Keresztkorrelációs függvény (VKF) különböző jelek(cross-correlation function, CCF) leírja két jel alakjának hasonlóságának mértékét és a koordináta mentén egymáshoz viszonyított relatív helyzetüket (független változó). Az autokorrelációs függvény (6.1.1) képletét két különböző s(t) és u(t) jelre általánosítva a jelek következő skaláris szorzatát kapjuk:
B su () =s(t) u(t+) dt. (6.2.1)
A jelek kölcsönös korrelációja az e jelek által megjelenített jelenségek és fizikai folyamatok bizonyos korrelációját jellemzi, és e kapcsolat „stabilitásának” mércéjeként szolgálhat, amikor a jeleket külön-külön dolgozzák fel különböző eszközökben. Véges energiájú jelek esetén a CCF is véges, míg:
|B su ()| ||s(t)||||u(t)||,
ami a Cauchy-Bunyakovsky-egyenlőtlenségből és a jelnormák koordinátaeltolódástól való függetlenségéből következik.
Ha megváltoztatjuk a t = t- változót a (6.2.1) képletben, azt kapjuk:
B su () = 
s(t-) u(t) dt = 
u(t) s(t-) dt = B us (-).
Ebből következik, hogy a paritási feltétel nem teljesül a VKF-re, B su () B su (-), és a VKF értékeinek nem szükséges, hogy = 0-nál legyen maximuma.
Rizs. 6.2.1. Jelek és VKF.
Ez jól látható az ábrán. 6.2.1, ahol két azonos jelet adunk, a 0,5 és 1,5 pontokban lévő középpontokkal. A (6.2.1) képlettel történő számítás értékeinek fokozatos növelésével az s2(t) jel egymás utáni eltolódását jelenti balra az időtengely mentén (az s1(t) minden egyes értékére az értékeket s2(t+) értékét veszik az integránsszorzáshoz). Ha =0, a jelek merőlegesek, és a B 12 értéke ()=0. A maximális B 12 () akkor figyelhető meg, ha az s2(t) jelet =1 értékkel balra toljuk, amelynél az s1(t) és s2(t+) jelek teljesen egybeesnek.A (6.2.1) és (6.2.1") képlet szerinti CCF azonos értékei figyelhetők meg a jelek azonos kölcsönös helyzetében: amikor az u(t) jelet a intervallumgal eltoljuk s(t) jobbra az y tengely mentén és s(t) jel az u(t) jelhez képest balra, azaz B su () = B us (-
Rizs. 6.2.2. Jelek kölcsönös kovarianciafüggvényei.
ábrán. A 6.2.2. ábra példákat mutat be a VKF-re egy s(t) négyszögjelre és két azonos háromszögjelre, u(t) és v(t). Minden jelnek azonos a T időtartama, míg a v(t) jelet a T/2 intervallummal toljuk előre.Az s(t) és u(t) jelek időbeli elhelyezkedését tekintve megegyeznek, és a jel "átfedési" területe maximum =0, amit a B su függvény rögzít. Ugyanakkor a B su függvény élesen aszimmetrikus, mivel aszimmetrikus u(t) jelalakkal egy s(t) szimmetrikus alakzathoz (a jelek középpontjához viszonyítva) a jel „átfedő” területe eltérően változik attól függően az eltolódás irányára (a előjele a érték nulláról való növekedésével). Ha az u(t) jel kezdeti helyzetét az ordináta tengelye mentén balra toljuk (az s(t) jel előtt - v(t) jel) a VKF alak változatlan marad, és ugyanazzal az eltolással jobbra tolódik. érték - a B sv függvény az ábrán. 6.2.2. Ha a (6.2.1) függvények kifejezéseit felcseréljük, akkor az új B vs függvény egy B sv függvény lesz, amely tükröződik =0 függvényében.
Ezeket a jellemzőket figyelembe véve a teljes CCF-et általában külön számítják ki a pozitív és negatív késésekre:
B su () = 
s(t) u(t+) dt. B us () = 
u(t) s(t+) dt. (6,2,1")
Zajos jelek keresztkorrelációja . Két zajos jelre u(t) = s1(t) + q1(t) és v(t) = s2(t) + q2(t), a (6.1.13) képletek származtatási módszerét alkalmazva egy az s(t ) jel másolata az s2(t) jelre, könnyen levezethető a keresztkorrelációs képlet a következő formában:
B uv () = B s1s2 () + B s1q2 () + B q1s2 () + B q1q2 (). (6.2.2)
A (6.2.2) jobb oldalán lévő utolsó három tag nullára csökken, ahogy növekszik. Nagy jelbeállítási intervallumok esetén a kifejezés a következő formában írható fel:
B uv () = B s 1 s 2 () + 
+
+
.
