Funcția de corelație încrucișată (VKF) semnale diferite(funcția de corelație încrucișată, CCF) descrie atât gradul de similitudine a formei a două semnale, cât și poziția relativă a acestora unul față de celălalt de-a lungul coordonatei (variabilă independentă). Generalizând formula (6.1.1) a funcției de autocorelare la două semnale diferite s(t) și u(t), obținem următorul produs scalar al semnalelor:
B su () =s(t) u(t+) dt. (6.2.1)
Corelarea reciprocă a semnalelor caracterizează o anumită corelare a fenomenelor și proceselor fizice afișate de aceste semnale și poate servi ca măsură a „stabilității” acestei relații atunci când semnalele sunt procesate separat în diferite dispozitive. Pentru semnalele cu energie finită, CCF este, de asemenea, finit, în timp ce:
|B su ()| ||s(t)||||u(t)||,
care rezultă din inegalitatea Cauci-Bunyakovsky și independența normelor de semnal față de deplasarea coordonatelor.
La modificarea variabilei t = t- în formula (6.2.1), obținem:
B su () = 
s(t-) u(t) dt = 
u(t) s(t-) dt = B us (-).
Rezultă că condiția de paritate nu este îndeplinită pentru VKF, B su () B su (-), iar valorile VKF nu trebuie să aibă un maxim la = 0.
Orez. 6.2.1. Semnale și VKF.
Acest lucru poate fi văzut clar în Fig. 6.2.1, unde sunt date două semnale identice cu centrele în punctele 0.5 și 1.5. Calculul prin formula (6.2.1) cu o creștere treptată a valorilor lui înseamnă deplasări succesive ale semnalului s2(t) spre stânga de-a lungul axei timpului (pentru fiecare valoare a lui s1(t), valorile de s2(t+) se iau pentru înmulțirea integranților). Când =0, semnalele sunt ortogonale și valoarea lui B 12 ()=0. Maximul B 12 () va fi observat atunci când semnalul s2(t) este deplasat spre stânga cu valoarea =1, la care semnalele s1(t) și s2(t+) coincid complet.Aceleași valori ale CCF conform formulelor (6.2.1) și (6.2.1") se observă la aceeași poziție reciprocă a semnalelor: când semnalul u(t) este deplasat cu intervalul în raport cu s(t) la dreapta de-a lungul axei y și semnalul s(t) în raport cu semnalul u(t) la stânga, adică B su () = B us (-
Orez. 6.2.2. Funcții de covarianță reciprocă ale semnalelor.
Pe fig. 6.2.2 prezintă exemple de VKF pentru un semnal dreptunghiular s(t) și două semnale triunghiulare identice u(t) și v(t). Toate semnalele au aceeași durată T, în timp ce semnalul v(t) este deplasat înainte cu intervalul T/2.Semnalele s(t) și u(t) sunt aceleași în ceea ce privește locația în timp și aria de „suprapunere” a semnalului este maximă la =0, care este fixată de funcția B su . În același timp, funcția B su este puternic asimetrică, deoarece cu o formă de semnal asimetrică u(t) pentru o formă simetrică s(t) (față de centrul semnalelor), aria de „suprapunere” a semnalului se modifică diferit în funcție de pe sensul deplasării (semnul lui cu o creștere a valorii de la zero). Când poziția inițială a semnalului u(t) este deplasată la stânga de-a lungul axei ordonatelor (înaintea semnalului s(t) - semnalul v(t)), forma VKF rămâne neschimbată și se deplasează la dreapta cu aceeași deplasare valoare - funcția B sv din Fig. 6.2.2. Dacă expresiile funcțiilor din (6.2.1) sunt schimbate, atunci noua funcție B vs va fi o funcție B sv care este oglindită în raport cu =0.
