10. előadás
"Véges impulzusválaszú digitális szűrők"
Átviteli funkció véges impulzusválaszú, fizikailag megvalósított digitális szűrő (FIR szűrő) úgy ábrázolható
(10.1).
Ha a (10.1) kifejezésben helyettesítjük, a FIR szűrő frekvenciaválaszát a formában kapjuk meg
(10.2),
Ahol 
- amplitúdó-frekvencia karakterisztika (AFC) szűrő,
- fázisfrekvenciás karakterisztika (PFC) szűrő.
Fázis késleltetés szűrőt úgy határozzuk meg
(10.3).
csoportos késleltetés szűrőt úgy határozzuk meg
(10.4).
A FIR szűrők sajátossága, hogy állandó fázis- és csoportkésleltetéseket lehet megvalósítani bennük, pl. lineáris fázisválasz
(10.5),
hol egy - állandó. Ilyen körülmények között a szűrőn áthaladó jel nem torzítja annak alakját.
A lineáris fázisválaszt biztosító feltételek levezetéséhez a FIR szűrő frekvenciaválaszát írjuk fel, figyelembe véve (10.5)
(10.6).
Ennek az egyenlőségnek a valós és képzeletbeli részét egyenlővé téve azt kapjuk, hogy
(10.7).
A második egyenletet elosztva az elsővel, azt kapjuk
(10.8).
Végre írhatsz
(10.9).
Ennek az egyenletnek két megoldása van. Először at a =0 az egyenletnek felel meg
(10.10).
Ennek az egyenletnek van egy tetszőlegesnek megfelelő egyedi megoldása h(0)(sin(0)=0), és h(n)=0 n esetén >0. Ez a megoldás egy olyan szűrőnek felel meg, amelynek impulzusválasza egyetlen nullától eltérő mintát tartalmaz a kezdeti időpontban. Egy ilyen szűrő gyakorlati szempontból nem érdekes.
Keressünk egy másik megoldást. Ugyanakkor a (10.8) számlálóit és nevezőit keresztszorozva azt kapjuk, hogy
(10.11).
Ezért van
(10.12).
Mivel ez az egyenlet Fourier-sor alakú, megoldása, ha létezik, egyedi.
Könnyen belátható, hogy ennek az egyenletnek a megoldásának meg kell felelnie a feltételeknek
(10.13),
(10.14).
A (10.13) feltételből következik, hogy a szűrő minden sorrendjére N csak egy fáziskésés van a , amelynél a PFC szigorú linearitása érhető el. A (10.14) feltételből az következik, hogy a szűrő impulzusválaszának szimmetrikusnak kell lennie a páratlan pontra N , és az intervallum felezőpontjához viszonyítva (10.1. ábra).
 |
Egy ilyen szűrő frekvenciaválasza (páratlan N ) így írható
(10.15).
A csere a második összegben m = N -1- n , kapjuk
(10.16).
Mivel h (n)= h (N -1- n ), akkor a két összeg összevonható
(10.17).
Helyettesítve megkapjuk
(10.18).
Ha kijelöljük
(10.19),
akkor végre írhatunk
(10.20).
Így egy lineáris fázisválaszú szűrőnél van
(10.21).
Páros esetére N hasonlóképpen leszünk
(10.22).
Ha a második összeget behelyettesítjük, azt kapjuk
(10.23).
A csere elvégzésével kapjuk
(10.24).
Jelölve
(10.25),
végre meglesz
(10.26).
Így lineáris fázisválaszú és egyenletes sorrendű FIR szűrőhöz N írható
(10.27).
A következőkben az egyszerűség kedvéért csak a páratlan sorrendű szűrőket vesszük figyelembe.
A szűrőátviteli függvény szintetizálásakor a kezdeti paraméterek általában a frekvenciaválasz követelményei. Számos technika létezik a FIR szűrők szintetizálására. Nézzünk meg néhányat közülük.
Mivel bármely digitális szűrő frekvenciamenete a frekvencia periodikus függvénye, Fourier-sorként ábrázolható
(10.28),
ahol a Fourier-sor együtthatói vannak
(10.29).
Látható, hogy a Fourier-sor együtthatói h(n ) egybeesnek az együtthatókkal impulzusválasz szűrő. Ha tehát ismerjük a szűrő szükséges frekvenciamenetének analitikus leírását, akkor annak segítségével könnyen meghatározhatóak az impulzusválasz együtthatói, és ezekből a szűrő átviteli függvénye. Ez azonban a gyakorlatban nem kivitelezhető, mivel egy ilyen szűrő impulzusválasza végtelen hosszúságú. Ezenkívül egy ilyen szűrő fizikailag nem valósítható meg, mivel az impulzusválasz a következő időpontban kezdődik:¥ , és semmilyen véges késleltetés nem teszi ezt a szűrőt fizikailag megvalósíthatóvá.
Egy adott frekvenciaválaszt közelítő FIR-szűrő előállításának egyik lehetséges módja a végtelen Fourier-sor és a szűrő impulzusválaszának csonkítása, feltételezve, hogy h(n)=0 esetén. Akkor
(10.30).
Az átviteli függvény fizikai megvalósíthatósága H(z ) szorzással érhető el H (z ) bekapcsolva.
(10.31),
Ahol
(10.32).
Az átviteli függvény ezen módosításával a szűrő amplitúdó karakterisztikája nem változik, a csoportkésleltetés pedig állandó értékkel nő.
Példaként kiszámítunk egy aluláteresztő FIR szűrőt, amelynek frekvenciaválasza a következő
(10.33).
A (10.29) pontnak megfelelően a szűrő impulzusválasz együtthatóit a kifejezés írja le
(10.34).
Most a (10.31)-ből megkaphatjuk az átviteli függvény kifejezését
(10.35),
Ahol
(10.36).
A számított szűrő amplitúdó jellemzői különböző N ábra mutatja be a 10.2.
10.2. ábra
Az áteresztősáv és a leállító sáv hullámossága a Fourier-sor lassú konvergenciája miatt következik be, ami viszont az áteresztősáv vágási frekvenciájánál fennálló függvény folytonossági hiányának köszönhető. Ezeket a pulzációkat úgy ismerjük Gibbs lüktetés.
