Ebben a leckében megismerkedünk az egyik legfontosabb és legelterjedtebb technikával, amelyet határozatlan integrálok megoldásánál alkalmaznak - a változóváltás módszerével. Az anyag sikeres elsajátításához kezdeti ismeretek és integrációs készségek szükségesek. Ha az integrálszámításban üres teli vízforraló érzése van, akkor először meg kell ismerkednie az anyaggal, ahol hozzáférhető formában elmagyaráztam, mi az integrál, és részletesen elemeztem a kezdőknek szóló alapvető példákat.

Technikailag a változó megváltoztatásának módszere egy határozatlan integrálban kétféleképpen valósul meg:

– A függvényt a differenciáljel alá foglalva;
– Valójában a változó cseréje.

Lényegében ugyanaz a dolog, de a megoldás kialakítása másképp néz ki.

Kezdjük egy egyszerűbb esettel.

Függvény felvétele a differenciáljel alá

A leckében Határozatlan integrál. Példák megoldásokra megtanultuk, hogyan kell kinyitni a differenciálművet, emlékeztetem a példámra, amit adtam:

Vagyis egy differenciál felfedése formálisan majdnem ugyanaz, mint a derivált megtalálása.

1. példa

Végezzen ellenőrzést.

Megnézzük az integrálok táblázatát, és hasonló képletet találunk: . De a probléma az, hogy a szinusz alatt nem csak az „X” betű van, hanem egy összetett kifejezés. Mit kell tenni?

A függvényt a differenciáljel alá visszük:

A differenciálmű kinyitásával könnyen ellenőrizhető, hogy:

Valójában és ugyanarról a dologról készült felvétel.

A kérdés azonban továbbra is fennáll, hogyan jutottunk arra a gondolatra, hogy első lépésben pontosan így kell megírnunk az integrálunkat: ? Miért így és nem másként?

Képlet (és az összes többi táblázati képlet) NEM CSAK a változóra érvényes és alkalmazható, hanem bármely összetett kifejezésre is CSAK FUNKCIÓARGUMENTUMKÉNT(- példánkban) ÉS A KIFEJEZÉS A KÜLÖNBSÉGJEL ALATT VOLT UGYANAZ .

Ezért a megoldás során a mentális érvelésnek valami ilyesminek kell lennie: „Meg kell oldanom az integrált. Megnéztem a táblázatot és hasonló képletet találtam . De van egy összetett érvem, és nem tudom azonnal használni a képletet. Viszont ha sikerül a differenciáltábla alá vinnem, akkor minden rendben lesz. Ha leírom, akkor. De az eredeti integrálban nincs hármas tényező, ezért ahhoz, hogy az integrand függvény ne változzon, meg kell szoroznom a "-vel. Körülbelül ilyen mentális okoskodás során születik meg a szócikk:

Most már használhatja a táblázatos képletet :

Kész

Az egyetlen különbség az, hogy nem „X” betűnk van, hanem összetett kifejezés.

Ellenőrizzük. Nyissa meg a derivált táblázatot, és különböztesse meg a választ:

Az eredeti integrand függvényt megkaptuk, ami azt jelenti, hogy az integrált helyesen találtuk meg.

Kérjük, vegye figyelembe, hogy az ellenőrzés során az összetett függvény megkülönböztetésének szabályát alkalmaztuk . Lényegében a függvényt a differenciáljel alá foglalva és - ez két egymással ellentétes szabály.

2. példa

Elemezzük az integrand függvényt. Itt van egy tört, és a nevező egy lineáris függvény (az első hatványban „X” van). Megnézzük az integrálok táblázatát, és megtaláljuk a leginkább hasonlót: .

A függvényt a differenciáljel alá visszük:

Azok, akik nehezen tudják azonnal kitalálni, hogy melyik törttel szorozzák, gyorsan felfedhetik a különbséget egy piszkozatban: . Igen, kiderült, hogy ez azt jelenti, hogy ahhoz, hogy semmi ne változzon, meg kell szoroznom az integrált -val.
Ezután a táblázatos képletet használjuk :

Vizsgálat:

Az eredeti integrand függvényt megkaptuk, ami azt jelenti, hogy az integrált helyesen találtuk meg.

3. példa

Keresse meg a határozatlan integrált. Végezzen ellenőrzést.

4. példa

Keresse meg a határozatlan integrált. Végezzen ellenőrzést.

Ez egy példa, amelyet egyedül kell megoldania. A válasz a lecke végén található.

