Komplex integrálok

Ez a cikk a határozatlan integrálok témakörét fejezi be, és olyan integrálokat tartalmaz, amelyeket meglehetősen nehéznek tartok. A leckét a látogatók ismételt kérésére hoztuk létre, akik kifejezték óhajukat, hogy nehezebb példákat is elemezzenek az oldalon.

Feltételezhető, hogy a szöveg olvasója jól felkészült és tudja, hogyan kell alkalmazni az integráció alapvető technikáit. A bábuknak és az integrálókban nem túl bízó embereknek a legelső leckére kell hivatkozniuk - Határozatlan integrál. Megoldási példák ahol szinte a nulláról tanulhatja meg a témát. A tapasztaltabb hallgatók megismerkedhetnek az integráció olyan technikáival, módszereivel, amelyekkel a cikkeimben még nem találkoztak.

Milyen integrálokat kell figyelembe venni?

Először a gyökös integrálokat tekintjük, amelyek megoldására egymást követően használjuk változó helyettesítésÉs részenkénti integráció. Vagyis az egyik példában két módszert kombinálunk egyszerre. És még több is.

Aztán megismerkedünk egy érdekes és eredetivel módszer az integrál önmagára redukálására. Nem olyan kevés integrált oldanak meg így.

A program harmadik száma összetett törtek integráljai lesznek, amelyek a korábbi cikkekben elrepültek a pénztárgép mellett.

Negyedszer, a trigonometrikus függvényekből származó további integrálokat elemezzük. Különösen vannak olyan módszerek, amelyek elkerülik az időigényes univerzális trigonometrikus helyettesítést.

(2) Az integrandusban tagonként elosztjuk a számlálót a nevezővel.

(3) A határozatlan integrál linearitási tulajdonságát használjuk. Az utolsó integrálban azonnal vigye a függvényt a differenciál jele alá.

(4) A maradék integrálokat vesszük. Vegye figyelembe, hogy a logaritmusban zárójeleket használhat, és nem a modulust, mert .

(5) Végezzük el a fordított helyettesítést, a "te" közvetlen helyettesítésből kifejezve:

A mazochista tanulók meg tudják különböztetni a választ, és megkapják az eredeti integrandust, ahogy én is tettem. Nem, nem, a megfelelő értelemben ellenőriztem =)

Mint látható, a megoldás során még kettőnél több megoldási módot is kellett alkalmazni, így az ilyen integrálok kezeléséhez magabiztos integrációs készség és nem utolsósorban tapasztalat szükséges.

A gyakorlatban természetesen a négyzetgyök elterjedtebb, itt van három példa egy független megoldásra:

2. példa

megtalálja határozatlan integrál

3. példa

Keresse meg a határozatlan integrált

4. példa

Keresse meg a határozatlan integrált

Ezek a példák azonos típusúak, így a cikk végén található teljes megoldás csak a 2. példára vonatkozik, a 3-4. példákban - egy válasz. Azt gondolom, hogy a döntések kezdetén melyik helyettesítőt használjuk, az nyilvánvaló. Miért választottam azonos típusú példákat? Gyakran megtalálhatók szerepeikben. Gyakrabban talán csak valami hasonlót .

De nem mindig, amikor egy lineáris függvény gyöke az arctangens, a szinusz, a koszinusz, a kitevő és más függvények alatt van, több módszert kell egyszerre alkalmazni. Számos esetben lehet „könnyen kiszállni”, vagyis a csere után azonnal egy egyszerű integrált kapunk, amit elemileg veszünk. A fent javasolt feladatok közül a legkönnyebb a 4. példa, amelyben a csere után egy viszonylag egyszerű integrált kapunk.

Az integrál önmagára redukálásának módszere

Okos és szép módszer. Nézzük a műfaj klasszikusait:

5. példa

Keresse meg a határozatlan integrált

A gyökér alatt négyzetes binomiális található, és amikor megpróbáljuk integrálni ezt a példát, a teáskanna órákig szenvedhet. Az ilyen integrált részek veszik fel, és önmagára redukálják. Elvileg nem nehéz. Ha tudod hogyan.

