Az áramkörelemzési problémák megoldásának egyszerűsítése érdekében a jeleket bizonyos függvények összegeként ábrázoljuk.
Ezt a folyamatot az általánosított Fourier-sor koncepciója támasztja alá. A matematikában bebizonyosodott, hogy minden függvény, amely kielégíti a Dirichlet-feltételeket, ábrázolható sorozatként:
Ennek meghatározásához megszorozzuk a sorozat bal és jobb oldali részét, és vegyük a bal és jobb oldali rész integrálját:
arra az intervallumra, amelyben az ortogonalitási feltételek teljesülnek.
Látható, hogy az általánosított Fourier-sorra egy kifejezést kaptunk:
Különféle funkciót különböztetünk meg a jel sorozattá bővítésére. Ilyen függvényként egy ortogonális függvényrendszert választunk:
A sorozat meghatározásához kiszámítjuk az értéket:
Így kapjuk:
Grafikusan ezt a sorozatot az amplitúdó harmonikus összetevőinek két grafikonjaként ábrázoljuk.
Az eredményül kapott kifejezés a következőképpen ábrázolható:
Megkaptuk a trigonometrikus Fourier-sor rögzítésének második formáját. Grafikusan ezt a sorozatot két grafikon - amplitúdó és fázisspektrum - formájában mutatjuk be.
Keressük meg a Fourier-sor összetett alakját, ehhez használjuk az Euler-képleteket:
Grafikusan a spektrumot ebben a formában a tartományban a frekvenciatengelyen ábrázoljuk.
Nyilvánvaló, hogy a periodikus jel komplex vagy amplitúdó formában kifejezett spektruma diszkrét. Ez azt jelenti, hogy a spektrum frekvenciájú komponenseket tartalmaz
Nem periodikus jel spektrális jellemzői
Mivel egyetlen jelet nem periodikus jelnek tekintenek a rádiótechnikában, a spektrumának megtalálásához a jelet periódusos jelként ábrázoljuk. Használjuk a Fourier-sor transzformációját az adott periódusra. Szerezzen be:
A kapott kifejezés elemzése azt mutatja, hogy -nál a komponensek amplitúdói végtelenül kicsivé válnak, és folyamatosan helyezkednek el a frekvencia tengelyén. Ezután, hogy kikerüljünk ebből a helyzetből, a spektrális sűrűség fogalmát használjuk:
A kapott kifejezést behelyettesítjük az összetett Fourier-sorba, így kapjuk:
Végül megkapjuk:
Itt van a spektrális sűrűség, maga a kifejezés pedig a közvetlen Fourier-transzformáció. A jel spektrumából történő meghatározásához az inverz Fourier transzformációt használjuk:
A Fourier-transzformáció tulajdonságai
A direkt és a képletekből fordított transzformációk Fourier, nyilvánvaló, hogy ha a jel megváltozik, akkor a spektruma is megváltozik. A következő tulajdonságok beállítják a megváltozott jel spektrumának függőségét a változások előtti jel spektrumától.
1) A Fourier-transzformáció linearitási tulajdonsága
Megállapítottuk, hogy a jelek összegének spektruma megegyezik spektrumaik összegével.
2) A jel spektruma időben eltolódott
Azt találtuk, hogy a jel eltolásakor az amplitúdóspektrum nem változik, hanem csak a fázisspektrum változik az értékkel
3) Az időskála megváltoztatása
vagyis ha a jel többszörösen tágul (szűkül), akkor ennek a jelnek a spektruma szűkül (tágul).
4) Eltolási spektrum
5) A jel deriváltjának spektruma
Vegyük az inverz Fourier-transzformáció bal és jobb oldalának deriváltját.
Azt látjuk, hogy a jel deriváltjának spektruma megegyezik az eredeti jel spektrumának szorzatával, azaz változik az amplitúdóspektrum és a fázisspektrum -val.
6) A jel integrál spektruma
Vegyük az inverz Fourier transzformáció bal és jobb oldalának integrálját.
Látjuk, hogy a jel deriváltjának spektruma egyenlő az eredeti jel spektrumával osztva:
7) Két jel szorzatának spektruma
Így két jel szorzatának spektruma egyenlő a spektrumaik konvolúciójával megszorozva az együtthatóval
8) Kettősségi tulajdonság
Így, ha egy spektrum valamilyen jelnek felel meg, akkor a fenti spektrummal egybeeső alakú jel egy olyan spektrumnak felel meg, amely egybeesik a fenti jellel.
Általános megjegyzések
Az ábrázolás alapjául használható különböző ortogonális függvényrendszerek közül rádiójelek, kivételes helyet foglalnak el a harmonikus (szinusz és koszinusz) függvények. A harmonikus jelek fontossága a rádiótechnikában több okból is adódik.
A rádiótechnikában a továbbított üzenetekhez kapcsolódó elektromos jelekkel kell foglalkozni. elfogadott módon kódolás.
Azt mondhatjuk, hogy az elektromos jel egy fizikai (elektromos) folyamat, amely információt hordoz. Egy bizonyos jellel továbbítható információ mennyisége a fő paramétereitől függ: időtartam, frekvenciasáv, teljesítmény és néhány egyéb jellemző. Fontosság interferenciával is rendelkezik a kommunikációs csatornában: minél alacsonyabb ez a szint, annál több információ továbbítható egy adott teljesítményű jel segítségével. Mielőtt a jel információs képességeiről beszélne, meg kell ismerkednie annak fő jellemzőivel. Célszerű külön figyelembe venni a determinisztikus és a véletlen jeleket.
Bármilyen jelet determinisztikusnak nevezünk, amelynek pillanatnyi értéke bármikor egyes valószínűséggel megjósolható.
Példák a determinisztikus jelekre az olyan impulzusok vagy impulzussorozatok, amelyek alakja, nagysága és időbeli helyzete ismert, valamint a spektrumán belül adott amplitúdó- és fázisviszonyokkal rendelkező folyamatos jel. A determinisztikus jelek periodikusra és nem periodikusra oszthatók.
Periodikus jel minden olyan jel, amelyre a feltétel
ahol a T periódus véges szakasz, k pedig tetszőleges egész szám.
A legegyszerűbb periodikus determinisztikus jel az harmonikus rezgés. A szigorúan harmonikus rezgést monokromatikusnak nevezzük. Ez az optikából kölcsönzött kifejezés azt hangsúlyozza, hogy a harmonikus rezgés spektruma egyetlen spektrumvonalból áll. Azoknál a valódi jeleknél, amelyeknek van kezdete és vége, a spektrum elkerülhetetlenül elmosódott. Ezért szigorúan monokromatikus oszcillációk nem léteznek a természetben. A jövőben a harmonikus és monokromatikus jel feltételesen oszcillációt jelent. Bármely összetett periodikus jel, mint ismeretes, ábrázolható olyan harmonikus rezgések összegeként, amelyek frekvenciája a w = 2*Pi/T alapfrekvencia többszöröse. Az összetett periodikus jel fő jellemzője a spektrális funkciója, amely információkat tartalmaz az egyes harmonikusok amplitúdóiról és fázisairól.