Némi tapasztalattal az integrálok megoldásában, az ilyen példák egyszerűnek tűnnek, és úgy csattannak, mint a dió:

A szakasz végén szeretnék még kitérni a „szabad” esetre, amikor egy lineáris függvényben egy változó egységnyi együtthatóval lép be, például:

Szigorúan véve a megoldásnak így kell kinéznie:

Amint látható, a függvényt a differenciáljel alá szedni „fájdalommentes”, szorzás nélkül. Ezért a gyakorlatban egy ilyen hosszú megoldást gyakran figyelmen kívül hagynak, és ezt azonnal le is írják . De készülj fel, ha szükséges, elmagyarázod a tanárnak, hogyan oldottad meg! Mert valójában nincs integrál a táblázatban.

Változómódosítási módszer határozatlan integrálban

Térjünk át az általános esetre - a változók megváltoztatásának módszerére a határozatlan integrálban.

5. példa

Keresse meg a határozatlan integrált.

Példaként azt az integrált vettem, amelyet az óra legelején megnéztünk. Mint már mondtuk, az integrál megoldásához a táblázatos képlet tetszett , és le szeretném szűkíteni az egész ügyet.

A helyettesítési módszer mögött meghúzódó gondolat az, hogy cserélje ki az összetett kifejezést (vagy valamilyen függvényt) egyetlen betűvel.
Ebben az esetben a következőket kéri:
A második legnépszerűbb helyettesítő betű a levél.
Elvileg más betűket is használhat, de mi továbbra is ragaszkodunk a hagyományokhoz.

Így:
De ha lecseréljük, akkor marad! Valószínűleg sokan sejtették, hogy ha áttérünk egy új változóra, akkor az új integrálban mindent a betűn keresztül kell kifejezni, és ott egyáltalán nincs helye differenciálnak.
A logikus következtetés az, hogy szükséges olyan kifejezéssé alakul, amely csak attól függ.

A művelet a következő. Miután kiválasztottunk egy helyettesítőt, ebben a példában meg kell találnunk a különbséget. A különbségekkel azt hiszem, mindenki barátságot kötött már.

Azóta

A differenciálmű szétszerelése után azt javaslom, hogy a lehető legrövidebbre írja át a végeredményt:
Most az arányossági szabályok szerint kifejezzük, mire van szükségünk:

Végül is:
És így:

És ez már a legtáblásabb integrál (a változóra természetesen az integrálok táblázata is érvényes).

Végül már csak a fordított cserét kell végrehajtani. Emlékezzünk erre.

Kész.

A vizsgált példa végső kialakításának valahogy így kell kinéznie:

“

Cseréljük:

“

Az ikonnak nincs matematikai jelentése, ez azt jelenti, hogy megszakítottuk a megoldást köztes magyarázatokra.

Példa elkészítésekor egy jegyzetfüzetben jobb, ha egy egyszerű ceruzával megjelöli a fordított helyettesítést.

Figyelem! A következő példákban a különbség megtalálását nem írjuk le részletesen.

Itt az ideje, hogy emlékezzünk az első megoldásra:

Mi a különbség? Nincs alapvető különbség. Valójában ugyanaz. De a feladat megtervezése szempontjából a függvény differenciáljel alá vonásának módja sokkal rövidebb.

Felmerül a kérdés. Ha az első módszer rövidebb, akkor miért használja a helyettesítési módszert? A helyzet az, hogy számos integrál esetében nem olyan egyszerű a függvényt a differenciál előjeléhez „illeszteni”.

6. példa

Keresse meg a határozatlan integrált.

Cseréljünk: (itt nehéz más cserét elképzelni)

Amint látható, a csere eredményeként az eredeti integrál jelentősen leegyszerűsödött - egy közönséges teljesítményfunkcióra csökkent. Ez a csere célja - az integrál egyszerűsítése.

A lusta haladók könnyen megoldhatják ezt az integrált, ha a függvényt a differenciáljel alá foglalják:

A másik dolog az, hogy egy ilyen megoldás nyilvánvalóan nem minden diáknak való. Ezen túlmenően, már ebben a példában a függvénynek a differenciáljel alá vonásának módszerének használata jelentősen megnöveli annak kockázatát, hogy egy döntés során összezavarodnak.

7. példa

Keresse meg a határozatlan integrált. Végezzen ellenőrzést.

8. példa

Keresse meg a határozatlan integrált.

Csere:
Majd kiderül, mi lesz belőle

Oké, kifejeztük, de mit kezdjünk a számlálóban maradó „X”-el?!
Az integrálok megoldása során időről időre a következő trükkel találkozunk: ugyanabból a helyettesítésből fogunk kifejezni !

