3 x 3 mátrix transzponálása

Egy mátrix transzponálása ezen az online számológépen keresztül nem sok időt vesz igénybe, de gyorsan eredményeket ad, és magát a folyamatot is jobban megértheti.

Az algebrai számításoknál néha szükség van egy mátrix sorainak és oszlopainak felcserélésére. Ezt a műveletet mátrixtranszpozíciónak nevezzük. A sorrendben lévő sorok oszlopokká válnak, és maga a mátrix transzponálttá válik. Ezekben a számításokban vannak bizonyos szabályok, amelyek megértéséhez és a folyamat vizuális megismeréséhez használja ezt az online számológépet. Ez sokkal könnyebbé teszi a feladatát, és segít jobban megérteni a mátrix transzponálás elméletét. A számológép jelentős előnye a kibővített és részletes megoldás bemutatása. Így használata elősegíti az algebrai számítások mélyebb és tájékozottabb megértését. Ezen kívül segítségével a mátrixok kézi transzponálásával mindig ellenőrizheti, mennyire sikeresen teljesítette a feladatot.

A számológép használata nagyon egyszerű. A transzponált mátrix online kereséséhez adja meg a mátrix méretét a „+” vagy „-” ikonra kattintva, amíg el nem éri a kívánt számú oszlopot és sort. Ezután írja be a szükséges számokat a mezőkbe. Alul található a „Számítás” gomb – rákattintva megjelenik egy kész megoldás az algoritmus részletes magyarázatával.

Egy mátrix transzponálásához a mátrix sorait oszlopokba kell írni.

Ha , akkor a transzponált mátrix

Ha akkor

1. Feladat. megtalálja

1. Négyzetmátrixok meghatározói.

Négyzetes mátrixok esetén bevezetünk egy számot, amelyet determinánsnak nevezünk.

Másodrendű mátrixok (dimenzió) esetén a determinánst a következő képlet adja meg:

Például egy mátrix esetében a determinánsa az

Példa . Számítsa ki a mátrixok determinánsait!

A harmadrendű négyzetmátrixokra (dimenzió) létezik egy „háromszög” szabály: az ábrán a pontozott vonal azt jelenti, hogy megszorozzuk azokat a számokat, amelyeken a pontozott vonal áthalad. Az első három számot össze kell adni, a következő három számot ki kell vonni.

Példa. Számítsa ki a determinánst.

A determináns általános meghatározásához szükséges bevezetni a moll és az algebrai komplement fogalmát.

Kisebb A mátrix elemét a sor és az oszlop áthúzásával kapott determinánsnak nevezzük.

Példa. Keressük az A mátrix néhány minorját.

Algebrai komplementer elemet számnak nevezzük.

Ez azt jelenti, hogy ha az indexek összege páros, akkor nem különböznek egymástól. Ha az indexek összege páratlan, akkor csak előjelben különböznek.

Az előző példához.

Mátrix meghatározó egy bizonyos karakterlánc elemeinek szorzatainak összege

(oszlop) rajtuk algebrai összeadások. Tekintsük ezt a definíciót egy harmadrendű mátrixon.

Az első bejegyzést a determináns kiterjesztésének nevezzük az első sorban, a másodikat a második oszlopban, az utolsót pedig a harmadik sor kiterjesztésének. Összesen hatszor írható fel ilyen bővítés.

Példa. Számítsa ki a determinánst a „háromszög” szabály segítségével, és bontsa ki az első sor, majd a harmadik oszlop, majd a második sor mentén.

Bővítsük ki a determinánst az első sor mentén:

Bővítsük ki a determinánst a harmadik oszlopban:

Bővítsük ki a determinánst a második sor mentén:

Vegye figyelembe, hogy minél több nulla, annál egyszerűbb a számítás. Például az első oszloppal bővítve azt kapjuk

A determinánsok tulajdonságai között van egy tulajdonság, amely lehetővé teszi nullák fogadását, nevezetesen:

Ha egy másik sor (oszlop) elemeit hozzáadja egy bizonyos sor (oszlop) elemeihez, megszorozva egy nem nulla számmal, akkor a determináns nem változik.

Vegyük ugyanazt a determinánst, és kapjunk például nullákat az első sorban.

A magasabb rendek meghatározóit ugyanígy számítjuk ki.

