Взаимная корреляционная функция (ВКФ) разных сигналов (cross-correlation function, CCF) описывает как степень сходства формы двух сигналов, так и их взаимное расположение друг относительно друга по координате (независимой переменной). Обобщая формулу (6.1.1) автокорреляционной функции на два различных сигнала s(t) и u(t), получаем следующее скалярное произведение сигналов:
B su () =s(t) u(t+) dt. (6.2.1)
Взаимная корреляция сигналов характеризует определенную корреляцию явлений и физических процессов, отображаемых данными сигналами, и может служить мерой “устойчивости” данной взаимосвязи при раздельной обработке сигналов в различных устройствах. Для конечных по энергии сигналов ВКФ также конечна, при этом:
|B su ()| ||s(t)||||u(t)||,
что следует из неравенства Коши-Буняковского и независимости норм сигналов от сдвига по координатам.
При замене переменной t = t- в формуле (6.2.1), получаем:
B su ()
=
s(t-)
u(t) dt =
u(t) s(t-)
dt = B us (-).
Отсюда следует, что для ВКФ не выполняется условие четности, B su () B su (-), и значения ВКФ не обязаны иметь максимум при = 0.
Рис. 6.2.1. Сигналы и ВКФ.
Это можно наглядно видеть на рис. 6.2.1, где заданы два одинаковых сигнала с центрами на точках 0.5 и 1.5. Вычисление по формуле (6.2.1) с постепенным увеличением значений означает последовательные сдвиги сигнала s2(t) влево по оси времени (для каждого значения s1(t) для подынтегрального умножения берутся значения s2(t+)). При =0 сигналы ортогональны и значение B 12 ()=0. Максимум В 12 () будет наблюдаться при сдвиге сигнала s2(t) влево на значение =1, при котором происходит полное совмещение сигналов s1(t) и s2(t+).Одни и те же значения ВКФ по формулам (6.2.1) и (6.2.1") наблюдаются при одном и том же взаимном положении сигналов: при сдвиге на интервал сигнала u(t) относительно s(t) вправо по оси ординат и сигнала s(t) относительно сигнала u(t) влево, т.е. B su () = B us (-
Рис. 6.2.2. Взаимноковариационные функции сигналов.
На рис. 6.2.2 приведены примеры ВКФ для прямоугольного сигнала s(t) и двух одинаковых треугольных сигналов u(t) и v(t). Все сигналы имеют одинаковую длительность Т, при этом сигнал v(t) сдвинут вперед на интервал Т/2.Сигналы s(t) и u(t) одинаковы по временному расположению и площадь "перекрытия" сигналов максимальна при =0, что и фиксируется функцией B su . Вместе с тем функция B su резко асимметрична, так как при асимметричной форме сигнала u(t) для симметричной формы s(t) (относительно центра сигналов) площадь "перекрытия" сигналов изменяется по разному в зависимости от направления сдвига (знака при увеличения значения от нуля). При смещении исходного положения сигнала u(t) влево по оси ординат (на опережение сигнала s(t) - сигнал v(t)) форма ВКФ остается без изменения и сдвигается вправо на такое же значение величины сдвига – функция B sv на рис. 6.2.2. Если поменять местами выражения функций в (6.2.1), то новая функция B vs будет зеркально повернутой относительно =0 функцией B sv .
С учетом этих особенностей полное ВКФ вычисляется, как правило, отдельно для положительных и отрицательных запаздываний:
B su ()
=
s(t)
u(t+)
dt. B us ()
=
u(t)
s(t+)
dt. (6.2.1")
Взаимная корреляция зашумленных сигналов . Для двух зашумленных сигналов u(t) = s1(t)+q1(t) и v(t) = s2(t)+q2(t), применяя методику вывода формул (6.1.13) с заменой копии сигнала s(t) на сигнал s2(t), нетрудно вывести формулу взаимной корреляции в следующем виде:
B uv () = B s1s2 () + B s1q2 () + B q1s2 () + B q1q2 (). (6.2.2)
Последние три члена в правой части (6.2.2) затухают до нуля при увеличении . При больших интервалах задания сигналов выражение может быть записано в следующей форме:
B uv ()
= B s 1 s 2 ()
+
+
+
.
(6.2.3)
При нулевых средних значениях шумов и статистической независимости от сигналов имеет место:
B uv () → B s 1 s 2 ().
