Sistem de comunicații mobile celulare CDMA. Spectrul de frecvență Funcția Walsh și descompunerea semnalului

Din (2.48) obținem

(2.49)

Ținând cont de faptul că funcțiile Walsh sunt egale cu ±1, scriem expresia (2.49) sub forma

(2.50)

unde a n (k) = 0 sau 1, determină semnul funcției Walsh pe interval
Exemple de spectre Walsh.

1. Spectrul Walsh al unui impuls dreptunghiular s(t) = 1, 0 ≤ t ≤ t (Fig. 2.9)

Din (2.50) găsim

Spectrul Walsh al unui impuls dreptunghiular depinde de relația dintre m și T. Pentru τ/T = 2 v unde v este un întreg pozitiv, ținând cont de valorile funcțiilor Walsh, obținem

Expansiunea unui impuls dreptunghiular în termeni de funcții Walsh are forma

Spectrul este format din componente de 2 V cu amplitudini egale egale cu 1/2 V. Spectrul conține un număr finit de componente. La t/T≠ 2 V, structura spectrului se va schimba.

2. Spectrul Walsh al unui impuls triunghiular (Fig. 2.10) Când se descrie un impuls triunghiular

este convenabil să mergem la timpul adimensional x = t/T

În conformitate cu (2.50) găsim:

Spectrele Walsh cu numerotare Harmuth și Paley sunt prezentate în Fig. 2.10, b și c.

3. Spectrul Walsh al unui impuls sinusoidal (Fig. 2.11)

Pentru un puls sinusoidal

trecând la timpul adimensional x = t/T, scriem

Din (2.50) în sistemul Harmuth găsim (Fig. 2.11):

Spectrele Walsh ale semnalului luat în considerare cu numerotarea Harmuth și Paley sunt prezentate în Fig. 2.11.6 și c.

2.7A. Proprietățile spectrelor Walsh

Atunci când se analizează semnale folosind funcțiile Walsh, este util să se țină cont de proprietățile de descompunere a semnalului în baza Walsh - spectre Walsh.

1. Spectrul sumei semnalelor este egal cu suma spectrelor fiecărui semnal.

Spectrul semnalului în sistemul de funcții Walsh este determinat de coeficienții de expansiune (2.47). Pentru suma semnalelor, coeficienții de expansiune sunt determinați de expresie

(2.52)

unde a pk sunt coeficienții de expansiune ai semnalului s k (t).

2. Înmulțirea semnalului cu funcția Walsh cu numărul n schimbă numerele coeficienților de expansiune cu k conform legii deplasării binare modulo doi

3. Spectrul Walsh al produsului semnalelor s 1 (t) și s 2 (t). definit pe intervalul . Astfel de funcții descriu semnale periodice cu putere limitată.

Pentru o funcție pară s(t), după cum urmează din (3.2),

(3.3)

pentru o funcție impară s(t):

(3.4)

De obicei, atunci când se analizează semnale, expansiunea s(t) este utilizată sub formă

(3.5)

Un semnal periodic este reprezentat ca o sumă de componente armonice cu amplitudini A n și faze inițiale.

Setul de amplitudini (D,) determină spectrul de amplitudine, iar setul de faze inițiale (φ n) determină spectrul de fază al semnalului (Fig. 3.1, a). După cum rezultă din (3.5), spectrele semnalelor periodice sunt discrete sau liniare, intervalul de eșantionare a frecvenței este egal cu frecvența semnalului ω 1 = 2π/ T.

Seria trigonometrică Fourier poate fi scrisă într-o formă complexă

(3.7)

(3.8)

Trecerea de la (3.1) la (3.7) este evidentă ținând cont de formula lui Euler

(3.9)

Coeficienții cu n sunt în general mărimi complexe

Când se utilizează forma complexă a seriei Fourier, semnalul este determinat de setul de amplitudini complexe (cu n). Module de amplitudini complexe |с n | descrieți spectrul de amplitudine, argumentele φ n - spectrul de fază al semnalului (Fig. 3.1,6).