9. példa

Keresse meg a határozatlan integrált.

Ez egy példa, amelyet egyedül kell megoldania. A válasz a lecke végén található.

10. példa

Keresse meg a határozatlan integrált.

Bizonyára néhányan észrevették, hogy a keresőtáblámban nincs változó helyettesítési szabály. Ez szándékosan történt. A szabály zavart okozna a magyarázatban és a megértésben, mivel a fenti példákban nem jelenik meg kifejezetten.

Itt az ideje, hogy beszéljünk a változó helyettesítési módszer használatának alapfeltevéséről: az integrandusnak tartalmaznia kell valamilyen függvényt és származékát:(előfordulhat, hogy a funkciók nincsenek a termékben)

Ebben a tekintetben az integrálok keresésekor gyakran meg kell nézni a derivált táblázatot.

A vizsgált példában azt látjuk, hogy a számláló foka eggyel kisebb, mint a nevező mértéke. A derivált táblázatban találjuk a képletet, amely éppen eggyel csökkenti a fokot. Ez pedig azt jelenti, hogy ha ezt jelöli ki nevezőnek, akkor nagy az esélye, hogy a számlálóból valami jó lesz.

A az integrálok táblázatossá redukálásának módjai Felsoroltuk neked:

változó helyettesítési módszer;

részenkénti integráció módja;

Közvetlen integrációs módszer

a határozatlan integrálok táblázatos ábrázolásának módszerei a racionális törtek integráljaihoz;

módszerek határozatlan integrálok ábrázolására az irracionális kifejezések integráljainak táblázatintegrálokon keresztül;

a határozatlan integrálok táblázatos kifejezésekkel történő kifejezésének módjai a trigonometrikus függvények integráljaihoz.

Hatványfüggvény határozatlan integrálja

Az exponenciális függvény határozatlan integrálja

De a logaritmus határozatlan integrálja nem táblázatos integrál, hanem táblázatos:

Trigonometrikus függvények határozatlan integráljai: Szinusz, koszinusz és tangens integráljai

Határozatlan integrálok inverz trigonometrikus függvényekkel

Redukálás táblázatos formára vagy közvetlen integrációs módszer. Az integrál azonos transzformációit használva az integrált olyan integrállá redukáljuk, amelyre az integráció alapvető szabályai érvényesek, és lehetőség van az alapintegrálok táblázatának használatára.

Példa

Gyakorlat. Keresse meg az integrált

Megoldás. Használjuk az integrál tulajdonságait, és redukáljuk ezt az integrált táblázatos formára.

Válasz.

Technikailag változó helyettesítési módszer a határozatlan integrálban kétféleképpen valósul meg:

– Függvény felvétele a differenciáljel alá. – Valójában a változó megváltoztatása.

Függvény felvétele a differenciáljel alá

2. példa

Végezzen ellenőrzést.

A függvényt a differenciáljel alá visszük:

Vizsgálat: Az eredeti integrand függvényt megkaptuk, ami azt jelenti, hogy az integrált helyesen találtuk meg.

5. példa

Keresse meg a határozatlan integrált.

A helyettesítési módszer mögött meghúzódó gondolat az, hogy cserélje ki az összetett kifejezést (vagy valamilyen függvényt) egyetlen betűvel. Ebben az esetben önmagát sugallja: A második legnépszerűbb helyettesítő betű a levél. Elvileg más betűket is használhat, de mi továbbra is ragaszkodunk a hagyományokhoz.

Így: De ha lecseréljük, akkor marad! Valószínűleg sokan sejtették, hogy ha áttérünk egy új változóra, akkor az új integrálban mindent a betűn keresztül kell kifejezni, és ott egyáltalán nincs helye differenciálnak. A logikus következtetés az, hogy szükséges olyan kifejezéssé alakul, amely csak attól függ.

A művelet a következő. Miután kiválasztottunk egy helyettesítőt, ebben a példában meg kell találnunk a különbséget. A különbségekkel azt hiszem, mindenki barátságot kötött már.

Azóta

A különbség rendezése után javaslom a végeredmény minél rövidebb átírását: Most az arányossági szabályok szerint fejezzük ki azt, amelyikre szükségünk van:

Végül is: És így: És ez már a legtáblásabb integrál (az integrálok táblázata természetesen a ) változóra is érvényes).

Végül már csak a fordított cserét kell végrehajtani. Emlékezzünk erre.

Kész.

A vizsgált példa végső kialakításának valahogy így kell kinéznie:

“

Cseréljük:

“

Az ikonnak nincs matematikai jelentése, ez azt jelenti, hogy megszakítottuk a megoldást köztes magyarázatokra.

