A mátrixokon végzett műveletek néhány tulajdonsága.
Mátrix kifejezések

És most a téma folytatása következik, amelyben nem csak új anyag, de dolgozunk mátrixműveletek.

A mátrixokon végzett műveletek néhány tulajdonsága

Jó néhány tulajdonság kapcsolódik a mátrixokkal végzett műveletekhez, ugyanabban a Wikipédiában megcsodálhatjuk a megfelelő szabályok karcsú rangját. A gyakorlatban azonban sok tulajdonság bizonyos értelemben "halott", mivel csak néhányat használnak fel valódi problémák megoldása során. Célom, hogy mérlegeljem a tulajdonságok alkalmazását konkrét példák, és ha szigorú elméletre van szüksége, kérjük, használjon másik információforrást.

Fontolja meg néhányat kivételek a szabály alól gyakorlati feladatok elvégzéséhez szükséges.

Ha négyzetmátrix létezik inverz mátrix, akkor a szorzásuk kommutatív:

identitásmátrix négyzetmátrixnak nevezzük főátló egységek vannak elhelyezve, a többi elem pedig nullával egyenlő. Például: , stb.

Ahol a következő tulajdonság igaz: ha egy tetszőleges mátrixot megszorozunk balra vagy jobbra megfelelő méretű identitásmátrix segítségével, akkor az eredmény az eredeti mátrix:

Mint látható, a mátrixszorzás kommutativitása itt is megtörténik.

Vegyünk egy mátrixot, nos, mondjuk az előző feladat mátrixát: .

Az érdeklődők ellenőrizhetik és megbizonyosodhatnak a következőkről:

A mátrixok azonossági mátrixa a számok numerikus egységének analógja, ami különösen jól látható az imént tárgyalt példákból.

Numerikus tényező kommutativitása a mátrixszorzáshoz képest

A következő tulajdonságok érvényesek a mátrixokra és valós számokra:

Vagyis a numerikus tényezőt előre lehet (és kell is) tolni, hogy „ne zavarja” a mátrixok szorzását.

jegyzet : Általánosságban elmondható, hogy a tulajdonság megfogalmazása hiányos - a "lambda" bárhol elhelyezhető a mátrixok között, még a végén is. A szabály érvényben marad, ha három vagy több mátrixot szorozunk.

4. példa

Termék kiszámítása

Megoldás:

(1) Tulajdon szerint mozgassa előre a numerikus tényezőt. Maguk a mátrixok nem rendezhetők át!

(2) - (3) Végezze el a mátrixszorzást.

(4) Itt minden számot eloszthat 10-zel, de ekkor a mátrix elemei között tizedes törtek jelennek meg, ami nem jó. Azonban észrevesszük, hogy a mátrixban szereplő összes szám osztható 5-tel, ezért minden elemet megszorozunk -vel.

Válasz:

Egy kis szurkolás, amit egyedül kell megoldani:

5. példa

Számold ki, ha

Megoldás és válasz a lecke végén.

Milyen technika fontos az ilyen példák megoldásában? Számokkal való foglalkozás utolsó .

Csatlakoztassunk még egy kocsit a mozdonyhoz:

Hogyan kell szorozni három mátrixot?

Először is, MI legyen három mátrix szorzása? A macska nem szül egeret. Ha a mátrixszorzás megvalósítható, akkor az eredmény is mátrix lesz. Nos, az algebra tanárom nem látja, hogyan magyarázom az algebrai szerkezet zártságát az elemeihez képest =)

Három mátrix szorzata kétféleképpen számítható ki:

1) keresse meg és szorozza meg a "ce" mátrixot: ;

2) vagy először keresse meg, majd végezze el a szorzást.

Az eredmények szükségszerűen egybeesnek, és elméletileg ezt a tulajdonságot a mátrixszorzás asszociativitásának nevezzük:

6. példa

Szorozza meg a mátrixokat kétféleképpen

Algoritmus megoldásokat két lépés: keressük meg két mátrix szorzatát, majd ismét keressük meg két mátrix szorzatát.

1) Használja a képletet

Első akció:

Második akció:

2) Használja a képletet

Első akció:

Második akció:

Válasz:

Ismertebb és standardabb persze az első megoldási mód, ott "mintha minden rendben lenne". Egyébként a sorrendről. A vizsgált feladatban gyakran felmerül az az illúzió, hogy a mátrixok valamiféle permutációjáról beszélünk. Nincsenek itt. Ismét emlékeztetlek erre általában NE CSERÉLJE KI A MÁTRIXOKAT. Tehát a második bekezdésben, a második lépésben elvégezzük a szorzást, de semmi esetre sem. Közönséges számokkal egy ilyen szám megfelelne, de mátrixokkal nem.

A szorzás asszociativitásának tulajdonsága nemcsak négyzetre, hanem tetszőleges mátrixokra is érvényes - mindaddig, amíg megszorozzák őket:

7. példa

Keresse meg három mátrix szorzatát!