ВКФ дискретных сигналов. Все свойства ВКФ аналоговых сигналов действительны и для ВКФ дискретных сигналов, при этом для них действительны и особенности дискретных сигналов, изложенные выше для дискретных АКФ (формулы 6.1.9-6.1.12). В частности, при t = const =1 для сигналов x(k) и y(k) с числом отсчетов К:
B xy (n)
=
x k
y k-n .
(6.2.4)
При нормировании в единицах мощности:
B xy (n)
=
x k
y k-n
.
(6.2.5)
Оценка периодических сигналов в шуме . Зашумленный сигнал можно оценить по взаимной корреляции с "эталонным" сигналом методом проб и ошибок с настройкой функции взаимной корреляции до максимального значения.
Для
сигнала u(k)=s(k)+q(k)
при статистической независимости шума
и
→
0 функция взаимной корреляции (6.2.2) с
шаблоном сигнала p(k)
при q2(k)=0
принимает вид:
B up (k)
= B sp (k)
+ B qp (k)
= B sp (k)
+
.
А
поскольку
→
0 при увеличении N, тоB up (k)
→ B sp (k).
Очевидно, что функция B up (k)
будет иметь максимум, когда p(k) = s(k). Меняя
форму шаблона p(k) и добиваясь максимизации
функции B up (k),
можно получить оценку s(k) в виде оптимальной
формы p(k).
Функция взаимных корреляционных коэффициентов (ВКФ) является количественным показателем степени сходства сигналов s(t) и u(t). Аналогично функции автокорреляционных коэффициентов, она вычисляется через центрированные значения функций (для вычисления взаимной ковариации достаточно центрировать только одну из функций), и нормируется на произведение значений стандартов функций s(t) и v(t):
su () = C su ()/ s v . (6.2.6)
Интервал изменения значений корреляционных коэффициентов при сдвигах может изменяться от –1 (полная обратная корреляция) до 1 (полное сходство или стопроцентная корреляция). При сдвигах , на которых наблюдаются нулевые значения su (), сигналы независимы друг от друга (некоррелированны). Коэффициент взаимной корреляции позволяет устанавливать наличие связи между сигналами вне зависимости от физических свойств сигналов и их величины.
При вычислении ВКФ зашумленных дискретных сигналов ограниченной длины с использованием формулы (6.2.4) имеется вероятность появления значений su (n)| > 1.
Для периодических сигналов понятие ВКФ обычно не применяется, за исключением сигналов с одинаковым периодом, например, сигналов входа и выхода при изучении характеристик систем.
В теории связи корреляционная теория используется при исследовании случайных процессов, позволяя установить связь между корреляционными и спектральными свойствами случайных сигналов. Часто возникает задача обнаружения одного передаваемого сигнала в другом или в помехах. Для надежного обнаружения сигналов и применяется метод корреляции , основанный на корреляционной теории. На практике оказывается полезным анализ характеристики, дающей представление о скорости изменения во времени, а также длительности сигнала без разложения его на гармонические составляющие.
Пусть копия сигнала u(t - т) смещена относительно своего оригинала u(t) на интервал времени т. Для количественной оценки степени отличия (связи) сигнала u(t) и его смещенной копии u(t - т) используют автокорреляционную функцию (АКФ). АКФ показывает степень сходства между сигналом и его сдвинутой копией - чем больше значение АКФ, тем это сходство сильнее.
Для детерминированного сигнала конечной длительности (финитного сигнала) аналитическая запись АКФ представляет собой интеграл вида
Формула (2.56) показывает, что при отсутствии сдвига копии относительно сигнала (т = 0) АКФ положительна, максимальна и равна энергии сигнала:
Такая энергия [Дж] выделяется на резисторе с сопротивлением в 1 Ом, если к его выводам подключить некоторое напряжение u(t) [В].
Одним из важнейших свойств АКФ является ее четность: В(т) = В(-
т). Действительно, если в выражении (2.56) произвести замену переменной х = t -
т, то
Поэтому интеграл (2.56) можно представить в другом виде:
Для периодического сигнала с периодом Г, энергия которого бесконечно велика (поскольку сигнал существует бесконечное время), вычисление АКФ по формуле (2.56) неприемлемо. В этом случае определяют АКФ за период:
Пример 2.3
Определим АКФ прямоугольного импульса, который имеет амплитуду Е и длительность т и (рис. 2.24).
