La suprafață.

Proprietățile locale ale coordonatelor curbilinie

Când luăm în considerare coordonatele curbilinie în această secțiune, vom presupune că avem în vedere un spațiu tridimensional (n = 3) echipat cu coordonate carteziene x , y , z . Cazul altor dimensiuni diferă doar prin numărul de coordonate.

În cazul unui spațiu euclidian, tensorul metric, numit și pătratul diferenţialului arcului, va avea în aceste coordonate forma corespunzătoare matricei de identitate:

$dS^2\; =\; \backslash mathbf(dx)^2\; +\; \backslash mathbf(dy)^2\; +\; \backslash mathbf(dz)^2.$

Caz general

Lăsa $q\_1$, $q\_2$, $q\_3$- unele coordonate curbilinie, pe care le vom considera ca fiind date funcții netede ale lui x , y , z . Să aibă trei caracteristici $q\_1$, $q\_2$, $q\_3$ servite ca coordonate într-o regiune a spațiului, este necesară existența unei mapări inverse:

$\backslash left\backslash (\backslash begin(matrix)\; x\; =\; \backslash varphi\_1\backslash left(q\_1,\backslash ;q\_2,\backslash ;q\_3\backslash right);\backslash \backslash \; y=\; \backslash varphi\_2\backslash left(q\_1,\backslash ;q\_2,\backslash ;q\_3\backslash right)\; ;\; \backslash \backslash \; z\; =\; \backslash varphi\_3\backslash left(q\_1,\backslash ;q\_2,\backslash ;q\_3\backslash right),\backslash end(matrix)\backslash right.$

Unde $\backslash varphi\_1,\backslash ;\; \backslash varphi\_2,\backslash ;\; \backslash varphi\_3$- funcţii definite în anumite domenii de mulţimi $\backslash left(q\_1,\backslash ;q\_2,\backslash ;q\_3\backslash right)$ coordonate.

Analiza bazelor locale și tensorilor

În calculul tensor, se pot introduce vectori de bază locală: $\backslash mathbf(R\_j)=\backslash frac(d\backslash mathbf\; r)(dy^j)=\; \backslash frac(dx^i)(dy^j)\; \backslash mathbf\; e\_i=Q^i\_j\; \backslash mathbf\; e\_i$, Unde $\backslash mathbf\; e\_i$- ortele sistemului de coordonate carteziene, $Q^i\_j$ este matricea jacobiană, $x^i$ coordonate în sistemul cartezian, $y^i$- introducerea coordonatelor curbilinie.
Nu este greu de observat că coordonatele curbilinie, în general, variază de la un punct la altul.
Să indicăm formulele pentru legătura dintre coordonatele curbilinii și carteziene:
$\backslash mathbf\; R\_i=Q^j\_i\; \backslash mathbf\; e\_j$
$\backslash mathbf\; e\_i=P^j\_i\; \backslash mathbf\; R\_j$ Unde $P^j\_i\; Q^i\_j=E$, unde E este matricea de identitate.
Produsul a doi vectori de bază locală formează o matrice metrică:
$\backslash mathbf\; R\_i\; \backslash mathbf\; R\_j\; =\; Q^n\_i\; Q^m\_j\; d\_(nm)\; =\; g\_(ij)$
$\backslash mathbf\; R^i\; \backslash mathbf\; R^j\; =\; P^i\_n\; P^j\_m\; d^(nm)=g^(ij)$
$g\_(ij)\; g^(jk)=g^(jk)\; g\_(ij)\; =d\_i^k$, Unde $d\_(ij),\; d^(ij),\; d^i\_j$ simbolul Kronecker contravariant, covariant și mixt
Astfel orice câmp tensor $\backslash mathbf\; T$ de rang n poate fi extins pe o bază poliadă locală:
$\backslash mathbf\; T=\; T^(i\_1\; ...\; i\_n)\; \backslash mathbf\; e\_i\; \backslash otimes\; ...\; \backslash otimes\; \backslash mathbf\; e\_n\; =T^(i\_1\; ...i\_n)\; P^(j\_1)\_(i\_1)\; ...\; P^\; (j\_n)\_(i\_n)\; \backslash mathbf\; R\_(j\_1)\; \backslash otimes...\; \backslash otimes\; \backslash mathbf\; R\_(j\_n)$
De exemplu, în cazul unui câmp tensor de primul rang (vector):
$\backslash mathbf\; v=v^i\; \backslash mathbf\; e\_i=v^i\; P^j\_i\; \backslash mathbf\; R\_j$

Coordonate curbilinii ortogonale

În spațiul euclidian, utilizarea coordonatelor curbilinii ortogonale este de o importanță deosebită, deoarece formulele referitoare la lungime și unghiuri par mai simple în coordonatele ortogonale decât în ​​cazul general. Acest lucru se datorează faptului că matricea metrică în sistemele cu bază ortonormală va fi diagonală, ceea ce va simplifica foarte mult calculele.
Un exemplu de astfel de sisteme este un sistem sferic în $\backslash mathbb(R)^2$

Coeficienți lame

Scriem diferența de arc în coordonate curbilinii în forma (folosind regula de însumare Einstein):

$dS^2\; =\; \backslash left(\backslash frac(\backslash partial\; \backslash varphi\_1)(\backslash partial\; q\_i)\backslash mathbf(dq)\_i\; \backslash right)^2\; +$

\left(\frac(\partial \varphi_2)(\partial q_i)\mathbf(dq)_i \right)^2 + \left(\frac(\partial \varphi_3)(\partial q_i)\mathbf(dq)_i \right)^2 , ~i=1,2,3

Ținând cont de ortogonalitatea sistemelor de coordonate ( $\backslash mathbf(dq)\_i\; \backslash cdot\; \backslash mathbf(dq)\_j\; =\; 0$ la $eu\; \backslash ne\; j$) această expresie poate fi rescrisă ca

$dS^2\; =\; H\_1^2dq\_1^2\; +\; H\_2^2dq\_2^2\; +\; H\_3^2dq\_3^2,$

$H\_i\; =\; \backslash sqrt(\backslash left(\backslash frac(\backslash partial\; \backslash varphi\_1)(\backslash partial\; q\_i)\backslash right)^2\; +\; \backslash left(\backslash frac(\backslash partial\; \backslash varphi\_2)(\backslash partial\; q\_i)\backslash right)^2\; +\; \backslash \; stânga(\backslash frac(\backslash partial\; \backslash varphi\_3)(\backslash partial\; q\_i)\backslash right)^2);\backslash \; i=1,\backslash ;2,\backslash ;3$

Valori pozitive $Bună\backslash$, în funcție de un punct din spațiu, se numesc coeficienți Lame sau factori de scară. Coeficienții Lame arată câte unități de lungime sunt conținute în unitatea de coordonate a unui punct dat și sunt utilizați pentru a transforma vectori atunci când se trece de la un sistem de coordonate la altul.

