1.
2. petunjuk penggunaan tikar. model dalam perekonomian.
Model matematika memungkinkan untuk menentukan nilai optimal dari parameter sistem ekonomi yang tidak diketahui, yang penting dalam proses pengambilan keputusan. Pemrograman matematika hanya menyediakan alat yang memungkinkan Anda untuk mengoptimalkan proses pemilihan pilihan terbaik rencana dalam proses manajemen dalam sistem ekonomi.
Digunakan dalam statistik matematika, metode optimasi, metode ekonomi. sibernetika, masalah eksperimental.
Saat mempelajari proses dan fenomena yang kompleks dalam ekonomi, pemodelan sering digunakan - tampilan konkret yang terdefinisi dengan baik dari karakteristik yang dipertimbangkan dari objek yang diteliti. Esensinya terletak pada kenyataan bahwa fenomena yang diteliti direproduksi dalam kondisi eksperimental menggunakan model pada skala temporal dan spasial yang berbeda. Model adalah objek yang dibuat khusus dengan bantuan karakteristik tertentu dari sistem yang diteliti direproduksi untuk mempelajarinya. Pemodelan matematika adalah metode yang paling sempurna dan sekaligus efektif untuk memperoleh informasi tentang objek yang diteliti. Ini adalah alat yang ampuh untuk analisis ekonomi. Hasil penelitian yang menggunakan model akan menjadi kepentingan praktis ketika model yang dibangun cukup memadai untuk fenomena yang ditinjau, yaitu. cukup baik untuk mencerminkan keadaan sebenarnya.
2. pemrograman matematika sebagai ilmu, strukturnya. Masalah pengoptimalan. Kesulitan dalam menerapkan metode optimasi klasik dalam menyelesaikan masalah ekonomi.
Pemrograman matematika merupakan salah satu cabang matematika terapan yang berkembang landasan teori dan metode untuk memecahkan masalah ekstrim.
Pemrograman matematika mencakup sejumlah bagian, yang utamanya adalah sebagai berikut:
1. Pemrograman linier. Bagian ini mencakup soal-soal di mana variabel yang tidak diketahui dimasukkan ke dalam hubungan matematis pada tingkat pertama.
2. Pemrograman nonlinier. Bagian ini mencakup masalah di mana fungsi tujuan dan (atau) kendala mungkin tidak linier.
3. Pemrograman dinamis. Bagian ini mencakup tugas-tugas di mana proses solusi dapat dibagi menjadi tahapan-tahapan terpisah.
4. Pemrograman bilangan bulat. Bagian ini mencakup tugas di mana variabel yang tidak diketahui hanya dapat mengambil nilai bilangan bulat.
5. Pemrograman stokastik. Bagian ini mencakup tugas-tugas yang berisi variabel acak dalam fungsi tujuan atau kendala.
6. Pemrograman parametrik. Bagian ini mencakup masalah di mana koefisien variabel yang tidak diketahui dalam fungsi tujuan atau kendala bergantung pada beberapa parameter.
Untuk memecahkan masalah pemrograman matematika, sulit untuk menggunakan metode klasik untuk menemukan ekstrem, karena dalam masalah pemrograman matematika fungsi tujuan mencapai nilai ekstremnya di batas wilayah nilai yang dapat diterima dari variabel yang tidak diketahui, dan turunannya tidak ada. pada titik-titik batas. Penghitungan lengkap poin yang dapat diterima tidak mungkin dilakukan karena jumlahnya yang signifikan.
3. Konsep model matematika, jenis mat. model
Model matematika adalah abstraksi dari fenomena atau proses nyata yang ditulis dalam simbol dan ekspresi matematika. Model matematika dari proses dan fenomena ekonomi disebut model ekonomi dan matematika
Model dibagi menjadi:
1. linier, di mana semua ketergantungan dijelaskan oleh hubungan linier,
2. non-linier, di mana ada hubungan nonlinier;
3. stokastik, yang memperhitungkan sifat acak dari proses yang diteliti,
4. deterministik, yang memperhitungkan nilai rata-rata dari semua parameter.
5. dinamis model di mana sistem yang diteliti dipertimbangkan dalam pengembangan selama beberapa periode,
6. statis, di mana faktor waktu tidak diperhitungkan.
7. pengoptimalan model di mana pilihan dibuat tergantung pada ekstremisasi beberapa kriteria,
8. non-optimalisasi, di mana tidak ada kriteria optimalitas.
9. model makro(untuk seluruh rumah tangga)
10. model mikro(tautan individu atau proses ekonomi).
Jenis model matematika: linier, nonlinier, kuadrat, bilangan bulat, diskrit, parametrik, fraksional linier, dinamis, stokastik
4. Pernyataan umum masalah pemrograman matematika.
Pertimbangkan pernyataan umum dari masalah pemrograman matematika.
Masalah umum pemrograman matematika adalah untuk menentukan nilai optimal dari fungsi tujuan, dan nilai variabel harus termasuk dalam kisaran tertentu dari nilai yang dapat diterima. Definisi matematis solusi optimal diekspresikan dalam menemukan ekstrem (maks atau min) dari suatu fungsi dari banyak variabel
Z = f(x1, x2, …, xn)
dalam rentang perubahan yang diberikan dari variabel-variabel ini
gi (x1, x2,…, xn)Ribi (i = 1, 2,…, m),
dimana Ri adalah salah satu tanda ≥, =, ≤.
5. Masalah optimalisasi rencana produksi. Perumusan ekonomi dan konstruksi model masalah matematika.
Pengaturan ekonomi:
Perusahaan memproduksi N jenis produk yang digunakan M jenis bahan baku. Untuk produksi suatu unit produksi, digunakan sejumlah bahan baku yang ditentukan secara ketat dari satu jenis atau jenis lainnya. Bahan baku dari setiap jenis di perusahaan terbatas. Perusahaan menerima keuntungan tertentu dari penjualan satu unit produksi. Penting untuk menemukan rencana produksi di mana perusahaan akan menerima keuntungan total maksimum.
Pengaturan matematika:
Biarkan j menjadi indeks dari jenis produk j = 1, n
i - indeks tipe sumber daya i = 1, m
dan ij adalah biaya bahan baku Saya tipe -th untuk produksi unit produksi J tipe -th;
Аi adalah batas yang diberikan pada volume sumber daya yang tersedia dari tipe ke-i;
Pj - laba yang diterima dari penjualan unit produksi tipe j;
xj adalah volume output dari tipe ke-j.
z \u003d P1x 1 + P2x 2 + ... + Pnx n → maks
a11x 1 + a12x 2 +…+ a1nx n ≤ A1
a21x 1 + a22x 2 +…+ a2nx n ≤ A2
…………………………….
a m1x1 + a m2x2 +…+ a m n x n ≤ Am
xj ≥ 0, j = 1, n
6. Tugas diet. Perumusan ekonomi dan konstruksi model matematika dari masalah.
Pengaturan ekonomi
Beberapa peternakan memberi makan hewan. Digunakan untuk penggemukan N jenis pakan. Kandungan nutrisi (kalsium, fosfor, dll.) diketahui per unit pakan masing-masing spesies. Untuk nutrisi hewan yang tepat, perlu mengonsumsi nutrisi tidak kurang dari jumlah yang ditentukan. Biaya satuan dari setiap pakan diketahui. Penting untuk menentukan pola makan hewan, di mana total biaya penggemukan akan minimal.
Pengaturan matematika:
j adalah indeks dari jenis umpan, j = 1, n
i – indeks jenis nutrisi, i = 1, m
Аi adalah asupan harian yang dibutuhkan dari jenis nutrisi ke-i;
Сj adalah biaya satu unit umpan tipe ke-j.
Mari perkenalkan variabel yang tidak diketahui:
хj - volume pakan ternak harian pandangan ke-j buritan.
Dalam hal notasi diperkenalkan tugas yang diberikan akan ditulis selanjutnya
a11x1 + a12x2 +…+ a1nxn ≥ A1
a21x1 + a22x2 +…+ a2nxn ≥ A2
…………………………….
am1x1 + am2x2 +…+ dan mnxn ≥Am
xj ≥ 0, j = 1, n
7. Tugas transportasi . Perumusan ekonomi dan konstruksi model matematika dari masalah.
Pengaturan ekonomi :
Tersedia M pemasok produk homogen dan N konsumen produk ini. Diketahui biaya satuan untuk pengiriman satu unit produksi dari masing-masing pemasok ke masing-masing konsumen. Stok pemasok terbatas. Kebutuhan produk masing-masing konsumen juga diketahui.
Penting untuk menentukan rencana pengangkutan produk dari pemasok ke konsumen, di mana total biaya pengangkutan akan minimal.
Pengaturan matematika :
Mari kita perkenalkan penunjukan parameter yang diberikan:
j – indeks konsumen, j = 1, n
i – indeks pemasok, i = 1, m
Аi adalah volume produk yang tersedia dari pemasok ke-i;
Bj - volume permintaan produk konsumen ke-j;
Cij adalah biaya satuan pengangkutan satu unit produk dari pemasok ke-i ke konsumen ke-j.
Mari perkenalkan variabel yang tidak diketahui:
хij adalah volume pengangkutan produk dari pemasok ke-i ke konsumen ke-j.
z = С11x11 + С12x12 +…+С1nx1n + С21x21 +…+ Сm(n -1)xm (n-1) + Сmnxmn → min
Pembatasan tugas.
I. Dari setiap pemasok, Anda dapat menarik produk tidak lebih dari jumlah yang tersedia:
x11 + x12 +…+ x1n ≤ A1
x21 + x22 +…+ x2n ≤ A2 (2)
…………………….
xm1 + xm2 +…+ xmn ≤ Am
II. Kebutuhan setiap konsumen akan produk harus dipenuhi
x11 + x21 +…+ xm1 ≥B1
x12 + x22 +…+ xm2 ≥B2
……………………. (3)
x1n + x2n +…+ xmn ≥Bn
AKU AKU AKU. syarat non-negatif: xij ≥0, i = 1, m ; j = 1, n
Seringkali mudah untuk menulis pernyataan matematika dalam bentuk terlipat:
, i = 1, m 
, j = 1, n
8. Masalah memilih tugas atau penugasan. Perumusan ekonomi dan konstruksi model matematika dari masalah.
Pengaturan ekonomi :
Tersedia N jenis pekerjaan dan N artis. Setiap pemain dapat melakukan apa saja, tetapi hanya satu pekerjaan. Biaya pelaksanaan setiap pekerjaan oleh masing-masing pelaku ditetapkan. Penting untuk menugaskan pelaku untuk bekerja sedemikian rupa sehingga total biaya penyelesaian pekerjaan minimal.
Pengaturan matematika .
Mari kita memperkenalkan notasi untuk parameter yang diberikan.
i – indeks karya, i = 1, m
j adalah indeks pemain, j = 1, n
Cij adalah biaya pelaksanaan pekerjaan ke-i oleh pelaksana ke-j.
Mari perkenalkan variabel yang tidak diketahui. Dalam soal ini, variabel yang tidak diketahui hanya dapat mengambil dua nilai, 0 atau 1. Variabel tersebut disebut variabel null.
1 - jika pemain ke-j ditugaskan ke pekerjaan ke-i;
0 - jika tidak.
Dalam hal notasi diperkenalkan, masalah ini dapat ditulis sebagai berikut:
z = С11x11 + С12x12 +…+С1nx1n + С21x21 …+ С(n-1)(n-1)x(n-1)(n-1) + Сnnxnn → min
Saya kelompok pembatasan.
Hanya satu pemain yang harus ditugaskan untuk setiap pekerjaan:
x11 + x12 +…+ x1n = 1
x21 + x22 +…+ x2n = 1
……………………..
xn1 + xn2 +…+ xnn = 1
II. kelompok pembatasan.
Setiap pelaksana hanya dapat melakukan satu pekerjaan:
x11 + x21 +…+ xn1 = 1
x12 + x22 +…+ xn2 = 1
……………………..
x1n + x2n +…+ xnn = 1
x ij = ( 0,1) i = 1, n ; j = 1, n
9. Masalah pemotongan bahan. Perumusan ekonomi dan konstruksi model matematika dari masalah.
Pengaturan ekonomi .
Bahan baku dengan ukuran yang sama disediakan untuk pemotongan. Diperlukan untuk memotongnya menjadi blanko dengan ukuran tertentu dalam jumlah tertentu, sehingga total limbahnya minimal.
Pengaturan matematika .
Mari kita perkenalkan notasi:
i adalah indeks kosong,
Аi - jumlah blanko tipe ke-i yang diperlukan;
j - indeks opsi pemotongan,
Cj adalah ukuran limbah saat memotong satu unit bahan awal menurut opsi j;
dan ij adalah jumlah blanko tipe ke-i saat memotong satu unit bahan awal menurut opsi j.
Mari kita perkenalkan notasi variabel yang tidak diketahui.
xj adalah jumlah pemotongan bahan baku menurut opsi j.
Dalam hal notasi diperkenalkan, masalah ini dapat ditulis sebagai berikut:
z \u003d С1x1 + С2x2 + ... + Сnxn → min
a11x1 + a12x2 +…+ a1nxn = A1
a21x1 + a22x2 +…+ a2nxn = A2
…………………………….
am1x1 + am2x2 +…+ amnxn =Am
xj ≥ 0, j = 1, n
Penggunaan model matematika memungkinkan Anda menghemat hingga 20% bahan mentah.
Model matematis pemotongan dibangun dalam dua tahap.
