Digitális szűrők véges bitmélységének hatásai
Az LDS elemzésekor azt feltételeztük, hogy a jelek mintavételezése csak időben történt, és a mintamintákat és a szűrőegyütthatókat korlátlan pontossággal ábrázoltuk. Azonban a valós ill digitális rendszerekben a számítások pontossága korlátozott, és a használt eszközök bitszámától függ: ADC-k, regiszterek, összeadók, szorzók. Ez a körülmény a következő hatásokhoz vezet:
Kvantálási zaj az analóg-digitális átalakítás során;
Közbenső számítások eredményeinek kerekítése;
Torzítások frekvencia jellemzők a digitális szűrőegyütthatók kvantálása miatt;
A bitrács túlcsordulása a számítások során;
Alacsony szintű határciklusok.
Kvantálási zaj
A kvantálási zaj az idő-diszkrét jelminták és korlátozott bitmélységű digitális megjelenítésük közötti véletlenszerű hibákra utal.
Feltételezzük, hogy a szomszédos kvantálási zajminták nem korrelálnak egymással. A kvantálási zaj pedig „fehér”.
A kvantálási zaj valószínűségi sűrűsége egy egységes eloszlási törvénynek felel meg:
, (2.1)
ahol a kvantálási intervallum szintenként.
A kvantálási zaj szórását az eloszlási törvény határozza meg:
. (2.2)
Ha a kvantált jel maximális értéke egyenlő, akkor a kvantálási intervallum egyenlő:
,
ahol a digitális eszköz számjegyeinek száma.
A kvantálási zaj teljesítményspektrális sűrűségét a következő képlet adja meg:
,
ahol DT a mintavételi intervallum.
Például a vevő eszköz erősítését az ADC bemenet előtt úgy választjuk meg, hogy a vevőkészülék hőszintje meghaladja spektrális sűrűség kvantálási zaj.
A bemeneti kvantálási zaj hozzájárulását a digitális szűrő kimeneti jeléhez a következő képlet adja meg:
.
Ennek megfelelően a kimeneti kvantálási zaj varianciája:
Irodalom
Markovich I.I. Digitális jelfeldolgozás rendszerekben és eszközökben: monográfia / I.I. Markovich; Déli Szövetségi Egyetem. – Rostov n/d: Southern Federal University Publishing House, 2012. – 236 p.
A digitális jelfeldolgozás alapjai: oktatóanyag/ Yu.A. Bryukhanov, A.A. Priorov, V.I. Dzhigan, V.V. Hryascsov; Yarosl. állapot Erről elnevezett egyetem P.G. Demidova. - Jaroszlavl: YarSU, 2013. – 344 p. (152. o.)
Kartashov V.G. A diszkrét jelek és digitális szűrők elméletének alapjai. – M.: Feljebb. iskola, 1982. – 109. (86. o.)
Egy helyesen megválasztott mintavételi frekvencia esetén a Kotelnyikov-tétel alapján az analóg jel digitálissá alakításának pontosságát a kvantálási lépés nagysága határozza meg Minél kisebb a kvantálási lépés, annál kisebb az átalakítási hiba. Az eredeti és a kvantált jelértékek közötti különbséget diszkrét időpontokban kvantálási zajnak (kvantálási hiba) nevezzük.
A kvantálási zaj, a fluktuációs zajtól eltérően, általában nem véletlenszerű. Ezért helyesebb jeltorzításról beszélni az analóg-digitális átalakítás során. A bemeneti analóg jel rögzített maximális szintjénél a kvantálási zajt a kvantálási szintek száma – az analóg-digitális átalakító (ADC) bitkapacitása – határozza meg.
Ha bináris számokkal és m bites kódszóhosszúsággal kódolunk, a bináris kódszavak száma r (felbontás). Tehát m = 16, r = 65536.
Az ADC kimenetén lévő kódszavak folyamát az adatátviteli sebesség jellemzi - az 1 másodperc alatt továbbított információ bitek száma. Az adatátviteli sebesség a kódszó bitjei számának és a mintavételi frekvenciának (hertzben) szorzata. Az adatáramlási sebesség és a jel időtartamának szorzataként határozzuk meg, hogy egy adott időtartamú jel megvalósításával kapcsolatos információk tárolásához mennyi memória szükséges.