A nem periodikus determinisztikus jel minden olyan determinisztikus jel, amelyre az s(t)s(t+kT) feltétel teljesül.
A nem periodikus jel általában időben korlátozott. Ilyen jelek például a már említett impulzusok, impulzuskitörések, harmonikus rezgések „törmelékei” stb. A nem periodikus jelek elsődlegesek, mivel ezeket túlnyomórészt a gyakorlatban használják.
A nem periodikus, valamint a periodikus jelek fő jellemzője a spektrális funkciója;
A véletlenszerű jelek közé tartoznak azok a jelek, amelyek értéke nem ismert előre, és csak egy bizonyos valószínűséggel, kisebb, mint egy. Ilyen funkciók például a beszédnek, zenének megfelelő elektromos feszültség, egy távírókód karaktersorozata nem ismétlődő szöveg továbbításakor. A véletlenszerű jelek közé tartozik a rádióimpulzusok sorozata is a radarvevő bemenetén, amikor az impulzusok amplitúdója és nagyfrekvenciás töltésének fázisai a terjedési feltételek változása, a célpont helyzete és más okok miatt ingadoznak. . A véletlenszerű jelekre sok más példa is említhető. Lényegében minden információt hordozó jelet véletlenszerűnek kell tekinteni. A felsorolt, „teljesen ismert” determinisztikus jelek már nem tartalmaznak információt. A következőkben az ilyen jeleket gyakran "oszcillációnak" nevezzük.
A véletlenszerű jelek jellemzésére és elemzésére statisztikai megközelítést alkalmaznak. A véletlenszerű jelek fő jellemzői:
a) a valószínűség-eloszlás törvénye.
b) a jelteljesítmény spektrális eloszlása.
Az első jellemző alapján meghatározható a jelérték relatív tartózkodási ideje egy bizonyos szinttartományban, a maximális értékek aránya az átlagos négyzethez, és még sok más. fontos paramétereket jel. A második karakterisztika csak a frekvenciaeloszlást adja meg közepes teljesítmény jel. Több részletes információk a spektrum egyes összetevőire - azok amplitúdóira és fázisaira - egy véletlenszerű folyamat spektrális jellemzője nem ad.
Hasznos mellett véletlenszerű jelek elméletben és gyakorlatban véletlenszerű interferenciával – zajjal – kell megküzdenie. Mint fentebb említettük, a zajszint a fő tényező, amely korlátozza egy adott jel információátviteli sebességét.
SZENTPÉTERVÁRI ÁLLAMI EGYETEM
FIZIKAI KAR
IRÁNY
"ALKALMAZOTT MATEMATIKA ÉS FIZIKA"
Meghatározási módszerek
spektrális jellemzők
elektromos jelek
Szentpétervár
Bevezetés .................................................. ................................................ .. ................................ 3
A Fourier-sorozat valódi formája................................................ ...................................................... ........ 3
A Fourier-sor összetett formája ................................................ ............................................................ .............. .. 4
Periodikus függvény spektruma .................................................. .. .................................................. 5
Fourier transzformáció ................................................ ................................................................ .............................. 6
A Fourier-transzformáció tulajdonságai ................................................ .................................................. ................ 7
Diszkrét jelspektrum ................................................... ............................................................ .......................... 9
Diszkrét Fourier-transzformáció ................................................... ............................................................ ......... 12
A spektrum szórása .................................................. ...................................................... ................... 14
Laboratóriumi felszerelés és mérések................................................ .............................................. 15
Feladatok................................................................ .................................................. ...................................... 17
Függelék 1. Egy szinusz szakasz ................................................ ................................................... 18
Irodalom................................................. .................................................. ................................ 19
Bevezetés
Ez a munka a sorozat első darabja laboratóriumi munka a Szentpétervári Állami Egyetem Fizikai Karának "Információfeldolgozási és -továbbítási módszerek" (MOPI) oktatási laboratóriumában. A laboratórium a második évben működik, és támogatja az "Információfeldolgozási és -továbbítási módszerek fizikai alapjai" című előadásokat. Ekkorra már elvégezték a kurzust a hallgatók, a laboratórium célja az ismeretek megszilárdítása és bővítése ezen a területen.
A jelspektrum fogalma információátviteli eszközök fejlesztéséhez szükséges, más fizikai mennyiségek közvetett mérésére, egyszerűen elektromos áramkör kiszámítására használják. A jel spektrumának ismerete lehetővé teszi annak természetének jobb megértését, és nem véletlen, hogy ezzel a munkával kezdődik a laboratóriumi munka köre.
A munka számítási és kísérleti jellegű is lesz. A munka kísérleti része egy fontos innovatív elemet tartalmaz - a digitális jelfeldolgozás alkalmazását, adatgyűjtő rendszerrel digitalizálva. Ezenkívül a munka teljes számítási részét, valamint a kísérleti eredmények feldolgozását a MATLAB modern matematikai csomag és annak kiegészítő könyvtára - Signal Processing Toolbox - alapján végzik. Kihasználják a bennük rejlő lehetőségeket a különböző típusú jelek matematikai modellezésére és az adatfeldolgozásra.
Feltételezhető, hogy az olvasó ismeri ennek a csomagnak az alapvető működését. A számítási programokat és a különféle kiegészítéseket a Munkakérelmek közé kell utalni.
A Fourier sorozat valódi formája
Tekintsünk egy periodikus függvényt, amelynek periódusa egyenlő: 
, ahol bármely egész szám. Bizonyos feltételek mellett ez a függvény a forma harmonikus függvényeinek véges vagy végtelen összegeként ábrázolható. 
, amelynek periódusa egybeesik az eredeti függvény periódusával, ahol a https://pandia.ru/text/78/330/images/image007_33.gif" width="19 height=24" height="24"> egy állandó ..gif" width="15" height="17 src=">. Így megoldjuk a periodikus függvény trigonometrikus sorozattá bővítésének problémáját:
(1)
Ennek az összegnek külön kifejezése https://pandia.ru/text/78/330/images/image011_19.gif" width="28" height="23">. A mi feladatunk az, hogy olyan együtthatókat és , melyik sorhoz válasszunk (1) az adott függvényhez fog konvergálni https://pandia.ru/text/78/330/images/image013_18.gif" width="301 height=53" height="53"> (2)
ahol az új együtthatók a következőképpen vannak kifejezve: https://pandia.ru/text/78/330/images/image015_16.gif" width="105" height="24 src=">.gif" width="273" height= "117 "> (3)
Bizonyítható, hogy a trigonometrikus sorozatok egyenletesen konvergálnak a https://pandia.ru/text/78/330/images/image019_13.gif" width="48 height=53" height="53">.gif függvényhez " width= "28" height="23 src="> egy trigonometrikus rendű polinom segítségével bizonyos pontossággal közelíthető N, azaz véges számú kifejezés.