(6.2.3)
A zaj és a jelektől való statisztikai függetlenség nulla átlagértékeinél a következő történik:
B uv () → B s 1 s 2 ().
VKF diszkrét jelek. A VKF összes tulajdonsága analóg jelekérvényesek a diszkrét jelek VCF-jeire is, míg a diszkrét jelek fentebb a diszkrét ACF-ekre leírt jellemzői rájuk is érvényesek (6.1.9-6.1.12 képletek). Konkrétan a t = const =1-nél az x(k) és y(k) jelekre K mintaszámmal:
B xy (n) = 
x k y k-n . (6.2.4)
Teljesítményegységben normalizálva:
B xy (n) = 
x k y k-n 
.
(6.2.5)
Periodikus jelek becslése zajban . Egy zajos jelet próba-hibával lehet kiértékelni a „referencia” jellel való keresztkorreláció szempontjából, a keresztkorrelációs függvény maximális értékére állítva.
Az u(k)=s(k)+q(k) jelre a zajtól statisztikailag független és 
→ 0, a keresztkorrelációs függvény (6.2.2) a p(k) jelsablonnal q2(k)=0 esetén a következőképpen alakul:
B fel (k) = B sp (k) + B qp (k) = B sp (k) + 
.
És azóta 
→ 0, ahogy N növekszik, majd B felfelé (k) → B sp (k). Nyilvánvaló, hogy a B fel (k) függvénynek akkor lesz maximuma, ha p(k) = s(k). A p(k) sablon alakjának megváltoztatásával és a B függvény fel (k) maximalizálásával s(k) becslést kaphatunk a p(k) optimális alak formájában.
Keresztkorrelációs együtthatók függvénye A (VKF) az s(t) és u(t) jelek hasonlóságának mértékének kvantitatív mutatója. Az autokorrelációs együtthatók függvényéhez hasonlóan a függvények központosított értékei alapján számítják ki (a kölcsönös kovariancia kiszámításához elegendő csak az egyik függvényt középpontba helyezni), és az értékek szorzatára normalizálják. az s(t) és v(t) függvények szabványai közül:
su () = C su ()/ s v. (6.2.6)
A korrelációs együtthatók értékeinek változási intervalluma eltolásoknál –1-től (teljes inverz korreláció) 1-ig (teljes hasonlóság vagy száz százalékos korreláció) változhat. A eltolásoknál, amelyeknél nulla su () értékek figyelhetők meg, a jelek egymástól függetlenek (korrelálatlanok). A keresztkorrelációs együttható lehetővé teszi a jelek közötti kapcsolat meglétét, függetlenül a jelek fizikai tulajdonságaitól és nagyságától.
Korlátozott hosszúságú, zajos diszkrét jelek CCF-jének kiszámításakor a (6.2.4) képlet segítségével fennáll a valószínűsége az értékek előfordulásának su (n)| > 1.
Periodikus jeleknél általában nem használják a CCF fogalmát, kivéve az azonos periódusú jeleket, például a be- és kilépési jeleket a rendszerek jellemzőinek tanulmányozásakor.
A kommunikációelméletben a korrelációelméletet használják a tanulmányban véletlenszerű folyamatok, amely lehetővé teszi, hogy kapcsolatot létesítsen a korreláció és spektrális tulajdonságok véletlenszerű jelek. A probléma gyakran abból adódik, hogy az egyik átvitt jelet egy másikban vagy interferenciában észleli. A jelek megbízható észleléséhez és a módszert alkalmazzák összefüggések, a korrelációs elmélet alapján. A gyakorlatban hasznosnak bizonyul azoknak a jellemzőknek a elemzése, amelyek képet adnak az időbeli változás sebességéről, valamint a jel időtartamáról anélkül, hogy harmonikus komponensekre bontják.