Lineáris impulzuskód modulációval (PCM), azaz. egységes kvantálási lépésnél a kvantálási zajteljesítményt csak a kvantálási lépés határozza meg:
ahol a jel teljes dinamikatartománya.
A tényleges kvantálási hiba értéke:
A kvantálási zaj lineáris PCM esetén egy véletlenszerű folyamat, amelynek egyenletes kiterjedése a valószínűségi sűrűségen belül. A kvantálási zaj spektruma egyenletes a frekvenciasávban.
A kvantálási zaj csak akkor jelenik meg, ha jel van jelen. Ha nincs jel az ADC bemeneten, az ADC legkisebb szignifikáns bitjében lévő fluktuációk kvantálása megtörténik az ADC kimeneten. Ez az ADC bemeneti analóg részeiben termikus zaj jelenlétével, a tápfeszültség instabilitásával és az erősítők egyenáramú komponensének eltolódásával magyarázható. egyenáramés egyéb okok miatt. A DAC (digitális-analóg konverter) kimenetén ez a kvantált fluktuáció zajmá alakul, amelyet szünetzajnak neveznek. A szünetzaj kevésbé egyenletes, mint az analóg eszközökben található fehér zaj, és gyakran szemcsésnek nevezik. Zajteljesítmény szüneteltetése:
4,7 dB-lel több kvantálási zaj.
Mivel ez nem szinttől függ bemeneti jel, a bemeneti teljesítmény növekedésével az arány lineárisan növekszik, amíg a vágási zaj meg nem jelenik. Az ADC bemeneti határszintjét az ADC maximális bemeneti üzemi feszültsége határozza meg. A klipzaj az eredeti és a vágott jelek közötti különbség. Az ADC rendszert úgy tervezték, hogy ne merüljön fel korlát, pl.
itt R a jel csúcstényezője; S SR – a jel négyzetes középértéke.
A lépések száma a kapcsolatból határozható meg:
hol vannak a maximális és minimális jelértékek az ADC bemeneten;
Kvantálási lépés.
A (9.6), (9.9), (9.10) kifejezéseket figyelembe véve megkapjuk a zajteljesítmény kifejezését.
A jelteljesítmény 1 ohm ellenállásnál, akkor
vagy decibelben
Akkor m-bites kódolással
A harmonikus jelnek ebben az esetben van egy csúcstényezője
A sugárzott jelek esetében a csúcstényező a műsor műfajától függ. Ha átlagosan R=13 dB-t feltételezünk, akkor
Ha figyelembe vesszük a hallgató hallásának eltérő érzékenységét a különböző frekvenciájú zajkomponensekre, a jel-kvantálási zaj arány 8,5 dB-lel csökken a 15 kHz-ig terjedő frekvenciasávban, és eléri a következőt:
Dinamikus hatókör digitális jelértékkel becsülve, dB-ben, figyelembe véve azt, amit kapunk
A (9.15) kifejezésből világos, hogy a bitek számának eggyel történő növelése a jel-zaj arány 6 dB-lel történő javulását eredményezi.
A 9.2. Megjelenik a jel-zaj arány függősége 3V-os jeleknél különböző m értékeknél a bemeneti jelszinttől (9.17).
16 bites kvantálásnál a harmonikus jelre D = 90 dB, S-N = 98 B (a 9.15, 9.18 kifejezésekből). Az S-N arány a (9.17) képlettel számolva 80 dB-nek bizonyul, ha maximális szintű jelet kódolunk. Gyenge jelek kódolásakor az arány S-Sh kevesebb a jel dinamikatartományának értékén, és D=50...60 dB-nél nagyon kicsinek bizonyul.