Ez egy „csináld magad” példa. A mintamegoldásban a számításokat kétféleképpen végeztük el, elemezzük, melyik a jövedelmezőbb és a rövidebb út.

A mátrixszorzás asszociativitásának tulajdonsága több tényezőre érvényesül.

Most itt az ideje, hogy visszatérjünk a mátrixok hatványaihoz. A mátrix négyzetét már a legelején mérlegeljük, és napirenden van a kérdés:

Hogyan lehet kocka mátrixot és magasabb erőket?

Ezek a műveletek is csak négyzetmátrixokra vannak definiálva. A négyzetmátrix kockává emeléséhez ki kell számítania a szorzatot:

Valójában ez egy speciális esete három mátrix szorzásának, a mátrixszorzás asszociativitási tulajdonsága szerint: . És egy mátrix önmagával szorozva a mátrix négyzete:

Így megkapjuk a munkaképletet:

Vagyis a feladatot két lépésben hajtják végre: először a mátrixot négyzetre kell emelni, majd a kapott mátrixot meg kell szorozni a mátrixszal.

8. példa

Emelje fel a mátrixot kockává.

Ez egy kis probléma, amelyet egyedül kell megoldani.

A mátrix negyedik hatványra emelése természetes módon történik:

A mátrixszorzás asszociativitását felhasználva két munkaképletet vezetünk le. Először is: három mátrix szorzata.

1) . Más szóval, először megtaláljuk, majd megszorozzuk a „legyen”-vel - kapunk egy kockát, és végül ismét végrehajtjuk a szorzást - lesz egy negyedik fokozat.

2) De van egy lépéssel rövidebb megoldás: . Azaz első lépésben megkeressük a négyzetet, és a kockát megkerülve végrehajtjuk a szorzást

További feladat a 8. példához:

Emelje fel a mátrixot a negyedik hatványra.

Mint már említettük, ezt kétféleképpen lehet megtenni:

1) Amint a kocka ismert, végrehajtjuk a szorzást.

2) Ha azonban a feladat feltétele szerint mátrixot kell felépíteni csak a negyedik fokon, akkor előnyös az útvonal lerövidítése - keresse meg a mátrix négyzetét és használja a képletet.

Mindkét megoldás és a válasz a lecke végén található.

Hasonlóképpen a mátrixot az ötödikre vagy többre emelik magas fokok. Gyakorlati tapasztalatból elmondhatom, hogy néha van példa a 4. fokozatra való emelésre, de nem emlékszem már az ötödik fokozatra. De minden esetre megadom az optimális algoritmust:

1) találni;
2) találni ;
3) emeljük a mátrixot ötödik hatványra: .

Itt van talán a mátrixműveletek összes főbb tulajdonsága, amely hasznos lehet gyakorlati problémák megoldásában.

Az óra második részében nem kevésbé színes buli várható.

Mátrix kifejezések

Ismételjük meg a szokásos iskolai kifejezéseket számokkal. A numerikus kifejezés számokból, matematikai szimbólumokból és zárójelekből áll, például: . A számításoknál az ismert algebrai prioritás érvényes: először a zárójelben, majd kivégezték a gyökerek hatványozása / kivonása, Akkor szorzás / osztásés végül - összeadás / kivonás.

Ha egy numerikus kifejezésnek van értelme, akkor kiértékelésének eredménye egy szám, Például:

Mátrix kifejezések majdnem pontosan ugyanaz! Azzal a különbséggel, hogy a főszereplők mátrixok. Plusz néhány speciális mátrixművelet, például transzponálás és keresés inverz mátrix.

Tekintsük a mátrix kifejezést , hol van néhány mátrix. Ez a mátrixkifejezés három tagból áll, és az összeadás/kivonás műveletek végrehajtása utoljára történik.

Az első tagban először transzponálnia kell a "be" mátrixot: , majd végre kell hajtania a szorzást, és hozzáadnia kell a "kettőt" a kapott mátrixhoz. vegye figyelembe, hogy a transzponálási műveletnek nagyobb a prioritása, mint a szorzási műveletnek. A zárójelek, mint a numerikus kifejezéseknél, megváltoztatják a műveletek sorrendjét: - itt először szorzás történik, majd a kapott mátrixot transzponáljuk és megszorozzuk 2-vel.

A második tagban először a mátrixszorzás történik, és az inverz mátrix már megtalálható a szorzatból. Ha a zárójeleket eltávolítjuk: , akkor először meg kell találni az inverz mátrixot, majd meg kell szorozni a mátrixokat: . Az inverz mátrix megtalálása is elsőbbséget élvez a szorzással szemben.

A harmadik taggal minden nyilvánvaló: a mátrixot kockává emeljük, és a kapott mátrixhoz hozzáadjuk az „ötöt”.

Ha a mátrixkifejezésnek van értelme, akkor kiértékelésének eredménye egy mátrix.

