Untuk menyederhanakan metode penyelesaian masalah analisis rangkaian, sinyal direpresentasikan sebagai jumlah fungsi tertentu.
Proses ini dibenarkan oleh konsep deret Fourier yang digeneralisasi. Dalam matematika telah dibuktikan bahwa setiap fungsi yang memenuhi kondisi Dirichlet dapat direpresentasikan sebagai deret:
Untuk menentukannya, kalikan ruas kiri dan kanan deret tersebut dengan dan ambil integral ruas kiri dan kanan:
untuk interval di mana kondisi ortogonalitas terpenuhi.
Jelas bahwa kita telah memperoleh ekspresi untuk deret Fourier yang digeneralisasi:
Mari kita pilih jenis fungsi tertentu untuk perluasan sinyal secara seri. Sebagai fungsi tersebut, kami memilih sistem fungsi ortogonal:
Untuk menentukan deretnya, kita menghitung nilainya:
Jadi, kita mendapatkan:
Secara grafis deret ini disajikan dalam bentuk dua grafik komponen harmonik amplitudo.
Ekspresi yang dihasilkan dapat direpresentasikan sebagai:
Kami memperoleh bentuk kedua pencatatan deret Fourier trigonometri. Secara grafis, deret ini disajikan dalam bentuk dua grafik - amplitudo dan spektrum fase.
Mari kita cari bentuk kompleks deret Fourier; untuk ini kita menggunakan rumus Euler:
Secara grafis, spektrum dalam bentuk ini direpresentasikan pada sumbu frekuensi dalam rentang tersebut.
Jelaslah bahwa spektrum sinyal periodik, yang dinyatakan dalam bentuk kompleks atau amplitudo, adalah diskrit. Artinya spektrum mengandung komponen-komponen yang mempunyai frekuensi
Karakteristik spektral dari sinyal non-periodik
Karena sinyal tunggal dianggap sebagai sinyal non-periodik dalam teknik radio, untuk mengetahui spektrumnya kita akan membayangkan sinyal tersebut sebagai sinyal periodik dengan suatu periode. Mari kita gunakan transformasi deret Fourier untuk periode ini. Kami mendapatkan untuk:
Analisis ekspresi yang dihasilkan menunjukkan bahwa pada , amplitudo komponen menjadi sangat kecil dan terletak terus menerus pada sumbu frekuensi. Kemudian, untuk keluar dari situasi ini, kita akan menggunakan konsep kerapatan spektral:
Mengganti ekspresi yang dihasilkan ke dalam deret Fourier kompleks, kita mendapatkan:
Akhirnya kita mendapatkan:
Berikut adalah kerapatan spektral, dan ekspresi itu sendiri adalah transformasi Fourier langsung. Untuk menentukan sinyal dari spektrumnya, digunakan transformasi Fourier terbalik:
Sifat-sifat transformasi Fourier
Dari rumus garis lurus dan transformasi terbalik Fourier, jelas jika sinyal berubah, maka spektrumnya pun berubah. Sifat-sifat berikut menetapkan ketergantungan spektrum sinyal yang diubah pada spektrum sinyal sebelum perubahan.
1) Sifat linearitas transformasi Fourier
Kami menemukan bahwa spektrum jumlah sinyal sama dengan jumlah spektrumnya.
2) Spektrum sinyal yang bergeser waktu
Kami menemukan bahwa ketika sinyal digeser, spektrum amplitudo tidak berubah, tetapi hanya spektrum fase yang berubah besarnya
3) Mengubah skala waktu
yaitu, ketika sinyal mengembang (menyempit) beberapa kali, spektrum sinyal ini menyempit (memperluas).
4) Spektrum offset
5) Spektrum turunan sinyal
Mari kita ambil turunan ruas kiri dan kanan invers transformasi Fourier.
Kita melihat bahwa spektrum turunan sinyal sama dengan spektrum sinyal asli dikalikan, yaitu spektrum amplitudo berubah dan spektrum fasa berubah.
6) Spektrum integral sinyal
Mari kita ambil integral ruas kiri dan kanan transformasi Fourier terbalik.
Kita melihat bahwa spektrum turunan sinyal sama dengan spektrum sinyal asli dibagi dengan,
7) Spektrum produk dua sinyal
Jadi, spektrum hasil kali dua sinyal sama dengan konvolusi spektrumnya dikalikan dengan koefisien
8) Sifat dualitas
Jadi, jika suatu spektrum berhubungan dengan suatu sinyal, maka sinyal yang bentuknya cocok dengan spektrum di atas juga berhubungan dengan spektrum yang bentuknya cocok dengan sinyal di atas.
Catatan umum
Diantara berbagai sistem fungsi ortogonal yang dapat dijadikan dasar representasi sinyal radio, tempat luar biasa ditempati oleh fungsi harmonik (sinus dan kosinus). Pentingnya sinyal harmonik untuk teknik radio disebabkan oleh beberapa alasan.
Dalam teknik radio kita harus berurusan dengan sinyal listrik yang berhubungan dengan pesan yang dikirimkan. dengan cara yang diterima pengkodean.
Kita dapat mengatakan bahwa sinyal listrik adalah proses fisik (listrik) yang membawa informasi. Jumlah informasi yang dapat dikirimkan menggunakan sinyal tertentu bergantung pada parameter utamanya: durasi, pita frekuensi, daya, dan beberapa karakteristik lainnya. Penting juga memiliki tingkat interferensi pada saluran komunikasi: semakin rendah level ini, semakin besar jumlah informasi yang dapat dikirimkan menggunakan sinyal dengan kekuatan tertentu. Sebelum berbicara tentang kemampuan informasi sinyal, Anda perlu membiasakan diri dengan karakteristik utamanya. Disarankan untuk mempertimbangkan sinyal deterministik dan acak secara terpisah.
Deterministik adalah sinyal apa pun yang nilai sesaatnya setiap saat dapat diprediksi dengan probabilitas satu.
Contoh sinyal deterministik termasuk pulsa atau semburan pulsa, yang bentuk, besarnya dan posisinya dalam waktu diketahui, serta sinyal kontinu dengan amplitudo dan hubungan fase tertentu dalam spektrumnya. Sinyal deterministik dapat dibagi menjadi periodik dan non-periodik.
Sinyal apa pun yang kondisinya terpenuhi disebut periodik
di mana periode T adalah segmen berhingga, dan k adalah bilangan bulat apa pun.
Sinyal deterministik periodik yang paling sederhana adalah osilasi harmonik. Getaran yang sangat harmonis disebut monokromatik. Istilah ini, yang dipinjam dari optik, menekankan bahwa spektrum getaran harmonik terdiri dari satu garis spektral. Untuk sinyal nyata yang memiliki awal dan akhir, spektrumnya pasti akan kabur. Oleh karena itu, getaran monokromatik tidak ada di alam. Berikut ini, sinyal harmonik dan monokromatik secara konvensional akan dipahami sebagai osilasi. Sinyal periodik kompleks apa pun, seperti diketahui, dapat direpresentasikan sebagai jumlah osilasi harmonik dengan frekuensi yang merupakan kelipatan frekuensi dasar w = 2*Pi/T. Karakteristik utama dari sinyal periodik kompleks adalah fungsi spektralnya, yang berisi informasi tentang amplitudo dan fase harmonik individu.
