A felszínen.

Görbevonalas koordináták lokális tulajdonságai

Ha ebben a részben görbe vonalú koordinátákat veszünk figyelembe, akkor feltételezzük, hogy egy háromdimenziós teret (n = 3) veszünk figyelembe, amely x , y , z derékszögű koordinátákkal van felszerelve. A többi méret esete csak a koordináták számában tér el.

Euklideszi tér esetén a metrikus tenzor, amelyet az ívdifferenciál négyzetének is neveznek, ezekben a koordinátákban az azonosságmátrixnak megfelelő alakot kap:

$dS^2\; =\; \backslash mathbf(dx)^2\; +\; \backslash mathbf(dy)^2\; +\; \backslash mathbf(dz)^2.$

Általános eset

Hadd $q\_1$, $q\_2$, $q\_3$- néhány görbe vonalú koordináta, amelyeket x , y , z adott sima függvényeinek fogunk tekinteni. Hogy három funkciója legyen $q\_1$, $q\_2$, $q\_3$ A tér bizonyos régióiban koordinátaként szolgál, inverz leképezés megléte szükséges:

$\backslash left\backslash (\backslash begin(mátrix)\; x\; =\; \backslash varphi\_1\backslash left(q\_1,\backslash ;q\_2,\backslash ;q\_3\backslash right);\backslash \backslash \; y=\; \backslash varphi\_2\backslash left(q\_1,\backslash ;q\_2,\backslash ;q\_3\backslash right)\; \backslash \backslash \; z\; =\; \backslash varphi\_3\backslash left(q\_1,\backslash ;q\_2,\backslash ;q\_3\backslash right),\backslash end(mátrix)\backslash jobbra.$

Ahol $\backslash varphi\_1,\backslash ;\; \backslash varphi\_2,\backslash ;\; \backslash varphi\_3$- a halmazok bizonyos tartományában meghatározott függvények $\backslash left(q\_1,\backslash ;q\_2,\backslash ;q\_3\backslash right)$ koordináták.

Lokális bázis és tenzorelemzés

A tenzorszámításban bevezethetünk lokális bázisvektorokat: $\backslash mathbf(R\_j)=\backslash frac(d\backslash mathbf\; r)(dy^j)=\; \backslash frac(dx^i)(dy^j)\; \backslash mathbf\; e\_i=Q^i\_j\; \backslash mathbf\; e\_i$, Ahol $\backslash mathbf\; e\_i$- a derékszögű koordinátarendszer ortjai, $Q^i\_j$ a jakobi mátrix, $x^i$ koordináták a derékszögű rendszerben, $y^i$- görbe koordináták megadása.
Nem nehéz belátni, hogy a görbe vonalú koordináták általában pontról pontra változnak.
Mutassuk meg a görbe vonalú és derékszögű koordináták közötti kapcsolat képleteit:
$\backslash mathbf\; R\_i=Q^j\_i\; \backslash mathbf\; e\_j$
$\backslash mathbf\; e\_i=P^j\_i\; \backslash mathbf\; R\_j$ Ahol $P^j\_i\; Q^i\_j=E$, ahol E az azonosságmátrix.
Két lokális bázisvektor szorzata egy metrikus mátrixot alkot:
$\backslash mathbf\; R\_i\; \backslash mathbf\; R\_j\; =\; Q^n\_i\; Q^m\_j\; d\_(nm)\; =\; g\_(ij)$
$\backslash mathbf\; R^i\; \backslash mathbf\; R^j\; =\; P^i\_n\; P^j\_m\; d^(nm)=g^(ij)$
$g\_(ij)\; g^(jk)=g^(jk)\; g\_(ij)\; =d\_i^k$, Ahol $d\_(ij),\; d^(ij),\; d^i\_j$ kontravariáns, kovariáns és vegyes Kronecker szimbólum
Így bármely tenzormező $\backslash mathbf\; T$ Az n rangú helyi poliád alapon bővíthető:
$\backslash mathbf\; T=\; T^(i\_1\; ...\; i\_n)\; \backslash mathbf\; e\_i\; \backslash otimes\; ...\; \backslash otimes\; \backslash mathbf\; e\_n\; =T^(i\_1\; ...i\_n)\; P^(j\_1)\_(i\_1)\; ...\; P^\; (j\_n)\_(i\_n)\; \backslash mathbf\; R\_(j\_1)\; \backslash otimes...\; \backslash otimes\; \backslash mathbf\; R\_(j\_n)$
Például egy első rangú (vektor) tenzormező esetén:
$\backslash mathbf\; v=v^i\; \backslash mathbf\; e\_i=v^i\; P^j\_i\; \backslash mathbf\; R\_j$

Ortogonális görbe koordináták

Az euklideszi térben az ortogonális görbe vonalú koordináták használata különösen fontos, mivel a hosszra és szögekre vonatkozó képletek egyszerűbbnek tűnnek merőleges koordinátákban, mint az általános esetben. Ez annak köszönhető, hogy az ortonormális bázisú rendszerek metrikus mátrixa átlós lesz, ami nagyban leegyszerűsíti a számításokat.
Ilyen rendszerekre példa a gömb alakú rendszer $\backslash mathbb(R)^2$

Béna együtthatók

Az ívkülönbséget görbe vonalú koordinátákba írjuk a következő formában (az Einstein összegzési szabály segítségével):

$dS^2\; =\; \backslash left(\backslash frac(\backslash partial\; \backslash varphi\_1)(\backslash partial\; q\_i)\backslash mathbf(dq)\_i\; \backslash right)^2\; +$

\left(\frac(\partial \varphi_2)(\partial q_i)\mathbf(dq)_i \right)^2 + \left(\frac(\partial \varphi_3)(\partial q_i)\mathbf(dq)_i \jobbra)^2 , ~i=1,2,3

Figyelembe véve a koordinátarendszerek merőlegességét ( $\backslash mathbf(dq)\_i\; \backslash cdot\; \backslash mathbf(dq)\_j\; =\; 0$ nál nél $i\; \backslash ne\; j$) ez a kifejezés átírható így

$dS^2\; =\; H\_1^2dq\_1^2\; +\; H\_2^2dq\_2^2\; +\; H\_3^2dq\_3^2,$

$H\_i\; =\; \backslash sqrt(\backslash left(\backslash frac(\backslash partial\; \backslash varphi\_1)(\backslash partial\; q\_i)\backslash right)^2\; +\; \backslash left(\backslash frac(\backslash partial\; \backslash varphi\_2)(\backslash partial\; q\_i)\backslash right)^2\; +\; \backslash \; left(\backslash frac(\backslash partial\; \backslash varphi\_3)(\backslash partial\; q\_i)\backslash right)^2);\backslash \; i=1,\backslash ;2,\backslash ;3$

Pozitív értékek $Szia\backslash$, a tér egy pontjától függően Lame-együtthatóknak vagy léptéktényezőknek nevezzük. A Lame-együtthatók azt mutatják meg, hogy egy adott pont koordinátái hány egységnyi hosszúságot tartalmaznak, és vektorok transzformációjára szolgálnak, amikor egyik koordinátarendszerből a másikba lépünk.