A 10.2. ábrából látható, hogy növekedéssel N a pulzálási frekvencia növekszik, az amplitúdó csökken mind az alsó, mind az at felső frekvenciák. Az áteresztősáv utolsó hullámának és a leállítósáv első hullámának amplitúdója azonban gyakorlatilag változatlan marad. A gyakorlatban az ilyen hatások gyakran nemkívánatosak, amihez módot kell találni a Gibbs-hullámok csökkentésére.
Csonka impulzusválasz h(n ) ábrázolható a szükséges végtelen impulzusválasz és néhány szorzataként ablak funkciók w (n) n hosszúságú (10.3. ábra).
(10.37).
 |
A Fourier-sor egyszerű csonkításának megfontolt esetben használjuk téglalap alakú ablak
(10.38).
Ebben az esetben a szűrő frekvenciamenete komplex konvolúcióként ábrázolható
(10.39).
Ez azt jelenti, hogy a kívánt jellemző "elmosott" változata lesz.
A probléma az olyan ablakfüggvények megtalálásában rejlik, amelyek lehetővé teszik a Gibbs-hullámok csökkentését azonos szűrőszelektivitással. Ehhez először egy téglalap alakú ablak példáján tanulmányozni kell az ablakfüggvény tulajdonságait.
A téglalap alakú ablak függvény spektruma így írható fel
(10.40).
A téglalap alakú ablak függvény spektruma a 10.4.
10.4. ábra
Mivel at , akkor a spektrum fő lebenyének szélessége egyenlő.
Az oldallebenyek jelenléte az ablakfüggvény spektrumában a Gibbs hullámzás növekedéséhez vezet a szűrő frekvenciaválaszában. Ahhoz, hogy az áteresztő sávban kis hullámzást, a leállítósávban pedig nagy csillapítást érjünk el, szükséges, hogy az oldallebenyek által határolt terület kis töredéke legyen a főlebeny által határolt területnek.
A fő lebeny szélessége viszont meghatározza a kapott szűrő átmeneti zónájának szélességét. A nagy szűrőszelektivitáshoz a fő lebeny szélességének a lehető legkisebbnek kell lennie. Amint az a fentiekből látható, a főlebeny szélessége a szűrési sorrend növekedésével csökken.
Így a megfelelő ablakfüggvények tulajdonságai a következőképpen fogalmazhatók meg:
- az ablak funkciót időben korlátozni kell;
- az ablakfüggvény spektruma a legjobban közelítse a frekvenciakorlátos függvényt, azaz. minimális energiával kell rendelkeznie a fő lebenyen kívül;
- az ablakfüggvény spektrumának főlebenyének szélessége a lehető legkisebb legyen.
A leggyakrabban használt ablakfunkciók:
1. Téglalap alakú ablak. A fentiekben figyelembe vett.
2. Hamming ablak.
(10.41),
Ahol .
Amikor ezt az ablakot Hann ablaknak ( hanning).
3. Blackman ablak.
(10.42).
4. Bartlett ablak.
(10.43).
A megadott ablakfüggvényekkel épített szűrők indikátorait a 10.1. táblázat foglalja össze.
|
Ablak |
Főlebeny szélessége |
Pulzációs tényező, % |
||
N=11 |
N=21 |
N=31 |
||
|
Négyszögletes |
22.34 |
21.89 |
21.80 |
|
|
Hanning |
2.62 |
2.67 |
2.67 |
|
|
Hamming |
1.47 |
0.93 |
0.82 |
|
|
Fekete ember |
0.08 |
0.12 |
0.12 |
|
A hullámossági tényezőt a maximális oldallebeny amplitúdó és a főlebeny amplitúdó arányaként határozzuk meg az ablakfüggvény spektrumában.
A 10.2. táblázat adatai felhasználhatók a szükséges szűrési sorrend és a legmegfelelőbb ablakfüggvény kiválasztására valós szűrők tervezésekor.
|
átmeneti |
egyenetlenség átvitel (dB) |
Bomlás be vízlépcső (dB) |
|
|
Négyszögletes |
|||
|
Hanning |
|||
|
Hamming |
|||
|
Fekete ember |
A 10.1. táblázatból látható, hogy az ablakfüggvény spektrumában határozott kapcsolat van a hullámossági tényező és a főlebeny szélessége között. Minél kisebb a hullámossági együttható, annál nagyobb a fő lebeny szélessége, és ennélfogva az átmeneti zóna a szűrő frekvenciamenetében. Az áteresztősáv alacsony hullámosságának biztosításához megfelelő hullámzási tényezővel rendelkező ablakot kell választani, és az átmeneti zóna szükséges szélességét N megnövelt szűrőrenddel kell biztosítani.
Ezt a problémát a Kaiser által javasolt ablak segítségével lehet megoldani. A Kaiser ablak függvénynek van egy formája
(10.44),
ahol a független paraméter, 
, I 0 az első típusú nulladrendű Bessel-függvény, amelyet a kifejezés határoz meg
(10.45).
A Kaiser ablak vonzó tulajdonsága az a képesség, hogy a hullámossági együtthatót zökkenőmentesen változtatja kicsiről nagyra, ha csak egy a paramétert módosítunk. Ebben az esetben a többi ablakfüggvényhez hasonlóan a főlebeny szélessége az N szűrőrenddel szabályozható.
A valódi szűrő fejlesztése során beállított fő paraméterek a következők:
Sávszélesség - w p ;
Barrier - w a ;
A maximális megengedett hullámosság az áteresztősávban - A p ;
Minimális csillapítás az ütközősávban - A a ;
-mintavételi frekvencia - w s .
Ezeket a paramétereket a 10.5. ábra szemlélteti. Ebben az esetben az áteresztősáv maximális hullámossága a következőképpen van meghatározva
(10.46),
és a minimális csillapítás az ütközősávban as
A Kaiser ablakkal rendelkező szűrő kiszámításának viszonylag egyszerű eljárása a következő lépéseket tartalmazza:
1. Meghatározzuk a h (n) szűrő impulzusválaszát, feltéve, hogy a frekvenciamenet ideális
(10.48),
ahol (10.49).