Pada tahap pertama, opsi pemotongan dibuat, sebagai akibatnya nilai jumlah opsi n, jumlah blanko dari masing-masing jenis diperoleh berbagai pilihan pemotongan (aij), serta nilai limbah (Cj).
Konstruksi opsi pemotongan satu unit bahan sumber dilakukan dalam bentuk tabel berikut:
| nomor opsi |
kosong i1 |
i2 kosong |
kosong im |
Kosong disusun dalam urutan ukurannya yang tidak bertambah. Konstruksi varian dilakukan dengan metode pencacahan lengkap.
10. Bentuk umum model soal LP dan fitur-fiturnya
Bentuk umum LLP adalah:
z \u003d С1x1 + ... + Сnxn maks (min)
a11 X1 + a12 X2 + … + a1n Xn R1 a1
a21 X1 + a22 X2 + … + a2n Xn R2 a2
………………………………………………….
am1 X1 + am2 X2 +…+ amnxn Rm am
xj ≥ 0, j = 1, k, k ≤ n
Dalam bentuk umum, setiap simbol R1 , R2 ,…, Rm berarti salah satu tanda: ≥, = atau ≤ .
Bentuk umum dari model masalah LP memiliki ciri-ciri sebagai berikut.
1. Sistem kendala disajikan dalam bentuk persamaan (kondisi kaku) dan pertidaksamaan (kondisi tidak kaku).
2. Kondisi non-negatif tidak dikenakan pada semua variabel
3. Fungsi tujuan cenderung ke maksimum atau ke minimum.
11. Bentuk standar model soal LP dan fitur-fiturnya
Bentuk standarnya adalah sebagai berikut.
Temukan maksimum atau minimum dari fungsi tujuan z:
z = С1x1 + … + Сnxn → maks (min) (1)
Tunduk pada batasan berikut:
a11 X1 + a12 X2 + … + a1n Xn ≤ a1
a21 X1 + a22 X2 + ... + a2n Xn ≤ a2
…………………………………………..
am1 X1 + am2 X2 +… + amn Xn ≥ am
xj ≥ 0, j = 1, k, k ≤ n
Ciri-ciri bentuk standar model soal LP adalah sebagai berikut:
1. sistem restriksi disajikan dalam bentuk pertidaksamaan (kondisi tidak kaku)
2. kondisi non-negatif dikenakan pada semua variabel
3. fungsi tujuan cenderung maks atau min
12. Bentuk kanonik dari model soal LP dan fitur-fiturnya
Bentuk kanoniknya adalah:
Temukan minimum fungsi tujuan z:
z = С1x1 + … + Сnxn → min
Tunduk pada batasan berikut:
a11 X1 + a12 X2 + ... + a1n Xn = a1
a21 X1 + a22 X2 + ... + a2nxn = a2
…………………………
am1x1 + am2 X2 +… + amn Xn = am
Xj ≥0, j = 1, n
Ciri-ciri bentuk kanonik adalah sebagai berikut:
1. Sistem restriksi disajikan dalam bentuk persamaan (kondisi ketat).
2. Kondisi non-negatif berlaku untuk semua variabel
3. Fungsi tujuan cenderung
Dalam beberapa sumber, fungsi tujuan dari masalah LP yang disajikan dalam bentuk kanonik cenderung maksimal. Ini dilakukan untuk kemudahan penyelesaian masalah sesuai dengan algoritma yang dikembangkan untuk fungsi tujuan maksimum.
13. Kemungkinan, dapat diterima, rencana tugas dasar optimal, ODZ tugas LP
Definisi 1. Nilai variabel yang tidak diketahui yang memenuhi semua batasan masalah pemrograman linier, disebut diterima nilai variabel atau rencana .
Definisi 2. Himpunan semua rencana untuk masalah pemrograman linier disebut domain dari nilai variabel yang dapat diterima ( ODZ ).
Definisi 3. Rencana masalah pemrograman linier, di mana fungsi tujuan mengambil nilai minimum (atau maksimum) pada ODZ disebut optimal .
14. Jenis rekaman tugas LP: diperluas, dilipat, matriks, vektor.
Model soal LP dapat ditulis dalam berbagai bentuk.
1. Tampilan rekaman model yang diperluas
Z = c1 X1 + c2 X2 + … + cn Xn → min
a11 X1 + a12 X2 + … + a1n Xn = a1,
a21 X1 + a22 X2 + … + a2n Xn = a2,
……………………………………………
a m1 X1 + am2 X2 + … + amn Xn = am,
Xj ≥ 0, j = 1, n.
2. Tampilan yang diciutkan:
,
Xj ≥ 0, j = 1, n.
3. Model soal LP dalam bentuk matriks:
X ≥ 0
Di mana 
a11 a12 … a1n X1 a1
A=a21 a22 … a2n , X= X2 , A0 = a2
… … … … … …
am1 am2 … amn X3 am
4. Model soal LP dalam bentuk vektor:
Di mana
X1 a11 a12 a1n a1
X2 , a21 , a22 , a2n , a2
… … … … …
Di pagi 1 pagi 2 pagi 2 pagi
15. Transisi dari bentuk standar dan umum soal LP ke bentuk kanonik. teorema koneksi
Untuk berpindah dari bentuk umum atau standar ke bentuk kanonik, teknik berikut digunakan.
1. Konversi variabel. Jika beberapa variabel Xk tidak positif (Xk ≤ 0), maka variabel baru Xk " diperkenalkan, sehingga Xk " = –Xk . Jelas, Xk " ≥ 0. Setelah itu, di setiap kendala dan fungsi tujuan, variabel Xk diganti dengan [ – Xk "].
Jika beberapa variabel Xt dapat mengambil nilai apa pun, maka itu digantikan oleh perbedaan dua variabel non-negatif Xt' dan Xt'', yaitu diasumsikan bahwa xt = Xt' – Xt'', di mana Xt' 0 ≥ dan Xt'' ≥ 0.
2. Transformasi kendala. Jika salah satu kendala dalam model berbentuk pertidaksamaan, maka persamaan tersebut diubah menjadi persamaan dengan menjumlahkan (jika pertidaksamaan bertipe ≤) atau mengurangkan (jika pertidaksamaan bertipe ≥) dari ruas kirinya. Variabel ini disebut variabel keseimbangan. Variabel keseimbangan termasuk dalam fungsi tujuan dengan koefisien nol. Variabel balance mengambil nilai indeks secara berurutan setelah yang sudah ada. Jika, misalnya, sistem pembatasan memiliki 5 variabel, maka variabel saldo pertama adalah X6, dan yang kedua - X7, dst.
16. Transisi dari bentuk kanonik model ZLP ke standar
Untuk beralih dari bentuk kanonik ke bentuk standar, masing-masing
persamaan yang akan diganti dengan sistem pertidaksamaan:
Cara lain adalah dengan membawa sistem persamaan ke bentuk khusus dan selanjutnya menghilangkan beberapa variabel.
Menggunakan metode Jordan-Gauss, kami memilih variabel dasar di setiap persamaan. Seleksi semacam itu dilakukan dengan bantuan transformasi Gaussian yang setara (dasar). Ini termasuk:
a) perkalian persamaan apa pun dengan konstanta selain nol;
b) penambahan persamaan apa pun dari persamaan lain, dikalikan dengan konstanta apa pun.
Lebih mudah untuk menulis sistem persamaan linier awal sebelum transformasi dalam bentuk matriks atau tabel:
Kami menulis masalah dalam bentuk standar.
17. Konsep hyperplane setengah bidang, hyperplane pendukung.
18. Geometris. interpretasi sistem kendala dan fungsi tujuan dalam masalah LP
19. Himpunan cembung: titik ekstrim (sudut) himpunan. Polihedron cembung
Definisi Himpunan M disebut cembung jika, bersama dengan dua titik mana pun yang termasuk dalam himpunan tersebut, ia juga berisi segmen yang menghubungkannya.
 |
himpunan cembung
Definisi Suatu titik x dari suatu himpunan M disebut sudut atau titik ekstrem jika tidak berada di dalam segmen mana pun yang sepenuhnya milik himpunan tersebut.
Teorema 1. Setiap titik segmen dapat direpresentasikan sebagai kombinasi cembung dari titik sudutnya.
x \u003d λ 1 A + λ 2 B
λ 1 , λ 2 ≥ 0 kombinasi konveks dari titik sudut A dan B
λ1 + λ2 = 1
Teorema 2. Setiap titik dari himpunan tertutup cembung dapat direpresentasikan sebagai kombinasi cembung dari titik sudutnya.
20. Algoritma metode grafis untuk menyelesaikan masalah LP
1. Dicek apakah LPP asli sudah dalam bentuk standar, jika tidak maka tugas harus diubah ke bentuk standar.
2. Jumlah variabel yang tidak diketahui diperiksa. Jika angka ini lebih dari tiga, maka masalahnya tidak dapat diselesaikan dengan metode grafis (ada metode lain yang efektif untuk menyelesaikan masalah tersebut).
3. Wilayah nilai variabel yang dapat diterima untuk ZLP sedang dibangun.
4. Sebuah vektor panduan sedang dibuat C .
5. Isocel awal ditarik melalui ODZ (tegak lurus terhadap vektor arah).
6. Gerakan mental dari isocoel awal ke arah vektor dilakukan C, jika nilai maksimum dari fungsi tujuan ditentukan, atau berlawanan arah, jika nilai minimumnya ditentukan, hingga isogoal menjadi acuan ODZ. Titik persimpangan isocoel referensi dan ODZ akan menjadi titik optimal dari masalah.
7. Untuk menentukan koordinat titik optimal, perlu diselesaikan sistem persamaan linier yang sesuai.
8. Untuk mencari nilai optimal dari fungsi tujuan, maka perlu mensubstitusikan nilai optimal dari variabel ke dalam fungsi tujuan dan menghitung nilainya.
20. algoritma grafis. Metode pemecahan masalah LP
Algoritma metode grafis.
1. Dengan konstruksi berturut-turut dari masing-masing kondisi sistem kendala masalah, konstruksi ODZ dilakukan.
2. Vektor pengarah C dibangun oleh koefisien untuk variabel fungsi tujuan.
3. Isocoel awal ditarik tegak lurus vektor arah melalui titik asal.
4. Isogoal awal secara mental dipindahkan ke arah peningkatan nilai vektor C, jika nilai maksimum fungsi tujuan ditentukan, atau sebaliknya, jika nilai minimumnya ditentukan, hingga isogoal menjadi a mengacu pada ODZ. Titik persimpangan isocoel referensi dan ODZ akan menjadi titik optimal dari masalah.
5. Untuk menentukan koordinat titik optimal, perlu untuk menyelesaikan sistem persamaan linier yang sesuai dari kondisi tersebut di persimpangan di mana titik optimal berada.
6. Untuk mencari nilai optimal dari fungsi tujuan, perlu mensubstitusi koordinat titik optimal ke dalam fungsi tujuan dan menghitung nilainya.
23. teorema tentang rentang nilai yang dapat diterima dari masalah LP dan fungsi tujuan
Teorema ODZ. Domain solusi yang dapat diterima dari masalah LP adalah himpunan cembung (tertutup dan dibatasi dalam ruang n-dimensi)
Teorema 2 Tentang fungsi tujuan dari masalah program linier.
Fungsi tujuan LLP mengambil nilai optimalnya di salah satu titik sudut wilayah nilai variabel yang dapat diterima. Jika fungsi tujuan mengambil nilai optimalnya pada beberapa titik sudut, maka ia mengambil nilai yang sama pada setiap titik yang merupakan kombinasi cembung dari titik sudut tersebut.
24. Teorema tentang titik sudut. Cukup dan kondisi yang diperlukan
25. Konsekuensi dari teorema tentang sifat-sifat solusi untuk masalah LP dan kesimpulan. Konsep garis dasar.
Konsekuensi dari teorema.
Definisi. Rencana = (х1,х2,…,хn), yang koordinat positifnya sesuai dengan vektor bebas linier, disebut rencana dasar PLP .
Konsekuensi 1. Rencana referensi tidak lebih dari m koordinat positif.
Jika memiliki tepat m koordinat positif, maka desain pendukung seperti itu disebut non-degenerate, jika tidak degenerate.
Konsekuensi 2. Setiap titik sudut ODZ adalah rencana referensi.
27. Algoritma metode simpleks.
Saat memecahkan masalah LP dengan metode simpleks, urutan tindakan berikut harus dilakukan.
1. Dicek apakah soal LP dalam bentuk kanonik. Jika tidak, maka model asli perlu diubah menjadi bentuk kanonik.
2. Rencana referensi awal dan nilai fungsi tujuan dipilih untuk rencana referensi ini.
3. Tabel simpleks awal dibuat.
4. Nilai estimasi optimalitas pada garis indeks diperiksa. Jika tidak ada estimasi positif, solusi optimal ditulis dan algoritme mengakhiri pekerjaannya. Jika tidak, poin 5 terpenuhi.
5. Sebagai basis, sebuah vektor diperkenalkan, yang sesuai dengan estimasi positif terbesar. Kolom ini disebut kolom aktifkan.
6. Vektor diturunkan dari basis, yang sesuai dengan rasio simpleks yang dihitung dengan rumus 0< Ө ≤ . Данная строка называется разрешающей строкой.
7. Dibuat tabel simpleks baru. Kolom B dan C B diubah sesuai.Sisa tabel diisi dari yang sebelumnya menggunakan transformasi Gaussian, dengan baris indeks dianggap baris m+1 dan juga ditransformasikan menggunakan transformasi Gaussian. Kami melanjutkan ke implementasi paragraf 4 dari algoritma ini.