Példa elkészítésekor egy jegyzetfüzetben jobb, ha egy egyszerű ceruzával megjelöli a fordított helyettesítést.

Figyelem! A következő példákban a különbség megtalálását nem írjuk le részletesen.

Itt az ideje, hogy emlékezzünk az első megoldásra:

Mi a különbség? Nincs alapvető különbség. Valójában ugyanaz. Ám a feladat megtervezése szempontjából a függvény differenciáljel alá vonásának módja sokkal rövidebb. Felmerül a kérdés. Ha az első módszer rövidebb, akkor miért használja a helyettesítési módszert? A helyzet az, hogy számos integrál esetében nem olyan egyszerű a függvényt a differenciál előjeléhez „illeszteni”.

Integráció alkatrészek szerint. Példák megoldásokra

A logaritmus integráljai

1. példa

Keresse meg a határozatlan integrált.

Klasszikus. Ez az integrál időnként megtalálható táblázatokban, de nem célszerű kész választ használni, mivel a tanár tavaszi vitaminhiányban szenved, és erősen káromkodni fog. Mivel a szóban forgó integrál semmiképpen sem táblázatos – részekre bontva. Mi döntünk:

A megoldást köztes magyarázatokra megszakítjuk.

A részenkénti integráció képletét használjuk:

A képletet balról jobbra alkalmazzuk

A bal oldalt nézzük: . Nyilvánvaló, hogy a mi példánkban (és az összes többiben, amelyet figyelembe fogunk venni) valamit , valamit -ként kell megjelölni.

A vizsgált típus integráljaibanmindig logaritmussal jelöljük.

Technikailag a megoldás kialakítását a következőképpen írjuk az oszlopba:

Vagyis a logaritmust -val és -vel jelöltük a fennmaradó részt integrand kifejezés.

Következő lépés: keresse meg a differenciálművet:

A differenciál szinte ugyanaz, mint a származék, már tárgyaltuk, hogyan találjuk meg az előző leckékben.

Most megtaláljuk a függvényt. A funkció megtalálásához integrálnia kell jobb oldal alacsonyabb egyenlőség:

Most megnyitjuk a megoldásunkat, és megszerkesztjük a képlet jobb oldalát: . Egyébként itt van egy minta a végső megoldásról néhány megjegyzéssel:

A munka egyetlen lényege, hogy azonnal és -t cseréltem, mivel a faktort a logaritmus elé szokás írni.

Mint látható, a részenkénti integráció képlet alkalmazása lényegében két egyszerű integrálra redukálta megoldásunkat.

Kérjük, vegye figyelembe, hogy bizonyos esetekben közvetlenül utána A képlet alkalmazása során szükségszerűen egyszerűsítést kell végrehajtani a fennmaradó integrál alatt - a vizsgált példában az integrandust "x"-re csökkentettük.

Ellenőrizzük. Ehhez a válasz származékát kell vennie:

Az eredeti integrand függvényt kaptuk, ami azt jelenti, hogy az integrált helyesen oldották meg.

A teszt során a termékdifferenciálási szabályt alkalmaztuk: . És ez nem véletlen.

Alkatrészenkénti integráció képlete és képlet– ez két egymással ellentétes szabály.

Exponenciális integráljai polinommal szorozva

Általános szabály: mögött

5. példa

Keresse meg a határozatlan integrált.

Ismert algoritmussal részenként integráljuk:

Ha nehézségei vannak az integrállal, akkor térjen vissza a cikkhez Változómódosítási módszer határozatlan integrálban.

Az egyetlen dolog, amit tehetsz, az az, hogy módosítod a választ:

De ha a számítási technikája nem túl jó, akkor a legjövedelmezőbb megoldás az, ha választ vagy akár

Vagyis a példa akkor tekinthető megoldottnak, amikor az utolsó integrált vettük. Nem lesz hiba, más kérdés, hogy a tanár megkérheti, hogy egyszerűsítse a választ.

Trigonometrikus függvények integráljai polinommal szorozva

Általános szabály: mögöttmindig polinommal jelöljük

7. példa

Keresse meg a határozatlan integrált.

Integráljuk részenként:

Hmmm, és nincs mit kommentálni.

2. Változó helyettesítése (helyettesítési módszer)

A helyettesítési módszer lényege, hogy egy új változó bevezetése következtében az adott nehéz az integrált táblázatosra redukáljuk, vagy olyanra, amelynek számítási módja ismert.

