A jel spektrumában az energia eloszlását jellemző mennyiség, amelyet energiaspektrális sűrűségnek nevezünk, csak azoknál a jeleknél létezik, amelyekben az energia egy végtelen időintervallumban véges, és ezért a Fourier-transzformáció alkalmazható rájuk.
Azon jelek esetében, amelyek nem csillapodnak le időben, az energia végtelenül nagy, és az integrál (1,54) divergál. Az amplitúdóspektrum beállítása nem lehetséges. azonban átlagos teljesítményРср, a reláció határozza meg
végesnek bizonyul. Ezért a „teljesítményspektrális sűrűség” tágabb fogalmát használják. Definiáljuk az átlagos jelteljesítmény frekvencia szerinti deriváltjaként, és jelöljük Сk(п)-ként:
A k index hangsúlyozza, hogy itt a teljesítményspektrális sűrűséget a jel megvalósítását leíró u(t) determinisztikus függvény jellemzőjének tekintjük.
Ez a jelkarakterisztika kevésbé jelentős, mint az amplitúdó spektrális sűrűsége, mivel nem tartalmaz fázisinformációt [lásd. (1,38)]. Ebből kifolyólag az eredeti jelmegvalósítást nem lehet egyértelműen rekonstruálni. A fázisinformáció hiánya azonban lehetővé teszi, hogy ezt a koncepciót olyan jelekre alkalmazzuk, amelyekhez a fázis nincs definiálva.
A Сk(х) spektrális sűrűség és az amplitúdóspektrum közötti kapcsolat létrehozásához a korlátozott időintervallumban (-T) létező u(t) jelet használjuk.<. t ahol egy időkorlátos jel teljesítményspektrális sűrűsége. A későbbiekben bemutatjuk (lásd 1.11. §), hogy ennek a jellemzőnek a sok megvalósításon keresztüli átlagolásával meg lehet kapni egy nagy osztály teljesítményspektrális sűrűségét véletlenszerű folyamatok. A frekvenciatartományban most két jellemző van: a spektrális válasz és a teljesítmény spektrális sűrűség. Az u(t) jelről teljes információt tartalmazó spektrális karakterisztika a Fourier-transzformációnak felel meg időfüggvény formájában. Nézzük meg, minek felel meg az időtartományban a fázisinformáció nélküli teljesítményspektrális sűrűség. Fel kell tételeznünk, hogy ugyanaz a teljesítményspektrális sűrűség sok, fázisban eltérő időfüggvénynek felel meg. A szovjet tudós L.Ya. Khinchin és N. Wiener amerikai tudós szinte egyszerre találta meg a spektrális teljesítménysűrűség inverz Fourier-transzformációját: Nevezzük a fázisinformációt nem tartalmazó r() általánosított időfüggvényt időautokorrelációs függvénynek. Megmutatja a korreláció mértékét az u(t) függvény időintervallumtal elválasztott értékei között, és a statisztikai elméletből származtatható a korrelációs együttható fogalmának kidolgozásával. Megjegyzendő, hogy az időkorrelációs függvényben az átlagolás egy kellően hosszú időtartamú realizáción belül történik. A Fourier transzformációs párra vonatkozó második integrál reláció is érvényes: 1.6. példa Határozza meg az u(t) = u0 cos(t-ts) harmonikus jel időbeli autokorrelációs függvényét! Az (1.64) pontnak megfelelően Egyszerű átalakítások végrehajtása végre megvan Ahogy az várható is, a ru() nem függ μ-től, ezért (1.66) a fázisokban eltérő harmonikusok egész halmazára érvényes. Jelenergia alatt IC) megérteni a nagyságát Ha a jelnek véges időtartama van T, azok. nem egyenlő nullával egy bizonyos ideig [-T/ 2, T/ 2], akkor az energiája Írjuk fel a jelenergia kifejezését a (2.15) képlet segítségével: Ahol A kapott egyenlőséget ún Parseval egyenlősége. Meghatározza a jelenergiát az időfüggvényen vagy a spektrális energiasűrűségen keresztül, ami egyenlő |5(/0))| 2. A spektrális energiasűrűséget is nevezik energia spektrum. Vegyünk egy jelet, amely korlátozott ideig létezik. Egy ilyen jelre a Parseval-féle egyenlőség vonatkozik. Ennélfogva, Osszuk fel az egyenlőség bal és jobb oldalát egy Γ-vel egyenlő időintervallumra, és irányítsuk ezt az intervallumot a végtelenbe: Növekedéssel T a folyamatos jelek energiája nő, az arány azonban egy bizonyos határig tarthat. Ezt a határt hívják Spektrális teljesítménysűrűség Híradó főnök). Teljesítmény spektrális sűrűség dimenzió: [V 2 DHz]. Jel autokorrelációs függvény És(?) a következő integrál kifejezés határozza meg: ahol m a függvényt meghatározó argumentum ÉN)és az idő dimenziójával; u(? + t) az eredeti jel, időben eltolva a -t értékkel. Az autokorrelációs függvény a következő tulajdonságokkal rendelkezik. 1. Az autokorrelációs függvény értéke t = O eltolással egyenlő a jel energiájával E: 2. Autokorrelációs függvény a műszakokhoz t F
0-val kevesebb jelenergia: 3. Az autokorrelációs függvény páros függvény, azaz. Ellenőrizzük a 2. és 3. tulajdonság érvényességét egy példa segítségével. 2.6. példa. Számítsa ki a jelek autokorrelációs függvényeit: az ábrán látható videojelet! 2.7, i, valamint azonos amplitúdójú és időtartamú rádiójel. A rádiójel vivőfrekvenciája a sch,és a kezdeti fázis 0. Megoldás. Oldjuk meg grafikusan az első feladatot. Az autokorrelációs függvényt a függvény szorzatának integrálja határozza meg És(?) és időeltolt másolata. Meg tudjuk-e találni a videojel eltolását az egyenlettől? + m = 0. Az m(?) függvény grafikonja +