Sinyal deterministik non-periodik adalah sinyal deterministik apa pun yang kondisinya s(t)s(t+kT) terpenuhi.
Biasanya, sinyal non-periodik dibatasi waktunya. Contoh sinyal tersebut adalah pulsa yang telah disebutkan, semburan pulsa, “potongan” osilasi harmonik, dll. Sinyal non-periodik menjadi perhatian utama, karena sinyal tersebut terutama digunakan dalam praktik.
Karakteristik utama dari sinyal non-periodik, serta sinyal periodik, adalah fungsi spektralnya;
Sinyal acak mencakup sinyal yang nilainya tidak diketahui sebelumnya dan hanya dapat diprediksi dengan probabilitas tertentu kurang dari satu. Fungsi tersebut misalnya tegangan listrik yang berhubungan dengan ucapan, musik, urutan karakter kode telegraf saat mengirimkan teks yang tidak berulang. Sinyal acak juga mencakup urutan pulsa radio pada input penerima radar, ketika amplitudo pulsa dan fase pengisian frekuensi tinggi berfluktuasi karena perubahan kondisi propagasi, posisi target, dan beberapa alasan lainnya. Masih banyak contoh sinyal acak lainnya yang dapat diberikan. Intinya, sinyal apa pun yang membawa informasi harus dianggap acak. Terdaftar sinyal deterministik, “sepenuhnya diketahui” tidak lagi berisi informasi. Berikut ini, sinyal seperti itu sering disebut sebagai “osilasi”.
Pendekatan statistik digunakan untuk mengkarakterisasi dan menganalisis sinyal acak. Ciri-ciri utama sinyal acak adalah:
a) hukum distribusi probabilitas.
b) distribusi spektral kekuatan sinyal.
Berdasarkan karakteristik pertama, Anda dapat mengetahui waktu relatif nilai sinyal tetap berada dalam interval level tertentu, rasio nilai maksimum terhadap root mean square, dan sejumlah lainnya. parameter penting sinyal. Karakteristik kedua hanya memberikan distribusi frekuensi kekuatan sedang sinyal. Lagi Informasi rinci Mengenai masing-masing komponen spektrum - amplitudo dan fasenya - tidak memberikan karakteristik spektral dari proses acak.
Seiring dengan bermanfaat sinyal acak dalam teori dan praktik kita harus menghadapi gangguan acak - kebisingan. Seperti disebutkan di atas, tingkat kebisingan merupakan faktor utama yang membatasi kecepatan transmisi informasi untuk sinyal tertentu.
UNIVERSITAS NEGARA ST
FAKULTAS FISIKA
ARAH
"MATEMATIKA DAN FISIKA TERAPAN"
Metode penentuan
karakteristik spektral
sinyal listrik
Saint Petersburg
Perkenalan................................................. ....... ................................................... ............. ................................... 3
Bentuk nyata deret Fourier................................................ ........................................... ............ 3
Bentuk kompleks deret Fourier................................................ ........................................... ............ .. 4
Spektrum fungsi periodik................................................ ...................................................... ............ 5
Transformasi Fourier................................................. ... ............................................... ......... ............... 6
Sifat-sifat transformasi Fourier................................................ ............... ................................... ............... 7
Spektrum sinyal diskrit.................................................. ........................ ........................ ................................ ...... 9
Transformasi Fourier Diskrit................................................ ..... ................................................ 12
Penyebaran spektrum................................................. ..... ........................................ .......... ................... 14
Pengaturan dan pengukuran laboratorium................................................ ...................... ................... 15
Tugas.................................................. ................................................. ...... ................................... 17
Lampiran 1. Segmen gelombang sinus............................................ ...................................................... 18
Literatur................................................. ................................................. ...................................... 19
Perkenalan
Karya ini merupakan seri pertama Pekerjaan laboratorium di laboratorium pendidikan “Metode Pemrosesan dan Transmisi Informasi” (MOPI) Fakultas Fisika Universitas Negeri St. Laboratorium ini dilaksanakan pada tahun kedua dan mendukung mata kuliah "Dasar Fisik Metode Pemrosesan dan Transmisi Informasi". Pada saat kursus telah diselesaikan oleh siswa, laboratorium dimaksudkan untuk mengkonsolidasikan dan memperluas pengetahuan di bidang ini.
Gagasan tentang spektrum sinyal diperlukan untuk pengembangan perangkat transmisi informasi; digunakan untuk pengukuran tidak langsung besaran fisik lainnya, dan hanya untuk menghitung rangkaian listrik. Mengetahui spektrum suatu sinyal memungkinkan kita untuk lebih memahami sifatnya, dan bukan suatu kebetulan bahwa siklus pekerjaan laboratorium dimulai dengan pekerjaan ini.
Pekerjaan ini akan bersifat komputasi dan eksperimental. Bagian eksperimental dari karya ini mengandung elemen inovatif yang penting - penggunaan pemrosesan sinyal digital, yang didigitalkan menggunakan sistem akuisisi data. Selain itu, seluruh bagian komputasi pekerjaan, serta pemrosesan hasil eksperimen, dilakukan berdasarkan paket matematika modern MATLAB dan perpustakaan tambahannya - Kotak Alat Pemrosesan Sinyal. Kemampuan yang melekat pada pemodelan matematika dari berbagai jenis sinyal dan pemrosesan data digunakan.
Diasumsikan bahwa pembaca sudah familiar dengan prosedur pengoperasian dasar paket ini. Program perhitungan dan berbagai tambahannya akan dimasukkan dalam Lampiran pekerjaan.
Bentuk nyata deret Fourier
Pertimbangkan fungsi periodik dengan periode sama dengan: 
, di mana bilangan bulat apa pun. Jika kondisi tertentu terpenuhi, fungsi ini dapat direpresentasikan sebagai jumlah, berhingga atau tak terhingga, dari fungsi harmonik berbentuk 
, periodenya bertepatan dengan periode fungsi aslinya, di mana https://pandia.ru/text/78/330/images/image007_33.gif" width="19 height=24" height="24"> adalah sebuah konstanta..gif" width="15" height="17 src=">. Jadi, kita akan menyelesaikan masalah perluasan fungsi periodik menjadi deret trigonometri:
(1)
Suku terpisah dari jumlah ini https://pandia.ru/text/78/330/images/image011_19.gif" width="28" height="23">. Tugas kita adalah memilih koefisien tersebut dan untuk deret mana ( 1) akan menyatu ke fungsi yang diberikan https://pandia.ru/text/78/330/images/image013_18.gif" width="301 height=53" height="53"> (2)
di mana koefisien baru dinyatakan sebagai https://pandia.ru/text/78/330/images/image015_16.gif" width="105" height="24 src=">.gif" width="273" height= "117 "> (3)
Dapat dibuktikan bahwa deret trigonometri konvergen seragam pada fungsi https://pandia.ru/text/78/330/images/image019_13.gif" width="48 height=53" height="53">.gif " width= "28" height="23 src="> dapat didekati dengan akurasi tertentu dengan orde polinomial trigonometri N, yaitu sejumlah suku yang terbatas.
