Összetett Laplace változó fizikai jelentés. Laplace transzformáció

II. Matematikai elemzés

E. Yu. Anokhina

A KOMPLEX VÁLTOZÓ (TFV) MŰKÖDÉSÉNEK FEJLŐDÉSTÖRTÉNETE ÉS KIALAKULÁSA.

Az egyik összetett matematikai szak a TFKT tanfolyam. A kurzus összetettsége mindenekelőtt a más matematikai tudományágakkal való kölcsönhatásainak sokszínűségéből adódik, amely történetileg a TFKT tudományának széles körben alkalmazott irányultságában nyilvánul meg.

A matematikatörténeti szakirodalomban a TFCT fejlődéstörténetéről szórványok találhatók, rendszerezést, általánosítást igényelnek.

Emiatt ennek a cikknek a fő célja az Rövid leírás a TFKP fejlesztése és ennek az elméletnek oktatási tárgyként való formálása.

A tanulmány eredményeként a TFCT tudományos és akadémiai tárgyként való fejlődésének következő három szakaszát azonosították:

A komplex számok megjelenésének és felismerésének szakasza;

Akkumulációs szakasz tényleges anyag képzeletbeli mennyiségek függvényei alapján;

Egy komplex változó függvényelméletének kialakulásának szakasza.

A TFKP fejlődésének első szakasza (16. század közepe – 18. század) G. Cardano (1545) munkásságával kezdődik, aki kiadta az Artis magnae sive de regulis algebraitis (Nagy művészet vagy algebrai szabályokról) című művét. G. Cardano munkásságának fő feladata az volt, hogy alátámasztsa a harmadik és negyedik fokú egyenletek megoldására szolgáló általános algebrai módszereket, amelyeket nemrég fedezett fel Ferro (1465-1526), ​​Tartaglia (1506-1559) és Ferrari (1522-1565). ). Ha a köbegyenletet az alakra redukáljuk

x3 + px + q = 0,

és kell lennie

Amikor (p^Ap V (|- 70) az egyenletnek három valós gyöke van, és ezek közül kettő

egyenlőek egymással. Ha akkor az egyenletnek van egy valós és két társ-

fonott összetett gyökerek. A végeredményben összetett számok jelennek meg, így G. Cardano úgy tehette, mint előtte: deklarálhatja az egyenletet

egy gyökér. Amikor (<7 Г + (р V < (). тогда уравнение имеет три действительных корня. Этот так

Az úgynevezett irreducibilis esetet egy olyan vonás jellemzi, amellyel egészen a 16. századig nem találkoztunk. Az x3 - 21x + 20 = 0 egyenletnek három valós gyöke van: 1, 4, - 5, ami könnyű

ellenőrizze egy egyszerű helyettesítéssel. De ^du + y _ ^20y + ^-21y _ ^ ^ ^; ezért az általános képlet szerint x = ^-10 + ^-243 -^-10-4^243 . Komplex, i.e. "hamis", a szám itt nem az eredmény, hanem egy köztes tag a számításokban, amelyek a szóban forgó egyenlet valódi gyökereihez vezetnek. G. Cardano nehézségbe ütközött, és rájött, hogy a képlet általánosságának megőrzése érdekében fel kell hagyni a komplex számok teljes figyelmen kívül hagyásával. J. D'Alembert (1717-1783) úgy vélte, hogy ez a körülmény késztette G. Cardanót és az ezt a gondolatot követő matematikusokat komolyan érdeklődni a komplex számok iránt.

Ebben a szakaszban (a 17. században) két nézőpont volt általánosan elfogadott. Az első álláspontot Girard fejtette ki, aki felvetette a komplex számok korlátlan használatának szükségességének felismerését. A második - Descartes, aki tagadta a komplex számok értelmezésének lehetőségét. Descartes véleményével ellentétes volt J. Wallis álláspontja - a komplex számok valódi értelmezésének létezéséről Descartes figyelmen kívül hagyta. A komplex számokat olyan helyzetekben kezdték „kényszeríteni” az alkalmazott feladatok megoldásában, amikor a valós számok használata összetett eredményhez vezetett, vagy az eredmény elméletileg nem volt elérhető, hanem gyakorlati megvalósítása volt.

A komplex számok intuitív használata oda vezetett, hogy meg kell őrizni a valós számok aritmetikai törvényeit és szabályait a komplex számok halmazán, különös tekintettel a közvetlen átvitelre. Ez néha téves eredményekhez vezetett. Ezzel kapcsolatban aktuálissá váltak a komplex számok igazolásával és az aritmetikai algoritmusok felépítésével kapcsolatos kérdések. Ez egy új szakasz kezdete volt a TFCT fejlesztésében.

A TFKP fejlődésének második szakasza (18. század eleje - 19. század). A XVIII. L. Euler a komplex számok mezőjének algebrai lezárásának gondolatát fejezte ki. A C komplex számok mezejének algebrai lezárása a következő következtetésekre vezette a matematikusokat:

Hogy a függvények tanulmányozása és általában a matematikai elemzés csak akkor nyeri el megfelelő teljességét és teljességét, ha figyelembe vesszük a függvények viselkedését a komplex tartományban;

A komplex számokat változónak kell tekinteni.

1748-ban L. Euler (1707-1783) "Bevezetés az infinitezimálisok elemzésébe" című munkájában egy komplex változót vezetett be, mint a változók legáltalánosabb fogalmát, komplex számokat használva a függvények lineáris tényezőkre való felbontásához. L. Euler joggal tekinthető a TFCT egyik megalkotójának. L. Euler munkáiban részletesen tanulmányozták egy komplex változó elemi függvényeit (1740-1749), megadták a differenciálhatóság feltételeit (1755) és a komplex változó függvényei integrálszámításának kezdetét (1777). L. Euler gyakorlatilag bevezette a konformális leképezést (1777). Ezeket a leképezéseket "kis mértékben hasonlónak" nevezte, és a "konformális" kifejezést először F. Schubert szentpétervári akadémikus használta (1789). L. Euler emellett számos alkalmazást adott egy összetett változó függvényének különféle matematikai problémákra, és megalapozta alkalmazásukat a hidrodinamikában (17551757) és a térképészetben (1777). K. Gauss megfogalmazza az integrál definícióját a komplex síkban, egy integráltételt egy analitikus függvény hatványsorba való kiterjesztésére. Laplace összetett változókat használ a nehéz integrálok kiszámításához, és egy módszert dolgoz ki lineáris, differenciál- és differenciálegyenletek megoldására, amelyet Laplace-transzformációként ismerünk.

1799-től kezdődően megjelennek olyan dolgozatok, amelyekben a komplex szám többé-kevésbé kényelmes értelmezését adják meg, és a rájuk vonatkozó cselekvéseket határozzák meg. Egy meglehetősen általános elméleti értelmezést és geometriai értelmezést K. Gauss csak 1831-ben közölt.

L. Euler és kortársai gazdag örökséget hagytak az utókorra a TFCT-n felhalmozott, hol rendszerezett, hol nem, de mégis szétszórt tények formájában. Elmondhatjuk, hogy a képzeletbeli mennyiségek függvényeire vonatkozó tényanyag megkövetelte elméleti rendszerezését. Ez az elmélet kezdett formát ölteni.

A TFKP kialakulásának harmadik szakasza (XIX. század - XX. század). A fő eredmények itt O. Cauchy-é (1789-1857), B. Riemanné (1826-1866) és K. Weierstrassé (1815-1897). Mindegyikük a TFKP fejlődésének egyik irányát képviselte.

Az első iránynak, amelyet a matematika történetében "a monogén vagy differenciálható függvények elméletének" neveztek, O. Cauchy képviselte. Egy komplex változó függvényeinek differenciál- és integrálszámításáról eltérő tényeket formalizált, az alapfogalmak és a műveletek jelentését képzeletbeliekkel magyarázta. O. Cauchy munkáiban megfogalmazódik a határelmélet és a sorok elmélete és az arra épülő elemi függvények, megfogalmazódik egy tétel, amely teljesen megvilágítja egy hatványsor konvergenciatartományát. 1826-ban O. Cauchy bevezette a levonás (szó szerint: maradék) kifejezést. 1826-tól 1829-ig írt írásaiban megalkotta a dedukciók elméletét. O. Cauchy levezette az integrál formulát; kapott egy létezési tételt egy komplex változó függvényének hatványsorokká való kiterjesztésére (1831). O. Cauchy több változó analitikus függvényei elméletének alapjait fektette le; meghatározta egy komplex változó többértékű függvényeinek fő ágait; először használt síkvágást (1831-1847). 1850-ben bevezeti a monodróm függvények fogalmát, és kiemeli a monogén függvények osztályát.

O. Cauchy követője B. Riemann volt, aki a TFCT saját "geometriai" (második) fejlődési irányát is megteremtette. Munkáiban leküzdötte az összetett változók függvényeivel kapcsolatos elképzelések elszigeteltségét, és ennek az elméletnek új, más tudományágakhoz szorosan kapcsolódó részlegeit alakította ki. Riemann lényegében új lépést tett az analitikus függvények elméletének történetében, azt javasolta, hogy egy komplex változó minden függvényéhez társítsák azt az elképzelést, hogy az egyik régiót leképezzük a másikra. Különbséget tett egy komplex és egy valós változó függvényei között. B. Riemann megalapozta a geometriai függvényelméletet, bevezette a Riemann felületet, kidolgozta a konform leképezések elméletét, megteremtette az analitikus és harmonikus függvények kapcsolatát, figyelembe vette a zéta függvényt.

A TFKP továbbfejlesztése más (harmadik) irányban történt. Ennek alapja a függvények hatványsoros ábrázolásának lehetősége volt. Ez az irányzat a történelemben az „analitikus” nevet kapta. Weierstrass K. munkáiban alakult ki, amelyben az egységes konvergencia fogalmát helyezte előtérbe. K. Weierstrass megfogalmazott és bizonyított egy tételt a hasonló kifejezések sorozatban való redukálásának jogszerűségéről. K. Weierstrass alapvető eredményt ért el: egy adott tartományon belül egyenletesen konvergáló analitikai függvénysorozat határa egy analitikus függvény. Képes volt általánosítani Cauchy tételét egy komplex változó függvényének hatványsorbővítéséről, és leírta a hatványsorok analitikus folytatásának folyamatát és annak alkalmazását differenciálegyenlet-rendszer megoldásainak ábrázolására. K. Weierstrass nemcsak a sorozat abszolút konvergenciájának tényét állapította meg, hanem az egyenletes konvergenciát is. A Weierstrass-tétel egy teljes függvény szorzattá való kiterjesztésére vonatkozik. Megalapozza számos változó analitikus függvényeinek elméletét, építi a hatványsorok oszthatóságának elméletét.

Tekintsük az analitikus függvények elméletének fejlődését Oroszországban. század orosz matematikusai. sokáig nem akarták a matematika egy új területének szentelni magukat. Ennek ellenére több olyan nevet is megnevezhetünk, akik számára nem volt idegen, és felsorolhatunk ezen orosz matematikusok munkáit és eredményeit.

Az egyik orosz matematikus M.V. Osztrogradszkij (1801-1861). Az M.V-ről Osztrogradszkijról keveset tudunk az analitikus függvények elmélete terén, de O. Cauchy dicsérettel beszélt erről a fiatal orosz tudósról, aki integrálokat alkalmazott, új bizonyításokat adott a képletekre és általánosított más képleteket. M.V. Osztrogradszkij megírta a "Megjegyzések a határozott integrálokra" című munkát, amelyben levezette a Cauchy-képletet egy függvénynek az n-edik rendű pólusra való levonására. Egy 1858-1859-ben tartott széleskörű nyilvános előadási kurzusban vázolta a maradékelmélet és a Cauchy-formula alkalmazásait a határozott integrálok számítására.

N.I. számos műve. Lobacsevszkij, amelyek közvetlen jelentőséggel bírnak egy komplex változó függvényelméletében. Az összetett változó elemi függvényeinek elméletét az "Algebra vagy véges számítása" című munkájában (Kazan, 1834) tartalmazza. Amelyben cos x és sin x kezdetben valós x-hez valós és valósként van definiálva

az ex^ függvény képzeletbeli része. Az exponenciális függvény és a hatványkiterjesztés korábban megállapított tulajdonságait felhasználva levezetjük a trigonometrikus függvények összes főbb tulajdonságát. Által-

Nyilvánvalóan Lobacsevszkij különös jelentőséget tulajdonított a trigonometria ilyen, az euklideszi geometriától független, tisztán analitikus felépítésének.

Azt lehet állítani, hogy a XIX. század utolsó évtizedeiben. és a 20. század első évtizede. egy komplex változó függvényelméletének alapkutatása (F. Klein, A. Poincaré, P. Kebe) annak fokozatos feltárásából állt, hogy Lobacsevszkij geometriája egyben egy komplex analitikus függvényeinek geometriája is. változó.

1850-ben a szentpétervári egyetem professzora (később akadémikus) I.I. Somov (1815-1876) kiadta az analitikus függvények elméletének alapjait, amelyek Jacobi új alapjaira épültek.