Prezentarea (3.8) sub forma

(3.11)

După cum rezultă din expresiile scrise, spectrul de amplitudine are simetrie pară, iar spectrul de fază are simetrie impară.

(3.13)

Dintr-o comparație a expresiilor (3.2) și (3.11) rezultă

Ca exemplu, luați în considerare o secvență periodică de impulsuri dreptunghiulare (Fig. 3.2a). Când extindem o secvență periodică de impulsuri dreptunghiulare într-o serie Fourier trigonometrică din (3.2), obținem spectre de amplitudine și fază sub forma (Fig. 3.2, b):

Când se utilizează forma complexă a seriei Fourier
din (3.8) rezultă:

Amplitudinea și spectrele de fază ale semnalului sunt egale

Forma limitativă a seriei Fourier este integrala Fourier. Un semnal periodic la T → ∞ devine neperiodic. Înlocuind (3.8) în (3.7), scriem

(3.16)

Analiza semnalului armonic

Transformând (3.16), ca T→∞ (în acest caz ω 1 → dω și pω 1 = ω), obținem

(3.17)

Integrala Fourier este scrisă între paranteze pătrate ea descrie densitatea spectrală a semnalului

Expresia (3.17) va lua forma

Relaţiile înregistrate reprezintă directe şi conversie inversă Fourier. Sunt utilizate în analiza armonică a semnalelor neperiodice.

3.2. Analiza armonică a semnalelor neperiodice

Transformele Fourier directe și inverse stabilesc o corespondență unu-la-unu între semnal (funcția de timp care descrie semnalul s(t)) și densitatea sa spectrală S(ω):

(3.18)

Notăm corespondența Fourier:

(3.19)

Condiția pentru existența transformării Fourier este integrabilitatea absolută a funcției s(t)

(3.20)

În aplicațiile practice, condiția de integrabilitate a pătratului acestei funcții este mai convenabilă

(3.21)

Pentru semnale reale, condiția (3.21) este echivalentă cu condiția (3.20), dar are un sens fizic mai evident: condiția (3.21) înseamnă energie de semnal limitată. Astfel, putem considera că este posibilă aplicarea transformatei Fourier la semnale cu energie limitată. Acestea sunt semnale neperiodice (puls). Pentru semnale periodice, descompunere armonică

componentele nic sunt produse folosind o serie Fourier.

Funcția S(ω) este în general complexă

unde Re, lm sunt părțile reale și imaginare ale mărimii complexe; |s(w)|, f(oo) - modul și argumentul unei valori complexe:

Modulul de densitate spectrală a semnalului |S(ω)| descrie distribuția amplitudinilor componentelor armonice după frecvență, numită spectru de amplitudine. Argumentul φ(ω) dă distribuția fazei peste frecvență, numită spectrul de fază al semnalului. Spectrul de amplitudine este o funcție pară, iar spectrul de fază este o funcție impară a frecvenței

Luând în considerare formula lui Euler (3.9), scriem expresia pentru S(ω) sub forma

(3.24)

Dacă s(t) este o funcție pară, atunci din (3.24) obținem

(3.25)

Funcția S(ω), după cum urmează din (3.25), este o funcție reală. Spectrul de fază este definit ca

(3.26)

Pentru o funcție impară s(t) din (3.24) obținem

(3.27)

Funcția S(ω) este pur imaginară, spectrul de fază

(3.28)

Orice semnal poate fi reprezentat ca suma componentelor pare s h (t) și impare s H (t)

(3.29)

Posibilitatea unei astfel de reprezentări devine clară ținând cont de următoarele egalități:

Din (3.24) și (3.29) obținem

(3.30)

Prin urmare, pentru părțile reale și imaginare ale densității spectrale a semnalului putem scrie:

Astfel, partea reală a densității spectrale reprezintă transformata Fourier a componentei pare, partea imaginară - a componentei impare a semnalului. Partea reală a densității spectrale complexe a semnalului este pară, iar partea imaginară este o funcție ciudată a frecvenței.

Densitatea spectrală a semnalului la ω = 0

(3.31)

egal cu aria de sub curba s(t).

Ca exemple, obținem spectrele unor semnale.