Hagyja, hogy a jel másoljon u(t - m) az eredetihez képest eltolva u(t) t időintervallumra A jel különbségének (összekapcsolásának) mértékének számszerűsítésére u(t)és eltolt másolata u(t - t) használata autokorrelációs függvény(AKF). Az ACF a jel és az eltolt másolata közötti hasonlóság mértékét mutatja – minél nagyobb az ACF érték, annál erősebb ez a hasonlóság.
Mert determinisztikus jel véges időtartam (véges jel), az ACF analitikai jelölése a forma integrálja
A (2.56) képlet azt mutatja, hogy a jelhez viszonyított másoláseltolás hiányában (m = 0) az ACF pozitív, maximális és egyenlő a jel energiájával:
Ilyen energia [J] szabadul fel egy 1 Ohm ellenállású ellenálláson, ha egy bizonyos feszültséget kapcsolunk a kapcsaira u(t)[BAN BEN].
Az ACF egyik legfontosabb tulajdonsága a paritása: BAN BEN( t) = BAN BEN(- T). Valóban, ha a (2.56) kifejezésben megváltoztatjuk a változót x = t - t, akkor 
Ezért a (2.56) integrál más formában is ábrázolható:
Egy Г periódusú periodikus jelnél, amelynek energiája végtelenül nagy (mivel a jel végtelen ideig létezik), az ACF (2.56) képlettel történő kiszámítása elfogadhatatlan. Ebben az esetben határozza meg az időszakra vonatkozó ACF-et:
2.3. példa
Határozzuk meg egy téglalap alakú impulzus ACF-jét, amelynek amplitúdója van Eés időtartama t és (2.24. ábra).
Megoldás
Célszerű grafikusan kiszámítani egy impulzus ACF értékét. Egy ilyen konstrukció látható az ábrán. 2,24, a-g, ahol adott, illetve a kezdeti lendület u(t)= u t másolata m m m-rel eltolódott (?) = u(t- t) = m t és szorzatuk u(f)u(t- t) = uu v Tekintsük a (2.56) integrál grafikus számítását. Munka u(t)u(t- m) nem egyenlő nullával abban az időintervallumban, amikor a jel és a másolat bármely része átfedésben van. ábrából következik. 2.24, ez az intervallum egyenlő x - m-rel, ha a másolat időeltolása kisebb, mint az impulzus időtartama. Ilyen esetekben a lendülethez az ACF-et a következőképpen határozzák meg BAN BEN( t) = E 2 ( t és - |t|) a másolat időbeli eltolásával az aktuális |t| időpontra B(0) = = E 2 t és \u003d E (lásd 2.24. ábra, G).
Rizs. 2.24.
A - impulzus; 6 - másolat; V - a jel és a másolat terméke; G - ACF
Gyakran bevezetnek egy numerikus paramétert, amely alkalmas a jelek elemzésére és összehasonlítására - korrelációs intervallum tk, analitikusan és grafikusan megegyezik az ACF alapjának szélességével. Ebben a példában a korrelációs intervallum t k = 2m u.
2.4. példa
Határozza meg a harmonikus (koszinusz) jel ACF-jét u(t) == t/m cos(co? + a).
Rizs. 2.25.
A - harmonikus jel; b - Harmonikus jel ACF-je
Megoldás
A (2.57) képlet felhasználásával és jelölésével p ( t) = BAN BEN( t), találjuk
Ebből a képletből következik, hogy egy harmonikus jel ACF-je is harmonikus függvény (2.25. ábra, b)és a hatalom dimenziója (B 2). Vegye figyelembe egy másik nagyon fontos tényt, hogy a számított ACF nem függ a harmonikus jel kezdeti fázisától (paraméter
Az elemzésből egy fontos következtetés következik: szinte minden jel ACF-je nem függ a fázisspektrumától. Ezért azok a jelek, amelyek amplitúdóspektruma teljesen egybeesik, de fázisspektruma különbözik, azonos ACF-vel rendelkeznek. További megjegyzés, hogy az eredeti jel nem állítható vissza az ACF-ről (ismét a fázis információvesztése miatt).