Minden feladat valódi lesz vezérlés működik, és kezdjük a legegyszerűbbel:

9. példa

Mátrix adatok . Megtalálja:

Megoldás: a műveletek sorrendje nyilvánvaló, először a szorzás, majd az összeadás történik.

Összeadás nem lehetséges, mert a mátrixok különböző méretűek.

Ne lepődj meg, az ilyen típusú feladatokban gyakran kínálnak nyilvánvalóan lehetetlen cselekedeteket.

Próbáljuk meg kiszámítani a második kifejezést:

Itt minden rendben van.

Válasz: a művelet nem hajtható végre, .

Lineáris algebra bábukhoz

A lineáris algebra tanulmányozásához elolvashatja és elmélyülhet I. V. Belousov "Mátrixok és determinánsok" című könyvében. Azonban szigorú és száraz matematikai nyelven íródott, amelyet az átlagos gondolkodású emberek nehezen érthetnek meg. Ezért ennek a könyvnek a legnehezebben érthető részeit újrameséltem, igyekszem minél érthetőbben bemutatni az anyagot, ehhez lehetőleg rajzokat felhasználva. Kihagytam a tételek bizonyítását. Őszintén szólva, én magam nem mentem bele. Hiszek Belousov úrnak! Munkája alapján hozzáértő és intelligens matematikus. Könyvét letöltheti a címről http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Belousov2006ru.pdf Ha elmélyül a munkámban, ezt meg kell tenni, mert gyakran fogok Belousovra hivatkozni.

Kezdjük a definíciókkal. Mi az a mátrix? Ez egy téglalap alakú táblázat számokból, függvényekből vagy algebrai kifejezésekből. Miért van szükség mátrixokra? Nagyban megkönnyítik az összetett matematikai számításokat. A mátrix sorokra és oszlopokra osztható (1. ábra).

A sorok és oszlopok számozása balról kezdődően történik

tetejére (1-1. ábra). Amikor azt mondják: m n méretű mátrix (vagy m n méretű), akkor azt jelentik, hogy m sorok száma, és alatt n számú oszlop. Például az 1-1. ábra mátrixa 4x3, nem pedig 3x4.

Nézze meg az ábrát. 1-3, mik a mátrixok. Ha a mátrix egy sorból áll, akkor azt sormátrixnak, ha pedig egy oszlopból áll, akkor oszlopmátrixnak nevezzük. Egy mátrixot n-edrendű négyzetnek nevezünk, ha a benne lévő sorok száma megegyezik az oszlopok számával és egyenlő n-nel. Ha egy mátrix minden eleme nulla, akkor az nulla mátrix. A négyzetes mátrixot átlósnak nevezzük, ha minden eleme nulla, kivéve azokat, amelyek a főátlón találhatók.

Azonnal elmagyarázom, mi a főátló. Ugyanaz a sor- és oszlopszám. Balról jobbra halad, fentről lefelé. (3. ábra) Az elemeket diagonálisnak nevezzük, ha a főátlón helyezkednek el. Ha az összes átlós elem egyenlő eggyel (a többi pedig nullával), a mátrixot azonosságnak nevezzük. Két azonos méretű A és B mátrixot egyenlőnek mondunk, ha minden elemük azonos.

2 Mátrixműveletek és tulajdonságaik

Egy mátrix x szám szorzata egy azonos méretű mátrix. A termék megszerzéséhez minden elemet meg kell szorozni ezzel a számmal (4. ábra). Ahhoz, hogy két azonos méretű mátrix összegét megkapjuk, össze kell adni a megfelelő elemeiket (4. ábra). Ahhoz, hogy megkapjuk két azonos méretű mátrix A - B különbségét, meg kell szorozni a B mátrixot -1-gyel, és a kapott mátrixot hozzá kell adni az A mátrixhoz (4. ábra). Mátrixokkal végzett műveletekre a következő tulajdonságok igazak: A+B=B+A (kommutativitás tulajdonsága).

(A + B)+C = A+(B + C) (asszociatív tulajdonság). Egyszerűen fogalmazva, az összeg nem változik a kifejezések helyének változásától. A mátrixokkal és számokkal végzett műveletekre a következő tulajdonságok igazak:

(jelöljük a számokat x-nek és y-nak, a mátrixokat pedig A-nak és B-nek) x(yA)=(xy)A

Ezek a tulajdonságok hasonlóak azokhoz a tulajdonságokhoz, amelyek a számokkal végzett műveleteken működnek. Lát

példák az 5. ábrán. Lásd még Belousov 2.4 - 2.6 példáit a 9. oldalon.

Mátrixszorzás.

