Transposisi matriks melalui kalkulator online ini tidak akan memakan banyak waktu, tetapi akan memberikan hasil dengan cepat dan membantu Anda lebih memahami proses itu sendiri.
Terkadang dalam perhitungan aljabar ada kebutuhan untuk menukar baris dan kolom suatu matriks. Operasi ini disebut transposisi matriks. Baris-baris yang berurutan menjadi kolom, dan matriks itu sendiri menjadi ditransposisikan. Ada aturan tertentu dalam perhitungan ini, dan untuk memahaminya serta membiasakan diri Anda secara visual dengan prosesnya, gunakan kalkulator online ini. Ini akan membuat tugas Anda lebih mudah dan membantu Anda lebih memahami teori transposisi matriks. Keuntungan signifikan dari kalkulator ini adalah demonstrasi solusi yang diperluas dan terperinci. Dengan demikian, penggunaannya mendorong pemahaman perhitungan aljabar yang lebih mendalam dan terinformasi. Selain itu, dengan bantuannya Anda selalu dapat memeriksa seberapa berhasil Anda menyelesaikan tugas dengan mentransposisi matriks secara manual.
Kalkulator ini sangat mudah digunakan. Untuk mencari matriks yang ditransposisikan secara online, tentukan ukuran matriks dengan mengklik ikon “+” atau “-” hingga Anda mendapatkan jumlah kolom dan baris yang diinginkan. Selanjutnya, masukkan nomor yang diperlukan ke dalam kolom. Di bawah ini adalah tombol "Hitung" - mengkliknya akan menampilkan solusi siap pakai dengan penjelasan rinci tentang algoritme.
Untuk mengubah urutan suatu matriks, Anda perlu menulis baris-baris matriks menjadi kolom-kolom.
Jika , maka matriks yang ditransposisikan
Jika kemudian
Latihan 1. Menemukan
- Penentu matriks persegi.
Untuk matriks persegi, dimasukkan suatu bilangan yang disebut determinan.
Untuk matriks orde kedua (dimensi ) determinannya diberikan dengan rumus:
Misalnya, untuk suatu matriks, determinannya adalah
Contoh . Menghitung determinan matriks.
Untuk matriks persegi orde ketiga (dimensi ) terdapat aturan “segitiga”: pada gambar, garis putus-putus berarti mengalikan bilangan-bilangan yang dilalui garis putus-putus tersebut. Tiga angka pertama harus dijumlahkan, tiga angka berikutnya harus dikurangi.
Contoh. Hitung determinannya.
Untuk memberikan definisi umum tentang determinan, perlu diperkenalkan konsep minor dan komplemen aljabar.
Minor elemen matriks disebut determinan yang diperoleh dengan mencoret – baris itu dan – kolom itu.
Contoh. Mari kita cari beberapa minor matriks A.
Komplemen aljabar elemen disebut nomor.
Artinya, jika jumlah indeksnya genap, maka indeksnya tidak berbeda. Jika jumlah indeksnya ganjil, maka perbedaannya hanya pada tanda saja.
Untuk contoh sebelumnya.
Penentu matriks adalah jumlah hasil kali elemen-elemen suatu string tertentu
(kolom) pada mereka penjumlahan aljabar. Mari kita pertimbangkan definisi ini pada matriks orde ketiga.
Entri pertama disebut pemuaian determinan pada baris pertama, pemuaian kedua pada kolom kedua, dan pemuaian terakhir pada baris ketiga. Secara total, perluasan tersebut dapat ditulis enam kali.
Contoh. Hitung determinan menggunakan aturan “segitiga” dan perluas sepanjang baris pertama, lalu sepanjang kolom ketiga, lalu sepanjang baris kedua.
Mari kita perluas determinannya di sepanjang baris pertama:
Mari kita perluas determinan di kolom ketiga:
Mari kita perluas determinannya di sepanjang baris kedua:
Perhatikan bahwa semakin banyak angka nol, semakin sederhana perhitungannya. Misalnya, memperluas kolom pertama, kita dapatkan
Di antara sifat-sifat determinan terdapat sifat yang memungkinkan diperolehnya angka nol, yaitu:
Jika unsur baris (kolom) lain dijumlahkan dengan unsur baris (kolom) tertentu, dikalikan dengan bilangan bukan nol, maka determinannya tidak akan berubah.