Jelöljük a figyelembe vett integrált latin betűvel, és kezdjük a megoldást:

Integrálás részenként:

(1) Előkészítjük az integrandust a tagozatos felosztásra.

(2) Az integrandus tagot tagokra osztjuk. Talán nem mindenki érti, írok részletesebben:

(3) A határozatlan integrál linearitási tulajdonságát használjuk.

(4) Vegyük az utolsó integrált ("hosszú" logaritmus).

Most nézzük a megoldás legelejét:

És a végére:

Mi történt? Manipulációink hatására az integrál önmagára redukált!

Tegye egyenlővé a kezdet és a vég:

Átszállunk a bal oldalra jelzésváltással:

És lebontjuk a ketteset a jobb oldalra. Ennek eredményeként:

Az állandót szigorúan véve korábban kellett volna hozzátenni, de a végén tettem hozzá. Erősen javaslom, hogy olvassa el itt, mi a súlyosság:

Jegyzet: Szigorúbban a megoldás végső szakasza így néz ki:

És így:

A konstans átnevezhető -val. Miért lehet átnevezni? Mert még tart Bármiértékeket, és ebben az értelemben nincs különbség az állandók és.
Ennek eredményeként:

Egy hasonló trükköt az állandó átnevezéssel széles körben alkalmaznak differenciál egyenletek. És ott szigorú leszek. És itt az ilyen szabadságjogokat csak azért engedem meg, hogy ne keverjem össze felesleges dolgokkal, és magára az integráció módszerére koncentráljak.

6. példa

Keresse meg a határozatlan integrált

Egy másik tipikus integrál a független megoldáshoz. Teljes megoldás és válasz a lecke végén. A különbség az előző példa válaszához képest lesz!

Ha a négyzetgyök alatt négyzetes trinomiális van, akkor a megoldás mindenképpen a két elemzett példára redukálódik.

Vegyük például az integrált . Mindössze annyit kell tennie, hogy előre válasszon egy teljes négyzetet:
.
Ezután egy lineáris cserét hajtanak végre, amely "minden következmény nélkül" működik:
, ami egy integrált eredményez. Valami ismerős, igaz?

Vagy ez a példa négyzetes binomimmal:
Teljes négyzet kiválasztása:
És egy lineáris csere után megkapjuk az integrált, amit szintén a már figyelembe vett algoritmus old meg.

Tekintsünk még két tipikus példát arra, hogyan lehet egy integrált önmagára redukálni:
a kitevő integrálja és a szinusz szorzata;
a kitevő integrálja és a koszinusz szorzata.

A felsorolt, részenkénti integrálokban már kétszer kell integrálnia:

7. példa

Keresse meg a határozatlan integrált

Az integrandus a szinuszos kitevő szorozva.

Kétszer integráljuk részenként, és az integrált önmagára redukáljuk:

A részenkénti kettős integráció eredményeként az integrál önmagára redukálódik. Tegye egyenlővé a megoldás kezdetét és végét:

Előjelváltással átlépünk a bal oldalra, és kifejezzük integrálunkat:

Kész. Útközben kívánatos a jobb oldali fésülés, azaz. vegyük ki a kitevőt a zárójelekből, és tegyük zárójelbe a szinust és a koszinust „szép” sorrendben.

Most térjünk vissza a példa elejére, vagy inkább a részenkénti integrációra:

Ugyanis mi jelöltük ki a kiállítót. Felmerül a kérdés, hogy mindig a kitevőt kell jelölni? Nem szükséges. Valójában a figyelembe vett integrálban alapvetően nem számít, mit jelöljünk, lehet másképp is:

Miért lehetséges ez? Mivel a kitevő önmagába fordul (differenciáláskor és integrálásakor), a szinusz és a koszinusz kölcsönösen egymásba fordul (ismét differenciáláskor és integrálásakor is).