Riemann-féle metrikus tenzor koordinátákkal írva $(q\_i)$, egy átlós mátrix, amelynek átlóján a Lame-együttható négyzete található:

Példák

Poláris koordináták ( n=2)

A síkban lévő poláris koordináták magukban foglalják a pólustól mért r távolságot (kezdőpont) és a φ irányt (szöget).

Poláris koordináták összekapcsolása derékszögűvel:

$\backslash left\backslash (\backslash begin(mátrix)\; x\; =\; r\backslash cos(\backslash varphi);\backslash \backslash \; y\; =\; r\backslash sin(\backslash varphi).\backslash end(mátrix)\backslash jobbra.$

Béna együtthatók:

$\backslash begin(mátrix)H\_r\; =\; 1;\; \backslash \backslash H\_\backslash varphi\; =\; r.\; \backslash end(mátrix)$

Ívdifferenciál:

$dS^2\backslash \; =\backslash \; dr^2\backslash \; +\backslash \; r^2d\backslash varphi^2.$

Az origónál a φ függvény nincs definiálva. Ha a φ koordinátát nem számnak, hanem szögnek (pontnak egy egységkörön) tekintjük, akkor a poláris koordináták az origópont eltávolításával a teljes síkból kapott területen koordinátarendszert alkotnak. Ha ennek ellenére a φ-t számnak tekintjük, akkor a kijelölt területen többértékű lesz, és szigorúan matematikai értelemben vett koordinátarendszer felépítése csak egy egyszerűen összefüggő területen lehetséges, amely nem tartalmazza pl. , sugár nélküli repülőn.

Hengeres koordináták ( n=3)

A hengeres koordináták a polárkoordináták triviális általánosítása a háromdimenziós tér esetére egy harmadik z koordináta hozzáadásával. A hengeres koordináták kapcsolata a derékszögűvel:

$\backslash left\backslash (\backslash begin(mátrix)\; x\; =\; r\backslash cos(\backslash varphi);\backslash \backslash \; y\; =\; r\backslash sin(\backslash varphi).\; \backslash \backslash \; z\; =\; z.\; \backslash end(mátrix)\backslash jobbra.$

Béna együtthatók:

$\backslash begin(mátrix)H\_r\; =\; 1;\; \backslash \backslash H\_\backslash varphi\; =\; r;\; \backslash \backslash \; H\_z\; =\; 1.\; \backslash end(mátrix)$

Ívdifferenciál:

$dS^2\backslash \; =\backslash \; dr^2\backslash \; +\backslash \; r^2d\backslash varphi^2\; +\; dz^2.$

Gömb koordináták ( n=3)

A gömbkoordináták az egységgömb szélességi és hosszúsági koordinátáihoz kapcsolódnak. A gömbkoordináták összekapcsolása derékszögűvel:

$\backslash left\backslash (\backslash begin(mátrix)\; x\; =\; r\backslash sin(\backslash theta)\backslash cos(\backslash varphi);\backslash \backslash \; y\; =\; r\backslash sin(\backslash theta)\backslash sin(\backslash varphi);\; \backslash \backslash \; z\; =\; r\backslash cos\; (\backslash theta).\backslash end(mátrix)\backslash jobbra.$

Béna együtthatók:

$\backslash begin(mátrix)H\_r\; =\; 1;\; \backslash \backslash \; H\_\backslash theta\; =\; r;\; \backslash \backslash H\_\backslash varphi\; =\; r\backslash sin(\backslash theta).\; \backslash end(mátrix)$

Ívdifferenciál:

$dS^2\backslash \; =\backslash \; dr^2\backslash \; +\backslash \; r^2d\backslash theta^2\; +\; r^2\backslash sin^2(\backslash theta)d\backslash varphi^2.$

A gömbkoordináták, akárcsak a hengeres koordináták, nem működnek a z tengelyen (x=0, y=0), mert ott nincs definiálva a φ koordináta.

Különféle egzotikus koordináták a repülőgépen ( n=2) és általánosításaik

Írjon véleményt a "Görbe vonalú koordinátarendszer" cikkről

Irodalom

• Korn G., Korn T. Matematika kézikönyve (tudósok és mérnökök számára). - M .: Nauka, 1974. - 832 p.

A koordináták neve A koordinátarendszerek típusai 2D koordináták 3D koordináták $n$- dimenziós koordináták Fizikai koordináták Kapcsolódó definíciók

A görbe vonalú koordinátarendszert jellemző részlet

„Ha meg tudna támadni minket, ma megtenné” – mondta.
– Tehát azt hiszi, tehetetlen – mondta Langeron.
„Sok, ha 40 000 katonája van” – válaszolta Weyrother egy orvos mosollyal, akinek az orvos orvosságot akar mutatni.
„Ebben az esetben a halálba megy, és várja a támadásunkat” – mondta Lanzheron vékony, ironikus mosollyal, és megerősítésként visszanézett a legközelebbi Miloradovicsra.
De nyilván Miloradovics abban a pillanatban a legkevésbé arra gondolt, hogy miről vitatkoztak a tábornokok.
- Ma foi, [Istenre,] - mondta -, holnap mindent meglátunk a csatatéren.
Weyrother ismét felkuncogott azzal a mosollyal, amely azt mondta, hogy nevetséges és furcsa volt számára az orosz tábornokok kifogásaival találkozni, és bebizonyítani, amiben nemcsak ő maga volt túl biztos, hanem a császárok is.
"Az ellenség eloltotta a tüzet, és folyamatos a zaj a táborában" - mondta. - Mit jelent? „Vagy elköltözik, ami az egyetlen dolog, amitől félnünk kell, vagy pozíciót változtat (kuncogott). De még ha állást is foglalna Tyurasban, csak sok bajtól kímél meg minket, és a parancsok a legapróbb részletekig ugyanazok maradnak.
"Milyen módon? .." mondta Andrej herceg, aki régóta várt arra, hogy kétségeit kifejezze.
Kutuzov felébredt, erősen megköszörülte a torkát, és körülnézett a tábornokokon.
„Uraim, a holnapi hajlamon, még ma sem (mert már az első óra van), nem lehet változtatni” – mondta. „Hallottad őt, és mindannyian meg fogjuk tenni kötelességünket. És a csata előtt nincs fontosabb... (elhallgatott), hogyan aludjak egy jót.
Úgy tett, mintha felkelne. A tábornokok meghajoltak és visszavonultak. Éjfél elmúlt. András herceg elment.

