Szűrők típusai Butterworth LPF Chebyshev Type I LPF  Minimális szűrőrendelés LPF MOS-szal . Tanfolyam: Butterworth felüláteresztő szűrő Butterworth szűrő számítás

A Butterworth-szűrő frekvenciaválaszát az egyenlet írja le

A Butterworth szűrő jellemzői: nemlineáris fázisválasz; a pólusok számától független vágási frekvencia; a tranziens válasz oszcilláló jellege lépcsőzetes bemeneti jellel. A szűrő sorrendjének növekedésével az oszcillációs karakter növekszik.

Chebisev szűrő

A Csebisev szűrő frekvenciaválaszát az egyenlet írja le

Ahol T n 2 (ω/ω n ) a Csebisev-polinom n-edik sorrend.

A Csebisev-polinomot a rekurzív képlet számítja ki

A Chebisev-szűrő jellemzői: fokozott PFC-egyenetlenség; hullámos jellemző az áteresztősávban. Minél nagyobb a szűrő áteresztősávjának hullámossága, annál élesebb a gördülés az átmeneti tartományban ugyanabban a sorrendben. A tranziens folyamat fluktuációi lépésenként bemeneti jel erősebb, mint a Butterworth-szűrő. A Chebyshev szűrő pólusainak minőségi tényezője magasabb, mint a Butterworth szűrőé.

Bessel szűrő

A Bessel-szűrő frekvenciaválaszát az egyenlet írja le

Ahol
;B n 2 (ω/ω cp h ) a Bessel-polinom n-edik sorrend.

A Bessel-polinomot a rekurzív képlet számítja ki

A Bessel-szűrő jellemzői: meglehetősen egyenletes frekvencia- és fázisválasz, közelítve a Gauss-függvénnyel; a szűrő fáziseltolása arányos a frekvenciával, azaz. A szűrő frekvenciafüggetlen csoportkésleltetéssel rendelkezik. A vágási frekvencia a szűrőpólusok számának változásával változik. A szűrő frekvenciaátviteli gördülése általában laposabb, mint Butterworthé és Csebisevé. Ez a szűrő különösen alkalmas impulzusáramkörökhöz és fázisérzékeny jelfeldolgozáshoz.

Cauer szűrő (elliptikus szűrő)

A Cauer-szűrő átviteli funkciójának általános képe

A Cauer-szűrő jellemzői: egyenetlen frekvenciaátvitel az áteresztősávban és a leállítósávban; az összes fenti szűrő közül a legélesebb frekvencia-visszaesés; kisebb szűrősorrenddel valósítja meg a szükséges átviteli függvényeket, mint más típusú szűrők használatakor.

A szűrési sorrend meghatározása

A szükséges szűrési sorrendet az alábbi képletek határozzák meg, és a legközelebbi egész számra kerekítik. Butterworth szűrőrendelés

A Csebisev-szűrő sorrendje

A Bessel-szűrő esetében nincs képlet a sorrend kiszámítására, helyette olyan táblázatokat adunk meg, amelyek megfelelnek a szűrő sorrendjének, a késleltetési idő minimálisan szükséges eltérésével az egységtől egy adott frekvencián és a veszteségszint dB-ben).

A Bessel-szűrő sorrendjének kiszámításakor a következő paraméterek kerülnek beállításra:

Százalékos tolerancia a csoport késleltetéséhez adott frekvencián ω ω cp h ;

A szűrő erősítés csillapítási szintje dB-ben a frekvencián beállítható. ω tekintetében normalizálva ω cp h .

Ezen adatok alapján határozzuk meg a Bessel-szűrő szükséges sorrendjét.

Az 1. és 2. rendű aluláteresztő szűrőkaszkádok sémái

ábrán. A 12.4, 12.5 ábrák az LPF kaszkádok tipikus sémáit mutatják.

A) b)

Rizs. 12.4. Butterworth, Chebyshev és Bessel LPF kaszkádok: A - 1. rend; b - 2. rend

A) b)

Rizs. 12.5. Cauer LPF kaszkádok: A - 1. rend; b - 2. rend

Az 1. és 2. rendű LPF Butterworth, Chebisev és Bessel átviteli funkcióinak általános képe

,
.

Az 1. és 2. rendű Cauer LPF átviteli funkcióinak általános képe

,
.