Bentuk kompleks deret Fourier
Bentuk kompleks deret trigonometri lainnya diperoleh dengan menuliskan sinus dan cosinus pada (2) dalam bentuk eksponensial kompleks:
(4)
Koefisien bentuk nyata dan kompleks dihubungkan satu sama lain melalui hubungan berikut:
(5)
Dengan menggunakan rumus (5), dari (3) kita memperoleh ekspresi koefisien bentuk kompleks deret trigonometri. Koefisien ini dapat ditulis untuk bilangan berapa pun k dengan cara berikut
(6)
Suatu deret trigonometri dalam bentuk kompleks konvergen seragam terhadap fungsinya jika deret tersebut dan konvergen. Ini akan dilakukan jika fungsi aslinya memenuhi kondisi Dirichlet.
Spektrum fungsi periodik
Mari kita perkenalkan konsep spektrum fungsi periodik. Hal ini didasarkan pada kemungkinan merepresentasikan sinyal baik dalam bentuk deret Fourier nyata (1) atau dalam bentuk deret kompleks (4). Ini berarti bahwa koefisien riil dan , atau koefisien kompleks membawa informasi lengkap tentang periodik dengan periode yang diketahui https://pandia.ru/text/78/330/images/image012_20.gif" width="21" height="24"> dan disebut spektrum sinyal sebenarnya.. gif" lebar="69" tinggi="41 src=">). Oleh karena itu, himpunan tersebut disebut spektrum amplitudo..gif" width="20" height="24">. Berbeda dengan spektrum nyata, spektrum kompleks didefinisikan untuk frekuensi positif dan negatif. Di bawah ini kami akan menunjukkan bahwa besaran koefisien ini menentukan amplitudo harmonik dan oleh karena itu dapat disebut spektrum amplitudo, dan argumen (spektrum fase) menentukan fase awal harmonik..gif" width="61 height=29" height="29">. Dari hubungan ini muncul sifat paritas untuk spektrum kompleks amplitudo dan keanehan untuk spektrum fase.
Mari kita lihat bagaimana spektrum nyata dan kompleks saling berhubungan. Mari kita tuliskan deret (4) dalam bentuk
Suku-suku yang mempunyai bilangan negatif dapat dinyatakan dalam suku-suku yang mempunyai bilangan positif, karena 
. Maka hanya jumlah dengan bilangan positif yang tersisa
Setelah menjumlahkan eksponen dengan angka yang sama https://pandia.ru/text/78/330/images/image035_4.gif" width="237" height="53"> (9)
Membandingkan deret (1) dan (9), kita memperoleh hubungan yang diinginkan antara spektrum nyata dan spektrum kompleks: dan .
Karena spektrum sinyal periodik terdiri dari harmonik individual, maka disebut diskrit atau garis. Frekuensi harmonik berbanding terbalik dengan periodenya dianggap periodik, tetapi dengan periode yang sangat besar. Setelah melakukan transisi batas dari periode sinyal yang terbatas ke periode sinyal yang sangat besar dalam rumus (6) dan (4), kita memperoleh. rumus transformasi Fourier langsung:
(10)
dan sebaliknya:
(11)
Fungsi https://pandia.ru/text/78/330/images/image011_19.gif" width="28" height="23 src=">. Jadi, spektrum sinyal non-periodik adalah kontinu (sebaliknya ke spektrum garis sinyal periodik), itu didefinisikan sepanjang seluruh sumbu frekuensi.
Sifat-sifat transformasi Fourier
Mari kita perhatikan sifat dasar transformasi Fourier.
Linearitas. Pertimbangkan fungsi dan spektrumnya dan:
Maka spektrum kombinasi liniernya adalah:
Penundaan waktu..gif" lebar = "28" tinggi = "23 src = ">
(14)
Mari kita hitung spektrum sinyal pergeseran waktu: https://pandia.ru/text/78/330/images/image050_1.gif" width="59" height="21">, lalu
Kami menemukan bahwa sinyalnya tertunda untuk sementara waktu https://pandia.ru/text/78/330/images/image055_1.gif" width="41" height="25">.
Mengubah skala. Kami percaya bahwa spektrumnya diketahui https://pandia.ru/text/78/330/images/image011_19.gif" width="28" height="23 src=">.gif" width="36" height= "23 ">. Kami memperkenalkan variabel baru, membuat penggantinya variabel integrasi https://pandia.ru/text/78/330/images/image059_1.gif" width="312" height="61"> (16)
Perkalian dengan sinyal https://pandia.ru/text/78/330/images/image041_3.gif" width="40 height=23" height="23">. Mari kita cari spektrum sinyal ini dikalikan dengan .
Jadi, mengalikan sinyal dengan https://pandia.ru/text/78/330/images/image062_1.gif" width="23" height="24">.
Spektrum turunan. Dalam hal ini, poin kuncinya adalah keterintegrasian absolut dari fungsi tersebut. Dari kenyataan bahwa integral modulus suatu fungsi harus dibatasi, maka pada tak terhingga fungsi tersebut harus cenderung nol. Integral turunan suatu fungsi diambil sebagian, suku-suku non-integral yang dihasilkan sama dengan nol, karena fungsinya cenderung nol pada tak terhingga.
(18)
Spektrum integral. Mari kita cari spektrum sinyal https://pandia.ru/text/78/330/images/image065_1.gif" width="81" height="57">, yaitu sinyal tidak memiliki komponen konstan Persyaratan ini diperlukan agar suku-suku non-integral sama dengan nol ketika integral diambil sebagian.
(19)
Teorema konvolusi. Diketahui bahwa https://pandia.ru/text/78/330/images/image067_1.gif" width="37" height="23 src="> spektrum fungsi dan https://pandia.ru/text /78 /330/images/image069_1.gif" width="153" height="57"> hingga dan . Untuk melakukan ini, pada integral Fourier konvolusi salah satu fungsi, kita akan menggantinya dengan variabel , kemudian di eksponen kita dapat melakukan penggantian https://pandia.ru/text/78/330/images/ gambar072_1.gif" lebar="449" tinggi=" 181">(20)
Transformasi Fourier dari konvolusi dua sinyal menghasilkan produk spektrum sinyal-sinyal ini.
Menghasilkan sinyal. Diketahui bahwa https://pandia.ru/text/78/330/images/image067_1.gif" width="37" height="23 src="> - spektrum fungsi dan https://pandia.ru/ teks/ 78/330/images/image073_1.gif" width="53" height="23"> melalui spektrum dan ..gif" width="409" height="123"> (21)
Spektrum produk sinyal adalah konvolusi spektrum sinyal-sinyal ini.