A Fourier-sor összetett formája
A trigonometrikus sorozat egy másik, összetett formáját úgy kapjuk meg, hogy a szinuszokat és koszinuszokat összetett kitevőkkel írjuk a (2)-be:
(4)
A valós és a komplex formák együtthatóit a következő összefüggések kapcsolják össze:
(5)
Az (5) képletekkel a (3)-ból kifejezéseket kapunk a trigonometrikus sorozat komplex alakjának együtthatóira. Ezek az együtthatók bármilyen számra felírhatók k a következő módon
(6)
Egy összetett formájú trigonometrikus sorozat egyenletesen konvergál a függvényhez, ha a sorozat és konvergál. Ez akkor lesz igaz, ha az eredeti függvény teljesíti a Dirichlet-feltételeket.
Periodikus függvény spektruma
Vezessük be a periodikus függvény spektrumának fogalmát. Ez azon a lehetőségen alapul, hogy a jelet akár valódi Fourier-sorként (1), akár összetett sorozatként (4) ábrázoljuk. Ez azt jelenti, hogy a valós együtthatók és, vagy a komplex együtthatók hordozzák teljes körű tájékoztatást ismert periódusú periodikusról https://pandia.ru/text/78/330/images/image012_20.gif" width="21" height="24">, és valós jelspektrumnak hívják..gif" width= "69" height="41 src=">). Ezért a halmazt amplitúdóspektrumnak nevezzük..gif" width="20" height="24">. A valós spektrummal ellentétben a komplex spektrum pozitív és negatív frekvenciákra is definiálva van. Az alábbiakban megmutatjuk, hogy a modulus ezek az együtthatók határozzák meg az amplitúdóharmonikusokat, ezért nevezhetjük amplitúdóspektrumnak, az argumentumok (fázisspektrum) pedig a harmonikusok kezdeti fázisait..gif" width="61 height=29" height="29">. Ez az összefüggés az amplitúdó komplex spektrumának paritásos tulajdonságát, az első fázis páratlanságát jelenti.
Nézzük meg, hogyan függ össze a valós és a komplex spektrum. A (4) sorozatot mint
A negatív számokkal rendelkező kifejezések pozitív számokkal kifejezhetők, hiszen és 
. Ekkor csak a pozitív számokat tartalmazó összeg marad
Az azonos számokkal rendelkező kitevők összegzése után https://pandia.ru/text/78/330/images/image035_4.gif" width="237" height="53"> (9)
Az (1) és (9) sorozatok összehasonlításával megkapjuk a kívánt összefüggést a valós és a komplex spektrum között: és.
Mivel a periodikus jel spektruma egyedi harmonikusokból áll, diszkrétnek vagy vonalnak nevezzük. A harmonikus frekvenciák fordítottan arányosak a periódussal. https://pandia.ru/text/78/330/images/image011_19.gif" width="28" height="23"> egy folyamatosan differenciálható, abszolút integrálható függvény a teljes tengelyen :. Egy nem periodikus jel tekinthető periodikusnak, de végtelenül nagy periódusú. Miután a (6) és (4) képletekben végrehajtottuk a határátmenetet a véges jelperiódusról a végtelenül nagy jelperiódusra, képleteket kapunk a közvetlen Fourier transzformáció:
(10)
és fordítva:
(11)
A https://pandia.ru/text/78/330/images/image011_19.gif" width="28" height="23 src="> függvény. Így a nem periodikus jel spektruma folytonos (in ellentétben a periodikus jel vonalspektrumával), a teljes frekvenciatengelyen van meghatározva.
A Fourier-transzformáció tulajdonságai
Tekintsük a Fourier-transzformáció alapvető tulajdonságait.
Linearitás. Tekintsük a függvényeket és a spektrumokat és:
Ekkor lineáris kombinációjuk spektruma a következő lesz:
Késleltetés..gif" width="28" height="23 src=">
(14)
Számítsuk ki az időben eltolt jel spektrumát: https://pandia.ru/text/78/330/images/image050_1.gif" width="59" height="21">, majd
Azt kaptuk, hogy a jel késleltetése a https://pandia.ru/text/78/330/images/image055_1.gif" width="41" height="25"> időtartamra vonatkozik.
Skálaváltozás. Feltételezzük, hogy a spektrum ismert https://pandia.ru/text/78/330/images/image011_19.gif" width="28" height="23 src=">.gif" width="36" height= "23 ">. Bevezetünk egy új változót, behelyettesítjük integrációs változó https://pandia.ru/text/78/330/images/image059_1.gif" width="312" height="61"> (16)
Szorzás https://pandia.ru/text/78/330/images/image041_3.gif" width="40 height=23" height="23"> jellel . Keresse meg ennek a jelnek a spektrumát szorozva .
Így a jelet megszorozzuk a https://pandia.ru/text/78/330/images/image062_1.gif" width="23" height="24">-vel.
Derivatív spektrum. Ebben az esetben a kulcspont a függvény abszolút integrálhatósága. Abból, hogy egy függvény modulusának integrált korlátosnak kell lennie, az következik, hogy a végtelenben a függvénynek nullára kell irányulnia. A függvény deriváltjának integrálját részekre vesszük, az így kapott nem integrál tagok egyenlők nullával, mivel a függvény a végtelenben nullára hajlik.
(18)
Az integrál spektruma. Keressük meg a jel spektrumát https://pandia.ru/text/78/330/images/image065_1.gif" width="81" height="57">, vagyis a jelnek nincs állandó komponense Ez a követelmény azért szükséges, hogy a nem integrál tagok nullával egyenlőek legyenek, amikor az integrált részekre vesszük.
(19)
Konvolúciós tétel. Ismeretes, hogy a https://pandia.ru/text/78/330/images/image067_1.gif" width="37" height="23 src="> jellemző spektrumai és a https://pandia.ru/text/ 78 /330/images/image069_1.gif" width="153" height="57"> és . Ehhez az egyik függvény konvolúciójának Fourier-integráljában lecseréljük a változót, majd a kitevőben a 181"> (20) helyettesítést végezhetjük el.
Két jel konvolúciójának Fourier-transzformációja adja meg e jelek spektrumának szorzatát.
Jelek előállítása. Ismeretes, hogy a https://pandia.ru/text/78/330/images/image067_1.gif" width="37" height="23 src="> jellemzőspektrumok és a https://pandia.ru/text / 78/330/images/image073_1.gif" width="53" height="23"> spektrumokon és ..gif" width="409" height="123"> (21)
A jelek szorzatának spektruma e jelek spektrumának konvolúciója.
