχαίας διαδικασίας είναι μια πραγματική συνάρτηση. Ομοίως, η αντίστροφη σχέση μπορεί να ληφθεί: Από την έκφραση (1.42) στο , προκύπτει ότι Αυτό σημαίνει ότι το συνολικό εμβαδόν κάτω από το μονόπλευρο διάγραμμα φασματικής πυκνότητας είναι ίσο με το μέσο τετράγωνο της τυχαίας διαδικασίας. Με άλλα λόγια, η μονόπλευρη φασματική πυκνότητα ερμηνεύεται ως η μέση τετραγωνική κατανομή της διαδικασίας στις συχνότητες. Η περιοχή κάτω από το γράφημα της μονόπλευρης πυκνότητας, που περικλείεται μεταξύ δύο αυθαίρετων τιμών συχνότητας και , ισούται με το μέσο τετράγωνο της διεργασίας σε αυτή τη ζώνη συχνοτήτων του φάσματος (Εικόνα 1.15): Εικόνα 1.15 - Ιδιότητα φασματικής πυκνότητας Η φασματική πυκνότητα αμοιβαίας ισχύος είναι ένα σύνθετο μέγεθος, επομένως μπορεί να αναπαρασταθεί σε εκθετική μορφή με όρους μονάδα μέτρησης
Και γωνία φάσης
: που είναι η ενότητα? είναι η γωνία φάσης. , είναι το πραγματικό και το φανταστικό μέρος της συνάρτησης, αντίστοιχα. Ο συντελεστής της αμοιβαίας φασματικής πυκνότητας περιλαμβάνεται στη σημαντική ανισότητα Αυτή η ανισότητα μας επιτρέπει να προσδιορίσουμε συνάρτηση συνοχής
(τετράγωνο συνοχής), που είναι παρόμοιο με το τετράγωνο της κανονικοποιημένης συνάρτησης συσχέτισης: Ο δεύτερος τρόπος εισαγωγής φασματικών πυκνοτήτων είναι ο άμεσος μετασχηματισμός Fourier των τυχαίων διεργασιών. Έστω και είναι δύο στάσιμες εργοδοτικές τυχαίες διεργασίες για τις οποίες πεπερασμένοι μετασχηματισμοί Fourier
οι υλοποιήσεις του μήκους ορίζονται ως Η αμφίπλευρη αμοιβαία φασματική πυκνότητα αυτών των τυχαίων διεργασιών εισάγεται χρησιμοποιώντας το γινόμενο μέσω της σχέσης όπου ο τελεστής προσδοκίας σημαίνει τη λειτουργία υπολογισμού του μέσου όρου πάνω από τον δείκτη . Ο υπολογισμός της αμφίπλευρης φασματικής πυκνότητας μιας τυχαίας διαδικασίας πραγματοποιείται σύμφωνα με τη σχέση Οι μονόπλευρες φασματικές πυκνότητες εισάγονται με παρόμοιο τρόπο: Οι συναρτήσεις που ορίζονται από τους τύπους (1.49), (1.50) είναι ταυτόσημες με τις αντίστοιχες συναρτήσεις που ορίζονται από τις σχέσεις (1.32), (1.33) ως μετασχηματισμοί Fourier έναντι συναρτήσεων συνδιακύμανσης. Αυτή η δήλωση ονομάζεται Θεωρήματα Wiener-Khinchin.