Azonban az első valóban „eredeti” orosz kutató egy összetett változó analitikus függvényeinek elmélete területén Yu.V. Szohotsky (1842-1929). Megvédte „Az integrál maradékok elmélete néhány alkalmazással” (Szentpétervár, 1868) című kandidátusi értekezését. 1868 őszétől Yu.V. Sokhotsky kurzusokat tartott egy képzeletbeli változó függvényeinek elméletéről és a tört folytatásáról, elemzési alkalmazásokkal. Mesterdolgozat Yu.V. Sokhotsky elkötelezett a maradékok elméletének egy hatványsorok megfordítására (Lagrange-sor) való alkalmazására, és különösen az analitikai függvények folyamatos törtekre való kiterjesztésére, valamint a Legendre-polinomokra. Ebben a cikkben megfogalmazzuk és bebizonyítjuk az analitikus függvény viselkedéséről szóló híres tételt egy lényeges szinguláris pont szomszédságában. Sokhotsky doktori disszertációjában

(1873) először vezeti be a Cauchy típusú integrál fogalmát kiterjesztett formában: *r/ ^ & _ ahol

a és b két tetszőleges komplex szám. Az integrált valamilyen a-t és b-t összekötő görbe („pálya”) mentén kell felvenni. Ebben a munkában számos tételt bizonyítunk.

Az analitikus függvények történetében óriási szerepet játszottak N.E. Zsukovszkij és S.A. Chaplygin, aki alkalmazásainak határtalan területét nyitotta meg az aero- és hidromechanikában.

Az analitikus függvények elméletének fejlődéséről szólva nem szabad megemlíteni S.V. tanulmányait. Kovalevskaya, bár fő jelentésük kívül esik ezen az elméleten. Munkája sikerét a probléma teljesen új megfogalmazása az analitikus függvények elmélete és a t idő komplex változóként való figyelembe vételének köszönhette.

A XX. század fordulóján. változik a tudományos kutatás jellege egy komplex változó függvényelmélete területén. Ha korábban ezen a területen a kutatások nagy része a három irány valamelyikének (a monogén vagy differenciálható Cauchy-függvények elmélete, Riemann geometriai és fizikai elképzelései, Weierstrass analitikai iránya) fejlesztése szempontjából folyt, akkor most a különbségek ill. a hozzájuk kapcsolódó viták leküzdése, megjelenése és gyors növekedése folyamatban van, azon művek száma, amelyekben az ötletek és módszerek szintézise valósul meg. Az egyik alapfogalom, amelyen egyértelműen megmutatkozott a geometriai ábrázolások és a hatványsorok apparátusa közötti kapcsolat és megfeleltetés, az analitikus folytatás fogalma volt.

A XIX. század végén. Egy komplex változó függvényelmélete kiterjedt tudományágat foglal magában: a függvények geometriai elméletét, amely a konform leképezések és a Riemann-felületek elméletén alapul. A különféle típusú függvények elméletének integrál formáját kaptuk: egész és meromorf, elliptikus és moduláris, automorf, harmonikus, algebrai. Az utolsó függvényosztályhoz szorosan kapcsolódóan kidolgozták az Abeli-integrálok elméletét. A differenciálegyenletek analitikus elmélete és a számok analitikus elmélete csatlakozott ehhez a komplexumhoz. Az analitikus függvények elmélete kapcsolatot teremtett és megerősített más matematikai tudományágakkal.

A TFCT és az algebra, a geometria és más tudományok közötti kölcsönhatások gazdagsága, magának a TFCT tudományának szisztematikus alapjainak megteremtése, nagy gyakorlati jelentősége hozzájárult a TFCT mint akadémiai tárgy kialakulásához. Az alapok kialakításának befejezésével azonban új gondolatok kerültek be az analitikus függvények elméletébe, jelentősen megváltoztatva annak összetételét, jellegét és céljait. Megjelennek olyan monográfiák, amelyek az analitikus függvények elméletének szisztematikus kifejtését tartalmazzák az axiomatikushoz közeli stílusban, és oktatási célokat is szolgálnak. Nyilvánvalóan a vizsgált korszak tudósai által a TFCT-vel kapcsolatos eredmények jelentősége késztette őket arra, hogy a TFCT népszerűsítését a monográfiai tanulmányok oktatási és publikálása formájában tanítsák. Megállapítható, hogy a TFCT tanulásként jelent meg

tantárgy. 1856-ban Ch. Briot és T. Bouquet kiadott egy kis visszaemlékezést "Az egy képzeletbeli változó funkcióinak vizsgálata", amely lényegében az első tankönyv. Előadásokon kezdték kidolgozni az általános fogalmak a komplex változó függvényének elméletében. K. Weiersht-rass 1856 óta a függvények konvergens hatványsorokkal való ábrázolásáról, 1861 óta pedig az általános függvényelméletről tartott előadásokat. 1876-ban jelent meg Weierstrass K. különleges munkája: "Az egyértékű analitikus függvények elméletéről", 1880-ban pedig "A függvények doktrínájáról", amelyben az analitikus függvények elmélete bizonyos teljességet kapott.

Weierstrass előadásai sok éven át prototípusként szolgáltak egy komplex változó függvényelméletéről szóló tankönyvekhez, amelyek azóta is gyakran megjelentek. Az ő előadásaiban épült fel alapvetően a matematikai elemzés modern szigorúsági színvonala, és a hagyományossá vált szerkezetet emelték ki.

IRODALOM

1. Andronov I.K. Valós és komplex számok matematikája. M.: Oktatás, 1975.

2. Klein F. Előadások a matematika fejlődéséről a XIX. M.: ONTI, 1937. 1. rész.

3. Lavrentiev M.A., Shabat B.V. Egy komplex változó függvényelméletének módszerei. Moszkva: Nauka, 1987.

4. Markushevich A.I. Az analitikus függvények elmélete. M.: Állam. Műszaki és elméleti irodalom kiadója, 1950.

5. A 19. század matematikája. Geometria. Az analitikus függvények elmélete / szerk. A. N. Kolmogorova és A. P. Juskevics. Moszkva: Nauka, 1981.

6. Mathematical Encyclopedia / Fejezet. szerk. I. M. Vinogradov. M.: Szovjet enciklopédia, 1977. T. 1.

7. Mathematical Encyclopedia / Fejezet. szerk. I. M. Vinogradov. M.: Szovjet Enciklopédia, 1979. 2. évf.

8. Fiatal V.N. A számtan alapjai a 18. és a 19. század elején. Moszkva: Uchpedgiz, 1963.

9. Rybnikov K.A. A matematika története. M.: Moszkvai Állami Egyetem Kiadója, 1963. 2. rész.

NEM. Lyakhova A SÍKGÖRBÉKEK ÉRINTÉSE

A síkgörbék érintésének kérdése abban az esetben, ha a közös pontok abszcisszáit egy Рп x = 0 alakú egyenletből találjuk meg, ahol Р x valamilyen polinom, közvetlenül kapcsolódik a kérdéshez.

a Pn x polinom gyökeinek többszörösén. Ebben a cikkben olyan függvények explicit és implicit hozzárendelésének eseteire fogalmazzuk meg a megfelelő állításokat, amelyek grafikonjai görbék, és bemutatjuk ezen állítások alkalmazását a problémák megoldásában.

Ha az y \u003d f (x) és y \u003d cp x függvények grafikonjainak van közös pontja

M() x0; v0 , azaz y0 \u003d f x0 \u003d cp x0 és az M () x0 pontban rajzolt jelzett görbék érintői; v0 nem esik egybe, akkor azt mondjuk, hogy az y = fix) és y - cp x görbék a Mo xo pontban metszik egymást;

Az 1. ábra a függvénygrafikonok metszéspontjára mutat példát.

átirat

1 Laplace-transzformáció Rövid információ Az áramkörelméletben széles körben használt Laplace-transzformáció egy olyan integráltranszformáció, amelyet az f idő függvényeire alkalmaznak, amelyek nullával egyenlő< L { f } f d F, где = + комплексная переменная Величина выбирается так, чтобы интеграл сходился Если функция f возрастает не быстрее, чем экспонента, то интеграл преобразования Лапласа сходится, если >Bebizonyítható, hogy ha a Laplace-integrál valamilyen s értékre konvergál, akkor olyan F függvényt definiál, amely a teljes > s félsíkban analitikus. Az így definiált F függvény analitikusan kiterjeszthető a teljes félsíkra. komplex változó = +, kivéve az egyes szinguláris pontokat. Leggyakrabban ezt a folytatást úgy hajtják végre, hogy az integrál számítása során kapott képletet kiterjesztik a komplex teljes síkjára változó Funkció F, analitikusan folytatta az egészet összetett sík, az f időfüggvény Laplace-képének nevezzük, vagy egyszerűen a képnek Az F képéhez viszonyított f függvényt eredetinek nevezzük. Ha az F kép ismert, akkor az eredeti az f F d inverz Laplace-transzformáció segítségével kereshető. > közvetlen, párhuzamos az ordináta tengellyel Az értéket úgy választjuk meg, hogy az R > félsíkban ne legyenek szinguláris pontjai az F függvénynek. Az eredeti meghatározását ismert képből inverz Laplace-transzformációnak nevezzük, és a szimbólummal jelöljük. f L ( F ) L 7

2 Tekintsük a Laplace-transzformáció néhány tulajdonságát Linearitás Ez a tulajdonság felírható egyenlőségként L( f f ) L( f ) L( f ) df L( ) d df d F f d f függvény deriváltjának Laplace transzformációja 3 Laplace transzformációja az integrál: L( f d) d f 8 f d d F df: d f f d d az egyenlőség még mindig Ohm törvény alakja, de már a feszültség és áram képeinél Az induktivitáson átívelő pillanatnyi feszültségre a d i u L összefüggés megy végbe, d i e ott nincs egyenes arányosság. Ohm törvénye itt nem áll fenn A Laplace-transzformáció után U = LI LI+ kapjuk

3 Ha, mint gyakran előfordul, I + =, akkor az arány U = LI alakot ölt, így a feszültség és az áram képére ismét érvényes Ohm törvénye Az ellenállás szerepét az L érték játssza, amely a induktivitás ellenállásának nevezzük C A Laplace-transzformáció után ez az arány U I alakot ölt, C t e Ohm-törvény alakja, a kapacitás pedig egyenlő C-vel Készítsünk táblázatot a talált elemi függvények direkt és inverz Laplace-transzformációiról az áramkörök elméletében. Laplace-nél ennek a függvénynek a transzformációja L ( ) L ( ) d d 3 L ( ) 4 L ( ) 5 L (sin ) 9

4 3 6 ) (cos L 7 ) ( ) sin ( L L ) ( L 8 ) cos ( L 9 ) ( F d f f L! n d n n n n n L! n n n L m< n и знаменатель имеет только простые корни Тогда n n K K K B, где, n корни полинома B, стоящего в знаменателе изображения Коэффициенты K, K, K n могут быть найдены следующим

5 3 Bontsuk fel a képet egyszerű törtekre és szorozzuk meg: n n K K K K B Most hajlamosak vagyunk Ekkor csak K marad a jobb oldalon: lim B K ismert: L Ezért " n B B L Érdekes az a speciális eset, amikor az egyik gyöke a nevező egyenlő nullával: B F Ebben az esetben az F egyszerű törtekre való kiterjesztése az előzőből következően a következő alakot kapja: " n B B B és B nullán nincs gyöke

6 3 Innentől az F függvény inverz Laplace-transzformációja a következő alakú lesz: n B B B " L Tekintsünk még egy esetet, amikor a B nevezőben lévő polinomnak több gyöke van. Legyen m< n и корень кратности l При разложении на простые дроби этому корню соответствует сумма: l l l K K K Обратное преобразование слагаемых этой суммы мы уже имели выше см п:! n n n L Таким образом, обратное преобразование суммы будет иметь вид: M, где M полином от степени l

7 Az áramkörök néhány általános tulajdonsága Legyen egy komplex áramkör P ágak és Q csomópontok. Ekkor az első és a második Kirchhoff-törvény szerint P + Q egyenletek készíthetők az ágakban lévő P áramokra és Q csomóponti potenciálokra Az egyik Q csomóponti potenciál nullának tételezzük fel De az egyenletek száma Q-n csökkenthető, ha a hurokáramokat váltakozó áramként használjuk Ilyenkor az első Kirchhoff-törvény automatikusan teljesül, hiszen minden áram belép és kilép a csomópontból, azaz nullával egyenlő összáramot ad, és emellett a Q csomóponti potenciálok a hurokáramokban vannak kifejezve. Az egyenletek teljes száma, így a független áramkörök egyenlővé válnak P + Q Q = P Q + Független egyenletek is megadhatók. Közvetlenül felírva, ha az áramköri áramokat ismeretlennek vesszük.A független áramkörök olyanok lesznek, amelyek mindegyike tartalmaz legalább egy olyan ágat, amely nem szerepel egyik kontúrban sem ábra. Mindegyik kontúrhoz egyenleteket állítunk össze a következő módon: a második Kirchhoff-törvény a Általános esetben az elágazás ellenállása i R i C i L ahol i, =, n, n a független áramkörök száma Az áramköri áramok egyenletei: I I n I n E; I I n I n E; ni n I nn I n En i, Itt E i az összes emf összege i-edik áramkör Az azonos indexű ii ellenállásokat az i-edik áramkör belső ellenállásának, a különböző i indexű ellenállásokat pedig kölcsönös ellenállásnak vagy az i-edik és -edik áramkör csatlakozási ellenállásának nevezzük. az i-edik áramkörben Az i ellenállás az ellenállás része i-edik 33 ábra Példa független kontúrokra