2. A d paramétert a következőképpen választjuk ki
(10.50),
Ahol 
(10.51).
3. A a és A p valós értékét a (10.46), (10.47) képletek alapján számítjuk ki.
4. Az a paramétert a következőképpen választja ki
(10.52).
5. A D paraméter a következőképpen van kiválasztva
(10.53).
6. A feltételből a szűrősorrend legkisebb páratlan értéke kerül kiválasztásra
(10.54),
(10.57)
ezt követi
Mivel a szűrő impulzusválaszának mintái az átviteli függvényének együtthatói, ezért a (10.59) feltétel azt jelenti, hogy az összes szűrőegyüttható kódja csak tört részt és előjelbitet tartalmaz, egész részt nem.
A szűrőegyütthatók tört részének számjegyeinek számát a szűrő kvantált együtthatókkal való átviteli függvényének kielégítésének feltétele, a referenciaátviteli függvény pontos együtthatók értékeivel történő megközelítésének meghatározott követelményei határozzák meg.
A szűrő bemeneti mintáinak abszolút értékeit általában úgy normalizálják, hogy
Ha az analízist egy lineáris fázisválaszú FIR szűrőre végezzük, akkor a kimeneti jel kiszámításának algoritmusa a következő lehet
ahol a szűrési együtthatók s k-re kerekítve vannak.
Ez az algoritmus megfelel szerkezeti séma 10.5. ábrán látható szűrő.
 |
Kétféleképpen lehet ezt az algoritmust megvalósítani. Az első esetben minden szorzási műveletet pontosan hajtanak végre, és nincs szorzat kerekítés. Ebben az esetben a termékek kapacitása s in +s k, ahol s in a kapacitás bemeneti jel, és s k a szűrőegyüttható kapacitása. Ebben az esetben a 10.5. ábrán látható szűrő blokkvázlata pontosan megfelel a valós szűrőnek.
A (10.61) algoritmus második megvalósítási módja szerint a szorzási művelet minden eredményét kerekítjük, azaz. a termékek számítása némi hibával történik. Ebben az esetben a (10.61) algoritmust úgy kell módosítani, hogy figyelembe vegyük a szorzatok kerekítéséből adódó hibát.
Ha a szűrő kimeneti jelének mintaértékeit az első módszerrel számítjuk ki (a termékek pontos értékeivel), akkor a kimeneti zaj szórását a következőképpen határozzuk meg:
(10.66),
azok. a bemeneti jel kerekítési zajának varianciájától és a szűrő együtthatóitól függ. Innen megtalálhatja a bemeneti jel kívánt bitszámát as
(10.67).
Az s in és s k ismert értékeiből meghatározható a kimenőjel kód törtrészéhez szükséges bitek száma, mint pl.
Ha a kimenő jel mintáinak értékeit a második módszer szerint számítjuk ki, amikor minden szorzatot s d bitre kerekítünk, akkor az egyes szorzók által keltett kerekítési zaj varianciája kifejezhető a termék szóhossza mint
DR bemenet és jel-zaj arány a szűrő SNR out kimenetén. A bemeneti jel dinamikatartományának decibelben kifejezett értékét a következőképpen határozzuk meg
(10.74),
ahol A max és A min a szűrő bemeneti jelének maximális és minimális amplitúdója.
A jel/zaj viszonyt a szűrő kimenetén decibelben kifejezve a következőképpen határozzuk meg
(10.75),
meghatározza az A min amplitúdójú szűrő kimenő szinuszos jelének teljesítményének négyzetes középértékét, és
(10.77)
meghatározza a zajteljesítményt a szűrő kimenetén. A (10,75) és (10,76) értékekből A max =1 esetén a szűrő kimeneti zajának varianciáját kapjuk
(10.78).
Ez a szűrő kimeneti zajvariancia értéke használható a szűrő bemeneti és kimeneti jelszélességének kiszámításához.
Tekintsük a legegyszerűbb digitális szűrőket - állandó paraméterekkel rendelkező szűrőket.
Bemeneti jel kerül a digitális szűrő bemenetére egy intervallumot követő számértékek sorozata formájában (4.1. ábra, a). Amikor minden következő jelérték megérkezik a digitális szűrőbe, a kimenő jel következő értéke kerül kiszámításra A számítási algoritmusok nagyon változatosak lehetnek; a számítás során, kivéve a bemeneti jel utolsó értéke használható fel
a bemeneti és kimeneti jelek korábbi értékei: A digitális szűrő kimenetén lévő jel szintén számértékek sorozata, amelyet egy intervallum követ. Ez az intervallum a teljes digitális jelfeldolgozó eszközre azonos.
Rizs. 4.1. Jel a digitális szűrő be- és kimenetén
Ezért, ha a legegyszerűbb jelet egyetlen impulzus formájában juttatjuk a digitális szűrő bemenetére (4.2. ábra, a)
akkor a kimeneten egy jelet fogunk kapni számértékek diszkrét sorozata formájában, amelyet egy intervallum követ
A hagyományos analóg áramkörökhöz hasonlóan nevezzük ezt a válaszjelet a szűrő impulzusválaszának (4.2. ábra, b). Az analóg áramkör impulzusválaszától eltérően a funkció dimenzió nélküli.
Rizs. 4.2. Egység impulzus és digitális szűrő impulzusválasz
Adjunk meg tetszőleges szűrőbemenetet diszkrét jel rizs. 4.1, a), amely diszkrét értékek halmaza
Az első elem hatására a szűrő kimenetén szorozva sorozat jön létre, a művelet alatt pedig egy értékkel szorzott és jobbra eltolt sorozat stb. Ennek eredményeként egy sorozatot kapunk a kimenetet
Így a kimeneti jel a bemeneti jel és az impulzusválasz diszkrét konvolúciója. Ebből a szempontból a digitális szűrők hasonlóak a hagyományos áramkörökhöz, ahol a kimeneti jel megegyezik a bemeneti jel és az impulzusválasz konvolúciójával.