Spektrum sinyal diskrit
Perhatian khusus Sinyal diskrit perlu diperhatikan, karena sinyal inilah yang digunakan dalam pemrosesan digital. Sinyal diskrit berbeda dengan kontinu, ini adalah urutan angka yang sesuai dengan nilai sinyal kontinu pada titik waktu tertentu. Secara konvensional, sinyal diskrit dapat dianggap sebagai sinyal kontinu, yang pada waktu tertentu mengambil beberapa nilai, dan sisa waktunya adalah nol..gif" width="28" height="23"> menjadi rangkaian periodik pulsa persegi panjang berulang - pulsa waktu (Gbr. 1).
https://pandia.ru/text/78/330/images/image078_1.gif" width="87" height="24"> (22)
Pulsa berbentuk persegi panjang memiliki durasi https://pandia.ru/text/78/330/images/image079_1.gif" width="19 height=24" height="24">:
(23)
Amplitudo pulsa dipilih sehingga integral pulsa selama periode tersebut sama dengan . Dalam hal ini, pulsa waktunya tidak berdimensi. Mari kita kembangkan barisan impuls tersebut menjadi deret trigonometri:
(24)
Untuk mendapatkan sampel sinyal instan https://pandia.ru/text/78/330/images/image082_1.gif" width="44" height="19">. Kami akan menyebut sinyal waktu seperti itu ideal. Dalam hal ini dalam hal ini, koefisien muai dalam deret Fourier semuanya akan sama dengan 1.
(25)
Perluasan fungsi deret Fourier mempunyai bentuk yang persis sama:
(26)
Koefisien ekspansi ke dalam deret trigonometri sinyal waktu:
(27)
Maka sinyal diskritnya akan terlihat seperti:
Saat menghitung transformasi Fourier dari sinyal diskrit, kami menukar operasi penjumlahan dan integrasi, dan kemudian menggunakan properti δ -fungsi:
Spektrum sinyal diskrit adalah fungsi periodik. Mari kita pertimbangkan eksponensial dalam suku individual sebagai fungsi dari frekuensi..gif" width="45" height="19">, dan ini, karenanya, akan menjadi periode pengulangan seluruh spektrum. Yaitu spektrum sinyal diskrit memiliki periode pengulangan yang sama dengan frekuensi kuantisasi 
.
Mari kita cari ide lain. Karena merupakan produk fungsi dan , spektrum sinyal diskrit dihitung sebagai konvolusi spektrum sinyal kontinu https://pandia.ru/text/78/330/images/image094_1.gif " lebar="37" tinggi="23"> .
(30)
Mari kita hitung menggunakan (25). Karena fungsinya periodik, spektrumnya bersifat diskrit.
Jadi, konvolusi (30)
https://pandia.ru/text/78/330/images/image099_1.gif" width="39" height="23 src=">.
Fakta bahwa perubahan kualitatif terjadi pada spektrum sinyal sebagai hasil pengambilan sampel menunjukkan bahwa sinyal asli dapat terdistorsi, karena sinyal tersebut sepenuhnya ditentukan oleh spektrumnya. Namun, di sisi lain, pengulangan periodik dari spektrum yang sama dengan sendirinya tidak membawa sesuatu yang baru ke dalam spektrum, oleh karena itu, dalam kondisi tertentu, dengan mengetahui nilai sinyal pada titik waktu tertentu, seseorang dapat menemukan nilainya. sinyal ini diambil pada titik waktu lain, yaitu memperoleh sinyal kontinu asli. Inilah yang dimaksud dengan teorema Kotelnikov yang memberikan syarat pada pemilihan frekuensi kuantisasi sesuai dengan frekuensi maksimum dalam spektrum sinyal.
Jika kondisi ini dilanggar, maka setelah sinyal didigitalkan, spektrum yang berulang secara berkala akan ditumpangkan (Gbr. 2). Spektrum yang dihasilkan akan sesuai dengan sinyal yang berbeda.
Beras. 2. Spektral tumpang tindih.
Transformasi Fourier Diskrit
Pada bagian sebelumnya dikatakan bahwa jika kondisi teorema Kotelnikov terpenuhi, sampel sinyal diskrit menyimpan semua informasi tentang sinyal kontinu asli, dan juga tentang spektrumnya. Oleh karena itu, spektrum suatu sinyal juga dapat ditemukan dari sampel diskritnya, yang memberikan banyak peluang untuk menganalisis sinyal dalam pemrosesan digital. Telah ditunjukkan sebelumnya bahwa spektrum sinyal periodik bersifat diskrit, yaitu sinyal dapat diuraikan menjadi harmonik tertentu. Sinyal diskrit memiliki spektrum periodik. Sinyal periodik diskrit akan mempunyai spektrum periodik diskrit. Sinyal diskrit direpresentasikan sebagai urutan nilai sinyal pada waktu yang tetap ..gif" width="19" height="19 src=">, yaitu, untuk apa pun, hal itu dilakukan. Biasanya, transformasi Fourier diskrit dari sinyal yang ditentukan oleh sampel dalam bentuk vektor elemen, dihitung dengan rumus:
(33)
Transformasi invers Fourier menggunakan rumus:
(34)
Membandingkan (33) dengan (4) kita peroleh, bahwa amplitudo kompleks harmonik dengan angka https://pandia.ru/text/78/330/images/image110_1.gif" width="69" height="43 src="> dan sesuai dengan frekuensi 
atau, yang mana sama 
, di mana frekuensi kuantisasi dalam hertz: https://pandia.ru/text/78/330/images/image114_0.gif" width="53" height="41 src="> adalah periode kuantisasi, periode dianggap sama dengan durasi sinyal fragmen yang direkam.
Di MATLAB, transformasi Fourier diskrit dilakukan menggunakan perintah fft (Fast Fourier Transform), yang melakukan perhitungan menggunakan algoritma transformasi cepat khusus. Sintaks perintah:
y = fft(x, n, redup)
x – vektor dengan sampel sinyal;
y – vektor dengan hasil transformasi ;
n adalah parameter opsional yang menentukan jumlah sampel sinyal yang digunakan untuk melakukan konversi. Dalam hal ini, vektor y akan terdiri dari n elemen;
dim – parameter opsional yang menentukan jumlah dimensi sepanjang transformasi dilakukan. Digunakan ketika variabel x berisi beberapa sinyal, masing-masing dalam satu kolom atau baris, seperti yang ditunjukkan oleh variabel redup.
Perintah yang digunakan untuk melakukan konversi terbalik memiliki antarmuka serupa:
x = ifft(n, n, redup)
Perintah fft mengembalikan larik yang amplitudo harmoniknya sesuai dengan frekuensi harmonik dalam rentang https://pandia.ru/text/78/330/images/image117_0.gif" width="80" height="48 src=" >, lebih familiar untuk persepsi. Secara umum, jika semua nilai vektor x adalah nyata, yang khas untuk setiap kuantitas fisik yang diukur, maka, seperti yang ditunjukkan di atas (9), hanya harmonik dalam rentang frekuensi https:/ /pandia.ru/text/78/330 signifikan. /images/image104_1.gif" width="20" height="24 src="> – ini tepat satu periode sinyal. Artinya, dalam hal ini, segmen rekaman sinyal periodik harus dilanjutkan secara berkala, dan periode pengulangan harus menjadi durasi seluruh rekaman sinyal. Jika durasi perekaman berbeda dengan periode sinyal yang direkam, maka bila sinyal direkam secara berkala, bentuk sinyal akan terdistorsi, dan spektrumnya pun akan terdistorsi.