Diszkrét jelspektrum
Speciális figyelemérdemes odafigyelni a diszkrét jelekre, hiszen a digitális feldolgozásban éppen ilyen jeleket használnak. diszkrét jel a folytonostól eltérően ez egy olyan számsorozat, amely megfelel a folyamatos jel értékeinek bizonyos időpontokban. A diszkrét jelet hagyományosan folytonos jelnek tekinthetjük, amely bizonyos időpillanatokban bizonyos értékeket vesz fel, máskor pedig nullával egyenlő (1. ábra).
https://pandia.ru/text/78/330/images/image078_1.gif" width="87" height="24"> (22)
A téglalap alakú impulzusok időtartama https://pandia.ru/text/78/330/images/image079_1.gif" width="19 height=24" height="24">:
(23)
Az impulzus amplitúdóját úgy választjuk meg, hogy az impulzus integrálja a periódus alatt . Ebben az esetben az óra impulzusai dimenzió nélküliek. Az ilyen impulzusok sorozatát trigonometrikus sorozattá bővítjük:
(24)
Azonnali jelleolvasáshoz https://pandia.ru/text/78/330/images/image082_1.gif" width="44" height="19"> mindegyik egyenlő 1-gyel.
(25)
Pontosan ugyanilyen alakban van a függvény Fourier-sorának kiterjesztése:
(26)
Az órajel trigonometrikus sorozatának tágulási együtthatói:
(27)
Ekkor a diszkrét jel így fog kinézni:
Egy diszkrét jel Fourier-transzformációjának számításakor felcseréljük az összegzés és az integrálás műveletét, majd a tulajdonságot használjuk δ - Funkciók:
A diszkrét jel spektruma periodikus függvény. Tekintsük az exponenciálist az egyedi tagban a frekvencia függvényében..gif" width="45" height="19">, és ennek megfelelően ez lesz a teljes spektrum ismétlési periódusa. a diszkrét jel spektrumának ismétlési periódusa megegyezik a kvantálási frekvenciával 
.
Vegyünk egy másik ötletet. Tekintettel arra, hogy ez a függvények és a szorzata, egy diszkrét jel spektruma egy folytonos jel spektrumának konvolúciójaként kerül kiszámításra. https://pandia.ru/text/78/330/images/image094_1.gif " width="37" height="23"> .
(30)
Számoljunk a (25) segítségével. Mivel ez egy periodikus függvény, spektruma diszkrét.
Tehát konvolúció (30)
https://pandia.ru/text/78/330/images/image099_1.gif" width="39" height="23 src=">.
Már maga az a tény, hogy a mintavétel hatására minőségi változások következnek be a jel spektrumában, arra utal, hogy az eredeti jel torzulhat, mivel azt teljes mértékben a spektruma határozza meg. Másrészt azonban ugyanazon spektrum periodikus ismétlődése önmagában nem hoz semmi újat a spektrumba, ezért bizonyos feltételek mellett az egyes időpontokban mért jelértékek ismeretében meg lehet találni, hogy ez a jel milyen értékű. bármely más időpontban vett fel, azaz kap eredeti folyamatos jelet. Ez a Kotelnyikov-tétel jelentése, amely feltételt szab a kvantálási frekvencia megválasztásának a jelspektrumban lévő maximális frekvenciának megfelelően.
Ha ez a feltétel megsérül, akkor a jel digitalizálása után egy periodikusan ismétlődő spektrum kerül egymásra (2. ábra). Az átfedésből származó spektrum egy másik jelnek fog megfelelni.
Rizs. 2. Spektrátfedés.
Diszkrét Fourier transzformáció
Az előző részben azt mondtuk, hogy ha a Kotelnyikov-tétel feltétele teljesül, egy diszkrét jel mintái tárolnak minden információt az eredeti folytonos jelről, és így annak spektrumáról. Ezért a jelspektrum a diszkrét leolvasásaiból is megtalálható, ami bőséges lehetőséget biztosít a jelelemzésre a digitális feldolgozásban. Korábban kimutatták, hogy egy periodikus jel spektruma diszkrét, azaz a jel bizonyos harmonikusokra bontható. A diszkrét jelnek periodikus spektruma van. A diszkrét periodikus jelnek diszkrét periodikus spektruma lesz. Egy diszkrét jelet jelértékek sorozataként ábrázolunk fix időközönként ..gif" width="19" height="19 src=">, azaz bármelyikre végrehajtják. Általában a diszkrét Fourier-transzformáció a minták által meghatározott jel elemvektorként, a következő képlettel számítva:
(33)
Inverz Fourier transzformáció a következő képlet szerint:
(34)
Összehasonlítva a (33)-at (4)-gyel, azt kapjuk, hogy a https://pandia.ru/text/78/330/images/image110_1.gif" width="69" height="43 src="> és a frekvenciának megfelelő harmonikus komplex amplitúdója 
vagy ami ugyanaz 
, ahol a kvantálási frekvencia hertzben van: https://pandia.ru/text/78/330/images/image114_0.gif" width="53" height="41 src="> a kvantálási periódus, a periódus egyenlőnek tekinthető a rögzített töredékjel időtartamával.
A MATLAB-ban a diszkrét Fourier-transzformációt az fft (Fast Fourier Transform) paranccsal hajtják végre, amely egy speciális gyors transzformációs algoritmus segítségével végez számításokat. Parancs szintaxis:
y = fft(x, n, dim)
x egy vektor jelmintákkal;
y - vektor a transzformáció eredményével ;
Az n egy opcionális paraméter, amely megadja a transzformáció végrehajtásához használt jelminták számát. Ebben az esetben az y vektor n elemből fog állni;
A dim egy opcionális paraméter, amely megadja annak a dimenziónak a számát, amellyel az átalakítás végrehajtódik. Akkor használatos, ha az x több jelet tartalmaz, mindegyik egy oszlopban vagy sorban, a dim jelzi.
Egy hasonló felületen van egy parancs, amely végrehajtja az inverz transzformációt:
x = ift(n, n, dim)
Az fft parancs egy tömböt ad vissza, amelyben a harmonikus amplitúdók a https://pandia.ru/text/78/330/images/image117_0.gif" width="80" height="48 src=" tartomány harmonikus frekvenciáinak felelnek meg >, ismertebb Általánosságban elmondható, hogy ha az x vektor minden értéke valós, ami bármely mért fizikai mennyiségre jellemző, akkor a fentiek szerint (9) csak a frekvenciatartományban lévő harmonikusoknak van https:// értéke. pandia.ru/text/78/330 /images/image104_1.gif" width="20" height="24 src="> pontosan egy jelzési periódus. Vagyis ebben az esetben a periodikus jel rögzített szegmensét periodikusan kell folytatni, míg az ismétlési periódusnak a teljes jelrögzítés időtartama kell, hogy legyen. Ha a felvétel időtartama eltér a rögzített jel periódusától, akkor a jel rögzítésének időszakos ismétlésével a jel alakja, illetve spektruma torzul.