A legfontosabb különbség a 2. rendű Cauer-szűrő és a csapdaszűrő között az, hogy a Cauer-szűrő átviteli funkciójában a frekvencia arány Ω s ≠ 1.

Butterworth, Chebisev és Bessel LPF kiszámításának módszere

Ez a technika a táblázatokban megadott együtthatókon alapul, és Butterworth, Chebyshev és Bessel szűrőkre érvényes. A Cauer-szűrők kiszámításának módszerét külön adjuk meg. Butterworth, Chebisev és Bessel LPF-jének kiszámítása a sorrend meghatározásával kezdődik. Minden szűrőnél be van állítva a minimális és maximális csillapítás, valamint a vágási frekvencia paraméterei. A Chebisev-szűrők esetében az áteresztősáv frekvenciaválasz-egyenetlenségének együtthatója is meghatározásra kerül, a Bessel-szűrők esetében pedig - csoportos idő késések. Ezt követően meghatározzuk a szűrő átviteli függvényét, amely a táblázatokból kivehető, és kiszámítjuk az 1. és 2. rendű kaszkádokat, a következő számítási sorrendet figyeljük meg:

A szűrő sorrendjétől és típusától függően a kaszkádok sémái kerülnek kiválasztásra, míg a páros sorrendű szűrő n/ 2 2. rendű kaszkád, a páratlan sorrendű szűrő pedig egy 1. rendű kaszkádból és ( n– 1) / 2 2. rendű kaszkád;

Az 1. sorrend kaszkádjának kiszámításához:

Az értéket a szűrő kiválasztott típusa és sorrendje határozza meg b 1 1. rendű kaszkád;

A foglalt terület csökkentésével a névleges kapacitás kerül kiválasztásra C és kiszámította R képlet szerint (választhat és R, de ajánlatos választani C, a pontosság érdekében)

;

A nyereséget kiszámítják NAK NEK nál nél U 1 az arányból meghatározott 1. rendű kaszkád

Ahol NAK NEK nál nél U a szűrő egészének nyeresége; NAK NEK nál nél U 2 , …, NAK NEK nál nél ENSZ– 2. rendű kaszkád nyereség;

Az erősítés megvalósításához NAK NEK nál nél U 1 az ellenállásokat a következő összefüggés alapján kell beállítani

R B = R A ּ (NAK NEK nál nél U1 –1) .

A 2. sorrend kaszkádjának kiszámításához:

Az elfoglalt terület csökkentésével a kapacitások megnevezése kerül kiválasztásra C 1 = C 2 = C;

Az együtthatók a táblázatok szerint kerülnek kiválasztásra b 1 énÉs K pi 2. rendű kaszkádokhoz;

A kondenzátorok adott értékének megfelelően C ellenállásokat számítanak ki R képlet szerint

;

A kiválasztott szűrőtípushoz be kell állítani a megfelelő erősítést NAK NEK nál nél Ui = 3 – (1/K pi) az ellenállások beállításával, az alábbi összefüggés alapján

R B = R A ּ (NAK NEK nál nél Ui –1) ;

Bessel-szűrők esetén szorozza meg az összes kapacitás értékét a szükséges csoportkésleltetéssel.

A Butterworth-szűrő frekvenciaválaszát az egyenlet írja le

Chebisev szűrő

A Csebisev szűrő frekvenciaválaszát az egyenlet írja le

Ahol T n 2 (ω/ω n ) a Csebisev-polinom n-edik sorrend.

A Csebisev-polinomot a rekurzív képlet számítja ki

A Chebisev-szűrő jellemzői: fokozott PFC-egyenetlenség; hullámos jellemző az áteresztősávban. Minél nagyobb a szűrő áteresztősávjának hullámossága, annál élesebb a gördülés az átmeneti tartományban ugyanabban a sorrendben. A tranziens ingadozás lépcsőzetes bemeneti jel esetén nagyobb, mint Butterworth szűrőnél. A Chebyshev szűrő pólusainak minőségi tényezője magasabb, mint a Butterworth szűrőé.

Bessel szűrő

A Bessel-szűrő frekvenciaválaszát az egyenlet írja le

Ahol
;B n 2 (ω/ω cp h ) a Bessel-polinom n-edik sorrend.