t) ábrán látható. 2,7, b. Az m(?)m(? + t) szorzat grafikonja által meghatározott terület (2.7. ábra, V), egyenlő A D(t) függvényt az egyenes egyenlete határozza meg (2.7. ábra, G). A függvénynek maximuma van, ha az argumentum értéke m = 0, és egyenlő 0-val, ha m = m u. Az argumentum többi értékéhez /?(t) A 3. tulajdonság érvényességének ellenőrzéséhez hasonlóan kiszámítjuk a függvényt m negatív értékeire: Rizs. 2.7. videó impulzus: A- téglalap alakú videoimpulzus; b- téglalap alakú impulzus késleltetett időben; V - impulzusok terméke; G - autokorrelációs függvény Az autokorrelációs függvény végső kifejezése A funkció a ábrán látható. 2,7, Gés háromszög alakú. Számítsuk ki a rádiójel autokorrelációs függvényét, a függőleges tengelyre szimmetrikusan elhelyezve! Rádiójel: A jel értékeit és eltolt másolatát behelyettesítve a /?(t) autokorrelációs függvény képletébe, megkapjuk A rádióimpulzus autokorrelációs függvényének kifejezése két tagból áll. Az elsőt egy háromszögfüggvény és egy harmonikus jel szorzata határozza meg. Az illesztett szűrő kimenetén ezt a kifejezést rombusz alakú rádióimpulzus formájában valósítják meg. A második tagot a háromszögfüggvény és a függvények szorzata határozza meg (vtd^/lr, az m = +m u pontokban található. A függvények értékei (tmx)/:*:, amelyeknek észrevehető hatása az autokorrelációs függvény második tagjára, nagyon gyorsan csökken, ha az m argumentum -t-ről oo-ra és t-ről -°o-ra változik Az egyenlet megoldása. megtalálhatja azokat a késleltetési időközöket, amelyeken belül a függvények értékei (vtls)/;*; továbbra is befolyásolja a /?(t) függvény viselkedését. Pozitív késleltetési értékekhez ahol 7o a harmonikus jel periódusa. A negatív késleltetési értékek intervalluma hasonlóképpen található. Mivel az autokorrelációs függvény második tagjának hatása nagyon kicsi (a rádióimpulzusok t u időtartamához képest) 70/2 intervallumokra korlátozódik, amelyeken belül a háromszögfüggvény értékei nagyon kicsik, a második tag a rádióimpulzus autokorrelációs függvénye elhanyagolható. Mutassuk meg az összefüggést a #(t) autokorrelációs függvény és a jel spektrális energiasűrűsége között |5(/co)| 2. Ehhez az időeltolásos jelet fejezzük ki u(1b +
t) spektrális sűrűsége révén 5(/co): Helyettesítsük be ezt a kifejezést a (2.21) kifejezésbe. Ennek eredményeként azt kapjuk Az egyenlőség érvényességét is könnyű ellenőrizni Osszuk el a (2.23) egyenlőség mindkét oldalát az időintervallummal T
és irányítsuk az értéket T
a végtelenig: A (2.20) képlet figyelembevételével átírjuk a kapott kifejezést: Ahol Az „autokorrelációs függvény” fogalmának általánosítása az keresztkorrelációs függvény, ami két jel skaláris szorzata: Tekintsük a keresztkorrelációs függvény alapvető tulajdonságait. 1. A tényezők integráljel alá történő átrendezése megváltoztatja a keresztkorrelációs függvény argumentumának előjelét: A fenti átalakítások a helyettesítést használják t+ t = X. Ez a képlet a (2.22) képlethez hasonlóan származtatható. Keresztkorrelációs függvény periodikusan ismétlődő és nem periodikus jel között jel v(t) = Uq(?) Ahol R(t) - nem periodikus jel autokorrelációs függvénye u 0 (t).
Az eredményül kapott kifejezés egyenlő két integrál összegével. Nullával egyenlő eltolásnál az első integrál nulla, a második pedig a jelenergiával egyenlő. A jel periódusával egyenlő eltolással az első integrál egyenlő a jelenergiával, a második pedig nullával. A függvény minden értéke más eltolásokkal egyenlő a nem periodikus jel autokorrelációs függvényeinek értékeinek összegével, egymáshoz képest egy periódussal eltolva. Ezenkívül a keresztkorrelációs függvény egy periodikus függvény, amely kielégíti az egyenletet Keresztkorrelációs függvény én vagy> ( r) a jel között u(t) és jelezze egyenlő a - jel időtartamával v(t). Valójában annak a ténynek köszönhető, hogy a jel periódusa u(t) egyenlő TÉs keresztkorrelációs függvény ahol A függvény határértékének kiszámítása (2 n + 1) 7? m Mo (t) at P-> definiáljon egy kifejezést egy periodikus jel autokorrelációs függvényéhez: A funkció mérete: [V 2 /Hz]. Funkcióértékek nulla eltolásnál és egyéb eltolásoknál, amelyekhez Lts Mo(T) F 0 egyenlő a végtelennel. Emiatt az utolsó kifejezésnek a periodikus jel jellemzőjeként való használata értelmét veszti. Osszuk fel az utolsó kifejezést egy intervallumra, amely egyenlő (2 P + 1 )T. Ennek eredményeként megkapjuk a függvényt hiszen a függvény periodicitása miatt - t + T) = - T). A kapott képlet határozza meg a függvényt BAN BEN( r) az időintervallumban fennálló jel autokorrelációs függvényének a határaként (2 n + 1 )T, erre az intervallumra és annak végtelenre való hajlamára. Ezt a határértéket a periodikusan ismétlődő jelre hívják periodikus jel autokorrelációs függvénye. Ennek a függvénynek a mérete: [AT 2]. Egy periodikus jel autokorrelációs függvényének egy periódusának direkt Fourier-transzformációja határozza meg a teljesítményspektrális sűrűséget, amely a frekvencia folytonos függvénye. Ebből a sűrűségből a (2.17) képlet segítségével megállapítható a jel periodikus autokorrelációs függvényének teljesítményspektrális sűrűsége, amely diszkrét frekvenciaértékekre van meghatározva: ahol 0)1 = 2 p/t.