Misalnya, sinyal sinusoidal dengan periode direkam, dan durasi perekaman sama dengan , dan , dimana merupakan bilangan bulat. Kemudian, bila perekaman sinyal diulang secara berkala (Gbr. 3), akan muncul diskontinuitas jenis pertama, karena nilai sinyal pada awal dan akhir perekaman berbeda.
https://pandia.ru/text/78/330/images/image054_1.gif" width="13" height="15">. Segmen sinyal yang direkam juga dapat diartikan sebagai sinyal asli yang dikonvolusi dengan persegi panjang pulsa, menentukan periode waktu, di mana rekaman dibuat. Kemudian, sesuai dengan sifat-sifat transformasi Fourier, spektrum sinyal yang direkam akan menjadi produk dari spektrum asli dengan spektrum pulsa persegi panjang (Gbr. 2). 4).
https://pandia.ru/text/78/330/images/image123.jpg" width="562" height="229 src=">
Beras. 5. Instalasi laboratorium.
Pertimbangkan setiap blok diagram ini secara lebih rinci.
1. Sumber sinyal model analog adalah Model Signal Generator. Perangkat berikut dapat digunakan (sesuai pilihan guru):
· Generator sinyal laboratorium standar dalam berbagai bentuk (pulsa sinus dan persegi);
· Generator digital dirakit pada konverter digital-ke-analog (DAC) perangkat L-Card ;
· Menggunakan MATLAB, sinyal dapat diputar ulang pada kartu suara komputer.
Dengan menggunakan MATLAB, dimungkinkan untuk mereproduksi sinyal dari hampir semua bentuk, yang spektrumnya berada dalam rentang audio; kemungkinannya hanya dibatasi oleh karakteristik kartu suara, yaitu frekuensi kuantisasi, respons frekuensi, dan tegangan maksimum yang mungkin nilai. Kartu suara yang dirancang terutama untuk reproduksi suara memiliki respons frekuensi, memungkinkan Anda mereproduksi sinyal dalam rentang frekuensi dari sekitar 100Hz hingga 20kHz. Batasan ini ditentukan oleh perangkat internal kartu suara, biasanya filter digunakan di sana untuk membatasi spektrum sinyal dalam rentang ini. Fitur lain dari kartu suara adalah sebagian besar hanya dapat bekerja pada frekuensi kuantisasi tertentu: 8000Hz, 11025Hz, 22050Hz, dan 44100Hz. Tegangan keluaran untuk berbeda kartu suara mungkin berbeda-beda, tetapi biasanya nilai maksimum yang mungkin adalah sekitar 1V. Keuntungan kartu suara:
Hampir setiap komputer memilikinya;
Didukung oleh banyak program, termasuk MATLAB dan Simulink.
Kekurangan:
Spesifikasi mungkin sangat bervariasi untuk papan yang berbeda;
Bagaimana alat pengukur mereka tidak memiliki kelas akurasi;
Kurangnya sirkuit proteksi internal (isolasi galvanik atau optik), yang dapat menyebabkan kegagalan.
2. Sinyal analog yang diambil dari keluaran salah satu generator yang tercantum di atas dipantau secara visual pada layar osiloskop sinar katoda. Kontrol tersebut diperlukan untuk mengamati bentuk sinyal yang dihasilkan dan mengatur parameternya - amplitudo, durasi, periode pengulangan, dll.
3. Elemen berikutnya dari pengaturan eksperimental adalah low-pass filter (LPF). Ini adalah perangkat analog yang biasa digunakan di sirkuit tersebut. Tujuannya adalah untuk membatasi spektrum sinyal yang dipelajari dari atas agar memenuhi kondisi teorema Kotelnikov. Frekuensi kuantisasi maksimum L-Card adalah 125 kHz, maka dari teorema Kotelnikov, untuk memulihkan sinyal tanpa distorsi, spektrum sinyal tidak boleh melebihi Fgr:
Seperti yang diinstruksikan oleh guru, Anda harus menyolder filter low-pass sederhana. Diagramnya ditunjukkan pada Gambar. 6.
https://pandia.ru/text/78/330/images/image126_0.gif" width="85" height="41"> (36)
4. Konverter analog-ke-digital (ADC) - perangkat untuk mengkonversi sinyal analog menjadi implementasi digital yang dapat diproses di komputer. Di laboratorium kami, kami menggunakan ADC dari L-Card tipe L-761 dan L-783, yang terletak langsung di Unit sistem komputer.
Tugas
1. Menghitung secara analitis fungsi spektral sinyal periodik berbentuk sederhana yang diberikan oleh guru (pulsa video persegi panjang, pulsa segitiga, pulsa eksponensial, dll). Plot grafik amplitudo dan spektrum fase sinyal-sinyal ini.
2. Lakukan analisis Fourier terhadap sinyal yang terdaftar di MATLAB menggunakan Fast Fourier Transform (FFT). Buatlah grafik amplitudo dan spektrum fase yang sesuai di wilayah frekuensi positif dan negatif (menggunakan fungsi fft, fftshift, batang, setelah sebelumnya melihatnya di dokumentasi). Amplitudo harmonik dan frekuensinya pada grafik harus sesuai dengan nilainya pada sinyal yang diberikan. Berikan perhatian khusus pada pengaruh rasio durasi pulsa dan waktu perekaman sinyal terhadap spektrum sinyal, jelaskan hasilnya. Untuk setiap jenis sinyal dalam koordinat yang sama, buatlah grafik spektrum amplitudo yang ditemukan secara analitis (tugas 1) dan dihitung secara numerik.
3. Dengan menggunakan perintah FFT, cari dan bandingkan spektrum segmen sinusoidal yang terdiri dari bilangan periode bilangan bulat dan bukan bilangan bulat.
4. Melakukan analisis spektral pada segmen sinusoidal yang terdiri dari beberapa periode. Amati bagaimana spektrum berubah tergantung pada jumlah periode.
5. Dengan menggunakan osiloskop digital L-Graph, amati distorsi sinyal akibat pelanggaran teorema Kotelnikov. Untuk melakukan ini, sambungkan generator sinyal harmonik analog ke L-Card, atur frekuensi kuantisasi, misalnya, 20 kHz, dan, dengan lancar mengubah frekuensi generator dalam kisaran dari 1 kHz hingga 20 kHz, amati frekuensi digitalnya. sinyal, jelaskan efek yang diamati.
6. Atur frekuensi kuantisasi menjadi 100 kHz, frekuensi generator sinyal harmonik menjadi 10 kHz, dan amplitudo menjadi 1V. Rekam segmen sinyal harmonik dengan durasi 0,01 s dan buat spektrum amplitudonya di MATLAB. Dalam hal ini frekuensi dan amplitudo pada grafik harus sesuai dengan yang sebenarnya ada.
7. Dengan menggunakan hasil yang diperoleh pada tugas pertama, perkirakan impuls persegi panjang dengan sejumlah suku berhingga dari deret trigonometri. Bandingkan pada satu grafik pulsa asli dan pulsa yang didekati oleh dua harmonik pertama dan sepuluh harmonik pertama.
