Lineáris függetlenség mátrix sorok

Adott egy méretmátrix

Jelöljük a mátrix sorait a következőképpen:

A két sort ún egyenlő , ha a megfelelő elemeik egyenlőek. .

Mutassuk be a karakterlánc számmal való szorzásának és a karakterláncok hozzáadásának műveleteit elemenként végrehajtott műveletként:

Meghatározás. Egy sort mátrixsorok lineáris kombinációjának nevezünk, ha egyenlő e sorok tetszőleges valós számokkal (bármilyen számokkal) való szorzatának összegével:

Meghatározás. A mátrix sorait ún lineárisan függő , ha vannak olyan számok, amelyek egyidejűleg nem egyenlők nullával, úgy, hogy a mátrixsorok lineáris kombinációja egyenlő a nulla sorral:

Ahol . (1.1)

A mátrixsorok lineáris függése azt jelenti, hogy a mátrix legalább 1 sora a többi lineáris kombinációja.

Meghatározás. Ha a sorok lineáris kombinációja (1.1) akkor és csak akkor egyenlő nullával, ha az összes együttható , akkor a sorok ún. lineárisan független .

Mátrix rangtétel. Egy mátrix rangja megegyezik a lineárisan független sorok vagy oszlopok maximális számával, amelyen keresztül az összes többi sor (oszlop) lineárisan kifejeződik.

A tétel alapvető szerepet játszik a mátrixelemzésben, különösen a lineáris egyenletrendszerek tanulmányozásában.

6, 13,14,15,16. Vektorok. Műveletek vektorokkal (összeadás, kivonás, szorzás egy számmal),n -dimenziós vektor. A vektortér fogalma és alapja.

A vektor egy kiindulási ponttal rendelkező irányított szakasz Aés végpont BAN BEN(ami önmagával párhuzamosan mozgatható).

A vektorok 2 nagybetűvel vagy egy kisbetűvel, vonallal vagy nyíllal jelölhetők.

Hossz (vagy modul) vektor egy szám, amely megegyezik a vektort reprezentáló AB szakasz hosszával.

Az azonos egyenesen vagy párhuzamos egyeneseken fekvő vektorokat nevezzük kollineáris .

Ha a vektor eleje és vége egybeesik (), akkor egy ilyen vektort nevezünk nulla és = . A nulla vektor hossza nulla:

1) Egy vektor és egy szám szorzata:

Lesz egy olyan hosszúságú vektor, amelynek iránya egybeesik a vektor irányával, ha , és vele ellentétes, ha .

2) Ellentétes vektor - nevezzük egy vektor szorzatának - a számra(-1), azaz -=.

3) Két vektor összege és egy vektort nevezünk, melynek eleje egybeesik a vektor elejével, vége pedig a vektor végével, feltéve, hogy az eleje egybeesik a végével. (háromszögek szabálya). Több vektor összegét hasonlóan határozzuk meg.

4) Két vektor különbsége és a vektor és a vektor - összegének nevezzük, ellentétes .

Skaláris szorzat

Meghatározás: Két vektor skaláris szorzata egy olyan szám, amely egyenlő ezen vektorok hosszának és a köztük lévő szög koszinuszának szorzatával:

n-dimenziós vektor és vektortér

Meghatározás. Az n-dimenziós vektor rendezett gyűjtemény n formába írt valós számok x = (x 1, x 2,…, x n), Ahol x i – én -a vektor komponense x.

Az n-dimenziós vektor fogalmát széles körben használják a közgazdaságtanban, például egy bizonyos árukészletet vektorral jellemezhetünk. x = (x 1, x 2,…, x n),és a megfelelő árakat y = (y 1,y 2,…,y n).

- Két n-dimenziós vektor egyenlő akkor és csak akkor, ha a megfelelő összetevőik egyenlőek, azaz. x=y, ha x én= y én, én = 1,2,…,n.

- Két vektor összege ugyanaz a méret n vektornak nevezzük z = x + y, melynek komponensei egyenlők az összegzővektorok megfelelő komponenseinek összegével, azaz. z én= x én+ y én, i = 1,2,…, n.

- Egy x vektor és egy valós szám szorzata olyan vektornak nevezzük, amelynek összetevői egyenlőek a vektor megfelelő komponenseinek szorzatával, azaz. , én= 1,2,…,n.

Bármely vektoron végzett lineáris műveletek kielégítik a következő tulajdonságokat:

1) - az összeg kommutatív (kommutatív) tulajdonsága;

2) - az összeg asszociatív (kombinatív) tulajdonsága;

3) - asszociatív tulajdonság egy numerikus tényező tekintetében;

4) - elosztó (elosztó) tulajdonság a vektorok összegéhez viszonyítva;

5) - elosztó tulajdonság a számszerű tényezők összege tekintetében;

6) Van olyan nulla vektor, amely bármely vektorra (a nulla vektor speciális szerepe);

7) Bármely vektorhoz van olyan ellentétes vektor, hogy ;

8) bármely vektorra (az 1-es számtényező speciális szerepe).

Meghatározás. A valós komponensű vektorok halmazát, amelyben a vektorok összeadásának és egy vektornak a fenti nyolc tulajdonságot kielégítő számmal való szorzásának műveleteit definiáljuk (axiómának tekintjük), ún. vektor állapot .