8 Az m-edik áramkör egyenlete így fog kinézni: olyan áramkör, amely a -edik áramkörben is benne van Nyilvánvalóan passzív áramkörre érvényes az i = i egyenlőség. Nézzük meg, hogyan változnak az áramköri áramok egyenletei olyan aktív áramkörök esetén, amelyek tranzisztorok, I i ábra A második tagot a jobb oldalról a bal oldalra áthelyezve ezt az egyenletet a következőképpen alakítjuk át: mi mi I i mn I n Em ismeretlenek, csomóponti potenciálokat is használunk, az egyik potenciálból számolva. csomópontok, nullának vesszük Az EMF generátorok helyett áramgenerátorok használatosak Y ami a következőképpen írható át: ahol ábra Tranzisztor ekvivalens áramköre összetett áramkörben U YU U YnU U n I, Y U Y U Y nu n I, Y Y Y Y n

9 A csomóponti potenciálok egyenletrendszerének alakja Y U YU Y nu n I; YU YU Y nu n I; Yn U Yn U YnnU n Ahol Y i az i-edik és -edik csomópont összekötésének vezetőképessége: Nyilvánvaló, hogy Y i G i L i Yi Y i C Ez a szimmetria megszűnik, ha az áramkör tranzisztorokat, lámpákat tartalmaz. vagy más aktív elemek, a függő áramforrásokat tartalmazó ekvivalens áramkör Nézzük most az áramköri egyenletek megoldásait. a rendszer, ugyanaz a determináns, amelyben az -edik oszlopot a jobb oldali E, E, E n részekből származó elektromotoros erők helyettesítik. Tegyük fel, hogy az áramkörben csak egy EMF van, amely a bemeneti áramkörben van, amelyhez a első szám Az egyenleteket úgy kell felállítani, hogy csak egy áramköri áram menjen át a számunkra érdekes ágon. determináns i 4. ábra Áramkör EMF-el a 35 bemeneti áramkörben

10 Az E I arányt bemeneti ellenállásnak nevezzük Ezzel szemben ez az ellenállás figyelembe veszi az összes áramkör befolyását A második kimeneti áramkörnél I 36 E lesz, ahol a megfelelő algebrai összeadás A T I E arányt átvitelnek nevezzük. Az ellenállás az első áramkörtől a másodikig Hasonlóképpen a csomóponti potenciál egyenletekből is megkaphatja a bemeneti vezetőképességet 5. ábra 5. ábra Áramkör az "U I" I, Y "Y" bemeneten áramforrással és az átviteli vezetőképesség az első csomópont a másodikhoz: U " I " I Y T, Y T " " ahol I az első csomópontba betáplált áram, U és U az első és második csomóponton kapott feszültségek, " a rendszer fő meghatározója csomóponti potenciálok egyenletei, és " i a megfelelő algebrai komplementer és Y között van egy Y reláció Egy passzív áramkörre volt = Ezért a rendszer fő meghatározója szimmetrikus. Ebből következik, hogy ill. algebrai összeadások egyenlőek: = Ezért az átviteli ellenállások is egyenlőek T = T Ezt a tulajdonságot reciprocitás tulajdonságnak nevezzük A reciprocitás feltétele, mint látjuk, az ellenállási mátrix szimmetriája A reciprocitás tulajdonságot a következőképpen fogalmazzuk meg 6. ábra: ha az EMF a bemeneti áramkörben bizonyos áramot okoz a kimeneti áramkörben, akkor ugyanaz az EMF, amely a kimeneti áramkörben van, okoz a bemeneti áramkörben,

11 azonos értékű áram Röviden, ezt a tulajdonságot néha a következőképpen fogalmazzák meg: Az EMF a bemeneti áramkörben és az ampermérő a kimeneti áramkörben felcserélhető, miközben az ampermérő leolvasása nem változik 7 U E 7. ábra Feszültségátviteli tényező, majd A következőképpen: a 7. ábra diagramja: U U I n; ; K n E T E ; I T U n Hasonlóképpen meghatározható az áramátviteli együttható I K I 8. ábra: I Ennélfogva I U Yн I ; Y ; K n I YT I U Y T I 8. ábra Áramátviteli arány Yn Y T T 37

12 3 Bővebben az áramköri függvények általános tulajdonságairól Az áramköri függvények egyenletek megoldásával kapott változó függvényei, például bemeneti ellenállásvezetés, ellenállásvezetési átvitel stb. Összevont paraméterekkel rendelkező áramkörök esetén bármely áramköri függvény racionális az változó és egy tört m Ф B b n m n b m m n n 38 b b és az együtthatók valósok Ellenkező esetben Ф b m n m-ként ábrázolható, " " " ahol, m, ", ", " n az m b n m n b m n m, It n b b Ф egyenletek gyökerei Nyilvánvaló, hogy két olyan racionális függvény, amelyek nullái és pólusai egybeesnek, csak állandó tényezőkkel térhet el egymástól, vagyis az áramköri paraméterek frekvenciától való függésének jellegét teljes mértékben meghatározzák az áramköri függvény nullák és pólusai. Mivel a polinomok valós együtthatók, ha konjugált értékkel helyettesítjük * a polinom megkapja a konjugált értéket * = * és B * = B * Ebből következik, hogy ha az im polinom összetett gyöke van, akkor gyök is lesz. Így a láncfüggvény nullái és pólusai lehetnek valósok vagy összetett konjugált párokat alkothatnak. Legyen Ф a láncfüggvény Tekintsük az értékeit = : Ф Ф Ф F F n,

13 De F F F, F F F Ezeket az egyenlőségeket összehasonlítva, a fent megadott egyenlőséget figyelembe véve azt kapjuk, hogy F F, F F, azaz az áramköri függvény valós része a frekvencia páros függvénye, a frekvencia képzeletbeli páratlan függvénye pedig egy egyenlőség, amely meghatározza a bemeneti ellenállásban az U feszültség által okozott áramerősség: U I B Legyen U egységnyi lépés, és Ekkor I, B ahol és B polinomok tól A kiterjesztési képlet segítségével megkaphatjuk i B B" ahol a B polinom nullai ill. , ezért az ellenállásfüggvény nullai és a nullák fő determinánsa: = Ha legalább egy nullának pozitív valós része van, akkor i végtelenül növekedni fog

14 me Ugyanezt a következtetést vonhatjuk le a T átviteli ellenállásra, az Y bemeneti vezetőképességre, az Y T átviteli vezetőképességre vonatkozóan is. Definíció Egy áramköri függvényt akkor nevezünk fizikailag megvalósíthatónak, ha egy olyan áramkörnek felel meg, amely valós elemekből áll, és amelynek egyik természetes rezgése sem amplitúdója korlátlanul növekszik az idő múlásával A definícióban meghatározott áramkört stabilnak nevezzük.A fizikailag megvalósítható stabil áramköri függvény fő meghatározójának nullái és ezért az ellenállási és vezetőképességi függvények nullái csak a bal felében helyezkedjenek el -a változó síkján vagy a valós frekvenciatengelyen. Ha két vagy több nulla egybeesik, több gyök, akkor a megfelelő megoldások alakja: M, ahol M egy m fokú polinom, m az o gyök együtthatójának többszöröse e átvitelre, akkor a fentiek nem a nullákra, hanem az átviteli együtthatós áramkör függvényének pólusaira vonatkoznak Valójában: n K T nullái a K függvény pólusai, az n terhelési ellenállás pedig passzív ; nullái minden bizonnyal a megfelelő síkban helyezkednek el A fentiekből következik, hogy a fizikailag megvalósítható láncfüggvények a következő tulajdonságokkal rendelkeznek: és a láncfüggvény nullái és pólusai vagy valósak, vagy összetett konjugált párokat alkotnak; b az áramköri függvény valós és képzetes részei valós frekvencián vannak, a frekvencia páros és páratlan függvényei; a fődetermináns nullaiba, ezért a vezetési ellenállás és az átviteli vezetési ellenállás nem lehet a jobb félsíkban, több nulla pedig sem a jobb félsíkban, sem a valós frekvenciatengelyen T 4

15 3 Tranziensek az erősítőkben Az áramkör egyenletrendszerének megoldása egy adott bemeneti kimeneti jel képét adja U = KE Az áramkör függvénye az időtartományban az u L ( K E ) Of inverz Laplace transzformáció segítségével kereshető meg. a legnagyobb érdeklődés átmeneti folyamat bemeneti jellel lépés formájában A rendszer reakcióját egyetlen lépésre átmeneti függvénynek nevezzük Tudva átmeneti funkció, megtalálhatja a rendszer válaszát a tetszőleges alakú bemeneti jelre.fekszik a pólustól jobbra = Nagyon érdekes a 3. definíció: h r K d K r r K r d d r r

16 4 Térjünk át az r határig Akkor van d K V K K d K V h frekvencia válasz nyereség Ebből a képletből levonhatunk néhány általános következtetést Cseréljük le a h változót a következőre: d K V K h De h, amint az oksági elvből következik, mivel a jel képzetes részben jelenik meg: K = K + K r Behelyettesítve a h kifejezést kapunk d K K V K r Tiszteletben differenciálva d K K r vagy cos sin sin cos d K K K K r r

17 Az integrandus imaginárius része a frekvencia páratlan függvénye, ezért ennek integrálja egyenlő nullával Mivel a valós rész a frekvencia páros függvénye, a feltétel, amelyet a fizikailag megvalósult átviteli együtthatónak teljesítenie kell, a következő: az oksági elvből. Megmutatható, hogy egy olyan rendszer, amelynek átviteli együtthatója a K, B polinomok arányaként írható fel, stabil abban az értelemben, hogy a B polinom összes nullája a bal félsíkban van, kielégíti az oksági elvet. tanulmányozzuk a K h d integrált< и >Vezessünk be két zárt kontúrt és B-t, a 3. ábrán látható 3. ábra Integrációs kontúrok: at< ; B при > 43

18 44 Tekintsünk egy függvényt, ahol az integrált zárt körvonal mentén vettük fel.A Cauchy-féle integráltétel miatt az integrál egyenlő nullával, mivel a jobb oldali félsíkban lévő integrandus feltétel szerint analitikus.Az integrál felírható így integrálok összege az integrációs kontúr egyes szakaszaira: sin cos R r R r r R R d R R K r d r r K d K d K h< < /, то при < последний интеграл стремится к нулю при R т е h h при R Отсюда следует что h при < Рассмотрим функцию где интеграл берется по контуру B Здесь R вычеты подынтегральной функции относительно полюсов, лежащих в левой полуплоскости Аналогично предыдущему можно показать, что при >h B h tart R-re Így: R h, >-re

19 A maradék egy egyszerű pólusra vonatkoztatva egyenlő R B"-vel, ami már korábban is volt K lim, 45 lim B ahol RC Bizonyítsuk be, hogy a fent megadott oksági feltétel szerint az egyenlőségnek teljesülnie kell. A cos sin d cos egyenlőség d ismert.. A jobb és bal részeket a következőképpen különböztetjük meg: sin d Ennek az egyenlőségnek a bal és jobb részét megszorozva a következőt kapjuk: sin d, amelyből a bizonyítandó egyenlőség következik A rendszer átmeneti függvénye birtokában meg tudja találni a válaszát bármely bemeneti jelre Ehhez közelítőleg ábrázoljuk a bemeneti jelet egységlépések összegeként 34. ábra.

20 34. ábra Bemutató bemeneti jel Ezt a reprezentációt a következőképpen írhatjuk fel: u u u Következő, u u "Egy egységlépésre adott válasz h-val lesz egyenlő. Ezért a kimenő jelet megközelítőleg a következőképpen ábrázolhatjuk: u u h u" h Ha az összeg helyett a határértékhez lépünk, azt kapjuk az u u h u" h d integrált részenként, megkaphatja a Duhamel-integrál egy másik alakját: u u h u h" d És végül a = " változó változtatásával a Duhamel-integrál további két alakját kaphatja meg: u u h u" h d ; u u h u h" d 46

21 4 A kétpólusú áramkörök egyes tulajdonságai 4 A bemeneti vezetési ellenállás függvény általános tulajdonságai A két kivezetést teljes mértékben a bemeneti vezetési ellenállás függvénye jellemzi Ennek a függvénynek a jobb oldali félsíkjában nem lehetnek nullák, valamint több nulla a valós frekvenciatengely Mivel Y, így Y nullái a pólusoknak felelnek meg és fordítva, ezért a bemeneti vezetőképesség-ellenállás függvényében nem lehetnek pólusok a jobb félsíkban és több pólus a valós frekvenciatengelyen Passzív kétpólusú hálózatok mindig stabilak, mivel nem tartalmaznak energiaforrást A bemeneti vezetőképességi ellenállás kifejezése: m b n m n b m n 47 m n b b a következő aszimptotikus egyenlőség teljesül: b m mn lizi = hasonlóképpen kimutatható, hogy a számláló és a nevező legkisebb kitevője nem térhet el eggyel többel Ezeknek az állításoknak a fizikai jelentése az, hogy nagyon magas és nagyon alacsony frekvenciákon egy passzív kétterminális hálózatnak úgy kell viselkednie, mint egy kapacitás vagy induktivitás vagy aktív ellenállás n, 4 Kétterminális hálózat energiafüggvényei Tegyük fel, hogy egy kétterminális hálózat valamilyen komplex áramkör, amely aktív ellenállásokat, kapacitásokat és induktorokat tartalmaz.

