z цогцолбор хувьсагчийн шугаман функц нь a ба 6-д нийлмэл тоо, Φ 0 өгөгдсөн хэлбэрийн функц юм. Шугаман функц нь бие даасан z хэмжигдэхүүний бүх утгын хувьд тодорхойлогддог, нэг утгатай ба, урвуу функц нь бас нэг утгатай тул бүхэл z хавтгайд нэг валент байна. Шугаман функц нь бүхэл бүтэн нийлмэл хавтгайд аналитик бөгөөд түүний дериватив нь түүний хийж буй зураглал нь бүхэл бүтэн хавтгайд тохирно. Бутархай шугаман функц нь өгөгдсөн комплекс тоо хэлбэрийн функц бөгөөд z = -|-ээс бусад бие даасан хувьсагчийн zy бүх утгуудын хувьд Бутархай шугаман функц тодорхойлогддог тул энэ нь хоёрдмол утгагүй бөгөөд урвуу утгатай тул функц Цогц хувьсагчийн элементар функцууд Бутархай-рационал функцууд Хүчин чадлын функц Экспоненциал функц Логарифм функц Тригонометр ба гипербол функцууд нь нэг утгатай, z = цэгээс бусад бүхэл бүтэн цогц хавтгайд нэг валенттай байдаг - Энэ мужид (3) функц аналитик ба түүний дериватив тиймээс түүний хийж буй зураглал нь тохиромжтой байдаг. (3) функцийг z = - \ цэгт өргөтгөж, £) = oo-г тохируулж, хязгааргүй алслагдсан w = oo цэг рүү z(oo) = цэгийг холбоноё. Дараа нь бутархай шугаман функц нь өргөтгөсөн цэгт нэгвалент байх болно. цогц хавтгай z. Жишээ 1. Бутархай шугаман функцийг авч үзье.Тэгш байдлаас үзэхэд r ба u цогцолбор тоонуудын модулиуд нь харилцан хамааралтай бөгөөд эдгээр тоо нь өөрөө О цэгээс гарч буй туяан дээр байрладаг ба бодит тэнхлэгт тэгш хэмтэй байна. Ялангуяа нэгж тойргийн цэгүүд |z| = 1 нэгж тойргийн цэгүүд рүү явна Н = 1. Энэ тохиолдолд нийлмэл тоонд нийлмэл дугаар өгөгдөнө (Зураг 11). Мөн th = -g функц нь хязгааргүй алслагдсан z - oo цэгийг th - 0 тэг цэг рүү буулгаж байгааг анхаарна уу. 2.2. Хүчин чадлын функц Эрчим хүчний функц энд n нь натурал тоо бөгөөд бүхэл цогц хавтгайд аналитик байна; n > 1-ийн дериватив = nzn~] нь z = 0-ээс бусад бүх цэгүүдэд тэгээс өөр байна. (4) томъёонд w ба z-ийг экспоненциал хэлбэрээр бичвэл бид үүнийг олж авна (5) томъёоноос комплекс тоонууд тодорхой байна. Z\ ба z2 нь k нь бүхэл тоо бол нэг w цэг рүү очно. Энэ нь n > 1-ийн хувьд зураглал (4) нь z хавтгайд нэг валент биш гэсэн үг юм. gi = zn зураглал нь унивалент байх бүс нутгийн хамгийн энгийн жишээ бол a нь дурын бодит тоо байх салбар юм. Домэйн (7) дээр зураглал (4) тохирно. - олон утгатай, учир нь z = е1в Ф 0 нийлмэл тоо бүрийн хувьд n өөр нийлмэл тоог зааж өгөх боломжтой тул тэдгээрийн n-р зэрэг z-тэй тэнцүү: z-тэй нийлмэл хувьсагчийн n зэрэгтэй олон гишүүнт нь өгөгдсөн нийлмэл тоо, ao Φ 0 функц болохыг анхаарна уу. Аливаа зэрэгтэй олон гишүүнт нь бүхэл цогцолбор хавтгай дээрх аналитик функц юм. 2.3. Бутархай-рационал функц Бутархай-рационал функцийг хэлбэрийн функц гэнэ, энд) нь z цогцолбор хувьсагчийн олон гишүүнт байна. Бутархай рационал функц нь хуваарь Q(z) алга болох цэгүүдээс бусад бүх хавтгайд аналитик шинж чанартай байдаг. Жишээ 3. Жуковскийн функц__ нь r = 0 цэгийг эс тооцвол бүхэл бүтэн r хавтгайд аналитик байна. Энэ мужид авч үзэх Жуковскийн функц нэгвалент байх нийлмэл хавтгайн мужийн нөхцөлийг олж мэдье. M Z) ба zj цэгүүдийг (8) функцээр нэг цэгт шилжүүлье. Дараа нь бид Жуковскийн функц нэгвалент байхын тулд нөхцөлийг