Lampiran 1. Segmen gelombang sinus
Untuk menyelesaikan salah satu tugas, Anda perlu menulis program untuk menghitung spektrum sinusoida. Di bawah ini adalah contoh program tersebut. Pada awal program, parameter ditentukan yang menentukan durasi sinyal dalam periode dan jumlah periode. Dengan mengubah parameter ini Anda bisa mendapatkan berbagai pilihan segmen sinusoidal.
jelas, clc, tutup semua
f0 = 1000; % frekuensi sinus
N1 = 20; % durasi seluruh sesi dalam beberapa periode
N2 = 10; % jumlah sampel per periode
N3 = 2; % jumlah periode
N = N1*N2; % jumlah sampel di seluruh catatan
fs = f0*N2; % frekuensi kuantisasi
% membuat sinyal
t = (0:(N-1))/fs; % waktu
x(1:N2*N3) = dosa(2*pi*(0:(N2*N3-1))/N2);
% menghitung spektrum
X = fftshift(abs(fft(x))/N);
f = (langit-langit(N/2)-N:langit-langit(N/2)-1)*fs/N;
subplot(2,1,1), plot(t, x,"k"), xlabel("t, с"), ylabel("x(t)")
subplot(2,1,2), batang(f, X,"k."), xlabel("f, Hz"), ylabel("|X|")
literatur
1. Integral Budylin dan Fourier. Universitas Negeri St. 2002.
2., transformasi Romadanov di MATLAB. SPb. 2007
3. Smirnov matematika tingkat tinggi (vol.
Bentuk karakteristik amplitudo-frekuensi tidak lebih dari gambaran spektral suatu teredam sinusoidal sinyal. Selain itu, seperti diketahui, karakteristik transmisi frekuensi amplitudo listrik tunggal rangkaian osilasi.
Hubungan antara bentuk respons amplitudo-frekuensi perangkat tertentu dan sifat sinyal dipelajari dalam dasar-dasar teknik elektro teoretis dan teknik radio teoretis. Secara singkat, yang menarik perhatian kita sekarang adalah sebagai berikut.
Karakteristik frekuensi amplitudo dari rangkaian osilasi bertepatan secara garis besar dengan gambar spektrum frekuensi sinyal yang terjadi ketika rangkaian osilasi ini tereksitasi oleh guncangan. Untuk mengilustrasikan hal ini, Gambar 1-3 ditunjukkan, yang menunjukkan sinusoida teredam yang terjadi ketika tumbukan diterapkan pada rangkaian osilasi. Sinyal ini diberikan tepat waktu HAI M ( A) dan spektral ( B) gambar.
Beras. 1-3
Menurut cabang matematika yang disebut transformasi spektral-temporal, gambaran spektral dan temporal dari proses yang bervariasi terhadap waktu yang sama adalah sinonim, setara dan identik satu sama lain. Hal ini dapat dibandingkan dengan menerjemahkan konsep yang sama dari satu bahasa ke bahasa lain. Siapa pun yang akrab dengan cabang matematika ini akan mengatakan bahwa Gambar 1-3 A dan 1-3 B setara satu sama lain. Selain itu, gambaran spektral dari sinyal ini yang diperoleh selama eksitasi kejut dari sistem osilasi (rangkaian osilasi) pada saat yang sama secara geometris mirip dengan karakteristik frekuensi amplitudo dari rangkaian ini.
Sangat mudah untuk melihat bahwa grafik ( B) pada Gambar 1-3 secara geometris mirip dengan grafik 3 pada Gambar 1-1. Artinya, setelah dilihat bahwa dari hasil pengukuran diperoleh grafik 3 , saya segera memperlakukannya tidak hanya sebagai karakteristik frekuensi amplitudo dari redaman suara pada batuan atap, tetapi juga sebagai bukti adanya sistem osilasi pada massa batuan.
Di satu sisi, keberadaan sistem osilasi pada batuan yang terletak di atap tambang bawah tanah tidak menimbulkan pertanyaan bagi saya, karena tidak mungkin memperoleh sinyal sinusoidal (atau, dengan kata lain, harmonik) dengan cara lain. Di sisi lain, saya belum pernah mendengar adanya sistem osilasi di lapisan bumi.
Untuk memulainya, mari kita mengingat kembali definisi sistem osilasi. Sistem osilasi adalah suatu benda yang merespon efek guncangan (denyut) dengan sinyal harmonik yang teredam. Atau dengan kata lain suatu benda yang mempunyai mekanisme untuk mengubah suatu impuls (benturan) menjadi gelombang sinus.
Parameter sinyal sinusoidal teredam adalah frekuensi f 0 dan faktor kualitas Q , yang nilainya berbanding terbalik dengan koefisien atenuasi. Seperti dapat dilihat dari Gambar 1-3, kedua parameter ini dapat ditentukan baik dari waktu maupun gambar spektral sinyal ini.
Transformasi spektral-temporal adalah cabang matematika yang independen, dan salah satu kesimpulan yang harus kita tarik dari pengetahuan bagian ini, serta dari bentuk karakteristik frekuensi amplitudo dari konduktivitas suara suatu massa batuan, ditunjukkan pada Gambar .1-1 (kurva 3), adalah sifat akustik massa batuan yang diteliti menunjukkan sifat sistem osilasi.
Kesimpulan ini sangat jelas bagi siapa pun yang akrab dengan transformasi spektral-temporal, namun jelas tidak dapat diterima bagi mereka yang secara profesional terlibat dalam akustik media padat, eksplorasi seismik, atau geofisika secara umum. Kebetulan materi ini tidak diberikan dalam perkuliahan untuk mahasiswa spesialisasi tersebut.
Sebagaimana diketahui, dalam eksplorasi seismik secara umum diterima bahwa satu-satunya mekanisme yang menentukan bentuk sinyal seismik adalah perambatan medan getaran elastis menurut hukum optik geometris, pantulannya dari batas-batas yang terletak pada ketebalan bumi. dan interferensi antara masing-masing komponen sinyal. Bentuk sinyal seismik diyakini ditentukan oleh sifat interferensi antara banyak sinyal gema kecil, yaitu pantulan dari banyak batas kecil yang terletak di pegunungan. Selain itu, diyakini bahwa dengan menggunakan interferensi, sinyal dalam bentuk apa pun dapat diperoleh.
Ya, ini semua benar, namun faktanya adalah bahwa sinyal harmonik (termasuk harmonik teredam) merupakan pengecualian. Tidak mungkin memperolehnya melalui campur tangan.
Gelombang sinus adalah batu informasi dasar yang tidak dapat diuraikan menjadi komponen-komponen yang lebih sederhana, karena tidak ada sinyal yang lebih sederhana daripada gelombang sinus di alam. Oleh karena itu, deret Fourier adalah himpunan suku-suku sinusoidal. Menjadi elemen informasi dasar yang tidak dapat dibagi, sinusoidal tidak dapat diperoleh dengan penambahan (interferensi) komponen lain, bahkan komponen yang lebih sederhana.
Sinyal harmonik dapat diperoleh dengan satu cara, yaitu dengan mempengaruhi sistem osilasi. Dengan efek kejutan (denyut) pada sistem osilasi, muncul sinusoid teredam, dan dengan paparan periodik atau kebisingan, sinusoid tidak teredam muncul. Oleh karena itu, setelah melihat bahwa karakteristik amplitudo-frekuensi suatu benda tertentu secara geometris mirip dengan gambaran spektral sinyal teredam harmonik, tidak mungkin lagi memperlakukan benda ini sebagai sesuatu selain sistem osilasi.
