Нарийн төвөгтэй Лаплас хувьсагчийн физик утга. Лапласын хувиргалт

II хэсэг. Математик анализ

Е.Ю.Анохина

ЦОГЦ ХУВЬСАГЧИЙН ҮЙЛ АЖИЛЛАГААНЫ ОНОЛ ХӨГЖҮҮЛСЭН ТҮҮХ (ТХВ) СЭДЭВ БОЛГОН

Математикийн цогц хичээлүүдийн нэг бол TFKT курс юм. Энэ хичээлийн нарийн төвөгтэй байдал нь юуны түрүүнд TFKT-ийн шинжлэх ухааны өргөн хэрэглээний чиг баримжаагаар түүхэн илэрхийлэгдсэн математикийн бусад салбаруудтай харилцан уялдаатай олон талт байдалтай холбоотой юм.

Математикийн түүхийн талаархи шинжлэх ухааны уран зохиолд TFCT-ийн хөгжлийн түүхийн талаар тархай бутархай мэдээлэл байдаг тул тэдгээрийг системчлэх, нэгтгэх шаардлагатай байдаг.

Энэ шалтгааны улмаас энэ нийтлэлийн гол зорилго нь юм Товч тодорхойлолт TFKP-ийг хөгжүүлэх, энэ онолыг боловсролын сэдэв болгон бүрдүүлэх.

Судалгааны үр дүнд ХМТ-ийг шинжлэх ухаан, эрдэм шинжилгээний сэдэв болгон хөгжүүлэх дараах гурван үе шатыг тодорхойлсон.

Комплекс тоо үүсэх, таних үе шат;

Хуримтлуулах үе шат бодит материалтөсөөллийн хэмжигдэхүүний функцээр;

Нарийн төвөгтэй хувьсагчийн функцүүдийн онол үүсэх үе шат.

TFKP-ийн хөгжлийн эхний үе шат (16-р зууны дунд - 18-р зуун) нь Artis magnae sive de regulis algebraitis (Их урлаг, эсвэл алгебрийн дүрмийн тухай) хэвлүүлсэн Г.Карданогийн (1545) бүтээлээс эхэлдэг. Г.Карданогийн ажил нь Ферро (1465-1526), ​​Тарталья (1506-1559), Феррари (1522-1565) нарын саяхан нээсэн гурав, дөрөв дэх зэрэглэлийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх ерөнхий алгебрийн аргуудыг нотлох үндсэн зорилттой байв. ). Хэрэв куб тэгшитгэлийг хэлбэрт оруулбал

x3 + px + q = 0,

мөн байх ёстой

(p^Ap V (|- 70) тэгшитгэл нь гурван бодит язгууртай ба тэдгээрийн хоёр нь

хоорондоо тэнцүү байна. Хэрэв тэгшитгэл нь нэг бодит ба хоёр ко-

эргэлдсэн цогц үндэс. Эцсийн үр дүнд нийлмэл тоо гарч ирдэг тул Г.Кардано өмнөх шигээ хийж чадсан: байх тэгшитгэлийг зарла.

нэг үндэс. Хэзээ (<7 Г + (р V < (). тогда уравнение имеет три действительных корня. Этот так

16-р зууныг хүртэл тохиолдож байгаагүй нэг онцлог шинж чанар нь бууруулж болохгүй тохиолдол гэж нэрлэгддэг. x3 - 21x + 20 = 0 тэгшитгэл нь 1, 4, - 5 гэсэн гурван бодит язгууртай бөгөөд энэ нь амархан.

энгийн орлуулалтаар шалгана уу. Харин ^ду + у _ ^20y + ^-21y _ ^ ^ ^; тиймээс ерөнхий томьёоны дагуу x = ^-10 + ^-243 -^-10-4^243 . Цогцолбор, өөрөөр хэлбэл. "худал", тоо нь энд байгаа үр дүн биш, харин тухайн тэгшитгэлийн бодит үндэс рүү хөтлөх тооцооны завсрын нэр томъёо юм. Г.Кардано хүндрэлтэй тулгарсан бөгөөд энэ томьёоны ерөнхий байдлыг хадгалахын тулд нийлмэл тоонуудыг бүрэн үл тоомсорлохоос татгалзах шаардлагатайг ойлгосон. Ж.Д'Аламберт (1717-1783) яг энэ нөхцөл байдал нь Г.Карданог болон энэ санааг баримталсан математикчдыг нийлмэл тоонд нухацтай сонирхоход хүргэсэн гэж үзэж байв.

Энэ үе шатанд (17-р зуунд) хоёр үзэл бодлыг ерөнхийд нь хүлээн зөвшөөрсөн. Эхний байр суурийг Жирард илэрхийлж, нийлмэл тоог хязгааргүй ашиглах шаардлагатайг хүлээн зөвшөөрөх асуудлыг хөндсөн. Хоёр дахь нь - нийлмэл тоог тайлбарлах боломжийг үгүйсгэсэн Декарт. Декартын үзэл бодлын эсрэг тал нь Ж.Уоллисийн үзэл бодол байсан - нийлмэл тоонуудын бодит тайлбар байгаа тухай Декарт үл тоомсорлосон. Бодит тоонуудын хэрэглээ нь нарийн төвөгтэй үр дүнд хүргэсэн эсвэл үр дүнг онолын хувьд олж авах боломжгүй, гэхдээ практик хэрэгжилттэй нөхцөлд нийлмэл тоог хэрэглээний асуудлыг шийдвэрлэхэд "албадан" ашиглаж эхэлсэн.

Цогцолбор тоонуудыг зөн совингоор ашиглах нь нийлмэл тоонуудын багц дээр бодит тоонуудын арифметикийн хууль тогтоомж, дүрмийг хадгалах шаардлагатай болсон, ялангуяа шууд дамжуулах оролдлого гарч ирэв. Энэ нь заримдаа алдаатай үр дүнд хүргэдэг. Үүнтэй холбогдуулан нийлмэл тоонуудын үндэслэл, тэдгээрийн арифметикийн алгоритмыг бий болгох талаархи асуултууд сэдэв болж байна. Энэ нь ТСХТ-ийн хөгжлийн шинэ үе шатын эхлэл байсан юм.

TFKP-ийн хөгжлийн хоёр дахь үе шат (18-р зууны эхэн үе - 19-р зуун). XVIII зуунд. Л.Эйлер комплекс тоонуудын талбайн алгебрийн хаалтын санааг илэрхийлсэн. С комплекс тоонуудын талбайн алгебрийн хаалт нь математикчдыг дараах дүгнэлтэд хүргэв.

Функцийг судлах, ерөнхийдөө математик шинжилгээ хийх нь зөвхөн нарийн төвөгтэй муж дахь функцүүдийн зан төлөвийг авч үзэх үед зохих бүрэн бүтэн байдал, бүрэн бүтэн байдлыг олж авах;

Комплекс тоонуудыг хувьсагч гэж үзэх шаардлагатай.

1748 онд Л.Эйлер (1707-1783) "Хязгааргүй жижиг тоонуудын шинжилгээний танилцуулга" бүтээлдээ функцийг шугаман хүчин зүйл болгон задлахдаа комплекс тоонуудыг ашиглан хувьсагчийн хамгийн ерөнхий ойлголт болох цогц хувьсагчийг нэвтрүүлсэн. Л.Эйлерийг TFCT-ийг бүтээгчдийн нэг гэж зүй ёсоор тооцдог. Л.Эйлерийн бүтээлүүдэд нийлмэл хувьсагчийн элементар функцийг нарийвчлан судалсан (1740-1749), дифференциал болох нөхцөл (1755), комплекс хувьсагчийн функцүүдийн интеграл тооцооны эхлэлийг (1777) өгсөн. Л.Эйлер конформын зураглалыг практикт нэвтрүүлсэн (1777). Тэрээр эдгээр зураглалыг "бага хэмжээгээр ижил төстэй" гэж нэрлэсэн бөгөөд "конформ" гэсэн нэр томъёог анх Санкт-Петербургийн академич Ф.Шуберт (1789) ашигласан бололтой. Л.Эйлер мөн нийлмэл хувьсагчийн функцүүдийн олон тооны хэрэглээг математикийн янз бүрийн бодлогод өгч, тэдгээрийг гидродинамик (17551757), зураг зүйд (1777) хэрэглэх үндэс суурийг тавьсан. К.Гаусс комплекс хавтгай дахь интегралын тодорхойлолт, аналитик функцийг зэрэглэлийн цуваа болгон тэлэх тухай интеграл теоремыг томъёолжээ. Лаплас хэцүү интегралыг тооцоолохдоо нийлмэл хувьсагчдыг ашигладаг бөгөөд Лапласын хувиргалт гэгддэг шугаман, ялгавар, дифференциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх аргыг боловсруулдаг.

1799 оноос эхлэн нийлмэл тооны талаар илүү их эсвэл бага тохиромжтой тайлбарыг өгч, тэдгээрийн үйлдлийг тодорхойлсон баримтууд гарч ирэв. Нилээд ерөнхий онолын тайлбар, геометрийн тайлбарыг К.Гаусс зөвхөн 1831 онд хэвлүүлсэн.

Л.Эйлер болон түүний үеийнхэн ТТХТ-ийн талаар хуримтлуулсан, хаа нэгтээ системчилсэн, хаа нэгтээ байхгүй ч тараагдсан баримт хэлбэрээр арвин их өвийг хойч үедээ үлдээсэн. Төсөөллийн хэмжигдэхүүний функцүүдийн талаархи баримт материал нь үүнийг онол хэлбэрээр системчлэх шаардлагатай байсан гэж бид хэлж чадна. Энэ онол бүрэлдэж эхэлсэн.

TFKP үүсэх гурав дахь үе шат (XIX зуун - XX зуун). Энд гол ололт амжилтууд нь О.Коши (1789-1857), Б.Риман (1826-1866), К.Вейерштрасс (1815-1897) нарт хамаарна. Тэд тус бүр нь TFKP-ийн хөгжлийн нэг чиглэл байв.

Математикийн түүхэнд "моноген буюу дифференциал функцийн онол" гэж нэрлэгдсэн нэгдүгээр чиглэлийн төлөөлөгч нь О.Коши байв. Тэрээр нийлмэл хувьсагчийн функцүүдийн дифференциал ба интеграл тооцооны талаархи ялгаатай баримтуудыг албан ёсоор гаргаж, үндсэн ойлголт, үйлдлүүдийн утгыг төсөөлөлтэй тайлбарлав. О.Кошигийн бүтээлүүдэд хязгаарын онол, цуваа ба түүн дээр үндэслэсэн элементар функцүүдийн онолыг өгүүлж, зэрэглэлийн цувааны нийлэх мужийг бүрэн тодруулсан теоремыг томьёолжээ. 1826 онд О.Коши: хасалт (шууд утгаараа: үлдэгдэл) гэсэн нэр томъёог нэвтрүүлсэн. 1826-1829 оны зохиолууддаа тэрээр хасалтын онолыг бий болгосон. О.Коши интеграл томьёог гаргасан; нийлмэл хувьсагчийн функцийг зэрэглэлийн цуваа болгон тэлэх оршихуйн теоремыг олж авсан (1831). О.Коши хэд хэдэн хувьсагчийн аналитик функцын онолын үндэс суурийг тавьсан; цогц хувьсагчийн олон утгатай функцүүдийн үндсэн салбаруудыг тодорхойлсон; анх ашигласан онгоцны зүсэлт (1831-1847). 1850 онд тэрээр монодромик функцүүдийн тухай ойлголтыг гаргаж, моноген функцүүдийн ангиллыг онцлон тэмдэглэв.

О.Кошигийн дагалдагч нь Б.Риманн байсан бөгөөд тэрээр мөн ТСХТ-ийн хөгжлийн өөрийн "геометрийн" (хоёр дахь) чиглэлийг бий болгосон. Тэрээр бүтээлүүддээ нийлмэл хувьсагчийн функцүүдийн талаархи санаа бодлыг тусгаарлаж, бусад салбаруудтай нягт холбоотой энэ онолын шинэ салбаруудыг бий болгосон. Риманн аналитик функцын онолын түүхэнд цоо шинэ алхам хийж, нэг мужийг нөгөөд нь буулгах санааг цогц хувьсагчийн функц бүртэй холбохыг санал болгов. Тэрээр нийлмэл болон бодит хувьсагчийн функцийг ялгасан. Б.Риман функцийн геометрийн онолын үндэс суурийг тавьж, Риманы гадаргууг нэвтрүүлж, конформын зураглалын онолыг боловсруулж, аналитик ба гармоник функцүүдийн хоорондын холбоог тогтоож, zeta функцийг авч үзсэн.

TFKP-ийн цаашдын хөгжил өөр (гурав дахь) чиглэлд явагдсан. Үүний үндэс нь функцийг чадлын цуваагаар илэрхийлэх боломж байв. Энэ чиг хандлагыг түүхэнд "аналитик" гэж нэрлэсэн. Энэ нь К.Вейерштрассын бүтээлүүдэд бүрэлдэн тогтсон бөгөөд тэрээр нэгэн төрлийн конвергенцийн тухай ойлголтыг авчирсан юм. К.Вейерштрасс ижил төстэй нэр томъёог цуваагаар багасгах хууль ёсны тухай теоремыг томьёолж, нотолсон. К.Вейерштрасс үндсэн үр дүнд хүрсэн: тодорхой домайн дотор жигд нийлдэг аналитик функцүүдийн дарааллын хязгаар нь аналитик функц юм. Тэрээр нийлмэл хувьсагчийн функцийн чадлын цуваа өргөтгөлийн тухай Кошигийн теоремыг ерөнхийд нь гаргаж, зэрэглэлийн цувааг аналитик үргэлжлүүлэх үйл явц, дифференциал тэгшитгэлийн системийн шийдүүдийн дүрслэлд хэрэглэх үйл явцыг тодорхойлсон. К.Вейерштрасс цувралын үнэмлэхүй нийлэлтийг төдийгүй жигд нийлэх баримтыг тогтоосон. Вейерштрассын теорем нь бүхэл функцийг бүтээгдэхүүн болгон өргөжүүлэхэд гарч ирдэг. Тэрээр олон хувьсагчийн аналитик функцүүдийн онолын үндэс суурийг тавьж, хүчний цуваа хуваагдах онолыг бий болгосон.

ОХУ-д аналитик функцүүдийн онолын хөгжлийг авч үзье. XIX зууны Оросын математикчид. Удаан хугацааны турш тэд математикийн шинэ салбарт өөрсдийгөө зориулахыг хүсээгүй. Гэсэн хэдий ч бид түүнийг харь гаригийнхан биш байсан хэд хэдэн нэрийг нэрлэж, Оросын эдгээр математикчдын хийсэн ажил, ололт амжилтыг жагсааж болно.

Оросын математикчдын нэг бол М.В. Остроградский (1801-1861). М.В. Аналитик функцын онолын чиглэлээр Остроградскийн талаар бага зүйл мэддэг ч О.Коши интеграл хэрэглэж, томьёоны шинэ нотолгоо, бусад томьёог ерөнхийлсөн Оросын энэ залуу эрдэмтнийг магтан дуулжээ. М.В. Остроградский "Тодорхой интегралын талаархи тайлбар" бүтээлээ бичсэн бөгөөд n-р дарааллын туйлтай холбоотой функцийг хасах Коши томъёог гаргажээ. Тэрээр 1858-1859 онд олон нийтэд нээлттэй лекц уншихдаа үлдэгдлийн онол, Кошигийн томьёог тодорхой интегралыг тооцоолоход хэрэглэх талаар тайлбарласан.

N.I.-ийн хэд хэдэн бүтээл. Лобачевский нь цогц хувьсагчийн функцүүдийн онолд шууд чухал ач холбогдолтой юм. Комплекс хувьсагчийн элементар функцүүдийн онолыг түүний "Алгебр буюу төгсгөлийн тооцоо" (Казань, 1834) бүтээлд багтаасан болно. Бодит x-ийн хувьд cos x ба sin x нь эхлээд бодит ба гэж тодорхойлогддог

ex^ функцийн төсөөллийн хэсэг. Экспоненциал функц болон чадлын өргөтгөлийн урьд тогтоосон шинж чанаруудыг ашиглан тригонометрийн функцүүдийн бүх үндсэн шинж чанаруудыг гаргаж авдаг. -

Лобачевский Евклидийн геометрээс үл хамааран тригонометрийн ийм цэвэр аналитик бүтээн байгуулалтад онцгой ач холбогдол өгсөн бололтой.