A vektortér mérete és alapja

Meghatározás. A lineáris teret ún n-dimenziós , ha létezik n lineárisan független vektorok, és bármelyik vektor már függő. Más szavakkal, a tér dimenziója a benne található lineárisan független vektorok maximális száma. Az n számot a tér dimenziójának nevezzük, és jelöli.

Az n-dimenziós térben n lineárisan független vektor halmazát nevezzük alapján .

7. A mátrix sajátvektorai és sajátértékei. Egy mátrix karakterisztikus egyenlete.

Meghatározás. A vektort ún sajátvektor lineáris operátor, ha van olyan szám, amely:

A számot megfelelőnek nevezik operátor értéke (mátrixok A), amely a vektornak felel meg.

Mátrix formában írható:

Hol van a vektorkoordináták oszlopmátrixa, vagy kiterjesztett formában:

Írjuk át a rendszert úgy, hogy a jobb oldalon nullák legyenek:

vagy mátrix formában: . A kapott homogén rendszernek mindig van nulla megoldása. Nem nulla megoldás létezéséhez szükséges és elegendő, hogy a rendszer determinánsa: .

A determináns egy polinom n fokhoz képest. Ezt a polinomot ún operátor karakterisztikus polinomja vagy A mátrix, és a kapott egyenlet a következő operátor karakterisztikus egyenlete vagy A mátrix.

Példa:

Keresse meg a mátrix által megadott lineáris operátor sajátértékeit és sajátvektorait.

Megoldás: Összeállítjuk a karakterisztikus egyenletet vagy ahonnan a lineáris operátor sajátértéke.

Megtaláljuk a sajátértéknek megfelelő sajátvektort. Ehhez megoldjuk a mátrix egyenletet:

Vagy , vagy , honnan találjuk: , vagy

Vagy .

Tegyük fel, hogy , azt kapjuk, hogy a vektorok, bármely esetén, egy sajátértékű lineáris operátor sajátvektorai.

Hasonlóképpen a vektor .

8. Rendszer P lineáris egyenletek -val P változók ( általános forma). Egy ilyen rendszer rögzítésének mátrixos formája. Rendszermegoldás (definíció). Konzisztens és inkompatibilis, határozott és határozatlan lineáris egyenletrendszerek.

Lineáris egyenletrendszer megoldása ismeretlenekkel

A közgazdaságtanban széles körben alkalmazzák a lineáris egyenletrendszereket.

A változókkal rendelkező lineáris egyenletrendszer a következőképpen alakul:

,

ahol () tetszőleges számokat hívunk változók együtthatói És az egyenletek szabad feltételei , ill.

Rövid bejegyzés: ().

Meghatározás. A rendszer megoldása olyan értékkészlet, amely behelyettesítéskor a rendszer minden egyenlete valódi egyenlőséggé válik.

1) Az egyenletrendszert ún közös , ha van legalább egy megoldása, és nem ízületi, ha nincs megoldása.

2) A szimultán egyenletrendszert ún bizonyos , ha egyedi megoldása van, és bizonytalan , ha egynél több megoldása van.

3) Két egyenletrendszert nevezünk egyenértékű (egyenértékű) , ha ugyanaz a megoldáshalmaz (például egy megoldás).

Írjuk fel a rendszert mátrix formában:

Jelöljük: , Ahol

A– a változók együtthatói mátrixa vagy a rendszer mátrixa, x – mátrix-változóoszlop, BAN BEN – szabad tagok mátrixoszlopa.

Mert a mátrix oszlopainak száma megegyezik a mátrix sorainak számával, akkor a szorzatuk:

Van egy oszlopmátrix. A kapott mátrix elemei a kiindulási rendszer bal oldali részei. A mátrixegyenlőség definíciója alapján a kezdeti rendszer a következő formában írható fel: .

Cramer tétele. Legyen a rendszer mátrixának determinánsa, és legyen a mátrixból kapott mátrix determinánsa, ha a th oszlopot szabad tagok oszlopával helyettesítjük. Ekkor, ha , akkor a rendszernek van egy egyedi megoldása, amelyet a képletek határoznak meg:

Cramer képlete.

Példa. Egyenletrendszer megoldása Cramer-képletekkel!

Megoldás. A rendszermátrix meghatározója. Ezért a rendszer egyedi megoldást kínál. Számítsuk ki, amelyet az első, második, harmadik oszlop szabad kifejezések oszlopával való helyettesítésével kapunk:

Cramer képletei szerint:

9. Gauss-módszer a rendszer megoldásáran lineáris egyenletek -val P változók. A Jordan–Gauss-módszer fogalma.

Gauss módszer - a változók szekvenciális eltávolításának módja.

A Gauss-módszer abból áll, hogy elemi sortranszformációk és oszloppermutációk segítségével egy egyenletrendszert egy lépés (vagy háromszög) alakú ekvivalens rendszerré redukálunk, amelyből az összes többi változót szekvenciálisan megtaláljuk, az utolsótól kezdve ( szám szerint) változók.

Kényelmes a Gauss-transzformációkat nem magukkal az egyenletekkel, hanem az együtthatóik kiterjesztett mátrixával végrehajtani, amelyet úgy kapunk, hogy a mátrixhoz egy szabad tagok oszlopát rendeljük:

.

Meg kell jegyezni, hogy a Gauss-módszer bármilyen alakú egyenletrendszert képes megoldani .