Setelah membuat setiap tabel, Anda dapat memeriksa kebenaran perhitungan menggunakan rumus untuk menghitung perkiraan yang diberikan di paragraf sebelumnya.
28. Pilihan dasar dan konstruksi rencana referensi awal untuk memecahkan masalah dengan metode simpleks.
29. Tabel simpleks, isiannya. Rumus untuk menghitung koefisien baris indeks.
30 . Teorema optimalitas untuk rencana masalah program linier merupakan konsekuensi dari teorema estimasi optimalitas untuk menyelesaikan masalah dengan metode simpleks.
Dalil 1: Jika untuk beberapa vektor Ā j dalam sistem
X 1 + a 1 m +1 X m +1 + a 1 m +2 X m +2 + ... + a 1 n X n \u003d a 1
X 2 + a 2 m +1 X m +1 + a 2 m +2 X m +2 + ... + a 2 n X n \u003d a 2
…………………………………………………..
X m + a mn +1 X m +1 + a mn +2 X m +2 + ... + a mn X n = a m
Hubungan Z j – c j > 0 terpenuhi, maka plan X B0 tidak optimal dan dimungkinkan lolos ke plan X B1 sehingga Z (X B1) ≤ Z (X B0).
Di sini Z j = (С, Ā j) adalah produk skalar vektor.
C adalah vektor yang terdiri dari koefisien pada variabel dasar fungsi tujuan Z
Ā j adalah vektor yang terdiri dari koefisien ekspansi dari vektor yang bersesuaian dalam bentuk vektor basis.
c j adalah koefisien fungsi tujuan Z dengan variabel X j
Konsekuensi dari teorema: Jika untuk semua vektor Ā 1 , Ā 2 , …, Ā n dari suatu denah acuan Х relasi Z j – c j< 0, то опорный план Х является оптимальным. Величины (Z j – c j) – называются оценками оптимальности соответствующих векторов.
Dengan demikian, teorema dan akibat wajar memungkinkan kita untuk menentukan apakah rencana pendukung berikutnya optimal dan, jika tidak, maka perlu beralih ke rencana pendukung lain, di mana nilai fungsi tujuan akan lebih kecil.
Komentar. Teorema dan akibat wajar mengasumsikan bahwa masalahnya dalam bentuk kanonik dengan fungsi tujuan minimum. Namun, metode simpleks juga dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah dengan fungsi objektif maksimum. Dalam hal ini, ketika menganalisis nilai estimasi, makna kebalikannya digunakan, yaitu rencana akan optimal jika semua estimasi optimalitas non-negatif (positif atau negatif).
31. Pemilihan vektor yang masuk ke basis dan turunan dari basis. Hubungan simpleks.
Untuk beralih ke paket referensi baru, diperlukan salah satu vektor gratis 
masuk ke basis, dan menampilkan beberapa vektor basis. Untuk memasukkan basis, kami memilih vektor yang memiliki setidaknya satu koordinat positif. Biarkan vektor A m+1 menjadi vektor tersebut.
penguraian -
Resp. vektor, kucing. akan menjadi rencana referensi jika koordinatnya bukan negatif, dan jumlah koordinat positifnya sama dengan m.
Koordinat vektor X1 harus bukan negatif, mis. .
Jika 
, maka koordinat ini bukan negatif.
Biarkan minimum dalam hubungan (5) diperoleh pada i =1, maka jika kita ambil
maka koordinat pertama dari vektor 1 X akan menjadi nol.
Relasi (6) disebut relasi simpleks. Jadi, kami telah pindah dari baseline asli 0 X(vektor dasar A1, A2, ... Am) ke rencana referensi 1 X(vektor dasar А2,А3,…,Аm, Am+1).
32. elemen permisif dari tabel, pilihannya. Aturan eliminasi penuh Jordan untuk perhitungan ulang tabel simpleks.
33. Aturan segi empat untuk perhitungan ulang tabel simpleks
34. Tanda keunikan rencana optimal, himpunan rencana optimal dan tidak adanya rencana optimal saat menyelesaikan masalah LP dengan metode simpleks.
Saat memecahkan masalah dengan metode simpleks, jenis solusi optimal berikut ini dimungkinkan:
1. Keunikan . Jika perkiraan semua vektor bebas benar-benar negatif, maka desain pendukung yang diperoleh optimal dan unik. (lihat contoh di paragraf sebelumnya).
2. Alternatif optimum (himpunan solusi optimal).
Jika di antara perkiraan nonpositif dari vektor bebas setidaknya ada satu perkiraan nol, maka desain dukungan yang diperoleh akan optimal, tetapi bukan satu-satunya. Dalam hal ini, Anda dapat beralih ke paket dukungan lain (vektor yang sesuai dengan estimasi nol dimasukkan ke dalam basis) dan, kemudian, tulis solusi optimal umum sebagai kombinasi cembung dari paket dukungan optimal yang diperoleh.
3. LLP tidak memiliki solusi optimal, karena fungsi tujuan tidak dibatasi dari bawah . Jika tabel simpleks memiliki skor positif, dan semua elemen kolom yang diberikan negatif dan nol, maka vektor ini dapat dimasukkan ke dalam basis. Namun, tidak ada vektor basis yang dapat disimpulkan dari basis tersebut. Oleh karena itu, penurunan lebih lanjut dalam fungsi tujuan dimungkinkan ketika beralih ke rencana yang tidak mendukung.
4. LLP tidak memiliki solusi optimal, karena sistem batasannya tidak konsisten. Karena saat menyelesaikan LLP, metode simpleks biasa harus menjadi rencana referensi awal, sistem persamaan linier tentu tidak konsisten. Oleh karena itu, kasus seperti itu tidak dapat terjadi saat diselesaikan dengan metode simpleks biasa.
5. Jika ODZ terdiri dari satu titik, maka solusi dari masalah tersebut sepele dan dapat diperoleh tanpa menggunakan metode simpleks.
35. Kapan metode dasar buatan digunakan?
palsu.
36. Konstruksi masalah-M dalam metode dasar buatan
Namun, jika masalah pemrograman linier dalam bentuk kanonik, tidak semua persamaan mengandung variabel dasar, yaitu tidak ada garis dasar asli. Dalam hal ini, dalam persamaan yang tidak memiliki variabel dasar, perlu menambahkan beberapa variabel non-negatif dengan koefisien +1. Variabel seperti itu disebut palsu.
Variabel buatan harus ditambahkan ke fungsi tujuan dengan angka positif yang sangat besar (karena fungsi tujuannya adalah untuk mencari minimum). Angka ini dilambangkan dengan huruf Latin M. Dapat dianggap sama dengan +∞. Dalam hal ini, terkadang metode dasar buatan disebut metode-M. Transformasi seperti itu dari masalah asli disebut konstruksi dari masalah yang diperluas. Jika Anda memecahkan masalah dengan fungsi tujuan untuk menemukan variabel buatan, Anda harus menjumlahkan fungsi tujuan dengan bilangan positif yang sangat besar (karena fungsi tujuan adalah untuk mencari minimum). Angka ini dilambangkan dengan huruf Latin M. Dapat dianggap sama dengan +∞. Dalam hal ini, terkadang metode dasar buatan disebut metode-M. Transformasi seperti itu dari masalah asli disebut konstruksi dari masalah yang diperluas. Jika suatu masalah diselesaikan dengan fungsi tujuan untuk menemukan maksimum, maka variabel buatan memasuki fungsi tujuan dengan koefisien -M.
Jadi, dalam masalah yang diperluas, kami memiliki garis dasar (walaupun beberapa variabel dasar adalah artifisial).
Tabel simpleks awal dibuat.
37. membangun garis indeks dalam metode dasar buatan
Tabel simpleks awal dibuat, di mana baris indeks dibagi menjadi dua baris, karena estimasi terdiri dari dua suku. Baris paling atas memuat suku penduga tanpa M, baris paling bawah menunjukkan koefisien pada M. Tanda penaksir ditentukan oleh tanda koefisien pada M, terlepas dari nilai dan tanda suku tanpa M, karena M adalah bilangan positif yang sangat besar.
Jadi, untuk menentukan vektor yang dimasukkan ke dalam basis, perlu dilakukan analisis garis indeks yang lebih rendah. Jika vektor buatan diturunkan dari basis, maka kolom yang sesuai pada tabel simpleks berikutnya dapat dihilangkan jika tidak perlu mendapatkan solusi untuk masalah ganda (lihat topik berikutnya).
Setelah semua vektor artifisial dikeluarkan dari basis, baris paling bawah akan memiliki semua elemen nol, kecuali untuk perkiraan yang sesuai dengan vektor buatan. Mereka akan sama dengan -1. Garis seperti itu dapat dihilangkan dari pertimbangan dan solusi lebih lanjut dapat dilakukan dengan metode simpleks biasa, jika tidak perlu mendapatkan solusi untuk masalah ganda (lihat topik berikutnya).
38. Kriteria optimalitas dalam metode dasar buatan. Tanda adalah konstruksi rencana dasar awal dari tugas awal.
39. Algoritma metode simpleks ganda
Algoritma metode simpleks ganda:
1. dengan cara biasa isi tablo simpleks pertama, abaikan tanda-tanda suku bebas. Dipercayai bahwa masalah seperti itu harus memiliki basis satuan awal.
2. Pilih garis panduan dengan elemen negatif absolut terbesar dari kolom anggota bebas A0
3. Kolom panduan dipilih sesuai dengan nilai absolut terkecil dari rasio elemen garis indeks dengan elemen negatif dari garis panduan.
4. Hitung ulang tabel simpleks menurut aturan eliminasi Jordan penuh
5. periksa rencana yang diterima untuk penerimaan. Tanda diperolehnya rencana referensi yang dapat diterima adalah tidak adanya elemen negatif di kolom A0. Jika ada elemen negatif di kolom A0, lanjutkan ke paragraf kedua. Jika tidak ada, maka mereka akan menyelesaikan masalah dengan cara biasa.
6. Tanda diperolehnya solusi optimal dengan metode simpleks ganda adalah kriteria optimalitas metode simpleks biasa.
41. Model transportasi terbuka dan tertutup. Transisi dari model transportasi terbuka ke model tertutup.
Jenis tugas transportasi.
Tersedia M pemasok produk homogen dengan stok produk yang diketahui dan N konsumen produk-produk ini dengan volume kebutuhan tertentu. Biaya satuan transportasi juga diketahui.
Jika jumlah volume persediaan produk sama dengan volume kebutuhan seluruh konsumen, maka masalah seperti itu disebut tugas transportasi tertutup
(yaitu, jika ∑ Ai = ∑ Bj), jika tidak, masalah transportasi disebut membuka. Untuk mengatasi masalah transportasi, perlu ditutup.
Tugas transportasi terbuka dapat diubah menjadi tugas tertutup dengan cara berikut.
Misalkan ∑Ai > ∑Bj. Dalam hal ini perlu diperkenalkan n + 1 konsumen fiktif dengan volume kebutuhan ∑Ai – ∑Bj Biaya satuan untuk transportasi dari pemasok ke konsumen fiktif diasumsikan 0, karena sebenarnya transportasi tersebut tidak akan dilakukan dan sebagian produk akan tetap menjadi milik pemasok.
Jika ∑Bj > ∑Ai . Dalam hal ini, perlu memperkenalkan pemasok m + 1 fiktif dengan volume persediaan ∑Bj – ∑Ai . Biaya satuan transportasi dari pemasok fiktif ke konsumen diasumsikan sama dengan 0, karena sebenarnya transportasi tersebut tidak akan dilakukan dan konsumen tidak akan menerima sebagian produk.
42. Metode untuk membangun distribusi awal dalam masalah transportasi: metode sudut barat laut dan metode elemen terkecil dalam matriks.
Teknik barat laut untuk membangun rencana referensi. Menurut teknik ini, pembentukan nilai lalu lintas dimulai dengan s.-z. sudut meja, mis. dari sel x11. Menurut metode ini, pertama-tama barang dari pemasok pertama didistribusikan. Selain itu, pemasok pertama memuaskan konsumen pertama sebanyak mungkin. Kemudian, jika pemasok masih memiliki barang tersebut,
Metode elemen terkecil dalam matriks.
Inti dari metode ini adalah pasokan maksimum yang mungkin selalu dimasukkan ke dalam sel, yang sesuai dengan tarif terendah dari matriks.
Pertama, kami membuat tanda (misalnya, dengan tanda ▼) di sel-sel garis di mana harga terendah untuk garis diamati. Lalu kami berkeliling tabel dengan kolom dan membuat catatan yang sama di sel di mana harga terkecil adalah dengan kolom.
Distribusi lebih lanjut pertama-tama dilakukan sejauh mungkin pada sel dengan dua tanda, kemudian - dengan satu, dan kemudian masalah diseimbangkan kembali menjadi tambalan (m + n - 1). Kami mengatur isian saat melewati meja dari kiri ke kanan dan dari atas ke bawah.
43. Properti tugas transportasi
Masalah transportasi memiliki beberapa sifat yang dapat tercermin dalam teorema berikut.
Teorema 1. Masalah transportasi tertutup selalu memiliki solusi.
Teorema 2. Jika volume stok produk dan volume kebutuhan adalah bilangan bulat, maka penyelesaian masalah transportasi juga bilangan bulat.