XIX зууны сүүлийн арван жилд гэж маргаж болно. мөн 20-р зууны эхний арван жил. нийлмэл хувьсагчийн функцүүдийн онолын суурь судалгаа (Ф.Клейн, А.Пуанкаре, П.Кебе) нь Лобачевскийн геометр нь нэгэн зэрэг нэг цогцолборын аналитик функцүүдийн геометр гэдгийг аажмаар тодруулахад оршиж байв. хувьсагч.

1850 онд Санкт-Петербургийн их сургуулийн профессор (дараа нь академич) И.И. Сомов (1815-1876) Якобигийн "Шинэ үндэс" дээр үндэслэсэн "Аналитик функцүүдийн онолын үндэс" номыг хэвлүүлсэн.

Гэсэн хэдий ч нийлмэл хувьсагчийн аналитик функцийн онолын чиглэлээр Оросын анхны жинхэнэ "оригинал" судлаач Ю.В. Сохотский (1842-1929). Тэрээр "Зарим хэрэглээтэй интеграл үлдэгдэлийн онол" (Санкт-Петербург, 1868) магистрын зэрэг хамгаалсан. 1868 оны намраас Ю.В. Сохоцкий төсөөлөлтэй хувьсагчийн функцын онол, үргэлжилсэн бутархайн талаар анализ хийх программуудыг заажээ. Магистрын ажил Ю.В. Сохотский үлдэгдлийн онолыг хүч чадлын цуваа (Лагранжийн цуваа) хувиргалт, ялангуяа аналитик функцийг үргэлжилсэн бутархай болгон өргөтгөх, түүнчлэн Лежендрийн олон гишүүнтэд ашиглахад зориулагдсан болно. Энэхүү нийтлэлд чухал цэгийн ойролцоох аналитик функцийн зан байдлын талаархи алдартай теоремыг томъёолж, нотолсон болно. Сохотскийн докторын диссертацид

(1873) анх удаа Коши төрлийн интеграл гэсэн ойлголтыг өргөтгөсөн хэлбэрээр танилцуулав: *r/ ^ & _ энд

a ба b нь дурын хоёр комплекс тоо юм. Интегралыг a ба b-г холбосон муруй (траектор) дагуу авах ёстой. Энэ ажилд хэд хэдэн теоремууд батлагдсан.

Аналитик функцүүдийн түүхэнд асар их үүрэг гүйцэтгэсэн нь Н.Э. Жуковский, С.А. Чаплыгин нь аэромеханик, гидромеханик дахь хэрэглээнийхээ хязгааргүй хэсгийг нээж өгсөн.

Аналитик функцүүдийн онолыг хөгжүүлэх талаар ярихад С.В. Ковалевская, гэхдээ тэдний гол утга нь энэ онолоос гадуур оршдог. Түүний ажлын амжилт нь аналитик функцын онолын үүднээс асуудлыг цоо шинэ томъёолж, t цагийг цогц хувьсагч болгон авч үзсэнтэй холбоотой юм.

XX зууны төгсгөлд. нийлмэл хувьсагчийн функцүүдийн онолын чиглэлээр шинжлэх ухааны судалгааны мөн чанар өөрчлөгдөж байна. Хэрэв өмнө нь энэ чиглэлийн ихэнх судалгааг гурван чиглэлийн аль нэгийг (моноген буюу дифференциал Коши функцын онол, Риманы геометрийн болон физикийн санаа, Вейерштрассын аналитик чиглэл) хөгжүүлэх үүднээс хийж байсан бол одоо ялгаа ба тэдгээртэй холбоотой маргааныг даван туулж, гарч ирж, хурдацтай өсөж байна.үзэл санаа, арга барилын нийлэгжилт хийсэн бүтээлийн тоо. Геометрийн дүрслэл ба хүчний цувааны аппаратуудын хоорондын холбоо, захидал харилцааг тодорхой харуулсан үндсэн ойлголтуудын нэг бол аналитик үргэлжлэл гэсэн ойлголт байв.

XIX зууны төгсгөлд. Нарийн төвөгтэй хувьсагчийн функцүүдийн онол нь өргөн хүрээний цогц салбарыг агуулдаг: конформын зураглал ба Риманы гадаргуугийн онол дээр суурилсан функцүүдийн геометрийн онол. Бид бүхэл ба мероморф, эллипс ба модуль, автоморф, гармоник, алгебрийн янз бүрийн төрлийн функцүүдийн онолын салшгүй хэлбэрийг хүлээн авсан. Сүүлийн ангиллын функцуудтай нягт уялдаатай Абелийн интегралын онолыг боловсруулсан. Дифференциал тэгшитгэлийн аналитик онол, тоонуудын аналитик онол нь энэ цогцолбортой зэрэгцэн оршдог. Аналитик функцүүдийн онол нь бусад математикийн салбаруудтай холбоо тогтоож, бэхжүүлсэн.

TFCT ба алгебр, геометр болон бусад шинжлэх ухааны хоорондын харилцан хамаарлын баялаг байдал, ТСХТ-ийн шинжлэх ухааны системчилсэн үндсийг бий болгох, түүний практик ач холбогдол нь TFCT-ийг эрдмийн сэдэв болгон төлөвшүүлэхэд хувь нэмэр оруулсан. Гэсэн хэдий ч суурь бүрэлдэх ажил дуусахтай зэрэгцэн аналитик функцын онолд шинэ санааг нэвтрүүлж, түүний бүтэц, мөн чанар, зорилгыг эрс өөрчилсөн. Аналитик функцүүдийн онолын системчилсэн тайлбарыг аксиоматиктай ойролцоо хэв маягаар харуулсан монографиуд нь боловсролын зорилготой юм. Тухайн үеийн эрдэмтдийн олж авсан ТССТ-ийн үр дүнгийн ач холбогдол нь тэднийг сурган хүмүүжүүлэх үүднээс лекц унших, монографийн судалгааг хэвлэн нийтлэх хэлбэрээр сурталчлахад түлхэц болсон бололтой. ТБХТ нь суралцах хэлбэрээр гарч ирсэн гэж дүгнэж болно

сэдэв. 1856 онд Ч.Бриот, Т.Боукет нар "Төсөөллийн хувьсагчийн функцүүдийн судалгаа" хэмээх бяцхан дурсамж номоо хэвлүүлсэн нь үндсэндээ анхны сурах бичиг юм. Комплекс хувьсагчийн функцийн онолын ерөнхий ойлголтуудыг лекц дээр боловсруулж эхэлсэн. 1856 оноос хойш К.Вейершт-расс нийлмэл хүчний цуваагаар функцийг дүрслэх тухай, 1861 оноос функцүүдийн ерөнхий онолын талаар лекц уншив. 1876 ​​онд К.Вейерштрассын тусгай бүтээл гарч ирэв: "Нэг утгатай аналитик функцын онолын тухай", 1880 онд "Функцийн тухай сургаал" нь түүний аналитик функцүүдийн онол тодорхой бүрэн байдлыг олж авсан.

Вейерштрассын лекцүүд олон жилийн турш нийлмэл хувьсагчийн функцүүдийн онолын сурах бичгүүдийн эх загвар болж байсан бөгөөд тэр цагаас хойш нэлээд олон удаа гарч эхэлсэн. Түүний лекцүүд дээр математик анализын орчин үеийн хатуу стандартыг үндсэндээ барьж, уламжлалт болсон бүтцийг онцлон тэмдэглэв.

Ашигласан материал

1. Андронов И.К. Бодит ба нийлмэл тооны математик. М.: Боловсрол, 1975 он.

2. Klein F. XIX зууны математикийн хөгжлийн тухай лекцүүд. М.: ОНТИ, 1937. 1-р хэсэг.

3. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Комплекс хувьсагчийн функцүүдийн онолын аргууд. Москва: Наука, 1987.

4. Маркушевич А.И. Аналитик функцүүдийн онол. М .: Төр. Техникийн болон онолын уран зохиолын хэвлэлийн газар, 1950 он.

5. 19-р зууны математик. Геометр. Аналитик функцүүдийн онол / ред. А.Н. Колмогорова, А.П.Юшкевич нар. Москва: Наука, 1981.

6. Математик нэвтэрхий толь / Бүлэг. ed. I. M. Виноградов. М.: Зөвлөлтийн нэвтэрхий толь бичиг, 1977. T. 1.

7. Математик нэвтэрхий толь / Бүлэг. ed. I. M. Виноградов. М.: Зөвлөлтийн нэвтэрхий толь бичиг, 1979. 2-р боть.

8. Залуу В.Н. 18-19-р зууны эхэн үеийн тооны сургаалын үндэс. Москва: Учпэдгиз, 1963 он.

9. Рыбников К.А. Математикийн түүх. М .: Москвагийн Улсын Их Сургуулийн хэвлэлийн газар, 1963. 2-р хэсэг.

ҮГҮЙ. Ляхова ОНГОЦНЫ МУРЖИЛТАНД ХҮРСЭН НЬ

Нийтлэг цэгүүдийн абсциссуудыг Рп x = 0 хэлбэрийн тэгшитгэлээс олох тохиолдолд хавтгай муруйн шүргэлтийн тухай асуулт нь Р x нь зарим олон гишүүнт байдаг.

Pn x олон гишүүнтийн язгуурын олон талт дээр. Энэ өгүүлэлд график нь муруй хэлбэртэй функцүүдийн тодорхой ба далд хуваарилалтын тохиолдлуудад тохирох мэдэгдлүүдийг томъёолж, эдгээр мэдэгдлийг асуудлыг шийдвэрлэхэд ашиглахыг харуулсан болно.

Хэрэв y \u003d f (x) ба y \u003d cp x функцуудын график болох муруйнууд нийтлэг цэгтэй бол

M() x0; v0, өөрөөр хэлбэл. y0 \u003d f x0 \u003d cp x0 ба M () x0 цэг дээр зурсан заасан муруйнуудын шүргэгч; v0 давхцахгүй, тэгвэл бид y = засах) ба y - cp x муруйнууд Mo xo цэг дээр огтлолцдог гэж хэлдэг;

Зураг 1-д функцийн графикуудын огтлолцлын жишээг үзүүлэв.

хуулбар

1 Лапласын хувиргалт Товч мэдээлэл Хэлхээний онолд өргөн хэрэглэгддэг Лапласын хувиргалт нь f хугацааны 0-тэй тэнцүү цаг хугацааны функцүүдэд хэрэглэгдэх интеграл хувиргалт юм.< L { f } f d F, где = + комплексная переменная Величина выбирается так, чтобы интеграл сходился Если функция f возрастает не быстрее, чем экспонента, то интеграл преобразования Лапласа сходится, если >Хэрэв Лапласын интеграл нь зарим s утгын хувьд нийлдэг бол бүхэл бүтэн хагас хавтгайд аналитик болох F функцийг тодорхойлдог болохыг баталж болно > s Ийм аргаар тодорхойлсон F функцийг аналитик аргаар бүх хавтгайд өргөтгөж болно. нийлмэл хувьсагч = +, бие даасан ганц цэгээс бусад.Ихэнх тохиолдолд интегралыг тооцоолоход олж авсан томъёог цогцолборын бүх хавтгайд өргөтгөх замаар үргэлжилдэг. хувьсах функц F, аналитик байдлаар бүхэлд нь үргэлжлүүлэв нарийн төвөгтэй хавтгай, цаг хугацааны функцийн Лапласын дүрс гэж нэрлэнэ f эсвэл зүгээр л дүрс нь F функцийг өөрийн дүр төрхтэй нь харгалзах F функцийг эх гэж нэрлэдэг. Хэрэв F дүрс мэдэгдэж байгаа бол Лапласын урвуу хувиргалтыг f F d ашиглан олж болно. > шууд, ординатын тэнхлэгтэй параллель утгыг R > хагас хавтгайд F функцийн ганц цэг байхгүй байхаар сонгосон. Мэдэгдэж буй дүрсээс эхийг тодорхойлохыг урвуу Лапласын хувиргалт гэж нэрлэх ба тэмдгээр тэмдэглэнэ. f L ( F ) L 7

2 Лапласын хувиргалтын зарим шинж чанарыг авч үзье Шугаман чанар Энэ шинж чанарыг тэгшитгэлээр бичиж болно L( f f ) L( f ) L( f ) функцийн деривативын Лапласын хувиргалт df L( ) d df d F f d f 3 Лапласын хувиргалт интеграл: L( f d) d f 8 f d d F df: d f f d d тэгш байдал нь Ом хуулийн хэлбэртэй хэвээр байгаа боловч аль хэдийн хүчдэл ба гүйдлийн дүрсийн хувьд Индукц дээрх агшин зуурын хүчдэлийн хувьд d i u L хамаарал үүснэ, d i e тэнд шууд пропорциональ биш юм Ом-ын хууль энд үйлчлэхгүй Лапласын хувиргалт хийсний дараа U = LI LI+ болно.

3 Хэрэв ихэвчлэн тохиолддог шиг I + = бол харьцаа нь U = LI хэлбэрийг авна. Тиймээс хүчдэл ба гүйдлийн дүрслэлд Ом-ын хууль дахин хүчинтэй байна. Эсэргүүцлийн үүргийг L утга гүйцэтгэдэг. индукцийн эсэргүүцэл гэж нэрлэдэг.C Лапласын хувиргалт хийсний дараа энэ харьцаа U I хэлбэрийг авна, C t e нь Ом хуулийн хэлбэртэй, багтаамж нь C-тэй тэнцүү Тулгарсан элементар функцүүдийн Лапласын шууд ба урвуу хувиргалтын хүснэгтийг хийцгээе. хэлхээний онолд. Энэ функцийн Лаплас дахь хувиргалт нь L ( ) L ( ) d d 3 L ( ) 4 L ( ) 5 L (sin ) 9 байх болно.

4 3 6 ) (cos L 7 ) ( ) sin ( L L ) ( L 8 ) cos ( L 9 ) ( F d f f L! n d n n n n L! n n n L m< n и знаменатель имеет только простые корни Тогда n n K K K B, где, n корни полинома B, стоящего в знаменателе изображения Коэффициенты K, K, K n могут быть найдены следующим

5 3 Дүрсийг энгийн бутархай болгон задалж, үржүүлье: n n K K K K B Одоо бид хандлагатай байна Дараа нь баруун талд зөвхөн К үлдэнэ: lim B K мэдэгдэж байна: L Тиймээс " n B B L Сонирхолтой нь язгууруудын аль нэг нь байх үед онцгой тохиолдол юм. хуваагч нь тэгтэй тэнцүү: B F Энэ тохиолдолд F-ийг энгийн бутархай болгон тэлэх нь өмнөхөөс дараах хэлбэртэй байх болно, " n B B B ба B нь тэг дээр үндэсгүй байна.