Legyen szükséges az integrál kiszámítása. Két helyettesítési szabály létezik:

A függvény kiválasztásának általános szabálya
nem létezik, de többféle integrand függvény létezik, amelyekhez ajánlások vannak a függvény kiválasztásához
.

A változók helyettesítése többször is alkalmazható az eredmény eléréséig.

1. példa Keresse meg az integrálokat:

A)
; b)
; V)
;

G)
; d)
; e)
.

Megoldás.

a) A táblázatintegrálok között nincsenek különböző fokú gyökök, ezért „meg akarok szabadulni” mindenekelőtt
És
. Ehhez ki kell cserélni x egy ilyen kifejezés, amelyből mindkét gyökér könnyen kinyerhető:

b) Tipikus példa, amikor az exponenciális függvénytől „megszabadulni” vágyunk
. De ebben az esetben kényelmesebb a teljes kifejezést a tört nevezőjében új változóként venni:

;

c) Figyeljük meg, hogy a számláló tartalmazza a szorzatot
, amely a radikális kifejezés differenciáljának része, cserélje ki ezt a teljes kifejezést egy új változóra:

;

d) Itt, mint az a) esetben, szeretnék megszabadulni a radikálistól. De mivel az a) ponttal ellentétben csak egy gyökér van, ezt egy új változóra cseréljük:

e) Itt két körülmény járul hozzá a helyettesítés megválasztásához: egyrészt a logaritmusoktól való megszabadulás intuitív vágya, másrészt a kifejezés jelenléte. , ami a függvény differenciálja
. De csakúgy, mint az előző példákban, jobb, ha a logaritmushoz tartozó konstansokat is beépítjük a cserébe:

f) Itt is, mint az előző példában, az intuitív vágy, hogy megszabaduljunk a nehézkes kitevőtől az integrandusban, összhangban van a jól ismert ténnyel:
(3. táblázat 8. képlete). Ezért rendelkezünk:

Változók cseréje egyes függvényosztályokhoz

Nézzünk meg néhány függvényosztályt, amelyeknél bizonyos helyettesítések javasoltak.

4. táblázat.Racionális függvények

Integrál típusa	Integrációs módszer
1.1.
1.2.
1.3.	Egy teljes négyzet kiválasztása:
1.4.	Ismétlődési képlet

Transzcendentális funkciók:

1.5.
- helyettesítés t = e x ;

1.6.
- helyettesítés t=napló a x.

2. példa Keresse meg a racionális függvények integráljait:

A)
; b)
;

V)
; d)
.

Megoldás.

a) Ezt az integrált nem kell a változók változásával kiszámítani, itt egyszerűbb a differenciáljel alatti helyettesítés:

b) Hasonlóképpen a differenciáljel alatti összegzést használjuk:

;

c) A 4. táblázat 1.3 típusú integrálja előttünk a megfelelő ajánlásokat fogjuk használni:

e) Az előző példához hasonlóan:

3. példa Integrálok keresése

A)
; b)
.

Megoldás.

b) Az integrandus tartalmaz egy logaritmust, ezért az 1.6-os ajánlást fogjuk használni. Csak ebben az esetben kényelmesebb nemcsak egy funkciót helyettesíteni
, és a teljes radikális kifejezés:

6. táblázat. Trigonometrikus függvények (R

Integrál típusa	Integrációs módszer
3.1.	Univerzális helyettesítés , , ,
3.1.1. , Ha	Helyettesítés
3.1.2. , Ha	Helyettesítés .
3.1.3. . , Ha (azaz a függvényeknek csak páros fokozatai vannak )	Helyettesítés
3.2.	Ha – páratlan, akkor lásd 3.1.1; Ha – páratlan, akkor lásd 3.1.2; Ha – páros, akkor lásd 3.1.3; Ha – páros, akkor használjon képleteket a fokozat csökkentésére ,
3.3. , ,	Használjon képleteket

4. példa Keresse meg az integrálokat:

A)
; b)
; V)
; d)
.

Megoldás.

a) Ide integráljuk a trigonometrikus függvényt. Alkalmazzunk egy univerzális helyettesítést (6. táblázat, 3.1):

b) Itt is alkalmazunk egy univerzális helyettesítést:

Megjegyezzük, hogy a vizsgált integrálban a változók változását kétszer kellett alkalmazni.

c) Hasonlóan számolunk:

e) Tekintsünk két módszert ennek az integrálnak a kiszámítására.

Amint látja, különböző primitív függvényeket kaptunk. Ez nem jelenti azt, hogy az egyik alkalmazott technika rossz eredményt ad. A tény az, hogy a jól ismert trigonometrikus azonosságokat felhasználva, amelyek a félszög érintőjét a teljes szög trigonometrikus függvényeivel kapcsolják össze, megkapjuk

Így a talált antiderivátumok egybeesnek egymással.