Ha az autokorrelációs függvényt Fourier-sorként írjuk fel trigonometrikus formában, akkor a spektrális sűrűségének kifejezése Példa 2.7. Számítsa ki egy jel periodikus autokorrelációs függvényét! ha) = Absh SI. A talált függvény segítségével, egy periódusra korlátozva határozza meg a teljesítményspektrális sűrűséget. Megoldás. Az adott jelet a (2.26) kifejezésbe behelyettesítve egy kifejezést kapunk a periodikus autokorrelációs függvényre: A kapott kifejezést behelyettesítjük a (2.24) képletbe, és megtudjuk a spektrális teljesítménysűrűséget: Példa 2.8. Zajszerű jel periodikus normalizált autokorrelációs függvényéhez (M-szekvencia periódussal N= 1023) számítsa ki a teljesítményspektrális sűrűséget. (Periodikus funkció rövidebb sorozatokhoz (IV = 15) az ábrán látható. 3.39.) Megoldás. Viszonylag hosszú ideig LG = 1023 autokorrelációs függvény értéke az intervallumban T- To > m > To, ahol To a zajszerű sorozat impulzusideje, azt nullának vesszük. Ebben az esetben az autokorrelációs függvényt periódusos ismétléssel határozzuk meg T háromszög alakú impulzusok sorozata. Minden háromszög alapja 2to, magassága 1. Az egy perióduson belüli autokorrelációs függvényt meghatározó egyenlet: BAN BEN( m) = 1 - |m|/ho- Ennek a függvénynek a paritását figyelembe véve meghatározzuk a Fourier-sor együtthatóit: Az integrál kiszámításakor a képletet használtuk A számított együtthatók behelyettesítése a (2.27) képletbe, bejárás Egy periodikus autokorrelációs függvény teljesítményspektrális sűrűsége egyenlő végtelen számú delta függvény súlyozott összegével. A súlyozási tényezőket az (ethx)/:": függvény négyzete határozza meg, megszorozva egy állandó együtthatóval 2i(akkor /T). Korrelációs függvények digitális jelek szimbólumsorozatok korrelációs függvényeihez kapcsolódnak. Egy véges szám kódsorozatához (lásd 1.3. §). N bináris szimbólumok esetén az autokorrelációs függvényt így írjuk Ahol -
0-val vagy 1-gyel egyenlő bináris karakterek vagy -1, 1 karakterek; d= O, 1, 2, ..., N - .
A karaktersorozat lehet determinisztikus vagy véletlenszerű. Az információ továbbítása során a szimbólumok sorozatának jellemző tulajdonsága a véletlenszerűségük. Az autokorrelációs függvény értékei (a nullával nem egyenlő eltolásokhoz), amelyeket egy előre rögzített, véges hosszúságú véletlenszerű sorozatból számítanak ki, szintén véletlenszerűek. A determinisztikus sorozatok autokorrelációs függvényei, amelyeket szinkronizálásra, illetve diszkrét üzenetek hordozóiként használnak, determinisztikus függvények. A kódok vagy kódsorozataik felhasználásával megszerkesztett jeleket hívjuk kódolt jelek. Egy kódsorozat autokorrelációs függvényének legtöbb tulajdonsága egybeesik a jel autokorrelációs függvényének fentebb tárgyalt tulajdonságaival. Bullet shifttel a kódsorozat autokorrelációs függvénye eléri a maximumot, ami egyenlő Ha a szimbólumok egyenlőek -1, 1, akkor r(0) = N.
Az autokorrelációs függvény értékei más eltolások esetén kisebbek, mint r(0). A kódsorozat autokorrelációs függvénye páros függvény. Az autokorrelációs függvény általánosítása a keresztkorrelációs függvény. Azonos hosszúságú kódsorozatok esetén ez a függvény Ahol
2
} 0
6/, - az első és a második sorozat szimbólumai. Egy függvény számos tulajdonsága g 12 (d)
egybeesnek a jelek fentebb tárgyalt keresztkorrelációs függvényének tulajdonságaival. Ha a funkció r^(d), I Ф
bármely műszak alatti kódpárhoz d
= O egyenlő nullával, akkor az ilyen kódokat hívjuk ortogonális.
A kommunikációs rendszerekben használt néhány kód rövid leírását a 2-4. melléklet tartalmazza. A kódsorozat és az ugyanazon sorozat periodikusan ismétlődő sorozata közötti keresztkorrelációs függvényt nevezzük a kódsorozat periodikus autokorrelációs függvénye.