Luând în considerare aceste caracteristici, CCF total este calculat, de regulă, separat pentru întârzierile pozitive și negative:
B su () = 
s(t) u(t+) dt. B us () = 
u(t) s(t+) dt. (6.2.1")
Corelația încrucișată a semnalelor zgomotoase . Pentru două semnale zgomotoase u(t) = s1(t) + q1(t) și v(t) = s2(t) + q2(t), aplicând metoda de derivare a formulelor (6.1.13) cu înlocuirea unui copie a semnalului s(t ) la semnalul s2(t), este ușor să se obțină formula de corelație încrucișată în următoarea formă:
B uv () = B s1s2 () + B s1q2 () + B q1s2 () + B q1q2 (). (6.2.2)
Ultimii trei termeni din partea dreaptă a (6.2.2) se reduc la zero pe măsură ce crește. Pentru intervale mari de setare a semnalului, expresia poate fi scrisă în următoarea formă:
B uv () = B s 1 s 2 () + 
+
+
.
(6.2.3)
La valori medii zero ale zgomotului și independența statistică față de semnale, au loc următoarele:
B uv () → B s 1 s 2 ().
VKF semnale discrete. Toate proprietățile VKF semnale analogice sunt valabile și pentru VCF-urile semnalelor discrete, în timp ce caracteristicile semnalelor discrete descrise mai sus pentru ACF-urile discrete sunt valabile și pentru acestea (formulele 6.1.9-6.1.12). În special, la t = const =1 pentru semnalele x(k) și y(k) cu numărul de eșantioane K:
B xy (n) = 
x k y k-n . (6.2.4)
Când este normalizat în unități de putere:
B xy (n) = 
x k y k-n 
.
(6.2.5)
Estimarea semnalelor periodice în zgomot . Un semnal zgomotos poate fi evaluat pentru corelare încrucișată cu un semnal de „referință” prin încercare și eroare, cu funcția de corelare încrucișată ajustată la valoarea sa maximă.
Pentru semnalul u(k)=s(k)+q(k) cu independență statistică a zgomotului și 
→ 0, funcția de corelație încrucișată (6.2.2) cu șablonul de semnal p(k) pentru q2(k)=0 ia forma:
B sus (k) = B sp (k) + B qp (k) = B sp (k) + 
.
Și de când 
→ 0 pe măsură ce N crește, apoi B sus (k) → B sp (k). În mod evident, funcția B sus (k) va avea un maxim atunci când p(k) = s(k). Schimbând forma șablonului p(k) și maximizând funcția B sus (k), putem obține o estimare a lui s(k) sub forma formei optime p(k).
Funcția coeficienților de corelație încrucișată (VKF) este un indicator cantitativ al gradului de similitudine a semnalelor s(t) și u(t). Similar cu funcția coeficienților de autocorelare, se calculează prin valorile centrate ale funcțiilor (pentru a calcula covarianța reciprocă, este suficient să se centreze doar una dintre funcții) și se normalizează la produsul valorilor a standardelor funcțiilor s(t) și v(t):
su () = C su ()/ s v . (6.2.6)
Intervalul de modificare a valorilor coeficienților de corelație la deplasări poate varia de la –1 (corelație inversă completă) la 1 (asemănare completă sau corelație sută la sută). La deplasările , la care se observă valori zero su (), semnalele sunt independente unele de altele (necorelate). Coeficientul de corelație încrucișată vă permite să stabiliți prezența unei conexiuni între semnale, indiferent de proprietățile fizice ale semnalelor și de magnitudinea acestora.
La calcularea CCF a semnalelor discrete zgomotoase de lungime limitată folosind formula (6.2.4), există o probabilitate de apariție a valorilor su (n)| > 1.
Pentru semnalele periodice, conceptul de CCF nu este utilizat de obicei, cu excepția semnalelor cu aceeași perioadă, de exemplu, semnalele de intrare și ieșire atunci când se studiază caracteristicile sistemelor.
În teoria comunicării, teoria corelației este utilizată în studiu procese aleatorii, permițându-vă să stabiliți o legătură între corelație și proprietăți spectrale semnale aleatorii. Adesea apare problema detectării unui semnal transmis în altul sau în interferențe. Pentru detectarea fiabilă a semnalelor și metoda se aplică corelații, bazat pe teoria corelației. În practică, se dovedește a fi util să se analizeze caracteristicile care dau o idee a ratei de schimbare în timp, precum și a duratei semnalului fără a-l descompune în componente armonice.