Két mátrix szorzása csak akkor van meghatározva (oroszra fordítva: a mátrixok csak akkor szorozhatók meg), ha a szorzatban az első mátrix oszlopainak száma megegyezik a második sorainak számával (7. ábra, fent, kék zárójelben). Hogy jobban emlékezzünk: az 1-es szám inkább oszlophoz hasonlít. A szorzás eredményeként egy méretmátrixot kapunk (lásd 6. ábra). Hogy könnyebben megjegyezzük, mit kell mivel szorozni, a következő algoritmust javaslom: lásd a 7. ábrát. Az A mátrixot megszorozzuk B mátrixszal.

A mátrix két oszlop,

A B mátrixnak két sora van – lehet szorozni.

1) Foglalkozzunk a B mátrix első oszlopával (neki csak egy oszlopa van). Ezt az oszlopot egy sorba írjuk (transzponáljuk

oszlop, az átültetésről kicsit lejjebb).

2) Ezt a sort úgy másoljuk, hogy egy A mátrix méretű mátrixot kapjunk.

3) Ennek a mátrixnak az elemeit megszorozzuk az A mátrix megfelelő elemeivel.

4) Minden sorba hozzáadjuk a kapott termékeket, és megkapjuk két sorból és egy oszlopból álló szorzatmátrix.

A 7-1. ábra mátrixszorzásra mutat példákat, amelyek nagyobbak.

1) Itt az első mátrixnak három oszlopa van, tehát a másodiknak három sorosnak kell lennie. Az algoritmus pontosan ugyanaz, mint az előző példában, csak itt minden sorban három tag van, nem kettő.

2) Itt a második mátrixnak két oszlopa van. Először az első oszloppal, majd a másodikkal hajtjuk végre az algoritmust, és kapunk egy két-két mátrixot.

3) Itt a második mátrix oszlopa egy elemből áll, az oszlop nem változik az átültetéstől. És nem kell hozzá semmit, mivel az első mátrixnak csak egy oszlopa van. Háromszor hajtjuk végre az algoritmust, és kapunk egy háromszor három mátrixot.

A következő tulajdonságok zajlanak:

1. Ha létezik a B + C összeg és az AB szorzat, akkor A (B + C) = AB + AC

2. Ha létezik AB szorzat, akkor x (AB) = (xA) B = A (xB).

3. Ha létezik AB és BC szorzat, akkor A (BC) = (AB) C .

Ha létezik az AB mátrixszorzat, akkor a BA szorzatnak nem kell léteznie. Még ha léteznek is az AB és BA szorzatok, ezek különböző méretű mátrixok lehetnek.

Mind az AB, mind a BA szorzat létezik, és csak az azonos sorrendű A és B négyzetmátrixok esetén azonos méretű mátrixok. Azonban az AB még ebben az esetben sem egyenlő BA-val.

Hatványozás

A mátrix hatványra emelése csak négyzetmátrixok esetén van értelme (gondold meg, miért?). Ekkor az A mátrix m pozitív egész szám hatványa az A-val egyenlő m mátrix szorzata. Ugyanaz, mint a számoknál. Az A négyzetmátrix nulla hatványa az A-val megegyező sorrendű identitásmátrix. Ha elfelejtette, hogy mi az azonosságmátrix, nézze meg az 1. ábrát. 3.

Csakúgy, mint a számoknál, itt is a következő összefüggések mennek végbe:

A mA k=A m+k (A m)k=A mk

Lásd a Belousov példáit a 20. oldalon.

Mátrix transzpozíció

A transzpozíció egy A mátrix AT mátrixmá alakítása,

amelyben az A mátrix sorai az AT oszlopaiba vannak írva a sorrend megtartásával. (8. ábra). Másképpen is elmondható:

az A mátrix oszlopait a sorrend megőrzésével írjuk az AT mátrix soraiba. Figyeljük meg, hogy az átültetés hogyan változtatja meg a mátrix méretét, azaz a sorok és oszlopok számát. Vegye figyelembe azt is, hogy az első sorban, az első oszlopban és az utolsó sorban az utolsó oszlopban lévő elemek a helyükön maradnak.

A következő tulajdonságok érvényesek: (AT )T =A (transzponálás

mátrix kétszer - ugyanazt a mátrixot kapod)

(xA)T \u003d xAT (x egy számot jelent, A természetesen egy mátrixot) (ha meg kell szoroznia a mátrixot egy számmal és transzponálnia kell, először szorozhat, majd transzponálhat, vagy fordítva)

(A+B)T = AT +BT (AB)T =BT AT

Szimmetrikus és antiszimmetrikus mátrixok

A 9. ábra egy szimmetrikus mátrixot mutat a bal felső sarokban. A főátlóra szimmetrikus elemei egyenlők. És most a meghatározás: Négyzetmátrix

A-t szimmetrikusnak nevezzük, ha AT =A . Vagyis a szimmetrikus mátrix nem változik a transzponálás során. Különösen minden átlós mátrix szimmetrikus. (Egy ilyen mátrix látható a 2. ábrán).