1. Puls dreptunghiular (Fig. 3.3, a)

unde τ și este durata pulsului.

Densitatea spectrală a semnalului

Grafice ale spectrelor de amplitudine și fază ale semnalului sunt prezentate în Fig. 3.3, b, c.

2. Semnal descris de funcție

Densitatea spectrală a semnalului este determinată de expresie

Integrarea prin părți n-1 ori, obținem

Semnal (Fig. 3.4a)

are densitate spectrală

Graficele spectrelor de amplitudine și fază sunt prezentate în Fig. 3.4, b, c.

Semnal (Fig. 3.5, a)

are densitate spectrală

Grafice ale spectrelor de amplitudine și fază - Fig. 3.5, b, c.

Numărul de exemple crește în tabel. 3.1.

Comparația dintre (3.18) și (3.8) arată că densitatea spectrală un singur impuls la τ<

Ținând cont de relația indicată, determinarea spectrului unui semnal periodic într-un număr de cazuri poate fi simplificată folosind transformata Fourier (3.18). Coeficienții seriei Fourier se găsesc ca

(3.32)

unde S(ω) este densitatea spectrală a unui impuls.

Astfel, atunci când se determină spectrele de amplitudine și fază ale semnalelor periodice, este util să se țină cont de următoarele egalități:

Coeficientul 1/T poate fi considerat ca intervalul de frecvență dintre componentele spectrului adiacente, iar densitatea spectrală ca raportul dintre amplitudinea componentei semnalului și intervalul de frecvență căruia îi corespunde amplitudinea. Luând în considerare acest lucru, termenul „densitate spectrală” devine mai ușor de înțeles. Amplitudinea continuă și spectrele de fază ale unui singur impuls sunt plicuri de amplitudine discretă și spectre de fază ale unei secvențe periodice de astfel de impulsuri.

Folosind relațiile (3.33), rezultatele prezentate în tabel. 3.1 poate fi folosit pentru a determina spectrele trenurilor periodice de impulsuri. Următoarele exemple ilustrează această abordare.

1. Succesiunea periodică a impulsurilor dreptunghiulare (Tabelul 3.1, itemul 1), Fig. 3.2.

Expresia scrisă repetă rezultatul pasului exemplu 3.1.

2. Secvența periodică a impulsurilor de meandre (Tabelul 3.1, itemul 2), Fig. 3.6, fig. 3.2.

3. Secvența periodică a impulsurilor exponențiale (Tabelul 3.1, paragraful 8), Fig. 3.7.

Tabelul 3.1

Semnale și spectrele lor

3.3. Spectrele de frecvență ale semnalelor prezentate sub forma unei serii Fourier generalizate

Când se reprezintă un semnal ca o serie Fourier generalizată, este util să existe transformata Fourier a funcțiilor de bază. Acest lucru ne va permite să trecem de la spectrul pe baza diferitelor sisteme ortogonale la spectrul de frecvență. Mai jos sunt exemple de spectre de frecvență ale unor tipuri de semnale descrise de funcțiile de bază ale sistemelor ortogonale.

1.Semnale ale Legendrei.

Transformata Fourier a polinomului Legendre (Secțiunea 2) are forma

(3.34)

n= 1,2, ... - polinomul Legendre; - Funcția Bessel.

Folosind (3.34), din semnalul reprezentat ca o serie

cu cote

(3.35)

Expresia (3.35) descrie densitatea spectrală a semnalului s(f) sub forma unei serii.

Graficele componentelor spectrului cu numerele 1 - 3 sunt prezentate în Fig. 3.8.

2. Semnale Laguerre.

Transformata Fourier a funcției Laguerre are forma

(3.36)

n= 1,2,... sunt funcții Laguerre.

Folosind (3.36), din semnalul reprezentat ca o serie de expansiuni în polinoamele Laguerre (Secțiunea 2)

cu cote

puteți merge la densitatea spectrală a semnalului

(3.37)

3. Semnale Ermite.

Transformata Fourier a funcției Hermite are forma

(3.38)

n= 1,2,... sunt funcții Hermite.