6 3 Эндээс F функцийн Лапласын урвуу хувиргалт дараах хэлбэртэй байна: n B B B " L Б хуваагч дахь олон гишүүнт олон үндэстэй байх дахин нэг тохиолдлыг авч үзье. m.< n и корень кратности l При разложении на простые дроби этому корню соответствует сумма: l l l K K K Обратное преобразование слагаемых этой суммы мы уже имели выше см п:! n n n L Таким образом, обратное преобразование суммы будет иметь вид: M, где M полином от степени l

7 Хэлхээний зарим ерөнхий шинж чанарууд Цогцолбор хэлхээнд P салаа болон Q зангилаа байг.Тэгвэл Кирхгофын 1 ба 2-р хуулийн дагуу салбар дахь P гүйдэл ба Q зангилааны потенциалын хувьд Q зангилааны потенциалын нэг нь P + Q тэгшитгэлийг хийж болно. тэг гэж таамаглаж байна Гэхдээ хэрэв бид давталтын гүйдлийг хувьсах гүйдэл болгон ашиглавал Q дээр тэгшитгэлийн тоог багасгаж болно.Энэ тохиолдолд гүйдэл бүр зангилаа руу орж гарч байгаа тул Кирхгофын эхний хууль автоматаар биелнэ. энэ нь тэгтэй тэнцүү нийт гүйдлийг өгдөг бөгөөд үүнээс гадна Q зангилааны потенциалыг давталтын гүйдлээр илэрхийлдэг. тэгшитгэлийн нийт тоо, улмаар бие даасан хэлхээнүүд нь P + Q Q = P Q -тай тэнцүү болно + Бие даасан тэгшитгэлүүд байж болно. Хэрэв хэлхээний гүйдлийг үл мэдэгдэх гэж авбал шууд зурна.Бие даасан хэлхээ нь ийм байх бөгөөд тус бүр нь бусад контурын аль нэгэнд ороогүй дор хаяж нэг салбарыг агуулсан байх болно.Зураг. Кирхгофын хоёр дахь хууль a Ерөнхий тохиолдолд салааны эсэргүүцэл нь i R i C i L энд i, =, n, n нь бие даасан хэлхээний тоо. Хэлхээний гүйдлийн тэгшитгэл нь: I I n I n E; I I n I n E; ni n I nn I n En i, Энд E i нь багтсан бүх emfs-ийн нийлбэр юм. i-р хэлхээИжил индекстэй ii эсэргүүцлийг i-р хэлхээний дотоод эсэргүүцэл, i өөр индекстэй эсэргүүцлийг харилцан эсэргүүцэл буюу i-р ба --р хэлхээний холболтын эсэргүүцэл гэж нэрлэдэг.2-р хэлхээний эсэргүүцэл ii-д орсон эсэргүүцлийн нийлбэр юм. i-р хэлхээнд Эсэргүүцэл i нь эсэргүүцлийн нэг хэсэг.i-р 33-р зураг Бие даасан контурын жишээ

8 m-р хэлхээний тэгшитгэл нь дараах байдлаар харагдана: --р хэлхээнд мөн багтсан хэлхээ. i = i тэгшитгэл нь идэвхгүй хэлхээнд хүчинтэй байх нь ойлгомжтой. транзисторууд, Зураг I i Хоёрдахь гишүүнийг баруун талаас зүүн тал руу шилжүүлснээр бид энэ тэгшитгэлийг дараах байдлаар хувиргана: mi mi I i mn I n Em үл мэдэгдэх, зангилааны потенциалыг мөн ашигладаг, аль нэгнийх нь потенциалаас тооцно. зангилаа, тэг гэж авсан EMF үүсгүүрийн оронд гүйдлийн генераторуудыг ашиглана.Үүнийг дараах байдлаар дахин бичиж болно: энд Зураг Транзисторын нийлмэл хэлхээний эквивалент хэлхээ U YU U YnU U n I, Y U Y. U Y nu n I, Y Y Y Y n

9 Зангилааны потенциалын тэгшитгэлийн систем нь Y U YU Y nu n I хэлбэртэй байна; YU YU Y nu n I; Yn U Yn U YnnU n Энд Y i нь i ба -р зангилааны холболтын дамжуулагч юм: Y i G i L i Yi Y i C Хэрэв хэлхээнд транзистор, чийдэн байгаа бол энэ тэгш хэм алга болох нь ойлгомжтой. эсвэл бусад идэвхтэй элементүүд, хамааралтай гүйдлийн эх үүсвэрүүдийг агуулсан эквивалент хэлхээ Одоо хэлхээний тэгшитгэлийн шийдлүүдийг авч үзье. Давталтын гүйдлийн тэгшитгэлийн системийн шийдэл нь --р гүйдлийн хэлбэртэй байна: I, энд гол тодорхойлогч нь систем, ижил тодорхойлогч, --р багана нь баруун хэсгүүдээс цахилгаан хөдөлгөгч хүчээр солигдсон E, E, E n Хэлхээнд зөвхөн нэг EMF E байдаг гэж бодъё. эхний тоо.Тэгшитгэлийг зөвхөн нэг хэлхээний гүйдэл бидний сонирхсон салбараар дамжин өнгөрөх байдлаар зохиох ёстой.Тодорхойлогч i Зураг 4 Оролтын хэлхээнд EMF-тэй хэлхээ 35.

10 E I харьцааг оролтын эсэргүүцэл гэж нэрлэдэг.Харин энэ эсэргүүцэл нь бүх хэлхээний нөлөөллийг харгалзан үздэг.Хоёр дахь гаралтын хэлхээний хувьд бид I 36 E байх болно, үүнд харгалзах алгебрийн нэмэгдэл. T I E харьцааг дамжуулалт гэж нэрлэдэг. Эхний хэлхээнээс хоёр дахь хүртэлх эсэргүүцэл.Үүнтэй адил зангилааны потенциалын тэгшитгэлээс оролтын дамжуулалтын дамжуулалтыг 5-р зураг 5-р зураг "U I" I, Y "Y" оролт дээрх гүйдлийн эх үүсвэртэй хэлхээ ба дамжуулалтын дамжуулалтыг авч болно. Эхний зангилаа хоёр дахь: U " I " I Y T, Y T " " энд I нь эхний зангилаанд нийлүүлсэн гүйдэл, U ба U нь эхний болон хоёр дахь зангилаанаас олж авсан хүчдэл " системийн гол тодорхойлогч юм. зангилааны потенциалын тэгшитгэлүүд ба " i нь харгалзах алгебрийн нэмэлт юм. Ү ба Y хооронд Y хамаарал байна. Идэвхгүй хэлхээний хувьд бид = Иймээс системийн гол тодорхойлогч нь тэгш хэмтэй байна. Үүнээс үзэхэд ба алгебрийн нэмэлтүүдтэнцүү байна: = Тиймээс дамжуулах эсэргүүцэл нь бас тэнцүү байна T = T Энэ шинж чанарыг харилцан хамаарал гэж нэрлэдэг. Бидний харж байгаагаар харилцан үйлчлэх нөхцөл нь эсэргүүцлийн матрицын тэгш хэм юм. Харилцан хамаарлын шинж чанарыг дараах байдлаар томъёолсон Зураг 6: хэрэв EMF бол оролтын хэлхээнд гаралтын хэлхээнд тодорхой хэмжээний гүйдэл үүсгэдэг бол гаралтын хэлхээнд багтсан ижил EMF нь оролтын хэлхээнд үүснэ.

11 ижил утгатай гүйдэл Товчхондоо, энэ шинж чанарыг заримдаа дараах байдлаар томъёолдог: оролтын хэлхээний EMF ба гаралтын хэлхээний амперметрийг сольж болох ба амперметрийн заалт өөрчлөгдөхгүй 7 U E Зураг 7 Хүчдэл дамжуулах коэффициент дараа нь дараах байдлаар байна. 7-р зураг дээрх диаграмм: U U I n; ; K n E T E ; I T U n Үүний нэгэн адил одоогийн дамжуулалтын коэффициент I K I Зураг 8-ыг тодорхойлж болно: I Эндээс I U Yн I ; Y ; K n I YT I U Y T I Зураг 8 Одоогийн шилжүүлгийн харьцаа Yn Y T T 37

12 3 Хэлхээний функцүүдийн ерөнхий шинж чанаруудын тухай дэлгэрэнгүй Хэлхээний функцууд нь тэгшитгэлийг шийдвэрлэх замаар олж авсан хувьсагчийн функцууд, жишээлбэл, оролтын эсэргүүцлийн дамжуулалт, эсэргүүцлийн дамжуулалтын дамжуулалт гэх мэт. Бөөгнөрсөн параметр бүхий хэлхээний хувьд хэлхээний аливаа функц нь утгын хувьд оновчтой байдаг. хувьсагч ба бутархай m Ф B b n m n b m m n n 38 b b ба коэффициентүүд нь бодит Үгүй бол Ф b m n m, " " " Энд, m, ", ", " n нь тэгшитгэлийн үндэс m b n m n b b b гэж илэрхийлж болно. тэг ба туйлууд нь давхцаж байгаа хоёр рационал функц нь зөвхөн тогтмол хүчин зүйлээр л ялгаатай байх нь ойлгомжтой.Өөрөөр хэлбэл хэлхээний параметрүүдийн давтамжаас хамаарах мөн чанар нь хэлхээний функцын тэг ба туйлаар бүрэн тодорхойлогддог.Учир нь олон гишүүнт байдаг. бодит коэффициентууд, нэгдэл утгаараа * олон гишүүнт холбогч утгыг олж авдаг * = * ба B * = B * Хэрэв олон гишүүнт im нийлмэл язгууртай бол энэ нь бас үндэс болно Иймээс гинжин функцийн тэг ба туйлууд нь бодит эсвэл нийлмэл хосолмол хосуудыг бүрдүүлж болно. n,

13 Харин F F F, F F F Эдгээр тэгш байдлыг харьцуулж, дээр өгөгдсөн тэгш байдлыг харгалзан үзэхэд бид F F, F F, өөрөөр хэлбэл хэлхээний функцийн бодит хэсэг нь давтамжийн тэгш функц, давтамжийн төсөөлөл сондгой функц нь тэгш байдлыг тодорхойлох тэгш байдлыг олж авна. U хүчдэлээс үүссэн оролтын эсэргүүцэл дэх гүйдэл: U I B U-г нэгж алхам гэж үзье, Дараа нь I, B энд, B нь олон гишүүнт байна Өргөтгөх томьёог ашиглан та i B B" -ийг авч болно, энд B олон гишүүнтийн тэг ба , тиймээс эсэргүүцлийн функцын тэгүүд ба тэг гол тодорхойлогч: = Хэрэв ядаж нэг тэг эерэг бодит хэсэгтэй байвал би хязгааргүй өснө.

14 me Дамжуулах эсэргүүцэл T, оролтын дамжуулалт Y, дамжуулалтын дамжуулалт Y T-ийн талаар ижил дүгнэлт хийж болно Тодорхойлолт Хэлхээний функц нь бодит элементүүдээс бүрдэх хэлхээнд тохирох бөгөөд тэдгээрийн аль нь ч байгалийн хэлбэлзэлгүй байвал физикийн хувьд хэрэгжих боломжтой гэж нэрлэдэг. цаг хугацааны хувьд хязгааргүй өсөх далайцтай Тодорхойлолтод заасан хэлхээг тогтвортой гэж нэрлэдэг.Физикийн хувьд боломжтой тогтвортой хэлхээний функцийн үндсэн тодорхойлогчийн тэг, тиймээс эсэргүүцэл ба дамжуулалтын функцүүдийн тэгийг зөвхөн зүүн хагаст байрлуулна. -хувьсагчийн хавтгай буюу бодит давтамжийн тэнхлэгт.Хэрэв хоёр ба түүнээс дээш тэг давхцаж байвал олон үндэс байвал харгалзах шийдлүүд нь: M хэлбэртэй байна, энд M нь m зэрэгтэй олон гишүүнт, m нь язгуур o коэффициентийн үржвэр юм. e дамжуулалт, тэгвэл дээрх бүх зүйл нь тэг биш харин дамжуулах коэффициентийн хэлхээний функцын туйлуудад хамаарна.Үнэндээ: n K T-ийн тэг нь K функцийн туйлууд бөгөөд ачааллын эсэргүүцэл n нь идэвхгүй байна. ; түүний тэг нь зөв хавтгайд байх нь гарцаагүй Дээрхээс үзэхэд физикийн хувьд хэрэгжих боломжтой гинжин функцууд нь дараах шинж чанартай байна: мөн гинжин функцийн тэг ба туйлууд нь бодит эсвэл нийлмэл хосолсон хосуудыг үүсгэдэг; b хэлхээний функцийн бодит ба төсөөллийн хэсгүүд нь давтамжийн тэгш ба сондгой функцүүд тус тус бодит давтамжтай байх; үндсэн тодорхойлогчийн тэг рүү ордог тул дамжуулалтын эсэргүүцэл ба дамжуулах дамжуулалтын эсэргүүцэл нь баруун хагас хавтгайд байх боломжгүй, олон тэг нь баруун хагас хавтгайд ч, T 4 бодит давтамжийн тэнхлэгт ч байж болохгүй.

15 3 Өсгөгч дэх түр зуурын үйл явц Хэлхээний тэгшитгэлийн системийг шийдэхэд өгөгдсөн оролтын гаралтын дохионы дүрс гарна U = KE Цагийн муж дахь хэлхээний функцийг Лапласын урвуу хувиргалт u L ( K E ) Of ашиглан олж болно. хамгийн их сонирхол байна шилжилтийн үйл явцалхам хэлбэрийн оролтын дохиотой Системийн нэг алхамд үзүүлэх хариу үйлдлийг шилжилтийн функц гэнэ. шилжилтийн функц, дурын хэлбэрийн оролтын дохионы системийн хариуг олж болно.туйлны баруун талд хэвтэх = 3-р тодорхойлолт нь ихээхэн сонирхол татаж байна: h r K d K r r K r d d r r.

16 4 r хязгаарт хүрцгээе Дараа нь бид d K V K K d K V h байна давтамжийн хариу үйлдэлолз Энэ томъёоноос бид зарим ерөнхий дүгнэлт хийж болно h дахь хувьсагчийг: d K V K h -ээр орлъё. Харин h нь учир шалтгааны зарчмаас харахад дохио нь төсөөллийн хэсэгт гарч ирдэг тул: K = K + K r -д орлуулах. h-ийн илэрхийлэл, бид d K K V K r-ийг авна Хүндэтгэлээр ялгавал бид d K K r эсвэл cos sin sin cos d K K K K r r болно.

17 Интегралын төсөөллийн хэсэг нь давтамжийн сондгой функц тул түүний интеграл нь тэгтэй тэнцүү. Бодит хэсэг нь давтамжийн тэгш функц тул физикээр хэрэгжсэн дамжуулах коэффициентийг хангах ёстой нөхцөл нь: учир шалтгааны зарчмаас. Дамжуулах коэффициентийг K,B олон гишүүнтүүдийн харьцаагаар бичиж болох систем нь B олон гишүүнтийн бүх тэгүүд зүүн хагас хавтгайд оршдог тул учир шалтгааны зарчмыг хангадаг тул тогтвортой байна гэдгийг харуулж байна.Үүний тулд: бид K h d интегралыг судалдаг< и >Зураг 3-т үзүүлсэн хоёр хаалттай контур ба B-г танилцуулъя Зураг 3 Интеграцийн контур: at< ; B при > 43

18 44 Битүү контурын дагуу интеграл авсан функцийг авч үзье.Кошигийн интеграл теоремын дагуу баруун хагас хавтгайд байгаа интеграл нь нөхцлөөр аналитик байдаг тул интеграл нь тэгтэй тэнцүү байна.Интегралыг дараах байдлаар бичиж болно. интегралын контурын салангид хэсгүүдийн интегралуудын нийлбэр: sin cos R r R r r R R d R R K r d r r K d K d K h< < /, то при < последний интеграл стремится к нулю при R т е h h при R Отсюда следует что h при < Рассмотрим функцию где интеграл берется по контуру B Здесь R вычеты подынтегральной функции относительно полюсов, лежащих в левой полуплоскости Аналогично предыдущему можно показать, что при >R-ийн хувьд h B h-г барина. Иймд: R h, >-ийн хувьд

19 Энгийн туйлын үлдэгдэл нь R B"-тэй тэнцүү бөгөөд бид өмнө нь K lim, 45 lim B энд RC Дээр өгөгдсөн учир шалтгааны нөхцлийн дагуу тэгш байдал хангагдах ёстой гэдгийг баталъя. Тэгш байдал cos sin d cos d нь мэдэгдэж байна.Баруун ба зүүн хэсгийг ялгах: sin d Энэ тэгшитгэлийн зүүн ба баруун хэсгийг үржүүлээд: sin d-аас нотлох шаардлагатай тэгш байдал гарч ирнэ.Системийн шилжилтийн функцтэй бол та ямар ч оролтын дохионы хариуг олж чадна.Үүний тулд бид оролтын дохиог ойролцоогоор нэгж алхамуудын нийлбэрээр илэрхийлнэ.Зураг 34.

20 Зураг 34 Үзүүлэн оролтын дохиоЭнэ дүрслэлийг дараах байдлаар бичиж болно: u u u Дараа нь, u u "Нэгж алхамын хариу нь h-тэй тэнцүү байх болно. Иймээс гаралтын дохиог ойролцоогоор дараах байдлаар илэрхийлж болно: u u h u" h нийлбэрийн оронд хязгаарт шилжихэд бид олж авна. интеграл u u h u" h d хэсгүүдээр нь, та Duhamel интегралын өөр хэлбэрийг авч болно: u u h u h" d Тэгээд эцэст нь хувьсагчийн өөрчлөлтийг ашиглан = ", та Duhamel интегралын хоёр өөр хэлбэрийг авч болно: u u h u" h d ; u u h u h" d 46

21 4 Хоёр туйлтай хэлхээний зарим шинж чанарууд 4 Оролтын дамжуулалтын эсэргүүцлийн функцийн ерөнхий шинж чанарууд Хоёр терминал нь оролтын дамжуулалтын эсэргүүцлийн функцээр бүрэн тодорхойлогддог Энэ функц нь баруун хагас хавтгайд тэг байхаас гадна олон тэгтэй байж болохгүй. бодит давтамжийн тэнхлэг Y тул Y-ийн тэгүүд нь туйлуудтай тохирч, эсрэгээр нь оролтын дамжуулалтын эсэргүүцлийн функц нь баруун хагас хавтгайд туйлтай, бодит давтамжийн тэнхлэгт олон туйлтай байж болохгүй. Идэвхгүй хоёр туйлтай сүлжээнүүд. энергийн эх үүсвэр агуулаагүй тул тэдгээр нь үргэлж тогтвортой байдаг. Оролтын дамжуулалтын эсэргүүцлийн илэрхийлэл нь: m b n m n b m n 47 m n b b Дараах асимптот тэгшитгэлийг хангана: b m mn. lizi = үүнтэй адил, тоологч ба хуваагчийн хамгийн жижиг илтгэгч нь нэгээс илүү зөрүүтэй байж болохгүй гэдгийг харуулж болно.Эдгээр хэллэгийн физик утга нь маш өндөр ба маш бага давтамжтай үед идэвхгүй хоёр терминалын сүлжээ нь дараах байдлаар ажиллах ёстой гэсэн үг юм. багтаамж буюу ороомог буюу идэвхтэй эсэргүүцэл n, 4 Хоёр терминалын сүлжээний эрчим хүчний функцууд Хоёр терминалын сүлжээ нь идэвхтэй эсэргүүцэл, багтаамж ба ороомог агуулсан зарим нэг төвөгтэй хэлхээ гэж бодъё.