Az ACF és a jel energiaspektruma közötti kapcsolat. Hagyja, hogy az impulzus jelezzen u(t) spektrális sűrűsége 5(co). Az ACF-et a (2.56) képlet segítségével definiáljuk írással és (C) az inverz Fourier-transzformáció (2.30) formájában:
Egy új változó bevezetésével x = t - m, az utolsó képletből itt kapjuk meg az integrált
a jel spektrális sűrűségének függvénykomplex konjugátuma
A (2.59) relációt figyelembe véve a (2.58) képlet alakot ölt 
Funkció
hívott energia spektrum a jel (spektrális energiasűrűsége), az energia frekvencia szerinti eloszlását mutatja. A jel energiaspektrumának dimenziója megfelel az IP/co) - [(V 2 -s)/Hz] értékének.
A (2.60) összefüggés figyelembevételével végül megkapjuk az ACF kifejezést:
Tehát a jel ACF-je az inverz transzformáció Fourier az energiaspektrumából. Közvetlen Fourier transzformáció az ACF-től
Így, közvetlen Fourier transzformáció (2.62) Az ACF meghatározza az energiaspektrumot, A Az energiaspektrum inverz Fourier transzformációja(2.61) - Egy determinisztikus jel ACF-je. Ezek az eredmények két okból is fontosak. Először is, az energia spektrum menti eloszlása alapján lehetővé válik a jelek korrelációs tulajdonságainak értékelése - minél szélesebb a jel energiaspektruma, annál kisebb a korrelációs intervallum. Ennek megfelelően minél nagyobb a jel korrelációs intervalluma, annál rövidebb az energiaspektruma. Másodszor, a (2.61) és (2.62) relációk lehetővé teszik az egyik függvény kísérleti meghatározását a másik értékéből. Gyakran célszerűbb először megkapni az ACF-et, majd a közvetlen Fourier-transzformáció segítségével kiszámítani az energiaspektrumot. Ezt a technikát széles körben alkalmazzák a jelek tulajdonságainak valós idejű elemzésében, pl. nincs idő késleltetése a feldolgozásban.
Két jel keresztkorrelációs függvénye. Ha értékelnie kell a jelek közötti kapcsolat mértékét x(t)És u 2 (t), majd használd keresztkorrelációs függvény(VKF)
m = 0 esetén a VKF egyenlő az ún két jel kölcsönös energiája
A VCF értéke nem változik, ha a második jel késleltetése helyett u 2 (t) tekintsük előrehaladását az első m jellel, (?), ezért
Az ACF a VKF speciális esete, ha a jelek azonosak, pl. u y (t) = u 2 (t) = u(t). Az ACF-vel ellentétben két B 12 (m) jel CCF-je nem páros, és nem feltétlenül maximális m = 0-nál, azaz. a jelek időbeli eltolódásának hiányában.
Fizikai szempontból a korrelációs függvény két, egy vagy kettő pillanatnyi érték kapcsolatát vagy kölcsönös függését jellemzi. különféle jelek időnként és . Az első esetben a korrelációs függvényt gyakran autokorrelációnak, a második esetben pedig keresztkorrelációnak nevezik. A determinisztikus folyamatok korrelációs függvényei csak attól függnek.
Ha a és jelek adottak, akkor a korrelációs függvényeket a következő kifejezések határozzák meg:
- keresztkorrelációs függvény; (2,66)
- autokorrelációs függvény. (2,67)
Ha és két periodikus jel azonos periódusú T, akkor nyilvánvaló, hogy korrelációs függvényük is periodikus egy periódussal Tés ennélfogva Fourier-sorozattá bővíthető.
Valójában, ha a (2.66) kifejezésben a jelet Fourier-sorrá bővítjük, akkor megkapjuk
(2.68)
ahol és vannak komplex amplitúdók n a jelek harmóniája, és ennek megfelelően a komplex konjugált együttható. A keresztkorrelációs függvény tágulási együtthatói a Fourier-sor együtthatóiként találhatók meg.
. (2.69)
Az autokorrelációs függvény frekvencia-kiterjesztése könnyen megkapható a (2.68) és (2.69) képletekből, ha beállítjuk 
, Akkor
. (2.70)
És mivel és ezért
, (2.71)
akkor az autokorrelációs függvény páros és ezért
. (2.72)
Az autokorrelációs függvény paritása lehetővé teszi, hogy koszinuszban kifejezve trigonometrikus Fourier-sorrá bővíthető
Az adott esetben a -ra a következőket kapjuk:
.
Így az at autokorrelációs függvény egy periodikus jel teljes átlagos teljesítménye, amely megegyezik az összes harmonikus átlagos teljesítményének összegével.