1. Δώστε μια ταξινόμηση των ντετερμινιστικών διεργασιών. 2. Ποια είναι η διαφορά μεταξύ πολυαρμονικών και σχεδόν περιοδικών διεργασιών; 3. Διατυπώστε τον ορισμό μιας στατικής τυχαίας διαδικασίας. 4. Ποια μέθοδος υπολογισμού του μέσου όρου των χαρακτηριστικών μιας εργοδοτικής τυχαίας διαδικασίας είναι προτιμότερη - ο μέσος όρος έναντι ενός συνόλου δειγματοληπτικών συναρτήσεων ή ο μέσος όρος για το χρόνο παρατήρησης μιας υλοποίησης; 5. Διατυπώστε τον ορισμό της πυκνότητας κατανομής πιθανότητας μιας τυχαίας διαδικασίας. 6. Γράψτε μια έκφραση που συνδέει τις συναρτήσεις συσχέτισης και συνδιακύμανσης μιας στατικής τυχαίας διαδικασίας. 7. Πότε δύο τυχαίες διαδικασίες θεωρούνται ασύνδετες; 8. Υποδείξτε μεθόδους για τον υπολογισμό του μέσου τετραγώνου μιας στατικής τυχαίας διεργασίας. 9. Με ποιο μετασχηματισμό σχετίζονται οι συναρτήσεις φασματικής πυκνότητας και συνδιακύμανσης μιας τυχαίας διαδικασίας; 10. Σε ποιο βαθμό αλλάζουν οι τιμές της συνάρτησης συνοχής δύο τυχαίων διεργασιών; Βιβλιογραφία 1. Sergienko, A.B. Επεξεργασία ψηφιακού σήματος / A.B. Σεργιένκο. - M: Peter, 2002. - 604 p. 2. Sadovsky, G.A. Θεωρητική βάσηπληροφοριακός εξοπλισμός μέτρησης / Γ.Α. Σαντόφσκι. - Μ.: Γυμνάσιο, 2008. - 480 σελ. 3. Bendat, D. Εφαρμογή συσχέτισης και φασματικής ανάλυσης / D. Bendat, A. Pirsol. – Μ.: Μιρ, 1983. – 312 σελ. 4. Bendat, D. Μέτρηση και ανάλυση τυχαίων διεργασιών / D. Bendat, A. Pirsol. – Μ.: Μιρ, 1974. – 464 σελ. Το παρακάτω είναι Σύντομη περιγραφήπροσδιορίζονται ορισμένα σήματα και οι φασματικές τους πυκνότητες. Κατά τον προσδιορισμό των φασματικών πυκνοτήτων των σημάτων που ικανοποιούν τη συνθήκη απόλυτης ολοκλήρωσης, χρησιμοποιούμε απευθείας τον τύπο (4.41). Οι φασματικές πυκνότητες ενός αριθμού σημάτων δίνονται στον Πίνακα. 4.2. 1) Ορθογώνιος παλμός (Πίνακας 4.2, στοιχείο 4). Η ταλάντωση που φαίνεται στο σχ. Το (4.28, α) μπορεί να γραφτεί ως Η φασματική του πυκνότητα Το γράφημα φασματικής πυκνότητας (Εικ. 4.28, α) βασίζεται στην ανάλυση του φάσματος μιας περιοδικής ακολουθίας μονοπολικών, ορθογώνιων παλμών (4.14) που πραγματοποιήθηκε νωρίτερα. Όπως φαίνεται από το (Εικ. 4.28, β), η συνάρτηση εξαφανίζεται στις τιμές του ορίσματος = n, Οπου Π
-
1,
2, 3, ... - οποιοσδήποτε ακέραιος αριθμός. Στην περίπτωση αυτή, οι γωνιακές συχνότητες είναι ίσες με = . Ρύζι. 4.28. Ο ορθογώνιος παλμός (α) και η φασματική του πυκνότητα (β) Η φασματική πυκνότητα του παλμού στο είναι αριθμητικά ίση με το εμβαδόν του, δηλ. σολ(0)=ΕΝΑ.
Αυτό ισχύει για την ορμή μικρό(t)
αυθαίρετο σχήμα. Πράγματι, ορίζοντας στη γενική έκφραση (4.41) = 0, λαμβάνουμε δηλ. περιοχή ώθησης μικρό(t).