A függvény kifejezése a (2.25), (2.26) kifejezésekből következik: Ahol g(d) -
a kódsorozat nem periodikus autokorrelációs függvénye; d -
eltolja az értéket a sorozatok között. Helyettesítsük be az autokorrelációs függvények kifejezéseit a kapott képletbe: Ahol a/g, a^+c
- a kódsorozat elemei. Egy kódsorozat periodikus autokorrelációs függvénye megegyezik a kódsorozatra és az adott sorozat ciklikusan eltolt szimbólumaira számított keresztkorrelációs függvénnyel. Az eredeti sorozatból nyert ciklikusan eltolt kódsorozatok a 0 = a 0 ,a ( ,a 2 ,
..., a m_b
alább adjuk meg. Kódsorrend A (
az eredeti sorozat eltolása eredményeként kapott egy 0
mozgasson egy karaktert jobbra, és mozgassa az utolsó karaktert A
dm az eltolt sorozat elejére. A többi szekvenciát hasonló módon kaptuk meg: Példa 2.9. Számítsa ki a kódolt jel autokorrelációs és periodikus autokorrelációs függvényét (2.8. ábra, A) ahol és 0 (O - téglalap alakú impulzus amplitúdóval Aés időtartama t és. Ez a jel téglalap alakú impulzusokból épül fel, amelyek előjelét súlyozási együtthatók határozzák meg: a 0 = ,A. = 1, a 2= -1, és a számuk N= 3. A jel időtartama egyenlő Zt és. Megoldás. A jel kifejezését a (2.21) képletbe behelyettesítve kapjuk Változtassuk meg a változót t - kt n tovább X: Jelöljük: & - m = - és cseréljük ki a diszkrét változókat &, T változókhoz k, c. Ennek eredményeként azt kapjuk Az adott jel autokorrelációs függvényének grafikonja az ábrán látható. 2,8, b. Ez a függvény az autokorrelációs függvénytől függ /? 0 (t) a négyszögimpulzus és az autokorrelációs függvény r( Rizs. 2.8. A kódolt jel autokorrelációs funkciója: A- kódolt jel; 6 -
a jel autokorrelációs függvénye; V- periodikus jel autokorrelációs függvénye Számítsuk ki a periodikus autokorrelációs függvényt a fent kiszámított autokorrelációs függvény segítségével, a kódsorozat és a (2.28) képlet autokorrelációs függvényének kapott értékeit. Periodikus autokorrelációs függvény Helyettesítsük be a megadott értéket N= 3 a kapott képletbe: Figyelembe véve a K+Z) = 0 kódsorozat autokorrelációs függvényének értékeit, g(+ 2) = -1, r(+1) = O, KO) = 3 a jel periodikus autokorrelációs függvényének egy periódusára írjuk a végső kifejezést: A függvénygrafikon a ábrán látható. 2,8, V. Engedd a jelet s(t) nem periodikus függvényként van megadva, és csak a ( t 1 ,t 2) (példa - egyetlen impulzus). Válasszunk egy tetszőleges időtartamot T, beleértve az intervallumot ( t 1 ,t 2) (lásd 1. ábra). Jelöljük az ebből kapott periodikus jelet s(t), mint ( t). Aztán megírhatjuk hozzá a Fourier-sorozatot A funkcióra lépéshez s(t) következik a ( t) irányítsa a periódust a végtelenbe. Ebben az esetben a frekvenciájú harmonikus komponensek száma w=n 2p/T végtelenül nagy lesz, a köztük lévő távolság nulla lesz (egy végtelenül kicsi értékre: a komponensek amplitúdója is végtelenül kicsi lesz. Ezért egy ilyen jel spektrumáról már nem lehet beszélni, mivel a spektrum folytonossá válik. A belső integrál a frekvencia függvénye. Ezt nevezzük a jel spektrális sűrűségének, ill frekvencia válasz jel és jelöli i.e. Az általánosság érdekében az integráció határai végtelenre állíthatók, mivel ez mindegy, ahol s(t) egyenlő nullával, az integrál pedig nullával. A spektrális sűrűség kifejezését direkt Fourier-transzformációnak nevezzük. Fordított konverzió A Fourier a jel időfüggvényét a spektrális sűrűségéből határozza meg A direkt (*) és az inverz (**) Fourier transzformációt együtt Fourier transzformációpárnak nevezzük. Spektrális sűrűség modul meghatározza a jel amplitúdó-frekvencia-válaszát (AFC) és argumentumát A modul jelentése S(w) egy jel amplitúdója (áram vagy feszültség) 1 Hz-enként egy végtelenül szűk frekvenciasávban, amely magában foglalja a kérdéses frekvenciát. w. Mérete [jel/frekvencia]. A jel energiaspektruma. Ha az s(t) függvény Fourier jel teljesítménysűrűségű ( jelenergia spektrális sűrűsége) a következő kifejezés határozza meg: w(t) = s(t)s*(t) = |s(t)|2 |S()|2 = S()S*() = W(). (5.2.9) A teljesítményspektrum egy W()-valós nemnegatív páros függvény, amelyet általában energiaspektrumnak neveznek. A teljesítményspektrum, mint a jel spektrális sűrűségének modulusának négyzete, nem tartalmaz fázisinformációt a frekvenciakomponenseiről, ezért a jel teljesítményspektrumból történő rekonstrukciója lehetetlen. Ez azt is jelenti, hogy a különböző fázisjellemzőkkel rendelkező jelek teljesítményspektruma azonos lehet. Különösen a jeleltolódás nincs hatással a teljesítményspektrumára. Ez utóbbi lehetővé teszi, hogy az (5.2.7) kifejezésekből közvetlenül megkapjuk az energiaspektrum kifejezését. A határértékben azonos u(t) és v(t) jelek esetén t 0 eltolással a spektrum képzeletbeli része Wuv () nulla értékekre, a valós része pedig a spektrum modulus értékeire hajlik. . A jelek teljes időbeli kombinációjával a következőkkel rendelkezünk: azok. a jelenergia egyenlő a modulusa négyzetének integráljával frekvencia spektrum- frekvenciakomponenseinek