Mari kita ambil determinan yang sama dan mendapatkan nol, misalnya, di baris pertama.
Penentu tingkat yang lebih tinggi dihitung dengan cara yang sama.
Tugas 2. Hitung determinan orde keempat:
1) menyebar ke baris atau kolom mana pun
2) setelah sebelumnya menerima angka nol
Kami mendapat tambahan nol, misalnya di kolom kedua. Untuk melakukannya, kalikan elemen baris kedua dengan -1 dan tambahkan ke baris keempat:
- Penyelesaian sistem persamaan aljabar linier menggunakan metode Cramer.
Kami akan menunjukkan solusi sistem persamaan aljabar linier menggunakan metode Cramer.
Tugas 2. Memecahkan sistem persamaan.
Kita perlu menghitung empat determinan. Yang pertama disebut yang utama dan terdiri dari koefisien yang tidak diketahui:
Perhatikan bahwa jika , sistem tidak dapat diselesaikan dengan metode Cramer.
Tiga determinan yang tersisa dilambangkan dengan , , dan diperoleh dengan mengganti kolom yang bersesuaian dengan kolom di sisi kanan.
Kami menemukan. Untuk melakukannya, ubah kolom pertama determinan utama menjadi kolom sisi kanan:
Kami menemukan. Untuk melakukannya, ubah kolom kedua pada determinan utama menjadi kolom sisi kanan:
Kami menemukan. Untuk melakukannya, ubah kolom ketiga pada determinan utama menjadi kolom sisi kanan:
Kami menemukan solusi sistem menggunakan rumus Cramer: , ,
Jadi solusi sistemnya adalah , ,
Mari kita lakukan pemeriksaan; untuk melakukan ini, substitusikan solusi yang ditemukan ke dalam semua persamaan sistem.
- Penyelesaian sistem persamaan aljabar linier menggunakan metode matriks.
Jika matriks persegi determinannya tidak sama dengan nol, terdapat matriks invers sedemikian rupa sehingga . Matriks tersebut disebut matriks identitas dan mempunyai bentuk
Matriks inversnya dicari dengan rumus:
Contoh. Temukan invers suatu matriks
Pertama kita menghitung determinannya.
Menemukan komplemen aljabar:
Kami menulis matriks terbalik:
Untuk memeriksa perhitungan, Anda perlu memastikan bahwa .
Biarkan sistem persamaan linear diberikan:
Mari kita tunjukkan
Kemudian sistem persamaan tersebut dapat ditulis dalam bentuk matriks sebagai , dan karenanya . Rumus yang dihasilkan disebut metode matriks untuk menyelesaikan sistem.
Tugas 3. Selesaikan sistem menggunakan metode matriks.
Kita perlu menuliskan matriks sistem, mencari inversnya, lalu mengalikannya dengan kolom ruas kanan.
Kita telah menemukan matriks invers pada contoh sebelumnya, yang berarti kita dapat menemukan solusinya:
- Penyelesaian sistem persamaan aljabar linier menggunakan metode Gauss.
Metode Cramer dan metode matriks hanya digunakan untuk sistem kuadrat (jumlah persamaan sama dengan jumlah persamaan yang tidak diketahui), dan determinannya tidak boleh sama dengan nol. Jika jumlah persamaan tidak sama dengan jumlah yang tidak diketahui, atau determinan sistem adalah nol, maka digunakan metode Gaussian. Metode Gaussian dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem apa pun.
Dan mari kita substitusikan ke persamaan pertama:
Tugas 5. Memecahkan sistem persamaan menggunakan metode Gaussian.
Berdasarkan matriks yang dihasilkan, kami memulihkan sistem:
Kami menemukan solusinya:
Saat bekerja dengan matriks, terkadang Anda perlu mengubah urutannya, yaitu mengatakan dengan kata-kata sederhana, balikkan. Tentu saja, Anda bisa memasukkan data secara manual, namun Excel menawarkan beberapa cara untuk melakukannya dengan lebih mudah dan cepat. Mari kita lihat secara detail.
