A ciklikus kódokra az jellemző, hogy egy adott kód kódkombinációjának összes szimbólumának ciklikus permutációja során egy másik kódkombináció jön létre ugyanabból a kódból.

Ciklikus kódkombináció;

Szintén ciklikus kódkombináció.

A ciklikus kódok figyelembevételekor a bináris számokat polinomként ábrázoljuk, amelynek mértéke ( P - 1), P- a kódkombináció hossza.

Például a 1001111 ( n= 7) egy polinom lesz reprezentálva

Ezzel az ábrázolással a kódkombinációk műveletei polinomokra redukálódnak. Ezeket a műveleteket a szokásos algebra szerint hajtjuk végre, azzal az eltéréssel, hogy a hasonló tagok redukcióját modulo 2-vel hajtjuk végre.

A ciklikus kóddal történő hibadetektálást azáltal biztosítjuk, hogy engedélyezett kombinációknak választjuk azokat, amelyek maradék nélkül vannak elosztva valamilyen előre kiválasztott polinommal G(x). Ha a kapott kombináció torz karaktereket tartalmaz, akkor osztás polinommal G(x) hajtjuk végre a maradékkal. Ez hibát jelez. G polinom(x)generálásnak nevezzük.

Ciklikus kód kombinációinak felépítése az eredeti kombináció szorzásával lehetséges DE(x) a generáló polinomhoz G(x) a hasonló kifejezések redukálásával modulo 2:

• ha a termék legnagyobb teljesítménye nem haladja meg a P - 1), akkor az eredményül kapott polinom a ciklikus kód kódkombinációját fogja képviselni;
• ha a szorzat legnagyobb teljesítménye nagyobb vagy egyenlő P, akkor a szorzatpolinom osztható az előre kiválasztott fokszámú polinommal P a szorzás eredménye pedig az osztás maradéka.

Így a ciklikus kód kombinációit reprezentáló összes polinom fokszáma alacsonyabb lesz P.

Gyakran polinomként, amellyel osztást hajtanak végre, egy polinomot vesznek fel G(x)= +1. A kódkombinációk ilyen kialakításával az információ és a vezérlő szimbólumok pozíciója nem határozható meg előre.

A ciklikus kódok nagy előnye a kódolók és dekóderek egyszerű felépítése, amelyek struktúrájukban visszacsatolásos eltolási regisztereket képviselnek.

A regiszter bitjeinek száma megegyezik a generáló polinom mértékével.

Visszacsatolás a regiszter kimenetétől néhány számjegyig összeadókon keresztül történik, amelyek számát eggyel kevesebbel választjuk, mint a generáló polinom nullától eltérő tagjainak száma. Az összeadók a regiszter azon bitjeinek bemeneteire vannak telepítve, amelyek a generáló polinom nullától eltérő tagjainak felelnek meg.

A 17. ábra a kódolási regiszter sémáját mutatja egy négybites kombináció hétbites kombinációvá alakításához.

17. ábra - A kódoló regiszter vázlata

táblázatban. A 4. ábra azt mutatja, hogy az eredeti 0101 kombináció eltolásával hogyan kapjuk meg az 1010011 ciklikus kódkombinációt. n= 7, k=4. 0101-es kombináció, kulcs az 1. pozícióban. Az első négy ciklusban a regiszter feltöltődik, majd a kulcs a 2-es pozícióba kerül. A visszacsatolás zárva van. Hét váltási ciklus hatására hétbites ciklikus kód jön létre.

4. táblázat

Ciklikus kód tulajdonságai:

1) a ciklikus kód minden egyes hibát észlel, ha a generáló polinom egynél több tagot tartalmaz. Ha egy G(x)=x+ 1, akkor a kód egyedi és minden páratlan hibát észlel;

2) ciklikus kód -val G(x)= (x+ 1)G(x) minden egyszeres, kettős és hármas hibát észlel;

3) ciklikus kód generáló polinommal G(x) végzettség r = n - k időtartamú összes csoporthibát észlel r karakterek.

tesztkérdések

A ciklikus kódokat azért nevezik így, mert bennük a kód néhány vagy összes kombinációja a kód egy vagy több kombinációjának ciklikus eltolásával érhető el. A ciklikus eltolás jobbról balra történik, és minden alkalommal a bal szélső karakter kerül át a kombináció végére. A ciklikus kódok gyakorlatilag mind szisztematikus kódokhoz tartoznak, amelyekben a vezérlő és információs bitek szigorúan meghatározott helyeken helyezkednek el. Ezenkívül a kódok a blokkkódok közé tartoznak. Minden blokk (egy betű egy blokk speciális esete) egymástól függetlenül kódolva van.