Azaz a trigonometrikus függvény is jelölhető. De a vizsgált példában ez kevésbé racionális, mivel törtek jelennek meg. Ha szeretné, megpróbálhatja ezt a példát a második módon megoldani, a válaszoknak azonosaknak kell lenniük.

8. példa

Keresse meg a határozatlan integrált

Ez egy „csináld magad” példa. Mielőtt döntene, gondolja át, hogy ebben az esetben mi a jövedelmezőbb, az exponenciális vagy a trigonometrikus függvényt? Teljes megoldás és válasz a lecke végén.

És persze ne feledje, hogy ebben a leckében a válaszok többsége meglehetősen könnyen ellenőrizhető differenciálással!

A példákat nem tartották a legnehezebbnek. A gyakorlatban gyakoribbak az integrálok, ahol az állandó a trigonometrikus függvény kitevőjében és argumentumában is szerepel, például: . Sok embernek össze kell zavarodnia egy ilyen integrálban, és én magam is gyakran összezavarodok. Az a tény, hogy a megoldásban nagy a valószínűsége a törtek megjelenésének, és nagyon könnyű valamit elveszíteni a figyelmetlenség miatt. Ezenkívül az előjelekben nagy a hiba valószínűsége, vegye figyelembe, hogy a kitevőben mínusz jel van, és ez további nehézségeket okoz.

A végső szakaszban gyakran valami ilyesmi derül ki:

Még a megoldás végén is rendkívül óvatosnak kell lennie, és helyesen kell kezelnie a törteket:

Összetett törtek integrálása

Lassan közeledünk a lecke egyenlítőjéhez, és elkezdjük figyelembe venni a törtek integráljait. Ismétlem, nem mindegyik szuperbonyolult, csak ilyen vagy olyan okok miatt, a példák más cikkekben kissé „eltértek a témától”.

A gyökerek téma folytatása

9. példa

Keresse meg a határozatlan integrált

A nevezőben a gyök alatt van egy négyzetes trinomiális plusz a gyök „függelékén” kívül, „x” alakban. Ennek az űrlapnak az integrálját szabványos helyettesítéssel oldjuk meg.

Mi döntünk:

A csere itt egyszerű:

Az élet cseréje után:

(1) A behelyettesítés után a gyök alatti kifejezéseket közös nevezőre redukáljuk.
(2) Kivesszük a gyökér alól.
(3) A számlálót és a nevezőt csökkentjük -vel. Ugyanakkor a gyökér alatt átrendeztem a feltételeket kényelmes sorrendbe. Némi tapasztalat birtokában az (1), (2) lépések kihagyhatók a kommentált műveletek szóbeli végrehajtásával.
(4) A kapott integrál, ahogy emlékszel a leckéből Néhány tört integrálása, meg van oldva teljes négyzet kiválasztási módszer. Válasszon ki egy teljes négyzetet.
(5) Integrálással egy közönséges "hosszú" logaritmust kapunk.
(6) A fordított cserét hajtjuk végre. Ha kezdetben , akkor vissza: .
(7) A végső művelet az eredmény hajrá: a gyökér alatt ismét közös nevezőre hozzuk a kifejezéseket, és kivesszük a gyökér alól.

10. példa

Keresse meg a határozatlan integrált

Ez egy „csináld magad” példa. Itt egy állandót adunk az egyedüli x-hez, és a csere majdnem ugyanaz:

Az egyetlen dolog, amit még meg kell tenni, az az "x" kifejezés a cseréből:

Teljes megoldás és válasz a lecke végén.

Néha egy ilyen integrálban négyzetes binomiális lehet a gyök alatt, ez nem változtat a megoldáson, sőt még egyszerűbb is lesz. Érezd a különbséget:

11. példa

Keresse meg a határozatlan integrált

12. példa

Keresse meg a határozatlan integrált

Rövid megoldások és válaszok a lecke végén. Meg kell jegyezni, hogy a 11. példa pontosan binomiális integrál, melynek megoldási módját az órán átgondoltuk Irracionális függvények integráljai.