A Bessel-polinomot a rekurzív képlet számítja ki

Cauer szűrő (elliptikus szűrő)

A Cauer-szűrő átviteli funkciójának általános képe

A szűrési sorrend meghatározása

A szükséges szűrési sorrendet az alábbi képletek határozzák meg, és a legközelebbi egész számra kerekítik. Butterworth szűrőrendelés

A Csebisev-szűrő sorrendje

A Bessel-szűrő sorrendjének kiszámításakor a következő paraméterek kerülnek beállításra:

Százalékos tolerancia a csoport késleltetéséhez adott frekvencián ω ω cp h ;

A szűrő erősítés csillapítási szintje dB-ben a frekvencián beállítható. ω tekintetében normalizálva ω cp h .

Ezen adatok alapján határozzuk meg a Bessel-szűrő szükséges sorrendjét.

Az 1. és 2. rendű aluláteresztő szűrőkaszkádok sémái

ábrán. A 12.4, 12.5 ábrák az LPF kaszkádok tipikus sémáit mutatják.

A) b)

Rizs. 12.4. Butterworth, Chebyshev és Bessel LPF kaszkádok: A - 1. rend; b - 2. rend

A) b)

Rizs. 12.5. Cauer LPF kaszkádok: A - 1. rend; b - 2. rend

Az 1. és 2. rendű LPF Butterworth, Chebisev és Bessel átviteli funkcióinak általános képe

,
.

Az 1. és 2. rendű Cauer LPF átviteli funkcióinak általános képe

,
.

A legfontosabb különbség a 2. rendű Cauer-szűrő és a csapdaszűrő között az, hogy a Cauer-szűrő átviteli funkciójában a frekvencia arány Ω s ≠ 1.

Butterworth, Chebisev és Bessel LPF kiszámításának módszere

Ez a technika a táblázatokban megadott együtthatókon alapul, és Butterworth, Chebyshev és Bessel szűrőkre érvényes. A Cauer-szűrők kiszámításának módszerét külön adjuk meg. Butterworth, Chebisev és Bessel LPF-jének kiszámítása a sorrend meghatározásával kezdődik. Minden szűrőnél be van állítva a minimális és maximális csillapítás, valamint a vágási frekvencia paraméterei. Csebisev-szűrők esetén az áteresztősávban a frekvenciaválasz hullámossága, a Bessel-szűrők esetében pedig a csoportkésleltetés is meghatározásra kerül. Ezt követően meghatározzuk a szűrő átviteli függvényét, amely a táblázatokból kivehető, és kiszámítjuk az 1. és 2. rendű kaszkádokat, a következő számítási sorrendet figyeljük meg:

Az 1. sorrend kaszkádjának kiszámításához:

Az értéket a szűrő kiválasztott típusa és sorrendje határozza meg b 1 1. rendű kaszkád;

A foglalt terület csökkentésével a névleges kapacitás kerül kiválasztásra C és kiszámította R képlet szerint (választhat és R, de ajánlatos választani C, a pontosság érdekében)

;

A nyereséget kiszámítják NAK NEK nál nél U 1 az arányból meghatározott 1. rendű kaszkád

Ahol NAK NEK nál nél U a szűrő egészének nyeresége; NAK NEK nál nél U 2 , …, NAK NEK nál nél ENSZ– 2. rendű kaszkád nyereség;

Az erősítés megvalósításához NAK NEK nál nél U 1 az ellenállásokat a következő összefüggés alapján kell beállítani

R B = R A ּ (NAK NEK nál nél U1 –1) .

A 2. sorrend kaszkádjának kiszámításához:

Az elfoglalt terület csökkentésével a kapacitások megnevezése kerül kiválasztásra C 1 = C 2 = C;

Az együtthatók a táblázatok szerint kerülnek kiválasztásra b 1 énÉs K pi 2. rendű kaszkádokhoz;

A kondenzátorok adott értékének megfelelően C ellenállásokat számítanak ki R képlet szerint

;

A kiválasztott szűrőtípushoz be kell állítani a megfelelő erősítést NAK NEK nál nél Ui = 3 – (1/K pi) az ellenállások beállításával, az alábbi összefüggés alapján

R B = R A ּ (NAK NEK nál nél Ui –1) ;

Bessel-szűrők esetén szorozza meg az összes kapacitás értékét a szükséges csoportkésleltetéssel.