A ciklikus kódok létrehozásának ötlete a bináris számok területén irreducibilis polinomok használatán alapul. nem csökkenthető olyan polinomokat nevezünk, amelyek nem ábrázolhatók alacsonyabb fokú polinomok szorzataként ugyanazon mező együtthatóival, ahogyan a prímszámok sem ábrázolhatók más számok szorzataként. Más szóval, az irreducibilis polinomok maradék nélkül csak önmagukkal vagy eggyel oszthatók.

Az irreducibilis polinomok a ciklikus kódok elméletében a polinomok generáló szerepét töltik be. Ha az adott kódkombinációt megszorozzuk a kiválasztott irreducibilis polinommal, akkor egy ciklikus kódot kapunk, melynek korrekciós képességeit az irreducibilis polinom határozza meg.

Tegyük fel, hogy egy négyjegyű bináris kód valamelyik kombinációját szeretné kódolni. Tegyük fel azt is, hogy ez a kombináció G(x) = x 3 + x 2 + 1 ® 1011. Választásunk indokolása nélkül az irreducibilis polinomok táblázatából generáló polinomot veszünk P(x) = x 3 + x + 1 ® 1011. Majd szorozd meg G(x) a generáló polinommal azonos fokú monomiumba. Abból, hogy egy polinomot megszorozunk egy fokos monomimmal n a polinom minden tagjának fokszáma növekszik n, ami egyenértékű a hozzárendeléssel n nullák a polinom alacsony rendű számjegyeiből. Mivel a választott irreducibilis polinom foka hárommal egyenlő, az eredeti információkombinációt megszorozzuk egy három fokos monomimmal

G(x) x n =(x 3 + x 2 + 1) x 3 = x 6 + x 5 + x 3 = 1101000.

Ez azért történik, hogy később ezeknek a nulláknak a helyére lehessen javító biteket írni.

A javító számjegyek értékét az osztás eredményeiből találjuk meg G(x) x n a P(x):

x 6 +x 5 +0+x 3 +0+0+0 ½ x 3 +x+1

x6 +0+x4 +x3

x 5 +x 4 +0+0 x 3 +x 2 +x+1+ x 5 +0+x 3 +x 2

x4 + x3 +x2 +0

x 4 + 0 + x 2 + x

x 3 +0+x+0

x 3 +0+x+1

Ily módon

vagy be Általános nézet

ahol Q(x)¾ hányados, és R(x)¾ osztás maradéka G(x)×xn a P(x).

óta ben bináris aritmetika 1 Å 1 \u003d 0, ami azt jelenti, hogy -1 \u003d 1, akkor bináris számok hozzáadásakor lehetőség van a kifejezések egyik részről a másikra történő átvitelére előjel megváltoztatása nélkül (ha ez kényelmes), ezért az űrlap egyenlősége a Å b = A 0 úgy is felírható a = b, És hogyan a - b = 0. Mindhárom egyenlőség ebben az esetben azt jelenti, hogy vagy aés b 0, vagy aés b egyenlők 1-gyel, azaz. azonos paritásúak.

Így az (5.1) kifejezés felírható így

F(x)=Q(x) P(x)= G(x) x n +R(x),

amely példánk esetében azt fogja adni

F(x)=(x 3 + x 2 + x + 1) (x 3 + x + 1)= (x 3 + x 2 + 1)x 3+ 1,

F(x)= 1111 1011 = 1101000 + 001 = 1101001.

Az 1101001 polinom a kívánt kombináció, ahol az 1101 az információs rész, a 001 pedig a vezérlőkarakterek. Megjegyzendő, hogy a kívánt kombinációt úgy kaptuk volna meg, ha a teljes négyjegyű bináris kód egyik kombinációját (jelen esetben 1111-et) megszorozzuk egy generáló polinommal, és ha egy adott kombinációt megszorozunk egy azonos monomimmal. fokot, mint a kiválasztott generáló polinomot (esetünkben az 1101000 kombinációt) így kaptuk meg, majd a kapott szorzathoz hozzáadtuk a szorzat generáló polinommal való osztásának maradékát (példánkban a maradék a 001-es űrlap).