Tensorul metric riemannian scris în coordonate $(q\_i)$, este o matrice diagonală , pe a cărei diagonală sunt pătratele coeficienților Lame:

Exemple

Coordonate polare ( n=2)

Coordonatele polare din plan includ distanța r până la pol (origine) și direcția (unghiul) φ.

Conexiunea coordonatelor polare cu carteziene:

$\backslash left\backslash (\backslash begin(matrix)\; x\; =\; r\backslash cos(\backslash varphi);\backslash \backslash \; y\; =\; r\backslash sin(\backslash varphi).\backslash end(matrix)\backslash right.$

Coeficienți lame:

$\backslash begin(matrix)H\_r\; =\; 1;\; \backslash \backslash H\_\backslash varphi\; =\; r.\; \backslash end(matrice)$

Diferenţial de arc:

$dS^2\backslash \; =\backslash \; dr^2\backslash \; +\backslash \; r^2d\backslash varphi^2.$

La origine, funcția φ nu este definită. Dacă coordonata φ este considerată nu ca număr, ci ca unghi (un punct pe un cerc unitar), atunci coordonatele polare formează un sistem de coordonate în zona obținută din întregul plan prin eliminarea punctului de origine. Dacă, totuși, considerăm φ ca număr, atunci în zona desemnată va fi multivalorică, iar construcția unui sistem de coordonate strict în sens matematic este posibilă numai într-o zonă pur și simplu conectată care nu include originea, de exemplu , pe un avion fără rază.

Coordonatele cilindrice ( n=3)

Coordonatele cilindrice sunt o generalizare trivială a coordonatelor polare în cazul spațiului tridimensional prin adăugarea unei a treia coordonate z . Relația coordonatelor cilindrice cu carteziene:

$\backslash left\backslash (\backslash begin(matrix)\; x\; =\; r\backslash cos(\backslash varphi);\backslash \backslash \; y\; =\; r\backslash sin(\backslash varphi).\; \backslash \backslash \; z\; =\; z.\; \backslash end(matrix)\backslash right.$

Coeficienți lame:

$\backslash begin(matrix)H\_r\; =\; 1;\; \backslash \backslash H\_\backslash varphi\; =\; r;\; \backslash \backslash \; H\_z\; =\; 1.\; \backslash end(matrice)$

Diferenţial de arc:

$dS^2\backslash \; =\backslash \; dr^2\backslash \; +\backslash \; r^2d\backslash varphi^2\; +\; dz^2.$

Coordonatele sferice ( n=3)

Coordonatele sferice sunt legate de coordonatele de latitudine și longitudine de pe sfera unității. Legătura coordonatelor sferice cu carteziene:

$\backslash left\backslash (\backslash begin(matrix)\; x\; =\; r\backslash sin(\backslash theta)\backslash cos(\backslash varphi);\backslash \backslash \; y\; =\; r\backslash sin(\backslash theta)\backslash sin(\backslash varphi);\; \backslash \backslash \; z\; =\; r\backslash cos\; (\backslash theta).\backslash end(matrice)\backslash dreapta.$

Coeficienți lame:

$\backslash begin(matrix)H\_r\; =\; 1;\; \backslash \backslash \; H\_\backslash theta\; =\; r;\; \backslash \backslash H\_\backslash varphi\; =\; r\backslash sin(\backslash theta).\; \backslash end(matrice)$

Diferenţial de arc:

$dS^2\backslash \; =\backslash \; dr^2\backslash \; +\backslash \; r^2d\backslash theta^2\; +\; r^2\backslash sin^2(\backslash theta)d\backslash varphi^2.$

Coordonatele sferice, ca și coordonatele cilindrice, nu funcționează pe axa z (x=0, y=0) deoarece coordonata φ nu este definită acolo.

Diverse coordonate exotice în avion ( n=2) și generalizările acestora

Scrieți o recenzie la articolul „Sistem de coordonate curbiliniu”

Literatură

• Korn G., Korn T. Manual de matematică (pentru oameni de știință și ingineri). - M .: Nauka, 1974. - 832 p.

Numele coordonatelor Tipuri de sisteme de coordonate Coordonate 2D Coordonatele 3D $n$-coordonate dimensionale Coordonatele fizice Definiții înrudite

Un fragment care caracterizează sistemul de coordonate curbiliniu

„Dacă ar putea să ne atace, ar face-o astăzi”, a spus el.
„Deci crezi că este neputincios”, a spus Langeron.
„Multe, dacă are 40.000 de militari”, a răspuns Weyrother cu zâmbetul unui medic căruia doctorul vrea să-i arate un remediu.
„În acest caz, se duce la moarte, așteptând atacul nostru”, a spus Lanzheron cu un zâmbet subțire și ironic, privind înapoi la cel mai apropiat Miloradovici pentru confirmare.
Dar Miloradovici, evident, în acel moment se gândea cel mai puțin la ceea ce se certau generalii.
- Ma foi, [De Dumnezeu,] - spuse el, - maine vom vedea totul pe campul de lupta.
Weyrother chicoti din nou cu acel zâmbet care spunea că era ridicol și ciudat pentru el să întâmpine obiecțiile generalilor ruși și să demonstreze ceea ce nu numai el însuși era prea sigur, ci și de ce erau siguri împărații.
„Inamicul a stins focurile și se aude un zgomot continuu în tabăra lui”, a spus el. - Ce înseamnă? „Fie se îndepărtează, care este singurul lucru de care ar trebui să ne fie frică, fie își schimbă poziția (a chicotit). Dar chiar dacă și-a luat o poziție în Tyuras, nu ne scutește decât de multe necazuri, iar comenzile, până la cel mai mic detaliu, rămân aceleași.
„În ce fel?...” a spus prințul Andrei, care aștepta de mult ocazia să-și exprime îndoielile.
Kutuzov s-a trezit, și-a dres glasul greu și a privit în jur la generali.
„Domnilor, dispoziția pentru mâine, chiar și astăzi (pentru că este deja prima oră), nu poate fi schimbată”, a spus el. „Ai auzit-o și ne vom face cu toții datoria. Și înainte de bătălie, nu este nimic mai important... (a făcut o pauză) cum să dormi bine.
S-a prefăcut că se ridică. Generalii s-au înclinat și s-au retras. Trecuse de miezul nopții. Prințul Andrew a plecat.