Lasă semnalul să se copieze u(t - m) deplasat în raport cu originalul u(t) pentru un interval de timp t. Pentru a cuantifica gradul de diferenţă (conectare) a semnalului u(t)și copia sa mutată u(t - t) utilizare funcția de autocorelare(AKF). ACF arată gradul de similitudine dintre semnal și copia sa deplasată - cu cât valoarea ACF este mai mare, cu atât este mai puternică această similitudine.
Pentru un semnal determinist de durată finită (semnal finit), notația analitică a ACF este o integrală a formei
Formula (2.56) arată că, în absența unei deplasări de copiere față de semnal (m = 0), ACF este pozitiv, maxim și egal cu energia semnalului:
O astfel de energie [J] este eliberată pe un rezistor cu o rezistență de 1 Ohm, dacă o anumită tensiune este conectată la bornele sale u(t)[LA].
Una dintre cele mai importante proprietăți ale ACF este paritatea sa: LA( t) = LA(- t). Într-adevăr, dacă în expresia (2.56) schimbăm variabila x = t - t, atunci 
Prin urmare, integrala (2.56) poate fi reprezentată sub altă formă:
Pentru un semnal periodic cu o perioadă Г, a cărui energie este infinit de mare (deoarece semnalul există pentru un timp infinit), calculul ACF prin formula (2.56) este inacceptabil. În acest caz, determinați ACF pentru perioada:
Exemplul 2.3
Să determinăm ACF-ul unui impuls dreptunghiular, care are o amplitudine Eşi durata t şi (Fig. 2.24).
Soluţie
Este convenabil să se calculeze grafic ACF pentru un impuls. O astfel de construcție este prezentată în Fig. 2.24, a - g, unde sunt date, respectiv, impulsul initial u(t)= u t copia sa deplasată cu m m m (?) = u(t- t) = m t și produsul lor u(f)u(t- t) = uu v Se consideră calculul grafic al integralei (2.56). Muncă u(t)u(t- m) nu este egal cu zero în intervalul de timp în care există o suprapunere a oricăror părți ale semnalului și copia acestuia. După cum rezultă din Fig. 2.24, acest interval este egal cu x - m, dacă deplasarea în timp a copiei este mai mică decât durata pulsului. În astfel de cazuri, pentru impuls, ACF este definit ca LA( t) = E 2 ( t și - |t|) cu o deplasare în timp a copiei la ora curentă |t| B(0) = = E 2 t și \u003d E (a se vedea Fig. 2.24, G).
Orez. 2.24.
A - puls; 6 - copie; in - produs de semnal și copie; G - ACF
Adesea, este introdus un parametru numeric convenabil pentru analiza și compararea semnalelor - interval de corelare tk, analitic și grafic egal cu lățimea bazei ACF. Pentru acest exemplu, intervalul de corelație t k = 2m u.
Exemplul 2.4
Definiți ACF-ul unui semnal armonic (cosinus). u(t) == t/m cos(co? + a).
Orez. 2.25.
A - semnal armonic; b - ACF al unui semnal armonic
Soluţie
Folosind formula (2.57) și notând În p ( t) = LA( t), găsim
Din această formulă rezultă că ACF a unui semnal armonic este, de asemenea, o funcție armonică (Fig. 2.25, b)şi are dimensiunea puterii (B 2). Rețineți un alt fapt foarte important că ACF calculat nu depinde de faza inițială a semnalului armonic (parametru
Din analiză rezultă o concluzie importantă: ACF-ul aproape oricărui semnal nu depinde de spectrul său de fază. Prin urmare, semnalele ale căror spectre de amplitudine coincid complet, dar ale căror spectre de fază diferă, vor avea același ACF. O altă remarcă este că semnalul original nu poate fi restabilit de la ACF (din nou, din cauza pierderii de informații despre fază).