хангахад зайлшгүй шаардлагатай бөгөөд хангалттай гэдгийг олж мэднэ Univalent нөхцөлийг (9) хангаж буй бүсийн жишээ нь |z| тойргийн гаднах хэсэг юм. > 1. Жуковскийн функцийн дериватив тул нийлмэл хувьсагчийн элементар функцууд Бутархай-рационал функцууд Хүчин чадлын функц Экспоненциал функц Логарифм функц Тригонометр ба гиперболын функцууд цэгээс бусад газар тэгээс өөр байх тул энэ функцээр гүйцэтгэсэн домайн зураглал конформ байх болно. (Зураг 13). Нэгж дискний дотоод |I нь Жуковскийн функцын нэгвалент байдлын муж мөн гэдгийг анхаарна уу. Цагаан будаа. 13 2.4. Экспоненциал функц Аливаа комплекс тоо z = x + y-ийн экспоненциал функц ez-ийг дараах хамаарлаар тодорхойлно: x = 0-ийн хувьд Эйлерийн томьёог олно: Экспоненциал функцийн үндсэн шинж чанарыг тайлбарлая: 1. Бодит z-ийн хувьд. энэ тодорхойлолт ердийнхтэй давхцдаг. Үүнийг (10) томъёонд y = 0 гэж тохируулснаар шууд баталгаажуулж болно 2. ez функц нь бүхэл цогц хавтгайд аналитик байх ба түүний хувьд ердийн ялгах томьёо хадгалагдана 3. ez функцийн хувьд нэмэх теорем хадгалагдана. . 4 гэж үзье. ez функц нь 2xi төсөөллийн үндсэн үетэй үечилсэн байна. Үнэн хэрэгтээ аливаа бүхэл тоон хувьд k Нөгөө талаас хэрэв тэгвэл (10) тодорхойлолтоос үүдэн гарах нь, эсвэл энд n нь бүхэл тоо юм. Туузан нь (12) хамаарлаар холбогдсон ганц хос цэг агуулаагүй тул хийсэн судалгаагаар w = e" зураглал нь туузан дотор дан байна (Зураг 14). Энэ нь дериватив тул, энэ зураглал тохиромжтой.Тэмдэглэл niv.g.g функц аль ч зурваст нэг валент байна 2.5 Логарифм функц Үл мэдэгдэх нь өгөгдсөн тэгшитгэлээс бид олж авна.Иймээс функцийн урвуу функц нь дурын хувьд тодорхойлогддог бөгөөд энэ нь томьёогоор илэрхийлэгдэнэ. олон утгатай функцийг логарифм гэж нэрлэдэг ба дараах байдлаар тэмдэглэнэ arg z утгыг логарифмын үндсэн утга гэж нэрлээд Дараа нь Ln z-ийн хувьд бид 2 томьёог авна.6 Тригонометрийн болон гиперболын функцууд Эйлерийн томъёоноос (11) бодит у утгыг олж авна. Эндээс бид тригонометрийн функцийг sin z ба cos z ямар ч комплекс тоо z-д дараах томьёог ашиглан тодорхойлно: Комплекс аргументийн синус ба косинус нь сонирхолтой шинж чанартай байдаг. Голыг нь жагсаацгаая: sinz ба cos z функцууд: 1) хувьд бодит z -x нь энгийн синусууд болон косинусуудтай давхцдаг; 2) цогц хавтгайд аналитик; 3) ердийн ялгах томьёог дагаж мөрдөх: 4) 2π хугацаатай үе үе; 5) sin z нь сондгой функц, cos z нь тэгш функц; 6) ердийн тригонометрийн харилцааг хадгалсан. Бүртгэгдсэн бүх шинж чанарыг томъёоноос (15) хялбархан олж авч болно. Нарийн төвөгтэй домэйн дэх tgz ба ctgz функцууд нь томьёогоор, гипербол функцууд нь "Гипербол функцууд нь тригонометрийн функцуудтай нягт холбоотой байдаг. Энэ хамаарлыг дараах тэгшитгэлээр илэрхийлдэг: Нарийн нийлмэл аргументийн синус ба косинус нь томъёогоор тодорхойлогддог. өөр нэг чухал шинж чанар: комплекс хавтгайд |\ дур зоргоороо том эерэг утгуудыг авна.Үүнийг үзүүлье.6-р шинж чанар ба томьёо (18)-ийг ашиглан бид нийлмэл хувьсагчийн элементар функцууд Бутархай-рационал функцууд Чадлын функц Экспоненциал функц Логарифм функц Тригонометр ба Гиперболик функцууд Бидэнд жишээ 4 байна. -4 Үнэн хэрэгтээ , гэдгийг шалгахад хялбар байдаг.