energiájának összege, és mindig valós mennyiség. Tetszőleges s(t) jelre az egyenlőség általában Parseval-egyenlőségnek nevezik (matematikában - Plancherel-tétel, fizikában - Rayleigh-képlet). Az egyenlőség nyilvánvaló, mivel a koordináta- és frekvenciaábrázolások lényegében ugyanannak a jelnek csak különböző matematikai ábrázolásai. Hasonlóképpen két jel kölcsönhatási energiájára: A Parseval-egyenlőségből az következik, hogy a jelek és a norma skaláris szorzata a Fourier-transzformációhoz képest invariáns: A jelek rögzítésének és továbbításának számos tisztán gyakorlati problémájában a jel energiaspektruma nagyon jelentős. A periodikus jeleket Fourier-sorok formájában fordítják le a spektrális tartományba. Írjunk fel egy T periódusú periodikus jelet összetett formájú Fourier-sor formájában: A 0-T intervallum az összes integráns kitevőjének egész számú periódusát tartalmazza, és egyenlő nullával, kivéve a k = -m exponenciálist, amelyre az integrál egyenlő T-vel. Ennek megfelelően egy a periodikus jel egyenlő a Fourier-sor együtthatóinak négyzetmoduljainak összegével: A jel energiaspektruma
– ez a nem-harmonikus jelet alkotó alapjelek energiájának eloszlása a frekvenciatengelyen. Matematikailag a jel energiaspektruma egyenlő a spektrális függvény modulusának négyzetével: Ennek megfelelően az amplitúdó-frekvencia spektrum az alapjelek összetevőinek amplitúdókészletét mutatja a frekvencia tengelyen, a fázis-frekvencia spektrum pedig a fáziskészletet. A spektrumfüggvény modulusát gyakran ún amplitúdó spektrum, és az érve az fázisspektrum. Ezenkívül van egy inverz Fourier-transzformáció, amely lehetővé teszi az eredeti jel visszaállítását, annak spektrális funkciójának ismeretében: Vegyünk például egy téglalap alakú impulzust: Egy másik példa a spektrumokra: Nyquist-frekvencia, Kotelnyikov-tétel
.
Nyquist frekvencia
- digitális jelfeldolgozásban a mintavételi frekvencia felével egyenlő frekvencia. Harry Nyquistről nevezték el. Kotelnyikov tételéből az következik, hogy diszkretizáláskor analóg jel Csak akkor nem lesz információvesztés, ha a jel spektruma (spektrális sűrűsége) (a hasznos jel legmagasabb frekvenciája) egyenlő vagy kisebb, mint a Nyquist frekvencia. Ellenkező esetben az analóg jel visszaállításakor a spektrális „farok” átfedése következik be (frekvencia-helyettesítés, frekvenciamaszkolás), és a visszaállított jel alakja torzul. Ha a jel spektrumának nincs Nyquist-frekvencia feletti komponense, akkor (elméletileg) mintavételezhető, majd torzítás nélkül rekonstruálható. Valójában a jel „digitalizálása” (analóg jel átalakítása digitálissá) a minták kvantálásához kapcsolódik - minden minta véges bitmélységű digitális kód formájában van írva, aminek eredményeként kvantálási (kerekítési) hibákat adnak a mintákhoz, bizonyos feltételek mellett, mint „kvantálási zaj”. A véges időtartamú valós jelek mindig végtelenül széles spektrummal rendelkeznek, ami a frekvencia növekedésével többé-kevésbé gyorsan csökken. Ezért a jel mintavételezése mindig információvesztéshez (a mintavétel és rekonstrukció során a jel alakjának torzulásához) vezet, függetlenül attól, hogy milyen magas a mintavételi frekvencia. A kiválasztott mintavételezési frekvenciánál a torzítás csökkenthető az analóg jel spektrális összetevőinek elnyomásával (mintavételezés előtt) a Nyquist-frekvencia felett, ami nagyon magas sorrendű szűrőt igényel, hogy elkerülje a farok aliasingját. Gyakorlati megvalósítás Egy ilyen szűrő nagyon összetett, mivel a szűrők amplitúdó-frekvencia karakterisztikája nem téglalap alakú, hanem egyenletes, és az áteresztő sáv és az elnyomási sáv között egy bizonyos átmeneti frekvenciasáv alakul ki. Ezért a mintavételezési frekvenciát marginálisan választják meg, például az audio CD-kben 44100 Hertz mintavételezési frekvenciát használnak, míg legmagasabb frekvenciája a spektrumban hangjelzések a frekvenciát 20 000 Hz-nek tekintjük. A 44100 / 2 - 20000 = 2050 Hz Nyquist frekvenciatartalék lehetővé teszi a frekvenciahelyettesítés elkerülését a megvalósított alacsony rendű szűrő használatakor. Kotelnyikov tétele Ahhoz, hogy egy mintavételezettből kis torzításokkal (hibákkal) visszaállítsuk az eredeti folyamatos jelet, szükséges a mintavételezési lépés ésszerű kiválasztása. Ezért egy analóg jel diszkrétté alakításakor szükségszerűen felmerül a kérdés a mintavételi lépés méretével kapcsolatban. Ha egy analóg jel alacsony frekvenciájú spektrumát egy bizonyos felső Fe frekvencia korlátozza (azaz az u(t) függvény egy egyenletesen változó görbe alakja, éles amplitúdóváltozások nélkül), akkor nem valószínű, hogy ez a függvény képes szignifikánsan megváltozik néhány kis mintavételi amplitúdó alatt. Nyilvánvaló, hogy az analóg jel rekonstrukciójának pontossága a minták sorozatából függ a mintavételi intervallum méretétől, minél rövidebb, annál kevésbé fog eltérni az u(t) függvény a mintán áthaladó sima görbétől pontokat. A mintavételi intervallum csökkenésével azonban