Решение
Для импульса вычисления АКФ удобно провести графически. Такое построение показано на рис. 2.24, а - г, где приведены соответственно исходный импульс u(t) = u t сдвинутая на т его копия м т (?) = u(t - т) = м т и их произведение u(f)u(t - т) = uu v Рассмотрим графическое вычисление интеграла (2.56). Произведение u(t)u(t - т) не равно нулю на интервале времени, когда имеется наложение друг на друга любых частей сигнала и его копии. Как следует из рис. 2.24, этот интервал равен х - т м, если временной сдвиг копии меньше длительности импульса. В подобных случаях для импульса АКФ определится как В(т) = Е 2 (т и - |т|) при временном сдвиге копии на текущее время |т| В(0) = = Е 2 т и = Э (см. рис. 2.24, г).
Рис. 2.24.
а - импульс; 6 - копия; в - произведение сигнала и копии; г - АКФ
Часто вводят удобный для анализа и сравнения сигналов числовой параметр - интервал корреляции т к, аналитически и графически равный ширине основания АКФ. Для данного примера интервал корреляции т к = 2т и.
Пример 2.4
Определим АКФ гармонического (косинусоидального) сигнала u(t) = = t/ m cos(co? + а).
Рис. 2.25.
а - гармонический сигнал; б - АКФ гармонического сигнала
Решение
Используя формулу (2.57) и обозначив В п (т) = В(т), находим
Из этой формулы следует, что АКФ гармонического сигнала тоже является гармонической функцией (рис. 2.25, б) и имеет размерность мощности (В 2). Отметим еще один очень важный факт, что вычисленная АКФ не зависит от начальной фазы гармонического сигнала (параметр
Из проведенного анализа следует важный вывод: АКФ практически любого сигнала не зависит от его фазового спектра. Следовательно, сигналы, амплитудные спектры которых полностью совпадают, а фазовые различаются, будут иметь одинаковую АКФ. Еще одно замечание заключается в том, что по АКФ нельзя восстановить исходный сигнал (опять же вследствие утраты информации о фазе).
Связь между АКФ и энергетическим спектром сигнала. Пусть импульсный сигнал u(t) имеет спектральную плотность 5(со). Определим АКФ но формуле (2.56), записав и(С) в виде обратного преобразования Фурье (2.30):
Введя новую переменную х = t - т, из последней формулы получим Здесь интеграл
есть функция, комплексно-сопряженная спектральной плотности сигнала
С учетом соотношения (2.59) формула (2.58) примет вид
Функцию
называют энергетическим спектром (спектральной плотностью энергии) сигнала, показывающим распределение энергии по частоте. Размерность энергетического спектра сигнала соответствует величине IP/со) - [(В 2 -с)/Гц].
Учитывая соотношение (2.60), окончательно получим выражение для АКФ:
Итак, АКФ сигнала представляет собой обратное преобразование Фурье от его энергетического спектра. Прямое преобразование Фурье от АКФ
Итак, прямое преобразование Фурье (2.62) АКФ определяет энергетический спектр, а обратное преобразование Фурье энергетического спектра (2.61) - АКФ детерминированного сигнала. Эти результаты важны по двум причинам. Во-первых, исходя из распределения энергии но спектру становится возможным оценить корреляционные свойства сигналов - чем шире энергетический спектр сигнала, тем меньше интервал корреляции. Соответственно, чем больше интервал корреляции сигнала, тем короче его энергетический спектр. Во-вторых, соотношения (2.61) и (2.62) позволяют экспериментально определить одну из функций по значению другой. Часто удобнее вначале получить АКФ, а затем с помощью прямого преобразования Фурье вычислить энергетический спектр. Этот прием широко применяют при анализе свойств сигналов в реальном масштабе времени, т.е. без временной задержки при его обработке.