A DF FREKVENCIATULAJDONSÁGÁNAK ÁTALAKÍTÁSA (LPF --> LPF1)

A DF FREKVENCIATULAJDONSÁGÁNAK ÁTALAKÍTÁSA (LPF --> HPF)

A DF FREKVENCIATULAJDONSÁGÁNAK ÁTALAKÍTÁSA (LPF --> PF)

A DF FREKVENCIATULAJDONSÁGÁNAK ÁTALAKÍTÁSA (LPF --> RF)

Butterworth szűrő 4 rendelés

A DF FREKVENCIATULAJDONSÁGÁNAK ÁTALAKÍTÁSA (LPF --> LPF1)

A DF FREKVENCIATULAJDONSÁGÁNAK ÁTALAKÍTÁSA (LPF --> HPF)

A DF FREKVENCIATULAJDONSÁGÁNAK ÁTALAKÍTÁSA (LPF --> PF)

A DF FREKVENCIATULAJDONSÁGÁNAK ÁTALAKÍTÁSA (LPF --> RF)

Csebisev szűrő 3 rendelés

A DF FREKVENCIATULAJDONSÁGÁNAK ÁTALAKÍTÁSA (LPF --> LPF1)

A DF FREKVENCIATULAJDONSÁGÁNAK ÁTALAKÍTÁSA (LPF --> HPF)

A DF FREKVENCIATULAJDONSÁGÁNAK ÁTALAKÍTÁSA (LPF --> PF)

A DF FREKVENCIATULAJDONSÁGÁNAK ÁTALAKÍTÁSA (LPF --> RF)

Csebisev szűrő 4 rendelés

A DF FREKVENCIATULAJDONSÁGÁNAK ÁTALAKÍTÁSA (LPF --> LPF1)

A DF FREKVENCIATULAJDONSÁGÁNAK ÁTALAKÍTÁSA (LPF --> HPF)

A DF FREKVENCIATULAJDONSÁGÁNAK ÁTALAKÍTÁSA (LPF --> PF)

A DF FREKVENCIATULAJDONSÁGÁNAK ÁTALAKÍTÁSA (LPF --> RF)

3. rendű Bessel szűrő

A DF FREKVENCIATULAJDONSÁGÁNAK ÁTALAKÍTÁSA (LPF --> LPF1)

A DF FREKVENCIATULAJDONSÁGÁNAK ÁTALAKÍTÁSA (LPF --> HPF)

A DF FREKVENCIATULAJDONSÁGÁNAK ÁTALAKÍTÁSA (LPF --> PF)

A DF FREKVENCIATULAJDONSÁGÁNAK ÁTALAKÍTÁSA (LPF --> RF)

4 rendeljen Bessel szűrőt

A DF FREKVENCIATULAJDONSÁGÁNAK ÁTALAKÍTÁSA (LPF --> LPF1)

A DF FREKVENCIATULAJDONSÁGÁNAK ÁTALAKÍTÁSA (LPF --> HPF)

A DF FREKVENCIATULAJDONSÁGÁNAK ÁTALAKÍTÁSA (LPF --> PF)

A DF FREKVENCIATULAJDONSÁGÁNAK ÁTALAKÍTÁSA (LPF --> RF)

Elemezze a digitális aluláteresztő szűrő együtthatóinak beállítási hibáinak a frekvenciamenetre gyakorolt hatását (egyik b együttható megváltoztatásával j). Ismertesse a frekvenciaválasz változásának természetét! Vegyünk egy következtetést az egyik együttható megváltoztatásának a szűrő viselkedésére gyakorolt hatásáról.

Elemezzük a digitális aluláteresztő szűrő együtthatóinak beállítási hibáinak a frekvenciaválaszra gyakorolt hatását egy 4. rendű Bessel-szűrő példáján.

Az ε együtthatók eltérésének értékét –1,5%-kal választjuk meg úgy, hogy a frekvenciamenet maximális eltérése 10% körül legyen.

Az "ideális" szűrő és az ε értékkel módosított együtthatójú szűrők frekvenciaválaszát az ábra mutatja:

ÉS

Az ábráról látható, hogy a b 1 és b 2 együtthatók változása befolyásolja legnagyobb mértékben a frekvenciamenetet (értékük meghaladja a többi együttható értékét). ε negatív értékével megjegyezzük, hogy a pozitív együtthatók csökkentik az amplitúdót a spektrum alsó részén, míg a negatív együtthatók növelik. ε pozitív értékénél minden fordítva történik.