Sebelum melakukan pengukuran pertama saya di tambang, saya, seperti semua orang yang bekerja di bidang akustik media padat dan eksplorasi seismik, yakin bahwa tidak ada dan tidak mungkin ada sistem osilasi dalam massa batuan. Namun, setelah menemukan karakteristik atenuasi frekuensi amplitudo, saya tidak lagi berhak untuk tetap berpegang pada pendapat ini.
Melakukan pengukuran seperti yang dijelaskan di atas sangat memakan waktu, dan memproses hasil pengukuran tersebut membutuhkan banyak waktu. Oleh karena itu, setelah melihat bahwa sifat konduktivitas suara suatu batuan padat adalah sistem osilasi, saya menyadari bahwa saya harus menggunakan skema pengukuran yang berbeda, yang digunakan dalam studi sistem osilasi, dan yang masih kita gunakan hingga hari ini. Menurut skema ini, sumber sinyal bunyi adalah dampak berdenyut (guncangan) pada massa batuan, dan penerimanya adalah penerima seismik, yang dirancang khusus untuk melakukan pengukuran seismik spektral. Indikasi sinyal seismik dan rangkaian pemrosesan memungkinkannya diamati baik dalam waktu maupun dalam bentuk spektral.
Setelah menerapkan skema pengukuran ini pada titik yang sama dalam penggalian bawah tanah seperti pada pengukuran pertama kami, kami yakin bahwa ketika tumbukan diterapkan pada massa batuan atap, sinyal yang muncul dalam kasus ini sebenarnya berbentuk sinusoid teredam, serupa seperti yang ditunjukkan pada Gambar 1 -3 A, dan gambar spektralnya mirip dengan grafik yang ditunjukkan pada Gambar 1-3 B.
Seringkali sinyal seismik mengandung tidak hanya satu, tetapi beberapa komponen harmonik. Namun, tidak peduli berapa banyak komponen harmonik yang ada, semuanya muncul semata-mata karena adanya sejumlah sistem osilasi yang sesuai.
Studi berulang tentang sinyal seismik yang diperoleh dalam berbagai kondisi - baik dalam pekerjaan bawah tanah, dan di permukaan bumi, dan dalam kondisi penutup sedimen, dan dalam studi batuan dasar kristal - menunjukkan bahwa di semua kasus yang mungkin terjadi sinyal yang diperoleh bukan sebagai akibat dari adanya sistem osilasi, tetapi sebagai akibat dari proses interferensi, tidak ada.
Gambar Fourier - koefisien kompleks dari deret Fourier F(J w k) sinyal periodik (1) dan kepadatan spektral F(J w) sinyal non-periodik (2) - memiliki sejumlah properti umum.
1. Linearitas . Integral (1) Dan (2) bawa transformasi linier fungsi F(T). Oleh karena itu, gambaran Fourier dari kombinasi fungsi linier sama dengan kombinasi linier serupa dari gambarnya. Jika F(T) = A 1 F 1 (T) + A 2 F 2 (T), Itu F(J w) = A 1 F 1 (J w) + A 2 F 2 (J w), dimana F 1 (J w) dan F 2 (J w) - Gambar sinyal Fourier F 1 (T) Dan F 2 (T), masing-masing.
2. Menunda (mengubah asal waktu untuk fungsi periodik) . Pertimbangkan sinyalnya F 2 (T), ditahan untuk sementara waktu T 0 relatif terhadap sinyal F 1 (T), mempunyai bentuk yang sama: F 2 (T) = F 1 (T – T 0). Jika sinyalnya F 1 punya gambar F 1 (J w), maka gambaran Fourier dari sinyal tersebut F 2 sama F 2 (J w) = = . Mengalikan dan membagi dengan , kita mengelompokkan suku-sukunya sebagai berikut:
Karena integral terakhir sama dengan F 1 (J w), lalu F 2 (J w) = e -J w T 0 F 1 (J w) . Jadi, ketika sinyal tertunda untuk sementara waktu T 0 (mengubah asal waktu), modul kerapatan spektralnya tidak berubah, dan argumennya berkurang sebesar nilai w T 0, sebanding dengan waktu tunda. Oleh karena itu, amplitudo spektrum sinyal tidak bergantung pada titik referensi, dan fase awal ketika tertunda T 0 berkurang sebesar w T 0 .
3. Simetri . Nyata F(T) gambar F(J w) memiliki simetri konjugasi: F(– J w) = . Jika F(T) adalah fungsi genap, maka Im F(J w) = 0; untuk fungsi ganjil Re F(J w) = 0. Modul | F(J w)| dan bagian nyata dari Re F(J w) - fungsi frekuensi genap, argumen argumen F(J w) dan saya F(J w) - aneh.
4. Diferensiasi . Dari rumus transformasi langsung, dengan mengintegrasikan bagian-bagiannya, kita memperoleh hubungan antara gambar turunan sinyal F(T) dengan gambar sinyal itu sendiri
Untuk fungsi yang benar-benar dapat diintegrasikan F(T) suku non-integral sama dengan nol, dan oleh karena itu, untuk , dan integral terakhir mewakili gambar Fourier dari sinyal asli F(J w) . Oleh karena itu, gambaran Fourier merupakan turunan df/dt terkait dengan gambaran sinyal itu sendiri melalui relasi J w F(J w) - saat membedakan sinyal, gambar Fouriernya dikalikan dengan J w. Hubungan yang sama juga berlaku untuk koefisien F(J w k), yang ditentukan oleh integrasi dalam batas berhingga dari – T/2 hingga + T/2. Memang produknya dalam batas yang sesuai
Karena karena periodisitas fungsinya F(T/2) = F(– T/2), a = = = (– 1) k, maka dalam hal ini suku non-integralnya hilang, dan rumusnya valid
dimana panah secara simbolis menunjukkan operasi transformasi Fourier langsung. Hubungan ini digeneralisasikan menjadi diferensiasi berganda: untuk N turunan ke-yang kita punya: d n f/dt n (J w) n F(J w).
Rumus yang dihasilkan memungkinkan kita menemukan gambaran Fourier dari turunan suatu fungsi dari spektrumnya yang diketahui. Rumus ini juga mudah digunakan dalam kasus di mana, sebagai hasil diferensiasi, kita sampai pada suatu fungsi yang gambaran Fouriernya dihitung dengan lebih sederhana. Jadi jika F(T) adalah fungsi linier sepotong-sepotong, lalu turunannya df/dt adalah konstanta sepotong-sepotong, dan integral transformasi langsungnya dapat dicari dengan mudah. Untuk memperoleh karakteristik spektral integral fungsi F(T) gambarnya harus dibagi menjadi J w.