2. fokú felbonthatatlan polinom integrálja a fokra

(polinom a nevezőben)

Az integrál ritkább, de gyakorlati példákban mégis előforduló formája.

13. példa

Keresse meg a határozatlan integrált

De térjünk vissza a 13-as szerencseszámú példához (őszintén szólva, nem tippeltem). Ez az integrál is azok kategóriájába tartozik, amelyekkel nagyjából meg lehet szenvedni, ha nem tudod, hogyan kell megoldani.

A megoldás egy mesterséges átalakítással kezdődik:

Azt hiszem, már mindenki érti, hogyan kell tagonként osztani a számlálót a nevezővel.

A kapott integrált részekre vesszük:

A ( természetes szám) alak integráljára származtattuk visszatérő leminősítési képlet:
, Ahol alacsonyabb fokú integrálja.

Ellenőrizzük ennek a képletnek az érvényességét a megoldott integrálra.
Ebben az esetben: , , a következő képletet használjuk:

Amint látja, a válaszok ugyanazok.

14. példa

Keresse meg a határozatlan integrált

Ez egy „csináld magad” példa. A mintaoldat a fenti képletet kétszer egymás után használja.

Ha a diploma alatt van felbonthatatlan négyzetes trinomit, akkor a megoldást binomiálisra redukáljuk a teljes négyzet kinyerésével, például:

Mi van akkor, ha van egy további polinom a számlálóban? Ebben az esetben a határozatlan együtthatók módszerét alkalmazzuk, és az integrandust törtösszeggé bővítjük. De az én gyakorlatomban egy ilyen példa soha nem találkozott, ezért ezt az esetet kihagytam a cikkben Tört-racionális függvény integráljai, most kihagyom. Ha még mindig előfordul egy ilyen integrál, lásd a tankönyvet - ott minden egyszerű. Nem tartom célszerűnek olyan (még egyszerű) anyagokat sem, amelyekkel való találkozás valószínűsége a nullához szokott fordulni.

Összetett trigonometrikus függvények integrálása

A „nehéz” jelző a legtöbb példában ismét nagyrészt feltételes. Kezdjük az érintőkkel és a kotangensekkel magas fokok. Az érintő és a kotangens megoldására használt módszerek szempontjából közel azonosak, ezért az érintőről szólok bővebben, vagyis az integrál megoldásának bemutatott módja a kotangensre is érvényes.

A fenti leckében megnéztük univerzális trigonometrikus helyettesítés trigonometrikus függvények bizonyos típusú integráljainak megoldására. Az univerzális trigonometrikus helyettesítés hátránya, hogy alkalmazása gyakran nehézkes, nehéz számításokat igénylő integrálokhoz vezet. És bizonyos esetekben az univerzális trigonometrikus helyettesítés elkerülhető!

Tekintsünk egy másik kanonikus példát, a szinuszos egység integrálját:

17. példa

Keresse meg a határozatlan integrált

Itt használhatja az univerzális trigonometrikus helyettesítést, és megkaphatja a választ, de van egy racionálisabb módszer is. Minden lépéshez egy komplett megoldást adok megjegyzésekkel:

(1) A kettős szög szinuszára a trigonometrikus képletet használjuk.
(2) Mesterséges transzformációt hajtunk végre: A nevezőben osztunk és szorozunk -vel.
(3) A nevezőben jól ismert képlet szerint a törtet érintővé alakítjuk.
(4) A függvényt a differenciál jele alá visszük.
(5) Vegyük az integrált.

Pár egyszerű példák független megoldáshoz:

18. példa

Keresse meg a határozatlan integrált

Tipp: A legelső lépés a redukciós képlet használata és gondosan hajtsa végre az előző példához hasonló műveleteket.