Teorema 3. sistem kendala masalah transportasi tertutup selalu bergantung secara linier.
Berdasarkan teorema ini, distribusi masalah transportasi tertutup selalu memiliki m + n – 1 variabel dasar dan (m – 1) (n – 1) variabel waktu bebas.
44. Kemerosotan distribusi dalam masalah transportasi, singkirkan kemerosotan. Kombinasi dicoret.
Distribusi disebut merosot jika jumlah sel kurang dari m + n - 1.
45. Teorema optimalitas untuk masalah transportasi.
Dalil. Jika untuk beberapa distribusi tugas transportasi Anda
kondisi terpenuhi:
A). ui+vj = cij untuk sel yang ditempati
B) ui+vj ≤ сij, untuk sel bebas,
maka distribusi ini optimal.
Nilai ui disebut potensial baris, dan nilai vj disebut potensial kolom.
46. Potensi dan metode perhitungannya.
Untuk mencari potensial baris dan kolom, digunakan penalaran berikut, berdasarkan kondisi a) teorema optimalitas.
Banyaknya persamaan berdasarkan kondisi ini adalah m + n – 1, dan banyaknya bilangan yang tidak diketahui ui dan vj adalah m + n. Itu. jumlah variabel lebih besar dari jumlah persamaan, dan semua persamaan bebas linier. Solusi dari sistem persamaan linier semacam itu tidak terbatas, jadi salah satu potensi harus diberi nilai berapa pun. Dalam prakteknya, ui = 0. sistem persamaan m + n – 1 dengan m + n – 1 variabel yang tidak diketahui diperoleh. Sistem ini dapat diselesaikan dengan metode apapun. Dalam praktiknya, untuk menghitung potensi, sel yang ditempati dipertimbangkan, yang salah satu potensinya diketahui, dan berdasarkan kondisi a) teorema, nilai potensi yang tidak diketahui yang tersisa dihitung.
47. Perhitungan estimasi optimalitas distribusi tugas transportasi dan kriteria optimalitas.
Berdasarkan relasi b) teorema, kita dapat menulis rumus berikut untuk menghitung perkiraan: δ aku j= ui + vj – сij. Agar tidak membingungkan perkiraan dengan volume lalu lintas, perkiraan tersebut (perkiraan) diapit dalam lingkaran.
Estimasi optimalitas dalam sel TK gratis adalah kriteria optimalitas yang memeriksa distribusi untuk optimalitas. Jika perkiraan semua sel bebas kurang dari atau sama dengan nol, maka distribusi ini optimal.
48. redistribusi perbekalan dalam masalah transportasi
Jika pendistribusiannya belum optimal, maka perlu dilakukan redistribusi perbekalan.
Untuk redistribusi, siklus perhitungan ulang dibangun. Sel dengan skor positif tertinggi dipilih sebagai sel. Sel ini ditandai dengan tanda "+", yaitu perlu mencatat sejumlah pengiriman di dalamnya. Namun kemudian keseimbangan pada kolom ini akan terganggu, oleh karena itu salah satu sel yang ditempati pada kolom ini harus diberi tanda “-”, yaitu volume suplai harus dikurangi dengan jumlah yang sama. Tetapi kemudian keseimbangan untuk baris ini akan berubah, oleh karena itu, beberapa sel yang ditempati dari baris ini harus diberi tanda "+". Proses ini berlanjut sampai tanda "-" ditempatkan di garis tempat sel asli berada.
Untuk sel bebas apa pun, ada siklus penghitungan ulang dan, terlebih lagi, satu-satunya.
49. rantai redistribusi, jenisnya.
Biarkan rencana transportasi yang dipertimbangkan tidak optimal, mis. ada perkiraan relatif positif. Kemudian sel yang tidak menguntungkan diambil (salah satu yang tidak menguntungkan) dan siklus perhitungan ulang dibuat untuknya, yang menurutnya transportasi yang direncanakan kemudian didistribusikan kembali. Siklus dibangun dalam bentuk garis tertutup putus-putus, yang segmen-segmennya berjalan di sepanjang kolom atau di sepanjang garis. Di salah satu sudut garis putus-putus terdapat sel yang tidak menguntungkan yang mengklaim produk, dan di sudut lain sel diisi, mis. ketika membangun sebuah siklus, kita mulai dari sel kandidat dan kembali ke sel itu di sepanjang garis putus-putus, tetapi kita hanya dapat berbelok di sel yang terisi (sesuai dengan variabel dasar). Biarkan sel yang tidak menguntungkan mengklaim produk Q. Untuk mencegah ketidakseimbangan dalam tabel, hal itu perlu dilakukan
menambah dan mengurangi Q ke lalu lintas yang tersedia. Karena jumlah sudutnya genap, Q akan ditambahkan di separuh sel, dan dikurangi di separuh lainnya. Siklus dimulai searah jarum jam atau berlawanan arah jarum jam dari sel kandidat, menempatkan Q yang baik di sana, kemudian Q dikurangi dari sel tetangga, kemudian ditambahkan, dan seterusnya. Nilai Q sendiri dipilih sehingga salah satu sel dikosongkan, tetapi tidak ada persediaan yang menjadi negatif.
Untuk melakukan ini, Q harus dipilih sama dengan sel terkecil yang dapat direduksi di mana Q dikurangi. Pada gambar berikut. 7.1 dan 7.2 kami akan menunjukkan contoh siklus dan aturan perhitungannya.
Dalam hal ini, dua sel dikosongkan. Tetapi hanya satu sel yang harus dikosongkan bersama. Mereka melakukan ini: salah satu sel pengosongan dibuat kosong di tabel baru, dan nol diletakkan di sel pengosongan lainnya. Sel ini dianggap dasar (diisi) di tabel baru.
50. Pilihan volume redistribusi.
Penentuan volume produk yang diangkut. Saat menentukan volume produk yang dipindahkan melalui siklus penghitungan, kita harus melanjutkan dari dua pertimbangan berikut:
a) setelah transformasi dalam sel tabel, angka negatif tidak boleh diperoleh;
b) salah satu sel yang ditempati harus bebas.
Agar kondisi tersebut terpenuhi, perlu untuk memilih volume produk yang diangkut sebagai berikut: θ=min (хij) -, di mana (хij) adalah volume transportasi dari sel-sel siklus perhitungan ulang yang ditandai dengan “ -" tanda.
θ = min(20;30)=20
θ ditambahkan ke nilai sel yang ditandai dengan tanda "+". θ dikurangi dari nilai sel yang ditandai dengan tanda "-". Nilai pasokan sel yang tersisa ditimpa tanpa perubahan. Hasilnya, kami mendapatkan tabel berikut.
53. Algoritma metode potensi.
Algoritma:
1. Periksa apakah persamaan terpenuhi untuk tugas tersebut 
jika tidak, pemasok atau konsumen fiktif dimasukkan ke dalam tugas tersebut
2. Kondisi tugas dituliskan dalam bentuk tabel transport
3. Garis dasar awal sedang dibangun
4. Potensi pasokan dan konsumen ditentukan
5. Skor sel bebas dihitung. Jika semuanya tidak negatif, rencananya optimal dan Anda perlu menuliskan jawabannya. Matriks transportasi X dan tentukan besarnya biaya transportasi. Jika rencananya tidak optimal, yaitu di antara estimasi ada yang negatif, maka pilihlah sel yang menjanjikan dengan nilai negatif terbesar. memperkirakan dan meneruskan besarnya ke yang berikutnya.
6. Muat sel perspektif. Siapkan denah dasar baru berupa tabel transportasi. Pergi ke poin 4.
54. Akuntansi biaya produksi dan transportasi produk. Tugas transportasi dengan larangan pasokan.
Saat memecahkan beberapa masalah, perlu diperhitungkan biaya tidak hanya untuk pengangkutan barang, tetapi juga untuk produksi produk yang diangkut. Untuk melakukan ini, dalam transp matriks. tugas
Dimana Cij' adalah pengurangan biaya produksi satu unit output.
Cij “- biaya pengangkutan satu unit produksi.
Tugas dengan larangan pasokan.
Dalam beberapa situasi, tidak mungkin untuk mengangkut produk pada rute mana pun.
Untuk melakukan ini, dalam matriks tugas transportasi, transportasi yang melaluinya dilarang, tarif M yang dilarang dimasukkan. Selanjutnya, tugas tersebut diselesaikan dengan cara biasa. Namun, sel ini akan selalu sesuai dengan skor sel negatif.
55. dengan mempertimbangkan pembatasan jalur lalu lintas, dengan mempertimbangkan sifat wajib pengiriman tertentu dalam masalah transportasi.
memperhitungkan pembatasan pada throughput rute.
Dalam beberapa tugas transportasi, pada beberapa rute, lebih kecil throughput dari yang diperlukan untuk memenuhi permintaan titik konsumsi.
dengan mempertimbangkan sifat wajib dari pengiriman tertentu dalam masalah transportasi.
Dalam beberapa kasus, tugas tersebut mengharuskan, misalnya, di sepanjang rute Ak Bs, pengiriman dalam unit volume A harus dilakukan. Dalam hal ini, pasokan wajib dikurangkan dari volume produksi titik A dan volume S Bs dan masalahnya diselesaikan sehubungan dengan pasokan opsional. Setelah mendapatkan solusi optimal, suplai harus ditambahkan ke volume yang ada di sel Ak Bs.
56. Kemungkinan kesimpulan dengan ekonomi. interpretasi distribusi optimal untuk masalah transportasi terbuka.
Setelah menerima distribusi yang optimal, perlu untuk kembali ke masalah awal dan membuat ekonomis yang sesuai. kesimpulan. Mereka adalah sebagai berikut:
1. Jika suatu titik konsumsi diperkenalkan, ini berarti terdapat kelebihan volume produksi dalam sistem yang dianalisis, dan dimungkinkan, tanpa mengurangi sistem yang sedang dipertimbangkan, untuk mengurangi kapasitas titik-titik produksi tersebut dengan jumlah yang mengikat yang terikat pada titik konsumsi fiktif.
2. Jika titik produksi fiktif diperkenalkan, maka ini berarti kapasitas titik produksi nyata tidak cukup dan perlu ditingkatkan. Kapasitas titik produksi yang paling dekat dengan titik konsumsi yang terkait dengan titik produksi fiktif ditingkatkan. Kapasitas pabrikan ditingkatkan dengan nilai yang mengikat. Untuk melakukan ini, pertimbangkan kolom titik konsumsi, yang terkait dengan titik produksi fiktif, dan temukan tarif terendah di dalamnya. Yang paling efisien adalah meningkatkan kapasitas titik produksi yang sesuai dengan tarif ini dengan jumlah yang mengikat.
57. Konsep dualitas. Rumusan ekonomi masalah ganda pada contoh masalah optimalisasi rencana produksi.
Masalah ganda adalah masalah tambahan dari program linier yang dirumuskan dengan menggunakan aturan tertentu langsung dari kondisi aslinya, atau masalah langsung.
Biarkan ada tugas untuk mengoptimalkan rencana produksi. Ini terlihat seperti ini:
Tugas awal:
a 11 x 1 + a 12 x 2 +…+ a 1p x p ≤v 1 | 1
a 21 x 1 + a 22 x 2 +…+ a 2p x p ≤v 2 | pada 2
……………….. |.. (1)
A T 1x1 +a T 2 x 2 + ... + a T nxn ≤v 1 | pada T
xj ≥0, j = 1,n(2)
z = c 1 x 1 +c 2 x 2 +…+c n x n ->maks(3)
X \u003d (x 1, x 2, ..., xn)
a ij - jumlah bahan baku dari jenis ke-i, yang dihabiskan untuk produksi jenis produk ke-j
Masalah ganda
Biarkan perusahaan karena alasan apa pun tidak dapat menghasilkan produk. Untuk menekan biaya downtime, perusahaan dapat menjual bahan baku yang dimilikinya. Berapa harga bahan mentah yang harus dijual?
i - harga jenis bahan baku ke-i yang tersedia di perusahaan.
a 11 y 1 + a 21 y 2 + ... + a T 1 tahun T≥s 1
a 12 x 1 + a 22 y 2 + ... + a T 2 x n ≥s 2
……………….. (1’)
A 1p y 1 +a 2p y 2 +…+ a tp pada T≥s P
i ≥0, j = 1,m(2’)
F = b 1 y 1 +b 2 y 2 +…+b m y m ->min(3’)
58. Korespondensi antara elemen struktural dari masalah langsung dan ganda
Setiap masalah pemrograman linier dapat diasosiasikan
tugas ganda sesuai dengan aturan berikut:
1. Dalam semua batasan masalah awal, syarat bebas harus
berada di sebelah kanan, dan syarat dengan yang tidak diketahui di sebelah kiri.
2. Kendala-pertidaksamaan dari masalah asli harus memiliki tanda,
diarahkan ke satu arah.
3. Jika fungsi tujuan pada soal awal diminimalkan, kendala pertidaksamaan harus ditulis dengan tanda "≤", maka pada soal ganda fungsi tujuan akan diminimalkan dan tanda kendala pertidaksamaannya adalah "≥".
4. Setiap kendala dari masalah asli sesuai dengan variabel di
tugas ganda. Jika suatu variabel sesuai dengan pertidaksamaan, itu adalah non-negatif, jika itu sesuai dengan persamaan, maka variabel tersebut tanpa batasan pada tanda ("sewenang-wenang").
5. Koefisien variabel dalam kendala masalah ganda diperoleh dengan mentranspos matriks yang tersusun dari
koefisien untuk variabel dari masalah asli.
