Fungsi linier dari variabel kompleks z adalah fungsi yang bentuknya dimana a dan 6 diberi bilangan kompleks, dan a Φ 0. Fungsi linier didefinisikan untuk semua nilai variabel bebas z, bernilai tunggal dan, karena fungsi inversnya juga bernilai tunggal, maka fungsi tersebut bersifat univalen pada seluruh bidang z. Fungsi linier bersifat analitik pada seluruh bidang kompleks, dan turunannya, oleh karena itu, pemetaan yang dilakukannya bersifat konformal pada seluruh bidang. Fungsi linier pecahan adalah fungsi yang bentuknya bilangan kompleks tertentu, dan fungsi linier pecahan didefinisikan untuk semua nilai variabel bebas zy kecuali z = -|, fungsi tersebut tidak ambigu dan, karena merupakan invers fungsi Fungsi dasar variabel kompleks Fungsi pecahan-rasional Fungsi pangkat Fungsi eksponensial Fungsi logaritma Fungsi trigonometri dan hiperbolik bernilai tunggal, univalen pada seluruh bidang kompleks, tidak termasuk titik z = - Di wilayah ini, fungsi (3) bersifat analitik dan turunannya sehingga pemetaan yang dilakukan bersifat konformal. Mari kita definisikan fungsi (3) di titik z = - \, setting £) = oo, dan ke titik yang jauhnya tak terhingga w = oo kita kaitkan titik z(oo) = Maka fungsi linier pecahan akan menjadi univalen dalam perluasan bidang kompleks z. Contoh 1. Perhatikan fungsi linier pecahan. Dari persamaan tersebut dapat disimpulkan bahwa modul-modul bilangan kompleks r dan u dihubungkan oleh relasi dan bilangan-bilangan ini sendiri terletak pada sinar-sinar yang keluar dari titik O dan simetris terhadap sumbu nyata. Khususnya, titik-titik lingkaran satuan |z| = 1 menuju titik-titik lingkaran satuan Н = 1. Dalam hal ini, bilangan kompleks diberi bilangan konjugasi (Gbr. 11). Perhatikan juga bahwa fungsi th = -g memetakan titik z - oo yang jauhnya tak terhingga ke titik nol th - 0. 2.2. Fungsi pangkat Fungsi pangkat dimana n adalah bilangan asli, bersifat analitik di seluruh bidang kompleks; turunannya = nzn~] untuk n > 1 berbeda dari nol di semua titik kecuali z = 0. Menuliskan w dan z dalam bentuk eksponensial pada rumus (4), diperoleh bahwa Dari rumus (5) jelas bahwa bilangan kompleks Z\ dan z2 sehingga k adalah bilangan bulat, menuju ke satu titik w. Artinya untuk n > 1, pemetaan (4) tidak bersifat univalen pada bidang z. Contoh paling sederhana suatu daerah yang pemetaan gi = zn bersifat univalen adalah sektor dimana a adalah bilangan real. Dalam domain (7), pemetaan (4) bersifat konformal. - bernilai banyak, karena untuk setiap bilangan kompleks z = е1в Ф 0 dimungkinkan untuk menunjukkan n bilangan kompleks yang berbeda sedemikian rupa sehingga gelar ke-n sama dengan z: Perhatikan bahwa polinomial berderajat n dari variabel kompleks z adalah fungsi yang diberi bilangan kompleks, dan ao Φ 0. Polinomial dengan derajat apa pun merupakan fungsi analitik pada seluruh bidang kompleks. 2.3. Fungsi rasional-fraksional Fungsi rasional-fraksional disebut fungsi yang bentuknya dimana) adalah polinomial dari variabel kompleks z. Fungsi rasional pecahan bersifat analitik di seluruh bidang, kecuali pada titik-titik di mana penyebut Q(z) hilang. Contoh 3. Fungsi Zhukovsky__ bersifat analitik di seluruh bidang z, tidak termasuk titik z = 0. Mari kita cari tahu kondisi daerah bidang kompleks di mana fungsi Zhukovsky yang dipertimbangkan di daerah ini akan menjadi univalen. M Misalkan titik Z) dan zj dipindahkan menurut fungsi (8) ke satu titik. Kemudian kita mendapatkan bahwa Jadi, agar fungsi Zhukovsky menjadi univalen, maka perlu dan cukup memenuhi syarat tersebut. Contoh daerah yang memenuhi syarat univalensi (9) adalah bagian luar lingkaran |z| > 1. Karena turunan dari fungsi Zhukovsky Fungsi dasar variabel kompleks Fungsi pecahan-rasional Fungsi daya Fungsi eksponensial Fungsi logaritma Fungsi trigonometri dan hiperbolik bukan nol di mana pun kecuali di titik, pemetaan domain yang dilakukan oleh fungsi ini akan menjadi konformal (Gbr. 13). Perhatikan bahwa bagian dalam unit disk |I juga merupakan domain univalensi fungsi Zhukovsky. Beras. 13 2.4. Fungsi eksponensial Kita mendefinisikan fungsi eksponensial ez untuk sembarang bilangan kompleks z = x + y dengan relasi berikut: Untuk x = 0 kita peroleh rumus Euler: Mari kita uraikan sifat-sifat utama fungsi eksponensial: 1. Untuk real z definisi ini bertepatan dengan biasanya. Hal ini dapat dibuktikan secara langsung dengan menetapkan y = 0 pada rumus (10). 2. Fungsi ez bersifat analitik pada seluruh bidang kompleks, dan untuk itu rumus diferensiasi biasa dipertahankan. 