, хуудас 611 Комплекс хувьсагчийн үндсэн функцууд
Нарийн төвөгтэй экспонентийн тодорхойлолтыг эргэн санацгаая. Дараа нь
Маклаурин цувралын өргөтгөл. Энэ цувралын нэгдэх радиус нь +∞ бөгөөд энэ нь комплекс экспоненциал нь бүхэл бүтэн цогцолбор хавтгай дээр аналитик шинж чанартай гэсэн үг юм.
(exp z)"=exp z; exp 0=1. (2)
Энд байгаа эхний тэгш байдал нь жишээлбэл, чадлын цувааг гишүүнээр ялгах теоремоос гардаг.
11.1 Тригонометр ба гипербол функцууд
Комплекс хувьсагчийн синусфункц гэж нэрлэдэг
Комплекс хувьсагчийн косинусфункц байдаг
Комплекс хувьсагчийн гипербол синусдараах байдлаар тодорхойлогддог.
Комплекс хувьсагчийн гипербол косинус-- энэ бол функц
Шинээр нэвтрүүлсэн функцүүдийн зарим шинж чанарыг тэмдэглэе.
А.Хэрэв x∈ ℝ бол cos x, sin x, cosh x, sh x∈ ℝ болно.
Б.Тригонометрийн болон гиперболын функцуудын хооронд дараахь холболт байдаг.
cos iz=ch z; sin iz=ish z, ch iz=cos z; sh iz=isin z.
B. Тригонометрийн болон гиперболын үндсэн шинж чанарууд:
cos 2 z+sin 2 z=1; ch 2 z-sh 2 z=1.
Гол гиперболын шинж чанарыг нотлох баримт.
Тригонометрийн үндсэн таних тэмдэг нь тригонометрийн болон гиперболын функцүүдийн хоорондын холболтыг харгалзан үзэхэд үндсэн гипербол шинж чанараас үүсдэг (B өмчийг үзнэ үү).
Г Нэмэлт томъёо:
Тухайлбал,
Д.Тригонометрийн болон гиперболын функцүүдийн деривативыг тооцоолохын тулд хүчин чадлын цувааг гишүүнээр ялгах теоремыг ашиглах хэрэгтэй. Бид авах:
(cos z)"=-sin z; (sin z)"=cos z; (ch z)"=sh z; (sh z)"=ch z.
Э. cos z, ch z функцууд тэгш, sin z, sin z функцууд сондгой байна.
J. (давтамж) e z функц нь 2π i үетэй үечилсэн байна. cos z, sin z функцууд нь 2π үетэй, ch z, sin z функцууд нь 2πi үетэй үечилсэн байна. Түүнээс гадна,
Нийлбэрийн томъёог ашигласнаар бид олж авна
З. Бодит болон зохиомол хэсэг болгон өргөжүүлэх:
Хэрэв нэг утгатай аналитик функц f(z) нь D домэйнийг G домайн дээр хоёр талдаа буулгавал D-г нэг валент домэйн гэнэ.
БА. D бүс k =( x+iy | 2π k≤ y<2π (k+1)} для любого целого k является областью однолистности функции e z , которая отображает ее на область ℂ* .
Баталгаа. (5) хамаарлаас үзэхэд exp:D k → ℂ зураглал нь тарилга юм. Тэг биш дурын комплекс тоо w байг. Дараа нь e x =|w| тэгшитгэлийг шийднэ ба e iy =w/|w| x ба y бодит хувьсагчтай (y-г хагас интервалаас сонгоно)
Ачааж байна...