Хоёр терминалын сүлжээний хавчааруудад синусоид хүчдэлийг хэрэглэвэл хоёр терминалын сүлжээнд тодорхой хэмжээний хүч алдагдах ба дундаж утга нь P нь энергийн зарцуулалтыг тодорхойлдог.Цахилгаан ба соронзон энерги нь багтаамж ба индукцэд хадгалагддаг. Дундаж утгыг W E ба W H гэж тэмдэглэсэн. Бид эдгээр хэмжигдэхүүнүүдийг давталтын гүйдлийн тэгшитгэлийг ашиглан шууд тооцож, дээрх хэмжигдэхүүнүүдийн илэрхийллийг хамгийн энгийн тохиолдлуудтай зүйрлүүлэн бичнэ. Тиймээс R эсэргүүцлийн хувьд дундаж эрчим хүчний алдагдал нь P R I I Үүний нэгэн адил хэд хэдэн салбарыг агуулсан хэлхээний хувьд, дундаж хүчгогцооны гүйдлээр илэрхийлж болно: P i R i I i I Индукцид хуримтлагдсан дундаж энерги W H L I I Нарийн төвөгтэй хэлхээний хувьд энэ утгыг давталтын гүйдлээр илэрхийлнэ: W H 4 i L i I 4 I I C 48

23 Энэ хамаарал дээр үндэслэн нийт дундаж цахилгаан энергийн илэрхийлэлийг бичиж болно: W E 4 Ii I i Ci Эдгээр хэмжигдэхүүнүүд нь ямар хамааралтай болохыг олж мэдье. оролтын хүчдэлба гүйдэл Үүнийг хийхийн тулд бид давталтын гүйдлийн тэгшитгэлийг бичнэ I R I L I E ; C I R i I Li I ; Ci Тэгшитгэл бүрийг харгалзах гүйдэл 49 Ii-ээр үржүүлж, бүгдийг нь нэмнэ I Ii Ri Ii Li I Ii EI i i i Ci Хэрэв R i = R i; L i = L i ; C i = C i, өөрөөр хэлбэл хэлхээ нь харилцан үйлчлэх зарчмыг хангадаг бөгөөд идэвхтэй элементүүд байхгүй бол: i i i R I I P; i i L I I 4W ; i I I i E i Ci H 4 W функцууд

24 Теллагений теорем нь эсэргүүцэл ба дамжуулалтын Y-ийн илэрхийлэлийг энергийн функцийн хувьд олох боломжийг олгодог: E I E I I I I I E Y E E E E 5 P WH W I I P WH W E E хэлхээнд энергийн алдагдал байхгүй тохиолдолд л тэг болно.Тогтвортой байдлын нөхцөл нь Y ба хоёулаа тэггүй байхыг шаарддаг. баруун хагас хавтгайд туйл байхгүй.Туйл байхгүй гэдэг нь Y нь мөн баруун хагас хавтгайд аналитик функцууд гэсэн үг.Комплекс хувьсагчийн функцийн онолд хэрэв функц тодорхой мужид аналитик байна гэсэн теорем байдаг. , дараа нь түүний бодит ба төсөөлөл хэсгүүд нь бүсийн хил дээр хамгийн бага ба хамгийн том утгууддаа хүрдэг. Оролтын эсэргүүцэл ба дамжуулалтын функцууд нь баруун хагас хавтгайд аналитик байдаг тул тэдгээрийн бодит хэсэг нь хил дээр байна. Бодит давтамжийн тэнхлэг дээрх энэ муж нь хамгийн бага утгад хүрдэг боловч бодит давтамжийн тэнхлэг дээр бодит хэсэг нь сөрөг биш тул баруун хагас хавтгайд эерэг байна. Үүнээс гадна функц ба Y нь бодит утгыг авдаг Бодит утгуудын хувьд, учир нь тэдгээр нь олон гишүүнтүүдийг бодит коэффициентээр хуваах коэффициентийг төлөөлдөг. Бодит утгыг бодит утгаар авч, баруун хагас хавтгайд эерэг бодит хэсэгтэй функцийг эерэг бодит функц гэж нэрлэдэг. Оролтын эсэргүүцэл. ба дамжуулалтын функцууд нь эерэг бодит функцууд функц нь эерэг бодит функц байсан 3 Хоёр терминалын сүлжээнд реактив элементүүд эсвэл соронзон ба Е Е дундаж нөөц байхгүй бол бодит давтамжийн тэнхлэг дээрх төсөөллийн хэсэг тэгтэй тэнцүү байна;

Хоёр терминалын сүлжээнд 25 цахилгаан эрчим хүч ижил байна.Энэ нь резонансын үед явагддаг; Үүний давтамжийг резонансын давтамж гэж нэрлэдэг. ба Y-ийн энергийн хамаарлыг гаргахдаа харилцан хамаарлын шинж чанарыг үндсэндээ ашигласан болохыг тэмдэглэх нь зүйтэй.Хараат үүсгүүр байхгүй байх.Харилцааны зарчмыг хангаагүй ба хамаарлыг агуулсан хэлхээний хувьд эх үүсвэрүүдэд энэ томьёо буруу болж магадгүй.Жишээ нь 4-р зурагт цуваа резонансын хэлхээний диаграммыг үзүүлэв.Энэ хамгийн энгийн тохиолдолд энергийн томьёо юу өгч байгааг харцгаая.I гүйдэл урсах үед R эсэргүүцэлд ялгарах хүч тэнцүү байна P I R. Цахилгаан ба соронзон энергийн дундаж нөөц нь: W H L I C U ; W E I гүйдэл гүйх үед багтаамж дээрх U хүчдэл нь W E I U C I C Томьёо дахь энергийг орлуулахад бид L I I R I Зураг 4 Цуврал хэлхээний хувьд таны бодож байсан шиг I C R L C цуврал резонансын хэлхээг олж авна.

26 Энд E E C C S I S E R R RC RC C C, S >> C байг, ингэснээр хаалтанд байгаа эхний гишүүнийг үл тоомсорлож болно S чийдэнгийн налуу Дараа нь Оролтын эсэргүүцэл нь S I E RC E RC I S S RC байх болно хаана Req; Leq S S хамааралтай эх үүсвэрийн хэлхээнд авч байна хяналтын сүлжээшаардлагатай фазын шилжилтийн хувьд оролтын хүчдэл ба гүйдлийн хоорондох индуктив эсвэл багтаамжтай фазын шилжилтийг олж авах боломжтой бөгөөд үүний дагуу оролтын эсэргүүцлийн давтамжийн индуктив эсвэл багтаамжтай шинж чанар нь зөвхөн бүх давтамжийн хувьд тэгтэй тэнцүү байж болно. Хэлхээний элементүүд ямар ч алдагдалгүй, өөрөөр хэлбэл тэд цэвэр реактив боловч алдагдалтай байсан ч эсэргүүцэл эсвэл дамжуулалтын бодит хэсэг нь зарим давтамжид алга болдог.

27 Хэрэв энэ нь төсөөллийн тэнхлэгийн хаана ч алга болохгүй бол физик боломжийн нөхцлийг зөрчихгүйгээр эсэргүүцэл эсвэл дамжуулах чадвараас тодорхой тогтмол утгыг хасч, сөрөг бус үлдсэн бодит хэсэг нь тодорхой давтамжтайгаар алга болно. дамжуулалтын эсэргүүцлийн функц нь хувьсагчийн баруун хагас хавтгайд туйл байхгүй, өөрөөр хэлбэл, энэ мужид аналитик шинж чанартай байдаг бол түүний бодит хэсэг нь түүний хил дээр, өөрөөр хэлбэл, төсөөллийн тэнхлэг дээр хамгийн бага утгатай байна.Тиймээс энэ хамгийн бага утгыг хасах нь утга нь баруун хагас хавтгайд бодит хэсгийг эерэгээр үлдээдэг.- дамжуулалтын идэвхтэй эсэргүүцэл, хэрэв түүний бодит хэсэг нь бодит давтамжийн тэнхлэгт алга болвол идэвхгүй байдлын нөхцлийг зөрчихгүйгээр энэ бүрэлдэхүүн хэсэг буурах боломжгүй болно. хамгийн бага идэвхтэй хэлхээ алга болж, нэгэн зэрэг хамгийн багадаа хүрч, тэгвэл бодит давтамжийн тэнхлэг дээрх бодит хэсгийн тэг нь хамгийн багадаа үржвэртэй байна Жишээ 43-р зурагт бидний хамгийн бага идэвхтэй дамжуулалтын эсэргүүцлийн шинжилгээ хийдэг хамгийн энгийн хэлхээг үзүүлэв R C R C R L R C R C a b c d Зураг 43 Хэлхээ: хамгийн бага идэвхтэй дамжуулалт a, хамгийн бага идэвхтэй эсэргүүцэл b , c ба хамгийн бага идэвхтэй төрөл d Зураг 43, a-д эсэргүүцлийн бодит хэсэг нь ямар ч бодит давтамжид алга болдоггүй тул хэлхээнд хамгийн бага идэвхтэй төрлийн оролтын эсэргүүцэлтэй байна. давтамжийн үед дамжуулалтын бодит хэсэг алга болно = Иймээс хэлхээ нь хамгийн бага идэвхтэй дамжуулагчийн хэлхээ юм Зураг 43, b-д эсэргүүцлийн бодит хэсэг нь хязгааргүй давтамжтай 53 алга болдог тул хэлхээ нь хамгийн бага идэвхтэй эсэргүүцлийн хэлхээ юм.

28 43-р зурагт c нь цуваа хэлхээний резонансын давтамж дээр хамгийн бага идэвхтэй эсэргүүцэлтэй R = хэлхээ юм.43-р зурагт d-д хэлхээ нь хамгийн бага идэвхтэй биш 3-р хэлхээний хэлхээ нь хязгаарлагдмал эсэргүүцэлтэй. резонансын давтамж дээр ийм хоёр терминалын сүлжээ нь тодорхой нөхцөлд тогтворгүй байж болно. Энд байгаа боломжуудыг авч үзье. Эсэргүүцэл хувьсагчийн баруун хагас хавтгайд тэгтэй боловч тэнд туйл байхгүй. Экспоненциал өсөх шийдлүүдийг байрлуул, өөрөөр хэлбэл хоёр- туйл ник нь EMF эх үүсвэрээс тэжээгддэг бол тогтворгүй, эсвэл терминалууд нь богино холболттой үед, өөрөөр хэлбэл бодит давтамжийн тэнхлэг Энэ нь сөрөг байна, эс тэгвээс энэ нь эерэг бодит функц байх бөгөөд баруун хагас хавтгайд тэг байх боломжгүй. Бодит давтамжийн тэнхлэг дээрх бодит хэсгийн минимумыг эерэг бодит эсэргүүцлийг нэмснээр тэг болгож болно Энэ тохиолдолд + R функц эерэг бодит функц болж хувирна.Иймд R эсэргүүцлийг нэмсэн хоёр терминалын сүлжээ болно. богино залгааны үед тогтвортой байх.

29 Дамжуулах чадвар Y нь баруун хагас хавтгайд тэгтэй боловч туйл байхгүй. Энэ нь өмнөхтэй харьцуулахад эсрэг тохиолдол юм, учир нь = /Y нь баруун хагас хавтгайд туйлтай боловч тэг байхгүй гэсэн үг юм. Энэ тохиолдолд тогтворжилтыг гүйдлийн эх үүсвэртэй хэлхээнд судална.Зураг 45, a Хэрэв Y нь баруун хагас хавтгайд тэгтэй байвал хоёр терминалын сүлжээ сул зогсолтод тогтворгүй байна.Цаашилбал дээрх үндэслэлийг ашиглаж болно. Баруун талын хагас хавтгайд Y туйл байхгүй тул Y функцийг эерэг бодит дамжуулагч G Gmin-ийг нэмснээр бодит эерэг функц болгож болно. Иймээс хоёр терминалын сүлжээ, дамжуулах чанар Y нь тэгтэй тэнцүү байна. баруун хагас хавтгай, гэхдээ тэнд туйл байхгүй, хангалттай том бодит дамжуулагчийг нэмснээр тогтвортой болгож болно.хүчдэлийн эх үүсвэрээс 3 Функц нь баруун хагас хавтгайд тэг ба туйлтай байна Энэ тохиолдолд Тогтвортой байдлын асуудлыг шийдвэрлэх нь онцгой анхаарал шаарддаг.Тиймээс бид дараах дүгнэлтийг гаргаж болно: хэрэв идэвхтэй хоёр терминалын сүлжээ нь гүйдлийн эх үүсвэрээс тэжээгддэг бол энэ нь баруун хагас хавтгайд шон байхгүй бол энэ нь байж болно. зарим эерэг материалын эсэргүүцлийг цуваа холбосноор хүчдэлийн эх үүсвэрээс тэжээгдэх үед тогтвортой болсон; Хэрэв хоёр терминалын идэвхтэй сүлжээ нь хүчдэлийн эх үүсвэрээс тэжээгдэх үед тогтвортой байвал Y-ийн баруун хагас хавтгайд туйл байхгүй бол хангалттай том бодит дамжуулалтыг зэрэгцээ холбосноор гүйдлийн эх үүсвэрээс тэжээгддэг бол үүнийг тогтвортой болгож болно.Жишээ: Сөрөг эсэргүүцлийн зэрэгцээ холболтыг авч үзье R багтаамжтай C fig 46 R C R C I 55 Y b G Зураг 45 Хоёр терминалын сүлжээ: a гүйдлийн эх үүсвэртэй; б цахилгаан дамжуулах чанарыг нэмсэн Ө Ө Зураг 46 Сөрөг эсэргүүцэлтэй хоёр терминалын сүлжээ I

30 Таны харж байгаагаар баруун хагас хавтгайд тэг байхгүй тул ийм хэлхээ нь хүчдэлийн эх үүсвэрээс тэжээгддэг бол тогтворгүй байдаг Харин сул зогсолтод тогтворгүй байдаг L индукцийг цуваа нэмье Дараа нь зураг 47 Хонгилын эквивалент хэлхээ диод R R L LCR L RC RC Энэ функц нь баруун хагас хавтгайд тэгтэй байна: , RC 4 RC LC Иймээс хэлхээ нь хүчдэлийн эх үүсвэрээс тэжээгддэг бол тогтворгүй байдаг Гэхдээ энэ нь бас баруун хагас хавтгайд туйлтай байдаг. энэ нь тодорхой эсэргүүцэл R цуваа нэмснээр тогтвортой байна Зураг 47 Дараа нь R LCR RRC L R R L R RC RC Тогтвортой байдлын нөхцөл нь баруун хагас хавтгайд тоологчийн тэг байхгүй байх явдал юм Үүний тулд тоологч дахь гурвалсан бүх коэффициент эерэг байх ёстой. : RR C L; R R Эдгээр хоёр тэгш бус байдлыг дараах байдлаар бичиж болно: L CR R R R нөхцөлд L L R эсвэл R RC C R байвал ийм тэгш бус байдал үүсэх нь ойлгомжтой. нөхцөл 56

Зураг 48 Сул зогсолтын үед хэлхээний тогтворжилтын нөхцлүүдийг олъё.Үүний тулд цахилгаан дамжуулах чадварыг тооцоолно: Y R R C L 57 LC L R L o o th R or R > R o Урвуу тэгш бус байдал биелэх үед өөрөө хэлбэлзэл өдөөгдөнө. резонансын хэлхээний давтамж дахь хэлхээ.идэвхгүй байдлын нөхцөлийг зөрчөөгүй зарим хязгаар Физикийн хувьд бодит бүрэлдэхүүн хэсгийн тогтмол утгаар өөрчлөгдөх нь давтамжаас үл хамааран бодит идэвхтэй эсэргүүцлийг нэмэх буюу хасахыг хэлнэ. эсэргүүцлийн функц n Тогтмол утгаараа цахилгаан дамжуулах чанарыг хүлээн зөвшөөрөх боломжгүй, учир нь энэ нь физик боломжийн нөхцлийг зөрчсөн; дамжуулалтын эсэргүүцэл нь бодит давтамжийн тэнхлэг дээр туйлтай байх тохиолдолд боломжтой. Физик боломжийн нөхцлөөс шалтгаалан ийм туйл нь энгийн бөгөөд төвөгтэй коньюгат байх ёстой.