Ha egy kétpólusú hálózat kapcsaira szinuszos feszültséget kapcsolunk, akkor a kétvégű hálózatban némi teljesítmény disszipál, melynek átlagértéke P jellemzi az energiadisszipációt.. Az elektromos és mágneses energiák a kapacitásokban és az induktivitásokban tárolódnak, amelyek átlagértékeit W E és W H jelöli. Ezeket a mennyiségeket a hurokáramok egyenleteivel számítjuk ki. Közvetlenül a legegyszerűbb esetekkel analógiával írjuk fel a fenti mennyiségek kifejezéseit. Tehát az R ellenállásra a az átlagos teljesítménydisszipáció P R I I Hasonlóan több ágat tartalmazó áramkör esetén, átlagos teljesítmény hurokáramokkal fejezhető ki: P i R i I i I Az induktivitásban tárolt átlagos energia W H L I I Összetett áramkör esetén ezt az értéket hurokáramokkal fejezzük ki: W H 4 i L i I 4 I I C 48

23 Ezen összefüggés alapján felírhatunk egy kifejezést a teljes átlagos elektromos energiára: W E 4 Ii I i Ci Nézzük meg, hogyan kapcsolódnak ezek a mennyiségek bemeneti feszültségekés áramok Ehhez felírjuk az I R I L I E hurokáramok egyenleteit; C I R i I Li I ; Ci Szorozzuk meg az egyenleteket a megfelelő 49 Ii árammal, és adjuk össze az összes I Ii Ri I Ii Li I Ii EI i i i Ci Ha R i = R i ; L i = L i ; C i = C i, vagyis az áramkör kielégíti a reciprocitás elvét, és nincsenek aktív elemek, akkor: i i i R I I P ; i i L I I 4W ; i I I i E i Ci H 4 W függvények

24 Tellagen tétele lehetővé teszi, hogy az Y ellenállásra és vezetőképességre kifejezéseket találjunk az energiafüggvények alapján: E I E I I I I I E Y E E E E 5 P WH W I I P WH W E E csak akkor nulla, ha nincs energiaveszteség az áramkörben A stabilitási feltételek megkövetelik, hogy mindkét Y-nek ne legyen nullája, ill. Nincsenek pólusok a jobb oldali félsíkban A pólusok hiánya azt jelenti, hogy Y egyben analitikus függvény is a jobb oldali félsíkban Egy komplex változó függvényelméletében van egy tétel, hogy ha egy függvény egy adott tartományban analitikus , akkor valós és képzeletbeli részei a tartomány határán érik el legkisebb és legnagyobb értéküket Mivel a bemeneti ellenállás és vezetőképesség függvényei a jobb oldali félsíkban analitikusak, így a valós része a határon a valós frekvenciatengelyen ez a tartomány éri el a legkisebb értéket, de a valós frekvenciatengelyen a valós rész nem negatív, ezért a teljes jobb oldali félsíkban pozitív. Ráadásul a függvények és Y valós értéket vesz fel valós értékekre, mivel ezek a valós együtthatós polinomok osztásának hányadosát jelentik Azt a függvényt, amely valós értékeket vesz fel valós értékeken, és pozitív valós része van a jobb oldali félsíkban, pozitív valós függvénynek nevezzük. A bemeneti ellenállás a konduktanciafüggvények pedig pozitív valós függvények A függvény pozitív valós függvény volt 3 A valós frekvenciatengelyen lévő képzeletbeli rész nullával egyenlő, ha a kétvégű hálózat nem tartalmaz reaktív elemeket vagy a mágneses és E E átlagos tartalékait;

25 elektromos energia egy kétterminális hálózatban azonos, ez rezonancián megy végbe; azt a frekvenciát nevezzük rezonanciafrekvenciának forrásból, ez a képlet hibásnak bizonyulhat Példaként a 4. ábrán egy soros rezgőkör diagramja látható. Nézzük, mit ad az energiaképlet ebben a legegyszerűbb esetben Az R ellenállásban disszipált teljesítmény, amikor I áram folyik egyenlő: P I R. Az elektromos és mágneses energiák átlagos tartalékai: W H L I C U ; W E A kapacitáson lévő U feszültség, amikor az I áram folyik, tehát W E I U C I C A képletben szereplő energiát behelyettesítve L I I R I 4. ábra Soros rezonanciaáramkör I C R L C, ahogy az egy soros áramkörtől elvárható.

26 Itt E E C C S I S E R R RC RC C C Legyen, S >> C így a zárójelben lévő első tag figyelmen kívül hagyható S a lámpa meredeksége Ekkor a Bemeneti ellenállás ekkor S I E RC E RC I S S RC lesz ahol Req; Leq S S a függő forrás áramkörben Felvétel az áramkörben vezérlő rács szükséges fáziseltolódás, a bemeneti feszültség és áram között induktív vagy kapacitív fáziseltolódás érhető el, és ennek megfelelően a bemeneti ellenállásfrekvenciák induktív vagy kapacitív jellege. Bármilyen frekvenciára azonosan nullával lehet egyenlő az áramkör elemeinek nincs vesztesége, azaz tisztán reaktívak, de még ha veszteségek is vannak, az ellenállás vagy vezetőképesség valós része bizonyos frekvenciákon eltűnhet 5

27 Ha a képzeletbeli tengelyen sehol sem tűnik el, akkor az ellenállás- vagy vezetőképesség-függvényből a fizikai megvalósíthatóság feltételeinek megsértése nélkül levonható egy bizonyos állandó érték, így a nem negatívnak maradó valós rész bizonyos gyakorisággal eltűnik. a vezetőképességi ellenállásfüggvénynek nincsenek pólusai a változó jobb oldali félsíkjában, azaz ebben a tartományban analitikus, akkor a valós részének határán, azaz a képzeletbeli tengelyen van egy minimális érték, ezért ezt a minimumot levonva érték a valós részt pozitívan hagyja a jobb oldali félsíkban -a vezetés aktív ellenállása, ha a valós része eltűnik a valós frekvenciatengelyen, így ennek a komponensnek a csökkenése lehetetlen a passzivitás feltételeinek megsértése nélkül. egy minimálisan aktív áramkör eltűnik, egyidejűleg eléri a minimumot, akkor a valós rész nullája a valós frekvenciatengelyen legalább többszöröse. Példa A 43. ábra azokat a legegyszerűbb áramköröket mutatja, amelyeket a minimális aktív vezetési ellenállásra elemzünk R C R C R L R C R C a b c d 43. ábra Áramkörök: minimális aktív vezetőképesség a, minimális aktív ellenállás b , c és nem minimálisan aktív d típusú A 43. a ábrán az áramkör nem-minimálisan aktív típusú bemeneti ellenállással rendelkezik, mivel az ellenállás valós része egyetlen valós frekvencián sem tűnik el. a vezetőképesség valós része a frekvencián eltűnik = Ezért az áramkör minimálisan aktív vezetőképességű A 43. b ábrán az áramkör minimálisan aktív ellenállású áramkör, mivel az ellenállás valós része végtelen frekvencián 53 eltűnik.

28 A 43. ábrán c egy R = minimális aktív ellenállású áramkör a soros áramkör rezonanciafrekvenciáján A 43. d ábrán az áramkör nem minimálisan aktív A 3. körben lévő áramkör véges ellenállású a rezonanciafrekvencián az ilyen kétvégű hálózatok bizonyos körülmények között instabilok lehetnek.Fontoljuk meg az itt elérhető lehetőségeket.Az ellenállásnak a változó jobb oldali félsíkjában nullák vannak, de ott nincsenek pólusai exponenciálisan növekvő megoldások, azaz két- pólus A nick instabil, ha EMF-forrásról táplálják, vagy ha a kivezetései rövidzárlatosak, azaz a valós frekvencia tengelye Ez a minimum negatív, mert különben pozitív valós függvény lenne, és nem lehet nulla a jobb félsíkban. A valós frekvenciatengelyen lévő valós rész minimuma nullára növelhető pozitív valós ellenállás hozzáadásával Ebben az esetben a + R függvény pozitív valós függvénnyel lesz, ezért egy kétvégű hálózat R ellenállás hozzáadásával rövidzárlat esetén stabil legyen.

29 Az Y vezetőképességnek a jobb oldali félsíkjában nullák vannak, de ott nincsenek pólusai, ez az előző esettel ellentétes eset, mivel azt jelenti, hogy = /Y pólusai vannak a jobb félsíkban, de ott nincsenek nullák. Ebben az esetben a stabilitást az áramforrással ellátott áramkörben vizsgáljuk 45. ábra, a Ha Y a jobb oldali félsíkban nullák, akkor a kétvéges hálózat alapjáraton instabil.Továbbá a fenti érvelés alkalmazható. Mivel Y-nak nincs pólusa a jobb oldali félsíkban, ezért az Y függvény valódi pozitív függvénnyel tehető egy pozitív valós vezetőképesség G Gmin hozzáadásával. jobb oldali félsík, de ott nincsenek pólusai, kellően nagy valós vezetőképesség hozzáadásával stabilizálható. a feszültségforrásból 3 A függvénynek nullák és pólusai vannak a jobb oldali félsíkban Ebben az esetben a A stabilitás kérdésének megoldása külön megfontolást igényel, tehát a következő következtetéseket vonhatjuk le: ha egy aktív kétvégű hálózat áramforrásról táplálva stabil, nincs pólusa a jobb félsíkban, akkor lehet feszültségforrásról táplálva bizonyos pozitív anyagellenállás sorba kapcsolásával stabillá válik; ha egy aktív kétvégű hálózat stabil, ha Y feszültségforrásról táplálják, és nincsenek pólusai a jobb félsíkban, akkor áramforrásról táplálva stabilvá tehető, ha kellően nagy valós vezetőképességet kapcsolunk párhuzamosan. Tekintsük egy R negatív ellenállás párhuzamos kapcsolását C kapacitással 46. ábra R C R C I 55 Y b G 45. ábra Kétvégű hálózatok: a áramforrással; b vezetőképesség hozzáadásával Y Y 46. ábra Kétkapu hálózat I negatív ellenállással

30 Amint látható, a jobb oldali félsíkban nincsenek nullák, így egy ilyen áramkör stabil, ha feszültségforrásról táplálják, de alapjáraton instabil. Adjuk hozzá sorba az L induktivitást, majd 47. ábra Az alagút egyenértékű áramköre dióda R R L LCR L RC RC Ennek a funkciónak a jobb oldali félsíkjában nullák vannak: , RC 4 RC LC Ezért az áramkör instabil, ha feszültségforrásról táplálják De van egy pólusa is a jobb félsíkban. Próbáljuk meg 47. ábra Ezután R LCR RRC L R R L R RC RC A stabilitási feltétel a számláló nulláinak hiánya a jobb oldali félsíkban. Ehhez a számlálóban lévő trinomiális összes együtthatójának pozitívnak kell lennie. : RR C L ; R R Ez a két egyenlőtlenség a következőképpen írható fel: L CR R R Nyilvánvalóan lehetségesek ilyen egyenlőtlenségek, ha L L R vagy R RC C R feltétel mellett R A 47. ábrán látható áramkör az ekvivalens C alagútdióda áramkör, ezért a talált feltétel a 56. feltétel

48. ábra Határozzuk meg az áramkör alapjárati stabilitásának feltételeit, ehhez számítsuk ki a vezetőképességet: Y R R C L 57 LC L R L o th R or R > R o A fordított egyenlőtlenség teljesülésekor önrezgések gerjesztődnek az áramkör a rezonanciakör frekvenciáján bizonyos határok a passzivitás feltételeinek megsértése nélkül Fizikailag a valós komponens állandó értékkel történő változása a valós aktív ellenállás hozzáadását vagy kizárását jelenti, ideális esetben a frekvenciától független A reaktív komponens változása az ellenállásfüggvény n konstans értékű vezetőképesség elfogadhatatlan, mivel ez sérti a fizikai megvalósíthatóság feltételeit; lehetséges abban az esetben, ha a vezetési ellenállás pólusai vannak a valós frekvenciatengelyen. A fizikai megvalósíthatósági feltételek miatt az ilyen pólusoknak egyszerűnek és összetett konjugáltnak kell lenniük

32 Legyenek az ellenállásnak pólusai a frekvenciákon Ekkor megkülönböztethetünk egyszerű törteket M N B B Könnyen belátható, hogy N N M M N r M B r 58 B * M, M M előjel, ami ellentmond a fizikai megvalósíthatóság feltételeinek Ezért M r = N r = Akkor M = N Ezen kívül kimutatható, hogy M = N > Valóban, beállítjuk = +, és > Ekkor a tört M/ értéket vesz fel, aminek nagyobbnak kell lennie nullánál, mivel a törtnek valódi pozitív függvénynek kell lennie a jobb oldali félsík Tehát, M = N > Tehát ha összetett konjugált pólusai vannak a valós frekvenciatengelyen, akkor a következőképpen ábrázolható: M M, B és kielégíti a fizikai megvalósíthatóság feltételeit, ha teljesülnek Valós , nincs pólusok a jobb oldali félsíkban, mivel ott nincsenek pólusai. Ezért ez egy analitikus függvény a jobb félsíkban. Másrészt az első tag felveszi A valós frekvenciák tengelyei pusztán képzeletbeli értékek, és ugyanazokkal a valós részeik vannak a valós frekvenciák tengelyein. Az első tag kiválasztása nem befolyásolja a valós frekvenciák tengelyein lévő valós részt. Ebből következik, hogy ez is pozitív függvény r a jobb félsíkban