Kvantálja a digitális szűrő együtthatóit annyi bináris számjeggyel, hogy a frekvenciaválasz maximális eltérése az eredetitől kb. 10-20%. Vázolja fel a frekvenciamenetet, és írja le változásának természetét!

Az együtthatók tört részének számjegyeinek megváltoztatásával b j vegye figyelembe, hogy a frekvenciaválasz eredetitől való maximális eltérése, amely nem haladja meg a 20%-ot, n≥3 esetén érhető el.

Frekvenciaválasz típusa különböző nábrákon látható:

n \u003d 3, a frekvenciaválasz maximális eltérése \u003d 19,7%

n \u003d 4, a frekvenciaválasz maximális eltérése \u003d 13,2%

n \u003d 5, a frekvenciaválasz maximális eltérése \u003d 5,8%

n \u003d 6, a frekvenciaválasz maximális eltérése \u003d 1,7%

Megállapítható tehát, hogy a szűrőegyütthatók kvantálása során a bitmélység növekedése ahhoz vezet, hogy a szűrő frekvenciaválasza egyre inkább az eredetihez hajlik. Meg kell azonban jegyezni, hogy ez bonyolítja a szűrő fizikai megvalósítását.

Kvantálás különböző nábrán látható:

Terv:

1. Áttekintés
- 1.1 Normalizált Butterworth-polinomok
- 1.2 Maximális simaság
- 1.3 Hanyatlási jellemzők bekapcsolva magas frekvenciák
2 Szűrő tervezés
- 2.1 Cauer topológia
- 2.2 Sallen-Kay topológia
3 Összehasonlítás más lineáris szűrőkkel
4 Példa

Bevezetés

Butterworth szűrő- az elektronikus szűrők egyik fajtája. Az ebbe az osztályba tartozó szűrők tervezési módszerükben különböznek a többitől. A Butterworth szűrőt úgy tervezték, hogy frekvenciaválasza a lehető legsimább legyen az áteresztő sáv frekvenciáin.

Az ilyen szűrőket először Stephen Butterworth brit mérnök írta le A szűrőerősítők elméletéről című cikkében. A szűrőerősítők elméletéről ), A magazinban Vezeték nélküli mérnök 1930-ban.

1. Áttekintés

A Butterworth szűrő frekvenciaválasza a lehető legsimább az áteresztő sáv frekvenciáin, és majdnem nullára csökken az elnyomási frekvenciákon. Ha egy Butterworth-szűrő frekvenciaválaszát logaritmikus fázisválaszon jelenítjük meg, az amplitúdó a mínusz végtelen felé csökken a vágási frekvenciákon. Elsőrendű szűrő esetén a frekvenciamenet -6 decibel/oktáv (-20 decibel/dekád) sebességgel csökken (valójában minden elsőrendű szűrő típustól függetlenül azonos és azonos frekvencia válasz). Másodrendű Butterworth-szűrő esetén a frekvenciamenet oktávonként -12 dB-lel, harmadrendű szűrőnél -18 dB-lel, és így tovább. A Butterworth szűrő frekvenciaválasza a frekvencia monoton csökkenő függvénye. A Butterworth szűrő az egyetlen szűrő, amely megőrzi a frekvenciamenet alakját magasabb sorrendben (kivéve a meredekebb gördülést a vágásnál), míg sok más típusú szűrő (Bessel-szűrő, Csebisev-szűrő, elliptikus szűrő) eltérő alakú. a frekvencia átvitel különböző sorrendben.

Az I. és II. típusú Chebyshev szűrőhöz vagy egy elliptikus szűrőhöz képest a Butterworth szűrő laposabb gördüléssel rendelkezik, ezért nagyobb rend(amit nehezebb megvalósítani), hogy a kívánt teljesítményt biztosítsuk az elnyomó sáv frekvenciáin. A Butterworth-szűrőnek azonban lineárisabb a fázisválasza az áteresztősáv-frekvenciákon.

Frekvenciaválasz Butterworth aluláteresztő szűrők esetén 1-től 5-ig terjedő nagyságrendű. A karakterisztika meredeksége 20 n dB/évtized, ahol n- szűrőrendelés.

Mint minden szűrő esetében frekvencia jellemzők aluláteresztő szűrőt használnak, amelyből könnyen beszerezhető aluláteresztő szűrő, illetve több ilyen szűrő sorba kapcsolásával sávszűrőt vagy rovátkolt szűrőt.