Din (3.38) rezultă că funcțiile Hermite au proprietatea de transformabilitate, i.e. funcțiile și transformatele lor Fourier sunt egale (până la coeficienți constanți). Folosind (3.38), din semnalul reprezentat ca o serie de expansiuni în polinoamele Hermite

cu cote

puteți merge la densitatea spectrală a semnalului

(3.39)

4. Semnale Walsh.

Spectrele de frecvență ale semnalelor Walsh (semnale descrise de funcțiile Walsh) sunt determinate de următoarea transformată Fourier:

(3.40)

unde wal(n,x) este funcția Walsh.

Deoarece funcțiile Walsh au N regiuni de valori constante,

unde x k este valoarea lui x pe al-lea interval.

Din (3.41) obținem

Unde

Deoarece funcțiile Walsh iau valori ±1, putem scrie (3.42) sub forma

(3.43)

unde a n (k) = 0 sau 1 determină semnul funcției wal(n,x k).

În fig. Figura 3.9 prezintă grafice ale spectrelor de amplitudine ale primelor șase semnale Walsh.

3.4. Spectre de semnale descrise de funcții neintegrabile

Transformata Fourier există numai pentru semnale cu energie finită (pentru care condiția (3.21) este îndeplinită). O tehnică pur formală bazată pe introducerea conceptului de densitate spectrală pentru funcția de impuls ne permite să extindem clasa de semnale analizate folosind transformata Fourier. Să ne uităm la câteva dintre aceste semnale.

1. Funcția puls.

Funcția de impuls (sau funcția δ) este definită ca

(3.44)

Din definiția funcției de impuls rezultă proprietatea sa de filtrare

(3.45)

Definim densitatea spectrală a funcției de impuls ca

(3.46)

Spectrul de amplitudine este egal cu unitatea, spectrul de fază φ(ω) = ωt 0 (Fig. 3.10).

Transformarea Fourier inversă dă

Prin analogie cu (3.47), pentru domeniul frecvenței scriem

(3.48)

Folosind expresiile obținute, determinăm densitățile spectrale ale unor tipuri de semnale descrise de funcții pentru care nu există transformată Fourier.

2. Semnal constant s(t) = s 0 .

Ținând cont de (3.48) obținem (Fig. 3.11)

(3.49)

3. Semnal armonic.

Densitatea spectrală a semnalului se va obține ținând cont de (3.48) în formă

La φ = 0 (Fig. 3.12)

Pentru semnal

(3.53)

prin analogie cu (3.52) găsim

4. Funcția pas unitar.

(3.55)

Vom considera funcția pas unitară σ(t) ca formă limită a impulsului exponențial

Să reprezentăm impulsul exponențial ca suma componentelor pare și impare (3.29)

În conformitate cu metoda spectrală de analiză a trecerii semnalelor prin circuite liniare, orice semnal aleator S(T) poate fi reprezentat ca o sumă infinită de semnale deterministe elementare similare analitic:

(2.8)

Aplicând un semnal determinist elementar la intrarea unui circuit liniar (Fig. 1.14), al cărui coeficient de transmisie este egal cu , putem găsi răspunsul elementar al circuitului, adică semnalul la ieșirea circuitului.

Fig.2.3. Pentru a determina semnalul la ieșirea unui circuit liniar .

Semnalul la ieșirea circuitului liniar este egal cu

(2.9)

Deoarece principiul suprapunerii este valabil pentru circuitele liniare, răspunsul rezultat va fi egal cu:

(2.10)

Funcțiile care descriu semnale elementare sunt numite funcții de bază. Reprezentarea unui semnal prin funcții de bază este simplificată dacă acestea sunt ortogonale și ortonormale.