Például egy ponttal rendelkező szinuszos jelet rögzítettünk, és a rögzítés időtartama , és , ahol egy egész szám. Ezután a jelrögzítés időszakos ismétlésével (3. ábra) az első típusú folytonossági zavarok jelennek meg, mivel a felvétel elején és végén eltérőek a jelértékek.
https://pandia.ru/text/78/330/images/image054_1.gif" width="13" height="15">. A rögzített jel szegmense úgy is értelmezhető, mint az eredeti, téglalap alakú jel impulzus, amely meghatározza az idő szegmenst Ekkor a Fourier-transzformáció tulajdonságai szerint a felvett jel spektruma az eredeti spektrum szorzata lesz egy téglalap alakú impulzus spektrumával (4. ábra).
https://pandia.ru/text/78/330/images/image123.jpg" width="562" height="229 src=">
Rizs. 5. Laboratóriumi telepítés.
Tekintsük részletesebben ennek a sémának az egyes blokkjait.
1. Az analóg modelljelek forrása a Model Signal Generator. A következő eszközök használhatók (a tanár választása szerint):
· Különféle formájú szabványos laboratóriumi jelgenerátor (szinuszos és téglalap alakú impulzusok);
Az L-Card eszköz digitális-analóg átalakítójára (DAC) szerelt digitális generátor ;
· A MATLAB segítségével a jelek lejátszhatók a számítógép hangkártyáján.
A MATLAB segítségével lehetővé vált szinte bármilyen alakú jel reprodukálása, amelynek spektruma az audio tartományba esik, a lehetőségeknek csak a hangkártya jellemzői szabnak határt, nevezetesen a kvantálási frekvencia, a frekvenciamenet és a maximális lehetséges feszültségérték. . Elsősorban hangvisszaadásra tervezett hangkártyák rendelkeznek frekvencia válasz, amely lehetővé teszi a jel reprodukálását a körülbelül 100 Hz és 20 kHz közötti frekvenciatartományban. Ezeket a határokat a hangkártya belső eszköze határozza meg, általában ott olyan szűrőket használnak, amelyek korlátozzák a jel spektrumát ebben a tartományban. A hangkártya másik jellemzője, hogy legtöbbjük csak bizonyos mintavételi frekvenciákkal tud működni: 8000Hz, 11025Hz, 22050Hz és 44100Hz. Kimeneti feszültség különbözőnek hangkártyák eltérhet, de általában a maximális lehetséges érték körülbelül 1 V. Hangkártya előnye:
Szinte minden számítógépben megtalálhatók;
Számos program támogatja, köztük a MATLAB és a Simulink.
Hibák:
A különböző táblák jellemzői nagyon eltérőek lehetnek;
Hogyan mérőeszköz nincs pontossági osztályuk;
Belső védelmi áramkörök hiánya (galvanikus vagy optikai leválasztás), ami meghibásodáshoz vezethet.
2. A fent felsorolt generátorok bármelyikének kimenetéről vett analóg jelek vizuálisan vezérelhetők egy katódsugár-oszcilloszkóp képernyőjén. Az ilyen vezérlés szükséges a generált jelek alakjának megfigyeléséhez és paramétereik beállításához - amplitúdó, időtartam, ismétlési periódus stb.
3. A kísérleti összeállítás következő eleme egy aluláteresztő szűrő (LPF). Ez egy analóg eszköz, amelyet általában ilyen áramkörökben használnak. Célja, hogy felülről korlátozza a vizsgált jelek spektrumát a Kotelnyikov-tétel feltételeinek kielégítése érdekében. Az L-kártya maximális kvantálási frekvenciája 125 kHz, majd a Kotelnikov-tételből a jel torzítás nélküli visszaállításához a jel spektruma nem haladhatja meg fgr:
A tanár utasítása szerint a legegyszerűbb aluláteresztő szűrőt kell forrasztania. Sémája a ábrán látható. 6.
https://pandia.ru/text/78/330/images/image126_0.gif" width="85" height="41"> (36)
4. Analóg-digitális konverter (ADC) - átalakító eszköz analóg jelek számítógépen feldolgozható digitális megvalósításokká. Laboratóriumunk L-Card típusú L-761 és L-783 ADC-ket használ, amelyek közvetlenül rendszer egysége számítógép.
Feladatok
1. Számítsa ki analitikusan a tanár által megadott egyszerű formájú periodikus jelek spektrális függvényeit (téglalap videoimpulzus, háromszögimpulzus, exponenciális impulzus stb.). Készítsen grafikonokat ezen jelek amplitúdó- és fázisspektrumáról!
2. Végezze el a felsorolt jelek Fourier-analízisét MATLAB-ban a Fast Fourier Transform (FFT) segítségével. Szerkessze meg az amplitúdó- és fázisspektrumok megfelelő grafikonjait a pozitív és negatív frekvenciák tartományában (az fft, fftshift, stem függvények felhasználásával, miután megnézte őket a dokumentációban). A grafikonokon a harmonikusok amplitúdóinak és frekvenciáinak meg kell felelniük az adott jelben lévő értéküknek. Különös figyelmet kell fordítani az impulzus időtartamának és a jelrögzítési idő arányának a jelspektrumra gyakorolt hatására, magyarázza az eredményt. Minden jeltípusra azonos koordinátákon ábrázolja az analitikusan (1. feladat) talált és numerikusan kiszámított amplitúdóspektrumokat.
3. Az FFT paranccsal keresse meg és hasonlítsa össze egy egész és nem egész számú periódusból álló szinusz szegmenseinek spektrumát.
4. Végezzen spektrális elemzést egy több periódusból álló szinuszos szegmensen. Nézze meg, hogyan változik a spektrum a periódusok számától függően.
5. Az L-Graph digitális oszcilloszkóp segítségével figyelje meg a Kotelnyikov-tétel megsértéséből eredő jeltorzulást. Ehhez csatlakoztasson egy analóg harmonikus jelgenerátort az L-kártyához, állítsa be a kvantálási frekvenciát, például 20 kHz-re, és simán változtassa a generátor frekvenciáját 1 kHz és 20 kHz közötti tartományban, figyelje meg a digitalizált frekvenciát. jelet, magyarázza el a megfigyelt hatásokat.
6. Állítsa a kvantálási frekvenciát 100 kHz-re, a harmonikus jelgenerátor frekvenciáját 10 kHz-re, az amplitúdóját pedig 1 V-ra. Rögzítsen egy harmonikus jel 0,01 s időtartamú szegmensét, és ábrázolja amplitúdóspektrumát MATLAB-ban. Ugyanakkor a grafikonon szereplő frekvenciáknak és amplitúdóknak meg kell felelniük a ténylegesen létezőknek.
7. Az első feladatban kapott eredmények felhasználásával közelítsen egy téglalap alakú impulzust a trigonometrikus sorozat véges számú tagjával! Hasonlítsa össze ugyanazon a grafikonon az eredeti impulzust és a közelített két első harmonikust, az első tíz harmonikust.