32 Эсэргүүцэл нь давтамжууд дээр туйлтай байг.Тэгвэл энгийн бутархайг ялгаж болно M N B B Физик хэрэгжих нөхцөлтэй зөрчилдөж байгаа N N M M N r M B r 58 B * M, M M тэмдэг гэдгийг харахад хялбар байдаг. Иймд M r = N r = Дараа нь M. = N Үүнээс гадна, M = N > Үнэхээр бид = + гэж тохируулж, > Дараа нь бутархай нь M/ утгыг авдаг бөгөөд энэ нь тэгээс их байх ёстой, учир нь бутархай нь бодит эерэг функц байх ёстой. баруун хагас хавтгай Тэгэхээр, M = N > Тиймээс, хэрэв энэ нь бодит давтамжийн тэнхлэг дээр нийлмэл коньюгат туйлтай бол түүнийг дараах байдлаар илэрхийлж болно: M M, B ба физик боломжийн нөхцөлийг хангасан бол тэдгээр нь хангагдсан бол Бодит , байхгүй байна. туйлуудыг баруун хагас хавтгайд байрлуулна.Тиймээс баруун хагас хавтгайд туйл байхгүй.Тиймээс энэ нь баруун хагас хавтгайд аналитик функц юм.Нөгөө талаас эхний гишүүн нь авдаг. Бодит давтамжийн тэнхлэгүүд нь зөвхөн хийсвэр утгууд тул бодит давтамжийн тэнхлэгүүд дээр ижил бодит хэсгүүдтэй байдаг. Эхний гишүүнийг сонгох нь бодит давтамжийн тэнхлэг дээрх бодит хэсэгт нөлөөлөхгүй. Энэ нь бас эерэг функц юм. r-ийн баруун хагас хавтгайд

33 Нэмж дурдахад, энэ нь бодит утгыг баруун хагас хавтгайд бодит утгаар авдаг. Тиймээс бодит эерэг функц юм M Эсэргүүцэл нь параллель алдагдалгүй резонансын хэлхээтэй: L C C C, L C LC LC ба M C ижил төстэй. ± : M " Y, Y M " цэгүүд дээр туйлтай цахилгаан дамжуулах чанарын функцийн хувьд үндэслэлийг гаргаж болно: M " Y, Y M " энд илэрхийлэл нь цуврал резонансын хэлхээний дамжуулах чанар юм: Y C L L C L e багтаамж эсвэл индукцэд харгалзах Дараах мэдэгдэл үнэн

34 үүнээс бодит давтамжийн тэнхлэгт байрлах туйлуудад харгалзах дамжуулалтын урвалыг хасна.Ийм байдлаар бүх туйлуудыг арилгадаг дамжуулалтын эсэргүүцлийг хамгийн бага реактив хэлбэрийн дамжуулалтын эсэргүүцэл гэнэ.Эсэргүүцлийн туйл ба дамжуулалтын аль ч үед. Бодит давтамжууд Ийм туйл байгаа нь тэдгээрт чийгшүүлэхгүйгээр чөлөөтэй хэлбэлзэл байх боломжтой гэсэн үг боловч ихэнх тохиолдолд сайн ойролцоолсон тохиолдолд реактив элементүүдийн алдагдлыг үл тоомсорлож болно. алдагдал багатай элементүүд Энэ тохиолдолд нөлөө Алдагдлыг заримдаа үл тоомсорлож болно Энэ нь алдагдалгүй хэлхээний шинж чанарыг олж мэдэх, мөн ямар нөхцөлд алдагдлыг үл тоомсорлож болохыг олж мэдэх нь сонирхолтой юм. Хэлхээний бүх элементүүдийг цэвэр реактив гэж үзье. Энэ тохиолдолд бодит давтамжийн тэнхлэг дээр эсэргүүцэл ба дамжуулах чадвар Y нь төсөөллийн утгыг авч байгааг харуулахад хялбар байдаг.Үнэхээр энэ тохиолдолд эрчим хүчний алдагдал тэг байна, тиймээс: W I 6 H WE W Y E WE ; Эсэргүүцэл буюу дамжуулах чадварын төсөөллийн хэсэг нь хэлхээний сондгой функц байдаг тул энэ тохиолдолд = Иймээс, илүү ерөнхий тохиолдолд = Физик боломжийн нөхцөл нь баруун хагаст тэг, туйл байхгүй байхыг шаарддаг. хавтгай Гэхдээ = тул зүүн хагас хавтгайд тэг, туйл байх ёсгүй Тиймээс H

35 функц ба Y нь зөвхөн бодит давтамжийн тэнхлэг дээр тэг ба туйлтай байж болно. Физикийн хувьд энэ нь ойлгомжтой, учир нь алдагдалгүй хэлхээнд байдаг. чөлөөт чичиргээбүү задрах Бодит давтамжийн тэнхлэг дээр байрлах туйлуудыг сонгох аргыг ашиглан функц ба Y-ийг дараах хэлбэрт оруулах боломжтой болно: b n b n b Y. Зураг 49 Фостерын эхний хэлбэр Үүний дагуу Y-ийг --р Фостер маягаар төлөөлж болно. Зураг 4 Зураг 4 Фостерийн хоёр дахь хэлбэр Бодит давтамжийн тэнхлэг дээрх тэг ба туйлууд ээлжлэн солигдох ёстойг харуулж болно. тэнхлэг нь зөвхөн энгийн байж болох бөгөөд тэгтэй ойролцоо функцийг M o хэлбэрээр дүрсэлж болно, энд o нь -тэй харьцуулахад бага зэрэглэлийн өндөр эрэмбийн утга юм Баруун талын хагас хавтгайд ойролцоо байвал бодит утга эерэг байх ёстой. М бодитой тохиолдолд л боломжтой

36 утга ба M > Тиймээс тэгийн ойролцоо = төсөөллийн бүрэлдэхүүн хэсэг нь зөвхөн эерэг деривативаар өөрчлөгдөж, тэмдгийг "+" болгон өөрчилнө. Цаашилбал, цэвэр реактив элементүүдээс бүрдэх хэлхээний хувьд заасан дериватив нь дараах байдалтай байна. ямар ч давтамжийн хувьд эерэг байна.Иймээс зэргэлдээх хоёр тэгийн хооронд тасалдал байх ёстой бөгөөд энэ нь бөөгнөрсөн элементүүдтэй хэлхээний хувьд зөвхөн туйл байж болно.Дээрх бүх зүйл дамжуулах чанарт мөн хамаарна Y Тэгийг резонансын цэг гэж нэрлэдэг, туйлуудыг резонансын эсрэг цэгүүд Тиймээс резонанс нь үргэлж эсрэг резонанстай ээлжлэн солигддог. Дамжуулах чадварын Y хувьд резонанс нь туйлтай, эсрэг резонанс нь тэгтэй тохирч байна. Резонансын цэгүүд болон эсрэг резонансын цэгүүдэд цахилгаан ба соронзон энергийн дундаж нөөц хоорондоо тэнцүү байгааг харахад хялбар байдаг. резонансын цэгүүд =, t e W H W E = Эсрэг резонансын цэгүүдэд Y =, тиймээс, W E W H = алдагдал, дараах томьёо явагдана, би өгнө dx WH W d I db WH WE d E Эсэргүүцлийн тодорхойлолтыг авч үзье E I 6 E ; Давтамжаар ялгах E = cons байг: d E di d I d E-г бодит утга гэж үзье Дараа нь алдагдалгүй хэлхээний хувьд I нь цэвэр төсөөллийн утга байна Энэ тохиолдолд d E d I di d I I ба

37 Одоо n 4-ийн давталтын гүйдлийн тэгшитгэлийн систем рүү шилжье: I Li I Ei, i, n C Зөвхөн E гэж үзвэл тэгшитгэл бүрийг үржүүлж, бүх тэгшитгэлийг нэмнэ: i, i I di i Li. I di i E di, i, C i, Дараа нь бид алдагдалгүй хэлхээний хувьд 4-р зүйлд мөн олсон хамаарлыг авч үзье: i, L i I Ii i i, I I C i i E i, Ci i, I di di I L di I E di C C i i i i i, i i, i, i di I di I L di I L di I n i i i i i i, i, Ci i, i, Ci E di E di, учир нь E нь бодит утга учир I гэсэн таамаглалаар Дээрхээс мөн адил: i, L, i di i i, IdI C i i E di di i 63

38 Нийт нийлбэрийг орлуулбал: d i, L i I Ii i, I I C i i E di E Зүүн ба баруун талд ижил төстэй нэр томъёог багасгаж, бид олно: di I Ii E di d Li I Ii i, i, Ci E. 4-р хэсэгт байгаа хаалтанд байгаа илэрхийлэл нь i, L i I Ii i, Ii I C i 4 W H W E di E WE-тэй тэнцүү байна Эдгээр томъёоноос үзэхэд давтамж нэмэгдэхийн хэрээр хэлхээний урвалын чадвар ба цахилгаан дамжуулах чанар тодорхойлогддог. реактив элементүүд нь зөвхөн өсөх боломжтой 4 Эцэст нь бид бага алдагдалтай байх нь реактив элементүүдээс бүрдэх хэлхээний эсэргүүцэлд хэрхэн нөлөөлж байгааг олж мэдэхийг хичээх болно.Алдагдал үүсэх үед сулрал гарч ирдэг.Бид хангадаг бага унтралт үүсгэдэг жижиг алдагдлыг авч үзэх болно. нөхцөл байдал /<<, <, где = + -й полюс сопротивления Это означает, что полюсы и нули сопротивления смещаются с оси вещественных частот на малую величину затухания H E 64

39 Өөр өөр туйлуудын хувьд унтралт нь өөр өөр байж болно. Иймээс аль нэг туйлын ойролцоо эсэргүүцлийн функцийн үйлдлийг авч үзэх нь зүйтэй.Туйл зүүн тийш тодорхой хэмжээгээр шилжихийг хувьсагчийн функцийг + гэж сольж харуулах боломжтой. Дараа нь туйлын ойролцоо бид байх болно

40 Бид бодит давтамжийн тэнхлэг дээрх утгуудыг сонирхож байгаа тул үүнийг нөхцлийн дагуу харьцуулбал тоологчийг хаях боломжтой, жижиг гэж солих хэрэгтэй: Энэ илэрхийлэлийг дараах байдлаар хувиргаж болно:, Qx "хаана; Q ; x; x-ийн утгыг резонансын ойролцоо харьцангуй тайлах гэж нэрлэдэг. Үүнээс гадна бидэнд: утга C x Q Q ; ; Q Q C C резонансын хэлхээний шинж чанарын эсэргүүцэл гэж нэрлэгддэг. резонансын давтамжаас хамаарна: Q Q x R ; Im Q x Q x 66

41 Резонансын ойролцоо Im ихсэх боловч резонансын үед сөрөг деривативаар тэгийг дайран өнгөрдөг. Резонансын үед R-ийн бодит хэсэг нь хамгийн их давтамжтай Im ба R графикийг 4-р зурагт үзүүлэв. R dx Q Q x гэдгийг анхаарна уу. dx, өөрөөр хэлбэл чанарын хүчин зүйлээс хамаарахгүй Өөрөөр хэлбэл, резонансын муруйн доорх талбай R чанарын хүчин зүйлээс хамаардаггүй. Чанарын хүчин зүйл ихсэх тусам муруйн өргөн багасах боловч өндөр нь нэмэгдэх тул талбай хэвээр үлдэнэ. өөрчлөгдөөгүй Qx >>, бодит хэсэг нь хурдан буурч, төсөөллийн хэсэг нь Im x 67-тэй тэнцүү, өөрөөр хэлбэл алдагдалгүй хэлхээний хувьд өөрчлөгддөг.

42 Тиймээс, жижиг алдагдлыг нэвтрүүлэх үед давтамжаас хамаарах хамаарал нь резонансын давтамжаас хол давтамжид бага зэрэг өөрчлөгддөг - давтамжийн ойролцоо курс ихээхэн өөрчлөгддөг. gq Y, Qx g шинж чанарын дамжуулалт; L x Тэг нь дамжуулалтын туйлтай тохирч байна Y 0-ийн ойролцоо, тиймээс эсэргүүцлийг бодит давтамжийн тэнхлэг дээр дараах байдлаар илэрхийлж болно: Qx x, Y gq Q энд = /g Тиймээс тэгтэй ойролцоо, бага хэмжээний алдагдлыг нэвтрүүлэх нь гадаад төрх байдалд нөлөөлдөг. Эсэргүүцэл дэх жижиг бодит бүрэлдэхүүн хэсгийн Төсөөллийн бүрэлдэхүүн нь өмнөх 68-тай адил тэгтэй ойролцоо хэлбэлздэг.

43 5 Квадриполь 5 Дөрвөн туйлын үндсэн тэгшитгэл Дөрвөн туйлт нь дохионы эх үүсвэр холбогдсон оролт, ачаалал холбогдсон гаралт гэсэн хоёр хос терминалтай хэлхээ юм.. дамжуулах эсэргүүцэл Эдгээр нөхцөлд . дохионы эх үүсвэр n ба ачааллын эсэргүүцэл n нь T-д багтана.Тэд өөрчлөгдөхөд T нь мөн өөрчлөгддөг.Дөрвөн туйлтыг өөрөө тодорхойлдог тэгшитгэл, параметрүүдтэй байх нь зүйтэй.Коэффициент нь гаралтын хос дээрх сул зогсолт дахь дамжуулалтын дамжуулалтын харилцан хамаарал юм. хавчааруудын тоо: 69 I I ; Зураг 5 Дөрвөн туйлтыг асаах нь I Энд U ба U нь оролт гаралтын терминал дээрх хүчдэл, I ба I нь оролт гаралтын хавчаараар дөрвөлжин туйл руу чиглэсэн гүйдэл, 5-р зургийг үз. хүчдэл ба гүйдэлтэй холбоотой тэгшитгэлүүд нь энгийн утгатай.I ба U гаралтын терминал дээрх гүйдлийн үед I =, өөрөөр хэлбэл гаралтын терминал дээр ачаалалгүй үед; өөрөөр хэлбэл энэ нь гаралт дээрх сул зогсолтын оролтын эсэргүүцэл = x Үүний нэгэн адил эхний хос терминал дахь сул зогсолтын гаралтын терминалуудын талаас гарах оролтын эсэргүүцэл = x гүйдлийн оролтын терминал U ба I Y T x Y T x

44 I U; Y Tx Y Tx YT x I U x I YT x I, энэ тохиолдолд гүйдэл нь квадриполоос, өөрөөр хэлбэл дээр дурдсантай харьцуулахад эсрэг чиглэлд чиглэсэн тул U-г хоёр дахь тэгшитгэлд орлуулснаар бид I, I n I хаанаас гарна. x I YTx I Y x Tx Эхний тэгшитгэлд I-г орлуулснаар бид U I x Y Tx n-ийг авна. Эндээс n x U x I Y-ийн оролтын эсэргүүцлийг олно. Аналогиар бид мөн индексүүдийг сольж, гаралтын эсэргүүцлийн илэрхийллийг бичиж болно. : T x n x 7

45 out х Y T х н х 5 Хоёр портын сүлжээний шинж чанарын үзүүлэлтүүд Генератор ба ачаалал нэгэн зэрэг таарч байгаа тохиолдолд, өөрөөр хэлбэл n = c ба n = c үед in = c ба гадагш = хамаарал нь ихээхэн сонирхол татдаг. c явагдана Дотор ба гадагш гэсэн илэрхийллүүдийг орлуулснаар бид c ба c-ийг олох боломжтой тэгшитгэлүүдийг олж авна: c c x x Y T x Y T x 7 c c Энэ систем дараах байдлаар шийдэгдэнэ. x, Y Tx c x x Y T x Хоёр дахь тэгшитгэлээс c-г тэнцүүлэх нь бидэнд x Y Tx x YTx x c x kz c x kz x байна.