2. feladat. Számítsa ki a negyedrendű determinánst:

1) bármely sorra vagy oszlopra szétosztva

2) miután korábban nullákat kapott

A második oszlopban például egy további nullát kapunk. Ehhez szorozza meg a második sor elemeit -1-gyel, és adja hozzá őket a negyedik sorhoz:

1. Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldása Cramer módszerével.

Lineáris algebrai egyenletrendszer megoldását mutatjuk be Cramer módszerével.

2. feladat. Egyenletrendszer megoldása.

Négy determinánst kell kiszámítanunk. Az elsőt főnek nevezik, és az ismeretlenek együtthatóiból áll:

Vegye figyelembe, hogy ha , a rendszer nem oldható meg Cramer módszerével.

A fennmaradó három determinánst , , és úgy kapjuk meg, hogy a megfelelő oszlopot egy jobb oldali oszlopra cseréljük.

Találunk. Ehhez módosítsa a fő meghatározó első oszlopát egy jobb oldali oszlopra:

Találunk. Ehhez módosítsa a fő meghatározó második oszlopát egy jobb oldali oszlopra:

Találunk. Ehhez módosítsa a fő meghatározó harmadik oszlopát egy jobb oldali oszlopra:

A rendszer megoldását a Cramer-képletekkel találjuk meg: , ,

Így a rendszer megoldása , ,

Végezzünk egy ellenőrzést, és a talált megoldást behelyettesítjük a rendszer összes egyenletébe.

1. Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldása mátrix módszerrel.

Ha négyzetmátrix a determináns nem egyenlő nullával, van olyan inverz mátrix, hogy . A mátrixot identitásmátrixnak nevezik, és a formája van

Az inverz mátrixot a következő képlet határozza meg:

Példa. Keresse meg a mátrix inverzét

Először kiszámítjuk a determinánst.

Algebrai komplementerek keresése:

Felírjuk az inverz mátrixot:

A számítások ellenőrzéséhez meg kell győződnie arról, hogy .

Adjunk meg egy lineáris egyenletrendszert:

Jelöljük

Ekkor az egyenletrendszer felírható mátrix alakban a következővel: , és innen. A kapott képletet a rendszer megoldásának mátrix módszerének nevezzük.

3. feladat. Oldja meg a rendszert mátrix módszerrel!

Ki kell írni a rendszer mátrixát, meg kell keresni az inverzét, majd meg kell szorozni a jobb oldalak oszlopával.

Az előző példában már megtaláltuk az inverz mátrixot, ami azt jelenti, hogy találhatunk megoldást:

1. Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldása Gauss módszerrel.

A Cramer-módszert és a mátrixmódszert csak másodfokú rendszerekre használják (az egyenletek száma egyenlő az ismeretlenek számával), és a determináns nem lehet egyenlő nullával. Ha az egyenletek száma nem egyenlő az ismeretlenek számával, vagy a rendszer determinánsa nulla, akkor a Gauss-módszert alkalmazzuk. A Gauss-módszerrel bármilyen rendszer megoldható.

És cseréljük be az első egyenletbe:

5. feladat. Egyenletrendszer megoldása Gauss módszerrel!

A kapott mátrix segítségével visszaállítjuk a rendszert:

Megoldást találunk:

Amikor mátrixokkal dolgozik, néha át kell transzponálnia őket, vagyis ki kell mondani egyszerű szavakkal, fordítsd meg. Természetesen manuálisan is megadhatja az adatokat, de az Excel többféle módot kínál ennek egyszerűbb és gyorsabb elvégzésére. Nézzük meg őket részletesen.

A mátrixtranszpozíció az oszlopok és sorok felcserélésének folyamata. BAN BEN Excel program Két lehetőség van az átültetés végrehajtására: a függvény használata TRANSSPés egy eszköz segítségével speciális betét. Nézzük meg ezeket a lehetőségeket részletesebben.

1. módszer: TRANSPOSE operátor

Funkció TRANSSP operátorok kategóriájába tartozik "Linkek és tömbök". A sajátosság az, hogy a többi tömbökkel működő függvényhez hasonlóan a kimeneti eredmény nem a cella tartalma, hanem egy teljes adattömb. A függvény szintaxisa meglehetősen egyszerű, és így néz ki:

TRANSP(tömb)

Vagyis ennek az operátornak az egyetlen argumentuma a hivatkozás arra a tömbre, esetünkben a mátrixra, amelyet konvertálni kell.