Πίνακας 4.3. Σήμα μικρό(t) Φασματική πυκνότητα Όταν ο παλμός τεντώνεται, η απόσταση μεταξύ των μηδενικών της συνάρτησης μειώνεται, δηλ. συμπιέζεται το φάσμα. Ως αποτέλεσμα, η τιμή αυξάνεται. Αντίθετα, όταν ο παλμός συμπιέζεται, το φάσμα του διευρύνεται και η τιμή μειώνεται. On (Εικ. 4.29, α, β) είναι γραφήματα του πλάτους και των φασμάτων φάσης ενός ορθογώνιου παλμού. Ρύζι. 4.29. Γραφήματα του πλάτους (α) Εικ. 4.30. Ορθογώνιος παλμός και φάσματα φάσης (β) μετατοπίζονται ανάλογα με το χρόνο Όταν ο παλμός μετατοπίζεται προς τα δεξιά (καθυστέρηση) με το χρόνο (Εικ. 4.30), το φάσμα φάσης αλλάζει από την τιμή που καθορίζεται από το όρισμα του πολλαπλασιαστή exp () (Πίνακας 4.2, θέση 9). Το προκύπτον φάσμα φάσης του καθυστερημένου παλμού φαίνεται στο σχ. 4.29, β με διακεκομμένη γραμμή. 2) Συνάρτηση Delta (Πίνακας 4.3, στοιχείο 9). Η φασματική πυκνότητα - συναρτήσεις βρίσκονται από τον τύπο (4.41), χρησιμοποιώντας την ιδιότητα φιλτραρίσματος δ
- Λειτουργίες: Έτσι, το φάσμα πλάτους είναι ομοιόμορφο και καθορίζεται από την περιοχή δ
-συνάρτηση [= 1] και το φάσμα φάσης είναι μηδέν [= 0]. Ο αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier της συνάρτησης = 1 χρησιμοποιείται ως ένας από τους ορισμούς δ
- Λειτουργίες: Χρησιμοποιώντας την ιδιότητα time shift (Πίνακας 4.2, στοιχείο 9), προσδιορίζουμε τη φασματική πυκνότητα της συνάρτησης ,
καθυστερημένη από χρόνο σε σχέση με :
Το πλάτος και τα φάσματα φάσης της συνάρτησης φαίνονται στον Πίνακα. 4.3, θέση. 10. Ο αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier μιας συνάρτησης έχει τη μορφή 3) Αρμονική ταλάντωση Στη συνέχεια, λαμβάνοντας υπόψη το (4.47), λαμβάνουμε δ(ω)
είναι συναρτήσεις δέλτα που μετατοπίζονται κατά μήκος του άξονα συχνότητας κατά συχνότητα, αντίστοιχα, προς τα δεξιά και προς τα αριστερά σε σχέση με. Όπως φαίνεται από το (4.48), η φασματική πυκνότητα μιας αρμονικής ταλάντωσης με πεπερασμένο πλάτος παίρνει απείρως μεγάλη τιμή σε διακριτές συχνότητες. Εκτελώντας παρόμοιους μετασχηματισμούς, μπορεί κανείς να λάβει τη φασματική πυκνότητα της ταλάντωσης 4) Λειτουργία προβολής Φασματική πυκνότητα σήματος ως σταθερό επίπεδο ΕΝΑκαθορίζεται από τον τύπο (4.48), ρύθμιση = 0: 5) Μονή συνάρτηση (ή μονό άλμα) (Πίνακας 4.3, θέση 8). Η λειτουργία δεν είναι απολύτως ενσωματωμένη. Αν παριστάνεται ως το όριο της εκθετικής ορμής ,
δηλ. τότε η φασματική πυκνότητα της συνάρτησης μπορεί να οριστεί ως το όριο της φασματικής πυκνότητας του εκθετικού παλμού (Πίνακας 4.3, θέση 1) στο: Ο πρώτος όρος στη δεξιά πλευρά αυτής της παράστασης είναι ίσος με μηδέν σε όλες τις συχνότητες εκτός από = 0, όπου πηγαίνει στο άπειρο, και η περιοχή κάτω από τη συνάρτηση είναι ίση με μια σταθερή τιμή Επομένως, η συνάρτηση μπορεί να θεωρηθεί το όριο του πρώτου όρου. Το όριο του δεύτερου όρου είναι η συνάρτηση. Τελικά παίρνουμε Η παρουσία δύο όρων στην έκφραση (4.51) είναι συνεπής με την αναπαράσταση της συνάρτησης
με τη μορφή 1/2+1/2 σημάδι( t).