80 -70 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0
9.2. PCM jel-zaj arány
A jel szint szerinti kvantálása az analóg-digitális jelátalakítás fő művelete, és a pillanatnyi értékeknek a legközelebbi megengedettre kerekítéséből áll. Egyenletes kvantálás esetén a kvantálási szintek közötti távolság azonos. Egy jel kvantálásakor hibák lépnek fel, amelyek nagysága véletlenszerű és egyenletes eloszlású, nem haladja meg a kvantálási lépés felét. A kvantálás utáni jel az eredeti jel és a hibajel összege, amelyet ingadozási zajként érzékelünk.
A kvantálási zaj elleni védelem a leggyengébb jelek esetén egyenletes kvantálás mellett:
– a PM-csatorna psosometriai együtthatója 0,75;
– a jel dinamikus tartománya egyenlő 
, dB;
m – a bitek száma a bináris kódban.
5.2. táblázat. Kezdeti adatok
Jelszintek:
Jel dinamikus tartománya:
Szükséges számjegyek száma:
– kód bitmélysége az egyenletes kvantáláshoz.
Az egyenletes kvantálás lépéseinek száma a következő lesz:
Következtetés: adott biztonsággal egységes kóddal történő kódoláshoz egy bitmélységű kódra lesz szükség.
5.2.2. Egyenetlen kvantálási zaj
A valódi PCM rendszerek nem egységes kvantálást használnak. Egyenetlen kvantálás - a karakterisztika meredekségének csökkentése a kvantálási lépések méretének csökkentésével kis pillanatnyi jelértékeknél a lépések növelésével nagy értékeknél.
Az egyenetlen kódoláshoz 8 bites kódokat használnak, pl. a kvantálási szintek száma 256.
A dinamikatartomány tömörítését az A vagy m tömörítési karakterisztika segítségével hajtják végre. Esetünkben a tömörítési karakterisztikát használjuk, amelyet a következő kifejezés ír le:
Rizs. 5.2.2. Kompressziós jellemző
A DSP szegmentált, nem egységes kvantálási jellemzőket használ, mert digitális alapon egészen egyszerűen megvalósíthatók. A karakterisztika 0-hoz képest szimmetrikus, pozitív és negatív ágai 8 szegmensből állnak, mindegyik szegmens 16 azonos lépésre van felosztva (minden szegmensen belül a kvantálás egységes).
A szegmensek egy sima A típusú tömörítési görbét közelítenek A nulla és az első szegmensben a lépés minimális, és minden további szegmensben a lépés mérete megduplázódik az előzőhöz képest.
A kvantálási zaj elleni védelem kifejezése az első két szegmensben a következő lesz:
2-7 szegmenshez:
ahol i a szegmens száma.
A grafikon eleje - egy ferde egyenes - a nulla és az első szakasznak felel meg. Ez egy egységes kvantálási zóna, így a jelszint növekedésével arányosan nő a biztonság. A második szegmensre lépve a biztonság hirtelen, 6 dB-lel csökken. A 7. szegmens felső határának elérésekor túlterhelési zóna lép fel.
Szinte minden DSP állandó Td periódusú jelmintavételezést használ, és az ettől a periódustól való eltérések véletlenszerűek. Ezek az eltérések a vett jel alakjának megváltozásához vezetnek, amit szubjektíven mintavételezési zajnak nevezett jellegzetes interferenciaként érzékelünk.
A t i értékeit elsősorban az impulzusok alacsony frekvenciájú fázisingadozásai határozzák meg, amelyeket az adóállomás lineáris regenerátorainak pontatlansága okoz.
Jeltűrés a mintavételi zaj ellen:
Elfogadható relatív értékek a mintavételi nyomatékok elmozdulásai;
ahol a fő oszcillátorok instabilitása által okozott eltérés nagysága;
ahol a fázisingadozások okozta eltérés nagysága.
Mintavételi időszak
63 dB - szükséges védettség a mintavételezési zaj ellen
Mert , Ez:
Következtetés: a mintavételezési zajokkal szembeni elfogadható védettség biztosítása érdekében a mintavételi időszak nem térhet el 20 ns-nál nagyobb mértékben.