19. példa

Keresse meg a határozatlan integrált

Nos, ez egy nagyon egyszerű példa.

Teljes megoldások és válaszok a lecke végén.

Azt hiszem, most senkinek nem lesz problémája az integrálokkal:
stb.

Mi az ötlet a módszer mögött? Az ötlet az, hogy transzformációkkal, trigonometrikus képletekkel csak az érintőket és az érintő deriváltját rendezzük az integrandusban. Vagyis cseréről beszélünk: . A 17-19. példákban tulajdonképpen ezt a helyettesítést használtuk, de az integrálok olyan egyszerűek voltak, hogy ez egy ekvivalens művelettel történt – a függvényt a differenciáljel alá hozva.

Hasonló érvelés, mint már említettem, végrehajtható a kotangensre is.

A fenti helyettesítés alkalmazásának formális előfeltétele is van:

A koszinusz és a szinusz hatványainak összege egy negatív egész PÁROS szám, Például:

integrál esetén egész szám negatív PÁROS szám.

! jegyzet : ha az integrandus CSAK szinust vagy CSAK koszinust tartalmaz, akkor az integrált még negatív páratlan fokkal is felvesszük (a legegyszerűbb esetek a 17., 18. példákban találhatók).

Vegyünk néhány értelmesebb feladatot ehhez a szabályhoz:

20. példa

Keresse meg a határozatlan integrált

A szinusz és a koszinusz fokainak összege: 2 - 6 \u003d -4 - negatív egész PÁROS szám, ami azt jelenti, hogy az integrál redukálható érintőkre és származékaira:

(1) Alakítsuk át a nevezőt.
(2) A jól ismert képlet szerint megkapjuk.
(3) Alakítsuk át a nevezőt.
(4) A képletet használjuk .
(5) A függvényt a differenciáljel alá visszük.
(6) A cserét elvégezzük. Előfordulhat, hogy a tapasztaltabb hallgatók nem hajtják végre a cserét, de mégis jobb, ha az érintőt egy betűre cserélik - kisebb az összetévesztés veszélye.

21. példa

Keresse meg a határozatlan integrált

Ez egy „csináld magad” példa.

Kitartás, kezdődik a bajnoki forduló =)

Az integrandban gyakran van egy "hodgepodge":

22. példa

Keresse meg a határozatlan integrált

Ez az integrál kezdetben egy érintőt tartalmaz, ami azonnal egy már ismert gondolatot sugall:

A mesterséges átalakítást a legelején, a többi lépést pedig kommentár nélkül hagyom, hiszen fent már mindenről volt szó.

Néhány kreatív példa egy független megoldáshoz:

23. példa

Keresse meg a határozatlan integrált

24. példa

Keresse meg a határozatlan integrált

Igen, bennük természetesen lehet csökkenteni a szinusz, koszinusz fokait, használni az univerzális trigonometrikus helyettesítést, de sokkal hatékonyabb és rövidebb lesz a megoldás, ha érintőkön keresztül húzzuk. Teljes megoldás és válaszok a lecke végén

Fő integrálok, amelyeket minden tanulónak tudnia kell

A felsorolt ​​integrálok az alapok, az alapok alapjai. Ezeket a képleteket természetesen emlékezni kell. Bonyolultabb integrálok számításakor folyamatosan használni kell őket.

Fizetés Speciális figyelem az (5), (7), (9), (12), (13), (17) és (19) képletekhez. Integráláskor ne felejtsünk el egy tetszőleges C állandót hozzáadni a válaszhoz!

Egy állandó integrálja

∫ A d x = A x + C (1)

Teljesítmény funkció integráció

Valójában az (5) és (7) képletekre szorítkozhatnánk, de a csoport többi integrálja olyan gyakori, hogy érdemes egy kicsit odafigyelni rájuk.