Relația dintre ACF și spectrul de energie al semnalului. Lasă semnalul de impuls u(t) are o densitate spectrală 5(co). Definim ACF folosind formula (2.56) prin scriere și (C) sub forma transformării Fourier inverse (2.30):
Prin introducerea unei noi variabile x = t - m, din ultima formula obtinem aici integrala
este un complex de funcții conjugat al densității spectrale a semnalului
Ținând cont de relația (2.59), formula (2.58) ia forma 
Funcţie
numit spectrul energetic (densitatea spectrală semnal de energie), arătând distribuția energiei în funcție de frecvență. Dimensiunea spectrului energetic al semnalului corespunde valorii IP/co) - [(V 2 -s)/Hz].
Ținând cont de relația (2.60), obținem în final expresia pentru ACF:
Deci, ACF-ul unui semnal este transformata Fourier inversă a spectrului său de energie. Transformată Fourier directă din ACF
Asa de, transformată Fourier directă (2.62) ACF determină spectrul de energie, A transformata Fourier inversă a spectrului de energie(2.61) - ACF a unui semnal determinist. Aceste rezultate sunt importante din două motive. În primul rând, pe baza distribuției energiei de-a lungul spectrului, devine posibilă evaluarea proprietăților de corelare ale semnalelor - cu cât spectrul de energie al semnalului este mai larg, cu atât intervalul de corelație este mai mic. În consecință, cu cât intervalul de corelare a semnalului este mai mare, cu atât spectrul său de energie este mai scurt. În al doilea rând, relațiile (2.61) și (2.62) fac posibilă determinarea experimentală a uneia dintre funcții din valoarea celeilalte. Este adesea mai convenabil să obțineți mai întâi ACF și apoi să utilizați conversie directă Fourier calculează spectrul de energie. Această tehnică este utilizată pe scară largă în analiza proprietăților semnalelor în timp real, adică fără întârziere în procesarea acestuia.
Funcția de corelație încrucișată a două semnale. Dacă trebuie să evaluați gradul de conexiune dintre semnale x(t)și u 2 (t), apoi folosiți funcția de corelație încrucișată(VKF)
Pentru m = 0, VKF este egal cu așa-numitul energia reciprocă a două semnale
Valoarea VCF nu se modifică dacă în loc să întârzie al doilea semnal u 2 (t) luați în considerare avansul său prin primul semnal m, (?), prin urmare
ACF este un caz special de VKF dacă semnalele sunt aceleași, adică. u y (t) = u 2 (t) = u(t). Spre deosebire de ACF, CCF a două semnale B 12 (m) nu este egal și nu este neapărat maxim la m = 0, adică. în absenţa unei deplasări temporale a semnalelor.
Din punct de vedere fizic, funcția de corelare caracterizează relația sau interdependența a două valori instantanee a una sau două diverse semnale uneori și . În primul caz, funcția de corelare este adesea numită autocorelare, iar în al doilea, corelație încrucișată. Funcţiile de corelaţie ale proceselor deterministe depind numai de .
Dacă semnalele și sunt date, atunci funcțiile de corelare sunt determinate de următoarele expresii:
- funcția de corelație încrucișată; (2,66)
- functia de autocorelare. (2,67)
Dacă și sunt două semnale periodice cu aceeași perioadă T, atunci este evident că funcția lor de corelare este și periodică cu o perioadă Tși, prin urmare, poate fi extins într-o serie Fourier.
Într-adevăr, dacă în expresia (2.66) extindem semnalul într-o serie Fourier, atunci obținem
(2.68)
unde si sunt amplitudini complexe n a-a armonică a semnalelor și, în consecință, este coeficientul complex conjugat. Coeficienții de expansiune ai funcției de corelație încrucișată pot fi găsiți ca coeficienți ai seriei Fourier
. (2.69)
Expansiunea de frecvență a funcției de autocorelare poate fi obținută cu ușurință din formulele (2.68) și (2.69) prin setarea 
, apoi
. (2.70)
Și din moment ce și, prin urmare,
, (2.71)
atunci funcţia de autocorelare este pară şi deci
. (2.72)
Paritatea funcției de autocorelare permite extinderea acesteia într-o serie Fourier trigonometrică în termeni de cosinus
În cazul particular, pentru , obținem:
.
Astfel, funcția de autocorelare la este puterea medie totală a unui semnal periodic egală cu suma puterilor medii ale tuturor armonicilor.