Egy harmadrendű Butterworth-szűrő frekvenciaválaszát az átviteli függvényből kaphatjuk meg:

Könnyen belátható, hogy végtelen értékek esetén a frekvenciamenet téglalap alakú függvény lesz, és a vágófrekvencia alatti frekvenciákat erősítéssel, míg a vágási frekvencia feletti frekvenciákat teljesen elnyomják. Véges értékek esetén a karakterisztika csillapítása enyhe lesz.

Formális helyettesítés segítségével a kifejezést a következő formában ábrázoljuk:

Az átviteli függvény pólusai a bal félsíkban egymástól egyenlő távolságra lévő sugarú körön helyezkednek el. Vagyis egy Butterworth-szűrő átviteli függvénye csak úgy határozható meg, hogy meghatározzuk az átviteli függvényének pólusait az s-sík bal félsíkjában. -a pólust a következő kifejezés határozza meg:

Az átviteli függvény a következőképpen írható fel:

Hasonló megfontolások vonatkoznak a digitális Butterworth szűrőkre is, azzal a különbséggel, hogy az arányokat nem írják le s-repülőgép, és számára z-repülőgép.

Ennek az átviteli függvénynek a nevezőjét Butterworth-polinomnak nevezzük.

1.1. Normalizált Butterworth-polinomok

A Butterworth-polinomok felírhatók összetett formában is, amint az fent látható, de általában valós együtthatós arányként írják fel őket (a komplex konjugált párokat szorzással kombinálják). A polinomokat a vágási frekvencia normalizálja: . A normalizált Butterworth-polinomok tehát a következő kanonikus formájúak:

, - Páros Páratlan

Alább láthatók a Butterworth-polinomok együtthatói az első nyolc rendhez:

	Polinom együtthatók
1
2
3
4
5
6
7
8

1.2. Maximális simaság

Ha és , az amplitúdókarakterisztika deriváltja a frekvenciához képest így fog kinézni:

Ez mindenkinél monoton csökken, mivel a nyereség mindig pozitív. Így a Butterworth szűrő frekvenciaválaszának nincs hullámossága. Ha az amplitúdó karakterisztikáját sorozatban bővítjük, a következőt kapjuk:

Más szóval, az amplitúdó-frekvencia karakterisztika összes deriváltja a frekvenciához képest 2-ig n-edik értéke nulla, ami a "maximális simaságot" jelenti.

1.3. Rolloff magas frekvencián

Elfogadása után megtaláljuk a frekvenciamenet logaritmusának meredekségét magas frekvenciákon:

Decibelben a nagyfrekvenciás aszimptota meredeksége -20 n dB/évtized.

2. Szűrő kialakítása

Számos különböző szűrőtopológia létezik, amelyek lineáris analóg szűrőket valósítanak meg. Ezek a sémák csak az elemek értékében különböznek, a szerkezet változatlan marad.

2.1. Cauer topológia

A Cauer-topológia passzív elemeket (kapacitásokat és induktivitásokat) használ. Egy adott átviteli függvényt tartalmazó Butteworth szűrő 1-es típusú Cauer formájában konstruálható. kth elem a szűrőt a következő adja:

; k értéke páratlan; k páros

2.2. Sallen-Kay topológia

A Sallen-Kay topológia a passzív elemek mellett aktív elemeket is használ ( műveleti erősítőkés konténerek). A Sallen-Kay áramkör minden szakasza a szűrő része, amelyet matematikailag egy összetett konjugált póluspár ír le. A teljes szűrőt úgy kapjuk meg, hogy az összes fokozatot sorba kapcsoljuk. Ha egy valódi pólus találkozik, akkor azt külön kell megvalósítani, általában RC lánc formájában, és bele kell foglalni a teljes áramkörbe.

Átviteli funkció a Sallen-Kay séma minden szakaszának a következő formája van:

A nevezőnek a Butterworth-polinom egyik tényezőjének kell lennie. Ha vesszük, a következőket kapjuk:

Az utolsó reláció két ismeretlent ad, amelyek tetszőlegesen választhatók.

3. Összehasonlítás más lineáris szűrőkkel

Az alábbi ábra a Butterworth szűrő frekvenciaválaszát mutatja a többi népszerű, azonos (ötödik) sorrendű lineáris szűrőhöz képest:

Az ábrán látható, hogy a Butterworth szűrő a négy közül a leglassabban gördül le, de az áteresztő sáv frekvenciáin is ez a legsimább frekvenciamenet.