Un set de funcții se numește ortogonal , Dacă se află în intervalul de la până la

la (2.11)

Și ortonormal , Dacă condiția este îndeplinită pentru toți

. (2.12)

Ortogonalitatea funcțiilor de bază cu care este reprezentat semnalul original garantează că semnalul poate fi reprezentat într-un mod unic. Condiția de ortogonalitate este îndeplinită de funcțiile armonice de frecvențe multiple, precum și de funcțiile Walsh, care în segmentul existenței lor de la să ia doar valori egale cu 1, semnale Barker discrete și alte funcții. Metoda spectrală de analiză a semnalului se bazează pe transformate Fourier și constă în înlocuirea funcției de timp complexă care descrie semnalul cu suma semnalelor armonice simple care formează spectrul de frecvență al acestui semnal. Celebrul fizician și matematician francez J.B.Fourier (1768 - 1830) a demonstrat că orice modificare în timp a unei anumite funcții poate fi aproximată ca o sumă finită sau infinită a unei serii de oscilații armonice cu diferite amplitudini, frecvențe și faze inițiale. Această funcție poate fi curent sau tensiune într-un circuit electric.

Să considerăm mai întâi reprezentarea unui semnal electric periodic (Fig. 2.4), care îndeplinește condiția

, (2.13)

unde: - perioada semnalului; =1,2,3,….

Orez. 2.4. Semnal periodic

Să ne imaginăm acest semnal ca o serie trigonometrică infinită:

Această serie se numește seria Fourier.

Este posibil să scrieți seria Fourier într-o altă formă:

, (2.15)

Unde: — modul de amplitudini armonice;

— faze armonice;

— frecvență circulară;

— coeficienții componentelor cosinus; — coeficienții componentelor sinusoidale; — valoarea medie a semnalului pe o perioadă (componentă constantă) .

Termenii individuali ai seriei se numesc armonici . Numărul este numărul armonic. Setul de valori în serie (2.15) se numește spectru de amplitudine, iar setul de valori se numește spectru de fază.

Mai jos în Fig. Figura 2.5 prezintă spectrele de amplitudine și fază ale unui semnal periodic. Segmentele verticale ale spectrului de amplitudine reprezintă amplitudini armonice și se numesc linii spectrale.

Figura 2.5. Spectrele de amplitudine și fază ale unui semnal periodic

Astfel, spectrul unui semnal periodic – Guvernat . Fiecare semnal periodic are spectre de amplitudine și fază bine definite.

Suma seriei (2.15) este infinită, dar, pornind de la un anumit număr, amplitudinile armonicilor sunt atât de mici încât pot fi neglijate și un semnal periodic practic real este reprezentat de o funcție cu spectru limitat. Intervalul de frecvență corespunzător spectrului limitat se numește lățimea spectrului.

Dacă funcția care descrie semnalul periodic este pară, atunci suma seriei (2.14) va conține doar componente cosinus. Dacă este o funcție impară, atunci suma va conține doar componente sinusoidale.

De asemenea, este posibil să se reprezinte un semnal periodic sub forma unei serii Fourier complexe:

, (2.16)

— amplitudini complexe ale spectrului, care conțin informații atât despre spectrul de amplitudine, cât și despre faza.

După înlocuirea valorilor și , obținem:

(2.17)

Dacă înlocuim valoarea rezultată în serie (1.29), atunci aceasta se transformă într-o identitate. Astfel, un semnal electric periodic poate fi specificat fie printr-o funcție de timp, fie printr-o amplitudine a spectrului complex.

2.2.1. Spectrul unei secvențe periodice de impulsuri dreptunghiulare

Compoziția spectrului unei secvențe periodice de impulsuri dreptunghiulare depinde de raportul dintre perioada secvenței și durata impulsului, numit ciclu de lucru al impulsurilor. Spectrul nu va conține armonici cu numere care sunt multipli ai ciclului de lucru al impulsului. Ciclul de lucru al impulsurilor este . Figura 1.17 prezintă trei secvențe de impulsuri cu cicluri de lucru diferite și spectrele corespunzătoare. Pentru o secvență periodică, al cărei ciclu de lucru este 2, spectrul nu conține 2, 4, 6, 8 etc. armonici. Pentru o secvență al cărei ciclu de lucru este 3, armonicile a 3-a, a 6-a etc. sunt absente în spectru. Pentru o secvență al cărei ciclu de lucru este 4, spectrul nu conține armonicile a 4-a, a 8-a etc. În toate spectrele date, intervalul dintre liniile spectrale este egal cu inversul perioadei secvenței. Punctele de pe axa frecvenței la care spectrul este zero corespund reciprocului duratei impulsurilor secvențelor periodice.