Példa. Oldja meg a rendszert Gauss módszerrel:

Írjuk fel a rendszer kiterjesztett mátrixát.

1. lépés . Cseréljük fel az első és a második sort úgy, hogy egyenlő legyen 1-gyel.

2. lépés. Az első sor elemeit szorozzuk meg (–2) és (–1)-gyel, és adjuk hozzá a második és harmadik sor elemeihez úgy, hogy az első oszlopban az elem alatt nullák jelenjenek meg. .

Egyidejű lineáris egyenletrendszerekre a következő tételek igazak:

1. tétel. Ha egy közös rendszer mátrixának rangja megegyezik a változók számával, azaz. , akkor a rendszer egyedi megoldást kínál.

2. tétel. Ha egy közös rendszer mátrixának rangja kisebb, mint a változók száma, pl. , akkor a rendszer bizonytalan és végtelen számú megoldása van.

Meghatározás. A mátrix bázismollja minden nullától eltérő moll, amelynek sorrendje megegyezik a mátrix rangjával.

Meghatározás. Azokat az ismeretleneket, amelyek együtthatói szerepelnek az alap-moll jelölésében, bázisnak (vagy alapnak), a fennmaradó ismeretleneket szabadnak (vagy nem alapnak) nevezzük.

Egyenletrendszer megoldása abban az esetben, ha a és (mivel az együtthatóikból álló determináns nem egyenlő nullával), akkor és szabad ismeretlenek kifejezését jelenti.

Az alapváltozókat fejezzük ki szabad változókkal.

A kapott mátrix második sorából fejezzük ki a változót:

Az első sorból ezt fejezzük ki: ,

Az egyenletrendszer általános megoldása: , .

Vegye figyelembe, hogy a mátrix sorai és oszlopai dimenziók aritmetikai vektorainak tekinthetők mÉs n, ill. Így a méretmátrix halmazként értelmezhető m n-dimenziós ill n m-dimenziós aritmetikai vektorok. A geometriai vektorokkal analóg módon bevezetjük a mátrix sorainak és oszlopainak lineáris függésének és lineáris függetlenségének fogalmát.

4.8.1. Meghatározás. Vonal
hívott karakterláncok lineáris kombinációja esélyekkel
, ha ennek a sornak minden eleme a következő egyenlőséggel rendelkezik:

,
.

4.8.2. Meghatározás.

Húrok
hívják lineárisan függő, ha van ezeknek egy nem triviális lineáris kombinációja, amely megegyezik a nulla sorral, azaz. vannak számok, amelyek nem mindegyike egyenlő nullával

,
.

4.8.3. Meghatározás.

Húrok
hívják lineárisan független, ha csak triviális lineáris kombinációjuk egyenlő a nulla sorral, azaz.

,

4.8.4. Tétel. (A mátrixsorok lineáris függésének kritériuma)

Ahhoz, hogy a sorok lineárisan függőek legyenek, szükséges és elegendő, hogy legalább az egyik a többi lineáris kombinációja legyen.

Bizonyíték:

Szükségesség. Hagyja a vonalakat
lineárisan függőek, akkor van egy nemtriviális lineáris kombinációjuk, amely egyenlő a nulla sorral:

.

Az általánosság elvesztése nélkül tegyük fel, hogy a lineáris kombináció együtthatói közül az első nem nulla (ellenkező esetben a sorok újraszámozhatók). Ezt az arányt elosztva ezzel , kapunk

,

vagyis az első sor a többi lineáris kombinációja.

Megfelelőség. Legyen az egyik sor pl. , akkor a többi lineáris kombinációja

vagyis létezik egy nem triviális karakterlánc-kombináció
, egyenlő a nulla karakterlánccal:

ami a vonalakat jelenti
lineárisan függőek, amit bizonyítani kellett.

Megjegyzés.

Hasonló definíciók és állítások fogalmazhatók meg a mátrix oszlopaira.

4.9. Mátrix rang.

4.9.1. Meghatározás. Kisebb rendelés mátrixok méret
rendhatározónak nevezik némelyikének metszéspontjában elhelyezkedő elemekkel vonalak és oszlopok.

4.9.2. Meghatározás. Nem nulla kisebb sorrend mátrixok méret
hívott alapvető kiskorú, ha a mátrix összes minora rendben van
egyenlők nullával.

Megjegyzés. Egy mátrixnak több alapmollja is lehet. Nyilvánvalóan mindegyik azonos sorrendben lesz. Az is lehetséges, hogy a mátrix méret
kisebb rendelés nullától eltérő, és a kiskorúak sorrendben vannak
nem létezik, vagyis
.

4.9.3. Meghatározás. Az alap minort alkotó sorokat (oszlopokat) hívjuk alapvető sorok (oszlopok).

4.9.4. Meghatározás. Rang egy mátrixot az alap minor sorrendjének nevezzük. Mátrix rang által jelölve
vagy
.

Megjegyzés.

Vegyük észre, hogy a determináns sorainak és oszlopainak egyenlősége miatt a mátrix rangja nem változik transzponáláskor.

4.9.5. Tétel. (A mátrix rangjának invarianciája elemi transzformációk alatt)

Egy mátrix rangja nem változik elemi transzformációi során.

Nincs bizonyíték.