Взаимокорреляционная функция двух сигналов. Если надо оценить степень связи между сигналами u x (t) и u 2 (t), то используют взаимокорреля- ционную функцию (ВКФ)
При т = О ВКФ равна так называемой взаимной энергии двух сигналов
Значение ВКФ не меняется, если вместо задержки второго сигнала u 2 (t) рассматривать опережение его первым сигналом м,(?), поэтому
АКФ является частным случаем ВКФ, если сигналы одинаковы, т.е. u y (t) = u 2 (t) = u(t). В отличие от АКФ ВКФ двух сигналов В 12 (т) не является четной и необязательно максимальна при т = 0, т.е. при отсутствии временного сдвига сигналов.
С физической точки зрения корреляционная функция характеризует взаимосвязь или взаимозависимость двух мгновенных значений одного или двух различных сигналов в моменты времени и . В первом случае корреляционную функцию часто называют автокорреляционной, а во втором - взаимнокорреляционной. Корреляционные функции детерминированных процессов зависят только от .
Если заданы сигналы и , то корреляционные функции определяют следующими выражениями:
- взаимнокорреляционная функция; (2.66)
- автокорреляционная функция. (2.67)
Если и - два периодических сигнала с одинаковым периодом T , то очевидно, что их корреляционная функция тоже является периодической с периодом Т и, следовательно, она может быть разложена в ряд Фурье.
Действительно, если в выражении (2.66) разложим в ряд Фурье сигнал , то получим
(2.68)
где и - комплексные амплитуды n -й гармоники сигналов и соответственно, - комплексно-сопряженный с коэффициент. Коэффициенты разложения взаимно корреляционной функции можно найти как коэффициенты ряда Фурье
. (2.69)
Частотное разложение автокорреляционной функции легко получить из формул (2.68) и (2.69), положив 
, тогда
. (2.70)
А так как и, следовательно,
, (2.71)
то автокорреляционная функция - четная и поэтому
. (2.72)
Четность автокорреляционной функции позволяет ее разложить в тригонометрический ряд Фурье по косинусам
В частном случае, при , получим:
.
Таким образом, автокорреляционная функция при представляет собой полную среднюю мощность периодического сигнала , равную сумме средних мощностей всех гармоник.
Частотное представление импульсных сигналов
В предыдущем рассмотрении предполагалось, что сигналы непрерывны, однако при автоматической обработке информации часто используются и импульсные сигналы, а также преобразование непрерывных сигналов в импульсные. Это требует рассмотрения вопросов частотного представления импульсных сигналов.
Рассмотрим модель преобразования непрерывного сигнала в импульсную форму, представленную на рис.2.6а.
|
Пусть на вход импульсного модулятора поступает непрерывный сигнал (рис.2.6б). Импульсный модулятор формирует последовательность единичных импульсов (рис.2.6в) с периодом Т и длительностью импульсов t , причем . Математическую модель такой последовательности импульсов можно описать в виде функции :
(2.74)
где k - номер импульса в последовательности.
Выходной сигнал импульсного модулятора (рис.2.6г) можно представить в виде:
.
На практике желательно иметь частотное представление последовательности импульсов. Для этого функцию , как периодическую, можно представить в виде ряда Фурье:
, (2.75)
- спектральные коэффициенты разложения в ряд Фурье; (2.76)
Частота следования импульсов;
n - номер гармоники.
Подставляя в выражение (2.76) соотношение (2.74), найдем :
.
Подставляя (2.76) в (2.74), получим:
(2.78)
Преобразуем разность синусов, тогда
. (2.79)
Введем обозначение фазы n -ой гармоники
. (2.81)
Таким образом, последовательность единичных импульсов содержит наряду с постоянной составляющей бесконечное число гармоник с уменьшающейся амплитудой. Амплитуда k -ой гармоники определяется из выражения:
При цифровой обработке сигналов проводится дискретизация (квантование) по времени, то есть преобразование непрерывного сигнала в последовательность коротких импульсов. Как показано выше, любая последовательность импульсов имеет довольно сложный спектр, поэтому возникает естественный вопрос, каким образом процесс дискретизации по времени влияет на частотный спектр исходного непрерывного сигнала.
Для исследования этого вопроса рассмотрим математическую модель процесса дискретизации по времени, представленную на рис.2.7а.
Импульсный модулятор (ИМ) представляется в виде модулятора с несущей в виде идеальной последовательности очень коротких импульсов (последовательности d -функций) , период следования которых равен Т (рис.2.7б).