Fig.2.6.Secvente periodice de impulsuri si spectrele acestora.

2.2.2. Spectrul unui semnal neperiodic

Când luăm în considerare spectrul unui semnal neperiodic, vom folosi tranziția limitativă de la un semnal periodic la un semnal neperiodic, direcționând perioada la infinit.

Pentru semnalul periodic prezentat în Fig. 2.4, expresia (2.17) a fost obținută anterior pentru amplitudinea complexă a spectrului:

(2.18)

Să introducem notația:

(2.19)

Să construim un modul de spectru:

Orez. 2.7. Modulul de spectru de semnal periodic

Distanța dintre liniile spectrale este . Dacă creșteți perioada, atunci intervalul w1 va scădea. Când intervalul dintre liniile spectrale w1® dw. În acest caz, succesiunea periodică de impulsuri se transformă într-un singur impuls, iar modulul spectrului tinde spre o funcție continuă a frecvenței. Ca urmare a tranziției limitatoare de la un semnal periodic la unul neperiodic, spectrul de linii degenerează într-un spectru continuu, prezentat în Fig. 2.8.

Orez. 2.8. Spectrul unui semnal neperiodic

În acest caz, amplitudinea complexă este egală cu:

. (2.20)

Tinand cont de trecerea la limita la

(2.21)

Să substituim expresia rezultată în seria (2.16). În acest caz, suma este transformată într-o integrală, iar valorile frecvențelor discrete în valoarea frecvenței curente și a semnalului neperiodic pot fi reprezentate în următoarea formă:

. (2.22)

Această expresie corespunde transformării Fourier inverse. Anvelopa spectrului continuu al unui singur impuls coincide cu anvelopa spectrului de linii ale unei funcții periodice reprezentând repetarea periodică a acestui impuls.

Integrala Fourier permite oricărei funcții neperiodice să fie reprezentată ca o sumă a unui număr infinit de oscilații sinusoidale cu amplitudini infinitezimale și un interval de frecvență infinitezimal. Spectrul semnalului este determinat din expresie

Această integrală corespunde transformării directe Fourier.

– spectru complex, conține informații atât despre spectrul de amplitudine, cât și despre spectrul de fază.

Astfel, spectrul unei funcții neperiodice este continuu. Putem spune că conține „toate” frecvențele. Dacă tăiați un interval mic de frecvență dintr-un spectru continuu, atunci frecvențele componentelor spectrale din această zonă vor diferi cât de puțin doriți. Prin urmare, componentele spectrale pot fi adăugate ca și cum toate ar avea aceeași frecvență și aceleași amplitudini complexe. Densitatea spectrală este raportul dintre amplitudinea complexă a unui interval mic de frecvență și valoarea acestui interval.

Analiza spectrală a semnalelor este de o importanță fundamentală în electronica radio. Cunoașterea spectrului unui semnal vă permite să luați decizii informate cu privire la lățimea de bandă a dispozitivelor afectate de acel semnal.

2.2.3. Spectrul unui singur impuls video dreptunghiular

Să calculăm spectrul unui singur impuls dreptunghiular, a cărui amplitudine este egală cu E, iar durata este t, prezentată în Fig. 2.9.

Orez. 2.9. Un singur impuls pătrat

În conformitate cu expresia (2.24), spectrul unui astfel de semnal este egal cu

=. (2.24)

Deoarece = 0 când , atunci frecvențele la care dispare spectrul sunt egale cu , unde K=1,2,3…

În fig. Figura 2.10 prezintă spectrul complex al unui singur impuls dreptunghiular de durată .

Fig.2.10. Spectrul unui singur impuls dreptunghiular

Densitatea spectrală determină distribuția energiei în spectrul unui singur impuls. În general, distribuția energiei este neuniformă. O distribuție omogenă este caracteristică unui proces haotic numit „zgomot alb”.