4. Példa

Analóg aluláteresztő Butterworth-szűrő (Cauer-topológia), vágási frekvenciával a következő elemértékekkel: farad, ohm és henry.

A H(s) átviteli függvény sűrűségének logaritmikus diagramja a komplex argumentumsíkon egy harmadrendű Butterworth-szűrőhöz vágási gyakorisággal. A három pólus egy egységsugarú körön fekszik a bal félsíkban.

Vegyünk egy harmadrendű analóg aluláteresztő Butterworth szűrőt faraddal, ohmmal és henryvel. Jelölve impedancia konténerek C Hogyan 1/Csés az induktorok impedanciája L Hogyan Ls, ahol egy összetett változó, és az egyenletek segítségével számítjuk ki elektromos áramkörök, a következő átviteli függvényt kapjuk egy ilyen szűrőhöz:

A frekvenciaválaszt a következő egyenlet adja meg:

és a PFC-t a következő egyenlet adja meg:

A csoportkésleltetést úgy határozzuk meg, hogy mínusz a fázis deriváltja a körfrekvenciához képest, és a jel különböző frekvenciákon jelentkező fázistorzításának mértéke. Egy ilyen szűrő logaritmikus frekvenciaválaszának nincs hullámossága sem az áteresztősávban, sem az elnyomási sávban.

Az átviteli függvény modulusának diagramja on összetett sík egyértelműen három pólust jelez a bal félsíkban. Az átviteli függvényt teljes mértékben az határozza meg, hogy ezek a pólusok az egységkörön a valós tengelyre szimmetrikusan helyezkednek el.

Minden induktivitást kapacitásra, a kapacitásokat pedig induktivitásra cserélve Butterworth felüláteresztő szűrőt kapunk.

És egy harmadrendű Butterworth-szűrő csoportkésleltetése vágási frekvenciával

Irodalom

V.A. Lucas Az automatikus vezérlés elmélete. - M.: Nedra, 1990.
B.H. Krivitsky Szakkönyv elméleti alapok rádióelektronika. - M .: Energia, 1977.
Miroslav D. Lutovac Szűrőtervezés jelfeldolgozáshoz MATLAB© és Mathematica© segítségével. - New Jersey, USA.: Prentice Hall, 2001. - ISBN 0-201-36130-2
Richard W Daniels Közelítési módszerek az elektronikus szűrőtervezéshez. - New York: McGraw-Hill, 1974. - ISBN 0-07-015308-6
Steven W. Smith Tudományos és mérnöki útmutató a digitális jelfeldolgozáshoz. -Második kiadás. - San Diego: California Technical Publishing, 1999. - ISBN 0-9660176-4-1
Britton C. Rorabaugh Közelítési módszerek az elektronikus szűrőtervezéshez. - New York: McGraw-Hill, 1999. - ISBN 0-07-054004-7
B. Widrow, S.D. Stearns Adaptív jelfeldolgozás. - Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1985. - ISBN 0-13-004029-0
S. Haykin Adaptív szűrőelmélet. - 4. kiadás. - Paramus, NJ: Prentice-Hall, 2001. - ISBN 0-13-090126-1
Michael L. Honig, David G. Messerschmitt Adaptív szűrők – struktúrák, algoritmusok és alkalmazások. - Hingham, MA: Kluwer Academic Publishers, 1984. - ISBN 0-89838-163-0
J.D. Markel, A.H. Grey, Jr. A beszéd lineáris előrejelzése. - New York: Springer-Verlag, 1982. - ISBN 0-387-07563-1
L.R. Rabiner, R.W. Schafer Beszédjelek digitális feldolgozása. - Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1978. - ISBN 0-13-213603-1
Richard J Higgins Digitális jelfeldolgozás VLSI-ben. - Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1990. - ISBN 0-13-212887-X
A. V. Oppenheim, R. W. Schafer Digitális jelfeldolgozás. - Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1975. - ISBN 0-13-214635-5
L. R. Rabiner, B. Gold A digitális jelfeldolgozás elmélete és alkalmazása. - Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1986. - ISBN 0-13-914101-4
John G. Proakis, Dimitris G. Manolakis Bevezetés a digitális jelfeldolgozásba. - Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1988. - ISBN 0-02-396815-X