a feldolgozó berendezések bonyolultsága és térfogata jelentősen megnő. Ha a mintavételi intervallum elég nagy, az analóg jel rekonstrukciója során megnő a torzítás vagy az információvesztés valószínűsége. A mintavételi intervallum optimális értékét Kotelnyikov tétele határozza meg (más nevek a mintavételi tétel, K. Shannon tétel, X. Nyquist tétel: a tételt először O. Cauchy matematikájában fedezték fel, majd D. írta le újra. Carson és R. Hartley), amelyet 1933-ban bizonyított, V. A. Kotelnyikov tételének fontos elméleti és gyakorlati jelentősége van: lehetővé teszi az analóg jel helyes mintavételét, és meghatározza a mintaértékekből a vevőoldali visszaállítás optimális módját. Kotelnyikov tételének egyik leghíresebb és legegyszerűbb értelmezése szerint egy tetszőleges u(t) jel, amelynek spektrumát egy bizonyos Fe frekvencia korlátozza, teljes mértékben rekonstruálható referenciaértékeinek sorozatából, egy időt követve. intervallum A mintavételi intervallumot és a Fe(1) frekvenciát a rádiótechnikában gyakran intervallumnak, illetve Nyquist-frekvenciának nevezik. Analitikailag Kotelnyikov tételét mutatjuk be mellette ahol k a minta száma; - jelérték a referenciapontokban - magas frekvencia jel spektruma. Diszkrét jelek frekvenciaábrázolása
.
A legtöbb jel Fourier-sorként ábrázolható: Keresztteljesítmény-spektrumsűrűség (keresztteljesítmény-spektrum) két realizáció és stacionárius ergodikus véletlen folyamatok, és a direkt Fourier-transzformáció a kölcsönös kovarianciafüggvényükön vagy a körkörös és ciklikus frekvenciák közötti kapcsolatot figyelembe véve, Az inverz Fourier-transzformáció a kölcsönös kovarianciafüggvényt és a teljesítményspektrális sűrűséget hozza összefüggésbe: Az (1.32)-hez hasonlóan (1.33) is bevezetjük teljesítmény spektrális sűrűség (teljesítmény spektrum)
véletlenszerű folyamat A függvény paritás tulajdonsággal rendelkezik: A kölcsönös spektrális sűrűségre a következő összefüggés áll fenn: ahol a függvénykomplexus konjugált -hoz. A spektrális sűrűségre fentebb bemutatott képleteket pozitív és negatív frekvenciákra is definiáljuk, és meghívjuk kétoldali spektrális sűrűség
. Kényelmesek rendszerek és jelek analitikai vizsgálatához. A gyakorlatban csak a nem negatív frekvenciákra meghatározott spektrális sűrűséget használnak és hívnak egyoldalú
(1.14. ábra): 1.14. ábra – Egyoldalas és kétoldalas spektrális sűrűségek Vezessünk egy kifejezést, amely egy stacionárius SP egyoldali spektrális sűrűségét a kovarianciafüggvényével kapcsolja össze: Vegyük figyelembe a stacionárius SP és a koszinuszfüggvény kovarianciafüggvényének paritási tulajdonságát, a szinuszfüggvény páratlan paritási tulajdonságát, valamint az integrációs határok szimmetriáját. Ennek eredményeként a fent kapott kifejezésben a második integrál nullává válik, és az első integrálban meg lehet felezni az integráció határait, megkétszerezve az együtthatót: Nyilvánvaló, hogy egy véletlenszerű folyamat teljesítményspektrális sűrűsége valós függvény. Hasonlóképpen megkaphatja a fordított összefüggést: Az (1.42) at kifejezésből az következik Ez azt jelenti, hogy az egyoldali spektrális sűrűségdiagram alatti teljes terület egyenlő a véletlenszerű folyamat átlagos négyzetével. Más szavakkal, az egyoldalú spektrális sűrűséget a folyamat négyzetének középértékének eloszlásaként értelmezzük a frekvenciák között. Az egyoldali sűrűséggráf alatti terület, amely két tetszőleges frekvencia és érték közé van zárva, egyenlő a folyamat négyzetének középértékével ebben a spektrális frekvenciasávban (1.15. ábra): 1.15. ábra – Spektrális sűrűség tulajdonság A kereszthatvány spektrális sűrűség összetett mennyiség, így írással exponenciális formában ábrázolható modul
És fázisszög
: hol van a modul; - fázisszög; , a függvény valós és képzeletbeli részei, ill. A kölcsönös spektrális sűrűség modulusa benne van a fontos egyenlőtlenségben Ez az egyenlőtlenség lehetővé teszi számunkra, hogy meghatározzuk koherencia függvény
(négyzetes koherencia), amely hasonló a négyzetes normalizált korrelációs függvényhez: A spektrális sűrűség bevezetésének második módja a véletlenszerű folyamatok közvetlen Fourier-transzformációja. Legyen és két stacionárius ergodikus véletlenszerű folyamat, amelyre kompaktan támogatott Fourier transzformációk
-a hossz megvalósítások a formában vannak meghatározva Ezeknek a véletlenszerű folyamatoknak a kétirányú kölcsönös spektrális sűrűségét a szorzat segítségével vezetjük be a reláción keresztül ahol a várakozási operátor az index feletti átlagolás műveletét jelenti. Egy véletlenszerű folyamat kétoldali spektrális sűrűségének kiszámítása az összefüggésnek megfelelően történik Az egyoldali spektrális sűrűségeket hasonló módon vezetjük be: Az (1.49), (1.50) képletekkel definiált függvények azonosak az (1.32), (1.33) relációk által meghatározott megfelelő függvényekkel, mivel Fourier transzformál kovarianciafüggvényeken. Ezt az állítást ún Wiener-Khinchin tételek.