Densitatea spectrală a unui impuls la frecvență zero este egală cu aria sa. Aproximativ 90% din energia unui singur impuls dreptunghiular este concentrată în spectru, a cărui lățime este determinată de expresia

Relația (1.41) determină cerințele pentru lățimea de bandă a unui dispozitiv radio. În sarcinile în care forma semnalului este de importanță secundară, lățimea de bandă a dispozitivului pentru acest semnal poate fi aleasă egală cu lățimea primului lob al spectrului. În acest caz, gradul de distorsiune a formei semnalului este necunoscut. Dublarea lățimii de bandă va crește doar energia semnalului cu 5% și, în același timp, va crește nivelul de zgomot.

1. Spectrul unei sinusoide (Fig. 14.14, a) pe baza funcţiilor Walsh.

În acest caz, este recomandabil să echivalăm intervalul de descompunere cu valoarea lui T.

Trecând la timpul fără dimensiune, scriem oscilația sub forma Să ne limităm la 16 funcții și mai întâi alegem ordonarea Walsh. Deoarece funcția dată este impară în raport cu punctul , toți coeficienții pentru funcțiile pare Walsh din seria (14.27), adică for sunt egali cu zero.

Cele din restul de opt functii care coincid cu functiile Rademacher si au periodicitate in interval conduc la un coeficient zero datorita paritatii in intervalele indicate.

Deci, doar patru coeficienți din 16 nu sunt egali cu zero: A (1), A (5), A (9) și A (13). Să determinăm acești coeficienți folosind formula (14.28). Funcțiile integrand, care sunt produse ale semnalelor (vezi Fig. 14.14, a) și funcția corespunzătoare, sunt prezentate în Fig. 14.14, b - d. Integrarea pe bucăți a acestor produse oferă

Spectrul semnalului luat în considerare pe baza funcțiilor Walsh (ordonate de Walsh) este prezentat în Fig. 14.15, a.

Orez. 14.14. Gaterea unui segment sinusoid folosind funcțiile Walsh

Orez. 14.15. Spectrele unei sinusoide pe baza funcțiilor Walsh ordonate de Walsh (a), Paley (b) și Hadamard (c). Dimensiunea bazei

Când este comandat de Paley și Hadamard, spectrul aceluiași semnal ia forma prezentată în Fig. 14.15, b și c. Aceste spectre sunt obținute din spectrul din Fig. 14.15, ci prin rearanjarea coeficienților în conformitate cu tabelul (vezi Fig. 14.13), arătând relația dintre modalitățile de ordonare a funcțiilor Walsh (pentru ).

Pentru a reduce distorsiunile la reconstrucția oscilațiilor folosind un număr limitat de funcții Walsh, ar trebui să se acorde preferință ordonării, care asigură o scădere monotonă a spectrului. Cu alte cuvinte, cea mai bună ordonare este aceea în care fiecare componentă spectrală ulterioară nu este mai mare (în valoare absolută) decât cea anterioară, adică . În acest sens, cea mai bună ordonare atunci când reprezintă un segment sinusoid, după cum urmează din Fig. 14.15, este comanda Paley, iar cel mai rău este Hadamard.

Restaurarea semnalului original (vezi Fig. 14.14, a) cu șaisprezece funcții Walsh este prezentată în Fig. 14.16 (doisprezece coeficienți spectrale dispar), Această construcție, desigur, nu depinde de metoda de ordonare a funcțiilor. Evident, pentru o aproximare mai satisfăcătoare a unei oscilații sinusoidale în baza Walsh, este necesară o creștere semnificativă a numărului de componente spectrale.

În afara intervalului (0,1), seria (14.27), așa cum este menționat în § 14.4, descrie o continuare periodică, în acest exemplu o funcție armonică.

2. Spectrul de vibrații armonice (Fig. 14.17) pe baza funcțiilor Walsh. Ca și în exemplul anterior, este luat în considerare un ciclu de oscilație armonică cu perioadă. Trecând la timpul fără dimensiune, scriem vibrația în formă

Spectrul Walsh al unei funcții este definit în Exemplul 1. Definiția spectrului unei funcții pe interval este complet similară)