5. példa Keresse meg az integrálokat:

A)
; b)
; V)
; G)
.

Megoldás.

a) Ebben az integrálban alkalmazhatjuk az univerzális helyettesítést is
, de mivel az integrandusban szereplő koszinusz páros hatványú, ésszerűbb a 6. táblázat 3.1.3. szakaszának ajánlásait alkalmazni:

b) Először redukáljuk le az integrandusban szereplő összes trigonometrikus függvényt egyetlen argumentumra:

A kapott integrálban alkalmazhatunk univerzális behelyettesítést, de megjegyezzük, hogy az integrandus nem változtat előjelet a szinusz és a koszinusz előjelének változása esetén:

Következésképpen a függvény a 6. táblázat 3.1.3. bekezdésében meghatározott tulajdonságokkal rendelkezik, így a legkényelmesebb helyettesítés
. Nekünk van:

c) Ha egy adott integránsban a koszinusz előjele megváltozik, akkor az egész függvény előjelet vált:

Ez azt jelenti, hogy az integrandus rendelkezik a 3.1.2. bekezdésben leírt tulajdonsággal. Ezért ésszerű a helyettesítés alkalmazása
. De először, mint az előző példában, átalakítjuk az integrand függvényt:

d) Ha egy adott integránsban a szinusz előjele megváltozik, akkor az egész függvény előjelet vált, ami azt jelenti, hogy a 6. táblázat 3.1.1. pontjában leírt eset áll fenn, ezért az új változót függvényként kell kijelölni.
. De mivel az integrandusban nincs jelen a függvény
, sem a differenciálját, először átalakítjuk:

6. példa. Keresse meg az integrálokat:

A)
; b)
;

V)
G)
.

Megoldás.

a) Ez az integrál a 6. táblázat 3.2 típusú integráljaira vonatkozik. Mivel a szinusz páratlan hatvány, az ajánlások szerint célszerű a függvényt lecserélni.
. De először átalakítjuk az integrand függvényt:

b) Ez az integrál ugyanolyan típusú, mint az előző, de itt a függvények
És
páros diplomájuk van, ezért a fokozat csökkentésére vonatkozó képleteket kell alkalmazni:
,
. Kapunk:

c) Alakítsa át a függvényt:

d) A 6. táblázat 3.1.3. ajánlása szerint ebben az integrálban célszerű a csere
. Kapunk:

5. táblázat.Irracionális függvények (R– érvei racionális funkciója)

Integrál típusa	Integrációs módszer
	Helyettesítés , Ahol k – törtek közös nevezője …, .
	Helyettesítés , Ahol k–törtek közös nevezője …,
2.3.	Helyettesítés, , Ahol k– kitevő törtek közös nevezője …,
2.4.	Helyettesítés .
2.5.	Helyettesítés ,
2.6.	Helyettesítés , .
2.7.	Helyettesítés , .
2.8. (differenciális binomiális), csak három esetben van integrálva: A) R– egész szám (helyettesítés x = t k, Ahol k– törtek közös nevezője TÉs P); b) – egész (csere = t k, Ahol k– a tört nevezője R); V) – egész (csere = t k, Ahol k– a tört nevezője R).

7. példa. Keresse meg az integrálokat:

A)
; b)
; V)
.

Megoldás.

a) Ez az integrál a 2.1 típusú integrálok közé sorolható, ezért végezzük el a megfelelő helyettesítést. Emlékezzünk vissza, hogy a helyettesítés lényege ebben az esetben az irracionalitástól való megszabadulás. Ez pedig azt jelenti, hogy a radikális kifejezést egy új változó olyan hatványával kell helyettesíteni, amelyből az integrál alatti összes gyök kinyerhető. Esetünkben ez nyilvánvaló :

Az integrál alatt egy nem megfelelő racionális törtet kapunk. Az ilyen frakciók integrálása mindenekelőtt az egész rész elkülönítését jelenti. Tehát osszuk el a számlálót a nevezővel:

Akkor kapunk
, innen

A határozatlan integrálban lévő változó megváltoztatása olyan integrálok keresésére szolgál, amelyekben az egyik függvény egy másik függvény deriváltja. Legyen egy $ \int f(x) dx $ integrál, tegyük meg a $ x=\phi(t) $ helyettesítést. Figyeljük meg, hogy a $ \phi(t) $ függvény differenciálható, így megtaláljuk a $ dx = \phi"(t) dt $ függvényt.