A (4.1) képlet egy algoritmus digitális szűrés. Ha a szűrő impulzusválaszát egy véges számú tagú sorozat írja le, akkor a szűrő megvalósítható az ábrán látható áramkör formájában. 4.3. Itt a betű a jel késleltetésének elemeit jelöli időre (cellánként); -elemek, amelyek megszorozzák a jelet a megfelelő együtthatóval.
ábrán látható séma. A 4.3 nem digitális szűrőáramkör; ez a séma grafikus kép digitális szűrő algoritmust, és a jelfeldolgozás során végrehajtott aritmetikai műveletek sorrendjét mutatja.
Rizs. 4.3. Nem rekurzív digitális szűrő áramkör
A jeleket absztrakt numerikus sorozatok formájában feldolgozó digitális szűrők esetében az „időkésleltetés” fogalma nem teljesen helytálló. Ezért a jelet egy cellával késleltető elemeket általában a jelkésleltetést jelző szimbólummal jelölik a digitális szűrőáramkörökön a -transzformációk nyelvén. A következőkben ehhez a jelöléshez ragaszkodunk.
Térjünk vissza az ábrán látható digitális szűrőáramkörhöz. 4.3, Az ilyen szűrőket, ahol csak a bemeneti jel értékeit használják a számításhoz, egyszerűnek vagy nem rekurzívnak nevezzük.
A nem rekurzív szűrőalgoritmus könnyen írható, ha a szűrő impulzusválasza ismert. Mert gyakorlati megvalósítás algoritmus megköveteli, hogy az impulzusválasz véges számú tagot tartalmazzon. Ha az impulzusválasz végtelen számú tagot tartalmaz, de nagyságuk gyorsan csökken, akkor véges számú kifejezésre korlátozhatja magát, és elveheti azokat, amelyek értéke kicsi. Ha az impulzusválasz elemeinek nagysága nem csökken, akkor a nem rekurzív szűrőalgoritmus megvalósíthatatlannak bizonyul.
Rizs. 4.4. -lánc
Példaként vegyük a legegyszerűbb digitális szűrőt, hasonlóan a -áramkörhöz (4.4. ábra). Az -áramkör impulzusválaszának alakja van
A megfelelő digitális szűrő impulzusválaszának írásához a kifejezést helyettesíteni kell a kifejezéssel, azonban egy -áramkör impulzusválaszának van dimenziója, és a digitális szűrő impulzusválaszának dimenzió nélkülinek kell lennie. Ezért a (4.2) kifejezésből kihagyjuk a faktort, és a digitális szűrő impulzusválaszát a formába írjuk
Egy ilyen impulzusválasz végtelenül sok tagot tartalmaz, de ezek nagysága exponenciálisan csökken, és az ember korlátozható kifejezésekre, olyat választva, hogy
Most már írhat egy kifejezést a jelhez a szűrő kimenetére
Ez a kifejezés egyben digitális szűrőalgoritmus is. Ennek a szűrőnek a sémája az ábrán látható. 4.5.
A digitális szűrők folyamatainak elemzésének második megközelítése hasonló a hagyományos analóg áramkörök elemzésének operátori módszeréhez, de a Laplace-transzformáció helyett a -transzformációt alkalmazzák.
Rizs. 4.5. A -áramkörhöz hasonló, nem rekurzív digitális szűrő sémája
Határozzuk meg az átviteli függvényhez hasonló digitális szűrőparamétert elektromos áramkör. Ehhez alkalmazza a -transzformációt a digitális szűrő impulzusválaszára:
A függvényt rendszerszűrő függvénynek nevezzük.
A (4.1) kifejezésnek megfelelően a digitális szűrő kimenetén a jel egyenlő a bemeneti jel diszkrét konvolúciójával és a szűrő impulzusválaszával. A konvolúció -transzformáció tételt erre a kifejezésre alkalmazva azt kapjuk, hogy a kimeneti jel -transzformációja megegyezik a bemeneti jel -transzformációjával, megszorozva a rendszerszűrő függvényével:
Így a rendszerfunkció a digitális szűrő átviteli funkcióját tölti be.
Példaként nézzük meg egy elsőrendű digitális szűrő rendszerfüggvényét, hasonlóan a -lánchoz:
A jelek digitális szűrőkön való áthaladásának elemzésének harmadik módszere hasonló a differenciálegyenletek klasszikus módszeréhez. Tekintsük ezt a módszert, példaként rendelési láncokkal.
A legegyszerűbb I. rendű analóg áramkör a -áramkör (lásd 4.4. ábra), amelyen a jelek áthaladását a differenciálegyenlet írja le.
Diszkrét áramkör esetén a (4.8) differenciálegyenlet helyett differenciálegyenletet kell felírni, ahol a bemeneti és kimeneti jelek diszkrét időkre vannak megadva, a derivált helyett pedig a szomszédos jelértékek különbségének kell megjelennie. Egy elsőrendű diszkrét áramkör esetében a differenciaegyenlet meglehetősen általános formában írható fel
Alkalmazzuk a -transzformáció egyenletet
ahol a rendszerszűrő függvényt találjuk
A (4.10) képlet egy meglehetősen általános kifejezés rendszer funkció Elsőrendű digitális szűrő. A esetén egybeesik a korábban kapott (4.7) kifejezéssel egy -áramkörrel egyenértékű digitális szűrő rendszerfüggvényére.
Keressük meg a (4.10) rendszerfüggvénynek megfelelő digitális szűrési algoritmust. Ennek érdekében megoldjuk a (4.9) egyenletet
Ennek az algoritmusnak az ekvivalens áramköre az 1. ábrán látható. 4.6. A nem rekurzív szűrőhöz képest (lásd a 4.5. ábrát) itt egyfajta „visszacsatolási hurkot” adtunk hozzá, ami azt jelenti, hogy a kimeneti jel értékeit a későbbiekben felhasználjuk.
Rizs. 4.6. A -áramkörhöz hasonló rekurzív digitális szűrő sémája
számításokat. Az ilyen típusú szűrőket rekurzívnak nevezzük.