6. Suku bebas dari soal awal adalah koefisien di
variabel dalam fungsi tujuan dari masalah ganda, dan bebas
istilah dalam masalah ganda adalah koefisien dari variabel di
fungsi dari masalah asli Kami juga mencatat bahwa hubungan dualitas saling menguntungkan, yaitu tugas ganda sehubungan dengan yang ganda bertepatan dengan yang asli Pasangan tugas ganda dibagi menjadi simetris dan asimetris. Dalam pasangan simetris, kendala dari masalah primal dan dual adalah pertidaksamaan non-ketat dan, oleh karena itu, variabel dari kedua masalah hanya dapat mengambil nilai non-negatif.
59. Konstruksi soal ganda ke soal asli yang ditulis dalam bentuk model standar, kanonik dan umum (konstruksi soal ganda simetris dan asimetris)
Bentuk standar (asli)
Σ a ij x j ≤ b i , i=1,n(1)
xj ≥0, j=1,n(2)
z = Σ c j x j ->maks(3)
Standar ganda
Σ a ij y i ≤ c j , j=1,n(1)
yi ≥0, j=1,m(2)
F = Σ b i y i ->min(3)
Masalah asli dalam bentuk kanonik:
Σ a ij x j = b i , i=1,m(1)
xj ≥0, j=1,n(2)
z = Σ cjxj ->min(3)
Kanonik ganda
Σ a ij y i ≤ c j , j=1,n(1)
y saya - apa saja (2)
F = Σ b i y i ->max(3)
Mari kita berikan interpretasi ekonomi dari sepasang masalah ganda. Pertimbangkan masalah penggunaan sumber daya secara rasional. Biarkan perusahaan memiliki sumber daya b1,b2,…bm yang dapat digunakan untuk menghasilkan produk jenis-n. Diketahui juga biaya satu unit produk tipe-j cj (j=1,n) dan laju konsumsi sumber daya ke-i (i=1,m) untuk produksi satu unit produksi ke-j– aij Diperlukan untuk menentukan volume produksi setiap jenis xj (j=1,n), memaksimalkan total biaya
f=c1x1+…+cnxn (1)
Pada saat yang sama, konsumsi sumber daya tidak boleh melebihi ketersediaannya:
a11x1+…+a1nxn<=b1 }
…………………….. } (2)
am1x1+…+amnxn<=bm }
Semua yang diketahui dalam pengertian ekonominya adalah non-negatif:
Xj>=0 (j=1,n). (3)
Perhatikan bahwa masalah ini membentuk masalah ganda simetris.
Masalah ganda asimetris.
Mari kita maksimalkan ZLP dalam bentuk kanonik:
Maks Z=(n;j=1)Σcj*xj
(n;j=1)Σaij*xj=bi (i=1,m)
Xj>=0 (j=1,n).
60. Teorema dualitas utama dan kedua (sebutkan teorema dan jelaskan)
Teorema dualitas pertama.
Teorema: jika salah satu dari masalah ganda memiliki rencana optimal, maka yang lainnya dapat diselesaikan, yaitu memiliki rencana opt. Dalam hal ini, nilai ekstrem dari fungsi tujuan bertepatan (j=dari 1 ke n) Σcjxj*= (i=dari 1 ke m)Σbiyi* jika dalam aslinya. masalah fungsi tujuan tidak terbatas pada himpunan rencana, maka dalam masalah ganda sistem kendala tidak konsisten.
Teorema dualitas kedua dan interpretasi ekonominya.
Untuk solusi yang valid pasangan soal ganda optimal, perlu dan cukup untuk memenuhi syarat: xj*(∑aij yi*-cj)=0, j from 1 to n, yi*(∑aij xj*-bi)=0, I dari 1 sampai m. Ini adalah kondisi kelambanan yang saling melengkapi. Ini mengikuti dari mereka: jika ada batasan masalah ganda diubah oleh rencana optimal menjadi persamaan yang ketat, maka komponen opt yang sesuai. rencana masalah ganda harus sama dengan nol.Jika beberapa komponen memilih. plan sama dengan nol, maka batasan yang sesuai dari masalah ganda diubah oleh opt.plan menjadi persamaan ketat xj*>0, oleh karena itu (i= dari 1 hingga m)Σaij yi*=cj opt.plan, maka jika biaya>harga, volume produksi=0 Σaij yi* >cj karenanya xj*=0
yi*>0 oleh karena itu (j=dari 1 ke n) Σaij xj*=bi (ras sumber daya = stok sumber daya).
(j=1 ke n) Σaij xj* Arti dari teorema adalah sebagai berikut: Jika perkiraan biaya konsumsi sumber daya untuk produksi satu unit prod-ii \u003d harga, maka jenis prod-ii ini termasuk dalam rencana optimal; Jika biaya melebihi harga, maka prod-yu tidak boleh diproduksi; Jika konsumsi sumber daya = stok, maka perkiraan biaya sumber daya ini adalah positif. Sumber daya seperti itu disebut langka. Yang paling kekurangan.res-s memiliki skor tertinggi; Jika sumber daya tidak digunakan sepenuhnya, maka perkiraan biayanya = 0. 61. Konstruksi rencana dukungan optimal untuk masalah ganda dari tabel simpleks dari masalah aslinya Informasi dari kolom invers matriks transformasi linier yang mengarah pada hasil yang optimal. Kolom matriks D-1 memberikan informasi yang sangat berguna. Kolom A3: harga "bayangan" sumber daya S2 adalah y01=0, kolom tetap tunggal dan dari baris pertama dapat dibaca bahwa x3=9, yaitu ketika menerapkan rencana optimal yang ditemukan, sumber daya pertama akan berlebih, dan kelebihan ini (kurang dimanfaatkan) hanya akan berjumlah 9 unit konvensional. Kolom A4: harga "bayangan" sumber daya S2 sama dengan y02=1, sumber daya akan digunakan sepenuhnya dan kemungkinan peningkatannya akan menyebabkan peningkatan fungsi tujuan (yaitu pendapatan). Dan karena y02=1, maka peningkatan sumber daya S2 sebesar 1 c.u. akan memberikan tambahan pendapatan sebesar.Z = y02· .w2 = = 1,1 = 1 (seribu UAH) (di sini.w2 adalah peningkatan sumber daya S2 dan .Z adalah peningkatan pendapatan yang sesuai). Dengan peningkatan sumber daya S2 seperti itu, pendapatan maksimum sudah menjadi Zmax=58 ribu UAH. + 1 ribu UAH = 59 ribu UAH. Pada ara. 6.2 mengilustrasikan situasi ini, komentar yang akan diberikan di bawah ini. Ini juga mengikuti dari kolom A4 bahwa dengan peningkatan sumber daya S2 sebesar 1 c.u. untuk titik optimal baru, output barang T1 akan berkurang ½ ton (di persimpangan baris variabel dasar x1 dan kolom A4 adalah "-1/2"), dan output barang T2 akan meningkat sebesar 3 /2 ton (karena pada baris dengan variabel dasar x2 di kolom A4 kita memiliki "3/2". Apa yang dikatakan tentang kolom A4 akan dikomentari di bawah menggunakan konstruksi grafis (Gbr. 6.2). Kolom A5: bayangan " " harga sumber daya S3 sama dengan y03=2. Ini berarti bahwa peningkatan sumber daya S3 sebesar 1 c.u. akan menambah Z to.Z = y03 · .v3 = 2.1 =2(ribu hryvnia) dan akan menjadi Zmax=58 ribu hryvnia. + 2 ribu UAH = 60 ribu UAH. Pada saat yang sama, sebagai berikut dari kolom A5 Tabel. 3, output T1 akan bertambah ½ ton dan T2 akan berkurang ½ ton. Stok bahan baku S1 (lihat baris 1) akan bertambah 3/2 c.u. 62. Gagasan metode pemrograman dinamis dan interpretasi geometrisnya. prinsip optimalitas Bellman. Solusi optimal dari masalah dengan metode pemrograman dinamis ditemukan berdasarkan persamaan fungsional Untuk mendefinisikannya, Anda perlu: 1. tuliskan persamaan fungsional untuk keadaan terakhir dari proses (sesuai dengan l \u003d n-1) fn-1(Sl-1)=optimal(Rn(Sn-1,Un)+f0(Sn)) 2. temukan Rn(Sn-1,Un) dari kumpulan nilainya yang terpisah untuk beberapa Sn-1 tetap dan Un dari area yang dapat diterima yang sesuai (karena f0(Sn)=0, maka f1(Sn-1)= optimal(Rn(Sn-1,Un) Hasilnya, setelah langkah pertama, solusi Un dan nilai yang sesuai dari fungsi f1(Sn-1) diketahui 3. Kurangi nilai l dengan satu dan tuliskan persamaan fungsional yang sesuai. Untuk l=n-k (k= 2,n) sepertinya fk(Sn-k)=optimum(Rn-k+1(Sn-k,Un-k+1)+fk-1(Sn-k+1)) (2) 4. temukan solusi optimal bersyarat berdasarkan ekspresi (2) 5. periksa apakah nilai l sama dengan Jika l = 0, perhitungan solusi optimal kondisional selesai, dan solusi optimal dari masalah untuk keadaan pertama dari proses ditemukan. Jika l tidak sama dengan 0, lanjutkan ke langkah 3. 6. Hitung solusi optimal dari masalah untuk setiap langkah selanjutnya dari proses, bergerak dari akhir perhitungan ke awal. Metode dinamisme program memungkinkan satu masalah dengan banyak variabel digantikan oleh sejumlah masalah yang diselesaikan secara berurutan dengan jumlah variabel yang lebih sedikit. Keputusan diambil langkah demi langkah. Prinsip utama yang menjadi dasar pengoptimalan proses multi-langkah, serta fitur metode komputasi, adalah prinsip optimalitas Bellman. Perilaku optimal memiliki sifat bahwa apa pun keadaan awal dan keputusan awal, keputusan selanjutnya harus optimal sehubungan dengan keadaan yang dihasilkan dari keputusan awal. Secara matematis, itu ditulis sebagai ekspresi dari bentuk: fn-1(Sl)=optimum(Rl+1(Sl,Ul+1)+fn-(l+1)(Sl+1)) (1) (l=0,n-1)Optimal dalam ekspresi berarti maksimum atau minimum tergantung pada kondisi masalah. 63. Persyaratan untuk masalah yang diselesaikan dengan metode DP Pemrograman dinamis adalah metode matematika untuk menemukan solusi optimal untuk masalah multi-langkah. Proses multi-langkah adalah proses yang berkembang dari waktu ke waktu dan dipecah menjadi sejumlah langkah, atau tahapan. Salah satu fitur dari metode pemrograman dinamis adalah bahwa keputusan yang dibuat sehubungan dengan proses multi-langkah dianggap bukan sebagai tindakan tunggal, tetapi sebagai keputusan kompleks yang saling terkait. Urutan keputusan yang saling terkait ini disebut strategi.Tujuan perencanaan optimal adalah memilih strategi yang memberikan hasil terbaik dalam hal kriteria yang telah dipilih sebelumnya. Strategi seperti itu disebut optimal. Fitur penting lainnya dari metode ini adalah kemandirian keputusan optimal yang diambil pada langkah selanjutnya dari prasejarah, yaitu. tentang bagaimana proses yang dioptimalkan telah mencapai keadaan saat ini. Solusi optimal dipilih hanya dengan mempertimbangkan faktor-faktor yang mencirikan proses saat ini. Metode program dinamis juga dicirikan oleh fakta bahwa pilihan solusi optimal pada setiap langkah harus dibuat dengan mempertimbangkan konsekuensinya di masa mendatang. Ini berarti bahwa sambil mengoptimalkan proses pada setiap langkah individu, Anda tidak boleh melupakan semua langkah selanjutnya. 64. Formulasi ekonomi dan konstruksi model matematis dari masalah yang diselesaikan dengan metode DP (pada contoh masalah distribusi investasi modal). Relasi perulangan Bellman. Mari kita jelaskan sebelumnya bahwa metode pemrograman dinamis diterapkan terutama untuk masalah-masalah di mana proses (atau situasi) yang dioptimalkan digunakan dalam ruang atau waktu, atau keduanya. Biarkan proses (situasi) itu sendiri menjadi sangat rumit sehingga tidak ada cara untuk mengoptimalkannya menggunakan metode yang diketahui. Kemudian, menurut metode pemrograman dinamis, suatu proses KOMPLEKS (operasi, situasi) dibagi (dipartisi) menjadi beberapa tahapan (langkah). Kerusakan ini dalam banyak kasus alami, tetapi dalam kasus umum hal itu terjadi secara artifisial. .