46 Бусад хос терминал дээр богино залгааны үед kz ба kz нь эхний ба хоёр дахь хос терминалын хажуугийн оролтын эсэргүүцэл гэдгийг анхаарна уу.. шинж чанарын эсэргүүцэл c-тэй тэнцүү ачааллыг тааруулсан гэж нэрлэдэг.Аливаа тооны хувьд. Ийм байдлаар холбогдсон квадриполуудын хувьд тохирох байдал нь аль ч хэсэгт хадгалагдана.Дөрвөлжин туйлын гуравдахь шинж чанарын үзүүлэлт болох g ln U U I ln rg I U I U I 7 U I шинж чанарын дамжуулалтын коэффициентийг ихэвчлэн квадрипольыг тохирох ачаалалд холбох үед ашигладаг. шинж чанарын эсэргүүцэл Энэ тохиолдолд U c I; U I c I c ln I c U c g ln U мөн харьцааг авна: I g I ; U c g U U U I I

47 Шинж чанар дамжуулах коэффициент нь дөрвөн терминалын сүлжээнүүдийн уялдаа холбоотой каскадын холболттой үед үүсэх дамжуулалтын коэффициент нь тусдаа дөрвөн терминалын сүлжээнүүдийн дамжуулалтын коэффициентүүдийн нийлбэртэй тэнцүү байх нь тохиромжтой байдаг.Тэр шинж чанарын дамжуулалтын коэффициентийг харилцаанаас олж болно. : С ба в-ийн шинж чанарын эсэргүүцэл нь ерөнхийдөө давтамжаас хамаардаг.Тиймээс T дамжуулалтын эсэргүүцлийг илэрхийлэхэд шинж чанарын үзүүлэлтүүдийг ашиглах нь үргэлж тохиромжтой байдаггүй.Иймд давтамжаас хамааран g шинж чанарын коэффициентийг судлах шаардлагатай. дөрвөлжинийг шинж чанарын эсэргүүцэл дээр ачаалах бөгөөд энэ нь давтамжаас бас хамаарна.Хамгийн сонирхолтой холболт бол генераторын цэвэр идэвхтэй эсэргүүцэлтэй R тогтмол бодит ачаалалтай дөрвөлжин туйлт юм. Зураг 53 Энэ тохиолдолд дамжуулалтыг ашиглан тодорхойлогддог. үйл ажиллагааны дамжуулалтын коэффициент U I ln, U I хаана U "ба I" байна өөрөөр хэлбэл, генераторын дотоод эсэргүүцэлтэй тэнцүү эсэргүүцэл дээр үүсгэх боломжтой гүйдэл, өөрөөр хэлбэл: E U, I E, R 73 E U I, 4R U ба I ачааллын хүчдэл ба гүйдэл Энэ тохиолдолд U \u003d I R орлуулах , бид ажлын шилжүүлгийн коэффициентийг авна ln Эндээс бид 4R E R I ln E R R T I R R авна.

48 Комплекс хувьсагчийн функцийн утга Бодит давтамжийн хувьд = : = + B, энд ажиллах сулрал, В нь ачаалалд хуваарилагдсан фазын тогтмол юм R P mx E P I R 4R Бодит эерэг функц гэдгийг харуулъя. баруун хагас хавтгайд тэг байхгүй, функц нь баруун хагас хавтгайд аналитик байна Иймээс түүнтэй пропорциональ аналитик функц нь баруун хагас хавтгайд мөн аналитик байна. домэйн аналитик байдал, энэ тохиолдолд бодит давтамжийн тэнхлэг дээр Харилцан утга нь энэ тэнхлэг дээрх хамгийн бага утгад хүрдэг Бодит давтамжийн тэнхлэг дээрх идэвхгүй дөрвөлжингийн хувьд R > бүхэл баруун хагас хавтгайд Дараа нь T ln 4R R функц T. нь бодит коэффициент бүхий хоёр олон гишүүнт хуваах коэффициент бөгөөд T нь бодит эерэг болно Бодит утгууд нь бодит утгуудын хувьд ч бодит байдаг Тиймээс бид бодит эерэг функц гэж дүгнэж болно

4.11. Лапласын хувиргалтын шинж чанарууд. 1) Ганцаарчилсан захидал харилцаа: s(S ˆ(2) Лапласын хувиргалтын шугаман байдал: s ˆ () ˆ 1(s2(S1 S2(, мөн 3) S ˆ()-ийн аналитик байдал: хэрэв s(хангавал)

4 Лекц 5 ДИНАМИК ХЭЛХЭЭНИЙ ШИНЖИЛГЭЭ Төлөвлөгөө Цахилгаан хэлхээний төлөвийн тэгшитгэл Төлөвийн тэгшитгэл үүсгэх алгоритм 3 Төлөвийн тэгшитгэл зохиох жишээ 4 Дүгнэлт Цахилгааны төлөвийн тэгшитгэл.

4. Лапласын хувиргалтын шинж чанарууд.) Нэгийг харгалзах: S ˆ() 2) Лапласын хувиргалтын шугаман байдал: s (s () ˆ () ˆ 2 S S2(), ба 3) S ˆ-ийн аналитик байдал () : нөхцөлийг хангаж байвал

64 Лекц 6 ЦАХИЛГААН ХЭЛХИЙГ ШИНЖИЛГЭЭНИЙ ОПЕРАТОРЫН АРГА Төлөв Лапласын хувиргалт Лапласын хувиргалтын шинж чанарууд 3 Цахилгаан хэлхээний шинжилгээний операторын арга 4 Мэдэгдэж байгаа эх хувилбарын тодорхойлолт.

2.2. Түр зуурын процессыг тооцоолох операторын арга. Онолын мэдээлэл. Нарийн төвөгтэй хэлхээн дэх түр зуурын процессыг сонгодог аргаар тооцоолох нь интеграцийн тогтмолуудыг олоход маш хэцүү байдаг.

70 Лекц 7 ХЭЛХЭЭНИЙ ОПЕРАТОРЫН ҮЙЛ АЖИЛЛАГАА Төлөвлөгөө Операторын оролт дамжуулах функцүүд Хэлхээний функцүүдийн туйл ба тэг 3 Дүгнэлт Операторын оролт ба дамжуулах функц Хэлхээний операторын функцийг гэнэ.

Синусоидын гүйдэл "Таны алган дээр" Цахилгаан энергийн ихэнх хэсэг нь гармоник (синусоид) функцын хуулийн дагуу цаг хугацааны хувьд өөрчлөгддөг EMF хэлбэрээр үүсдэг. Гармоник EMF эх үүсвэрүүд нь

4 Лекц ЦАХИЛГААН ХЭЛХЭЭНИЙ РЕЗОНАНС ДАВТАМЖИЙН ОНЦЛОГ НЬ Резонанс ба түүний радио электроник дахь ач холбогдол Цогц дамжуулах функц 3 Логарифмын давтамжийн шинж чанар 4 Дүгнэлт Резонанс ба

"Таны алган дээр" шилжилтийн үйл явц. Тогтвортой горимд байгаа хэлхээг тооцоолох аргуудыг аль хэдийн мэддэг, өөрөөр хэлбэл гүйдэл, түүнчлэн бие даасан элементүүдийн хүчдэлийн уналт цаг хугацааны хувьд өөрчлөгддөггүй.

Таны гарын алган дахь резонанс. Резонанс нь индуктив ба багтаамжийн элементүүдийг агуулсан идэвхгүй хоёр терминалын сүлжээний горим бөгөөд түүний реактив нь тэг юм. Резонансын нөхцөл

Албадан цахилгаан чичиргээ. Хувьсах гүйдэл Цахилгаан хөдөлгөгч хүч нь үе үе өөрчлөгддөг хэлхээнд генератор байх үед үүсэх цахилгаан хэлбэлзлийг авч үзье.

3-р бүлэг Хувьсах гүйдэл Онолын мэдээлэл Цахилгаан энергийн ихэнх хэсэг нь гармоник (синусоид) функцын хуулийн дагуу цаг хугацааны явцад өөрчлөгддөг EMF хэлбэрээр үүсдэг.

Лекц 3. Суутгал. Үлдэгдэлийн үндсэн теорем Тусгаарлагдсан ганц цэг дэх f () функцийн үлдэгдэл нь тойргийн дагуу эерэг i чиглэлд авсан f () 2 интегралын утгатай тэнцүү цогц тоо юм.

Цахилгаан соронзон хэлбэлзэл Бараг стационар гүйдэл Хэлбэлзэх хэлхээн дэх процессууд Цуваа холбосон индуктор, багтаамжийн С конденсатор, эсэргүүцэл зэргээс бүрдэх хэлхээг хэлбэлзэгч хэлхээ гэнэ.

1 5 Цахилгаан хэлбэлзэл 51 Хэлбэлзэх хэлхээ Физикийн хувьд хэлбэлзлийг биетүүдийн үечилсэн хөдөлгөөн төдийгүй нэг буюу хэд хэдэн утгууд нь тогтмол буюу бараг үечилсэн үйл явц гэж нэрлэдэг.

Идэвхгүй хэлхээнүүд Оршил Бодлого нь идэвхгүй хэлхээн дэх далайц-давтамж, фазын давтамж, түр зуурын шинж чанарын тооцоог авч үздэг. Эдгээр шинж чанаруудыг тооцоолохын тулд та мэдэх хэрэгтэй

ХЭЛБЭРИЙН ЧӨЛӨӨТ БА ХҮЧЭЭЛТ ХЭЛЦЭЭНИЙ СУДАЛГАА.

Лекц 3 Сэдэв Хэлбэлзлийн систем Дараалсан хэлбэлзлийн хэлхээ. Хүчдэлийн резонанс Цуврал хэлбэлзлийн хэлхээ нь ороомог ба конденсаторыг цуваа холбосон хэлхээ юм.

Москвагийн улсын их сургууль М.В.Ломоносовын нэрэмжит Москвагийн Улсын Их Сургуулийн Физикийн факультет Ерөнхий физикийн тэнхим Ерөнхий физикийн лабораторийн дадлага (цахилгаан ба соронзон) Козлов

"Цахилгаан хэлхээний онол" сэдвээр бие даан суралцах материал: -6 4 цаг "Үйлдвэрлэлийн электроник" (хэсэг), -9 "Загварчлал, компьютерийн дизайн"

Далайцын цогц арга R эсвэл элементүүдийн терминалууд дахь гармоник хүчдэлийн хэлбэлзэл нь ижил давтамжтай гармоник гүйдлийн урсгалыг үүсгэдэг. Ялгах интеграцчилал, функц нэмэх

Хавсралт 4 Албадан цахилгаан хэлбэлзэл Хувьсах гүйдэл Дараах онолын мэдээлэл нь "Цахилгаан ба соронзон" лабораторийн 6, 7, 8-р лабораторийн ажилд бэлтгэхэд хэрэг болно.

54 Лекц 5 ФУРЬЕРИЙН ХУВЬДАЛ БА ЦАХИЛГААН ХЭЛХЭЭНИЙ ШИНЖИЛГЭЭНИЙ СПЕКТРАЛ АРГА Төлөв Апериод функцүүдийн спектр ба Фурье хувиргалт Фурье хувиргалт 3 Спектрийн арга.

Стресс резонансын шалгалт (үргэлжлэл) i iω K = K = ω = = ω => r+ iω + r+ i ω iω r + ω K = ω r + ω ω0 = 0 = ω0 байхаар хуваагч нь ω 0 давтамжтай хамгийн бага байна. 0= энэ давтамжийг резонант гэж нэрлэдэг

Бүлэг 2. Түр зуурын процессыг тооцоолох арга. 2.1. Тооцооллын сонгодог арга. Онолын мэдээлэл. Эхний бүлэгт хэлхээг тогтвортой төлөвт тооцоолох аргуудыг авч үзсэн, өөрөөр хэлбэл,

Yastrebov NI KPI RTF хэлтэс TOP wwwystrevkievu Circuit функцууд

4.9. Хэлхээний түр зуурын хариу үйлдэл, түүний импульсийн хариу үйлдэлтэй хамаарал. K j K j j > S j j K j S 2 функцийг авч үзье K jω нь Фурьегийн хувиргалттай h K j Хэрэв IC k K j байгаа бол

Лекц 9 Дифференциал тэгшитгэлийг шугаман болгох Дээд эрэмбийн шугаман дифференциал тэгшитгэл Нэг төрлийн тэгшитгэл тэдгээрийн шийдийн шинж чанар Нэг төрлийн бус тэгшитгэлийн шийдийн шинж чанар Тодорхойлолт 9 Шугаман

Арга зүйн боловсруулалт TFKP-ийн бодлого бодох Комплекс тоо Комплекс тоон дээрх үйлдлүүд Цогц хавтгай Комплекс тоог алгебрийн болон тригонометрийн экспоненциалаар илэрхийлж болно.

Агуулга Удиртгал хэсэг ШИЛЖҮҮЛЭГЧ ПРОЦЕССЫГ ТООЦОХ СОНГОХ АРГА ХЭСЭГ ХЯНАЛТЫН ИНТЕГРАЛ 9 ШАЛГАХ АСУУЛТ АШИГЛАН ДУУРАМ ОРОЛЦОХ ҮЙЛ АЖИЛЛАГААНЫ ДАХЬ ШИЛЖҮҮЛЭГЧ ПРОЦЕССЫН ТООЦОО7.

4 ЦАХИЛГААН СОРОНГЕНИЙН ХЭЛБЭЛДҮҮЛЭЛ БА ДОЛГОО ЦАХИЛГААН ХЭЛБЭР нь конденсаторыг цэнэглэх тербеллийн процесс явагдах боломжтой конденсатор ба ороомогоос тогтсон цахилгаан хэлхээг хэлнэ.Энэ процесс

3.5. Цогцолбор параллель хэлбэлзлийн хэлхээ I Хамгийн багадаа нэг зэрэгцээ салаа хоёр тэмдгийн урвалыг агуулсан хэлхээ. I C C I I болон хооронд соронзон холбоо байхгүй. Резонансын нөхцөл

ЛЕКЦ N38. Хязгааргүйд аналитик функцийн зан төлөв. тусгай цэгүүд. Функцийн үлдэгдэл..хязгааргүй дэх цэгийн хөрш.....Хязгааргүй дэх цэгийн хөрш дэх Лорент тэлэлт.... 3. Зан төлөв

4 Лекц 3 ЦАХИЛГААН ХЭЛХЭЭНИЙ ДАВТАМЖИЙН ОНЦЛОГ ТОДОРХОЙЛОЛТ Дамжуулах нийлмэл функцууд Логарифмын давтамжийн хариу 3 Дүгнэлт Цогц дамжуулах функцууд (цогц давтамжийн хариу)

хэлбэлзэл. Лекц 3 Генератор Генераторын зарчмыг тайлбарлахын тулд эхлээд хавтгай ороомог утас жигд соронзонд эргэлдэх үед юу болохыг авч үзье.

Дифференциал тэгшитгэлүүд Ерөнхий ойлголт Дифференциал тэгшитгэл нь механик, физик, одон орон, технологи болон дээд математикийн бусад салбаруудад олон бөгөөд маш олон янзын хэрэглээтэй байдаг (жишээлбэл,

Гармоник хэлбэлзлийн эх үүсвэрийн тооцоо (HHC) Эквивалент хүчдэлийн эх үүсвэр бүхий трансформаторын анхдагч ороомгийн хувьд HHC-ийн анхны хэлхээг үзүүлнэ үү Түүний параметрүүдийг (EMF ба дотоод) тодорхойлно.

11-р ажил СЭЛСЭЛТИЙН ХЭЛХЭЭД ХҮЧЭЭЛТИЙН ХЭЛБЭРИЙН РЕЗОНАНСЫН ҮЗЭСГЭЛИЙГ СУДАЛАХ НЬ Индуктор ба конденсатор бүхий хэлхээнд цахилгаан хэлбэлзэл үүсч болно. Ажил судалдаг

Сэдэв 4 .. Хувьсах гүйдлийн хэлхээ Сэдвийн асуултууд .. Индукцтэй хувьсах гүйдлийн хэлхээ .. Индукц ба идэвхтэй эсэргүүцэлтэй хувьсах гүйдлийн хэлхээ. 3. Багтаамжтай хувьсах гүйдлийн хэлхээ. 4. Хувьсах гүйдлийн хэлхээ

4 Лекц ЭСРЭГ ХЭЛХЭЭНИЙ ШИНЖИЛГЭЭ Төлөвлөгөө Цахилгаан хэлхээг шинжлэх даалгавар Кирхгофын хуулиуд Эсэргүүцлийн хэлхээг шинжлэх жишээ 3 Хэлхээний хэсгийн эквивалент хувиргалт 4 Дүгнэлт Цахилгаан хэлхээг шинжлэх даалгавар.