Nézzük meg, hogyan alkalmazható ez a függvény egy valós mátrixos példa segítségével.

1. A lapon kijelölünk egy üres cellát, amelyet a transzformált mátrix bal felső cellájává tervezünk. Ezután kattintson az ikonra "Funkció beszúrása", amely a képletsor közelében található.



2. Indítás folyamatban Funkcióvarázslók. Nyissa meg a kategóriát benne "Linkek és tömbök" vagy "Teljes alfabetikus lista". Miután megtalálta a nevet "TRANSP", válassza ki és kattintson a gombra "RENDBEN".



3. Megnyílik a függvény argumentumai ablak TRANSSP. Ennek az operátornak az egyetlen argumentuma a mezőnek felel meg "Sor". Meg kell adni a megfordítandó mátrix koordinátáit. Ehhez helyezze a kurzort a mezőbe, és tartsa lenyomva bal gomb egérrel, válassza ki a mátrix teljes tartományát a lapon. Miután a terület címe megjelenik az argumentumok ablakában, kattintson a gombra "RENDBEN".



4. De amint látjuk, az eredmény megjelenítésére szolgáló cellában egy helytelen érték jelenik meg hiba formájában "#ÉRTÉK!". Ez a tömboperátorok működésének köszönhető. A hiba kijavításához válasszon ki egy cellatartományt, amelyben a sorok számának meg kell egyeznie az eredeti mátrix oszlopainak számával, és az oszlopok számának meg kell egyeznie a sorok számával. Az ilyen megfeleltetés nagyon fontos az eredmény helyes megjelenítéséhez. Ebben az esetben a kifejezést tartalmazó cella "#ÉRTÉK!" a kiválasztott tömb bal felső cellája legyen, és ebből a cellából kell kezdeni a kiválasztási eljárást az egér bal gombjának lenyomva tartásával. A kijelölés után helyezze a kurzort a képletsorba közvetlenül az operátorkifejezés után TRANSSP, aminek meg kell jelennie benne. Ezt követően a számítás elvégzéséhez meg kell nyomnia a gombot Belép, ahogy az a hagyományos képleteknél megszokott, és tárcsázza a kombinációt Ctrl+Shift+Enter.



5. Ezen műveletek után a mátrix úgy jelenik meg, ahogyan szükségünk volt, vagyis transzponált formában. De van egy másik probléma is. A helyzet az, hogy most az új mátrix egy tömb, amelyet egy képlet kapcsol össze, amelyet nem lehet megváltoztatni. Amikor megpróbálja megváltoztatni a mátrix tartalmát, hibaüzenet jelenik meg. Egyes felhasználók teljesen elégedettek ezzel az állapottal, mivel nem kívánnak módosítani a tömbön, másoknak viszont szükségük van egy mátrixra, amellyel teljes mértékben tudnak dolgozni.

   Megoldani ez a probléma, válassza ki a teljes transzponált tartományt. Ugrás a lapra "Itthon" kattintson az ikonra "Másolat", amely a csoportban található szalagon található "Vágólap". A megadott művelet helyett a kijelölés után szabványos billentyűkódot állíthat be a másoláshoz Ctrl+C.



6. Ezután anélkül, hogy eltávolítaná a kijelölést a transzponált tartományból, kattintson rá Jobb klikk egerek. A csoport helyi menüjében "Beszúrási lehetőségek" kattintson az ikonra "Értékek", amely számokat ábrázoló piktogramnak tűnik.

   

   Ezt követően a tömbképlet TRANSSP törlésre kerül, és csak egy érték marad a cellákban, amelyekkel ugyanúgy lehet dolgozni, mint az eredeti mátrixszal.

2. módszer: Mátrix transzponálása a Paste Special segítségével

Ezenkívül egy mátrix egyetlen elem használatával transzponálható helyi menü, ami az úgynevezett "Speciális beszúrás".

Ezen lépések után csak a transzformált mátrix marad a lapon.

A fentebb tárgyalt két módszerrel nem csak mátrixokat, hanem teljes értékű táblázatokat is transzponálhat Excelbe. Az eljárás szinte azonos lesz.