∫ x d x = x 2 2 + C (2)
∫ x 2 d x = x 3 3 + C (3)
∫ 1 x d x = 2 x + C (4)
∫ 1 x d x = log | x | +C(5)
∫ 1 x 2 d x = − 1 x + C (6)
∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C (n ≠ - 1) (7)

Az exponenciális függvény és a hiperbolikus függvény integráljai

Természetesen a (8) képlet (talán a legkényelmesebb megjegyezni) a (9) képlet speciális esetének tekinthető. A (10) és (11) képlet a hiperbolikus szinusz és a hiperbolikus koszinusz integráljaihoz könnyen levezethető a (8) képletből, de jobb, ha csak emlékezünk ezekre az összefüggésekre.

∫ e x d x = e x + C (8)
∫ a x d x = a x log a + C (a > 0, a ≠ 1) (9)
∫ s h x d x = c h x + C (10)
∫ c h x d x = s h x + C (11)

Trigonometrikus függvények alapintegráljai

Egy hiba, amit a tanulók gyakran elkövetnek: összekeverik a jeleket a (12) és (13) képletekben. Emlékezve arra, hogy a szinusz deriváltja egyenlő a koszinuszral, valamiért sokan azt hiszik, hogy a sinx függvény integrálja egyenlő a cosx-szel. Ez nem igaz! A szinusz integrálja "mínusz koszinusz", de a cosx integrálja "csak szinusz":

∫ sin x d x = − cos x + C (12)
∫ cos x d x = sin x + C (13)
∫ 1 cos 2 x d x = t g x + C (14)
∫ 1 sin 2 x d x = − c t g x + C (15)

Inverz trigonometrikus függvényekre redukáló integrálok

A (16) képlet, amely az arctangenshez vezet, természetesen a (17) képlet speciális esete, ha a=1. Hasonlóképpen a (18) a (19) speciális esete.

∫ 1 1 + x 2 d x = a r c t g x + C = − a r c c t g x + C (16)
∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a a r c t g x a + C (a ≠ 0) (17)
∫ 1 1 − x 2 d x = arcsin x + C = − arccos x + C (18)
∫ 1 a 2 − x 2 d x = arcsin x a + C = − arccos x a + C (a > 0) (19)

Bonyolultabb integrálok

Ezeket a képleteket is kívánatos megjegyezni. Szintén gyakran használják őket, és a kibocsátásuk meglehetősen unalmas.

∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln | x + x2 + a2 | +C(20)
∫ 1 x 2 − a 2 d x = ln | x + x 2 − a 2 | +C(21)
∫ a 2 − x 2 d x = x 2 a 2 − x 2 + a 2 2 arcsin x a + C (a > 0) (22)
∫ x 2 + a 2 d x = x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln | x + x2 + a2 | + C (a > 0) (23)
∫ x 2 − a 2 d x = x 2 x 2 − a 2 − a 2 2 ln | x + x 2 − a 2 | + C (a > 0) (24)

Általános integrációs szabályok

1) Két függvény összegének integrálja egyenlő a megfelelő integrálok összegével: ∫ (f (x) + g (x)) d x = ∫ f (x) d x + ∫ g (x) d x (25)

2) Két függvény különbségének integrálja egyenlő a megfelelő integrálok különbségével: ∫ (f (x) − g (x)) d x = ∫ f (x) d x − ∫ g (x) d x (26)

3) A konstans kivehető az integrál előjelből: ∫ C f (x) d x = C ∫ f (x) d x (27)

Könnyen belátható, hogy a (26) tulajdonság egyszerűen a (25) és (27) tulajdonságok kombinációja.

4) Komplex függvény integrálja, ha a belső függvény lineáris: ∫ f (A x + B) d x = 1 A F (A x + B) + C (A ≠ 0) (28)

Itt F(x) az f(x) függvény antideriváltja. Vegye figyelembe, hogy ez a képlet csak akkor működik, ha a belső függvény Ax + B.