Függelék 1. Egy szinuszos szakasz
Az egyik feladat elvégzéséhez programot kell írnia egy szinusz spektrumának kiszámításához, az alábbiakban egy ilyen program példáját mutatjuk be. A program elején olyan paramétereket határoznak meg, amelyek meghatározzák a jel időtartamát periódusokban és a periódusok számát. Ezen paraméterek megváltoztatásával kaphat különféle lehetőségeket egy szinuszos szegmens.
törölje, clc, zárja be az összeset
f0 = 1000; % szinuszfrekvencia
N1 = 20; A teljes pálya %-os időtartama időszakokban
N2 = 10; %-os leolvasások száma periódusonként
N3=2; %-os időszakok száma
N = N1*N2; % minták száma a teljes rekordban
fs = f0*N2; % mintavételi ráta
% jelet hoz létre
t = (0:(N-1))/fs; % idő
x(1:N2*N3) = sin(2*pi*(0:(N2*N3-1))/N2);
% számítási tartomány
X = fftshift(abs(fft(x))/N);
f = (plafon(N/2)-N: mennyezet(N/2)-1)*fs/N;
subplot(2,1,1), plot(t, x"k"), xlabel("t, c"), ylabel("x(t)")
subplot(2,1,2), stem(f, X,"k."), xlabel("f, Hz"), ylabel("|X|")
Irodalom
1. Budylin és Fourier integrálok. Szentpétervári Állami Egyetem. 2002.
2., Romanov-transzformációk a MATLAB-ban. SPb. 2007
3. Szmirnov, felsőbb matematika (köt.
A frekvenciamenet alakja nem más, mint egy csillapított spektrális képe szinuszos jel. Ezen kívül, mint ismeretes, az amplitúdó-frekvencia áramlás jellemző egyetlen elektromos oszcillációs áramkör.
Az egyes eszközök amplitúdó-frekvencia jellemző alakja és a jel tulajdonságai közötti összefüggést az elméleti elektrotechnika és az elméleti rádiótechnika alapjai vizsgálják. Röviden, ami minket érdekelne ebből, az a következő.
Az oszcillációs áramkör amplitúdó-frekvencia karakterisztikája egybeesik a kép körvonalaival frekvencia spektrum jel, amely akkor következik be, amikor ennek az oszcilláló áramkörnek a sokk gerjesztése. Ennek szemléltetésére az 1-3. ábrán látható egy csillapított szinusz, amely akkor lép fel, amikor egy oszcillációs áramkört ütés ér. Ezt a jelet időben adják O m ( A) és spektrális ( b) kép.
Rizs. 1-3
A matematika spektrális-időbeli transzformációknak nevezett szekciója szerint egyazon időben változó folyamat spektrális és időbeli képe mintegy szinonimák, ekvivalensek és azonosak egymással. Ez összehasonlítható ugyanazon fogalom egyik nyelvről a másikra fordításához. Aki ismeri a matematikának ezt az ágát, azt mondja, hogy az 1-3 Aés az 1-3 b egyenértékűek egymással. Ezenkívül ennek a jelnek az oszcillációs rendszer (oszcillációs áramkör) sokkgerjesztésével kapott spektrális képe egyidejűleg geometriailag is hasonló ennek az áramkörnek az amplitúdó-frekvencia jellemzőjéhez.
Könnyen belátható, hogy a grafikon ( b) az 1-3. ábrán geometriailag hasonló a grafikonhoz 3 az 1-1. Vagyis látva, hogy a mérések eredményeként grafikont kaptunk 3 , azonnal nem csak a tetőkövek hangcsillapítására jellemző amplitúdó-frekvencia jellemzőként kezeltem, hanem a kőzettömegben lévő oszcillációs rendszer jelenlétének bizonyítékaként is.
Egyrészt számomra nem vetett fel kérdéseket az oszcillációs rendszerek jelenléte a földalatti műemlék tetején heverő kőzetekben, mert más módon nem lehet szinuszos (vagy más szóval harmonikus) jelet szerezni. Arról viszont soha nem hallottam, hogy a föld vastagságában lengőrendszerek léteznének.
Először is emlékezzünk vissza az oszcillációs rendszer definíciójára. Az oszcillációs rendszer olyan tárgy, amely csillapított harmonikus jellel reagál a sokkhatásra (impulzus). Vagy más szavakkal, ez egy olyan objektum, amely rendelkezik egy impulzust (ütést) szinuszossá alakító mechanizmussal.
A csillapított szinuszos jel paraméterei a frekvencia f 0 és minőségi tényező K , melynek értéke fordítottan arányos a csillapítási együtthatóval. Amint az 1-3. ábrán látható, mindkét paraméter meghatározható a jel időbeli és spektrális képéből egyaránt.
A spektrális-időbeli transzformációk a matematika önálló része, és az egyik olyan következtetés, amelyet ennek a szakasznak a ismeretéből, valamint a kőzettömeg hangvezetőképességére jellemző amplitúdó-frekvencia 1. ábrán látható alakjából kell levonnunk. -1 (3. görbe), hogy a vizsgált kőzettömeg akusztikai tulajdonságait tekintve rezgőrendszer tulajdonságát mutatta.
Ez a következtetés mindenki számára nyilvánvaló, aki ismeri a spektrális-időbeli átalakulásokat, de kategorikusan elfogadhatatlan azok számára, akik hivatásszerűen foglalkoznak a szilárd közegek akusztikájával, a szeizmikus feltárással vagy általában a geofizikával. Történt ugyanis, hogy az e szakterület hallgatóinak képzése során ezt az anyagot nem adják át.
Mint ismeretes, a szeizmikus feltárásban azt tartják, hogy a szeizmikus jel alakját az egyetlen mechanizmus, amely meghatározza a szeizmikus jel alakját, a rugalmas oszcillációk terének terjedése a geometriai optika törvényei szerint, visszaverődése a föld vastagságában fekvő határvonalakról, ill. interferencia a jel egyes összetevői között. Úgy gondolják, hogy a szeizmikus jelek alakja a sok kis visszhangjel közötti interferencia természetéből adódik, vagyis a hegységben található sok kis határról visszaverődő visszaverődésnek. Ezenkívül úgy gondolják, hogy az interferencia segítségével bármilyen alakú jel nyerhető.
Igen, ez mind igaz, de a helyzet az, hogy a harmonikus (beleértve a harmonikus csillapított) jel is kivétel. Interferenciával lehetetlen megszerezni.
A szinusz egy elemi információs tégla, amelyet nem lehet egyszerűbb komponensekre bontani, mivel a jel a természetben nem létezik könnyebben, mint egy szinusz. Ez az oka annak, hogy a Fourier-sorozat precízen szinuszos kifejezések gyűjteménye. Elemi, oszthatatlan információs elemről lévén szó, a szinusz nem nyerhető más, még egyszerűbb komponens hozzáadásával (interferenciával).
Harmonikus jelhez egyetlen módon juthatunk – mégpedig úgy, hogy az oszcillációs rendszert befolyásoljuk. Amikor sokk (impulzus) hatást gyakorol az oszcillációs rendszerre csillapított szinuszos, és periodikus vagy zajexpozíció - csillapítatlan szinuszos. És ezért, miután láttuk, hogy egy objektum amplitúdó-frekvencia jellemzője geometriailag hasonló egy harmonikus csillapított jel spektrális képéhez, ezt az objektumot már nem lehet másként kezelni, mint oszcillációs rendszerként.