A (4.11) algoritmus egy olyan szűrőnek felel meg, amely teljesen egyenértékű a korábban vizsgált nem rekurzív szűrővel. De a kimeneti jel egy értékének meghatározásához a nem rekurzív szűrőalgoritmus (4.4) segítségével műveleteket kell végrehajtani, a rekurzív szűrőalgoritmus (4.11) használatakor pedig csak két műveletre van szükség. Ez a rekurzív szűrők fő előnye. Ezenkívül a rekurzív szűrők lehetővé teszik a jel nagyobb pontosságú feldolgozását, mivel lehetővé teszik az impulzusválasz pontosabb megvalósítását anélkül, hogy eldobná a "farkát". A rekurzív szűrők lehetővé teszik olyan algoritmusok megvalósítását, amelyek nem rekurzív szűrőkkel általában megvalósíthatatlanok. ábra szerinti séma szerint működő szűrőhöz például. A 4.6 lényegében egy ideális tárolási integrátor, és impulzusválasza olyan, mint egy ilyen jellemzővel rendelkező szűrő nem valósítható meg nem rekurzív sémában.
A vizsgált példák azt mutatják, hogy nincs értelme nem rekurzív algoritmusokkal hosszú impulzusválaszú digitális szűrőket létrehozni. Ezekben az esetekben célszerűbb rekurzív szűrőket használni.
A nem rekurzív algoritmusok hatóköre kis számú tagot tartalmazó impulzusválaszú digitális szűrők megvalósítása. Példa erre a legegyszerűbb differenciáló, amelynek kimeneti jele megegyezik a bemeneti jel növekedésével:
Egy ilyen digitális szűrő sémája az ábrán látható. 4.7.
Rizs. 4.7. A legegyszerűbb digitális megkülönböztető vázlata
Tekintsünk most egy általános digitális szűrőt, amelyet az egyenlet ír le
Ez az egyenlet különbségi sorrend egyenletnek és digitális szűrő algoritmusnak is tekinthető, ha más módon írjuk át, nevezetesen
Rizs. 4.8. Rekurzív digitális sorrendszűrő sémája
A (4.13) algoritmus megfelel az ábrán látható áramkörnek. 4.8. Keressük meg egy ilyen szűrő rendszerfunkcióját. Ehhez alkalmazza a -transzformáció egyenletet:
A (4.14) kifejezés lehetővé teszi a szűrőkör elemeinek sweepjei és a rendszerfunkció közötti kapcsolat létrehozását. A rendszerfüggvény számlálójában szereplő együtthatók határozzák meg az együtthatók értékeit
(a szűrő nem rekurzív részében), és a nevezőben lévő együtthatók határozzák meg a szűrő rekurzív részét.
Véges impulzusválasz szűrő (Nem rekurzív szűrő, FIR szűrő) vagy FIR szűrő (FIR rövidítése véges impulzusválasz - véges impulzusválasz) - a lineáris digitális szűrők egyik fajtája, amelynek jellemző tulajdonsága az impulzusválasz korlátozott ideje (valamilyen időponttól kezdve pontosan nulla lesz) . Az ilyen szűrőt a visszacsatolás hiánya miatt nem rekurzívnak is nevezik. Egy ilyen szűrő átviteli függvényének nevezője egy bizonyos állandó.
Dinamikus jellemzők
hol van a delta függvény. Ekkor a FIR szűrő impulzusválasza a következőképpen írható fel:
#define N 100 // szűrősorrend float h[N] = ( #include "f1.h" ); //fájl beszúrása ismert szűrőegyütthatókkalúszó x[N] ; float y[N] ; short my_FIR(short sample_data) ( lebegő eredmény = 0 ; for ( int i = N - 2 ; i >= 0 ; i-- ) ( x[ i + 1 ] = x[ i] ; y[ i + 1 ] = y[ i] ; ) x[ 0 ] = (lebegő ) minta_adata; for (int k = 0 ; k< N; k++ ) { result = result + x[ k] * h[ k] ; } y[ 0 ] = result; return ((short ) result) ; }
Lásd még
Linkek
- Lineáris fázisválaszú FIR szűrő számítása frekvencia mintavételezési módszerrel
Wikimédia Alapítvány. 2010 .
- Romodin, Vlagyimir Alekszandrovics
- Vokhma (folyó)
Nézze meg, mi az a "Finite Impulse Response Filter" más szótárakban:
Szűrés – szerezzen érvényes BeTechno promóciós kódot az Akademikánál, vagy vásároljon szűrőt kedvezményesen akciósan a BeTechnónál
véges impulzusválasz szűrő- - Távközlési témák, alapfogalmak EN véges impulzusválasz (szűrő) FIR ... Műszaki fordítói kézikönyv
Végtelen impulzusválasz szűrő- (Rekurzív szűrő, IIR szűrő) vagy IIR szűrő (IIR rövidítése végtelen impulzusválasz, végtelen impulzusválasz) lineáris elektronikus szűrő, amely egy vagy több kimenetét használja bemenetként, azaz ... ... Wikipédia
FIR szűrő
Nem rekurzív szűrő- A véges impulzusválaszú szűrő (nem rekurzív szűrő, FIR szűrő, FIR szűrő) a lineáris elektronikus szűrők egyik fajtája, amelynek jellemző tulajdonsága az impulzusválasz időbeli korlátozása (amiből ... Wikipédia
Rekurzív szűrő- A végtelen impulzusválaszú szűrő (Rekurzív szűrő, IIR szűrő) egy lineáris elektronikus szűrő, amely egy vagy több kimenetét bemenetként használja, azaz formálja Visszacsatolás. Az ilyen szűrők fő tulajdonsága a ... Wikipédia
digitális szűrő- Digitális szűrő az elektronikában, minden olyan szűrő, amely digitális jelet dolgoz fel, hogy kiemelje és/vagy elnyomja a jel bizonyos frekvenciáit. A digitálistól eltérően az analóg szűrő az analóg jellel foglalkozik, annak tulajdonságai ... ... Wikipédia
diszkrét szűrő- Digitális szűrő az elektronikában, minden olyan szűrő, amely digitális jelet dolgoz fel, hogy kiemelje és/vagy elnyomja a jel bizonyos frekvenciáit. A digitális analóg szűrőtől eltérően analóg jellel foglalkozik, tulajdonságai nem diszkrétek, ... ... Wikipédia
Vonalszűrő- A lineáris szűrő egy dinamikus rendszer, amely egy bizonyos lineáris operátor a bemeneti jelre, hogy kiemeljen vagy elnyomjon bizonyos jelfrekvenciákat és egyéb funkciókat a bemeneti jel feldolgozásához. A lineáris szűrőket széles körben használják a ... ... Wikipédiában
Mozgóátlag (szűrő)- Ennek a kifejezésnek más jelentése is van, lásd: Mozgóátlag (egyértelműsítés). Egy egyszerű másodrendű FIR-szűrő blokkvázlata, amely mozgóátlagot valósít meg A mozgóátlag, mozgóátlag egyfajta digitális szűrő, amely ... ... Wikipédia
Mozgóátlag (értékek)- Mozgóátlag, mozgóátlag (angol mozgóátlag): Függvénycsalád mozgóátlaga, amelynek értéke minden definíciós pontban megegyezik az eredeti függvény előző időszaki átlagértékével. Mozgóátlag ... ... Wikipédia