4.9.6. Tétel. (Az alap mollról).

Az alatta lévő sorok (oszlopok) lineárisan függetlenek. A mátrix bármely sora (oszlopa) ábrázolható az alapsorok (oszlopok) lineáris kombinációjaként.

Bizonyíték:

Végezzük el a bizonyítást a húrokra. Az oszlopokra vonatkozó állítás bizonyítása analógia útján is elvégezhető.

Legyen a mátrix rangja méretek
egyenlő , A
− alap-moll. Az általánosság elvesztése nélkül feltételezzük, hogy a bázis-moll a bal felső sarokban található (egyébként a mátrix elemi transzformációkkal ebbe a formába redukálható):

.

Először bizonyítsuk be az alapsorok lineáris függetlenségét. Ellentmondásos bizonyítást fogunk végezni. Tegyük fel, hogy az alapsorok lineárisan függőek. Ekkor a 4.8.4. Tétel szerint az egyik karakterlánc a fennmaradó alapvető karakterláncok lineáris kombinációjaként ábrázolható. Ezért ha ebből a sorból kivonjuk a megadott lineáris kombinációt, akkor nulla sort kapunk, ami azt jelenti, hogy a mellék
egyenlő nullával, ami ellentmond az alap-moll definíciójának. Ezzel ellentmondást kaptunk, így az alapsorok lineáris függetlensége bebizonyosodott.

Most bizonyítsuk be, hogy egy mátrix minden sora bázissorok lineáris kombinációjaként ábrázolható. Ha a kérdéses sorszám 1-től r, akkor nyilvánvalóan egy lineáris kombinációként ábrázolható, amelynek együtthatója 1 a többi sorra pedig nulla együttható. Most mutassuk meg, hogy ha a sorszám tól től
előtt
, az alapkarakterláncok lineáris kombinációjaként ábrázolható. Tekintsük a mátrix minort
, a minor alapból nyert
sor hozzáadásával és egy tetszőleges oszlop
:

Mutassuk meg, hogy ez a kiskorú
tól től
előtt
és tetszőleges oszlopszámra 1-től .

Valóban, ha az oszlop számát 1-től r, akkor van egy determinánsunk két azonos oszloppal, ami nyilvánvalóan egyenlő nullával. Ha az oszlopszám tól től r+1 erre és a sor számát tól től
előtt
, Azt
az eredeti mátrix moll része magasabb rendű, mint az alap-moll, ami azt jelenti, hogy az alap-moll definíciójából nullával egyenlő. Így bebizonyosodott, hogy a kiskorú
bármely sorszám esetén nulla tól től
előtt
és tetszőleges oszlopszámra 1-től . Az utolsó oszlopra kibontva a következőket kapjuk:

Itt
− megfelelő algebrai összeadások. vegye észre, az
, hiszen ezért
alapvető kiskorú. Ezért a vonal elemei k az alapsorok megfelelő elemeinek lineáris kombinációjaként ábrázolható oszlopszámtól független együtthatókkal :

Így bebizonyítottuk, hogy egy mátrix tetszőleges sora ábrázolható alapsorainak lineáris kombinációjaként. A tétel bizonyítást nyert.

13. előadás

4.9.7. Tétel. (A nem szinguláris négyzetmátrix rangjáról)

Ahhoz, hogy egy négyzetes mátrix nem szinguláris legyen, szükséges és elegendő, hogy a mátrix rangja megegyezzen a mátrix méretével.

Bizonyíték:

Szükségesség. Legyen a négyzetmátrix méret n akkor nem degenerált
, ezért a mátrix determinánsa bázis-moll, azaz

Megfelelőség. Hadd
akkor a bázismoll sorrendje megegyezik a mátrix méretével, ezért a bázismoll a mátrix determinánsa , azaz
alapvető kiskorú meghatározása szerint.

Következmény.

Ahhoz, hogy egy négyzetmátrix nem szinguláris legyen, szükséges és elegendő, hogy sorai lineárisan függetlenek legyenek.

Bizonyíték:

Szükségesség. Mivel a négyzetes mátrix nem szinguláris, rangja megegyezik a mátrix méretével
vagyis a mátrix meghatározója bázis-moll. Ezért a 4.9.6. Tétel a minor alapon a mátrix sorai lineárisan függetlenek.

Megfelelőség. Mivel a mátrix minden sora lineárisan független, rangja nem kisebb, mint a mátrix mérete, ami azt jelenti, hogy
ezért az előző 4.9.7. Tétel szerint a mátrix nem degenerált.

4.9.8. A kiskorúak határolásának módszere a mátrix rangjának megállapításához.

Megjegyzendő, hogy ennek a módszernek egy részét implicit módon már leírtuk a bázis-moll tétel bizonyítása során.

4.9.8.1. Meghatározás. Kisebb
hívott határos kiskorúhoz képest
, ha kiskorútól szerezték be
hozzátéve egyet új sorés az eredeti mátrix egy új oszlopa.

4.9.8.2. Egy mátrix rangjának meghatározására szolgáló eljárás a bordering minors módszerrel.

Megtaláljuk a mátrix bármely aktuális mollját, amely különbözik a nullától.

Kiszámoljuk az összes vele határos kiskorút.

Ha mindegyik egyenlő nullával, akkor az aktuális moll bázis egy, és a mátrix rangja megegyezik az aktuális moll sorrendjével.