Сонголт 708 Цахилгаан хэлхээнд синусоид EDC e(ωt) sin(ωt ψ)-ийн эх үүсвэр ажилладаг. Зурагт үзүүлсэн хэлхээний диаграмм.. Эх үүсвэрийн EDC E-ийн үр дүнтэй утга, эхний үе шат ба хэлхээний параметрүүдийн утга.

Анхны өгөгдөл R1=10 Ом R2=8 Ом R3=15 Ом R4=5 Ом R5=4 Ом R6=2 Ом E1=10 В E2=15 В E3=20 В Киргофын хууль (Тогтмол гүйдлийн хүчдэл) 1. Зангилаа хайж байна Зангилаа цэг , гурван (эсвэл түүнээс дээш) дамжуулагч холбогдсон байна

ЛЕКЦИЙН ХЭЛБЭР. Албадан чичиргээ

Шалгалтын хүчдэлийн резонанс (үргэлжлэл) Бид хэлхээний ode дээрх хүчдэл нь бүхэл бүтэн хэлбэлзлийн хэлхээний хүчдэл, хэлхээний гаралтын хүчдэл нь конденсатор дээрх хүчдэл Дараа нь далайц гэж үзэх болно.

Хичээлийн жилийн намрын улирал Сэдэв 3 ҮЕИЙН БУС ДОХИОГИЙН ГАРМОНИК ШИНЖИЛГЭЭ Шууд ба урвуу Фурье хувиргалт Дохионы спектрийн шинж чанар Далайц-давтамж ба фаз-давтамжийн спектр

Лекц 6. Тогтмол бодит коэффициент бүхий хоёр тэгшитгэлийн шугаман системийн амралтын цэгүүдийн ангилал. Тогтмол бодит хоёр шугаман дифференциал тэгшитгэлийн системийг авч үзье

54 Лекц 5 Фурье хувиргалт ба ЦАХИЛГААН ХЭЛХИЙГ ШИНЖИЛГЭЭНИЙ СПЕКТРАЛ АРГА Төлөв Апериод функцийн спектр ба Фурье хувиргалт 2 Фурье хувирлын зарим шинж чанар 3 Спектрийн арга

Сэдэв: Хувьсах гүйдлийн хуулиуд Цахилгаан гүйдлийг цэнэглэгдсэн тоосонцор буюу макроскоп биетүүдийн дараалсан хөдөлгөөн гэнэ. Цаг хугацааны явцад үнэ цэнэ нь өөрчлөгддөг хувьсагч гүйдлийг гэнэ

Шалгалт Цогц эсэргүүцлийн эсэргүүцэл Эсэргүүцэл буюу комплекс эсэргүүцэл Тодорхойлолтоор комплекс хүчдэл ба нийлмэл гүйдлийн харьцаатай тэнцүү байна: Z ɶ Эсэргүүцэл нь мөн харьцаатай тэнцүү гэдгийг анхаарна уу.

Гарчгийн танилцуулга. Үндсэн ойлголт.... 4 1. Вольтерра интеграл тэгшитгэл... 5 Гэрийн даалгавар.... 8 2. Вольтерра интеграл тэгшитгэлийг шийдвэрлэх чадвар. 10 Гэрийн даалгаврын сонголт.... 11

II бүлэг интегралууд Эсрэг үүсмэл функц ба түүний шинж чанарууд F() функцийг a b интервал дээр эсрэг дериватив тасралтгүй функц f() гэнэ, хэрэв F() f(), a; b (;) Жишээлбэл, f() функцийн эсрэг деривативууд

сонгодог арга. Зураг 1 - цахилгаан хэлхээний анхны диаграмм Хэлхээний параметрүүд: E \u003d 129 (V) w \u003d 10000 (рад / с) R1 \u003d 73 (Ом) R2 \u003d 29 (Ом) R3 \u003d (u003d) ) L = 21 (mH) C = 0.97 (uF) ороомгийн урвал:

Нарийн төвөгтэй шугаман цахилгаан хэлхээг тооцоолох аргууд Үндэслэл: Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг зохиох, шийдвэрлэх чадвар - тогтмол гүйдлийн хэлхээнд эсвэл тэмдэглэгээний дараа эмхэтгэсэн.

ТОДОРХОЙ ИНТЕГРАЛ. Интеграл нийлбэр ба тодорхой интеграл [, b ] сегмент дээр тодорхойлогдсон y = f () функцийг үзье.< b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных

8 Лекц 7 ХЭЛХЭЭНИЙ ОПЕРАТОРЫН ҮЙЛ АЖИЛЛАГАА Операторын оролт дамжуулах функцууд Хэлхээний функцүүдийн туйл ба тэг 3 Дүгнэлт Операторын оролт ба дамжуулах функц Хэлхээний оператор функц нь хамаарал юм.

68 Лекц 7 НЭГДҮГЭЭР ЗЭРГИЙН ХЭЛХЭЭНИЙ ШИЛЖҮҮЛЭГЧ ПРОЦЕСС Төлөвлөгөө 1 Нэгдүгээр эрэмбийн RC хэлхээн дэх түр зуурын процесс 2 Нэгдүгээр эрэмбийн R хэлхээн дэх түр зуурын процесс 3 Хэлхээн дэх түр зуурын процессыг тооцоолох жишээ.

4 хувьсах гүйдлийн синусоид гүйдлийн шугаман цахилгаан хэлхээ, тэдгээрийг тооцох арга 4.1 ЦАХИЛГААН МАШИН. СИНУСОИДАЛ ГҮЙЦЭТ ҮҮСЭХ ЗАРЧИМ 4.1.012. Синусоидын гүйдлийг агшин зуурын гэж нэрлэдэг

Холбооны Боловсролын агентлаг Дээд мэргэжлийн боловсролын улсын боловсролын байгууллага "КУБАН УЛСЫН ИХ СУРГУУЛЬ" Физик технологийн факультет Оптоэлектроникийн тэнхим

~ ~ FCF Комплекс хувьсагчийн функцийн дериватив Коши-Риманы нөхцөлийн FCF FCF-ийн зүй тогтлын тухай ойлголт Комплекс тооны дүрслэл ба хэлбэр FCF-ийн хэлбэр: Энд хоёр хувьсагчийн бодит функц бодит байна

Энэ бол Фурье хувиргалттай хамт дохиог судлахтай холбоотой олон төрлийн асуудлыг шийдвэрлэхэд радио инженерчлэлд өргөн хэрэглэгддэг өөр төрлийн интеграл хувиргалтын нэр юм.

Нарийн төвөгтэй давтамжийн тухай ойлголт.

Спектрийн аргууд нь аль хэдийн мэдэгдэж байгаачлан судалж буй дохио нь хязгааргүй тооны энгийн нэр томъёоны нийлбэрээр илэрхийлэгддэг бөгөөд тус бүр нь хуулийн дагуу цаг хугацааны хувьд өөрчлөгддөг.

Энэхүү зарчмын байгалийн ерөнхий ойлголт нь зөвхөн төсөөлөлтэй экспоненциал дохионы оронд хэлбэрийн экспоненциал дохиог авч үзэхэд оршино, энд нийлмэл тоо: комплекс давтамж гэж нэрлэгддэг.

Ийм хоёр нарийн төвөгтэй дохиог ашиглан бодит дохиог үүсгэж болно, жишээлбэл, дараах дүрмийн дагуу.

нийлмэл коньюгат хэмжигдэхүүн хаана байна.

Нээрээ, байхад

Нарийн төвөгтэй давтамжийн бодит ба төсөөллийн хэсгүүдийн сонголтоос хамааран янз бүрийн бодит дохиог авч болно. Тэгэхээр, хэрэв , гэхдээ ердийн гармоник хэлбэлзэл нь If хэлбэрийн байвал, тэмдгээс хамааран цаг хугацааны өсөлт эсвэл буурах экспоненциал хэлбэлзлийг олж авна. Ийм дохио нь илүү төвөгтэй хэлбэрийг олж авдаг. Энд үржүүлэгч нь цаг хугацааны хувьд экспоненциал байдлаар өөрчлөгддөг дугтуйг дүрсэлдэг. Зарим ердийн дохиог Зураг дээр үзүүлэв. 2.10.

Нарийн төвөгтэй давтамжийн тухай ойлголт нь юуны түрүүнд математик загваруудыг нэгтгэх боломжгүй дохионы спектрийн дүрслэлийг ерөнхий функцэд ашиглахгүйгээр олж авах боломжийг олгодог учраас маш хэрэгтэй юм.

Цагаан будаа. 2.10. Нарийн төвөгтэй давтамжийн өөр өөр утгатай тохирох бодит дохио

Өөр нэг анхаарах зүйл бол (2.53) хэлбэрийн экспоненциал дохио нь янз бүрийн шугаман систем дэх хэлбэлзлийг судлах "байгалийн" хэрэгсэл болдог. Эдгээр асуултыг бүлэгт авч үзэх болно. 8.

Жинхэнэ физик давтамж нь нарийн төвөгтэй давтамжийн төсөөллийн хэсэг гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Цогц давтамжийн o бодит хэсгийн тусгай нэр томъёо байхгүй.

Үндсэн харьцаа.

t > 0-д тодорхойлогдсон бодит эсвэл нийлмэл дохио, цаг хугацааны сөрөг утгын хувьд тэгтэй тэнцүү байна. Энэ дохионы Лапласын хувиргалт нь интегралаар өгөгдсөн комплекс хувьсагчийн функц юм.

Сигналыг эх гэж нэрлэдэг ба функцийг түүний Лаплас дүрс гэж нэрлэдэг (богинохондоо зүгээр л зураг).

Интеграл (2.54) байгаа эсэхийг баталгаажуулах нөхцөл нь дараах байдалтай байна: дохио нь хамгийн ихдээ экспоненциал өсөлтийн хурдтай байх ёстой, өөрөөр хэлбэл эерэг тоонуудын тэгш бус байдлыг хангах ёстой.

Энэ тэгш бус байдал хангагдах үед а тоог үнэмлэхүй нийлбэрийн абсцисса гэж нэрлэдэг бүх комплекс тоонуудын хувьд интеграл (2.54) үнэмлэхүй нийлдэг гэсэн утгаараа функц оршино.

Үндсэн томьёоны (2.54) хувьсагчийг цогцолбор давтамжаар тодорхойлж болно. Үнэн хэрэгтээ, цэвэр төсөөллийн нийлмэл давтамжийн хувьд томъёо (2.54) томъёо (2.16) болж хувирах үед дохионы Фурье хувиргалтыг тодорхойлдог бөгөөд энэ нь 0 үед тэг юм. Тиймээс Лапласын хувиргалтыг авч үзэж болно

Энэ нь Фурье хувирлын онолд хийгдсэнтэй адил дүрсийг мэдэж байж эхийг нь сэргээх боломжтой юм. Үүнийг хийхийн тулд урвуу Фурье хувиргалтын томъёонд

төсөөлөлийн хувьсагчаас комплекс аргумент руу шилжих замаар аналитик үргэлжлэлийг гүйцэтгэх ёстой. а Комплекс давтамжийн хавтгайд абсцисса абсциссаны баруун талд байрлах хязгааргүй уртасгасан босоо тэнхлэгийн дагуу интеграци явагдана. Дифференциалын хувьд урвуу Лапласын хувиргалтын томъёо нь хэлбэрийг авна

Нарийн төвөгтэй хувьсагчийн функцүүдийн онолд Лапласын зургууд нь гөлгөр байдлын хувьд "сайн" шинж чанартай байдаг нь нотлогдсон: ийм дүрс нь нарийн төвөгтэй хавтгайн бүх цэгүүдэд, ганц цэг гэж нэрлэгддэг тоолж болох олонлогийг эс тооцвол, аналитик функцууд юм. Ганц цэгүүд нь ихэвчлэн туйл, дан эсвэл олон байдаг. Иймд (2.55) хэлбэрийн интегралыг тооцоолохын тулд үлдэгдэл онолын уян хатан аргуудыг ашиглаж болно.

Практикт Лапласын хувиргах хүснэгтийг өргөн ашигладаг бөгөөд эх хувь хоорондын захидал харилцааны талаарх мэдээллийг цуглуулдаг. болон зургууд. Хүснэгтүүд байгаа нь Лапласыг хувиргах аргыг онолын судалгаа, радио инженерийн төхөөрөмж, системийн инженерийн тооцоололд түгээмэл болгосон. Хавсралтад ийм хүснэгт байдаг бөгөөд энэ нь нэлээд өргөн хүрээний асуудлыг шийдвэрлэх боломжийг олгодог.

Лапласын хувиргалтыг тооцоолох жишээ.

Фурье хувиргалттай холбоотой аль хэдийн судлагдсан дүрсийг тооцоолох аргуудтай ижил төстэй зүйл олон байдаг. Хамгийн нийтлэг тохиолдлуудыг авч үзье.

Жишээ 2.4, Ерөнхий экспоненциал импульсийн зураг.

Тогтмол комплекс тоо хаана байна. -функц байгаа нь (2.54) томъёог ашиглах үед тэгш байдлыг тодорхойлдог

Хэрэв дээд хязгаарыг орлуулах үед тоологч алга болно. Үүний үр дүнд бид захидал хүлээн авдаг

Томъёоны онцгой тохиолдлын хувьд (2.56) бодит экспоненциал видео импульсийн дүрсийг олж болно.

ба нарийн төвөгтэй экспоненциал дохио:

Эцэст нь (2.57)-д оруулснаар бид Heaviside функцийн дүрсийг олно.

Жишээ 2.5. Дельта функцийн зураг.

Лапласын хувиргалт- функцтэй холбоотой интеграл хувиргалт F (s) (\displaystyle \ F(s))цогц хувьсагч ( зураг) функцтэй f (x) (\displaystyle \f(x))бодит хувьсагч ( эх). Энэ нь шинж чанарыг судлахад ашиглагддаг динамик системүүдтэгээд шийднэ дифференциалТэгээд интеграл тэгшитгэл.

Шинжлэх ухаан, инженерийн тооцоололд өргөн хэрэглээг урьдчилан тодорхойлсон Лапласын хувиргалтын нэг онцлог нь эх хувь дээрх олон тооны харьцаа, үйлдлүүд нь зураг дээрх энгийн харьцаатай тохирч байгаа явдал юм. Ийнхүү зургийн орон зай дахь хоёр функцийн эргэлтийг үржүүлэх үйлдэл болгон бууруулж, шугаман дифференциал тэгшитгэлүүд нь алгебр болдог.

Нэвтэрхий толь бичиг YouTube

1 / 5

✪ Лаплас хувиргах - bezbotvy

✪ Лекц 10: Лапласын хувиргалт

✪ Дээд математик - 4. Лапласын хувиргалт. 1-р хэсэг

✪ DE уусмалын Лаплас арга

✪ Лекц 11: Дифференциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд Лапласын хувиргалтыг ашиглах нь

Хадмал орчуулга

Тодорхойлолт

Лапласын шууд хувиргалт

lim b → ∞ ∫ 0 b | f(x) | e − σ 0 x d x = ∫ 0 ∞ | f(x) | e − σ 0 x d x , (\displaystyle \lim _(b\to \infty )\int \limits _(0)^(b)|f(x)|e^(-\sigma _(0)x)\ ,dx=\int \limits _(0)^(\infty )|f(x)|e^(-\sigma _(0)x)\,dx,)

дараа нь энэ нь туйлын болон жигд нийлдэг ба - аналитик функццагт σ ⩾ σ 0 (\displaystyle \sigma \geqslant \sigma _(0)) (σ = R e s (\displaystyle \sigma =\mathrm (Re) \,s)- бодит хэсэг нийлмэл хувьсагч s (\displaystyle s)). Яг доод хязгаар σ a (\displaystyle \sigma _(a))тооны багц σ (\displaystyle \sigma), энэ нөхцөл хангагдсан тохиолдолд гэж нэрлэдэг абсциссаүнэмлэхүй нэгдэлФункцийн хувьд Лапласын хувиргалт.

• Лапласын шууд хувиргалт байх нөхцөл

Лапласын хувиргалт L ( f (x) ) (\displaystyle (\маткал (L))\(f(x)\))дараах тохиолдолд үнэмлэхүй нийлэх утгаар оршино.