És itt a generáló polinom tulajdonságai játszanak döntő szerepet P(x). A ciklikus kód felépítésének módja olyan, hogy a generátorpolinom minden kódkombináció kialakításában részt vesz, így a ciklikus kód bármely polinomját a generátor maradék nélkül felosztja. De csak azok a polinomok, amelyekhez tartoznak adott kódot, azaz a generáló polinom lehetővé teszi az összes lehetséges kombináció kiválasztását. Ha a ciklikus kódot a generáló polinommal osztva maradékot kapunk, akkor vagy hiba történt a kódban, vagy ez valamilyen más kód kombinációja (illegális kombináció). A maradék és a tiltott kombináció jelenlétét észleli, azaz hibát észlel. A polinomok felosztásának maradékai a ciklikus kódok hibáinak azonosítói.

Másrészt az egy nullákkal való elosztásából származó maradékokat egy generáló polinom segítségével ciklikus kódok készítésére használják fel.

Amikor nullákkal osztunk el egy generáló polinomot, ne feledjük, hogy a maradék hossza nem lehet kisebb, mint a vezérlőbitek száma, ezért a maradék bithiánya esetén a szükséges számú a jobb oldali maradékhoz nullákat rendelünk.

01100 11111+

a nyolcadiktól kezdve a maradékok ismétlődnek.

Az osztásból származó maradékokat generáló mátrixok készítésére használjuk, amelyeket láthatóságuk és a derivált kombinációk megszerzésének kényelmessége miatt széles körben használnak ciklikus kódok létrehozására. A generáló mátrix felépítése leredukálódik egyetlen transzponált és kiegészítő mátrix összeállítására, amelynek elemei egy egység nullákkal való osztásának maradékai egy generáló polinommal. P(x). Emlékezzünk vissza, hogy az azonosság-transzponált mátrix az négyzetmátrix, amelynek minden eleme nulla, kivéve a felülről lefelé jobbról balra átlósan elhelyezkedő elemeket (nem transzponált mátrixban az egységelemekkel rendelkező átló balról jobbra fentről lefelé helyezkedik el). A kiegészítő mátrix elemei az identitás transzponált mátrixtól jobbra vannak hozzárendelve. Csak azok a maradékok, amelyek súlya W³d0- 1, hol d0- minimális kód távolság. A maradékok hosszának legalább a vezérlőbitek számának kell lennie, a maradékok számának pedig meg kell egyeznie az információs bitek számával.

A generáló mátrix sorai az első kombinációk forráskód. A fennmaradó kódkombinációkat a generáló mátrix összes lehetséges sorkombinációjának modulo 2 összegzése eredményeként kapjuk meg.

Példa.

Készítsen egy ciklikus kód teljes generáló mátrixát, amely észleli az összes egyszeres és kettős hibát a 10 bites bináris kombinációk átvitelekor.

Megoldás.

Az 5.12 táblázat szerint válassza ki a legközelebbi értéket k ³ 10.

5.12 táblázat – Az információk és az ellenőrző szimbólumok közötti kapcsolatok legfeljebb 16 bites kód esetén

n	k	ρ	n	k	ρ

A táblázat szerint ez az érték lesz k = 11, míg r= 4, a

n= 15. Egy generáló polinomot is választunk x 4 + x 3 +1.

Az egységtranszponált mátrixból kanonikus formában és az ellenőrző számjegyeknek megfelelő kiegészítő mátrixból felépítjük a teljes generátormátrixot.

Transzponált mátrix ehhez k = 11 így néz ki:

Egy további mátrix állítható elő úgy, hogy a kombinációt egy egység formájában nullákkal (az azonosság transzponált mátrix utolsó sora) elosztjuk a kiválasztott generáló polinommal.

A teljes generáló mátrix így fog kinézni:

A generáló mátrixok felépítésének fent leírt módszere nem az egyetlen. A generáló mátrix az identitásmátrix elemeinek a generáló polinommal való közvetlen szorzásával állítható össze. Ez gyakran kényelmesebb, mint az osztás maradékának megtalálása. Az így kapott kódok semmiben sem különböznek a generáló mátrixokból szerkesztett kódoktól, amelyekben a további mátrix az egyes nullákkal való elosztásának maradékaiból áll egy generáló polinommal.

A generáló mátrix összeállítható úgy is, hogy ciklikusan eltoljuk a rang identitásmátrix sorának megszorzásával kapott kombinációt. k generáló polinomhoz.

A ciklikus kódok hibáit a rendszer a kapott kombinációnak a generáló polinommal való elosztásából származó maradékok felhasználásával észleli. A felosztás többi része hibaazonosító, de nem jelzi közvetlenül a hiba helyét a ciklikus kódban.