Misalnya, saat mempertimbangkan permainan catur apa pun, gerakan apa pun dari masing-masing pemain hanya berfungsi memecah seluruh kumpulan menjadi langkah-langkah (tahapan) terpisah. Dan dalam operasi militer untuk mengejar satu misil melawan misil lainnya, seluruh proses berkelanjutan harus secara artifisial dibagi menjadi beberapa tahapan, misalnya, setiap detik pengamatan. Metode pemrograman dinamis memungkinkan pengoptimalan seluruh proses kompleks diganti dengan pengoptimalan bersyarat untuk setiap tahapan (langkah) diikuti dengan sintesis kontrol optimal dari seluruh proses. Pada saat yang sama, metode ini menyatakan bahwa pengoptimalan bersyarat pada langkah (tahap) terpisah dilakukan untuk kepentingan, pertama-tama, seluruh operasi. Semua perhitungan yang memungkinkan untuk menemukan nilai optimal dari efek yang dicapai dalam n langkah, fn(S0), dilakukan sesuai dengan rumus (1), yang disebut persamaan Bellman fungsional dasar atau hubungan perulangan. Saat menghitung nilai selanjutnya dari fungsi fn-1, nilai fungsi fn-(l+1) yang diperoleh pada langkah sebelumnya digunakan, dan nilai langsung dari efek Rl+1(Sl,Ul+1), dicapai sebagai hasil dari pemilihan solusi Ul+1 untuk sistem keadaan Sl tertentu. Proses menghitung nilai fungsi fn-1(l=0,n-1) Ini dilakukan pada kondisi awal alami f0(Sn)=0, yang berarti bahwa di luar keadaan akhir sistem, efeknya adalah nol. 65. Masalah distribusi penanaman modal (contoh). Untuk mengatasi masalah distribusi investasi modal yang optimal, kami akan menggunakan persamaan fungsional Bellman. Pertama, dengan menggunakan situasi paling sederhana, kami akan mengilustrasikan penurunan persamaan fungsional Bellman, dan kemudian, dengan menggunakan contoh, kami akan membuktikan bagaimana menggunakan persamaan ini untuk menyelesaikan masalah yang menarik bagi kami. Mari kita mulai dengan distribusi investasi modal yang dialokasikan secara optimal sebesar K antara dua perusahaan. Departemen perencanaan perusahaan, berdasarkan perhitungan mereka, membentuk fungsi pendapatan q(x) untuk perusahaan P1 dan h(x) untuk perusahaan P2. Fungsi ini berarti bahwa jika perusahaan pertama atau kedua menerima investasi sebesar x, maka perusahaan pertama pendapatan q(x) akan diterima, dan h(x) kedua, dan nilai x dapat mengambil nilai diskrit kontinu atau diketahui dari 0 hingga K. Jadi misalkan perusahaan P1 mengalokasikan penyertaan modal sebesar x, maka perusahaan P2 dialokasikan sebesar K - x. Dalam hal ini, pendapatan q(x) akan diterima dari perusahaan pertama, dan h(K - x) dari perusahaan kedua. Jika investasi K dialokasikan untuk satu periode perencanaan, maka pendapatan total dari kedua perusahaan tersebut adalah R(K, x) = q(x) + h(K - x). Jelas, x dan, dengan demikian, K - x harus dipilih sehingga R(K, x) mengambil nilai maksimumnya, yang dilambangkan dengan F(K): Entri ini seperti kerangka untuk entri yang lebih lengkap. persamaan Bellman fungsional. RUMAHKAN tugas kami dengan mendistribusikan investasi modal selama dua periode perencanaan (dua tahap) .
Biarkan pada awalnya diputuskan untuk mengalokasikan jumlah x ke perusahaan pertama P1, dan x ke perusahaan kedua P1. Secara umum, pendapatan akan sama dengan R(K, x) = q(x) + h(K - x). Jika kita ingat bahwa investasi didistribusikan selama 2 periode (2 tahap), maka pada perusahaan pertama saldo investasi akan menjadi x, dimana , dan pada yang kedua - .(K - x), dimana Dengan demikian, pendapatan untuk periode kedua adalah q( .x) - menurut fasilitas pertama dan h[.(K - x)] - menurut fasilitas kedua. Optimalisasi pemrograman dinamis, sebagai aturan, dimulai dari tahap akhir. Oleh karena itu, kita mulai dari tahap kedua, yang menunjukkan F1 pendapatan maksimum yang mungkin dari dua perusahaan di tahap kedua panggung. Mendapatkan Kemudian, ke tahap terakhir yang dianggap (dalam kasus kami, kedua), kami menambahkan tahap sebelumnya (dalam kasus kami, pertama) dan menemukan pendapatan maksimum dari dua tahap bersama-sama: Demikian pula, untuk n tahap, kami memperoleh di mana Fn-1 adalah fungsi tujuan yang memberikan hasil terbaik untuk tahap terakhir (n - 1). Persamaan Bellman fungsional yang dihasilkan berulang, yaitu mengaitkan nilai Fn dengan nilai Fn-1. Lebih umum, persamaan Bellman memiliki bentuk dimana , Fn-1 - pendapatan maksimum untuk (n - 1) tahap terakhir, Fn - pendapatan maksimum untuk semua n tahap. 66. Konsep pemecahan masalah pemrograman nonlinier Biarkan masalah pemrograman nonlinier diajukan dalam bentuk umum berikut: temukan nilai variabel x1, x2, ..., xn yang memenuhi persyaratan: dan membawa ekstrem yang diperlukan (maksimum atau minimum) dari fungsi tujuan f = f(x1, x2,…, xn), (13.2) di mana f(х1, …, хn) dan qi(х1, …, хn) (m , 1 i =) adalah real non-linear, fungsi reguler dari n variabel real. Menurut sifat umumnya, masalah pemrograman nonlinier bisa berbeda secara signifikan dari yang linier. Sebagai contoh, domain dari solusi yang layak mungkin sudah non-cembung, dan ekstrem dari fungsi tujuan dapat diamati pada setiap titik dari domain yang layak. Metode untuk memecahkan masalah nonlinier juga berbeda secara signifikan. Mari kita pertimbangkan hanya beberapa pendekatan untuk memecahkan masalah ini. Pertama-tama, pendekatan grafis juga berlaku dalam memecahkan masalah pemrograman nonlinear yang paling sederhana. Jadi, jika variabel x1 dan x2 adalah argumen dari masalah, maka pertama-tama area solusi yang layak dibangun di atas bidang variabel ini, dan kemudian titik optimal di area tersebut ditentukan dengan menggunakan level fungsi tujuan. f(x1,x2). Dalam pemrograman non-linear, pendekatan gradien digunakan untuk menyelesaikan banyak masalah. Ada sejumlah metode gradien, yang intinya adalah menemukan hasil optimal menggunakan gradien fungsi tujuan - vektor yang menunjukkan arah peningkatan maksimum tujuan untuk titik yang ditinjau. Dalam kasus umum, prosedur pencarian dilakukan dalam mode iteratif dari titik awal yang dipilih ke titik dengan indikator terbaik. Misalkan, . -
domain solusi yang dapat diterima dianggap masalah, dan proses iteratif perhitungan dimulai dari titik Selanjutnya, pertama, transisi dibuat sepanjang gradien fungsi tujuan, dan kemudian kembali ke area. sepanjang gradien ke batas terganggu dari wilayah O2 O3. 13.3 ditunjukkan sehingga Ai dengan indeks ganjil termasuk area., dan titik Ai dengan indeks genap tidak.Saat kita mendekati titik optimal Q, arah gradien kerja bertemu. Oleh karena itu, kriteria ideal untuk menghentikan proses adalah kolinearitas dari gradien target dan gradien batas yang rusak. 67. Konsep pemrograman parametrik dan integer
. Pernyataan dan model matematika ZCLP. Dalam masalah dengan objek yang tidak dapat dibagi, kondisi bilangan bulat dikenakan pada variabel. Kadang-kadang kondisi ini berlaku untuk semua variabel, kadang-kadang untuk beberapa variabel Pertimbangkan masalah bilangan bulat f=(n,j=1)∑CjXi maks (n,j=1)∑AijXj=bi, i=1,m xi-integer,j=1,n Sekarang, tidak seperti masalah pemrograman linier umum, denah optimal tidak harus berada di puncak polihedron denah.Ada metode berikut untuk menyelesaikan masalah bilangan bulat: 1. Metode kliping 2.Kombinatorial 3. Metode perkiraan .. Pemrograman parametrik adalah cabang pemrograman matematika yang dikhususkan untuk mempelajari masalah optimisasi di mana kondisi penerimaan dan fungsi tujuan bergantung pada beberapa parameter deterministik.
Definisi. Pemrograman linier (LP) - ilmu metode penelitian dan menemukan nilai ekstrem (maksimum dan minimum) dari fungsi linier, yang tidak diketahui yang dikenakan batasan linier.
Fungsi linier ini disebut target, dan kendala yang secara matematis ditulis sebagai persamaan atau pertidaksamaan disebut sistem pembatasan.
Definisi. Ekspresi matematis dari fungsi tujuan dan batasannya disebut model matematika dari masalah ekonomi.
Secara umum, model matematis dari masalah pemrograman linier (LP) ditulis sebagai
dengan batasan:
Di mana x j- tidak dikenal; aij, b saya, cj diberikan konstanta.
Semua atau beberapa persamaan dari sistem kendala dapat ditulis sebagai pertidaksamaan.
Model matematika dalam notasi yang lebih pendek memiliki bentuk
dengan batasan:
Definisi. Solusi layak (rencana) dari masalah pemrograman linier adalah vektor = ( X 1 , X 2 ,..., xp), memenuhi sistem pembatasan.
Himpunan solusi yang dapat diterima membentuk wilayah solusi yang dapat diterima (ODD).
Definisi. Solusi yang layak, di mana fungsi tujuan mencapai nilai ekstrimnya, disebut solusi optimal dari masalah program linier dan dinotasikan dengan opt.
Solusi dasar yang dapat diterima (X 1 , X 2 ,...,X R , 0, …, 0) adalah solusi referensi, di mana R- peringkat sistem kendala.
Model matematika dari masalah LP dapat bersifat kanonik dan non-kanonik.
7. Menyelesaikan masalah program linier dengan metode grafis. Grafik fungsi kendala. Garis level.
Metode Grafis untuk Memecahkan Masalah Pemrograman Linear
Metode pemrograman linier yang paling sederhana dan paling visual adalah metode grafis. Ini digunakan untuk menyelesaikan masalah LP dengan dua variabel yang diberikan dalam bentuk non-kanonik dan banyak variabel dalam bentuk kanonik, asalkan mengandung tidak lebih dari dua variabel bebas.
Dari sudut pandang geometris, dalam masalah pemrograman linier, dicari titik sudut atau sekumpulan titik dari sekumpulan solusi yang dapat diterima di mana garis level tertinggi (lebih rendah) tercapai, terletak lebih jauh (lebih dekat) dari lain ke arah pertumbuhan tercepat.
Untuk mencari nilai ekstrem dari fungsi tujuan dalam solusi grafis masalah LP, vektor digunakan L() di permukaan X 1 OH 2 , yang kami tunjukkan . Vektor ini menunjukkan arah perubahan tercepat pada fungsi tujuan. Dengan kata lain, vektor adalah normal dari garis level L()
Di mana e 1 dan e 2 - vektor satuan di sepanjang sumbu SAPI 1 dan SAPI 2 masing-masing; demikian = (∂L/∂x 1 , ∂L/∂х 2 ).
Koordinat vektor adalah koefisien fungsi tujuan L(). Konstruksi garis level akan dipertimbangkan secara rinci saat memecahkan masalah praktis.
Algoritma pemecahan masalah
1. Kami menemukan area solusi yang layak untuk sistem kendala masalah.
2. Membangun vektor .
3. Gambar garis level L 0 , yang tegak lurus .
4. Kami memindahkan garis level ke arah vektor untuk tugas secara maksimal dan berlawanan arah , untuk tugas minimal.
Garis level dipindahkan hingga hanya memiliki satu titik yang sama dengan area solusi yang layak. Titik ini, yang menentukan solusi unik dari masalah LP, akan menjadi titik ekstrim.
Jika ternyata garis level sejajar dengan salah satu sisi ODT, maka dalam hal ini titik ekstrem tercapai di semua titik sisi yang sesuai, dan masalah LP akan memiliki jumlah solusi yang tak terhingga. Dikatakan bahwa masalah LP seperti itu alternatif optimal dan solusinya diberikan oleh rumus:
Dimana 0 ≤ T≤ 1, 1 dan 2 - solusi optimal di titik sudut ODS.
Masalah LP bisa tidak terpecahkan ketika batasan yang mendefinisikannya ternyata kontradiktif.
5.
Kami menemukan koordinat titik ekstrem dan nilai fungsi tujuan di dalamnya.
Contoh 3 Memilih opsi rilis produk terbaik
Perusahaan memproduksi 2 jenis es krim: krim dan cokelat. Untuk pembuatan es krim, dua produk awal digunakan: susu dan bahan pengisi, yang biaya per 1 kg es krim dan persediaan harian diberikan dalam tabel.
Riset pasar menunjukkan bahwa permintaan harian es krim mentega melebihi permintaan es krim cokelat, tetapi tidak lebih dari 100 kg.
Selain itu, ditemukan permintaan es krim coklat tidak melebihi 350 kg per hari. Harga eceran 1 kg es krim krim adalah 16 rubel, cokelat - 14 rubel.
Berapa banyak masing-masing jenis es krim yang harus diproduksi perusahaan untuk memaksimalkan pendapatan penjualannya?
Larutan. Menunjukkan: X 1 - volume produksi es krim harian, kg; X 2 - hasil harian es krim cokelat, kg.
Mari kita membuat model matematika dari masalah tersebut.
Harga es krim diketahui: masing-masing 16 rubel dan 14 rubel, sehingga fungsi tujuannya akan terlihat seperti:
Tetapkan batas susu untuk es krim. Konsumsinya untuk es krim krim adalah 0,8 kg, untuk es krim cokelat - 0,5 kg. Stok susu 400kg. Oleh karena itu, ketidaksetaraan pertama akan terlihat seperti:
0,8x 1 + 0,5x 2 ≤400 - pertidaksamaan pertama adalah batasan. Ketidaksetaraan lainnya dibangun dengan cara yang sama.