Ha a határos kiskorúak között van legalább egy nullától eltérő, akkor az aktuálisnak minősül, és az eljárás folytatódik.

A kiskorúak határolásának módszerével megtaláljuk a mátrix rangját

.

Könnyen megadható az aktuális nem nulla másodrendű moll, pl.

.

Kiszámoljuk a vele határos kiskorúakat:

Következésképpen, mivel minden határos harmadrendű kiskorú egyenlő nullával, akkor a kiskorú
alap, vagyis

Megjegyzés. A vizsgált példából kitűnik, hogy a módszer meglehetősen munkaigényes. Ezért a gyakorlatban sokkal gyakrabban használják az elemi átalakítások módszerét, amelyet az alábbiakban tárgyalunk.

4.9.9. Mátrix rangjának meghatározása elemi transzformációk módszerével.

A 4.9.5. Tétel alapján kijelenthető, hogy a mátrix rangja nem változik elemi transzformációk hatására (azaz az ekvivalens mátrixok rangjai egyenlők). Ezért a mátrix rangja megegyezik az eredetiből elemi transzformációkkal kapott lépcsős mátrix rangjával. Egy lépésmátrix rangja nyilvánvalóan megegyezik a nem nulla sorok számával.

Határozzuk meg a mátrix rangját

elemi transzformációk módszerével.

Mutassuk be a mátrixot lépéses nézethez:

A kapott echelon mátrix nullától eltérő sorainak száma három, ezért

4.9.10. Lineáris térvektorok rendszerének rangja.

Tekintsük a vektorok rendszerét
néhány lineáris tér. Ha lineárisan függő, akkor lineárisan független alrendszer különböztethető meg benne.

4.9.10.1. Meghatározás. A vektorrendszer rangja
lineáris tér ennek a rendszernek a lineárisan független vektorainak maximális számát nevezzük. Vektor rendszer rangja
ként jelöljük
.

Megjegyzés. Ha egy vektorrendszer lineárisan független, akkor a rangja megegyezik a rendszerben lévő vektorok számával.

Fogalmazzunk meg egy tételt, amely megmutatja a lineáris térbeli vektorrendszer rangja és a mátrix rangja közötti összefüggést.

4.9.10.2. Tétel. (A lineáris térbeli vektorrendszer rangjáról)

Egy lineáris térben lévő vektorrendszer rangja megegyezik egy olyan mátrix rangjával, amelynek oszlopai vagy sorai a lineáris tér valamely bázisában lévő vektorok koordinátái.

Nincs bizonyíték.

Következmény.

Ahhoz, hogy egy lineáris térbeli vektorrendszer lineárisan független legyen, szükséges és elegendő, hogy annak a mátrixnak a rangja, amelynek oszlopai vagy sorai a vektorok koordinátái egy bizonyos bázisban, egyenlő legyen a számmal. vektorok a rendszerben.

A bizonyíték nyilvánvaló.

4.9.10.3. Tétel (A lineáris héj méretéről).

Lineáris hajótest vektorok mérete
lineáris tér egyenlő ennek a vektorrendszernek a rangjával:

Nincs bizonyíték.

Tekintsünk egy tetszőleges, nem feltétlenül négyzet alakú, mxn méretű A mátrixot.

Mátrix rang.

A mátrix rang fogalma a mátrix sorai (oszlopai) lineáris függésének (függetlenségének) fogalmához kapcsolódik. Tekintsük ezt a fogalmat a húrokra. Oszlopokhoz - hasonlóan.

Jelöljük az A mátrix drénjeit:

e 1 =(a 11,a 12,…,a 1n); e 2 =(a 21,a 22,…,a 2n);…, e m =(a m1,a m2,…,a mn)

e k =e s ha a kj =a sj , j=1,2,…,n

Aritmetikai műveletek a mátrix sorai felett (összeadás, szorzás egy számmal) elemenként végrehajtott műveletekként kerülnek bevezetésre: λе k =(λа k1,λа k2,…,λа kn);

e k +е s =[(a k1 +a s1),(a k2 +a s2),…,(a kn +a sn)].

Az e vonalat hívják lineáris kombináció e 1, e 2,…, e k sorok, ha egyenlő e sorok tetszőleges valós számok szorzatának összegével:

e=λ 1 e 1 +λ 2 e 2 +…+λ k e k

Az e 1, e 2,…, e m sorokat hívjuk lineárisan függő, ha vannak λ 1 ,λ 2 ,…,λ m valós számok, amelyek nem mindegyike egyenlő nullával, akkor ezeknek a karakterláncoknak a lineáris kombinációja egyenlő a nulla karakterlánccal: λ 1 e 1 +λ 2 e 2 +…+λ m e m = 0 ,Ahol 0 =(0,0,…,0) (1)

Ha egy lineáris kombináció akkor és csak akkor egyenlő nullával, ha minden λ i együttható nulla (λ 1 =λ 2 =...=λ m =0), akkor az e 1, e 2,..., e m hívják lineárisan független.

1. tétel. Ahhoz, hogy az e 1 , e 2 ,…, e m karakterláncok lineárisan függőek legyenek, szükséges és elegendő, hogy e karakterláncok egyike a fennmaradó karakterláncok lineáris kombinációja legyen.