Most behelyettesítjük a $ \begin(vmatrix) x = \phi(t) \\ dx = \phi"(t) dt \end(vmatrix) $ elemet az integrálba, és azt kapjuk, hogy:

$$ \int f(x) dx = \int f(\phi(t)) \cdot \phi"(t) dt $$

Ez az egy határozatlan integrálban lévő változó megváltoztatásának formulája.

A változócsere módszer algoritmusa

Így, ha a feladatnak a következő alakú integrált adjuk: $$ \int f(\phi(x)) \cdot \phi"(x) dx $$ Célszerű a változót egy újra cserélni: $$ t = \phi(x) $ $ $$ dt = \phi"(t) dt $$

Ezt követően az integrál az alapvető integrációs módszerekkel könnyen átvehető formában kerül bemutatásra: $$ \int f(\phi(x)) \cdot \phi"(x) dx = \int f(t) dt $$

Ne felejtse el visszaadni a helyettesített változót is $x$ értékre.

Példák megoldásokra

1. példa
Keresse meg a határozatlan integrált a változómódosítással: $$ \int e^(3x) dx $$
Megoldás
Az integrálban lévő változót a következőre cseréljük: $ t = 3x, dt = 3dx $: $$ \int e^(3x) dx = \int e^t \frac(dt)(3) = \frac(1)(3) \int e^t dt = $$ Az exponenciális integrálja továbbra is ugyanaz az integrációs tábla szerint, bár $ x $ helyett $ t $ van írva: $$ = \frac(1)(3) e^t + C = \frac(1)(3) e^(3x) + C $$ Ha nem tudja megoldani a problémát, küldje el nekünk. Részletes megoldást adunk. Megtekintheti a számítás folyamatát, és információkat szerezhet. Ez segít abban, hogy az osztályzatot időben megkapja tanárától!
Válasz
$$ \int e^(3x) dx = \frac(1)(3) e^(3x) + C $$

A módszer a következő képletre épül: ò f(x)dx = ò f(j(t)) j`(t) dt, ahol x = j(t) a vizsgált intervallumon differenciálható függvény.

Bizonyíték. Keressük meg a t változóra vonatkozó deriváltokat a képlet bal és jobb oldaláról.

Vegye figyelembe, hogy a bal oldalon van összetett funkció, amelynek köztes argumentuma x = j(t). Ezért, hogy t-hez képest megkülönböztessük, először az integrált x-hez képest differenciáljuk, majd vesszük a közbülső argumentum deriváltját t-re.

(ò f(x)dx)` t = (ò f(x)dx)` x *x` t = f(x) j`(t)

Származék a jobb oldalról:

(ò f(j(t)) j`(t) dt)` t = f(j(t)) j`(t) = f(x) j`(t)

Mivel ezek a deriváltak egyenlőek, a Lagrange-tételből következően a bizonyított formula bal és jobb oldala egy bizonyos állandóval különbözik. Mivel maguk a határozatlan integrálok egy határozatlan állandó tagig vannak definiálva, ez az állandó elhagyható a végső jelölésből. Igazolt.

A változó sikeres megváltoztatása lehetővé teszi az eredeti integrál egyszerűsítését, és a legegyszerűbb esetekben táblázatossá redukálását. A módszer alkalmazása során különbséget teszünk lineáris és nemlineáris helyettesítési módszerek között.

a) Tekintsük a lineáris helyettesítés módszerét egy példán keresztül.

1. példa. Legyen t = 1 – 2x, akkor

dx = d(½ - ½ t) = - ½ dt

Meg kell jegyezni, hogy az új változót nem kell kifejezetten kiírni. Ilyenkor a differenciáljel alatti függvény transzformálásáról vagy a differenciáljel alá konstansok és változók bevezetéséről beszélnek, pl. O implicit változócsere.

2. példa Például keressük meg a òcos(3x + 2)dx értéket. A differenciálmű tulajdonságai szerint
dx = (1/3)d(3x) = (1/3)d(3x + 2), akkor òcos(3x + 2)dx = ò(1/3)cos(3x + 2)d(3x +
+ 2) = (1/3)òcos(3x + 2)d(3x + 2) = (1/3)sin(3x + 2) + C.

Mindkét vizsgált példában a t = kx + b (k ¹ 0) lineáris helyettesítést használtuk az integrálok meghatározásához.

Általános esetben a következő tétel érvényes.

Lineáris helyettesítési tétel. Legyen F(x) az f(x) függvény valamilyen antideriváltja. Ekkor òf(kx + b)dx = (1/k)F(kx + b) + C, ahol k és b néhány állandó, k ¹ 0.