A katonai tanács, amelyen Andrej herceg nem fejezte ki véleményét, ahogy remélte, tisztázatlan és nyugtalanító benyomást hagyott benne. Kinek volt igaza: Dolgorukovnak Weyrotherrel vagy Kutuzovnak Langeronnal és másoknak, akik nem helyeselték a támadási tervet, nem tudta. „De valóban lehetetlen volt Kutuzovnak, hogy közvetlenül kifejezze gondolatait az uralkodónak? Nem lehetne másképp csinálni? Valóban tízezreket és az én életemet kell kockára tenni bírósági és személyes megfontolások miatt? azt gondolta.
„Igen, nagyon valószínű, hogy holnap megölnek” – gondolta. És hirtelen, a halálnak e gondolatára, a legtávolabbi és legőszintébb emlékek egész sora támadt fel képzeletében; emlékezett az utolsó búcsúra apjától és feleségétől; emlékezett az iránta érzett szerelmének első napjaira! Emlékezett a terhességére, megsajnálta őt és önmagát is, és idegesen megenyhülten, izgatott állapotban elhagyta a kunyhót, amelyben Nyeszvickijvel állt, és sétálni kezdett a ház előtt.
Az éjszaka ködös volt, és a holdfény titokzatosan átsütött a ködön. „Igen, holnap, holnap! azt gondolta. „Holnap talán mindennek vége szakad számomra, ezek az emlékek többé nem léteznek, ezeknek az emlékeknek nem lesz többé semmi értelme számomra. Holnap, talán, sőt valószínűleg holnap, előre látom, először végre meg kell mutatnom mindent, amit tudok. És elképzelte a csatát, annak elvesztését, a csata egy pontra való összpontosítását és az összes parancsnok zavarát. És most végre megjelenik előtte az a boldog pillanat, az a Toulon, amelyre oly régóta várt. Határozottan és egyértelműen elmondja véleményét Kutuzovnak, Weyrothernek és a császároknak. Mindenki csodálkozik elképzeléseinek helyességén, de senki nem vállalja ennek teljesítését, ezért vesz egy ezredet, egy hadosztályt, kimondja a feltételt, hogy senki ne avatkozzon a parancsaiba, és döntő pontra vezeti hadosztályát egyedül. nyer. Mi a helyzet a halállal és a szenvedéssel? – mondja egy másik hang. De Andrei herceg nem válaszol erre a hangra, és folytatja sikereit. A következő csatát egyedül ő határozza meg. Kutuzov alatt katonatiszti rangot visel, de mindent egyedül csinál. A következő csatát egyedül nyeri meg. Kutuzovot leváltják, kinevezik... No, és akkor? – mondja újra egy másik hang, majd ha nem vagy megsebesülve, megölve vagy becsapva tízszer korábban; na, akkor mi van? „No, és akkor – válaszol magának Andrej herceg –, nem tudom, mi lesz ezután, nem akarom és nem is tudhatom: de ha ezt akarom, akkor dicsőséget akarok, akarok lenni híres emberek Azt akarom, hogy szeressenek, akkor nem az én hibám, hogy ezt akarom, hogy ezt akarom egyedül, egyedül ezért élek. Igen, erre! Ezt soha senkinek nem mondom el, de istenem! mit csináljak, ha nem szeretek mást, csak a dicsőséget, az emberi szeretetet. Halál, sebek, család elvesztése, semmi sem ijeszt meg. És bármennyire is kedves és kedves számomra sok ember - apám, nővérem, feleségem - a számomra legkedvesebb emberek -, de bármennyire is szörnyűnek és természetellenesnek tűnik, most mindannyiukat odaadom a dicsőség, a győzelem pillanatára. az emberek felett, a magam iránti szeretetért, akiket nem ismerek és nem is fogok ismerni, ezeknek az embereknek a szeretetéért ”- gondolta, hallgatva a beszélgetést Kutuzov udvarában. Kutuzov udvarán csomagoló rendõrök hangja hallatszott; az egyik hang, valószínűleg a kocsis, aki az öreg Kutuzovszkij szakácsot ugratta, akit Andrej herceg ismert, és akinek a neve Cinege, azt mondta: „Cinege és cinege?”
– Nos – felelte az öreg.
– Titusz, menj csépelni – mondta a tréfás.
– Jaj, hát a pokolba velük – hallatszott egy hang, amelyet denevéremberek és szolgák nevetése borított el.
"És mégis csak a diadalt szeretem és becsülöm valamennyiük felett, ápolom ezt a titokzatos hatalmat és dicsőséget, amely itt zúdul rám ebben a ködben!"

Rosztov azon az éjszakán egy osztaggal a szárnyláncban volt, megelőzve Bagration különítményét. Huszárai páronként láncra verve szóródtak szét; ő maga is ezen a láncvonalon lovagolt, próbálva legyőzni az álmot, amely ellenállhatatlanul lesütötte. Mögötte seregünk hatalmas tüzét lehetett látni, amik homályosan égtek a ködben; előtte ködös sötétség terült el. Hiába nézett Rosztov ebbe a ködös messzeségbe, nem látott semmit: elszürkült, aztán valami elfeketedett; majd fényekként felvillant, ahol az ellenségnek lennie kell; aztán arra gondolt, hogy csak a szemében csillogott. Szeme csukva volt, képzeletében most az uralkodó, majd Denisov, majd moszkvai emlékek jelentek meg, és ismét sietve kinyitotta a szemét, és becsukva maga előtt meglátta a ló fejét és fülét, amelyen ült, néha a huszárok fekete alakjai hat lépésnyire futottak beléjük, s a távolban ugyanaz a ködös sötétség. "Honnan? Nagyon lehetséges, gondolta Rosztov, hogy az uralkodó, miután találkoztam velem, parancsot ad, mint bármelyik tisztnek: azt mondja: „Menj, tudd meg, mi van ott”. Sokat meséltek arról, hogyan ismert meg véletlenül így egy tisztet, és hozta közelebb magához. Mi lenne, ha közelebb hozna magához! Ó, hogyan védeném meg, hogyan mondanám el neki a teljes igazságot, hogyan tárnám fel a csalóit ", és Rosztov, hogy élénken képzelje el a szuverén iránti szeretetét és odaadását, elképzelte a német ellenséget vagy csalót, akit ő élvezte, hogy nemcsak megölték, hanem arcon verték az uralkodó szemét. Hirtelen távoli kiáltás ébresztette fel Rosztovot. Összerándult, és kinyitotta a szemét.
"Hol vagyok? Igen, a láncban: a szlogen és a jelszó a vonórúd, Olmutz. Milyen kár, hogy a századunk holnap tartalékba kerül... gondolta. - Megkérem a munkát. Lehet, hogy ez az egyetlen esély arra, hogy meglássuk az uralkodót. Igen, nincs sok idő a változás előtt. Megint körbemegyek, és ha visszaérek, elmegyek a tábornokhoz, és megkérdezem. Felült a nyeregben, és megérintette a lovat, hogy még egyszer megkerülje huszárait. Világosabbnak hitte. A bal oldalon egy enyhe, megvilágított lejtő és a szemközti fekete domb látszott, amely meredeknek, falnak tűnt. Volt egy fehér folt ezen a dombon, amit Rosztov sehogy sem érthetett: egy tisztás volt az erdőben, amelyet a hold világított meg, vagy a megmaradt hó, vagy fehér házak? Még úgy tűnt neki, hogy valami megmozdul ezen a fehér folt felett. „A hónak foltnak kell lennie; a folt nem tapadó, gondolta Rosztov. "Itt nem tash..."