48 Véges impulzusválaszú digitális szűrők. FIR szűrők számítása.
Véges impulzusválasz szűrő (Nem rekurzív szűrő, FIR szűrő) vagy FIR szűrő (FIR rövidítése véges impulzusválasz - véges impulzusválasz) - a lineáris digitális szűrők egyik fajtája, amelynek jellemző tulajdonsága az impulzusválasz korlátozott ideje (valamilyen időponttól kezdve pontosan nullával egyenlővé válik) ). Az ilyen szűrőt a visszacsatolás hiánya miatt nem rekurzívnak is nevezik. Egy ilyen szűrő átviteli függvényének nevezője egy bizonyos állandó.
A szűrő bemeneti és kimeneti jelei közötti kapcsolatot leíró differenciálegyenlet: ahol P- szűrőrendelés, x(n) - bemeneti jel, y(n) a kimeneti jel, és b én- szűrőtényezők. Más szavakkal, bármely kimeneti minta értékét a skálázott értékek összege határozza meg P korábbi számok. Másképpen is megfogalmazható: a szűrő kimenet értéke bármikor a bemenet pillanatnyi értékére adott válasz értéke és az összes fokozatosan csökkenő válasz összege P korábbi jelminták, amelyek még mindig befolyásolják a kimenetet (utána P-számolja, az impulzusátmeneti függvény nullával lesz egyenlő, mint már említettük, tehát az összes kifejezés után P th is nulla lesz). Írjuk fel az előző egyenletet tágasabb formában:
Az általunk beállított szűrőmag megtalálása érdekében
x(n) = δ( n)
ahol δ( n) egy delta függvény. Ekkor a FIR szűrő impulzusválasza a következőképpen írható fel:
Az impulzusválasz z-transzformációja megadja a FIR szűrő átviteli függvényét:
]Tulajdonságok
A FIR szűrő számos hasznos tulajdonsággal rendelkezik, amelyek miatt néha előnyösebb használni az IIR szűrővel szemben. Itt van néhány közülük:
A FIR szűrők robusztusak.
A FIR szűrők nem igényelnek visszacsatolást a megvalósításkor.
A FIR szűrők fázisa lineárissá tehető
Közvetlen formájú FIR szűrő
A FIR szűrők három elemből valósíthatók meg: egy szorzó, egy összeadó és egy késleltetési blokk. Az ábrán látható opció az 1-es típusú FIR szűrők közvetlen megvalósítása.
Közvetlen formájú FIR szűrő megvalósítása
Program példa
A következő példa egy C-ben írt FIR szűrőprogramra:
/* FIR 128 csapos szűrő */
float fir_filter(lebegő bemenet)
statikus úszóminta;
acc = 0,0f; /* Akkumulátor */
/* Szorzás felhalmozással */
for (i = 0; i< 128; i++) {
acc += (h[i] * minta[i]);
/* Kilépés */
/* A késleltetett jel eltolása */
for (i = 127; i > 0; i--)
minta[i] = minta;
49 Adatsimítás. Mozgóátlag.
50 Adatsimítás. Simítás parabolákkal.
51 Adatsimítás. Spencer simítás.
52 Adatsimítás. medián szűrés.
Mozgóátlag, parabolikus simítás, Spencer simítás, medián szűrés
Az időben lassan változó fizikai folyamatok paramétereinek meghatározására szolgáló módszerek kidolgozásakor fontos feladat az elsődleges konverter kimenetén kapott feldolgozott jelre szuperponált zajhatások vagy véletlenszerű interferencia hatásának kiküszöbölése.
Ennek a hatásnak a kiküszöbölésére adatsimítást alkalmazhat. Az ilyen simítások egyik legegyszerűbb módja az aritmetikai átlagolás. Alkalmazása esetén a diszkrét függvény (feldolgozott adattömb) minden -edik értéke a következő kifejezésnek megfelelően kerül kiszámításra:
ahol az aritmetikai átlagoláshoz szükséges pontok száma (páratlan egész);
A függvény értéke feldolgozás előtt;
Vannak más, meglehetősen hatékony simítási módszerek is, például másodfokú parabolákkal öt, hét, kilenc és tizenegy pontban, a kifejezéseknek megfelelően:
vagy negyedik fokú parabolák hét, kilenc, tizenegy és tizenhárom pontban:
A gyakorlati alkalmazásokban más hatékony módszerek is jó eredményeket adnak, például a 15 pontos Spencer simítás:
Ezekbe a kifejezésekbe behelyettesítve a komplex kitevőt, ahol meghatározhatjuk a megfelelő transzformáció átviteli függvényét.
Számtani átlaghoz
A zárójelben lévő kifejezés egy nevezővel rendelkező geometriai progresszió, így ez a kifejezés a következőképpen írható fel:
.
Ez a képlet az aluláteresztő szűrő átviteli karakterisztikája, és látható belőle, hogy minél több tag vesz részt az átlagolásban, annál nagyobb a nagyfrekvenciás zajkomponensek elnyomása a jelben (lásd 6.1. ábra).