Consiliul militar, la care prințul Andrei nu și-a exprimat părerea, așa cum spera, a lăsat asupra lui o impresie neclară și tulburătoare. Cine avea dreptate: Dolgorukov cu Weyrother sau Kutuzov cu Langeron și alții care nu au aprobat planul de atac, nu știa. „Dar a fost cu adevărat imposibil pentru Kutuzov să-și exprime direct gândurile suveranului? Nu se poate face altfel? Este cu adevărat necesar să risc zeci de mii și viața mea din cauza justiției și a considerentelor personale? el a crezut.
„Da, este foarte posibil să te omoare mâine”, se gândi el. Și deodată, la acest gând de moarte, o serie întreagă de amintiri, cele mai îndepărtate și mai sincere, s-au ridicat în imaginația lui; și-a amintit ultimul rămas bun de la tatăl și soția lui; și-a amintit de primele zile ale dragostei lui pentru ea! Și-a amintit de sarcina ei și i-a părut milă atât pentru ea, cât și pentru el însuși și, într-o stare nervoasă înmuiată și agitată, a părăsit coliba în care stătea cu Nesvitsky și a început să meargă în fața casei.
Noaptea era ceață, iar lumina lunii strălucea misterios prin ceață. „Da, mâine, mâine! el a crezut. „Mâine, poate, totul se va termina pentru mine, toate aceste amintiri nu vor mai exista, toate aceste amintiri nu vor mai avea nici un sens pentru mine. Mâine, poate, chiar probabil mâine, îl prevăd, pentru prima dată va trebui să arăt în sfârșit tot ce pot face. Și și-a imaginat bătălia, pierderea ei, concentrarea bătăliei într-un singur punct și confuzia tuturor celor comandanți. Și acum îi apare în sfârșit acel moment fericit, acel Toulon, pe care îl aștepta de atâta vreme. El își spune ferm și clar părerea atât lui Kutuzov, cât și lui Weyrother, precum și împăraților. Toți sunt uimiți de corectitudinea ideilor sale, dar nimeni nu se angajează să o îndeplinească, așa că ia un regiment, o divizie, pronunță o condiție ca nimeni să nu se amestece în ordinele sale și își conduce divizia la un punct decisiv și singur. învinge. Dar moartea și suferința? spune o altă voce. Dar prințul Andrei nu răspunde acestei voci și își continuă succesele. Dispoziţia următoarei bătălii o face numai el. El poartă gradul de ofițer de serviciu al armatei sub Kutuzov, dar face totul singur. Următoarea bătălie este câștigată doar de el. Kutuzov este înlocuit, este numit... Ei bine, și apoi? o altă voce zice din nou, iar apoi, dacă nu ești rănit, ucis sau înșelat de zece ori înainte; bine, atunci ce? „Ei bine, și atunci”, își răspunde prințul Andrei, „nu știu ce se va întâmpla în continuare, nu vreau și nu pot să știu: dar dacă vreau asta, vreau glorie, vreau să fiu. oameni faimosi Vreau să fiu iubit de ei, atunci nu e vina mea că vreau asta, că vreau asta singur, doar pentru asta trăiesc. Da, pentru acesta! Nu voi spune niciodată asta nimănui, dar, Doamne! ce să fac dacă nu iubesc decât gloria, iubirea umană. Moarte, răni, pierderea familiei, nimic nu mă sperie. Și oricât de dragi și dragi mi-ar fi mulți oameni - tatăl meu, sora, soția mea - cei mai dragi oameni mie - dar, oricât de teribil și nefiresc mi s-ar părea, le voi oferi pe toți acum pentru un moment de glorie, de triumf. peste oameni, pentru dragostea față de mine însumi, oameni pe care nu îi cunosc și nu îi voi cunoaște, pentru dragostea acestor oameni ”, a gândit el, ascultând conversația din curtea lui Kutuzov. În curtea lui Kutuzov, s-au auzit vocile de ordinele care împachetau; un glas, probabil coșerul, tachinandu-l pe bătrânul bucătar Kutuzovsky, pe care prințul Andrei îl cunoștea și al cărui nume era Tit, a spus: „Tit și Tit?”
— Ei bine, răspunse bătrânul.
— Titus, du-te la treierat, spuse glumetul.
„Pah, ei bine, la naiba cu ei”, s-a auzit o voce, acoperită de râsetele batmenilor și ale servitorilor.
„Și totuși iubesc și prețuiesc doar triumful asupra tuturor, prețuiesc această putere și glorie misterioasă, care aici se năpustesc peste mine în această ceață!”

Rostov în acea noapte era cu un pluton în lanțul de flancuri, înaintea detașamentului lui Bagration. Husarii lui erau împrăștiați în perechi în lanțuri; el însuși călărea de-a lungul acestei linii de lanț, încercând să învingă somnul care-l lăsa irezistibil. În spatele lui se vedea o întindere uriașă de focuri ale armatei noastre care ardeau neclar în ceață; în faţa lui era întuneric ceţos. Oricât de mult s-a uitat Rostov în această distanță de ceață, nu a văzut nimic: s-a făcut gri, apoi ceva a părut să se înnegrească; apoi a fulgerat ca niște lumini, unde ar trebui să fie dușmanul; apoi s-a gândit că doar în ochii lui sclipea. Avea ochii închiși, iar acum suveranul, apoi Denisov, apoi amintirile de la Moscova au apărut în imaginația lui și iarăși a deschis ochii în grabă și aproape în fața lui a văzut capul și urechile calului pe care stătea, uneori. figurile negre ale husarilor, când era la șase pași depărtare, se dădeau peste ele, iar în depărtare același întuneric cețos. "De la ce? este foarte posibil, gândi Rostov, ca suveranul, cunoscându-mă, să dea un ordin, așa cum i-ar face oricărui ofițer: el va spune: „Du-te, află ce este acolo”. Au povestit multe cum, din întâmplare, a recunoscut în felul acesta pe vreun ofițer și l-a adus mai aproape de el. Dacă m-ar apropia de el! O, cum l-aș proteja, cum i-aș spune întregul adevăr, cum i-aș dezvălui înșelătorii ", iar Rostov, pentru a-și imagina în mod viu dragostea și devotamentul față de suveran, și-a imaginat inamicul sau înșelătorul german, pe care el savurat nu numai ucis, dar bătut în obraji în ochii suveranului. Deodată, un strigăt îndepărtat îl trezi pe Rostov. A tresărit și a deschis ochii.
"Unde sunt? Da, în lanț: sloganul și parola sunt bara de tracțiune, Olmutz. Ce păcat că escadrila noastră va fi mâine în rezervă... se gândi el. - Voi cere să lucrez. Aceasta poate fi singura șansă de a-l vedea pe suveran. Da, nu mai este mult până la schimbare. Mă voi întoarce din nou și, când mă întorc, mă voi duce la general și-l întreb.” Și-a revenit în șa și a atins calul ca să-și mai ocolească husarii. A crezut că era mai strălucitor. Pe partea stângă se vedea o pantă blândă, luminată, iar dealul opus, negru, care părea abrupt, ca un zid. Pe acest deal era o pată albă, pe care Rostov nu o putea înțelege în niciun fel: era o poiană în pădure, luminată de lună, sau zăpada rămasă, sau case albe? Chiar i s-a părut că ceva s-a agitat peste această pată albă. „Zăpada trebuie să fie o pată; pata este une tache, gândi Rostov. „Aici, nu faci...”