Kvantálási zaj
Egységes kvantálási zaj
A jel szint szerinti kvantálása az analóg-digitális jelátalakítás fő művelete, és a pillanatnyi értékeknek a legközelebbi megengedettre kerekítéséből áll. Egyenletes kvantálás esetén a kvantálási szintek közötti távolság azonos. Egy jel kvantálásakor hibák lépnek fel, amelyek nagysága véletlenszerű és egyenletes eloszlású, nem haladja meg a kvantálási lépés felét. A kvantálás utáni jel az eredeti jel és a hibajel összege, amelyet ingadozási zajként érzékelünk.
A kvantálási zaj elleni védelem a leggyengébb jelek esetén egyenletes kvantálás mellett:
Pszofometrikus együttható 0,75 a PM-csatornára;
A jel dinamikus tartománya, egyenlő, dB;
m a bitek száma a bináris kódban.
5.2. táblázat. Kezdeti adatok
Jelszintek:
Jel dinamikus tartománya:
Szükséges számjegyek száma:
Kódbitmélység egyenletes kvantálás mellett.
Az egyenletes kvantálás lépéseinek száma a következő lesz:
Következtetés: egy egységes kóddal való kódoláshoz egy adott biztonsággal egy bitmélységű kódra lesz szükség.
Egyenetlen kvantálási zaj
A valódi PCM rendszerek nem egységes kvantálást használnak. Egyenetlen kvantálás - a karakterisztika meredekségének csökkentése a kvantálási lépések méretének csökkentésével kis pillanatnyi jelértékeknél a lépések növelésével nagy értékeknél.
Az egyenetlen kódoláshoz 8 bites kódokat használnak, pl. a kvantálási szintek száma 256.
A dinamikatartomány tömörítése az A - vagy - tömörítési karakterisztika használatával történik. Esetünkben a tömörítési karakterisztikát használjuk, amelyet a következő kifejezés ír le:
Rizs. 5.2.2. Kompressziós jellemző
A DSP szegmentált, nem egységes kvantálási jellemzőket használ, mert digitális alapon egészen egyszerűen megvalósíthatók. A karakterisztika 0-hoz képest szimmetrikus, pozitív és negatív ágai 8 szegmensből állnak, mindegyik szegmens 16 azonos lépésre van felosztva (minden szegmensen belül a kvantálás egységes).
A szegmensek egy sima A típusú tömörítési görbét közelítenek A nulla és az első szegmensben a lépés minimális, és minden további szegmensben a lépés mérete megduplázódik az előzőhöz képest.
A kvantálási zaj elleni védelem kifejezése az első két szegmensben a következő lesz:
2-7 szegmenshez:
ahol i a szegmens száma.
A grafikon eleje - egy ferde egyenes - a nulla és az első szakasznak felel meg. Ez egy egységes kvantálási zóna, így a jelszint növekedésével arányosan nő a biztonság. A második szegmensre lépve a biztonság hirtelen, 6 dB-lel csökken. A 7. szegmens felső határának elérésekor túlterhelési zóna lép fel.
Hangszeres zajok
Az átalakulás folyamatában analóg jel A digitálisban zaj jelenik meg a végberendezésben, amelyet a konverter jellemzőinek az ideálistól való eltérése határoz meg. Ezeket az eltéréseket az egyes alkatrészek korlátozott sebessége és véges működési pontossága, az átalakító paramétereinek hőmérséklet-ingadozások miatti változása, a készülékek elöregedése stb. A műszeres zaj szintje az átviteli sebesség és a kódbitmélység növekedésével nő.
A kvantálási zaj és a műszeres zaj kapcsolata:
A csökkentett műszeres konverziós hiba négyzetes középértéke;
Kód szélessége.
Nem egységes kvantáláshoz:
Az egységes kvantáláshoz:
Következtetés : nem egyenletes kvantálásnál a műszeres zaj ereje jóval kisebb, mint egyenletes kvantálásnál, ezért célszerű nem egységes kvantálást alkalmazni.