Megtudtuk tehát, hogy az Excelben a mátrix kétféleképpen transzponálható, azaz megfordítható oszlopok és sorok felcserélésével. Az első lehetőség a funkció használatát foglalja magában TRANSSP, a második pedig a Paste Special Tools. Általánosságban elmondható, hogy a két módszer alkalmazásával kapott végeredmény nem különbözik egymástól. Mindkét módszer szinte minden helyzetben működik. A konverziós opció kiválasztásakor tehát az adott felhasználó személyes preferenciái kerülnek előtérbe. Vagyis, hogy ezek közül a módszerek közül melyik a kényelmesebb az Ön számára, használja azt.

Az A -1 mátrixot inverz mátrixnak nevezzük az A mátrixhoz képest, ha A*A -1 = E, ahol E az n-edrendű azonosságmátrix. Inverz mátrix csak négyzetmátrixoknál létezhet.

A szolgáltatás célja. A szolgáltatás használata in online mód találhatunk algebrai komplementereket, transzponált A T mátrixot, szövetséges mátrixot és inverz mátrixot. A döntés közvetlenül a weboldalon (online) történik, és ingyenes. A számítási eredményeket Word formátumú jelentésben mutatjuk be Excel formátum(azaz lehetséges a megoldás ellenőrzése). lásd a tervezési példát.

Utasítás. A megoldáshoz meg kell adni a mátrix méretét. Ezután töltse ki az A mátrixot az új párbeszédablakban.

Lásd még: Inverz mátrix a Jordano-Gauss módszerrel

Algoritmus az inverz mátrix megtalálására

1. Az A T transzponált mátrix megkeresése.
2. Algebrai komplementerek meghatározása. Cserélje le a mátrix minden elemét az algebrai komplementerével.
3. Összeállítás inverz mátrix algebrai összeadásokból: a kapott mátrix minden eleme el van osztva az eredeti mátrix determinánsával. A kapott mátrix az eredeti mátrix inverze.

Következő algoritmus az inverz mátrix megtalálásához az előzőhöz hasonló, néhány lépést leszámítva: először az algebrai komplementereket számítjuk ki, majd meghatározzuk a kapcsolódó C mátrixot.

1. Határozza meg, hogy a mátrix négyzet alakú-e. Ha nem, akkor nincs rá inverz mátrix.
2. Az A mátrix determinánsának kiszámítása. Ha nem egyenlő nullával, akkor folytatjuk a megoldást, ellenkező esetben az inverz mátrix nem létezik.
3. Algebrai komplementerek meghatározása.
4. A C unió (kölcsönös, adjunkt) mátrix kitöltése.
5. Inverz mátrix összeállítása algebrai összeadásokból: a C adjunkt mátrix minden elemét elosztjuk az eredeti mátrix determinánsával. A kapott mátrix az eredeti mátrix inverze.
6. Ellenőrzést végeznek: megszorozzák az eredeti és a kapott mátrixokat. Az eredmény egy identitásmátrix legyen.

1. számú példa. Írjuk fel a mátrixot a következő formában:

Algebrai összeadások. ∆ 1,2 = -(2·4-(-2·(-2))) = -4 ∆ 2,1 = -(2 4-5 3) = 7 ∆ 2,3 = -(-1 5-(-2 2)) = 1 ∆ 3,2 = -(-1·(-2)-2·3) = 4

A -1 =

0,6 -0,4 0,8 0,7 0,2 0,1 -0,1 0,4 -0,3

Egy másik algoritmus az inverz mátrix megtalálására

Mutassunk be egy másik sémát az inverz mátrix megtalálására.

1. Keresse meg egy adott A négyzetmátrix determinánsát!
2. Az A mátrix minden eleméhez algebrai kiegészítést találunk.
3. Sorelemek algebrai hozzáadását oszlopokhoz írjuk (transzpozíció).
4. A kapott mátrix minden elemét elosztjuk az A mátrix determinánsával.

Amint látjuk, a transzpozíciós művelet mind az elején, mind az eredeti mátrixon, mind a végén a kapott algebrai összeadásokon alkalmazható.

Különleges eset: Az E identitásmátrix inverze az E identitásmátrix.