Pe orice suprafață, puteți stabili un sistem de coordonate definind din nou poziția unui punct pe acesta cu două numere. Pentru a face acest lucru, într-un fel, acoperim întreaga suprafață cu două familii de linii, astfel încât prin fiecare dintre punctele sale (poate cu un număr mic de excepții) să treacă o singură linie din fiecare familie. Acum este necesar doar să se furnizeze liniile fiecărei familii cu semne numerice în conformitate cu o regulă fermă care să permită găsirea liniei de familie dorită după marcajul numeric (Fig. 22).

coordonatele punctului M suprafețele servesc drept numere u, v, Unde u-- marcaj numeric al liniei primei familii care trece M,Și v-- marcarea liniilor din a doua familie. Vom continua să scriem: M(u; v), numere Și, v se numesc coordonatele curbilinii ale punctului M. Ceea ce s-a spus va deveni destul de clar dacă ne întoarcem la sferă pentru un exemplu. Poate fi acoperit peste tot de meridiane (prima familie); fiecaruia dintre ele ii corespunde un semn numeric si anume valoarea longitudinii u(sau c). Toate paralelele formează o a doua familie; fiecăruia dintre ele îi corespunde un semn numeric – latitudine v(sau și). Prin fiecare punct al sferei (excluzând polii) există un singur meridian și o paralelă.

Ca un alt exemplu, luați în considerare suprafața laterală a unui cilindru circular drept de înălțime H, rază A(Fig. 23). Pentru prima familie vom lua sistemul generatoarelor sale, unul dintre ele va fi luat drept inițial. Atribuim un marcaj fiecărei generatrice tu, egală cu lungimea arcului pe circumferința bazei dintre generatoarea inițială și cea dată (vom număra arcul, de exemplu, în sens invers acelor de ceasornic). Pentru a doua familie luăm sistemul de secțiuni orizontale ale suprafeței; marca numerica v vom avea în vedere înălțimea la care este trasată secțiunea deasupra bazei. Cu alegerea corectă a axelor X y, zîn spațiu vom avea pentru orice punct M(x; y; z) suprafața noastră:

(Aici, argumentele pentru cosinus și sinus nu sunt în grade, ci în radiani.) Aceste ecuații pot fi privite ca ecuații parametrice pentru suprafața unui cilindru.

Problema 9. După ce curbă trebuie tăiată o bucată de tablă pentru a face un cot de țeavă de scurgere, astfel încât după îndoirea corespunzătoare să se obțină un cilindru cu raza A, trunchiată de un plan la un unghi de 45° față de planul bazei?

Soluţie. Să folosim ecuațiile parametrice ale suprafeței cilindrului:

Desenăm planul de tăiere prin axă Oh, ecuația ei z=y. Combinând-o cu ecuațiile tocmai scrise, obținem ecuația

linii de intersecție în coordonate curbilinie. După desfășurarea suprafeței pe un plan, coordonatele curbilinie ȘiȘi v se transformă în coordonate carteziene.

Deci, o bucată de tablă ar trebui să fie conturată de sus de-a lungul unei sinusoide

Aici uȘi v deja coordonate carteziene pe plan (Fig. 24).

Atât în ​​cazul unei sfere și a unei suprafețe cilindrice, cât și în cazul general, precizarea unei suprafețe prin ecuații parametrice presupune stabilirea unui sistem de coordonate curbilinii pe suprafață. Într-adevăr, expresia pentru coordonatele carteziene X y, z punct arbitrar M (x; y; z) suprafețe prin doi parametri tu, v(Acest lucru este în general scris astfel: X\u003d c ( u; v), y= c (u;v), z=u (u;v), ts, sh, u - funcții a două argumente) face posibilă cunoașterea unei perechi de numere tu, v, găsiți coordonatele potrivite x, y, z, deci poziția punctului M pe o suprafață; numere tu, v servesc drept coordonatele sale. Dându-i unuia dintre ei o valoare constantă, cum ar fi u=u 0, obținem expresia X y, z printr-un singur parametru v, adică ecuația parametrică a curbei. Aceasta este linia de coordonate a unei familii, ecuația ei u=u 0 . Doar aceeași linie v=v 0 -- linia de coordonate a unei alte familii.

vector de coordonate cu rază carteziană

Corespunzător unui astfel de spațiu vectorial. În acest articol, prima definiție va fi luată ca fiind cea inițială.

N (\displaystyle n) Se notează spaţiul euclidian -dimensional E n , (\displaystyle \mathbb (E) ^(n),) notația este de asemenea folosită des (dacă din context reiese clar că spațiul are o structură euclidiană).

YouTube enciclopedic

1 / 5

✪ 04 - Algebră liniară. Spațiul euclidian

✪ Geometrie non-euclidiană. Prima parte.

✪ Geometrie non-euclidiană. Partea a doua

✪ 01 - Algebră liniară. Spațiu liniar (vector).

✪ 8. Spații euclidiene

Subtitrări

Definiție formală

Pentru a defini spațiul euclidian, este cel mai ușor de luat drept concept de bază al produsului scalar . Un spațiu vectorial euclidian este definit ca un spațiu vectorial cu dimensiuni finite peste câmpul numerelor reale, pe ai cărui vectori este dată o funcție cu valoare reală. (⋅ , ⋅) , (\displaystyle (\cdot ,\cdot),) cu următoarele trei proprietăți:

Exemplu de spațiu euclidian - spațiu de coordonate R n , (\displaystyle \mathbb (R) ^(n),) constând din toate tuplurile posibile de numere reale (x 1 , x 2 , … , x n) , (\displaystyle (x_(1),x_(2),\ldots ,x_(n))),) produs scalar în care este determinat de formula (x , y) = ∑ i = 1 n x i y i = x 1 y 1 + x 2 y 2 + ⋯ + x n y n . (\displaystyle (x,y)=\sum _(i=1)^(n)x_(i)y_(i)=x_(1)y_(1)+x_(2)y_(2)+\cdots +x_(n)y_(n).)

Lungimi și unghiuri

Produsul scalar dat pe spațiul euclidian este suficient pentru a introduce conceptele geometrice de lungime și unghi. Lungimea vectorului u (\displaystyle u) definit ca (u , u) (\displaystyle (\sqrt ((u,u))))și notat | u | . (\displaystyle |u|.) Definitivitatea pozitivă a produsului interior garantează că lungimea unui vector diferit de zero este diferită de zero și din biliniaritate rezultă că | a u | = | a | | u | , (\displaystyle |au|=|a||u|,) adică lungimile vectorilor proporționali sunt proporționale.