Bármely felületen létrehozhat koordináta-rendszert, ha egy pont pozícióját ismét két számmal definiálja. Ennek érdekében valamilyen módon a teljes felületet lefedjük két vonalcsaláddal úgy, hogy annak minden pontján (talán kevés kivétellel) minden családból egy, és csak egy vonal haladjon át. Most már csak az egyes családok sorait kell számjelekkel ellátni valamilyen határozott szabály szerint, amely lehetővé teszi, hogy a számjegy alapján megtaláljuk a kívánt családvonalat (22. ábra).

pont koordinátái M a felületek számként szolgálnak u, v, Ahol u-- az első átmenő család vonalának számjegye M,És v-- a második család jelölővonalai. Továbbra is írjuk: M(u; v), számok És, v pont görbe vonalú koordinátáinak nevezzük M. Az elhangzottak teljesen világosak lesznek, ha a szférához fordulunk egy példaért. Az egészet meridiánok borítják (az első család); mindegyik megfelel egy számjegynek, nevezetesen a hosszúság értékének u(vagy c). Minden párhuzam egy második családot alkot; mindegyik megfelel egy számjegynek - szélességnek v(vagy és). A gömb minden pontján (a pólusok kivételével) csak egy meridián és egy párhuzamos halad át.

Egy másik példaként tekintsük egy jobb oldali kör alakú henger oldalfelületét H, sugár a(23. ábra). Az első családnak a generátorainak rendszerét vesszük, ezek közül az egyik lesz a kezdeti. Minden generatrixhoz egy jelet rendelünk te, egyenlő az ív hosszával az alap kerületén a kezdeti generatrix és az adott között (az ívet például az óramutató járásával ellentétes irányban számoljuk). A második családhoz a felszín vízszintes szakaszainak rendszerét vesszük; számjegy v figyelembe vesszük azt a magasságot, amelyen a metszet az alap felett van megrajzolva. Megfelelő tengelyválasztással x, y, z a térben bármelyik pontra rendelkezni fogunk M(x; y; z) felületünk:

(Itt a koszinusz és a szinusz érveit nem fokban, hanem radiánban adjuk meg.) Ezeket az egyenleteket a henger felületének parametrikus egyenleteinek tekinthetjük.

9. feladat Milyen görbe szerint kell egy bádogdarabot levágni, hogy lefolyócső könyök legyen, hogy megfelelő hajlítás után egy sugarú hengert kapjunk A, az alap síkjával 45°-os szöget bezáró síkkal csonkolva?

Megoldás. Használjuk a hengerfelület parametrikus egyenleteit:

A vágási síkot a tengelyen keresztül rajzoljuk Ó, az ő egyenlete z=y. Az imént felírt egyenletekkel kombinálva megkapjuk az egyenletet

metszésvonalak görbe vonalú koordinátákban. A felület síkra bontása után a görbe vonalú koordináták ÉsÉs v derékszögű koordinátákká alakul.

Tehát egy óndarabot felülről körvonalazunk egy szinuszoid mentén

Itt uÉs v már derékszögű koordináták a síkon (24. ábra).

Mind gömb, mind hengeres felület esetén, mind általános esetben egy felület paraméteres egyenletekkel történő specifikálása egy görbe vonalú koordinátarendszer felállítását vonja maga után a felületen. Valójában a derékszögű koordináták kifejezése x, y, z tetszőleges pont M (x; y; z) két paraméteren keresztül kerül felszínre te, v(Ezt általában így írják: x\u003d c ( u; v),y= c (u;v), z=u (u;v), ts, sh, u - két argumentum függvényei) lehetővé teszi egy számpár ismeretében te, v, találja meg a megfelelő koordinátákat x, y, z, tehát a pont helyzete M egy felületen; számok te, v koordinátáiként szolgálnak. Az egyiknek állandó értéket adva, pl u=u 0, megkapjuk a kifejezést x, y, z egy paraméteren keresztül v, azaz a görbe parametrikus egyenlete. Ez egy család koordináta egyenese, egyenlete u=u 0 . Csak ugyanaz a vonal v=v 0 -- egy másik család koordinátavonala.

koordináta derékszögű sugárvektor

Olyan vektortérnek megfelelő. Ebben a cikkben az első meghatározást tekintjük kezdeti definíciónak.

N (\displaystyle n)-dimenziós euklideszi teret jelölünk E n , (\displaystyle \mathbb (E) ^(n),) a jelölést is gyakran használják (ha a szövegkörnyezetből egyértelműen látszik, hogy a tér euklideszi szerkezetű).

Enciklopédiai YouTube

1 / 5

✪ 04 - Lineáris algebra. Euklideszi tér

✪ Nem euklideszi geometria. Első rész.

✪ Nem euklideszi geometria. Második rész

✪ 01 - Lineáris algebra. Lineáris (vektor) tér

✪ 8. Euklideszi terek

Feliratok

Formális meghatározás

Az euklideszi tér meghatározásához a legegyszerűbb a skalár szorzat alapfogalmát venni. Az euklideszi vektorteret úgy definiáljuk, mint egy véges dimenziós vektorteret a valós számok mezője felett, amelynek vektoraira valós értékű függvény van megadva. (⋅ , ⋅) , (\displaystyle (\cdot ,\cdot),) a következő három tulajdonsággal:

Euklideszi tér példa - koordináta tér R n , (\displaystyle \mathbb (R) ^(n),) amely a valós számok összes lehetséges sorából áll (x 1 , x 2 , … , x n) , (\displaystyle (x_(1),x_(2),\ldots ,x_(n)),)) skaláris szorzat, amelyben a képlet határozza meg (x, y) = ∑ i = 1 n x i y i = x 1 y 1 + x 2 y 2 + ⋯ + x n y n . (\megjelenítési stílus (x,y)=\összeg _(i=1)^(n)x_(i)y_(i)=x_(1)y_(1)+x_(2)y_(2)+\cdots +x_(n)y_(n).)

Hosszúságok és szögek

Az euklideszi téren megadott skaláris szorzat elegendő a hossz és a szög geometriai fogalmának bevezetéséhez. Vektor hossza u (\displaystyle u) ként meghatározott (u , u) (\displaystyle (\sqrt ((u,u))))és jelöltük | u | . (\displaystyle |u|.) A belső szorzat pozitív meghatározottsága garantálja, hogy egy nem nulla vektor hossza nem nulla, és a bilinearitásból következik, hogy | a u | = | a | | u | , (\displaystyle |au|=|a||u|,) vagyis az arányos vektorok hossza arányos.

Szög vektorok között u (\displaystyle u)És v (\displaystyle v) képlet határozza meg φ = arccos ⁡ ((x, y) | x | | y |) . (\displaystyle \varphi =\arccos \left((\frac ((x,y))(|x||y|))\right).) A koszinusztételből az következik, hogy egy kétdimenziós euklideszi tér esetén ( euklideszi sík) ezt a meghatározást szöge egybeesik a szokásosval. Az ortogonális vektorok, akárcsak a háromdimenziós térben, vektorokként definiálhatók, amelyek között a szög egyenlő π 2 . (\displaystyle (\frac (\pi )(2)).)

Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz egyenlőtlenség és háromszög egyenlőtlenség

A szög fent megadott definíciójában egy hézag maradt: annak érdekében, hogy arccos ⁡ ((x , y) | x | | y |) (\displaystyle \arccos \left((\frac ((x,y))(|x||y|))\right)) volt meghatározva, szükséges, hogy az egyenlőtlenség | (x, y) | x | | y | | ≤ 1. (\displaystyle \left|(\frac ((x,y))(|x||y|))\right|\leqslant 1.) Ez az egyenlőtlenség valóban teljesül egy tetszőleges euklideszi térben, ezt nevezik Cauchy- Bunyakovszkij- Schwarz-egyenlőtlenségnek. Ebből az egyenlőtlenségből viszont a háromszög egyenlőtlenség következik: | u+v | ⩽ | u | + | v | . (\displaystyle |u+v|\leqslant |u|+|v|.) A háromszög egyenlőtlenség a fent felsorolt ​​hossztulajdonságokkal együtt azt jelenti, hogy egy vektor hossza norma egy euklideszi vektortéren, és a függvény d(x, y) = | x − y | (\displaystyle d(x,y)=|x-y|) egy metrikus tér szerkezetét határozza meg az euklideszi téren (ezt a függvényt euklideszi metrikának nevezik). Különösen az elemek (pontok) közötti távolság x (\displaystyle x)És y (\displaystyle y) koordináta tér R n (\displaystyle \mathbb (R) ^(n)) képlet adja meg d (x, y) = ‖ x − y ‖ = ∑ i = 1 n (x i − y i) 2 . (\displaystyle d(\mathbf (x) ,\mathbf (y))=\|\mathbf (x) -\mathbf (y) \|=(\sqrt (\sum _(i=1)^(n) (x_(i)-y_(i))^(2))).)

Algebrai tulajdonságok

Ortonormális alapok

Kettős tér és kezelők

Bármilyen vektor x (\displaystyle x) Az euklideszi tér egy lineáris funkcionálist határoz meg x ∗ (\displaystyle x^(*)) ezen a téren, úgy definiálva x ∗ (y) = (x, y) . (\displaystyle x^(*)(y)=(x,y).) Ez a leképezés izomorfizmus az euklideszi tér és az

Derékszögű koordináták négyszögletes térrendszere

Térbeli derékszögű koordinátarendszerek transzformációi

Lineáris leképezési transzformációk

Egy általános másodfokú forma visszavezetése kanonikusra

Görbe vonalú koordináták

Általános információk a görbe vonalú koordinátarendszerekről

Görbe vonalú koordináták a felületen

Poláris koordináta-rendszerek és általánosításaik

Térbeli poláris koordináta-rendszer

Hengeres koordinátarendszer

Gömbös koordinátarendszer

Poláris koordináták a felszínen

3. fejezet A GEODÉZIÁBAN HASZNÁLT KOORDINÁTARENDSZEREK

A geodéziában használt koordinátarendszerek általános osztályozása

Földi geodéziai koordinátarendszerek

Poláris koordináta-rendszerek a geodéziában

Geodéziai koordináták görbevonalú ellipszoid rendszerei

Ellipszoid geodéziai koordináták meghatározása külön módszerrel a földfelszíni pontok tervezett és magassági helyzetének meghatározására

Térgeodéziai polárkoordináták átalakítása ellipszoid geodéziai koordinátákká

Geodéziai koordináták referenciarendszereinek konvertálása globálisra és fordítva

Térbeli derékszögű koordinátarendszerek

Térbeli derékszögű koordináták kapcsolata ellipszoid geodéziai koordinátákkal

Térbeli derékszögű referenciakoordináták konvertálása globálisra és fordítva

Topocentrikus koordinátarendszerek a geodéziában

Térbeli topocentrikus vízszintes geodéziai CS kapcsolata térbeli poláris gömbkoordinátákkal

Topocentrikus vízszintes geodéziai koordináták átalakítása X, Y, Z térbeli derékszögű koordinátákká

Lapos derékszögű koordinátarendszerek a geodéziában

Sík téglalap alakú Gauss–Krüger koordináták kapcsolata ellipszoid geodéziai koordinátákkal

Gauss–Kruger sík négyszögletes koordináta transzformációja egyik zónából a másikba

Helyi geodéziai építmények pontjainak lapos derékszögű koordinátáinak újraszámítása más lapos derékszögű koordinátarendszerekre

4. fejezet

A szférikus csillagászat koordinátarendszerei

Referenciarendszerek az űrgeodéziában

Csillagi (égi) inerciális geocentrikus egyenlítői koordináták

Greenwichi földi geocentrikus térbeli derékszögű koordinátarendszer

Topocentrikus koordinátarendszerek

5. fejezet

Állami geodéziai koordinátarendszerek a XXI. század elején.

Állami geodéziai hálózat kiépítése

BIBLIOGRÁFIA

FÜGGELÉK 1. A KÖZVETLEN GEODÉZIKAI PROBLÉMA MEGOLDÁSA TÉRBEN

MELLÉKLET 2. AZ INVERZ GEODÉZIKAI FELADAT MEGOLDÁSA TÉRBEN

FÜGGELÉK 3. B, L, H GEODÉZIAI KOORDINÁTÁK ÁTALAKÍTÁSA X, Y, Z TÉRSZÖGEKRE

4. FÜGGELÉK

5. FÜGGELÉK AZ X, Y, Z TERÜLETI NÉGYSZÖG KOORDINÁTÁK ÁTALAKÍTÁSA SK-42 PZ-90 RENDSZERKOORDINÁTÁKRA

FÜGGELÉK 6. A B, L, H GEODÉZIAI KOORDINÁTÁK REFERENCIARENDSZERÉNEK ÁTALAKÍTÁSA PZ-90 B0, L0, H0 GEODÉZIAI KOORDINÁTARENDSZERRE

7. FÜGGELÉK AZ S, ZG, A RENDSZER TÉRBELI PÁRKOR KOORDINÁTÁJÁNAK ÁTVÁLTÁSA ХТ, УТ, ZТ TOPOCENTRIKUS HORIZONTÁLIS GEODÉZIAI KOORDINÁTÁKRA

8. FÜGGELÉK A ХТ, УТ, ZТ TOPOCENTRIKUS VÍZSZINTES GEODÉZIAI KOORDINÁTÁK ÁTALAKÍTÁSA POLÁRIS TÉRI KOORDINÁTÁBA – S, ZГ, A

FÜGGELÉK 9. TOPOCENTRIKUS VÍZSZINTES GEODÉZIAI XT, UT, ZT KOORDINÁTÁK ÁTALAKÍTÁSA X, Y, Z TERÜLETI NÉGYSZÖG KOORDINÁTÁKRA

10. FÜGGELÉK A B, L ELLIPSSZIDÁLIS GEODÉZIKAI KOORDINÁTÁK ÁTALAKÍTÁSA GAUSS - KRUGER X, Y lapos, négyszögletes KOORDINÁTÁKRA

FÜGGELÉK 11. A GAUSS - KRUGER X, Y SÍK NÉGYSZÖG KOORDINÁTÁK ÁTALAKÍTÁSA B, L ELLIPSSZIDÁLIS GEODÉZIAI KOORDINÁTÁBA

(a 11 - λ1) (a 22 - λ1) - a 12 a 21 = 0;

λ 12- (a 11 + a 22 )λ 1 + (a 11a 22 - a 12 a 21 ) = 0.