Transposisi matriks adalah proses pertukaran kolom dan baris. DI DALAM program Unggul Ada dua kemungkinan untuk melakukan transposisi: menggunakan fungsi TRANSSP dan dengan bantuan alat sisipan khusus. Mari kita lihat masing-masing opsi ini secara lebih rinci.
Metode 1: Operator TRANSPOSE
Fungsi TRANSSP termasuk dalam kategori operator "Tautan dan Array". Keunikannya adalah, seperti fungsi lain yang bekerja dengan array, hasil keluarannya bukanlah isi sel, melainkan keseluruhan array data. Sintaks fungsinya cukup sederhana dan terlihat seperti ini:
TRANSP(array)
Artinya, satu-satunya argumen dari operator ini adalah referensi ke array, dalam kasus kita matriks, yang harus dikonversi.
Mari kita lihat bagaimana fungsi ini dapat diterapkan menggunakan contoh matriks nyata.
- Kami memilih sel kosong pada lembar, yang kami rencanakan untuk dijadikan sel kiri paling atas dari matriks yang diubah. Selanjutnya, klik ikon tersebut "Masukkan Fungsi", yang terletak di dekat bilah rumus.
- Peluncuran sedang berlangsung Penyihir Fungsi. Buka kategori di dalamnya "Tautan dan Array" atau "Daftar alfabet lengkap". Setelah menemukan namanya "transmisi", pilih dan klik tombolnya "OKE".
- Jendela argumen fungsi terbuka TRANSSP. Satu-satunya argumen operator ini sesuai dengan bidangnya "Himpunan". Anda harus memasukkan koordinat matriks yang perlu dibalik. Untuk melakukan ini, letakkan kursor di bidang dan tahan tombol kiri mouse, pilih seluruh rentang matriks pada lembar. Setelah alamat area ditampilkan di jendela argumen, klik tombol "OKE".
- Namun, seperti yang bisa kita lihat, di sel yang dimaksudkan untuk menampilkan hasilnya, nilai yang salah ditampilkan dalam bentuk kesalahan "#NILAI!". Hal ini disebabkan cara kerja operator array. Untuk memperbaiki kesalahan ini, pilih rentang sel yang jumlah barisnya harus sama dengan jumlah kolom matriks asli, dan jumlah kolomnya harus sama dengan jumlah baris. Korespondensi seperti itu sangat penting agar hasilnya dapat ditampilkan dengan benar. Dalam hal ini, sel yang berisi ekspresi "#NILAI!" harus menjadi sel kiri atas dari array yang dipilih dan dari sel inilah prosedur pemilihan harus dimulai dengan menahan tombol kiri mouse. Setelah Anda menentukan pilihan, letakkan kursor di bilah rumus tepat setelah ekspresi operator TRANSSP, yang seharusnya muncul di dalamnya. Setelah ini, untuk melakukan perhitungan, Anda perlu menekan tombol Memasuki, seperti biasa dalam rumus konvensional, dan putar kombinasinya Ctrl+Shift+Enter.
- Setelah tindakan ini, matriks ditampilkan sesuai kebutuhan, yaitu dalam bentuk yang diubah urutannya. Tapi ada masalah lain. Faktanya sekarang matriks baru adalah array yang dihubungkan dengan rumus yang tidak dapat diubah. Saat Anda mencoba melakukan perubahan apa pun pada konten matriks, kesalahan akan muncul. Beberapa pengguna cukup puas dengan keadaan ini, karena mereka tidak bermaksud membuat perubahan pada array, namun yang lain memerlukan matriks yang dapat mereka gunakan sepenuhnya.
Menyelesaikan masalah ini, pilih seluruh rentang yang dialihkan. Pindah ke tab "Rumah" klik pada ikon tersebut "Menyalin", yang terletak di pita di grup "Papan Klip". Alih-alih tindakan yang ditentukan, setelah memilih, Anda dapat mengatur pintasan keyboard standar untuk menyalin Ctrl+C.
- Kemudian, tanpa menghapus pilihan dari rentang yang dialihkan, klik pilihan tersebut klik kanan tikus. Di menu konteks di grup "Masukkan Opsi" klik pada ikon tersebut "Nilai", yang terlihat seperti piktogram yang menggambarkan angka.