A hibajavítás ötlete azon alapul, hogy egy hibás kombinációt bizonyos számú ciklikus eltolás után a maradékhoz „igazítanak” oly módon, hogy a maradékkal együtt javított kódkombinációt adjon. A maradék ebben az esetben nem más, mint a különbség a torz és helyes szimbólumok, a maradék egységei pontosan a torz bitek helyén vannak a ciklikus eltolásokkal beállított kombinációban. A torzított kombinációt addig módosítjuk, amíg a maradék egységek száma megegyezik a kódban lévő hibák számával. Ebben az esetben természetesen az egységek száma megegyezhet a hibák számával s, ezzel a kóddal javítva (a kód 3 hibát és 3 hibát javít egy torz kombinációban), vagy kevesebb s(a kód 3 hibát javít, a kapott kombinációban pedig 1 hibát).

A hiba helye a kódkombinációban nem számít. Ha egy k³(n/2), akkor bizonyos számú eltolás után minden hiba a generáló polinom „egyszeri” műveletének zónájában lesz, azaz elég egy maradékot kapni, amelynek súlya W£s, és ez már elég lesz a torz kombináció kijavításához.

A hibajavítás folyamatát az alábbiakban részletesen tárgyaljuk, konkrét kódok létrehozására vonatkozó példák segítségével.

Ciklikus kód

A ciklikus kódok a blokk szisztematikus kódok közé tartoznak, amelyekben az egyes kombinációk egymástól függetlenül (blokk formájában) vannak kódolva oly módon, hogy a k információ és a t vezérlőkarakter mindig megtalálható.

bizonyos helyeken öltözködni. A gyakorlatilag bármilyen hiba észlelésének és kijavításának lehetősége más kódokhoz képest viszonylag kis redundanciával, valamint a kódoló és dekódoló berendezés áramköri megvalósításának egyszerűsége tette széles körben elterjedtté ezeket a kódokat. A ciklikus kódok elmélete a csoportelméleten és a Galois-mező feletti polinomiális algebrán alapul.

A ciklikus kód egy olyan kód, amelyben a kódkombinációk elosztási sorrendje oly módon történik, hogy amikor bármely kombinációból a szomszédosra váltunk, a Hamming-kód távolság minden alkalommal állandó marad.

A ciklikus kódok a hibajavító kódok egy egész családját jelentik, beleértve a Hamming-kódokat is, mint az egyik változatot, de általában nagyobb rugalmasságot biztosítanak a kódkombinációk átvitele során fellépő hibák észlelésének és kijavításának szükséges képességével rendelkező kódok implementálásának lehetőségében. kommunikációs csatornán keresztül. A ciklikus kód szisztematikus blokk (n, k) kódokra vonatkozik, amelyekben az első k bit az elsődleges kód kombinációja, a következő (n × k) bit pedig ellenőrző bit.

A ciklikus kódok felépítése azon a műveleten alapul, hogy a továbbított kódszót elosztjuk egy r fokú irreducibilis polinommal. Az osztás fennmaradó részét ellenőrző bitek képzésére használjuk fel. Ebben az esetben az osztási műveletet egy szorzási művelet előzi meg, amely a k bites információs kódkombinációt r bittel balra tolja.

Az alacsonyabb fokú polinomok szorzataként ábrázolható polinomot (polinomot) redukálhatónak (egy adott területen) nevezzük, egyébként irreducibilis. Az irreducibilis polinomok a számelméletben a prímszámokhoz hasonló szerepet játszanak. A P(X) irreducibilis polinomok felírhatók decimális vagy bináris számként, vagy algebrai polinomként.

Ciklikus kódolási folyamat

A ciklikus kódolás egy irreducibilis P(X) polinom használatán alapul, amelyet a ciklikus kódokkal kapcsolatban generáló, előállító vagy generáló polinomnak (polinomnak) nevezünk.

A ciklikus kódok felépítéséhez k információs szimbólumokként minden kombinációhoz egy bináris kód kombinációit vesszük. Általános esetben, ha egy adott Q(x) kódkombinációt megszorozunk egy P(x) generáló polinommal, akkor egy ciklikus kódot kapunk, amely a P(x) választásától függően bizonyos korrekciós tulajdonságokkal rendelkezik. Ebben a kódban azonban az m vezérlőszimbólumok a kódszóban a legkülönfélébb helyeken lesznek elhelyezve. Egy ilyen kód nem szisztematikus, ami megnehezíti az áramkörökben való megvalósítását. A helyzet nagyban leegyszerűsíthető, ha a vezérlőkaraktereket a végére, vagyis az információs karakterek után rendeljük hozzá. Ebből a célból célszerű a következő módszert használni:

Szorozzuk meg a kódolandó G(x) kódszót a P(x) polinommal azonos fokú X m monomimmal;

A G(x)X m szorzatot elosztjuk a generáló P(x m) polinommal:

ahol Q(x) az osztás hányadosa; R(x) - maradék.