1. σ ⩾ 0 (\displaystyle \sigma \geqslant 0): хэрэв интеграл байгаа бол Лапласын хувиргалт оршино ∫ 0 ∞ | f(x) | d x (\displaystyle \int \limits _(0)^(\infty )|f(x)|\,dx);
2. σ > σ a (\displaystyle \sigma >\sigma _(a)): хэрэв интеграл байвал Лапласын хувиргалт байдаг ∫ 0 x 1 | f(x) | d x (\displaystyle \int \limits _(0)^(x_(1))|f(x)|\,dx)хязгаарлагдмал зүйл бүрт байдаг x 1 > 0 (\displaystyle x_(1)>0)Тэгээд | f(x) | ⩽ K e σ a x (\displaystyle |f(x)|\leqslant Ke^(\sigma _(a)x))Учир нь x > x 2 ≥ 0 (\displaystyle x>x_(2)\geqslant 0);
3. σ > 0 (\displaystyle \sigma >0)эсвэл σ > σ a (\displaystyle \sigma >\sigma _(a))(хязгаарын аль нь их): функцэд Лапласын хувиргалт байгаа бол Лапласын хувиргалт бий болно. f ′ (x) (\displaystyle f"(x)) (дериватив-аас f (x) (\displaystyle f(x))) Учир нь σ > σ a (\displaystyle \sigma >\sigma _(a)).

Анхаарна уу

• Лапласын урвуу хувиргалт байх нөхцөл

Лапласын урвуу хувиргалтыг бий болгохын тулд дараах нөхцөлүүдийг хангасан байхад хангалттай.

1. Хэрэв зураг F (s) (\displaystyle F(s)) - аналитик функцУчир нь σ ≥ σ a (\displaystyle \sigma \geqslant \sigma _(a))−1-ээс бага дараалалтай бол түүний урвуу хувирал байгаа бөгөөд аргументийн бүх утгын хувьд тасралтгүй байна. L − 1 ( F (s) ) = 0 (\displaystyle (\маткал (L))^(-1)\(F(s)\)=0)Учир нь t ⩽ 0 (\displaystyle t\leqslant 0).
2. Болъё F (s) = φ [ F 1 (s) , F 2 (s) , … , F n (s) ] (\displaystyle F(s)=\varphi ), Тэгэхээр φ (z 1 , z 2 , … , z n) (\displaystyle \varphi (z_(1),\;z_(2),\;\ldots ,\;z_(n)))тус бүрийн хувьд аналитик шинж чанартай байдаг z k (\displaystyle z_(k))нь тэгтэй тэнцүү байна z 1 = z 2 = … = z n = 0 (\displaystyle z_(1)=z_(2)=\ldots =z_(n)=0), Мөн F k (s) = L ( f k (x) ) (σ > σ a k: k = 1 , 2 , … , n) (\displaystyle F_(k)(s)=(\маткал (L))\(f_) (k)(x)\)\;\;(\сигма >\сигма _(ак)\колон k=1,\;2,\;\ldots ,\;n)), тэгвэл урвуу хувирал байх ба харгалзах шууд хувиргалт нь абсцисса абсциссатай байна.

Анхаарна уу: эдгээр нь оршин тогтнох хангалттай нөхцөл юм.

• Хувиралын теорем

Үндсэн нийтлэл: Хувиралын теорем

• Эхийг ялгах, нэгтгэх

Лапласын дагуу эх эхийн анхны деривативын аргументтай холбоотой зураг нь зургийн үржвэр ба сүүлчийнх нь аргументаас баруун талд 0-ээс эх хувийг хассан үр дүн юм.

L ( f ′ (x) ) = s ⋅ F (s) − f (0 +) . (\ displaystyle (\ mathcal (L)) \ (f"(x)\)=s\cdot F(s)-f(0^(+)).)

Анхны ба эцсийн утгын теоремууд (хязгаарын теоремууд):

f (∞) = lim s → 0 s F (s) (\displaystyle f(\infty)=\lim _(s\to 0)sF(s)), хэрэв функцийн бүх туйл s F (s) (\displaystyle sF(s))зүүн хагас хавтгайд байна.

Төгсгөлийн утгын теорем нь эхийн төлөвийг хязгааргүйд энгийн харьцаагаар дүрсэлсэн тул маш хэрэгтэй. Үүнийг жишээ нь дүн шинжилгээ хийхэд ашигладаг тогтвортой байдалдинамик системийн замнал.

• Бусад шинж чанарууд

Шугаман чанар:

L ( a f (x) + b g (x) ) = a F (s) + b G (s) . (\displaystyle (\маткал (L))\(af(x)+bg(x)\)=aF(s)+bG(s).)

Тоогоор үржүүлэх:

L ( f (a x) ) = 1 a F (s a) . (\ displaystyle (\ mathcal (L)) \ (f (ax) \) = (\ frac (1) (a)) F \ зүүн ((\ frac (s) (a)) \ баруун).)

Зарим функцийн шууд ба урвуу Лаплас хувиргалт

Зарим функцүүдийн Лапласын хувиргах хүснэгтийг доор харуулав.

№	Чиг үүрэг	Цагийн домэйн x (t) = L − 1 ( X (s) ) (\displaystyle x(t)=(\маткал (L))^(-1)\(X(s)\))	давтамжийн домэйн X (s) = L ( x (t) ) (\ displaystyle X(s) = (\ математик (L)) \ (x (t) \))	Нэгдсэн талбар Учир нь учир шалтгаанысистемүүд
1	хамгийн тохиромжтой хоцрогдол	δ (t − τ) (\displaystyle \delta (t-\tau)\ )	e − τ s (\displaystyle e^(-\tau s)\ )
1а	ганц импульс	δ (t) (\displaystyle \delta (t)\ )	1 (\displaystyle 1\ )	∀ s (\displaystyle \forall s\ )
2	хоцрогдол n (\displaystyle n)	(t − τ) n n ! e − α (t − τ) ⋅ H (t − τ) (\displaystyle (\frac ((t-\tau)^(n))(n)}e^{-\alpha (t-\tau)}\cdot H(t-\tau)} !}	e − τ s (s + α) n + 1 (\displaystyle (\frac (e^(-\tau s))((s+\alpha)^(n+1))))	s > 0 (\displaystyle s>0)
2а	хүч n (\displaystyle n)--р захиалга	т н н ! ⋅ H (t) (\displaystyle (\frac (t^(n))(n}\cdot H(t)} !}	1 s n + 1 (\displaystyle (\frac (1)(s^(n+1))))	s > 0 (\displaystyle s>0)
2a.1	хүч q (\displaystyle q)--р захиалга	t q Γ (q + 1) ⋅ H (t) (\displaystyle (\frac (t^(q))(\Гамма (q+1)))\cdot H(t))	1 s q + 1 (\displaystyle (\frac (1)(s^(q+1))))	s > 0 (\displaystyle s>0)
2a.2	дан функц	H (t) (\displaystyle H(t)\)	1 сек (\displaystyle (\frac (1)(s))))	s > 0 (\displaystyle s>0)
2б	саатал бүхий ганц функц	H (t − τ) (\displaystyle H(t-\tau)\ )	e − τ s s (\displaystyle (\frac (e^(-\tau s))(s)))	s > 0 (\displaystyle s>0)
2c	"хурдны алхам"	t ⋅ H (t) (\displaystyle t\cdot H(t)\ )	1 s 2 (\displaystyle (\frac (1)(s^(2))))	s > 0 (\displaystyle s>0)
2d	n (\displaystyle n)-давтамж шилжилтийн дараалал	т н н ! e − α t ⋅ H (t) (\displaystyle (\frac (t^(n))(n)}e^{-\alpha t}\cdot H(t)} !}	1 (s + α) n + 1 (\displaystyle (\frac (1)((s+\альфа)^(n+1))))	s > −α (\displaystyle s>-\alpha )
2г.1	экспоненциал задрал	e − α t ⋅ H (t) (\displaystyle e^(-\alpha t)\cdot H(t)\ )	1 s + α (\displaystyle (\frac (1)(s+\альфа )))	s > − α (\displaystyle s>-\альфа \ )
3	экспоненциал ойртолт	(1 − e − α t) ⋅ H (t) (\displaystyle (1-e^(-\alpha t))\cdot H(t)\ )	α s (s + α) (\displaystyle (\frac (\альфа )(s(s+\альфа))))	s > 0 (\displaystyle s>0\ )
4	синус	нүгэл ⁡ (ω t) ⋅ H (t) (\displaystyle \sin(\omega t)\cdot H(t)\ )	ω s 2 + ω 2 (\displaystyle (\frac (\omega )(s^(2)+\omega ^(2))))	s > 0 (\displaystyle s>0\ )
5	косинус	cos ⁡ (ω t) ⋅ H (t) (\displaystyle \cos(\omega t)\cdot H(t)\ )	s s 2 + ω 2 (\displaystyle (\frac (s)(s^(2)+\omega ^(2))))	s > 0 (\displaystyle s>0\ )
6	гиперболын синус	s h (α t) ⋅ H (t) (\displaystyle \mathrm (sh) \,(\alpha t)\cdot H(t)\ )	α s 2 − α 2 (\displaystyle (\frac (\альфа )(s^(2)-\альфа ^(2))))	s > | α | (\displaystyle s>|\альфа |\ )
7	гиперболик-косин	c h (α t) ⋅ H (t) (\displaystyle \mathrm (ch) \,(\alpha t)\cdot H(t)\ )	s s 2 − α 2 (\displaystyle (\frac (s)(s^(2)-\альфа ^(2))))	s > | α | (\displaystyle s>|\альфа |\ )
8	экспоненциалаар муудах синус	e − α t sin ⁡ (ω t) ⋅ H (t) (\displaystyle e^(-\alpha t)\sin(\omega t)\cdot H(t)\ )	ω (s + α) 2 + ω 2 (\displaystyle (\frac (\omega )((s+\альфа)^(2)+\омега ^(2))))	s > − α (\displaystyle s>-\альфа \ )
9	экспоненциалаар муудах косинус	e − α t cos ⁡ (ω t) ⋅ H (t) (\displaystyle e^(-\alpha t)\cos(\omega t)\cdot H(t)\ )	s + α (s + α) 2 + ω 2 (\displaystyle (\frac (s+\alpha)((s+\alpha)^(2)+\omega ^(2))))	s > − α (\displaystyle s>-\альфа \ )
10	үндэс n (\displaystyle n)--р захиалга	t n ⋅ H (t) (\displaystyle (\sqrt[(n)](t))\cdot H(t))	s − (n + 1) / n ⋅ Γ (1 + 1 n) (\displaystyle s^(-(n+1)/n)\cdot \Гамма \left(1+(\frac (1)(n)) )\баруун))	s > 0 (\displaystyle s>0)
11	натурал-логарифм	ln ⁡ (t t 0) ⋅ H (t) (\displaystyle \ln \left((\frac (t)(t_(0)))\баруун)\cdot H(t))	− t 0 s [ ln ⁡ (t 0 s) + γ ] (\displaystyle -(\frac (t_(0))(s))[\ln(t_(0)s)+\гамма ])	s > 0 (\displaystyle s>0)
12	Бесселийн функц анхны төрөл захиалга n (\displaystyle n)	J n (ω t) ⋅ H (t) (\displaystyle J_(n)(\omega t)\cdot H(t))	ω n (s + s 2 + ω 2) − n s 2 + ω 2 (\displaystyle (\frac (\omega ^(n)\left(s+(\sqrt (s^(2)+\omega ^(2)) ))\баруун)^(-n))(\sqrt (s^(2)+\omega ^(2)))))	s > 0 (\displaystyle s>0\ ) (n > − 1) (\displaystyle (n>-1)\ )
13	анхны төрөл захиалга n (\displaystyle n)	I n (ω t) ⋅ H (t) (\displaystyle I_(n)(\omega t)\cdot H(t))	ω n (s + s 2 − ω 2) − n s 2 − ω 2 (\displaystyle (\frac (\omega ^(n)\left(s+(\sqrt (s^(2)-\omega ^(2)) ))\баруун)^(-n))(\sqrt (s^(2)-\omega ^(2)))))	s > | ω | (\displaystyle s>|\omega |\ )
14	bessel функц хоёр дахь төрөл тэг дараалал	Y 0 (α t) ⋅ H (t) (\displaystyle Y_(0)(\альфа t)\cdot H(t)\ )	− 2 a r s h (s / α) π s 2 + α 2 (\displaystyle -(\frac (2\mathrm (arsh) (s/\alpha))(\pi (\sqrt (s^(2)+\alpha)) ^(2))))))	s > 0 (\displaystyle s>0\ )
15	Bessel функцийг өөрчилсөн хоёр дахь төрөл, тэг дараалал	K 0 (α t) ⋅ H (t) (\displaystyle K_(0)(\альфа t)\cdot H(t))
16	алдааны функц	e r f (t) ⋅ H (t) (\displaystyle \mathrm (erf) (t)\cdot H(t))	e s 2 / 4 e r f c (s / 2) s (\displaystyle (\frac (e^(s^(2)/4)\mathrm (erfc) (s/2))(s))))	s > 0 (\displaystyle s>0)
Хүснэгтийн тэмдэглэл: H (t) (\displaystyle H(t)\ ); α (\displaystyle \alpha \ ), β (\displaystyle \beta \ ), τ (\displaystyle \tau \ )Тэгээд ω (\displaystyle \omega \ ) - Бусад өөрчлөлтүүдтэй харилцах харилцаа Үндсэн холболтууд Меллин хувиргах Меллин хувиргалтба урвуу Меллин хувиргалт нь хувьсагчийн энгийн өөрчлөлтөөр хоёр талт Лапласын хувиргалттай холбоотой. Хэрэв Меллин хувиралд орсон бол G (s) = M ( g (θ) ) = ∫ 0 ∞ θ s g (θ) θ d θ (\displaystyle G(s)=(\маткал (M))\зүүн\(g(\theta)\баруун \)=\int \limits _(0)^(\infty )\theta ^(s)(\frac (g(\theta))(\theta ))\,d\theta ) тавья θ = e − x (\displaystyle \theta =e^(-x)), дараа нь бид хоёр талт Лапласын хувиргалтыг авна. Z-хувиргах Z (\displaystyle Z)-хувиргалт нь хувьсагчийн өөрчлөлтийг ашиглан гүйцэтгэсэн торны функцийн Лапласын хувиргалт юм. z ≡ e s T , (\displaystyle z\equiv e^(sT),) Борелийн хувиргалт Борелийн хувиргалтын салшгүй хэлбэр нь Лапласын хувиргалттай адилхан бөгөөд Борелийн ерөнхий хувиргалт бас байдаг бөгөөд түүний тусламжтайгаар Лапласын хувиргалтыг ашиглах нь илүү өргөн функцүүдийн ангилалд өргөжсөн. Ном зүй Ван дер Пол Б., Бремер Х.Лапласын хоёр талт хувиргалт дээр суурилсан үйлдлийн тооцоолол. - М.: Гадаадын уран зохиолын хэвлэлийн газар, 1952. - 507 х. Диткин В.А., Прудников А.П.Интеграл хувиргалт ба үйлдлийн тооцоо. - М.: Наука хэвлэлийн газрын физик, математикийн уран зохиолын үндсэн хэвлэл, 1974. - 544 х. Диткин В.А., Кузнецов П.И.Үйлдлийн тооцооллын гарын авлага: Онолын үндэс ба томъёоны хүснэгт. - М .: Улсын техник, онолын уран зохиолын хэвлэлийн газар, 1951. - 256 х. Карслоу Х., Жэйгер Д.Хэрэглээний математикийн үйл ажиллагааны аргууд. - М.: Гадаадын уран зохиолын хэвлэлийн газар, 1948. - 294 х. Кожевников Н.И., Краснощекова Т.И., Шишкин Н.Е.Фурье цуврал ба интеграл. Талбайн онол. Аналитик ба тусгай функцууд. Лапласын өөрчлөлтүүд. - М.: Наука, 1964. - 184 х. Краснов М.Л., Макаренко Г.И.үйл ажиллагааны тооцоо. Хөдөлгөөний тогтвортой байдал. - М.: Наука, 1964. - 103 х. Микусинский Я.Операторын тооцоо. - М.: Гадаадын уран зохиолын хэвлэлийн газар, 1956. - 367 х. Романовский П.И.Фурье цуврал. Талбайн онол. Аналитик ба тусгай функцууд. Лапласын өөрчлөлтүүд. - М.: Наука, 1980. - 336 х.