Bizonyíték.

Az integrál definíciója szerint òf(kx + b)d(kx + b) = F(kx + b) + C. Ho
d(kx + b)= (kx + b)`dx = kdx. Vegyük a k konstans tényezőt az integráljelen kívülre: kòf(kx + b)dx = F(kx + b) + C. Most eloszthatjuk az egyenlőség bal és jobb oldalát k-val, és megkapjuk a bizonyítandó állítást. a konstans tag kijelöléséig.

Ez a tétel kimondja, hogy ha az ò f(x)dx = F(x) + C integrál definíciójában az x argumentum helyett a (kx + b) kifejezést helyettesítjük, ez egy további megjelenéshez vezet. faktor 1/k az antiderivált előtt.

A bizonyított tétel segítségével a következő példákat oldjuk meg.

3. példa

Találjuk meg. Itt kx + b = 3 – x, azaz. k = -1, b = 3. Ekkor

4. példa

Találjuk meg. Itt kx + b = 4x + 3, azaz. k = 4, b = 3. Ekkor

5. példa

Találjuk meg. Itt kx + b = -2x + 7, azaz. k = -2, b = 7. Ekkor

6. példa. Találjuk meg. Itt kx + b = 2x + 0, azaz. k = 2, b = 0.

Hasonlítsuk össze a kapott eredményt a 8. példával, amelyet bővítési módszerrel oldottunk meg. Ugyanazt a problémát más módszerrel megoldva megkaptuk a választ . Hasonlítsuk össze az eredményeket: . Így ezek a kifejezések egy állandó taggal különböznek egymástól, pl. A kapott válaszok nem mondanak ellent egymásnak.

7. példa. meg fogjuk találni . Válasszunk ki egy tökéletes négyzetet a nevezőben.

Egyes esetekben egy változó megváltoztatása nem redukálja közvetlenül az integrált táblázatossá, hanem leegyszerűsítheti a megoldást, lehetővé téve a bővítési módszer használatát egy következő lépésben.

8. példa. Például keressük meg. Cseréljük t = x + 2, majd dt = d(x + 2) = dx. Akkor

ahol C = C 1 – 6 (ha az (x + 2) kifejezést t helyett helyettesítjük, az első két tag helyett ½x 2 -2x – 6-ot kapunk).

9. példa. Találjuk meg. Legyen t = 2x + 1, akkor dt = 2dx; dx = ½ dt; x = (t – 1)/2.

Helyettesítsük t-re a (2x + 1) kifejezést, nyissuk meg a zárójeleket és adjunk hasonlókat.

Vegyük észre, hogy az átalakítások során egy másik állandó tagra tértünk át, mert a konstans tagok csoportja az átalakítási folyamat során elhagyható.

b) Tekintsük a nemlineáris helyettesítés módszerét egy példán keresztül.

1. példa. Legyen t = - x 2 . Ezután kifejezhetjük x-et t-vel, majd kereshetünk egy kifejezést dx-re, és végrehajthatjuk a változó megváltoztatását a kívánt integrálban. De ebben az esetben könnyebb másképp csinálni a dolgokat. Keressük meg dt = d(-x 2) = -2xdx. Vegye figyelembe, hogy az xdx kifejezés a kívánt integrál integrandusának tényezője. Fejezzük ki a kapott xdx = - ½ dt egyenlőségből. Akkor

= ò (- ½)e t dt = (- ½)ò e t dt = (- ½)e t + C = (- ½) + C

Nézzünk még néhány példát.

2. példa Találjuk meg. Legyen t = 1-x2. Akkor

3. példa Találjuk meg. Legyen t = . Akkor

;

4. példa Nemlineáris szubsztitúció esetén célszerű az implicit változók helyettesítése is.

Például keressük meg. Írjunk xdx =
= (-1/4)d(3 - 2x 2) (implicit módon helyettesítve a t = 3 - 2x 2 változóval). Akkor

5. példa meg fogjuk találni . Itt is bevezetünk egy változót a differenciáljel alatt: (implicit csere t = 3 + 5x 3). Akkor

6. példa. Találjuk meg. Mert a ,

7. példa. Találjuk meg. Azóta

Nézzünk meg néhány példát, amelyekben szükségessé válik a különféle helyettesítések kombinálása.

8. példa. meg fogjuk találni . Hadd
t = 2x + 1, akkor x = (t – 1)/2; dx = ½ dt.

9. példa. meg fogjuk találni . Hadd
t = x - 2, akkor x = t + 2; dx = dt.