Ha a (2.1) kifejezést megszorozzuk Р(х)-vel, és R(x)-t átvisszük az egyenlőség másik részébe előjel megfordítása nélkül, így kapjuk:

Így a (2.2) egyenlőség szerint a ciklikus kód, vagyis az F(x) kódolt üzenet kétféleképpen alakítható ki:

Egy bináris kód egyetlen kódkombinációjának szorzása az összes kombinációhoz P(x) generáló polinommal;

A megadott G(x) kódszót megszorozzuk egyetlen X m polinommal, amelynek foka megegyezik a generáló P(x) polinommal, hozzáadva a G(x)X m szorzat elosztása után kapott R(x) maradékot. a generáló P( X) polinom.

Üzenet kódolás

Kódolni kell az 1100 kódszót, amely megfelel G(x)=x 3 +x 2 és P(x)=x 3 +x+1.

Megszorozzuk G (x)-t X m-rel, aminek van egy harmadik foka, így kapjuk:

A G(x)X m szorzatot elosztva a generáló P(x m) polinommal, a (2.1) szerint kapjuk:

vagy bináris megfelelője:

Így ennek eredményeként egy G(x) fokú Q(x) hányadost kapunk:

Q(x)=x3+x2+x>1110

és a többi:

Ennek eredményeként a ciklikus kód által kódolt bináris kódkombináció a (2.2) szerint a következő formában lesz:

F(x)=1110 1011=1100010

Mivel egy ciklikus kód minden megengedett kódkombinációja a G(x) generáló polinom összes lehetséges összegét képviseli, ezeknek maradék nélkül oszthatónak kell lenniük P(x-szel). Ezért a vett kódkombináció helyességének ellenőrzése a maradék azonosítására redukálódik, amikor azt generáló polinommal osztjuk.

A maradék fogadása hiba jelenlétét jelzi. A ciklikus kódok felosztásának fennmaradó része szindróma szerepét tölti be.

Például az F(x)=1100010 továbbított kódkombináció, amelyet a P(x)=1011 generáló polinom felhasználásával állítottunk össze. Az interferencia hatására a kódkombináció F "(x) = 1000010 kombinációvá alakult

A kapott kombinációt elosztjuk a generáló polinommal

Az R(x)=001 maradék jelenléte hibát jelez. Ez azonban nem jelzi közvetlenül a hiba helyét a kombinációban. A hiba meghatározására a szindróma elemzésén alapuló számos módszer létezik.

Határozzuk meg a hiba helyét, ehhez a tetszőleges számú nullával rendelkező egységet elosztjuk P(x)=1011-gyel.

Hiba történt az elemszámban:

Maradékok száma -2>4-2=2

Vagyis a hiba a második elemben van.

BELORÚSZ ÁLLAMI INFORMÁCIÓTUDOMÁNYI ÉS RÁDIÓELEKTRONIKAI EGYETEM

Osztály RES

absztrakt a témában:

Ciklikus kódok. BCH kódok"

MINSZK, 2009

Ciklikus kódok

A ciklikus kód egy lineáris blokk (n,k)-kód, amelyet a ciklikusság tulajdonsága jellemez, pl. bármely engedélyezett kódszó egy lépéssel balra történő eltolása egy engedélyezett kódszót is ad, amely ugyanahhoz a kódhoz tartozik, és amelynél a kódszavak halmazát (n-1) vagy annál kisebb fokú polinomok halmaza reprezentálja, osztható valamilyen r = n-k fokú g(x) polinommal, amely az x n +1 binomiális tényezője.

A g(x) polinomot generálónak nevezzük.

A definícióból következően a ciklikus kódban lévő kódszavak polinomokként vannak ábrázolva

ahol n a kód hossza; - együtthatók a GF(q) mezőből.