Reprezentarea în frecvență a semnalelor de puls
În considerația anterioară, s-a presupus că semnalele sunt continue, totuși, în procesarea automată a informațiilor, sunt adesea folosite și semnale pulsate, precum și conversia semnalelor continue în cele pulsate. Acest lucru necesită luarea în considerare a problemelor reprezentării în frecvență a semnalelor de impuls.
Luați în considerare modelul de conversie a unui semnal continuu într-o formă pulsată, prezentat în Fig. 2.6a.
|
Să sosească un semnal continuu la intrarea modulatorului de impuls (Fig. 2.6b). Modulatorul de impulsuri generează o secvență de impulsuri individuale (Fig. 2.6c) cu o perioadă Tși durata pulsului t, și . Modelul matematic al unei astfel de secvențe de impulsuri poate fi descris ca o funcție:
(2.74)
Unde k- numărul impulsului în succesiune.
Semnalul de ieșire al modulatorului de impuls (Fig. 2.6d) poate fi reprezentat astfel:
.
În practică, este de dorit să existe o reprezentare a frecvenței trenului de impulsuri. Pentru aceasta, funcția , ca periodică, poate fi reprezentată ca o serie Fourier:
, (2.75)
- coeficienţii de expansiune spectrală într-o serie Fourier; (2,76)
Frecvența de repetiție a pulsului;
n este numărul armonic.
Înlocuind relația (2.74) în expresia (2.76), găsim:
.
Înlocuind (2.76) în (2.74), obținem:
(2.78)
Transformăm diferența de sinusuri, atunci
. (2.79)
Să introducem denumirea fazei n a armonică
. (2.81)
Astfel, succesiunea de impulsuri individuale conține, alături de componenta constantă, un număr infinit de armonici cu amplitudine descrescătoare. Amplitudine k a-a armonică se determină din expresia:
În procesarea semnalului digital, se realizează eșantionarea în timp (cuantificarea), adică conversia unui semnal continuu într-o secvență de impulsuri scurte. După cum se arată mai sus, orice secvență de impulsuri are un spectru destul de complex, așa că întrebarea naturală apare cum afectează procesul de eșantionare în timp. spectrul de frecvențe semnal continuu original.
Pentru a explora această problemă, luați în considerare model matematic procesul de discretizare a timpului prezentat în Figura 2.7a.
Un modulator de impulsuri (PM) este reprezentat ca un modulator purtător sub forma unei secvențe ideale de impulsuri foarte scurte (secvențe d-funcţii) a căror perioadă de repetare este egală cu T(Fig. 2.7b).
Un semnal continuu este furnizat la intrarea modulatorului de impuls (Fig. 2.7c), iar un semnal de impuls este format la ieșire (Fig. 2.7d).
| |
Apoi modelul de secvență ideal d-funcţiile pot fi descrise prin următoarea expresie
Împreună cu abordarea spectrală a descrierii semnalelor, în practică se dovedește adesea a fi o caracteristică necesară care ar da o idee despre unele proprietăți ale semnalului, în special, rata de schimbare în timp, precum și durata semnalului fără a-l descompune în componente armonice.
Ca atare, o caracteristică temporală este utilizată pe scară largă corelație functie de semnal.
Pentru un semnal determinist s(t) de durata finita, functia de corelare este determinata de urmatoarea expresie:
unde τ este deplasarea în timp a semnalului.
Acest capitol tratează semnalele care sunt funcții reale ale timpului, iar notația complexă conjugată poate fi omisă:
.
(1.78)
Din expresia (1.78) se poate observa că B s (t) caracterizează gradul de conectare (corelare) a semnalului s ( t ) cu copia sa deplasată cu m de-a lungul axei timpului. Este clar că funcția B s ( t ) atinge un maxim la τ = 0, deoarece orice semnal este pe deplin corelat cu el însuși. în care
,
(1.79)
adică valoarea maximă a funcției de corelare este egală cu energia semnalului.
Pe măsură ce τ crește, funcția LA 8 (τ) scade (nu neapărat monoton) și cu o deplasare relativă a semnalelor s(t) și s(t+ τ) dispare pentru un timp care depășește durata semnalului.