Hasilnya adalah sistem ketidaksetaraan. berapakah luas penyelesaian dari setiap pertidaksamaan. Hal ini dapat dilakukan dengan mensubstitusikan koordinat titik O(0:0) ke dalam setiap pertidaksamaan. Hasilnya, kami mendapatkan:
Angka OABDEF- domain solusi yang dapat diterima. Kami membangun vektor (16; 14). garis tingkat L 0 diberikan oleh persamaan 16x 1 +14x 2 = Konst. Kita pilih angka apa saja, misal angka 0, maka 16x 1 +14x 2 =0. Pada gambar, untuk garis L 0 dipilih beberapa bilangan positif, tidak sama dengan nol. Semua garis level sejajar satu sama lain. Vektor normal dari garis level.
Pindahkan garis level ke arah vektor. titik keluar L 0 dari wilayah solusi yang layak adalah intinya D, koordinatnya didefinisikan sebagai perpotongan garis-garis yang diberikan oleh persamaan:
Memecahkan sistem, kami mendapatkan koordinat titik D(312.5; 300), di mana akan ada solusi optimal, yaitu
Dengan demikian, perusahaan harus memproduksi 312,5 kg es krim mentega dan 300 kg es krim cokelat per hari, sedangkan pendapatan dari penjualan menjadi 9.200 rubel.
8. Pengurangan masalah program linear arbitrer menjadi masalah utama. Mengubah kendala yang diberikan oleh pertidaksamaan menjadi persamaan yang sesuai.
9. Metode sederhana. Karakteristik dan algoritma metode, penerapannya.
Untuk memecahkan masalah dengan metode simpleks, itu perlu:
1. Tunjukkan metode untuk menemukan solusi referensi optimal
2. Tentukan metode transisi dari satu solusi referensi ke yang lain, di mana nilai fungsi tujuan akan mendekati optimal, mis. menunjukkan cara untuk meningkatkan solusi referensi
3. Tetapkan kriteria yang memungkinkan Anda menghentikan pencacahan solusi referensi tepat waktu pada solusi optimal atau memberikan kesimpulan tentang tidak adanya solusi optimal.
Algoritma metode simpleks untuk memecahkan masalah program linier
1. Bawa masalah ke bentuk kanonis
2. Temukan solusi dukungan awal dengan "basis unit" (jika tidak ada solusi dukungan, maka masalah tidak memiliki solusi, karena ketidakcocokan sistem kendala)
3. Hitung perkiraan ekspansi vektor dalam dasar solusi referensi dan isi tabel metode simpleks
4. Jika kriteria keunikan solusi optimal terpenuhi, maka solusi dari masalah tersebut berakhir
5. Jika syarat adanya himpunan solusi optimal terpenuhi, maka dengan pencacahan sederhana, semua solusi optimal ditemukan
10. Tugas transportasi. Definisi, jenis, metode untuk menemukan solusi awal dari masalah transportasi.
Masalah transportasi adalah salah satu masalah pemrograman linier yang paling umum. Tujuannya adalah untuk mengembangkan cara dan sarana pengangkutan barang yang paling rasional, menghilangkan transportasi yang terlalu jauh, datang, dan berulang.
1. Menemukan solusi referensi awal;
2. Memeriksa optimalitas solusi ini;
3. Transisi dari satu solusi dasar ke solusi dasar lainnya.
T10. Pernyataan masalah program linier
model matematika Masalah ekonomi adalah seperangkat hubungan matematis yang menggambarkan proses ekonomi.
Untuk menyusun model matematika, diperlukan:
1. pilih variabel tugas;
2. menyusun sistem pembatasan;
3. mengatur fungsi tujuan.
Variabel tugas kuantitas x 1 , x 2 ,…, x n disebut, yang sepenuhnya mencirikan proses ekonomi. Mereka biasanya ditulis sebagai vektor X \u003d (x 1, x 2, ..., x n).
Sistem kendala tugas adalah seperangkat persamaan dan ketidaksetaraan yang dipenuhi oleh variabel masalah dan yang mengikuti dari sumber daya yang terbatas dan kondisi ekonomi lainnya, misalnya, kepositifan variabel. Secara umum, mereka terlihat seperti:
Fungsi tujuan disebut fungsi F(X) = f(x 1 , x 2 ,…, x n) dari variabel tugas, yang mencirikan kualitas tugas dan ekstrem yang harus ditemukan.
Masalah Umum Pemrograman Matematika dirumuskan sebagai berikut: cari variabel tugas x 1 , x 2 ,…, x n yang memberikan nilai ekstrem dari fungsi tujuan
F (X) \u003d f (x 1, x 2, ..., x n) ® maks (min) (2)
dan memenuhi sistem kendala (1).
Jika fungsi tujuan (2) dan sistem kendala (1) adalah linier, maka masalah pemrograman matematika disebut masalah pemrograman linier (LPP).
Vektor X (satu set variabel tugas) disebut solusi yang dapat diterima, atau rencana PLP, jika memenuhi sistem pembatasan (1). Rencana layak X yang menyediakan fungsi tujuan ekstrem disebut solusi optimal ZLP.
2. Contoh menyusun model matematika masalah ekonomi
Studi tentang situasi produksi tertentu mengarah ke ZLP, yang ditafsirkan sebagai masalah penggunaan sumber daya yang terbatas secara optimal.
1.Masalah rencana produksi yang optimal
Untuk produksi dua jenis produk T 1 dan T 2, tiga jenis sumber daya S 1 , S 2 , S 3 digunakan. Stok sumber daya, jumlah unit sumber daya yang dihabiskan untuk pembuatan satu unit produksi, serta keuntungan dari penjualan satu unit produksi ditunjukkan pada tabel:
Diperlukan untuk menemukan rencana produksi produk di mana keuntungan dari penjualannya akan maksimal.
Larutan.
Mari kita nyatakan x 1, x 2 - jumlah unit produksi, masing-masing, T 1 dan T 2, yang direncanakan untuk produksi. Untuk pembuatannya, (x 1 + x 2) unit sumber daya S 1, (x 1 + 4x 2) unit sumber daya S 2, (x 1) unit sumber daya S 3 akan diperlukan. Konsumsi sumber daya S 1 , S 2 , S 3 tidak boleh melebihi cadangannya, masing-masing 8, 20 dan 5 unit.
Maka model ekonomi-matematis dari permasalahan tersebut dapat dirumuskan sebagai berikut:
Temukan rencana produksi X \u003d (x 1, x 2) yang memenuhi sistem pembatasan: 
dan kondisinya
di mana fungsi mengambil nilai maksimum.
Masalahnya dapat dengan mudah digeneralisasikan ke kasus produksi n jenis produk menggunakan m jenis sumber daya.
2.Masalah diet yang optimal
Ada dua jenis makanan K 1 dan K 2 yang mengandung unsur hara S 1 , S 2 dan S 3 . Kandungan jumlah satuan nutrisi dalam 1 kg masing-masing jenis pakan, kebutuhan nutrisi minimum, serta biaya 1 kg pakan ditunjukkan pada tabel:
Perlu dibuat ransum harian yang memiliki biaya minimal, dimana kandungan setiap jenis zat gizi tidak kurang dari batas yang ditetapkan.
Larutan.
Mari kita nyatakan x 1, x 2 - jumlah pakan K 1 dan K 2 yang termasuk dalam makanan sehari-hari. Maka diet ini akan mencakup (3x 1 + x 2) satuan zat gizi S 1, (x 1 + 2x 2) satuan zat S 2, (x 1 + 6x 2) satuan zat gizi S 3. Karena kandungan zat gizi S 1 , S 2 dan S 3 dalam ransum masing-masing harus 9, 8 dan 12 unit, maka model ekonomi-matematis dari permasalahan tersebut dapat dirumuskan sebagai berikut:
Buat diet harian X \u003d (x 1, x 2), dengan memenuhi sistem pembatasan:
dan kondisinya
di mana fungsi mengambil nilai minimum.
Formulir pencatatan PLP
Di LLP, diperlukan untuk menemukan ekstrem dari fungsi tujuan linier:
dengan batasan:
dan kondisi non-negatif
di mana a ij , b i , c j ( , ) diberikan konstanta.
Beginilah cara ZLP ditulis umum membentuk. Jika sistem kendala hanya berisi ketidaksetaraan, maka LLP direpresentasikan dalam standar membentuk. Kanonis (utama) bentuk notasi ZLP adalah notasi ketika sistem kendala hanya berisi persamaan. Jadi LLP di atas ditulis dalam bentuk standar.
Bentuk umum, standar, dan kanonik dari LLP setara dalam arti bahwa masing-masing, dengan bantuan transformasi sederhana, dapat ditulis ulang dalam bentuk yang berbeda. Ini berarti bahwa jika ada cara untuk menyelesaikan salah satu dari masalah ini, maka rencana optimal untuk setiap masalah dapat ditentukan.
Untuk berpindah dari satu bentuk notasi LLP ke bentuk lainnya, seseorang harus dapat berpindah dari kendala ketidaksetaraan ke kendala persamaan dan sebaliknya.
Kendala pertidaksamaan (£) dapat diubah menjadi kendala persamaan dengan menambahkan variabel non-negatif tambahan ke ruas kirinya, dan kendala pertidaksamaan (³) dapat diubah menjadi kendala persamaan dengan mengurangkan variabel non-negatif tambahan dari persamaannya. sisi kiri. Jumlah variabel non-negatif tambahan yang diperkenalkan sama dengan jumlah kendala ketidaksetaraan yang ditransformasikan.
Diperkenalkan variabel tambahan masuk akal secara ekonomi. Jadi, jika kendala PLP asli mencerminkan konsumsi dan ketersediaan sumber daya, maka nilai PLP variabel tambahan dalam bentuk kanonik sama dengan volume sumber daya terkait yang tidak terpakai.
Contoh 1. Tulis dalam bentuk kanonik ZLP:
dengan batasan:
Larutan.
Fungsi tujuan tetap tidak berubah:
Sistem ketidaksetaraan diubah menjadi sistem persamaan:
Saat menyelesaikan LLP dengan metode grafis, diperlukan transisi dari bentuk kanonik ke bentuk standar.
Untuk membawa LLP ke bentuk standar, gunakan metode Jordan–Gauss solusi SLA. Berbeda dengan metode Gauss, di mana matriks yang diperluas dari sistem direduksi menjadi bentuk langkah, dalam metode Jordan-Gauss, matriks identitas dibentuk sebagai bagian dari matriks yang diperluas. Oleh karena itu, gerakan mundur tidak diperlukan di sini.
Untuk mengonversi LLP kanonis asli ke LLP standar yang setara:
a) elemen bukan nol a qp dipilih dalam matriks yang diperluas dari sistem kendala. Elemen ini disebut permisif, dan q - i baris dan kolom ke-p disebut aktifkan baris dan aktifkan kolom.
b) string penyelesaian ditulis ulang tanpa perubahan, dan semua elemen kolom penyelesaian, kecuali kolom penyelesaian, diganti dengan nol. Elemen yang tersisa dari matriks yang diperbesar ditentukan menggunakan "aturan persegi panjang":
Pertimbangkan empat elemen dari matriks yang diperluas: elemen a ij yang akan diubah, elemen penyelesaian a qp dan elemen a i p dan a qj . Untuk mencari elemen a ij, dari elemen a ij harus dikurangi hasil kali dari elemen a i p dan a qj yang terletak pada titik berlawanan dari persegi panjang, dibagi dengan elemen penyelesaian a qp:
c) yang tidak diketahui yang diizinkan secara bersamaan dikecualikan dari fungsi tujuan. Untuk melakukan ini, koefisien fungsi tujuan ditulis dalam matriks yang diperluas di baris terakhir. Perhitungan memperhitungkan bahwa elemen pengaktif di baris terakhir tidak dapat dipilih.
Contoh 2. Ubah ke bentuk standar:
Larutan.
Dengan menggunakan metode Jordan-Gauss, kami membawa sistem persamaan kendala LLP ke sistem persamaan pertidaksamaan. Mari pilih elemen ketiga dari baris pertama sebagai elemen penyelesaian:
Angka -9 yang diperoleh pada kolom terakhir baris terakhir harus dituliskan ke fungsi tujuan dengan tanda kebalikannya. Sebagai hasil dari transformasi, LLP berbentuk:
Karena variabel x 2 dan x 3 adalah non-negatif, kemudian membuangnya, kita dapat menulis ZLP dalam bentuk simetris:
Dalam bentuk kanonik LLP, fungsi tujuan dapat diminimalkan dan dimaksimalkan. Untuk beralih dari menemukan maksimum ke menemukan minimum atau sebaliknya, cukup mengubah tanda koefisien fungsi tujuan: F 1 = - F. Masalah yang dihasilkan dan LLP asli memiliki solusi optimal yang sama, dan nilai fungsi tujuan pada solusi ini hanya berbeda dalam tanda.
properti ZLP
1. Himpunan semua solusi yang dapat diterima dari sistem kendala masalah pemrograman linier adalah konveks.
Himpunan poin disebut cembung, jika berisi seluruh segmen yang menghubungkan dua titik mana pun dari himpunan ini.
Menurut definisi ini, poligon pada Gambar 1a adalah himpunan cembung, sedangkan poligon pada Gambar 1b bukan, karena segmen MN antara dua titiknya M dan N tidak sepenuhnya milik poligon ini.