Unghiul dintre vectori u (\displaystyle u)Și v (\displaystyle v) este determinat de formula φ = arccos ⁡ ((x, y) | x | | y |) . (\displaystyle \varphi =\arccos \left((\frac ((x,y))(|x||y|))\dreapta).) Din teorema cosinusului rezultă că pentru un spațiu euclidian bidimensional ( plan euclidian) această definiție unghiul coincide cu cel obișnuit. Vectorii ortogonali, ca în spațiul tridimensional, pot fi definiți ca vectori, unghiul dintre care este egal cu π 2 . (\displaystyle (\frac (\pi)(2)).)

Inegalitatea Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz și inegalitatea triunghiulară

Există un gol rămas în definiția unghiului dată mai sus: pentru a arccos ⁡ ((x , y) | x | | y |) (\displaystyle \arccos \left((\frac ((x,y))(|x||y|))\right)) a fost definit, este necesar ca inegalitatea | (x, y) | x | | y | | ≤ 1. (\displaystyle \left|(\frac ((x,y))(|x||y|))\right|\leqslant 1.) Această inegalitate este într-adevăr satisfăcută într-un spațiu euclidian arbitrar, se numește inegalitatea  Cauchy - Bunyakovsky - Schwarz. Din această inegalitate, la rândul său, rezultă inegalitatea triunghiulară: | u+v | ⩽ | u | + | v | . (\displaystyle |u+v|\leqslant |u|+|v|.) Inegalitatea triunghiului, împreună cu proprietățile de lungime enumerate mai sus, înseamnă că lungimea unui vector este o normă pe un spațiu vectorial euclidian, iar funcția d(x, y) = | x − y | (\displaystyle d(x,y)=|x-y|) definește structura unui spațiu metric pe spațiul euclidian (această funcție se numește metrica euclidiană). În special, distanța dintre elemente (puncte) x (\displaystyle x)Și y (\displaystyle y) spațiu de coordonare R n (\displaystyle \mathbb (R) ^(n)) dat de formula d (x , y) = ‖ x − y ‖ = ∑ i = 1 n (x i − y i) 2 . (\displaystyle d(\mathbf (x) ,\mathbf (y))=\|\mathbf (x) -\mathbf (y) \|=(\sqrt (\sum _(i=1)^(n)) (x_(i)-y_(i))^(2))).)

Proprietăți algebrice

Baze ortonormale

Spații duale și operatori

Orice vector x (\displaystyle x) Spațiul euclidian definește o funcție liniară funcțională x ∗ (\displaystyle x^(*)) pe acest spatiu, definit ca x ∗ (y) = (x , y) . (\displaystyle x^(*)(y)=(x,y).) Această mapare este un izomorfism între spațiul euclidian și

Sistem spațial dreptunghiular de coordonate carteziene

Transformări ale sistemelor de coordonate spațiale dreptunghiulare

Transformări de cartografiere liniară

Reducerea unei forme pătratice generale la una canonică

Coordonate curbilinie

Informații generale despre sistemele de coordonate curbilinii

Coordonate curbilinie pe suprafață

Sisteme de coordonate polare și generalizări ale acestora

Sistemul de coordonate polare spațiale

Sistem de coordonate cilindric

Sistem de coordonate sferice

Coordonatele polare de pe suprafață

Capitolul 3. SISTEME DE COORDONATE UTILIZATE ÎN GEODEZIE

Clasificarea generală a sistemelor de coordonate utilizate în geodezie

Sisteme de coordonate geodezice terestre

Sisteme de coordonate polare în geodezie

Sisteme elipsoidale curbilinii de coordonate geodezice

Determinarea coordonatelor geodezice elipsoidale cu o metodă separată pentru determinarea pozițiilor planificate și de altitudine ale punctelor de pe suprafața pământului

Conversia coordonatelor polare geodezice spațiale în coordonate geodezice elipsoidale

Conversia sistemelor de referință de coordonate geodezice la globale și invers

Sisteme de coordonate spațiale dreptunghiulare

Relația coordonatelor spațiale dreptunghiulare cu coordonatele geodezice elipsoidale

Conversia coordonatelor de referință dreptunghiulare spațiale în globale și invers

Sisteme de coordonate topocentrice în geodezie

Relația CS geodezică orizontală topocentrică spațială cu coordonatele sferice polare spațiale

Conversia coordonatelor geodezice orizontale topocentrice în coordonate dreptunghiulare spațiale X, Y, Z

Sisteme de coordonate dreptunghiulare plate în geodezie

Relația dintre coordonatele Gauss–Krüger dreptunghiulare plane și coordonatele geodezice elipsoidale

Transformarea coordonatelor dreptunghiulare plane Gauss-Kruger de la o zonă la alta

Recalcularea coordonatelor dreptunghiulare plate ale punctelor construcțiilor geodezice locale la alte sisteme de coordonate dreptunghiulare plate

capitolul 4

Sisteme de coordonate ale astronomiei sferice

Sisteme de referință în geodezia spațială

Coordonate ecuatoriale geocentrice inerțiale stelare (cerești).

Sistemul geocentric terestru Greenwich de coordonate spațiale dreptunghiulare

Sisteme de coordonate topocentrice

capitolul 5

Sisteme de coordonate geodezice de stat la începutul secolului XXI.

Construirea rețelei geodezice de stat

BIBLIOGRAFIE

ANEXA 1. SOLUȚIONAREA PROBLEMEI GEODEZICE DIRECTĂ ÎN SPAȚIU

ANEXA 2. SOLUȚIONAREA PROBLEMEI GEODEZICE INVERSE ÎN SPAȚIU

ANEXA 3. CONVERSIUNEA COORDONATELOR GEODETICE B, L, H ÎN RECTANGULARE SPAȚIALĂ X, Y, Z

ANEXA 4

ANEXA 5. CONVERSIUNEA COORDONATELOR SPATIALE DREPTANGULARE X, Y, Z SK-42 ÎN COORDONATELE SISTEMULUI PZ-90

ANEXA 6. CONVERSIUNEA SISTEMULUI DE REFERINȚĂ ALE COORDONATELOR GEODETICE B, L, H ÎN SISTEMUL DE COORDONATE GEODETICE PZ-90 B0, L0, H0

ANEXA 7. CONVERSIUNEA COORDONATELOR POLARE SPAȚIALE ALE SISTEMULUI S, ZG, A ÎN COORDONATE GEODETICE ORIZONTALE TOPOCENTRE ХТ, УТ, ZТ