Bizonyíték. Szükségesség. Legyenek az e 1, e 2,…, e m karakterláncok lineárisan függőek. A határozottság kedvéért hadd (1) λ m ≠0, akkor

Hogy. az e m karakterlánc a fennmaradó karakterláncok lineáris kombinációja. Stb.

Megfelelőség. Legyen az egyik karakterlánc, például e m, a fennmaradó karakterláncok lineáris kombinációja. Aztán lesznek olyan számok, amelyekre az egyenlőség érvényes, és ezeket át lehet írni a formába

ahol az együtthatók közül legalább 1 (-1) nem egyenlő nullával. Azok. a sorok lineárisan függőek. Stb.

Meghatározás. Kisebb k-edik rend Az mxn méretű A mátrixot k-edrendű determinánsnak nevezzük, amelynek elemei az A mátrix tetszőleges k sora és k oszlopa metszéspontjában helyezkednek el. (k≤min(m,n)). .

Példa., I. rendű kiskorúak: =, =;

2. rendű kiskorúak: , 3. rend

Egy 3. rendű mátrixban 9 1. rendű minor, 9 2. rendű moll és 1 3. rendű moll található (ennek a mátrixnak a meghatározója).

Meghatározás. Az A mátrix rangja ennek a mátrixnak a nullától eltérő minorjainak legmagasabb rendje. Megnevezés - rg A vagy r(A).

Mátrix rang tulajdonságai.

1) az A nxm mátrix rangja nem haladja meg a méretei közül a kisebbet, azaz.

r(A)≤min(m,n).

2) r(A)=0, ha minden mátrixelem egyenlő 0-val, azaz. A=0.

3) Egy n-edrendű A négyzetmátrixhoz r(A)=n, ha A nem degenerált.

(Egy átlós mátrix rangja megegyezik a nem nulla átlós elemeinek számával).

4) Ha egy mátrix rangja egyenlő r-rel, akkor a mátrixnak legalább egy r-rendű mollja van, amely nem egyenlő nullával, és minden magasabb rendű moll egyenlő nullával.

A következő összefüggések érvényesek a mátrix rangjaira:

2) r(A+B)≤r(A)+r(B); 3) r(AB)≤min(r(A),r(B));

3) r(A+B)≥│r(A)-r(B)│; 4) r(AT A)=r(A);

5) r(AB)=r(A), ha B négyzetes nem szinguláris mátrix.

6) r(AB)≥r(A)+r(B)-n, ahol n az A mátrix oszlopainak vagy a B mátrix sorainak száma.

Meghatározás. Egy r(A) rendű, nullától eltérő mollot hívunk alap moll. (Az A mátrixban több alap minor lehet). Azokat a sorokat és oszlopokat, amelyeknek a metszéspontjában van egy alap minor, rendre hívjuk alaphúrokÉs alaposzlopok.

2. Tétel (az alap-mollról). Az alatta lévő sorok (oszlopok) lineárisan függetlenek. Az A mátrix bármely sora (bármely oszlopa) az alapsorok (oszlopok) lineáris kombinációja.

Bizonyíték. (Húrokhoz). Ha az alapsorok lineárisan függőek lennének, akkor az (1) Tétel szerint ezen sorok egyike más alapsorok lineáris kombinációja, akkor az alapmoll értékének megváltoztatása nélkül ebből a sorból kivonhatja a jelzett lineáris kombinációt. és kap egy nulla sort, és ez ellentmond annak, hogy az alap-moll különbözik a nullától. Hogy. az alapsorok lineárisan függetlenek.

Bizonyítsuk be, hogy az A mátrix bármely sora a bázissorok lineáris kombinációja. Mert a sorok (oszlopok) tetszőleges változtatásával a determináns megtartja azt a tulajdonságát, hogy nullával egyenlő, akkor az általánosság elvesztése nélkül feltételezhetjük, hogy a bázis-moll a mátrix bal felső sarkában van

A=, azok. az első r sorban és az első r oszlopban található. Legyen 1£j£n, 1£i£m. Mutassuk meg, hogy az (r+1) rendű determináns

Ha j£r vagy i£r, akkor ez a determináns egyenlő nullával, mert két egyforma oszlopa vagy két egyforma sora lesz.

Ha j>r és i>r, akkor ez a determináns az A mátrix (r+1)-edik rendű minora. A mátrix rangja egyenlő r-rel, ami azt jelenti, hogy bármely magasabb rendű moll egyenlő 0-val.

Az utolsó (hozzáadott) oszlop elemei szerint bővítve azt kapjuk

a 1j A 1j +a 2j A 2j +…+a rj A rj +a ij A ij =0, ahol az utolsó algebrai komplementer A ij egybeesik az M r bázismollral, ezért A ij = M r ≠0.

Az utolsó egyenlőséget elosztva A ij-vel, az a ij elemet lineáris kombinációként fejezhetjük ki: , ahol .

Rögzítsük i (i>r) értékét, és állapítsuk meg, hogy bármely j-re (j=1,2,…,n) az elemek i-edik sor e i lineárisan az e 1, e 2,…, e r sorok elemein keresztül fejeződik ki, azaz. i-edik sor a bázis karakterláncok lineáris kombinációja: . Stb.