Üresjárati csatornazaj
Bemeneti jelek hiányában gyenge interferencia lép fel a kódoló bemenetén, amely magában foglalja az önzajt és a tranziens interferenciát, a kiegyensúlyozatlan impulzusmaradékokat stb. Ha kiderül, hogy a kódoló karakterisztika olyan módon eltolódott, hogy a nulla bemeneti jel szintje egybeesik a kódoló döntési szintjével, akkor bármilyen tetszőlegesen kis amplitúdójú interferencia a kódkombináció megváltozásához vezet. Ebben az esetben a dekóder kimenőjele egy téglalap alakú impulzus, kilengéssel (a minimális kvantálási lépés értéke) és véletlenszerű nulla átlépési momentumokkal. A keletkező zajt üresjárati csatornazajnak nevezzük. Kis értékük ellenére úgy tűnik, hogy ezeket a zajokat nem „takarja” a jel, ami az előfizetők számára észrevehető.
Az üresjárati csatorna zajtűrése nem lehet kisebb, mint:
ahol a a jel csúcstényezője, és az egyenletes és nem egyenletes kvantálás minimális kvantálási lépése.
Egységes kvantálás:
Nem egységes kvantálás:
Következtetés: egyenetlen kvantálás esetén az üresjárati csatorna interferencia elleni védettsége 12,1 dB-lel magasabb, mint egyenletes kvantálás esetén.
A bemeneti jel analógból digitális formába történő átalakítása során hibák lépnek fel, ha a jelet véges, korlátozott számú szintre kvantáljuk. A hiba természetének feltárása érdekében bemutatjuk blokk diagramm(1.10. ábra), és válasszon ki belőle két eszközt: egy analóg-digitális átalakítót (ADC) és egy digitális-analóg átalakítót (DAC).
1.10. Funkcionális diagram analóg-digitális átalakítás és vissza - digitális-analóg
Először mérlegeljük együtt dolgozni ezek az eszközök anélkül, hogy figyelembe vennék a digitális szűrőt, amikor különböző szintű u 1 állandó feszültséget kapcsolnak az ADC bemenetére (1.11. ábra, a).
Rizs. 1.11 Analóg-digitális és digitális-analóg átalakítás (a), kvantálási karakterisztika (b) és kvantálási hiba (c)
Az ADC fő paramétere a kódoláshoz használt bitek száma bemeneti feszültség. Bináris kód esetén a bitek számát a regiszter-flip-flopok száma határozza meg, amelyek mindegyike két állapotú lehet: nulla vagy nem nulla kimeneti feszültséggel. Az egyik ilyen állapot hagyományosan nulla, a másik pedig egy. Az r bináris elemek számával az ADC kimenet r szimbólum kombinációját (kódszámát) állítja elő, amelyek mindegyike két érték (nulla vagy egy) egyikét veheti fel.
A lehetséges különböző kombinációk száma L = 2 r határozza meg a diszkrét szintek számát, amelyekre a bemeneti feszültségváltozások tartománya felosztható.
A fordított átalakítás a DAC-ban történik. A DAC bemenetre belépő nullák és egyesek minden kombinációja egy bizonyos diszkrét kimeneti feszültségszintnek felel meg. Ennek eredményeként egy egyenletes A kvantálási lépésnél u 2 függése u 1 -től szaggatott vonal formájában jelenik meg, amely a 1. ábrán látható. 1.11, b.
Egy ilyen karakterisztikával rendelkező eszközt nemlineárisnak, az u 2 -u 1 =q különbséget pedig hibának, kvantálási hibának kell tekinteni. Látható, hogy a legnagyobb, Δ/2-t meg nem haladó abszolút értékben u 2 növekedésével változatlan marad (1.11. ábra, c).
Tegyük fel, hogy az s(t) bemeneti rezgés harmonikus (1.12. ábra, a). Az s you x (t) oszcilláció lépésformát vesz fel, amely különbözik a bemeneti s (t) rezgéstől (1.12. ábra, b, vékony vonal), a kvantálási hiba pedig függvény alakját
ábrán látható. 1.12, c.