Mielőtt az első bányában végzett méréseket elvégeztem volna, a szilárd közegek akusztikája és a szeizmikus kutatás területén dolgozó összes többi emberhez hasonlóan meg voltam győződve arról, hogy a kőzettömegben nincsenek rezgésrendszerek, és nem is lehetnek. Azonban miután felfedeztem egy ilyen csillapításra jellemző amplitúdó-frekvenciát, egyszerűen nem volt jogom ennél a véleménynél maradni.
A fent leírtakhoz hasonló mérések elvégzése igen munkaigényes, és e mérések eredményeinek feldolgozása hosszú időt vesz igénybe. Ezért amikor láttam, hogy a kőzettömeg hangvezető képességének természete egy oszcillációs rendszer, akkor rájöttem, hogy egy másik mérési sémát kell alkalmazni, amelyet az oszcillációs rendszerek vizsgálatánál használnak, és amelyet a mai napig használunk. E séma szerint a szondázó jel forrása a kőzettömegre gyakorolt impulzus (ütési) hatás, a vevő pedig egy szeizmikus vevő, amelyet kifejezetten spektrális szeizmikus mérésekhez terveztek. A szeizmikus jel jelzési és feldolgozási sémája lehetővé teszi annak megfigyelését mind időbeli, mind spektrális formában.
Ezt a mérési sémát a föld alatti munkavégzésnek ugyanazon a pontján alkalmazva, mint az első mérésnél, meggyőződtünk arról, hogy a tető kőzettömege ütközésekor az ebben az esetben fellépő jel valóban csillapított szinusz alakú legyen, hasonló a amit az 1 -3 a, és spektrális képe hasonló az 1-3. ábrán látható grafikonhoz b.
Leggyakrabban előfordul, hogy a szeizmikus jel nem egy, hanem több harmonikus komponenst tartalmaz. Mindazonáltal, függetlenül attól, hogy hány harmonikus komponensből áll, mindegyik kizárólag a megfelelő számú oszcillációs rendszer jelenléte miatt keletkezik.
A különféle körülmények között kapott szeizmikus jelek többszöri vizsgálata - mind a földalatti munkák során, mind a földfelszínen, mind az üledéktakaró körülményei között, mind a kristályos aljzati kőzetek vizsgálata során - azt mutatta, hogy lehetséges esetek nem oszcillációs rendszerek jelenléte, hanem interferenciafolyamatok eredményeként nem érkezik jel.
Fourier-képek - a Fourier-sorozat összetett együtthatói F(j w k) periodikus jel (1) és spektrális sűrűség F(j w) nem periodikus jel (2) - számos közös tulajdonsággal rendelkezik.
1. Linearitás . Integrálok (1) És (2) végrehajtani lineáris transzformáció funkciókat f(t). Ezért a függvények lineáris kombinációjának Fourier-képe egyenlő a képeik hasonló lineáris kombinációjával. Ha f(t) = a 1 f 1 (t) + a 2 f 2 (t), Ez F(j w) = a 1 F 1 (j w) + a 2 F 2 (j w), hol F 1 (j w) és F 2 (j w) - jelek Fourier-képei f 1 (t) És f 2 (t), ill.
2. Késleltetés (az idő eredetének megváltoztatása a periodikus függvényeknél) . Vegye figyelembe a jelet f 2 (t), késik egy ideig t 0 a jelhez képest f 1 (t), amelynek ugyanaz a formája: f 2 (t) = f 1 (t – t 0). Ha a jel f 1 van egy kép F 1 (j w), majd a jel Fourier-képe f 2 egyenlő F 2 (j w) == . A kifejezéseket szorozva és osztva a következőképpen csoportosítjuk:
Mivel az utolsó integrál az F 1 (j w), akkor F 2 (j w) = e -j w t 0 F 1 (j w) . Így ha a jel egy ideig késik t 0 (az idő origójának megváltoztatása), spektrális sűrűségének modulusa nem változik, és az argumentum w-vel csökken t 0 a késleltetési idővel arányos. Ezért a jel spektrumának amplitúdói nem függenek az origótól, és a kezdeti fázisok késleltetése t 0 csökkenés w-vel t 0 .
3. Szimmetria . Érvényesre f(t) kép F(j w) konjugált szimmetriája van: F(– j w) = . Ha f(t) páros függvény, akkor az Im F(j w) = 0; a páratlan függvényre Re F(j w) = 0. Modul | F(j w)| és Re valós része F(j w) - páros gyakoriságú függvények, argumentum arg F(j w) és Im F(j w) - páratlan.
4. Különbségtétel . A közvetlen transzformációs képletből részenként integrálva megkapjuk a jel deriváltjának képének kapcsolatát f(t) magának a jelnek a képével
Egy teljesen integrálható funkcióért f(t) a nem integrál tag egyenlő nullával, ezért -nél, és az utolsó integrál az eredeti jel Fourier-képét jelenti F(j w) . Ezért a derivált Fourier-képe df/dt magához a jel képéhez kapcsolódik a reláció j w F(j w) - jel differenciálásakor annak Fourier képét megszorozzuk j w. Ugyanez az összefüggés érvényes az együtthatókra is F(j w k), amelyeket véges határokon belüli integráció határoz meg - T/2 - + T/2. Valójában a termék a megfelelő határokon belül van
Mivel a függvény periodicitása miatt f(T/2) = f(– T/2), a = = = (– 1) k, akkor ebben az esetben az integrálon kívüli tag eltűnik, és a képlet
ahol a nyíl szimbolikusan a közvetlen Fourier-transzformáció műveletét jelöli. Ez az összefüggés többszörös differenciálásra is általánosítható: azért n-a származékunk van: d n f/dt n (j w) n F(j w).
A kapott képletek lehetővé teszik, hogy egy függvény deriváltjainak Fourier-képét megtaláljuk az ismert spektrumából. Ezeket a képleteket olyan esetekben is célszerű használni, amikor a differenciálás eredményeként olyan függvényhez jutunk, amelynek Fourier-képe egyszerűbben számítható ki. Tehát, ha f(t) egy darabonkénti lineáris függvény, akkor annak deriváltja df/dt egy darabonkénti állandó, és ehhez elemileg megtalálható a közvetlen transzformációs integrál. Megkapni a függvény integráljának spektrális jellemzőit f(t) képét kell osztani j w.