Impulzusjelek frekvenciaábrázolása
Az előző megfontolásnál azt feltételeztük, hogy a jelek folyamatosak, azonban az automatikus információfeldolgozásban gyakran alkalmaznak impulzusjeleket is, valamint a folyamatos jelek impulzusossá alakítását. Ez megköveteli az impulzusjelek frekvenciaábrázolásának kérdését.
Tekintsük a folytonos jel impulzussá alakításának modelljét, amely a 2.6a ábrán látható.
|
Az impulzusmodulátor bemenetére folyamatos jel érkezzen (2.6b. ábra). Az impulzusmodulátor egyedi impulzusok sorozatát állítja elő (2.6c. ábra) periódussal Tés az impulzus időtartama t, és . Egy ilyen impulzussorozat matematikai modellje függvényként írható le:
(2.74)
Ahol k- impulzusszám a sorozatban.
Az impulzusmodulátor kimeneti jele (2.6d ábra) a következőképpen ábrázolható:
.
A gyakorlatban kívánatos az impulzussorozat frekvenciaábrázolása. Ehhez a függvény, mint periodikus, Fourier-sorként ábrázolható:
, (2.75)
- spektrális tágulási együtthatók egy Fourier-sorban; (2,76)
pulzusismétlési frekvencia;
n a harmonikus szám.
A (2.74) relációt a (2.76) kifejezéssel behelyettesítve azt kapjuk, hogy:
.
A (2.76)-ot (2.74) behelyettesítve a következőket kapjuk:
(2.78)
Ekkor transzformáljuk a szinuszok különbségét
. (2.79)
Bemutatjuk a fáziskijelölést n th harmonikus
. (2.81)
Így az egyes impulzusok sorozata az állandó komponenssel együtt végtelen számú, csökkenő amplitúdójú harmonikust tartalmaz. Amplitúdó k A harmóniát a következő kifejezés határozza meg:
A digitális jelfeldolgozás során idő-mintavételezést (kvantálást) hajtanak végre, vagyis egy folyamatos jelet rövid impulzusok sorozatává alakítanak át. Mint fentebb látható, bármely impulzussorozat meglehetősen összetett spektrummal rendelkezik, így felmerül a természetes kérdés, hogy az időmintavételi folyamat hogyan befolyásolja frekvencia spektrum eredeti folyamatos jel.
A probléma feltárásához fontolja meg matematikai modell a 2.7a ábrán látható idődiszkretizálási folyamat.
Az impulzusmodulátort (PM) vivőmodulátorként ábrázolják, nagyon rövid impulzusok (szekvenciák) ideális sorozataként. d-függvények), amelyek ismétlési periódusa megegyezik T(2.7b ábra).
Az impulzusmodulátor bemenetére folyamatos jel kerül (2.7c ábra), a kimeneten pedig impulzusjel jön létre (2.7d ábra).
| |
Aztán az ideális sorozatmodell d-függvények a következő kifejezéssel írhatók le
A jelek leírásának spektrális megközelítése mellett a gyakorlatban gyakran kiderül, hogy szükséges jellemző, amely képet ad a jel egyes tulajdonságairól, különösen az időbeli változás sebességéről, valamint a a jel időtartamát anélkül, hogy harmonikus komponensekre bontaná fel.
Mint ilyen, az időbeli jellemzőt széles körben használják korreláció jel funkció.
Determinisztikus jelhez s(t) véges időtartamú, a korrelációs függvényt a következő kifejezés határozza meg:
ahol τ a jel időeltolása.
Ez a fejezet azokkal a jelekkel foglalkozik, amelyek az idő valós függvényei, és a komplex konjugált jelölés elhagyható:
.
(1.78)
Az (1.78) kifejezésből látható, hogy B s (t) a jel kapcsolódási (korrelációs) fokát jellemzi s ( t ) másolatával az időtengely mentén m-rel eltolva. Egyértelmű, hogy a funkció B s ( t ) τ = 0-nál éri el a maximumot, mivel bármely jel teljes mértékben korrelál önmagával. Ahol
,
(1.79)
azaz a korrelációs függvény maximális értéke egyenlő a jelenergiával.