Ha a kód a GF(2) mezőre épül, akkor az együtthatók 0 vagy 1 értéket vesznek fel, és a kódot binárisnak nevezzük.
Példa. Ha a ciklikus kód kódszava

majd a megfelelő polinomot

Például, ha a kódot a GF(q)=GF(2 3) mezőre építjük fel, amely a GF(2) modulo egy irreducibilis polinom f(z)=z 3 +z+1 kiterjesztése, és az elemek ennek a mezőnek az 1. táblázatban bemutatott formája legyen,

majd az együtthatók

vegyük ennek a mezőnek az elemeinek értékét, és ezért maguk a következő formájú polinomokként jelennek meg
ahol m annak a polinomnak a foka, amellyel a GF(2) mező kiterjesztését megkapjuk; a i - együtthatók, amelyek a GF(2) elemeinek értékét veszik fel, azaz. 0 és 1. Az ilyen kódot q-ediknek nevezzük.

Egy ciklikus kód hosszát primitívnek, magát a kódot pedig primitívnek nevezzük, ha hossza n=q m -1 a GF(q-n).

Ha a kód hossza kisebb, mint a primitív kód hossza, akkor a kódot rövidítettnek vagy nem primitívnek nevezzük.

A definícióból következik, hogy egy ciklikus kód kódszavainak közös tulajdonsága, hogy maradék nélkül oszthatók valamilyen g(x) polinommal, amelyet generátornak nevezünk.

Az x n +1 binomiális g(x) polinommal való osztásának eredménye a h(x) tesztpolinom.

Ciklikus kódok dekódolásakor az e(x) hibapolinomot és az S(x) szindrómás polinomot használjuk.

Az (n-1) fokú hibapolinomot a kifejezés határozza meg

ahol a kapott (hibásan) és az elküldött kódszavakat reprezentáló polinomok vannak.

Az e(x)-ben a nullától eltérő együtthatók a hibáknak megfelelő pozíciókat foglalnak el.

Példa.

A ciklikus kód dekódolásához használt szindrómás polinomot a vett kódszó generátor polinommal való elosztásának maradékaként határozzuk meg, azaz.

vagy

Ezért a szindrómapolinom közvetlenül függ az e(x) hibapolinomtól.Ezt a rendelkezést használják a dekódolási folyamatban használt szindrómatáblázat felépítésében. Ez a táblázat tartalmazza a hibapolinomok listáját és a kifejezésből meghatározott megfelelő szindrómák listáját

(lásd a 2. táblázatot).

A dekódolás során a kapott kódszóból kiszámítjuk a szindrómát, majd a táblázatban megtaláljuk a megfelelő e(x) polinomot, melynek a kapott kódszóval összegzése adja a javított kódszót, azaz.

A felsorolt ​​polinomok összeadhatók, szorozhatók és oszthatók az algebra ismert szabályaival, de az eredménnyel redukálható mod 2, majd mod x n +1, ha az eredmény mértéke meghaladja az (n-1) fokot.

Tegyük fel, hogy a kód hossza n=7, ekkor a mod x 7 +1 eredményt adjuk meg.

Ciklikus kódok szerkesztésénél és dekódolásánál a polinomok felosztása következtében általában nem hányadosra, hanem osztási maradékra van szükség.
Ezért egy egyszerűbb osztási módszer javasolt, amely nem polinomokat, hanem csak annak együtthatóit használja (a példában 2. lehetőség).

Példa.

Kódok mátrix hozzárendelése

A ciklikus kód mátrixok generálásával és ellenőrzésével adható meg. Megalkotásukhoz elegendő ismerni a g(x) generátort és tesztelni a h(x) polinomokat. Nem szisztematikus ciklikus kód esetén a mátrixokat a generáló és ellenőrző polinomok ciklikus eltolásával állítják elő, azaz. megszorozva őket x-szel

és

A H (n,k) mátrix felépítésénél a h(x) polinom vezető együtthatója a jobb oldalon található.

Példa. Egy g(x)=x 3 +x+1 generáló polinomot tartalmazó ciklikus (7,4) kód esetén a G (n,k) és H (n,k) mátrixok alakja:

ahol

Szisztematikus ciklikus kód esetén a kifejezésből a G (n,k) mátrixot határozzuk meg

ahol I k az azonosságmátrix; R k,r - téglalap alakú mátrix. Az R k,r mátrix sorait a kifejezésekből határozzuk meg, vagy ahol a i (x) az I k mátrix i-edik sorának értéke; i - az R k,r mátrix sorszáma.

Példa. A G(n,k) mátrix a (7,4)-kódhoz a g(x)=x 3 +x+1 generáló polinom alapján a következő sorrendben épül fel

vagy

R 4,3 értékét a következő módszerrel határozzuk meg

mert

Hasonló módon határozzák meg