33 Ezen kívül valós valós értékeket vesz fel a jobb oldali félsíkban valós értékeken Ezért valós pozitív függvény M Az ellenállás párhuzamos veszteségmentes rezonanciakörrel rendelkezik: L C C C, L C LC LC-vel és M C Hasonló érvelés végezhető az Y vezetőképességi függvényre, amelynek pólusai vannak ± : M " Y, Y M " pontokban, ahol a kifejezés a soros rezonancia áramkör vezetőképessége: Y C L L C L e kapacitásnak vagy induktivitásnak felel meg A következő állítás igaz

34 vonjuk le belőle a valós frekvenciatengelyen elhelyezkedő pólusoknak megfelelő vezetőképességi reaktanciát.A vezetési ellenállást, amelyben az összes pólust ily módon eltávolítjuk, a minimális reaktív típus vezetési ellenállásának nevezzük. ellenállási és vezetőképességi pólusok bármely valós frekvenciák Az ilyen pólusok jelenléte azt jelentené, hogy csillapítás nélkül szabad oszcillációk léteznek bennük. Sok esetben azonban jó közelítéssel a reaktív elemekben a veszteség elhanyagolható. kis veszteségű elemeké Ebben az esetben a befolyás A veszteségeket néha figyelmen kívül lehet hagyni. Érdemes megtudni a veszteségmentes áramkörök tulajdonságait, és azt is, hogy milyen feltételek mellett lehetséges a veszteségek figyelmen kívül hagyása. Tegyük fel, hogy az áramkör minden eleme tisztán reaktív Könnyen kimutatható, hogy ebben az esetben a valós frekvenciák tengelyén az ellenállás és a vezetőképesség Y képzetes értéket vesz fel.Valóban, ebben az esetben a teljesítményveszteség nulla, ezért: W I 6 H WE W Y E WE ; Mivel az ellenállás vagy vezetőképesség képzeletbeli része az áramkör páratlan függvénye, akkor ebben az esetben = Ezért, és általánosabb esetben = A fizikai megvalósíthatóság feltételei megkövetelik, hogy a jobb felében ne legyenek nullák és pólusok. sík De mivel =, akkor a bal félsíkban sem lehetnek nullák és pólusok Ezért H

35 függvény és Y csak a valós frekvenciatengelyen lehet nulla és pólus, ez fizikailag érthető, hiszen veszteségmentes áramkörben szabad rezgések nem csillapodik Ebből az következik, hogy a valós frekvenciák tengelyén fekvő pólusok kiválasztásának módszerével lehetőség van a függvények és az Y a következő alakra redukálni: b n b n b Y 49. ábra Foster első alakja Ennek megfelelően Y a -edik Foster-formaként ábrázolható 4. ábra 4. ábra Foster második alakja Megmutatható, hogy a valós frekvenciatengelyen a nullák és a pólusok váltakoznak. tengely csak egyszerű lehet, akkor a nulla közelében a függvényt M o alakban ábrázolhatjuk, ahol o a -hoz képest nagyobb kisebbségi nagyságrendű érték A jobb oldali félsíkban közel a valós értéknek pozitívnak kell lennie, csak akkor lehetséges, ha M valós

36 érték, és M > Ezért nullához közel = az imaginárius komponens csak pozitív deriválttal változhat, az előjelet "+"-ra változtatva. Továbbá megmutatjuk, hogy egy tisztán reaktív elemekből álló áramkör esetén a jelzett derivált pozitív tetszőleges frekvenciára.Ezért két szomszédos nulla között megszakításnak kell lennie, ami csomózott elemű áramköröknél csak egy pólus lehet A fentiek mindegyike az Y vezetőképességre is vonatkozik A nullákat rezonancia pontoknak, a pólusokat antirezonancia pontoknak nevezzük Ezért a rezonanciák mindig váltakoznak az antirezonanciákkal Az Y vezetőképességnél a rezonanciák a pólusoknak, az antirezonanciák pedig a nulláknak felelnek meg Könnyen belátható, hogy mind a rezonanciapontokon, mind az antirezonancia pontokon az elektromos és a mágneses energia átlagos tartaléka egyenlő egymással. rezonanciapontok =, t e W H W E = Az Y = antirezonancia pontokon, tehát W E W H = veszteségek, a következő képletek játszódnak le, megadom dx WH W d I db WH WE d E Tekintsük az ellenállás definícióját E I 6 E ; Legyen E = cons Differenciáljunk a frekvenciához képest: d E di d I d Tegyük fel, hogy E valós érték Akkor veszteségmentes áramkör esetén I egy tisztán képzeletbeli érték Ebben az esetben d E d I di d I I és

37 Térjünk most át az n 4 hurokáramok egyenletrendszerére: I Li I Ei, i, n C Feltételezve, hogy csak E, az egyes egyenleteket megszorozzuk és összeadjuk az összes egyenletet: i, i I di i Li I di i E di, i, C i, Ezután rátérünk a veszteségmentes áramkörökre szintén a 4. bekezdésben kapott összefüggésre: i, L i I Ii i i, I I C i i E i, Ci i, I di di I L di I E di C C i i i i i, i i, i, i di I di I L di I L di I n i i i i i i, i, Ci i, i, Ci E di E di, mivel E feltételezés szerint valós érték A fentiekből is következik, hogy: i, L I i di i i, IdI C i i E di di i 63

38 Az összösszegbe behelyettesítve a következőket kapjuk: d i, L i I Ii i, I I C i i E di E Bal és jobb oldalon hasonló kifejezéseket redukálva a következőket kapjuk: di I Ii E di d Li I Ii i, i, Ci E A zárójelben lévő kifejezés, amint azt a 4. szakaszban találtuk, egyenlő i, L i I Ii i, Ii I C i 4 W H W E di E WE Ezekből a képletekből következik, hogy a frekvencia növekedésével egy áramkör reaktanciája és vezetőképessége tisztán reaktív elemek csak növekedhetnek 4 Végül megpróbáljuk kideríteni, hogy a kis veszteségek jelenléte hogyan befolyásolja a reaktív elemekből álló áramkör ellenállását A veszteségek bevezetésekor megjelenik a csillapítás. A kis veszteségeket figyelembe vesszük, amelyek kis csillapítást okoznak, amely kielégíti Az állapot /<<, <, где = + -й полюс сопротивления Это означает, что полюсы и нули сопротивления смещаются с оси вещественных частот на малую величину затухания H E 64

39 A csillapítás különböző pólusoknál eltérő lehet Ezért célszerű figyelembe venni az ellenállásfüggvény viselkedését az egyik pólus közelében A pólus egy mértékkel balra való eltolódása megjeleníthető, ha a változó függvényét +-ra cseréljük. Akkor a pózna közelében leszünk

40 Mivel a valós frekvenciatengelyen lévő értékekre vagyunk kíváncsiak, ezért a számlálóban el kell hagyni, kicsi a feltételhez képest: Ez a kifejezés a következőképpen alakítható:, Qx "ahol; Q x értékét relatív detuningnak nevezzük a rezonancia közelében Ezen kívül van még: A C x Q Q érték ; ; Q Q C C a rezonanciakör karakterisztikus impedanciája. Tekintsük, hogy az ellenállás valós és képzeletbeli részei a rezonancia közelében A rezonancia a frekvenciától függ: Q Q x R ; Im Q x Q x 66

41 A rezonancia közelében az Im növekszik, de rezonanciánál negatív deriválttal megy át nullán. R rezonanciabeli valós részének maximuma van Im és R grafikonjai a frekvenciától függően a 4. ábrán. Figyeljük meg, hogy R dx Q Q x dx, azaz nem függ a minőségi tényezőtől Egyébként az R rezonanciagörbe alatti terület nem függ a minőségi tényezőtől A minőségi tényező növekedésével a görbe szélessége csökken, de a magassága nő, így a terület megmarad. változatlan Qx >>, a valós rész gyorsan csökken, a képzeletbeli rész pedig egyenlő Im x 67-tel, azaz ugyanúgy változik, mint a veszteségmentes áramkör esetében

42 Tehát a frekvenciafüggőség kis veszteségek bevezetésekor alig változik azokon a frekvenciákon, amelyek távol vannak a rezonanciafrekvenciától egy \u003e\u003e\u003e\u003e\u003e\u003e\u003e\u003e értékkel A frekvencia közelében az irány jelentősen megváltozik. gq Y, Qx g jellemző vezetőképesség; L x Zero az Y Közel nulla vezetési pólusnak felel meg, ezért az ellenállás a valós frekvenciatengelyen a következőképpen ábrázolható: Qx x, Y gq Q ahol = /g Így nullához közel a kis veszteségek bevezetése befolyásolja a megjelenést. egy kis valós komponens az ellenállásban A képzeletbeli komponens ugyanúgy nulla közelében változik, mint korábban 68

43 5 Quadripólusok 5 A kvadripólus alapegyenletei A kvadripólus egy olyan áramkör, amelynek két kapcsa van: egy bemenet, amelyre a jelforrás csatlakozik, és egy kimenet, amelyre a terhelés csatlakozik átviteli ellenállás Ilyen körülmények között a az n jelforrás és az n terhelési ellenállás benne van a T-ben. Ha ezek változnak, akkor T is változik. Kívánatos, hogy a kvadripólust magát jellemzõ egyenletek és paraméterek legyenek.Az együttható a kimeneti pár alapjárati átviteli vezetõképességének reciproka bilincsek száma: 69 I I ; 5. ábra Az I kvadripólus bekapcsolása Itt U és U a bemeneti és kimeneti kapcsokon lévő feszültségek, I és I a bemeneti és kimeneti kapcsokon a kvadripólus felé folyó áramok, lásd 5. ábra A rendszer együtthatói a feszültségekre és áramokra vonatkozó egyenleteknek egyszerű jelentése van: I és U a kimeneti kapcsokon lévő áramnál I =, azaz terhelés nélkül a kimeneti kapcsokon; más szóval ez a bemeneti ellenállás üresjáratban a kimeneten = x Hasonlóképpen, ez a bemeneti ellenállás a kimeneti kapcsok oldaláról üresjáratban az első kapocspárnál = x árambemeneti U és I Y T x Y T x

44 I U ; Y Tx Y Tx YT x I U x I YT x I, mivel az áram ebben az esetben a kvadripólusból, vagyis a fent elfogadotthoz képest ellenkező irányban történik U-t behelyettesítve a második egyenletbe, onnan kapjuk, hogy I, I n I x I YTx I Y x Tx I-t behelyettesítve az első egyenletbe, U I x Y Tx n-t kapunk. Innen a bemeneti ellenállást n x U x I Y-ben találjuk. Analógia alapján a kimeneti ellenállás kifejezését is felírhatjuk az indexek felcserélésével, ill. : T x n x 7

45 out х Y T х н х 5 A kétportos hálózat jellemző paraméterei Figyelemre méltó az az eset, amikor a generátor és a terhelés egyidejűleg illeszkedik, azaz amikor n = c és n = c, akkor az in = c és out = összefüggés. c zajlik Az in és out kifejezésekbe behelyettesítve olyan egyenleteket kapunk, amelyek lehetővé teszik c és c megtalálását: c c x x Y T x Y T x 7 c c Ezt a rendszert a következőképpen oldjuk meg Az első egyenletből megtaláljuk: ahonnan c c x x; x, Y Tx c x x Y T x A második egyenletből c egyenletet kapunk, x Y Tx x YTx x c x kz c x kz x

46 Jegyezzük meg, hogy kz és kz bemeneti ellenállások az első és a második kapocspár oldaláról, a másik kapocspáron bekövetkező rövidzárlat esetén A c karakterisztikus impedanciával megegyező terhelést illesztettnek nevezzük. Az így összekapcsolt kvadripólusok közül bármelyik szakaszon megmarad az illesztés A kvadripólus harmadik jellemző paramétereként a g ln U U I ln rg I U I 7 U I karakterisztikus átviteli együtthatót gyakran alkalmazzák, ha a kvadripólust illesztett terheléshez kapcsolják, azaz a karakterisztikus impedancia Ebben az esetben U c I; U I c I c ln I c U c g ln U kapja meg az arányokat is: I g I ; U c g U U U I I

47 A karakterisztikus átviteli együttható abból a szempontból kényelmes, hogy négy végpontos hálózatok összehangolt kaszkádcsatlakozása esetén a kapott átviteli együttható megegyezik az egyes négyterminális hálózatok átviteli együtthatóinak összegével A jellemző átviteli együttható a kapcsolatokból kereshető : A c és c karakterisztikus impedanciák általában a frekvenciától függenek, ezért a karakterisztikus paraméterek használata nem mindig alkalmas a T átviteli ellenállás ábrázolására. hogy a négyszöget a frekvenciától is függő karakterisztikus impedanciára terheljük A legérdekesebb kapcsolat a kvadripólus egy állandó R valós terheléshez az R generátor tisztán aktív ellenállásával 53. ábra Ebben az esetben az átvitelt a üzemi átviteli együttható U I ln, U I ahol U "és I". azaz és olyan áramerősség, amelyet a generátor a generátor belső ellenállásával egyenlő ellenálláson képes fejleszteni, azaz: E U, I E, R 73 E U I, 4R U és I terhelési feszültség és áram Ebben az esetben U \u003d I R helyettesítve , az ln működő átviteli együtthatóhoz kapunk Innen 4R E R I ln E R R T I R R