3. Untuk fungsi ez teorema penjumlahan dipertahankan . Mari kita tentukan 4. Fungsi ez periodik dengan periode utama imajiner 2xi. Faktanya, untuk bilangan bulat apa pun k Di sisi lain, jika maka dari definisi (10) maka dari itu berikut ini, atau di mana n adalah bilangan bulat. Strip tersebut tidak memuat satu pasang titik pun yang dihubungkan oleh relasi (12), oleh karena itu, dari penelitian yang dilakukan dapat disimpulkan bahwa pemetaan w = e" adalah tunggal pada strip tersebut (Gbr. 14). Karena merupakan turunan, pemetaan ini konformal.Catatan niv.Fungsi g.g adalah univalen di semua jalur 2.5.Fungsi logaritmik Dari persamaan yang memberikan hal yang tidak diketahui, kita peroleh Oleh karena itu, fungsi invers dari fungsi tersebut didefinisikan untuk sembarang dan diwakili oleh rumus di mana Ini fungsi multinilai disebut logaritma dan dilambangkan sebagai berikut Nilai arg z disebut nilai pokok logaritma dan dilambangkan dengan Kemudian untuk Ln z kita peroleh rumus 2.6 Fungsi trigonometri dan hiperbolik Dari rumus Euler (11) untuk real y kita diperoleh Dari mana kita mendefinisikan fungsi trigonometri sin z dan cos z untuk sembarang bilangan kompleks z menggunakan rumus berikut: Sinus dan cosinus dari argumen kompleks memiliki sifat yang menarik Mari kita daftar yang utama: Fungsi sinz dan cos z: 1) sebenarnya z -x bertepatan dengan sinus dan cosinus biasa; 2) analitik pada seluruh bidang kompleks; 3) mengikuti rumus diferensiasi yang biasa: 4) bersifat periodik dengan periode 2π; 5) sin z merupakan fungsi ganjil, dan cos z merupakan fungsi genap; 6) hubungan trigonometri biasa dipertahankan. Semua properti di atas dapat dengan mudah diperoleh dari rumus (15). Fungsi tgz dan ctgz dalam domain kompleks ditentukan oleh rumus, dan fungsi hiperbolik - dengan rumus "Fungsi hiperbolik berkaitan erat dengan fungsi trigonometri. Hubungan ini dinyatakan dengan persamaan berikut: Sinus dan kosinus dari argumen kompleks memiliki properti penting lainnya: pada bidang kompleks |\ mengambil nilai positif besar secara sembarang. Mari kita tunjukkan ini. Dengan menggunakan properti 6 dan rumus (18), kita memperoleh bahwa Fungsi dasar dari variabel kompleks Fungsi rasional pecahan Fungsi pangkat Fungsi eksponensial Fungsi logaritmik Trigonometri dan fungsi hiperbolik Dari mana, Dengan asumsi, kita memiliki Contoh 4. Mudah untuk memverifikasi bahwa -4 Faktanya,
, halaman 611 Fungsi dasar variabel kompleks
Mari kita mengingat kembali definisi eksponen kompleks –. Kemudian
Ekspansi deret Maclaurin. Jari-jari konvergensi deret ini adalah +∞, artinya eksponensial kompleks bersifat analitik pada seluruh bidang kompleks dan
(exp z)"=exp z; exp 0=1. (2)
Persamaan pertama di sini, misalnya, berasal dari teorema diferensiasi suku demi suku suatu deret pangkat.
11.1 Fungsi trigonometri dan hiperbolik
Sinus dari variabel kompleks disebut fungsi
Kosinus variabel kompleks ada fungsi
Sinus hiperbolik dari variabel kompleks didefinisikan seperti ini:
Kosinus hiperbolik dari variabel kompleks-- ini adalah sebuah fungsi
Mari kita perhatikan beberapa properti dari fungsi yang baru diperkenalkan.
A. Jika x∈ ℝ, maka cos x, sin x, cosh x, sh x∈ ℝ.
B. Hubungan berikut ada antara fungsi trigonometri dan hiperbolik:
karena iz=ch z; dosa iz=ish z, ch iz=cos z; sh iz=isin z.
B. Identitas dasar trigonometri dan hiperbolik:
cos 2 z+sin 2 z=1; bab 2 z-sh 2 z=1.
Bukti identitas hiperbolik utama.
Identitas trigonometri utama mengikuti identitas hiperbolik utama dengan memperhatikan hubungan antara fungsi trigonometri dan hiperbolik (lihat sifat B)
G Rumus penjumlahan:
Secara khusus,
D. Untuk menghitung turunan fungsi trigonometri dan hiperbolik, kita harus menerapkan teorema diferensiasi suku demi suku suatu deret pangkat. Kita mendapatkan:
(cos z)"=-sin z; (sin z)"=cos z; (ch z)"=sh z; (sh z)"=ch z.
E. Fungsi cos z, ch z genap, dan fungsi sin z, sin z ganjil.
J. (Frekuensi) Fungsi e z periodik dengan periode 2π i. Fungsi cos z, sin z bersifat periodik dengan periode 2π, dan fungsi ch z, sin z bersifat periodik dengan periode 2πi. Lebih-lebih lagi,
Menerapkan rumus penjumlahan, kita mendapatkan
Z. Ekspansi ke bagian nyata dan imajiner:
Jika fungsi analitik bernilai tunggal f(z) secara bijektif memetakan domain D ke domain G, maka D disebut domain univalen.
DAN. Wilayah D k =( x+iy | 2π k≤ y<2π (k+1)} для любого целого k является областью однолистности функции e z , которая отображает ее на область ℂ* .
Bukti. Dari relasi (5) maka pemetaan exp:D k → ℂ bersifat injektif. Misalkan w adalah sembarang bilangan kompleks yang bukan nol. Kemudian selesaikan persamaan e x =|w| dan e iy =w/|w| dengan variabel nyata x dan y (y dipilih dari setengah interval)
Memuat...