1.12. ábra. Jel a kvantáló eszköz bemenetén (a) és kimenetén (b); kvantálási zaj
Amikor az s(t) harmonikus rezgés amplitúdója és frekvenciája széles tartományban változik, csak a fogak frekvenciája változik: alakjuk a háromszög közelében marad, állandó Δ/2 amplitúdóval. A q(t) függvényt interferenciának vagy kvantálási zajnak nevezhetjük. Nem nehéz kiszámítani az átlagos kvantálási zajteljesítményt. Feltételezve a fogak háromszög alakját (1.11. ábra, c), amplitúdója Δ/2, egy fog átlagos időtartama, a teljesítmény egyenlő (1/3) (Δ/2) 2 = Δ 2 /12. Mivel ez az érték nem függ a fog időtartamától, feltételezhetjük, hogy átlagos teljesítmény kvantálási zaj
Ez a harmonikus jelre levezetett eredmény bármely más jelre kiterjeszthető, beleértve a véletlenszerű jeleket is. Az egyetlen különbség az, hogy a q (t) függvény véletlenszerű folyamat lesz a fogak véletlenszerű időtartama miatt.
Nem nehéz kiszámítani a jel/zaj arányt a kvantálás során. Ha a lépésmagasság Δ és az ADC karakterisztikán belül a lépések száma L egyenlő, a harmonikus jel amplitúdója nem haladhatja meg az LΔ/2 értéket, és az átlagos jelteljesítmény nem haladhatja meg az 1/2(LΔ/) értéket. 2) 2 (a jelkorlátozás elkerülése érdekében) . Következésképpen a jel/zaj arány harmonikus rezgés kvantálásakor
Mivel az L szintek száma az r bináris bitek számához kapcsolódik az L = 2 r relációval, az utolsó kifejezés a következő formában ábrázolható
Ez az összefüggés az általános kifejezés speciális esetének tekinthető
ahol K pf a jel csúcstényezője, azaz a maximális érték és az átlagos négyzet aránya.
Nál nél harmonikus rezgés, ami az (1.26) kifejezéshez vezet; normális eloszlási törvényű véletlenszerű jellel K pf 2,5-3-nak vehető. Ebben az esetben a jel négyzetes feszültsége nem haladhatja meg a ~LΔ/6-ot.
Fizikai jelentés Az (1.27) kifejezés nyilvánvaló: az r számjegyek számának növekedésével az adott s(t) változási tartományba eső diszkrét szintek száma nagyon gyorsan növekszik, és ennek következtében két szomszédos szint Δ különbsége csökken.
A jelnek a kvantálási zajhoz viszonyított többletének durva becslése a reláción alapul, vagy decibelben:
A modern ADC-kben a bitek száma eléri a tízet vagy többet. Ebben az esetben az ADC dinamikatartományát jellemző érték körülbelül 60 d B (6 d B egy számjegy).
A kvantálási zaj másik fontos jellemzője az spektrális válasz. Az ADC bemenetén fellépő harmonikus rezgéssel a kvantálási zaj az idő periodikus függvénye. A spektruma lineáris, csak olyan frekvenciákat tartalmaz, amelyek többszörösei a bemeneti oszcillációs frekvenciának. A q (t) függvény szaggatott alakja miatt (lásd 1.12. ábra, c) a zajspektrum magasabb harmonikusokat tartalmaz.
Egy olyan bemeneti effektus esetén, mint például egy véletlenszerű folyamat diszperzióval és f SCK spektrális négyzetgyökérték-szélességgel, a kvantálási zaj statisztikai jellemzői nemcsak az eredeti s(t) folyamat jellemzőitől függenek, hanem az kapcsolat és Δ. Különösen, ha a kvantálási zajspektrum f q CK szélessége W q (ω) sokszorosa az s (t) folyamatspektrum f S CK szélességének.
Vegyük figyelembe a bemeneti jel mintavételezését. ábrán. Az 1.13 az egyik megvalósítást mutatja véletlenszerű jel s(t) és a T lépéssel vett minták halmaza. Az ADC-ben minden mintát digitális kóddá alakítanak át.
Betöltés...