На вход импульсного модулятора поступает непрерывный сигнал (рис.2.7в), а на выходе образуется импульсный сигнал (рис.2.7г).
| |
Тогда модель идеальной последовательности d -функций можно описать следующим выражением
Наряду со спектральным подходом к описанию сигналов часто на практике оказывается необходимой характеристика, которая давала бы представление о некоторых свойствах сигнала, в частности о скорости изменения во времени, а также о длительности сигнала без разложения его на гармонические составляющие.
В качестве такой временной характеристики широко используется корреляционная функция сигнала.
Для детерминированного сигнала s (t ) конечной длительности корреляционная функция определяется следующим выражением:
где τ - временной сдвиг сигнала.
В данной главе рассматриваются сигналы, являющиеся вещественными функциями времени, и обозначение комплексного сопряжения можно опустить:
.
(1.78)
Из выражения (1.78) видно, что B s (t ) характеризует степень связи (корреляции) сигналаs ( t ) со своей копией, сдвинутой на величину т по оси времени. Ясно, что функцияB s ( t ) достигает максимума при τ = 0, так как любой сигнал полностью коррелирован с самим собой. При этом
,
(1.79)
т. е. максимальное значение корреляционной функции равно энергии сигнала.
С увеличением τ функция В 8 (τ) убывает (не обязательно монотонно) и при относительном сдвиге сигналовs (t ) иs (t + τ) на время, превышающее длительность сигнала, обращается в нуль.
Из общего определения корреляционной функции видно, что безразлично, вправо или влево относительно своей копии сдвигать сигнал на величину τ. Поэтому выражение (1.78) можно обобщить следующим образом:
.
(1.78)
Это равносильно утверждению, что B s (τ) являетсячетной функцией τ.
Для периодического сигнала, энергия которого бесконечно велика, определение корреляционной функции с помощью выражений (1.129) или (1.129") неприемлемо. В этом случае исходят из следующего определения:
При таком определении
корреляционная функция приобретает
размерность мощности, причем B
Sne р (0) равна средней мощности периодического
сигнала. Ввиду периодичности сигналаs(
t
)
усреднение произведения
или
по
бесконечно большому отрезкуТ
должно совпадать с усреднением по
периодуT 1 . Поэтому
выражение (1.79) можно заменить выражением
Входящие в это выражение интегралы суть не что иное, как корреляционная функция сигнала на интервале T 1 . Обозначая ее через B sTl (τ ), приходим к соотношению
Очевидно также,
что периодическому сигналу s(t
)
соответствует и периодическая
корреляционная функцияB
s
пер
(τ).
Период функцииB
s
пер
(τ)
совпадает с периодомТ
1
исходного сигналаs(
t
).
Например, для простейшего (гармонического)
колебания
корреляционная функция
При τ=0
есть средняя мощность гармонического
колебания с амплитудойА
0
.
Важно отметить, что корреляционная
функция
не зависит от начальной фазы колебания
.
Для оценки степени связи между двумя различными сигналами s 1 ( t ) иs 2 ( t ) используется взаимная корреляционная функция, определяемая общим выражением
Для вещественных функций s 1 (t) иs 2 (t)
Рассмотренная
выше корреляционная функция В
s
(τ)
является частным случаем функции
,
когдаs 1 (
t
)
=s 2 (
t
).
В отличие от
взаимная корреляционная функция не
обязательно является четной
относительно τ. Кроме того, взаимная
корреляционная функцияне
обязательно
достигает максимума
приτ = 0.
Функции корреляции сигналов применяются для интегральных количественных оценок формы сигналов и степени их сходства друг с другом.
Автокорреляционные функции (АКФ) сигналов (correlation function, CF). Применительно к детерминированным сигналам с конечной энергией АКФ является количественной интегральной характеристикой формы сигнала, и представляет собой интеграл от произведения двух копий сигнала s(t), сдвинутых относительно друг друга на время t:
B s (t) = s(t) s(t+t) dt. (2.4.1)
Как следует из этого выражения, АКФ является скалярным произведением сигнала и его копии в функциональной зависимости от переменной величины значения сдвига t. Соответственно, АКФ имеет физическую размерность энергии, а при t = 0 значение АКФ непосредственно равно энергии сигнала и является максимально возможным (косинус угла взаимодействия сигнала с самим собой равен 1):
B s (0) = s(t) 2 dt = E s .