Most nézze meg az antiszimmetrikus mátrixot (9. ábra, alul). Miben különbözik a szimmetrikustól? Vegye figyelembe, hogy az összes átlós eleme egyenlő nullával. Nál nél antiszimmetrikus mátrixok minden átlós elem egyenlő nullával. Gondold meg, miért? Definíció: Az A négyzetmátrixot ún

antiszimmetrikus, ha AT = -A . Jegyezzük meg a szimmetrikus és antiszimmetrikus műveletek néhány tulajdonságát

mátrixok. 1. Ha A és B szimmetrikus (antiszimmetrikus) mátrix, akkor A + B is szimmetrikus (antiszimmetrikus) mátrix.

2. Ha A szimmetrikus (antiszimmetrikus) mátrix, akkor xA is szimmetrikus (antiszimmetrikus) mátrix. (sőt, ha a 9. ábra mátrixait megszorozzuk valamilyen számmal, a szimmetria továbbra is megmarad)

3. Két szimmetrikus vagy két antiszimmetrikus A és B mátrix AB szorzata egy olyan mátrix, amely szimmetrikus AB = BA és antiszimmetrikus AB = esetén-BA.

4. Ha A szimmetrikus mátrix, akkor A m (m = 1, 2, 3, . . .) szimmetrikus mátrix. Ha egy

Egy antiszimmetrikus mátrix, akkor Am (m = 1, 2, 3, . . .) szimmetrikus mátrix páros m-re és antiszimmetrikus páratlan m-re.

5. Egy tetszőleges A négyzetmátrix ábrázolható két mátrix összegeként. (nevezzük ezeket a mátrixokat, például A(s) és A(a) )

A=A(s)+A(a)

Meg kell jegyezni, hogy csak négyzetes mátrixok alkalmasak erre a műveletre. Egyenlő számú sor és oszlop előfeltétele a mátrix hatványra emelésének. A számítás során a mátrix megszorozódik önmagával a szükséges számú alkalommal.

Ezt az online számológépet arra tervezték, hogy végrehajtsa a mátrix hatványra emelésének műveletét. Használatának köszönhetően nem csak gyorsan megbirkózik ezzel a feladattal, hanem világos és részletes képet is kap a számítás menetéről. Ez segít az elméletben megszerzett anyag jobb konszolidálásában. Ha egy részletes számítási algoritmust lát maga előtt, jobban megérti annak minden finomságát, és ezt követően elkerülheti a hibákat a kézi számítások során. Ezenkívül soha nem árt újra ellenőrizni a számításait, és ezt itt is a legjobb megtenni.

Ahhoz, hogy egy mátrixot online hatalommá emelhess, szükséged van egy sorozatra egyszerű műveletek. Először is adja meg a mátrix méretét a tőle balra lévő "+" vagy "-" ikonra kattintva. Ezután írja be a számokat a mátrix mezőbe. Azt is meg kell adnia a teljesítményt, amelyre a mátrix fel van emelve. Ezután már csak a mező alján található „Számítás” gombra kell kattintania. Az eredmény megbízható és pontos lesz, ha gondosan és helyesen adja meg az összes értéket. Ezzel együtt megkapja a megoldás részletes lebontását.

2020 júliusában a NASA expedíciót indít a Marsra. Az űrszonda feljut a Marsra elektronikus média az expedíció összes regisztrált tagjának nevével.

Ha ez a bejegyzés megoldotta a problémát, vagy csak tetszett, oszd meg a linket barátaiddal a közösségi hálózatokon.

Ezen kódopciók egyikét ki kell másolni és be kell illeszteni a weboldal kódjába, lehetőleg a címkék közé És vagy közvetlenül a címke után . Az első opció szerint a MathJax gyorsabban tölt be és kevésbé lassítja az oldalt. De a második lehetőség automatikusan követi és betölti a MathJax legújabb verzióit. Ha beírja az első kódot, akkor azt rendszeresen frissíteni kell. Ha beilleszti a második kódot, akkor az oldalak lassabban töltődnek be, de nem kell folyamatosan figyelnie a MathJax frissítéseit.

A MathJax csatlakoztatásának legegyszerűbb módja a Blogger vagy a WordPress: a webhely vezérlőpultján adjon hozzá egy widgetet, amely harmadik fél JavaScript kódjának beillesztésére szolgál, másolja bele a fenti betöltési kód első vagy második verzióját, és helyezze közelebb a widgetet a a sablon eleje (egyébként ez egyáltalán nem szükséges, mivel a MathJax szkript aszinkron módon töltődik be). Ez minden. Most tanulja meg a MathML, LaTeX és ASCIIMathML jelölési szintaxisát, és máris beágyazhat matematikai képleteket weboldalaiba.

Újabb szilveszter... fagyos idő és hópelyhek az ablaküvegen... Mindez arra késztetett, hogy ismét írjak... fraktálokról, és arról, hogy mit tud róla Wolfram Alpha. Ebből az alkalomból van egy érdekes cikk, amelyben vannak példák kétdimenziós fraktálszerkezetekre. Itt többet fogunk nézni összetett példák háromdimenziós fraktálok.