1. Adja meg a determinisztikus folyamatok osztályozását! 2. Mi a különbség a poliharmonikus és a majdnem periodikus folyamatok között? 3. Fogalmazza meg egy stacionárius véletlen folyamat definícióját! 4. Az ergodikus véletlenszerű folyamat jellemzőinek átlagolásának melyik módszere előnyösebb - mintafüggvény-együttes átlagolása vagy egy implementáció megfigyelési idejének átlagolása? 5. Fogalmazza meg egy véletlenszerű folyamat valószínűségi sűrűségeloszlásának definícióját! 6. Írjon fel egy stacionárius véletlen folyamat korrelációs és kovarianciafüggvényét összekötő kifejezést! 7. Milyen esetben tekintünk két véletlenszerű folyamatot nem korreláltnak? 8. Jelölje meg a stacionárius véletlenszerű folyamat átlagos négyzetének kiszámításának módszereit! 9. Milyen transzformációk kapcsolódnak egy véletlenszerű folyamat spektrális sűrűség- és kovarianciafüggvényéhez? 10. Milyen határok között változnak két véletlenszerű folyamat koherenciafüggvényének értékei? Irodalom 1. Sergienko, A.B. Digitális jelfeldolgozás / A.B. Sergienko. – M: Péter, 2002. – 604 p. 2. Sadovsky, G.A. Elméleti alap információ- és méréstechnika / G.A. Szadovszkij. – M.: Felsőiskola, 2008. – 480 p. 3. Bendat, D. A korrelációs és spektrális elemzés alkalmazása / D. Bendat, A. Piersol. – M.: Mir, 1983. – 312 p. 4. Bendat, D. Véletlenszerű folyamatok mérése és elemzése / D. Bendat, A. Pirsol. – M.: Mir, 1974. – 464 p. Alább Rövid leírás egyes jeleket és azok spektrális sűrűségét határozzuk meg. Az abszolút integrálhatóság feltételét kielégítő jelek spektrális sűrűségének meghatározásakor közvetlenül a (4.41) képletet használjuk. Számos jel spektrális sűrűségét a táblázat tartalmazza. 4.2. 1) Négyszög alakú impulzus (4.2. táblázat, 4. tétel). ábrán látható oszcilláció. (4.28, a) formába írható A spektrális sűrűsége A spektrális sűrűséggráf (4.28. ábra, a) egy egypólusú, derékszögű impulzusok periodikus sorozatának (4.14) spektrumának korábban elvégzett elemzése alapján épül fel. Amint az a (4.28. ábra, b) képből látható, a függvény nullára megy az = argumentum értékeinél n, Ahol P
-
1,
2, 3, ... - tetszőleges egész szám. Ebben az esetben a szögfrekvenciák egyenlőek = . Rizs. 4.28. Négyszögletű impulzus (a) és spektrális sűrűsége (b) Egy impulzus spektrális sűrűsége at numerikusan egyenlő a területével, azaz. G(0)=A.
Ez a pozíció az impulzusra érvényes s(t)
szabad forma. Valóban, ha az általános kifejezésben (4.41) = 0, azt kapjuk azaz pulzusterület s(t).
4.3. táblázat. Jel s(t) Spektrális sűrűség Az impulzus nyújtásakor a függvény nullái közötti távolság csökken, azaz a spektrum összenyomódik. Ugyanakkor az érték növekszik. Éppen ellenkezőleg, ha az impulzust összenyomják, a spektruma kitágul, és az értéke csökken. A 4.29. ábra a, b) egy téglalap alakú impulzus amplitúdó- és fázisspektrumát mutatja be. Rizs. 4.29. Amplitúdó grafikonok (a) Fig. 4.30. Téglalap alakú impulzus, és idővel eltolt (b) fázisspektrum Ha az impulzust egy ideig jobbra (késleltetés) toljuk (4.30. ábra), a fázisspektrum az exp() szorzóargumentum által meghatározott mértékben változik (4.2. táblázat, 9. tétel). A késleltetett impulzus eredő fázisspektruma a 2. ábrán látható. 4,29, b pontozott vonallal. 2) Delta függvény (4.3. táblázat, 9. tétel). A spektrális sűrűségfüggvényt a (4.41) képlet segítségével, a szűrési tulajdonság segítségével találjuk meg δ
- funkciók: Így az amplitúdóspektrum egyenletes, és a terület határozza meg δ
-függvény [= 1], a fázisspektrum pedig nulla [= 0]. Az = 1 függvény inverz Fourier-transzformációja a definíciók egyike δ
- funkciók: Az időeltolódás tulajdonságát felhasználva (4.2. táblázat, 9. tétel) meghatározzuk a függvény spektrális sűrűségét ,
képest idővel késik :
A függvény amplitúdója és fázisspektruma a táblázatban látható. 4.3, poz. 10. Egy függvény inverz Fourier-transzformációja alakja 3) Harmonikus rezgés Ekkor (4.47) figyelembe vételével megkapjuk δ(ω)
– delta függvények, a frekvenciatengely mentén frekvenciával eltolva jobbra, illetve balra. Amint a (4.48)-ból látható, egy véges amplitúdójú harmonikus rezgés spektrális sűrűsége diszkrét frekvenciákon végtelenül nagy értéket vesz fel. Hasonló transzformációk végrehajtásával megkaphatjuk a rezgés spektrális sűrűségét 4) Nézet funkció A jel spektrális sűrűsége, mint állandó szint A a (4.48) képlet határozza meg, beállítás = 0: 5) Mértékegységfüggvény (vagy mértékegység-ugrás) (4.3. táblázat, 8. tétel). A funkció nem teljesen integrálható. Ha az exponenciális impulzus határaként ábrázoljuk ,
azaz akkor a függvény spektrális sűrűsége az exponenciális impulzus spektrális sűrűségének határaként definiálható (4.3. táblázat, 1. tétel): A kifejezés jobb oldalán lévő első tag minden frekvencián egyenlő nullával, kivéve = 0, ahol a végtelenbe megy, és a függvény alatti terület egyenlő egy állandó értékkel Ezért a függvényt tekinthetjük az első tag határának. A második tag határa a függvény. Végre megkapjuk Két tag jelenléte a (4.51) kifejezésben összhangban van a függvény reprezentációjával
1/2+1/2 jel formában( t).