48 Egy komplex változó függvényének értéke Valós frekvenciák esetén = : = + B, ahol az üzemi csillapítás, B az R P mx E P I R 4R terhelésre allokált fázisállandó. Mutassuk meg, hogy a valós pozitív függvény Valóban, mivel T a jobb oldali félsíkban nincsenek nullák, a függvény a jobb oldali félsíkban analitikus Ezért a vele arányos analitikus függvény a jobb oldali félsíkban is analitikus. Az analitikus függvény modulusa a függvény határán éri el maximális értékét a tartományelemzés, jelen esetben a valós frekvenciatengelyen A reciprok érték ezen a tengelyen éri el a legkisebb értéket Egy passzív kvadripólusnál a valós frekvenciatengelyen, ezért R > a teljes jobb oldali félsíkban Következő T ln 4R R A T függvény két valós együtthatós polinom osztásának hányadosa, és T valós pozitív e értékeket valós Ezért valós valós értékekre is valós Így azt a következtetést vonhatjuk le, hogy valódi pozitív függvény

4.11. A Laplace-transzformáció tulajdonságai. 1) Egy az egyhez megfeleltetés: s(S ˆ(2) A Laplace-transzformáció linearitása: s ˆ () ˆ 1(s2(S1 S2(, valamint 3) S ˆ() analititása: ha s(elégszik)

4 5. előadás DINAMIKUS ÁRAMKÖRÖK ELEMZÉSE Terv Elektromos áramkörök állapotegyenletei Algoritmus állapotegyenletek kialakítására 3 Példák állapotegyenletek összeállítására 4 Következtetések Elektromos áramkörök állapotegyenletei

4. A Laplace-transzformáció tulajdonságai.) Egy az egyhez megfeleltetés: S ˆ() 2) A Laplace-transzformáció linearitása: s (s () ˆ () ˆ 2 S S2(), és 3) S ˆ analititása () : ha megfelel a feltételnek

64 6. előadás AZ ELEKTROMOS ÁRAMKÖRÖK ELEMZÉSÉNEK MŰKÖDTETÉSI MÓDSZERE. Terv Laplace-transzformáció A Laplace-transzformáció tulajdonságai 3. Villamos áramkörök elemzésének operátori módszere 4. Az eredeti meghatározása az ismertből

2.2. Operátori módszer tranziens folyamatok számítására. Elméleti információk. Az összetett áramkörök tranziens folyamatainak klasszikus módszerrel történő kiszámításakor nagyon gyakran nehéz megtalálni az integráció állandóit.

70 7. előadás AZ ÁRAMKÖRÖK MŰKÖDŐ FUNKCIÓI Terv Kezelői bemeneti és átviteli függvények Az áramkörök függvényeinek pólusai és nullái 3. Következtetések Kezelői bemeneti és átviteli függvények Az áramkör operátori függvénye ún.

Szinuszos áram "a tenyerében" Az elektromos energia nagy része EMF formájában keletkezik, amely időben változik a harmonikus (szinuszos) függvény törvénye szerint. A harmonikus EMF források

4 Előadás AZ ELEKTROMOS ÁRAMKÖRÖK RESONANCIA FREKVENCIA JELLEMZŐI Rezonancia és jelentősége a rádióelektronikában Komplex átviteli függvények 3 Logaritmikus frekvenciakarakterisztika 4 Következtetések Rezonancia ill.

Átmeneti folyamatok „a tenyerében”. Már ismeri az állandósult állapotban lévő áramkör kiszámításának módszereit, vagyis olyanokat, ahol az áramok, valamint az egyes elemek feszültségesése időben változatlanok.

Rezonancia a tenyerében. A rezonancia az induktív és kapacitív elemeket tartalmazó passzív kétterminális hálózat módusa, amelyben a reaktanciája nulla. Rezonancia állapot

Kényszer elektromos rezgések. Váltóáram Tekintsük azokat az elektromos rezgéseket, amelyek akkor jelentkeznek, ha az áramkörben generátor van, amelynek elektromotoros ereje periodikusan változik.

3. fejezet Váltakozó áram Elméleti információk Az elektromos energia nagy része EMF formájában keletkezik, amely idővel változik a harmonikus (szinuszos) függvény törvénye szerint.

3. előadás. Levonások. A fő maradék tétel Az f () függvény maradéka egy izolált szinguláris a pontban egy komplex szám, amely megegyezik a kör mentén i pozitív irányban vett f () 2 integrál értékével.

Elektromágneses oszcillációk Kvázi-stacionárius áramok Folyamatok egy rezgőkörben Az oszcilláló áramkör egy sorba kapcsolt tekercsből, egy C kapacitású kondenzátorból és egy ellenállásból álló áramkör

1 5 Elektromos rezgések 51 Rezgőkör A fizikában rezgésnek nevezzük nemcsak a testek periodikus mozgását, hanem minden olyan periodikus vagy csaknem periodikus folyamatot is, amelyben egy vagy több

Passzív áramkörök Bevezetés A feladatok a passzív áramkörök amplitúdó-frekvencia, fázis-frekvencia és tranziens karakterisztikáinak számítását veszik figyelembe. Ezen jellemzők kiszámításához tudnia kell

SZABAD ÉS KÉSZÍTETT REZGÉSEK VIZSGÁLATA OSZCILLÁCIÓS ÁRAMKÖRBEN Szabad elektromos rezgések rezgőkörben

3. előadás Téma Oszcillációs rendszerek Szekvenciális oszcillációs áramkör. Feszültségrezonancia A soros rezgőkör olyan áramkör, amelyben egy tekercs és egy kondenzátor sorba van kötve.

Moszkvai Állami Egyetem M.V. Lomonoszov Moszkvai Állami Egyetem Fizikai Kar Általános Fizika Tanszék Laboratóriumi gyakorlat az általános fizikában (villamosság és mágnesesség) Kozlov

Anyagok az "Elektromos áramkörök elmélete" tudományág önálló tanulásához szakos hallgatók számára: -6 4 óra "Ipari elektronika" (rész), -9 "Modellezés és számítógépes tervezés"

Komplex amplitúdómódszer Az R vagy elemek kivezetésein fellépő harmonikus feszültségingadozások azonos frekvenciájú harmonikus áram áramlását okozzák. Differenciálási integráció és függvények hozzáadása

4. függelék Kényszer elektromos rezgések Váltóáram Az alábbi elméleti információk hasznosak lehetnek a 6., 7., 8. laboratóriumi munkára való felkészülés során az "Elektromosság és mágnesesség" laboratóriumban.

54 5. előadás FOURIER-TRANSZFORMÁCIÓ ÉS AZ ELEKTROMOS ÁRAMKÖRÖK SPEKTRÁLIS ELEMZÉSI MÓDSZERE Terv Aperiodikus függvények és Fourier-transzformáció spektrumai A Fourier-transzformáció egyes tulajdonságai 3 Spektrális módszer

Feszültségrezonancia vizsgálat (folytatás) i iω K = K = ω = = = ω => r+ iω + r+ i ω iω r + ω K = ω r + ω A nevező minimális ω 0 frekvencián úgy, hogy ω0 = 0 => ω0 ω 0= ezt a frekvenciát rezonánsnak nevezzük

2. fejezet Tranziens folyamatok számítási módszerei. 2.1. Klasszikus számítási módszer. Elméleti információk. Az első fejezetben az állandósult állapotú áramkör számítási módszereit vizsgáltuk, azaz

Yastrebov NI KPI RTF osztály TOP wwwystrevkievu Áramköri funkciók

4.9. Az áramkör tranziens válasza, kapcsolata az impulzusválaszsal. Tekintsük a K j K j j > S j j K j S 2 függvényt Tegyük fel, hogy K jω-nak van h K j Fourier-transzformációja Ha létezik k K j IC, akkor

9. előadás Differenciálegyenletek linearizálása Magasabb rendű lineáris differenciálegyenletek Homogén egyenletek megoldásaik tulajdonságai Nem homogén egyenletek megoldásainak tulajdonságai 9. definíció Lineáris

Módszerfejlesztés Feladatok megoldása TFKP-n Komplex számok Műveletek komplex számokkal Komplex sík Komplex szám ábrázolható algebrai és trigonometrikus exponenciálisan

Tartalomjegyzék BEVEZETÉS Szakasz A TRANZIENS FOLYAMATOK KLASSZIKUS SZÁMÍTÁSÁNAK MÓDJA Szakasz TRANZIENT FOLYAMATOK KISZÁMÍTÁSA ÖKSZÉLYES BEMENETI MŰVELETEK ALATT FELÜGYELET HASZNÁLATÁVAL INTEGRALS9 ELLENŐRZŐ KÉRDÉSEK7

4 ELEKTROMÁGNESES OSCILLÁCIÓK ÉS HULLÁMOK Az oszcillációs áramkör egy kondenzátorokból és tekercsekből álló elektromos áramkör, amelyben a kondenzátorok újratöltésének oszcillációs folyamata lehetséges.

3.5. Komplex párhuzamos oszcillációs áramkör I Olyan áramkör, amelyben legalább egy párhuzamos ág mindkét előjel reaktivitását tartalmazza. I C C I I és között nincs mágneses kapcsolat. Rezonancia állapot

ELŐADÁS N38. Egy analitikus függvény viselkedése a végtelenben. speciális pontok. Függvénymaradékok..pont szomszédsága a végtelenben.....Laurent-kiterjesztés egy végtelen pont szomszédságában.... 3. Viselkedés

4 3. előadás ELEKTROMOS ÁRAMKÖRÖK FREKVENCIA JELLEMZŐI Komplex átviteli függvények Logaritmikus frekvenciaválaszok 3 Következtetés Komplex átviteli függvények (komplex frekvenciaválaszok)

Ingadozások. 3. előadás Generátor A generátor működési elvének magyarázatához először nézzük meg, mi történik, ha egy lapos huzaltekercs egyenletes mágneses körben forog.

DIFFERENCIÁL-EGYENLETEK Általános fogalmak A differenciálegyenleteknek számos és nagyon változatos alkalmazása van a mechanikában, a fizikában, a csillagászatban, a technológiában és a magasabb matematika más ágaiban (pl.

Harmonikus oszcillációk forrásának (HHC) számítása Mutassa be a HHC eredeti áramkörét a transzformátor primer tekercsére vonatkoztatva egyenértékű feszültségforrással Határozza meg paramétereit (EMF és belső

11. munka KÉNYSZERREZGÉSEK ÉS A REZONANCIA JELENSÉGÉNEK TANULMÁNYOZÁSA A RENDEZÉSI ÁRAMKÖRBEN Az induktort és a kondenzátort tartalmazó áramkörben elektromos rezgések léphetnek fel. A munka tanulmányozása

4. témakör .. AC áramkörök Témakérdések .. AC áramkör induktivitással .. AC áramkör induktivitással és aktív ellenállással. 3. AC áramkör kapacitással. 4. AC áramkör

4 Előadás AZ ELLENÁLLÓ ÁRAMKÖRÖK ELEMZÉSE Terv Az elektromos áramkörök elemzésének feladata Kirchhoff-törvények Példák az ellenállásos áramkörök elemzésére 3 Egy áramkör szakaszának ekvivalens transzformációi 4 Következtetések Az elektromos áramkörök elemzésének feladata

708. opció A szinuszos EDC e(ωt) sin(ωt ψ) forrása működik az elektromos áramkörben. ábrán látható kapcsolási rajz. A forrás EDC E effektív értéke, a kezdeti fázis és az áramköri paraméterek értéke

Kezdeti adatok R1=10 ohm R2=8 ohm R3=15 ohm R4=5 ohm R5=4 ohm R6=2 ohm E1=10 V E2=15 V E3=20 V Kirhoff törvényei (DC feszültség) 1. Csomópontok keresése Csomópont pont , amelyben három (vagy több) vezeték van csatlakoztatva

ELŐADÁS OSCILLÁCIÓ. Kényszer rezgések

Feszültségrezonancia vizsgálat (folytatás) Feltételezzük, hogy az áramkör ódáján lévő feszültség megegyezik a teljes oszcillációs áramkör feszültségével, az áramkör kimenetén pedig a kondenzátor feszültsége, majd amplitúdó

tanév őszi féléve 3. témakör NEM PERIODIKUS JELEK HARMONIKUS ELEMZÉSE Direkt és inverz Fourier transzformációk A jel spektrális jellemzői Amplitúdó-frekvencia és fázis-frekvencia spektrumok

6. előadás Két állandó valós együtthatójú lineáris egyenletrendszer nyugalmi pontjainak osztályozása. Tekintsünk két lineáris differenciálegyenletből álló rendszert állandó valós értékkel

54 5. előadás Fourier-transzformáció ÉS SPEKTRÁLIS MÓDSZER ELEKTROMOS ÁRAMKÖREK ELEMZÉSÉRE Terv Aperiódusos függvények és Fourier-transzformáció spektrumai 2 A Fourier-transzformáció néhány tulajdonsága 3 Spektrális módszer

Téma: A váltakozó áram törvényei Az elektromos áramot töltött részecskék vagy makroszkopikus testek rendezett mozgásának nevezzük Változó áramnak nevezzük, amely idővel megváltoztatja értékét.