3. Tétel (szükséges és elégséges feltétele annak, hogy a determináns nullával egyenlő legyen). Ahhoz, hogy az n-edrendű D determináns nullával egyenlő legyen, szükséges és elegendő, hogy sorai (oszlopai) lineárisan függőek legyenek.

Bizonyítás (40.o.). Szükségesség. Ha a D n-edrendű determináns nulla, akkor mátrixának alapmollja r rendű

Így az egyik sor a többi lineáris kombinációja. Ekkor az 1. Tétel szerint a determináns sorai lineárisan függőek.

Megfelelőség. Ha a D sorok lineárisan függőek, akkor az 1. Tétel szerint egy A i sor a fennmaradó sorok lineáris kombinációja. Az A i karakterláncból a megadott lineáris kombinációt kivonva D értékének megváltoztatása nélkül nulla karakterláncot kapunk. Ezért a determinánsok tulajdonságai szerint D=0. stb.

4. tétel. Az elemi transzformációk során a mátrix rangja nem változik.

Bizonyíték. Ahogy a determinánsok tulajdonságainak figyelembe vételekor kiderült, négyzetmátrixok transzformációja során a determinánsaik vagy nem változnak, vagy megszorozódnak egy nem nulla számmal, vagy változnak az előjel. Ebben az esetben az eredeti mátrix nullától eltérő molljainak legmagasabb rendje megmarad, pl. a mátrix rangja nem változik. Stb.

Ha r(A)=r(B), akkor A és B az megfelelője: A~B.

5. tétel. Elemi transzformációkkal redukálhatja a mátrixot lépcsős nézet. A mátrix az ún lépésenként, ha a következő formában van:

A=, ahol a ii ≠0, i=1,2,…,r; r≤k.

Az r≤k feltétel mindig elérhető transzponálással.

6. tétel. Egy echelon mátrix rangja megegyezik a nem nulla sorok számával .

Azok. A lépésmátrix rangja egyenlő r-rel, mert van egy nem nulla r-rendű moll:

Inverz mátrix, az inverz mátrix kiszámításának algoritmusa.

Lineáris algebrai egyenletrendszer, a slough alapvető tulajdonságai, homogenitás és heterogenitás, konzisztencia és inkompatibilitás, a slough meghatározottsága, a slough és megoldásai mátrix jelölési formája

Négyzetes rendszerek, Cramer-módszer

A slough elemi átalakulásai. Gauss-módszer a slough-kutatáshoz.

Slough kompatibilitási kritérium, Kronecker-Capelli tétel, geometriai értelmezés 2 egyenlet 2 ismeretlennel példáján.

Egységes sloughok. Megoldások tulajdonsága, fsr, homogén rendszer általános megoldásának tétele. A nemtriviális megoldás létezésének kritériuma.

Heterogén sloughok. Tétel egy inhomogén slough megoldásának szerkezetéről. Algoritmus inhomogén slough megoldására.

Lineáris (vektor) tér definíciója. Példák az lp-re.

Lineárisan függő és lineárisan független vektorrendszerek. Lineáris függőségi kritérium.

Elegendő feltételek az LP vektorrendszerek lineáris függéséhez és lineáris függetlenségéhez. Példák lineárisan független rendszerekre karakterláncok, polinomok és mátrixok tereiben.

Izomorfizmus lp. Az lp izomorfizmusának kritériuma.

LP altér és vektorrendszerek lineáris fesztávjai. Lineáris héj mérete.

Alapkitöltési tétel

Alterek metszéspontja és összege, alterek közvetlen összege. Tétel az alterek összegének dimenziójáról.

Egy homogén slough megoldásainak altere, mérete és alapja. A homogén slough általános megoldásának kifejezése fsr-ben.

Átmeneti mátrix egyik lp bázisról a másikra és tulajdonságai. Vektorkoordináták transzformációja másik bázisra való áttéréskor.

Lineáris operátorok, lineáris leképezések és lineáris transzformációk definíciója és példái

Lineáris operátormátrix, a vektorkép koordinátáinak megtalálása

Műveletek lineáris operátorokkal. Lineáris tér lo

Tétel a lineáris transzformációk halmazának izomorfizmusáról négyzetmátrixok halmazára

Lineáris transzformációk szorzatának mátrixa. Példák operátormátrixok keresésére.

Az inverz operátor definíciója, tulajdonságai, mátrixa.

Invertálhatósági kritérium lineáris operátorhoz. Példák invertálható és irreverzibilis operátorokra.

Lineáris operátormátrix átalakítása másik bázisra való átlépéskor.

Lineáris operátor determináns és karakterisztikus polinomja, invarianciája a bázistranszformációkhoz képest.

Kernel és egy lineáris operátor képe. Tétel a kernel és a kép méreteinek összegéről. Egy lineáris operátor kernelének és képének megkeresése fix bázison. Lineáris operátor rangja és hibája.

A kernel invarianciájának tétele és a lo a képe a vele ingázó a lo b tekintetében

A sajátértékek algebrai és geometriai többszörösei és kapcsolatuk.

Egy lineáris operátor mátrixának diagonalizálhatóságának kritériuma, egy lineáris operátor diagonalizálhatóságának elégséges feltételei.

Hamilton-Cayley tétel

Lineáris algebra

Slough elmélet

1. Mátrixok, műveletek mátrixokkal, inverz mátrix. Mátrixegyenletek és megoldásaik.

Mátrix– tetszőleges számok téglalap alakú táblázata meghatározott sorrendben, m*n méretű (sorok oszloponként). A mátrix elemeit jelöljük, ahol i a sorszám, aj az oszlopszám.