A frekvencia szemantikai fogalma azonban az időbeli trendek feldolgozásában eltér a jelfeldolgozásétól. Ez azzal magyarázható, hogy az időbeli trendek vizsgálatánál nem azok gyakorisági összetétele az érdekes, hanem a változás típusa (növekedés, csökkenés, állandóság, ciklikusság stb.).
Az úgynevezett heurisztikus algoritmusok használata is meglehetősen hatékony adatsimításra.
Az egyik a medián szűrés. Megvalósítása során egy dimenziós csúszó időablakban, ahol egy páratlan egész szám, a központi elemet a sorozat középső eleme helyettesíti, amelyek növekvő értékrendben vannak az adattömb adattömbjének elemei. simított jel, amely az időablakba esett. A medián szűrés előnye, hogy képes eltávolítani az impulzuszajt, amelynek időtartama nem haladja meg, gyakorlatilag a simán változó jelek torzítása nélkül. Ennek a zajcsökkentési módszernek nincs szigorú matematikai indoklása, azonban a számítások egyszerűsége és a kapott eredmények hatékonysága széleskörű elterjedéséhez vezetett.
6.1. ábra - Az átviteli karakterisztika grafikonjai
aritmetikai átlagolási műveletek m=5, 7, 9, 11 esetén
Egy másik érdekes simító algoritmus a medián átlagolás. Ennek lényege a következő. Egy csúszó időablakban, dimenzióban (- páratlan egész szám), az adattömb elemei növekvő sorrendbe kerülnek, majd az első és az utolsó elem eltávolításra kerül a rendezett sorozatból (<). Центральный элемент временного окна из последовательности сглаживаемых данных заменяется значением, вычисляемым как
Ez a módszer lehetővé teszi az impulzus- és rádiófrekvenciás interferencia elnyomását, valamint a jó jelsimítás elérését.
| " |
Az egész úgy kezdődött, hogy egy barátom egyik barátjának segítségre volt szüksége ugyanezekkel a szűrőkkel. Jedi utakon keresztül eljutottak hozzám az ezzel kapcsolatos pletykák, a linken található bejegyzéshez kommentben iratkoztam le. Úgy tűnik, segített. Hát remélem.
Ez a történet felkavarta bennem a harmadik, vagy valami hasonló tanfolyam emlékeit, amikor én magam is átmentem a DSP-n, és arra késztetett, hogy írjak egy cikket mindazoknak, akiket érdekel a digitális szűrők működése, de természetesen félnek a fülbemászótól. képletek és pszichedelikus rajzok (már nem a tankönyvekről beszélek.
Általában tapasztalataim szerint a tankönyvek helyzetét az a jól ismert mondat írja le, hogy nem látni az erdőt a fák mögött. Aztán azt mondani, hogy amikor azonnal elkezdenek ijesztgetni a Z-transzformációval és a polinomok felosztásával járó képletekkel, amelyek gyakran hosszabbak, mint két tábla, akkor a téma iránti érdeklődés rendkívül gyorsan elapad. Kezdjük egy egyszerűvel, mivel nem szükséges hosszú összetett kifejezéseket írni ahhoz, hogy megértsük, mi történik.
Kezdetnek tehát néhány egyszerű alapfogalom.
1. Impulzusválasz.
Tegyük fel, hogy van egy dobozunk négy vezetékkel. Fogalmunk sincs, mi van belül, de azt biztosan tudjuk, hogy a két bal oldali következtetés a bejárat, a két jobb oldali pedig a kijárat. Próbáljunk meg egy nagyon rövid, nagyon nagy amplitúdójú impulzust alkalmazni rá, és nézzük meg, mi történik a kimeneten. Nos, miért, mindegy, mi van ebben a négypólusban - nem világos, mert nem világos, hogyan kell leírni, de legalább látni fogunk valamit.
Itt el kell mondani, hogy egy rövid (általában végtelenül rövid) nagy (általában végtelen) amplitúdójú impulzust elméletben delta függvénynek nevezünk. Egyébként az a vicces, hogy ennek az integrálja végtelen függvény egyenlő eggyel. Ilyen a normalizálás.
Tehát amit a kvadripólus kimenetén láttunk, a delta függvényt alkalmazva a bemenetre, az ún. impulzusválasz ez a kvadrupólus. Egyelőre azonban nem világos, hogy ez miben segít nekünk, de most emlékezzünk csak a kapott eredményre, és térjünk át a következő érdekes koncepcióra.
2. Konvolúció.
Röviden, a konvolúció egy matematikai művelet, amely a függvények szorzatának integrálását jelenti:
Amint láthatja, csillaggal jelölve. Az is látható, hogy a konvolúció során egy függvényt „közvetlen” sorrendjében veszünk fel, a másodikon pedig „hátul előre” megyünk végig. Természetesen az emberiség számára értékesebb diszkrét esetben a konvolúció, mint minden integrál, összegzésbe kerül:
Úgy tűnik, hogy valami unalmas matematikai absztrakció. Valójában azonban a konvolúció a világ talán legvarázslatosabb jelensége, meglepően csak egy ember születésénél alacsonyabb, azzal a különbséggel, hogy a legtöbb ember legalább éves korára tudja, honnan származnak a gyerekek. tizennyolc éves, miközben arról, hogy mi a kavarodás, és miért hasznos és elképesztő, a világ lakosságának nagy részének egész életében fogalma sincs.
Tehát ennek a műveletnek a ereje abban rejlik, hogy ha f tetszőleges bemeneti jel, és g a kvadripólus impulzusválasza, akkor e két függvény konvolúciójának eredménye hasonló lesz ahhoz, amit átadva kapnánk. az f jel ezen a kvadripóluson keresztül.
Vagyis az impulzusválasz a kvadripólus összes tulajdonságának teljes öntése a bemeneti művelethez képest, és a bemeneti jel konvolúciója lehetővé teszi a megfelelő kimeneti jel visszaállítását. Ami engem illet, egyszerűen csodálatos!
3. Szűrők.
Az impulzusválaszsal és a konvolúcióval sok érdekes dolgot lehet csinálni. Például, ha a jel hang, akkor rendszerezhet zengetést, visszhangot, kórust, flangert és még sok minden mást; meg tudod különböztetni és integrálni... Általában bármit létrehozhatsz. Számunkra most az a legfontosabb, hogy természetesen a konvolúció segítségével a szűrőket is könnyen beszerezzük.