5. Dualitas waktu dan frekuensi . Perbandingan integral transformasi Fourier langsung dan terbalik mengarah pada kesimpulan tentang simetri khasnya, yang menjadi lebih jelas jika rumus transformasi terbalik ditulis ulang dengan memindahkan faktor 2p ke sisi kiri persamaan:
Untuk sinyal F(T), yang merupakan fungsi genap waktu F(– T) = F(T), ketika kepadatan spektral F(J w) - kuantitas nyata F(J w) = F(w), kedua integral dapat ditulis ulang dalam bentuk trigonometri transformasi kosinus Fourier:
Dengan saling menggantikan T dan w integral transformasi langsung dan terbalik saling bertransformasi. Oleh karena itu jika F(w) mewakili kerapatan spektral fungsi waktu yang genap F(T), maka fungsinya 2p F(w) adalah kerapatan spektral sinyal F(T). Untuk fungsi ganjil F(T) [F(T) = – F(T)] kepadatan spektral F(J w) murni imajiner [ F(J w) = jF(w)]. Dalam hal ini, integral Fourier direduksi menjadi bentuk transformasi sinus, yang berarti kerapatan spektral jF(w) sesuai dengan fungsi ganjil F(T), lalu nilainya J 2p F(w) mewakili kerapatan spektral sinyal F(T). Dengan demikian, grafik ketergantungan waktu dari sinyal kelas ini dan kerapatan spektralnya bersifat ganda satu sama lain.
Integral (1)
Integral (2)
Dalam teknik radio, representasi sinyal spektral dan temporal banyak digunakan. Meskipun sinyal pada dasarnya adalah proses acak, implementasi individual dari proses acak dan beberapa sinyal khusus (misalnya, pengukuran) dapat dianggap sebagai fungsi deterministik (yaitu, diketahui). Yang terakhir ini biasanya dibagi menjadi periodik dan non-periodik, meskipun tidak ada sinyal yang benar-benar periodik. Suatu sinyal disebut periodik jika memenuhi kondisi
pada selang waktu, di mana T adalah nilai konstan yang disebut periode, dan k adalah bilangan bulat apa pun.
Contoh paling sederhana dari sinyal periodik adalah osilasi harmonik (atau disingkat harmonik).
dimana adalah amplitudo, = frekuensi, adalah frekuensi melingkar, adalah fase awal harmonik.
Pentingnya konsep harmonik bagi teori dan praktik teknik radio dijelaskan oleh beberapa alasan:
- sinyal harmonik mempertahankan bentuk dan frekuensinya ketika melewati linier stasioner rangkaian listrik(misalnya, filter), hanya mengubah amplitudo dan fase;
- sinyal harmonik dihasilkan dengan cukup sederhana (misalnya, menggunakan osilator mandiri LC).
Sinyal non-periodik adalah sinyal yang bukan nol dalam selang waktu tertentu. Sinyal non-periodik dapat dianggap periodik, tetapi dengan periode yang sangat lama. Salah satu karakteristik utama sinyal non-periodik adalah spektrumnya. Spektrum suatu sinyal merupakan fungsi yang menunjukkan ketergantungan intensitas berbagai harmonisa dalam sinyal terhadap frekuensi harmonisa tersebut. Spektrum sinyal periodik adalah ketergantungan koefisien deret Fourier pada frekuensi harmonisa yang sesuai dengan koefisien tersebut. Untuk sinyal non-periodik, spektrumnya adalah transformasi sinyal Fourier langsung. Jadi, spektrum sinyal periodik merupakan spektrum diskrit (fungsi frekuensi diskrit), sedangkan sinyal non-periodik dicirikan oleh spektrum spektrum kontinu (kontinu).
Mari kita perhatikan fakta bahwa spektrum diskrit dan spektrum kontinu memiliki dimensi yang berbeda. Spektrum diskrit mempunyai dimensi yang sama dengan sinyal, sedangkan dimensi spektrum kontinu sama dengan perbandingan dimensi sinyal terhadap dimensi frekuensi. Jika, misalnya, sinyal diwakili oleh tegangan listrik, maka spektrum diskrit akan diukur dalam volt [V], dan spektrum kontinu akan diukur dalam volt per hertz [V/Hz]. Oleh karena itu, istilah “kerapatan spektral” juga digunakan untuk spektrum kontinu.
Mari kita perhatikan representasi spektral sinyal periodik. Diketahui dari kursus matematika bahwa setiap fungsi periodik yang memenuhi kondisi Dirichlet (salah satu syarat yang diperlukan adalah energinya berhingga) dapat direpresentasikan oleh deret Fourier dalam bentuk trigonometri:
dimana menentukan nilai rata-rata sinyal selama periode tersebut dan disebut komponen konstan. Frekuensi tersebut disebut frekuensi dasar sinyal (frekuensi harmonik pertama), dan frekuensi gandanya disebut harmonik yang lebih tinggi. Ekspresi (3) dapat direpresentasikan sebagai:
Ketergantungan terbalik untuk koefisien a dan b berbentuk
Gambar 1 menunjukkan grafik tipikal spektrum amplitudo sinyal periodik untuk bentuk trigonometri deret (6):
Menggunakan ekspresi (rumus Euler).
alih-alih (6), kita dapat menulis bentuk kompleks deret Fourier:
dimana koefisiennya disebut amplitudo kompleks harmonik, yang nilainya, sebagai berikut dari (4) dan rumus Euler, ditentukan oleh ekspresi:
Membandingkan (6) dan (9), kami mencatat bahwa ketika menggunakan bentuk kompleks penulisan deret Fourier, nilai k negatif memungkinkan kita untuk berbicara tentang komponen dengan "frekuensi negatif". Namun, kemunculan frekuensi negatif bersifat formal dan dikaitkan dengan penggunaan notasi kompleks untuk merepresentasikan sinyal sebenarnya.
Maka alih-alih (9) kita mendapatkan:
memiliki dimensi [amplitudo/hertz] dan menunjukkan amplitudo sinyal per pita sebesar 1 Hertz. Oleh karena itu, fungsi kontinu frekuensi S(jw) disebut kerapatan spektral amplitudo kompleks atau sekadar kerapatan spektral. Mari kita perhatikan satu keadaan penting. Membandingkan ekspresi (10) dan (11), kita perhatikan bahwa ketika w=kwo keduanya berbeda hanya dengan faktor konstan, dan
itu. amplitudo kompleks suatu fungsi periodik dengan periode T dapat ditentukan dari karakteristik spektral fungsi non-periodik dengan bentuk yang sama, yang ditentukan dalam interval. Hal di atas juga berlaku sehubungan dengan modulus kerapatan spektral:
Dari hubungan ini dapat disimpulkan bahwa selubung spektrum amplitudo kontinu dari sinyal non-periodik dan selubung amplitudo spektrum garis sinyal periodik memiliki bentuk yang sama dan hanya berbeda skalanya. Sekarang mari kita menghitung energi sinyal non-periodik. Mengalikan kedua ruas pertidaksamaan (14) dengan s(t) dan mengintegrasikannya pada batas tak terhingga, kita peroleh:
dimana S(jw) dan S(-jw) merupakan besaran konjugasi kompleks. Karena
Ekspresi ini disebut persamaan Parseval untuk sinyal non-periodik. Ini menentukan energi total sinyal. Oleh karena itu, tidak ada yang lebih dari energi sinyal per 1 Hz pita frekuensi di sekitar frekuensi w. Oleh karena itu, fungsi ini terkadang disebut kerapatan energi spektral sinyal s(t). Kami sekarang menyajikan, tanpa bukti, beberapa teorema tentang spektrum yang mengungkapkan sifat dasar transformasi Fourier.
Memuat...