A fraktál vizuálisan ábrázolható (leírható) geometriai alakzatként vagy testként (ez azt jelenti, hogy mindkettő halmaz, jelen esetben ponthalmaz), amelynek részletei ugyanolyan alakúak, mint magának az eredeti alaknak. Vagyis egy önhasonló szerkezetről van szó, melynek részleteit figyelembe véve felnagyítva ugyanazt az alakot fogjuk látni, mint nagyítás nélkül. Míg egy közönséges geometriai alakzat (nem fraktál) esetében nagyításkor olyan részleteket fogunk látni, amelyekben több egyszerű alak mint maga az eredeti forma. Például ha elég nagy nagyítás az ellipszis egy része egyenes szakasznak tűnik. Ez nem történik meg a fraktálokkal: ezek növekedésével ismét ugyanazt az összetett alakzatot fogjuk látni, amely minden növekedéssel újra és újra megismétlődik.

Benoit Mandelbrot, a fraktálok tudományának megalapítója a Fractals and Art for Science című cikkében ezt írta: "A fraktálok geometriai alakzatok, amelyek részleteiben ugyanolyan összetettek, mint általános formájukban. Ez azt jelenti, hogy ha a fraktálok egy része az egész méretére nagyítva úgy fog kinézni, mint az egész, vagy pontosan, esetleg enyhe deformációval.

Itt folytatjuk a mátrixokkal végzett műveletek témáját, amelyet az első részben elkezdtünk, és elemezünk néhány olyan példát, amelyekben egyszerre több műveletet kell alkalmazni.

Mátrix hatványra emelése.

Legyen k egy nemnegatív egész szám. Bármely $A_(n\x n)$ négyzetmátrixhoz a következő áll rendelkezésre: $$ A^k=\underbrace(A\cdot A\cdot \ldots \cdot A)_(k \; times) $$

Itt feltételezzük, hogy $A^0=E$, ahol $E$ a megfelelő sorrend azonossági mátrixa.

4. példa

A $ A=\left(\begin(array) (cc) 1 & 2 \\ -1 & -3 \end(array) \right)$ mátrix adott. Keresse meg a $A^2$ és $A^6$ mátrixokat.

A $A^2=A\cdot A$ definíciója szerint, azaz. $A^2$ megtalálásához csak meg kell szoroznunk a $A$ mátrixot önmagával. A téma első részében a mátrixszorzás műveletét tárgyaltuk, így itt egyszerűen leírjuk a megoldás menetét részletes magyarázat nélkül:

$$ A^2=A\cdot A=\left(\begin(array) (cc) 1 & 2 \\ -1 & -3 \end(array) \right)\cdot \left(\begin(array) (cc) 1 & 2 \\ -1 & -3 \end(array) \right)= \left(\begin(array) (cc) 1\cdot 1+2\cdot (-1) & 1\cdot 2 +2\cdot (-3) \\ -1\cdot 1+(-3)\cdot (-1) & -1\cdot 2+(-3)\cdot (-3) \end(tömb) \jobbra )= \left(\begin(array) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \end(tömb) \jobbra). $$

A $A^6$ mátrix megtalálásához két lehetőségünk van. Első lehetőség: triviális tovább szorozni $A^2$-t a $A$ mátrixszal:

$$ A^6=A^2\cdot A\cdot A\cdot A\cdot A. $$

Lehet azonban kicsit egyszerűbben is haladni, a mátrixszorzás asszociativitási tulajdonságát felhasználva. Tegyünk zárójeleket a $A^6$ kifejezésbe:

$$ A^6=A^2\cdot A\cdot A\cdot A\cdot A=A^2\cdot (A\cdot A)\cdot (A\cdot A)=A^2\cdot A^2 \cdot A^2. $$

Ha az első módszer megoldásához négy szorzási műveletre lenne szükség, akkor a második módszernél csak kettő. Tehát menjünk a második úton:

$$ A^6=A^2\cdot A^2\cdot A^2=\left(\begin(array) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \end(array) \right)\ cdot \left(\begin(tömb) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \end(tömb) \jobbra)\cdot \left(\begin(tömb) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \end(array) \right)=\\= \left(\begin(array) (cc) -1\cdot (-1)+(-4)\cdot 2 & -1\cdot (-4 )+(-4)\cdot 7 \\ 2\cdot (-1)+7\cdot 2 & 2\cdot (-4)+7\cdot 7 \end(tömb) \jobbra)\cdot \left(\ kezdő(tömb) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \end(array) \right)= \left(\begin(array) (cc) -7 & -24 \\ 12 & 41 \end( tömb) \jobbra)\cdot \left(\begin(tömb) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \end(array) \right)=\\= \left(\begin(tömb) (cc ) -7\cdot(-1)+(-24)\cdot 2 & -7\cdot (-4)+(-24)\cdot 7 \\ 12\cdot (-1)+41\cdot 2 & 12 \cdot (-4)+41\cdot 7 \end(array) \right)= \left(\begin(array) (cc) -41 & -140 \\ 70 & 239 \end(array) \right). $$

Válasz: $A^2=\left(\begin(array) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \end(array) \right)$, $A^6=\left(\begin(array) (cc) -41 & -140 \\ 70 & 239 \end(tömb) \jobbra)$.