Vizsga Komplex ellenállás impedancia Az impedancia vagy komplex ellenállás definíció szerint egyenlő a komplex feszültség és a komplex áram arányával: Z ɶ Vegye figyelembe, hogy az impedancia is egyenlő az aránnyal

Cím Bevezetés. Alapfogalmak.... 4 1. Volterra integrál egyenletek... 5 Házi feladatlehetőségek.... 8 2. Volterra integrál egyenlet feloldója. 10 Házi feladat lehetőség... 11

II. fejezet Integrálok Egy antiderivatív függvény és tulajdonságai Az F() függvényt antiderivatív folytonos f() függvénynek nevezzük az a b intervallumon, ha F() f(), a; b (;) Például az f() függvény esetében az antideriválták

klasszikus módszer. 1. ábra - az elektromos áramkör kezdeti diagramja Áramköri paraméterek: E \u003d 129 (V) w \u003d 10000 (rad / s) R1 \u003d 73 (Ohm) R2 \u003d 29 (Ohm) R3 \u003d ) L = 21 (mH) C = 0,97 (uF) Induktor reaktancia:

Összetett lineáris elektromos áramkörök számítási módszerei Alap: lineáris algebrai egyenletrendszerek összeállításának és megoldásának képessége - akár egyenáramkörre, akár szimbolizálás után

HATÁROZOTT INTEGRÁL. Integrálösszegek és határozott integrál Legyen egy y = f () függvény definiálva a [, b ] szakaszon, ahol< b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных

8 7. előadás AZ ÁRAMKÖRÖK MŰKÖDŐ FUNKCIÓI Kezelői bemeneti és átviteli függvények Az áramkörök függvényeinek pólusai és nullái 3. Következtetések Operátori bemeneti és átviteli függvények Az áramkör operátorfüggvénye egy reláció

68 7. előadás TRANZIENS FOLYAMATOK ELSŐRENDŰ ÁRAMKÖRÖKBEN 1. terv Tranziens folyamatok elsőrendű RC áramkörökben 2 Tranziens folyamatok elsőrendű R-áramkörökben 3. Példák tranziens folyamatok számítására áramkörökben

4 AC SZINSZIDÁLIS ÁRAM LINEÁRIS ELEKTROMOS ÁRAMKÖREI ÉS SZÁMÍTÁSUK MÓDSZEREI 4.1 ELEKTROMOS GÉPEK. A SZINUSSZIDÁLIS ÁRAMKÉPZÉS ELVE 4.1.012. A szinuszos áramot pillanatnyi áramnak nevezzük

Szövetségi Oktatási Ügynökség Állami Szakmai Felsőoktatási Intézmény "KUBAN STATE UNIVERSITY" Fizikai és Technológiai Kar Optoelektronikai Tanszék

~ ~ FCF A Cauchy-Riemann feltétel FCF komplex változójának függvényének deriváltja Az FCF ​​szabályszerűségének fogalma Komplex szám ábrázolása és alakja Az FCF ​​formája: ahol két változó valós függvénye valós

Ez a neve egy másik típusú integrál transzformációnak, amelyet a Fourier-transzformáció mellett széles körben használnak a rádiótechnikában a jelek tanulmányozásával kapcsolatos problémák legkülönfélébb megoldására.

A komplex frekvencia fogalma.

A spektrális módszerek, amint az már ismert, azon a tényen alapulnak, hogy a vizsgált jel korlátlan számú elemi tag összegeként van ábrázolva, amelyek mindegyike a törvénynek megfelelően periodikusan változik.

Ennek az elvnek a természetes általánosítása abban rejlik, hogy a tisztán képzeletbeli kitevőkkel rendelkező komplex exponenciális jelek helyett olyan exponenciális jeleket veszünk figyelembe, ahol egy komplex szám: komplex frekvenciának nevezzük.

Két ilyen összetett jel használható valós jel összeállítására, például a következő szabály szerint:

hol van a komplex konjugált mennyiség.

Valóban, közben

A komplex frekvencia valós és képzetes részének megválasztásától függően különféle valós jelek nyerhetők. Tehát ha , de a szokásos If alakú harmonikus rezgéseket kapjuk, akkor az előjeltől függően vagy növekvő, vagy csökkenő exponenciális oszcillációkat kapunk időben. Az ilyen jelek bonyolultabb formát kapnak, ha . Itt a szorzó olyan borítékot ír le, amely exponenciálisan változik az idő múlásával. Néhány tipikus jel az ábrán látható. 2.10.

A komplex frekvencia fogalma nagyon hasznosnak bizonyul, elsősorban azért, mert lehetővé teszi általánosított függvények igénybevétele nélkül olyan jelek spektrális ábrázolását, amelyek matematikai modelljei nem integrálhatók.

Rizs. 2.10. Valódi jelek, amelyek a komplex frekvencia különböző értékeinek felelnek meg

Egy másik megfontolás is lényeges: a (2.53) alakú exponenciális jelek „természetes” eszközként szolgálnak a különböző lineáris rendszerek oszcillációinak tanulmányozására. Ezeket a kérdéseket a fejezetben tárgyaljuk. 8.

Meg kell jegyezni, hogy a valódi fizikai frekvencia a komplex frekvencia képzeletbeli része. A komplex frekvencia o valós részére nincs külön kifejezés.

Alaparányok.

Legyen - valamilyen valós vagy komplex jel, amely t > 0-ra van definiálva, és nullával egyenlő negatív időértékek esetén. Ennek a jelnek a Laplace-transzformációja az integrál által megadott komplex változó függvénye:

A jelet eredetinek, a függvényt pedig Laplace-képének (röviden csak egy képnek) nevezzük.

A (2.54) integrál létezését biztosító feltétel a következő: a jelnek legfeljebb exponenciális növekedési üteme kell, hogy legyen az ie esetén, ki kell elégítenie azt az egyenlőtlenséget, ahol pozitív számok vannak.

Ha ez az egyenlőtlenség teljesül, a függvény abban az értelemben létezik, hogy a (2.54) integrál abszolút konvergál minden olyan komplex számra, amelyeknél az a számot az abszolút konvergencia abszcisszájának nevezzük.

A (2.54) főképlet változója azonosítható a komplex frekvenciával Valójában egy tisztán képzeletbeli komplex frekvencia esetén, amikor a (2.54) képletből (2.16) képlet alakul át, amely meghatározza a jel Fourier-transzformációját, ami nulla Így a Laplace-transzformáció szóba jöhet

Csakúgy, mint a Fourier-transzformáció elméletében, a kép ismeretében lehetséges az eredeti visszaállítása. Ehhez az inverz Fourier transzformáció képletében

analitikus folytatást kell végrehajtani a képzeletbeli változóról a komplex argumentumra való áttéréssel a A komplex frekvencia síkján az integráció egy korlátlanul meghosszabbított függőleges tengely mentén történik, amely az abszolút konvergencia abszcisszájától jobbra helyezkedik el. Mivel a differenciál esetében az inverz Laplace-transzformáció képlete a formát veszi fel

Az összetett változó függvényelméletében bebizonyosodott, hogy a Laplace-képek "jó" tulajdonságokkal rendelkeznek a simaság szempontjából: ilyen képek a komplex sík minden pontján, az úgynevezett szinguláris pontok megszámlálható halmazának kivételével, analitikus függvények. A szinguláris pontok általában pólusok, egyszeresek vagy többszörösek. Ezért a (2.55) forma integráljainak kiszámításához a maradékelmélet rugalmas módszerei használhatók.

A gyakorlatban széles körben használják a Laplace transzformációs táblákat, amelyek információkat gyűjtenek az eredetiek közötti megfelelésről. és képek. A táblázatok jelenléte népszerűvé tette a Laplace-transzformációs módszert mind az elméleti tanulmányokban, mind a rádiótechnikai eszközök és rendszerek mérnöki számításaiban. A mellékletekben található egy ilyen táblázat, amely meglehetősen széles körű problémák megoldását teszi lehetővé.

Példák Laplace-transzformációk kiszámítására.

A képek számítási módszereiben sok hasonlóság van a Fourier-transzformáció kapcsán már tanulmányozottakkal. Nézzük a legjellemzőbb eseteket.

2.4. példa: Egy általánosított exponenciális impulzus képe.

Legyen , ahol egy fix komplex szám. A -függvény jelenléte határozza meg az egyenlőséget a (2.54) képlet segítségével

Ha ekkor a számláló eltűnik, amikor a felső határt behelyettesítjük. Ennek eredményeként megkapjuk a levelezést

A (2.56) képlet speciális eseteként egy valós exponenciális videoimpulzus képe található:

és komplex exponenciális jel:

Végül a (2.57) beírásával megtaláljuk a Heaviside függvény képét:

2.5. példa. Egy delta függvény képe.

Laplace transzformáció- a függvényre vonatkozó integráltranszformáció F (s) (\displaystyle \ F(s)) komplex változó ( kép) a funkcióval f (x) (\displaystyle \f(x)) valós változó ( eredeti). Az ingatlanok feltárására szolgál dinamikus rendszerekés döntsön differenciálisÉs integrál egyenletek.

A Laplace-transzformáció egyik jellemzője, amely előre meghatározta széleskörű alkalmazását a tudományos és mérnöki számításokban, hogy az eredetieken sok arány és művelet megfelel a képeken látható egyszerűbb arányoknak. Így két függvény konvolúciója a képek terében a szorzás műveletére redukálódik, és a lineáris differenciálegyenletek algebraivá válnak.

Enciklopédiai YouTube

1 / 5

✪ Laplace transzformáció - bezbotvy

✪ 10. előadás: Laplace Transform

✪ Felsőfokú matematika - 4. Laplace-transzformációk. 1. rész

✪ Laplace módszer a DE megoldáshoz

✪ 11. előadás: A Laplace-transzformáció alkalmazása differenciálegyenletek megoldására

Feliratok

Meghatározás

Közvetlen Laplace Transform

lim b → ∞ ∫ 0 b | f(x) | e − σ 0 x d x = ∫ 0 ∞ | f(x) | e − σ 0 x d x , (\displaystyle \lim _(b\to \infty )\int \limits _(0)^(b)|f(x)|e^(-\sigma _(0)x)\ ,dx=\int \limits _(0)^(\infty )|f(x)|e^(-\sigma _(0)x)\,dx,)

akkor abszolút és egyenletesen konvergál és - analitikus funkció nál nél σ ⩾ σ 0 (\displaystyle \sigma \geqslant \sigma _(0)) (σ = R e s (\displaystyle \sigma =\mathrm (Re) \,s)- valódi rész komplex változó s (\displaystyle s)). Pontos alsó határ σ a (\displaystyle \sigma _(a)) számkészletek σ (\displaystyle \sigma ), amely mellett ez a feltétel teljesül, az úgynevezett abszcissza abszolút konvergencia Laplace transzformáció a függvényhez.

• A közvetlen Laplace-transzformáció létezésének feltételei

Laplace transzformáció L ( f (x) ) (\displaystyle (\mathcal (L))\(f(x)\)) abszolút konvergencia értelmében létezik a következő esetekben:

1. σ ⩾ 0 (\displaystyle \sigma \geqslant 0): a Laplace-transzformáció létezik, ha az integrál létezik ∫ 0 ∞ | f(x) | d x (\displaystyle \int \limits _(0)^(\infty )|f(x)|\,dx);
2. σ > σ a (\displaystyle \sigma >\sigma _(a)): a Laplace-transzformáció létezik, ha az integrál ∫ 0 x 1 | f(x) | d x (\displaystyle \int \limits _(0)^(x_(1))|f(x)|\,dx) minden végesre létezik x 1 > 0 (\displaystyle x_(1)>0)És | f(x) | ⩽ K e σ a x (\displaystyle |f(x)|\leqslant Ke^(\sigma _(a)x)) Mert x > x 2 ≥ 0 (\displaystyle x>x_(2)\geqslant 0);
3. σ > 0 (\displaystyle \sigma >0) vagy σ > σ a (\displaystyle \sigma >\sigma _(a))(melyik korlát nagyobb): Laplace-transzformáció létezik, ha létezik Laplace-transzformáció a függvényhez f′(x) (\displaystyle f"(x)) (derivált tól től f (x) (\displaystyle f(x))) Mert σ > σ a (\displaystyle \sigma >\sigma _(a)).

jegyzet

• Az inverz Laplace-transzformáció létezésének feltételei

Az inverz Laplace-transzformáció létezéséhez elegendő a következő feltételek teljesülése:

1. Ha a kép F (s) (\displaystyle F(s)) - analitikus funkció Mert σ ≥ σ a (\displaystyle \sigma \geqslant \sigma _(a))és -1-nél kisebb a rendje, akkor az inverz transzformáció létezik és folytonos az argumentum összes értékére, és L − 1 ( F(s) ) = 0 (\displaystyle (\mathcal (L))^(-1)\(F(s)\)=0) Mert t ⩽ 0 (\displaystyle t\leqslant 0).
2. Hadd F (s) = φ [ F 1 (s) , F 2 (s) , … , F n (s) ] (\displaystyle F(s)=\varphi), Így φ (z 1 , z 2 , … , z n) (\displaystyle \varphi (z_(1),\;z_(2),\;\ldots ,\;z_(n))) mindegyik tekintetében analitikus z k (\displaystyle z_(k))és egyenlő nullával z 1 = z 2 = … = z n = 0 (\megjelenítési stílus z_(1)=z_(2)=\lpontok =z_(n)=0), És F k (s) = L ( f k (x) ) (σ > σ a k: k = 1 , 2 , … , n) (\displaystyle F_(k)(s)=(\mathcal (L))\(f_ (k)(x)\)\;\;(\sigma >\sigma _(ak)\colon k=1,\;2,\;\ldots ,\;n)), akkor létezik az inverz transzformáció, és a megfelelő közvetlen transzformációnak abszolút konvergenciájú abszcisszája van.

jegyzet: ezek elégséges feltételek a létezéshez.