Ezeknek a másodfokú egyenleteknek a diszkriminánsa ³ 0, azaz.

D \u003d (a 11 + a 22) 2 - 4 (a 11a 22 - a 12 a 21) \u003d (a 11 - a 22) 2 + 4a 122 ³ 0.

A (2.56), (2.57) egyenleteket nevezzük jellemző egyenletek

mátrixok, és ezeknek az egyenleteknek a gyökerei saját számokat mátrixok A. A (2.57)-ből talált sajátértékeket behelyettesítjük (2.39)-be, megkapjuk

kanonikus egyenlet.

Adott egy másodfokú alak a következő formában: F (x x ) = 5x 2				2x2.

Keresse meg ennek az egyenletnek a kanonikus alakját!

Mivel itt a 11 = 5; és 21 = 2; és 22 = 2, akkor a karakterisztikus egyenlet (2.56) az adott másodfokú alakra a következő lesz

5 - λ 2

2 2 - λ 1

Ennek a mátrixegyenletnek a determinánsát nullával egyenlővé téve

(5 – λ)(2 – λ) – 4 = λ2 – 7λ + 6 = 0

és ezt a másodfokú egyenletet megoldva λ1 = 6; λ2 = 1.

És akkor ennek a másodfokú formának a kanonikus formája fog kinézni

F (x 1 , x 2 ) = 6 x 1 2 + x 2 2 .

2.3. Görbe vonalú koordináták

2.3.1. Általános információk a görbe vonalú koordinátarendszerekről

A görbe vonalú koordináták osztálya az egyenes koordináták osztályához képest kiterjedt és sokkal változatosabb, és analitikai szempontból a leguniverzálisabb, mivel kiterjeszti az egyenes koordináták módszerének lehetőségeit. A görbe vonalú koordináták használata néha nagymértékben leegyszerűsítheti számos probléma megoldását, különösen azokat, amelyek közvetlenül a forgás felületén oldódnak meg. Tehát például, amikor egy forgásfelületen egy bizonyos függvény megtalálásával kapcsolatos problémát old meg, ennek a függvénynek az adott felületen történő megadásának területén kiválaszthat egy olyan görbe vonalú koordináta-rendszert, amely lehetővé teszi a felruházást. ezt a funkciótúj tulajdonság az, hogy egy adott koordinátarendszerben állandó, ami nem mindig lehetséges egyenes koordinátarendszerek használatával.

A háromdimenziós euklideszi tér bizonyos területén megadott görbe vonalú koordináták rendszere ennek a térnek minden pontjához rendeli a valós számok rendezett hármasát - φ, λ, r (egy pont görbe vonalú koordinátái).

Ha a görbe vonalú koordinátarendszer közvetlenül valamilyen felületen (forgásfelületen) található, akkor ebben az esetben a felület minden pontjához két valós szám tartozik - φ, λ, amelyek egyértelműen meghatározzák a pont helyzetét ezen a felületen.

Matematikai kapcsolatnak kell lennie a φ, λ, r görbe vonalú koordináták rendszere és az egyenes derékszögű CS (X, Y, Z) között. Valóban, legyen adott a görbe vonalú koordináták rendszere a tér valamely tartományában. Ennek a térnek minden pontja a görbe vonalú koordináták hármasának felel meg - φ, λ, r. Másrészt ugyanaz a pont felel meg a derékszögű derékszögű koordináták egyetlen hármasának - X, Y, Z. Ekkor vitatható, hogy Általános nézet

ϕ \u003d ϕ (X, Y, Z);

λ = λ (,); (2,58)

X Y Z

r = r(X, Y, Z).

Közvetlen (2,58) és fordított matematikai kapcsolat is van ezen SC-k között.

A (2.58) képletek elemzéséből az következik, hogy például a φ, λ, r térbeli görbe koordináták állandó értékével, pl.

ϕ \u003d ϕ (X, Y, Z) \u003d állandó,

És a másik kettő változó értékei (λ, r ), általában egy felületet kapunk, amelyet koordinátafelületnek nevezünk. Az azonos koordinátának megfelelő koordinátafelületek nem metszik egymást. Két különböző koordinátának megfelelő koordinátafelület azonban metszi egymást, és a harmadik koordinátának megfelelő koordinátaegyenest ad.

2.3.2. Görbe vonalú koordináták a felületen

A geodézia számára a felületi görbe vonalú koordináták a legérdekesebbek.

Legyen a felületi egyenlet derékszögű koordináták függvénye

implicit módon megvan a formája
F (X, Y, Z) = 0.

Az egységvektorokat az i, j, l koordinátatengelyek mentén irányítva (2.11. ábra) a felületi egyenlet vektor formában írható fel.

r \u003d X i + Y j + Z l. (2,60)

Bevezetünk két új független változót φ és λ úgy, hogy a függvények

kielégíti a (2.59) egyenletet. A (2.61) egyenlőségek a felület parametrikus egyenletei.

λ1 = állandó

					λ2 = állandó
					λ3 = állandó
					φ3=állandó
					φ2=állandó
					φ1=állandó

Rizs. 2.11. Görbe vonalú felületi koordinátarendszer

Minden φ és λ számpár egy bizonyos (egyetlen) pontnak felel meg a felületen, és ezek a változók a felület pontjainak koordinátáinak tekinthetők.

Ha φ-nek különféle állandó értékeket adunk meg φ = φ1, φ = φ2, …, akkor az ezeknek az állandóknak megfelelő görbecsaládot kapunk a felületen. Hasonlóképpen, ha λ állandó értéket kapunk, akkor ez lesz

görbék második családja. Így a felületen φ = const és λ = const koordinátaegyenesekből álló hálózat jön létre. A koordinátavonalak általában

íves vonalak. Ezért a φ, λ számokat nevezzük

görbe vonalú koordináták pontok a felszínen.

A görbe vonalú koordináták lehetnek lineáris és szögmennyiségek is. A görbe vonalú koordinátarendszer legegyszerűbb példája, amelyben az egyik koordináta egy lineáris mennyiség, a másik pedig egy szögmennyiség, szolgálhat poláris koordinátaként egy síkon.