ANEXA 8. CONVERSIUNEA COORDONATELOR GEODETICE ORIZONTALE TOPOCENTRICE ХТ, УТ, ZТ ÎN COORDONATE SPATIALE POLARE – S, ZГ, A

ANEXA 9. CONVERSIUNEA COORDONATELOR GEODETICE ORIZONTALE TOPOCENTRE XT, UT, ZT ÎN COORDONATE DREPTANGULARE SPAȚIALE X, Y, Z

ANEXA 10. CONVERSIUNEA COORDONATELOR GEODETICE ELIPSOIDALE B, L ÎN COORDONATE DREPTANGULARE PLATE GAUSS - KRUGER X, Y

ANEXA 11. CONVERSIUNEA COORDONATELOR RECTANGULARE PLANE GAUSS - KRUGER X, Y ÎN COORDONATE GEODETICE ELIPSOIDALE B, L

(a 11 - λ1 )(a 22 - λ1 ) - a 12 a 21 = 0 ;

λ 12 - (a 11 + a 22 )λ 1 + (a 11a 22 - a 12 a 21 ) = 0 .

Discriminantul acestor ecuații pătratice este ³ 0, adică.

D \u003d (a 11 + a 22) 2 - 4 (a 11a 22 - a 12 a 21) \u003d (a 11 - a 22) 2 + 4a 122 ³ 0.

Se numesc ecuațiile (2.56), (2.57). ecuatii caracteristice

matrici, iar rădăcinile acestor ecuații sunt propriile numere matricele A. Inlocuim valorile proprii gasite din (2.57) in (2.39), obtinem

ecuație canonică.

Dată o formă pătratică sub forma: F (x x ) = 5x 2				2x2.

Găsiți forma canonică a acestei ecuații.

Deoarece aici a 11 = 5; și 21 = 2; și 22 = 2, atunci ecuația caracteristică (2.56) pentru forma pătratică dată va avea forma

5 - λ 2

2 2 - λ 1

Echivalarea determinantului acestei ecuații matriceale cu zero

(5 – λ)(2 – λ) – 4 = λ2 – 7λ + 6 = 0

iar rezolvând această ecuație pătratică, obținem λ1 = 6; λ2 = 1.

Și apoi forma canonică a acestei forme pătratice va arăta ca

F (x 1 , x 2 ) = 6 x 1 2 + x 2 2 .

2.3. Coordonate curbilinie

2.3.1. Informații generale despre sistemele de coordonate curbilinii

Clasa coordonatelor curbilinie, în comparație cu clasa coordonatelor rectilinii, este extinsă și mult mai diversă și, din punct de vedere analitic, este cea mai universală, întrucât extinde posibilitățile metodei coordonatelor rectilinie. Utilizarea coordonatelor curbilinie poate uneori simplifica foarte mult rezolvarea multor probleme, în special a problemelor care sunt rezolvate direct pe suprafața revoluției. Deci, de exemplu, atunci când rezolvați o problemă pe o suprafață de revoluție legată de găsirea unei anumite funcții, în zona de specificare a acestei funcții pe o suprafață dată, puteți alege un astfel de sistem de coordonate curbilinii care vă va permite să dotați această funcție o nouă proprietate trebuie să fie constantă într-un sistem de coordonate dat, ceea ce nu este întotdeauna posibil cu utilizarea sistemelor de coordonate rectilinii.

Sistemul de coordonate curbilinie, dat într-o zonă a spațiului euclidian tridimensional, atribuie fiecărui punct al acestui spațiu un triplu ordonat al numerelor reale - φ, λ, r (coordonatele curbilinie ale unui punct).

Dacă sistemul de coordonate curbilinii este situat direct pe o suprafață (suprafață de revoluție), atunci, în acest caz, fiecărui punct al suprafeței i se atribuie două numere reale - φ, λ, care determină în mod unic poziția punctului pe această suprafață.

Trebuie să existe o relație matematică între sistemul de coordonate curbilinii φ, λ, r și CS cartezian rectiliniu (X, Y, Z). Într-adevăr, să fie dat sistemul de coordonate curbilinie într-o regiune a spațiului. Fiecare punct al acestui spațiu corespunde unui singur triplu de coordonate curbilinii - φ, λ, r. Pe de altă parte, același punct corespunde singurului triplu de coordonate carteziene rectilinii - X, Y, Z. Atunci se poate susține că în vedere generala

ϕ \u003d ϕ (X, Y, Z);

λ = λ (,); (2,58)

X Y Z

r = r(X, Y, Z).

Există atât o relație matematică directă (2,58) cât și o relație inversă între aceste SC.

Din analiza formulelor (2.58) rezultă că, cu o valoare constantă a uneia dintre coordonatele curbilinii spațiale φ, λ, r, de exemplu,

ϕ \u003d ϕ (X, Y, Z) \u003d const,

Și valori variabile ale celorlalte două (λ, r ), obținem în general o suprafață, care se numește coordonate. Suprafețele de coordonate corespunzătoare aceleiași coordonate nu se intersectează. Cu toate acestea, două suprafețe de coordonate corespunzătoare unor coordonate diferite se intersectează și dau o linie de coordonate corespunzătoare celei de-a treia coordonate.

2.3.2. Coordonate curbilinie pe suprafață

Pentru geodezie, coordonatele curbilinii ale suprafeței sunt de cel mai mare interes.

Fie ecuația suprafeței o funcție a coordonatelor carteziene în

are implicit forma
F (X, Y, Z) = 0.

Prin direcționarea vectorilor unitari de-a lungul axelor de coordonate i, j, l (Fig. 2.11), ecuația de suprafață poate fi scrisă sub formă vectorială

r \u003d X i + Y j + Z l. (2,60)

Introducem două noi variabile independente φ și λ astfel încât funcțiile

satisface ecuația (2.59). Egalitățile (2.61) sunt ecuații parametrice ale suprafeței.

λ1=const

					λ2=const
					λ3=const
					φ3=const
					φ2=const
					φ1=const

Orez. 2.11. Sistemul de coordonate curbiliniu al suprafeței

Fiecare pereche de numere φ și λ corespunde unui anumit punct (singur) de pe suprafață, iar aceste variabile pot fi luate drept coordonatele punctelor de pe suprafață.

Dacă dăm φ diverse valori constante φ = φ1 , φ = φ2 , …, atunci obținem o familie de curbe pe suprafața corespunzătoare acestor constante. În mod similar, având în vedere valori constante pentru λ, vom avea

a doua familie de curbe. Astfel, la suprafață se formează o rețea de drepte de coordonate φ = const și λ = const. Liniile de coordonate în general

sunt linii curbe. Prin urmare se numesc numerele φ, λ

coordonate curbilinie puncte de la suprafata.