Функция АКФ является непрерывной и четной. В последнем нетрудно убедиться заменой переменной t = t-t в выражении (2.4.1):
B s (t) = s(t) s(t-t) dt = s(t-t) s(t) dt = B s (-t).
С учетом четности, графическое представление АКФ обычно производится только для положительных значений t. Знак +t в выражении (2.4.1) означает, что при увеличении значений t от нуля копия сигнала s(t+t) сдвигается влево по оси t. На практике сигналы обычно также задаются на интервале положительных значений аргументов от 0-Т, что дает возможность продления интервала нулевыми значениями, если это необходимо для математических операций. В этих границах вычислений более удобным является сдвиг копии сигнала влево по оси аргументов, т.е. применение в выражении (2.4.1) функции s(t-t):
B s (t) = s(t) s(t-t) dt. (2.4.1")
По мере увеличения значения величины сдвига t для финитных сигналов временное перекрытие сигнала с его копией уменьшается, а, соответственно, косинус угла взаимодействия и скалярное произведение в целом стремятся к нулю:
Пример. На интервале (0,Т) задан прямоугольный импульс с амплитудным значением, равным А. Вычислить автокорреляционную функцию импульса.
При сдвиге копии импульса по оси t вправо, при 0≤t≤T сигналы перекрываются на интервале от t до Т. Скалярное произведение:
B s (t) = A 2 dt = A 2 (T-t).
При сдвиге копии импульса влево, при -T≤t<0 сигналы перекрываются на интервале от 0 до Т-t. Скалярное произведение:
B s (t) = A 2 dt = A 2 (T+t).
При |t| > T сигнал и его копия не имеют точек пересечения и скалярное произведение сигналов равно нулю (сигнал и его сдвинутая копия становятся ортогональными).
Обобщая вычисления, можем записать:
B s (t) = 
.
В случае периодических сигналов АКФ вычисляется по одному периоду Т, с усреднением скалярного произведения и его сдвинутой копии в пределах этого периода:
B s (t) = (1/Т) s(t) s(t-t) dt.
При t=0 значение АКФ в этом случае равно не энергии, а средней мощности сигналов в пределах интервала Т. АКФ периодических сигналов при этом также является периодической функцией с тем же периодом Т. Так, для сигнала s(t) = A cos(w 0 t+j 0) при T=2p/w 0 имеем:
B s (t) = A cos(w 0 t+j 0) A cos(w 0 (t-t)+j 0) = (A 2 /2) cos(w 0 t).
Отметим, что полученный результат не зависит от начальной фазы гармонического сигнала, что характерно для любых периодических сигналов и является одним из свойств КФ.
Для сигналов, заданных на определенном интервале , вычисление АКФ также производится с нормировкой на длину интервала :
B s (t) = s(t) s(t+t) dt. (2.4.2)
В пределе, для непериодических сигналов с измерением АКФ на интервале Т:
B s (t) = 
. (2.4.2")
Автокорреляция сигнала может оцениваться и коэффициентом автокорреляции, вычисление которого производится по формуле (по центрированным сигналам):
r s (t) = cos j(t) = ás(t), s(t+t)ñ /||s(t)|| 2 .
Взаимная корреляционная функция (ВКФ) сигналов (cross-correlation function, CCF) показывает степень сходства сдвинутых экземпляров двух разных сигналов и их взаимное расположение по координате (независимой переменной), для чего используется та же формула (2.4.1), что и для АКФ, но под интегралом стоит произведение двух разных сигналов, один из которых сдвинут на время t:
B 12 (t) = s 1 (t) s 2 (t+t) dt. (2.4.3)
При замене переменной t = t-t в формуле (2.4.3), получаем:
B 12 (t) = s 1 (t-t) s 2 (t) dt = s 2 (t) s 1 (t-t) dt = B 21 (-t)
Отсюда следует, что для ВКФ не выполняется условие четности, а значения ВКФ не обязаны иметь максимум при t = 0. Это можно наглядно видеть на рис. 2.4.1, где заданы два одинаковых сигнала с центрами на точках 0.5 и 1.5. Вычисление по формуле (2.4.3) с постепенным увеличением значений t означает последовательные сдвиги сигнала s2(t) влево по оси времени (для каждого значения s1(t) для подынтегрального умножения берутся значения s2(t+t)).
Загрузка...