Ahogy τ növekszik, a függvény BAN BEN 8 (τ) csökken (nem feltétlenül monoton) és a jelek relatív eltolódásával s(t) És s(t+ τ) a jel időtartamát meghaladó időre eltűnik.
A korrelációs függvény általános definíciójából jól látható, hogy nem mindegy, hogy a jelet a másolatához képest τ értékkel jobbra vagy balra toljuk. Ezért az (1.78) kifejezés a következőképpen általánosítható:
.
(1.78)
Ez egyenértékű annak mondásával B s (τ) van páros funkcióτ.
Egy végtelenül nagy energiájú periodikus jel esetén a korrelációs függvény definíciója (1.129) vagy (1.129") kifejezésekkel elfogadhatatlan. Ebben az esetben a következő definíciót használjuk:
Ezzel a definícióval a korrelációs függvény a hatalom dimenzióját, és B
Sne p(0) egyenlő közepes teljesítmény periodikus jel. A jelek periodicitása miatt (
t
)
termékátlagolás 
vagy
végtelen vonal mentén T
egybe kell esnie a T 1 időszak átlagával. Ezért az (1.79) kifejezés helyettesíthető a kifejezéssel
Az ebben a kifejezésben szereplő integrálok nem más, mint a jel korrelációs függvénye az intervallumon T 1 . Azon keresztül jelölve B sTl (τ ), eljutunk a kapcsolathoz
Az is nyilvánvaló, hogy a periodikus jel s( t
) a periodikus korrelációs függvénynek felel meg B s sáv (τ).
Működési időszak B s sáv (τ)
egybeesik az időszakkal T
1
eredeti jel (
t
).
Például a legegyszerűbb (harmonikus) rezgésre 
korrelációs függvény
Amikor τ=0 
egy amplitúdójú harmonikus rezgés átlagos teljesítménye A
0
.
Fontos megjegyezni, hogy a korrelációs függvény 
nem függ az oszcilláció kezdeti fázisától 
.
Két különböző jel közötti kapcsolat mértékének becslése s 1 ( t ) és s 2 ( t ) a kölcsönös korrelációs függvényt használjuk, amelyet az általános kifejezés határoz meg
Az s 1 (t) és s 2 (t) valós függvényekhez
A fenti korrelációs függvény BAN BEN
s
(τ) a függvény speciális esete 
amikor s 1 (
t
)
=s 2 (
t
).
nem úgy mint 
a keresztkorrelációs függvény nem feltétlenül egyenletes τ-hoz képest. Ezen kívül a keresztkorrelációs függvény NemSzükségszerűen eléri a maximumot τ = 0.
A jelkorrelációs függvényeket a jelek alakjának és egymáshoz való hasonlóságának mértékének integrál kvantitatív becslésére használjuk.
A jelek autokorrelációs függvényei (ACF). (korrelációs függvény, CF). Véges energiájú determinisztikus jelekre alkalmazva az ACF a jel alakjának kvantitatív integrálja, és az s(t) jel két másolatának szorzata, egymáshoz képest t idővel eltolva:
B s (t) = s(t) s(t+t) dt. (2.4.1)
Amint ebből a kifejezésből következik, az ACF a jel skaláris szorzata és annak másolata a t eltolási érték változó értékétől funkcionális függőben. Ennek megfelelően az ACF rendelkezik az energia fizikai dimenziójával, és t = 0-nál az ACF értéke közvetlenül egyenlő a jel energiájával, és a lehető legnagyobb (a jel önmagával való kölcsönhatási szögének koszinusza 1):
B s (0) = s(t) 2 dt = E s.
Az ACF funkció folyamatos és egyenletes. Ez utóbbit könnyű ellenőrizni a t = t-t változó megváltoztatásával a (2.4.1) kifejezésben:
B s (t) = s(t) s(t-t) dt = s(t-t) s(t) dt = B s (-t).