Din definiția generală a funcției de corelare, este clar că nu contează dacă să deplasăm semnalul la dreapta sau la stânga față de copia sa cu valoarea τ. Prin urmare, expresia (1.78) poate fi generalizată după cum urmează:
.
(1.78)
Acest lucru este echivalent cu a spune asta B s (τ) este chiar funcțiaτ.
Pentru un semnal periodic a cărui energie este infinit de mare, definiția funcției de corelare folosind expresiile (1.129) sau (1.129") este inacceptabilă. În acest caz, se utilizează următoarea definiție:
Cu această definiție, funcția de corelare capătă dimensiunea puterii și B
Sne p(0) este egal cu putere medie semnal periodic. Datorită periodicităţii semnalelor (
t
)
medierea produsului 
sau
de-a lungul unei linii infinite T
ar trebui să coincidă cu media pe perioada T 1 . Prin urmare, expresia (1.79) poate fi înlocuită cu expresia
Integralele incluse în această expresie nu sunt altceva decât funcția de corelare a semnalului pe interval T 1 . Indicând-o prin B sTl (τ ), ajungem la relație
De asemenea, este evident că semnalul periodic s( t
) corespunde funcţiei de corelaţie periodică B s BANDĂ (τ).
Perioada de funcționare B s BANDĂ (τ)
coincide cu perioada T
1
semnal original (
t
).
De exemplu, pentru cea mai simplă oscilație (armonică). 
funcția de corelare
Când τ=0 
este puterea medie a unei oscilații armonice cu amplitudine DAR
0
.
Este important de reținut că funcția de corelare 
nu depinde de faza inițială a oscilației 
.
Pentru a estima gradul de conectare între două semnale diferite s 1 ( t ) și s 2 ( t ) se foloseşte funcţia de corelare reciprocă, care este determinată de expresia generală
Pentru funcțiile reale s 1 (t) și s 2 (t)
Funcția de corelare de mai sus LA
s
(τ) este un caz special al funcției 
când s 1 (
t
)
=s 2 (
t
).
Spre deosebire de 
funcția de corelație încrucișată nu este neapărat egală în raport cu τ. În plus, funcția de corelație încrucișată nuneapărat atinge un maxim la τ = 0.
Funcțiile de corelare a semnalelor sunt utilizate pentru estimări cantitative integrale ale formei semnalelor și gradului de similitudine a acestora între ele.
Funcțiile de autocorelare (ACF) ale semnalelor (funcția de corelare, CF). Așa cum este aplicat semnalelor deterministe cu o energie finită, ACF este o caracteristică integrală cantitativă a formei semnalului și este integrala produsului a două copii ale semnalului s(t), deplasate una față de cealaltă în timpul t:
B s (t) = s(t) s(t+t) dt. (2.4.1)
După cum rezultă din această expresie, ACF este produsul scalar al semnalului și copia acestuia în dependență funcțională de valoarea variabilă a valorii deplasării t. În consecință, ACF are dimensiunea fizică a energiei, iar la t = 0 valoarea ACF este direct egală cu energia semnalului și este maximul posibil (cosinusul unghiului de interacțiune a semnalului cu el însuși este egal cu 1):
B s (0) = s(t) 2 dt = E s .
Funcția ACF este continuă și uniformă. Este ușor de verificat acesta din urmă prin modificarea variabilei t = t-t în expresia (2.4.1):
B s (t) = s(t) s(t-t) dt = s(t-t) s(t) dt = B s (-t).