5. Az idő és a frekvencia kettőssége . A direkt és az inverz Fourier-transzformációk integráljainak összehasonlítása sajátos szimmetriájukra enged következtetni, ami nyilvánvalóbbá válik, ha az inverz transzformáció képletét átírjuk, áthelyezve a 2p tényezőt az egyenlet bal oldalára:
Jelzésre f(t), ami az idő páros függvénye f(– t) = f(t) amikor a spektrális sűrűség F(j w) - valós érték F(j w) = F(w), mindkét integrál átírható a koszinusz Fourier transzformáció trigonometrikus alakjában:
Kölcsönös helyettesítéssel tés w a direkt és inverz transzformációk integráljai átalakulnak egymásba. Ebből az következik, hogy ha F(w) az idő páros függvényének spektrális sűrűségét jelenti f(t), majd a 2p függvényt f(w) a jel spektrális sűrűsége F(t). Páratlan függvényekhez f(t) [f(t) = – f(t)] spektrális sűrűség F(j w) tisztán képzeletbeli [ F(j w) = jF(w)]. A Fourier integrálok ebben az esetben szinusz transzformációra redukálódnak, amiből az következik, hogy ha a spektrális sűrűség jF(w) egy páratlan függvénynek felel meg f(t), majd az értéket j 2p f(w) a jel spektrális sűrűségét jelenti F(t). Így ezen osztályok jeleinek időfüggésének és spektrális sűrűségének grafikonjai duálisak egymással.
Integrál (1)
Integrál (2)
A rádiótechnikában széles körben alkalmazzák a jelek spektrális és időbeli ábrázolását. Bár a jelek természetüknél fogva véletlenszerű folyamatok, de egy véletlenszerű folyamat egyedi megvalósításai és néhány speciális (például mérő) jel determinisztikus (vagyis ismert) függvénynek tekinthető. Ez utóbbiakat rendszerint periodikusra és nem periodikusra osztják, bár szigorúan periodikus jelek nem léteznek. Egy jelet periodikusnak nevezünk, ha megfelel a feltételnek
egy időintervallumban, ahol T egy állandó érték, amelyet periódusnak neveznek, és k bármely egész szám.
A periodikus jel legegyszerűbb példája a harmonikus oszcilláció (vagy röviden harmonikus).
ahol az amplitúdó, = a frekvencia, a körfrekvencia, a harmonikus kezdeti fázisa.
A harmonikusok fogalmának fontosságát a rádiótechnika elmélete és gyakorlata szempontjából számos ok magyarázza:
- A harmonikus jelek megőrzik alakjukat és frekvenciájukat, amikor áthaladnak az álló lineárison elektromos áramkörök(például szűrők), csak az amplitúdó és a fázis megváltoztatása;
- A harmonikus jelek egyszerűen előállíthatók (például LC oszcillátorok segítségével).
A nem periodikus jel olyan jel, amely véges időintervallumon keresztül nem nulla. A nem periodikus jel tekinthető periodikusnak, de végtelenül nagy periódusú. A nem periodikus jelek egyik fő jellemzője a spektruma. A jelspektrum egy olyan függvény, amely megmutatja a jelösszetételben lévő különböző harmonikusok intenzitásának függőségét ezen harmonikusok frekvenciájától. A periodikus jel spektruma a Fourier-sor együtthatóinak azon harmonikusok frekvenciájától való függése, amelyeknek ezek az együtthatók megfelelnek. Nem periodikus jel esetén a spektrum a jel közvetlen Fourier-transzformációja. Tehát a periodikus jel spektruma diszkrét spektrum (a frekvencia diszkrét függvénye), míg a nem periodikus jelet folyamatos spektrum (folyamatos) spektrum jellemzi.
Figyeljünk arra, hogy a diszkrét és a folytonos spektrumok eltérő méretűek. A diszkrét spektrum mérete megegyezik a jellel, míg a folytonos spektrum mérete megegyezik a jeldimenzió és a frekvencia dimenzió arányával. Ha például a jelet elektromos feszültség képviseli, akkor a diszkrét spektrumot volt [V]-ban, a folytonos spektrumot volt/hertzben [V/Hz] mérjük. Ezért a "spektrális sűrűség" kifejezést a folytonos spektrumra is használják.
Tekintsük először a periodikus jelek spektrális ábrázolását. A matematika tantárgyaiból ismert, hogy bármely periódusos függvény, amely kielégíti a Dirichlet-feltételeket (az egyik szükséges feltétel az, hogy az energia véges legyen) ábrázolható egy Fourier-sorral trigonometrikus formában:
ahol a jel periódusbeli átlagértékét határozza meg, és konstans komponensnek nevezzük. A frekvenciát a jel alapfrekvenciájának (az első harmonikus frekvenciájának), a többszöröseit pedig magasabb harmonikusoknak nevezzük. A (3) kifejezés a következőképpen ábrázolható:
Az a és b együtthatók inverz összefüggéseinek alakja van
Az 1. ábra a (6) sorozat trigonometrikus alakjához tartozó periodikus jel amplitúdóspektrumának tipikus nézetét mutatja:
Kifejezés használata (Euler-képlet).
(6) helyett a Fourier-sor összetett alakját írhatjuk:
ahol az együtthatót a harmonikusok komplex amplitúdóinak nevezzük, amelyek értékeit a (4)-ből és az Euler-képletből következően a következő kifejezés határozza meg:
A (6) és (9) összehasonlítás során megjegyezzük, hogy a Fourier-sor összetett formájának használatakor a k negatív értékei lehetővé teszik, hogy "negatív frekvenciájú" komponensekről beszéljünk. A negatív frekvenciák megjelenése azonban formális jellegű, és a valós jel ábrázolására szolgáló összetett jelölések használatához kapcsolódik.
Ekkor (9) helyett ezt kapjuk:
mérete [amplitúdó / hertz], és a jel amplitúdóját sávonként 1 Hertz mutatja. Ezért ezt az S(jw) folytonos frekvenciafüggvényt komplex amplitúdók spektrális sűrűségének vagy egyszerűen spektrális sűrűségnek nevezzük. Megjegyezzük egy fontos körülményt. Ha összehasonlítjuk a (10) és (11) kifejezéseket, azt látjuk, hogy w=kwo esetén csak konstans tényezővel különböznek, és
azok. egy T periódusú periódusos függvény komplex amplitúdói határozhatók meg egy azonos alakú, nem periodikus függvény intervallumban megadott spektrális karakterisztikájából. A fentiek igazak a spektrális sűrűség modulusára is:
Ebből az összefüggésből következik, hogy a nem periodikus jel folytonos amplitúdóspektrumának burkológörbéje és a periodikus jel vonalspektrumának amplitúdóinak burkológörbéje alakjában egybeesik, és csak léptékben tér el egymástól. Számítsuk ki most a nem periodikus jel energiáját. A (14) egyenlőtlenség mindkét részét s(t)-vel megszorozva és végtelen határértékekbe integrálva kapjuk:
ahol S(jw) és S(-jw) komplex konjugált mennyiségek. Mert
Ezt a kifejezést Parseval-egyenlőségnek nevezik egy nem periodikus jelre. Ez határozza meg a jel teljes energiáját. Ebből következik, hogy nincs más, mint a w frekvencia körüli frekvenciasáv 1 Hz-re eső jelenergiája. Ezért a függvényt néha az s(t) jel spektrális energiasűrűségének is nevezik. Most bizonyítás nélkül mutatunk be több tételt a spektrumokról, amelyek kifejezik a Fourier-transzformáció főbb tulajdonságait.
Betöltés...