Coordonatele curbilinie pot fi atât mărimi liniare, cât și unghiulare. Cel mai simplu exemplu de sistem de coordonate curbilinii, în care o coordonată este o mărime liniară, iar cealaltă este o mărime unghiulară, poate servi drept coordonate polare pe un plan.

Alegerea coordonatelor curbilinie nu trebuie neapărat să preceadă formarea liniilor de coordonate. În unele cazuri, este mai oportun să se stabilească o rețea de linii de coordonate care este cea mai convenabilă pentru rezolvarea anumitor probleme de la suprafață și apoi să se aleagă parametri (coordonate) pentru aceste linii care ar avea o valoare constantă pentru fiecare linie de coordonate.

O rețea bine definită de linii de coordonate corespunde și unui anumit sistem de parametri, dar pentru fiecare familie dată de linii de coordonate, se poate alege un set de alți parametri care sunt funcții continue și cu o singură valoare. parametrul dat. În cazul general, unghiurile dintre liniile de coordonate ale familiei φ = const și liniile familiei λ = const pot avea valori diferite.

Vom lua în considerare numai sisteme de coordonate curbilinii ortogonale, în care fiecare dreaptă de coordonate φ = const intersectează orice altă dreaptă de coordonate λ= const în unghi drept.

La rezolvarea multor probleme de suprafață, în special a problemelor legate de calculul coordonatelor curbilinie ale punctelor de suprafață, este necesar să existe ecuații diferențiale pentru modificarea coordonatelor curbilinie φ și λ în funcție de modificarea lungimii S a curbei de suprafață.

Relația dintre diferențele dS , dφ, dλ poate fi stabilită prin introducerea unei noi variabile α, adică unghiul

α dS

φ = const

λ = const

λ+d λ = const

direcția pozitivă a dreptei λ = const la pozitiv

direcția acestei curbe (Fig. 2.12). Acest unghi, așa cum ar fi, stabilește direcția (orientarea) liniei

punct dat pe suprafață. Apoi (fără ieșire):

Orez. 2.12. Geometria conexiunii diferenţialului arcului unei curbe pe o suprafaţă cu modificări (diferenţiale) curbilinii

coordonate

					∂X		2 ∂ Y 2
E = (rϕ)
						∂ϕ		∂ϕ
G = (						∂X		∂ U 2
						∂λ		∂λ

+ ∂ Z2;

∂ϕ

+ ∂ Z 2 . ∂λ

		cosα
		sinα

ÎN unghiului de geodezie α corespunde azimutului geodezic: α = A.

2.3.3. Sisteme de coordonate polare și generalizări ale acestora

2.3.4. Sistemul de coordonate polare spațiale

Pentru a seta un sistem spațial de coordonate polare, trebuie mai întâi să selectați un plan (în continuare îl vom numi principal). Un punct O este ales pe acest plan

măsurători

segmente

spațiu, atunci

poziţie

orice punct din spațiu va

categoric

determinat

mărimi: r, φ, λ, unde r este

polar

distanță în linie dreaptă de la stâlp

O la punctul Q (Fig. 2.13); λ -

unghiul polar este unghiul dintre

polar

Orez. 2.13. Sistemul spațial

ortogonală

proiecție

raza polară la principal

coordonatele polare și modificările acestora

avion

schimbări

(raza polară) și ea

0 ≤ λ < 2π); φ – угол между

vector

proiecție

OQ0 activat

de bază

plan, considerat pozitiv (0 ≤ φ ≤ π/2) pentru punctele semispațiului pozitiv și negativ (-π/2 ≤ φ ≤ 0) pentru punctele semispațiului negativ.

Orice CS spațial polar poate fi ușor conectat (transformat) cu un CS spațial cartezian dreptunghiular.

Dacă luăm scara și originea sistemului polar ca scară și originea coordonatelor în sistemul spațial dreptunghiular, axa polară OP - ca semiaxa abscisei OX , linia OZ trasată de la polul O perpendiculară la planul principal în direcția pozitivă a sistemului polar - ca semiaxa OZ a sistemului cartezian dreptunghiular, iar pentru semiaxa - OS, luați axa în care trece axa absciselor atunci când este rotită printr-un unghi π / 2 în direcția pozitivă în planul principal al sistemului polar, apoi din Fig. 2.13

Formulele (2.64) ne permit să exprimăm X, Y, Z în termeni de r, φ, λ și invers

Până acum, dorind să cunoaștem poziția unui punct pe un plan, sau în spațiu, am folosit sistemul de coordonate carteziene. Deci, de exemplu, am determinat poziția unui punct în spațiu folosind trei coordonate. Aceste coordonate erau abscisa, ordonata și aplicata unui punct variabil în spațiu. Cu toate acestea, este clar că specificarea abscisei, ordonatei și aplicației unui punct nu este singura modalitate de a determina poziția unui punct în spațiu. Acest lucru se poate face într-un alt mod, de exemplu, folosind coordonatele curbilinii.

Să fie, după o regulă bine definită, fiecare punct M spațiul corespunde în mod unic unui triplu de numere ( q 1 , q 2 , q 3), iar punctele diferite corespund unor triple diferite de numere. Apoi spunem că un sistem de coordonate este dat în spațiu; numere q 1 , q 2 , q 3 care corespund punctului M, se numesc coordonatele (sau coordonatele curbilinii) ale acestui punct.

În funcție de regula după care triplul numerelor ( q 1 , q 2 , q 3) este pus în corespondență cu un punct din spațiu, se vorbește despre unul sau altul sistem de coordonate.

Dacă doriți să observați că într-un sistem de coordonate dat, poziția punctului M este determinată de numere q 1 , q 2 , q 3, atunci se scrie astfel M(q 1 , q 2 , q 3).

Exemplu 1. Lasă un punct fix să fie marcat în spațiu DESPRE(originea), iar trei axe reciproc perpendiculare sunt trasate prin ea cu scara aleasă pe ele. (topoare Bou, Oi, Oz). Trei de acelasi fel X, y, z potriviți punctul M, astfel încât proiecțiile vectorului său de rază OM pe osie Bou, Oi, Oz vor fi, respectiv, egali X, y, z. Acest mod de a stabili o relație între triplete de numere ( X, y, z) și puncte M ne conduce la binecunoscutul sistem de coordonate carteziene.

Este ușor de observat că în cazul unui sistem de coordonate carteziene, nu numai fiecărui triplu de numere îi corespunde un anumit punct din spațiu, ci invers, fiecărui punct din spațiu îi corespunde un anumit triplu de coordonate.

Exemplu 2. Lasă axele de coordonate să fie din nou desenate în spațiu Bou, Oi, Oz trecând printr-un punct fix DESPRE(origine).