Având în vedere paritatea, reprezentarea grafică a ACF se face de obicei numai pentru valorile pozitive ale lui t. Semnul +t în expresia (2.4.1) înseamnă că, pe măsură ce valorile lui t cresc de la zero, copia semnalului s(t+t) se deplasează spre stânga de-a lungul axei t. În practică, semnalele sunt de obicei setate pe intervalul de valori pozitive ale argumentelor de la 0-T, ceea ce face posibilă extinderea intervalului cu valori zero, dacă este necesar pentru operatii matematice. În aceste limite de calcule, este mai convenabil să mutați copia semnalului la stânga de-a lungul axei argumentului, de exemplu. aplicarea în expresia (2.4.1) a funcției s(t-t):
B s (t) = s(t) s(t-t) dt. (2.4.1")
Pe măsură ce valoarea deplasării t crește pentru semnale finite, suprapunerea temporală a semnalului cu copia sa scade și, în consecință, cosinusul unghiului de interacțiune și produsul scalar în ansamblu tind la zero:
Exemplu. Pe intervalul (0, T), este specificat un impuls dreptunghiular cu o valoare a amplitudinii egală cu A. Calculați funcția de autocorelare a pulsului.
La deplasarea copiei impulsului de-a lungul axei t spre dreapta, la 0≤t≤T, semnalele se suprapun în intervalul de la t la T. Produs punctual:
B s (t) \u003d A 2 dt \u003d A 2 (T-t).
La deplasarea unei copii a impulsului spre stânga, cu -T≤t<0 сигналы перекрываются на интервале от 0 до Т-t. Скалярное произведение:
B s (t) = A 2 dt = A 2 (T+t).
Pentru |t| > T semnalul și copia sa nu au puncte de intersecție și produsul scalar al semnalelor este egal cu zero (semnalul și copia sa deplasată devin ortogonale).
Rezumând calculele, putem scrie:
B s (t) = 
.
În cazul semnalelor periodice, ACF se calculează pe o perioadă T, făcând media produsului scalar și copia sa deplasată în această perioadă:
B s (t) \u003d (1 / T) s (t) s (t-t) dt.
La t=0, valoarea ACF în acest caz este egală nu cu energia, ci cu puterea medie a semnalelor în intervalul T. ACF-ul semnalelor periodice este, de asemenea, o funcție periodică cu aceeași perioadă T. Astfel , pentru semnalul s(t) = A cos(w 0 t+j 0) la T=2p/w 0 avem:
B s (t) \u003d A cos (w 0 t + j 0) A cos (w 0 (t-t) + j 0) \u003d (A 2 /2) cos (w 0 t).
Rețineți că rezultatul obținut nu depinde de faza inițială a semnalului armonic, care este tipică pentru orice semnale periodice și este una dintre proprietățile CF.
Pentru semnalele date pe un anumit interval , calculul ACF se face si cu normalizarea la lungimea intervalului :
B s (t) = s(t) s(t+t) dt. (2.4.2)
În limită, pentru semnale neperiodice cu măsurare ACF pe intervalul T:
B s (t) = 
. (2.4.2")
Autocorelația unui semnal poate fi estimată și prin coeficientul de autocorelare, care se calculează conform formulei (pe baza semnalelor centrate):
r s (t) = cos j(t) = ás(t), s(t+t)ñ /||s(t)|| 2.
Funcția de corelație încrucișată (CCF) (funcția de corelație încrucișată, CCF) arată gradul de similitudine al instanțelor deplasate a două semnale diferite și poziția relativă a acestora de-a lungul coordonatei (variabilă independentă), pentru care se folosește aceeași formulă (2.4.1) ca pentru ACF, dar sub integrală este produsul a două semnale diferite, dintre care unul este deplasat de timpul t:
B 12 (t) = s 1 (t) s 2 (t + t) dt. (2.4.3)
La modificarea variabilei t = t-t în formula (2.4.3), obținem:
B 12 (t) \u003d s 1 (t-t) s 2 (t) dt \u003d s 2 (t) s 1 (t-t) dt \u003d B 21 (-t)
De aici rezultă că condiția de paritate nu este satisfăcută pentru VKF, iar valorile VKF nu trebuie să aibă un maxim la t = 0. Acest lucru poate fi văzut clar în Fig. 2.4.1, unde sunt date două semnale identice cu centrele în punctele 0.5 și 1.5. Calculul prin formula (2.4.3) cu o creștere treptată a valorilor lui t înseamnă deplasări succesive ale semnalului s2(t) spre stânga de-a lungul axei timpului (pentru fiecare valoare a lui s1(t), valorile de s2(t+t) sunt luate pentru înmulțirea integranților).
Se încarcă...