Tekintettel a paritásra, az ACF grafikus ábrázolása általában csak t pozitív értékeire történik. A +t előjel a (2.4.1) kifejezésben azt jelenti, hogy amint a t értéke nulláról nő, az s(t+t) jel másolata a t tengely mentén balra tolódik. A gyakorlatban a jeleket általában az argumentumok pozitív értékeinek intervallumára is beállítják 0-T-től, ami lehetővé teszi az intervallum nulla értékekkel történő meghosszabbítását, ha szükséges matematikai műveletek. A számítások e határain belül kényelmesebb a jelmásolatot az argumentumtengely mentén balra tolni, pl. alkalmazása az s(t-t) függvény (2.4.1) kifejezésében:
B s (t) = s(t) s(t-t) dt. (2,4,1")
Ahogy a t eltolódás értéke növekszik véges jeleknél, a jel időbeli átfedése a másolatával csökken, és ennek megfelelően a kölcsönhatási szög koszinusza és a skaláris szorzat egésze nullára hajlamos:
Példa. A (0, T) intervallumon egy téglalap alakú impulzust adunk meg, amelynek amplitúdója egyenlő A. Számítsa ki az impulzus autokorrelációs függvényét!
Ha az impulzus másolatát a t tengely mentén jobbra toljuk, 0≤t≤T-nél a jelek átfedik egymást a t-től a T-ig terjedő intervallumban. Pontszorzat:
B s (t) \u003d A 2 dt \u003d A 2 (T-t).
Ha az impulzus másolatát balra tolja, -T≤t<0 сигналы перекрываются на интервале от 0 до Т-t. Скалярное произведение:
B s (t) = A 2 dt = A 2 (T+t).
A |t| > T a jelnek és másolatának nincs metszéspontja és a jelek skaláris szorzata nulla (a jel és az eltolt másolata merőlegessé válik).
A számításokat összegezve a következőket írhatjuk:
B s (t) = 
.
Periodikus jelek esetén az ACF-et egy T periódusra számítják ki, átlagolják a skalárszorzatot és az ezen időszakon belüli eltolt másolatát:
B s (t) \u003d (1/T) s (t) s (t-t) dt.
t=0-nál az ACF értéke ebben az esetben nem az energiával, hanem a T intervallumon belüli jelek átlagos teljesítményével egyenlő. A periódusos jelek ACF-je is egy periódusos függvény, azonos T periódussal. , az s(t) = A cos(w 0 t+j 0) jelre T=2p/w 0 esetén a következőt kapjuk:
B s (t) \u003d A cos (w 0 t + j 0) A cos (w 0 (t-t) + j 0) \u003d (A 2 / 2) cos (w 0 t).
Megjegyezzük, hogy a kapott eredmény nem függ a harmonikus jel kezdeti fázisától, ami minden periodikus jelre jellemző, és a CF egyik tulajdonsága.
Egy bizonyos intervallumon adott jelek esetén az ACF kiszámítása az intervallum hosszára való normalizálással is megtörténik:
B s (t) = s(t) s(t+t) dt. (2.4.2)
Határértékben, nem periodikus jelek esetén ACF méréssel a T intervallumon:
B s (t) = 
. (2.4.2")
Egy jel autokorrelációja az autokorrelációs együtthatóval is megbecsülhető, amelyet a következő képlet alapján számítunk ki (a központosított jelek alapján):
r s (t) = cos j(t) = ás(t), s(t+t)ñ /||s(t)|| 2.
Keresztkorrelációs függvény (CCF) jelek (cross-correlation function, CCF) két különböző jel eltolt példányai hasonlóságának mértékét és a koordináta (független változó) mentén elhelyezkedő relatív helyzetüket mutatják meg, amelyre ugyanazt a képletet (2.4.1) használjuk, mint az ACF-hez, de az integrál alatt két különböző jel szorzata található, amelyek közül az egyiket t idő eltolja:
B 12 (t) = s 1 (t) s 2 (t + t) dt. (2.4.3)
Ha megváltoztatjuk a t = t-t változót a (2.4.3) képletben, a következőt kapjuk:
B 12 (t) \u003d s 1 (t-t) s 2 (t) dt \u003d s 2 (t) s 1 (t-t) dt \u003d B 21 (-t)
Ebből következik, hogy a VKF paritási feltétele nem teljesül, és a VKF értékeinek nem kell maximumot elérnie t = 0-nál. Ez jól látható az ábrán. 2.4.1, ahol két azonos jelet adunk, a 0,5 és 1,5 pontokban lévő középpontokkal. A (2.4.3) képlettel történő számítás a t értékeinek fokozatos növelésével az s2(t) jel egymást követő balra tolódásait jelenti az időtengely mentén (az s1(t) minden egyes értékére az értékek s2(t+t) értékét veszik az integránsszorzáshoz).
Betöltés...