5. példa

Adott mátrixok $ A=\left(\begin(array) (cccc) 1 & 0 & -1 & 2 \\ 3 & -2 & 5 & 0 \\ -1 & 4 & -3 & 6 \end(array) \jobbra)$, $ B=\left(\begin(tömb) (cccc) -9 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & 4 \\ 0 & -2 & 3 \\ 1 & 5 & 0 \end (tömb) \jobbra)$, $ C=\left(\begin(tömb) (cccc) -5 & -20 & 13 \\ 10 & 12 & 9 \\ 3 & -15 & 8 \end(tömb) \ jobbra)$. Keresse meg a $D=2AB-3C^T+7E$ mátrixot.

A $D$ mátrix kiszámítását az $AB$ szorzat eredményének megkeresésével kezdjük. Az $A$ és $B$ mátrixok szorozhatók, mivel az $A$ mátrix oszlopainak száma megegyezik a $B$ mátrix sorainak számával. Jelölje $F=AB$. Ebben az esetben a $F$ mátrixnak három oszlopa és három sora lesz, azaz. négyzet alakú lesz (ha ez a levezetés nem nyilvánvaló, lásd a mátrixszorzás leírását a témakör első részében). Keresse meg a $F$ mátrixot az összes elemének kiszámításával:

$$ F=A\cdot B=\left(\begin(tömb) (cccc) 1 & 0 & -1 & 2 \\ 3 & -2 & 5 & 0 \\ -1 & 4 & -3 & 6 \ end(tömb) \jobbra)\cdot \left(\begin(tömb) (cccc) -9 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & 4 \\ 0 & -2 & 3 \\ 1 & 5 & 0 \ end(tömb) \jobbra)\\ \begin(aligned) & f_(11)=1\cdot (-9)+0\cdot 2+(-1)\cdot 0+2\cdot 1=-7; \\ & f_(12)=1\cdot 1+0\cdot (-1)+(-1)\cdot (-2)+2\cdot 5=13; \\ & f_(13)=1\cdot 0+0\cdot 4+(-1)\cdot 3+2\cdot 0=-3;\\ \\ & f_(21)=3\cdot (-9 )+(-2)\cdot 2+5\cdot 0+0\cdot 1=-31;\\ & f_(22)=3\cdot 1+(-2)\cdot (-1)+5\cdot (-2)+0\cdot 5=-5;\\ & f_(23)=3\cdot 0+(-2)\cdot 4+5\cdot 3+0\cdot 0=7;\\ \\ & f_(31)=-1\cdot (-9)+4\cdot 2+(-3)\cdot 0+6\cdot 1=23; \\ & f_(32)=-1\cdot 1+4\cdot (-1)+(-3)\cdot (-2)+6\cdot 5=31;\\ & f_(33)=-1 \cdot 0+4\cdot 4+(-3)\cdot 3+6\cdot 0=7. \end(igazított) $$

Tehát $F=\left(\begin(array) (cccc) -7 & 13 & -3 \\ -31 & -5 & 7 \\ 23 & 31 & 7 \end(array) \right)$. Menjünk tovább. A $C^T$ mátrix a $C$ mátrix transzponált mátrixa, azaz. $ C^T=\left(\begin(array) (cccc) -5 & 10 & 3 \\ -20 & 12 & -15 \\ 13 & 9 & 8 \end(array) \right) $. Ami a $E$ mátrixot illeti, ez az azonosságmátrix. Ebben az esetben ennek a mátrixnak a sorrendje három, azaz. $E=\left(\begin(array) (cccc) 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end(array) \right)$.

Elvileg lépésről lépésre haladhatunk tovább, de jobb, ha a fennmaradó kifejezést egészben tekintjük, anélkül, hogy a segédműveletek elvonnák a figyelmünket. Valójában csak a mátrixok számmal való szorzásának, valamint az összeadás és kivonás műveletei maradnak.

$$ D=2AB-3C^T+7E=2\cdot \left(\begin(array) (cccc) -7 & 13 & -3 \\ -31 & -5 & 7 \\ 23 & 31 & 7 \ end(tömb) \jobbra)-3\cdot \left(\begin(tömb) (cccc) -5 & 10 & 3 \\ -20 & 12 & -15 \\ 13 & 9 & 8 \end(tömb) \ jobb)+7\cdot \left(\begin(array) (cccc) 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end(array) \right) $$