• Konvolúciós tétel

Fő cikk: Konvolúciós tétel

• Az eredeti megkülönböztetése és integrálása

Az eredeti első származékának az argumentumhoz viszonyított Laplace szerinti képe a kép és az utóbbi argumentumának a szorzata, mínusz az eredeti nullánál a jobb oldalon:

L ( f ′ (x) ) = s ⋅ F (s) − f (0 +) . (\displaystyle (\mathcal (L))\(f"(x)\)=s\cdot F(s)-f(0^(+)).)

Kezdő és végső érték tételek (határtételek):

f (∞) = lim s → 0 s F (s) (\displaystyle f(\infty)=\lim _(s\to 0)sF(s)), ha a függvény minden pólusa s F (s) (\displaystyle sF(s)) a bal félsíkban vannak.

A véges érték tétel nagyon hasznos, mert egyszerű összefüggéssel írja le az eredeti végtelenben való viselkedését. Ezt használják például elemzésre fenntarthatóság dinamikus rendszer pályái.

• Egyéb tulajdonságok

Linearitás:

L ( a f (x) + b g (x) ) = a F (s) + b G (s) . (\displaystyle (\mathcal (L))\(af(x)+bg(x)\)=aF(s)+bG(s).)

Szorzás számmal:

L ( f (a x) ) = 1 a F (s a) . (\displaystyle (\mathcal (L))\(f(ax)\)=(\frac (1)(a))F\left((\frac (s)(a))\right).)

Néhány függvény közvetlen és inverz Laplace-transzformációja

Az alábbiakban néhány függvény Laplace transzformációs táblázata látható.

№	Funkció	Időtartomány x (t) = L − 1 ( X (s) ) (\displaystyle x(t)=(\mathcal (L))^(-1)\(X(s)\))	frekvenciatartomány X (s) = L ( x (t) ) (\displaystyle X(s)=(\mathcal (L))\(x(t)\))	Konvergencia terület Mert okozati rendszerek
1	ideális lemaradás	δ (t − τ) (\displaystyle \delta (t-\tau)\)	e − τ s (\displaystyle e^(-\tau s)\ )
1a	egyetlen impulzus	δ (t) (\displaystyle \delta (t)\ )	1 (\displaystyle 1\ )	∀ s (\displaystyle \forall s\ )
2	lemaradás n (\displaystyle n)	(t − τ) n n ! e − α (t − τ) ⋅ H (t − τ) (\displaystyle (\frac ((t-\tau)^(n))(n}e^{-\alpha (t-\tau)}\cdot H(t-\tau)} !}	e − τ s (s + α) n + 1 (\displaystyle (\frac (e^(-\tau s))((s+\alpha)^(n+1))))	s > 0 (\displaystyle s>0)
2a	erő n (\displaystyle n)-edik sorrend	t n n ! ⋅ H (t) (\displaystyle (\frac (t^(n)))(n}\cdot H(t)} !}	1 s n + 1 (\displaystyle (\frac (1)(s^(n+1))))	s > 0 (\displaystyle s>0)
2a.1	erő q (\displaystyle q)-edik sorrend	t q Γ (q + 1) ⋅ H (t) (\displaystyle (\frac (t^(q))(\Gamma (q+1)))\cdot H(t))	1 s q + 1 (\displaystyle (\frac (1)(s^(q+1))))	s > 0 (\displaystyle s>0)
2a.2	egyetlen funkció	H (t) (\displaystyle H(t)\ )	1 s (\displaystyle (\frac (1)(s)))	s > 0 (\displaystyle s>0)
2b	egyetlen funkció késleltetéssel	H (t − τ) (\displaystyle H(t-\tau)\ )	e − τ s s (\displaystyle (\frac (e^(-\tau s))(s)))	s > 0 (\displaystyle s>0)
2c	"gyors lépés"	t ⋅ H (t) (\displaystyle t\cdot H(t)\ )	1 s 2 (\displaystyle (\frac (1)(s^(2))))	s > 0 (\displaystyle s>0)
2d	n (\displaystyle n)-edik sorrend frekvencia eltolással	t n n ! e − α t ⋅ H (t) (\displaystyle (\frac (t^(n)))(n}e^{-\alpha t}\cdot H(t)} !}	1 (s + α) n + 1 (\displaystyle (\frac (1)((s+\alpha)^(n+1))))	s > -α (\displaystyle s>-\alpha )
2d.1	exponenciális bomlás	e − α t ⋅ H (t) (\displaystyle e^(-\alpha t)\cdot H(t)\ )	1 s + α (\displaystyle (\frac (1)(s+\alpha )))	s > − α (\displaystyle s>-\alpha \ )
3	exponenciális közelítés	(1 − e − α t) ⋅ H (t) (\megjelenítési stílus (1-e^(-\alpha t))\cdot H(t)\ )	α s (s + α) (\displaystyle (\frac (\alpha )(s(s+\alpha))))	s > 0 (\displaystyle s>0\ )
4	sinus	sin ⁡ (ω t) ⋅ H (t) (\displaystyle \sin(\omega t)\cdot H(t)\ )	ω s 2 + ω 2 (\displaystyle (\frac (\omega )(s^(2)+\omega ^(2))))	s > 0 (\displaystyle s>0\ )
5	koszinusz	cos ⁡ (ω t) ⋅ H (t) (\displaystyle \cos(\omega t)\cdot H(t)\ )	s s 2 + ω 2 (\displaystyle (\frac (s)(s^(2)+\omega ^(2))))	s > 0 (\displaystyle s>0\ )
6	hiperbolikus szinusz	s h (α t) ⋅ H (t) (\displaystyle \mathrm (sh) \,(\alpha t)\cdot H(t)\ )	α s 2 − α 2 (\displaystyle (\frac (\alpha )(s^(2)-\alpha ^(2))))	s > | α | (\displaystyle s>|\alpha |\ )
7	hiperbolikus koszinusz	c h (α t) ⋅ H (t) (\displaystyle \mathrm (ch) \,(\alpha t)\cdot H(t)\ )	s s 2 − α 2 (\displaystyle (\frac (s)(s^(2)-\alpha ^(2))))	s > | α | (\displaystyle s>|\alpha |\ )
8	exponenciálisan bomlik sinus	e − α t sin ⁡ (ω t) ⋅ H (t) (\displaystyle e^(-\alpha t)\sin(\omega t)\cdot H(t)\ )	ω (s + α) 2 + ω 2 (\displaystyle (\frac (\omega )((s+\alpha)^(2)+\omega ^(2))))	s > − α (\displaystyle s>-\alpha \ )
9	exponenciálisan bomlik koszinusz	e − α t cos ⁡ (ω t) ⋅ H (t) (\displaystyle e^(-\alpha t)\cos(\omega t)\cdot H(t)\ )	s + α (s + α) 2 + ω 2 (\displaystyle (\frac (s+\alpha )((s+\alpha)^(2)+\omega ^(2))))	s > − α (\displaystyle s>-\alpha \ )
10	gyökér n (\displaystyle n)-edik sorrend	t n ⋅ H (t) (\displaystyle (\sqrt[(n)](t))\cdot H(t))	s − (n + 1) / n ⋅ Γ (1 + 1 n) (\displaystyle s^(-(n+1)/n)\cdot \Gamma \left(1+(\frac (1)(n) )\jobb))	s > 0 (\displaystyle s>0)
11	természetes logaritmus	ln ⁡ (t t 0) ⋅ H (t) (\displaystyle \ln \left((\frac (t)(t_(0)))\right)\cdot H(t))	− t 0 s [ ln ⁡ (t 0 s) + γ ] (\displaystyle -(\frac (t_(0))(s))[\ln(t_(0)s)+\gamma ])	s > 0 (\displaystyle s>0)
12	Bessel funkció első fajta rendelés n (\displaystyle n)	J n (ω t) ⋅ H (t) (\displaystyle J_(n)(\omega t)\cdot H(t))	ω n (s + s 2 + ω 2) − n s 2 + ω 2 (\displaystyle (\frac (\omega ^(n))\left(s+(\sqrt (s^(2)+\omega ^(2))) ))\jobbra)^(-n))(\sqrt (s^(2)+\omega ^(2)))))	s > 0 (\displaystyle s>0\ ) (n > – 1) (\displaystyle (n>-1)\ )
13	első fajta rendelés n (\displaystyle n)	I n (ω t) ⋅ H (t) (\displaystyle I_(n)(\omega t)\cdot H(t))	ω n (s + s 2 − ω 2) − n s 2 − ω 2 (\displaystyle (\frac (\omega ^(n))\left(s+(\sqrt (s^(2)-\omega ^(2))) ))\jobbra)^(-n))(\sqrt (s^(2)-\omega ^(2)))))	s > | ω | (\displaystyle s>|\omega |\ )
14	bessel függvény második fajta nulla sorrend	Y 0 (α t) ⋅ H (t) (\displaystyle Y_(0)(\alpha t)\cdot H(t)\ )	− 2 a r s h (s / α) π s 2 + α 2 (\displaystyle -(\frac (2\mathrm (arsh) (s/\alpha))(\pi (\sqrt (s^(2)+\alpha) ^(2))))))	s > 0 (\displaystyle s>0\ )
15	módosított Bessel-függvény második fajta, nulla sorrend	K 0 (α t) ⋅ H (t) (\displaystyle K_(0)(\alpha t)\cdot H(t))
16	hiba funkció	e r f (t) ⋅ H (t) (\displaystyle \mathrm (erf) (t)\cdot H(t))	e s 2 / 4 e r f c (s / 2) s (\displaystyle (\frac (e^(s^(2)/4)\mathrm (erfc) (s/2))(s)))	s > 0 (\displaystyle s>0)
Táblázat megjegyzései: H (t) (\displaystyle H(t)\ ); α (\displaystyle \alpha \ ), β (\displaystyle \beta \ ), τ (\displaystyle \tau \ )És ω (\displaystyle \omega \ ) - Kapcsolat más átalakulásokkal Alapvető összefüggések Mellin átalakul Mellin átalakulás az inverz Mellin-transzformáció pedig a változók egyszerű megváltoztatásával kapcsolódik a kétoldali Laplace-transzformációhoz. Ha a Mellin transzformációban G (s) = M ( g (θ) ) = ∫ 0 ∞ θ s g (θ) θ d θ (\displaystyle G(s)=(\mathcal (M))\left\(g(\theta)\jobb \)=\int \limits _(0)^(\infty )\theta ^(s)(\frac (g(\theta))(\theta ))\,d\theta ) tegyük fel θ = e − x (\displaystyle \theta =e^(-x)), akkor megkapjuk a kétoldalas Laplace transzformációt. Z-transzformáció Z (\displaystyle Z) A transzformáció egy rácsfüggvény Laplace-transzformációja, amelyet változók változtatásával hajtunk végre: z ≡ e s T , (\displaystyle z\equiv e^(sT),) Borel transzformáció A Borel-transzformáció integrál alakja megegyezik a Laplace-transzformációval, létezik egy általánosított Borel-transzformáció is, melynek segítségével a Laplace-transzformáció használata a függvények szélesebb osztályára is kiterjeszthető. Bibliográfia Van der Pol B., Bremer H. Műveleti számítás a kétoldali Laplace-transzformáció alapján. - M.: Külföldi Irodalmi Kiadó, 1952. - 507 p. Ditkin V. A., Prudnikov A. P. Integráltranszformációk és műveleti számítások. - M.: A Nauka kiadó fizikai és matematikai szakirodalmának főkiadása, 1974. - 544 p. Ditkin V. A., Kuznyecov P. I. Az operatív számítások kézikönyve: Az elmélet alapjai és a képlettáblázatok. - M.: Állami Műszaki és Elméleti Irodalmi Kiadó, 1951. - 256 p. Carslow H., Jaeger D. Műveleti módszerek az alkalmazott matematikában. - M.: Külföldi Irodalmi Kiadó, 1948. - 294 p. Kozhevnikov N. I., Krasnoshchekova T. I., Shishkin N. E. Fourier-sorok és integrálok. Mezőelmélet. Analitikai és speciális funkciók. Laplace-transzformációk. - M. : Nauka, 1964. - 184 p. Krasznov M. L., Makarenko G. I. műveleti kalkulus. Mozgásstabilitás. - M. : Nauka, 1964. - 103 p. Mikusinsky Ya. Operátori kalkulus. - M.: Külföldi Irodalmi Kiadó, 1956. - 367 p. Romanovszkij P.I. Fourier sorozat. Mezőelmélet. Analitikai és speciális funkciók. Laplace-transzformációk. - M. : Nauka, 1980. - 336 p.