A (4.50) szerint az 1/2 konstans komponens a spektrális sűrűségnek, a páratlan függvénynek pedig
- a spektrális sűrűség képzeletbeli értéke. Egyetlen túlfeszültség áramkörre gyakorolt hatásának elemzésekor, Sebességváltó funkció amely = 0-nál egyenlő nullával (azaz olyan áramkörökön, amelyek nem vezetnek át egyenáramot), a (4.51) képletben csak a második tag vehető figyelembe, amely egyetlen lépés spektrális sűrűségét jelenti a formában 6) Komplex exponenciális jel (4.3. táblázat, 16. tétel). Ha a függvényt mint majd a Fourier-transzformáció linearitása alapján és a (4.48) és (4.49) kifejezések figyelembevételével a komplex exponenciális jel spektrális sűrűsége Következésképpen egy komplex jel aszimmetrikus spektrummal rendelkezik, amelyet egyetlen delta-függvény képvisel, és frekvenciával jobbra tolódik el hozzá képest. 7) Önkényes periodikus függvény. Ábrázoljunk egy tetszőleges periodikus függvényt (4.31. ábra, a) komplex Fourier-sorral hol a pulzusismétlési gyakoriság. Fourier-soros együtthatók egyetlen impulzus spektrális sűrűségén keresztül fejezzük ki s(t)
frekvenciákon ( n=0,
±1, ±2, ...). A (4.55)-öt (4.54)-re behelyettesítve és a (4.53) összefüggést felhasználva meghatározzuk a periodikus függvény spektrális sűrűségét: A (4.56) szerint egy tetszőleges periodikus függvény spektrális sűrűsége a frekvencia szerint egymáshoz képest eltolt függvénysorozat alakja (4.31. ábra, b). Együtthatók at δ
-a függvények egyetlen impulzus spektrális sűrűségének megfelelően változnak s(t) (szaggatott görbe a 4.31. ábrán, b). 8) A δ-függvények periodikus sorozata (4.3. táblázat, 17. tétel). Periodikus függvénysorozat spektrális sűrűsége a (4.56) képlet határozza meg egy periodikus függvény spektrális sűrűségének speciális eseteként
=
1:
4.31. Tetszőleges impulzussorozat (a) és spektrális sűrűsége (b) Rizs. 4.32. Rádiójel (a), a rádiójel spektrális sűrűsége (c) és burkológörbéje (b) és periodikus sorozat alakja van δ
-függvények szorozva az együtthatóval . 9) Rádiójel négyszögletes burokkal. A (4.32a. ábra)-ban bemutatott rádiójel a következőképpen írható fel poz. szerint 11 4.2. táblázat, a rádiójel spektrális sűrűségét úgy kapjuk meg, hogy a négyszögletű burkológörbe spektrális sűrűségét a frekvenciatengely mentén jobbra és balra toljuk az ordináta felezéssel, azaz. Ezt a kifejezést a (4.42)-ből kapjuk, ha a frekvenciát a – eltolás jobbra és – eltolás balra frekvenciákkal helyettesítjük. A burkológörbe spektrum transzformációját a (4.32. ábra, b, c) mutatja. A nem periodikus jelek spektrumának kiszámítására is példákat adunk meg.Determinisztikus jel autokorrelációs függvénye
Autokorrelációs funkció
- egy időkorlátos jel autokorrelációs függvénye és ennek az időnek az értékéhez viszonyított arányának határa, és mikor hajlik a végtelenbe. Ha ez a határ létezik, akkor azt a jelteljesítmény spektrális sűrűségének inverz Fourier-transzformációja határozza meg.
a jel fázis-frekvencia-válaszának (PFC) nevezik. A jel frekvenciamenete páros, a fázisválasz pedig páratlan.
(4.3. táblázat, 12. tétel). A harmonikus rezgés nem teljesen integrálható jel. Ennek ellenére a spektrális sűrűségének meghatározásához közvetlen Fourier-transzformációt használnak, amely a (4.41) képletet a következő formában írja fel:
(4.3. táblázat, 13. tétel)
(4.3. táblázat, 11. tétel)
Betöltés...