A tényleges digitális szűrő a bemeneti jel konvolúciója a kívánt szűrőnek megfelelő impulzusválaszsal.
De természetesen az impulzusválaszt valahogyan meg kell szerezni. Természetesen fentebb már kitaláltuk, hogyan kell mérni, de egy ilyen feladatban ennek nincs sok értelme - ha már összeállítottunk egy szűrőt, minek mást mérni, használhatod úgy, ahogy van. Ráadásul a digitális szűrők legfontosabb értéke az, hogy a valóságban elérhetetlen (vagy nagyon nehezen elérhető) jellemzőkkel rendelkezhetnek - például egy lineáris fázis. Mérni tehát egyáltalán nincs mód, csak számolni kell.
4. Az impulzusválasz megszerzése.
Ezen a ponton a legtöbb témával foglalkozó publikációban a szerzők Z-transzformációk és polinomokból származó törtek hegyeit kezdik az olvasóra dönteni, teljesen megzavarva őt. Nem teszem, csak röviden elmagyarázom, hogy mire való ez az egész, és a gyakorlatban miért nem nagyon van rá szükség a haladó közvélemény számára.
Tegyük fel, hogy eldöntöttük, mit akarunk a szűrőtől, és készítettünk egy egyenletet, amely leírja azt. Továbbá az impulzusválasz megtalálásához behelyettesítheti a delta függvényt a származtatott egyenletbe, és megkaphatja a kívánt egyenletet. A probléma csak az, hogy hogyan kell csinálni, mert a delta időben működik O A régiót egy ravasz rendszer határozza meg, és általában mindenféle végtelen létezik. Tehát ebben a szakaszban minden borzasztóan nehéznek bizonyul.
Itt megtörténik, és emlékeznek rá, hogy létezik olyan, mint a Laplace-transzformáció. Önmagában nem egy kiló mazsola. Az egyetlen ok, amiért a rádiótechnikában megtűrhető, az az, hogy az érvelés azon terében, amelyhez ez az átalakulás átmenetet jelent, néhány dolog valóban egyszerűbbé válik. Pontosabban, ugyanazt a delta függvényt, amely annyi gondot okozott nekünk az időtartományban, nagyon könnyű kifejezni – ez csak egy!
A Z-transzformáció (más néven Laurent-transzformáció) a Laplace-transzformáció egy változata diszkrét rendszerekre.
Vagyis a kívánt szűrőt leíró függvényre a Laplace-transzformációt (vagy szükség esetén Z-transzformációt) alkalmazva, egységet behelyettesítve a kapottba és visszakonvertálva megkapjuk az impulzusválaszt. Egyszerűnek hangzik, bárki kipróbálhatja. Nem kockáztatom meg, mert mint már említettük, a Laplace-transzformáció durva dolog, főleg a fordítottja. Hagyjuk a végső megoldást, mi magunk keresünk néhány egyszerűbb módot, hogy megszerezzük, amit keresünk. Több is van belőlük.
Először is felidézhetjük a természet egy másik csodálatos tényét: az amplitúdó-frekvencia és az impulzusválaszokat egy kedves és ismerős Fourier-transzformáció köti össze. Ez azt jelenti, hogy tetszőleges frekvenciaválaszt lerajzolhatunk ízlésünknek megfelelően, vesszük belőle az inverz Fourier-transzformációt (akár folytonos, akár diszkrét) és megkapjuk az azt megvalósító rendszer impulzusválaszát. Ez egyszerűen csodálatos!
Itt azonban nem megy gond nélkül. Először is, az impulzusválasz, amelyet kapunk, valószínűleg végtelen (nem megyek bele a magyarázatokba, hogy miért; így működik a világ), ezért valamikor önként le kell vágnunk (azzal, hogy ezen túl nullára állítjuk) pont). De ez nem csak úgy fog megtörténni - ennek következtében, ahogy várható volt, a számított szűrő frekvenciamenetében torzulások lesznek - hullámos lesz, a frekvenciavágás pedig elmosódik.
Ezen hatások minimalizálása érdekében a lerövidített impulzusválaszra különféle simítóablak-funkciókat alkalmaznak. Emiatt a frekvenciamenet általában még jobban elmosódik, de a kellemetlen (különösen az áteresztősávban jelentkező) rezgések megszűnnek. 
Valójában egy ilyen feldolgozás után működő impulzusválaszt kapunk, és digitális szűrőt építhetünk.
A második számítási módszer még egyszerűbb - a legnépszerűbb szűrők impulzusválaszait már régóta analitikus formában fejezték ki számunkra. Már csak az értékek helyettesítése és az ablak funkció alkalmazása az eredményre ízlés szerint. Tehát nem is lehet számolni semmilyen átalakulást.
És természetesen, ha egy adott áramkör viselkedésének emulálása a cél, megkaphatja annak impulzusválaszát a szimulátorban:
Itt egy 100500 voltos (igen, 100,5 kV) 1 µs-os impulzust adtam az RC áramkör bemenetére, és megkaptam az impulzusválaszt. Nyilvánvaló, hogy a valóságban ezt nem lehet megtenni, de a szimulátorban ez a módszer, amint látható, nagyszerűen működik.
5. Jegyzetek.
Az impulzusválasz lerövidítésével kapcsolatos elõbbiek természetesen az ún. véges impulzusválaszú szűrők (FIR / FIR szűrők). Egy csomó értékes tulajdonsággal rendelkeznek, beleértve a lineáris fázist (bizonyos feltételek mellett az impulzusválasz létrehozásához), amely nem ad jeltorzulást a szűrés során, valamint abszolút stabilitást. Vannak végtelen impulzusválaszú szűrők (IIR / IIR szűrők). A számítások szempontjából kevésbé erőforrásigényesek, de már nem rendelkeznek a felsorolt előnyökkel.
A következő cikkben egy egyszerű példát kívánok elemezni a digitális szűrő gyakorlati megvalósítására.
Betöltés...