Luați în considerare un triplu de numere r, j, z, Unde r³0; £0 j£2 p, –¥<z<¥, и поставим в соответствие этой тройке чисел точку M, astfel încât aplicația sa este egală cu z, și proiecția sa pe plan Oxy are coordonate polare rȘi j(vezi figura 4.1). Este clar că aici fiecare triplu de numere r, j, z corespunde unui anumit punct Mși invers, fiecare punct M răspunde la un anumit triplu de numere r, j, z. Excepție fac punctele situate pe axă Oz: în acest caz rȘi z sunt definite în mod unic, iar colțul j poate fi atribuită orice valoare. Numerele r, j, z se numesc coordonatele cilindrice ale punctului M.

Este ușor de stabilit o relație între coordonatele cilindrice și carteziene:

X = r×cos j; y = r×păcat j; z = z.

Si inapoi ; ; z = z.

Exemplu 3. Să introducem un sistem de coordonate sferice. Setați trei numere r, q, j caracterizarea poziţiei punctului Mîn spațiu, după cum urmează: r este distanța de la originea coordonatelor până la punct M(lungimea vectorului rază), q Ozși vector rază OM(punct de latitudine M) j este unghiul dintre direcția pozitivă a axei Bouși proiecția vectorului rază pe plan Oxy(longitudine punct M). (A se vedea figura 4.2).

Este clar că, în acest caz, nu numai fiecare punct M corespunde unui anumit triplet de numere r, q, j, Unde r³ 0, 0 £ q £ p, 0£ j£2 p, dar invers, fiecare astfel de triplu de numere corespunde unui anumit punct din spațiu (din nou, cu excepția punctelor axei Oz unde această unicitate este încălcată).

Este ușor de găsit relația dintre coordonatele sferice și carteziene:

X = r păcat q cos j; y = r păcat q păcat j; z = r cos q.

Să revenim la un sistem de coordonate arbitrar ( Oq 1 , Oq 2 , Oq 3). Vom presupune că nu numai fiecărui punct din spațiu îi corespunde un anumit triplu de numere ( q 1 , q 2 , q 3), dar invers, fiecare triplu de numere corespunde unui anumit punct din spațiu. Să introducem conceptul de suprafețe de coordonate și linii de coordonate.

Definiție. Mulțimea acelor puncte pentru care coordonatele q 1 este constantă, numită suprafață de coordonate q 1 . Suprafețele de coordonate sunt definite în mod similar q 2, și q 3 (vezi fig. 4.3).

Evident, dacă punctul M are coordonate CU 1 , CU 2 , CU 3 atunci suprafețele de coordonate se intersectează în acest punct q 1 =C 1 ; q 2 =C 2 ; q 3 =C 3 .

Definiție. Mulțimea acelor puncte de-a lungul cărora se schimbă doar coordonatele q 1 (și celelalte două coordonate q 2 și q 3 rămân constante), se numește linie de coordonate q 1 .

Evident, orice linie de coordonate q 1 este linia de intersecție a planurilor de coordonate q 2 și q 3 .

Liniile de coordonate sunt definite în mod similar q 2 și q 3 .

Exemplu 1. Suprafețele de coordonate (de-a lungul coordonatei X) în sistemul de coordonate carteziene sunt toate planele X= const. (Sunt paralele cu planul Oyz). Suprafețele de coordonate sunt definite în mod similar de coordonate yȘi z.

coordona X o linie este o linie dreaptă paralelă cu axa Bou. coordona y-linie ( z-linie) - o linie dreaptă paralelă cu axa OU(topoare Oz).

Exemplu 2. Suprafeţele de coordonate din sistemul cilindric sunt: ​​orice plan paralel cu planul Oxy(suprafață de coordonate z= const), suprafața unui cilindru circular a cărui axă este îndreptată de-a lungul axei Oz(suprafață de coordonate r= const) și semiplanul mărginit de axă Oz(suprafață de coordonate j= const) (vezi Fig. 4.4).

Denumirea de sistem de coordonate cilindrice se explică prin faptul că printre suprafețele sale de coordonate se numără suprafețe cilindrice.

Liniile de coordonate din acest sistem sunt z-linie - dreaptă, paralelă cu axa Oz; j-linie - un cerc situat într-un plan orizontal centrat pe axă Oz; Și r-linie - o rază care iese dintr-un punct arbitrar al axei Oz, paralel cu planul Oxy.

Orez. 4.5

Deoarece există sfere printre suprafețele de coordonate, acest sistem de coordonate se numește sferic.

Liniile de coordonate sunt: r-line - o rază care iese de la origine, q-linie - un semicerc centrat la origine, care leagă două puncte de pe axă Oz; j-linie - un cerc situat într-un plan orizontal, centrat pe axă Oz.

În toate exemplele discutate mai sus, liniile de coordonate care trec prin orice punct M, sunt ortogonale între ele. Acest lucru nu se întâmplă în fiecare sistem de coordonate. Cu toate acestea, ne limităm să studiem doar sistemele de coordonate pentru care acesta este cazul; astfel de sisteme de coordonate se numesc ortogonale.

Definiție. Sistem de coordonate ( Oq 1 , Oq 2 , Oq 3) se numește ortogonală dacă în fiecare punct M liniile de coordonate care trec prin acest punct se intersectează în unghi drept.

Luați în considerare acum un punct Mși desenați vectori unitari atingând în acest punct liniile de coordonate corespunzătoare și îndreptați în direcția de creștere a coordonatei corespunzătoare. Dacă acești vectori formează un triplu drept în fiecare punct, atunci ni se dă un sistem de coordonate corect. De exemplu, sistemul de coordonate carteziene X, y, z(cu aranjamentul obișnuit al topoarelor) are dreptate. De asemenea, sistemul de coordonate cilindric din dreapta r, j, z(dar tocmai cu această ordine a coordonatelor; dacă modificați ordinea coordonatelor, luând, de exemplu, r, z, j, nu mai obținem un sistem corect).

Sistemul de coordonate sferice este, de asemenea, corect (dacă setați o astfel de ordine r, q, j).

Rețineți că în sistemul de coordonate carteziene, direcția vectorului unitar nu depinde de care punct M desenăm acest vector; același lucru este valabil și pentru vectori. Mai observăm ceva în sistemele de coordonate curbilinii: de exemplu, într-un sistem de coordonate cilindric, vectori într-un punct M si la un alt punct M 1 nu mai trebuie să fie paralel unul cu celălalt. Același lucru este valabil și pentru vector (în puncte diferite are, în general, direcții diferite).

Astfel, triplul vectorilor unitari ortogonali într-un sistem de coordonate curbiliniu depinde de poziția punctului M, în care acești vectori sunt considerați. Un triplu de vectori ortogonali unitari se numește cadru în mișcare, iar vectorii înșiși sunt numiți orturi unitare (sau pur și simplu orturi).