Berikut ini, rumus array TRANSSP akan dihapus, dan hanya satu nilai yang tersisa di sel, yang dapat dikerjakan dengan cara yang sama seperti matriks aslinya.
Metode 2: Transpos Matriks Menggunakan Tempel Spesial
Selain itu, matriks dapat ditransposisikan menggunakan satu elemen menu konteks, yang disebut "Masukkan Spesial".
Setelah langkah-langkah ini, hanya matriks yang diubah yang akan tersisa di lembar.
Dengan dua metode yang sama yang dibahas di atas, Anda tidak hanya dapat mengubah urutan matriks, tetapi juga tabel lengkap ke dalam Excel. Prosedurnya hampir sama.
Jadi, kami menemukan bahwa di Excel matriks dapat diubah urutannya, yaitu dibalik dengan menukar kolom dan baris, dengan dua cara. Opsi pertama melibatkan penggunaan fungsi TRANSSP, dan yang kedua adalah Tempel Alat Khusus. Secara umum, hasil akhir yang diperoleh dengan menggunakan kedua metode ini tidak berbeda. Kedua metode ini berfungsi di hampir semua situasi. Jadi ketika memilih opsi konversi, preferensi pribadi pengguna tertentu diutamakan. Artinya, metode mana yang lebih nyaman bagi Anda pribadi, gunakan metode itu.
Matriks A -1 disebut matriks invers terhadap matriks A jika A*A -1 = E, dimana E adalah matriks identitas orde ke-n. Matriks invers hanya dapat ada untuk matriks persegi.
Tujuan layanan. Menggunakan layanan ini di mode online seseorang dapat menemukan komplemen aljabar, matriks transposisi A T, matriks gabungan dan matriks invers. Pengambilan keputusan dilakukan langsung di website (online) dan tidak dikenakan biaya. Hasil perhitungan disajikan dalam laporan dalam format Word dan in format excel(yaitu dimungkinkan untuk memeriksa solusinya). lihat contoh desain.
instruksi. Untuk memperoleh solusi, perlu ditentukan dimensi matriks. Selanjutnya, isi matriks A pada kotak dialog baru.
Lihat juga Matriks terbalik menggunakan metode Jordano-Gauss
Algoritma untuk mencari matriks invers
- Menemukan matriks yang ditransposisi A T .
- Definisi komplemen aljabar. Gantikan setiap elemen matriks dengan komplemen aljabarnya.
- Kompilasi matriks terbalik dari penjumlahan aljabar: setiap elemen matriks yang dihasilkan dibagi dengan determinan matriks aslinya. Matriks yang dihasilkan merupakan invers dari matriks aslinya.
- Tentukan apakah matriks tersebut berbentuk persegi. Jika tidak, maka tidak ada matriks inversnya.
- Perhitungan determinan matriks A. Jika tidak sama dengan nol, kita lanjutkan penyelesaiannya, jika tidak, matriks inversnya tidak ada.
- Definisi komplemen aljabar.
- Mengisi matriks gabungan (saling, berdampingan) C .
- Menyusun matriks invers dari penjumlahan aljabar: setiap elemen matriks adjoin C dibagi dengan determinan matriks aslinya. Matriks yang dihasilkan merupakan invers dari matriks aslinya.
- Mereka melakukan pemeriksaan: mereka mengalikan matriks asli dan matriks yang dihasilkan. Hasilnya harus berupa matriks identitas.
Contoh No.1. Mari kita tulis matriksnya dalam bentuk:
| SEBUAH -1 = |
|
Algoritma lain untuk mencari matriks invers
Mari kita sajikan skema lain untuk mencari matriks invers.- Tentukan determinan matriks persegi A tertentu.
- Kami menemukan komplemen aljabar untuk semua elemen matriks A.
- Kami menulis penambahan aljabar elemen baris ke kolom (transposisi).
- Kami membagi setiap elemen matriks yang dihasilkan dengan determinan matriks A.
Kasus khusus: Invers matriks identitas E adalah matriks identitas E.
Memuat...