Kiegészítés (kivonás) mátrixok csak egydimenziós mátrixokhoz vannak definiálva. A mátrixok összege (különbsége) olyan mátrix, amelynek elemei rendre az eredeti mátrixok elemeinek összege (különbsége).

Szorzás (osztás)számonként– az egyes mátrixelemek szorzása (osztása) ezzel a számmal.

A mátrixszorzás csak azokra a mátrixokra van definiálva, amelyek közül az első oszlopainak száma megegyezik a második sorainak számával.

Mátrixszorzás– mátrix, melynek elemeit a következő képletek adják meg:

Mátrix transzponálás– olyan B mátrix, amelynek sorai (oszlopai) az eredeti A mátrix oszlopai (sorai). Kijelölve

inverz mátrix

Mátrix egyenletek– az A*X=B formájú egyenletek mátrixok szorzatai, erre az egyenletre a válasz az X mátrix, amelyet a szabályok segítségével találunk meg:

1. Mátrixoszlopok (sorok) lineáris függése és függetlensége. Lineáris függőség kritériuma, elegendő feltétel a mátrixoszlopok (sorok) lineáris függéséhez.

A sorok (oszlopok) rendszerét ún lineárisan független, ha a lineáris kombináció triviális (az egyenlőség csak akkor teljesül, ha a1...n=0), ahol A1...n oszlopok (sorok), aa1...n bővítési együtthatók.

Kritérium: ahhoz, hogy egy vektorrendszer lineárisan függő legyen, szükséges és elegendő, hogy a rendszer legalább egy vektora lineárisan kifejeződik a rendszer többi vektorain keresztül.

Elegendő állapot:

1. Mátrix determinánsok és tulajdonságaik

Mátrix determináns (determináns) egy olyan szám, amely egy A négyzetmátrixhoz a mátrix elemeiből a következő képlettel számítható ki:

, ahol az elem további mollja

Tulajdonságok:

1. Inverz mátrix, az inverz mátrix kiszámításának algoritmusa.

inverz mátrix– olyan X négyzetmátrix, amely egy azonos rendű A négyzetmátrixszal együtt teljesíti a feltételt: ahol E az A-val azonos rendű azonosságmátrix. Minden olyan négyzetmátrixnak, amelynek determinánsa nem egyenlő nullával, 1 inverz mátrixa van. Az elemi átalakítások módszerével és a következő képlet használatával találták meg:

A mátrix rang fogalma. A tétel moll alapján. A mátrix determinánsának feltétele, hogy egyenlő legyen nullával. Mátrixok elemi transzformációi. Rangsorszámítások elemi transzformációk módszerével. Az inverz mátrix számítása elemi transzformációk módszerével.

Mátrix rang – alap-moll sorrend (rg A)

alap moll – egy r rendű moll, amely nem egyenlő nullával, így minden r+1 és magasabb rendű moll egyenlő nullával, vagy nem létezik.

Az alap-moll tétel - Egy tetszőleges A mátrixban minden oszlop (sor) azoknak az oszlopoknak (soroknak) lineáris kombinációja, amelyekben az alap minor található.

Bizonyíték: Legyen egy m*n méretű A mátrixban a bázis-moll az első r sorban és az első r oszlopban. Tekintsük azt a determinánst, amelyet úgy kapunk, hogy az s. sor és a k. oszlop megfelelő elemeit az A mátrix alapmolljához rendeljük.

Vegye figyelembe, hogy bármely u esetén ez a determináns egyenlő nullával. Ha vagy, akkor a D determináns két egyforma sort vagy két azonos oszlopot tartalmaz. Ha igen, akkor a D determináns nulla, mivel (r+λ)-ro rendű moll. A determinánst az utolsó sor mentén kiterjesztve a következőt kapjuk:, ahol az utolsó sor elemeinek algebrai komplementerei. Vegye figyelembe, hogy mivel ez egy alap minor. Ezért hol Az utolsó egyenlőséget felírva megkapjuk , azaz A k-adik oszlop (bármelyikhez) a base minor oszlopainak lineáris kombinációja, amit bizonyítanunk kellett.

d kritériumetA=0– Egy determináns akkor és csak akkor egyenlő nullával, ha sorai (oszlopai) lineárisan függőek.

Elemi átalakulások:

1) egy karakterlánc szorzása nullától eltérő számmal;

2) egy másik sor elemeinek hozzáadása egy sor elemeihez;

3) a húrok átrendezése;

4) az azonos sorok (oszlopok) egyikének áthúzása;

5) átültetés;

Rangsorszámítás - Az alap-moll tételből az következik, hogy az A mátrix rangja megegyezik a lineárisan független sorok (a mátrixban lévő oszlopok) maximális számával, ezért az elemi transzformációk feladata az összes lineárisan független sor (oszlop) megtalálása.

Az inverz mátrix kiszámítása- A transzformációk úgy valósíthatók meg, hogy egy bizonyos T mátrixot megszorozunk A mátrixszal, amely a megfelelő elemi mátrixok szorzata: TA = E.

Ez az egyenlet azt jelenti, hogy a T transzformációs mátrix a mátrix inverze. Akkor tehát