Szorozzuk meg az egyenlőség jobb oldalán lévő mátrixokat a megfelelő számokkal (azaz 2-vel, 3-mal és 7-tel):

$2 cdot \left(\begin(tömb) (cccc) -5 & 10 & 3 \\ -20 & 12 & -15 \\ 13 & 9 & 8 \end(array) \right)+7\cdot \left(\ kezdő(tömb) (cccc) 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end(array) \right)=\\= \left(\begin(array) (cccc) - 14 & 26 & -6 \\ -62 & -10 & 14 \\ 46 & 62 & 14 \end(array) \right)-\left(\begin(array) (cccc) -15 & 13 & 9 \\ -60 & 36 & -45 \\ 39 & 27 & 24 \end(tömb) \jobbra)+\left(\begin(tömb) (cccc) 7 & 0 & 0 \\ 0 & 7 & 0 \\ 0 & 0 és 7 \end(tömb) \jobbra) $$

Csináljuk közelmúltbeli tevékenységek: kivonás és összeadás:

$$ \left(\begin(tömb) (cccc) -14 & 26 & -6 \\ -62 & -10 & 14 \\ 46 & 62 & 14 \end(array) \right)-\left(\begin (tömb) (cccc) -15 & 30 & 9 \\ -60 & 36 & -45 \\ 39 & 27 & 24 \end(array) \right)+\left(\begin(array) (cccc) 7 & 0 & 0 \\ 0 & 7 & 0 \\ 0 & 0 & 7 \end(array) \right)=\\ =\left(\begin(array) (cccc) -14-(-15)+7 & 26-30+0 & -6-9+0 \\ -62-(-60)+0 & -10-36+7 & 14-(-45)+0 \\ 46-39+0 & 62-27 +0 & 14-24+7 \end(array) \right)= \left(\begin(array) (cccc) 8 & -4 & -15 \\ -2 & -39 & 59 \\ 7 & 35 & -3 \end(tömb)\jobbra). $$

A probléma megoldva, $D=\left(\begin(array) (cccc) 8 & -4 & -15 \\ -2 & -39 & 59 \\ 7 & 35 & -3 \end(array) \right)$ .

Válasz: $D=\left(\begin(array) (cccc) 8 & -4 & -15 \\ -2 & -39 & 59 \\ 7 & 35 & -3 \end(array) \right)$.

6. példa

Legyen $f(x)=2x^2+3x-9$ és $ mátrix A=\left(\begin(array) (cc) -3 & 1 \\ 5 & 0 \end(array) \right) $. Keresse meg $f(A)$ értékét.

Ha $f(x)=2x^2+3x-9$, akkor az $f(A)$ egy mátrix:

$$ f(A)=2A^2+3A-9E. $$

Így definiálható egy polinom egy mátrixban. Tehát be kell cserélnünk a $A$ mátrixot a $f(A)$ kifejezésbe, és megkapjuk az eredményt. Mivel az összes műveletet korábban részletesen elemeztük, itt egyszerűen adok egy megoldást. Ha a $A^2=A\cdot A$ művelet végrehajtásának folyamata nem világos Önnek, akkor azt tanácsolom, hogy nézze meg a mátrixszorzás leírását a témakör első részében.

$$ f(A)=2A^2+3A-9E=2A\cdot A+3A-9E=2 \left(\begin(array) (cc) -3 & 1 \\ 5 & 0 \end(array) \right)\cdot \left(\begin(array) (cc) -3 & 1 \\ 5 & 0 \end(array) \right)+3 \left(\begin(array) (cc) -3 & 1 \\ 5 & 0 \end(array) \right)-9\left(\begin(array) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \end(array) \right)=\\ =2 \left( \begin(tömb) (cc) (-3)\cdot(-3)+1\cdot 5 & (-3)\cdot 1+1\cdot 0 \\ 5\cdot(-3)+0\cdot 5 & 5\cdot 1+0\cdot 0 \end(tömb) \jobbra)+3 \left(\begin(tömb) (cc) -3 & 1 \\ 5 & 0 \end(tömb) \jobbra)-9 \left(\begin(array) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \end(array) \right)=\\ =2 \left(\begin(array) (cc) 14 & -3 \\ - 15 & 5 \end(tömb) \jobbra)+3 \left(\begin(tömb) (cc) -3 & 1 \\ 5 & 0 \end(tömb) \jobbra)-9\left(\begin(tömb) ) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \end(array) \right) =\left(\begin(array) (cc) 28 & -6 \\ -30 & 10 \end(array) \right) +\left(\begin(array) (cc) -9 & 3 \\ 15 & 0 \end(array) \right)-\left(\begin(array) (cc) 9 & 0 \\ 0 & 9 \ end(array) \right)=\left(\begin(array) (cc) 10 & -3 \\ -15 & 1 \end(array) \right). $$

Válasz: $f(A)=\left(\begin(array) (cc) 10 & -3 \\ -15 & 1 \end(array) \right)$.