Himpunan cembung tidak hanya berupa poligon. Contoh himpunan cembung adalah lingkaran, sektor, ruas, kubus, limas, dll.
2. Jika LLP memiliki solusi optimal, maka fungsi linier mengambil nilai maksimum (minimum) di salah satu titik sudut polihedron keputusan. Jika fungsi linier mengambil nilai maksimum (minimum) di lebih dari satu titik sudut, maka fungsi tersebut mengambilnya di titik mana pun yang merupakan kombinasi linier cembung dari titik-titik ini.
Titik X disebut kombinasi linier cembung poin X 1 , X 2 ,…, X n jika kondisi berikut terpenuhi:
X \u003d α 1 X 1 + α 2 X 2 + ... + α n X n,
αj ≥ 0, Σαj = 1.
Jelas bahwa dalam kasus khusus untuk n = 2, kombinasi linier cembung dari dua titik merupakan segmen yang menghubungkan keduanya.
3. Setiap solusi dasar yang dapat diterima dari sistem kendala LLP kanonik sesuai dengan titik sudut polihedron solusi, dan sebaliknya, untuk setiap titik sudut polihedron solusi ada solusi dasar yang dapat diterima.
Ini mengikuti dari dua sifat terakhir bahwa jika LLP memiliki solusi optimal, maka itu bertepatan dengan setidaknya satu dari solusi dasar yang dapat diterima.
Dengan demikian, ekstrem dari fungsi linier LLP harus dicari di antara sejumlah terbatas dari solusi dasar yang dapat diterima.
Kuliah 2
DI DALAM bentuk kanonik
penyelesaian PLP yang dapat diterima(rencana yang dapat diterima).
solusi optimal dari LLP.
Kebutuhan
Contoh. 
Mari kita tulis masalahnya bentuk kanonik
Situasi khusus dari solusi grafis ZLP
Kecuali saat tugas satu-satunya solusi optimal untuk dan , bisa situasi khusus:
1. tugas memiliki solusi optimal dalam jumlah tak terhingga – ekstrem fungsi tercapai pada segmen ( alternatif optimal)- Gambar 2;
2. tugas tidak dapat dipecahkan karena ODR tidak terbatas, atau - Gambar 3;
3. ODR- titik tunggal Ah, kalau begitu;
4. tugas tidak dapat dipecahkan jika ODR memiliki area kosong.
A
Gambar 2 Gambar 3
Jika garis level sejajar dengan sisi area solusi yang layak, maka titik ekstrem dicapai di semua titik sisi. Masalahnya memiliki jumlah solusi optimal yang tak terbatas - alternatif optimal . Solusi optimal ditemukan dengan rumus
dimana parameternya. Untuk nilai apa pun dari 0 hingga 1, Anda bisa mendapatkan semua titik segmen, yang masing-masing fungsinya mengambil nilai yang sama. Oleh karena itu nama - optimal alternatif.
Contoh. Selesaikan secara grafis masalah pemrograman linier ( alternatif optimal):
Pertanyaan untuk pengendalian diri
1. Tuliskan masalah program linier dalam bentuk umum.
2. Tuliskan masalah pemrograman linier dalam bentuk kanonik dan standar.
3. Transformasi apa yang dapat digunakan untuk berpindah dari bentuk umum atau standar dari masalah pemrograman linier ke bentuk kanonik?
4. Berikan definisi solusi yang layak dan optimal untuk masalah program linier.
5. Manakah dari solusi yang "terbaik" untuk masalah meminimalkan fungsi jika 
?
6. Solusi mana yang “terbaik” untuk masalah memaksimalkan fungsi if ?
7. Tuliskan bentuk standar model matematika dari masalah program linier dengan dua variabel.
8. Cara membuat setengah bidang yang diberikan oleh pertidaksamaan linier dengan dua variabel 
?
9. Apa yang disebut penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linier dengan dua variabel? Bangun di bidang domain solusi yang layak dari sistem ketidaksetaraan linier seperti itu, yang:
1) memiliki solusi yang unik;
2) memiliki kumpulan solusi yang tak terbatas;
3) tidak memiliki solusi.
10. Tulis untuk fungsi linier 
gradien vektor, beri nama jenis garis level. Bagaimana letak garis gradien dan level relatif satu sama lain?
11. Merumuskan algoritme untuk metode grafis untuk menyelesaikan LLP standar dengan dua variabel.
12. Bagaimana mencari penyelesaian koordinat dan nilainya, ?
13. Bangun area solusi yang layak, garis gradien dan level, untuk masalah pemrograman linier di mana:
1) dicapai pada satu titik, dan - pada segmen ODR;
2) dicapai pada satu titik ODS, dan .
14. Berikan ilustrasi geometri LLP jika:
1) memiliki solusi optimal unik untuk dan ;
2) memiliki himpunan solusi optimal untuk .
Kuliah 2
metode grafis untuk menemukan solusi optimal
1. Bentuk model matematika linier dan transformasinya
2. Metode grafis untuk menyelesaikan masalah program linier
3. SITUASI KHUSUS SOLUSI GRAFIS LLP
4. Solusi grafis dari masalah ekonomi pemrograman linier
Bentuk model matematika linier dan transformasinya
Model matematis dari masalah pemrograman linier (LPP) dapat ditulis dalam salah satu dari tiga bentuk.
DI DALAM bentuk umum dari model matematika diperlukan untuk menemukan maksimum atau minimum dari fungsi tujuan; sistem kendala mengandung pertidaksamaan dan persamaan; tidak semua variabel bisa non-negatif.
DI DALAM bentuk kanonik model matematis perlu menemukan fungsi tujuan maksimum; sistem kendala hanya terdiri dari persamaan; semua variabel tidak negatif.
Dalam bentuk standar model matematika, diperlukan untuk menemukan fungsi maksimum atau minimum; semua kendala adalah ketidaksetaraan; semua variabel tidak negatif.
Solusi dari sistem kendala yang memenuhi kondisi non-negatif dari variabel disebut penyelesaian PLP yang dapat diterima(rencana yang dapat diterima).
Himpunan solusi yang layak disebut bidang solusi yang layak dari LLP.
Solusi yang layak, di mana fungsi tujuan mencapai nilai ekstrim, disebut solusi optimal dari LLP.
Ketiga bentuk LLP setara dalam arti bahwa masing-masing dapat direduksi menjadi bentuk yang berbeda dengan bantuan transformasi matematis.
Kebutuhan transisi dari satu bentuk model matematika yang lain terkait dengan metode untuk memecahkan masalah: misalnya, metode simpleks, yang banyak digunakan dalam pemrograman linier, diterapkan pada masalah yang ditulis dalam bentuk kanonik, dan metode grafis diterapkan pada bentuk standar model matematika.
Transisi ke notasi kanonik ZLP.
Contoh.
Mari kita tulis masalahnya bentuk kanonik, memasukkan variabel tambahan (keseimbangan) dengan tanda "+" ke sisi kiri pertidaksamaan pertama dari sistem kendala, dan variabel tambahan dengan tanda "minus" ke sisi kiri pertidaksamaan kedua.
Arti ekonomi dari berbagai variabel tambahan mungkin tidak sama: itu tergantung pada arti ekonomi dari pembatasan di mana variabel-variabel ini dimasukkan.
Jadi, dalam masalah penggunaan bahan baku, mereka menunjukkan sisa bahan baku, dan dalam masalah pemilihan teknologi yang optimal, mereka menunjukkan waktu yang tidak terpakai dari perusahaan yang menggunakan teknologi tertentu; dalam masalah pemotongan - pelepasan blanko dengan panjang tertentu melebihi rencana, dll.
Dasar untuk memecahkan masalah ekonomi adalah model matematika.
Menyusun model matematika meliputi:model matematika Masalah adalah sekumpulan hubungan matematis yang menggambarkan esensi masalah.
- pemilihan variabel tugas
- menyusun sistem pembatasan
- pilihan fungsi tujuan
Variabel tugas disebut kuantitas X1, X2, Xn, yang sepenuhnya mencirikan proses ekonomi. Biasanya mereka ditulis sebagai vektor: X=(X 1 , X 2 ,...,X n).
Sistem pembatasan tugas adalah seperangkat persamaan dan ketidaksetaraan yang menggambarkan sumber daya yang terbatas dalam masalah yang sedang dipertimbangkan.
fungsi sasaran tugas disebut fungsi variabel tugas yang mencirikan kualitas tugas dan ekstrem yang harus ditemukan.
Secara umum, masalah pemrograman linier dapat ditulis sebagai berikut:
Entri ini berarti sebagai berikut: temukan ekstrem dari fungsi tujuan (1) dan variabel yang sesuai X=(X 1 , X 2 ,...,X n) asalkan variabel ini memenuhi sistem kendala (2) dan non -kondisi negatif (3) .
Solusi yang Dapat Diterima(rencana) dari masalah pemrograman linier adalah setiap vektor n-dimensi X=(X 1 , X 2 ,...,X n) yang memenuhi sistem kendala dan kondisi non-negatif.
Himpunan solusi yang layak (rencana) dari bentuk masalah berbagai solusi yang layak(ODR).
Solusi optimal(rencana) dari masalah pemrograman linier adalah solusi (rencana) yang layak dari masalah tersebut, di mana fungsi tujuan mencapai ekstrem.
Contoh menyusun model matematika
Tugas menggunakan sumber daya (bahan mentah)
Kondisi: Untuk pembuatan n jenis produk, m jenis sumber daya digunakan. Buat model matematika.
Diketahui:
- b i (i = 1,2,3,...,m) adalah cadangan dari setiap jenis sumber daya ke-i;
- a ij (i = 1,2,3,...,m; j=1,2,3,...,n) adalah biaya dari setiap jenis sumber daya ke-i untuk produksi satu unit volume jenis produk ke-j;
- c j (j = 1,2,3,...,n) adalah keuntungan dari penjualan satu unit volume produk jenis ke-j.
Diperlukan untuk menyusun rencana produksi produk yang memberikan keuntungan maksimal dengan batasan sumber daya (bahan baku).
Larutan:
Kami memperkenalkan vektor variabel X=(X 1 , X 2 ,...,X n), di mana x j (j = 1,2,...,n) adalah volume produksi tipe ke-j dari produk.
Biaya jenis sumber daya ke-i untuk produksi volume tertentu x j produk sama dengan a ij x j , oleh karena itu, pembatasan penggunaan sumber daya untuk produksi semua jenis produk berbentuk:
Keuntungan dari penjualan produk jenis ke-j sama dengan c j x j , sehingga fungsi tujuannya sama dengan:
Menjawab- Model matematisnya seperti:
Bentuk kanonik dari masalah pemrograman linier
Dalam kasus umum, masalah pemrograman linier ditulis sedemikian rupa sehingga persamaan dan pertidaksamaan adalah kendala, dan variabel dapat berupa non-negatif atau berubah secara sewenang-wenang.
Dalam kasus ketika semua kendala adalah persamaan dan semua variabel memenuhi kondisi non-negatif, masalah pemrograman linier disebut resmi.
Itu dapat direpresentasikan dalam notasi koordinat, vektor dan matriks.
Masalah pemrograman linier kanonik dalam notasi koordinat memiliki bentuk:
Masalah pemrograman linier kanonik dalam notasi matriks memiliki bentuk:
- A adalah matriks koefisien dari sistem persamaan
- X adalah matriks kolom variabel tugas
- Ao adalah matriks-kolom bagian kanan dari sistem kendala
Seringkali, masalah pemrograman linier digunakan, disebut masalah simetris, yang dalam notasi matriks berbentuk:
Pengurangan masalah pemrograman linier umum ke bentuk kanonik
Dalam sebagian besar metode untuk memecahkan masalah program linier, diasumsikan bahwa sistem kendala terdiri dari persamaan dan kondisi alami untuk ketaknegatifan variabel. Namun, ketika menyusun model masalah ekonomi, kendala terutama terbentuk dalam bentuk sistem pertidaksamaan, sehingga perlu untuk dapat beralih dari sistem pertidaksamaan ke sistem persamaan.
Ini bisa dilakukan seperti ini:Ambil pertidaksamaan linier a 1 x 1 +a 2 x 2 +...+a n x n ≤b dan tambahkan di sisi kirinya beberapa nilai x n+1 sehingga pertidaksamaan tersebut menjadi persamaan a 1 x 1 +a 2 x 2 + ...+a nxn +x n+1 =b. Selain itu, nilai xn+1 ini bukan negatif.
Mari pertimbangkan semuanya dengan sebuah contoh.
Contoh 26.1Kurangi masalah pemrograman linier menjadi bentuk kanonis:
Larutan:
Mari beralih ke masalah menemukan fungsi tujuan maksimum.
Untuk melakukan ini, kami mengubah tanda koefisien fungsi tujuan.
Untuk mengubah pertidaksamaan kedua dan ketiga dari sistem kendala menjadi persamaan, kami memperkenalkan variabel tambahan non-negatif x 4 x 5 (operasi ini ditandai dengan huruf D pada model matematika).
Variabel x 4 dimasukkan di sisi kiri pertidaksamaan kedua dengan tanda "+", karena pertidaksamaan berbentuk "≤".
Variabel x 5 dimasukkan di sisi kiri pertidaksamaan ketiga dengan tanda "-", karena pertidaksamaan berbentuk "≥".
Variabel x 4 x 5 dimasukkan ke dalam fungsi tujuan dengan koefisien. sama dengan nol.
Kami menulis masalahnya dalam bentuk kanonik.
Memuat...