Σύμφωνα με (4.50), η σταθερή συνιστώσα 1/2 αντιστοιχεί στη φασματική πυκνότητα και στην περιττή συνάρτηση
είναι η φανταστική τιμή της φασματικής πυκνότητας . Κατά την ανάλυση της επίδρασης ενός μόνο άλματος στις αλυσίδες, Λειτουργία μετάδοσηςπου ισούται με μηδέν στο = 0 (δηλαδή, σε κυκλώματα που δεν περνούν συνεχές ρεύμα), στον τύπο (4.51) μόνο ο δεύτερος όρος μπορεί να ληφθεί υπόψη, που αντιπροσωπεύει τη φασματική πυκνότητα ενός απλού άλματος στη μορφή 6) Μιγαδικό εκθετικό σήμα (Πίνακας 4.3, στοιχείο 16). Αν παραστήσουμε τη συνάρτηση στη μορφή στη συνέχεια, με βάση τη γραμμικότητα του μετασχηματισμού Fourier και λαμβάνοντας υπόψη τις εκφράσεις (4.48) και (4.49), τη φασματική πυκνότητα του μιγαδικού εκθετικού σήματος Επομένως, το μιγαδικό σήμα έχει ένα ασύμμετρο φάσμα, που αντιπροσωπεύεται από μια μοναδική συνάρτηση δέλτα, μετατοπισμένη κατά μια συχνότητα προς τα δεξιά σε σχέση με. 7) Αυθαίρετη περιοδική συνάρτηση. Ας αναπαραστήσουμε μια αυθαίρετη περιοδική συνάρτηση (Εικ. 4.31, α) ως σύνθετη σειρά Fourier πού είναι ο ρυθμός επανάληψης του παλμού. Συντελεστές σειράς Fourier εκφράζονται ως προς τη φασματική πυκνότητα ενός μόνο παλμού μικρό(t)
σε συχνότητες ( n=0,
±1, ±2, ...). Αντικαθιστώντας το (4.55) στο (4.54) και χρησιμοποιώντας τη σχέση (4.53), προσδιορίζουμε τη φασματική πυκνότητα της περιοδικής συνάρτησης: Σύμφωνα με το (4.56), η φασματική πυκνότητα μιας αυθαίρετης περιοδικής συνάρτησης έχει τη μορφή μιας ακολουθίας συναρτήσεων που μετατοπίζονται μεταξύ τους κατά μια συχνότητα (Εικ. 4.31, β). Συντελεστές σε δ
-Οι λειτουργίες αλλάζουν ανάλογα με τη φασματική πυκνότητα ενός μόνο παλμού μικρό(t) (διακεκομμένη καμπύλη στο Σχ. 4.31, β). 8) Περιοδική ακολουθία δ-συναρτήσεων (Πίνακας 4.3, στοιχείο 17). Φασματική πυκνότητα περιοδικής ακολουθίας -συναρτήσεων ορίζεται από τον τύπο (4.56) ως ειδική περίπτωση της φασματικής πυκνότητας μιας περιοδικής συνάρτησης για
=
1:
Εικ.4.31. Μια αυθαίρετη ακολουθία παλμών (α) και η φασματική της πυκνότητα (β) Ρύζι. 4.32. Σήμα ραδιοφώνου (a), φασματικές πυκνότητες του ραδιοφωνικού σήματος (c) και του περιβλήματός του (b) και έχει τη μορφή περιοδικής ακολουθίας δ
-συναρτήσεις πολλαπλασιαζόμενες με τον συντελεστή . 9) Ραδιοφωνικό σήμα με ορθογώνιο φάκελο. Το ραδιοσήμα που φαίνεται στο (Εικ. 4.32, α) μπορεί να γραφτεί ως Σύμφωνα με τη θέση. 11 Πίνακας 4.2, η φασματική πυκνότητα του ραδιοφωνικού σήματος λαμβάνεται μετατοπίζοντας τη φασματική πυκνότητα του ορθογώνιου περιβλήματος κατά μήκος του άξονα συχνότητας προς τα δεξιά και αριστερά με μείωση των τεταγμένων κατά το ήμισυ, δηλ. Αυτή η έκφραση προκύπτει από το (4.42) αντικαθιστώντας τη συχνότητα με τις συχνότητες - μετατόπιση προς τα δεξιά και - μετατόπιση προς τα αριστερά. Ο μετασχηματισμός του φάσματος περιβλήματος φαίνεται στο (Εικ. 4.32, b, c). Δίνονται επίσης παραδείγματα υπολογισμού των φασμάτων των μη περιοδικών σημάτων.Ντετερμινιστική συνάρτηση αυτοσυσχέτισης σήματος
Συνάρτηση αυτοσυσχέτισης
- το όριο του λόγου της συνάρτησης αυτοσυσχέτισης ενός χρονικά περιορισμένου σήματος προς την τιμή αυτού του χρόνου και όταν τείνει στο άπειρο. Εάν υπάρχει αυτό το όριο, τότε προσδιορίζεται από τον αντίστροφο μετασχηματισμό Fourier της φασματικής πυκνότητας ισχύος του σήματος.
ονομάζεται χαρακτηριστικό συχνότητας φάσης (PFC) του σήματος. Η απόκριση συχνότητας του σήματος είναι μια άρτια συνάρτηση και η απόκριση φάσης είναι περιττή.
(Πίνακας 4.3, στοιχείο 12). Μια αρμονική ταλάντωση δεν είναι ένα εντελώς ενσωματωμένο σήμα. Ωστόσο, για τον προσδιορισμό της φασματικής πυκνότητάς του, χρησιμοποιείται ένας άμεσος μετασχηματισμός Fourier, γράφοντας τον τύπο (4.41) ως:
(Πίνακας 4.3, στοιχείο 13)
(Πίνακας 4.3, στοιχείο 11)
Φόρτωση...