A görbe vonalú koordináták megválasztásának nem kell feltétlenül megelőznie a koordinátavonalak kialakítását. Esetenként célszerűbb egy olyan koordinátaegyenes hálózatot kialakítani, amely a felületen a legkényelmesebb bizonyos problémák megoldására, majd ezekhez az egyenesekhez olyan paramétereket (koordinátákat) választunk, amelyek minden koordinátaegyenesre állandó értéket képviselnének.

Egy jól definiált koordinátavonal-hálózat is megfelel egy bizonyos paraméterrendszernek, de minden adott koordinátavonal-családhoz választhatunk további paraméterek halmazát, amelyek folytonos és egyértékű függvények. adott paramétert. Általános esetben a φ = const család koordinátavonalai és a λ = const család egyenesei közötti szögek eltérő értékűek lehetnek.

Csak az ortogonális görbe vonalú koordinátarendszereket fogjuk figyelembe venni, amelyekben minden φ = const koordinátaegyenes derékszögben metszi bármely másik λ= const koordinátaegyenest.

Sok felületi feladat megoldása során, különösen a felületi pontok görbe vonalú koordinátáinak kiszámításával kapcsolatos feladatok megoldása során, szükség van differenciálegyenletekre a φ és λ görbe vonalú koordináták megváltoztatására a felületi görbe S hosszának változásától függően.

A dS , dφ, dλ differenciálok közötti kapcsolat egy új α változó, azaz a szög bevezetésével állapítható meg.

α dS

φ = állandó

λ = állandó

λ+d λ = állandó

a λ = const egyenes pozitív iránya pozitívra

ennek a görbének az iránya (2.12. ábra). Ez a szög mintegy beállítja a vonal irányát (tájolását).

adott pont a felszínen. Ezután (nincs kimenet):

Rizs. 2.12. Egy felületen lévő görbe ívének differenciáljának kapcsolatának geometriája a görbevonal változásaival (differenciáljaival)

koordináták

					∂X		2 ∂ Y 2
E = (rϕ )
						∂ϕ		∂ϕ
G = (						∂X		∂ U 2
						∂λ		∂λ

+ ∂Z2;

∂ϕ

+ ∂ Z 2 . ∂λ

		cosα
		sinα

BAN BEN Az α geodéziai szög a geodéziai azimutnak felel meg: α = A.

2.3.3. Poláris koordináta-rendszerek és általánosításaik

2.3.4. Térbeli poláris koordináta-rendszer

A poláris koordináták térbeli rendszerének beállításához először ki kell választania egy síkot (a továbbiakban főnek nevezzük). Valamelyik O pont van kiválasztva ezen a síkon

mérések

szegmensek

teret akkor

pozíció

a tér bármely pontja lesz

egyértelműen

eltökélt

mennyiségek: r, φ, λ, ahol r

poláris

egyenes távolság a pólustól

O a Q ponthoz (2.13. ábra); λ -

polárszög az közötti szög

poláris

Rizs. 2.13. Térrendszer

ortogonális

kivetítés

poláris sugara a fő

poláris koordináták és módosításai

repülőgép

változtatások

(poláris sugár) és annak

0 ≤ λ < 2π); φ – угол между

vektor

kivetítés

OQ0 bekapcsolva

alapvető

sík, pozitívnak (0 ≤ φ ≤ π/2) a pozitív féltér pontjainál, és negatívnak (-π/2 ≤ φ ≤ 0) a negatív féltér pontjainál.

Bármely térbeli poláris CS könnyen összekapcsolható (transzformálható) egy térbeli derékszögű téglalap alakú CS-vel.

Ha a térbeli derékszögű rendszerben a léptéket és a poláris rendszer origóját vesszük léptéknek és koordináták origójának, akkor az OP poláris tengelyt az OX abszcissza féltengelyének, az O pólusból merőlegesen húzott OZ egyenest. a fősíkra a poláris rendszer pozitív irányában - mint a derékszögű derékszögű rendszer OZ féltengelye, a féltengelynél pedig - OS vegye azt a tengelyt, amelybe az abszcissza tengely átmegy egy szögben elforgatva π / 2 pozitív irányban a poláris rendszer fősíkjában, majd a 2. ábrából. 2.13

A (2.64) képletek lehetővé teszik, hogy X, Y, Z kifejezéseket r, φ, λ és fordítva

Mostanáig egy pont síkon vagy térben elfoglalt helyzetének megismeréséhez a derékszögű koordinátarendszert használtuk. Így például három koordináta segítségével határoztuk meg egy pont helyzetét a térben. Ezek a koordináták egy változó térpont abszcisszája, ordinátája és alkalmazása volt. Nyilvánvaló azonban, hogy egy pont abszcisszájának, ordinátájának és alkalmazásának megadása nem az egyetlen módja egy pont helyének meghatározására a térben. Ez más módon is megtehető, például görbe vonalú koordináták használatával.

Legyen, valamilyen jól meghatározott szabály szerint, minden pont M szóköz egyedileg megfelel valamilyen számhármasnak ( q 1 , q 2 , q 3), és a különböző pontok különböző számhármasoknak felelnek meg. Ekkor azt mondjuk, hogy egy koordináta-rendszer adott a térben; számok q 1 , q 2 , q 3, amelyek megfelelnek a pontnak M, a pont koordinátáinak (vagy görbe vonalú koordinátáinak) nevezzük.

Attól függően, hogy milyen szabály szerint a számhármas ( q 1 , q 2 , q 3) megfeleltetésbe kerül egy térbeli ponttal, egyik vagy másik koordinátarendszerről beszélnek.

Ha meg akarjuk jegyezni, hogy egy adott koordinátarendszerben az M pont helyzetét a számok határozzák meg q 1 , q 2 , q 3 , akkor a következőképpen van írva M(q 1 , q 2 , q 3).

Példa 1. Legyen valamilyen fix pont a térben jelölve RÓL RŐL(az origó), és három egymásra merőleges tengelyt húzunk át rajta a kiválasztott léptékkel. (tengelyek Ökör, Oy, Oz). Három egyforma x, y, z egyezik a ponttal M, úgy, hogy a sugárvektorának vetületei OM tengelyen Ökör, Oy, Oz rendre egyenlő lesz x, y, z. Ez a módszer a számhármasok közötti kapcsolat létrehozására ( x, y, z) és pontokat M elvezet minket a jól ismert derékszögű koordinátarendszerhez.

Könnyen belátható, hogy egy derékszögű koordinátarendszer esetén nemcsak minden számhármas egy adott térpontnak felel meg, hanem fordítva, minden térpont egy bizonyos koordinátahármasnak felel meg.

Példa 2. A koordinátatengelyeket ismét a térben rajzoljuk meg Ökör, Oy, Oz fix ponton halad át RÓL RŐL(eredet).