Fontos: nincs univerzális képlet két függvény szorzatának integráljára, valamint egy tört integráljára:

∫ f (x) g (x) d x = ? ∫ f (x) g (x) d x = ? (harminc)

Ez természetesen nem jelenti azt, hogy egy töredéket vagy egy szorzatot ne lehetne integrálni. Csak arról van szó, hogy valahányszor meglátsz egy olyan integrált, mint a (30), ki kell találnod a módját, hogy "harcolj" vele. Bizonyos esetekben a részenkénti integráció segít, valahol változót kell változtatni, és néha még az algebrai vagy trigonometriai "iskolai" képletek is segíthetnek.

Egy egyszerű példa a határozatlan integrál kiszámítására

1. példa: Keresse meg az integrált: ∫ (3 x 2 + 2 sin x − 7 e x + 12) d x

A (25) és (26) képleteket használjuk (a függvények összegének vagy különbségének integrálja egyenlő a megfelelő integrálok összegével vagy különbségével. Kapjuk: ∫ 3 x 2 d x + ∫ 2 sin x d x − ∫ 7 e x d x + ∫ 12 d x

Emlékezzünk vissza, hogy a konstans kivehető az integrál előjelből ((27) képlet). A kifejezés formává alakul

3 ∫ x 2 d x + 2 ∫ sin x d x − 7 ∫ e∫ x d x + 12 ∫ 1 d x

Most csak az alapintegrálok táblázatát használjuk. Alkalmaznunk kell a (3), (12), (8) és (1) képleteket. Integráljuk a hatványfüggvényt, a szinust, a kitevőt és az 1-es állandót. Ne felejtsünk el tetszőleges C állandót hozzáadni a végére:

3 x 3 3 - 2 cos x - 7 e x + 12 x + C

Az elemi átalakítások után megkapjuk a végső választ:

X 3 − 2 cos x − 7 e x + 12 x + C

Tesztelje magát a differenciálással: vegye a kapott függvény deriváltját, és győződjön meg arról, hogy az egyenlő az eredeti integrandusszal.

Integrálok összefoglaló táblázata

∫ A d x = A x + C

∫ x d x = x 2 2 + C

∫ x 2 d x = x 3 3 + C

∫ 1 x d x = 2 x + C

∫ 1 x d x = log | x | +C

∫ 1 x 2 d x = − 1 x + C

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C (n ≠ − 1)

∫ e x d x = e x + C

∫ a x d x = a x ln a + C (a > 0, a ≠ 1)

∫ s h x d x = c h x + C

∫ c h x d x = s h x + C

∫ sin x d x = − cos x + C

∫ cos x d x = sin x + C

∫ 1 cos 2 x d x = t g x + C

∫ 1 sin 2 x d x = − c t g x + C

∫ 1 1 + x 2 d x = a r c t g x + C = - a r c c t g x + C

∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a a r c t g x a + C (a ≠ 0)

∫ 1 1 − x 2 d x = arcsin x + C = − arccos x + C

∫ 1 a 2 − x 2 d x = arcsin x a + C = − arccos x a + C (a > 0)

∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln | x + x2 + a2 | +C

∫ 1 x 2 − a 2 d x = ln | x + x 2 − a 2 | +C

∫ a 2 − x 2 d x = x 2 a 2 − x 2 + a 2 2 arcsin x a + C (a > 0)

∫ x 2 + a 2 d x = x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln | x + x2 + a2 | + C (a > 0)

∫ x 2 − a 2 d x = x 2 x 2 − a 2 − a 2 2 ln | x + x 2 − a 2 | + C (a > 0)

Töltse le az integrálok táblázatát (II. rész) erről a linkről

Ha egyetemen tanulsz, ha nehézségeid vannak a felsőbb matematikával (matematikai elemzés, lineáris algebra, valószínűségszámítás, statisztika), ha szakképzett tanári szolgáltatásra van szükséged, akkor menj a felsőbb matematika oktatói oldalára. Oldjuk meg együtt a problémáit!

Önt is érdekelheti