Tekintsünk egy számhármast r, j, z, Ahol r³0; 0 GBP j 2 GBP p, –¥<z<¥, и поставим в соответствие этой тройке чисел точку M, hogy az alkalmazása egyenlő legyen z, és a síkra való vetülete Oxy poláris koordinátái vannak rÉs j(lásd a 4.1. ábrát). Nyilvánvaló, hogy itt minden számhármas r, j, z egy bizonyos pontnak felel meg Més fordítva, minden pont M egy bizonyos számhármasra válaszol r, j, z. A kivételek a tengelyen elhelyezkedő pontok Oz: ebben az esetben rÉs z egyedileg meghatározottak, és a sarok j bármilyen érték hozzárendelhető. Számok r, j, z pont hengeres koordinátáinak nevezzük M.

Könnyű kapcsolatot teremteni a hengeres és a derékszögű koordináták között:

x = r×cos j; y = r×sin j; z = z.

És vissza ; ; z = z.

Példa 3. Vezessünk be egy gömbi koordináta-rendszert. Állítson be három számot r, q, j a pont helyzetét jellemzi M térben a következőképpen: r a koordináták kezdőpontja és a pont távolsága M(a sugárvektor hossza), q Ozés sugárvektor OM(szélességi pont M) j a tengely pozitív iránya közötti szög Ökörés a sugárvektor síkra vetítése Oxy(pont hosszúság M). (Lásd a 4.2. ábrát).

Nyilvánvaló, hogy ebben az esetben nem csak minden ponton M egy bizonyos számhármasnak felel meg r, q, j, Ahol r³ 0, 0 £ q £ p, 0£ j 2 GBP p, de fordítva, minden ilyen számhármas a tér egy bizonyos pontjának felel meg (ismét, a tengely pontjainak kivételével Oz ahol ez az egyediség sérül).

Könnyű megtalálni a kapcsolatot a gömbi és derékszögű koordináták között:

x = r bűn q kötözősaláta j; y = r bűn q bűn j; z = r kötözősaláta q.

Térjünk vissza egy tetszőleges koordinátarendszerhez ( Oq 1 , Oq 2 , Oq 3). Feltételezzük, hogy nem csak a tér minden pontja felel meg egy bizonyos számhármasnak ( q 1 , q 2 , q 3), de fordítva, minden számhármas a tér egy bizonyos pontjának felel meg. Vezessük be a koordinátafelületek és koordinátavonalak fogalmát.

Meghatározás. Azon pontok halmaza, amelyekhez a koordináta q 1 állandó, koordinátafelületnek nevezzük q 1 . A koordinátafelületeket hasonlóképpen határozzuk meg q 2, és q 3 (lásd 4.3. ábra).

Nyilvánvalóan, ha az M pontnak vannak koordinátái VAL VEL 1 , VAL VEL 2 , VAL VEL 3, akkor a koordinátafelületek ebben a pontban metszik egymást q 1 =C 1 ; q 2 =C 2 ; q 3 =C 3 .

Meghatározás. Azon pontok halmaza, amelyek mentén csak a koordináta változik q 1 (és a másik két koordináta q 2 és q 3 állandó marad), koordinátaegyenesnek nevezzük q 1 .

Nyilvánvalóan bármilyen koordinátavonal q 1 a koordinátasíkok metszésvonala q 2 és q 3 .

A koordinátavonalakat hasonlóképpen határozzuk meg q 2 és q 3 .

Példa 1. Koordináta felületek (a koordináta mentén x) a derékszögű koordinátarendszerben minden sík x= konst. (Párhuzamosak a síkkal Oyz). A koordinátafelületeket hasonlóan határozzák meg a koordináták yÉs z.

koordináta x az egyenes a tengellyel párhuzamos egyenes Ökör. koordináta y-vonal ( z-line) - a tengellyel párhuzamos egyenes OU(tengelyek Oz).

Példa 2. A koordinátafelületek a hengeres rendszerben: bármely, a síkkal párhuzamos sík Oxy(koordinátafelület z= const), egy körhenger felülete, amelynek tengelye a tengely mentén irányul Oz(koordinátafelület r= const) és a tengely által határolt félsík Oz(koordinátafelület j= const) (lásd 4.4. ábra).

A hengeres koordinátarendszer elnevezést az magyarázza, hogy koordinátafelületei között vannak hengeres felületek.

A koordináta egyenesek ebben a rendszerben z-vonal - egyenes, párhuzamos a tengellyel Oz; j-vonal - a tengely közepén fekvő vízszintes síkban fekvő kör Oz; És r-vonal - a tengely egy tetszőleges pontjából kilépő sugár Oz, párhuzamos a síkkal Oxy.

Rizs. 4.5

Mivel a koordinátafelületek között gömbök vannak, ezt a koordinátarendszert gömbnek nevezzük.

A koordináta vonalak a következők: r-vonal - az origóból kilépő sugár, q-vonal - az origó középpontjában álló félkör, amely a tengely két pontját köti össze Oz; j-vonal - egy kör, amely vízszintes síkban fekszik, a tengely közepén Oz.

Az összes fent tárgyalt példában bármely ponton átmenő koordináta egyenesek M, egymásra merőlegesek. Ez nem minden koordinátarendszerben történik. Mi azonban csak olyan koordinátarendszerek vizsgálatára szorítkozunk, amelyekre ez a helyzet; az ilyen koordinátarendszereket ortogonálisnak nevezzük.

Meghatározás. Koordináta-rendszer ( Oq 1 , Oq 2 , Oq 3) ortogonálisnak nevezzük, ha minden pontban M ezen a ponton átmenő koordinátaegyenesek derékszögben metszik egymást.

Gondolj most egy pontra Més rajzoljon egységvektorokat, amelyek ezen a ponton érintik a megfelelő koordinátavonalakat, és a megfelelő koordináta növelésének irányába irányítják. Ha ezek a vektorok minden pontban egy jobb oldali hármast alkotnak, akkor kapunk egy jobb oldali koordináta-rendszert. Például a derékszögű koordinátarendszer x, y, z(a tengelyek szokásos elrendezésével) igaza van. Szintén jobb oldali hengeres koordinátarendszer r, j, z(de pontosan ezzel a koordináta-sorrenddel; ha megváltoztatja a koordináták sorrendjét, például r, z, j, már nem kapunk megfelelő rendszert).

A gömbkoordináta-rendszer is helyes (ha ilyen sorrendet állít be r, q, j).

Vegyük észre, hogy a derékszögű koordinátarendszerben az egységvektor iránya nem attól függ, hogy melyik ponttól M megrajzoljuk ezt a vektort; ugyanez igaz a vektorokra is. A görbe vonalú koordinátarendszerekben mást is megfigyelünk: például egy hengeres koordinátarendszerben vektorokat egy pontban Més egy másik ponton M 1-nek már nem kell párhuzamosnak lennie egymással. Ugyanez vonatkozik a vektorra is (különböző pontokon általában véve eltérő irányai vannak).

Így az egységnyi merőleges vektorok hármasa egy görbe vonalú koordinátarendszerben a pont helyzetétől függ M, amelyben ezeket a vektorokat figyelembe veszik. Az egységnyi merőleges vektorok hármasát mozgó keretnek nevezzük, magukat a vektorokat pedig egységortoknak (vagy egyszerűen ortoknak) nevezzük.